автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численные схемы на основе конечно-объёмных/конечно-элементных аппроксимаций для решения задач длинноволновой гидродинамики

На правах рукописи

(¡ЬчьД^у

СТЫВРИН АНДРЕЙ ВАДИМОВИЧ

ЧИСЛЕННЫЕ СХЕМЫ НА ОСНОВЕ КОНЕЧНО-ОБЪЁМНЫХ/КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДЛИННОВОЛНОВОЙ ГИДРОДИНАМИКИ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соскание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск, 2004

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом университете.

Научный руководитель: Д-т.н., профессор, Э.П. Шурина.

Научный консультант: д.ф.-м.н., профессор, Л.Б. Чубаров.

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., профессор, Ю.М. Лаевский,

к.ф.-м.н. З.И. Федотова.

Ведущая организация: Институт гидродинамики им. Лаврентьева СО РАН, 630090, г. Новосибирск, проспект Академика Лаврентьева, 15.

Защита состоится "14" АПРЕЛЯ 2004 г. в 15 часов на заседании специализированного совета Д 003.061.02 при Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, проспект Академика Лаврентьева, 6.

С текстом диссертационной работы можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ИВМиМГ СО РАН (проспект Академика Лаврентьева, 6).

Автореферат разослан 2004 г.

Ученый секретарь специализ ного Совета, д.ф.-м.н.

2 Б . Сорокин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В последнее время численное моделирование играет всё более значительную роль в исследовании реальных явлений. Совместное проведение вычислительных и физических экспериментов при анализе какого-либо явления позволяет как уменьшить количество реальных измерений, так и произвести верификацию и усовершенствование математических моделей. Кроме того, существуют такие глобальные задачи, которые в силу очевидных причин невозможно моделировать экспериментальным образом. Одной из таких важных задач является задача распространения волн цунами в водных бассейнах, имеющих сложную структуру береговой линии и распределения глубин.

Поэтому используемые для моделирования такой задачи вычислительные методы должны предоставлять возможность наиболее точного описания геометрии расчётной области. Это возможно при использовании неортогональных и неструктурированных сеток. Использование неструктурированных сеток позволяет описывать с любой степенью точности многосвязную расчётную область с произвольной конфигурацией границы, а также даёт возможность реализовать локальные сгущения и адаптировать сетки в зависимости от поведения решения, либо распределения глубин. Создание алгоритмов численного моделирования для данного класса задач, использующих неструктурированные сетки, представляется АКТУАЛЬНОЙ ТЕМОЙ ИССЛЕДОВАНИЯ.

Диссертационная работа посвящена разработке технологий метода конечных объёмов (МКО) на неструктурированных сетках для задач волновой гидродинамики, описываемых в рамках теории мелкой воды, и созданию комплексов программ для проведения численных

экспериментов в рамках разработанных технологий. В данной рабо-

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ] „ БИБЛИОТЕКА {

те рассматривается класс модифицированных методов конечных объёмов (ММКО) на финитных базисных функциях первого и второго порядков. Расчёт неизвестных производится в узлах конечноэлемент-ной сетки, т.е. в узлах триангуляции для кусочно-линейных базисных функций и в узлах триангуляции и центрах рёбер для кусочно-квадратичных базисных функций.

Итак, ЦЕЛЬЮ НАСТОЯЩЕЙ РАБОТЫ является разработка и применение технологии ММКО построения дискретных аналогов задач волновой гидродинамики. Для достижения заданной цели были сформулированы следующие задачи исследования:

1. Разработка новой технологии ММКО-аппроксимации для уравнений в частных производных первого и второго порядка с использованием кусочно-квадратичных базисных функций;

2. Разработка технологии смешанной ММКО-аппроксимации для решения системы уравнений нелинейной теории мелкой воды;

3. Создание на основе разработанных технологий комплексов программ, позволяющих адекватно моделировать распространение длинных волн в водном бассейне с геометрически сложными границами.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. Методы вычислительной математики. Сравнительный анализ результатов моделирования и имеющегося аналитического решения. Расчёты на последовательности сгущающихся конечноэлементных разбиений, с последующим анализом сходимости к экспериментальным данным.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА работы состоит в следующем:

1. Предложена технология учета кусочно-полиномиального представления решения и коэффициентов при пространственной аппроксимации линейной модели мелкой воды, системы нелинейных уравнений мелкой воды методом конечных объёмов. Технология основана на использовании разложения по базису конеч-ноэлементных пространств в терминах барицентрических сим-плициальных координат, с дальнейшим точным интегрированием их одночленов. В рамках предложенной технологии впервые использован ММКО на квадратичных базисных функциях, для чего получены соответствующие интегральные формулы.

2. Предложен способ построения смешанного модифицированного метода конечных объёмов на совмещённых симплициальных сетках, удовлетворяющего условиям Ладыженской-Бабушки-Брец-ци (ЛББ).

3. С использованием предложенных технологий аппроксимаций задач волновой гидродинамики в рамках линейной и нелинейной теории мелкой воды созданы комплексы программ для моделирования процессов распространения волн и проведён ряд вычислительных экспериментов, подтверждающих эффективность построенных схем.

СТРУКТУРА И ОБЪЁМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы, приложений и содержит 117 страниц, включая 41 рисунок и 2 таблицы. Список литературы содержит 65 наименовании.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во ВВЕДЕНИИ обоснована актуальность темы, сформулированы цели работы и показана научная новизна.

ГЛАВА 1 имеет обзорно-аналитический характер и посвящена выбору используемых математических моделей, а также различным аспектам построения дискретных аналогов схем волновой гидродинамики.

В ПАРАГРАФЕ 1.1 рассматриваются - обзор некоторых задач волновой гидродинамики и математических моделей для их описания. Описана система уравнений нелинейной теории мелкой воды, которая имеет вид:

(яи), + V • (#иит) + дНЧг) = О,

где Н(х, у, = Н(х, у) + т](х, у, 2) — полная глубина; к{х, у) — глубина жидкости под невозмущенной поверхностью; ц[х, у, — возвышение свободной поверхности над невозмущенным слоем жидкости; и = (и, ь)т — осреднённый по глубине вектор скоростей; и, V — компоненты осреднённого вектора скоростей по х — , у — направлениям соответственно; — ускорение свободного падения.

Также приведена линейная модель мелкой воды, представимая в виде волнового уравнения

В ПАРАГРАФЕ 1.2 описываются наиболее часто используемые краевые условия, применимые для моделирования в рамках моделей мелкой воды, такие как условия полного отражения ^п = 0, и "открытые" краевые условия первого порядка эд+сУт/ • п — 0, где п - вектор внешней нормали к границе расчётной области; с - характерная скорость распространения волн на воде, в нелинейном случае

Кроме того анализируются различные подходы моделирования неотражающих граничных условий.

В ПАРАГРАФЕ 1.3 производится обзор подходов к решению системы уравнений мелкой воды, таких как решение непосредственно системы уравнений мелкой воды, составленной из уравнений неразрывности и движения, и решаемой на разнесённых сетках для устранения нефизичных осцилляции, так и решение модифицированной системы, составленной из волнового уравнения мелкой воды совместно с уравнением движения, решение которой свободно от возникновения паразитных нефизичных осцилляции даже при использовании совмещённых сеток.

В ПАРАГРАФЕ 1.4 производится анализ существующих схем пространственной аппроксимации для уравнений мелкой воды (методы конечных разностей (МКР), методы конечных элементов, методы конечных объёмов, модифицированного метода конечных объёмов). На основании обзора смешанных конечноэлементно-подобных методов пространственной аппроксимации уравнений Навье-Стокса можно сделать вывод о необходимости специального учёта взаимосвязи волновой поверхности и поля скоростей для системы уравнений мелкой воды, для выполнения условия ЛББ. Смешанная ММКО-аппроксимация на базисных функцях для представления поля скоростей на единицу большего порядка, чем для представления волновой поверхности, будет удовлетворять выполнению этого условия.

ГЛАВА 2 посвящена основным этапам технологии модифицированного метода конечных объёмов для пространственной аппроксимации уравнений в частных производных.

В ПАРАГРАФЕ 2.1 приводятся основные принципы построения пространственных аппроксимаций с помощью МКО. Рассматриваются и

обсуждаются наиболее часто используемые способы построения двойственной сетки, которые наряду со способами аппроксимации потоков через границы конечных объёмов и соотношениями между узлами сетки и расчётными узлами дают всё многообразие схем МКО. Приводятся основные этапы дискретизации ММКО.

ПАРАГРАФ 2.2 посвящен особенностям пространственной аппроксимации с помощью ММКО для класса задач волновой гидродинамики, описываемых уравнениями теории мелкой воды.

В ПАРАГРАФЕ 2.3 вводятся в рассмотрение два класса формул точного интегрирования одночленов барицентрических координат по элементам двойственной сетки в конечном элементе и по барицентрическим подобластям:

¿ (biГ (ЬзГ (¿зГ <Ю= (я,^й;2),2 meas Т*.

где L, - линейная базисная функция для /'-го узла треугольника Т*, meas Т* обозначает площадь симплекса Tfc, а meas L - длину ребра L.

Описывается способ интегрирования одночленов барицентрических координат по произвольным отрезкам и подобластям конечных объёмов. Также в этом параграфе приведены значения барицентрических координат характерных точек треугольника, используемых при построениях ММКО-аппроксимаций первого и второго порядков.

ГЛАВА 3 посвящена описанию разработанной технологии ММКО для волнового уравнения.

В ПАРАГРАФЕ 3.1 приводится математическая модель, соответствующая модели мелкой воды в линейном приближении, а также используемые в ней граничные условия непротекания и "открытые" краевые условия.

ПАРАГРАФ 3.2 содержит описание схемы Тейлора-Галёркина, используемой для временной дискретизации волнового уравнения. Предложенная схема дискретизации по времени имеет вид:

Приводится порядок аппроксимации предложенной схемы. Для фиксированных значений параметра схемы Тейлора-Галёркина в = 0, 1, 2 показано соответствие предложенной схемы явной, Кранка-Николсон и неявной схемы дискретизации по времени соответственно.

В ПАРАГРАФЕ 3.3 приведены интегральные законы сохранения для дискретизованного по времени волнового уравнения, полученные с использованием принципа взвешенных невязок:

В предположении о представлении решения и коэффициентов волнового уравнения на конечных элементах кусочно-полиномиальными интерполянтами с конечным носителем, можно получить дискретный аналог интегро-балансного соотношения, связывающий значение искомой функции в каждом узле расчётной сетки со значениями в смежных с ним узлах триангуляции. Таким образом, разработанная технология ММКО для аппроксимации волнового уравнения, использует информацию только о базовой (первичной) триангуляции. Генерацию матриц, соответствующих дискретному аналогу, выгодно осуществлять, как и в технологии метода конечных элементов, обходом не по узлам триангуляции, а по конечным элементам. Все эти меры позволяют не хранить большой объём дополнительной информации о смежности узлов триангуляции и взаимном расположении конечных элементов, а

8

также позволяют избежать многократных.повторных вычислений геометрических характеристик на каждом из симплексов.

ПАРАГРАФ 3.4 содержит описание ММКО на базисных функциях первого порядка для волнового уравнения. В этом случае функция возвышения свободной поверхности на каждом элементе разбиения расчётной области представляется в виде кусочно-линейной интерполя-3

ции »7 = 2 тЬ-«=1

В РАЗДЕЛЕ 3.4.1 описывается способ построения двойственной сетки, в РАЗДЕЛЕ 3.4.2 приведены способы построения локальных матриц масс и жесткости,, соответствующих дискретному аналогу законов сохранения, на конечном элементе. РАЗДЕЛ 3.4.3, описывает способ аппроксимации краевых условий, в РАЗДЕЛЕ 3.4.4 содержится способ построения глобальной матрицы системы линейных алгебраических уравнений, соответствующей дискретному аналогу волнового уравнения. В качестве иллюстрации приведён портрет матрицы системы линейных алгебраических уравнений, соответствующий заданному разбиению расчётной области.

. ПАРАГРАФ 3.5 содержит описание ММКО на базисных функциях второго порядка для волнового уравнения и по своей структуре повторяет предыдущий параграф. В этом случае функция возвышения свободной поверхности на каждом элементе разбиения расчётной

обттасти ппелставляется в виде кусочно-квадратичной интерполяции 6 - (2)

1] = X) ) где квадратичные базисные функции на симплексе вы-1=1

ражаются через линейные следующим образом:

Здесь квадратичные базисные функции 1 = 1, 2, 3 соответству-

(2)

ют базовым узлам треугольника, а Ь\ , г — 4, 5, 6 - дополнительным узлам на серединах граней симплекса {1, 2}, {2, 3}, {3, 1}.

РАЗДЕЛ 3.5.1 посвящен описанию особенностей построения двойственной сетки для ММКО на базисных функциях второго порядка, в РАЗДЕЛЕ 3.5.2 приведены рассчитанные компоненты локальных матриц масс и жесткости, соответствующих дискретному аналогу законов сохранения на конечном элементе. РАЗДЕЛ 3.5.3 описывает способ аппроксимации краевых условий, в РАЗДЕЛЕ 3.5.4 содержится способ построения глобальной матрицы системы линейных алгебраических уравнений, соответствующей дискретному аналогу волнового уравнения. В качестве иллюстрации приведён портрет матрицы системы линейных алгебраических уравнений, соответствующий заданному разбиению расчётной области.

ГЛАВА 4 посвящена описанию разработанной технологии смешанного метода конечных объёмов для системы уравнений мелкой воды.

ПАРАГРАФ 4.1 содержит описание математической.модели нелинейной теории мелкой воды с граничными условиями непротекания и "открытыми" краевыми условиями. Предложена матрично-векторная форма записи системы уравнений мелкой воды:

где <р = (Я, Ни, Ну)т, Р (Я) = (О, Нх, Ну)т.

В ПАРАГРАФЕ 4.2 приведено описание схемы Тейлора-Галёркина для системы уравнений мелкой воды. Предложенная схема дискретизации по времени после линеаризации имеет вид:

<рм + §т[У • (^+1иг*) + дНкР (Я*+1)] = |тдНкР (Л) + V* + (| - 1) г [V • (<ркИТк) + дНкР (Нк) - дНкР (Л)] .

Приводится порядок аппроксимации предложенной схемы. Для фиксированных значений параметра схемы Тейлора-Талёркина = 0, 1,2 показано соответствие предложенной схемы явной, Кранка-Николсон и неявной схемы дискретизации по времени соответственно.

ПАРАГРАФ 4.3 посвящен особенностям построения двойственной сетки для смешанной конечнообъёмной аппроксимации. Предположим, что в двумерной области задана некоторая триангуляция, такая, что два ее симплекса, могут иметь общими лишь узел или ребро. При решении системы уравнений мелкой воды будем считать, что поле скоростей и значение полной глубины рассчитываются в одних и тех же узлах и узлы эти совпадают с вершинами конечных элементов, за исключением дополнительных узлов - серединах рёбер симплекса, соответствующих квадратичным функциям формы для аппроксимации поля скоростей. Тогда двойственная, по отношению к конечноэлемент-ной, сетка, для аппроксимации уравнения неразрывности на каждом симплексе, может быть образована центроидами треугольников и центрами их сторон. Таким образом, произвольная вершина триангуляции I на конечном элементе окружена отрезками медиан (рис. 1, а), образующими часть конечного объёма соответствующего этому узлу. В случае аппроксимации уравнений движения, двойственная сетка на каждом конечном элементе может быть получена путём использования медиан четырех малых треугольников, образованных вершинами симплекса и центрами его сторон, так что каждый из узлов имеет конечный объём, подобный объёмам, соответствующим кусочно-линейной интерполяции (рис. 1, 6).

В ПАРАГРАФЕ 4.4 описаны законы сохранения, соответствующие дискретизованной по времени системе уравнений мелкой воды, полученные в результате использования принципа взвешенных невязок.

Рис. 1. Двойственные сетки для: (а) - уравнения неразрывности, (Ь) - уравнения движения.

Интегральная форма законов сохранения, соответствующая системе уравнений мелкой воды для каждого конечного объёма имеет вид-

ук+Чу-<рк+Чх (р\+1икду — 1р1+1ькс1х

а

■ ^ ■

/ п. <Ю+§Г / 8П,

0 0

нкЫ+1 <т = / 92 (¡П + тд/ п. du +

п.

з/

п.

о

<01 + I

ап,

<ркик(1у — укук<1х ¡ркик(1у — (ркЬк<1х

Таким образом, для i-го узла триангуляции, ММКО-дискретизация заключается в построении аппроксимаций конвективных потоков через совокупность граней соответствующих узлу конечного объёма а также аппроксимации объёмных интегралов на этом конечном объёме.

В ПАРАГРАФЕ 4.5 рассматривается построение локальных матриц масс и жесткости, соответствующих дискретному аналогу на конечном элементе уравнения неразрывности с использованием следующих

представлений решения на симплексе:

ПАРАГРАФ 4.6 посвящен построению локальных матриц масс и жесткости, соответствующих дискретному, аналогу на конечном элементе уравнения движения с использованием вышеописанного локального представления решения.

В ПАРАГРАФЕ 4.7 описывается аппроксимация граничных условий для смешанного ММКО.

ПАРАГРАФ 4.8 содержит описание процесса сборки дискретного аналога системы уравнений мелкой воды из локальных матриц масс и жесткости. В качестве иллюстрации приведён портрет матрицы системы линейных алгебраических уравнений, соответствующий заданному разбиению расчётной области.

ГЛАВА 5 содержит описание комплексов программ, созданных в рамках предложенных алгоритмов моделирования задач волновой гидродинамики модифицированным методом конечных объёмов на неструктурированных сетках.

В ПАРАГРАФЕ 5.1 описываются основные модули пакета и их взаимодействие. Для удобства реализации матричных вычислений в данных комплексах программ для решения задач волновой гидродинамики, был разработан набор классов, описывающий объекты вектор и матрица, обеспечивающий выполнение математических операций над этими объектами. Кроме того, класс, описывающий объект матрица, позволяет работать с матрицами разных видов: плотных, разреженных симметричных, разреженных несимметричных, но имеющих симметричный портрет.

Поскольку матрицы СЛАУ, получаемые в результате использования fMMKO для моделей мелкой воды, в случае произвольного распределения глубин, не симметричны, но имеют симметричный портрет, для их хранения в памяти использован разреженный строчный формат с вынесенной диагональю, хранимый портрет соответствует нижнему треугольнику матрицы. Для решения СЛАУ использован итерационный метод бисопряжённых градиентов со стабилизацией (BiCGStab).

ПАРАГРАФ 5.2 посвящен описанию организации входных и выходных данных, используемых в разработанных комплексах программ.

ГЛАВА 6 посвящена численному моделированию задач распространения волн.

В ПАРАГРАФЕ 6.1 производится проверка адекватности предложенных методов путём изучения характеристик распространения волн для задачи, имеющее аналитическое решение в рамках линейной теории мелкой воды. Также произведён численный расчет на последовательности сгущающихся сеток, потверждающий сходимость предложенных методов. По результатам этого численного эксперимента сформулированы выводы.

В ПАРАГРАФЕ 6.2 проверяется эффективность модели и использованных неотражающих краевых условий первого порядка, в случае подхода к ним волны с различных направлений. По результатам численного эксперимента сформулированы выводы.

ПАРАГРАФ 6.3 посвящен сравнению численных расчетов, полученных с помощью предложенных методов конечных объёмов, с результа тами моделирования, полученными другим автором с помощью метода конечных разностей на прямоугольных сетках. Результаты этого численного эксперимента сформулированы в выводах.

В ПАРАГРАФЕ 6.4 приведены результаты численного моделирования развития цунами, возникшего в Японском море в 1940 году. Особенностью этой задачи является использование реальных геометрических характеристик границ расчётной области, задающих побережье, и реального распределения глубин в бассейне Японского моря.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ диссертационной работы сформулированы ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ, выносимые на защиту.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Предложена технология кусочно-полиномиального представления решения задач волновой гидродинамики методами конечных объёмов. Технология основана на разложении по базису конеч-ноэлементных пространств в терминах барицентрических координат, с дальнейшим точным интегрированием их одночленов.

2. Разработан и реализован вычислительный алгоритм на базе модифицированного метода конечных объёмов с использованием локальных базисных функций второго порядка, что позволяет удовлетворить условиям ЛББ для системы уравнений нелинейной теории мелкой воды.

3. Разработан и реализован алгоритм для решения нестационарной задачи волновой гидродинамики с использованием технологии метода Тейлора-Галёркина с параметром, управляющим вносимой диссипативностью схемы.

4. На основании разработанных вычислительных схем созданы комплексы программ для моделирования распространения волн для

волнового уравнения на интерполяционных полиномах для свободной поверхности первого и второго порядков; и для системы уравнений мелкой воды на кусочно-линейных интерполяционных полиномах для полной глубины и кусочно-квадратичных интерполяционных полиномах для поля скоростей.

5. Выполнено тестирование разработанных вычислительных схем на задачах, имеющих аналитическое решение; проведены серии расчётов для задач, для которых имеются результаты моделирования других авторов.

В ПРИЛОЖЕНИИ А приведены рассчитанные значения всех интегралов, используемых для построений ММКО-аппроксимаций на финитных базисных функциях первого и второго порядков, по формулам точного интегрирования.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

1« XXXIX международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс", Новосибирск, 2001;

• международной конференции по вычислительной математике (1ССМ-2002), Новосибирск, 2002;

международной конференции молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям, Новосибирск, 2002;

• региональной конференции студентов, аспирантов, молодых учёных "Наука. Техника. Инновации.", Новосибирск, 2002;

• международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании", Казахстан, 2003;

• объединённом семинаре Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН и кафедры вычислительной математики Новосибирского государственного университета;

• объединённом семинаре Института вычислительных технологий СО РАН, кафедры математического моделирования Новосибирского государственного университета и кафедры вычислительных технологий Новосибирского государственного технического университета;

»¡семинаре кафедры прикладной математики Новосибирского государственного технического университета;

• семинаре Института гидродинамики им г Лаврентьева СО РАН

ДОСТОВЕРНОСТЬ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ обусловливается использованием адекватных математических моделей теории мелкой воды и подтверждается результатами экспериментального оценивания порядков аппроксимации построенных вычислительных схем, сравнениями с аналитическими решениями, сопоставлениями с результатами работ других авторов.

Автор выражает искреннюю признательность и глубокую благодарность д.т.н. Элле Петровне Шуриной и д.ф.-м.н. Леониду Борисовичу Чубарову за помощь и поддержку при работе над диссертацией.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ. Результаты выполненных исследований по теме диссертации опубликованы в 7 работах:

1. СТЫВРИН А. В. Моделирование задач волновой гидродинамики с помощью алгоритмов МКО. Материалы XXXIXмеждуна-родной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс", Новосибирск, 9-13 апреля 2001 г. Новосибирский ун-т, Новосибирск, 2001.

2. STYWRIN А. V., SHURINA Е. P., CHUBAROV L. В. A feature of FVM/FEM-approach for modeling surface waves on water. Proc. of the International Conference on Computational Mathematics ICCM-2002, Part 2, Eds. G.A. Mikhailov, V.P. IVin, Yu.M. Laevsky, Novosibirsk, Russia, 24 - 28 July, 2002, 711-716.

3. СТЫВРИН А. В. Анализ решения задач распространения поверхностных волн на воде методом ММКО на неструктурированных сетках. Материалы международной конференции молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям, Новосибирск, 29-31 октября 2002 г. ИВТ СО РАН, Новосибирск, 2002, 8 стр, http://www.ict.nsc.ru/ws/YM2002/4657.

4. СТЫВРИН А. В. Применение метода ММКО на неструктурированных сетках для задач распространения волн на воде. Материалы региональной научной конференции студентов, аспирантов, молодых учёных "Наука. Техника. Инновации. ", Новосибирск, 5-8 декабря 2002 г. 1, Новосибирский государственный технический ун-т, Новосибирск, 2002.

5. СТЫВРИН А. В., ШУРИНА Э. П., ЧУБАРОВ Л. Б. Модифицированный метод конечных объёмов для аппроксимации системы уравнений мелкой воды на неструктурированных сетках. Вычислительные технологии 8, Специальный выпуск: Труды совещания российско-казахтанской рабочей группы по вычислительным и информационным технологиям, 2003, 109-122.

6. СТЫВРИН А. В., ШУРИНА Э. П., ЧУБАРОВ Л. Б. Аппроксимация уравнений мелкой воды модифицированным МКО на неструктурированных сетках. Материалы международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании", Усть-Каменогорск, Казахстан, 11-Ц сентября 2003 г. Восточно-казахтанский гос. ун-т, Усть-Каменогорск, 2003,

http: //www. ict. ns с. ru/ws/show_ abstract. dhtml?ru+73+5437.

7. STYWRIN A.V. Modified finite volume method for calculation of oceanic waves on unstructured grids. Russian-german advanced research workshop on computational science and high performance computing, Novosibirsk, Russia, September 29 - October 3, 2003. 8, Part 3, Novosibirsk, 2003, 72-76.

Подписанию в печать 10.03.04 г. Формат 84 х 60 х 1/16 Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Печ. л. 1,25. Заказ № АЛ»

Отпечатанно в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20

* -4972

Условные обозначения

Введение

1. Методы пространственной аппроксимации задач волновой гидродинамики

1.1. Модель мелкой воды

1.2. Краевые условия.

1.3. Методы численного решения уравнений мелкой воды.

1.4. Пространственная аппроксимация.

2. Модифицированный метод конечных объёмов

2.1. Основные принципы построения МКС).

2.2. ММКО для задач волновой гидродинамики.

2.3. Интегральные формулы МКО.

3. ММКО-аппроксимация волнового уравнения

3.1. Постановка задачи.

3.2. Дискретизация по времени.

3.3. Интегральная форма законов сохранения

3.4. ММКО на линейных базисных функциях

3.4.1. Способ построения двойственной сетки.

3.4.2. Аппроксимация волнового уравнения.

3.4.3. Учет краевых условий.

3.4.4. Сборка глобальных матриц.

3.5. ММКО на квадратичных базисных функциях.

3.5.1. Особенности построения двойственной сетки.

3.5.2. Аппроксимация волнового уравнения.

3.5.3. Учет краевых условий.

3.5.4. Сборка глобальных матриц.

4. ММКО-аппроксимация уравнений мелкой йоды

4.1. Постановка задачи.

4.2. Дискретизация по времени.

4.3. Способ построения двойственной сетки.

4.4. Интегральная форма уравнений мелкой воды.

4.5. Аппроксимация уравнения неразрывности.

4.6. Аппроксимация уравнений движения.

4.7. Учет краевых условий.

4.8. Сборка глобальных матриц.

5. Описание программного комплекса

5.1. Основные модули пакетов

5.2. Организация входных и выходных данных пакетов.

6. Численные эксперименты

6.1. Моделирование плоской волны в канале.

6.2. Проверка адекватности "открытых" краеных условий.

6.3. Взаимодействие уединённой волны с коническим островом

6.4. Моделирование цунами 1940 года в Японском море.

В последнее время численное моделирование играет всё бол ее значительную роль в исследовании реальных явлений. Совместное проведение вычислительных и физических экспериментов при анализе какого-либо явления позволяет как уменьшить количество реальных измерений, так и произвести верификацию и усовершенствование математических моделей. Кроме того, существуют такие глобальные задачи, которые в силу очевидных причин невозможно моделировать экспериментальным образом. Одной из таких важных задач является задача распространения волн цунами п водных бассейнах, имеющих сложную структуру береговой линии и распределения глубин.

Поэтому используемые для моделирования такой задачи вычислительные методы должны предоставлять возможность наиболее точного описания геометрии расчётной области. Это возможно при использовании неортогональных и неструктурированных сеток. Использование неструктурированных сеток позволяет описывать с любой степенью точности многосвязную расчётную область с произвольной конфигурацией границы, а также даёт возможность реализовать локальные сгущения и адаптировать сетки в зависимости от поведения решения, либо распределения глубин. Однако для расчёта на неструктурированных сетках необходимо использование более сложных в реализации методов, чем конечноразностныр методы, например методы конечных объёмов или методы конечных элементов. Создание таких технологий для данных классов задач, использующих неструктурированные сетки, представляется актуальной темой исследования.

Несмотря на широкое применение для пространственной дискретизации па неструктурированных сетках метода конечных элементов (МКЭ), метод конечных объёмов (МКО) может оказаться предпочтительней для задач волновой гидродинамики вследствие локальной консервативности дискретных схем, большей простоты и наглядности, возможности естественного учета условий второго рода. Поэтому диссертационная работа посвящена разработке технологий МКС) на неструктурированных сетках для задач волновой гидродинамики, описываемых в рамках теории мелкой воды и созданию комплексов программ для проведения численных экспериментов в рамках разработанных технологий. В данной работе рассматривается класс модифицированных методов конечных объёмов (ММКО) на финитных базисных функциях первого и второго порядков. Расчёт неизвестных производится в узлах конечноэлементной сетки, т.е. в узлах триангуляции для кусочно-линейных базисных функций и в узлах триангуляции и центрах рёбер для кусочно-квадратичных базисных функций.

Итак, целью настоящей работы является разработка и применение технологии ММКО построения дискретных аналогов задач волновой гидродинамики. Дня достижения заданной цели были сформулированы следующие задачи исследования:

1. Разработка новой технологии ММКО-апироксимации для уравнений н четных производных первого и второго порядка с использованием кусочно-квадратичных базисных функций;

2. Разработка технологии смешанной ММКО-апироксимации для решения системы уравнений нелинейной теории мелкой воды;

3. Создание на основе разработанных технологий комплексов программ, позволяющие адекватно моделировать распространение длинных волн в водном бассейне с геометрически сложными границами.

Методы исследования. Методы вычислительной математики. Сравнительный анализ результатов моделирования и имеющегося аналитического решения. Расчёты на последовательности сгущающихся конечноэлементных разбиений, с последующим анализом сходимости к экспериментальным данным.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Предложена технология учёта кусочно-полиномиального представления решения и коэффициентов при пространственной аппроксимации волнового уравнения, системы начинейных уравнений мелкой воды методом конечных объёмов. Технология основана на использовании разложения по базису ко-нечноэлементных пространств в терминах барицентрических симплициаль-ных координат, с дальнейшим точным интегрированием их одночленов. В рамках предложенной технологии впервые использован ММКО на квадратичных базисных функциях, для чего получены соответствующие интегральные формулы.

2. Предложен способ построения сметанного модифицированного метода конечных объёмов на совмещённых симплициалъных сетках, удовлетворяющего условиям Ладыженской-Бабушки-Бреззи (ЛББ).

3. С использованием предложенных технологий аппроксимаций задач волновой гидродинамики в рамках линейной и нелинейной теории мелкой воды созданы комплексы программ для моделирования процессов распространения волн и проведён ряд вычислительных экспериментов, подтверждающих эффективность построенных схем.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы, приложения и содержит 117 страниц, включая 41 рисунок и 2 таблицы. Список литературы содержит Со наименований.

Заключение

Настоящая работа посвящена созданию вычислительных технологий, соответствующих ММКО-аппроксимациям задач волновой гидродинамики, описываемых вол-нововым уравнением и системой уравнений нелинейной теории мелкой воды. Характерной особенностью разработанных алгоритмов является использование неструктурированных симплициальных разбиений расчётной области, а также использование конечноэлементных пространств и барицентрических разбиений в качестве двойственных. В диссертационной работе получены следующие основные результаты, выносимые на защиту:

1. Предложена технология кусочно-полиномиального представления решения задач волновой гидродинамики методами конечных объёмов. Технология основана на разложении по базису конечноэлементных пространств в терминах барицентрических координат, с дальнейшим точным интегрированием их одночленов.

2. Разработан и реализован вычислительный алгоритм на базе модифицированного метода конечных объёмов с использованием локальных базисных функций второго порядка, что позволяет удовлетворить условиям ЛББ для системы уравнений нелинейной теории мелкой воды.

3. Разработан и реализован алгоритм для решения нестационарной задачи волновой гидродинамики с использованием технологии метода Тейлора Галёркина с параметром, управляющим вносимой диссипативностью схемы.

4. На основании разработанных вычислительных схем созданы комплексы программ для моделирования распространения волн для волнового уравнения на интерполяционных полиномах для свободной поверхности первого и второго порядков; и для системы уравнений мелкой воды на кусочно-линейных интерполяционных полиномах для полной глубины и кусочно-квадратичных интерполяционных полиномах для поля скоростей.

5. Выполнено тестирование разработанных вычислительных схем на задачах, имеющих аналитическое решение; проведены серии расчётов для задач, для которых имеются результаты моделирования других авторов.

1. Ильин В. П., туракулов А. А. Об интегро-балансных аппроксимациях трехмерных краевых задач. Препринт ВЦ СО РАН, N986, 1993.

2. Препарата Ф., ШЕЙМОС М. Вычислительная геометрия: Введение. Мир, Москва, 1989.

3. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. Мир, Москва, 1981.

4. Шурина Э. П., Войтович Т. В. Анализ алгоритмов методов конечных алементов и конечного объёма на неструктурированных сетках при решении уравнений Навье-Стокса. Вычислительные технологии 2, N4, 1997, 84-104.

5. Шурина Э. П., Солоненко О. П., Войтович Т. В. Новая технология метода конечных объёмов на симплициальных сетках для задач конвективно-диффузионного типа. Препринт ИТПМ СО РАН, N8, 1999.

6. Шурина Э. П., Солоненко О. П., Клименко О. М. Анализ алгоритмов построения симплициальных сеток при моделировании процессов взаимодействия капля расплава-основа. препринт ИТПМ СО РАН, N6, 2000.

7. Amdrossi D., Quartapelle L. A Taylor-Galerkin method for simulating nonlinear dispersive water waves. J. of Computational Physics 146, 1998, 546-569.

8. Babushka F. Error bounds for finite element methods. Numer. Math. 16, 1971, 322-333.

9. Massox C., Saabas H. I., Baliga B. R. Co-located equal-order control-volume finite element method for two- dimensional axisyrnmetric incompressible fluid flow. Int. J. Numer. Meth. in Fluids 18, 1994, 1-26.

10. Boore D. M. Finite difference methods for seismic wave propagation in heterogeneous material. Methods of Сотр. Physics (Seismology) 11, 1972, 1-37.

11. Brebbia C. A., Partridge P. W. Finite element models for circulation studies. Mathematical Models for Enviromental Problems. 1976.

12. Brebbia C. A., Partridge P. W. Finite element simulation of water circulation in the North Sea. Appl. Math. Modeling 1(2), 1976.

13. Briggs M. J., Synolakis С. E., Harkins G. S., Green D. R. Runup of solitary waves on a circular island. Long-Wave Runup Models. International Workshop on Long-Wave Runup Models, September 12-16, 1995, Friday Harbor, San Juan Island, Washington, USA.

14. CAl Z. On the finite volume element method. Numer. Math. 58, 1991, 713- 735.24. cal Z., Mandel J., McCormick S. The finite volume element method for diffusion equation on general triangulations. SIAM J. Numer. Anal. 28, 1991, 392402.

15. Antunes Do Carmo J. S., Sebra-Santos F. J., Barthelemy E. Surface wave propogation in shallow water: A finite element model, Int. ./. Numer. Meth. in Fluids 16, 1993, 447-459.

16. Cockburn В., Coquel F., Lefloch P. G. Convergence of finite volume method for multidimensional conservation laws. SIAM J. Numcr. Anal. 32, 1995, 687-705.

17. Donea J. A Taylor-Galerkin method for convective transport problem. Inteniat. J. Numer. Meth. Engrg. 20, 1984, 101.

18. Eisenberg M. A., Malvern L. E. On finite element integration in natural coordinates. Int. J. Numer. Methods Eng. 7, 1973, 574 575.

19. Eluis Т., Suxdstrom A. Computationally efficient schemes and boundary conditions for fine-mesh barotropic model based on the shallow-water equations. Tellus 25,1973,132-156.

20. EXGQUIST В., Majda A. Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves. Mathematics of Computation 31, N139, 1977, 629 654.

21. Fedotova Z. I., Shokin Yu. I., elnarsson Bo. Comparative Analysis of Wave Hydrodynamics Approximate Models Using Experimental and Analytical Data. International Journal of Computational Fluid Dynamics 141 14, N1, 2000, 55-73.

22. Felcmax J., Feistauer M. Triangular, dual and baricentric Finite Volumes in Fluid Dynamics. Proc. of Second Intern. Symp. on Finite Volumes for Complex Applications, 19-22 July, 1999, Duisburg, Germany, HERMES Science Publications, Paris, 1999.

23. Giraldo F. X. Lagrange-Galerkin methods on spherical geodesic grids: the shallow water equations. .7. of Computational Physics 160, 2000, 336 368.

24. HACKBUSH W. On first and second order box schemes. Computing 41, 1989, 277-296.

25. Harlow F. H., Welch Л. E. Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface. Phys. Fluids 8, 1965, 2182-2189.

26. HiGDON R. L. Absorbing boundary conditions for difference approximations to the multi-dimensional wave equation. Mathematics of Computation 47, N176,1986, 437-459.

27. Kato S., Anju A., Kawahara M. A finite element study of solitary wave by Boussinesq equation, Computationsl Methods in Water Resources X, 1994, 1067.

28. KELLER Л. B. The solitary wave and periodic waves in shallow water. Comm. Pure Appl. Math. 1, 1948, 323 339.

29. King I. P., Norton W. R., Iceman K. R. A finite element solution for two-dimensional stratified flow problem. Finite Elements in Fluids. 7, 1975.

30. Kosloff R., Kosloff D. Absorbing boundaries for the wave propagation problem. ./. of Computational Physics 63, 1986, 363-376.

31. Kwak S., Pozrikidis C. Adaptive triangulation of evolving, closed, or open surfaces be the advancing-front method. J. of Computational Physics 145, 1998, 61 88.

32. Luo H., Baum J. D., Lohner R. A fast, matrix-free implicit method for compressible flows on unstructured grids. J. of Computational Physics 146, 1998, 664690.

33. Lynch D. R., Gray W. G. A wave equation model for finite element tidal computations. Computers and Fluids 7, 1979, 207-228.

34. Muzaferija S., Gosmax D. Finite-volume CFD procedure and adaptive error control strategy for grids of arbitrary topology. J. of Computational Physics 138, 1997, 766 -787.

35. Peraire J., Zienkiewicz О. C., Morgan K. Shallow water problems: a general explicit formulation. Int. J. for Numer. Meth. in En<jr. 22, 1986, 547-574.

36. Provatas N., Goldenfeld N\, Dantzig J. Adaptive mesh refinement computation of solidification microstructures using dynamic data structures. J. of Computational Physics 148, 2000, 265-290.

37. Rida S., McKenty F., Meng F. L., Reggio M. A staggered control volume scheme for unstructured triangular grids. Int. J. for Numer. Neth. in Fluids. 25, 1997, 697-717.

38. Romate Л. E. Absorbing boundary condition for free surface waves. .7. of Computational Physics 99, 1992, 135-145.

39. Saad J. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. PWS Publishing Company, 1996.

40. Sommerfeld A. Partial differential equations in physics. Academic Press, New York, 1949.

41. Stywrix A.V. Modified finite volume method for calculation of oceanic waves on unstructured grids. Russian-german advanced research workshop on computational science and high performance computing, Novosibirsk, Russia, September 29 October 3, 2003.

42. Styvvrin a. v., Shurixa e. P., Chubarov L. 13. a feature of fvm/rem-approach for modeling surface waves on water. Proc. of the International Conference on Computational Mathematics ICCM-2002, Novosibirsk, Russia, 24 28 July, 2002, 711-716.

43. G2. Tayi.or С., Hood P. A numerical solution of the Navier-Stokes equations using the finite element technique. Computer and Fluids 1, 1973, 73 100.

44. Treftethex L. N., Halperx L. Well-posedness of one-way wave equations and absorbing boundary conditions. Mathematics of Computation 47, N176, 1986, 421 435.