автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Диффузионные модели со случайным переключением параметров. Расчёты и приложения

На правах рукописи

ДАНИЛОВА НАТАЛЬЯ ВИКТОРОВНА

ДИФФУЗИОННЫЕ МОДЕЛИ СО СЛУЧАЙНЫМ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЕМ ПАРАМЕТРОВ. РАСЧЁТЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ

специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических

наук

Ростов-на-Дону - 2010

4841050

Работа выполнена в федеральном государственном образовательном учреждении высшего профессионального «Южный федеральный университет» (ЮФУ)

автономном образования

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Белявский Григорий Исаакович Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Угольницкий Геннадий Анатольевич

кандидат физико-математических наук, доцент Кудрявцев Олег Евгеньевич

Ведущая организация - Самарский государственный университет

Защита диссертации состоится 40.02.2(М .вЩОб на заседании диссертационного совета Д 212.208.22 при Таганрогском технологическом институте ЮФУ по адресу: 347922, Ростовская обл., г. Таганрог, ул. Чехова, 22.

Автореферат разослан ,

С. диссертацией можн$^ нальной научной библиотеке

ЮФУ.

Учёный секретар! диссертационного АефёМ ШШ^е/З'ММ//1 / А.Н.Целых

Общая характеристика работы.

Актуальность темы.

Отметим, что в последние сорок лет наблюдается бурное развитие методов стохастического анализа, связанных с математическим моделированием многих важных процессов, протекающих в различных сферах: от финансовых рынков до трафиков компьютерных сетей. В основе многих исследований этого направления лежит теория случайных процессов и теория мартингалов. В нашей стране глубокие результаты, связанные с теорией мартингалов и методами стохастического анализа, получены членом-корреспондентом РАН, профессором А.Н.Ширяевым, его учениками и участниками руководимых им научных семинаров в Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН и Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова. В список этих учёных входят А.А.Гущин, Ю.М.Кабанов, Д.О.Крамков, А.В.Мельников, А.А.Новиков, В.Н. Тутубалин, В.М. Хаметов, A.C.Чёрный и др. На юге России в указанном направлении активно работают Г.И.Белявский, И.В.Павлов, Д.Б.Рохлин и др. Среди иностранных учёных выделим Ф. Делбаена, Ж.Жакода, Д.Зондермана, М.Йора, И. Каратзаса, М.Мадана, Ю.Мишуру, К. Стрикера, X. Фельмера, В. Шахермайера, А. Шида, С. Шрива.

Уравнение Блэка-Шоулса является одним из значительных в стохастическом анализе. Его решением является экспоненциальный процесс, принимающий по своему определению неотрицательные значения. Данный процесс может использоваться при описании флуктуации цен акций, трафика и во многих других реальных ситуациях.

Для лучшего описания динамики различных явлений требуются более сложные модели, например, с изменяющимися в случайные моменты времени параметрами. Поэтому в диссертации рассматриваются стохастические дифференциальные уравнения с изменяющимися в случайные моменты времени коэффициентами, и приводятся различные алгоритмы решения

связанных с ними оптимизационных задач. Данные алгоритмы полностью обоснованы и реализованы в программном обеспечении, что делает работу актуальной как в теоретическом, так и в прикладном аспектах.

Объектами исследования настоящей диссертации являются модели, связанные со стохастическими дифференциальными и стохастическими разностными уравнениями, а также вычислительные алгоритмы и программные комплексы. Цель работы.

Целью диссертационной работы является получение и реализация алгоритмов решения задач, связанных со стохастическими дифференциальными уравнениями с изменяющимися в случайные моменты времени параметрами. Для этого потребовалось решить следующие задачи:

1) построить модель, описываемую стохастическими дифференциальными уравнениями с изменяющимися в случайные моменты времени параметрами;

2) разработать численные методы нахождения решений задач, связанных с данными уравнениями;

3) создать программный комплекс, реализующий эти вычисления.

Методика исследований.

При решении перечисленных задач применялись методы и результаты теории вероятностей, стохастического анализа и теории мартингалов, методы решения оптимизационных задач, теория алгоритмов и структур данных. В качестве основного алгоритмического языка выбран объектно-ориентированный язык С++. Научная новизна.

Построены и полностью изучены новые модели, основанные на стохастических дифференциальных уравнениях с изменяющимися в случайные моменты времени параметрами. Предложены алгоритмы решения задач,

связанных с данными уравнениями. Приводятся приложения данных алгоритмов к финансовой математике. Основные положения, выносимые на защиту:

1) Модели с изменяющимися в случайные моменты времени параметрами и их анализ. Численные методы решения оптимизационных задач для рассматриваемых моделей, использующие аналитический подход, метод аппроксимации, метод Монте-Карло.

2) Модели с двумя источниками случайности и их анализ. Численные методы решения оптимизационных задач для рассматриваемых моделей, использующие метод нахождения оптимальной меры в случае среднеквадратического критерия.

3) Параллельные алгоритмы решения оптимизационных задач.

4) Программная реализация алгоритмов. Теоретическая и практическая ценность.

Полученные в работе теоремы представляют ценность для развития аппарата стохастического анализа в приложении к решению оптимизационных задач математического моделирования на траекториях. Результаты диссертации могут быть применены при работе на рынке ценных бумаг для построения хеджей в случае Европейских и Американских платёжных обязательств. Полученные в работе алгоритмы могут быть использованы и в других сферах человеческой деятельности при решении задач математического моделирования, использующих стохастические дифференциальные уравнения.

Достоверность результатов работы подтверждается

1) строгими доказательствами, результатами моделирования и обработки данных;

2) апробацией результатов на всероссийских, международных конференциях и научных семинарах.

Реализация результатов работы.

Полученные в работе теоретические и практические результаты применяются в образовательном процессе при чтении курса «Финансовая математика» на кафедре «Высшая математика и исследование операций» факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета (ЮФУ). Диссертация поддержана ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» Г/К 02.740.11.0208. Полученный в работе программный комплекс «Программная реализация параллельного метода расчёта оптимальных стратегий на бинарном графе» присутствует в фонде компьютерных изданий ЮФУ (per. №555). Апробация работы.

Результаты, относящиеся к диссертации, были изложены автором на следующих международных, всероссийских и региональных научных конференциях и семинарах:

1. Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Конференция проводилась с 9 по 15 сентября 2008 года в пос. Абрау-Дюрсо. Название доклада «Об оптимальной стратегии мягкого скупщика акций».

2. Научно-практическая конференция «Неделя науки». Конференция проводилась с 20 по 27 апреля 2008 года в ЮФУ (г. Ростов-на-Дону). Название доклада «Различные виды хеджирования для класса моделей неполных рынков».

3. Международный Российско-Абхазский симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Симпозиум проводился с 1 по 8 мая 2009 года в Сухуми. Название доклада «Преобразование Эшера для одной модели неполного рынка с двумя источниками случайности».

Международная научно-практическая конференция «Инфоком-2009». Конференция проводилась с 10 по 11 мая 2009 года в Северо-Кавказском филиале Московского технического университета связи и информатики (г. Ростов-на-Дону). Название доклада «Теорема Гирсанова для одной модели в непрерывном времени».

Всероссийская научно-практическая конференция «Транспорт-2009». Конференция проводилась с 20 по 22 апреля 2009 года в Ростовском государственном университете путей сообщения. Название доклада «Теорема Гирсанова для одной модели неполного рынка с двумя источниками случайности». Десятый Всероссийский Симпозиум по прикладной и промышленной математике (осенняя открытая сессия). Конференция проводилась с 16 по 23 октября 2009 года в г. Сочи-Дагомыс. Название доклада «Об одной общей бинарной модели (В,5)-рынка».

Одиннадцатый Всероссийский Симпозиум по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия). Конференция проводилась с 1 по 8 мая 2010 года в г. Кисловодске. Название доклада «Об одной модели (В,8)-рынка со случайным изменением коэффициента тренда».

Двенадцатый Всероссийский Симпозиум по прикладной и промышленной математике (осенняя открытая сессия). Конференция проводилась с 16 по 23 октября 2010 года в г. Сочи-Дагомыс. Название доклада «Расчёты для диффузионной модели с переключением параметров», теме диссертации были сделаны доклады на семинарах кафедр математика и исследование операций», «Математическое

моделирование» факультета математики, механики и компьютерных наук

ЮФУ.

Публикации по теме диссертации.

По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ, в том числе 2 работы без соавторов. Из них 7 публикаций в российских реферируемых журналах, входящих в список ВАК. Вклад автора в совместных публикациях таков. В [1] автор разработал алгоритм построения хеджа в модели со случайными моментами переключения параметров, применив метод Монте-Карло. В [2] автор разработал алгоритм построения хеджа в модели со случайными моментами переключения параметров, найдя плотность совместного распределения моментов переключения. В [3] автор вычислил оптимальную стратегию мягкого скупщика акций. В [4] автор сформулировал необходимые и достаточные условия для существования преобразования Эшера для модели с двумя источниками случайности. В [5] автор вычислил оптимальную мартингальную меру в случае среднеквадратического критерия для модели со стохастической волатильностью. В [6] автор сформулировал необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять параметры модели для существования преобразования Гирсанова. В [7] автор сформулировал необходимые и достаточные условия на параметры модели с двумя источниками случайности для существования переобразования Гирсанова. В [8] автор разработал алгоритм построения хеджа для модели со случайными моментами переключения параметров, применив метод дискретной аппроксимации. В [9] автор разработал алгоритм построения оптимальных стратегий для «модели с коридором». В [12] автор построил верхний, нижний и среднеквадратический хеджи для класса моделей неполных рынков. В [13] автор построил верхний, нижний и среднеквадратический хеджи для модели с «мягкой скупкой».

Структура и объём работы.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы (125 наименований). Каждая глава состоит из параграфов. Каждый параграф, если есть необходимость, начинается со вспомогательных определений и утверждений. Все эти определения и большая часть утверждений взяты из приводимой литературы. Далее в параграфе начинается изложение собственных результатов работы.

Цитируемые утверждения носят название предложений, собственные результаты работы называются теоремами (вспомогательные утверждения -леммами).

Нумерация определений и утверждений сплошная внутри каждой главы. При этом принята двойная система нумерации: предложение 2.1 означает первое предложение второй главы. То же самое касается нумерации формул, рисунков и таблиц.

Работа проиллюстрирована 14 рисунками, 5 таблицами и изложена на 130 страницах.

Содержание работы.

Во введении содержится обоснование актуальности работы, определена цель, а также основные научные положения, составляющие предмет исследований.

В первой главе диссертации рассматриваются общие бинарные модели с одним и с двумя источниками случайности.

Общая бинарная модель с одним источником случайности выглядит следующим образом:

Д^» = + сг,а)

' (1)

п = \,...,Й.

Заданы начальные условия: |„в0=50,5„|„,0=В0. В (1) ип,сгп,гп ^ - параметры модели, еп е {-1,1} и независимы, причём Р(е„ = -1) = Р(е„ =1). Рассматривается естественная фильтрация Р„=а(П,0), = а{с,,...,г.г ),п = 1,...,Л'.

С помощью дискретного преобразования Гирсанова модель (1) можно переписать в виде:

\д' (2)

где е {-1,1} и независимы, причём Р' (с] = -1) = Р'(е'„ = 1). Рассмотрим задачу:

X адаптированный процесс, у предсказуемый процесс относительно фильтрации F

В силу единственности мартингальной меры решение задачи (3) имеет

вид:

ттХ,

(3)

г

(4)

= ) = ТТ.-г(*. О + г, + ОТ,)) + g. (5„_, (1 + г, - а,,))), п = 1,..., N

2(1 +г.)

Рассмотрим следующую задачу:

тш-Хд

г

при ограничениях: Д

(5)

X адаптированный процесс, у предсказуемый процесс относительно фильтрации ^

В силу единственности мартингальной меры решение задачи (5) имеет

вид:

Х„ = шах В, Е' — / К, , ИЛИ (6)

I В I

Хп = шах —— Е (Хп,л / X /„ ■

+

Пусть ]'„ = /(л,Л'„). Тогда

= (7)

А= -^ -Я,.,) = тачС?("-(1 + /; + ог+ -1,> (1 + ^ ~»)»/С»-1.)

и = 1.....N

Предположим, что параметры модели ¡лп, , г изменяются в некоторые случайные марковские моменты времени 0 = г0 <г, <г, <...<гл ¿Л. В диссертации рассматриваются различные способы задания вектора (г,,...,^) («модель с барьером», «модель с коридором», «модель с N порогами») и приводятся формулы для вычисления процесса X.

Также в первой главе диссертации рассматривается следующая модель:

\(1г]1=1],(а1л + ь,аш1а) '

¿В, =г,В,Л,

где IV' н IV" - два независимых винеровских процесса. Заданы начальные условия: 5, |„0=50,7, и^оД 1,=о=5„.

Для модели (8) приведена следующая дискретная аппроксимация:

=£„_,(//„+>/„0

[Д

АВп = В„_,г„,

где еп <= {-1,1} и независимы, е {-1,1} и независимы, Р(е„ = -1) = Р(г„ =1) и Р(^=-1) = Р(^=1), параметры ап б Р",,е/^", где = <т(£|,...,£„), ^ = сг(0,Заданы начальные условия:

I,„о=5о>77„1я=о=,7о.1=о=5о • Заметим, что модель (9) является обобщением модели (1).

Для данной дискретной аппроксимации поставлены и решены следующие оптимизационные задачи: 1)

• с 1 шшЯ—,

г» г.

(10)

Д2п = ХпЕп

<4, = КЛч>„ +хЛУ

где коэффициенты <рп и х„ заданы так, чтобы 7, был процессом плотности перехода от исходной меры Р к мартингальной мере Р'. Заданы начальные условия: |„=0=1 Д„ ио=Л>-

В результате решения задачи (10) получаются оптимальные коэффициенты рп и а также оптимальный процесс плотности . 2)

...„V

X

X

в„ ~

шт Щ^-В- „

N N У

(П)

где = /(Бд) - некоторая неотрицательная интегрируемая функция, /„ е . Решение задачи (11) имеет следующий вид:

и

X =

В,

(12)

в. в. г..

у. ■■

А Я ^

В.

Во второй главе диссертации рассматривается модель, называемая обобщённой диффузионной моделью Блэка-Шоулса.

Стандартной диффузионной моделью Блэка-Шоулса называется модель, описываемая следующими уравнениями:

\ав, = в,гл [0,71.

где параметры модели /лег,г являются константами, IV - винеровский процесс по исходной мере Р, ^ = а(Н\ <1), состоит из двух событий: достоверного и невозможного, и пополнено всеми событиями с нулевыми вероятностями. Заданы начальные условия: 5, |,=0= 50, В, |„0= В0.

С помощью преобразования Гирсанова модель (13) можно записать в следующем виде:

(14)

с1В, = В,гЛ <е[0 ,Г],

где 1С* - винеровский процесс по мартингальной мере Р'. Предположим, что ^ = /¿(5,),сг = <т(5,),г = .

Основное содержание второй главы составляют следующие результаты. Рассмотрим задачу.

ттХ0 (15)

г

при ограничениях: = ' Хт ~ '

X адаптированный процесс, у предсказуемый процесс относительно фильтрации Г

В случае единственности мартингальной меры решение этой задачи имеет следующий вид:

причем Х„ = и использование формулы Ито даёт выражение для

Рассмотрим процесс

у.ед^^в.д'^У'(18)

Тогда из строго марковского свойства винеровского процесса следует, ЧТО ¿ан{У;) = ¿ан>(Х,).

Рассмотрим следующую задачу.

гшп!, (19)

г

при ограничениях: ^ < ' ^' ~ ДЛЯ ВСеХ конечных марковских

моментов г,

X адаптированный процесс, у предсказуемый процесс относительно фильтрации Р

В случае единственности мартингальной меры решение этой задачи имеет следующий вид:

^В.мрГ^-/^. (20)

Пусть fl = /(/,5,). Введём процесс

= (21)

!<1<т £>г j

Тогда из строго марковского свойства винеровского процесса следует,

ЧТО =

Для вычисления процесса у воспользуемся разложением Дуба-Мейера для супермартингала : = где А - предсказуемый

неубывающий процесс Ито. Обозначим, через ЭМ мартингальную составляющую разложения Дуба-Мейера, тогда использование формулы Ито даёт выражение для у,:

У,-^. (22)

Пусть ц,а,г изменяются в некоторые случайные марковские моменты времени г= г„ < г, < г2 <... < гЛ <Т следующим образом: если ¿<е[т,,тм), то /Д 5,) = Д,) = а,,г(5,) = , ; = О,...,Л'. Тогда стандартная диффузионная модель Блэка-Шоулса превращается в модель, которую мы называем обобщённой диффузионной моделью Блэка-Шоулса (модель со случайными переключениями параметров).

Пусть

/(5Г) = (£г - К)* = тах(5г - К,0). (23)

Справедлива следующая

Теорема 1.

Выражение для процесса X, имеет вид:

Хг = М -^„■■■,тм) + УЧг„-,гу)

-КЕ

II где

Иг ^ хк.....

«/(г,,..., г„) = - ГМ) - «М^ - г»). (24)

Параметры 8.,=?,-^-, ¡=0,.

Рассматриваются различные способы задания вектора (т,,...,т„) («модель с барьером», «модель с коридором», «модель с N порогами»). Для «модели с барьером» и «модели с коридором» найдена совместная плотность распределения вектора (т,,...,т„ ).

Кроме этого во второй главе диссертации вычисляется Р,'(к), то есть вероятность того, что моментов остановки будет не более к штук на отрезке /7,77. Вычисление данной вероятности позволяет выбирать необходимое число N.

В третьей главе диссертации приведены алгоритмы решения задачи (15) с функцией заданной по формуле (23), с помощью метода Монте-Карло и теоремы 1 для трёх моделей: «модели с барьером», «модели с коридором» и «модели с N порогами». В основе метода Монте-Карло лежит дискретизация процесса 5, генерация вектора (г,,..., гЛ,) и последующее вычисление математических ожиданий в (24). Обозначим решение задачи (15), полученное с помощью метода Монте-Карло, через X.

Подведём итог предыдущим рассуждениям. Задача (15) с функцией /, заданной по формуле (23), имеет три решения.

1) Метод дискретной аппроксимации основан на формуле (4), где

2) Аналитический метод основан на формулах (24) с известной плотностью распределения вектора (г,,...,гя).

3) Метод Монте-Карло основан на численном вычислении математического ожидания в формулах (24).

Данные три метода дают близкие результаты (до четырёх знаков после запятой). При этом при увеличении «барьера» (расширении «коридора») решение задачи (15) сходится к предельному значению, полученному по формуле Блэка-Шоулса.

В четвёртой главе диссертации приводятся наиболее важные моменты программных реализаций на языке С++ изложенных выше методов. Построены графики зависимости значений Х,Х,Хот «барьерных» значений. Отметим, что самым быстрым является метод аппроксимации, а самым медленным является аналитический метод. Вычисление кратных интегралов в аналитическом методе основано на методе Симпсона. Приводится параллельный вариант программы, реализующей метод аппроксимации, и результаты его работы на вычислительном кластере КВК НРС-0012102-001.

Кроме этого, в четвёртой главе диссертации приводится расчёт вероятности выхода процесса за пределы «коридора» [М0(1),М¡(1)] с

помощью метода Монте-Карло. Показано, что данная вероятность уменьшается с увеличением ширины «коридора».

Большое внимание в четвёртой главе уделяется анализу различных алгоритмов работы с бинарными деревьями. Приведён новый параллельный алгоритм, и демонстрируется его оптимальность в сравнении с другими алгоритмами, а именно, аналитическим алгоритмом и алгоритмом Монте-Карло. В четвёртой главе приводятся графики имитационного моделирования случайного процесса (5,),г=0, которые позволяют сделать вывод о возможности замены в приложениях классического тренда случайного процесса другими средствами моделирования тенденций, например, коридором.

Общие выводы.

В заключение приведём основные результаты исследования, выносимые на защиту:

1)Модель с изменяющимися в случайные моменты времени параметрами, состоящая из двух стохастических дифференциальных уравнений.

2)Дискретная аппроксимация модели, состоящая из двух стохастических разностных уравнений.

3)Постановка и решение важных для практики оптимизационных задач. Получение, программная реализация и сравнение алгоритмов решения (аналитический метод, метод аппроксимации, метод Монте-Карло).

4)Модель с двумя источниками случайности, её дискретная аппроксимация, решение оптимизационных задач.

5)Приложения решений в финансовой математике.

В качестве вспомогательных результатов исследования можно отметить следующие:

1)Способы записи решений стохастических разностных уравнений с помощью обычной экспоненты и экспоненты Долеан, что позволяет представлять решения в единообразном виде.

2)Способы генерации нормальных переменных; адаптивный алгоритм, основанный на методе Бокса-Мюллера.

3)Новый дискретный аналог теоремы Гирсанова с использованием принципа Донскера-Прохорова.

4)Параллельные алгоритмы метода аппроксимации и метода Монте-Карло.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах:

1) Белявский Г.И., Данилова Н.В. Вычисление справедливой цены финансового обязательства для дискретного и непрерывного случая в модели (В,8)-рынка со случайным изменением коэффициента тренда. // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 17, вып. 2, 2010. стр. 252-253. (издание, рекомендованное ВАК РФ)

2) Белявский Г.И., Данилова Н.В. Об одном методе вычисления капитала портфеля для модифицированной модели (В,8)-рынка. // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 16, вып. 4, 2009. стр. 621-622. (издание, рекомендованное ВАК РФ)

3) Белявский Г.И., Данилова Н.В. Об оптимальной стратегии мягкого скупщика акций. // В сб. «Труды международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова», пос. Абрау-Дюрсо, 2008. с. 105-106.

4) Белявский Г.И., Данилова Н.В. Преобразование Эшера для одной модели неполного рынка с двумя источниками случайности. // В сб. «Труды международного Российско-Абхазского симпозиума

по уравнениям смешанного типа и родственным проблемам анализа и информатики», Абхазия, 2009. с. 53-55.

5) Белявский Г.И., Данилова Н.В. Среднеквадратичное хеджирование для одной модели неполного рынка с двумя источниками случайности. // Вестник РГУПС, №3, 2009. с. 129-134. (издание, рекомендованное ВАК РФ)

6) Белявский Г.И., Данилова Н.В. Теорема Гирсанова для одной модели в непрерывном времени. // В сб. «Труды международной научно-практической конференции Инфоком-2009», Ростов-на-Дону, СКФ МТУСИ, 2009. с. 105-106.

7) Белявский Г.И., Данилова Н.В. Теорема Гирсанова для одной модели неполного рынка с двумя источниками случайности. // В сб. «Труды всероссийской научно-практической конференции Транспорт-2009», Ростов-на-Дону, РГУПС, 2009. с. 251-253.

8) Белявский Г.И., Данилова Н.В., Кондратьева Т.Н. Расчёты для общей бинарной модели (В,8)-рынка. // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 16, вып.6, 2009. с. 982-993. (издание, рекомендованное ВАК РФ)

9) Белявский Г.И., Данилова Н.В., Сушко С. С. Вычисление справедливой цены финансового обязательства для дискретного и непрерывного случая, когда параметры модели (В,8)-рынка изменяются в случайный момент времени. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион, Естественные науки, № 3, 2010. с.5-9. (издание, рекомендованное ВАК РФ)

10) Данилова Н.В. Расчёты для диффузионной модели с переключением параметров. // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 17, вып. 4, 2010. с. 547-549. (издание, рекомендованное ВАК РФ)

Данилова Н.В. Хеджирование сверху для класса моделей неполных рынков. // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 15, вып. 5. 2008. с. 877-878. (издание, рекомендованное ВАК РФ)

Данилова Н.В., Никоненко НД. Различные виды хеджирования для класса моделей неполных рынков. // В сб. «Труды научно-практической конференции Неделя науки-2008», Ростов-на-Дону, ЮФУ, 2008. с. 51-54.

Данилова Н.В., Никоненко НД. Различные виды хеджирования для одной модели неполного рынка. // В сб. «Труды международной научно-практической конференции Инфоком-2008», Ростов-на-Дону, СКФ МТУСИ, 2008. с. 107-110.

ДАНИЛОВА НАТАЛЬЯ ВИКТОРОВНА

ДИФФУЗИОННЫЕ МОДЕЛИ СО СЛУЧАЙНЫМ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЕМ ПАРАМЕТРОВ. РАСЧЁТЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ

специальность 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ»

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 29.11.2010 г. Формат 60x84 '/16. Усл. печ. л. 1,0. Уч. -изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 1418.

Типография Южного федерального университета 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1, тел (863) 247-80-51.

Список сокращений и аббревиатур.

Введение.

Глава 1. Расчёты для общих бинарных моделей с одним и с двумя источниками случайности.

§1.1. Описание общей бинарной модели с одним источником случайности.

§1.2. Конструкция мартингальной меры.

§1.3. Стохастическая экспонента.

§1.4. Понятие о дискретном преобразовании Гирсанова.

§1.5. Постановка задач и алгоритмы решения.

§1.6. «Модель с барьером».

§1.7. «Модель с коридором».

§1.8. «Модель с ^порогами».

§1.9. Модель с двумя источниками случайности.

Актуальность темы.

Отметим, что в последние сорок лет наблюдается бурное развитие методов стохастического анализа, связанных с математическим моделированием многих важных процессов, протекающих в различных сферах: от финансовых рынков до трафиков компьютерных сетей. В основе многих исследований этого направления лежит теория случайных процессов и теория мартингалов. В нашей стране глубокие результаты, связанные с теорией мартингалов и методами стохастического анализа, получены членом-корреспондентом РАН, профессором А.Н.Ширяевым, его учениками и участниками руководимых им научных семинаров в Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН и Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова. В список этих учёных входят А.А.Гущин, Ю.М.Кабанов, Д.О.Крамков, А.В.Мельников, А.А.Новиков, В.Н. Тутубалин, В.М. Хаметов, А.С.Чёрный и др. На юге России в указанном направлении активно работают Г.И.Белявский, И.В.Павлов, Д.Б.Рохлин и др. Среди иностранных учёных выделим Ф. Делбаена, Ж.Жакода, Д.Зондермана, М.Йора, И. Каратзаса, М.Мадана, Ю.Мишуру, К. Стрикера, X. Фельмера, В. Шахермайера, А. Шида, С. Шрива.

Уравнение Блэка-Шоулса [38, стр. 912] является одним из значительных в стохастическом анализе. Его решением является экспоненциальный процесс, принимающий по своему определению неотрицательные значения. Данный процесс может использоваться при описании флуктуации цен акций, трафика и во многих других реальных ситуациях.

Для лучшего описания динамики различных явлений требуются более сложные модели, например, с изменяющимися в случайные моменты времени параметрами. Поэтому в диссертации рассматриваются оптимизационные задачи на траекториях, которые являются решениями стохастических дифференциальных уравнений с изменяющимися в случайные моменты времени коэффициентами, и приводятся различные алгоритмы их решения. Данные алгоритмы строго обоснованы и реализованы в программном обеспечении, что делает работу актуальной как в теоретическом, так и в прикладном аспектах.

Объектами исследования настоящей диссертации являются модели, связанные со стохастическими дифференциальными и стохастическими разностными уравнениями, а также параллельные вычислительные алгоритмы и программные комплексы.

Целью диссертационной работы является получение и реализация алгоритмов решения задач, связанных со стохастическими дифференциальными уравнениями с изменяющимися в случайные моменты времени параметрами. Для этого потребовалось решить следующие задачи:

1) построить модель, описываемую стохастическими дифференциальными уравнениями с изменяющимися в случайные моменты времени параметрами;

2) разработать численные методы нахождения решений задач, связанных с данными уравнениями;

3) создать программный комплекс, реализующий эти вычисления.

Методика исследований.

При решении перечисленных задач применялись методы и результаты теории вероятностей, стохастического анализа и теории мартингалов, методы решения оптимизационных задач, теория алгоритмов и структур данных. В качестве основного алгоритмического языка выбран объектно-ориентированный язык С++.

Научная новизна.

Построены и полностью изучены новые модели, основанные на стохастических дифференциальных уравнениях с изменяющимися в случайные моменты времени параметрами. Приводятся и реализуются алгоритмы решения задач, связанных с данными уравнениями. Рассматриваются приложения данных алгоритмов к финансовой математике.

Выносимые на защиту результаты:

1) Модели с изменяющимися в случайные моменты времени параметрами и их анализ. Численные методы решения оптимизационных задач для рассматриваемых моделей, использующие аналитический подход, метод аппроксимации, метод Монте-Карло.

2) Модели с двумя источниками случайности и их анализ. Численные методы решения оптимизационных задач для рассматриваемых моделей, использующие метод нахождения оптимальной меры в случае среднеквадратического критерия.

3) Параллельные алгоритмы решения оптимизационных задач.

4) Программная реализация алгоритмов.

Теоретическая и практическая ценность.

Полученные в работе теоремы представляют ценность для развития аппарата стохастического анализа в приложении к решению оптимизационных задач математического моделирования на траекториях. Результаты диссертации могут быть применены при работе на рынке ценных бумаг для построения хеджей в случае Европейских и Американских платёжных обязательств. Полученные в работе алгоритмы могут быть использованы и в других сферах человеческой деятельности при решении задач математического моделирования, использующих стохастические дифференциальные уравнения.

Достоверность результатов работы подтверждается

1) строгими доказательствами утверждений, результатами численного моделирования;

2) апробацией этих результатов на всероссийских и международных конференциях и научных семинарах.

Реализация результатов работы.

Полученные в работе теоретические и практические результаты применяются в образовательном процессе при чтении курса «Финансовая математика» на кафедре «Высшая математика и исследование операций» Южного федерального университета (ЮФУ). Диссертация поддержана ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» Г/К 02.740.11.0208. Полученный в работе программный комплекс «Программная реализация параллельного метода расчёта оптимальных стратегий на бинарном графе» присутствует в банке учебно-методических разработок ЮФУ (рег.№555).

Апробация диссертации.

Результаты, относящиеся к диссертации, были изложены автором на следующих международных, всероссийских и региональных научных конференциях и семинарах:

1. Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова. Конференция проводилась с 9 по 15 сентября 2008 года в пос. Абрау-Дюрсо. Название доклада «Об оптимальной стратегии мягкого скупщика акций».

2. Научно-практическая конференция «Неделя науки». Конференция проводилась с 20 по 27 апреля 2008 года в ЮФУ (г. Ростов-на-Дону). Название доклада «Различные виды хеджирования для класса моделей неполных рынков».

3. Международный Российско-Абхазский симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Симпозиум проводился с 1 по 8 мая 2009 года в Абхазии. Название доклада «Преобразование Эшера для одной модели неполного рынка с двумя источниками случайности».

4. Международная научно-практическая конференция «Инфоком-2009». Конференция проводилась с 10 по 11 мая

2009 года в Северо-Кавказском филиале Московского технического университета связи и информатики (г. Ростов-на-Дону). Название доклада «Теорема Гирсанова для одной модели в непрерывном времени».

5. Всероссийская научно-практическая конференция «Транспорт-2009». Конференция проводилась с 20 по 22 апреля 2009 года в Ростовском государственном университете путей сообщения. Название доклада «Теорема Гирсанова для одной модели неполного рынка с двумя источниками случайности».

6. Десятый Всероссийский Симпозиум по прикладной и промышленной математике (осенняя открытая сессия). Конференция проводилась с 16 по 23 октября 2009 года в г. Сочи-Дагомыс. Название доклада «Об одной общей бинарной модели (В,8)-рынка».

7. Одиннадцатый Всероссийский Симпозиум по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия). Конференция проводилась с 1 по 8 мая 2010 года в г. Кисловодске. Название доклада «Об одной модели (В,8)-рынка со случайным изменением коэффициента тренда».

8. Двенадцатый Всероссийский Симпозиум по прикладной и промышленной математике (осенняя открытая сессия). Конференция проводилась с 16 по 23 октября 2010 года в г. Сочи-Дагомыс. Название доклада «Расчёты для диффузионной модели с переключением параметров».

По теме диссертации было сделано несколько докладов на семинарах кафедр «Высшая математика и исследование операций», «Математическое моделирование» факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ.

Публикации по теме диссертации.

К теме диссертации относятся следующие статьи автора: [113]-[125]. То есть, по теме диссертации опубликовано 13 печатных работ, в том числе 2 без соавторов. Из них 7 публикаций в российских реферируемых журналах, входящих в список ВАК. Вклад автора в совместных публикациях таков. В [113] автор разработал алгоритм построения хеджа в модели со случайными моментами переключения параметров, применив метод Монте-Карло. В [114] автор разработал алгоритм построения хеджа в модели со случайными моментами переключения параметров, найдя плотность совместного распределения моментов переключения. В [115] автор вычислил оптимальную стратегию мягкого скупщика акций. В [116] автор сформулировал необходимые и достаточные условия для существования преобразования Эшера для модели с двумя источниками случайности. В [117] автор вычислил оптимальную мартингальную меру в случае среднеквадратического критерия для модели со стохастической волатильностью. В [118] автор сформулировал необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять параметры модели для существования преобразования Гирсанова. В [119] автор сформулировал необходимые и достаточные условия на параметры модели с двумя источниками случайности для существования переобразования Гирсанова. В [120] автор разработал алгоритм построения хеджа для модели со случайными моментами переключения параметров, применив метод дискретной аппроксимации. В [121] автор разработал алгоритм построения оптимальных стратегий для «модели с коридором». В [124] автор построил верхний, нижний и среднеквадратический хеджи для класса моделей неполных рынков. В [125] автор построил верхний, нижний и среднеквадратический хеджи для модели с «мягкой скупкой».

Структура и объём диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы (125 наименований). Каждая глава состоит из параграфов.

4.8. Основные результаты работы программы по расчёту среднеквадратического хеджа в модели с двумя источниками случайности в случае Европейского опциона Call. I I

Пусть начальные данные имеют следующий вид: N = 5,К = 40,S0 = 29. I

Проведем несколько экспериментов для одних и тех же исходных данных и выясним, как зависит цена хеджа от величины цены исполнения и количества дней, на которое строится хедж. '

Сначала проследим, как изменятся цена хеджа при изменении цены исполнения опциона, число дней, на которое строится хедж, оставляем неизменным — 5 дней:

Цена исполнения опциона Цена хеджа

36 8,5126

38 6,7091

40 4,9056

42 3,4904

44 2,8140

46 2,1375

48 1,4611

50 0,7906

52 0,5429

54 0,4302

56 0,3174

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В заключение приведём основные результаты нашего исследования, выносимые на защиту:

1)Модель, состоящая из двух стохастических дифференциальных уравнений, с изменяющимися в случайные моменты времени параметрами.

2)Дискретная аппроксимация модели, состоящая из двух стохастических разностных уравнений.

3)Постановка важных для практики оптимизационных задач. Получение алгоритмов решения, программная реализация и сравнение.

4)Модель с двумя источниками случайности, её дискретная аппроксимация, решение оптимизационных задач.

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2004. 600 с.

2. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.:Наука, 1977.

3. Боди 3., Мертон Р.К. Финансы. М.:Вильямс, 2003.

4. Боровков A.A. Теория вероятностей. М.:Наука, 1986.

5. Булинский A.B., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.:Физматлит, 2005. 408 с.

6. Буренин А.Н. Рынки производных финансовых инструментов. М.: Инфра-М, 1996.

7. Буренин А.Н. Фьючерсные, форвардные и опционные контракты. М.: Тривола, 1995.

8. Вентцелъ А.Д. Курс теории случайных процессов. М., 1996.

9. Волков И.К., Зуева С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы. М.: МГТУ им. Баумана, 1999.

10. Волков С.Н., Крамков Д.О. О методологии хеджирования опционов. // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.:ТВП, 1997. т.4. №1.с. 18-65.

11. Голиц Л. Финансовая инженерия. Инструменты и способы управления финансовым риском. М.:ТВП, 1998. 576 с.

12. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.:Наука, 1969.400 с.

13. Дейтел Х.М., Дейтел П.Дж. Как программировать на С++. М.: Бином, 2005. 1248 с.

14. Джекел П. Применение методов Монте-Карло в финансах. М.: Интернет-Трейдинг, 2004.

15. Дуб Дж.Л. Вероятностные процессы. М.: Иностранная литература, 1956.

16. Ермаков C.M. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: ТВиМС, 1975.472 с.

17. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов. Т. 1,2. М.:Физматлит, 1994.

18. Крамков Д.О., Ширяев А.Н. О расчётах рациональной стоимости «русского опциона» в симметричной биномиальной модели (B,S)-рынка. Теория вероятн. и её примен., т.39, в.1, 1994. с. 191-200.

19. Крылов Н.В. Введение в стохастическое исчисление. // Стохастическое исчисление. / Под ред. Ю.В.Прохорова, А.Н.Ширяева. -М.:ВИНИТИ, 1989. (Серия соврем, проблемы матем. Фундаментальные направления, т.45. гл.1)

20. Леей П. Стохастические процессы и броуновское движение. М.:Наука, 1972. 376 с.

21. Липпман С. Б. Основы программирования на С++. М.: Вильяме, 2002. 256 с.

22. Мельников A.B. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчётпроизводных ценных бумаг. М.:ТВП, 1997.

23. Мельников A.B., Волков С.Н., Нечаев М.Л. Математика финансовых обязательств. М.:ГУ ВШЭ, 2001.

24. Мельников A.B., Нечаев В.Л. К вопросу о хеджировании платёжных обязательств в среднем квадратическом // Теория вероятн. и её примен. 1998. т. 43. с. 672-691.

25. Мельников A.B., Нечаев М.Л., Степанов В.М. О дискретной модели финансового рынка и методах расчётов с ценными бумагами. — Препринт. М.: Научно-иссл. актуарно-финансовый центр, 1996, №3, 13 с.

26. Минакова H.H., Невская Е.С., Угольницкий Г.А., Чекулаева A.A.,

27. Чердынцева М.И. Методы программирования. Учебное пособие. 2-ое издание. М.: Вузовская книга, 2000. 280 с.28)29)I30)31)32)33)34)35)36)37)38)39)40)

28. Новиков A.A. Расчёт опционов американского типа: минимаксныйстатистический подход. — Теория вероятн. и её примен., 1998. Павлов И.В., Красий Н.П. Стохастическая финансовая математика. РГСУ, 2005. 60 с.

29. Первозванский A.A. Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчёт ириск. М.: Инфра-М, 1994. Прохоров Ю.В. Математический энциклопедический словарь. М.:

30. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. 2-е изд.

31. М.:ФАЗИС, 2004. т. 1,2. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д.О., Мельников A.B. К теории расчётов опционов Европейского и Американского типов. 1. Дискретное время. // Теория вероятн. и её примен., 39, 1994, в.1, с.23-79.

32. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д. О., Мельников A.B. К теории расчётов опционов Европейского и Американского типов. 2. Непрерывное время. // Теория вероятн. и её примен., 39, 1994, в.1, с.80-129.

33. Эндрюс Г.Р. Основы многопоточного, параллельного ираспределённого программирования. М.: Вильяме, 2003.

34. Amin К., Khanna A. Convergence of American option values from discreteto continious- time financial models. Math. Financ., 289-304, 1994.

35. Amin K.L. On the computation of continious time option prices usingdiscrete approximations. J. Financ. Quant. Anal. 26, 477-495, 1991.

36. Bachelier L. Theorie de la speculation. Ann. Ecole Norm. Sup., 1900,v.17, p. 21-86.

37. Bardhan J., Chao X. Pricing options on securities with discontinuousreturns. Stoch. Process. Appl., 1993, v. 48, №1, p. 123-137.

38. Barndorff-Nielsen O.E. Exponentially decreasing distributions for thelogarithm of particle size // Proceedings of the Royal Society. London. Ser. A. 1977. v. 353. p. 401-419.

39. Barndorff-Nielsen O.E. Gaussian \\ Inverse Gaussian processes and themodeling of stock returns. Preprint. Aarhus University, October, 1994.

40. Bjoerk T. Arbitrage theory in continious time. 2nd edn. Oxford University1. Press, Oxford, 2004. I

41. BlackF. The holes in Black-Scholes. // RISK-magazin. March, 1988.

42. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities. //

43. Journal of Political Economy, 81, 1973, №3, p.637-659.

44. Boyle P., Broadie M., Glassermann P. Monte-Carlo methods for securitypricing. Journal of Economic Dynamics and Control, 21 (8/9): 12671322, 1997.

45. Boyle P.P., Evnine J., Gibbs S. Numerical evaluation of multivariatecontingent claims. Rev. Financ. Stud. 2, 241-250, 1989.

46. Boyle P.P., Lau S.H. Bumping up against the barrier with the binomialmethod. J. Deriv. 1, 6-14, 1994.

47. Brandimarte P. Numerical methods in finance and economics with1. MATLAB. 2nd, Wiley, 2006.

48. Capasso V., Bakstein D. An introduction to continuous-time stochasticprocesses. Birkhauser, 2005.

49. Chang L., Palmer K. Smooth convergence in the binomial model. //

50. Springer-Verlag, 2006. p. 91-105.

51. Ciesielski Z. Holder conditions for realizations of Gaussian processes. //

52. Transactions of the American Mathematical Society. 1961. v.99.p.403-413.

53. Colwell D.B., Elliot R.J. Discontinuous asset prices and non-attainablecontingent claims and corporate policy. — Math. Finance, 1993, v. 3, №3, p. 295-368.

54. Copeland T., Westen J. Financial theory and corporate policy. Reading:1. Addison-Wesley, 1983.

55. Cox J. C., Rubinstein M. Option markets. Prentice-Hall, 1985.

56. Cox J.C., Ross S.A., Rubinstein M. Option pricing: a simplified approach. J.

57. Financ. Econ. 7, 229-263, 1979.

58. Diener F., Diener M. Asymptotics of the binomial formula for optionpricing. http://www-math.umce.frf00000708-LG)< 1999.

59. Diener F., Diener M. Asymptotics of the price oscillations of a Europeancall option in a tree model. Math. Financ. 14, 271-293, 2004.

60. Duffie D. Dynamic asset pricing theory. 3d ed. Princeton: Princeton1. University Press, 2003.

61. Duffie D., Richardson H.R. Mean-variance hedging in continuous time //

62. Ann. Appl. Probab. 1991. v. 1. p. 1-15.

63. Eberlein E., Keller U. Hyperbolic Distributions in Finance. Bernoulli, Vol.1, No. 3, p. 281-299. Freiburg, 1995.

64. Follmer II, Schweizer M. Hedging of contingent claims under incompleteinformation // Applied stochastic analysis (London, 1989). Gordon & Breach, New York, 1991. (Stochastic Monogr.; v.5). p. 389-414.

65. Follmer H., Schweizer M. Hedging by sequential regression: An introductionto the mathematics of option trading // Astin Bulletin. 1989. v. 18. p. 147160.

66. Follmer H., Sondermann D. Hedging of non-redundant contingent claims //

67. Contributions to mathematical economics. North-Holland, Amsterdam, 1986. p. 206-223.

68. He H. Convergence from discrete- to continious-time contingent claimprices. Rev. Financ. Stud. 3, 523-546, 1990.

69. Heston S., Zhou G. On the rate of convergence of discrete-time contingentclaims. Math. Financ. 10, 53-75, 2000.

70. Hsia C.C. On binomial option pricing. J. Financ. Res. 6, 41-50, 1983.

71. Hubalek F., Schachermayer W. When does convergence of asset priceprocesses imply convergence of option prices? // Mathematical Finance, vol.8, №4, 1998. p.385-403.

72. Hull J., White A. The pricing of options on assets with stochastic volatilities

73. Journal of Finance. 1987. v. 42. p. 281-308.

74. Hull J.C. Options, futures, and other derivatives. 5th ed. NJ:Prenticc Hall,2000.

75. Jarrow R., RuddA. Option Pricing. Irwin, Homewood, 1983.

76. Jiang L., Dai M. Convergence of binomial tree method for Americanoptions. In: Chen H., Rodino L. (eds.) Partial differential equations and their applications (Proceedings of the conference, Wuhan, China), p. 106118. World Scientific, Singapore, 1999.

77. Karasozen D.,B., Kohler M., Korn R. Recent developments in appliedprobability and statistics. Physica-Verlag, 2010.

78. Klebaner F. Introduction to stochastic calculus with applications. Second

79. Edition. Monash University, 2005.

80. P., Xia J. Minimal martingale measures for discrete-time incomplete financial markets // Acta Math. Appl. Sin. Engl. Ser. 2002. v. 18, №2, p. 349-352.

81. Markowitz H. Portfolio selection. // Journal of Finance, 7, 1952. p. 77-91.

82. Melnikov A.V., Shiryaev A.N. Criteria for the absence of arbitrage in the financial market. — В кн.: Успехи теории вероятностей и её применений II. / Под ред. А.Н.Ширяева и др. М.:ТВП, 1996, №3, 13 с.

83. Merton R.S. Theory of rational option pricing. // Bell Jounal of Economics and Management Science, 1973, №4, p. 141-183.

84. Metropolis N., Ulam S. The Monte-Carlo method. Journal of the American Statistical Association, 44 (247):335-341, September, 1949.

85. Nelson D.B. ARCH models as diffusion approximations.// Journal of Econometrics. 1990. v. 45. p. 7-38.

86. Oksendal B. Stochastic differential equations. Springer-Verlag, 1995.

87. Paley R.E.A. C., Wiener N. Fourier transforms in the complex domain. // American Mathematical Society Colloquium Publications. 1934. v. 19.

88. Pliska S.R. Introduction to mathematical finance. Discrete time models. Blackwell, Oxford, 1997.

89. QianX., Xu C., Jiang L., Bian B. Convergence of binomial tree method for

90. American options in a jump-diffusion model. SIAM, J. Numer. Anal. 42, 1899-1913,2005.

91. Rendleman R.J., Bartter B.J. Two-state option pricing. J. Finance. 34, 10931110, 1979.

92. Rogers L.C.G., Stapleton E.J. Fast accurate binomial pricing. Finance Stoch.2,3-17, 1998.

93. Rubinstein M. Guiding force. In: from Black-Scholes to Black Holes: Newfrontiers in options, Risk Magazine, November, 1992.

94. Samuelson P. A. Rational theory of warrant pricing. // Industrial Management

95. Review. 1965. v.6. p. 13-31.

96. Schal M. On quadratic cost criteria for option hedging // Math. Oper.

97. Research. 1994. v. 19. p. 121-131.

98. Schweizer M. A Guided tour through quadratic hedging approaches // Option

99. Pricing, interest rates, and risk management / E. Jouini, M. Musiela, J.

100. Cvitanic, eds. Cambridge University Press, Cambridge, 2001. p. 538-574.i

101. Schweizer M. Hedging of options in a general semimartingale model. Diss.1. ETH Zurich, №8615, 1988.

102. Schweizer M. Risk-minimality and orthogonality of martingales //

103. Stochastics Stochastics Rep. 1990. v. 30. p. 123-131.

104. Schweizer M. Variance-optimal hedging in discrete time // Math. Oper. Res.1995. v. 20. p. 1-32.

105. ScottL.O. Option pricing when the variance changes randomly: Theory,estimation and an application // Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1987. v. 22. p. 419-438.

106. Sharpe W.P. Capital asset prices: A theory of market equilibrium underconditions of risk. //Journal of Finance, 19, 1964, p. 425-442.

107. Tian Y.S. A Flexible binomial option pricing model. J. Futures Mark. 19,817.843,1999.

108. Tian Y.S. A modified lattice approach to option pricing. J. Futures Markets.13, 563-577, 1993.

109. Uspensky J. V. Introduction to Mathematical Probability. McGraw-Hill, New1. York, 1937.

110. Walsh J.B. The rate of convergence of the binomial tree scheme. Financ.

111. Stochastics. 7, 337-361, 2003.

112. Walsh J.B., Walsh O.D. Embedding and the convergence of the binomialand trinomial tree schemes, 2003.

113. Wiener N. Differential space // Journal of Mathematical Physics. Math. Inst.

114. Tech. 1923. v. 2. p. 131-174.

115. Wiggins J.B. Option values under stochastic volatility. Theory and empiricalevidence// Journal of Financial Economics. 1987. v. 19. p. 351-372.

116. Белявский Г.И., Данилова Н.В. Об одном методе вычисления капиталапортфеля для модифицированной модели (В,8)-рынка. // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 16, вып. 4, 2009. с. 621622. (издание, рекомендованное ВАК РФ)

117. Белявский Г.И., Данилова Н.В. Об оптимальной стратегии мягкогоскупщика акций. // В сб. «Труды международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова», пос. Абрау-Дюрсо, 2008. с. 105-106.

118. Белявский Г.И., Данилова Н.В. Среднеквадратичное хеджирование дляодной модели неполного рынка с двумя источниками случайности. // Вестник РГУПС, №3, 2009. с. 129-134. (издание, рекомендованное ВАК РФ)

119. Белявский Г.И., Данилова Н.В. Теорема Гирсанова для одной модели внепрерывном времени. // В сб. «Труды международной научно-практической конференции Инфоком-2009», Ростов-на-Дону, СКФ МТУСИ, 2009. с. 105-106.

120. Белявский Г.И., Данилова Н.В. Теорема Гирсанова для одной моделинеполного рынка с двумя источниками случайности. // В сб. «Труды всероссийской научно-практической конференции Транспорт-2009», Ростов-на-Дону, РГУПС, 2009. с. 251-253.

121. Белявский Г.И., Данилова Н.В., Кондратьева Т.Н. Расчёты для общейбинарной модели (В,8)-рынка. // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 16, вып.6, 2009. с. 982-993. (издание, рекомендованное ВАК РФ)

122. Данилова Н.В. Расчёты для диффузионной модели с переключениемпараметров. // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 17, вып. 4, 2010. с. 547-549. (издание, рекомендованное ВАК РФ)

123. Данилова Н.В. Хеджирование сверху для класса моделей неполныхрынков. // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 15, вып. 5. 2008. с. 877-878. (издание, рекомендованное ВАК РФ)

124. Данилова Н.В., Никоненко НД. Различные виды хеджирования длякласса моделей неполных рынков. // В сб. «Труды научнопрактической конференции Неделя науки-2008», Ростов-на-Дону, ЮФУ, 2008. с. 51-54.

125. Данилова Н.В., Никоненко Н.Д. Различные виды хеджирования для одной модели неполного рынка. // В сб. «Труды международной научно-практической конференции Инфоком-2008», Ростов-на-Дону, СКФ МТУСИ, 2008. с. 107-110.