автореферат диссертации по машиностроению и машиноведению, 05.02.18, диссертация на тему:Исследование влияния вибраций на динамику кривошипно-ползунного механизма и нелинейного маятника

Чан Нгок Чау

На правах рукописи 003053022

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ВИБРАЦИЙ НА ДИНАМИКУ КРИВОШИПНО-ПОЛЗУННОГО МЕХАНИЗМА И НЕЛИНЕЙНОГО МАЯТНИКА

Специальность 05.02.18 - Теория механизмов и машин

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 2007

003053022

Работа выполнена на кафедре Мехатроники Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики.

Научный руководитель доктор технических наук, профессор

Мусалимов Виктор Михайлович

Официальные оппоненты доктор физико-математический наук,

профессор Мельников Геннадий Иванович кандидат технических наук, доцент Анодина-Андриевская Елена Михайловна

Ведущая организация Институт проблем машиноведения

Российской Академии Наук (ИПМаш РАН)

Защита состоится «06» марта 2007 г. в 1720 часов, на заседании диссертационного совета Д 212.227.04 в Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики по адресу: 197101, Санкт-Петербург, пр. Кронверкский, д.49, аудитория

Автореферат разослан « »(Ы^&иЛ 2007 г.

Отзывы и замечания (в 2 экз.) по автореферату направлять по адресу университета: 197101, Санкт-Петербург, пр. Кронверкский, д.49, Ученому секретарю диссертационного совета. __

Ученый секретарь диссертационного совета к.т.н., доцент

МТювХЮ.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Классические плоские механизмы являются не только базой для математического моделирования динамики механических систем со степенями свободы от одного и выше. Они являются также основой для проектирования и создания нового поколения приборов. При этом, в целях исследования их возможностей, таких как повышение чувствительности за счет вывода системы в область критических состояний, требуется постановка новых задач теории машин и механизмов и их аналитические и численные решения с анализом этих решений. К ряду таких задач относятся задачи о движениях маятников и кривошипно-ползунных механизмов с заданными вибрациями оснований кривошипов.

С точки зрения постановки эти задачи отображают реальные ситуации, когда устройство-прибор на базе этих механизмов находится в зоне действия внешних вибраций.

С точки зрения проектирования решение этих задач позволяет дать оценку параметров (от вибрационных до параметров фазовых пространств и пространств конфигураций) с дальнейшим использованием для повышения чувствительности приборов. Отсюда следует актуальность представляемой работы.

Цель диссертационной работы.

Целью работы является исследование и оценка влияния вибраций на динамику плоских механизмов при наличии вязкого трения (на примере кривошипно-ползунного механизма (КПМ) и нелинейного маятника (НМ)).

В связи этим, в настоящей работе были поставлены следующие задачи:

- Построить уравнента движения КПМ и НМ.

- Разработать метод оценки динамической погрешности.

- Дать оценку положения, скорости и ускорения ползуна кривошипно-ползунного механизма.

- Оценить влияния вибраций основания кривошипа на динамику реакции ползуна в условиях диссипации энергии и без нее.

- Оценить влияния вибраций основания и начальных условий на формирование режимов вертикального и горизонтального состояния равновесия маятника.

- Исследовать хаотичность переходных процессов для КПМ и НМ.

Основные положения выносимые на защиту.

На защиту выносятся следующие результаты полученные при исследовании:

- метод оценки динамической погрешности;

- метод построения градиентных систем;

- методы построения уравнений движения при вибрации;

- рекомендация по выбору начальных условий и параметров вибрации для НМ и КПМ;

- метод оценки хаотичности переходных процессов.

Методы исследований.

При исследовании влияния вибраций на динамику плоских механизмов использовались методы аналитической механики, математического анализа и вычислительной математики.

Научная новизна.

1. Поставлены и решены задачи о статической и динамической устойчивости нелинейного маятника.

2. Построены уравнения движения КПМ и НМ с учетом вибраций.

3. Разработан метод оценки динамической погрешности.

4. Разработан метод исследования стохастических режимов движения КПМ и НМ с учетом вибраций.

5. Исследованы динамические реакции.

Практическая значимость.

Разработанные методы позволяют:

- построить уравнения движения любого плоского механизма с учетом вибраций.

- оценить динамическую погрешност ь механизма при вибрации.

- оценить динамическую реакцию механизма.

- оценить хаотичность переходных процессов механизмов.

Апробация работы и публикации.

Основные результаты работы докладывались на II межвузовской конференции молодых ученых, СГ16ГУ ИТМО, 2005; на Седьмой сессии международной научной школы «Фундаментальные и прикладные проблемы надежности диагностики машин и механизмов», Институт проблем машиноведения РАН, 24 - 28 октября 2005 года; на XXXV научной и учебно-методической конференции СПбГУ ИТМО «Достижения ученых, аспирантов и студентов университета в науке и образовании», 31 января — 3 февраля 2006 года; на III межвузовской конференции молодых ученых, 10-13 апреля 2006 года, СПбГУ ИТМО; на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород 22-28 августа 2006 года и на семинарах кафедры «Мехатроника».

По теме диссертации опубликовано 6 стагьей и 1 методическое пособие.

Структура и объем работы

Диссертация изложена на 102 страницах и состоит из введения, пяти глав, заключения, приложений, списка литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1. Методы расчета динамических погрешностей при оценке положений звеньев плоских механизмов

Даны основные определения теории точности механизмов, описан вклад в проблему точности ученых В. С. Балакшина, Н. Г. Бруевича, Н. А. Бородачева, В. И. Сергеева, Е. А. Правоторовой, И. Г. Фридлендера, Б. П. Булатова.

Отмечено, что при оценке погрешности измерений необходимо учитывать динамические составляющие измерений, которые зависят как от динамики механизмов приборов, так и от внешних вибрационных воздействий.

Глава 2. Аналитическая теория точности механических систем

Синтез динамической точности кривошипно-ползунного механизма Анализ и синтез точности обобщенно состоит из двух блоков. В первом осуществляется построение локапьной потенциальной функции «идеальной» механической системы, где потенциальная энергия является функцией переменных состояния х е R" и управляющих параметров с е Rk. Цель - оценка ошибок положения, скорости и ускорения, исходя из анализа дифференциальных уравнений движения механических систем. Решение проблемы включает следующие этапы: введение дополнительных связей в регистрационных точках; определение динамических реакций R(t) в этих точках; анализ фазовых портретов при изменении R(t) - здесь реакции выступают в качестве управляющего параметра; переход к градиентной системе и построение потенциальной функции У(х; R), где х - переменные состояния, R — управляющий параметр.

Во втором блоке осуществляется построение локальной потенциальной функции «несовершенной» механической системы, где потенциальная энергия является функцией переменных состояния, управляющих параметров и параметров несовершенств е е Rm. Цель -- учет несовершенств при оценивании ошибок. Решение включает следующие этапы: построение (с учетом результатов первого блока) потенциальной функции У(х; R; е) -самого общего вида с учетом типа ростка в критических точках; переход к потенциальной функции V(x; М; е; zr), где eR - динамический параметр несовершенства, связанный с реакцией системы; М - внешняя сила, выступающая в качестве управляющего параметра; переход от переменных состояния х к переменным состояния (параметрам порядка) а; анализ катастрофы сборки и построения диапазона изменения параметров порядка а, построение функции плотности вероятности Ф(a;Ai;e).

На рис. 1 изображена механическая система, которая получена из системы с двумя степенями свободы после наложения дополнительной связи

в точке А. Здесь М- задаваемый момент, т1 = т2- т ~ приведенные массы; !\ = 12=1- длины стержней. Дополнительная связь установлена в точке, где требуется в условиях динамики определить ошибку положения массы тъ ошибку скорости и ускорения. Последовательность вычислений: построение градиентной системы, построение потенциальных функций, переход к уравнению Колмогорова - Фоккера - Планка, вычисление ошибок распределения.

М

*

х I

Рис. 1. Схема кривошипно-ползунного механизма.

Построение градиентной системы. Для схемы рис. 1 получено уравнение движения:

sin (р _ М

(1)

1 + 45Ш2 (р I 1 + 4бш2^ т12(\ + 4ъ\п2 <р) и получено уравнение дня вычисления реакции связи в точке А гл 2ак<р g . М

ф-К-----° 51П<р = — -.

т1 I т1

Уравнения (1), (2) приводят к выражению, связанному с градиентной

системой

(2)

ф1 l+4sin2^>

о)0 2 sin 2 ср

R „ . 4Msin2co

-/COSf/> + Sin <р------------ г

mg mg/(l + 4sin ср)

3

4cos(2>

(3)

где су2=£//.

Полученное решение устанавливает зависимость <рг1 со^ от

обобщенной координаты <р, внешней нагрузки М и реакции связи Л. В

2 / 2

решении уравнения (3) возможны отрицательные значения энергии ф /а>0 , поэтому, для сохранения физического смысла, выражение (3) следует переписать в виде

Ф¿

[ + 4sin2 cp

2 sin 2 (p

R _ . AM sin2 <p

— 2cosi/> + sin<s?-------

y mg ' mgl(\ + 4 sin" q>)

3

4 eos

Для перехода к градиентной системе положим —--———— -smcp,

4A/sin2<z> _ mglQ + Asm1 (р)

то есть предположим, что задаваемый момент определяется выражением: ^ _ /wg/(l + 4sin2^) 4sin#>

На рис. 2 представлены результаты расчета (4) для различных значений параметра г = R/mg , обозначенных цифрами у соответствующей линии.

Построение потенциальных функций. Из расчета и графиков следуют зависимости

/ N2

Ф

V®o у

= 8^+0,2 + 2,10,

отсюда

ф = ±co0^(pf+(1,2+2,\г).

(5)

Рис. 2. Окна эквиреактивных кривых.

Рассмотрим (5) как локальную градиентную систему в окрестности связи. Здесь реакция г выступает в качестве управляющего параметра. Тогда потенциальная функция в окне 0 < (р < я/2 имеет вид

У(<рг,г) = а)0

.(6)

Вычисление статистических моментов. Функция плотности вероятности Ф(р) связана с потенциальной функцией У(<р; г) посредством

уравнения Колмогорова - Фоккера - Планка: Зф/сй = + У2(£>Ф).

Потенциал является функцией переменной состояния <р и управляющею параметра г. С потенциальной функцией (6) связана функция плотности вероятности

,[ П<Р; г)} Ч й*

где ДО — константа нормализации; коэффициент Л* принят равным 5.

Условие для определения значения константы нормализации ДО для рассматриваемого окна, при значении управляющего параметра г = 1:

Ф{<р) — ДОехр-] [ > (7)

К! 4

ДО = -г--—---г--=0,67.

2-т*

Вычислен первый и второй статистические моменты (среднее значение угла и дисперсия):

Ж/4

(<?/= \<Р Ъ{(р)с1(р =-- -0,25 .

-ж/4

ж/4

£> = \{(Р-(<рУ Ф{(р)(1<р = 0,17 .

-ж/4

Первый и второй статистические моменты являются основой для оценки точности положения попзуна при нахождении кривошипа в пределах окна 0 < <р < л/2.

Следует отметить, что анализ расчетов осуществлен при переходе {ф! Ф0)г -> ф/й)ц. При этом мнимые ветви не учитывали. Глава 3. Динамика кривошипно-ползунного механизма (КПМ) при учете вибрации кривошипа

Рассмотрена динамика кривошипно-ползунного механизма на вибрирующем основании (рис. 3).

Здесь а - это угол к горизонтали Оу.

Уравнение вибрации платформы имеет следующий вид:

Рис. 3. Схема кривошипно-ползунпого механизма на вибрирующем основании

00¡ - ash\(cot) \ asina — пх líjeos а = пу

пх,пу - амплитуды вибраций в горизонтальном и вертикальном направлениях соответственно

2 ] Динамика КПМ без учета диссипации энергии

Используя уравнения Лагранжа первого и второго рода мы получим:

- Уравнение движения ч2 2 sin 2 ср + 3g sim?? _ М

1 + 4sin1 (р 1 l + 4sin2® ml2(] + 4sinJ <p)

2 . (8) (O sino? ,„

+ . (3„ sm y +n cos (p)

/(1 + 4sin <p) y 2 2 Динамика КПМ с учетом диссипации энергии

- Уравнение движения при наличии трения F, = 2пХ, где п -коэффициент сопротивления

х2 2sin2<3 3 g sin<p _ М

Ф + Ф

Ф + Ф

l + 4sin2^ / l + 4sin2<3 w/2(l + 4sin2<o)

cú'smcot .„ . . 8«sin <o

+ --------r---(3wr Sin (П +/?,COSffl -----------------i

1(1 + 4sin (p) x y w(l 4 4sin (p)

и

- Уравнение для вычисления реакции связи в точке Л

2cos^> g . Л/ со2 sin íyf .

ф - R--+— sin<p =—- +------(3п coscp +пхат<р) (10)

mi l mi l '

mi mg M mafúncot „ . . ....

==> R = ~---<P + -~tg<P~-----------(3n eoscp +nxsm cp) (11)

2cos <p 2 2lcos(p 2cosq>

В табл. 1 представлены характерные зависимости при т=1кг, 1=1м, со = 3,13рад / с, М=0, rtx= пу= 1м. Глава 4. Динамика нелинейного маятника (НМ)

Вопросам нелинейных колебаний были посвящены работы Г. И. Мельникова, Ю. И. Неймарка. Фундаментальные исследования по проблемам вибрационной техники были проведены И. И. Блехманом, К. В. Фроловым, Я. Г. Пановко.

Схема нелинейного маятника на вибрирующей платформе представлена на рис. 4.

Уравнение вибрации платформы имеет следующий вид: OOt = a sin(civ)

ía sin а = пх

J упх^пу - амплитуды вибраций в горизонтальном и вертикальном

направлениях соответственно. Уравнение движения:

т1гф - mlaco2 sin(®?)cos(p - а) + mglsin ср~ 0 (12)

©2 со2

Если п — = птх ,п — = п - безразмерные амплитуды

g g

=> Уравнение движения:

т1г(р + mgl[1 - ttm sin(&>í)]sin ср = nmymglsm(cot)cos<p (13)

Ч

Рис. 4. Схема нелинейного маятника на вибрирующей платформе.

Когда в системе есть сила вязкого трения, уравнение движения имеет

вид:

т12ф + /и#/[1 - птх 51п(а>?)]5Ш <р = п^т^'!ят(ол)со5(р - Яф (14)

где Я - коэффициент сопротивления.

Ф^<Ф0<Ф2, маятник -» ф - п ф2<ф0<ф^, маятник-* ф = О

равновесие равновесие, (переход через ф - л)

Рис. 5. Выход в положение равновесия в зависимости от сектора начальных

условий.

В случае вертикального погружения: уравнение движения имеет вид

т12ф + mglsmф - nmxmghm{aл)smф + Яф = 0 (15)

или

т12ф + mghinф - пхт1а>2 &т(бМ)$.тф + Яф = О Если т = \кг, I = 1м, то

ф+ gsm.ф- пхсо2 + Яф = 0 (16)

На рис. 5.а, Ь показано, как состояния равновесия зависят от выбора сектора начальных условий

* фх,фг,фъ и зависят от со,пх,К. В работе показано, что количество секторов начальных условий, определяющих конкретное состояние равновесия, зависит от значений параметров со,пх,Я.

8 случае горизонтального нагружения: уравнение движения имеет вид

т12ф + mgls т (р - птут?>1$\г\(ы1)со%(р + Яф = 0 (17)

или

т12ф + mgls.iaф- пут1со2 вт((гя)со5£> + Яф = О

Если т = 1кг, I = 1м, то

+ И„Ю25т(й>/)С0ЬГ£>+/?#> = О (18)

Рис. 6. Выход в положение равновесия в зависимости от сектора начальных

условий.

Например, в случае со = 70 , Я = 0,5:

- для сектора 0,996рад<(р0 <\,805рад, состояние равновесия определится углом ср = 1,16рад.

- для сектора -1,091 рад >(р0> -1,815 рад, состояние равновесия определится углом <р = -1,1 брад (рис.6).

На рис. 6 приведены результаты построения секторов начальных условий, определяющих вывод системы на конкретное состояние равновесия. Здесь стрелки -> обозначают направления движения к углу равновесия; знаки +-или - обозначают положения равновесия <р = \,\6рад ми ^ = -1,1 брад.

Глава 5. Исследование хаотических режимов КПМ и НМ

До начала 60-х годов в нелинейных диссипативных динамических системах в стационарном режиме наблюдали только периодические и квазипериодические движения. Однако в 1963 году в динамической системе Лоренцем было обнаружено очень сложное движение, которое воспринималось как хаотическое. Для характеристики таких движений ввели понятие "динамический хаос". Слово "динамический" означает, что отсутствуют источники флуктуации. В статье математиков Рюэля и Такенса, опубликованной в 1971 году, был введен новый математический образ динамического хаоса - странный аттрактор. Слово "странный" подчеркивает два свойства аттрактора. Это, во-первых, необычность его геометрической структуры. Размерность странного аттрактора является дробной (фрактальной). Во-вторых, странный аттрактор - это притягивающая область для траекторий из окрестных областей. При этом все траектории внутри странного аттрактора динамически неустойчивы, что выражается в сильной (экспоненциальной) расходимости близких в начальный момент траекторий. 5.1. Методы вычисления стохастических характеристик

5.1.1. Требования к исходным данным

Для вычисления таких статистических средних, как размерность, энтропия, спектр показателей Ляпунова, и других характеристик аттрактора, необходимо иметь множество точек, определенных в фазовом пространстве размерности п и принадлежащих атграктор. Число точек М в расчетах конечно, но обязано быть достаточно большим. Согласно формуле,

М 5: Мтт - Ю2+04" (19)

где £> - размерность аттрактора.

5.1.2. Восстановление аттрактора по временному (пространственному) ряду

Пусть имеется временной ряд экспериментальных данных, представляющий собой отсчеты некоторой физической величины: •

Если известен шаг по времени Д?. то время t = к • А/. Предполагается, что физическая величина я является одной из переменных динамической системы. Система находится в стационарном режиме, т.е. фазовая траектория проходит внутри аттрактора. Для восстановления аттрактора Такенсом предложен метод временной задержки координат. В и-мерном фазовом пространстве строится последовательность точек вида: хк = {рк^к+т'- ■ ■■>5к+(п-1)т\

* = 0,ю-1, т = М-(п-1)т. (2°)

Здесь г- временная задержка, п - размерность вложения.

5.1.3. Алгоритм вычисления корреляционной размерности аттрактора

В случае модельных данных, когда нам известна размерность п фазового пространства динамической системы и все п координат каждой точки на аттракторе, корреляционную размерность В2 аттрактора находят следующим образом. Рассмотрим корреляционный интеграл С (г), показывающий относительное число пар точек аттрактора, находящихся на расстоянии, не большем г:

1 т-2 т-\

т{т-1)/2 >

Г1, а > О

здесь в - функция Хевисайда: 6(а) - < ; р - расстояние в и-мерном

[О, а < О

фазовом пространстве, т - число точек х, Если выполняется условие

(22)

то В2 считают корреляционной размерностью атфактора.

5.1.4 Алгоритм вычисления корреляционной энтропии аттрактора

Корреляционная энтропия К7 может быть вычислена достаточно просто. Для этого также вычисляют корреляционный интеграл, но рассматривают не только его зависимость от расстояния г, но и от размерности фазового пространства п. При этом полагают, что

С(г, п) ~ гщ ехр(-и/Г,) ^3)

откуда К2(г,п) = . (24)

С(г,п + 1)

Энтропия К2 аппроксимируется в приемлемом диапазоне значений г и

п.

5.1.5. Построение динамической модели по экспериментальным данным

В самом общем случае не известно никакой определенной модели. По одной наблюдаемой динамической переменной необходимо восстановить систему дифференциальных уравнений (СДУ) или дискретное отображение, которые управляют поведением данного временного ряда. Обычно модель задается системой обыкновенных дифференциальных уравнений ск/Ж = Р(х), где х - точка в и-мерном фазовом пространстве. Затем Дг) строится с помощью полиномов от фазовых переменных. В этот способ могут быть добавлены различные усовершенствования, включающие использование разложения временного ряда по некоторой системе базисных функций для облегчения эффективного выбора полиномов для СДУ и фильтрации шума в данных. Можно определять параметры динамической системы по экспериментальному временному ряду и предложенному виду СДУ. Стохастические характеристики "подогнанного" аттрактора могут быть затем

сравнены с характеристиками "сырого" аттрактора с целью убедиться в адекватности предложенной модели. В простейшем случае модельные параметры входят линейно в СДУ. Типичные примеры - системы Лоренца и Ресслера. В более сложных ситуациях, таких как физический маятник, некоторые модельные параметры входят линейно, в то время как остальные -нелинейно. Применение метода наименьших квадратов для поиска параметров дает хорошие резулматы в обоих случаях. Допускается даже присутствие умеренного количества (<1%) аддитивного шума. 5.2. Управляющий параметр аттрактора Лоренца

Аттрактор Лоренца был предметом исследования многих ученых. При этом в качестве управляющего параметра выбирался параметр г.

X - —ах + cry, ■y = rx-y-xz, ^

2 - -bz + ху.

Введем ряд обозначений с учетом опыта использования физических параметров линейных систем:

х = -етхх+г2у,

у = г2х-<т2у-хг, (26) 2 = — <т3г + ху.

Примем г, = г2 = г > 0 - частотные параметры; <т, =а2 = а > 0, аъ-Ь> 0 - параметры демпфирования.

По аналогии с линейными системами введем управляющий параметр:

Л = 2гг-(2сг+Ь)2 (2?)

Каждая из групп параметров - 2г2 и (2а + Ь)2- меняются по конкурирующему сценарию так, чтобы была обеспечена самоорганизация процесса.

Рассмотрены некоторые предельные случаи значений управляющего параметра (УП) в табл. 2.

Табл. 2

УП ь X Вывод

1 Ь = -2а Л = 2гг>0 С ^ п д ч X истема (26) перепишется в виде Ъ 2 Х = 2Х+ГУ' ^ = + (28) 2 = -Ьг+ху. меет смысл рассматривать только случаи очожительных значений коэффициентов емпфирования и, значит, вместо (28) запишем X = Г2 у, ? = Г2Х~Х2, ^ 1 - ху, то дает в линейном приближении на плоскости Оу интегральных кривых гиперболу с2 с2 ■

2а Ь * -2сг Ь = - 2сг Л = 0 С истеча (26) перепишется в виде х = —ах + г2у, у = г2х-ау-хг, 2 = -(г\[2-2а)2 + ху.

2Ь Ь*-2ст Ъ = -г\[2-2а Л =0 С Система (26) перепишется в виде X - -ах + г2у, у = г2х-ау-хг, (31) 2 = (/■ 72 - 2а)х + ху.

3 Ъ * -2а Л = -(2сг + 6)2 Л<0 С "истема (26) перепишется в виде £ - -ах, у = ~ау - Х7., (32) 2 - ~Ь~ + ху.

Заключение

В данной работе представлены основные следующие результаты:

1. Разработан метод динамических оценок погрешности на основе теории катастроф с использованием уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка.

2. Показано, что статические и динамические погрешности существенно отличаются друг от друга. Установлено, что при расчете динамических погрешностей возникает необходимость использования не собственных частот колебаний, а частот получающихся в результате анализа окон эквиреактивных кривых.

3. Установлен бифуркационный характер динамической системы кривошипно-ползунного механизма.

4. Выведены уравнения движения кривошипно-ползунного механизма при вибрации основания кривошипа и исследовано влияние вибраций на динамику реакции ползуна в условиях диссипации и без нее. Установлено что, при некоторых условиях в системе реализуется хаотический режим движения.

5. Исследовано влияние вибраций на динамику нелинейного маятника. Исследовано влияние начальных условий и параметров вибрации на реализацию режимов колебаний перевернутого маятника и горизонтального.

6. Разработаны алгоритмы и программы фрактального анализа стохастической динамики.

7. Исследованы режимы стохастических движений кривошипно-ползунного механизма и нелинейного маятника.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

1. Логовская Е. В., Резников С. С., Чан Нгок Чау. ЭтшНпк-моделирование нелинейной системы с двумя степенями свободы, Вестник II межвузовской конференции молодых ученых, Сборник научных трудов, Том 2, СПб ИТМО, 2005, с. 55-58.

2. Морщинина Н. В., Чан Нгок Чау. Маятник на основании с виброускорениями, Программа & тезисы докладов, Седьмая сессия международной научной школы «Фундаментальные и прикладные проблемы надежности диагностики машин и механизмов», Институт проблем машиноведения РАН, 24 - 28 октября 2005 года, с. 110.

3. Мусалимов В. М., Петрищев М. С., Чан Нгок Чау. Динамические эффекты нелинейных маятников и их учет при проектировании чувствительных элементов мехатронных систем, XXXV научная и учебно-методическая конференция СПбГУ ИТМО «Достижения ученых, аспирантов и студентов университета в науке и образовании», 31 января - 3 февраля 2006 года.

4. Петрищев М. С., Чан Нгок Чау. Синтез точности градиентных систем / Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО, Выпуск 28, I сессия научной школы «Задачи механики и проблемы точности в приборостроении» - СПб: СПбГУ ИТМО, 2006, с. 168 - 172.

5. Петрищев М. С., Чан Нгок Чау. Динамика нелинейных маятников в условиях магнитных и вибрационных воздействий. IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Т. I, Нижний Новгород, 22 - 28 августа 2006, с. 95.

6. Мусалимов В. М., Петрищев М. С., Чан Нгок Чау. Моделирование нелинейных маятников на вибрирующем основании, Изв. вузов. Приборостроение, 2006, Т. 49, № 7, с. 48 - 51.

7. Мусалимов В. М., Резников С. С., Чан Нгок Чау. Специальные разделы высшей математики (методическое пособие для преподавателей и студентов). СПб: СПбГУ ИТМО, 2006, 81с.: ил.

(

Тиражирование и брошюровка выполнены в учреждении «Университетские телекоммуникации» 197101, Санкт-Петербург, Саблинская ул., 14 Тел. (812) 233 4669 Тираж 100 экз.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДИНАМИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ ОЦЕНКЕ ПОЛОЖЕНИЙ ЗВЕНЬЕВ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ.

1.1. Чувствительность и точность измерительных приборов.

1.2. Динамические погрешности приборов.

1.3. Динамические погрешности первого рода.

1.4. Динамические погрешности второго рода, получающиеся при вибрации объекта, на котором установлен прибор.

Выводы к главе 1.

ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТОЧНОСТИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

2.1. Использование теории катастроф в качестве математического аппарата динамической теории точности.

2.1.1. Потенциальная энергия связей.

2.1.2. Правило решения задач точности.

2.1.3. Вычисление ошибок.

2.1.4. Техническая задача.

2.2. Использование уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка в качестве механизма построения функций плотности вероятностей.

2.3. Синтез точности градиентных систем.

2.4. Закономерность изменения реакций ползуна (R(t)) от угла поворота кривошипа.

Выводы к главе 2.

ГЛАВА 3. ДИНАМИКА КРИВОШИПНО-ПОЛЗУННОГО МЕХАНИЗМА (КПМ) ПРИ ВИБРАЦИИ КРИВОШИПА.

3.1. Вывод уравнений движения.

3.2. Вычисление реакций связей.

3.3. Учет трения в ползуне.

Выводы к главе 3.

ГЛАВА 4. ДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНОГО МАЯТНИКА (НМ).

4.1. Динамика маятника на вибрирующей платформе.

4.2. Случай вертикальной вибрации (при наличии вязкого трения).

4.3. Случай горизонтальной вибрации (при наличии вязкого трения).

Выводы к главе 4.

ГЛАВА 5. ИССЛЕДОВАНИЕ ХАОТИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ КПМ И НМ

5.1. Методы вычисления стохастических характеристик.

5.1.1. Требования к исходным данным.

5.1.2. Восстановление аттрактора по временному (пространственному) ряду.

5.1.3. Выбор временной задержки (сдвига) т.

5.1.4. Алгоритм вычисления корреляционной размерности аттрактора.

5.1.5. Алгоритм вычисления корреляционной энтропии аттрактора.

5.1.6. Построение динамической модели по экспериментальным данным

5.2. Обработка экспериментальных данных с помощью программы Fractan

5.3. Управляющий параметр аттрактора Лоренца.

5.4. Результаты вычисления дробной размерности.

5.4.1. Дробная размерность динамической системы «нелинейный маятник на вибрирующем основании».

5.4.2. Дробная размерность динамической системы «кривошипно-ползунный механизм с вибрирующим основанием кривошипа».

Выводы к главе 5.

Актуальность работы

Классические плоские механизмы являются не только базой для математического моделирования динамики механических систем со степенями свободы от одного и выше. Они являются также основой для проектирования и создания нового поколения приборов. При этом, в целях исследования их возможностей, таких как повышение чувствительности за счет вывода системы в область критических состояний, требуется постановка новых задач теории машин и механизмов и их аналитические и численные решения с анализом этих решений. К ряду таких задач относятся задачи о движениях маятников и кривошипно-ползунных механизмов с заданными вибрациями оснований кривошипов.

С точки зрения постановки эти задачи отображают реальные ситуации, когда устройство-прибор на базе этих механизмов находится в зоне действия внешних вибраций.

С точки зрения проектирования решение этих задач позволяет дать оценку параметров (от вибрационных до параметров фазовых пространств и пространств конфигураций) с дальнейшим использованием для повышения чувствительности приборов. Отсюда следует актуальность представляемой работы.

Цель диссертационной работы.

Целью работы является исследование и оценка влияния вибраций на динамику плоских механизмов при наличии вязкого трения (на примере кривошипно-ползунного механизма (КПМ) и нелинейного маятника (НМ)).

В связи этим, в настоящей работе были поставлены следующие задачи:

- Построить уравнения движения КПМ и НМ.

- Разработать метод оценки динамической погрешности.

- Дать оценку положения, скорости и ускорения ползуна кривошипно-ползунного механизма.

- Оценить влияния вибраций основания кривошипа на динамику реакции ползуна в условиях диссипации энергии и без нее.

- Оценить влияния вибраций основания и начальных условий на формирование режимов вертикального и горизонтального состояния равновесия маятника.

- Исследовать хаотичность переходных процессов для КПМ и НМ.

Основные положения выносимые на защиту.

На защиту выносятся следующие результаты полученные при исследовании:

- метод оценки динамической погрешности;

- метод построения градиентных систем;

- методы построения уравнений движения при вибрации;

- рекомендация по выбору начальных условий и параметров вибрации для НМ и КПМ;

- метод оценки хаотичности переходных процессов.

Методы исследований.

При исследовании влияния вибраций на динамику плоских механизмов использовались методы аналитической механики, математического анализа и вычислительной математики.

Научная новизна.

1. Поставлены и решены задачи о статической и динамической устойчивости нелинейного маятника.

2. Построены уравнения движения КПМ и НМ с учетом вибраций.

3. Разработан метод оценки динамической погрешности.

4. Разработан метод исследования стохастических режимов движения КПМ и НМ с учетом вибраций.

5. Исследованы динамические реакции.

Практическая значимость.

Разработанные методы позволяют:

- построить уравнения движения любого плоского механизма с учетом вибраций.

- оценить динамическую погрешность механизма при вибрации.

- оценить динамическую реакцию механизма.

- оценить хаотичность переходных процессов механизмов.

Апробация работы и публикации.

Основные результаты работы доложены на II межвузовской конференции молодых ученых, СПб ИТМО, 2005; на Седьмой сессии международной научной школы «Фундаментальные и прикладные проблемы надежности диагностики машин и механизмов», Институт проблем машиноведения РАН, 24 - 28 октября 2005 года; на XXXV научной и учебно-методической конференции СПбГУ ИТМО «Достижения ученых, аспирантов и студентов университета в науке и образовании», 31 января - 3 февраля 2006 года; на III межвузовской конференции молодых ученых, 10-13 апреля 2006 года, СПб ИТМО; на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород 22-28 августа 2006 года и на семинарах кафедры «Мехатроника».

Выводы к главе 5

1. Показано, что теория детерминированного хаоса может быть использована для описания хаотического режима механизма.

2. Установлено, что хаотическая динамика механизмов при наличии вибрации описывается аттрактором Лоренца с дробной размерностью 1 < £> < 2.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе представлены основные следующие результаты:

1. Разработан метод динамических оценок погрешности на основе теории катастроф с использованием уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка.

2. Показано, что статические и динамические погрешности существенно отличаются друг от друга. Установлено, что при расчете динамических погрешностей возникает необходимость использования не собственных частот колебаний, а частот получающихся в результате анализа окон эквиреактивных кривых.

3. Выведены уравнения движения кривошипно-ползуиного механизма при вибрации основания кривошипа и исследовано влияние вибраций на динамику реакции ползуна в условиях диссипации и без нее. Установлено что, при некоторых условиях в системе реализуется хаотический режим движения.

4. Исследовано влияние вибраций на динамику нелинейного маятника. Исследовано влияние начальных условий и параметров вибрации на реализацию режимов колебаний перевернутого маятника и горизонтального.

5. Разработаны алгоритмы и программы фрактального анализа стохастической динамики.

6. Исследованы режимы стохастических движений кривошипно-ползунного механизма и нелинейного маятника и установлено, что хаотическая динамика механизмов при наличии вибрации описывается аттрактором Лоренца с дробной размерностью 1 < D < 2.

1. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений. М.: Наука, 1982. 304 с.

2. Баруча-Рид А. Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1969. 512 с.

3. Блехман И. И. Вибрационная механика. М.: Наука, 1994.

4. Блехман И. И. Синхронизация в природе и технике. М.: Наука, 1981.

5. Блехман И. И. Синхронизация динамических систем. М.: Наука, 1971.

6. Блехман И. И., Фрадков A.JL. Управление мехатронными вибрационными установками, СПб, Наука, 2001,278 с.

7. Бородачев Н. А. Основные вопросы теории точности производства. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1950.416 с.

8. Бруевич Н. Г. Точность механизмов. М. Л., ОГИЗ, 1946. 352 с.

9. Бруевич Н. Г., Правоторова Е. А., Сергеев В. И. Основы теории точности механизмов. М.: Наука, 1988. 237 с.

10. Бруевич Н. Г., Сергеев В. И. Основы нелинейной теории точности и нажености. М.: Наука, 1976. 134 с.

11. Булатов В. П., Брагинский В. А., Демин Ф. И., и др. Основы теории точности машин и приборов. СПб.: Наука, 1993. 232 с.

12. Булатов В. П., Кемпинский М. М. Расчеты точности кинематических цепей // Расчет точности машин и приборов. СПб.: Политехника, 1993. с.223 -302.

13. Булатов В. П., Фридлендер И. Г. Расчетные задачи теории точности и выбор метода их решения // Расчет точности машин и приборов. СПб.: Политехника, 1993. с.6 30.

14. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.: ФМЛ, 2005.-402 с.

15. Буров А. А., Регулярная и хаотическая динамика в ограниченных задачах механики твёрдого тела. IX Всероссийский съезд по теоретической иприкладной механике, Аннотации докладов, Т. I, Нижний Новгород, 22 -28 августа 2006, с. 29.

16. Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И, Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1988.

17. Бутенин Н. В., Фуфаев Н. А. Введение в аналитическую механику. М.: Наука, 1991.256 с.

18. Быховский М. JI. Точность механизмов, у которых положения звеньев описываются дифференциальными уравнениями // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. 1947. № 11. с. 1455 1512.

19. Вейц В. JI., Васильков Д. В., Лонцих П.А. Динамика стопорных режимов в приводах станков. Санкт-Петербург, 1999.- 202 с.

20. Вентцель Е.С., Овчаров JI.A. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М.: Высшая школа, 2004.

21. Владимир Дьяконов. Simulink 4. Специальный справочник, СПб., Питер, 2002, 528 с.

22. Воронков И. М. Курс теоретической механики, государственное издательство технико-теоретической литературы, Москва 1957, 596 с.

23. Гил мор Р. Прикладная теория катастроф. Т. 1, 2. М.: Мир, 1984.

24. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний. 2-е изд. М.: Высшая школа, 2001.-392 с.

25. Грейм И. А. Элементы проектирования и расчет механизмов приборов. JL: Машиностроение, 1972. 216 с.

26. Джашитов В.Э., Панкратов В.М., Чеботаревский Ю.В., Голиков А.В.Нелинейная динамика периодически возмущаемых многостепенных математических маятников: учеб. пособие, Саратов: Сарат. гос. техн. унт, 2006. 104с.

27. Длин А. М. Математическая статистика в технике. М.: Госиздат, 1958. 466 с.

28. Драгунов Т.Н. Королев СЛ., Морозов А.Д., О вырожденных резонансах в маятниковых системах. IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Аннотации докладов, Т. I, Нижний Новгород, 22 -28 августа 2006, с. 48.

29. Дынкин Е. Б. Марковские процессы. М.: Физмагиз. 1963. 860 с.

30. Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988, 368 с.

31. Иманкул Т.Ш., Оптимальное управление движением маятника. IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Аннотации докладов, Т. I, Нижний Новгород, 22 28 августа 2006, с. 60.

32. Кадомцев Б. Б. Динамика и информация М.: УФН, 1999. 400 с.

33. Капица П. Л. //ЖЭТФ. 1951. Т. 21. В. 5. с. 588 597.

34. Капица П. Л.//УФН. 1951. Т. 24. В. I.e. 7-20.

35. Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры. М.: ФМЛ, 2003.-496 с.

36. Климов В. Ю. Методы теории нелинейных колебаний.- М.: Наука, 1996.

37. Колмогоров А. Н. Об аналитических методах в теории вероятностей. УМН. 1938. Вып. 5.

38. Коноплев В. А. Уравнения движения носителя динамически несбалансированных маховиков в инерционной среде // Прикл. математика и механика. 1987. Т. 51, N 5. с. 763 766.

39. Кузнецов А.П. Кузнецов С.П. Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. М.: ФМЛ, 2002.-292 с.

40. Леонов Г.А., Странные аттракторы и классическая теория устойчивости движения. IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Аннотации докладов, Т. I, Нижний Новгород, 22 28 августа 2006, с. 81.

41. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении. М.: Мир, 1978.

42. Логовская Е. В., Резников С. С., Чан Нгок Чау. Simulink-моделирование нелинейной системы с двумя степенями свободы, Вестник II межвузовской конференции молодых ученых, Сборник научных трудов, Том 2, СПбГУ ИТМО, 2005, с. 55-58.

43. Лурье А. И. Аналитическая механика, М.,Физматгиз, 1961, 824 с.

44. Мартынеко Ю. Г., Формальский A.M., Управление маятниковыми системами. IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Аннотации докладов, Т. I, Нижний Новгород, 22 28 августа 2006, с. 84.

45. Мельников Г. И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем. Л.: Машиностроение, 1975.

46. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990.

47. Мусалимов В. М., Лертрунгруанг К. Бифукации в механизмах // Изв. вузов. Приборостроение. 2001 . № 2. с. 36 40.

48. Мусалимов В. М. Анализ градиентных сиситем при синтезе точности механизмов // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2001. № I.e. 26-33.

49. Мусалимов В. М. Аналитическая теория точности механических систем // Фундаментальные проблемы теории точности. СПб.: Наука, 2001. с. 36

50. Мусалимов В. М., Петрищев М. С., Чан Нгок Чау. Моделирование нелинейных маятников на вибрирующем основании, Изв. вузов. Приборостроение, 2006, Т. 49, № 7, с. 48 51.

51. Мусалимов В. М., Резников С. С., Чан Нгок Чау. Специальные разделы высшей математики (методическое пособие для преподавателей и студентов). СПб: СПбГУ ИТМО, 2006, 81с.: ил.

52. Неймарк Ю. И, Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.424 с.

53. Пановко Я. Г., Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука, 1971.240 с.

54. Петрищев М. С., Чан Нгок Чау. Динамика нелинейных маятников в условиях магнитных и вибрационных воздействий. IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Т. I, Нижний Новгород, 22-28 августа 2006, с. 95.

55. Петрищев М. С., Чан Нгок Чау. Синтез точности градиентных систем / Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО, Выпуск 28,1 сессия научной школы «Задачи механики и проблемы точности в приборостроении» СПб: СПбГУ ИТМО, 2006, с. 168 - 172.

56. Правоторова Е. А., Сергеев В. И. Основы теории точности механизмов / Основы теории точности машин и приборов. СПб.: Наука, 1993. 232 е., с. 126-177.

57. Светлицкий В.А. Статистическая механика и теория надежности. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2002. - 504 с.

58. Сейранян А. П., Ябуно X., Цумото К. Неустойчивость и периодические движения физического маятника с колеблющейся точкой подвеса (теория и эксперимент). Доклады Академии наук, 2005, том 404, №2, с. 192 197.

59. Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. М.: ДМК-Пресс, 2005. -304с.

60. Сычев В.В. Тема магистерской работы: "Вычисление стохастических характеристик физиологических данных". Пущино, Московская область, Россия, 1999.

61. Теория механизмов и механика машин / К.В. Фролов, С.А. Попов, А.К. Мусатов и др.; Под ред. К.В. Фролова. М.: Высш. шк., 1998. 496 е.: ил.

62. Тихменев С. С. Элементы точных приборов. Руководство по расчету и конструированию. М.: Государственное издательство оборонной промышленности, 1956. 360 с.

63. Томчин Д. А., Фрадков А. Л. Управление прохождением ротора через зону резонанса на основе метода скоростного градиента. Проблемы машиностроения и надежность машин, №5,2005, с. 66 71.

64. Формальский А. М. О стабилизации перевернутого маятника с неподвижной или подвижной точкой подвеса. Доклады Академии наук, 2006, том 406, №2, с. 175- 179.

65. Фридлендер И. Г. Расчеты точности машин при проектировании. Киев -Донецк: Вища школа. Головное изд-во, 1980. - 184 с.

66. Фролов К. В. Взаимодействие нелинейных колебательных систем с источниками энергии. М.: Наука, 1985. - 327 с. - Соавт.: Алифов А. А.

67. Шамберов В.Н., Фрикционные колебания в динамических системах. IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Аннотации докладов, Т. I, Нижний Новгород, 22 28 августа 2006, с. 119.

68. Швыгин А.Л., Об устойчивости маятниковых движений гиростата. IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Аннотации докладов, Т. I, Нижний Новгород, 22 28 августа 2006, с. 120.

69. Шишкин И. Ф. Качество и единство измерений: Учебное пособие. Л.:

70. СЗПИ, 1982, 84 е., 15 ил. Библиогр. 23.

71. Шишкина Е.В., Влияние вибрационного возбуждения на устойчивость систем с распределенными параметрами. IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Аннотации докладов, Т. I, Нижний Новгород, 22 28 августа 2006, с. 120.

72. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Наука, 1988.

73. Butikov, Eugene I. On the dynamic stabilization of an inverted pendulum. American Journal of Physics, Volume 69, No. 6, June 2001, pp. 755-768.

74. Chen G., Dong X. From chaos to order: Perspectives, Methodologies and Applications. Singapore: World Scientific, 1998. 753 p.

75. Ettinger W. J., Bartky W. Basic for determining manufacturing tolerances // Mashinist. 1936. Vol.3, N36.

76. Ewan-Ivanovsky R.M. Resonance oscillations in mechanical systems. Amsterdam: Elsevier, 1976.

77. Pecora L., Caroll T.Synchronization in chaotic systems // Physical Review Letters. 1990. Vol. 64. p. 821 824.

78. Risken H. The Fokker-Planck Equation. Springer Verlad. Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo, 1984. 454 p.

79. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence. Comm. Math. Phys. 20, № 3 (1971), pp. 167-192.

80. Tomchin D, Fradkov A. Modeling and speed-gradient control of passageihthough resonance for the tow-rotor vibration unit // Proc. 20 European Conference on Modeling and Simulation, Bom, Germany, 2006, pp. 501 -506.