автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Динамические стохастические модели в системах оценивания вектора состояния групповых эталонов

На правах рукописи

Ипполитов Александр Александрович

Динамические стохастические модели в системах оценивания вектора состояния групповых эталонов

Специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

9 СЕН 2015

Иркутск - 2014

005562.072

005562072

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего образования «Иркутский национальный исследовательский технический университет» (ФГБОУ ВО «ИРНИТУ»),

Научный руководитель: кандидат технических наук, доцент

Хрусталёв Юрий Петрович

Официальные оппоненты: Зоркальцев Валерий Иванович,

доктор технических наук, профессор, ФГБУН «Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева» Сибирского отделения Российской академии наук, г. Иркутск, лаборатория методов математического моделирования и оптимизации в энергетике, заведующий лабораторией

Толстиков Александр Сергеевич, доктор технических наук, профессор, ФГУП «Сибирский государственный научно -исследовательский институт метрологии», г. Новосибирск, отдел измерения времени, частоты и определения параметров вращения Земли, начальник отдела

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего

профессионального образования «Ангарская

государственная техническая академия» (г. Ангарск)

Защита диссертации состоится «15» октября 2015 г. в 13.00 часов на заседании диссертационного совета Д 218.004.01 на базе ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный университет путей сообщения» (ИрГУПС) по адресу: 664074, г.Иркутск, ул. Чернышевского, 15, ауд. А-803. Тел: (8-3952) 6383-11, (8-3952) 38-76-07, e-mail: mail@irgups.ru.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный университет путей сообщения» и на сайте http://www.irgups.ru.

Автореферат разослан «3» сентября 2015 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета ^ / Данеев Алексей Васильевич

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В целях обеспечения единства время-частотных измерений на территории Российской Федерации функционирует Государственная служба времени, частоты и определения параметров вращения Земли (ГСВЧ РФ), отвечающая за воспроизведение и хранение единиц времени и частоты, а также доведение их до потребителей. Технической основой деятельности ГСВЧ является Государственный эталон единиц времени и частоты и вторичные эталоны. Растущие потребности различных отраслей экономики, связанные, в частности, с развитием отечественной навигационной системы ГЛОНАСС, создают необходимость дальнейшего улучшения точностных характеристик эталонов ГСВЧ РФ.

Повышение точности эталонов времени и частоты связано как с созданием новой аппаратуры, так и с совершенствованием средств автоматизации измерений, выполняемых в процессе функционирования эталона, в том числе - применением более совершенных алгоритмов обработки измерительной информации.

Основной составной частью эталонов времени и частоты является подсистема воспроизведения и хранения физических единиц, состоящая из нескольких хранителей (высокостабильных генераторов периодических сигналов). Один из этих хранителей является опорным. Периодически производятся взаимные измерения относительно опорного генератора. Получаемая измерительная информация представляет собой разности частоты хранителей. На практике чаще используют безразмерную величину - относительное отклонение частоты от приписанного (номинального) значения. В таком случае при функционировании эталона в нём формируются ряды разностей относительных отклонений частоты. Их количество на единицу меньше числа хранителей. Задача обработки таких данных состоит в том, чтобы по имеющимся разностным рядам наблюдений определить относительные отклонения частоты каждого из генераторов от номинального значения. На основании этих результатов формируются поправки к показаниям часов эталона.

Число взаимных измерений, выполняемых в групповом эталоне на каждом такте, меньше количества его элементов, следовательно, речь идёт о линейной недоопределённой системе (системе с неполной матрицей наблюдений).

В работах отечественных и зарубежных авторов (Д.А. Безуглов, A.C. Толстиков, Ю.П. Хрусталёв, С. A. Greenhall, D. W. Allan, D. В. Percival, J.A. Barnes, L. A. Breakiron и др.) проблема вычисления оценок относительных отклонений частоты в групповых эталонах решалась преимущественно на основе усреднения результатов измерений, также имели место исследования, основанные на использовании прогнозирующих моделей, в частности, моделей авторегрессии - скользящего среднего (АРСС). В таких работах не рассматривались многие возникающие проблемы, в том числе задачи идентификации временных рядов и построения прогнозирующих моделей по результатам косвенных измерений (при отсутствии в распоряжении исследователя исходных временных рядов).

Актуальность настоящей работы обусловлена тем, что совершенствование методик обработки измерительной информации позволяет снизить алгоритмическую погрешность эталона и повысить точность хранения единиц времени и частоты. Погрешность оценивания относительных отклонений частоты

может быть снижена при реализации эффективного вычислительного алгоритма, основанного на применении адекватных математических моделей эталона, позволяющих прогнозировать колебания частоты. Прогнозы служат дополнительной информацией при вычислении оценок. В современных условиях успешная реализация такого алгоритма возможна только в форме специализированного программного комплекса для ЭВМ.

Целью работы является снижение погрешности оценивания относительных отклонений частоты групповых эталонов путём разработки алгоритма оценивания, основанного на применении динамических стохастических моделей.

Достижение указанной цели предполагает решение следующих задач:

• разработать математическую модель подсистемы хранения и воспроизведения физических единиц группового эталона, позволяющую вычислять прогнозы относительных отклонений частоты;

• разработать методику и основанный на применении численных методов алгоритм, позволяющий проводить структурную и параметрическую идентификацию прогнозирующих моделей при отсутствии исходных временных рядов (на основе измерительной информации, представленной рядами разностей относительных отклонений частоты генераторов);

• разработать вычислительный алгоритм для получения оценок относительных отклонений частоты в групповых эталонах, основанный на применении прогнозирующих моделей;

• создать программный комплекс, реализующий предложенные алгоритмы;

• оценить погрешность предлагаемых методов с помощью имитационного моделирования и апробировать созданный программный комплекс на реальных данных, полученных в процессе функционирования вторичного эталона времени и частоты ВЭТ 1-5.

Предметом исследования являются методики и алгоритмы оценивания относительных отклонений частоты групповых эталонов времени.

Объектом исследования является подсистема хранения и воспроизведения физических единиц группового эталона времени и частоты.

Теоретические и методические основы исследования. Теоретической основной исследования являлись труды по обработке измерительной информации, анализу и моделированию временных рядов, методам построения математических моделей таких отечественных и зарубежных авторов, как Гамм А.З., Эльясберг П.Е., Бокс Д., Дженкинс Г., Крамер Г., Острем К. и др.

Исследования базировались на использовании методов математической статистики, теории вероятностей, методов оценивания состояния объектов по результатам измерений, анализа временных рядов, вычислительной математики, численных методов поиска экстремума функции многих переменных.

Теоретической основой работы в специальной предметной области служили работы специалистов в области метрологии времени и навигационных систем (Толстиков A.C., Percival D., Rutman J., Breakiron L.A.).

Диссертационное исследование опирается на нормативные акты и государственные стандарты РФ, регламентирующие деятельность в сфере обеспечения единства измерений.

Научную новизну работы составляют следующие результаты, выносимые на защиту:

• методика идентификации структуры математических моделей авторегрессии

- скользящего среднего (АРСС) в линейных недоопределённых системах при отсутствии исходных временных рядов;

• способ применения численных методов оптимизации для нахождения оценок вектора состояния в линейных недоопределённых системах (групповых эталонах);

• алгоритм параметрической идентификации моделей АРСС в недоопределённых системах, основанный на использовании численных методов минимизации целевой функции и позволяющий находить оценки коэффициентов авторегрессии и скользящего среднего для каждого из элементов эталона;

• программный комплекс, реализующий разработанные методики и алгоритмы.

Практическая значимость состоит в том, что:

1. Разработанный в диссертации программный комплекс позволяет получать оценки относительных отклонений частоты водородных генераторов, входящих в групповой эталон времени и частоты, в режиме накопления данных, а также в режиме динамической обработки результатов измерений, получаемых на суточных интервалах. На основе полученных рядов оценок относительных отклонений частоты строится автономная шкала времени вторичного эталона.

2. Предложенная методика структурной идентификации моделей авторегрессии

- скользящего среднего в системах с неполной матрицей наблюдений позволяет строить математические модели эталона времени и частоты (подсистемы хранения и воспроизведения единиц) без привлечения информации, получаемой по каналу внешних сличений эталона.

3. Результаты диссертационной работы используются в процессе эксплуатации вторичного эталона ВЭТ 1-5, что позволяет уменьшить погрешность получаемых оценок относительных отклонений частоты водородных стандартов на 8-Н0%, повышая тем самым точность воспроизведения единиц времени и частоты.

Личный вклад. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5] и являются оригинальными. Автор принимал непосредственное участие в написании статей и подготовке докладов. Численные эксперименты и обработка их результатов выполнены автором, включая определение методов и средств решения задач, непосредственные вычисления и анализ полученных данных. Программное обеспечение полностью самостоятельно разработано автором, включая планирование структуры приложения, написание кода, его отладку и тестирование.

Достоверность научных положений и результатов диссертации обоснована теоретически и подтверждена проведёнными экспериментами. Исследована адекватность построенных моделей, выполнено сопоставление полученных рядов оценок с данными внешних сличений вторичного эталона.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

• XV Байкальской Всероссийской конференции "Информационные и математические технологии в науке и управлении" (доклад "Субоптимальная фильтрация в системах с неполной матрицей наблюдений") - Иркутск, 2010;

• IV Всероссийской конференции "Винеровские чтения" (доклад "Построение стохастических моделей динамических систем при неизвестной их структуре") -Иркутск, 2011;

• Конкурсе научно-инновационных проектов Всероссийского Фестиваля Науки -Иркутск, 2011 г.

Публикации. По результатам настоящей диссертации опубликовано 6 научных работ, из них 4 - в журналах, рекомендованных ВАК РФ для опубликования научных результатов диссертаций на соискание учёной степени кандидата технических наук; получено 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. При этом одна работа опубликована соискателем в журнале из списка ВАК без соавторов.

Объём и структура диссертации. Диссертационная работа содержит 165 страниц текста, 49 рисунков, 13 таблиц и состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы из 104 названий, а также 5 приложений.

Основное содержание работы

Во введении дана общая характеристика работы и обоснована её актуальность, сформулированы цель и задачи исследования. Определена научная новизна и практическая значимость выполненных исследований. Раскрыто основное содержание диссертационной работы.

В Главе 1 приведены сведения о Государственной службе времени, частоты и определения параметров вращения Земли (ГСВЧ РФ). Рассмотрена структура групповых эталонов времени и частоты, выполняемых в них измерениях. Перечислены основные задачи в области обеспечения единства измерений частоты и времени, подходы к их решению (в т.ч., связанные с функционированием глобальных навигационных систем - ГЛОНАСС и GPS). Приведены основные сведения о структуре отечественных эталонов. Описан состав и характеристики вторичного эталона ВЭТ 1-5, на базе которого выполнялась данная работа.

Наиболее точным средством хранения единиц времени и частоты в РФ является Государственный эталон. Для распространения его точностных характеристик по территории страны действует сеть вторичных эталонов и организована передача размеров единиц по цепочке: Государственный эталон -эталон-копия - вторичные эталоны - рабочие эталоны на объектах.

Одним из вторичных эталонов является эталон ВЭТ 1-5, действующий на базе ВСФ ВНИИФТРИ в г. Иркутске и предназначенный для передачи размеров единиц частоты и времени рабочим эталонам и рабочим средствам измерений восточных регионов России. Основной составляющей частью эталона ВЭТ 1-5 является аппаратура хранения размеров единиц частоты и времени, включающая (к моменту выполнения работы) шесть водородных генераторов: 41-75А (4 шт.), Ч1-70М (1 шт.), 41-70 (1 шт.) с системами автоматической настройки резонаторов.

Лучшие приборы комплекса характеризуются суточной нестабильностью частоты, не превышающей 1 • 10~15.

Водородные генераторы в групповом эталоне объединены измерительной системой, реализующей схему измерений частоты "каждый с опорным". Выходной сигнал генератора имеет синусоидальную форму. Частота этой синусоиды в момент времени г может быть представлена как сумма номинальной частоты /0 и отклонения от номинального значения Д/ :

/(0=/о+д/(0. (1)

Для удобства используют безразмерную величину, называемую относительным отклонением частоты (Д///0). Знание относительного отклонения частоты позволяет скомпенсировать его влияние на показания часов введением соответствующих поправок.

Введём также следующие обозначения: относительное отклонение частоты

У , его оценка - у , измеренные разности относительных отклонений частоты Ъ,

оценки разностей - Z, количество генераторов в составе эталона - И, объём выборки (длина временного ряда) - п, дискретный момент времени (такт) -1.

Опорным является генератор под номером 1: Уоп — у,.

Эталоны времени и частоты могут рассматриваться как линейные динамические системы с неполной матрицей наблюдений (недоопределённые системы). Используемая в них схема измерений приводит к системе уравнений, в которой количество измерений г, на единицу меньше числа оцениваемых параметров у, (рис. 1).

Рис. 1 - Упрощённая структурная схема измерений Оценка вектора У = (у,,у,,...,для групповых эталонов может быть вычислена по методу наименьших квадратов (МНК), что приводит к распространённому алгоритму среднего арифметического, т.е. к выражениям вида:

й=Т71Х (2)

Л/ М

Погрешность такой оценки стремится к нулю на каждом такте обработки данных при стремлении к нулю суммы всех относительных отклонений частоты, что является весьма жёстким аппаратным требованием и может быть обеспечено лишь увеличением числа хранителей. Это является весьма значительным недостатком существующих алгоритмов, основанных на использовании среднего арифметического в качестве оценки.

Повысить точность оценивания можно при реализации динамического подхода к обработке информации, когда кроме измерений, выполненных на текущем такте, учитываются и результаты предшествующих тактов. Предыстория процесса описывается теми или иными математическими моделями, а состояние процесса представляется как сумма прогноза вектора состояния и ошибки прогноза. При этом погрешность оценивания зависит от качества прогнозов и может быть уменьшена за счёт его улучшения. Таким образом, можно снизить погрешности оценивания относительных отклонений частоты и улучшить характеристики существующих групповых эталонов времени.

В Главе 2 рассмотрен численный метод оценивания относительных отклонений частоты водородных стандартов, входящих в групповой эталон времени, и основанная на его применении методика, позволяющая реализовать соответствующее программное обеспечение. Приведены краткие сведения о задачах оценивания вектора состояния и идентификации математических моделей. Предложено использовать для прогнозирования вектора состояния группового эталона модели авторегрессии - скользящего среднего (АРСС), создана методика структурной идентификации таких моделей в недоопределённых системах. Разработан алгоритм оценивания вектора состояния, основанный на решении численными методами задачи оптимизации целевой функции многих переменных.

Динамика водородных генераторов частоты может быть описана уравнениями авторегрессии-скользящего среднего (АРСС) вида

У, =Ф\У,-\ +Ф2У,-1 +-+Фру,-р +...+ в,а,_я, (3)

где ф., в 1 - коэффициенты авторегрессии и скользящего среднего; р ид- порядки процессов авторегрессии и скользящего среднего; а, - белый гауссов шум.

Использование прогнозов относительных отклонений частоты в качестве дополнительного канала наблюдения приводит к следующей формуле для оценки относительного отклонения частоты опорного элемента эталона на момент времени г:

N N

Уо„ = X У о. ~ У+ Я.,-, 1 = 1>, [г, + ] (4)

1-1 1-1

где у,.,., _ прогноз, вычисленный на предыдущем такте; "вес" ¡-го хранителя (далее принимаются равными: м. = \/N).

Оценки для остальных элементов вычисляются как:

Уj=Уí-ZJ (5)

Прогноз на каждом шаге вычисляется с использованием выражения (3). Оценки относительных отклонений частоты находятся путём минимизации суммы квадратов отклонений результатов измерений гц от их прогнозов г,,

вычисленных на предыдущих тактах обработки данных, т.е. при минимизации функционала вида

7->^+1)]2 (6)

>1 ¿=1

Минимизация функционала (6) осуществляется методом градиентного спуска с дроблением шага. В результате выполнения данной процедуры также

находятся оптимальные (в смысле минимизации суммы квадратов ошибок прогноза) оценки параметров моделей. Таким образом, создан итеративный алгоритм, объединяющий в себе процедуру идентификации моделей АРСС и процедуру оценивания вектора состояния. В работе показано, что предложенный алгоритм можно отнести к классу алгоритмов субоптимальной калмановской фильтрации.

Классическая методика построения моделей АРСС (методика Бокса-Дженкинса) основывается на анализе автокорреляционной (АКФ) и частной автокорреляционной (ЧАКФ) функций исходных временных рядов для идентификации структуры прогнозирующих моделей, т.е. порядков авторегрессии р и скользящего среднего ц. Результаты измерений, выполняемых в эталоне содержат только ряды разностей частот, т.е. не позволяют непосредственно использовать классический подход идентификации структуры моделей.

В работе предложены два оригинальных подхода к решению данной проблемы. Первый из них основан на последовательном наращивании порядков р и q до заданных максимальных значений и последующем выборе оптимальной модели по заданному критерию. Такой подход ведёт к полностью автоматической, но достаточно ресурсоёмкой процедуре.

Альтернативный подход основан на использовании рядов предварительных оценок относительных отклонений частоты водородных стандартов. Методика структурной идентификации и вычисления оценок состоит из следующих этапов:

1. По имеющимся рядам взаимных измерений на основе выражений (2), (5) вычисляются предварительные оценки относительных отклонений частоты для каждого момента / (/ = 1, л).

2. Выполняется структурная идентификация моделей АРСС по методике Бокса-Дженкинса с использованием в качестве "исходных" рядов вычисленных предварительных оценок.

3. На основе полученных структур моделей путём минимизации функционала (6) строятся уточнённые оценки с использованием соотношения (5). Таким образом, в настоящей работе впервые решена задача построения

моделей АРСС по результатам косвенных измерений, при отсутствии исходных временных рядов. Задача оценивания относительных отклонений частоты при этом решается с использованием численных методов оптимизации как задача поиска экстремума функции многих переменных. Кроме того, на этапе 2 методики могут быть найдены начальные приближения для параметров моделей, что позволяет существенно ускорить сходимость численной процедуры на этапе 3.

В работе рассмотрена проблема оценивания относительных отклонений частоты при наличии в рядах измерений детерминированных трендов, влияние которых требуется устранить. Измерения предолагается рассматривать как сумму стохастической и детерминированной составляющих. Сложность оценивания детерминированных составляющих состоит в том, что они также образуют недоопределённую систему линейных уравнений вида:

где Ь[ - угол наклона линейной функции для ряда у\\ с/, - угол наклона линейной функции для ряда ц.

(7)

При отсутствии априорной информации о трендах, методом градиентного спуска минимизируется функционал 1Т вида

(В)

;=] ,=1

Для снижения погрешности целесообразно привлечь дополнительную информацию о параметрах тренда, получаемую по каналам внешних сличений.

В результате проведённых исследований предложена методика оценивания относительных отклонений частоты водородных стандартов в групповом эталоне, состоящая из следующих этапов:

1. Выявляются детерминированные (линейные) тренды рядов относительных отклонений частоты водородных генераторов. При необходимости выполняется оптимизация функционала (8).

2. Из рядов взаимных измерений устраняется влияние трендов.

3. По полученным скорректированным рядам измерений находятся предварительные МНК-оценки значений относительных отклонений частоты элементов эталона для всех моментов времени на основе выражений (2), (5).

4. Найденные ряды МНК-оценок относительных отклонений частот генераторов используются для построения моделей АРСС по процедуре Бокса-Дженкинса. Построенные модели используются в качестве первого приближения в процедуре минимизации функционала (6).

5. Минимизируется функционал (6). При этом на каждом шаге оценка состояния опорного элемента находится из соотношения (4), а прогноз состояния на следующий шаг вычисляется как (3). Для остальных элементов оценки находятся посредством выражения (5).

6. Полученные ряды оценок корректируются с учётом трендов. Погрешность оценки относительного отклонения частоты опорного

генератора при использовании оценок среднего арифметического (МНК-оценок) на текущем такте / находится как:

| N ^ N ^ Л'

А1 = Уоп - Уоп = Уоп " —= У'оп -—ЩУоп - У,-) =—(9)

Для алгоритма взвешенного среднего справедливо соотношение А2=^1>,У,- (Ю)

Г\ 1=1

При использовании предложенной методики, основанной на применении прогнозирующих моделей, погрешность оценивания выражается

Аз =2>,Ь',-У,.,-,]• (П)

(-1

Таким образом, предлагаемая методика позволяет снизить погрешность оценивания вектора состояния групповых эталонов времени и частоты в сравнении с применяемыми в настоящее время алгоритмами, основанными на методе среднего арифметического. Методика избавлена от необходимости применения неформализованных процедур и привлечения сторонней информации при построении моделей, отличается высокой степенью автоматизации и

позволяет унифицировать процедуры обработки измерительной информации различных подразделений ГСВЧ.

В Главе 3 описан разработанный в процессе выполнения настоящей работы программный комплекс для оценивания относительных отклонений частоты в групповых эталонах времени и частоты.

Потребность в разработке программного комплекса обусловлена вычислительной ёмкостью созданных алгоритмов и необходимостью их тестирования и испытания - как в режиме моделирования, так и при работе с реальными данными, полученными в эталоне ВЭТ 1-5. Диаграмма процесса оценивания относительных отклонений частоты приведена на рис. 2.

Рис. 2 — Диаграмма процесса оценивания относительных отклонений частоты с помощью программного комплекса (декомпозиция)

Программный продукт обладает достаточной гибкостью для обеспечения исследовательской работы и дальнейшего внедрения в аппаратно-программные комплексы ГСВЧ, программная инфраструктура которых неоднородна и создана в разные периоды на различных платформах (как Windows, так и *шх-системы). Это достигнуто применением кроссплатформенного интерпретируемого языка программирования Perl. Вся логика пользовательского взаимодействия содержится в единственном головном модуле, и при его исключении программный комплекс может быть использован как библиотека функций для интеграции в иные продукты.

С целью снижения трудозатрат, интерфейс приложения выполнен текстовым ("консольным"). Задача визуализации результатов экспериментов возложена на пакет StatSoft Statistica, интегрированный с использованием технологии OLE посредством модуля Win32::OLE. Результаты работы программы выводятся в текстовые файлы, кроме того, часть сервисной информации выводится в поток стандартного вывода. Размерность обрабатываемых данных ограничена только системными ресурсами и возможностями интерпретатора.

Оценивание и исключение из рядов взаимных измерений линейных трендов (в случае их наличия) осуществляется по заданным априорным сведениям о них. Для этого реализована процедура "дооценивания" тренда, основанная на минимизации функционала (8) методом градиентного спуска.

В программном комплексе реализованы обе предложенные методики структурной идентификации моделей. Оператор может анализировать АКФ и ЧАКФ рядов в окне пакета StatSoft Statistica, либо воспользоваться возможностями экспорта данных для использования иных инструментов.

Оценка относительного отклонения частоты опорного генератора на каждом такте t работы алгоритма находится согласно выражению (4). Прогнозы у на следующий шаг (t+1) для каждого из генераторов вычисляется по формуле (3). Указанные вычисления производятся в составе процедуры численной минимизации функционала (6) методом градиентного спуска, в её же составе реализована и параметрическая идентификация моделей. Процедура является итеративной: в процессе идентификации моделей используются результаты предыдущего цикла оценивания вектора состояния, оценки на следующем цикле в свою очередь строятся на основании скорректированных моделей. Ошибка прогноза предыдущего шага расценивается, как остаточный член я,./ на следующем.

Минимизация функционала (6) осуществляется методом градиентного спуска с дроблением шага. В результате численного дифференцирования (по методу двух точек) находится градиент функционала I:

' 51 51 51 51 N

5<рг'Щ""'89,

Вычисляется евклидова норма градиента:

Vl{<p„...<pp,ev...9q)=

(12)

1И2=.

Г 51 > 2 А

+У

UpJ {sej

Используя градиент и норму градиента, направлении антиградиента:

С, .¿->._ V, |('

(13)

выполняется очередной шаг в

V/,. [с.

(14)

где Я1=Л - величина шага, С =

Если заданная точность не достигнута после предельного числа итераций -считается, что структурная идентификация, по крайней мере, одного временного ряда проведена неудачно, процедура не сходится и её следует прервать.

Таким образом, реализован вычислительный алгоритм, позволяющий находить оценки относительных отклонений частоты водородных генераторов, а также оценки параметров моделей АРСС для элементов группового эталона по результатам косвенных измерений.

Для исследования эффективности алгоритма методом имитационного моделирования в программный комплекс встроен модуль генерации временных рядов. Он обеспечивает создание синтетической измерительной информации на основе модели подсистемы хранения единиц физических величин эталона. Модель

подсистемы основана на моделях АРСС генераторов и позволяет строить ряды z"" с заданными характеристиками детерминированной у"р и стохастической у" составляющих. При использовании программного комплекса пользователь может ввести реальные данные из файлов, либо воспользоваться сгенерированными на основе модели временными рядами. В последнем случае предоставляется возможность сопоставить "истинные" данные у"" с вычисленными оценками у.. Структура системы моделирования отражена на рис. 3.

Основными функциями разработанного программного комплекса являются:

1. Генерация данных по заданным моделям АРСС и характеристикам детерминированной составляющей рядов.

2. Ввод реальных или ранее сгенерированных данных из файла.

3. Выявление и исключение линейных трендов из исходных данных.

4. Построение оценок по методу среднего арифметического (МНК-оценок).

5. Идентификация порядка моделей АРСС:

• способом наращивания порядков моделей,

• с использованием предварительных МНК-оценок.

6. Построение оценок относительных отклонений частот с использованием моделей АРСС:

• подгонка моделей методом градиентного спуска:

• с нулевыми начальными приближениями,

• с начальными приближениями, полученными по рядам МНК-оценок.

• оценивание относительных отклонений частоты группового эталона.

7. Вывод промежуточных и окончательных результатов в файлы и на экран.

8. Экспорт промежуточных и окончательных результатов в ППП StatSoft Statistica.

J II

:< [

II

Генерация стохастических составляющих

Уи у"> Улы, У Nj

Наложение линейных трендов

>i.

Уи

У ,V-I J

Вычисление разностных рядов

С zZ" V,,

Алгоритм оценивания:

• удаление трендов

• определение структуры моделей

• оценивание состояния

• восстановление трендов

Уи

У 2л

Уды

Ул

1

Y'"

Сравнение Y с Y""

Рис. 3 — Структурная схема системы моделирования

Разработанный программный комплекс для оценивания состояния эталонов времени и частоты по результатам взаимных измерений внедрён в деятельность Службы времени ВСФ ВНИИФТРИ. Пройдена процедура регистрации данного программного средства, получено Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012617062. Имеется ряд направлений для дальнейшего развития данного продукта.

Глава 4 посвящена описанию машинных экспериментов, направленных на моделирование процессов оценивания вектора состояния эталонов времени и частоты, а также исследование точности созданного алгоритма при работе с реальными данными вторичного эталона ВЭТ 1-5.

При рассмотрении процедуры оценивания линейных трендов и устранения их влияния из рядов наблюдений исследованы ситуации, возникающие при априорно известных (в т.ч. с погрешностью) коэффициентах угла наклона линейного тренда. Показано, что погрешность определения коэффициентов угла наклона линейных трендов может приводить к значительному увеличению общей погрешности оценивания вектора состояния эталона.

При моделировании предложенных методик определения структуры прогнозирующих моделей (порядков авторегрессии р и скользящего среднего д) подтверждены существенные преимущества подхода, основанного на использовании рядов предварительных МНК-оценок вектора состояния эталона. Альтернативная процедура, состоящая в последовательном увеличении порядков р и # с последующим выбором оптимальной структуры на основе заданного критерия, обладает существенно более высокой вычислительной ёмкостью (ориентировочно в 15-30 раз, в зависимости от объёма выборки).

Результаты моделирования процедуры оценивания вектора состояния недоопределённых систем, включающей в себя этап параметрической идентификации моделей, рассмотрены на примере ряда машинных экспериментов. Описан эксперимент, включавший в себя построение оценок для данных, не содержащих детерминированных трендов, при известной структуре моделей. Фрагменты исходного сгенерированного в процессе эксперимента ряда и ряда оценок для опорного генератора приведены на рис. 4.

Следующий численный эксперимент направлен на более полное исследование процедуры оценивания, включая как структурную идентификацию моделей (анализ АКФ и ЧАКФ рядов МНК-оценок), так и собственно этап оценивания. Проверка с использованием критерия х показала, что ряды остатков имеют нормальное распределение.

По результатам проведённых машинных экспериментов установлено, что за счёт использования прогнозов точность получаемых оценок вектора состояния может быть увеличена (по сравнению с алгоритмами, использующими МНК-оценки) на 40%.

Подробно исследована работа созданного алгоритма при обработке реальных данных - результатов взаимных измерений, выполняемых во вторичном эталоне ВЭТ 1-5 ВСФ ВНИИФТРИ (г. Иркутск).

-0,1

50 85 80 95 110 120

Рис. 4 - Исходный ряд значений №1 (сплошная линия) и ряд оценок (пунктир)

Были подвергнуты обработке данные, полученные на суточных интервалах за 3 месяца (с ноября 2011 года по январь 2012 года включительно). Использовались данные, полученные в результате функционирования пяти водородных стандартов частоты (четыре ряда взаимных измерений: ВС226-ВС225, ВС226-ВС227, ВС226-ВС228, ВС226-ВС221), а также результаты сличений ВЭТ 1-5 с Государственным эталоном за тот же период. Изучение этих рядов (рис. 5) показало наличие квадратичного тренда одного из генераторов (указанный генератор в рассматриваемый период находился на этапе ввода в эксплуатацию).

Выполнен анализ результатов применения процедуры оценивания и исключения трендов к рядам реальных данных. Сравнение результатов оценивания коэффициента угла наклона тренда по 1/3, 2/3 и всему ряду измерений, а также с использованием внешних сличений показало, что наилучший результат достигается с применением рядов внешних сличений. Таким образом, подтверждён вывод о необходимости наличия априорных сведений о детерминированных составляющих рядов для повышения точности оценивания.

хЮ"'5

200 100 0 -100 -200

ряд №2^

рад №4

««-».Ц, ряд №1

ряд №3

с, сут

0 15 30 45 60 75 90

Рис. 5 - Ряды взаимных измерений эталона: №1 - ВС226-ВС225; №2 - ВС226-ВС227; №3 - ВС226-ВС228; №4 - ВС226-ВС221

В ходе выполнения работы построены следующие модели трендов частоты водородных стандартов:

У™" =74,24372- 0,03905 -Г;

ут2" =42,23188-0, П 779-г;

3>7 = -78,2389+0.0333 • (I - 34,9708)2;

5>7 =-1,33149+2,70163-Г;

3>7 =-46,9604-0.1084-Г = 1,2,... ,90).

При рассмотрении результатов структурной идентификации моделей АРСС подробно исследована методика идентификации, основанная на использовании рядов предварительных МНК-оценок. Изучение АКФ и ЧАКФ рядов МНК-оценок относительных отклонений частоты показало, что процессы, формирующие данные ряды, являются процессами авторегрессии первого и второго порядков. Применение предложенной методики структурной идентификации к реальным временным рядам дало результаты, сопоставимые с результатами моделирования.

В работе рассмотрены результаты испытания методики оценивания состояния недоопределённых систем на реальных данных. Графики рядов оценок с исключёнными трендами приведены на рис. 6.

Исследование быстродействия алгоритма показало, что время, затраченное на выполнение процедуры оценивания с использованием начальных оценок параметров моделей АРСС, вычисленных на основе рядов МНК-оценок, существенно сокращается в сравнении с использованием нулевых начальных приближений (более чем в 2,8 раза).

х 10

16 12

ряд №2

оо° V

ряд № 1

ряд №3

Л

о

-4

-12

"ой

1 \ряд№4

15

30

45

ряд №5 60

, сут

75

90

Рис. 6 - Ряды уточнённых оценок частот генераторов (без трендов): 1 - ВС226, 2 - ВС225, 3 - ВС227, 4 - ВС228, 5 - ВС221

Использование процедур, реализующих предложенную автором методику, при анализе реальных данных с устранением влияния детерминированных трендов позволяет снизить погрешность оценивания по крайней мере на 9% (по результатам сличения вторичного эталона ВЭТ 1-5 с Государственным эталоном). Вместе с тем, эффект, достигаемый за счёт внедрения разработанной методики, может быть ещё выше, поскольку полученные расхождения с Государственным эталоном включают в себя погрешности воспроизведения времени и частоты самого Государственного эталона и погрешности, вносимые в канале сличения.

Результаты работы по проверке работоспособности предлагаемых алгоритмов оценивания обсуждались и согласовывались с ведущими специалистами Службы времени ВСФ ВНИИФТРИ.

В заключении кратко изложены основные результаты диссертационной работы и определены основные перспективы дальнейшей деятельности по развитию и применению созданной методики и программного продукта.

Основные результаты работы

В соответствии с целью исследования, в диссертационной работе решена задача снижения погрешности оценивания относительных отклонений частоты водородных стандартов, имеющая существенное значение для обеспечения единства измерений времени и частоты. Получены следующие результаты:

1. Создана математическая модель подсистемы хранения и воспроизведения физических единиц группового эталона времени и частоты, позволяющая получать прогнозы относительных отклонений частоты для каждого генератора. На её основе разработана методика определения относительных отклонений частоты группового эталона.

2. Разработана методика структурной идентификации моделей авторегрессии -скользящего среднего (АРСС) по результатам косвенных измерений, а также основанный на применении численных методов алгоритм их параметрической идентификации.

3. Разработан вычислительный алгоритм для определения относительных отклонений частоты элементов группового эталона по результатам измерений, выполняемых в процессе его функционирования. Методика позволяет снизить погрешность получаемых оценок вектора состояния эталона по сравнению с применявшимися ранее алгоритмами.

4. На основе разработанных алгоритмов, создан специализированный программный комплекс для оценивания относительных отклонений частоты в групповых эталонах. Программный комплекс внедрён в деятельность Службы времени ВСФ ВНИИФТРИ.

5. Произведена оценка точности предложенных алгоритмов методами математического моделирования. Созданный программный комплекс апробирован на реальных данных вторичного эталона времени и частоты ВЭТ 1-5.

Список публикаций по теме диссертации Издания, рекомендованные ВАК РФ

1. Ипполитов, A.A. Обработка данных, полученных по результатам взаимных измерений вторичного эталона времени и частоты / A.A. Ипполитов, Ю.П. Хрусталёв, В.М. Акулов, Л.Н. Курышева // Вестник ИрГТУ - Иркутск: ИрГТУ, 2012,-№7.-С. 22-28.

2. Хрусталёв, Ю.П. Повышение точности оценивания относительных отклонений частоты группового эталона / Ю.П. Хрусталёв, В.М. Акулов, A.A. Ипполитов, Л.Н. Курышева // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование - Иркутск: ИрГУПС, 2013. -№ 1 (37). - С. 148-153.

3. Хрусталёв, Ю.П. Построение динамических стохастических моделей, используемых при решении задач оценивания состояния групповых эталонов /

Ю.П. Хрусталёв, A.A. Ипполитов // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование - Иркутск: ИрГУПС, 2013. -№1 (37). - С. 48-54.

4. Ипполитов, A.A. Программный комплекс для оценивания состояния эталонов времени и частоты по результатам взаимных измерений / A.A. Ипполитов // Вестник ИрГТУ - Иркутск: ИрГТУ, 2013. - № 3. - С. 24-31.

Другие издания

5. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012617062 от 7 августа 2012 года. Программный комплекс для оценивания состояния эталонов времени и частоты по результатам взаимных измерений эталона (версия 1.0). / Ипполитов A.A., Хрусталёв Ю.П. // Федеральная служба по интеллектуальной собственности. - 2012.

6. Ипполитов, A.A. Субоптимальная фильтрация в системах с неполной матрицей наблюдений / A.A. Ипполитов, Ю.П. Хрусталёв // Труды XV Байкальской Всероссийской конференции "Информационные и математические технологии в науке и управлении" : сб. ст. - Ч. I. - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2010. - С. 174-182.

7. Ипполитов, A.A. Построение стохастических моделей динамических систем при неизвестной их структуре / A.A. Ипполитов // Винеровские чтения. Труды IV Всероссийской конференции : сб. ст. - Ч. 1 - Иркутск: ИрГТУ, 2011. - С. 136-141.

Подписано в печать 09.07.2015. Формат 60 х 90 / 16. Бумага офсетная. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,5. Тираж 100 экз. Зак. 32 к.

Отпечатано в издательстве ФГБОУ ВО «Иркутский национальный исследовательский технический университет» 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83