автореферат диссертации по приборостроению, метрологии и информационно-измерительным приборам и системам, 05.11.13, диссертация на тему:Численные конечно-элементные методы определения параметров крупномасштабных океанических течений на основании гидрологических данных

На правах рукописи

Сидоренко Дмитрий Владимирович

ЧИСЛЕННЫЕ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ КРУПНОМАСШТАБНЫХ ОКЕАНИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ НА ОСНОВАНИИ ГИДРОЛОГИЧЕСКИХ ДАННЫХ

Специальность: 05.11.13- Приборы и методы контроля природной среды, веществ, материалов и изделий

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 2005

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном электротехническом университете "ЛЭТИ" им. В. И. Ульянова (Ленина)

Научный руководитель -

доктор технических наук, профессор Попечителей Е. П.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Авдеев Б. Я.

доктор технических наук, профессор Гончаров В. К.

Ведущая организация - Научно-исследовательский центр экологической безопасности РАН

й-О

Защита состоится "ЗЗ " Ри.%^_2005 г. в ^ часов на заседании

диссертационного совета Д 212.238.06 Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета "ЛЭТИ" им. В.И. Ульянова (Ленина) по адресу: 197376 Санкт-Петербург, ул. Проф. Попова, 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан 05 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Юлдашев З.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Мировой океан - важная часть климатической системы Земли. Он взаимодействует с земной атмосферой, меняя ее влажность и температуру, которая также в свою очередь влияет на свойства водных масс Океанские течения и крупномасштабная циркуляция перераспределяют эти водные массы по обширной территории, приводя таким образом к глобальному взаимодействию между океаном и атмосферой Для того, чтобы улучшить наше понимание механизмов формирования климата и качество прогноза его изменений, требуется знание крупномасштабной океанской циркуляции, ее тенденций и изменчивости. Ввиду того, что крупномасштабные океанические течения осуществляют транспорт огромного количества энергии, их характеристики существенно влияют на экологическое состояние отдельных регионов планеты и биосферы в целом. Климат на нашей планете во многом зависит от характера крупномасштабных океанических течений. Стоит отметить, что наметавшуюся в последние годы тенденцию увеличения среднегодовой температуры ряд ученых относит не к влиянию антропогенных факторов, а к изменению характера океанических течений От длительных и крупномасштабных изменений параметров океанических течений зависят условия жизни людей Влияя на климат, они определяют условия хозяйствования, уклад и уровень жизни населения планеты Кратковременные изменения характера течений могут определять погоду в отдельных регионах планеты. Знание текущих характеристик гидрологической обстановки может помочь избежать чрезвычайных ситуаций и катастроф. Важную роль играют течения как переносчики биогенных элементов в океане. Благодаря им осуществляются условия, необходимые для существования трофических цепей пелагиали Так, в зонах дивергенции происходит подъем в зону фотосинтеза глубинных вод, богатых питательными для продуцентов веществами. Поэтому области апвеллинга характеризуются значительной биологической продуктивностью на всех трофических уровнях Важна роль течений и как переносчика терригенных и антропогенных примесей в океане Вышесказанное далеко не полностью описывает необходимость изучения океанических течений, однако уже сказанное показывает, что разработка методов оценки скоростей и направлений таких течений весьма актуальна.

Одной из наиболее важных в прикладном и общенаучном отношении является изучение крупномасштабных течений в океане Именно на больших масштабах наиболее явно проявляется общность характера движений в океане. В то же время океаны отличаются особенностями формы, топографией дна, вертикальной стратификацией гидрологических характеристик, климатическими условиями, а также полем касательного напряжения ветра, которые влияют на характер крупномасштабных циркуляций. Эти факторы приводят большому пространственно-временному разнообразию течений в Мировом океане.

В принципе, точное решение основных уравнений гидродинамики с соответствующими граничными и начальными условиями дает требуемую информацию относительно любой конкретной проблемы. Однако уравнения движения для реальной системы настолько сложны, что точное аналитическое решение может быть найдено лить в редких случаях. Поэтому обычно используют геострофическое приближение, которое приводит к очень простым соотношениям, однако информации о движении, содержащейся в геострофических соотношениях недостаточно для полного определения динамики движения. В связи с этим в гидро е широко

используют численные методы. Для их использования необходима совокупность исходных экспериментальных данных.

Основная гидрофизическая информация, имеющая практический характер поступает от исследовательских судов, постоянно ведущих в океане измерения основных гидрологических характеристик - температуры и солености на различных глубинах, топографии дна, локальных скоростей и направлений течений, состояние атмосферы и др. Уровень возвышения поверхности океана над геоидом определяется по данным спутниковой альтиметрии (Торех / Poseidon altimeter). Однако систематизация этих данных осложнена тем, что проводятся измерения на неравномерной сетке и с разной плотностью числа измерений. Причем эти разнородные данные имеют существенно разные методические и приборные ошибки, а, например, данных о скоростях течений гораздо меньше, чем данных о температуре и солености. В связи с этим встает важный вопрос о разработке методов получения карты крупномасштабных океанических течений, параметры которых являются результатом согласованного оптимального учета всей имеющейся совокупности экспериментальных гидрологических данных.

Несмотря на постоянное совершенствование вычислительной техники, существующие численные модели все еще далеки от возможности достаточно полно описать реальный океан. Лучшая стратегия в этой ситуации состоит в том, чтобы комбинировать данные наблюдений и океанских моделей, а затем искать компромисс между ними с учетом априорной информации относительно погрешностей данных и модели - подходом, известным под несколькими общими названиями, такими как ассимиляция данных или обратный метод. Существующие методы не позволяют в настоящее время достаточно успешно решить эту задачу ввиду ряда присущих им недостатков. В связи с этим разработка и исследование новых методов, позволяющих на основании массива гидрофизических данных получить самосогласованные крупномасштабные поля скоростей и плотности воды с учетом сложной топографии границ океана, является весьма актуальной.

Целью диссертационной работы является разработка и исследование численных конечно-элементных методов обработки массива гидрофизических данных, позволяющих получить самосогласованные крупномасштабные поля скоростей течений и плотности воды в океане.

Для достижения поставленной цели в диссертации сформулированы следующие задачи:

- разработка метода, позволяющего на основании массива гидрофизических данных, получить оптимально согласованные крупномасштабные трехмерные поля скоростей и плотности воды с учетом динамики и топографии океана;

- исследование стационарных самосогласованных трехмерных полей распределения скоростей течений и плотности воды в северной части Атлантического океана, полученных с помощью разработанного метода;

- разработка метода определения двухмерных полей скорости течений через гидрографическую секцию, основанного на ее конечно-элементной дискретизации;

исследование двухмерных полей скорости течений и объемных транспортов воды через гидрографическую секцию, полученных с помощью разработанного метода;

Предметом исследования настоящей работы являются численные конечно-элементные методы получения самосогласованных крупномасштабных полей скоростей и плотности воды в океане на основании массива гидрофизических данных.

Объектом исследования являются пространственно-временные характеристики крупномасштабных полей распределения скоростей течений и плотности воды в океане.

На защиту выносятся:

1 Численный конечно-элементный метод обработки массива гидрофизических данных, позволяющий получить оптимально согласованные крупномасштабные трехмерные поля скоростей и плотности воды с учетом динамики и топографии океана.

2. Численный метод определения двухмерных полей скорости течений через гидрографическую секцию, основанный на ее конечно-элементной дискретизации.

3. Результаты исследования характеристик самосогласованных полей распределения скорости течений и плотности воды в северной части Атлантического океана.

Научная новнзна работы в целом заключается в разработке методов и алгоритмов решения адаптационной гидродинамической задачи, позволяющих на основании разнородных гидрофизических данных получать оптимизированное поле скоростей океанических течений.

В отличие от предыдущих исследований, в настоящей работе стационарные поля скоростей течений и плотности воды в океане получены численным методом непосредственно из стационарной модели с более полным, чем это было ранее, учетом топографии океана за счет использования конечно-элементного метода дискретизации. Наиболее важными новыми результатами работы являются:

- метод получения оптимально согласованных крупномасштабных трехмерных полей скоростей и плотности воды с учетом динамики и топографии океана на основании анализа массива гидрофизических данных;

- метод определения двухмерных полей скорости течений через гидрографическую секцию, основанный на ее конечно-элементной дискретизации;

- стационарные трехмерные поля скоростей течений в северной части Атлантического океана на основании разработанного метода обработки массива гидрофизических данных;

- значения объемных транспортов воды через гидрографические секции в разных частях северной Атлантики;

- величина среднего меридионального оборота в северной части Атлантического океана.

Практическое значение полученных результатов заключается в том, что разработаны методы решения обратной гидродинамической задачи, позволяющие определять взаимосогласованные 2-х и 3-х мерные стационарные поля скоростей течений и плотностей воды в океане на основании гидрографических данных, полученных на неравномерной гидрологической сетке. Эта информация крайне важна при решении задач связанных с обработкой экспериментальных гидрологических данных, исследованием крупномасштабных океанических процессов и их влияния на биосферу в целом в экологии, океанологии, климатологии, метеорологии и др. Научное и практическое значение также имеют:

- результаты расчетов стационарного трехмерного поля скоростей течений в северной части Атлантического океана на основании разработанного метода усвоения массива гидрофизических данных.

- значения оценок стационарных переносов масс в разных частях северной Атлантики, в том числе через сечения пролива Фрама, полученных с помощью разработанного конечно-элементного метода получения двухмерных стационарных полей течений через гидрологические секции.

- результаты расчетов временной изменчивости и среднего значения меридионального оборота в северной части Атлантического океана.

Достоверность результатов обеспечена использованием при их получении надежных и проверенных теоретических представлений, методов и технологий,

численными расчетами, проведенными на основании полученных соотношений с использованием современных сверхмощных компьютеров, оценками величин и характера вытекающих из них зависимостей с использованием надежных исходных данных, систематической проверкой полученных результатов данными, заимствованными из литературных источников, сравнительным анализом результатов, полученных новыми и независимыми традиционными методами.

Внедрение результатов работы. Результаты исследований, полученных в диссертационной работе, использовались при выполнении в 2001-2002 г. г. научно-исследовательской работы "Разработка экспрессного метода экологического мониторинга акваторий" номер гос. регистрации 01200109372 и в ГБ НИР ФПБЭИ-2к за 2004 г.

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном электротехническом университете "ЛЭТИ" им. В.И. Ульянова (Ленина). Математические расчеты на основании разработанных методов проводились в Институте Альфреда Вегнера (AWI), Бременхавен, Германия.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:

- XXXVII научная конференция студентов и аспирантов (Санкт-Петербург, 2001);

- 1П doctorandinnen Tag des Alfred-Wegener-Institutes in Bremenhaven (Bremenhaven, Germany, 2002);

- Vin Санкт-Петербургская международная конференция "Региональная информатика - 2002" (Санкт-Петербург, 2002);

- The 2nd International workshop on unstructured grid numerical modelling of coastal, shelf and ocean flows. Delft University of technology (Delft, Holland, 2003);

- Всероссийская научно-техническая конференция "Биотехнические системы в XXI веке" (Санкт-Петербург, 2004);

- IX Санкт-Петербургская международная конференция "Региональная информатика -2004" (Санкт-Петербург, 2004);

- 1 st General Assembly of European Geosciences Union (Nice, France, 2004); Научно-практическая конференция «Проблемы прогнозирования и предотвращения чрезвычайных ситуаций и их последствий», СПб, 2004;

Научно-технические конференции профессорско-преподавательского состава СПбГЭТУ 2004 и 2005 г. г.;

Всероссийская научно-техническая конференция "Наука-производство-технологии-экология", Киров, 2005;

2nd General Assembly of European Geosciences Union (Vienna, Austria, 2005).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, в том числе 2 статьи, 6 публикаций в сборниках материалов и 4 - в сборниках тезисов к докладам на международных и всероссийских научно-технических конференциях.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных результатов и общих выводов, заключения и списка литературы, включающего 95 наименований. Основная часть работы изложена на 118 страницах машинописного текста. Работа содержит 44 рисунка и 5 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, определена цель и сформулированы задачи исследований, приведены научные положения,

выносимые на защиту, научная новизна и практическая значимость результатов, приводится краткое содержание работы по главам.

В первой главе диссертации рассмотрено современное состояние проблемы экспериментального и теоретического изучения крупномасштабной динамики водных масс в океанах. Одной из наиболее важных задач современной океанологии является получение информации о поле океанических течений на основании данных гидрологических измерений температуры (Т), солености (5), уровня возвышения поверхности (<;) и ряда других характеристик. Важность этой задачи заключается в том, что данные длительных прямых измерений скорости океанических течений крайне скудны ввиду высокой стоимости их получения Так, в настоящее время данных наблюдений по температуре и солености на три порядка больше, чем данных о характеристиках течений. В связи с этим важную роль имеют теоретические океанологические исследования, направленные на получение информации о крупномасштабных гидродинамических процессах, происходящих в Мировом океане на основании имеющихся гидрологических данных.

Фундаментальные гидротермодинамические уравнения в принципе, могут служить основой для решения прямой задачи определения динамики морских и океанических течений. Однако аналитическое решение такой системы нелинейных уравнений возможно лишь при весьма идеализированных предположениях и весьма упрощенных граничных условиях. Численное же решение для реальных задач с учетом максимального набора рассматриваемых факторов при высоком уровне дискретизации, как правило, не удается выполнить даже с использованием самых мощных ЭВМ. Так, для случая крупномасштабных течений решение удается получить обычно лишь в рамках простейшей геострофической модели циркуляции бароклинного океана. Кроме того, задача осложняется тем, что для выполнения такого рода расчетов необходимы надежные исходные гидрологические данные. В то же время перед исследователем имеется громадный массив разнородной информации, полученной различной аппаратурой (и, соответственно, с разной точностью), в разное время и распределенных на неравномерной трехмерной гидрологической сетке В настоящее время при решении океанологических задач наибольшее распространение получил адаптационный метод определения двухмерных полей течений через гидрографическую секцию Для определения поля скоростей течений через секцию применяются уравнения геострофического баланса:

> = -р*> (1) Рг=-Р8, '(2)

где / - параметр Кориолиса, v - скорость течения через секцию, рх - составляющая импульса в направлении х, а р - плотность воды; координата х направлена вдоль секции, а координата г - вверх.

Из (1) и (2) следует, что

= )ф,1Ж, (3)

РоА„

где уд - горизонтальная скорость на глубине г0 (референс-скорость).

Оценку величины геострофического потока через секцию можно провести, предварительно найдя минимум целевой функции, штрафующей отклонение рассчитанных полных геострофических скоростей через секцию и соответствующих им значений Т и 5 от экспериментальных данных. Нужно отметить, что адаптационные

методы расчета в случае двухмерных гидрографических секций просты, но в полной мере не учитывают потоки тепла и соли через границы, кроме того, они не дают полной картины явления.

Существуют различные подходы к решению задачи адаптации трехмерных полей гидрологических данных. Так, например, используются обратные модели гидрографической коробки, образованной гидрографическими секциями, которые позволяют воспроизводить трехмерную картину океанского потока. В дополнение к геострофическому балансу эти модели используют условие сохранение массы, соли, теши, а также часто другие характеристики для рассматриваемых подобластей. Другой классический путь инвертирования гидрографических данных - метод /7-спирали, который в дополнение к соотношениям геострофического баланса требует предположения о сохранности некоторого свойства воды, в качестве которого обычно принимается потенциальная плотность.

Анализ существующих методов ассимиляции (согласования) данных при решении задач определения трехмерных стационарных полей скоростей течений показал, что они основаны на использовании упрощенных геострофических гидродинамических уравнений и поэтому не позволяют достаточно полно описать реальный океан. Кроме того, они дают неоднозначные решения при поиске минимума целевой функции в процессе адаптации данных. Причем общим недостатком двух- и трехмерных моделей является отсутствие условия сохранения массы. В то же время использование четырехмерных моделей требует очень большого машинного времени, что заставляет уменьшать набор исходных данных и приводит к низкому качеству получаемых результатов. Необходимо отметить, что численное решение рассмотренных задач проводится с использованием метода конечных разностей. Этот метод требует использования равномерной гидрологической сетки, что не позволяет должным образом учесть сложную топографию дна и боковых границ. В то же время существует метод конечных элементов, который в принципе не требует указанного ограничения и позволяет более полно описать топографию границ рассматриваемой области.

Проведенный анализ позволяет обосновать выбранное направление исследований, сформулировать цели и задачи работы, в результате решения которых будут разработаны методы определения параметров крупномасштабных океанических течений на основании гидрологических данных, что имеет важное народнохозяйственное значение.

Во второй главе предложен новый метод под названием КЕМЗЕСТ, предназначенный для определения величины массопереноса через двухмерную гидрографическую секцию на основании гидрографических данных. Отличительными особенностями ИЕМБЕСТ являются использование конечных элементов для численного решения уравнений геострофического баланса и объединение решений этих уравнений по методу наименьших квадратов с экспериментальными данными, полученными с неподвижных платформ. Таким образом, оптимальное решение соответствует минимуму целевой функции, штрафующей отклонения параметров модели (температура, соленость, скорость) от результатов измерений. Целевая функция имеет следующий вид:

•/(7\5,У0) = ±(Г*-ФтТ)Т1Гт(Т* -ФгГ) + 1(Я* -ф55)1>5(5* -Ф55) +

+" ФгЛ0Г - Ф„у) + Я,

где слагаемое у^И^о штрафует отклонение референс-скорости на дне от

нулевого значения; веса Фу, , Цга являются положительно определенными матрицами, аФг, Ф5 и Ф„ - операторы проектирования модельных полей в точки измерений.

, При этом в качестве конечных элементов использованы треугольники, которые

позволяют естественным путем описать форму границ дна в тех случаях, когда возможность применения конечно-разностных методов представляется неясной. Второе

I преимущество вытекает из строго определенных правил интерполяции, которые

позволяют привязывать модельные переменные к местам получения экспериментальных данных. Для этого модельная переменная \|/ раскладывалась по п базисным

я

функциям»)/,: у/ = ^Г^,. Функции могут либо задаваться в узлах сетки и быть /-1

кусочно линейными на треугольниках, либо задаваться на треугольниках, являясь в пределах которых кусочно постоянными. В первом случае число п равно числу узлов сетки, во втором числу треугольников. Для вычисления скорости течения в узлах сетки, где проводились измерения солености и температуры, предложено использовать разложение непрерывных функций по линейным базисным функциям, а для значений скорости между узлами - на кусочно-непрерывных постоянных базисных функциях.

Из уравнений геострофического баланса с использованием РЕМЗЕСТ были вычислены поля скоростей переноса объемов воды через идеализированную область в виде треугольника (см. рис. 1) и рассматривались условия, при которых можно получить точное значение объемного транспорта, проинтегрировав (3) аналитически. Полученные значения объемных транспортов сравнивались с результатами, даваемыми другими методами

В первом варианте предполагалось, что поле плотности является линейной функцией горизонтальной координаты (р = р0 + ах) и постоянно по глубине. Для области с шириной 3800 км и максимальной глубиной 3800 м., была рассчитана величина объемного транспорта, равная 2.4 Св (1 Св = 1 106 м3 с"1). Стандартный динамический метод, например, осуществленный в программе Матлаб и использованный в морской библиотеке СвЖО, дает значение потока 2, 33 Св, если измерения температуры и солености доступны для гипотетических станций, приведенных на рис. 1.

Использованная конечно-элементная дискретизация основана на кусочно-непрерывных линейных базисных функциях для плотности (или температуры и солености) и (или) кусочно-непрерывных линейных или постоянных базисных функциях для скорости течения. В обоих случаях вычисленное значение транспорта совпадало с в

• результатом аналитического интегрирования. Такой результат вызван тем, что поле плотности выбрано линейно изменяющимся между станциями.

Во втором варианте считалось, что поле плотности постоянно с глубиной и

* 1

является квадратной функцией горизонтальной координаты: р = р0 + Ьх .В этом случае

точное значение потока равно 3.6 Св. Динамический метод приводит к значению, которое на 0.1 Св больше. Метод конечных элементов с кусочно-непрерывными линейными базисными функциями для скорости дает результат на 0.02 Св меньший, а в случае кусочно-непрерывных постоянных базисных функций для скорости, мы получаем результат, который на 0.03 Св больше, чем точное значение плотности потока. Обращает внимание, что в случае нелинейно изменяющегося поля плотности воды

метод конечных элементов почти на порядок величины более точен, чем динамический метод. Полученный результат позволяет считать, что конечно-элементный метод является перспективным для использования в задачах расчета величины потока через гидрографические секции.

г,м о

-200 -400

-1200

-2000

-2800 -3000

-3400 -3800

0 200 400 1200 2000 2800 3000 3400 3800

x, км

Рис. 1. Треугольная область с гипотетическими точками измерения (звезды). Сплошными линиями нанесена треугольная сетка конечных элементов, пунктирные линии соответствуют сетке конечных разностей динамического метода.

Разработанный метод использован для оценки характеристик транспорта объема воды и тепла через пролив Фрама - глубокого протока между Арктическим и Северным морями. Для него имеется обширный набор данных о температуре, солености и скорости течения, полученных с использованием стационарных датчиков и необходимых как для проведения расчетов, так и проверки работоспособности разработанной модели. Установлено, что метод РЕМЭЕСТ дает возможность, в отличие от предыдущих методов, в которых использовалась конечно-разностная дискретизация, объяснить ряд характеристик транспорта объема воды и тепла, полученных на основании экспериментальных данных. Так, были выбраны два набора экспериментальных данных с августа 2002 г. по сентябрь 2003 г., полученные разным числом измерительных датчиков скорости течения и СТО в центральной части пролива Фрама ("ПК" - полный и "НК" - неполный комплекты). Затем определялись величины интегральных объемных транспортов непосредственно на основании измеренных скоростей течений и с помощью метода РЕМБЕСТ (с учетом гидрологических данных). Результаты приведены в табл. 1.

Из проведенных в табл. 1 данных следует, что оценки величин потоков, полученных непосредственно на основании данных неполного комплекта датчиков дает потоки в два-три раза превышающие результаты, полученные с использованием полного комплекта измерителей.

Таблица 1. Оценки интегральных величин объемных транспортов через пролив Фрама

Эксперимент Интегральный объемный транспорт, Св

Измерения Сент. 2003; "ПК" 5,9

Измерения Сент. 2003; "НК" 12,2

РЕМБЕСТ Сент. 2003; "ПК" 3,0

РЕМБЕСТ Сент. 2003 "НК" 3,2

Измерения Сент. 2002 "ПК 3,6

Измерения Сент. 2002 "НК" 15,5

ИЕМвЕСТ Сент. 2002 "ПК 6,4

РЕМБЕСТ Сент. 2002 "НК" 6,9

В то же время использование в РЕМЭЕСТ данных неполного комплекта датчиков, приводит к значениям объемного транспорта через секцию, совпадающих в пределах погрешности с результатами, получаемыми с помощью полного комплекта измерителей скорости течения.

В третьей главе предложен и обоснован метод, предназначенный для оптимального согласования экспериментальных и рассчитанных с помощью метода данных Этими данными могут быть как температура и соленость воды на разных глубинах, предусмотренные стандартом СТО измерений, так и иные гидрофизические параметры и характеристики атмосферы (возвышение водной поверхности, скорость и направление ветра и др.). Метод получил название инверсного конечно - элементного метода (1КЕОМ), его функциональная Блок-схема приведена на рис. 2. Набор исходны! данных Т, 8, т,¥ до

Прямая модель

Контролируемые параметры Р,г,уов

Зависимые параметры

а, {

Сопряженная

модель

Оптимальное состояние ?

Рис. 2. Блок-схема инверсного конечно-элементного метода ОТЮМ.

В состав блок-схемы ПТЮМ входит прямая и обратная (сопряженная) модели. Прямая конечно-элементная модель служит для расчета гидродинамических характеристик океана (зависимых параметров). В качестве нее использован модифицированный вариант заимствованной из литературы модели ПЮМ, позволяющей численно решать стационарные уравнения гидродинамики с конечно-элементной дискретизацией для заданных гидрофизических переменных. Модификация

модели ПЮМ заключалась в переводе используемых в ней операторов в матричную форму, что обеспечило эффективность ее применения в №ЕОМ. Обратная (сопряженная) модель, предназначена для определения модельных данных на основании рассчитанных гидродинамических характеристики океана. В ней матрицы операторов представляют собой транспонированную форму матриц операторов прямой модели. В качестве контролируемых параметров в ШЮМ используются значения поля плотности р, ветрового напряжениях и баротропного транспорта через открытые границы иовп. При этом плотность воды рассчитывается на основании исходных данных о температуре Т и солености 5 и использовано адвекционно-диффузионное уравнение для потенциальной плотности (вместо двух разных уравнений для температуры и солености): ^(прв) + ЗДи-Ре) - УфРи - ЗДАРе = 0,

где рв - потенциальная плотность, ^ и Ку - горизонтальный и вертикальный коэффициенты диффузии.

В качестве зависимых параметров в ШЮМ используется баротропный транспорт и, возвышение водной поверхности полное трехмерное поле скорости (в,>с) и корректирующий потенциал скорости Ф.

Принцип работы ШЕОМ заключается в следующем. Первое приближение контролируемых параметров поступает на вход РЕОМ. На ее выходе продуцируются зависимые параметры модели, которые используются для расчета значения целевой функции Если она превышает допустимое значение, то с помощью сопряженной модели рассчитывается градиент 3. Он используется для расчета нового набора контролируемых параметров, который позволяет уменьшить значение целевой функции J. Компромисс между решением, вытекающими из модели ШЮМ и экспериментальными данными достигнут путем минимизации значения целевой функции, которое пропорционально отклонению значений плотности воды, даваемых моделью, от экспериментальных данных, а также включает несколько других характеристик, которые отражают наше априорное знание относительно океана. Так, для обеспечения однозначности решения при поиске минимума целевой функции применено предложенное автором дополнительное ограничения. А именно, в целевую функцию включен член, который штрафует отклонение глубоководного градиента давления (ниже 2000 м), даваемое ШЕОМ, от значения, полученного из прямой модели РЕОМ. Физический смысл этого ограничения состоит в сохранении характеристик глубоководной циркуляции неизменными в процессе ассимилияции данных. Это ограничение приводит к адаптации поля плотности в верхних слоях океана, что согласуется с априорными знаниями о том, что изменения структуры плотности наблюдаются в пределах термоклина.

Решение проблемы минимизации получено с помощью метода адаптации данных, который является общим для такого типа проблем и используется в РЕМвЕСТ. Минимум целевой функции находился с использованием сопряженного метода. Целевая функция была записана в виде:

(4)

4

Она определена в области П с границей Г= , где Г, - поверхность океана, Г, -

1=1

дно, Г3 - вертикальные стенки и Г, - открытая граница.

В целевую функцию (4) вносят вклад следующие составляющие, в которых Ш -некоторые положительные веса, а функции со штрихом и без него зависят от соответствующих переменных:

•Л = (*.У,х',У,, ПП

штрафующее отклонения в уравнении для потенциальной плотности;

•12 = Д(Р-РаИ)1Га11(х>У>2*',У',2"Кр-Р<и1)'<КМ&'> аа

штрафующее отклонение модельной плотности рот климатологических полей ра(/; спроектированных на модельную решетку;

Это выражение аналогично формуле для /2 >но штрафует отклонение р от сингулярных данных;

и-1

учитывает близость модельных значений возвышения морской поверхности С, к алтиметрическим данным ¿^, / = 1... N;

= 1 /(иОВ - лх'.УХЮов - и„а1)'Б'<ГЛГ

г,пг4г,пг4

штрафует отклонение модельного значения баротропного транспорта на открытой границе иовп от измеренных иЛа(п, если такая априорная информация имеется;

П<т-т Д (*, У, *'> УХ* - т Л УОГЛ" Г,Г,

штрафует отклонение модельного ветрового напряжения т от его заданного значения

Последний член

J^ = + V,; - - V?х,х'.у'.г1) х сю

X (ур + - - V; введен для того, чтобы штрафовать отклонения модельного глубоководного градиента давления от его заданного значения. В нем Руг и - гидростатическое давление и возвышение морской поверхности соответственно, даваемые первичной оценкой; Р и С, - гидростатическое давление и возвышение морской поверхности соответственно, полученные в результате оптимального решения.

Использование этой методики требовало разработки модели, сопряженной к стационарной модели РЕОМ. Были получены сопряженные уравнения неразрывности, баротропных транспортов, возвышений водной поверхности и трехмерного поля скорости. При решении этой задачи основная часть ПТЮМ была сформулирована в матричной форме. Была получена дискретная формулировка ПТЕОМ, для чего целевая функция была записана в дискретном виде и выведены дискретные формы выражений для множителей Лагранжа. Ключевым моментом, в обеспечении эффективности

процедуры ассимиляции является выбор весовых коэффициентов в целевой функции Пространственная плотность распределения узлов в сети изменяется и, как правило, убывает с увеличением глубины, при этом увеличиваются элементарные объемы Это приводит к тому, что вклад в целевую функцию глубоководных узлов должен быть больше, чем приповерхностных. В связи с этим вес данных умножался на квадрат объема кластера, соответствующего узлу сетки.

Процедура ассимиляции данных выглядит следующим образом. Для произвольного набора контролируемых параметров вычисляют зависимые параметры модели. Это позволяет рассчитать значение целевой функции 3 и затем множители Лагранжа Сначала получают множители Лагранжа для баротропной скорости. С их помощью определяют множители Лагранжа для полной скорости и остальные множители Лагранжа к зависимым переменным Наконец, на основании контролируемых параметров, зависимых параметров и множителей Лагранжа определяют направление уменьшения значения Лагранжиана в зависимости от контролируемых параметров Это дает возможность определить значения контролируемых параметров, которым соответствует уменьшение значение целевой функции J.

В четвертой главе разработанная модель использована для реконструкции циркуляции в Северной Атлантике. Расчеты проводились на трехмерной сетке, покрывающей район от 7 0 N до 80° N. Она базировалась на поверхностной сетке с треугольными ячейками, включала 15024 поверхностных узла и 23 уровня по вертикальной координате г Каждый треугольник на поверхности является основанием вертикальной призмы, которая разделена уровнями по координате г на элементарные призмы. Последние разделены на тетраэдры. Поверхностная сетка определяет горизонтальное разрешение, которое меняемся от 0,2° до 1,5°, со средним значением примерно 0,5°. Общее число узлов в трехмерной сетке равно примерно 220000 и они формируют 1200000 тетраэдров. Численные расчеты набора линейных уравнений модели проводились с использованием метода Р1ШТ (разработанного с использованием параллельной, основанной на расщеплении 1Ш факторизации) и ОМИЕв или ВЮСЙТАВ алгоритмов. Для определения минимума целевой функции был использована программа поиска минимума \11QN3, основанная на квазиньютоновском методе. Прежде чем начать исследование модели, проводился анализ используемых для этого данных. На этом этапе в качестве источника гидрографических данных использовался Атлас Мирового Океана Левитуса 1994 г., климатологические данные Северной Атлантики Лозиера для пятилетних периодов с 1950 до 1994 г. и литературные значения ветрового напряжения. В качестве начального приближения брались средние значения температуры и солености, а также наблюдаемые поверхностные потоки.

Результаты расчетов показали, что между первым приближением поля плотности, полученным из модели и плотностью, рассчитанной из экспериментальных климатологических данных Левитуса имеется различие, особенно заметное в верхних слоях океана. На глубине 50 м это различие для некоторых районов может достигать более чем 0,5 кг м"3, что однако находится в пределах стандартного отклонения, а для плотности на глубинах 1500 м не превышает 0,07 кг м"3. Было проведено два эксперимента.

В первом эксперименте была проведена ассимиляция значений плотности, полученных на основании исходных для расчета климатологических данных из атласа Левитуса. При этом в целевой функции оставлены только члены, которые учитывают отклонение значений потенциальной плотности и в модельных расчетах рассматриваются только данные о плотности, рассчитанные из климатологических

полей. На основании проведенных исследований сделан вывод о том, что невозможно провести удачную ассимиляцию климатологических данных без введения дополнительных ограничений.

Во втором эксперименте ассимилировались те же значения плотности, но с учетом ограничений, накладываемые на градиент давления с глубиной. В результате получены поля океанических течений, которым соответствует баротропная функция тока отражающая структуры субтропического и субполярного вихрей. Так, например, расчеты показали, что расход воды Гольфстрима равен примерно 40 Св в направлении от западного побережья. При этом различие между плотностью, которая соответствует оптимальному решению и плотностью, рассчитанной на основании климатологических данных Левитуса составляет менее, чем 0,5 кг м"3 на глубине 50 м в районе Гольфстрима, где стандартные отклонения, рассчитанные из годичных циклов по данным Левитуса составляют около 0,6 кг м . Этот результат следует считать положительным. В последующих экспериментах был получен набор инверсных решений, соответствующий девяти пентадам климатологических данных атласа Лозиера, перекрывающих период с 1950 г. до 1994 г. Проведено вычисление трехмерных полей океанических течений (см. пример на рис. 3) и интегральных характеристик Полярной Атлантической циркуляция, таких как баротропная функция тока и циркуляции меридионального кругооборота.

Рис. 3. Поле скоростей, соответствующее средним данным Лозиера на глубине 100 м.

Кроме того, определены величины объемного транспорта воды через несколько секций, расположенных вдоль атлантического побережья и проведено сравнение результатов использования модели ШЕОМ с оценками, полученными иными методами (см. табл. 2).

Из приведенных в табл. 2 данных видно, что расчеты по модели ШЮМ в целом соответствуют имеющимся данным. Причем это соответствие лучше при использовании средних климатологических данных Лозиера, чем в случае данных Левитуса.

Таблица 2. Значения объемного транспорта, оцененные через различные секции в Северной Атлантике.

Номер секции Величины потока, Св. (IFEOM, исходные данные Левитуса) Величины потока, Св. (IFEOM, исходные данные Лозиера) Усредненные результаты, получаемые из других моделей, Св.

А5 51 49 49

AR1 46 51,5 51

А2 31 50,5 68

М50 28 29 37

AR7E 25 25 33

Инверсия средних климатологических данных атласа Лозиера, за отдельные пятилетия показывает изменчивость со среднеквадратичным отклонением в несколько единиц Св для баротропной функции потока и около 0,5 Св для меридионального кругооборота (см. рис. 4).

Св 14£[--

14

13,5

13

m

90-94 99-59 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 85-89 90-94 годы

Рис. 4. Временные серии максимального значения

функции тока кругооборота при

Линия соответствует среднему значению 13,6 Св.

Функции тока имеет максимальное значение, равное примерно 14 Св и малое межпентадное изменение - в пределах 1 Св. Эти значения согласуются с результатами, даваемыми прямыми моделями, усредненными за пятилетний интервал. Ключевой частью IFEOM, обеспечивающей успешную ассимиляцию данных без нарушения динамического равновесия - это ограничение, накладываемое на глубоководный градиент давления, предложенное автором.

В целом, проведенное рассмотрение показывает, что значения объемных транспортов, полученных с использованием предложенного метода ШЕОМ (в результате ассимиляции данных Левитуса и данных Лозиера) и с помощью других моделей близки. Это свидетельствует о работоспособности метода ШЕОМ. В то же время в ряде случаев с помощью ШЕОМ удается получить новую информацию о характеристиках крупномасштабных течений, что обусловлено большими возможностями метода отражать реальную картину изучаемых процессов в океане.

В заключении сформулированы основные научные и практические результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработан инверсный конечно-элементный метод 1РЕОМ, основанный на использовании полной системы фундаментальных гидродинамических уравнений и позволивший получать трехмерные поля скоростей крупномасштабных океанических течений на основании исходных гидрологических данных.

2. Для получения динамически самосогласованного решения с помощью ОТЮМ предложено использовать условие, накладываемое на величины градиентов глубоководного давления, которое обеспечивает возможность оптимизации параметров вод на верхних горизонтах при неизменности их на больших глубинах. Предложен метод расчета величин градиентов глубоководного давления с использованием прогностической модели на основании заданной величины среднего давления.

3. С использованием разработанного метода ОТЮМ проведен анализ климатологических данных, получены оценки характеристик циркуляции в Северной Атлантике и проведен сравнительный анализ климатологических данных атласов Левитуса и Лозиера. Установлено, что значения интегральных потоков через гидрографические секции, полученные на основании данных Лозиера, лучше согласуются с экспериментальными данными и результатами вычислений на основании других методов.

4. Показана возможность получения с помощью ШЕОМ самосогласованных полей скоростей в областях, где исходные гидрологические данные отсутствуют, причем характеристики полей скоростей и экстраполированные гидрологические данные соответствуют независимым результатам эксперимента.

5. Получены оценки временной изменчивости характеристик циркуляций на пятилетних масштабах (горизонтальных и вертикальных функций тока), а также значений транспортов водных масс через ряд гидрологических секций в Северной Атлантике. Установлено, что баротропная функция тока меняется, достигая 6 Св, тогда как функция тока меридионального кругооборота имеет много меньшие величины, составляя доли единиц Св.

6. Разработан конечно-элементный численный метод определения двухмерного поля течений через гидрографическую секцию (РЕМБЕСТ).

7. Показана работоспособность РЕМБЕСТ на примере оценки характеристик транспорта объема воды и тепла через пролив Фрама, для которого имеется обширный набор данных, полученных с использованием стационарных датчиков, необходимых для проведения таких расчетов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Сидоренко ДВ., Квитко АН. Управление движением центра масс летательного аппарата в вертикальной плоскости. Сб. Процессы управления и устойчивость. - СпбГУ -2001,-С. 64 - 67.

2. Sidorenko D.V. Finite-element implementation of assessment of mean geostrophic flow field from hydrographic data (Конечно-элементная оценка среднего геострофического поля потока на основании гидрографических данных) Abstracts Bond 3 doctorandlnnen Tag des Alfred-Wegener-Institutes in Bremenhaven.- 2002 - P. 22.

3. Сидоренко Д В. Применение метода конечных элементов для оценки характеристик геострофических течений на основании гидрографических данных. Материалы УЩ Санкт-Петербургской международной конференции "Региональная информатика -2002".-4.2.-СПб. - С. 135.

4. Sidorenko D.V., Kivman G., Danilov S., Shroter J. Inverse finite element model for the large scale ocean circulation (Обратная конечная элементная модель для крупномасштабной океанской циркуляции). The 2nd International workshop on unstructured grid numerical modelling of coastal, shelf and ocean flows Delft University of technology.-2003.-P. 15.

5. Сидоренко Д В. Метод расчета поля крупномасштабных океанических течений на основе гидрографических данных. Материалы всероссийской научно-технической конференции "Биотехнические системы в XXI веке".- СПб - 2004. - С 40-42

6. Сидоренко Д. В. Метод оценки характеристик геострофических течений на основании гидрографических данных. Материалы IX Санкт-Петербургской международной конференции "Региональная информатика - 2004". - 4.2 - СПб. -2004. - С. 366-367.

7. Сидоренко Д. В. Расчет поля скоростей крупномасштабных океанических течений с использованием метода конечных элементов / Известия СПбГЭТУ - 2004 - Вып 2' Биотехнические системы в медицине и экологии - С. 89-93..

8. Sidorenko D., Kivman G., Danilov S., Schroeter J. Inverse Finite element Ocean model: application to estimate the North Atlantic circulation (Обратная конечно элементная океанская модель: применение для оценки Северо-Атлантической циркуляции) European Geosciences Union 1 st General Assembly Nice, France. - 2004.- P. 261.

9. Sidorenko D., Losch M., Beszczynska-Moeller A. FEMSECT: a new inverse model to analyze hydrographic section data with velocity measurements based on Finite Element method (FEMSECT: новая обратная модель для анализа данных о скорости течения через гидрографическую секцию на основе конечно-элементного метода). European Geosciences Union 1st General Assembly Nice, France.- 2004. - P. 116.

10. Kivman G., Nerger L., Danilov S., Sidorenko D., Schroeter J., Seufer V. The circulation in the North Atlantic derived from new geodetic missions (Циркуляция в Северной Атлантике, определенная в результате нового решения геодезической задачи). European Geosciences Union 1st General Assembly Nice, France, 2004. - P. 249

11. Сидоренко Д. В. Модель для расчета плотности потока водных масс в океане на основании экспериментальных гидрографических данных. Тез. докл. научно-практ. конф. «Проблемы прогнозирования и предотвращения чрезвычайных ситуаций и их последствий». - СПбГЭТУ. - 2004 - С. 54-55.

12. Сидоренко Д. В. Перспективы использования метода конечных элементов для расчета величины потока через гидрографическую секцию. Материалы Всероссийской научно-технической конференции "Наука-производство-технологии-экология". - Т. 1. - Киров. -2005.-С. 170-172.

Подписано в печать 10.10.05. Формат 60*84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 101.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательства СПбГЭТУ "ЛЭТИ"

Издательство СПбГЭТУ "ЛЭТИ" 197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5

»21133

РЫБ Русский фонд

2006-4 22578

Основные обозначения.

Введение.

Глава 1. Океанические циркуляции и математическое моделирование поля скоростей крупномасштабных океанических течений.

1. 1. Основные характеристики и причины океанических циркуляций.

1.1.1. Поверхностная циркуляция в океанах. 1.1. 2. Вертикальное движение воды и глубинная циркуляция.

• 1.2. Основные гидрографические характеристики необходимые для определения параметров циркуляций в океане.

1. 3. Основные подходы к теоретическому исследованию океанических циркуляций.

1.4. Математическое моделирование поля скоростей крупномасштабных океанических течений

1. 4.1. Квазигеострофические модели для расчета скорости крупномасштабных течений в океане.

1.4.2. Методы сопряжения.

1.4. 2.1. Целевая функция, сильные и слабые ограничения.

Ф 1. 4. 2. 2. Методика сопряжения.

1.4. 3. Краткий обзор некоторых моделей, использующих адаптацию данных.

1.4. 3.1. Обратная модель для двухмерных гидрографических секций.

1. 4. 3. 2. Метод Вунша.

1.4. 3. 3. Инверсные модели гидрографической коробки.

1.4. 3. 4. Метод р - спирали.

1. 4. 3. 5. Четырехмерные модели.

1.4. 3. 6. Трехмерные модели.

Выводы. щ

Глава 2. Конечно-элементный метод расчета двухмерного поля скоростей течений через гидрографическую секцию (FEMSECT).

2.1. Конструкция модели.

2. 2. Дискретизация уравнений, входящих в модель.

2.2.1. Конечно-элементная дискретизации уравнений модели.

2.2.1.1. Линейные базисные функции для скорости.

2.2.1.2. Кусочно-непрерывные постоянные базисные функции для скорости.

2. 2. 2. Исследование дискретизированных уравнений геострофического баланса в области с идеализированной геометрией.

2. 2. 3 Флуктуации рассчитанного поля скорости.

2. 3. Исследование характеристик течений в проливе Фрама 68 Выводы.

Глава 3. Инверсный конечно-элементный метод определения трехмерного поля скоростей течений (IFEOM).

3.1. Конечно-элементная модель океана FEOM.

3.1.1. Соотношения, используемые в модели. FEOM.

3.1.2. Атмосферный фактор.

3.1. 3. Конечно-элементная дискретизация.

3.1.4. Коррекция скорости.

3.1.5. Уравнение для потенциальной плотности.

3.1.6. Дискретизация исходных формул.

3. 2. Конструирование модели.IFEOM.

3.2.1. Контролируемые и зависимые параметры.

3.2.2. Строгие и слабые ограничения, целевая функция.

3.2.3. Вывод сопряженных уравнений.

3.2.4. Коррекция уровня возвышения водной поверхности.

3.2.5. Дискретная формулировка IFEOM.

Выводы.

Глава 4. Результаты исследования характеристик океанических течений с помощью обратного конечно-элементного метода IFEOM и их обсуждение.

4.1. Исходные данные для проведения расчетов.

4. 2. Анализ климатологических данных.

4. 3. Прогностическая оценка плотности баротропного потока.

4.4. Выбор значений весовых коэффициентов в целевой функции.

4. 5. Ассимиляция климатологических данных атласа Левитуса.

4.6. Ограничения, накладываемые на градиент давления с глубиной.

4.7. Ассимиляция климатологических данных атласа Левитуса с использованием ограничения на градиент давления с глубиной

Эксперимент LEV).

4. 8. Ассимиляция климатологических данных атласа Лозиера с использованием ограничения на градиент давления с глубиной.

Эксперимент LOZ).

4. 9. Замечания по поводу рассчитанного поля скорости.

4.10. Исследование величины объемных транспортов через некоторые гидрологические секции в северной Атлантике.

4.11. Анализ годичной изменчивости объемных транспортов через некоторые гидрологические секции в северной Атлантике.

Выводы.

Актуальность работы

Мировой океан - важная часть климатической системы земли. Он взаимодействует с земной атмосферой, меняя ее влажность и температуру, которая также в свою очередь влияет на свойства водных масс. Океанские течения и крупномасштабная циркуляция перераспределяют эти водные массы по обширной территории, приводя таким образом к глобальному взаимодействие между океаном и атмосферой. Для того, чтобы улучшить наше понимание земной системы климата и качество прогноза его изменений, требуется знание крупномасштабной океанской циркуляции, ее тенденций и изменчивости.

Ввиду того, что крупномасштабные океанические течения осуществляют транспорт офомного количества энергии, их характеристики существенно влияют на экологическое состояние отдельных регионов планеты и биосферы в целом. Климат на нашей планете во многом зависит от характера крупномасштабных океанических течений. Так, например, зона максимальной температуры или термический экватор располагается примерно на 5° с. ш. Его положение зависит от распределения суши и моря в обоих полушариях, но больше всего от влияния, которое они оказывают на океаническую циркуляцию. Океанские течения, которые переносят тепло по направлению к полюсам Земли (например, Гольфстрим в северо-западной части Атлантического океана) отчетливо выделяются на карте горизонтальных распределений температур в виде положительных температурных аномалий. Аномалии среднегодовых температур, показывающие отклонение наблюдаемых значений от средних на данной широте, хорошо отражают влияние адвективного переноса тепла от теплых океанических течений. Одна из них достигает 10 °С и более над северо-восточной частью Атлантического океана, что связано с переносом тепла Гольфстримом и СевероАтлантическим течением. Стоит отметить, что наметившуюся в последние годы тенденцию увеличения среднегодовой температуры ряд ученых относит не к влиянию антропогенных факторов, а к изменению характера океанических течений. От длительных и крупномасштабных изменений параметров океанических течений зависят условия жизни людей. Влияя на климат, они определяют условия хозяйствования, уклад и уровень жизни населения планеты.

Кратковременные изменения характера течений могут определять погоду в отдельных регионах планеты. Знание текущих характеристик гидрологической обстановки может помочь избежать чрезвычайных ситуаций и катастроф.

Важную роль играют течения как переносчики биогенных элементов в океане. Благодаря им осуществляются условия, необходимые для существования трофических цепей пелагиали. Так, в зонах дивергенции происходит подъем в зону фотосинтеза глубинных вод, богатых питательными для продуцентов веществами. Поэтому области апвеллинга характеризуются значительной биологической продуктивностью на всех трофических уровнях. Важна роль течений и как переносчика теригенных и антропогенных и примесей в океане. Вышесказанное далеко не полностью описывает необходимость изучения океанических течений, однако уже сказанное показывает, что разработка методов оценки скоростей и направлений таких течений весьма актуальна.

В настоящее время из общей гидродинамики в самостоятельное направление выделилась дисциплина - гидрофизическая гидродинамика. Она изучает такие движения сплошной среды, для которой существенную роль играют вращение всей системы и стратификация среды. Именно совместное влияние вращения и стратификации определяет своеобразие явлений, изучаемых геофизической гидродинамикой. Она охватывает широкий круг явлений, происходящих на Земле. Это, в частности, движение планетарных атмосфер, движения мантии в жидком ядре Земли, геострофические движения в атмосфере и океане и т. д. Одной из наиболее важных в прикладном и общенаучном отношении является изучение крупномасштабных, имеющих геострофический характер, течений в океане. Именно на больших масштабах наиболее четко проявляется общность характера движений в океане. Наиболее отличительной чертой поверхностной циркуляции Мирового океана является хорошо выраженная западная интенсификация циркуляции в каждом из океанов. В северной части Атлантического океана, например, направленная в основном против часовой стрелки циркуляция имеет небольшие скорости от 1 до 10 см/с, за исключением узкого течения Гольфстрим, прижатого от к западной границе от Флориды до мыса Гаттерас, где оно поворачивает в открытый океан. Величественны течения, подобные Гольфстриму. Ширина его в области сильного течения составляет от 50 до 100 км при типичной скорости течения 100 см/с (максимальная - примерно 200 см/с), что соответствует импульсу единицы объема жидкости -100 г см'2 с*1. О грандиозности Гольфстрима свидетельствует также величина его полного расхода. Оценка величины скорости переноса воды через поперечное сечение Гольфстрима имеет порядок 90 млн. м3 в секунду. Об отчетливой западной интенсификации океанской циркуляции говорит также существование мощных течений Куросио в Тихом океане, Бразильского течения в южной Атлантике и течения Агульяс вблизи побережья восточной Африки. В то же время океаны отличаются такими характеристиками, как особенности формы, топографии дна и стратификации, климатические условия, а также полем касательного напряжения ветра, которые влияют на характер крупномасштабных циркуляций. Эти факторы приводят к большому пространственно-временному разнообразию течений в Мировом океане. В принципе, точное решение основных уравнений гидродинамики с соответствующими граничными и начальными условиями дает требуемую информацию относительно любой конкретной проблемы. Однако уравнения движения для реальной системы настолько сложны, что точное аналитическое решение может быть найдено лишь в редких случаях. Геострофическое приближение приводит к очень простым соотношениям, однако информации о движении, содержащейся в геострофических соотношениях недостаточно для полного определения динамики движения. Характер поля океанических течений оказывается зависимым от малых сил, каждая из которых мала по сравнению с силой Кориолиса, что делает аналитическую задачу весьма трудноразрешимой. Поэтому в гидрофизической гидродинамике широко используют численные методы. Для их использования необходима совокупность исходных экспериментальных данных. Основная гидрофизическая информация, имеющая практический характер, поступает от исследовательских судов, постоянно ведущих в океане измерения основных гидрологических характеристик - температуры и солености на различных глубинах, топографии дна, локальных скоростей и направлений течений, состояние атмосферы и др. Уровень возвышения поверхности океана над геоидом определяется по данным спутниковой алтиметрии (Торех / Poseidon altimeter). Однако систематизация этих данных осложнена тем, что проводятся измерения на неравномерной сетке и с разной плотностью числа измерений. Причем эти разнородные данные имеют существенно разные методические и приборные ошибки, а, например, данных о скоростях течений гораздо меньше, чем данных о температуре и солености. В связи с этим встает важный вопрос о разработке методов получения карты крупномасштабных океанических течений, параметры которых являются результатом согласованного оптимального учета всей имеющейся совокупности экспериментальных гидрологических данных.

Несмотря на постоянное совершенствование вычислительной техники, существующие численные модели все еще далеки от возможности достаточно полно описать реальный океан. Лучшая стратегия в этой ситуации состоит в том, чтобы комбинировать данные наблюдений и океанских моделей и искать компромисс между ними с учетом априорной информации относительно погрешностей данных и модели - подходом, известным под несколькими общими названиями, такими как ассимиляции данных или обратного метода. Существующие методы не позволяют в настоящее время достаточно успешно решить эту задачу ввиду ряда присущих им недостатков. В связи с этим разработка и исследование нового метода, позволяющего на основании массива гидрофизических данных, получить самосогласованные крупномасштабные трехмерные поля скоростей и плотности воды в океане, является весьма актуальной.

Целью диссертационной работы является разработка и исследование численных конечно-элементных методов обработки массива гидрофизических данных, позволяющих получить самосогласованные крупномасштабные поля скоростей течений и плотности воды в океане.

Для достижения поставленной цели в диссертации сформулированы следующие задачи:

- разработка метода, позволяющего на основании массива гидрофизических данных, получить оптимально согласованные крупномасштабные трехмерные поля скоростей и плотности воды с учетом динамики и топографии океана; исследование стационарных самосогласованных трехмерных полей распределения скоростей течений и плотности воды в северной части Атлантического океана, полученных с помощью разработанного метода;

- разработка метода определения двухмерных полей скорости течений через гидрографическую секцию, основанного на ее конечно-элементной дискретизации;

- исследование двухмерных полей скорости течений и объемных транспортов воды через гидрографическую секцию, полученных с помощью разработанного метода;

Предметом исследования настоящей работы являются численные конечно-элементные методы получения самосогласованных крупномасштабных полей скоростей и плотности воды в океане на основании массива гидрофизических данных.

Объектом исследования являются пространственно-временные характеристики крупномасштабных полей распределения скоростей течений и плотности воды в океане.

На защиту выносятся:

1. Численный конечно-элементный метод обработки массива гидрофизических данных, позволяющий получить оптимально согласованные крупномасштабные трехмерные поля скоростей и плотности воды с учетом динамики и топографии океана.

2. Численный метод определения двухмерных полей скорости течений через гидрографическую секцию, основанный на ее конечно-элементной дискретизации.

3. Результаты исследования характеристик самосогласованных полей распределения скорости течений и плотности воды в северной части Атлантического океана

Научная новизна работы в целом заключается в разработке методов и алгоритмов решения адаптационной гидродинамической задачи, позволяющих на основании разнородных гидрофизических данных получать оптимизированное поле скоростей океанических течений.

В отличие от предыдущих исследований, в настоящей работе стационарные поля скоростей течений и плотности воды в океане получены численным методом непосредственно из стационарной модели с более полным, чем это было ранее, учетом топографии океана за счет использования конечно-элементного метода дискретизации.

Наиболее важными новыми результатами работы являются:

- метод получения оптимально согласованных крупномасштабных трехмерных полей скоростей и плотности воды с учетом динамики и топографии океана на основании анализа массива гидрофизических данных;

- метод определения двухмерных полей скорости течений через гидрографическую секцию, основанный на ее конечно-элементной дискретизации;

- стационарные трехмерные поля скоростей течений в северной части Атлантического океана на основании разработанного метода обработки массива гидрофизических данных;

- значения объемных транспортов воды через гидрографические секции в разных частях северной Атлантики;

- величина среднего меридионального оборота в северной части Атлантического океана.

Практическое значение полученных результатов заключается в том, что разработаны методы решения обратной гидродинамической задачи, позволяющие определять взаимосогласованные 2-х и 3-х мерные стационарные поля скоростей течений и плотностей воды в океане на основании гидрографических данных, полученных на неравномерной гидрологической сетке. Эта информация крайне важна при решении задач связанных с обработкой экспериментальных гидрологических данных, исследованием крупномасштабных океанических процессов и их влияния на биосферу в целом в экологии, океанологии, климатологии, метеорологии и др. Научное и практическое значение также имеют.

- результаты расчетов стационарного трехмерного поля скоростей течений в северной части Атлантического океана на основании разработанного метода усвоения массива гидрофизических данных.

- значения оценок стационарных переносов масс в разных частях северной Атлантики, в том числе через сечения пролива Фрама, полученных с помощью разработанного конечно-элементного метода получения двухмерных стационарных полей течений через гидрологические секции.

- результаты расчетов временной изменчивости и среднего значения меридионального оборота в северной части Атлантического океана.

Достоверность результатов обеспечена использованием при их получении надежных и проверенных теоретических представлений, методов и технологий, численными расчетами, проведенными на основании полученных соотношений с использованием современных сверхмощных компьютеров, оценками величин и характера вытекающих из них зависимостей с использованием надежных исходных данных, систематической проверкой полученных результатов данными, заимствованными из литературных источников, сравнительным анализом результатов, полученных новыми и независимыми традиционными методами.

Внедрение результатов работы. Результаты исследований, полученных в диссертационной работе, использовались при выполнении в 2001-2002 г. г. научно- исследовательской работы "Разработка экспрессного метода экологического мониторинга акваторий" номер гос. регистрации 01200109372 и в ГБ НИР ФПБЭИ-2К за 2004 г.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:

- XXXVII научная конференция студентов и аспирантов (Санкт-Петербург, 2001);

- Ill doctorandinnen Tag des Alfred-Wegener-Institutes in Bremenhaven (Bremenhaven, Germany, 2002);

- VIII и IX Санкт-Петербургские международные конференции "Региональная информатика" (Санкт-Петербург, 2002 и 2004 г. г.);

- The 2nd International workshop on unstructured grid numerical modelling of coastal, shelf and ocean flows. Delft University of technology (Delft, Holland, 2003);

- Всероссийская научно-техническая конференция "Биотехнические системы в XXI веке" (Санкт-Петербург, 2004);

- 1st General Assembly of European Geosciences Union (Nice, France, 2004);

- Научно-практическая конференция «Проблемы прогнозирования и предотвращения чрезвычайных ситуаций и их последствий», СПб, 2004;

- Научно-технические конференции профессорско-преподавательского состава СПб государственного электротехнического университета 2004 и 2005 г. г. Всероссийская научно-техническая конференция "Наука-производспгво-технологии-экология", Киров, 2005.

- 2nd General Assembly of European Geosciences Union (Vienna, Austria, 2005)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, в том числе -2 статьи, 6 докладов и 4 тезиса к докладам на конференциях.

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном электротехническом университете "ЛЭТИ" им. В.И. Ульянова (Ленина). Математические расчеты на основании разработанной модели проводились в Институте Альфреда Вегнера (AWI), Бременхавен, Германия.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, основных результатов и общих выводов, заключения и списка литературы,

Основные результаты работы

1. Разработан инверсный конечно-элементный метод IFEOM, основанный на использовании полной системы фундаментальных гидродинамических уравнений и позволивший получать трехмерные поля скоростей крупномасштабных океанических течений на основании исходных гидрологических данных.

2. Для получения динамически самосогласованного решения с помощью IFEOM предложено использовать условие, накладываемое на величины градиентов глубоководного давления, которое обеспечивает возможность оптимизации параметров вод на верхних горизонтах при неизменности их на больших глубинах. Предложен метод расчета величин градиентов глубоководного давления с использованием прогностической модели на основании заданной величины среднего давления.

3. С использованием разработанного метода IFEOM проведен анализ климатологических данных, получены оценки характеристик циркуляции в Северной Атлантике и проведен сравнительный анализ климатологических данных атласов Левитуса и Лозиера. Установлено, что значения интегральных потоков через гидрографические секции, полученные на основании данных Лозиера, лучше согласуются с экспериментальными данными и результатами вычислений на основании других методов.

4. Показана возможность получения с помощью IFEOM самосогласованных полей скоростей в областях, где исходные гидрологические данные отсутствуют, причем характеристики полей скоростей и экстраполированные гидрологические данные соответствуют независимым результатам эксперимента.

5. Получены оценки временной изменчивости характеристик циркуляций на пятилетних масштабах (горизонтальных и вертикальных функций тока), а также значений транспортов водных масс через ряд гидрологических секций в Северной Атлантике. Установлено, что баротропная функция тока меняется, достигая 6 Св, тогда как функция тока меридионального кругооборота имеет много меньшие величины, составляя доли единиц Св.

6. Разработан конечно-элементный численный метод определения двухмерного поля течений через гидрографическую секцию (FEMSECT).

7. Показана работоспособность FEMSECT на примере оценки характеристик транспорта объема воды и тепла через пролив Фрама, для которого имеется обширный набор данных, полученных с использованием стационарных датчиков, необходимых для проведения таких расчетов.

Заключение

В диссертации разработаны и исследованы два численных конечно-элементных метода ассимиляции гидрологических данных FEMSECT и IFEOM, с помощью которых исследованы параметры крупномасштабных океанических течений в Северной Атлантике. В результате проведенных исследований показана работоспособность разработанных методов и получены научные и практические результаты, имеющие важное значение для решения широкого круга задач, в которых требуется знание крупномасштабных океанических характеристик.

1. Марчук Г. И., Саркисян А.С. Математическое моделирование циркуляции океана. М., Наука, 1988, 302 с.

2. Марчук Г.И. О постановке задачи структуры течений бароклинного моря с учетом макротурбулентного перемешивания. Метеорология и гидрология. -1970, №3.-С. 12-17.

3. Марчук Г.И., Кочергин В. П. О вертикальной структуре течений в бароклинном океане // Метеорология и гидрология. -1968, №3. С. 3 -10.

4. Haney R. L. A numerical case study of the development of large-scale thermal anomals in the Centra I North Parsific ocean. J. Phys. Oceanogr. - 1980. - N 4, P. 541-556.

5. Haney R. L. Midlatitude sear-surface temperature anomalies: A numerical hindcast J. Phys. Oceanogr. -1985. -V. 15, N 6.

6. Математические модели циркуляции в океане // Под. Ред. Г. И. Марчука, А. С. Саркисяна. Новосибирск: Наука, 1980.- 341 с.

7. Brauan К. A numerical method for the syudy of у he world ocean circulation. J. Comput Phys. -1969,- V. 4, N 3.- P. 347-376.

8. Brauan K. Climate and ocean circulation. Part 3. The ocean model. Month. Weather. Rev. -1969. V. 97, N 11.- P. 806 - 827.

9. Marchuk G. I. et. at On the dinamics of the ocean surface mixed layer. J. Phys. Oceanogr. -1977. V. 7. - P. 865 - 875.

10. Robinson A. R. Eddies in Marine Science, Springer-Verlag, Germany, 609 p., 1983.

11. H.Brayan К., Cox M. D. An approximate equation of stste for numerical models ofocean circulation. J. of Phys. Oceanogr. -1972, V. 2, N 4. - P. 510-514. 12.Sandstrem J.W., Hellan-Hansen B. Uber die Berehnung ver Meereestromungen.

12. Munk W.H. On the wind-driven ocean currents. J. Meteorol.-1950.-V.7, N2.- P. 7993.

13. Neuman G. On the dynamics of the wind-driven ocean currents. Meteorolog Papers.-1955.-V.2, N4.-P.1-33.

14. Neuman G. On the mass transport of wind-driven currents in the baroclinic ocean with application to the North Atlantic. Z. Fur Meteorol.-1958.-Bd 12, H. 4-6. S.138-147.

15. Иванов В.А., Каменкович В. M. Рельеф дна как основной фактор, формирующий незональность Антарктического циркумполярного течения. ДАН СССР. Т951. - Т. 128, Мб. - С. Г167-1170.

16. CarrierG.F., Robinson A.R. On the theory of the wind-driven ocean circulation. J. Fluid Mech.-1962. -V. 12, N 11. -P.49- 80.

17. Саркисян А. С. О недостатках баротропных моделей океанической циркуляции. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. -1969. Т. 5., N 8. - С. 818 - 836.

18. Гарвей Дж. Атмосфера и океан. М„ Прогресс, 1982,184 с.

19. Philander S. G. Н., Pacanovski R. С. The generation of equatorial currents. J. geophys. Res.-1980.-V. 85, Vo. C2.-P.1123-1136.

20. Semtner A., Holland W. R. Numerical simulation of equatorial ocean circulation. J. Phys. Oceanogr.-1980.-N 10.- P. 667-693.

21. Ильин A.M. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной. Мат. Заметки.-1969-Т.6, №2.-Р.237-248.

22. Wunsch С., The Ocean Circulation Inverse Problem, Cambridge University Press, Cambridge, 1996,442p

23. Bennett A. F. Inverse methods in physical oceanography, Cambridge University Press, Cambridge, 346 p., 2002

24. Wunsch C. North Alantic General Circulation West of 50° Determined by Inverse methods", Rev. Geophys. Space Phys., V.16, P.583-620, 1978.

25. Wunsch C: Determination of general circulation in oceans: A preliminary discussion. Science, V. 196, P. 871 875,1977.

26. Alison M. Macdonald, Carl Wunsch, An Estimate of the Global Ocean Circulation and Heat' Flux, Nature, 199б! V. 382, P. 436-439

27. Macdonald A. M. Oceanic Fluxes of Mass, Heat and Freshwater A Global Estimate and Perspective", Department of Earth, Atmospheric and Planetary

28. Sciences, PhdThesis, Massachusetts Institute of Techonology, 1995, Cambridge, MA

29. Lumpkin R., Speer K. Large-Scale Vertical and Horizontal Circulation in the North Atlantic Ocean, J. Phys. Oceanogr., V. 33, P. 1902-1920, 2003

30. Robinson. A. R. Eddies in Marine Science, Springer-Verlag, Germany, 609 p., 1983

31. Stommel H., Schot F. The beta spiral and the determination of the absolute velocity field from hydrographic data, Deep-Sea Res., V. 24, P. 325-329, 1977

32. Olbers D., Wenzel M., Willebrand J. The inference of North Atlantic circulation patterns from climatological hydrographic data, Rev. Geophysics, V. 23, P. 313356, 1985.

33. Bennet A. F. Inverse methods in physical oceanography. Cambridge University Press, Cambridge 2002.

34. Levitus S. Burgett R, Boyer T.P. World Ocean Atlas. Salinity, NOAA, V. 3, Washington DC., 1994

35. Levitus S., Boyer T.P. World Ocean Atlas. Salinity V. 3, V. 4,NOAA, Washington DC., 1994

36. Stammer D., et al. The Global ocean circulation during 1992 -1997, estimated firom ocean observations and a general circulation model, J. Geophys. Res., V. 107, N C9, P. 3118-3145, 2002

37. Malanotte-Rizzol P. Modern Approaches to Data Assimilation in Ocean Modeling, Elsevier, Amsterdam, The Netherlands, 455 p., 1996

38. Nechaev D., YaremchukM., Ikeda M. Decadal variability of circulation in the Arctic Ocean retrieved from climatological data by a variational method, J. Geophys. Res., V. 109, N C4, P. 4006, 2004

39. Danilov S., Kivman G., Schrotter J. A finite-element ocean model: principles and evaluation, Ocean Modelling, 2004, V. 6, P. 125—150.

40. JPOTS Editorial Panel, Processing of Oceanographic Station Data, UNESCO, Paris, France, 138 p., 1991

41. Stewart Robert H. Introduction To Physical Oceanography, Department of Oceanography, Texas A \& M University", 342 p., 2002

42. UNESCO, Background papers and supporting data on the practical salinity scale, Technical Papers in Marine Science, V. 37,144 p., 1981

43. Fofbnoff P., Millard., R. C., Jr. Algorithms for Comutation of Fundamental

44. Properties of Seawater, Unesco, 1983, Unesco Tech. Pap. in Mar. Sci., 53 pp., N 44

45. Visser. http://www.deos.tudelfl.nl/ pieter/.

46. Wunsch C., Stammer D. Satellite altimetry, the marine geoid, and the oceanic general circulation, Annual Reviews of Earth and Planetary Science, V. 26, P. 219-253, 1998.

47. Tapley B. D. Bettadpur S., Watkins M., Reigber C. The gravity recovery and climate experiment: Mission overview and early results, Geophys. Res. Letters,, V. 31, 607p., 2004.

48. Marotzke J., Wunsch C. Finding the steady state of a general circulation model ^ through data assimilation: Application to the North Atlantic ocean, J. Geophys. Res.,

49. V. 98, P. 20149-20167, 1993

50. Eden C., Greatbatch R. Adiabatically correcting an eddy-permitting model using large-scale hydrographic data: Application to the Gulf Stream and the North Atlantic Current 2003. J. Phys. Oceanogr. V. 34, P. 714-719.

51. Beismann J. O., Bamier B. Variability of the meridional overturning circulation of the North Atlanti: sensivity to overflows of dense water masses. Ocean Dynamics. V. 54, P. 92-106, 2003.

52. Fisher J., Shott A., Dengler M. Boundary circulation at the exist of the Labrador sea. J. Phys. Oceanogr. V. 34, P. 1548-1570, 2004.

53. Willebrand J., et al Circulation characteristics in three eddy-permitting models of the North Atlantic. Progr. Ocean., V. 48, P. 123-168,2001.

54. Schott A., Zantopp R., Stramma L., Dengler M., Fisher J., Wibaux M. Calculation and deep-water export at the westen exit of the subpolar North Atlantic. J. Phys. Oceanogr. V. 34, P. 817-843, 2004.

55. Gilbert J. C., Lemarechal C., The moduls M1QN3 and N1GN3. Tech. Rep., ver. 2.0, INRIA, France, 1993.

56. Losch M., Redler R.t Schrotter J. Estimating a mean ocean state from hydrography and sea-surface height data a non-linear inverse section model: Twin experiments with synthetic data set. J. Phys. Oceanogr. V. 32(7), P. 2096-2112, 2002.

57. Levitus S.f Воуег T.P., Conkright M., O' Brian Т., Antonov J„ Stephens C., Statopolos LM Jonson D„ Gelfeld R. World ocean database 1998. V. 1: Introduction. NOAA Atlas NESDID 18. U.S. Gov. Printing office, Washington. DC, 1998.

58. Lozier M. S., Owens W. В., Curry R. G. Climatology of the North Atlantic. Progr. Ocean. V.36, P. 1 -44,1995.

59. Losch M., Sidorenko D., Bszczynska-Moller A. FEMSECT: an inverse section model based on the finite element method. J. Phys. Oceanogr. 2004, (в печати).

60. Yu L., Malanotte-Rizolli P., Inverse modelling of seasonal variations in the North Atlantic ocean. J. Phys. Oceanogr. V. 28, (5), P. 902-922,1998.

61. Hellerman S., Rosenstein. Normal monthly wind stress over the world ocean with error estimates. J. Phys. Oceanogr. V. 13, P. 1093-1104,1983.

62. Wenzel M., Srotter J., Olbers D. The global ocean circulation during 1992-1997, estimated from ocean observations and general circulation model. Propr. In oceanogr. V. 48 (C9), P. 73-119,2001.

63. Stammel D., Wunsh C., Giering C., et al. The global ocean circulation during 19921999, estimated from ocean oservations and general circulation model. J. Geophys. Res. V. 107 (C9), P. 3118-3145, 2002.

64. Stammel D., Wunsh C., Giering C., et al. Volume, heat and freshwater transports of global ocean circulation 1993-2000, estimated from a general circulation model constrained by world ocean circulation experiment (WOCE) data. J. Geophys. Res.

65. V. 108 (C1 3007), doi: 10.1029/2001JC001115, 2003.

66. Tziperman E., Thacker W. C., Long R. В., Hwang S. H. Oceanic data analysis using a general circulation model. Parti: Simulations. J. Phys. Oceanogr., V. 22 (12), P. 1434-1457, 1992.

67. Tziperman E., Thacker W. C., Long R. В., Hwang S. H. Oceanic data analysis using a general circulation model. Part 2: A North Atlantic. J. Phys. Oceanogr., V. 22 (12), P. 1458-1485, 1992.

68. Сидоренко Д.В., Квитко A.H. Управление движением центра масс летательного аппарата в вертикальной плоскости. Сб. Процессы управления и устойчивость. Труды XXXVII научной конференции студентов и аспирантов 17

69. V 23 апреля 2001 г. СПб, СпбГУ, 2001, с. 64 67.

70. Fahrbach Е., Meinke J., etal. Direct measurements of volume transports through Fram Strait. Polar Res. V. 20(2), P. 217-224,2001.

71. Schauer U., Fahrbach E., et al Arctic warning through the Fram Strait oceanic heat transport from three years of measurements. J. Geophys. Res. V. 109 (CO), 6026, doi: 10.1029/2003JC001823.

72. Sidorenko D.V. Finite-element implementation of assessment of mean geostrophic flow field from hydrographic data. Abstracts Bond 3 doctorandlnnen Tag des Alfred-Wegener-lnstitutes in Bremenhaven, 2002, p. 22.

73. Сидоренко В.М., Шевелько М.М., Сидоренко Д.В. Экспрессный экологический мониторинг акваторий, Записки Горного института, (в печати).

74. Сидоренко Д. В. Метод расчета поля крупномасштабных океанических течений на основе гидрографических данных. Материалы всероссийской научно-технической конференции "Биотехнические системы в XXI веке" 22-26 марта 2004 г., СПб, 2004, с. 40-42.

75. Сидоренко Д. В. Метод оценки характеристик геострофических течений на основании гидрографических данных. Материалы IX Санкт-Петербургской международной конференции "Региональная информатика 2004", ч.2, Санкт-Петербург, 2004, с,. 366-367.

76. Сидоренко Д. В. Расчет поля скоростей крупномасштабных океанических течений с использованием метода конечных элементов. Известия СПбГЭТУ, сер. Биотехнические системы в медицине и экологии, 2004, вып. 2, С. 89-93.

77. Sidorenko D„ Kivman G., Danilov S., Schroeter J. Inverse Finite element Ocean model: application to estimate the North Atlantic circulation. European Geosciences Union 1st General Assembly Nice, France, 2004, p. 261.

78. Sidorenko D., Losch M., Beszczynska-Moeller A. FEMSECT: a new inverse model to analyze hydrographic section data with velocity measurements based on Finite Element method. European Geosciences Union 1st General Assembly Nice, France, 2004, p. 116.

79. Kivman G.t Nerger L, Danilov S., Sidorenko D., Schroeter J., Seufer V. The circulation in the North Atlantic derived from new geodetic missions. European Geosciences Union 1st General Assembly Nice, France, 2004, p. 249

80. Dobrint U., Srotter J. An adjoint ocean model using finite elements: An application to the South Atlantic. J. Atmos. Ocean Tech. V. 20, P. 392-407,2003.

81. Myers P. G. A diagnostic barotropic finite-element ocean circulation model. J. Atmos. Ocean Tech. V. 12, P. 511-526 ,1995.

82. Myers P. G Grey S., Hains K. A diagnostic study of interpentadal variability of the North Atlantic ocean using finite-element model, submitted to Ocean Modelling FE Modelling, Special Issue. 2003.

83. Walters R. A A model for tides and currents in the English Channel and Southen North Sea. Adv. In Water Resources. V. 10 (3), P. 138-148,1987.

84. Le Provost C., Lyard F., Molins J., Rabilloud F. A hydrodynamics ocean tide model improved by assimilating a satellite altimeter- derived data set. J. Geophys. Res. V. 103, C3, P. 5513-5529.

85. Kelly С. T. Iterative methods for optimization. No 18 in Frontiers in Applied Mathematics. SIAM, Philadelphia. 1999.

86. URL http:// www.ec-securehost.com/SIAM/FR18.html

87. Thacker W. C. On the role of the Hessian matrix in fitting models to data. J. Geophys. Res., V.94 (C5), P.6177-6196.

88. Barber С. В., Dobkin D. P., Huhdanpaa H. T. The quickhull algorithm for convex hull. ACM Nransactions on Mathematical Software. V. 22 (4), 469-483.1996.

89. Jonson C. Numerical solution of partial differential equations by the fiite element method. Cambridge University Press, Cambridg, 1990.

90. Morgan P. P. SEAWATER: A library of MATLAB qmputational routines for the properties of sea water. Teth. Rep. V. 222, CSIRO marine laboratories. 1994.

91. Rudels B. et al. The water mass distribution in Fram Strait and over the Yermak Plateau in summer 1997. Submitted to Ann. Geophys. 1999.

92. Schlichtholz P., Houssais A. An inverse modelling study in Fram Strait, part ii Water mass distribution and transport. Deep Sear Res. V. 46 (6-7), P. 1137-1168.