автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное моделирование задач изгиба пластин сложной формы переменных упругординамических нагружениях

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АЛЬ-ФАРАБИ

На правах рукописи

ЦухаАвдкев Абдивали ¡Цткурович

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ИЗГИБА ПЛАСГИН ■ СЛИТОЙ 50РНЫ ПРИ ПЕРЕ1гаШХ УТТРУГОШГАСТИЧЕСгаК НАГРУЖЕШНХ

05.13.16 - .фш.:знг {не вычислительной техники, математического моделирования и иатеютичэс.жс методов в научных исследованиях ■

АВТОРЕФЕРАТ. . диссертации на соисго та ученой степени ■ кандидата-физлко-матенатических наук

Алма-Ата - 1392

Работа выполнена в Институте кибернетики с. вычислительным центром НПО "Кибернетика" АН Республики Узбекистан.

Научные руководители: Академик АН Республики Узбекистан, доктор физико-математических наук, профессор В. К Кабулов;

доктор физико-математических наук Ш. А. Еазиров.

Официальные оппоненты:, член-корр. АН Республики Узбекистан, • доктор физ.ко-математических наук, • профессор Ф. Б. Абуталиев; доктор технических наук, профессор Н. Я.Тер-Эыыануильян.

Ведущая организация - Ташкентский Государственный Университет

■ ' с-с '

Защита состоится "/у " {к.ьс(>&/:4199.? г. ъ4У " часов на

заседании Специализированного совета К 058.01.16 при Казахском

Государственном Университете имз-и Аль-Фараои по адресу:

480012, г. Алма-Ата, ул. Иасанчи, ЗЯ/47 в ауд._

С диссертацией ьюшэ ознакомиться в библиотеке КазГУ. Отзывы на автореферат высылать по адресу: 480121, г. Алма-Ата, ул. Тимирязева, 46, Казахский Государственный Университет ш. Аль-Сараби. Ученому секретарю.

Автореферат разослан "¿¿_" '¡1952 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физтосо-ыатеьатических . наук, профессор

И. Ф. ИЕРЕВЯГЬЕВ

- Ь

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Современная инженерная практика требует ответа на многие вопросы, возникающее при расчете тонкостенных конструкций сложной формы за пределом упругости. Экспериментальное решение таких • классов--задач не дает соответствующего затратам эффекта; так как .нелинейность задач-с учетом сложности конструкций усложняет проблему.

Появление мощных ЭВМ дало возмозшость в полной мере воспользоваться преимуществами математического моделирования и э фиктивными численными методами решать достаточно слолшые инженерные задачи.

Значительное влияние на развитие современных методов математического моделирования оказали исследования - Ф. Б. Абутали-ева, О. К Еелоцерковского, Т. Бурцева, А. А. Дородницына, А. А. Иль-юпшна, Д. Д. йвлева, а К. Кабулова, Л. Н. Качалова, К С. венского, Т. И. Ыарчука, С. Г. }'кхлина, В. К ¿ЬскЕигяна, Б. Е. ПсСедри, Ю. Е Ра-ботнова, X. А. Рахматулина, В. Л. Рвачэва, А. А. Самарского, Л. К Седова, А. Н. Тихонова и др.

Наряду с теоретическими исследованиями имеется много трудов по практическому применению методов математического моделирования з расчетах шганерных конструкций с привлечением ЭВМ.

■ Однако, несмотря на известные успехи в области практических приложний, ЭШ применяются лишь для реализации отдельных аспектов расчета конструкций.

Эффективное использование ЭШ предусматривает создание алгоритмических систем, с помощью которых можно охватить широкий класс инженерных задач, решаемых методами механики деформируемого твердого тела, • К этил задачам, . в часности, относятся задачи теории упругоьти и пластичности. Когда исследуемая область тлеет каноннческую форму, хорош разработанный математический аппарат позволяет решать названные задачи . на аналитическом уровне. Если 'область имеет сложную форму, решение можно получить с помощью специальных численных методов с применением ЭЕ*1 Поэтому возрастает роль приближенных методов, позволяющих получить простые по форме решения с достаточной для практики точностью.

Наибольший интерес представляет создание математических

моделей, эффективных вычислительных алгоритмов и;. программных средств их реализации, с помощью которых исследуются задачи изгиба упругопластических пластин сложной формы. .'•!

Целью настояний работы является: •

-разработка эффективных вычислительных алгоритмов для решения 8адач изгиба упругих и упругопластических пластин слоя-ной формы;

-создание соответствующих программных средств для реализации разработанных алгоритмов на ЭШ;

-построение решения задач изгиба упругих и упругопластических пластин слонной Форш; .

-исследование сходимости предложенного метода решения изложенной выше задач!.;

• -изучение влияния вырезов на сходимость итерационного процесса и на появление вторичных пластических деформаций при полной разгрузке.

Научная новизна. На основе теории малых упругопластических деформаций, методов Бубнова-Галеркина и Е-функций разработаны эффективный вычислительный алгоритм и соответствующий комплекс программных средств, которые позволяют решать задачи изгиба пластин сложной Форш при переменных упругопластических нагружзниях. Разработанные программные средства могут быть использованы для решения поставленной вадачи. С их помощью исследованы задачи изгиба пластин сложной формы при переменных упругопластических нагрукэниях, а таю© сходимость предложенного метода при применении различных аппроксимирующих полиномов и кубатурных формул. Изучено поведение прогиба и изгибавших моментов для различной геометрии области. Тем самым изучен ряд практически важных задач теории упругости - и пластичности. - __ .

Теоретическое и практическое значение результатов. Разработанная методика и созданный комплекс программных средств для решения задач изгиба упругих и упругопластических пластин сложной формы могут быть использованы при расчете широкого класса конкретных конструкций и позволяют анализировать их поведение при раз-г-гг;.-;/ видах граничных условий. Часть' разрабо-

тайных программных средств сдана в Ведомственный фонд алгоритмов и программ Академии наук Республики Узбекистан для эксплуатации.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на 2-й школе-семинаре социалистических стран "Вычислительная механика и автоматизация проектирования" (Шсква - Ташкент, 1988); Республиканской конференции "Современные проблемы алгоритмизации" (Ташкент, 1991); городских семинарах "Алгоритмическая кибернетика" НПО "Кибернетика" АН РУз под руководством академика АН РУз В.К.Кабулова (Ташкент, 1988-1992).

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять научных работ, в которых отражено основное содержание диссертационной работы.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глаз, заключения, списка литературы из 100 наименований, приложения и содержит -/2.2 страниц основного текста, 32 рисунков, 32,'таблиц.

Вэ введении диссертационной работы обоснованы важность и актуальность проблемы: Приводится краткий обзор литературных источников, посвященных изучаемым вопросам. Отмечены цель, научная новизна, практическая значимость работы. Кратко изложено основное содержание диссертации.

В первой главе приведена математическая модель задач изгиба пластин- с учетом вторичных пластических деформаций при разгрузке и последующих многократных переменных нагружениях в виде дифференциального уравнения в частных производных

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

с граничными условиями

где л-направление внешней нормали; •

Мп -нормальный изгибающий момент;

Лп -нормальная реакция опоры;

Ах=-Э\а-п )(ЗС{ ) + П +

а оск-О _о<к-т)г ос.к-т> о(к-1)

Л ж • з-лгл [сзе4 -ж, у

^(хГ'-хГ""")]} .

Далее-рассмотрены вопросы разработки эффективного вычислительного алгоритма для решения приведенного выше дифференциального уравнения в частных производных.

Разработанный эффективный вычислительный алгоритм для решения задач изгиба пластин сложной формы при повторных и переменных упругопластических нагругкениях оснойывается на трех методах: 1) метод упругих решений, 2) метод Бубнова-Галеркина, 3) метод Р-функций. После подстановки (3) в (1) получается нелинейное дифференциальное уравнение относительно прогиба V/. Для решения этого уравзиния применяется метод упругих решений и задача сводится к последовательному решению упругих задач в итерационном процессе. Упругие задачи решаются методом Бубнова- Галеркина. Для этого метода система координатных функций, удовлетворяющая краевым условиям без какой-либо аппроксимации, строится алгебро-логическим методом И-функций. Приближенное

- 7 -

решение полученная упругая задачи ищется в виде У^^^С/.-^^Углу))«^^^^^-. .(4) "

гдё ^¿(х.уу-пошая, линейно независимая система функций;

/3' -оператор выбранной структуры репения, построенной с помощью I?--функций; - ■ • С¿к''-неизвестные коэффициенты к-го нагрузкения илиразгру-иэния, которые определяются итерационным процессом

.у пл(к,е+п -сл-,е+<) плк.ен) 0

(Л-Л )С. ■ (Б)

Система алгебраических уравнений (5) решается методом Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице.

Для полноты изложения далее приводятся основные понятия • метода й-функций и достаточно годные системы К-операций. С их помощью строятся уравнения границы области. Описываются структуры решения рассматриваемого класса задач и приводится общая' форма представления неопределенных компонент структуры, содержавших неизвестные коэффициенты.

Вторая глава посвящена обоснованию достоверности и исследованию сходимости предложенного алгоритма относительно координатных функций и относительно кубатурных формул. При этом достоверность полученных численных результатов обосновывается путем их сравнения с результатами, полученными другими агорами для' пластин стандартных конфигураций.

Далее используются обозначения: отношение постоянной характерной нагрузки & к значению нагрузки % л ; В - количество итераций: Мточ - количество узлов квадратурных формул Гаусса; N. - количество членов разложения; к- количество наг-рутений конструкций; /-С1/6 (Я и 5 характерные ширина и длина пластин)( /ьтолщина пластин).

В табл. 1 приведено сравнение значений прогиба в центре яэсткозащемленной круглой -пластины,- полученных предлоганным методом, с результатам Т. Бурцева Результаты получены при следующих значениях параметров: 8~ =1,46; -24;

N-21; ^-1; -10; Л -0,95; &5 -3210 КГ/СМ2 .

Из анализа видно, что при N-21 полученные результаты совпадают с результатами Т. Буркова относительно прогиба до четырех значащих цифр, а относительно изгибающих моментов - до трех.

Таблица 1

ЖО. 0;0. 0)*Ю%

0

1 2 5

е

Результаты по методу !?-функщ|й

. 15,621 16,129 16,241 16,292 16,292

Результаты Т. БУРиеьа

15,625 16,135 16,257 16,297 16,297

Кроме того исследована сходимость предложенного алгоритма для решения зада^ изгиба упругопластических пластин сложной формы. С целью контроля полученных результатов при решении одной и той же 8адачи применятся различные аппроксимирующие полиномы с различным количеством координатных. функций. При этом решена задача изгиба жесткозащемленной упругопласти-ческой пластины, приведенной ва рис. 1. Нормализованное уравнение границы области имеет вид

где

СО = «(¿34ДоЫ3 0а)6)))Л0оО* »

С0;=((х-а?+у2-яг)/<яяу, (1-л 1)/ая),

В табл. 2 приведены значения прогиба этой пластины в итерационном проц* / о >1при следующих значениях параметров: /-1; К-Н1; К/а -1/Ю; _/> -20; -24,32; ^ -2,43; 6"5-3210 КГ/сы*;

Рис. I.

Ряс. 4.

Анализ таблицы показывает, что при N=10 и М-15 результаты прогиба в итерационном процессе мало отличаются друг от друга Результаты, полученные тригонометрическим и степенным полиномами, совпадают до четырех значащих цифр. Однако разница в машинном времени довольно существенна (табл. 3).

Таблица 2

М(0,5;0,5)*10

э

Степенной полиноы

Тригонометрический полиноы

-1-г^-г

N - 6 |И - 10 Щ - 15

М - 6. | N - 10 | N -151

-{2,06801 2,45331 3,5801! 3,67081 3,5742 Г 3,6743|

I О I 1 |10 (20 |2б |28 ¡29 131

2,0677 |2,1866 2,4527 12,5661 3,5795 13,9526 3,6700 (4,0754

3.6736 14,0806

3.6737 14,0808 |4,0808 I 1

12,1917 12,5926 ¡3,9522 ¡4,0899 ¡4,0971 14,0976 ¡4,0978 ¡4,0981

2,1875 2,5668 3,9530 4,0753 4,0813 4,0815 4,0815

2,1925!

2,59341

3,9525|

4,09051

4,0978|

4,09781

4,0980 Г

4,0980|

Таблица 3

1 -■ 1 1 | Полине ш 1 1 1 | М - 3 | N « б 1 1 1 | - N - 10 г 1 1 | N - 15 1 , 1 1

1 ¡Степенной 1 1 ¡2,55 ц | 4,42 М- ! | 7,07 м 1 1 | 8,25 и |

I Чебышева |3,05 м | 5,00 М | 8,14 М | 10.11 м 1

¡Тритоном. ¡4,45 и | 7,10 м л I г | 9,35 и 1 | 13,05 м | | I

Далее в работе исследуется та л> задача при Е-СЖЗТ и 0.

На рис.3 приведены эпюры прогиба по сечекию х - у для защемленной пластины, изображенной на рис. 2. Расчет выполнен при следующих значениях параметров <Г -1; Л/тоу -20;

^ =2,43; -32,8; Я/ й -1/2; =20; 6"5 -3210 кг/см2.

I

• -.12 - ' Нормализованное уравнение области пластины имеет вид

где а)г(аг-скй)/(2а), ' сйл=(6г-уг)/и6),

Из графика видно, что с увеличением количества координатных функций разница в результатах уменьшается.

Далее описывается исследование сходимости итерационного процесса, когда пластина, изображенная на рис.2, свободно оперта по всему контуру.

В табл. .4 приведено значение прогиба пластины жестко защемленной по Г1 и свободно опертой по Т!_ . Расчеты осуществлены при еледующих значениях параметров: £ -1; р -20;

-13,58; & »2,43; Л/Гоу-20; && -3210 КГ/смь; Ц СХП)-1; ^/^-0,25. '. 0 ■■

. Таблица 4

У7(0,0;1,4)*10

1 | N - б 1 ■ 1 | N - 10 1 , 1 1 | М - 15 | 1 |

1 о 1 | 0,1844 1 | 0,1797 1 1 | 0,1804 |

1 1 | 0,3129 | . 0,3112 I 0,3167 |

| 10 | 1,3522 | 1,3676 I 1,3712 |

| 30 | 1,4125 | о 1,4131 I 1,4144 |

! 31 ! 1,4126 ( 1,4132 | 1.4144 |

1 32 | 1,4126 I 1,4132 1 1

1 " 1 1 .. .„ ___ 1 1 1 ! 1 ! I 1

Кз таблицы видно, что с увеличением числа координатных функций наблюдается хорошая сходимость приближенного решения задашь— Исследуется сходимость предложенного алгоритма относительно кубатурных формул Гаусса с увеличением числа узлов и проведен сразнгаз.г.ьный анализ на точность и машинное время. В конце главы дается описание основных модулей комплекса

программных средств, а также ¡.лструкция к использованию комплекса программных средств для решения задач изгиба упруго-пластических пластин сложной формы.

Третья глава посвящена численному моделированию задач изгиба пластин сложной формы при переменных упругопластических нагружениях., При решении задач изгиба пластин подробно проанализированы характер изменения прогиба и изгибающие моменты в зависимости от изменения границ области.

Рассматривается-задача изгиба жесткозащемленных пластин за пределом упругости (рис.1). Расчеты выполнены при следующих значениях параметров: у) =1; /~=1;/Ь=20; <Р=?,43; ^"=24,32; бл =3210 кг/см1; МтоЧ =20; N-15. На рис. 5 и б приведены эпюры сс; 0) и М^СС; 0) при различных значениях радиуса выреза. Анализы показывают, что с уменьшением радиуса выреза увеличивается прогиб и изгибаюший момент М®.

Ва рис.7 и 8 приведены эпюры Щх ;0) и МЛ а: ;0) для сво-

-С

бод'но опертой пластины, изображенной на рис. 2. Результаты получены в следуюпц^ значениях параметров: у) =1; ^ =1; ^ТОУ =20; & =2,43;3210 кг/см*; =20; N=15.

Анализы показывают, что Еблизи внутреннего контура изгибающий момент М/с резко изменяется, а увеличение радиуса выреза приводит к уменьшению прогиба и момента. Очевидно, что даже малое изменение формы границы области существенно отражается на изменении величин М^М^ как количественно, так и качественно.

Подробно проанализировано влияние пластичности на изменение прогиба и изгибающих моментов. Приведены численные результаты решения задач изгиба плгстин сложной формы при переменных упругопластических нагружениях, а также с учетом вторичных пластических деформаций при полной разгрузке. При этом решена задачи изгиба пластин сложной формы при переменных упругопластических нагружениях. При решении задач материал пластины рассматривается как идеально пластический и учитывается принцип Мазинга при переменных нагружениях. а таюк использована гоорема о вторичных пластических деформациях.

В табл. 5 приведено значение прогиба при разгрузке ранее нагруженной пластины (рис.1).

Таблица

1 I 10 1 1 | ад:0,5;0,5)*10*|

1 I № 1 1,9065 |

11 1 1,8851 . |

19 1 1,8318 |

1101 1,8317 |

1111 1 1 1,8317 | , 1

1 г

- 14 -

Таблица 6 Таблица 7

' 1 з | в | У(0,5;0,5)*10 I 1 1 1 11 1 | в 1 К(0,5;0,5)*10 1 1

1 1 о 1 1 I 1,3337 | 1 1 I 0| 0,0435

1 1 I 1,4104 | | 1| 0,0435

|11 I 1,4726 ' | | |

112 I I 1,4726 | | |

Анализ таблицы показывает, что в этой пластине происходит упругонластическая деформация при разгрузке.

В табл. 6 и 7 приведены значения прогиба этой гке пластины соответственно при нагрутнт и разгружении для соотношения И/а =«1/5. Из таблиц видно, что увеличение радиуса вырезов влияет на появление вторичных- пластических деформаций при разгрузке.

Подробно исследовано влияние изменения формы на появление вторичных пластических деформаций при полной разгрузке.

ОСНОВНЫЕ БЫЮДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Щгедломен эффективный вычислительный алгоритм для решения задач изгиба пластин сложной формы при переменных упру-гопластических нагрумэниях.

2. На основе предложенного алгоритма разработаны программные средства для автоматизации решения указанной задачи.

3. Обоснована достоверность численных результатов прибли-хэзнного решения, полученного при совместном применении методов упругих решений, Бубнова-Галеркина и I?-функций, ■ путем их сравнения с результатами, полученная! другими авторами.

4. Исследована сходимость предложенного алгоритма относительно координатных функций и кубатурных формул.

5. Исследовано напряженно-деформированное состояние изгиба упругих и упругопластических пластин сложной формы.

6. Исследовано влияние изменения границы области на появление вторичных пластических деформаций при полной разгрузке.

Основное содержание диссертации отралзно в следующих работах:

1. Формирование схем бант законов механики сплошных сред посредством СУБД "К0МПАС"//Тез. докл. '2-й школы-семинара социалистических стран "Вычислительная механика и автоматизация программирования". -Шсква-Ташкент, 1938. -С. 37.

2. Расчет- -упругих, вязкоупругих и упрутопластических пластин сложной формы// Тез. докл. республиканской конференции "Современные проблемы алгоритмизации". -Ташкент, 1991. ^С. 161.

Совместно с Л А. Базировым, X. С. Садиковым.

3. Статический расчет тонких плит за пределом упругости со сложной формой//Алгоритмы. -Ташкент: НКСО. АН РУз, 1991. -ЕЫП. 73. -С. 85-94.

Совместно с 1А. Базировым.

4. -Изгиб упрутопластических пластин ■ слокной формы//Докл. АН РУз (в печати).

Совместно США. Базировым.

Разргсено в печать,30.11.92 г. Зшсаз Гг SP, 7::paz IDO экз.

Отпечатано на ротапринте СПКБ АиВТ 700170.г.Ташкент, Володарского,26.