автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численные методы на основе эрмитовых сплайнов решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, аппроксимации кривых и поверхностей, в задачах оптимального управления

На правах рукописи

Никуличев Юлий Васильевич

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НА ОСНОВЕ ЭРМИТОВЫХ СПЛАЙНОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, АППРОКСИМАЦИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ, В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико - математических наук

Новосибирск - 2005

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной механики СО РАН.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Фадеев Станислав Иванович, доктор физико-математических наук, профессор Квасов Борис Ильич,

доктор физико-математических наук, профессор Новиков Евгений Александрович.

Ведущая организация: Институт математического моделирования РАН, г. Москва.

Защита состоится I июля 2005 года в 16.00 часов на заседании диссертационного совета Д003.046.01 при Институте вычислительных технологий СО РАН по адресу 630090. пр. М. А. Лаврентьева, 6, г. Новосибирск.

С диссертацией можно ознакомиться в специализированном читальном зале вычислительной математики и информатики ИВТ СО РАН, пр. М. А. Лаврентьева. 6, ком. 5.

Автореферат разослан 27 мая 2005г.

Учёный секретарь диссертационного совета -7,

Доктор физико-математических наук, профессор // 7 ) / Л. Б. Чубаров

Люб -4

и

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Современное состояние вычислительной техники характеризуется непрерывным возрастанием мощности компьютеров по быстродействию и памяти, тем не менее, одним из наиболее важных требований к численным методам, в основном, является минимизация числа операций. Это связано с необходимостью многократного повторения вычислений присущей многим алгоритмам решения таких задач, как, например, оптимизация, идентификация параметров, наведение на цели и других. Разнообразие численных методов предназначенных для решения одной задачи показывает, что часто практические требования к методу, среди которых основными являются противоречащие друг другу требования точности и быстродействия, отвергают выбор универсального метода. Это обуславливается во-первых, тем обстоятельством, что универсализация алгоритма неизбежно ведёт к его усложнению и, соответственно, к увеличению требуемых ресурсов и, во-вторых, из за большой вероятности при решении больших серьёзных задач возникновения проблем, характер которых зачастую заранее предсказать невозможно. Так, практика применения метода сплайн-функций выявила множество особенностей, потребовавших его усовершенствования, что иллюстрируется огромным количеством работ, появившихся со времени появления одной из первых публикаций с описанием метода (Шёнберг, 1946). Проблема решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) сопровождается таким широким спектром всё ещё не вполне изученных особенностей, что теория численных методов решения систем ОДУ выделилась в отдельный, классический раздел вычислительной математики, постоянно пополняющийся новыми результатами. Численное интегрирование систем ОДУ во многих современных математических моделях связано с решением таких проблем, как жёсткость, неустойчивость к возмущениям входных параметров, вычисление глобальной ошибки. Наличие множества численных методов, с различной эффективностью преодолевающих указанные проблемы (например, методы и подходы С. С. Артемьева, Г. В. Демидова, И. Д. Жонголовича, Ю. В. Ракитского, Р. Брауна, Р Буллирша, Дж Стойера, Г. Дальквиста, X. Розенброка, Е. Хэйрера, Г. Ваннера, Ч. Гира и других авторов), не снижает актуальность создания эффею ивных. обладающих достаточной простотой программной реализации алгоритмов Методов, реали-

зованных в виде программных комплексов не ач они об-

ладают разной эффективностью, следовательно, для конкретной серьёзной задачи уместны соответствующие выбор и «подгонка» метода, в связи с чем, создание семейств методов, ориентированных на решение определённого класса задач имеет актуальное значение.

К свойствам кривых и поверхностей, используемых для представления исследуемого объекта, предъявляется ряд конкретных требований, таких, как отсутствие вредных осцилляции, сохранение монотонности, близость к задающим точкам, гладкость, воссоздание прямолинейных участков, угловых точек и других. Анализ существующих алгоритмов сплайн функций (известны монографии Дж Алберга, Э Нильсона, Дж. Уолша 1972, Ю.С. Завьялова, Б. И. Квасова, В. Л. Мирошниченко 1980, В.А. Василенко 1983, К. де Бора 1985, Farm G. 1993, Hoshchek J., Lasser D. 1993, работы А.И. Гребенникова 1978, X. Шпета 1990 и других авторов) и локальных методов (Дж. Ферпосон 1964, С. Куне 1967, П. Безье 1971, Ф. Фрич 1980 и другие) показывает, что актуальность исследований по созданию метода представления кривых и поверхностей, удовлетворяющих определённым требованиям и обладающего требуемой эффективностью для решения определенного класса задач, ориентированных на современные математические модели в рамках современных вычислительных технологий не вызывает сомнений

Анализ существующих алгоритмов оптимизации (монографии М. Атанса, П. Фалба 1968, Р. Калмана, П.Фалба, М.М. Арбиба 1969, Дж. Лейтмана 1968, А. Брайтона, Хо Ю Ши 1972, Ф. П. Васильева 1988, работы Р. Беллмана 1960, С. Н. Грин-ченко, Л. А Растригина 1977 и др.) показывает, что разнообразие постановок и уровень требований, предъявляемый как к оптимальному решению, так и к процедуре его получения не позволяет считать существующие методы вполне исчерпывающими, а разработка и обоснование методов решения, соответствующих данному класс) задач, является актуальной. Современные требования, выдвигаемые на основе научных и коммерческих интересов, делают актуальной и задачу создания комплексов и пакетов прикладных программ с использованием новых эффективных алгоритмов.

Целью работы является разработка новых эффективных численных методов

- решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ),

- автоматизированного геометрического проектирования,

- решения задачи нелинейного программирования.

' ,.Ч »..»К-. » " <

| H " ••

• -.►„•»» ' 4

: «,. »с с.

- Построение на их основе эффективных алгоритмов, их программная реализация в виде библиотек и пакетов прикладных программ,

- решение прикладных задач, имеющих научное и практическое значение с использованием разработанных алгоритмов и программ.

В построении новых численных методов применён единый подход, основанный на использовании эрмитовых сплайнов для аппроксимации функций. Основные результаты работы таковы:

- Разработаны два семейства численных методов решения задачи Коши для систем ОДУ, и сконструированы алгоритмы решения задачи Коши для систем ОДУ с выбором шага интегрирования пятью численными методами из приведённых семейств.

- Показано, что данные алгоритмы эффективны также и для решения жестких систем ОДУ.

- Разработаны новые методы аппроксимации кривых и поверхностей, созданы алгоритмы для их реализации, на основе которых созданы библиотеки программ.

- Для решения задач нелинейного программирования разработан алгоритм на основе методов с адаптацией параметров и случайными выборками с применением новой стратегии вычисления целевого функционала, реализованный в виде библиотеки прикладных программ.

- Созданы пакеты прикладных программ, использующие разработанные методы.

- Описаны постановки нескольких задач, представляющих научный и практический интерес, приведены их решения с использованием описанных комплексов и пакетов прикладных программ.

Теоретическое значение и научная новизна работы определяются следующим:

- Создано два новых семейства численных методов решения задачи Коши для систем ОДУ (ЬЯ- и ЬМЯ -методы). Доказаны теоремы, определяющие области значений параметров семейств, порождающих методы, обладающие А- и I- устойчивостью. Сформулировано новое определение Ь{5)- устойчивости, доказаны теоремы об Неустойчивости двух новых методов из семейства ЬМЯ -методов.

- На основе разработанных методов созданы алгоритмы решения задачи Коши для систем ОДУ с автоматическим выбором шага интегрирования, реализованные в виде библиотек и пакетов прикладных программ.

- Созданы новые методы аппроксимации кривых и поверхностей на основе локальных полиномов Эрмита произвольной степени и порядка гладкости (Ы-аппроксимация кривой, /.¿-аппроксимация поверхности). Сформулированы и доказаны теоремы об отсутствии точек перегиба на интервалах интерполяции, о сохране-

нии монотонности при монотонности задающих точек, о предельных свойствах аппроксимации LI-аппроксимации кривой. Показано, что при фиксированном значении одного параметра ¿¿-аппроксимация поверхности является ¿¿-аппроксимацией кривой как функция второго параметра. Созданы алгоритмы аппроксимации таблично заданных кривых и поверхностей, реализованные в библиотеках и пакетах прикладных программ.

- Для решения задач нелинейного программирования разработаны алгоритмы покоординатного спуска, матричного спуска, сканирующего конуса, использующие адаптацию параметров и случайные выборки. Эти алгоритмы являются основой созданного алгоритма решения задачи нелинейного программирования, реализованного в библиотеке программ ПОИСК, с помощью которой решён ряд прикладных задач.

- Впервые задача фармакологической коррекции генной сети сформулирована как задача оптимального управления динамической системой. На основе математической модели генной сети созданной в Институте Цитологии и Генетики СО РАН решена задача коррекции функции биосинтеза холестерина клетки, подвергшейся мутации.

Методика исследований. В построении новых численных методов решения задачи Коши для систем ОДУ, методов автоматизированного геометрическою проектирования и методов условной численной минимизации функционалов использован единый подход, основанный на применении эрмитовых сплайнов для аппроксимации функций. Программы написаны на языке OBJECT PASCAL.

Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечена использованием известных классических методов вычислительной математики, приведением достоверных теоретических оценок точности разработанных методов, тщательным тестированием разработанных и используемых методов решения задачи Коши для систем ОДУ, методов аппроксимации кривых и поверхностей, алгоритмов решения задачи нелинейного программирования, сравнениями результатов полученных новыми методами с точными решениями и с результатами, полученными по известным программам, построенным на основе зарекомендовавших себя методов - приводятся соответствующие таблицы и графики.

Практическая значимость состоит в том, что на основе разработанных семейств методов решения задачи Коши для систем ОДУ созданы методы и разработаны алгоритмы, реализованные в виде библиотек программ, являющихся составной частью

пакетов, созданных для решения многих практически значимых прикладных задач. Разработана формализованная методика аппроксимации кривых и поверхностей, реализованная в виде библиотеки программ, являющейся компонентом пакета прикладных программ проектирования оптимальных двумерных конфигураций, удовлетворяющих заданным аэродинамическим и геометрическим ограничениям. Пакет имеет большое значение для развития и совершенствования авиационной техники. Полученные результаты были использованы при выполнении хоздоговорных работ с ЭМЗ им В.М. Мясищева, (имеется акт о внедрении), с институтом органической химии СО РАН, (имеется акт о внедрении), с НПО «Прикладная механика» им М. А. Решетнёва, при выполнении грантов Российского фонда фундаментальных исследований (1996-2004).

Апробация работы. Результаты работы по мере их получения докладывались на

- Международной конференции "Задачи со свободными границами в механике сплошной среды". Новосибирск. 1991.

- IV-й Всероссийской школе молодых учёных. Красноярск. 1992.

- Всероссийской школе - семинаре по комплексам программ мат физики Новосибирск, 1992.

- XI-й международной конференции по автоматически пилотируемым летательным аппаратам. Англия, Бристоль. 1994.

- Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и их приложения". Казань. 1999.

- Конференции «Юбилейные Чаплыгинские чтения». Новосибирск 1999.

- Ш-й всероссийской конференции «Математика, информация, управление». Иркутск, 2004.

- VII - XII Международных конференциях "Methods of Aerophysical Research" Новосибирск. 1994,1996,1998, 2000, 2002, 2004.

- на семинарах ИТПМ СО PAII, ИМ СО РАН, ИВТ СО РАН Новосибирск. 2005

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 35 печатных работах. Из совместных публикаций в диссертацию включены результаты, полученные автором или при его непосредственном участии.

Личный вклад автора. Автор принимал участие в разработке пакета проектирования двумерных конфигураций при конструировании интерфейсной части пакета, программ представления границ конфигураций, программ создания адаптируемых рас-

чётных сеток и программ отображения результатов решения. Автор являлся ведущим разработчиком семейств методов решения задачи Коши для систем ОДУ и методов аппроксимации кривых и поверхностей, библиотеки программ прогнозирования движением искусственных спутников Земли, пакета программ решения задачи Коши для систем ОДУ, пакета программ ТЕРМОГРАФ. В создании библиотеки программ «ПОИСК» автор принимал участие в разработке методов, построении и тестировании программ. Автор принимал участие в разработке концепции решения задачи управления динамикой генной сети и являлся основным разработчиком программного пакета управления синтезом холестерина в клетке. Текст диссертации и автореферата обсужден и согласован с соавторами.

На защиту выносятся следующие научные результаты:

1 Два новых семейства методов решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), теоремы, определяющие области значений параметров семейств, порождающих методы, обладающие А - и ¿ - устойчивостью, алгоритмы решения задачи Коши для систем ОДУ ЬЯП.г) - методом, ЬМЯ( 1,0,1) - и ¿М??( 1,1,1) - методами с расчётом ошибки на шаге, соответствующие библиотеки прикладных программ.

2 Новое определение устойчивости численных методов интегрирования систем ОДУ -¿(5) - устойчивость, теоремы об А - и ¿(5) - устойчивости ЬМЯ{ 1,0,1) - и ЬМЯ( 1,1,1)- методов.

3 Новые методы кусочно-полиномиальной аппроксимации кривых и поверхностей, заданных таблицами точек, названные, соответственно, ¿¿-аппроксимацией кривой и ¿¿-аппроксимацией поверхности, теоремы, гарантирующие выполнение основных условий изогеометрии (отсутствие паразитных осцилляций. монотонность, о близости к задающим точкам), метод, позволяющий варьировать отдельные участки аппроксимирующей кривой или поверхности, библиотека прикладных программ, в основе которой лежат описанные методы аппроксимации кривых и поверхностей.

4 Алгоритм решения задач нелинейного программирования с адаптацией параметров и использованием метода случайных выборок, библиотека прикладных программ ПОИСК для персонального компьютера

5. Постановки и результаты следующих прикладных задач:

- в задаче прогнозирования движения искусственного спутника Земли увеличение интервала прогнозирования в пределах заданной точности но сравнению с использовавшимися ранее методами,

- практические задачи расчета оптимальной формы крыльевых профилей дозвуковых самолетов при заданных аэродинамических и геометрических ограничениях,

задача управления биосинтезом холестерина в клетке впервые сформулированная как задача оптимального управления динамической системой.

Новые методы использованы для интегрирования систем ОДУ, аппроксимации и расчёта управляющих функций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и приложения, объединяющих 22 параграфа, заключения, списка цитируемой литературы из 126 наименований и копии актов о внедрении. Общий объём работы 235 страниц, включая 34 рисунка и 10 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении даётся анализ и описание проблем, возникающих при использовании численных методов решения задачи Коши для систем ОДУ и численных методов аппроксимации кривых и поверхностей К таковым относится так называемая жёсткость систем ОДУ (К. Куртис и Дж Хиршфельдер 1952) Сущность явления заключается в сильном различии изменения фазовых координат, характеризующимся большим разбросом значений собственных чисел матрицы якобиана для функций правых частей системы ОДУ, количественно выражающемся величиной числа обусловленности - отношения максимального абсолютного значения собственных чисел к минимальному. Для явных методов область устойчивости к возмущениям начальных значений - шаг интегрирования - ограничена столь малой величиной, что возникают проблемы, вызываемые слишком большим временем интегрирования. Однако, для некоторых неявных методов, характеризующихся так называемой А- устойчивостью (Д.Дальквист, 1963), ограничение по величине шага интегрирования расширяется и позволяет сохранять устойчивость решения к начальным возмущениям для достаточно больших величин шага интегрирования В результате, для некоторых типичных жёстких систем число шагов на всём промежутке интегрирования для явных методов, таких, как, например явный метод Рунге-Кутты 4-го порядка точности, по сравнению с методами, обладающими А- устойчивостью превышает на весьма ощутимую величину. Однако известны А- устойчивые методы (например, неявный

метод трапеций) для которых численные приближения к быстро затухающим фундаментальным решениям с малыми постоянными времени мо!>т за1>.\а!ь очень медленно. Для таких систем потребовалось свойство так называемой сильной А- устойчивости или Ь - устойчивости метода (Эйле, 1969).

Другая проблема заключается в структуре самих дифференциальных уравнений, при которой возникает неустойчивость к возмущениям начальных условий. Таковы уравнения движения в небесной механике. Эта проблема решается двумя путями Первый путь заключается в преобразовании уравнений, при котором уравнения становятся устойчивы к возмущениям начальных условий (спинорная регуляризация -П Кустаанхеймо 1964, Е. Штифель, Г. Шейфеле 1975), метод, пригодный топько для определенного узкого круга задач небесной механики. Второй путь, ограниченный только возможностями вычислительной техники, состоит в создании методов, сохраняющих высокую точность при достаточно большой величине шага интегрирования (Р. Буллирш, Дж. Стойер 1966, Р Браун 1974 и др.) На основе данного анализа с учётом роста возможностей вычислительных средств подтверждается актуальность совершенствования имеющихся и создания новых высокоэффективных методов численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

При выборе или создании способа представления формы проектируемого или изучаемого объекта можно выделить следующие основные требования, выдвигаемые к описывающей форму объекта кривой или поверхности- минимум входных данных, отсутствие осцилляций между соседними точками, нужная степень гладкости, сохранение монотонности задающих точек, прохождение в заданной окрестности задающих точек и воссоздание прямолинейных участков, углов и изломов Практически все способы аналитического описания и представления в ЭВМ криволинейных границ имеют свои достоинства и недостатки К недостаткам можно о 1 нести тенденцию к осцилляциям у полиномиальных представлений, невысокую степень гладкости сопряжения для кусочно-полиномиальных представлений, необходимость задания производных в узлах для эрмитовой интерполяции. У сплайнов также могут возникать осцилляции на интервалах с большими градиентами и в точках разрыва кривизны, у параметрических сплайнов с равномерной параметризацией, свободных от традиционных осцилляций возможно появление петель и немонотонное поведение аппроксимирующей функции в области монотонности задающих точек. Кривые Ферпоссона - Бернштейна - Безье не могут одновременно удовлетворять требованиям высокой гладкости сопряжения и хорошего приближения к заданным узлам. Ап-проксимационные кривые, приводимые в данной работе кусочно-полиномиальные,

конструирующиеся на основе эрмитовой интерполяции без использования производных в задающих точках с полиномами произвольной степени, позволившими сформулировать условия, сохраняющие их изогеометрические свойства.

Далее во введении отмечается, что успех в решении оптимизационной задачи зависит от эффективности используемых методов минимизации функции многих переменных при наличии функциональных ограничений в виде равенств и неравенств и что логическим завершением разработки методов решения задач проектирования и оптимизации является создание специализированного комплекса или пакета прикладных программ с выводом графической и числовой информации о процессе поиска решения задачи на любом этапе. Это дает возможность оценивать роль и влияние параметров проектирования, ограничений, точности их выполнения, коэффициентов штрафа и иных параметров алгоритма на ход решения и вносить соответствующие коррективы. Только наличие такого пакета (комплекса) позволяет говорить о возможности решения практических задач, так как обычно результаты представленные в публикациях носят в основном тестовый, методический характер, не являются систематическими и могут служить лишь ориентирами в проведении исследований.

В первой главе описаны способы построения двух новых семейств численных методов решения задачи Коши для систем ОДУ, позволяющих конструировать А- и Ь-устойчивые методы Семейства методов основаны на представлении правых частей системы ОДУ в виде соответственно двух и трех точечных интерполяционных эрмитовых полиномов. Соответствующие формулы даны в приложении, где их нумерация приводится с добавлением буквы «п». Двух и трех точечные интерполяционные полиномы Эрмита в приложении даются формулами, соответственно, (п1) и (пЗ). В параграфе 1 обсуждаются основные трудности, сопровождающие численные решения задачи Коши для систем ОДУ и способы их преодоления или уменьшения. Численные методы, обладающие А и Ь -устойчивостью, эффективны для уменьшения проблем, связанных с жёсткостью систем ОДУ и для задач неустойчивых к возмущениям начальных условий, одним из путей преодоления которой является выбор или создание методов, сохраняющих высокую точность при достаточно больших величинах шагов интегрирования. Эффективность методов по указанному критерию, сформированных на основе описанных семейств ЬЯ и ЬМЯ - методов, может быть ограничена только возможностями вычислительной техники. В параграфе 2 описывается семейство методов на основе двухточечной интерполяции. (¿/?-методы). Рас-

сматривается задача Коши для системы ОДУ, которая на одном шаге А представляется в следующем виде:

^ А

Для заданных целых положительных I и Л, в предположении, существования единственного решения уравнений (1), и порядка гладкости на решении по у не ниже = 1лЯ+2, функции правых частей приближаются на шаге И интерполирующими полиномами Эрмита (п1), интегрирование которых в пределах от 0 до 1 даёт следующую вычислительную схему:

I Я

У(0=Уо + I + 2Х*0)Ф!*' ' (2)

к=О Л=0

представляющую собой неявную систему алгебраических уравнений для определения значений фазовых переменных в точке 4=1. Здесь коэффициенты - определённые интегралы в пределах от 0 до 1 полиномов даются формулами (п2). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Метод численного интегрирования системы ОДУ, основанный на пошаговом решении системы алгебраических уравнений (2) при заданных Ь и Я называется ЬЯ(Ь,Я) - методом Точность ЬЯ{Ь,К)-метода по шагу интегрирования И удовлетворяет оценке

Доказана следующая

теорема 1.1 Если для ЬЩЬД)-и&тот параметры Ь и Я удовлетворяют неравенству Ь< Я <1+2, то ХЛ-метод Л-устойчив. Если для ¿Л-метода параметры /. и Я удовлетворяют неравенству Ь< Я <Ь+2, то ¿Л-метод ¿-устойчив. Как можно видеть, для реализации методов при ¿>1 необходимо вычисление производных функций правых частей выше первого порядка. Применение известных разностных методов для вычисления производных высокого порядка для функций правых частей затруднено в связи с известными проблемами точности и устойчивости, поэтому для реализации этих процедур используется метод аналитического дифференцирования, основанный на представлении функций бинарными графами. Параграф 3 посвящен описанию метода аналитического дифференцирования. Приведены основные формулы для применения метода аналитического дифференцирования в 1Л(1,Л)-методах, а именно, для аналитического представления производных функций правых частей произвольного порядка по аргументу, их частных производных по фазовым координатам (якобианов), и производных якобианов по независимой переменной, что необходимо для реализации метода Ньютона решения алгебраической системы (2). В параграфе 4 описывается семейство методов на основе трёхточечной

12

интерполяции, названное £М7?-методами. Приближение функций правых частей системы (1) на шаге Ъ интерполирующими полиномами Эрмита (пЗ) и интегрирование их в пределах от 0 до 5 и от 0 до 1 даёт следующую вычислительную схему: I М Я

*=0 ¿=0 к=О ,,,

I М К ^

¿=0 к=0 ¿=0 представляющей собой неявную систему 2п алгебраических уравнеггий для определения значений фазовых переменных в двух точках и 4=1, (и - число фазовых переменных, параметр ,уе(0,1) определяет положение средней точки) Здесь коэффициенты - определённые интегралы в пределах от 0 до « и от 0 до 1 полиномов (п4), приведённых в приложении.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Метод численного интегрирования системы ОДУ, основанный на пошаговом решении системы алгебраических уравнений (3) при заданных Ь, Мм Я называется ЬМЩЬ.МД) - методом.

Точность £М/?(1,А/,Я)-метода по шагу интегрирования к удовлетворяет оценке |у(А)-у(й)|~/1е+1, Й = Х + Л/ + Л + 3.

Для доказательства А - устойчивости метода применяется уравнение

г' = Хг, г(0) = го, х>0, ЩЛ)<0 (4)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Одношаговый метод назовем Ц5) - устойчивым, если он А -устойчив и если для задачи (4) для некоторой положительной величины 8 1 на шаге величины к он дает решение 1, = г, хд(кХ), где |?(АА)| 8 при к—»да. ЦЗ) - устойчивость имеет значение для «сильно» жёстких (в терминологии X. Штетгсра) систем. Далее приводятся вычислительные схемы следующих программно реализованных методов из описанных семейств: ¿Л(1,1) - метод, 1Л(2,2) - метод, ЬМЯ{ 1,0,1)

метод, ЬМЯ{ 1,1,1)- метод Доказаны следующие теоремы. Теорема 1.2.1АЙ?(1,0,1)-метод ^-устойчив при 5 > 1/2.

ЬМЯ( 1,0,1 )-метод Ь(5) -устойчив при 8 = {\-*)1(2-&) Теорема 1.3.1МЛ(1,1,1)-метод^-устойчив при« > 1/2.

¿А4К(1,1,1)-метод£(<$) -устойчив при 3 = (\-¿у /(2-л)".

На основе применения к исходной системе ОДУ уравнения в вариациях приведено описание способов расчёта локальной и глобальной ошибки интегрирования для указанных программно реализованных методов. В параграфе 5 приводится алгоритм интегрирования систем ОДУ с разрывными правыми частями при конечном числе точек разрыва. В параграфе 6 на конкретном примере показано, что с помо-

13

щью ¿Щ,Л)-меюдов можно решать некоторые простые задачи интегрирования систем ОДУ в краевой постановке. В параграфе 7 для иллюстрации эффективности описанных методов приводятся результаты расчётов нескольких тестовых задач новыми методами и некоторыми известными методами. Ниже приведены результаты тестовых расчётов для следующих систем дифференциальных уравнений- (Я, - собственные числа матрицы Якоби при г=г0, приводимые для оценки жёс1кости системы, характеризующейся числом обусловленности - отношением максимального абсолютного значения собственных чисел к минимальному).

1. Жёсткая система с пограничным слоем на левом конце для первых двух компонент и на правом конце для третьей компоненты вектора-решения,

^=0.0785 С^-й), Л=0.1У), 0</<50д Л(0)=у2(0Н 0>Д А,=-55 ^2=0.00625+0.01/, /¡3=0.00625-0.01/.

2. Слабо жёсткая система с пограничным слоем на правом конце Сильная чувствительность к возмущениям начальных условий и очень быстрое возрастние на правом конце (тес! Троеша)

У] =У2, У2^Нух),0<?<1аЛ(0>0,у2(0)=3.585104.

3. Жёсткая задача, имеющая аналитически представимое решение (решение у, =-1000г2, = 5г(1 + '2)+1->-

у, =-400(^2-1)-7-У\>2=5(1-0.003Л), 0<Г<100. у,(0)=0,у2(0)=1.

4. Для сравнения с методом экспоненциальных аппроксимаций, (С.О. Фатунла) взята жёсткая линейная система, имеющая аналитически представимое решение

у, =-2000у,+999.75у2+1 у2=у,-у2. 0<Г<10. у>(0) = 0 г,(0) = 0

Решение

1999.5 ехр(-2000.5р 0.5ехр(-0.5р | 1 У' 4001000 1000 +1000.25'

ехр(-2000.5Г) ехр(-0.5р 1 У2 4001000 1000 +1000.25'

В таблице 1 приведены решения указанных задач тремя методами из числа доступных программных пакетов: методом Гира, обозначенным ГИР, неявным методом Рунге-Кутты 5-го порядка точности, обозначенным РК5 и стандартным методом Рунге-Купы 4-го порядка, обозначенным РКСТ, а также программно реализованными методами из описанных семейств: 1Д(1,1)- методом, обозначенным ¿ЯП. ЬЯ(2,2)- методом, обозначенным £Л22, ¿/?(9,9)- методом, обозначенным £Л99, 1МК(1,0,1)- методом со значением параметра 5=0.5, обозначенным ЬМЯ 101,0 5,

ЬМЯ( 1,1,1)- методом со значением параметра 5=0.5, обозначенным 1МВ.\ 11,0.5. Ре-

14

гаения получены с помощью пакета Diffode для решения задачи Коши для систем ОДУ созданного на языке OBJECT PASCAL. В первой и второй колонках таблицы указаны номер задачи и метод решения. Третья и четвёртая колонки содержат минимальное и максимальное значение шага интегрирования, достигнутые в процессе решения Эти данные характеризуют эффективность работы блока автоматизированного выбора шага интегрирования по задаваемой локальной точности, приводимой в шестой колонке таблицы. Пятая колонка содержит общее количество вычислений функций правых частей, потребовавшееся для интегрирования, наиболее удобная характеристика для оценки одного из важнейших критериев эффективности численного метода - «быстродействия». Седьмая колонка содержит получаемую глобальную точность решения, которая для 3-й и 4-й задач рассчитывалась по имеющемуся решению, а для 1-й и 2-й задач решением LR{2,2)- методом с заданной локальной погрешностью 1.00Е-10. Данные, по методу экспоненциальной аппроксимации, приведенные в таблице, взяты из журнальной публикации.

Таблица 1.

Зада- Метод Мини- Макси- Вычислений Задаваемая Получаемая

ча мальный мальный функции правые TOV.1 11 1ПП > inftl 71 uni

шаг шаг частей системы точность ошибка

PKCT 0 00175 0 195 130904 1 0Е-07 4 70L-07

Гир - - ЗОИ 1 ОЕ-10 1.00Е-07

РК5 0 00100 11.650 2405 1 0Е-07 1 00Е-07

LR11 0 01400 57 200 1773 1 0Е-05 8 14Е-07

1 LR22 0 00080 25.000 1311 1.0Е-06 4 60Е-07

LMR101.0 5 0 01000 109 000 1311 1 0Ь-05 1 31Е-06

LMR111.0 5 0 01000 62.900 1691 1 0Е-06 4 70Е-07

PKCT 0 00021 0 180 2496 1 0Е-07 7 30Ь-04

Гир - - 3294 1 0Е-09 1 00Е-04

РК5 0 00014 0 220 2405 1 0Е-06 1 00Е-04

LRU 0 00016 0.600 3338 1 0Е-06 7 68Е-03

2 LR22 0.00049 0 744 1789 1 0Е-06 8 90Е-04

LMR 101,05 0 00547 0.765 1309 1 0Е-06 9 60Е-04

LMR111.05 0 00324 1.440 1715 1 ОЕ-06 8 67Е-06

LR99 0 00216 1 050 1321 1 0Е-06 8 40Е-05

PKCT 0 00033 0 072 5688 1 0Е-0^ 1 00Е-07

Гир - - 4227 1 0Е-08 1 00Е-07

PK5 0 00035 29.900 130 1.0Е-08 1 00Е-07

LRU 100 100 6 1 0Е-08 3 40Е-08

3 LR22 100 100 1 1 0Е-08 1 ЗОЕ-15

LMR101.0.5 100 100 8 1 ОЕ-08 1 40Е-09

LMRU1,0 5 100 100 11 1 0Е-08 6 40Е-10

PKCT 0 000078 0 0008 76064 1 00Е-05 3 20Е-11

Фатунла 0.01 0.01 - 1 0ОЕ-О8 1 00Е-03

4 ШЯ101.0 5 0 01 1 44 47 1 00Е-О8 1 21Е-05

LMR] 11,0 5 001 144 47 1 00Е-08 2 OOF-06

IÄ11 001 1.63 33 1 00Е-08 4 26Е-05

LR22 0 0013 0 78 148 1 00Е-08 1 10Е-08

1ЯЗЗ 0.0018 0.68 172 1.00Е-08 4 82Е-12

LR55 0.005 0 30 904 1 00Е-08 4 96Е-13

Из таблицы 1 видно, что результирующие данные, которые характеризуют эффективность численного метода интегрирования, сильно зависят от решаемой задачи.

Вторая глава посвящена изложению нового метода аппроксимации кривых и поверхностей Во введении, параграф 1, описываются некоторые основные методы представления криволинейных границ и поверхностей и обрисовываются проблемы, возникающие при их построении для функций заданных таблицами значений. Разнообразие проблем вызвано большим количеством приложений и соответствующих требований к аппроксимирующим кривым Основные требования относятся к сохранению гак называемых изогеометрических свойств (А И Гребенников. 1978) - отсутствию «вредных» осцилляций, сохранению монотонности и гладкости Методы сплайн-функций требуют предварительного расчёта коэффициентов для всей области аппроксимации, что при варьировании кривой требует дополнительных затрат расчётного времени. Приведены результаты исследований по созданию нового метода на основе локальной аппроксимации В параграфе 2 приводится описание метода Ы - аппроксимации кривой. Метод состоит в построении локальных полиномов степени /., каждый из которых определён на промежутке, границы которого лежат внутри двух соседних интервалов, ограниченных тремя заданными соседними точками На заданных точках строится линейная интерполяция, называемая каркасом (см рис 1). Схема построения представляет собой эрмитовую интерполяцию по двум точкам, в которых значения функции и её первых производных берётся из значений на линейном каркасе, остальные производные аппроксичир\тчиего почттномп в граничных точках полагаются равными нулю. Показано, что внутри каждого из указанных интервалов существует такой сегмент, что построенный на нём указанным способом полином не имеет точек перегиба внутри этого сегмента. Формулы для коэффициентов аппроксимирующих полиномов выводятся способом, аналогичным приведённым в приложении при выводе формул двухточечной эрмитовой интерполяции Даны формулы в плоской постановке, при которой аппроксимирующий полином представлен функцией /(х) и задача ограничивается рассмотрением однозначных функций В параметрическом виде с равномерной параметризацией, при рассмотрении пространственной кривой, заданной в К точках формулы Ы - аппроксимации имеют следующий вид:

Р, (<?) = (Г, +!■_,)/ 2 +# (г, - г_ ) + /!(#) (г_ +»■„,- 2г,)/ 2, / = епИег[ЦК +1) + 0.5], £ = г(К +1) - г + 0 5, # е [0,1], (5)

Ь + 1С

Определение 2.1 ¿¿ - аппроксимацией кривой будем называть совокупность полиномов, построенных по соотношениям (5) для /=1,2, ,К-1 отрезков. Показано, что ¿¿ -аппроксимация кривой непрерывна на всём сегменте 1е[Д,1-Д], где 1КК+1) вместе со всеми производными до порядка Ь.

И - аппроксимация кривой обладает рядом свойств, сформулированных в виде следующих теорем.

Теорема 2.1. Полиномы (5) на интервалах £е (0, 1) точек перегиба не имеют. Теорема 2.2. 1.1. - аппроксимация кривой на интервалах £е(0,1) монотонна при условии (г, -г,ч)-(г,+|-г,)2 0.

Теорема 2.3. Для полинома (5) справедливо утверждение 1.т/>(0.5) = /(*,).

Теорема 2.4. Пусть функция/(х) задана в К точках /;=/(*,), ' =12

Существует распределение г,, такое, что для аппроксимирующих полиномов

7 = 6,(0. 3? = Й2(0, ге[0,1], (6)

где 2] и 02 - ¿¿-аппроксимации кривых, задаваемых таблицами точек /, и х„ функция, получаемая исключением параметра г в (6), не имеет точек перегиба внутри интервалов сопряжения. Справедливость утверждений теорем 2.1-2.4 доказана. Показано, что можно построить ¿¿-аппроксимацию кривой, проходящей в любой заданной окрестности задающих точек С этой целью на некоторых «фиктивных» векторах строится ¿¿-аппроксимация кривой, для которой выполняется требование необходимой близости к задающим точкам Значения компонент этих фиктивных векторов определяются из решения линейных алгебраических систем с трёхдиагональной матрицей. Показано, что матрица этой системы не вырождена.

В качестве примера для иллюстрации применения ¿¿-аппроксимации кривой, проходящей через заданные точки на рис. 2 приведена аппроксимация при Ь-5 контура летательного аппарата в плане. Контур задан 53-мя точками. Рис 3 и 4 демонстрируют свойство монотонности ¿¿-аппроксимации кривой, аппроксимирующей профиль крыла самолёта, здесь четыре точки, задающие переднюю кромку, лежат на одной вертикальной прямой. Параграф 3 посвящён описанию процедур построения и свойств ¿¿-аппроксимации поверхности. Пусть в какой-либо ортогональной системе координат, например, декартовой {х,у,г}, заданы матрицы базовых координат 1 = \,КХ, ] - 1,Ку опорной поверхности 2 = /{х,у). Под опорной поверхностью понимается поверхность, составленная из линейчатых порций (аналогов линейного каркаса в одномерном случае). Эти таблицы представляют ко-

17

ординаты К у точек в Кх сечениях поверхности плоскостью х=сопя1 Вводятся параметры ме[0,1], ve[0,l], соответствующие строкам (-сом! и столбцам /-сог^ введённых матриц с равномерными разбиениями на участки Для выбора координат узловых точек на параметрической плоскости (иу) поступим так же, как в одномерном случае Единичный квадрат параметрической плоскости (и, у) делится равномерной сеткой на (Кх +1) (Ку +1) прямоугольников. Считается, что таблицы для вектор-

функций г(и,у) заданы в узлах сетки. На рис. 5, поясняющем способ выбора поверхности Кунса и принятые обозначения, изображена подобласть плоскости (и,\>), прилегающая к точке г^ и состоящая из четырёх линейчатых порций - элементов опорной поверхности, обозначенных римскими цифрами. Пунктирный прямоугольник изображает область определения (у)-й порции составной поверхности , на которой строится ¿¿-аппроксимация поверхности Полином как функция параметра и строится аналогично форме, представляющей ¿¿-аппроксимацию кривой с той разницей, что коэффициенты представляются в той же форме как функции второго параметра V В результате «рабочие» формулы имеют следующий вид

ру & ц)=к» + ^ 4'+т 4 + <? + л +т ]+

где обозначено:

К'/ =(гг_1у-1+г(7Ч+г«-1;+г!/')/4' К2 = (г>/ + ГМ / " г/-1 ]-\ ~ ги-1>12' К3 = (г,-17-1 + Г1}-\ + гг-17+1 + VI ~ 2ГУ " 2гг-Ъ ^'4' К4 = (г//-1 ~ гг-17-1 + гу ~ Г!-1 р12'

К5 =гу"гг-17+гМ;-1-г,7-1'

К6 = (гу-1 ~ Г!-1,/-1 + Г!/'+1 ~~ г/-17+1 ~2Гу +2гИу.)/2, К7 = ^гг-17-1 + Гг'+17-1 + гг-1} + ~1гу -2г(Н)/4, К8 =^-17 + Г1+17 ~Гг-17-1 "гг+17-1 +2гу-1 "2гу)/4.

^ = (гг-17-1 + г/+1 )-\ +Г/-17+1 +гг+17+1 -2г/Н ~2гу+\ 17 + 4г!/)/4

Определение 2.2. ¿X - аппроксимацией поверхности будем называть совокупность полиномов, построенных по соотношениям (7) для г = \,КХ, ] = \,Ку . Доказана следующая

теорема 2.5. При любом фиксированном значении одной из переменных на £3

полином (7) представляет собой ¿L-аппроксимацию кривой по другой переменной

Из теоремы 2.5 следует, что при заданной одной из координат, в направлении второй координаты полином представляет LL- аппроксимацию кривой и, следовательно, обладает всеми свойствами LL- аппроксимации кривой по этой координате Далее приводятся формулы для построения изолиний На рис. 6 приведено представление ¿¿-аппроксимацией поверхности летательного аппарата типа Шаттл -изображены изолинии поверхности по двум координатам с удалением невидимых линий. В параграф4 приведён метод вариации поверхности, позволяющий изменять форму отдельных участков, варьируя определённые группы векторов, задающих поверхность тела.

В третьей главе описываются алгоритмы, библиотеки программ, программные пакеты, разработанные на основе описанных методов. Приведены также некоторые результаты решения задач, представляющих научный и практический интерес Во введении, параграф 1, обосновывается важность этапа алгоритмизации и программирования в процессе разработки того или иного метода. Изложены принципы, которым отвечают созданные автором пакеты прикладных программ. В параграфе 2 приведены описания алгоритмов решения задачи Коши для систем ОДУ численными методами из семейств LR и LMR - методов. Описывается способ выбора шага интегрирования на основе расчёта локальной погрешности метода и расчйа якобианов. Описывается пакет программ решения задачи Коши для систем ОДУ, сконструированный на основе приведённых алгоритмов, с помощью которого получены данные таблицы 1. Пакет создан в среде DELPHI для персонального компьютера (ПК) на языке OBJECT PASCAL. В пакет включены 5 тестовых задач, приведенных в главе 1, параграф 7. Для решения произвольной задачи выбирается задача номер 6, для которой данные и процедура вычисления правых частей подготавливаются пользователем согласно приведённой инструкции. В пакете задействованы следующие методы: стандартный метод Рунге-Кутты 4-го порядка точности, метод Гира, неявный метод Рунге-Кутты 5-го порядка точности, использующий вторую производную от решения, ¿Л(1,1)- метод, ¿М?( 1,0,1)- метод, с выбираемым значением параметра s, LMR( 1,1,1)- метод с выбираемым значением параметра s, LR(L,R)- ми од с выбираемыми значениями параметров Lvt R. Пакет позволяет прерывать интегрирование задачи для просмотра промежуточных результатов расчёта с возможностью продолжения или прекращения счёта. Результаты расчётов выдаются таблицей содержащей кроме фактических данных решения некоторые статистические данные о процессе

решения выбранным методом, а также графиками. Графики можно выбрать в виде зависимости заданной фазовой переменной от аргумента или в виде зависимости двух заданных фазовых переменных друг от друга - для просмотра «фазового портрета». Приведены изображения меню и панелей, выводимых на экран монитора ПК в процессе поэтапной работы с пакетом. В параграфе 3 приводится описание решения задачи прогнозирования движения искусственных спутников Земли В основе комплекса лежит 1К -метод интегрирования систем ОДУ с программами аналитического дифференцирования. Потенциал гравитационного поля Земли представлен в виде разложения по присоединённым сферическим функциям и полиномам Лежандра. Учитываются центральные гравитационные поля Луны и Солнца. Решение производится с помощью -метода интегрирования систем ОДУ с произвольно задаваемыми величинами Ь и Я. Правые части уравнений движения со всеми необходимыми производными рассчитываются с помощью программ аналитического дифференцирования, в которые внесены соответствующие блоки для расчёта функций и полиномов Лежандра.

Таблица 2

Интервал Метод Минимальный шаг Точность

LR(3,9) 0.500 6 ОЕ-12

Рунге-Кутта 0 001 1 0Е-09

144 мин Адаме - 1 0Е-07

GEAR - 1 ОЕ-11

LR(6,6) 1.000 2 8Е-11

288 мин Рунге-Кутта 0 001 I ОЕ-08

LR(3,9) 0 500 5 ОЕ-09

Рунге-Кутта 0 001 1 0Е-07

10 суток Адаме - 1 0F-03

GEAR ■ 1 ОЕ-О6

LR(7,7) 1 500 3 6Е-08

100 суток Рунге-Кутта 0 001 1 0Е-04

В таблице 2 приведены результаты численного решения задачи прогнозирования движения ИСЗ по околоземной кемеровской орбите с эксцентриситетом е=0.155 для четырех интервалов стандартным методом Рунге-Кутты, методом Адамса 12-го порядка, методом Гира и ¿Л-методом с различными значениями параметров £ и Л. В четвертой колонке приведена точность прогнозирования - отклонение численно рассчитанного положения центра масс спутника от рассчитанного по формулам (10"6 соответствует примерно 50 метрам). Видно, что стандартным методом Рунге-Кутты

с автоматическим выбором величины шага интегрирования на 100 суток удаётся дать прогноз положения ИСЗ с точностью 5 км.

Параграф 4 описывает пакет программ проектирования плоских аэродинамических форм В состав пакета входят библиотеки программ ПОИСК и представления границ контура ¿¿-аппроксимацией кривой. Пакет предназначен для решения задачи построения контура крыльевого профиля, реализующего максимальное значение некоторого целевого функционала при заданном наборе газодинамических и геометрических ограничений. При решении оптимизационной задачи ограничения учитываются методом штрафных функций, составной функционал формируется согласно постановке, описанной в параграфе 5. В качестве модели основного течения выбрана модель плоскою установившегося безвихревого баротропного течения невязкого газа Приведены формулировка математической модели обтекания профиля и постановки на её основе практических задач поиска оптимальных форм. Описывается используемый в пакете алгоритм управления распределением узлов расчётных сеток Автоматизация контроля адаптивных сеток имеет большое значение в численных расчётах многих математических моделей. Описан основанный на эрмитовой интерполяции метод построения одномерных и двумерных сеток с узлами, распределёнными соответственно заданной функции плотности распределения Для одномерного распределения задача формулируется так- на сегменте [а, Ь] построить последовательность К интервалов, на каждом из которых определенные интегралы функции /х) равны между собой. Численное интегрирование функции/х) производится методом двухточечной эрмитовой интерполяции по формулам, приведённым в приложении В результате при ¿=0 для определения положений узлов сетки на сегменте [а, Ь] имеем К-\ уравнений

х, = а + _/й + -

5 1+1 /;

где

а+ /А (

к=2

/2 | 2(5,-9, )(/,„-/,) /

-2,К,

а

Здесь М - число интервалов равномерного разбиения сегмента [а,Ь] для интегрирования функции плотности, которое выбирается из требований точности интегрирования, / определяется из условия qJ<st<qJ+^, индекс у функции плотности определяет значение в узлах равномерного разбиения. Для построения двумерной сетки по заданной функции двух переменных для плотности распределения по двум коорди-

натным осям предложен итерационный процесс, основанный на построении сходящейся последовательности одномерных функций плотности распределения по каждой координатной оси. Графики на рис.8, 9 демонстрируют работу программ, реализующих построение двумерной регулярной сетки по заданной двумерной функции распределения плотности, в качестве которой взята функция, сконструированная на основе функции Гаусса,

f\x,y) = c-exp

у У

ехр

„2\

+ ехр

сх-1)2

при следующих значениях параметров: с=50, bx=bv=0A.

Приведены результаты решения четырёх задач, посвященных изучению влияния различных способов задания геометрических ограничений Паке, скшкчр) ировап на языке FORTRAN-IV со встроенным комплексом графических процедур. В настоящее время (2005 год) пакет продолжает функционировать на PC - Pentium-4 с тем же интерфейсом и создаётся интерфейсная часть, совместимая с новыми операционными системами. На рис. 7 представлен пример решения одной из задач - копия изображения экрана монитора PC в процессе работы пакета. Пунктирной линией показаны контур исходного профиля и распределение коэффициента давления по верхнему и нижнему участкам контура. Сплошной линией показаны полученные контур профиля и распределение коэффициента давления. параграф5 посвящён описанию алгоритмов решения задачи нелинейного программирования и созданного на их основе комплекса программ ПОИСК. Решается задача в следующей постановке. Найти min Ф(х), хеХ при условиях

En-=>X = {x: х\ <хх <х"(}, pj(x) = 0, j = l,-,Q, Щк{х)<0, * = 1, •,Q'

Составной функционал Ф формируется согласно методу штрафных функций, но не в стандартном виде, а специальным образом

\2

Ф = Ф,

К,

м

<р,

)

к

Vk

ек

+1

при котором показано, что правильный выбор величин коэффициентов штрафа позволяет исключить колебательный характер поиска, затрудняющий анализ процесса оптимизации (здесь £ и £' - массивы точностей выполнения соответствующих ограничений). Адаптация алгоритма поиска по формированию составного функционала, целью которой является «выравнивание» процесса поиска достигается с помощью коэффициентов штрафа К, К'. Далее описываются основные компоненты алгоритма комплекса программ ПОИСК. Одномерный спуск, основанный на комбинации мето-

да парабол с методом золотого сечения; покоординатный спуск, - последовательность спусков при которых варьируется одна выбранная переменная или группа переменных при сохранении постоянного значения остальных переменных; поиск в гиперконусе, - последовательность случайных выборок на периметре основания гиперконуса с адаптирующимися направлениями оси и углами полураствора: случайный поиск на поверхности гиперсферы с адаптирующимися по величине радиусом и числу испытаний. Приводится алгоритм комплекса.

В параграфе 6 описывается решение задачи моделирования процессов разложения пространственно-затруднённых фенолов, сформулированной как задача идентификации параметров математической модели термолиза - разложения вещества при нагревании. Эксперименты, проводимые в этом направлении в Институте органической химии СО РАН имеют большое значение для проблемы синтеза стабилизаторов пластмасс - веществ, содействующих увеличению срока службы синтетических материалов. При нагревании выбранное вещество сначала плавится и затем разлагается, при этом выделяются газообразные продукты, ввиду чего процесс полагается гетерогенным. Исходя из этого, для теоретического описания динамики разложения используется следующее выражение, описывающее процессы, протекающие в гомогенной среде для q фаз разложения (стадий):

1

ЕЛ\-пЛ ]1 -п,

ят,

о

И/

(В)

КТС

п(= 1, /' = 1,(7,

где

Хе е^еЦ

¥*/>= I

1 I КТ>

ХЫ ~57 '

ЯТп

5=1п

/ = и-

1п

Л0 V- и \ • /

Задача идентификации параметров модели в данном случае заключается в подборе

значений Ъц-2 параметров Е„ пп 5,,

,д математической модели

процесса разложения, которые обеспечивают наиболее близкое совпадение теоретической кривой №(7), (8) с кривой 1¥е{Т), полученной из эксперимента Здесь Т - абсолютная температура, 2 - предэкспоненциальный множитель или частотный фактор, Е - энергия активации процесса, Я - универсальная газовая постоянная, п - порядок реакции, IV- масса вещества (индекс 0 - начало разложения, к - конец разложения), Р - скорость нагрева. Для решения указанной задачи создан пакет прикладных программ ТЕРМОГРАФ, в состав функциональной части ко юрою входят иро-

граммы ¿¿-аппроксимации кривой, использующиеся для аппроксимации экспериментальных кривых. Приведены примеры решения пакетом ТЕРМОГРАФ задачи идентификации параметров для двух веществ ФЕНОЗАН-ЗО, q= 1 и ФЕНОЗАН-50 9=2. На рис. 10 приведена дифференциальная кривая процесса термолиза для ФЕ-НОЗАН-50. Прямоугольники - точки, полученные в эксперименте (размер прямоугольников, соответствует доверительному интервалу), сплошные линии - результаты расчетов программы - получаемые теоретические кривые, пунктир - начальное приближение к решению. Далее приводится инструкция пользователю пакета ТЕРМОГРАФ при подготовке данных и решения задачи. Параграф 7 посвящен задаче оптимального управления в динамике генных сетей (ГС). Приведена общая постановка задачи управления ГС, математическая модель которой представлена системой ОДУ с параметрами. Значение параметров, обеспечивающих стационарное состояние системы, при котором значения функций правых частей системы ОДУ близки к нулю, называются базовыми. Множество всех параметров, описывающих состояние и динамику ГС, разбивается на три группы: группа мутировавших параметров (изменивших своё базовое значение), группа параметров, свободных к вариациям в заданных пределах - управляющие параметры и ос1альные параметры, значения которых не меняются. Задача управления формулируется следующим образом: в пространстве состояний посредством управления системой перевести точку - вектор фазовых переменных из некоторого начального мутантного состояния (не обяза-тсчьно стационарного) в заданную окрестность базовой точки при функциональных ограничениях на переходный процесс и условии минимума некоторого функционала Р. Далее приводится описание решения задачи управления динамикой ГС биосинтеза холестерина в клетке на основе математической модели биосинтеза холестерина в клетке, которая представлена системой 10-ти ОДУ с 39 параметрами, 2 из которых мутировали, 8 - управляющие. Особенности задачи состоят в большой жёсткости систем ОДУ и в специфических и строгих требованиях к решению задачи, поскольку любое отклонение от требований ведёт к нарушениям жизненных функций в ор! а-низме. В качестве функционала цели выбрано время коррекции состояния сети. При переводе системы из начального мутантного состояния в заданную окрестность нормального состояния при наличии функциональных ограничений посредством управления использован двухэтапный подход. Сначала устанавливается существование гребуемого устойчивого состояния, - решается задача нелинейного программирования и определяются значения управляющих параметров, затем, если требуемое состояние определено, в динамическом процессе решается задача поиска оптимального способа реализации найденного устойчивого состояния, причем значения

управляющих параметров, определенных на предыдущем этапе, суть значения управляющих функций в конечный момент времени. На рис. 11 приведён график изменения 3-й компоненты фазового вектора. Одно из ограничений, запрещающее отрицательные значения производной в мугантном состоянии сильно нарушается (пунктир). Как видно, посредством кусочно-линейного управления удалось скорректировать динамику системы (сплошная линия), при которой переход в стационарное состояние происходит без нарушения данного ограничения в заданных пределах. Время стабилизации также уменьшено. Далее в параграф 7 описан способ управления «в малом», который состоит в построении матрицы чувствительности, дающей ценную информацию о поведении ГС. Приведена таблица значений компонент матрицы чувствительности для модели биосинтеза холестерина в клетке и на её основе проведён анализ влияния параметров на поведение данной ГС. Для решения данной задачи создан пакет прикладных программ, в основе функциональной части которого лежат программы решения задачи Коши для систем ОДУ ЬМЯ{ 1,1,1)- методом и программы Ы - аппроксимации кривой, использующиеся для аппроксимации управляющих функций.

В Приложении приведены соотношения и формулы эрмитовой интерполяции, при выводе которых применена оригинальная методика Формулы представлены в простом и удобном для алгоритмизации виде. В параграфе 1 приводятся доводы в пользу применения эрмитовой интерполяции для построения кусочно-полиномиальной аппроксимации произвольной степени гладкости в задачах оптимизации. В параграфе 2 приводятся формулы эрмитовой интерполяции для функции, значения которой вместе с производными определённого порядка заданы в двух точках (применяется название «двухточечная интерполяция»). Основная идея, использующаяся при выводе формул, состоит в представлении функции в виде суммы двух полиномов

¿=о к=0

%=(Х-Х0)/к, /! = *,-*„.

Очевидно, что полином щ в правой точке равен нулю вместе со всеми своими производными до порядка Л включительно, а полином <р\ равен нулю вместе со всеми своими производными до порядка Ь включительно в левой точке. Это позволяет выписать аналитические соотношения для его коэффициентов по заданным значениям

к\ к = 0,1 в левой (4=0), и т = 0,А в правой (^=1) точках (здесь

//<» =/(*,), /,(у) = ¿1' , /0) = ! = 0,1.). В результате после упро-

щаютцих преобразований получим следующую рабочую формулу для интерполи-

(п1)

рующего полинома:

Я*)=I ~йк)1/®#е[0,1],

А=0 *=0

где используются следующие полиномы специального вида.

к\

7=0

Уи(<?) =

("О*

У-0

£ = 0, £,

£ = 0,Я, £ е [0,1], С/=

(п2)

Приведены формулы для определённых интегралов полиномов (п2), имеющие достаточно простой вид. Далее, на основе известных формул теории эрмитовой интер-

поляции приведена оценка точности интерполяции данным полиномом:

0е 0

тах Дх)-/„(*) <-

ДГ6(Г0Т,)1 I

с1= тах /|(Л(*), е = 1 + Л + 2

На примере простейшей функции показана работа приведённой интерполяции - возможность интерполирования с наперёд заданной точностью. В параграфе 3 приводятся формулы эрмитовой интерполяции для функции, значения которой вместе с производными определённого порядка заданы в трёх точках («трех точечная интерполяция») При построении формул трёхточечной интерполяции появляется параметр 5, определяющий положение средней точки и целая величина Л/, обозначающая число заданных производных интерполируемой функции в средней точке единичного интервала Аналогично, приближая функцию суммой трёх полиномов, в результате получим следующие формулы

ыо

и

I

ыо

Л

Е

/Ы0

(пЗ)

где

Я+1 а / ¡:\м

г-1;

к\

I

д=0

к\

чМ+1 д_4

«-и

* = 0,Л

(п4)

Дана верхняя оценка точности трёхточечной эрмитовой интерполяции

тах

дге(*0 т.

<1 =

хе(д-0.1|)

тах |/(а(*)|, 0=1+М+Д+ 3

В заключении формулируются основные результаты диссертационной работы:

1. Разработаны два новых семейства методов решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Сформулированы и доказаны теоремы, определяющие области значений параметров, гарантирующих А - и /, - устойчивость методов, порождаемых семейством ¿Л - методов Предложено новое определение устойчивости численных методов интегрирования систем ОДУ -¿(5) - устойчивость. Сформулированы и доказаны теоремы об А - и ¿(5) - устойчивости ЬМЯ( 1,0,1) - и 1Ш{ 1,1,1)- методов.

2. Разработаны алгоритмы решения задачи Коши для систем ОДУ Ш(1,г) - методом, ¿А//?(1,0,1) - и ЬМЯ{ 1,1,1) - методами с расчётом ошибки на шаге, а также алгоритм интегрирования систем ОДУ с разрывными функциями правых частей На основе этих алгоритмов построены соответствующие библиотеки прикладных программ и пакет для решения задачи Коши для систем ОДУ

3. Разработаны алгоритмы для аналитического представления производных произвольного порядка, которые используются при решении задачи Коши для систем ОДУ ¿/? - методами порядка больше единицы.

4 Предложены новые методы кусочно-полиномиальной аппроксимации таблично заданных кривых и поверхностей, названные, соответственно, ¿¿-аппроксимацией кривой и ¿¿-аппроксимацией поверхности Для этих методов сформулированы и доказаны теоремы, гарантирующие выполнение основных условий изогеометрии (отсутствие паразитных осцилляций, монотонность, о близости к задающим точкам). Описаны способы построения изолиний для аппроксимирующих поверхностей. Приведен метод, позволяющий варьировать отдельные участки аппроксимирующей кривой или поверхности. Создана библиотека прикладных программ, в основе которой лежат описанные методы аппроксимации кривых и поверхностей

5 Разработан алгоритм решения задач нелинейного программирования с адаптацией параметров и использованием элемента случайности На основе этого алгоритма создана библиотека прикладных программ ПОИСК для персонального компьюте-

6. С использованием специализированных пакетов программ, созданных на базе библиотек, реализующих алгоритмы, разработанные на основе описанных методов, решены следующие прикладные задачи:

ра

- прогнозирования движения искусственного спутника Земли; применение новых методов позволило существенно увеличить интервал прогнозирования в пределах заданной точности по сравнению с использовавшимися ранее методами,

- расчёта оптимальной формы крыльевых профилей дозвуковых самолетов при различных заданных аэродинамических и геометрических ограничениях,

о механизме разложения ряда пространственно - затрудненных фенолов, сформулированная как задача идентификации параметров математической модели,

управления биосинтезом холестерина в клетке впервые сформулированная и решённая как задача оптимального управления динамической системой. Новые методы использованы для аппроксимации и расчёта управляющих функций

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах-1. Аульченко С.М., Лапин В.Н., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В , Скороспелов В.А., Турук П.А., Черный С.Г., Чирков Д.В. Solution of the 3d problem of aerohydrodi-namic shape optimization of turbine components 12-th International Conference on the Methods Aerophysical Research: Proc. Part 2.- Novosibirsk, 2004. - P. 172-177.

2 Аульченко C.M., Лапин B.H., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В , Скороспелов В.А., Сотников А.А., Турук П.А., Черный С.Г., Чирков Д.В. Автоматическое проектирование форм аэрогидродинамических установок на основе трехмерных уравнений Эйлера. Сб. докл. III-й всероссийской конференции «Математика, информация, управление» Иркутск, 2004 - С. 45-49

3 Аульченко С М, Латыпов А.Ф., Никуличев Ю В For Designing Transonic Airfoils with Given Properties. 8-th International conference on the Methods Aerophysical Research: Proc Part 1,- Novosibirsk, 1996. - P. 5-10.

4. Аульченко C.M., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Program Package for Design of Subsonic Airplanes. 7-th International Conference on the Methods Aerophysical Research. Proc. Part 1.- Novosibirsk, 1994. - P. 27-31.

5. Аульченко C.M., Латыпов А Ф., Никуличев Ю В. The study of influence of airfoils contour approximation on its rating characteristics. 10-th International Conference on the Methods Aerophysical Research: Proc. Part 1. - Novosibirsk, 2000. - P. 22-26.

6. Аульченко C.M, Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. The study of scheme viscosity effect on the stream structure in the particle-in-cell method by the example of the perfect gas flow around a cylinder in a plane channel 9-th International Conference on the Methods Aerophysical Research: Proc Part 1 - Novosibirsk, 1998. - P. 5-10.

7 Аульченко C.M., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю В. Исследование влияния способов аппроксимации границ на аэродинамические характеристики крыловых профи-

лей Доклады Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и их приложения". Казань, 1999. - Р. 22-27.

8 Аульченко С М., Латыпов А.Ф, Никуличев Ю.В. Метод численною интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием интерполяционных полиномов Эрмита // Ж. вычисл. матем. и матем физ - 1998.Т. 38. - № 10.-С. 1665-1670.

9. Аульченко С.М., Латыпов А.Ф., Никуличев ЮВ Методы проектирования и оптимизации крыловых профилей в дозвуковом потоке// Теплофизика и Аэромеханика,- 1999. - № 4,- С. 411-426.

10 Аульченко С.М., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Методы проектирования и оптимизации крыловых профилей в дозвуковом потоке. Труды конференции «Юбилейные Чаплыгинские чтения». Новосибирск, 1999, С. 28-38.

11.Аульченко СМ., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В Опыт оптимизации аэродинамических характеристик эксплуатируемых крыловых профилей // Прикладная Механика и Техническая Физика. - 2002,- Т 43. - № 1.- С 60-64.

12 Аульченко С.М., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Построение кривых и поверхностей с помощью параметрических полиномов // Автометрия.- 2000. -№ 4 - С. 60-76.

13. Аульченко С.М., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Построение кривых с помощью параметрических полиномов //Ж. вычисл. матем. И матем. Физ.-1998. - Т. 38. -№ 12. С. 1967-1972.

14. Аульченко С.М., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Построение поверхностей с помощью параметрических полиномов // Ж. вычисл. матем. И матем. Физ. -1999 -Т. 39,-№ 12. С. 339-346.

15 Аульченко С М , Никуличев Ю.В. Modeling of the mechanism of hydrodynamic drag reduction by the method of a surface running wave. 12-th International conference on the Methods Aerophysical Research: Proc. Part 4,- Novosibirsk, 2004. - P. 44-49

16 Затолока E.H., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В., Тенсин Г.А. Алгоритм оптимизации параметров динамических систем. Сб. Аэрофизические исследования, ИТПМ СО АН СССР, 1972. - С.12.

17 Колчанов H.A., Латыпов А.Ф., Лихошвай В.А, Матушкин Ю.Г., Никуличев Ю.В , Ратушный A.B. Задачи оптимального управления в динамике генных сетей и методы их решения // Известия РАН Теории и системы управления - 2004. - № 6. С 36-45.

18. Колчанов H.A., Латыпов А.Ф., Лихошвай В.А., Матушкин Ю.Г., Никуличев Ю В., Ратушный А. В. Problems and methods of optimal control of gene networks dynamic.

12-th International conference on the Methods Aerophysical Research- Proc. Part 3. -Novosibirsk, 2004. P. 93-98.

19. Латыпов А.Ф , Никуличев Ю.В. A family of methods of solution of stiff ordinary differential equations. 12-th International conference on the Methods Aerophysical Research- Proc Part 4. - Novosibirsk, 2004 P. 205-210.

20 Латыпов А.Ф . Никуличев Ю.В New Methods Based on Hermit Approximation For Solving Problems of Guidance, Forecasts and Optimization Xl-th International conference on Remotely Piloted Vehicles. Conference papers, Bristol, 1994, P 24-27.

21 Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Set of methods for solution the couchy problem for stiff systems of ordinary differential equation. 11-th International conference on the Methods Aerophysical Research: Proc. Part 3. - Novosibirsk, 2002. P. 153-158.

22. Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Метод аппроксимации фазовых переменных в задаче оптимального управления. Препринт ИТПМ СО АН СССР. № 20-89, 1989.

23 Латыпов А Ф, Никуличев Ю.В. Об одном методе поиска минимума функции многих переменных // Известия СО АН СССР, серия технических наук, вып. 3. -1972,- № 13. С 93-95.

24.Латыпов АФ, Никуличев ЮВ. Об одном методе поиска минимума функции многих переменных. Сб. Аэрофизические исследования, ИТПМ СО АН СССР, 1972 С 14

25. Латыпов А.Ф , Никуличев Ю.В. Применение метода аппроксимации в пространстве состояний в задачах оптимального управления Труды школы-семинара по комплексам программ мат. физики. Новосибирск, 1992. С 112-115

26. Латыпов А Ф., Никуличев Ю.В. Специализированный комплекс программ оптимизации Препринт ИТПМ СО АН СССР № 15,1985.

27 Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Численный метод решения задач оптимального управления. Сб. Аэрофизические исследования, ИТПМ СО АН СССР, 1972. С 16.

28 Латыпов А Ф., Никуличев Ю.В. Численный метод решения задач оптимального управления посредством аппроксимации управляющих функций непрерывными кусочно-линейными функциями. Сб. Аэрофизические исследования. ИТПМ СО АН СССР, 1974. С. 55-56.

29. Латыпов А Ф., Никуличев Ю.В. Применение метода аппроксимации в пространстве состояний в задачах оптимального управления. Сб. Вычислительные технологии ИВТ СО РАН. - Новосибирск, 1992. С. 207-216.

30 Никуличев Ю.В. О градиентном методе в задачах оптимизации динамических систем Сб. Аэрофизические исследования, ИТПМ СО АН СССР - Новосибирск, 1973. С. 48-49.

31 Никуличев Ю.В. О задаче выведения на околоземную орбиту. Сб. Аэрофизические исследования, ИТПМ СО АН СССРю - Новосибирск, 1974. С. 57-58.

32. Никуличев Ю.В. Об одном способе построения программ аналитического дифференцирования функций на ЭВМ. Сб. «Оптимизация динамических систем» ИТПМ, СО АН СССР. - Новосибирск, 1979 С 47-59.

33 Никуличев Ю.В. Построение численных методов решения жёстких систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе Ш-метода Препринт ИТПМ СО АН СССР. № 2-87. - Новосибирск, 1987.

34 Никуличев Ю.В. Численный метод интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе аналитического дифференцирования функций на ЭВМ. Сб. «Численные методы механики сплошной среды». Т.2, № 1. -Новосибирск, 1980, С. 133-142.

35.Никуличев. Ю.В. Численный метод интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе аналитического дифференцирования функций на ЭВМ. Сб. «Оптимизация динамических систем» ИТПМ СО АН СССР -Новосибирск, 1979. С. 35-46.

к

Рис. 1.

Обозначения и каркас, используемые при построении ¿¿ - аппроксимации кривой.

Рис 2.

Пример применения ¿¿-аппроксимации кривой, проходящей через заданные точки при ¿=5. Контур задан 53 точками.

Рис. 3.

Кубическая сплайн-аппроксимация с равномерной параметризацией. Представление типичного крыльевого профиля, (х„ у„ г'=1,...,18) .

Рис. 4.

Ы - аппроксимация. Представление контура типичного крыльевого профиля, представленного на Рис. 3.

Рис. 5.

Подобласть плоскости {и,у), прилегающая к точке ги

Рис. 6

Ы- аппроксимация поверхности Конфигурация типа Шаттл

Рис.7

Сплошная линия - полученный, пунктирная - исходный контур.

А

Рис. 8.

Полученные после двух итераций осреднённые функции плотности распределения, соответственно, по оси абсцисс и по оси ординат.

Рис. 9.

Сетка, построенная по двумерной функции распределения.

туч

V.

¿(С,

5М 5!9

07

0.4

20 40 М

„1 100

Рис. 10.

Экспериментальные точки и .теоретические кривые процесса термолиза для ФЕНОЗАНА-50, (сплошная кривая - результат).

Рис. 11

Изменение 3-й компоненты вектора состояния ГС в переходном процессе при постоянном (пунктир) и кусочно-линейном (сплошная кривая) управлениях

Отпечатано в ЗАО РИЦ «Прайс-курьер», т. 307-202, заказ № 371 тираж 100

и 1 5 6 S

РНБ Русский фонд

2006-4 8387

i

t

í-

I

i

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. Семейства новых методов решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений

§1. Введение.

§2. Семейство методов на основе двухточечных эрмитовых сплайнов

-методы).

§3. Аналитическое представление и дифференцирование функций.

§4. Семейство методов на основе трехточечных эрмитовых сплайнов

LMR-методы).

§5. Интегрирование системы ОДУ с разрывными функциями правых частей.

§6. Краевые задачи.

§7. Примеры решения тестовых задач.

ГЛАВА II. Новый метод аппроксимации кривых и поверхностей.

** '

§2. LL-аппроксимация кривой.76

§3. ¿¿-аппроксимация поверхности.94

§4. Метод вариации поверхности.106

Рисунки к главе II.111

Результаты работы по мере их получения докладывались на:

- Международной конференции "Задачи со свободными границами в механике сплошной среды". Новосибирск. 1991.

23

- IV - й всероссийской школе молодых учёных. Красноярск. 1992.

- Всероссийской школе - семинаре по комплексам программ мат. Физики. Новосибирск, 1992.

- XI-й международной конференции по автоматически пилотируемым летательным аппаратам. Англия, Бристоль. 1994.

- Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и их приложения". I

Казань. 1999г.

- Конференции «Юбилейные Чаплыгинские чтения» Новосибирск. - 1999г.

- Ш-й всероссийской конференции «Математика, информация, управление». Иркутск, 2004.

- на VII - XII International conference on the "Method of Aerophysical Research" (Novosibirsk, 1994, 1996, 1998, 2000, 2002, 2004 гг, на семинарах ИТПМ CO РАН.

Рисунки, относящиеся к главам, помещены за ними и имеют нумерацию (m,n), где m — номер главы, п - номер рисунка.

Обозначения формул имеют аналогичный вид: m - номер главы, an- номер формулы в пределах этой главы.

Обозначения формул в приложении отмечены буквой «п», например, (п.1). Список литературы состоит из 126 наименований, приведенных в алфавитном порядке.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей диссертации приведены результаты исследований по созданию новых и совершенствованию существующих численных методов, алгоритмов комплексов и пакетов прикладных программ в следующих областях: 1. Интегрирование жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Разработанные два новых семейства методов решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) основаны на представлении функций правых частей системы интерполяционными полиномами Эрмита для двух (Ц?-методы) точек и для трёх (¿МК-методы) точек соответственно. Параметрами первого семейства являются степени интерполирующих полиномов, параметрами второго - степени интерполирующих полиномов и величина, определяющая пропорции деления отрезка интегрирования на одном шаге. Методы применимы для интегрирования жёстких систем ОДУ. Это показано теоремами, определяющими существование областей значений параметров методов, гарантирующих их А - и Ь - устойчивость. В соответствии с новым введенным определением Ь(Ь) - устойчивости, доказана теорема о Ь{5) - устойчивости ЬМ11( 1,0,1) - и ЬМЯ( 1,1,1) - методов.

2. Автоматизированное геометрическое проектирование - аппроксимация таблично заданных криволинейных границ двух и трех мерных тел. Для аппроксимации таблично заданных кривых и поверхностей разработан новый метод, названный /Х-аппроксимацией, который позволяет строить кусочно-полиномиальную функцию, удовлетворяющую изогеометрическим требованиям, предъявляющимся во многих практических задачах. Эти требования сформулированы и доказаны в теоремах, гарантирующих для ¿¿-аппроксимации:

- отсутствие осцилляций аппроксимирующей функции между задающими точками;

- монотонность аппроксимирующей функции при монотонности задающих точек;

- так называемое натяжение - форма аппроксимирующей кривой при увеличении степени полинома приближается к линейному каркасу -кусочно-линейной кривой, проходящей через задающие точки.

При работе с аппроксимирующей поверхностью возникают важные вопросы, связанные с визуализацией и способами варьирования. Приведенные методы построения изолиний для аппроксимирующих поверхностей и метод варьирования отдельных участков аппроксимирующей кривой или поверхности помогают решать эти вопросы. Созданы алгоритмы, реализующие описанные методы, на основе которых разработаны библиотеки программ.

3. Нелинейное программирование. Создан комплекс программ решения задач нелинейного программирования ПОИСК, в котором реализованы алгоритмы покоординатного спуска, матричного -спуска, сканирующего конуса с адаптацией параметров и с использованием элемента случайности. С помощью этого комплекса решено множество практических задач.

4. Оптимальное управление. На основе математической модели генной сети, созданной в Институте цитологии и генетики СО РАН, впервые сформулирована и решена задача управления биосинтезом холестерина в клетке как задача оптимального управления динамической системой. Новые методы аппроксимации кривой использованы для аппроксимации и расчёта управляющих функций.

В качестве основных результатов настоящей работы молено выделить следующие:

1. Разработаны два новых семейства методов решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Сформулированы и доказаны теоремы, определяющие области значений параметров, гарантирующих А - и Ь - устойчивость семейства ЬК. - методов.

2. Разработаны алгоритмы для аналитического представления производных произвольного порядка, которые используются при решении задачи Коши для систем ОДУ ЬЛ - методами порядка больше единицы.

3. Разработаны алгоритмы решения задачи Коши для систем ОДУ ЬЩ1,г) -методом, ЬМЯ{ 1,0,1) - и ЬМЯ{\,\,\) - методами с расчётом ошибки на шаге, а также алгоритм интегрирования систем ОДУ с разрывными функциями правых частей. На основе этих алгоритмов построены соответствующие библиотеки прикладных программ.

4. Предложено новое определение устойчивости численных методов интегрирования систем ОДУ - Д5) - устойчивость. Сформулированы и доказаны теоремы об А - и Ь(Ь) - устойчивости ЬМЯ( 1,0,1) - и ЬМЛ( 1,1,1)- методов.

5. Предложены новые методы кусочно-полиномиальной аппроксимации таблично заданных кривых и поверхностей, названные, соответственно, ЬЬаппроксимацией кривой и ^-аппроксимацией поверхности. Для этих методов сформулированы и доказаны теоремы, гарантирующие выполнение основных условий изогеометрии (отсутствие паразитных осцилляций, монотонность, о близости к задающим точкам). Описаны способы построения изолиний для аппроксимирующих поверхностей. Приведен метод, позволяющий варьировать отдельные участки аппроксимирующей кривой или поверхности. Создана библиотека прикладных программ, в основе которой лежат описанные методы аппроксимации кривых и поверхностей.

220

6. Разработан алгоритм решения задач нелинейного программирования с адаптацией параметров и использованием элемента случайности. На основе этого алгоритма создана библиотека прикладных программ ПОИСК для персонального компьютера.

7. С помощью алгоритмов, разработанных на основе описанных методов и реализующих их программ решены следующие прикладные задачи: в задаче прогнозирования движения искусственного спутника Земли применение новых методов позволило увеличить интервал прогнозирования в пределах заданной точности по сравнению с использовавшимися ранее методами, - решён ряд практических задач расчета оптимальной формы крыльевых профилей дозвуковых самолетов при заданных аэродинамических и геометрических ограничениях, решена задача о механизме разложения ряда пространственно -затрудненных фенолов, сформулированная как задача идентификации параметров математической модели, задача управления биосинтезом холестерина в клетке впервые сформулирована и решена как задача оптимального управления динамической системой. Новые методы использованы для аппроксимации и расчёта управляющих функций.

1. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. - М.: Мир, 1972. - 316 с.

2. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление.- М: Машиностроение. 1968.

3. Атлас спектров ароматических и гетероциклических соединений. Вып.25. -Новосибирск: 1983 - 215 С.

4. Аульченко С.М., Никуличев Ю.В. Modeling of the mechanism of hydrodynamic drag reduction by the method of a surface running wave. 12-th International conference on the Methods Aerophysical Research (ICMAR) Proceedings, p.4.Novosibirsk, 2004. --- .

5. Аульченко С.М., Латыпов А.Ф. Построение плоских кривых с помощью параметрических полиномов четвертого порядка // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1995. - Т.35. - № 7. - С. 1139-142.

6. Аульченко С.М., Латыпов А.Ф. Построение крыловых профилей в дозвуковом потоке газа методами числениой оптимизации // Механика жидкости и газа. 1997. - № 2. - С. 174-182.

7. Аульченко C.M., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. The study of influence of airfoils contour approximation on its rating characteristics. 10-th International conference on the Methods Aerophysical Research (ICMAR) Proceedings, P.I.Novosibirsk, 2000.

8. Аульченко С.М., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Variational method for designing two-dimensional optimal aerodynamic configurations. Abstracts International conference Free-boundary problems in continuum mechanics, Novosibirsk, 1991, pi 2.

9. Аульченко C.M., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Исследование влияния способов аппроксимации границ на аэродинамические характеристики крыловых профилей. Доклады Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и их приложения". Казань. 1999г.

10. Аульченко С.М., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Метод численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием интерполяционных полиномов Эрмита // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.- 1998.- Т. 38. -№ 10. С. 1665-1670.

11. Аульченко С.М., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Опыт оптимизации аэродинамических характеристик эксплуатируемых крыловых профилей // Прикладная Механика и Техническая Физика. 2002.- Т.43. - № 1.- С. 60-64.

12. Аульченко С.М., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Построение кривых и поверхностей с помощью параметрических полиномов // Автометрия.- 2000. -№ 4,- С. 60-76.

13. Аульченко С.М., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Построение кривых с помощью параметрических полиномов // Ж. вычисл. матем. И матем. Физ.1998. Т. 38. - № 12. с. 1967-1972.

14. Аульченко С.М., Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Построение поверхностей с помощью параметрических полиномов // Ж. вычисл. матем. И матем. Физ.1999. Т. 39,- № 12. С. 339-346.

15. Бахвалов Н.С. Численные методы. -М.: Наука, 1987. 598 с.

16. Бейкер Дж., мл., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Падэ. Пер. с англ. —М.: Мир, 1985,- 502 с.

17. Беллман Р. Динамическое программирование. ИЛ. 1960. — 400 с.

18. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т.1. М.: Наука, 1966. -632 с.

19. Брайсон А., Хо Ю Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972.-544 с.

20. Василенко В.А. Сплайн функции: Теория, алгоритмы, программы. -Новосибирск: Наука, 1983. - 215 с.

21. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М: Наука. 1988.- 552 с.

22. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. -400с.

23. Воронин В.Т. Построение сплайнов сохраняющих изогеометрию. Препринт № 404. ВЦ СО АН СССР. - 1982. - 19 с.

24. Горбунов Б.Н., Гурвич Я.А., Маслова И.П. Химия и технология стабилизаторов полимерных материалов. М.: Химия. - 1981. - 368 с.

25. Гребенников А. И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений,- М. : Изд во МГУ, 1978. - 207 с.

26. Гребенников А.И. Изогеометрическая аппроксимация функций. В кн.: Числ. Анализ на ФОРТРАНе. Методы и алгоритмы. - М. : Изд - во МГУ, 1978. - С. 48 - 55.

27. Гринченко С.Н., Растригин JI.A. О матричном случайном поиске// Автоматика и вычисл. техника. 1977. - № 4. - С. 48 - 51.

28. Жонголович И.Д. Труды Института теоретической астрономии АН СССР, т.З. 1952.

29. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко B.JI. Методы сплайн -функций. М.: Наука, 1980. - 352 с.

30. Иванов В.В., Трутень В.Е. К методу штрафных функций // Кибернетика. № 2. 1962.

31. К. де Бор Практическое руководство по сплайнам.- М.: Радио и связь, 1985. — 304 с.

32. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. Пер. с англ. М. "Мир". 1969. 380 с.

33. Квасов Б. И. Интерполяция рациональными параболическими сплайнами. В сб. Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1984. — Т.15,- №4.-С. 60-70.

34. Квасов Б. И., Яценко С. А. Решение задачи изогеометрической интерполяции в классе рациональных сплайнов. Препринт № 3 88. ИТПМ СО АН СССР. - 1988. - 60 с.

35. Кнут Д. Искусство программирования на ЭВМ. Основные алгоритмы. М. 1976.-680 с.

36. Кобков В. В. Монотонные и квадратичные выпуклые сплайны с дополнительными узлами. — В кн. : Некот. пробл. диф. уравнений и дискрет, матем. Н., 1986 С. 94 - 104.

37. Колобов Б. П., Колобов П.П. Вариационный способ построения нелокальных кубических сплайнов из С1 для описания пространственных кривых и поверхностей// Препринт № 6 91. ИТПМ СО АН СССР. - 1991. -65 с.

38. Колчанов H.A., Ананько Е.А., Колпаков Ф.А., Подколодная O.A., Игнатьева Е.В., Горячковская Т.Н., Степаненко И.Л. Генные сети // Молек. Биол.- 2000.34.

39. Колчанов H.A., Латыпов А.Ф., Лихошвай В.А., Матушкин Ю.Г., Никуличев Ю.В., Ратушный A.B. Задачи оптимального управления в динамике генных сетей и методы их решения // Известия РАН Теории и системы управления. -2004. № 6. С. 36-45.

40. Крайко A.H. Плоские и осесимметричные конфигурации, обтекаемые с максимальным критическим числом Маха// Прикладная математика и механика. 1987. - № 6. - С. 941 - 950.

41. Латыпов А.Ф. Модифицированный метод наискорейшего спуска (метод склона)// Аэрофизические исследования, 1973.

42. Латыпов А.Ф. Об одной модификации метода наискорейшего спуска // Изв. СО АН СССР. Серия техн. наук. 1974. Т. 2. - № 8. С. 87-89.

43. Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. A family of methods of solution of stiff ordinary differential equations. 12-th International conference on the Methods Aerophysical Research (ICMAR) Proceedings, p. 1.Novosibirsk, 2004.

44. Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. New Methods Based on Hermit Approximation For Solving Problems of Guidance, Forecasts and Optimization. Xl-th International conference on Remotely Piloted Vehicles. Conference papers, Bristol, 1994.

45. Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Set of methods for solution the couchy problem for stiff systems of ordinary differential equation. 11-th International conference on the Methods Aerophysical Research (ICMAR) Proceedings, p. 1.Novosibirsk, 2002.

46. Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Об одном методе поиска минимума функции многих переменных. Сб. Аэрофизические исследования, ИТПМ СО АН СССР, 1972.

47. Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Применение метода аппроксимации в пространстве состояний в задачах оптимального управления. Труды школы-семинара по комплексам программ мат. физики. Новосибирск, 1992.

48. Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Специализированный комплекс программ оптимизации. Препринт ИТПМ СО АН СССР № 15, 1985.

49. Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Численный' метод решения задач оптимального управления. Сб. Аэрофизические исследования, ИТПМ СО АН СССР, 1972.

50. Латыпов А.Ф., Никуличев Ю.В. Численный метод решения задач оптимального управления посредством аппроксимации управляющих функций непрерывными кусочно-линейными функциями. Сб. Аэрофизические исследования, ИТПМ СО АН СССР, 1974.

51. Латыпов А.Ф. О решении экстремальных задач с ограничениями // Изв. Сибирского отделения АН СССР, серия технических наук. Вып. 3.- 1974.

52. Лейтман Дж. Введение в теорию оптимального управления. М: "Наука". 1968. 180 с.

53. Лихошвай В.А., Матушкин Ю.Г., Ратушный A.B. и др. Обобщенный химико-кинетический метод моделирования генных сетей // Молекуляр. Биология 2001.35.

54. Ляпунов C.B. Построение профилей минимального волнового сопротивления// Уч. зап. ЦАГИ. 1986. - № 4. - С. 1 - 7.

55. Мирошниченко В. JI. Интерполяция функций с большими градиентами. В кн. Методы аппроксимации и интерполяции, Новосибирск, ВЦ СО АН СССР. - 1980. - С. 98- 107.

56. Никуличев Ю.В. Новые численные методы решения задач управляемого движения. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Новосибирск, 1981.

57. Никуличев Ю.В. Новый метод решения задачи Коши для системы уравнений в частных производных первого порядка. Сб. тезисов докладов «численные методы механики сплошной среды», Красноярск, IV -я всероссийская школа молодых учёных. 1992.

58. Никуличев Ю.В. О градиентном методе в задачах оптимизации динамических систем. Сб. Аэрофизические исследования, ИТПМ СО АН СССР, 1973.

59. Никуличев Ю.В. Построение численных методов решения жёстких систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе LR-метода. Препринт ИТПМ СО АН СССР. № 2-87, 1987.

60. Никуличев Ю.В. Численный метод интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе аналитического дифференцирования функций на ЭВМ. Сб. «Численные методы механики сплошной среды», Новосибирск, 1980, т.2, № 1.

61. Никуличев. Ю.В. Численный метод интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе аналитического дифференцирования функций на ЭВМ. Сб. «Оптимизация динамических систем». ИТПМ, СО АН СССР, Новосибирск, 1979.

62. Новиков В.А., Новиков Е.А. Два эффективных алгоритма численного решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Препринт ИТПМ СО АН СССР. № 5-84, 1984.

63. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. Пер. с англ. М.: Мир. 1974. 376 с.

64. Понтрягин JI. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. 2-е изд. М.: "Наука"'. 1969.

65. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979.

66. Растригин JI.A. Случайный поиск в задачах оптимизации многопараметрических систем. Рига.: Зинатне, 1965. 211с.

67. Ратушный A.B., Игнатьева Е.В., Матушкин Ю.Г. и др. Математическая модель регуляции биосинтеза холестерина в клетке. Докл. второй междуиар. конф. по биоинформатике или регуляции и структуре генома. Т.1. Новосибирск. 2000.

68. Рогинский В.А. Фенольные антиоксиданты. М.: Наука. - 1988. - 248 с.

69. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Ред. Дж. Холл и Дж. Уатт. Пер. с англ. М.: Мир. 1979. 312 с.

70. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под. Ред. Г.Н. Дубошина. Изд. 2-е. «Наука». 1976. 864 с.

71. Теория оптимальных аэродинамических форм. Под. ред. Миеле. — М.: Мир, 1969. -508с.

72. Трухаев Р.И., Хоменюк В.В. Теория неклассических вариационных задач. -Изд. ЛГУ, 1971.

73. Уайлд Д.Дж. Методы поиска экстремума. М: Наука, 1967.

74. Фойгт И. Стабилизация синтетических полимеров против действия тепла и света. Л.: Химия. - 1972. - 270 С.

75. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. -М.: Мир, 1982. 304 с.

76. Чуян O.P. Оптимальный одпошаговый алгоритм максимизации дважды дифференцируемых функций. // Журн. вычисл. матем. и матем. физики.- 1986. -Т. 26. №3,- С. 381-387.

77. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. - 712с.

78. Шляпинтох В.Я. Фотохимические превращения и стабилизация полимеров. -М.: Химия.- 1979.-343 С.

79. Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1978. - 464 с.

80. Штифель Н., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная механика,- М.: "Наука". 1975. 368 с.

81. Эмануэль Н.М., Бучаченко А.Л. Химическая физика старения и стабилизации полимеров. М.: Наука. - 1982. - 359 с.

82. Bezicr P. Example of an Existing System in the Motor Industry // The UNISURF System Proc. Roy. Soc. Lond. 1971. A 321.J

83. Brown R.L. Multi-derivative numerical methods for the solution of stiff ordinary differential equations. Departament of Computer Science, University of Illinois. Rep. UIUCDCS-R-74-672. 1974.

84. Bulirsch R., Stoer J. Numerical Treatment of Ordinary Differential Equations by Extrapolation Methods //Num. Math. 8. 1-13. 1966.

85. Cêa Jean. Optimisation théorie et algorithmes. Paris, DUNOD, 1971.

86. Coons S.A. Surfaces for Computer Aided Design of Space Forms, MAC-TR-41, Project MAC, M.I.T. 1967.

87. Curtis C.F., Hirshfelder J.O. Integration of stiff equation. Proc. Nat. Acad. Sci., 38, pp. 235-243, 1952.

88. Dahlquist G. A special stability problem for linear multistep methods // BIT, 3, p. 27-43, 1963.

89. Ehle B.L. High order A-stable methods for the numerical solution of system of D.E's // BIT. 8. Pp. 276-278. 1968.

90. Ehle B.L. On Pade approximation to the exponential function and A — stable methods for the numerical solution of initial value problems. University of Waterloo Dept. Applied Analysis and Computer Science, Research Rep. № CSRR 2010. 1969.

91. Everhart E. An efficient integrator of veiy high order and accuracy with appendix listing of Radau. Denver. Res. Inst. Tech. Rep. July, 1974.

92. Everhart E. Implicit single-sequence method for integrating orbits // Cel. Mech. 10. 35-56. 1974.

93. Farin G. Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design. Third Edition. Academic Press, San Diego, CA, 1993.

94. Fatunla S.O. An Implicit Two-Point Numerical Integration Formula for Linear and Nonlinear Stiff System of Ordinary Differential Equations // Mathem. Of Computations. Vol. 32. № 141. 1978.

95. Ferguson J.C. Multivariate Curve Interpolation // Journal ACM, II, 2, 221-228, 1964.

96. Fletcher R., Powell M. J. D. A rapidly convergent descent method for minimization. Comput. Journ., 6. 1963.

97. Fritsch F. N., Carlson R. E. Monotone piecewise cubic interpolation // SIAM J. Nuraer. Anal. 1980. Vol. 17. № 2. p. 238-246.95.

98. Gear C.W. The automatic integration of ordinary differential equations // Comput. and Structures. 1985. V. 20. № 6. P. 915-920.

99. Hairer E., Wanner G. Solving ordinary differential equations II. Stiff and differential-algebraic problems // Springer ser. comp. math. 14. Berlin: SPRINGER, 1991, (sec. ed. 1996).

100. Hicks R.M., Vanderplaats G.N., Murman E.M., King R.R. Airfoil section drag reduction of transonic speeds by numerical optimization // NACA TMX 73097. 1976.

101. Hicks R.M., Vanderplaats G.N. Design of low speed airfoils by numerical optimization // SAE Pap. 740524. - 1975.

102. Hoshchek J., Lasser D. Fundamentals of Computer Aided Geometric Design. A. K. Press, Ltd., Wellesley, MA, 1993. 727 p.

103. Johnson R.R., Hicks R.M. Application of numerical optimization to the design of advanced supercritical airfoils // NACA CP. № 2045. - 1079.

104. Kustaanheimo P. Spinor regularization of the Kepler motion. Ann. Univ. Turku.1. Ser. Al, 73,1964.