автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численные алгоритмы и моделирование процессов эксплуатации и исследования скважин в анизотропных средах

На правах рукописи

БАИШЕВ Роман Валерьевич

ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ЭКСПЛУАТАЦИИ И ИССЛЕДОВАНИЯ СКВАЖИН В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва -2005

Работа выполнена в Российском государственном университете нефти и газа им. И.М. Губкина

Научный руководитель - кандидат технических наук, доцент

Чен-Син Эмилия

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Марон Вениамин Исаакович

кандидат технических наук Желтов Михаил Юрьевич

Ведущая организация - Всероссийский научно-исследовательский институт

природных газов и газовых технологий (ООО «ВНИИГАЗ»)

Защита состоится «_/3» (¡¿/¡tS77JlSji.il. 2005 г. в часов минут в аудитории 308 на заседании диссертационного совета Д 212.200.14 при Российском государственном университете нефти и газа им. И.М. Губкина. Ленинский проспект, 65, Москва, ГСП-1,119991, Россия.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина.

Автореферат разослан « » 2005 1

Ученый секретарь диссертационного совета Д 2 12 д.т.н., доцент

2 0

ров А.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тематики исследований. Современная методология разработки месторождений природных углеводородов представляет собой сложный научно-технологический процесс. Она объединяет методы геологии, геофизики, гидродинамики, петрофизики, экономики, техники и технологии добычи нефти и газа и так далее. Конечная цель подобной работы заключается в том, чтобы с учетом технико-экономических исследований обосновать оптимальную систему разработки месторождения. С этой целью в современной теории и практике разработки осуществляются прогнозные расчеты на многомерных, многофазных моделях месторождения. Точность таких прогнозов не может быть выше точности исходных данных.

Известно, что информация об объекте разработки всегда является недостаточной. Поэтому 3D модель месторождения должна быть постоянно действующей, непрерывно обновляемой и адаптируемой на основании поступающей информации о ходе разработки. Тогда корректировка параметров модели приводит к уточнению прогнозных показателей разработки и проектных технологических решений.

Процессы, происходящие в продуктивных пластах, скрыты от наблюдателя. Представление о них составляется в результате изучения реакции месторождения на процесс его разработки. Большая доля информации приходится на гидродинамические исследования: показатели разведочных, добывающих, нагнетательных и наблюдательных скважин.

По мере развития теории разработки создаваемые 3D модели месторождений постоянно совершенствуются. От изотропных пористых сред теория фильтрации переходит ко все более точному учету анизотропии коллекторских свойств пласта. На повестку дня встают задачи теории фильтрации с учетом полного тензора проницаемости. В такой постановке задачи оси тензора проницаемости не совпадают с осями ориентации 3D реализуемой сетки. При этом структура решаемых уравнений существенно усложняется. Средств автоматической адаптации подобных моделей не существует.

В наши дни научно-технологический прогресс привел к широкому внедрению горизонтальных и многоствольных скважин. Показатели притока флюидов к таким скважинам принципиально отличаются от случая вертикальных скважин. Вопросы сеточного моделирования таких скважин и интерпретации результатов их гидродинамических исследований изучены не до конца. На сегодня не вполне ясны области применения многозабойных скважин.

Поэтому актуальной является задача автомагического адаптационного алгоритма для сеточных моделей с диагональным и полным тензором проницаемости. Не менее важны постановки гидродинамических исследований горизонтальных скважин, дающие информацию о показателях анизотропии фильтрационных свойств. Заслуживают внимания исследования но выявлению эффективности использования многозабойных скважин. Данные задачи и составили предмет исследований настоящей работы.

Цели и задачи исследования. Цели заключаются в обосновании постановки гидродинамических исследований на скважине, дающих информацию о

направлениях анизотропии проницаемости; создании и программной реализации алгоритма идентификации проницаемости, анизотропной по направлению; изучении специальных вопросов сеточного моделирования горизонтальных и многозабойных скважин, а также выявления области их предпочтительного применения. Достижение этих целей предполагает решение следующих задач.

• Разработка и программная реализация алгоритмов решения прямой и обратной задач теории фильтрации с учетом полного тензора проницаемости.

• Выявление условий гидродинамических исследований скважин, по результатам которых возможно уточнение направленной проницаемости.

• Обоснование принципов сеточного моделирования скважин, включая случай учета полного тензора проницаемости.

• Изучение результативности разработки залежей углеводородов с использованием горизонтальных и многозабойных скважин.

Методы исследования. Для решения дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации пластового флюида в анизотропной среде используются конечно-разностные методы и численные методы линейной алгебры. Алгоритм решения обратной задачи основывается на методах теории оптимального управления и методах нелинейного программирования. Обоснование практически значимых выводов основывается на постановке соответствующих математических экспериментов.

Научная новизна

• Предложен и программно реализован алгоритм решения задачи 3D неустановившейся однофазной фильтрации с учетом полного тензора проницаемости.

• Впервые, с использованием методов теории оптимального управления, разработан метод определения полного тензора проницаемости на основе интерпретации данных гидродинамических исследований скважин и пластов.

• Впервые показана возможность уточнения направленной проницаемости пласта по результатам исследования одиночной скважины.

• Обоснованы принципы сеточного моделирования скважин, включая случай учета полного тензора проницаемости.

• На основе математических экспериментов показана нецелесообразность применения многозабойных скважин на конкретном газоконденсатном месторождении.

Практическая значимость

• Созданный программный комплекс решения обратных задач позволяет интерпретировать результаты гидродинамических исследований скважины с целью определения полною тензора проницаемости.

• Математические эксперименты позволили выявить условия гидродинамических исследований горизонтальных скважин, позволяющих находить параметры диагонального или полного тензора проницаемости.

• Предложенные принципы сеточного моделирования скважин повысят точность расчетов при секторном моделировании, а также компьютерной интерпретации результатов исследований скважин.

• На примере моделирования процесса разработки конкретного газоконденсатного месторождения показана недостаточная эффективность,

вопреки устоявшимся воззрениям, применения многозабойных горизонтальных скважин.

Положение, выносимые на защиту

• Алгоритм решения прямых и обратных задач теории фильтрации в 3D однофазной постановке.

• Обоснование постановок гидродинамических исследований скважин (ГДИС) на одиночной скважине, допускающих уточнение проницаемости, анизотропной по направлению.

• Выявленные особенности показателей разработки газоконденсатной залежи с использованием горизонтальных и многозабойных скважин.

Внедрение результатов исследований. Результаты исследований автора вошли в состав Технологической схемы разработки газоконденсатного месторождения, утвержденной ЦКР Минэнерго РФ (протокол N 12-Г/2003 от 18.12.2003)

Апробация работы. Основные результаты исследования доложены на следующих конференциях и семинарах:

• IV международный семинар «Горизонтальные скважины» (Москва, РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина, 23-24 ноября 2004 г.)

• Международная конференция «Фундаментальные проблемы разработки нефтегазовых месторождений, добычи и транспортировки углеводородного сырья» (Москва, РАН, 24-26 ноября 2004 г.)

• на семинарах лаборатории газонефтеконденсатоотдачи ИПНГ РАН и кафедры прикладной математики РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина.

Публикации. По результатам исследования опубликовано 5 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, списка литературы из 140 наименований и двух приложений. Общий объем работы составляет 168 печатных страниц, в том числе 138 страниц основного текста и 14 страниц приложений. Текст работы содержит 48 рисунков и 3 таблицы.

Благодарности. Автор глубоко признателен научному руководителю к.т.н., доц. Э. П. Чен-Син, д.т.н., проф. С. Н. Закирову, д.т.н. Э. С. Закирову за ценные консультации по вопросам моделирования пластовых систем и оптимального управления. Автор также благодарен сотрудникам кафедры прикладной математики РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина, лаборатории газонефтекондеисатоотдачи ИПНГ РАН и отдела разработки ВолгоУралНИПИгаз за обсуждение работы и полезные советы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

1. Обзор предшествующих исследований и обоснование тематики работы

Гидродинамические исследования скважин. Современный подход к разработке месторождений природных углеводородов предполагает создание и использование 3D гидродинамических моделей пласта. Первоначальное насыщение моделей фильтрационно-емкостными свойствами осуществляется на основе результатов керновых, сейсмических, геофизических исследований. Однако не менее важной задачей является постоянная адаптация существующих моделей

по текущим показателям разработки, а также результатам газо- и гидродинамических исследований скважин.

Практическая значимость задач по уточнению пластовых свойств на протяжении десятилетий определяла высокий интерес отечественных и зарубежных исследователей к данной тематике. В насгоящее время обратные задачи теории фильтрации представляют собой сложившуюся научную дисциплину. По привлекаемой информации и используемому математическому аппарату различаются задачи интерпретации ГДИС и адаптации сеточных моделей залежи.

Первые сведения о гидродинамических исследованиях нефтяных скважин в отечественной литературе относятся к концу 1920-х - началу 1930-х гг. Тогда впервые был описан метод индикаторных диаграмм или установившихся отборов. В 1940-х гг. широкое распространение получил метод восстановления забойного давления. При закрытии работающей скважины начинается нестационарный процесс перераспределения давления в пласте. При этом и осуществляется снятие кривой восстановления забойного давления в скважине (КВД).

Практически все ранние методики обработки КВД основывались на том, чтобы привести КВД к неким специальным координатам, в которых она имеет прямолинейный участок. Угол наклона этого участка и отрезок, отсекаемый прямой линией на оси ординат, несут в себе информацию о параметрах исследуемого пласта. При этом для описания системы «пласт-скважина» использовались аналитические модели. В этом направлении работали В. П. Щелкачев, И. А. Чарный, С. Н. Бузинов, Л. Г. Кульпин, X. Рэми, Д. Хорнер и др. В 1950-х гг. параллельно разработаны способы учета притока жидкости в скважину после закрытия её на устье. Для решения задач интерпретации результатов исследований газовых скважин обычно использовалась линеаризация, при которой уравнение фильтрации газа сводится к линейному, способы решения которого известны. Различные варианты предложены Л. С. Лейбензоном, Б. Б. Лапуком и др.

Интерпретация КВД в горизонтальных нефтяных скважинах рассматривалась в работах П. Гуда, Д. Бабу и А. Оде. На форму КВД в горизонтальной скважине сначала оказывает влияние близость кровли и подошвы пласта, затем границ контура питания. В связи с этим авторы выделяют четыре периода притока упругой жидкости к горизонтальному стволу. Для каждого периода описан вид зависимостей В. А. Черных обобщил данный подход

на случай горизонтальных газовых скважин.

Идентификация параметров анизотропного пласта начинается с работ М. Маскета, в которых учитывалась разница в значениях проницаемостей в вертикальном и горизонтальном направлениях. Первым видом анизотропии коллекторских свойств по пространству, исследованным в задачах интерпретации данных ГДИС, можно считать рассмотрение призабойной зоны как обласги с измененными фильтрационными характеристиками. Учет тензорной природы проницаемости впервые потребовался для оценки ориентации систем трещин в карбонатных коллекторах. Использование соответствующих математических моделей для описания пласта породило необходимость уточнения параметров анизотропии. Известно крайне мало примеров решения обратных задач по уточнению тензорной проницаемости. Так, в работах У, П. Куванышева и

Р. В. Шаймуратова рассматривается задача определения параметров плоского однородно-анизотропного пласта по данным стационарных и нестационарных гидродинамических исследований. Для уточнения главных значений проницаемости и угла ориентации главных осей задействуются одна возмущающая и три реагирующие скважины. Почти двадцать лет спустя сходные исследования, также в двумерной постановке, были проведены за рубежом.

Развитие вычислительной техники существенно расширило возможности исследователей. Отпала необходимость в упрощенных вычислительных процедурах. Появилась возможность описывать системы «пласт-скважина» со сложной геометрией или распределением пластовых свойств, систем с несколькими или многими скважинам. Сеточное моделирование пластовых систем на основе конечно-разностной аппроксимации дифференциальных уравнений получило широкое распространение.

Задачи интерпретации ГДИС при этом приобретают характер задач адаптации моделей. То есть задач по подбору таких параметров модели и, которые обеспечивают наилучшее совпадение расчетных и фактических динамик забойных давлений:

Подобная постановка роднит задачи интерпретации ГДИС и задачи воспроизведения истории разработки залежи. Для минимизации функционала (1) используются методы наименьших квадратов, линейного программирования и наиболее общие методы многомерного поиска с использованием производных. Последние требуют вычисления градиента функционала (1) по вектору искомых переменных и. В работах Дж. Чена, М. Дюпюи и др. впервые демонстрируется способ получения выражений для функциональных производных, основанный на применении методов теории оптимального управления. Данный подход подразумевает постановку и решение сопряженной задачи. В результате решения прямой и сопряженной задач на каждом итерационном шаге обратной задачи возможно вычисление производных функционала по искомым величинам.

В отечественной науке подобный общий подход развивался И. С. Закировым, Э. С. Закировым и др. для задач воспроизведения истории, так и для задач регулирования разработки. М. X. Хайруллин и др. используют сходную методику для решения задач интерпретации результатов ГДИС.

Наибольшую гибкость при представлении сложного пласта обеспечивает выбор именно численной модели. Кроме того, постановка задач интерпретации ГДИС в разностной форме позволяет установить однозначное соответствие между сеточными секторными моделями «пласт-скважина» и крупными расчетными хидродинамическими сеточными моделями залежи, на которых осуществляется расчёт прогнозных показателей разработки.

Моделирование фильтрационных течений в анизотропных пластах. Проницаемость анизотропных сред в общем случае описывается симметричным тензором второго ранга. Разностное представление обобщенных уравнений с полным тензором проницаемости намного сложнее, чем в случае диагонального тензора. Так, двумерные разностные схемы в общем случае будут использовать

девятиточечный шаблон вместо пятиточечного, трехмерные -двадцатисемиточечный вместо семиточечного.

Необходимость рассмотрения пластовых систем с учетом полного тензора проницаемости имеет несколько оснований. Во-первых, использование простой разностной аппроксимации в вычислительных процедурах возможно только тогда, когда главные оси тензора проницаемости совпадают с осями ориентации разностной сетки. А значит, и с направлениями перетока флюида из одного сеточного блока модели в другой. Это условие достаточно сложно соблюсти по следующим причинам:

• не только значения проницаемости могут варьироваться по площади

месторождения, но и сама направленность её;

• в настоящее время для качественного описания конфигурации месторождения, наличия сбросов и разломов повсеместно используются разностные сетки с геометрией угловой точки. Сеточные блоки имеют конфигурацию неправильных шестигранников. Учет лишь диагональной проницаемости ведет к неизбежным ошибкам в расчетах.

В последнее время развиваются способы апскелинга, которые приводят к гидродинамической сеточной модели с тензорной проницаемостью. Методика учета тензорной природы проницаемости также используется при моделировании наклонных (псендогоризонтальных) скважин в слоисто-неоднородных пластах.

Известны разностные схемы К. Уайта и Р.Хорна, Г. Ширалкара, М. Эдвардса и соавторов, И. Ааватсмарка и соавторов, Э.С. Закирова и пр. Последние три являются наиболее общими и подходят для моделирования многофазных фильтрационных течений на неравномерной сетке.

Для подобных конечно-разностных уравнений не до конца исследован вопрос моделирования скважин. Как известно, в теории моделировании пластовых сисгем оперируют понятием «сеточного» давления. Давление, определяемое в узле разностной сетки, не может интерпретироваться как давление на забое скважины. Наиболее распространенный прием разрешения данного противоречия заключается в использовании аналитических моделей скважин. Так, в случае выполнения закона Дарси, в изотропном пласте радиальный приток к вертикальной совершенной по степени вскрытия скважине описывается уравнением

где - давления на расстоянии и на забое скважины; - радиус

скважины; к - проницаемость; |1 - коэффициент динамической вязкости, £ _ скин-фактор.

Впервые такая задача исследована в работе Г. Г. Вахитова применительно к случаю установившегося притока жидкости к скважине, дренирующей круговой пласт. Им показано, что давление в узловой точке со скважиной соответствует давлению на фиктивной скважине радиусом При условии равенства шагов вдоль осей эквивалентный радиус фиктивной скважины вычисляется но

формуле

Для анизотропных пластов, неравномерных сеток, ацентричного и наклонного расположения скважины в сеточном блоке существуют более сложные

формулы для вычисления эквивалентного радиуса. В современной практике наиболее известны и употребимы так называемая формула Д. Писмена и модель Д. Бабу и А. Оде для горизонтальной скважины. Большинство подобных соотношений получены при следующих допущениях.

• Фильтрационные процессы в пласте предопределяются диагональным тензором проницаемости. То есть главные оси тензора проницаемости совпадают с направлениями координатных осей сеточной модели.

• Трассировка ствола скважины совпадает с направлением одной из координатных осей.

• Течение жидкости к скважине стационарно.

В задачах с полным тензором проницаемости первое допущение не выполняется. Любой подход, развиваемый в предположении о диагональности тензора, следует заведомо рассматривать в качестве приближенного в интересующем нас случае полного тензора. Исключение представляют собой модель скважины Г. Ширалкара, использующая второе и третье допущения, и модель М. Кинга и М. Мэнсфилда, для применимости которой достаточно последнего предположения о стационарности фильтрации. Первая из них жестко связана с конкретной разностной аппроксимацией. Вторая вызывает определенные сомнения в связи с отсутствием обоснования и неточностями в публикации.

Наконец, из третьего допущения следует, что в моменты смены режимов работы скважины расчетные показатели скважины будут меняться скачкообразно. Это ставит под вопрос применимость подобных моделей в задачах интерпретации данных гидродинамических исследований скважины на неустановившихся режимах.

Обоснование тематики работы. При проектировании процесса разработки месторождений прогноз основывается на решении дифференциальных уравнений многомерной многофазной фильтрации, описывающих течение пластовых флюидов. В качестве области интегрирования выступает продуктивный пласт и окружающая водонапорная система. Уравнения дополняются необходимыми граничными условиями. Воздействие скважин описывается путем задания соответствующих условий на забоях скважин, отвечающих режиму их работы. Часто задаются забойное давление или отборы флюидов и расходы закачиваемых воды или газа.

Для решения этой системы область интегрирования аппроксимируется специально построенной сеточной областью. В пределах каждой ячейки коллекторские свойства считаются постоянными. Дифференциальные уравнения фильтрации дискретизируются по времени и пространству. Для адекватного задания граничных условий на скважинах используются специальные модели.

Точность прогнозных расчетов определяется точностью и надежностью исходных данных моделей. Поэтому вопрос о достоверности исходных данных не теряет актуальности.

Степень соответствия между наблюдаемым изменением показателей разработки и получаемым в результате расчетов на модели определяет качество гидродинамической модели. Информация о реакции пласта на возмущающие воздействия в ходе разработки в первую очередь может быть получена на скважинах. Это изменения забойного давления, насыщенностей добываемой продукции и т.д. Данные того же характера получаются при гидродинамических

исследованиях скважин. Подобные исследования обычно проводятся на одной или, если используется гидропрослушивание, нескольких скважинах, которые временно выводятся из режима эксплуатации.

Распространенные методики интерпретации результатов ГДИС обычно основаны на идентификации определенных параметров аналитической, или полуаналитической модели «пласт-скважина». Нет никакой гарантии в том, что проницаемость в околоскважинном пространстве, идентифицированная по одному из таких методов, минимизирует разницу между фактическими и расчетными данными, если её механически задать в соответствующих сеточных ячейках гидродинамической модели. Поэтому особый интерес представляют автоматические (объективные) алгоритмы идентификации, которые позволят уточнять непосредственно сеточные свойства расчетной модели и более подробных секторных моделей участков залежи.

Современные сеточные модели позволяют отражать реальную геометрию траектории скважин за счет отклонения сетки от простейшей декартовой, или ортогональной. В анизотропном пласте это приводит к необходимости рассмотрения уравнений фильтрации с полным тензором проницаемости.

Автоматические адаптационные алгоритмы применительно к таким фильтрационным моделям совершенно не развиты до сих пор. В общей постановке задача пока не имеет решения.

Другой аспект совершенствования моделей залежи и методов проектирования обусловлен развитием технологий горизонтального бурения. Горизонтальные и многозабойные скважины в нашей стране получили основное распространение на нефтяных месторождениях. По вопросам их применения среди ведущих ученых страны нет единого мнения. Одни считают, что оптимальная область их применения - изотропные пласты большой толщины. Другие рассматривают горизонтальные, наклонные скважины как средство повышения КИН за счет повышения коэффициента охвата. Не до конца исследовано влияние конусообразования на показатели разработки в случае горизонтальных и особенно многозабойных скважин. Известны некоторые работы по оптимизации режимов разработки нефтяных оторочек горизонтальными скважинами. Это приводит к мысли, что подобные решения должны быть рассмотрены применительно к менее изученным газоконденсатным залежам.

Приведенные соображения привели к соответствующей постановке задач диссертационной работы. По мнению автора, требуется разработать алгоритм идентификации полного тензора проницаемости для сеточной модели в общей постановке. Проверкой качества работы алгоритма послужат задачи интерпретации гидродинамических исследований скважин. Требуется провести анализ возможных постановок исследований с целью выявления таких, чьи результаты несут информациию об ориентированности фильтрационных свойств. Наконец, нами ставится задача по исследованию нерешенных вопросов моделирования скважин и прогнозирования показателей разработки газоконденсагных залежей с использованием горизонтальных и многозабойных скважин.

2. Прямая задача теории фильтрации с учетом полного тензора проницаемости

Процесс однофазной неустановившейся фильтрации в трехмерном пространстве описывается уравнением

ЛК-К(Ур))--(тр) + <2, (х,у,г)££2.

Ц д!

при начальных и граничных условиях

(Ур,и) - о, (*,у,г)еао.

/К*, у. " (*» У. г). У» г)е

(3)

(4)

Здесь р -плотность фильтрующегося флюида; Ц -коэффициент динамической вязкости; К - симметричная матрица коэффициентов тензора проницаемости; т -коэффициент пористости; (2— массовая плотность отбора фильтрующегося флюида. В (4) принято, что выполняется условие непротекания через внешнюю границу (я - вектор нормали к этой границе). Также известно начальное распределение давления.

Аналитически данная задача неразрешима. Уравнение фильтрации (3) при начальных и граничных условиях (4) дискретизируется с использованием разностной схемы Э.С.Закирова. Схема построена на девятнадцатиточечном шаблоне. Потоковые слагаемые по традиционным направлениям, например, хх и уу представляются обычным образом. Потоковые слагаемые по направлениям, не совпадающим с нормалями к боковым граням, таким, как ху, определяются как взвешенное значение четырех вспомогательных потоков по направлениям, совпадающим с нормалями. Например:

Здесь - плотность фильтрующегося флюида; - коэффициент

динамической вязкости;

»ху

проницаемость по второстепенному направлению

ху; Ау - размеры сеточных блоков вдоль оси Оу ориентации сетки. Целые индексы относят выражение к сеточному блоку полуцелые к центральной точке на общей грани ячеек ^¡,j)и^ I, )±1)- Весовые коэффициенты

зависят от соотношения сторон соседних сеточных блоков:

Л*,

1

|±|

—2

Разностная аппроксимация уравнения (3) для каждого временного шага представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений. Её решение сводится к решению последовательности систем линейных уравнений методом Ньютона-Рафсона. Для систем линейных уравнений используется метод последовательной релаксации. Учет разреженности матрицы осуществляется

посредством использования специальных процедур плотного хранения ненулевых элементов. Одной из особенностей реализованного программного алгоритма является автоматический выбор временного шага. Минимально возможный размер временного шага требуется при моделировании процессов нестационарной фильтрации, имеющих место при смене режимов работы скважины. Однако, если движение флюида близко к установившемуся, та же точность может быть достигнута с более крупными шагами во времени.

Представление скважин на секторных моделях. При так называемом секторном моделировании нередко производится измельчение сетки. Предполагается, что чем меньше размеры скважинных ячеек, тем точнее отражается действие точечных скважин на динамику конусов воды и/или газа и темпы обводнения и загазования добываемой продукции. Измельчение сетки позволяет достаточно точно учитывать явления конусообразования при эксплуатации точечных скважин. В реферируемой работе показано, что отсутствие количественного критерия в вопросе обоснования размеров скважинных ячеек искажает результаты прогнозных расчетов.

Представлен способ явной аппроксимации ствола скважины набором мелких сеточных блоков. При таком подходе размеры скважинных ячеек должны каким-то образом соответствовать геометрии ствола скважины. Переменная, отвечающая за забойное давление, в число неизвестных не вводится. Уравнение работы скважины не включается в разрешаемую систему. Разностное давление, получаемое в скважинном сеточном блоке, интерпретируется как забойное.

Отказ от аналитической модели скважины позволит избежать скачкообразного изменения забойного давления в моменты смены режимов.

При выборе размеров измельченных блоков предлагаются следующие соотношения для скважинных ячеек (на примере вертикальной скважины):

Ах-Ьу-5гш,£я-Ь. (6)

где г„ - радиус скважины, ¿- длина интервала вскрытия. Соотношения (6) основаны на апробированных формулах для вычисления радиуса фиктивной скважины для сеточного блока. Размеры сеточного блока задаются таким образом, чтобы радиус фиктивной скважины совпадал с истинным радиусом скважины. В этом случае и разностное давление, получаемое в данной сеточной ячейке, будет соответствовать забойному давлению на скважине.

Доказательство этого дано на примере задачи о неустановившемся притоке газа к единичной вертикальной скважине. Здесь в качестве эталонного принимается практически точное решение в радиальной постановке, когда граничное условие задается непосредственно на стенке скважины. Осуществляется его сопоставление с решением нестационарной задачи в 2Б постановке. Аналогичные результаты получены для задачи по расчету выхода горизонтальной скважины на стационарный режим работы.

Выражения для эквивалентного радиуса, на которых основываются формулы (6), получены для равномерной сетки. Однако использование равномерной сетки, ячейки которой имели бы размеры (6), не всегда возможно, поскольку размерность такой модели была бы слишком велика. В работе даны рекомендации по снижению эффекта от неравномерности сетки.

Представление скважин на полномасштабных моделях. В задачах полномасштабного моделирования рекомендуемый для секторного моделирования подход далеко не всегда пригоден. В основном, вследствие размерности 3D модели пласта.

Поэтому интерес представляет соответствующая модификация формулы Писмена. Она удается, если одна из осей тензора проницаемости совпадает с осью ориентации сетки и направлением ствола скважины, а сечение скважинного блока, перпендикулярное стволу скважины, представляет собой квадрат. Именно к такой сеточной области и трассировке горизонтальных стволов приходится прибегать при учете направленности трещин в продуктивном пласте.

В качестве примера рассмотрим горизонтальную скважину. Пусть одна из главных осей тензора проницаемости совпадает с осью ориентации разностной сетки. В главных осях такой тензор имеет ненулевые элементы только на главной диагонали В осях сеточной модели он приобретает вид

ч--

(7)

характеризующий отклонение главных осей от сеточных.

Пусть горизонтальная скважина вскрывает пласт в направлении Ох. Тогда применима формула вида

2лкэ&х{ро-р„) К1п0о/Ги.) + *) '

где - эквивалентная проницаемость скважинного сеточного блока;

-разностное давление в ячейке, вскрываемой скважиной; - забойное

давление; - радиус скважины в пласте: - скин-фактор вскрытого интервала; (т.н. эквивалентный радиус) вычисляется по формуле

Таким образом, изменение, которое претерпела в данном случае формула Писмена, заключается в переходе от значений проницаемости на главной диагонали тензора в неглавных осях к значениям тензора в главных осях. Это позволяет осуществить учет внедиагональных элементов тензора. Формула (8) дает те же результаты, что и моделирование скважины методом явной аппроксимации, Это подтверждается результатами соответствующих численных экспериментов. Расчеты проводились как с использованием собственной программы, так и с помощью ECLIPSE с опцией MPFA для учета тензорной природы проницаемости. Предлагаемая модификация позволяет установить соответствие между секторной и полномасштабной моделями.

3. Обратная задача теории фильтрации с учетом полного тензора проницаемости

По известным показателям работы скважины — динамикам отборов и забойных давлений - требуется уточнить параметры гидродинамической модели залежи, а именно компоненты полного тензора проницаемости, заданные в ячейках сеточной модели. При решении обратной задачи будем следовать общему подходу с использованием методов теории оптимального управления. Ранее обратные задачи при учете полного тензора проницаемости такими методами не исследовались.

Обратная задача в авторской редакции ставится и решается в оптимизационной постановке. Функционал качества, подлежащий минимизации, записывается в виде

(9)

Он представляет собой сумму квадратов невязок между фактическими и расчетными показателями работы скважины, взятыми с определеными весами. Индекс п — номер замера на скважине; N — общее количество проведенных замеров; - векторы расчетных и фактических показателей на скважине,

относящиеся к моменту замера я; О - матрица весовых коэффициентов. Вектор и - вектор управляющих параметров, т.е. проницаемостей сеточных блоков. Минимизация расхождения между фактическими параметрами у" и расчетными

должна осуществляться за счет варьирования проницаемостей

На каждом временном слое п решается система нелинейных уравнений:

Здесь р" - вектор разностных давлений на я-М временном слое, которые будем также называть фазовыми переменными задачи; — вектор давлений на

предыдущем слое; - номер последнего шага прямой задачи. Вообще говоря, количество замеров и количество временных шагов решения прямой задачи представляют собой разные величины. Однако соответствие между ними устанавливается легко.

Прямое определение вектора управляющих параметров доставляющего минимум функционалу (9), не представляется возможным. Предлагается реализовать многомерные методы оптимизации. Для этого необходимо уметь вычислять частные производные функционала качества по управляющим параметрам.

В терминах теории оптимального управления задача звучит так. Требуется найти вектор управляющих параметров на котором достигается минимум

критерия качества (9) при наличии ограничений в виде равенств (10). Задача поиска условного экстремума функционала сводится к задаче безусловной оптимизации функционала Гамильтона:

Последний получается добавлением к исходному критерию качества линейной комбинации ограничений с произвольными коэффициентами, называемыми сопряженными функциями. Вектор значений сопряженной функции, соответствующей ограничению прямой задачи п-го временного слоя, обозначается

у". Необходимое условие экстремума функционала (11) состоит в равенстве нулю первой вариации данного функционала. Приведем итоговое выражение для нее: N N

ьф-УУ . +ря;%я+1д/л+1,бр")+У(г11+р;>7Удл&11)+

Р ' (12)

я-1 ' '

Здесь 6и,6ря,6у" - соответственно, вариации управляющих параметров (проницасмостей), фазовых переменных (давлений) и сопряженной функции; ^ и Г„ - су!ь векторы частных производных функции f по фазовым переменным и управляющим параметрам соответственно; - матрицы Якоби вектора

по переменным соответственно. Верхние индексы

0,1, п, N относятся к временным шагам, индекс Т - к матричной операции транспонирования.

Поскольку вариации произвольны, независимы и

неограниченны, то равенство нулю выражения (12) возможно только в том случае, когда равны нулю множители при соответствующих вариациях. Это дает выражения для прямой и сопряженной систем, а также замыкающие соотношения.

Сопряженная задача линейна по построению. Матрица системы уравнений сопряженной задачи представляет собой транспонированную матрицу прямой системы. Время в ней течет в обратном направлении. В момент времени N задается начальное условие, состоящее в равенстве нулю сопряженной функции

у". Если в прямой задаче возмущения в распределении давления определяются отборами или закачками флюида, то возмущения сопряженной функции определяются невязкой между фактическими и расчетными показателями работы эксплуатируемых и наблюдательных скважин.

Из слагаемого, включающего в себя вариацию проницаемости, получаем выражения для функциональных производных.

Зная градиент функционала, имеем возможность определить направление поиска экстремума й для того или иного оптимизационного метода. Новая оценка вектора управляющих параметров вычисляется через значение вектора на предыдущей итерации на основании известного теперь направления поиска

Для обеспечения наилучшей скорости сходимости величина р должна находиться из решения одномерной задачи минимизации Точные методы одномерной оптимизации требуют неоднократного вычисления значения функции а значит, и решения прямой задачи. В нашем случае это

неприемлемо. Поэтому для оценки величины используется решение специальной задачи для вариаций. Она позволяет оценить реакцию системы 6ря, п — на

приращение вектора управляющих параметров.

Общий алгоритм решения задачи идентификации формулируется следующим образом.

1.До начала решения задачи идентификации имеется начальное распределение управляющих параметров, то есть проницаемостей по направлениям, связанным с осями сеточной модели.

2. Решается прямая задача (10) при текущем распределении управляющих параметров и фактических значениях отборов пластового флюида. Распределения разностных давлений по пространству и времени, а также динамика забойных давлений на скважине/скважинах сохраняются.

3. Находится значение функционала и осуществляется проверка на критерий сходимости алгоритма. В качестве критерия может выступать например, условие У | < £, где £ - заданное малое положительное число. Если критерий сходимости удовлетворяется, то текущее распределение управляющих параметров принимается за решение задачи.

4. Решается сопряженная задача с использованием как замеренных, так и только что найденных расчетных данных. Матрица сопряженной задачи строится с использованием данных, сохраненных на втором шаге алгоритма.

5. Находятся значения функциональных производных.

6. В соответствии с выбранным методом оптимизации из класса градиентных методов находится направление поиска.

7. Решается задача для вариаций фазовых переменных.

8. На основе найденной вариации показателей скважины находится оптимальный шаг вдоль направления спуска.

9. В соответствии с (13) осуществляется пересчет управляющих параметров. Производится переход на шаг 2.

Автором получены явные выражения для всех составляющих идентификационного алгоритма. В диссертационной работе в явной форме приведены выражения для функциональных производных с учетом того, что в уравнениях прямой задачи фигурируют выражения для вычисления вариаций проводимостей в полуцелых точках разностной сетки. Подробно описывается строение сопряженной системы уравнений и системы задачи для вариаций. Рассмотрены вопросы снижения размерности задачи идентификации путем параметризации. Приводится простой способ решения обратной задачи в случае известных направлений главных осей тензора.

Для решения оптимизационной задачи по минимизации функционала (9) используются методы градиентного спуска, сопряженных градиентов, квазиньютоновские методы. Исследованы вопросы сходимости, даны рекомендации но применению. Предложены способы учета границ обласги физичности тензора проницаемости.

Проведены численные эксперименты, подтверждающие эффективность алгоритма идентификации. Выявлены постановки исследований на одиночной горизонтальной скважине, позволяющие уточнить направленную проницаемость.

Уточнение вертикальной анизотропии по результатам исследования горизонтальной скважины. Предложенный идентификационный алгоритм апробирован на случае диагонального тензора проницаемости. В такой постановке оси тензора совпадают с осями, по которым ориентирована сеточная модель. Уточнению подвергаются горизонтальная проницаемость Ар и вертикальная

проницаемость А3. Истинныезначения: Ар - 20 мД, А^ - 2мД.

Горизонтальная скважина длиной ствола радиусом

вскрывает в центре пласт, имеющий форму параллелепипеда размерами 2760 х 2760 x 20м3. Пористость пласта т- 0.2, коэффициент динамической вязкости нефти равен 2.4 сП. В качестве фактических данных для обратной задачи выступает динамика расчетного забойного давления в скважине, в течение 10 сут. эксплуатируемой с постоянным во времени дебитом нефти и затем

закрытой.

Основная характеристика, по которой можно судить о корректности или некорректности обратной задачи - это вид критерия качества в функции идентифицируемых параметров. В проводимых численных экспериментах использовалась следующая методика. Интересующая область изменения проницаемостей разбивалась мелкой сеткой. В результате решения прямой задачи по проницаемостям в узловых точках рассчитывались значения функционала. По этим значениям интерполировалась карта линий равного уровня функционала. Так, для данного исследования поле функционала, построенное в области [Ар"",Ар"]х[Ац,А™"]-[5,35]х [1,10] мД, и результаты решения обратной задачи подтверждают единственность минимума и достижимость его средствами градиентного поиска. Независимо от начальных значений проницаемостей имеет место схождение итерационной процедуры к истинным значениям.

Идентификация элементов полного тензора в случае горизонтальной нефтяной скважины. В качестве объекта исследования выбран нефтяной пласт. Свойства нефти: плотность в пластовых условиях р(риач)~850кг/м:5; вязкость постоянна Размерность сеточной модели

Центральнорасположенная горизонтальная скважина моделируется семью скважинными блоками. Расчетные давления по ним, полученные при истинных значениях проницаемости, выступают в качестве «фактических» показателей в функционале качества.

Уточнению подвергаются значения проницаемости в плоскости в то

время как проницаемость по направлению Ог считается известной величиной. Это

*У

Рассматриваемая

означает, что идентифицируются элементы матрицы

■ "ху "уу

модель «пласт-скважина» оказалась вполне адаптируемой. Наблюдается схождение идентифицируемых параметров к их истинным значениям. Так, на рис. 1 показано стремление уточняемых значений направленной проницаемости от стартовых кы - 6 м Д, куу - 8 мД и кф ■■ 4 мД к истинным значениям к^- 18 мД, куу »18 мД и

Здесь и далее на графиках, отражающих поитерационное изменение

идентифицируемых параметров по ходу решения обратной задачи, проницаемости всегда отнесены к своим истинным значениям. В случае схождения к истинным значениям проницаемости сходятся к единице. По вспомогательной оси ординат откладывается динамика изменения логарифма функционала. Переход к полулогарифмическим координатам осуществлен для наглядности.

Рис.1. Идентификация полного тензора проницаемости

В подобной постановке не удаются идентификация кы, куу, к^ в случае

газового пласта, идентификация наряду с проницаемости в

вертикальном направлении идентификация компонент тензора проницаемости в вертикальной плоскости полного тензора проницаемости.

В первом случае высокая подвижность и сжимаемость газа не дает модели «прочувствовать» влияние направленности проницаемости. На замеряемые давления в большей степени влияет величина отбора и абсолютные значения проницаемости. Вероятно, уточнение имело бы место при дальнейшем измельчении сетки, повышении точности решения прямой задачи и т.д. Но необходимая точность замеров на скважине в любом случае возможна только при решении гипотетических примеров и недостижима на реальных объектах.

Во втором и третьем случаях адаптированная модель обеспечивает лучшее совпадение динамик расчетных и фактических показателей, чем неадаптированная, однако к исгинным значениям параметров приблизиться не удаётся. Имеются основания говорить о некорректности постановки обратной задачи в смысле неединственности экстремума.

Объем исходной информации и качество решения обратной задачи. Рассмотрены следующие случаи: 1) регистрация единственной кривой падения давления при величине отбора снятие кривой падения давления при отборе и последующей кривой восстановления давления при нулевом отборе; 3) замеры двух пар КПД/КВД: первый раз для величины отбора </, второй раз - для 2 ц\ 4) снятие одной КПД/КВД для величины отбора Зд.

На рис.2 показана динамика отборов для перечисленных вариантов и соответствующие кривые падения/восстановления давления для крайней из скважинных сеточных ячеек.

Исходные данные для решения обратной задачи искусственно зашумлены. Для всех вариантов в качестве шума выступает одна и та же выборка, представляющая собой реализацию случайной величины ^еЛГ(0,о2)- ЛТ(0,0.0544). Величина погрешности, принятая в данном эксперименте, превышает величину погрешности, достижимую при реальных промысловых исследованиях. Так, современные глубинные манометры способны осуществлять замеры с точностью до сотых долей атмосферы (м с/см2).

В данном примере большая погрешность компенсируется количеством замеров на протяжении ствола скважины. На рис.3 изображена динамика «замеряемых» зашумленных давлений, а также давлений, рассчитанных на неадаптированной и адаптированной моделях, по всем семи интервалам замера.

При оценке качества решения обратной задачи по зашумленным данным будем ориентирования на величину отклонения идентифицированных величин от «истинных» значений. В таблице 1 приводятся:

- значения проницаемостей в осях разностной сетки: кы, куу.к^;

- значения проницаемостей в главных осях и угол отклонения главных осей от осей разностной сетки в;

- процентное отклонение величин от истинных значений.

Таблица I. Сравнение «истинный» и идетифнцироааниьн значений

кхх, мД куг, мД кху, мД *|,мД *2,мД в,мД 6*2,% 60, %

Истинные значения 18 18 3 15 21 .785 0 0 0

1 16.23 18.54 2.03 15.05 19.72 1.045 .32 6.08 33.01

II 18.17 1830 3.91 14.33 22.15 .794 4.49 5.46 1.09

111 17.86 18.11 2.66 15.32 20.65 .808 2.15 1.66 2.98

IV 17.88 18.10 2.95 15.03 20.94 .804 0.23 0.29 2.36

Увеличение длительности проводимых исследований благотворно влияет на качество получаемого решения. Однако, с практической точки зрения увеличение длительности исследований связано с ростом затрат на исследования. В качестве альтернативы рекомендуется проводить «встряску» пласта с целью создать большие возмущения давления, а также осуществлять замеры давления с максимально возможной частотой.

Горизонтальная скважина вблизи границы пласта. В данном эксперименте скважина расположена под углом 90" к границе пласта. Длина скважины составляет 360 м. Представлялось, что близкое расположение скважины к границе должно предопределить чувствительность функционала к ориентации осей тензора проницаемости. Считалось достоверно известным направление оси тензора а также соответствующее ей значение вертикальной проницаемости. Уточнению подвергались все три компоненты тензора в горизонтальной плоскости (.^а'^уу'^лу)- В данном случае скважина моделируется тремя сеточными блоками.

Соотвественно, в минимизируемый функционал входят три замера.

Во всех реализациях алгоритма при различных стартовых и истинных значениях наблюдалось уверенное схождение функционала качества к минимуму. Построенное поле функционала обнаружило вид, близкий к квадратичному. Это определило отличную скорость сходимости квазиньютоновских методов.

Чтобы ответить на вопрос о том, на каком расстоянии от границы пласта функционал качества сохраняет столь удобные свойства, проведены расчеты для различных величин этого расстояния: 0 м, 120 м, 240 м, 480 м, 840 м и 1200 м. Первый вариант соответствует случаю, когда скважина примыкает к границе вплотную, последний вариант - случаю максимального удаления скважины от границ пласта, то есть центральному расположению.

В левой части рис. 4 изображено изменение функционала в ходе решения обратной задачи для рассматриваемых вариантов. Как видно, четкая зависимость между расстоянием и скоростью сходимости отсутствует. По этой косвенной

информации можно сделать вывод, что поле функционала теряет свои свойства уже при удалении от границы на треть длины горизонтального участка.

Это же подтверждает вид «замеров» давления в трех скважинных ячейках в момент времени 10 сут, соответствующий окончанию периода эксплуатации на заданном дебите (правая часть рис. 4). Как видно, профиль давления для скважины, примыкающей к границе пласта резко отличается от прочих рассмотренных вариантов.

4-

О-g -4*

-8-12-

О 20 40 60 1 2 3

Итерации обратной задачи Номер скважинной ячейки

[ е О-- 120 ----240— • -460 --- 840-1200]

Рис. 4. Имюиение минимизируемого функционал* (слева) и расчетный профиль давлении на скаажиие а момент времени (=10 сут (справа) для различны* вариантов

Воспроизведение эксперимента Куванышева и Шаймуратова. Цель данного численного эксперимента - решение обратной задачи в постановке Куванышева и Шаймуратова с привлечением методов теории оптимального управления. Ими уточнялись элементы полного тензора проницаемости в 2D-постановке. Использовалась информация об изменении давления во времени, полученная с одной возмущающей вертикальной скважины и трех реагирующих вертикальных скважин, расположенных на разных лучах, исходящих из центра возмущающей скважины.

400

300

>

200

100

0

0 100 200 х 300 400

Рис. 5. Вид сеточной области н расположение скважин для обратной задачи в постановке Куванышева и Шаймураюва.

В оригинальной постановке задача решалась для бесконечного пласта. Нами принимается, что область моделирования ограничена. Нефтяной пласт размерами 415x415x20 м аппроксимируется сеточной областью размерности 19x19x1. Вид сеточной области приведен на рис. 5. Свойства нефти те же, что и в предыдущих экспериментах.

Возмущающая скважина расположена в области максимального сгущения сетки. Она работает 10 сут с постоянным дебитом, в течение следующих 10 сут происходит процесс восстановления давления. Остальные скважины являются реагирующими. При решении сопряженной задачи невязки по реагирующим скважинам берутся с большими весами. Рассматривались задачи по идентификации элементов диагонального и полного тензора проницаемости.

Динамики уточняемых параметров и функционала от номера итерации п приведены в левой части рис. 6 для случая диагонального и в правой - для случая полного тензора проницаемости. Результаты численного эксперимента подтверждают корректность постановки и алгоритма решения задачи во всех вариантах.

4. Особенности проектирования разработки газоконденсагной залежи системами горизонтальных и многозабойных скважин

Современные требования к проектной документации, изложенные в соответствующих регламентирующих документах, предусматривают выполнение прогнозных газогидродинамических расчетов с использованием трехмерных моделей продуктивного пласта. На примере проектирования процесса разработки газоконденсатного месторождения, расположенного в Западной Сибири, делается попытка осветить некоторые вопросы, недостаточно затронутые в литературе.

Месторождение открыто в 1975 году. Вследствие неразвитости газотранспортной инфраструктуры ею разработка не осуществлялась. Продуктивный пласт приурочен к глубинам около минус 2800 м. Площадь

газоносности - 56 км2. Этаж газоносности достигает 47 м. Складка сильно вытянута в плане в субмерпдпанальном направлении. Это предопределяет довольно значительные углы залегания пласта (около 4") на западном и восточном крыльях. Продуктивный пласт сложен плотными терригенными коллекторами. Пористость песчаника находится в пределах 10-14%. Коэффициент проницаемости по керновым данным изменяется от 0.3 до 21 мД, в среднем равняется 7 мД. Начальное пластовое давление - 330 кгс/см2, пластовая температура - 52 "С. Предыдущий проектный документ, устаревший по сроку давности, предусматривал разработку месторождения сорока вертикальными скважинами.

Рассматриваемое месторождение недоизучено и недоразведано, ибо в пределах площади газоносности оказалось всего четыре разведочные скважины. Тем не менее, с использованием всей геолого-геофизической информации, данных исследований скважин и кернов построены 3D геологическая, а затем - 3D-геолого-гидродинамическая сеточная модель продуктивного пласта. 3D сеточная модель имеет размерность 48x212x7 элементарных ячеек. Размеры ячеек в плане составляют 100x100 м. Количество сеточных слоев по вертикали соответствует числу пропластков, выделенных по геолого-геофизическим данным. Водоносный пласт аппроксимирован одним сеточным слоем и описывается опцией Фегковича в программном комплексе ECLIPSE. 3D расчетная модель подвергнута процедуре адаптации к фактическим данным исследования скважин.

Отличительной особенностью обосновываемой технологии разработки является использование горизонтальных добывающих скважин и эксплуатация их при режиме заданного водогазового фактора (не более 0.0005). Это позволило предусмотреть соответствующие технологические решения в системе обустройства промысла. Исследованию были подвергнуты варианты с 8, 10, 12 и 14 горизонтальными скважинами, с длинами псевдогоризонтальных стволов в 500 м. Все скважины располагаются вдоль длинной оси структуры. Также исследованы два варианта с тремя и четырьмя многозабойными скважинами. Длина основного горизонтального ствола - 600 м. Через каждые 100 м от него наклонно вглубь предусматривается бурение шести отводов длиной по 300 м каждый. Общая протяженность стволов многозабойной скважины составляет 2,4 км.

При проведении прогнозных расчетов кроме ограничения по водогазовому фактору учитывались ограничения по устьевому давлению и на минимальный дебит по газу. Если пробуренные скважины при этих ограничениях не обеспечивают проектный отбор в период постоянной добычи, то ограничение на устьевое давление снижается, что соответствует моменту ввода очередной ступени ДКС. Всего в проекте предусмотрено две ступени. Имелись также ограничения сверху на дебиты горизонтальных добывающих скважин, диктуемые системой обустройства промысла.

Локальное измельчение. Во многих проектных документах реализуются 3D сеточные модели с неизменными размерами элементарных ячеек. Однако, ранее была показана необходимость и целесообразность применения неравномерных сеток при наличии подошвенной воды в залежах нефти и газа. Соответствующие рекомендации применительно к рассматриваемому месторождению были учтены за счет использования площадного локального измельчения сетки.

Локальное измельчение неравномерно и по построению подобно использованному ранее для решения задач идентификации. Цель построения данного локального измельчения состоит в том, чтобы максимально точно смоделировать процессы конусообразования. В диссертационной работе показано, что при использовании аналитической модели скважины чрезмерное измельчение может привести к снижению точности решения. Проведение гидродинамических расчетов с помощью ECLIPSE не предусматривает отказа от аналитической модели скважины. Поэтому минимальные размеры сеточных ячеек выбирались с учетом результатов проведенных исследований по построению неравномерных сеточных областей. При моделировании процессов конусообразования измельчение сетки важно не столько в латеральной плоскости, сколько в вертикальной. С тем, чтобы точечный (линейный) характер воздействия скважины передавался, в данном случае, на газо-водяной контакт (ГВК). Поэтому измельченные ячейки задавались от каждой скважины до ГВК.

Рассмотрены два варианта измельчения сетки: 1) только в самих крупных скважинных ячейках; 2) при измельчении сетки до ГВК. Различия в накопленных объемах добытой воды составляют более 10%.

Оценка рисков. В отечественной практике составления проектных документов осуществляется оценка рисков. Однако, она, в основном, касается рисков экономического характера, связанных с ценами на природные углеводороды, непредвиденным изменением капитальных, эксплуатационных затрат.

Не менее, а скорее, более важно оценивать риски от геологических неопределенностей и возможных последствий от некоторых нетрадиционных технологических решений.

В рассматриваемом случае проблемной является ситуация с механизмом проявления водонапорного режима. Согласно недостаточной геологической информации, здесь возможно проявление водонапорного режима как за счет поступления контурной, так и подошвенной воды. Поэтому все указанные выше прогнозные варианты исследованы для двух гипотез поступления пластовой воды в залежь.

Расчеты показывают, что в обоих случаях проект освоения ресурсов газа и конденсата оказывается рентабельным. Степень рентабельности в случае контурного обводнения оказывается выше, чем при поступлении в залежь подошвенной воды.

Исходя из особенностей геологического строения продуктивного пласта, можно высказать следующее предположение. Продуктивный пласт представлен плотным терригенным коллектором. Отличается значительными углами залегания пород, что предопределяет наличие вертикальной трещиноватости. Поэтому, по аналогии с Оренбургским месторождением, на рассматриваемом месторождении будет иметь место обводнение скважин. Однако, влияние водонапорного режима на динамику среднего пластового давления будет небольшим.

Именно по данной причине для скважин месторождения принят технологический режим эксплуатации при заданном водогазовом факторе. Ибо рассчитывать на безводную добычу газа при режиме критических безводных

дебетов не приходится. В этой связи немаловажное значение имеет обоснование и задание самой величины допустимого водогазового фактора.

Кроме значения водотазового фактора, равного 0.0005, рассмотрен вариант со значением данного фактора, равным 0.005 (5 м3 воды на тысячу кубометров добываемого газа). Увеличение водогазового фактора благоприятно сказывается на дополнительной добыче газа, соответственно и конденсата.

Эффективность многозабойных скважин. Среди вариантов с горизонтальными скважинами на основе технико-экономических расчетов и технологических соображений предпочтение было отдано варианту с 10 скважинами. По отношению к первоначальному проектному документу потребное число скважин удалось сократить в четыре раза. Именно данное обстоятельство увеличило инвестиционную привлекательность разработки месторождения с относительно небольшими запасами газа и конденсата и неразвитой инфраструктурой.

Современные достижения в области горизонтального бурения позволяют оценивать эффективность применения разветвленных многозабойных скважин. Поэтому исследованию подвергнуты варианты с 3 и 4 многозабойными скважинами. Из общих представлений ожидалось, что один из этих вариантов окажется наилучшим среди всех рассмотренных. Результаты прогнозных расчетов приводят к нетривиальным выводам.

Действительно, многозабойные скважины обеспечивают кратно большие дебиты и объемы накопленной добычи газа по сравнению с горизонтальными скважинами. В результате и 3, и 4 многозабойные скважины могут обеспечивать проектные уровни отборов по месторождению в целом

Однако, по ряду важных позиций варианты с многозабойными скважинами проигрывают варианту, например, с 10 горизонтальными скважинами.

Анализ показывает, что в случае трех многозабойных скважин период постоянной добычи газа сокращается почти на 3 года по сравнению с 10 горизонтальными скважинами. В случае четырех многозабойных скважин раньше, чем в других вариантах, достигается уровень нулевого отбора газа.

Повышенные дебиты многозабойных скважин и значительная их рассредоточенность на площади газоносности приводят к формированию довольно глубоких локальных депрессионных воронок. Это, с одной стороны, ускоряет процесс обводнения таких скважин. С другой стороны, раньше наступает момент нерентабельных дебитов, вследствие пониженных пластовых давлений в обласги дренирования. В случае возможного продвижения в залежь подошвенной воды преимущества вариантов с горизонтальными скважинами оказываются ещё большими.

В результате из совокупности исследованных вариантов пришлось отдать предпочтение варианту с 10 горизонтальными скважинами. Такой вывод автором не рассматривается в качестве абсолютного, так как при иных геолого-физических исходных данных многозабойные скважины могут проявить свою эффективность.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Создан и профаммно реализован алгоритм решения уравнения трехмерной однофазной фильтрации с учетом полного тензора проницаемости. Предложены и обоснованы способ явной аппроксимации скважин сеточными ячейками и соответствующая ему модификация формулы Писмена для случая полного тензора проницаемости.

Создан и профаммно реализован алгоритм идентификации элементов полного тензора проницаемости по данным гидродинамических исследований в случае однофазной фильтрации. Алгоритм базируется на методах теории оптимального управления. Исследованы особенности поведения методов гладкой оптимизации для данного класса задач, даны рекомендации по их применению.

Алгоритм протестирован на задачах интерпретации результатов гидродинамических исследований горизонтальных скважин. Рассмотрены варианты постановки исследований на одиночной горизонтальной скважине, позволяющие уточнить и главные оси, и главные значения тензора проницаемости. Исследовано влияние объема исходной информации на скорость и качество сходимости.

Применительно к разработке месторождений, подобных рассмотренному в диссертационной работе, заслуживает предпочтения технология добычи на основе горизонтальных скважин, эксплуатируемых при режимах заданного водогазового фактора.

При соответствующих прогнозных расчетах и обосновании технологических решений целесообразны локальное измельчение сетки, а также оценки рисков от геологической и технологической неопределенностей.

Эффективность применения многозабойных скважин недостаточно оценивать на основе сопоставления показателей их эксплуатации с данными по вертикальным или горизонтальным скважинам. Необходимо исследование их результативности в системе разработки месторождения в целом.

Приведенные результаты исследований вошли составной частью в Технологическую схему разработки месторождения, утвержденную ЦКР Минэнерго РФ (протокол N 12-Г /2003 от 18.12.2003)

Основные результаты исследований опубликованы в следующих работах.

1. Баишев Р.В. Особенности ЗБ-моделирования процесса разработки газоконденсатной залежи. Газовая промышленность, 2004 №7, с. 37-39.

2. Баишев Р.В. Особенности разработки газоконденсатной залежи на основе горизонтальных и многозабойных скважин. Тезисы докладов IV международного семинара "Горизонтальные скважины", Москва, 23-24 ноября 2004 г., с. 73.

3. Баишев Р.В. Горизонтальная скважина в анизотропном пласте. Материалы международной конференции "Фундаментальные проблемы разработки нефтегазовых месторождений добычи и транспортировки углеводородного сырья", Москва, 24-26 ноября 2004 г., с.140-141.

4. Баишев Р.В. Обратные задачи теории фильтрации в случае полною тензора проницаемости. Автоматизация, телемеханизация и связь в нефтяной промышленности, 2005 № 1, с. 13-17.

5. Баишев Р.В., Закиров С. Н. К вопросу о моделировании скважин. Нефтепромысловое дело, 2005 №3, с. 11-15.

Подписано в печать Формат 60x90/16

Объем Тираж (00

Заказ 62.0

119991, Москва, Ленинский просп. ,65 Отдел оперативной полиграфии РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина

15 ПЮЛ 2CG5 ;

Введение

Глава 1. Обзор предшествующих исследований. Обоснование тематики работы

1.1. Исследования скважин при стационарных режимах.

1.2. Исследования скважин при нестационарных режимах.

1.3. Оценка анизотропии проницаемости по данным ГДИС.

1.4. Методы решения обратных задач на основе функционала качества.

1.5. Моделирование пластовых систем с полным тензором проницаемости.

1.6. Аналитические модели скважин.

1.7. Обоснование тематики диссертационной работы.

Глава 2. Прямая задача теории фильтрации с учетом полного тензора проницаемости.

2.1. Разностное представление дифференциальных уравнений фильтрации в анизотропных коллекторах.

2.2. Метод решения системы нелинейных уравнений.

2.3. Метод решения системы линейных уравнений.

2.4. Переменный шаг по времени.

2.5. Моделирование скважин.

2.6. Сравнение с результатами расчетов на ECLIPSE.

2.7. Выводы.

Глава 3. Обратная задача теории фильтрации с учетом полного тензора проницаемости.

3.1. Решение обратной задачи методами теории оптимального управления.

3.2. Алгоритм решения задачи идентификации.

3.3. Методы оптимизации.

3.4. Расчётные соотношения обратной задачи в упрощенной постановке.

3.5. Особенности обратной задачи в случае полного тензора проницаемости.

3.6. Сопряженная система.

3.7. Функциональные производные.

3.9. Задача для вариаций.

3.10. Уравнение скважины в алгоритме решения обратной задачи.

3.11. Параметризация уравнений.

3.12. Ограничения на собственные значения тензора проницаемости.

3.13. Задача идентификации в случае известных главных осей тензора.

3.14. Численные эксперименты.

3.15. Выводы.

Глава 4. Особенности проектирования разработки газоконденсатной залежи системами горизонтальных и многозабойных скважин.

4.1. Краткая характеристика месторождения.

4.2. 3D модель месторожения.

4.3. Характеристика исследованных вариантов.

4.4. Локальное измельчение сетки.

4.5. Оценка геологических и технологических рисков.

4.6. Эффективность многозабойных скважин.

4.7. Выводы.

Актуальность тематики исследований

Современная методология проектирования разработки месторождений природных углеводородов представляет собой сложный научно-технологический процесс. Она объединяет методы геологии, геофизики, гидродинамики, экономики, техники и технологии добычи нефти и газа и так далее. Конечная цель проектной работы заключается в том, чтобы с учетом технико-экономических исследований обосновать оптимальную систему разработки месторождения. То есть обосновать потребное количество скважин, их тип, размещение и режимы эксплуатации, методы повышения нефте-, газо- и конденсатоотдачи, спланировать систему сбора и первичной переработки углеводородов. С этой целью в современной теории и практике разработки осуществляются прогнозные расчеты на многомерных, многофазных моделях месторождения. Точность таких прогнозов не может быть выше точности исходных данных.

Известно, что информация об объекте разработки всегда является недостаточной. Поэтому 3D модель месторождения должна быть постоянно действующей, непрерывно обновляемой и адаптируемой на основании поступающей информации о ходе разработки. Тогда корректировка параметров модели приводит к уточнению прогнозных показателей разработки и проектных технологических решений.

Процессы, происходящие в продуктивных пластах, скрыты от наблюдателя. Представление об этих процессах составляется в результате изучения реакции месторождения на процесс его разработки. Большая доля информации, на основании которой уточняется модель залежи, приходится

I < на гидродинамические исследования: показатели разведочных, эксплуатационных, нагнетательных и наблюдательных скважин.

По мере развития теории разработки создаваемые 3D модели месторождений постоянно совершенствуются. От изотропных пористых сред теория фильтрации переходит ко все более точному учету анизотропии коллекторских свойств пласта. На повестку дня встают задачи теории фильтрации с учетом полного тензора проницаемости. В такой постановке задачи оси тензора проницаемости не совпадают с осями ориентации 3D реализуемой сетки. При этом структура решаемых уравнений существенно усложняется. Средств автоматической адаптации подобных моделей не существует.

В наши дни научно-технологический прогресс привел к широкому внедрению горизонтальных и многоствольных скважин. Показатели притока флюидов к таким скважинам принципиально отличаются от случая вертикальных скважин. Вопросы сеточного моделирования таких скважин и интерпретации результатов их гидродинамических исследований изучены не до конца. На сегодня не вполне ясны области применения многозабойных скважин.

Поэтому актуальной является задача автоматического адаптационного алгоритма для сеточных моделей с диагональным и полным тензором проницаемости. Не менее важны постановки гидродинамических исследований горизонтальных скважин, дающие информацию о показателях анизотропии фильтрационных свойств. Заслуживают внимания исследования по выявлению эффективности использования многозабойных скважин.

Цель работы

Цели работы заключаются в обосновании постановки гидродинамических исследований на скважине, дающих информацию о направленной проницаемости; создании и программной реализации алгоритма идентификации направленной проницаемости; изучении специальных вопросов сеточного моделирования горизонтальных и многозабойных скважин, а также выявлении области их предпочтительного применения.

Основные задачи исследования

Разработка и программная реализация алгоритмов решения прямой и обратной задач теории фильтрации с учетом полного тензора проницаемости.

Выявление условий гидродинамических исследований скважин, по результатам которых возможно уточнение направленной проницаемости.

Обоснование принципов сеточного моделирования скважин, включая случай учета полного тензора проницаемости.

Изучение результативности разработки залежей углеводородов с использованием горизонтальных и многозабойных скважин.

Методы решения поставленных задач

Для решения 3D дифференциального уравнения неустановившейся фильтрации пластового флюида в анизотропной среде используются конечно-разностные методы и численные методы линейной алгебры. Алгоритм решения обратной задачи основывается на методах теории оптимального управления и методах нелинейного программирования. Обоснование практически значимых выводов основывается на постановке соответствующих математических экспериментов

Научная новизна

Предложены и программно реализованы алгоритмы решения прямой и обратной задач 3D неустановившейся однофазной фильтрации с учетом полного тензора проницаемости.

Впервые, с использованием методов теории оптимального управления, разработана методика определения полного тензора проницаемости на основе интерпретации данных гидродинамических исследований скважин и пластов.

Впервые показана возможность уточнения направленной проницаемости пласта по результатам исследования одиночной скважины.

Обоснованы принципы сеточного моделирования скважин, включая случай учета полного тензора проницаемости.

На основе математических экспериментов показана нецелесообразность применения многозабойных скважин на конкретном газоконденсатном месторождении Б.

Практическая значимость

Созданный программный комплекс решения обратных задач позволяет интерпретировать результаты гидродинамических исследований скважины с целью определения полного тензора проницаемости.

В результате математических экспериментов выявлены условия гидродинамических исследований горизонтальных скважин, позволяющие находить параметры диагонального или полного тензора проницаемости.

Предложенные принципы сеточного моделирования скважин повысят точность расчетов при секторном моделировании, а также компьютерной интерпретации результатов исследований скважин.

На примере моделирования процесса разработки конкретного газоконденсатного месторождения Б. показана недостаточная эффективность, вопреки устоявшимся воззрениям, применения многозабойных горизонтальных скважин.

Защищаемые положения

Алгоритм решения прямых и обратных задач теории фильтрации в 3D однофазной постановке.

Обоснование постановок ГДИС (гидродинамических исследований скважин) на одиночной скважине, допускающих уточнение проницаемости, анизотропной по направлению.

Выявленные особенности показателей разработки газоконденсатной залежи с использованием горизонтальных и многозабойных скважин.

Внедрение результатов исследований

Результаты исследований автора вошли в состав Технологической схемы разработки газоконденсатного месторождения Б, которая утверждена ЦКР Минэнерго РФ (протокол N 12-Г /2003 от 18.12.2003)

Апробация работы

Основные результаты исследования доложены на следующих конференциях и семинарах:

IV международный семинар «Горизонтальные скважины» (Москва, РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина, 23-24 ноября 2004 г.)

Международная конференция «Фундаментальные проблемы разработки нефтегазовых месторождений, добычи и транспортировки углеводородного сырья» (Москва, РАН, 24-26 ноября 2004 г.) на семинарах лаборатории газонефтеконденсатоотдачи ИПНГ РАН и кафедры прикладной математики РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина.

Публикации

По результатам исследования опубликовано 5 работ, в том числе 2 статьи без соавторов и 2 тезиса докладов [4-8].

Благодарности

Автор глубоко признателен научному руководителю к.т.н., доц. Э. Чен-Син, проф. С. Н. Закирову, д.т.н. Э. С. Закирову за ценные консультации по вопросам моделирования пластовых систем и оптимального управления. Автор также благодарен сотрудникам кафедры прикладной математики РГУ нефти и газа им. И.М.Губкина, лаборатории газонефтеконденсатоотдачи ИПНГ РАН и отдела разработки ВолгоУралНИПИгаз за обсуждение работы и полезные советы.

4.7. Выводы

Применительно к разработке месторождений, подобных рассматриваемому, заслуживает предпочтения технология добычи на основе горизонтальных скважин, эксплуатируемых при режимах заданного водогазового фактора,

При соответствующих прогнозных расчетах и обосновании технологических решений целесообразны локальное измельчение сетки, а также оценки рисков от геологической и технологической неопределенностей.

Эффективность применения многозабойных скважин недостаточно оценивать на основе сопоставления показателей их эксплуатации с данными по вертикальным или горизонтальным скважинам. Необходимо исследование их результативности в системе разработки месторождения в целом.

Приведенные результаты исследований вошли составной частью в Технологическую схему разработки месторождения Б., утвержденную ЦКР Минэнерго РФ (протокол N 12-Г /2003 от 18.12.2003)

1. Абасов М.Т., Азимов Э.Х., Кулиев A.M., Мамиев Г.С., Султанов Т.М. Методика обработки результатов исследования скважин методом установившихся отборов. Нефтяное хозяйство, №1 1974, с. 35-39.

2. Азиз X., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. М.: Недра, 1982, 407 с. Пер. с англ.

3. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. М. Мир, 1982, 583 с. Пер. с англ.

4. Баишев Р.В. Особенности ЗЭ-моделирования процесса разработки газоконденсатной залежи. Газовая промышленность, №7 2004, с. 37-39.

5. Баишев Р.В. Особенности разработки газоконденсатной залежи на основе горизонтальных и многозабойных скважин.Тезисы докладов IV международного семинара "Горизонтальные скважины", с. 73. Москва, 23-24 ноября 2004 г.

6. Баишев Р.В. Горизонтальная скважина в анизотропном пласте. Материалы международной конференции "Фундаментальные проблемы разработки нефтегазовых месторождений добычи и транспортировки углеводородного сырья". Москва, 24-26 ноября 2004 г. с. 140-141.

7. Баишев Р.В. Обратные задачи теории фильтрации в случае полного тензора проницаемости. Автоматизация, телемеханизация и связь в нефтяной промышленности, №1 2005, с. 13-17.

8. Баишев Р.В., Закиров С.Н. К вопросу о моделировании скважин. Нефтепромысловое дело, №3 2005.

9. Баренблатт Г.И., Борисов Ю.П., Каменецкий С.Г., Крылов А.П. Об определении параметров нефтеносного пласта по данным о восстановлении давления в остановленных скважинах. Изв. АН СССР, Отд. техн. н., №11, 1957,

10. Баренблатт Г.И., Максимов В.А. О влиянии неоднородностей наопределение параметров нефтеносного пласта по данным нестационарногопритока к скважинам. Изв. АН СССР, ОТН, № 7, 1958, с. 49-55156

11. Басниев К.С., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидромеханика. М.: Недра, 1993,416 с.

12. Басниев К.С., Хайруллин М.Х., Шамсиев М.Н., Садовников Р.В., Гайнетдинов P.P. Интерпретация результатов газогидродинамических исследований вертикальных скважин. Газовая промышленность, №3, 2001. с.41-42

13. Блинов А.Ф. Влияние сепарации газа в стволе скважины после ее закрытия на процесс восстановления давления. Труды ТатНИИ, Вып. 3, 1961. с. 195-204

14. Блинов А.Ф. Определение параметров призабойной зоны нагнетательных скважин по кривым восстановления давления. Труды ТатНИИ, Вып. 3, 1961. с. 181-194

15. Борисов Ю.П. Определение параметров пласта при исследовании скважин на неустановившихся режимах с учетом продолжающегося притока жидкости. Тр. ВНИИ, вып. XIX, М.: Гостоптехиздат, 1959. с. 115-133.

16. Вахитов Г.Г. Решение задач подземной гидродинамики методом конечных разностей. Труды ВНИИНефть, вып. 10. Гостоптехиздат, 1957. с. 53-58

17. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985, 511с. Пер. с англ.

18. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999. 548 с. Пер.с англ.

19. Дмитриев Н.М. Модели анизотропных сред. Часть I. РГУ нефти и газа, 1999. 64 с.

20. Желтов Ю.П. О восстановлении давления при различной проницаемости пласта в призабойной зоне вдали от скважины. Труды Института нефти АН СССР, Том 11, 1958, с. 184-192.

21. Закиров И.С. Уточнение модели пласта по фактическим данным разработки месторождения. Геология нефти и газа, № 11, 1997. с. 43-48

22. Закиров И.С., Закиров Э.С. Регулирование разработки месторождений природных углеводородов. Газовая промышленность, N7, 1997, с. 68-71

23. Закиров С.Н. и др. Совершенствование технологий разработки месторождений нефти и газа. Изд. Грааль, 2000, 643 с.

24. Закиров С.Н. Разработка газовых, газоконденсатных и нефтегазоконденсатных месторождений. М.: "Струна", 1998. 628 с.

25. Закиров С.Н., Васильев В.И., Гутников А.И., Коршунова Л.Г., Колбиков С.В. Прогнозирование и регулирование разработки газовых месторождений. М.: Недра, 1984. 295 с.

26. Закиров С.Н., Закиров Э.С., Закиров И.С., Баганова М.Н., Спиридонов А.В. Новые приципы и технологии разработки месторождений нефти и газа. М.: 2004. 520 с.

27. Закиров С.Н., Лапук Б.Б. Проектирование и разработка газовых месторождений. М.: Недра, 1974., 376 с.

28. Закиров С.Н., Сомов Б.Е., Гордон В.Я., Палатник Б.М., Юфин П.А. — Многомерная и многокомпонентная фильтрация: Справочник. — М.: «Недра», 1988. 335 с.

29. Закиров Э.С. Горизонтальные и вертикальные скважины в системах поддержания пластового давления в слоисто-неоднородных коллекторах. Газовая промышленность, №7-8, 1996, с.55-57

30. Закиров Э.С. Горизонтальные скважины в слоисто-неоднородных коллекторах. Газовая промышленность, №5-6, 1996, с.71-73

31. Закиров Э.С. Трехмерные многофазные задачи прогнозирования, анализа и регулирования разработки месторождений нефти и газа. М.: Грааль, 2001. 303 с.

32. Зорич В.А. Математический анализ, часть I. М.: Наука, 1981, 544 с.

33. Зорич В.А. Математический анализ, часть II. М.: Наука, 1984, 640 с.

34. Зотов Г.А., Тверковкин С.М. Газогидродинамические методы исследования газовых скважин. М.: Недра, 1970, 191 с.

35. Индрупский И.М. Новые подходы к исследованию нефтяных скважин и интерпретации получаемых данных. Дисс. канд. техн. наук. М.: ИПНГ РАН, 2004. 142 с.

36. Инструкция по комплексному исследованию газовых и газоконденсатных скважин. М.: Недра, 1971, 208 с.

37. Каневская Р.Д. Математическое моделирование гидродинамических процессов разработки углеводородов. М. Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 128 с.

38. Карнаухов M.JI. Методика интерпретации диаграмм давления, получаемых при испытании скважин. Нефтяное хозяйство, №3 1980, с. 47-50.

39. Коренев В. Г. Тензорное исчисление. М.: МФТИ, 2000. 240 с.

40. Коротаев Ю.П., Зотов Г.А. О форме индикаторных кривых скважины, вскрывшей несколько продуктивных горизонтов. Тр. ВНИИгаз, вып. 18/26, М.: Гостоптехиздат, 1963 с. 97-104

41. Коротаев Ю.П., Зотов Г.А., Абрамова Е.С. Практическая методика и примеры обработки кривых нарастания давления в газовых скважинах. Тр. ВНИИгаз, вып. 18/26, М. Гостоптехиздат, 1963. с. 142-163

42. Куванышев У.П., Шаймуратов Р.В. Определение ориентации главных направлений проницаемости анизотропного пласта. Тр. ТатНИИ. JI. Недра, 1965, вып. 8. с 420-424.

43. Лапук Б.Б. Теоретические основы разработки месторождений природных газов. М. Ижевск, 2002. 296 с.

44. Лейбензон Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. М.-Л. ОГИЗ. 1947. 244 с

45. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. М.-Л.: Гостоптехиздат, 1949, 628 с. Перевод с англ.

46. Минский Е.М., Коротаев Ю.П., Зотов Г.А. Приближенное решение задачи об установившейся фильтрации реальных газов. Тр. ВНИИгаз, вып. 18/26, М.: Гостоптехиздат, 1963 с. 105-113

47. Муслимов Р.Х., Хайруллин М.Х., Садовников Р.В., Шамсиев М.Н., Морозов П.Е., Фархуллин Р.Г., Хисамов Р.С., Интерпретация результатов гидродинамических исследований горизонтальных скважин. Нефтяное хозяйство, №10 2002, с. 74-75.

48. Муслимов Р.Х., Хайруллин М.Х., Шамсиев М.Н. и др. — Интерпретация кривой восстановления давления на основе теории регуляризации. Нефтяное хозяйство, №9 1999, с. 19-20.

49. Муслимов Р.Х., Хисамов Р.С., Фархуллин Р.Г., Хайруллин М.Х., Садовников Р.В., Шамсиев М.Н., Морозов П.Е. Гидродинамические исследования горизонтальных скважин. Нефтяное хозяйство, №7 2003, с. 74-75.

50. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М.: Мир, 1988. Пер. с англ.

51. Рахматуллин В.У., Потапов А.П. Об одной задаче восстановления давления. Нефтяное хозяйство, №3 2001. с. 56-58

52. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967. 664 с.

53. Руководство по исследованию скважин / Гриценко А.И., Алиев З.С., Ермилов О.М., Ремизов В.В., Зотов Г.А. М.: Наука, 1995, 523 с.

54. Толстов Ю. Г. Применение метода электрического моделирования физических явлений к решению некоторых задач подземной гидравлики. Журнал технической физики, том XII, вып. 10, 1942. с. 20-25

55. Требин Ф.А., Борисов Ю.П., Мухарский Ж.Д. К определению параметров пласта по кривым восстановления давления с учетом притока жидкости в скважину после её закрытия. Нефтяное хозяйство, №8 1958, с. 38-46, №9 1958, с 40-47

56. Требин Ф.А., Щербаков Г.В., Яковлев В.П., Гидромеханические методы исследования скважин и пластов. М.: Недра, 1965, 276 с.

57. Хайруллин М.Х. — Численные методы решения обратных коэффициентных задач подземной гидромеханики. Докторская диссертация.- Инст. механ. и машиностр. Казан, научн. центра РАН, ГАНГ им. И. М. Губкина, 1993.

58. Чарный И.А. Определение некоторых параметров пласта при помощи кривых восстановления забойного давления. Нефтяное хозяйство, №3 1955, с. 40-48.

59. Чарный И.А., Умрихин И.Д. Об одном способе определения параметров пластов по наблюдениям неустановившегося режима притока к скважинам. Изд. Мин. высш. образ. СССР, МНИ им. И.М.Губкина, 1957, 47 с.

60. Чекалюк Э.Б. Метод определения физических параметров пласта. Нефтяное хозяйство, №11, 1958, с. 42-48.

61. Черных В.А. Гидрогазодинамика горизонтальных газовых скважин. М.: ООО «ВНИИГАЗ», 1999, 190 с.

62. Черных В.А. Методика обработки результатов гидродинамических исследований горизонтальных газовых скважин. М.: ООО «ВНИИГАЗ», 1999, 59 с.

63. Шаймуратов Р.В. Гидродинамика нефтяного трещиноватого пласта. М.: Недра, 1980 223 с.

64. Щелкачёв В.Н. Гидродинамический анализ одного из методов определения потенциальных и оптимальных возможностей скважин. Нефт. пром. СССР, №6, 1940, с. 52-56.

65. Щелкачев В.Н. Упругий режим пластовых водонапорных систем. Гостоптехиздат, 1949. 144с.

66. Яковлев В.П. Исследование скважин аппаратом Яковлева. Грозный-Москва: ОТП, 1936.48 с.

67. Aavatsmark I, Barkve Т., Вое О., Mannseth Т. Discretisation on non-orthogonal, curvilinear grid for multi-phase flow. Paper presented at the 4th

68. European Conference on the Mathematics of Oil Recovery, Roros, Norway, 7-10 June, 1994.

69. Aavatsmark I, Barkve Т., Вое О., Mannseth Т. Discretization on non-orthogonal, quadrilateral grids for inhomogeneous, anisotropic media. J. Comput. Phys. 127, 2-14 (1996)

70. Aavatsmark I, Barkve Т., Вое О., Mannseth Т. Discretization on unstructured grids for inhomogeneous, anisotropic media. Part I: derivation of the methods. SIAM Journal on Scientific Computing 19 (1998), 1700-1716.

71. Aavatsmark I, Barkve Т., Вое О., Mannseth Т. Discretization on unstructured grids for inhomogeneous, anisotropic media. Part II: discussion and numerical results. SIAM Journal on Scientific Computing 19 (1998), 1717-1736.

72. Aavatsmark I, Barkve Т., Mannseth T. Control-Volume Discretization Methods for 3D Quadrilateral Grids in Inhmogeneous, Anisotropic Reservoirs. SPE 38000, SPE Journal 3 (1998), 146-154.

73. Abou Kassem J.H., Aziz K. Analytical well models for reservoir simulation. SPE Journal, Aug. 1985, p. 573-579

74. Babu D.K. Author's reply to discussion of productivity of horizontal well. SPE Reservoir Engineering, May 1995, p. 230. SPE Paper 31035

75. Babu D.K., Odeh A.S. Author's reply to discussion of productivity of horizontal well. SPE Reservoir Engineering, Feb. 1991, p. 148. SPE Paper 21623.

76. Babu D.K., Odeh A.S. Author's reply to discussion of productivity of horizontal well. SPE Reservoir Engineering, May 1990, p. 253. SPE Paper 20307.

77. Babu D.K., Odeh A.S. Author's reply to discussion of productivity of horizontal well. SPE Reservoir Engineering, May 1990, p. 256. SPE Paper 20403.

78. Babu D.K., Odeh A.S. Author's reply to discussion of productivity of horizontal well. SPE Reservoir Engineering, Nov. 1992, p. 454. SPE Paper 25408

79. Babu D.K., Odeh A.S. Author's reply to further discussion of productivity of horizontal well. SPE Reservoir Engineering, Feb. 1991, p. 151-152. SPE Paper 21624.

80. Babu D.K., Odeh A.S. Author's reply to further discussion of productivity of horizontal well. SPE Reservoir Engineering, May 1990, p. 438. SPE Paper 21307.162

81. Babu D.K., Odeh A.S. Author's reply to further discussion of productivity of horizontal well. SPE Reservoir Engineering, May 1993, p. 161. SPE Paper 26281

82. Babu D.K., Odeh A.S. Productivity of a horizontal well. Appendices A and B. Unsolicited SPE Paper 18334

83. Babu D.K., Odeh A.S. Productivity of a horizontal well. SPERE Nov. 1989, p. 417-421. SPE Paper 18298

84. Babu D.K., Odeh A.S., Al-Khalifa A.J., McCann R.C. The relation between wellblock and wellbore pressures in numerical simulation of horizontal wells. Unsolicited SPE Paper 20161, Oct. 1989

85. Bringham W.E. Discussion of productivity of a horizontal well. SPE Reservoir Engineering, May 1990, p. 254-255. SPE Paper 20394

86. Chang M. M., Tomutsa L., Tham M.K. Predicting Horizontal/Slanted Well Production by Mathematical Modeling. SPE Paper 18854 presented at the SPE Production Operations Symposium held in Oklahoma City, Oklahoma, March 1314,1989.

87. Chavent G, Dupuy M, Lemmonier P. History matching by use of optimal theory. SPEJ, Feb. 1976, p. 74-86. SPE Paper 4627 first presented at the SPE-AIME 48th Annual Fall Meeting, Las Vegas, Nevada, Sept. 30-0ct.3,1973

88. Chen G., Tehrani D.H., Peden J.M. Calculation of well productivity in a reservoir simulator. SPE Paper 29121 presented at the 13th SPE Symposium on reservoir simulation. San Antonio, Feb. 12-15,1995

89. Chen W.H., Gavalas G.R., Seinfeld J.H., Wasserman M.L. A new algorithm for automatic history matching. SPEJ, Dec. 1974, p. 593-608. OSEA Paper 94006 presented at he 10th Offshore South East Asia Conference, 6-9 Dec. 1994, Singapore

90. Coats K.H, Modine A.D. A consistent method for calculating transmissibilities in nine-point difference equations. SPE Paper 12248 presented at the Reservoir Simulation Symposium held in San Fransicso, CA, Novermber 15-18,1983.

91. Coats K.H., Dempsey J.R. A new technique for determining reservoir description from field performance data. SPE Paper 2344. SPE Journal, 1/1970. p. 66-75

92. Coats K.H., George W.D., Chu C., Marcum B.E. Three-Dimensional Simulation of Steamflooding. SPE Journal, Dec. 1974, p. 573-592

93. Dietrich J.K. Discussion of productivity of a horizontal well. SPE Reservoir Engineering, Aug. 1995, p. 229. SPE Paper 31025

94. Ding Y., Renard G. A new representation of wells in numerical reservoir simulation. SPERE, May 1994, p. 140. SPE Paper 25248

95. Ding Yu, Renard D., Weill L. Representation of wells in numerical simulation SPE Paper 29123 presented at the 13th SPE Symposium on Reservoir Simulation held in San Antonio, TX, U.S.A., 12-15 February 1995.

96. ECLIPSE: Technical Description. Version 2003A. Schlumberger-Geoquest.

97. Edwards M.G. Control-volume distributed sub-cell flux schemes for unstructured and flow based grids. SPE Paper 79710 prepared for presentation at the SPE Reservoir Simulation Symposium held in Houston, Texas, U.S.A., 3-5 February 2003.

98. Edwards M.G., Rogers C.F. A flux continuois scheme for the full tensor pressure equation. Proceedings of the 4th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery, Roros, Norway 1994

99. Ertekin Т., Abou-Kassem J. H., King G. R. Basic Applied Reservoir Simulation. - Richardson, Texas.: Henry L. Doherty Memorial Fund of AIME SPE.-2001.-395 с

100. Gillman J.R. Discussion of productivity of a horizontal well. SPE Reservoir Engineering, Feb. 1991, p. 147-148. SPE Paper 21610

101. Goode P.A., Kuchuk F.J. Inflow performance of horizontal wells. Unsolicited SPE Paper 21460.

102. Head E.L., Bettis F.E. Reservoir anisotropy determination with multiple probe pressures. SPE Paper 26048. JPT, Dec. 1993, p.1177 1184

103. Hirasaki G.J. Pulse tests and other early transient pressure analyses for in-situ estimation of vertical permeability. SPE Paper 4055. SPE Journal, Feb.1974. p.75-90

104. Home R.N Advances in computer-aided well-test interpretation. SPE Paper 24731. JPT, July 1995. p. 599-606

105. Horner D.R. Pressure build-up in wells. Proc Third World Pt. Congr. Sect 11, 503. Leiden, Holland. 1951

106. King M.J, Mansfield M. Flow Simulation of Geologic Models (revised). SPE Reservoir Eval. & Eng., Vol.2, No. 4, August 1999. SPE Paper 57469

107. King M.J., Mansfield M. Flow Simulation of Geologic Models. SPE Paper 38877, first presented at the 1997 SPE Annual Technical Conference and Exhibition, 5-8 October

108. Landa J.L., Kamal M.M, Jenkins C.D. Reservoir characterization constrained to well test data: a field example. SPE Paper 36511 presented at the 1996 SPE Annual Technical Conference and Exhibition held in Denver, Colorado, USA, Oct. 6-9 1994.

109. Lee S. H Analysis Of Productivity of Inclined Wells and Its Implication on Finite Difference Reservoir Simulation. SPE Paper 16002 presented at the SPE-AIME 9th Symposium on Reservoir Simulation, San Antonio, February 1-4,1987

110. Lee S.H., Durlofsky L.J., Lough M.F., Chen W.H. Finite difference simulation of geologically complex reservoirs with tensor permeabilities. SPE165

111. Paper 38002 presented a the 1997 SPE Reservoir Simulation Symposium held in Dallas, TX, 8-11 June 1997.

112. Lee S.H., Milliken W.J. The Productivity Index of an Inclined Well in Finite-Difference Simulation presented at the SPE-AIME 12th Symposium on Reservoir Simulation, New Orleans, Feb. 28 Mar. 3,1993

113. Mochizuki, S. Well Productivity for Arbitrarily Inclined Well. SPE Paper 29133. Presented at the 13th SPE Symposium on Reservoir Simulation held in San Antonio, TX, U.S.A., 12-15 February 1995.

114. Odeh A.S., Babu D.K. Transient flow behavior of horizontal wells: pressure drawdown and buildup analysis. SPE Paper 18802. SPE Formation Evalution, March 1990. p. 7-15

115. Peaceman D.W. Discussion of productivity of a horizontal well. SPE Reservoir Engineering, May 1990, p. 252-253. SPE Paper 20306

116. Peaceman D.W. Further discussion of productivity of a horizontal well. SPE Reservoir Engineering, August 1990, p. 437-438. SPE Paper 20799

117. Peaceman D.W. Further discussion of productivity of a horizontal well. SPE Reservoir Engineering, Feb. 1991, p. 149-150. SPE Paper 21611

118. Peaceman D.W. Interpretation of well-block pressures in numerical reservoir simulation part 3: some additional well geometries. SPE Paper 16976 presented at the 62nd Annual Technical Conference of the SPE, Dallas, Sep. 27-30,1987

119. Peaceman D.W. Representation of a horizontal well in numerical reservoir simulation. SPE Paper 21217 prepared for presentation at the 11th SPE Symposium on Reservoir Simulation held in Anaheim, CA, USA, Feb. 17-20, 1991

120. Peaceman, D. W. Interpretation of well-block pressures in numerical simulation. SPE Paper 6893, first presented at the SPE-AIME 52nd Annual Fall Technical Conference and Exhibition, held in Denver, Oct. 9-12,1977.166

121. Ramirez F.W. Application of optimal control theory to enhanced oil recovery. Elsevier, 1987. Development in Petroleum Science, 21 243 p.

122. Schwabe K., Brand J. Prediction of reservoir behavior using numerical simulators. SPE Paper 1857 presented at the SPE-AIME 42nd Annual Fall Meeting, Houston, Oct. 1-4,1967

123. Shiralkar G. S. Reservoir simulation of generally anisotropic systems. SPE Reservoir Engineering, Aug. 1990. SPE Paper 18442

124. Shiralkar G. S., Stephenson R.E. A general formulation for simulating physical dispersion and a new nine-point scheme. SPE Paper 16975 presented at the 1987 SPE Annual Technical Conference and Exhibition, Dalls, Sept. 27-30

125. Shiralkar G.S. Calculation of flowing well pressures in reservoir simulation using nine-point differencing. J.Cdn.Pet.Tech, Nov. 1989, 28, No. 6. p.73-82.

126. Su, H.J. Modelling of off-center wells in reservoir simulation, SPE Paper 25275 presented at the SPE-AIME 12th symposium on reservoir simulation, new Orleans, Feb. 28 Mar. 3,1993

127. Suprunowicz R., Butler R.M. Discussion of productivity of a horizontal well. SPE Reservoir Engineering, Nov. 1992, p. 453-454. SPE Paper 25295

128. Walls J.R. Incomplete gaussian elimination as a preconditioning for generalized conjugate gradient acceleration. SPE 12265. SPE Paper 12265 presented at the Reservoir Simulation Symposium held in San Fransicso, CA, Novermber 15-18,1983.

129. White C.D., Home R.N. Computing absolute transmissibility in the presence of fine-scale heterogeneity. SPE Paper 16011 presented at the 1987 SPE Symposium on Reservoir Simulation, San Antonio, Feb.l- 4

130. Yang P.-H., Watson A.T. Automatic history matching with variable-metric methods. SPE Paper 16977 prepared for presentation at the 62th Annual Technical Conference and Exhibiton of the SPE held in Dallas, TX, USA, Sep. 27-30,1987

131. Yanosik J.L., McCracken T.A. A nine-point, finite-difference reservoir simulator for realistic prediction of adverse mobility ratio displacements. SPE Journal, August 1979, SPE Paper 5374. p. 253-262.

132. Zakirov S.N., Zakirov E.S. Pseudo horizontal wells: alternative to horizontaland vertical wells. SPE Paper 37085 presented at the 2nd International Conference on Horizontal Well Technology. Calgary, Nov. 18-20,1996