автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численный алгоритм вариационной инициализации океанологических полей

На правах рукописи

ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ ВАРИАЦИОННОЙ ИНИЦИАЛИЗАЦИИ ОКЕАНОЛОГИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ158571

Москва - 2007

003158571

Работа выполнена в Институте вычислительной математики РАН

Научный руководитель

Доктор физико-математических наук, профессор Залесный В Б

Официальные оппоненты

Доктор физико-математических наук Семенов Е В

Доктор физико-математических наук, профессор Шутяев В П

Ведущая организация

Гидрометцентр России

у» ^О

Защита состоится »ОСсР^^.Л' 2007 г в /7 часов на заседании диссертационного совета Д 002 045 01 в Институте вычислительной математики РАН по адресу 119991 ГСП-1, Москва, ул Губкина, 8

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики РАН

Автореферат разослан » СбДДХ^ 2007 ]

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

Бочаров Г А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность работы

Прогноз океанической среды является важнейшей составной частью современных систем долгосрочного и среднесрочного прогноза погоды Одним из основных требований к успешному прогнозу состояния океана является точное задание начальных условий для прогнозируемых полей - инициализация модели океана В настоящее время накоплено и доступно в оперативном режиме большое количество данных наблюдений состояния океана Их можно использовать как для целей прогноза, так и для исследования структуры океанических полей и их изменчивости Прежде чем проводить прогноз с помощью численной модели, необходимо найти способ использования имеющейся информации, полученной с помощью измерений, для "наилучшей" в некотором смысле оценки начального состояния системы Процесс такого оценивания называется "усвоением данных"

Задача определения начального состояния модели океана является обратной задачей высокой размерности - очень трудоемкой с вычислительной точки зрения Например, даже для достаточно грубой дискретизации области Индийского океана (1°х1/2°хЗЗ) число начальных значений температуры, солености и компонент горизонтального вектора скорости составляет порядка 2 0*106

Одной из самых быстрых программ моделирования динамики океана является сигма-модель общей циркуляции океана ИВМ РАН Сигма-модель основана на методе расщепления и неявных схемах интегрирования (Марчук 1980, Залесный 1984) Качество сигма-модели динамики океана ИВМ РАН проверено как для расчетов циркуляции Мирового океана, так и для расчета циркуляции других акваторий

Актуальной является задача дополнения сигма-модели океана ИВМ РАН методами решения обратной задачи инициализации динамики океана Для решения задачи инициализации необходимо также усовершенствование алгоритмов прямой сигма-модели ИВМ РАН

Цель диссертационной работы

Целью диссертационной работы является разработка и исследование методов и алгоритмов инициализации океанологических полей в сигма-модели общей циркуляции океана ИВМ РАН Методологической основой алгоритмов является метод расщепления и сопряженных уравнений

Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие основные задачи

1 Разработка эффективного вычислительного алгоритма решения задачи вариационной инициализации модели океана Разработка сопряженной сигма-модели динамики океана

2 Разработка алгоритмов и программной реализации сигма-модели ИВМ РАН для многопроцессорных вычислительных систем

3 Разработка алгоритмов для решения прямой и сопряженной задачи вычисления функции уровня

Методы исследования

Предлагаемые в работе алгоритмы усвоения данных основаны на вариационном принципе Для вычисления градиента и минимизации функционала используется аппарат сопряженных уравнений Алгоритм решения сопряженной системы уравнений базируется на методе расщепления

Научная новизна работы

1 Для решения задачи инициализации сигма-модели общей циркуляции океана впервые разработана сопряженная сигма-координатная модель общей циркуляции океана В отличие от других работ благодаря использованию специальных дискретизаций и неявных схем в прямой и сопряженной моделях на порядок понижено число шагов по времени, что принципиально для вычислительной эффективности решения сопряженной и обратной задачи

2 Реализован оригинальный модульный алгоритм решения задачи инициализации океана основанный на методе расщепления по физическим и геометрическим координатам Он состоит из трех базовых компонент решения прямой задачи, решения сопряженной задачи (в обратном времени), решения задачи оптимизации функционала

3 Предложен алгоритм решения задачи вычисления "функции уровня" в модели общей циркуляции океана В отличие от других реализаций моделей динамики океана, где для решения этой задачи используются методы без формирования матрицы оператора, предложено явным образом формировать матрицу оператора задачи с применением современных методов решения СЛАУ Показано, что использование таких методов позволяет, в данном случае, ускорить время решения этой задачи в среднем в 100 раз

4 Разработана адаптивная вычислительная процедура, обеспечивающая эффективное решение СЛАУ для задачи "функции уровня" Вычислительная эффективность достигается благодаря автоматическому выбору прямых разреженных или итерационных методов и параметров предобуславливания в зависимости от свойств задачи и вычислительной техники

5 Предложен алгоритм распараллеливания модели общей циркуляции океана Вычислительный алгоритм сигма-модели базируется на методе расщепления и неявных схемах, что требует специальных параллельных алгоритмов

Реализация результатов работы

Разработанные алгоритмы включены в программу моделирования общей циркуляции океана ИВМ РАН

Разработан программный комплекс, предназначенный для решения задачи инициализации данных наблюдений Комплекс успешно опробован на решении задачи инициализации Индийского океана

Проведен цикл экспериментальных исследований практических разработок с использованием этих программ

a) Проведены численные эксперименты по усвоению данных наблюдений для областей Мирового океана

b) Разработанные алгоритмы применены для моделирования Индийского океана с высоким пространственным разрешением

c) Разработанное программное обеспечение используется в Национальном центре среднесрочного прогноза погоды (КСМБЖР) в Индии, что подтверждается актом внедрения

Численные эксперименты подтверждают работоспособность и вычислительную эффективность разработанных алгоритмов

Практическая значимость

1) Разработан комплекс программ для решения задачи инициализации океанологических полей Разработанный комплекс программ может быть использован для решения задачи краткосрочного (среднесрочного) прогноза погоды в океане

2) С помощью программы решения сопряженной задачи можно оценивать чувствительность уравнений модели к вариации входных параметров Комплекс позволяет проводить расчеты для идентификации начального условия в модели динамики океана за приемлемое время даже на однопроцессорных системах

3) Разработана параллельная программа моделирования динамики океана для многопроцессорных вычислительных систем с распределенной памятью Так, например, параллельная программа позволяет ускорить моделирование до 70 раз для расчетной области 700x400x33 на 180 процессорах

4) Разработана версия модели динамики Индийского океана с качественно новым пространственным разрешением 1/8°х1/12°х21 Версия модели использована для моделирования муссонной циркуляции Индийского океана

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научных семинарах ИВМ РАН, Гидрометцентра России, на российских и международных научных конференциях В том числе на ассамблее европейского геофизического союза (Вена, 2006), международной летней океанографической школе (JIa-Лонде, Франция, 2004), "Параллельные вычисления и задачи управления" (РАСО, Москва, 2004) на конференции "Параллельные методы вычислительной гидродинамики" (PCFD Москва 2003) Содержание отдельных разделов диссертации доложены автором и обсуждены на двух научных конференциях МФТИ (Москва 2001, 2002), на семинаре в Национальном центре среднесрочного прогноза погоды (NCMRWF, Нойда, Индия)

Публикации по диссертации

По теме диссертации автором опубликовано 8 печатных работ, из них 2 опубликованы в реферируемых журналах рекомендуемых ВАК РФ для защиты кандидатских диссертациях Объем печатных работ 178 страниц, из них 46 принадлежат лично автору Результаты исследований отражены также в научно-технических отчетах ИВМ РАН за 2003-2006 год

Личный вклад автора

Вклад автора в совместные работы заключается в совместной постановке и анализе численных экспериментов [1-8] В разработке методов распараллеливания и технической реализации в [1], в реализации и совместной разработке сопряженной системы уравнений и алгоритмов усвоения данных в [4-7]

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы Объем диссертации 125 страниц и содержит, кроме основного текста, 29 рисунков, 5 таблиц и список литературы из 120 наименований

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отражена актуальность темы диссертационной работы и формулируются ее основные цели

Первая глава содержит обзор теоретических работ по решению задач усвоения данных океанографических наблюдений Приведены оценки требований к вычислительным ресурсам основных методов усвоения данных Показано, что использование сигма-модели ИВМ РАН в качестве основы системы усвоения данных может значительно повысить вычислительную эффективность

Вторая глава посвящена разработке алгоритмов усвоения данных наблюдений на базе вариационных методов и аппарата сопряженных уравнений применительно к сигма-модели В параграфе 2 1 приведены уравнения сигма-модели общей циркуляции океана и описан метод расщепления, применяемый для решения уравнений Математическая модель основывается на примитивных уравнениях океана в приближениях Буссинеска, гидростатики, записанных в а -системе координат Прогностическими переменными модели служат горизонтальные компоненты вектора скорости (и, V), потенциальная температура Т, соленость 5, "приводное" давление ро(ро= > гДе С' уровень моря)

В параграфе 2 2 разработан алгоритм решения задачи вариационного усвоения данных наблюдений в модели динамики океана, основанной на системе примитивных уравнений Рассматривается система уравнений сигма-модели динамики океана с неизвестным начальным условием Предполагается, что поля приводного давления, горизонтальных компонент вектора скорости, температуры и солености в начальный момент времени ? = г0 неизвестны или известны с некоторой погрешностью Предположим, что недостаток информации о начальных полях можно дополнить за счет данных измерений, имеющихся на некотором интервале по времени 10<1<11 Сформулируем следующую

задачу инициализации Найти такие гидрофизические поля р0°, иV0, Т°, 51" , стартуя с которых, модель генерирует решение, минимально отклоняющееся от данных наблюдений на указанном интервале по времени 0 < I < г,

Введем в рассмотрение функционал отклонения решения от данных наблюдений

Ро оЬя > иоЬз ! УоЬз > ^оЬа > ^оЬл

М,=0 '4=0 ' Т1о >4=0 > Рои = ^ +Л+Л+Л+ ^ , (1)

где

■Л =Г„ \ /(«и-иь)ЧО+\-аи )\т,Хи-и^ОЭА

^ а ^ ов

1 й ^ од

^ д ^ о а

^ оо 1 1

Ар ^ О £>0

Здесь 0 = 0(х,у,а)- область, В0=О(х,у, 0), а^,, «г, - некоторые весовые

функции, ур, уг, у%, уи, УЬ - параметры регуляризации, т^ - характеристическая функция

данных наблюдений Ть, 8Ь, р0 ь, иь, Уь - известные функции "бэкграунда" Тогда постановка задачи инициализации состоит в условной минимизации функционала 3 на решениях системы уравнений сигма-модели динамики океана Известно, что эффективными методами ее решения являются методы оптимизации, базирующиеся на вычислении градиента функционала в зависимости от контрольных переменных (в нашем случае начального условия) Это могут быть методы типа градиентного спуска или квазиньютоновские методы, часто используемые в практических расчетах Эффективным способом определения градиента является решение задачи сопряженной к производной оператора При этом достаточно на каждой итерации решить в обратном времени один раз сопряженную задачу

Задача минимизации функционала отклонения решения от наблюдений в данной постановке не обладает свойством плотной разрешимости, т е даже при нулевом параметре регуляризации нельзя гарантировать, что найдется такое начальное условие уравнений модели динамики океана, при котором значение функционала отклонения станет меньше заданного е Однако практические расчеты показывают, что, с помощью метода вариационного усвоения данных наблюдений, во многих случаях удается существенно уменьшить значение функционала, оставаясь на решении системы уравнений динамики океана

В главе получены сопряженные системы уравнений, соответствующие каждому блоку метода расщепления, приведен вывод сопряженной системы уравнений для этапа адаптации скорости и для этапа нелинейной диффузии, получена формула градиента

функционала Предложен алгоритм решения сопряженной системы уравнений, базирующийся на неявных схемах Для того, чтобы определить градиент функционала в зависимости от контрольных переменных (в нашем случае это начальное значение),

рассмотрим расширенный функционал с множителями Лагранжа ^и 'v ,cú 'Р Проварьируем расширенный функционал L и приравняем к нулю коэффициенты при каждом компоненте Su, Sv, 8(0, Sp, 8Г, SS Учитывая соответствующие граничные условия, получим сопряженную задачу Тогда градиент функционала можно получить из SL = уи |Ц=0-u„)dD+rx J(v|,=0-vb)dD+

D D

Гт JOto-Tb)dD + rs J(4=„ ~Sb)dD+ yp J(aL +

D D D,

D

где сопряженные функции являются решением соответствующей сопряженной системы уравнений Зная градиент функционала, можно построить итерационный алгоритм решения обратной задачи инициализации Алгоритм состоит в следующей последовательности шагов 1) в решении прямой задачи и вычислении отклонения модельного решения от данных наблюдений (источники в сопряженной задаче), 2) в решении в обратном времени сопряженной задачи и вычислении градиента функционала, 3) в расчете поправки начального условия в соответствии с вычисленным градиентом функционала

Сопряженная система уравнений имеет более сложный вид, чем уравнения исходной прямой модели, однако структура основных блоков одна и та же Это достигается за счет симметризованной формы записи прямой системы уравнений и является оригинальной особенностью сигма-модели ИВМ РАН Исключение составляют задачи, решаемые на этапах адаптации по вертикальной координате Для решения такой задачи удобно использовать представление горизонтальных компонент вектора скорости u*,v* в виде суммы их средних значений по вертикали и отклонений от них В таком случае удается свести сопряженную задачу к виду, аналогичному для прямой, и воспользоваться разработанными алгоритмами решения прямой задачи

В параграфе 2 4 разработан алгоритм идентификации для задачи переноса-диффузии тепла в океане Сформулирована задача идентификации начальных и граничных условий

как задачи минимизации функционала отклонения от данных наблюдений Выписан итерационный процесс минимизации функционала и приведена теорема, обосновывающая разработанный алгоритм идентификации

В третьей главе описаны разработанный метод распараллеливания сигма-модели динамики океана и эффективный алгоритм решения задачи для "функции уровня"

4 8 16 32 64 12В 256

Число процессоров

Рисунок 1. Ускорение, полученное на МВС 1000М для пространственного разрешения 2.5°х2°хЗЗ (148x88x33) и 0 5°х0 4°хЗЗ (720x420x33) для области Мирового

океана

Задача определения начального состояния океана является очень трудоемкой с вычислительной точки зрения Наибольшее ускорение расчетов можно получить за счет параллелизации алгоритмов решения сигма-модели и использования супер-компьютеров В параграфе 3 1 разработан метод и алгоритм распараллеливания программы решения уравнений сигма-модели ИВМ РАН с граничным условием "твердой крышки" для многопроцессорных вычислительных систем с распределенной памятью Большинство современных программ моделирования динамики океана используют явные схемы для интегрирования уравнений по времени В отличие от большинства моделей динамики океана способ решения уравнений модели циркуляции океана ИВМ РАН основан на использовании метода расщепления и неявных схемах Проведен анализ наиболее трудоемких мест алгоритма решения уравнений модели В параллельной программной реализации модели использован подход SPMD (одна программа - множество данных) Обмены между процессорами реализованы с помощью MPI Основные трудности в распараллеливании программной реализации связаны с решением трехмерного уравнения переноса-диффузии с помощью неявных схем и расчетом функции тока Дополнительные

сложности связаны с использованием балансных конечно-разностных аппроксимаций на сдвинутых сетках и со сложностью расчетной области Для блока переноса-диффузии предлагается использовать алгоритм с одномерным распределением данных по процессорам и транспонированием На один шаг интегрирования по времени требуется две операции транспонирования

В главе решена задача автоматического разбиения сложной расчетной области на одномерные подобласти, позволяющего сбалансировать нагрузку на процессоры Если, например, для расчетной области Мирового океана применять равномерное распределение по широте и долготе, то нагрузка на один процессор больше, чем на другие в несколько раз Для решения этой проблемы было применено равномерное распределение по числу расчетных точек Разработан алгоритм автоматического разбиения, в котором учитывается сдвиг сеток для разных типов данных (температуры, компонентов вектора скоростей и функции тока)

Для параллельной версии модели получено ускорение в 12 раз для разрешения 2 5°х2°хЗЗ (148x88x33) на 32 процессорах и в 68 раз на 180 процессорах для разрешения 0 5°х0 4°хЗЗ (720x420x33) (см рис 1)

В параграфе 3 2 описан разработанный алгоритм решения задачи модуля "функции уровня " (2)-(4) дополненной соответствующими граничными условиями

M_lv=mgK^RU> (2)

at ox

|(3)

±к.

mn dt

д (HU\ j Э fHV 3xv n J dy\m

= 0, (4)

где х- широта, у- долгота, время , / - параметр Кориолиса, II, V • средние по

I 1

вертикали горизонтальные компоненты скорости и = , V=jvd(T, уровень

о о

океана, Я - коэффициент трения о дно - заданная положительная величина К уравнениям (2)-(4) присоединяются граничные условия непротекания

Уравнения (2)-(4) аппроксимируются неявно на интервале по времени ^ < / < и задача сводится к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для , и, V Так как матрица системы не меняется на каждом шаге по времени, а шагов по времени очень

много, то временем необходимым для LU разложений матрицы или построения предобуславлпвателя можно пренебречь по сравнению со временем, требуемым для решения задачи с большим количеством правых частей. Соответственно, эффективны^ с точки трепня быстродействия, вычислительный алгоритм должен обеспечивать наиболее быстрое решение СЛЛУ на каждом шаге по времени при ограничениях на использованную память. Для построения такого алгоритма используются современные методы решения ра зреженных СЛЛУ, учитывающие свойства разреженности матрицы.

Таблица I. Свойства и время решения СЛАУ и задаче о "функции уровня" с

примой метод решения (Super Lu)

Число неизвестных 16879

Число ненулевых элементов в матрице 106657

Число ненулевых элементов в 1 1274839

Необходимая память 16М

Время на Ш разложение (сек.) 0,85

Время на решения СЛАУ с одной правой частью (сек.) 0,03

Таблица 2, Время решения одной СЛАУ в секундах для задачи « "функции уровня" без учета временя на построен не предобу слав л и вател и е помощью выбранных итерационных методов. (1(111 - максимальное число внедиатональных элементов в неполном LU разложении (II. Г'Г), tiroptol - порог отбр асы ван ни внедна тональных __Элементов в преднбуслап.тивателс)_

итерационные методы

параметры

предобуславливания GMRES BCG TFQMR DQGMRES

33 Нет Нет 33

без предо бусл авл и s а н н я сходимости сходимости

1Ш{0) 7 4,95 3,06 14

!LUT(lflll = 10, dropto! = 0) 2,5 3,3 2,18 3.87

ILUTflfill = 30. droptol = 0) 0,46 0,73 0,73 0,51

ILUT(lflll = 50, droptol = 0) 0,35 0,63 0,39 0,4

¡LUT(lfill = 70, dropto! = 0) 0.32 0,51 0,31 0.37

lLUT(1fll1 = 100, droptol = 0) 0,34 0,43 0,28 0.37

ILUT(lfill = 100, droptol = 1E-4) 0.34 0,42 0,33 0,37

ILUTflfill = 100, droptol = 1E-6) 0,28 0.342 0,28 0,32

ILUTflftll = 100, droptol = 1E-8) 0,32 0,37 0,26 0,34

Подученная в результате дискретизации СЛАУ, в зависимости ог свойств вычислительной техники и размерности системы, решается либо разреженными прямыми методами (SuperL.ii), либо итерационными методами на основе Крыловеких пространств е неполным Ш разложением матрицы в качестве предобуславливателя. I [роведено уравнение равных методов решения СЛЛУ для задачи (2)-(4). В таблице 1 приведены параметры матрицы, полученной из задачи для "функции уровня", для расчетной области

Охотского моря с числом расчетных точек 173x88 и показано время необходимое для Ьи разложения матрицы и решения треугольной матрицы В таблице 2 приведено время решения одной СЛАУ с помощью итерационных методов с предобуславливанием для задачи о "функции уровня" Видно, что, если памяти для хранения разложения матрицы достаточно, то имеет смысл использовать прямые методы Так же показано, что использование более "сильных" предобуславливателей может ускорить решение этой задачи в 100 раз Еще один вывод, состоит в том, что при решении этой задачи, свойства сходимости метода ОМЯ оказывается не хуже, чем метода ОМЯЕв Метод ОМЯ не требует хранить пространство Крылова, поэтому он оказывается эффективным с точки зрения использования памяти

Разработана процедура автоматического выбора метода решения в зависимости от свойств СЛАУ и доступной оперативной памяти

Аналогичные алгоритмы используются как для решения задачи (2)-(4), так и сопряженной к ней Отметим, что безитерационный алгоритм решения задачи о "функции уровня" позволяет рассчитывать алгебраически точное значение градиента к дискретизованной прямой модели

В четвертой главе описываются проведенные численные эксперименты по моделированию динамики океана с высоким пространственным разрешением 1/8° по долготе и 1/12° по широте Численный эксперимент по моделированию Индийского океана является первым расчетом с высоким пространственным разрешением, проведенным с помощью сигма-моделью ИВМ РАН Одной из основных целей эксперимента является оценка адекватности вихреразрешающей сигма-модели ИВМ РАН и оценка способности сигма-модели ИВМ РАН быть составной частью системы усвоения данных Расчеты квазиравновесной циркуляции Индийского океана проведены на 15 лет с помощью параллельной программы сигма-модели океана На рис 2 приведены поля скорости, полученные по модели с высоким разрешением Сравнение результатов численного эксперимента со схемами течений, построенными по данным наблюдений, показывает адекватность вихреразрешающей сигма-модели и разработанных алгоритмов

а УЫои'у а! 30т рапиагу)[ст/з]

юз

& о( 30т ^ШуЯстД]

Т55-

Рисунок 2. Вычисленные среди емеспч ные скорости течений Индийского океана 15-го расчетного года (в с/■ с-"1) д.1и января (и) н июля ((5) на глубине31) м

В параграфе 4.2 проведены численные эксперименты по решению задачи по восстановлению начального условия в модели динамики океана. Численные эксперименты по идентификации начального условия температуры, солености, скорости и сигма-модели динамики океана проводились в расчетной области Индийского океана. Пространственное разрешение !°х0.5°. Размер сеточной области 124x35x33. Период усвоения 1 сутки. Модельный шаг но времени 2 часа. В качестве данных наблюдений использованы реальные данные о поверхностной температуре н аномалии уровня. Управляя начальным условием, с помощью разработанных алгоритмов удается значительно уменьшить значения функционала отклонения. Результаты численных Экспериментов показывают эффективность разработанных алгоритмов.

Проведены численные эксперименты типа "идентичных близнецов", в которых в качестве данных наблюдений использовались заранее рассчитанные по прямой модели [юля скорости, температуры, солености, уровня. Результаты расчетов показывают, что разработанный алгоритм с хорошей точностью восстанавливает начальные ноля течений,

температуры, солености и уровня океана по информации об их поведении на временном интервале порядка нескольких суток

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Главный результат диссертационной работы состоит в следующем разработан алгоритм решения задачи инициализации океанологических полей, основанный на методах расщепления по физическим процессам и по пространственным координатам и сопряженных уравнений Получены следующие результаты

1) Для решения задачи инициализации океана разработана сопряженная сигма-координатная модель общей циркуляции океана, основанная на методе расщепления с граничным условием свободной поверхности Благодаря использованию специальных дискретизаций и неявных схем в прямой и сопряженной моделях, уменьшено число шагов по времени, что приводит к увеличению быстродействия Уравнения расщепленной сопряженной модели и градиент функционала отклонения получены в явном виде

2) Предложен алгоритм распараллеливания прямой модели общей циркуляции океана ИВМ РАН, основанной на методе расщепления и неявных схемах Разработанная параллельная программа моделирования обеспечивает ускорение расчетов до 70 раз

3) Предложен алгоритм решения задачи о "функции уровня" в прямой и сопряженной моделях общей циркуляции океана Предложено явным образом формировать матрицу оператора задачи с применением современных методов решения СЛАУ Использование таких методов позволяет ускорить время решения этой задачи в среднем в 100 раз За счет применения этого алгоритма удалось повысить как быстродействие, так и точность расчетов динамики океана Разработана адаптивная вычислительная процедура, обеспечивающая эффективное решение СЛАУ для задачи о "функции уровня"

4) Разработан комплекс программ для решения задачи усвоения данных наблюдений Комплекс состоит из трех основных частей решения прямой задачи, решения сопряженной задачи (в обратном времени), решения задачи оптимизации функционала Разработанные программы успешно опробованы на решении задачи инициализации Индийского океана в рамках эксперимента "идентичных близнецов" и с использованием реальных данных наблюдений

5) Разработаны версии модели ИВМ РАН Индийского океана с высоким пространственным разрешением 1/8°х1/12°х21 Проведены расчеты муссонной циркуляции Индийского океана, демонстрирующие адекватность сигма-модели ИВМ РАН

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Русаков А.С, Дианский Н.А. Параллельная модель общей циркуляции океана для многопроцессорных вычислительных систем //Информационные технологии. Издательство Машиностроение 2003 №8. С. 20-26.

2 Marchuk G I, Rusakov A S , Zalesny V В and Diansky N A Splitting Numerical Technique with Application to the High Resolution Simulation of the Indian Ocean Circulation //Pure and Applied Geophysics 2005 Vol 12 Issue 8-9 P 1407-1429

3 Marchuk G I, Diansky N A , Moshonkm S N , Zalesny V В , Rusakov A S , Highresolution simulation of monsoon variability of the Indian Ocean Currents // Russ J Numer Anal Math Modelling 2007 Vol 21, No 2 P 153-168

4 Zalesny V B, Rusakov A S, Numerical algorithm of data assimilation based on splitting and adjoint equation methods // Russ J Numer Anal Math Modelling 2007 Vol 22, No 2 P 199-219

5 В Б Залесный, А С Русаков Восстановление начального условия в задаче динамики океана / Труды II международной конференции "Параллельные вычисления и задачи управления" Москва 2004 С 15

6 Agoshkov V I, Zalesny V В, Mmuk F Р, Rusakov A S Study and Solution of Identification Problems for Nonstationary 2D- and 3D- Convection-diffusion equation // Russ J Numer Anal Math Modelling 2005 Vol 20, No 1 P 19-43

7 Агошков В И, Залесный В Б, Минюк Ф П, Русаков А С Восстановление внешних источников в задачах теплообмена в океане// Методы и технологии решения больших задач - М ИВМ РАН 2004 г С 6-60

8. Дианский Н.А., Залесный В Б , Мошонкин С.Н., Русаков А С Моделирование муссонной циркуляции Индийского океана с высоким пространственным разрешением. // Океанология. 2006 Vol. 46, No 5. Р 650-671

Заказ № 125/09/07 Подписано в печать 17 09 2007 Тираж 110 эьз Уел п л 1

_. ООО "Цифровичок", тел (495) 797-75-76, (495) 778-22-20 млоу с/г ги, е-тай т/о@с/г ги

'\vlVV

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ УСВОЕНИЯ ДАННЫХ НАБЛЮДЕНИЙ В ОКЕАНЕ.

1.1 Основные понятия в задачах усвоения данных наблюдений.

1.2 Методы последовательного усвоения данных.

1.3 Вариационные методы.

1.4 Требования к вычислительным ресурсам.

Выводы.

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ ИНИЦИАЛИЗАЦИИ ГИДРОФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В СИГМА-МОДЕЛИ ДИНАМИКИ ОКЕАНА С ПОМОЩЬЮ АППАРАТА СОПРЯЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ.

2.1 Уравнения модели динамики океана в сигма-системе координат и метод расщепления

2.2 Постановка задачи инициализации. Разработка сопряженной сигма-модели динамики океана.

2.3 Алгоритм решения задачи инициализации гидрофизических полей.

2.4 Задача усвоения данных наблюдений для трёхмерного уравнения переноса-диффузии тепла

Выводы.

ГЛАВА 3. УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ СИГМА-МОДЕЛИ ДИНАМИКИ ОКЕАНА ИВМ РАН.

3.1 Разработка параллельного алгоритма моделирования динамики океана.

3.2 Разработка алгоритмов для решения задачи о функции уровня.

Выводы.

ГЛАВА 4. ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗРАБОТАННОГО ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ И ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ.

4.1 Моделирование муссонной циркуляции индийского океана с высоким пространственным разрешением.

4.2 Численные эксперименты по инициализации гидрофизических полей Индийского океана с помощью сигма-модели ИВМ РАН.

Выводы.

Современные системы долгосрочного и среднесрочного прогноза погоды в качестве необходимой составляющей включают прогноз океанической среды. Одним из основных требований к успешному прогнозу состояния океана является точное задание начальных условий для прогнозируемых полей -инициализация модели океана. В настоящее время накоплено и доступно в оперативном режиме большое количество данных наблюдений состояния океана. Их можно использовать как для целей прогноза, так и для исследования структуры океанических полей и их изменчивости. Прежде чем проводить прогноз с помощью численной модели, необходимо найти способ использования имеющейся информации, полученной с помощью измерений, для «наилучшей» в некотором смысле оценки начального состояния системы. Процесс такого оценивания называется "ассимиляцией", или "усвоением данных".

Задача определения начального состояния модели океана является обратной задачей высокой размерности - очень трудоемкой с вычислительной точки зрения. Например, даже для достаточно грубой дискретизации области Индийского океана (1°х1/2°хЗЗ) число начальных значений температуры, солености и компонент горизонтального вектора скорости составляет порядка 2.0* 106.

Одной из самых быстрых программ моделирования динамики океана является сигма-модель общей циркуляции океана Института вычислительной математики РАН (ИВМ РАН). Сигма-модель основана на методе расщепления и неявных схемах интегрирования (Марчук, 1980; Залесный, 1984). Качество сигма-модели динамики океана ИВМ РАН проверено для различных пространственных разрешений как для расчетов циркуляции Мирового океана, так и для расчета циркуляции других акваторий. Поэтому актуальной задачей является разработка методов и алгоритмов анализа данных наблюдений для идентификации начального условия в сигма-модели общей циркуляции океана ИВМ РАН.

В ИВМ РАН проводятся работы по исследованию и решению задач усвоения данных наблюдений с использованием прямой сигма-модели ИВМ РАН. В работе (Агошков, Ипатова, 2006) исследованы вопросы разрешимости уравнений трехмерной модели динамики океана и задачи ассимиляции данных в предположении о линейной зависимости плотности от температуры и солености и при постоянном коэффициенте вертикальной диффузии. Модельные эксперименты по вариационному усвоению данных в задаче переноса-диффузии по вертикали исследованы в работе (Венцель, Залесный, 1996). Задачи по усвоению температуры поверхности океана решались в работах (Агошков В. И., Залесный В.Б., Минюк Ф. П., Русаков А.С., 2004; Agoshkov V. I, Zalesny V. В., Minuk F. P., Rusakov A. S., 2005; Шутяев, Пармузин, 2004), задача по усвоению уровня океана исследовалась в работе (Агошков В. И. и др., 2007). В этих работах использовалась нелинейная сигма-модель динамики океана ИВМ РАН, но алгоритмы расщепления выбирались такими, что они позволяли осуществлять вариационное усвоение в рамках одного из этапов метода расщепления. В диссертации решается задача иницилизации и строится сопряженный оператор для полной нелинейной сигма-модели динамики океана, с граничным условием свободной поверхности.

Для эффективного решения задачи инициализации модели динамики океана необходимо также усовершенствование алгоритмов решения прямой и сопряженной сигма-модели ИВМ РАН. В диссертации разработана параллельная программная реализации модели ИВМ РАН для многопроцессорных вычислительных систем с распределенной памятью. Так как важной частью наблюдений океана являются спутниковые наблюдения аномалии поверхности океана, необходимо дополнить модель ИВН РАН эффективным методом решения задачи вычисления функции уровня. Разработка такого метода также является задачей данной работы.

Целью диссертационной работы является разработка и исследование методов и алгоритмов инициализации океанологических полей в сигма-модели общей циркуляции океана ИВМ РАН. Методологической основой алгоритмов являются методы расщепления и сопряженных уравнений.

Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие основные задачи:

1. Разработка эффективного вычислительного алгоритма решения задачи вариационной инициализации модели океана. Разработка сопряженной сигма-модели динамики океана.

2. Разработка алгоритмов и программной реализации сигма-модели ИВМ РАН для многопроцессорных вычислительных систем.

3. Разработка алгоритмов для решения прямой и сопряженной задачи вычисления функции уровня.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Первая глава содержит анализ подходов и теоретических работ по решения обратных задач динамики океана. Приведены основные понятия о задачах об усвоении данных наблюдений. Обоснован выбор метода усвоения данных наблюдений. Приведены оценки требований к вычислительным ресурсам методов усвоения данных.

Выводы

1) Впервые проведен численный эксперимент по моделированию муссонной циркуляции Индийского океана с высоким пространственным разрешением с использованием сигма-модели ИВМ РАН. Сравнение результатов численного эксперимента со схемами течений, построенными по данным наблюдений (Tomczak et al., 2003; Shankar et al., 2002), показывает адекватность сигма-модели и разработанных алгоритмов. Высокое разрешение дает возможность воспроизвести не только общие закономерности структуры и изменчивости муссонных течений, но и описать локальные особенности ее пространственно - временной изменчивости. Таким образом, результаты численного эксперимента позволяют сделать вывод, что сигма-модель ИВМ РАН способна быть составной частью системы прогноза океанологических полей.

2) Проведены численные эксперименты по инициализации сигма-модели динамики океана. Приведены как результаты численных экспериментов в режиме "идентичных близнецов", так и результаты по усвоению реальных данных наблюдений о температуре поверхности и аномалии уровня океана. Численные эксперименты с реальными данными наблюдений показали, что, при усвоении только температуры поверхности океана, ошибка восстановления поверхностной температуры не превышает 0.4 градусов в большинстве районов расчетной области Индийского океана. При восстановлении только уровня океана ошибка восстановления меньше 0.5 см. в большей части расчетной области. Типичное число итераций квазиньютовского метода оптимизации в экспериментах 40-80. Численные эксперименты подтвердили работоспособность разработанных алгоритмов и программного обеспечения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Главный результат диссертационной работы состоит в следующем: разработан алгоритм решения задачи инициализации океанологических полей, основанный на методах расщепления по физическим процессам и по пространственным координатам и сопряженных уравнений. Получены следующие результаты:

1) Для решения задачи инициализации океана разработана сопряженная сигма-координатная модель общей циркуляции океана основанная на методе расщепления с граничным условием свободной поверхности. Благодаря использованию специальных дискретизаций и неявных схем в прямой и сопряженной моделях, понижено число шагов по времени, что приводит к увеличению быстродействия. Уравнения расщепленной сопряженной модели и градиент функционала отклонения получены в явном виде.

2) Предложен алгоритм распараллеливания прямой модели общей циркуляции океана ИВМ РАН, основанной на методе расщепления и неявных схемах. Разработанная параллельная программа моделирования обеспечивает ускорение расчетов до 70 раз.

3) Предложен алгоритм решения задачи о "функции уровня" в прямой и сопряженной моделях общей циркуляции океана. Предложено явным образом формировать матрицу оператора задачи с применением современных методов решения СЛАУ. Использование таких методов позволяет ускорить время решения этой задачи в среднем в 100 раз. За счет применения этого алгоритма удалось повысить как быстродействие, так и точность расчетов динамики океана. Разработана адаптивная вычислительная процедура, обеспечивающая эффективное решение СЛАУ для задачи о "функции уровня". Вычислительная эффективность достигается благодаря автоматическому выбору прямых разреженных или итерационных методов и параметров предобуславливания в зависимости от свойств задачи и вычислительной техники.

4) Разработан комплекс программ для решения задачи усвоения данных наблюдений. Комплекс состоит из трех основных частей: решения прямой задачи; решения сопряженной задачи (в обратном времени); решения задачи оптимизации функционала. Разработанные программы успешно опробованы на решении задачи инициализации Индийского океана в рамках эксперимента "идентичных близнецов" и с использованием реальных данных наблюдений.

5) Разработаны версии модели ИВМ РАН Индийского океана с высоким пространственным разрешением 1/8°х1/12°х21. Проведены расчеты муссонной циркуляции Индийского океана, демонстрирующие адекватность вихреразрешающей сигма-модели ИВМ РАН.

1. Агошков В. И. Методы оптимального управления и сопряжённых уравнений в задачах математической физики - М.: Наука 2003.

2. Агошков В. И., Залесный В.Б., Минюк Ф. П., Русаков А.С. Восстановление внешних источников в задачах теплообмена в океане.// Методы и технологии решения больших задач. М.:ИВМ РАН, 2004, С. 7-60.

3. Агошков В. И., Ипатова В. М. Теоремы существования для трехмерной модели динамики океана и задачи ассимиляции данных // Докл. РАН. 2007. Т. 412, Т. 412., №2, С. 151-153.

4. Алексеев В.В., Залесный В.Б. Численная модель крупномасштабной динамики океана. // Вычислительные процессы и системы. Под ред.Г.И.Марчука. Вып. 10. М: Наука, 1993, С. 232-252.

5. Антипов С.В., Дианский Н.А., Гусев А.В. Особенности распространения радиоактивного загрязнения в северо-западной части Тихого океана. //Известия РАН, Энергетика, 2006. С. 52-70.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М., Численные методы: Учебное пособие. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 600 С.

7. Василевский Ю.В., Прокопенко А.В. Факторизация на последовательностях сеток. // Методы и технологии решения больших задач на ЭВМ М: ИВМ РАН. 2004. С. 103-117.

8. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

9. Венцель М., Залесный В.Б. Усвоение данных в одномерной модели конвекции-диффузии тепла в океане. // Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 1996. т.32, №5. с. 613-629.

10. Ю.Воеводин В.В., Воеводин Вл. В., "Параллельные вычисления", БХВ-Петербург, 2002. 609 С.

11. П.Гандин JI.C. Объективный анализ метеорологических полей. JI.: Гидрометиздат. 1963.

12. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. /Пер. с англ. М.: Мир, 1984,333 С.

13. Дианский Н. А., Багно А. В., Залесный В. Б. Сигма-модель глобальной циркуляции океана и ее чувствительность к вариациям напряжения трения ветра.// Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 2002. Т. 38, № 4. С. 537-556.

14. Дианский Н. А., Залесный В.Б., Мошонкин С.Н., Русаков А.С. Моделирование муссонной циркуляции Индийского океана с высоким пространственным разрешением. // Океанология. 2006. Т. 46, № 5. С. 650-671.

15. Ефимов С. С., Семенов Е. В. О зависимости результатов модельных расчетов по схеме четырехмерного анализа от начального состояния. // Океанология. 1990. Т. 30, № 1. С. 21-26.

16. Залесный В.Б. Моделирование крупномасштабных движений в мировом океане. Отдел вычислительной математики АН СССР 1984. 157 С.

17. Ипатова В.М. Задача усвоения данных для модели общей циркуляции океана в квазигеострофическом приближении. Деп. в ВИНИТИ №2333-В92.М. 1992.

18. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука. 1969.

19. Лебедев В.И. Метод ортогональных проекций для конечно-разностного аналога одной системы уравнений. // Доклады АН СССР, 1957. Т.113. С. 1206-1209.

20. Марчук Г.И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана. -Л.: Гидрометеоиздат. 1974.

21. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.:Наука. 1980. С.535.

22. Марчук Г.И. Методы расщепления М.:Наука. 1988. С. 263.

23. Марчук Г.И. О постановке некоторых обратных задач. // Доклады АН СССР. 1964. Т. 156, №3. С. 503-506.

24. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залесный В.А. Математические модели в геофизической гидродинамики и численные методы их реализаций. Д.: Гидрометеоиздат. 1987. С. 296.

25. Моисеев Н.И. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука. 1971.

26. Мошонкин С.Н., Дианский Н.А., Гусев А.В. Влияние взаимодействия Атлантики с Северным Ледовитым океаном на Гольфстрим. // Океанология. 2007. Т. 35, № 1. С. 45-52.

27. Реснянский Ю. Д. Математическое моделирование верхнего перемешанного слоя и крупномасштабной динамики океана. // Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Гидрометеорологический центр России. -Москва, 2002.

28. Реснянский Ю.Д., Зеленько А.А., Эффекты синоптических вариаций атмосферных воздействий в модели общей циркуляции океана: прямые и косвенные проявления // Метеорология и гидрология. 1999. №9. С. 6677.

29. Русаков А.С., Дианский Н.А. Параллельная модель общей циркуляции океана для многопроцессорных вычислительных систем //Информационные технологии. Издательство Машиностроение. 2003. №8. С. 20-26.

30. Семенов Е. В., Лунева М. В., Численная модель приливной и термохалинной циркуляции вод белого моря. // Известия РАН. Физика Атмосферы и океана, 1996. Т. 32, №5. С. 704-713.

31. Федоренко Р.П. Приближённое решение задач оптимального управления.-М.: Наука. 1978.

32. Шутяев В. П., Пармузин Е. И. Задача восстановления начального условия в локально одномерной модели вертикального теплообмена //Методы и технологии решения больших задач на ЭВМ.-М: ИВМ РАН. 2004, С. 69-88.

33. Шутяев В.П. Операторы управления и итерационные алгоритмы в задачах вариационного усвоения данных. М.: Наука. 2001.

34. Agoshkov V.I, Zalesny V. В., Minuk F. P., Rusakov A. S. Study and Solution of Identification Problems for Nonstationary 2D- and 3D- Convection-diffusion equation. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2005. Vol. 20, No. l.P. 19-43.

35. Agoshkov V.I., Marchuk G.I. On solvability and numerical solution of data assimilation problems. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1993. Vol. 8. P. 1-16.

36. Amestoy P. R., Davis T. A., Du I. S. An approximate minimum degree ordering algorithm. // SIAM J. Matrix Anal. Applic. 17(4). 1996. P.886-905.

37. Anderson D. L. Т., Sheinbaumz J., Hainesx K. Data assimilation in ocean models. // Rep. Prog. Phys. No. 59. P. 1996 1209-1266.

38. AVISO. SALTO/DUACS User Handbook. 2002. CLS. AVI-NT-011-312-CN.

39. Bennett A.F. Inverse Methods in Physical Oceanography. Cambridge University Press. Cambridge/New York, 1992. P. 346.

40. Bergthorsson P., Doos B. Numerical weather map analysis. // Tellus. 1955. P. 329-340.

41. Bleck Rainer, Dean Summer, O'Keefe Matthew, Aaron Sawdey. A comparison of data-parallel and message-passing versions of the Miami Isopicnic Coordinate Ocean Model (MICOM) // Parallel Computing. 1995. Vol. 21. P. 1695-1720.

42. Blumberg A.F., Mellor G.L. A discription of a three-dimensional coastal ocean circulation model // Three-Dimansional Coastal Models/ Ed.: N. S. Heaps. Amer. Geophys. Union. 1987.

43. Boyer,T.P., Levitus S. Objective analysis of temperature and salinity for the world ocean on a 1/4 degree grid. NOAA Atlas NESDIS 11. 1997.

44. Bratseth A M. Statistical interpolation by means of successive corrections. Tellus 38A. 1986. P. 439^7.

45. Bryan K. A numerical method for the study of the circulation of the world ocean // J. Computational Physics. 1969. Vol. 4. P. 347-376.

46. Bryden D., San S., Bleck R. A new approximation of the equation of state for seawater, suitable for numerical ocean models // J. Geoph. Res. 1999. V.104, №C1. P. 1537-1540.

47. Budgell N.P. Stochastic filtering of linear shallow water wave processes. // SIAM. J. Sci. Stat. Comput. 1986. P. 34-42.

48. Carton J.A., Hackert E.C. Applications of multi-variate statistical objective analysis to the circulation in the tropical Atlantic. // Ocean. Dyn. Atm. Oceans. 1989. No. 13. P. 491-515.

49. Chao W.C., Chang L.-P. Development of a four-dimensional variational analysis system using the adjoint method at GLA. Part I. // Dynamics. Mon. Weather Rev. 1992. V. 120. P. 1661-1672.

50. Chassignet E. P., Hernan Arango, David Dietrich, Tal Ezer, Michael Ghil, Dale B. Haidvogel, C.-C. Ma, Avichal Mehra, Afonso M. Paiva, Ziv Sirkes. DAMEE-NAB: the base experiments. // Dynamics of Atmospheres and Oceans. 2000. No. 32. P. 155-183.

51. Chassignet E. P., J Verron. Ocean Weather Forecasting, An Integrated View of Oceanography. Springer, 2006 - P. 574.

52. Courtier P., Talagrand O. Variational assimilation of meteorological observations with the adjoint vorticity equation. II. Numerical results. // Quart. J. R. Meteorol. Soc. 1987. No. 111. P. 1329-1347.

53. Courtier P., Thepaut J.N., Hollingsworth A. A strategy for operational implementation of 4D-Var, using an incremental approach. // Quart. J. R. Meteorol. Soc. 1994. No. 120. P. 1389-1408.

54. Cressman G. An operational objective analysis system. // Mon. Wea. Rev., 1959. No. 87. P. 367-374.

55. Daley R. Atmospheric Data Analysis. Cambridge University Press, Cambridge. 1991.-P. 457.

56. Derber J.C., Rosati A. A global ocean data assimilation system. // J. Phys. Oceanogr. 1989. No. 19. P. 1333-1347.

57. Eydinov D. Automatic History Matching for a Compositional Reservoir Simulator with Flux Approximation. // Thesis of dissertation for the degree of philosaphiae doctor. University of Bergen. 2006.

58. Fischer J., Schott F., Stramma L. Currents and transports of the Great Whirl-Socotra Gyre system during the summer monsoon, August 1993. // J.Geophys.Res. Vol. 101. 1996, P. 3573-3588.

59. G.S. Gwilliam. James Rennell Center for Ocean Circulation, Gamma House, The OCCAM Global Ocean Model. Chilworth Research Center, Chilworth, Southampton. S016 7NS. UK

60. Garternicht,U., F.Schott. Heat fluxes of the Indian Ocean from a global eddy-resolving model. // J.Geophys.Res. 1997. Vol.102, No. C9. P. 2114721159.

61. Ghil M., Malanotte-Rizzoli P. Data assimilation in meteorology and oceanography. // Adv. Geophys. 1991. 33. P. 141-266.

62. Giering R., Kaminski T. Recipes for adjoint code constructions. // ACM Trans. Math. Software. 1998. Vol. 24. P. 437-474.

63. Gilbert J.-C., Lemarechal C. Some numerical experiment with variable storage quasi-Newton algorithms. // Math. Program., 1989, B25, P.408-435.

64. Gilchrist В., Cressman G. An experiment in objective analysis. // Tellus, 1954. No. 6. P. 309-318.

65. Gloukhov V. Parallel Computations in Problems of Climate Modeling. Parallel Computational Fluid Dynamics Advanced Numerical Methods, Software and Applications. Ed. B. Chetverushkin, A. Ecer, N Satofuka, P. Fox. 2004. Elsevier. P. 301- 308.

66. Griffies S.M., Boning C., Bryan F.O., Chassignet E.P., Gerdes R., Hasumi H., Hirst A., Treguier A.-M., Webb D. Developments in ocean climate modelling // Ocean Modelling. 2000. Vol. 2, P. 123-192.

67. Hollingsworth A. The role of real-time four-dimensional data assimilation in the quality control, interpretation and synthesis of climate data. Oceanic

68. Circulation Models, Combining Data and Dynamics. Ed D L T Anderson and J Willebrand Deventer: Kluwer. 1989. P. 304-39.

69. Jacob R, Schafer C., Faster I., Tobi M., Anderson J., Computational Design and Performance of the Fast Ocean Atmosphere Model Version One. // Climate and Global change Series. ANL/CGL-005-0401, April, 2001.

70. Jazwinski A.H. Stochastic Processes and Filtering Theory London: Academic Press, 1970 - P. 376.

71. Kalman R.E., Bucy R.S. New results in linear filtering and prediction theory. // ASME J. Basic. Eng., 1961, 83D, P. 95-108.

72. Kumar M.R., Shenoi S.S.C. On the role of the cross Equatorial flow on summer monsoon rainfall over India using NCEP/NCAR Reanalysis Data // Meteorology and Atmospheric Physics. 1999. V. 70, P. 201-213.

73. Lawless A.S., Nichols N.K., Balloid S.P. A comparison of two methods for developing the linearization of a shallow-water model. // Q.J.R.M.S., 2003, v.129, P.1237-1254.

74. Le Dimet F.-X., Charpentier I. Methodes de second order en assimilation de donnees. Equations aux Derivees Partielles et Applications (Articles dediees a Jacques-Louis Lions). Paris: Elsevier, 1998, P.623-639.

75. Le Dimet F.-X., Talagrand O. Variational algorithms for analysis and assimilation of meteorological observations: Theoretical Aspects. // Tellus, 1986, 38A, P. 97-110.

76. Le Traon P.Y., Dibarboure G., Ducet N. Use of a high resolution model to analyze the mapping capabilities of multiple altimeter missions. // J. Atm. Ocean. Tech., 18, 2001, P. 1277-1288.

77. Le Traon P.Y., Nadal F., Ducet N. An improved mapping method of multi-satellite altimeter data. //J. Atm. Ocean. Tech., 15,1998, P. 522-534.

78. Lewis J.M., Derber J.C. The use of adjoint equations to solve a variational adjustment problem with advective constraints. // Tellus, 31 A, 1985, P. 309322.

79. Li X.S. Sparse Gaussian Elimination on High Performance Computers. // PhD diss., University of California at Berkeley 1996.

80. Lopez, J. W., Kantha L. M. A data-assimilative numerical model of the Nothern Indian ocean. J. of. Atm. and. Oceanic Technology, vol. 17. 1999, P. 1525-1540.

81. Lorenc A. Optimal nonlinear objective analysis. // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 1988, v.114, p.205-240.

82. Lorenc A.C. A global three-dimensional multivariate statistical analysis scheme. // Mon. Wea. Rev., 1981,109, P. 701-721.

83. Lorenc A.C. Analysis methods for numerical weather prediction. // Quart. J. R. Meteorol. Soc., 1986,112, P. 1177-1194.

84. Lorenc A.C., Bell R.S., Macpherson B. The Meteorological Office Analysis Correction Data Assimilation scheme. // Quart. J. R. Meteorol. Soc., 1991, 117, P. 59-89.

85. Madec G., Delecluse P. OPA 8.1 Ocean General Circulation Model. Reference Manual. Maurice Imbard et Claire Levy Laboratoire d'Oceanographie DYnamique et de Climatologie.

86. Marchuk G., Shutyaev V., Zalesny V. Approaches to the solution of data assimilation problems. // Optimal control and partial differential equations. J.L. Menaldi et al. (Eds.). IOS Press, 2001, P. 489-497.

87. Marchuk G.I. Adjoint Equations and Analysis of Complex Systems. -Kluwer, Dordrecht, 1995.

88. Marchuk G.I. Formulation of theory of perturbations for complicated models. // Appl. Math. Optimization, 1975,2, P. 1-33.

89. Marchuk G.I., Agoshkov V.I., Shutyaev V.P. Adjoint Equations and Perturbation Algorithms in Nonlinear Problems. New York: CRC Press Inc. - 1996.

90. Marchuk G.I., Diansky N. A., Moshonkin S. N., Zalesny V.B., Rusakov A.S. High-resolution simulation of monsoon variability of the Indian Ocean Currents. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling., Vol. 21, Number 2, 2006, P. 153-168.

91. Marchuk G.I., Rusakov A.S., Zalesny V.B., Diansky N.A. Splitting Numerical Technique with Application to the High Resolution Simulation of the Indian Ocean Circulation. // Pure and Applied Geophysics, Volume 12, Issue 8-9, P. 1407-1429.

92. Marchuk G.I., Schroeter J., Zalesny V.B., Numerical study of the global ocean equilibrium circulation. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 2003, Vol. 18, No. 4, P. 307-335.

93. Marchuk G.I., Shutyaev V.P. Iteration methods for solving a data assimilation problem. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1994, 9, P. 265-279.

94. McClain E.P., Pichel W.G., Walton C.C. Comparative Performance of AVHRR-Based Multichannel Sea Surface Temperatures. // J. Geophys. Res., 1985, 90, P. 11587-11601.

95. McCreary J.P.,Kundu P.K. A numerical investigation of the Somali current during the Southwest monsoon. // J.of Marine Res., 1988, Vol. 46, No. 1,P. 25-58.

96. McPherson R.D., Bergman K.H., Kistler R.E., Rasch G.E., Gordon D.S. The NMC operatopnal global data assimilation system. // Mon. Wea. Rev., 1979, 107, P. 1445-1461.

97. Mesinger F., Arakawa A. Numerical methods used in atmospheric models. Vol. I. JOC, GARP Publication Series, №17. Geneva, World Meteorological Organization, C.P. № 5, CH-1211, Geneva, 1976. P. 64.

98. Pacanovsky R.C., Griffies S.M. The MOM 3 Manual. Geophysic Fluid Dynamics Laboratory. NOAA, Princenton, USA, 1999. P. 680.

99. Pacanovsky R.C., Philander G. Parametrization of vertical mixing in numerical models of the tropical ocean // J. Phys. Oceanogr. 1981. V. 11. P. 1442-1451.

100. Pontryagin L.S., Boltyanskii V.G., Gamkrelidze R.V., Mischenko E.F. The Mathematical Theory of Optimal Processes. New York: John Wiley, 1962.

101. Prasad T.G., Ikeda M., 2002. The wintertime water mass formation in the northern Arabian Sea. // J.of Phys.Oceanogr., vol.32, No.3, P.1028-1040.

102. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. 2nd edition. -Siam, 2003.

103. Shankar, D., Vinayachandran, P., N., Unnikrishnan, A.,S., Shetye, S., R. The monsoon currents in the north Indian Ocean. //Progr. Oceanogr., 2002, 52(1), P. 63-119.

104. Sirkes Z., Tziperman E. Finite difference of adjoint or adjoint of finite difference? // Mon. Weather Rev., 1997, v.125, P. 3373-3378.

105. Snir, M., Otto, S., Huss-Lederman, S.,Walker, D., Dongarra, J. MPI: The Complete Reference. Cambridge: The MIT Press, MA, 1998.

106. Tolstykh M.A., Gloukhov V.N. Implementation of global atmospheric models on parallel computers. // Computational Technologies, Vol. 7,2002.

107. Tomczak,M., J.S.Godfrey. Regional Oceanography. Butler and Tanner Ltd., Great Britain, Parts 11-13, 2003, P. 175-228.

108. Tziperman E., Thacker W.C. An optimal control/adjoint approach to studying the general circulation. // J. Phys. Oceanogr., 1989,19,1471-1485.

109. Wang, P., D. S. Katz, Y. Chao, Optimization of a Parallel Ocean General Circulation Model, San Jose, California. Super Computing 97, November, 1997.

110. Zalesny V. В., Mathematical model of sea dynamics in a sigma-coordinate system. // Russ. J. Numer. Anal. Modelling, Vol. 20, No. 1, 2005, P. 97-113.

111. Zalesny V.B, Rusakov A.S, Numerical algorithm of data assimilation based on splitting and adjoint equation methods // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, Vol. 22, No. 2, 2007, P. 199-219.

112. Zalesny V.B. Numerical simulation and analysis of the sensitivity of large-scale ocean dynamics. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1996, V. 11, No 6, p. 421-443.