автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численный метод решения краевых задач для стационарных уравнений гидродинамики

' 0 ¡ниМ . . тт

' На правах рукописи

^ • >

НИКОНОВА Наталия Владимировна

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ

05.13.16-применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань 1998

Работа выполнена в Казанском государственном технологическом университете.

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

доктор технических наук профессор Ю.М.Данилов, кандидат технических наук доцент Р.Х.Хасанов. доктор физико-математических наук, профессор В.Н.Игнатьев

доктор физико-математических наук АДГильманов

Ведущая организация: Институт вычислительных

технологий Сибирского отделения РАН

Защита состоится "•/ " илО/А. 1998 г. в А О ч. на заседании диссертационного совета Д 063.43.03 в Казанском государственном техническом университете им. А.Н.Туполева по адресу:420111, г. Казань, ул.К.Маркса, 10, КГТУ ( зал заседаний Ученого Совета). С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КГТУ им. А.Н.Туполева.

Автореферат разослан иМкЛ 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета, кандидат физ.-мат.наук J^ЩЬ^^^ П.Г.Данилаев

Общая характеристика работы

Разработка технических устройств, использующих в качестве рабочего тела жидкость или газ, а также оптимизация режимов их работы вызывает необходимость численного моделирования движения этого рабочего тела в соответствующих-условиях. Несмотря на то, что число публикаций, связанных с вопросами такого моделирования, очень велико, тем не менее остается достаточно много нерешенных проблем. В частности, одна из основных проблем - сокращение времени и объемов необходимых вычислений на ЭВМ. Такое сокращение может быть достигнуто за счет повышения быстродействия и возможностей вычислительной техники и за счет увеличения эффективности методов, используемых при численном моделировании.

В данной работе описан и обоснован разработанный нами метод моделирования дозвуковых течений газа с различными воздействиями, который позволяет во много раз сократить объемы, а следовательно, и время вычислений. Такое сокращение достигается за счет того, что основные вычисления производятся лишь на границе области, в которой находится решение дифференциальных уравнений. В связи с этим можно считать, что размерность задачи уменьшается на единицу. По сути дела для уравнений гидродинамики находится дискретная функция Грина, представляющая собой матричный оператор, который мы обозначим и'В.После этого численное решение задачи записывается в виде Кц =(!/' В)Кдо, где Кс -вектор значений комплексов, представляющих собой комбинации компонентов

гидродинамических параметров во внутренних узлах сеточной области в, Кдо -вектор граничных значений. Нелинейности, которые присущи уравнениям гидродинамики, проявляются только на границе области при вычислении компонент вектора К-г,

Таким образом, целью данной работы является разработка метода решения краевых- задач для уравнений гидродинамик!:. Метод основан , на идее, заключающейся в переходе от исходном краевой задачи первого порядка К: краевой задаче второго порядка, и требования выполнения исходных уравнений на границе области и и приграничном, -слое, приводящей к линеаризации

дифференциального оператора. Метод назван методом повышении порядка (МШТ). ■ - : ^

'-■■ 'Научная новизна состоит в разработке разностного метода, использующего неявную и явную разностные схемы, обосновании и доказательстве его сходимости.

Практическая ценность полученных в диссертационной работе результатов состоит в том, что разработанный метод, позволяет в десятки или даже сотни раз сокращать объемы вычислений при проведении расчетов.

Достоверность исследований вытекает из математической строгости постановки рассматриваемых задач, а также сравнения полученных результатов с известными решениями.

Апробация. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на 32 -ой международной научной студенческой конференции "Студент и научно- технический прогресс" г.Новосибирск в 1994 г., на научной конференции студентов вузов Республики Татарстан г.Казань в 1995 г., на международной научно-технической конференции "Молодая наука новому тысячелетию" г.Наб.Челны в 1996 г., на Всероссийском семинаре "Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении" г. Чебоксары в 1996 г., на 5-ой Международной конференции "Математика. Экономика" г. Ростов-на - Дону в 1997 г., на Международной конференции "Модели механики сплошной среды, вычислительные технологии и автоматизированное проектирование

в авиа- и машиностроении" г. Казань в 1997, на международной научно-технической конференции "Механика машиностроения" г.Наб.Челны в 1997 г. , на Всероссийской молодежной научной школе-конференции по математическому моделированию, геометрии и алгебре г.Казань в 1997 г., на семинаре в институте вычислительных технологий СО РАН г.Новосибирск в 1998 г., на семинаре в Казанском государственном университете на каф. дифференциальных уравнений г.Казань в 1998 г.

В настоящей работе автор защищает: Метод численного решения краевых задач для нелинейных уравнений гидродинамики.

Публикации. Осговные результаты опубликованы в работах [1-12].

Структура и объем работы. Диссертационная работа

состоит из введения.четырех глав, выводов, списка использованной литературы и положения общим объемом 113 страниц.

Работа выполнена на кафедре высшей математики Казанского государственного технологического университета.

Краткое содержание' диссертации.

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, приводится краткий обзор содержания работы.

В первой главе дан анализ различных подходов к решению уравнений гидродинамики. Обзор литературы по исследованию методов численного решения краевых задач :видетельствует о том, что достаточно полно изучены методы граничных элементов и функции Грина, но значительно меньше леста в литературе уделено комбинации этих известных методов, гозволяющих не строить функцию влияния для менее изученных ;лучаев и получать решения задач для областей произвольной •еометрической формы.

Во второй главе описан метод решения краевых задач дт линейных уравнений (обыкновенных и в частных производных) I

их систем, основанный дифференциальных уравнений, уравнений Коши - Римана Q={(x,y)10<x<a,0<y<b}

вП:

ди ск

Зс су

ду ди

ск ду

на повышении порядкг Решается краевая - задача дл; на прямоугольной области

а)

найП:

u(0,y)=U(y) (])

v(x,O)=0 s(x)u(x,0) v(x,b)=0N(x)u(x,b) v(a,y)=©E(y)u(a,y) 6)

0 s(x), 0N(x)eC2[O,a],U(y),©,(y)eC2[O,b]. Вместо (16) могут быть использованы условия и другого вида. Однако, так как эго обстоятельство не является принципиальным, к дальнейшем используются условия вида (16).

После введения вектора K=(u,v,v,-u)T такого, К(1)=и,К(2)=\',К(3)=у,К(4)=-и, задача (1) записывается в виде: i?K(N) ¿>K(N + 1)

что

в Q:

на

BQ:

„ = 0 №=1;3. а)

дх ду

K(l)(0,y)=U(y) . " "

К(2)(х,О)=0 s(x)K(l)(x,0) K(2)(x,b)=QN(x)K(l)(x,b) б) (2)

K(2)(a,y)=0E(y)K(l)(a,y) © s(x) , 0N (x)eC3[O,a],U(y),0E(y)eC2[O,b].

В силу требования существования вторых непрерывных производных в (2 б) решения и и V являются непрерывно дифференцируемыми на границе, за исключением четырех угловых точек, где существуют односторонние производные. В силу этого

'словие (2 а) может быть записано на где М -множество

'гловых точек {(0; 0) ,(а ;0) ,(0 ;Ь) ,(а;Ь) }, а приграничный слой.

Гогда можно сформулировать следующую краевую, задачу:

в О:

А2 дхс?у

(И) <5»К(Ы + 1)

дхду

«У

= 0

на сО:

1) 2)

а)

б) (3)

уравнения (2 а) условия (2 6). N=153. в) Вводится сеточная область 0={(у)| ¡' = 1,т, у = 1 ,п/ ,ш,гу еК}.

Пусть Ах=Д у=Ь - шаг сетки. Тогда прямоугольная область О юкрывается сеточной областью в, так что х=(х-1)Ь, у=(]-1)Ь. На в водится сеточная дискретная функция К,-; такая, что ч.г"К.((М)11, (¡-1)11), т.е. сеточная функция совпадает с вектором ."(х.у) в узлах сетки.

Уравнения (2а) заменяются их разностными аналогами во нутренних узлах ((у)еО), вследствие чего получается система лгебраических уравнений, которая аппроксимирует ифференциальные уравнения (2а) со вторым порядком и вместе с раничными условиями составляет дискретную задачу (2'). 1спользуются линейные комбинации алгебраических уравнений и олучается система уравнений (4), которые аппроксимируют (За) со торым порядком точности:

Ъ2 +

+„ - К(К +!),_, - КО* + !),„ „ + К(К +!),_,., + 4Ь1 _ 0

4Ь2

/ = 2,1п -1, у = 2,и/-1,Ы=1;3.

На границе области уравнения (36) аппроксимируются со вторым порядком с помощью сеточных шаблонов, приведенных на рис 1 .

¡-гпи Л. I.

а) б) в) г) д) е) ж) з)

Рис.1.

Система уравнений (4) вместе с граничными условиями составляют дискретную задачу (3').

Справедливо утверждение: разностная задача (2') эквивалентна разностной задаче (3').

Полученные приближенные решения можно рассматривать как решение любой из двух задач.

Пусть при решении задачи (3') использовался итерационный процесс такой, что уравнения (4) решаются последовательно. Если итерационный процесс сходится, а функция К(х,у) дважды непрерывно дифференцируема в О, то при ¡1—>0, г—> со (где г- число итераций), то решение сходится к решению дифференциальной задачи (3), т.е. и к решению исходной задачи.

Описывается численный алгоритм решения на примере задачи, записанной в виде : (3 а,б) и условия (3 в).

Вводятся обозначения: Х={Ку}-вектор неизвестных комплексов во внутренних точках области 0,Х,:<;=У+2 - вектор значений комплексов на границе области 50,У- изменяемая в процессе решения(неизвестная) его составляющая, Ъ- неизменяемая составляющая, заданная уравнениями (3 в).Тогда. К- вектор решения записывается в виде

К=Х+У+г. (5)

Теперь разностные уравнения, соответствующе задаче (За) в операторной форме имеют вид:

ЬХ=В(У+г), (6)

где матрица (оператор) В определяется структурой уравнений, записанных для сеточных шаблонов, включающей в том числе и граничные значения К(1)ц и К(2) у Оператор Ь, как это показано в диссертации, линейный, невырожденный. Следовательно, существует Ь"',так что

Х=1/'В(У+2) (7)

и решение в в непрерывно зависит от граничных условий.

Входящий в (7) вектор У вычисляется на границе в соответствии с (8), через значения X и Ъ

у=с(х+у+г) ; (8)

здесь С - невырожденная матрица, соответствующая системе разностных уравнений на границе. С учетом (7),(8)

Х=Ь"'В(С(Х+У+2)+г) Вектор X находится с использованием итерационного процесса

УГ+1=С(ХГ+ г +г)

Хг+1=Ь-|В(С(Хг+Г+г)+2)=Ь-'ВС(Хг+Уг)+Ь-|В(С+Е)2, (9) . г=0,1,2,...

Здесь Е- единичная матрица Сходимость этого процесса определяется нормой оператора Ци'ВС^А. Если А<1, то процесс, как известно, сходящийся. В нашем случае А>1.Поэтому вместо (9) используем

Уг+1=оС(Хг+г)+Е(1-а)Уг,

Хг+1=аХн|+(1-о)Хг , . (9 а)

где Л"г+1 находится из (9).

Доказана следующая теорема.

Пусть ае(0,1), сг<1/11Хг'ВС| IТогда итерационный процесс (9а) сходится к единственному решению со скоростью геометрической прогрессии.

Так как оператор I, линейный и не зависит от номера итерации, то вычислять ' обратную матрицу Ь"1 можно лишь один раз. Если же область прямоугольная, а разностная сетка неизменна, она может быть использована для решения большого класса задач. Вследствие этого она может храниться в памяти ЭВМ и вызываться по мере необходимости для решения краевых задач.

В третьей главе предложен метод решения нелинейных уравнений гидродинамики, который обладает свойством снижения размерности задачи на единицу. За основу изложения берется система уравнений для баротропного движения газа (У(х,у) е О):

<?(рч) <?(ру) Л ¿(рцу) 4Р + ЯУ2) „

-л-—¿.+ \ . _ о —¿ + —--¿ = о

¿>х су ох ду

= 0 Р = Р(Р), (Ю)

записанная в дивергентной форме. <?к(и) ¿>К(Ы +1)

где К=(ри,ру,р+ри2 ,риу, руи, р+ру2)т=(К(1),К(2),...,К(6))т.

Если требуется учесть влияние различных воздействие (механическое, физическое, геометрическое и др.) на движение газа то в правую часть уравнений (11 ) вводят так называемы« источниковые члены:

ах ду

Показано, что уравнения (11 а) также могут быть приведены ] строгой консервативной форме.

Рассматривается краевая задача для прямоугольной области в екартовой системе координат. Рассматривается только один вид раннчиых условий для (11) аналогично гл.II. диссертации, а именно: х=0: р u=RU(y) у=(): pv/pu=©s(x)

pv=RV(y) (12)

х=а: pv/pu=0i;(y) y=t;: р v/p u=0N(x) © s(x), ©N(x)eC2[(),a],RU(y),RV(y),0E(y)6C2[O,b]. Делаются ограничения аналогичные гл.И диссертации. Рассматривается следующая краевая задача.

в П:

~K(N) <?!K(N+1)

¿к" - дхду с>;К(Ы + 1) ^K(N) дъду

i/K(N) r?K(N + l)

= 0

ду

= 0

(а)

(б) (13)

К(1)(0.у) ---- Яи(у) К(2)(0,у) =* RV(y)

К(2)(х,0)/К(1 )(х,0) = ©е(х) (в)

на5П К(2)(х,Ь)/К(])(х,Ь) = 0ы(х) К(2)(а,у)/К(1)(а,у) = 08(у) ©8(х),0М(х)бС2[О,а]Ди(у)ДУ(у),0Е(у)еС2[О,Ь]. К=1;3;5.

Задача (13) линейна относительно шести комплексов К(1),...,К(6). Нелинейность может проявиться лишь при вычислениях комплексов на границе области, где связь между ними выражается системой уравнений

г ри=К(1) pv=K(2) р+р и2 =К(3)

puv=K(4) pvu=K(5) р+р v2 =К(б)

(14)

р=рк

На сеточной области G={(ij)}, / = ],«/, j = i,nj,

о

система (II) заменяется системой разностных уравнений

относительно сеточной функции Ку, /' = 1 ,т, j = 1 ,nj.

Уравнения (13 а) аппроксимируются со вторым порядком следующей системой алгебраических уравнений

bG:

K(N),.M-2KtN)u + K(N)i.l..)

Ах2 + '

, + 1W. ~K(N +1W,-K(N + I),tU„ +K(N + 1Х.,-.И _Q 4АхД_у

K(N + l)u., - 2K(N ++K(N +

АУ2 ' П5 .

] - K(N),.1Jt, -KCNUH + К(М)м.,., 1 a'

+ 4АхДу ~ '

а на границе используются сеточные шаблоны, показанные на рис.1.

Эти уравнения дополняются соотношениями

К(1),, = RUH j) K(2)t,aj/K(l )i,nj = ©N(i,nj)

K(2),j = RV(lj) K(2)u/K(l)u = ©s(i,l) (15 6)

K(2)aiJ/K(l)M1,-eB(nij)

Все эти алгебраические уравнения составляют задачу, которую в дальнейшем будет называться задачей (16). Она аппроксимирует дифференциальную задачу (13) со вторым порядком.

Дискретные аналоги задач (13) и (11)-(12), как это показано в гл.П диссертации, эквивалентны.

Кроме того, после интегрирования (13 а) по независимым переменным и требования выполнения (13 б) на границе и в приграничном слое, вследствие совпадения условий (13 в) и (12), следует, что решение задачи (13) является и решением задачи (11)-(12). Описывается алгоритм решения задачи (16) при Ax=Ay=h. Вводятся следующие обозначения, аналогично гл.П диссертации.

Х={К,и},/= 2,га-1, у = 2,я/-1-вектор значений сеточной функции К во внутренних узлах. Х£0 -значения К в граничных узлах, г-заданные на границе области значения Хдд ,так что

Х^У+г, .....

где У-изменяемая в процессе итераций часть компонент Х£С >так что

к=х+у+г.

Пусть на итерации с номером г вектор К известен- Кг=Хг+Уг+2.

Тогда итерационный процесс для задачи (16) осуществляется в следующей последовательности

УГ+'=С(ХГ+ Уг +Т) ЬХг"-В(Уг+'+г), г=0,1,... (17) Здесь Ь квадратная матрица размерностью 2»3.(ш-2)(п]-2), В-прямоугольная матрица с тем же числом строк, С - невырожденная квадратная матрица.

Матрица, соответствующая оператору Ь распадается на три не связанных между собой одинаковых ненулевых блока (в соответствии с (15 а)). Поэтому хранить и использовать для вычислений можно лишь один из блоков Ь"\ размерность которого 2.(п1-2)(п]-2). Приводится доказательство невырожденности Ь~\ .

С учетом сказанного процесс (17) представляется в виде

ХГ+|=Ь"'*В(С(ХГ+ Уг+2)+2), г=0,1,2.... (18)

Сходимость такого процесса определяется нормой оператора Ь"'ВС=А. Вследствие того, что ||А||>1, вместо (18) используется процесс ,

| У(г+|>=а*С(Х(г>+2)+Е(1-о)У('), (19)

' Х(г+,)= стЬ"1 *В(У*'И) +г)+Е( 1 -а) Х(г)=ав(У(г,1>+2)+Е(1-ст) Х(г).

Здесь Е- единичная матрица, В-матрица влияния, 0<с<1.

Доказанная в главе II диссертации теорема о сходимости итерационного процесса справедлива и в данном случае.

.. Описанный алгоритм вычислений позволяет найти вектор комплексов К=(К(1),...,К(6))Т в точках сеточной области О. Часто

этого уже достаточно для того, чтобы считать решение задачи законченным. Если же требуется найти вектор гидродинамических параметров \У=(р,и,у,р)т, то после окончания вычислений по найденным значениям составляющих вектора К это можно сделать, используя значения трех составляющих вектора - плотности р и две составляющие скорости и и V, которые связаны с вектором К системой алгебраических уравнений (14).

В соответствии с методом Ньютона значение любой из неизвестных ищется с использованием итерационного процесса вида:

М (20)

где ДГ - поправки к значениям неизвестных, г- номер итерации.

Обозначив левые части уравнений (20 ) через Р=(Нь-" Л'ь)\ получаем

для вычисления поправок уравнения

'" "■■ • 1тЦ- (21)

Применение известных неявных методов решения краевых задач, в частности для уравнений гидродинамики, связано с обращением матриц большой размерности, что влечет за собой увеличение расходуемых объемов памяти ЭВМ и затрат времени.

В предложенном методе изменение граничных условий, не изменяет структуру обратной матрицы, соответствующей дифференциальному оператору исходной задачи, то есть обращение матрицы производится однократно. Возникает

проблема хранения обращенной матрицы, один из путей решения которой приводится в диссертации.

Показано, что уравнения (13) приводятся к системе уравнений для сеточной области С={1 = 1 ,т, у = 1 в операторной форме: ЬХ^ВХ^,

где Х- вектор комплексов К(Ы), К(Ы+1) (Ы=1;3;5) в узлах разностной сетки. В случае, когда сетка прямоугольная, оператор. Ь имеет структуру вида:

(т СI

Чс, о)

Если область прямоугольная, то однократное нахождение обратной матрицы не составит труда.

Предлагается способ хранения обратной матрицы, который требует для запоминания около 1/8 от общего числа элементов всей матрицы, что существенно сокращает объем используемой машинной памяти.

Доказан ряд теорем о структуре обратной матрицы. Показано, что существует закономерность в расположении элементов и, в связи с этим, ее можно восстановить по минимальному их числу.

Предложен алгоритм генерирования обратной матрицы. Решение задачи (16) записывается в виде

х = ь-1 в(у+г)= э(У+г),

где Х- вектор комплексов К во внутренних точках области в. (У+2)==Х,-<1-вектор их граничных значений , Ь"'В=е> -прямоугольная матрица с числом столбцов равным числу компонент вектора Х^ и числом строк, равным числу компонент вектора X. X представляется в виде Х=Х]+Хз+Х5 и соответственно Хг<з= Х1й +Х3а +Х5г.Тогда векторы ХьХ3,Х5 имеют составляющие

хк={к(Ы)22,к(кь,..,адпи.п3.ьК(н+1)22,...>к(н+1)пЫ,ф1}т,

]Ч=1;3;5. Аналогично

(Х^да),,,^)^,...,«,^^!),,.....Щ+1)„,-,ч}г -вектор

граничных комплексов.

Элементы матрицы В обозначаются через так, что

Здесь к- номер строки , I -номер столбца. Используя индексы сеточных узлов (¡,3), можно записать ак^=(ау) е ■ С учетом этого получается

ац=(а25)1,а12=(аг2)2^->а«га=(а22Ът,

а21=(а23)ь а22=(а.2з)2,-, а22т=(а2з)2т, и т.д. Здесь (ау) £ -элемент ьой строки и .¡-го столбца матрицы в, соответствующий сеточному узлу (у), так что значение XN (у)теперь будет вычисляться в форме

2т

= Л, *(*«)« .

/-1

где (Хда )(- е-ая составляющая вектора Х£а . Тогда формально решение краевой задачи для области О запишется в виде:

ЧМ) = ^^р-К^Ю, (22)

где ам(8) - дифференцируемая функция, аппроксимируемая в УМ е О сеточной функцией (ау)ь dS - мера границы области д£1.

Таким образом, формула (22) дает решение краевой задачи (10), (12) при условии, что функция схм(8) известна. В работе эта функция находится и виде таблицы ( матрицы) В и по аналогии с известной функцией влияния (Грина) названа матрицей влияния .

После введения матрицы влияния В решение любой краевой задачи, в том числе и нелинейной, строится в виде последовательности

¿п

сходимость которой доказана в главе II диссертации.

Предложен способ применения МПП для областей, с числом углов более четырех. Решение задачи в такой области может быть получено путем разделения исходной области на прямоугольные подобласти и "склеивания" решения на их границах.

В случаях, когда использование обратной матрицы Ь"1 или матрицы влияния в не представляется возможным, а также в случаях, когда область интегрирования имеет форму, неудобную для использования неявной схемы, описанной выше для системы уравнений вида (13 а), целесообразно применение явной

разностной схемы. Используется девятиточечный сеточный шаблон, ' показанный на рис. 2.

wn W

ы 0

EN Ii

ws s ks Рис.2.

, Вторые производные заменим со вторым порядком точности разностными отношениями, полагая при этом Ax=Ay=h crf .. /,. -2/, ,./,.

+ 0(h2) - + 0(h2)

~ + 0(h2)

0х\ И*

г:/ , /у 2/,-г/, А1

I _ .Ал' ~ -Лгу ~~ Уиу ■д хд у 4Ьг

На разностной сетке при этом получается

система разностных уравнений во внутренних узлах сеточной области О, которая разрешается относительно К(Ы)ц,К(№-1)у. Пусть на итерационном шаге с номером г значения комплексов, известны. Тогда на шаге г+1 значения комплексов находятся в виде:

КСЫ^'^аад^+СЬаЖС^д^), 0<а<1 (23)

Сеточный шаблон имеет вид, показанный на рис.3.

X

i-U

/

j

/

Рис.3.

Сходимость процесса вычислений обеспечивается выбором множителя ст, поскольку матричный оператор при использовании явной разностной схемы остается тем же самым. Метод решения с использованием явной разностной схемы, описанный выше, есть .итерационный метод решения системы линейных алгебраических уравнений, условия сходимости которого хорошо известны.

В четвертой главе приводится описание технологий вычислений и некоторые результаты, назначение которых подтвердить работоспособность метода.

Метод апробирован для ряда тестовых задач с известными точными решениями. Сравнение локальных значений решений указывают на хорошее их совпадение. Ошибка во всех случаях соответствовала второму порядку аппроксимации. Время решения на сетке 9x13 узлов по сравнению с методом установления соотносится как 1:240, по сравнению с неявным методом переменных направлений - 1:12. С помощью М1Ш решен также ряд задач гидродинамики о течении газа. На рис.4-7 для иллюстрации приведены распределения скоростей для некоторых из решенных задач.

Основные результаты .

1. Предложен численный :.,';од решения краевых задач для уравнений в частных производных и их систем, а также для решения краевых задач гидродинамики, основанный на идее линеаризации уравнений за счет замены вектора гидродинамических параметров V/ на вектор комплексов К и перехода от исходной краевой задачи первого порядка к краевой задаче второго порядка

2. Указан способ линеаризации нелинейных краевых задач, позволяющий использовать результаты исследований линейных уравнений в частных производных.

3. Учет различных воздействий на движения газа вынуждает вводить в уравнения источниковые члены. Показано, что такие уравнения можно привести к строгой консервативной форме и использовать для их решения МПП.

4. Предложен численный алгоритм решения с помощью МПП, доказана теорема сходимости итерационного процесса.

5. Предложены технологические приемы, повышающие удобство хранения и использования оператора в. Доказан ряд теорем о структуре L"1, показывающих, что для генерации L"1 требуется хранить в памяти около 1/8 от общего числа ее элементов.

6. Предложены способы применения разработанного метода для областей произвольной формы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Никонова Н.В., Хабатхузин A.A. Метод построения сеток.// Материалы XXXII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс", г. Новосибирск, 1994 .С. 25;

2. Никонова Н.В. Криволинейные сетки // Тезисы докладов научной конференции студентов вузов Республики Татарстан; г.Казань,! 995 .С.7;

3.Никонова Н.В., Хабатхузин A.A. Расчет двухфазного течения

'/ Тезисы докладов научной конференции студентов вузов

Республики Татарстан;г.Казань,1995 .С.7.

4. Данилов Ю.М., Никонова Н.В. Метод решения уравнений гидродинамики для дозвуковых течений газа // Тезисы докладов международной научно-технической конференции "Молодая наука-новому тысячелетию"; г.Наб. Челны ,1996 .С.7.

5. Кузьмин A.B.,Никонова Н.В. Моделирование движения частиц в криволинейной системе координат // Тезисы докладов Международной научно-технической конференции "Молодая наука-новому тысячелетию"; г. Наб. Челны ,1996 . С. 16.

6. Данилов Ю.М., Никонова Н.В. Метод решения краевых задач гидродинамики // Тезисы докладов V Международной конференции "Математика. Экономика" г. Ростов- на - Дону в 1997. С.89; ...

7. Данилов Ю.М., Никонова Н.В. Численное решение краевых задач для уравнений гидродинамики в дивергентной форме // Вестник КГТУ, Казань, 1991.С.29-32.

8. Данилов Ю.М., Никонова Н.В. Строгая консервативная форма уравнений гидродинамики для численного решения краевых задач // Деп. ВИНИТИ Ш5-В97 от 8.01.97.

9. Данилов Ю.М., Никонова Н.В. Неявная схема решения краевых задач для систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производиых // Тезисы докладов Международной научно-технической конференции "Механика машиностроения",Наб.Челны, 1997.С. 13.

Ю.Данилов Ю.М., Никонова Н.В. Неявная разностная схема для решения нелинейных уравнений гидродинамики // Известия Высших Учебных.Заведений. Математика. Изд-во "Форт Диалог". Казань, N5, 1997г.С.20-22.

И.Данилов Ю.М.,Никонова Н.В. Метод повышения порядка для решения краевых задач гидродинамики // Труды I Международной конференции "Модели механики сплошной среды, вычислительные технологии и автоматизированное проектирование в авиа- и машиностроении", Казань, 1997.С. 120125.

12. Данилов Ю.М., Никонова Н.В. Повышение порядка уравнений гидродинамики для численного решения краевых задач // Материалы Всероссийской молодежной научной школы -конференции по математическому моделированию, геометрии и алгебре, Казань, 1997.С.34-40.

/ 1

X / / 1

/ у

/ / У /

/ / !

/

/

I

I I

/ / / / 1 I

I......I.

Рис/Потенциальное течение жидкости внутри прямого угла с подводом жидкости со стенок

Рис. 5

Обтекание круглого цилиндра

Рис. 6.1 Течение идеального гаи

Piic;7. Течение шпкого ra ta

Лицензия № 189 от 28.05.97 г.

Сдано в набор 11.05.98. Подписано к печати 12.05.98. Печать БШ>0. Бумага офсет № 1. Формат 60x84 1/16 Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100. Заказ 28

Издательство "Мастер Лайн", г. Казань, ул. Б. Красная, 55 ком. 003 Отпечатано на полиграфическом участке издательства