автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование взаимодействия подвижных и деформируемых элементов конструкции с потоком жидкости или газа

На правах рукописи

Шишаева Анастасия Сергеевна

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

ПОДВИЖНЫХ И ДЕФОРМИРУЕМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ С ПОТОКОМ ЖИДКОСТИ ИЛИ ГАЗА

Специальность: 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы, комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

/

1 3 ЯНВ 2011

Москва-2010

004618917

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)»

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук

Аксенов Андрей Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Зибаров Алексей Владимирович

доктор физико-математических наук Сидлеров Дмитрий Анатольевич

Ведущая организация: Российский Федеральный Ядерный центр -

Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики (РФЯЦ-ВНИИЭФ)

Защита состоится 29 декабря 2010 г. в 14 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.156.08 при Московском физико-техническом институте (государственном университете) по адресу: 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер. 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института (государственного университета).

Автореферат разослан » 2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

Коновалов В.П.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи взаимодействия подвижных и деформируемых конструкций с жидкостью или газом широко распространены в науке, промышленности, медицине. Примерами таких •задач в авиации являются флаттер крыльев и обшивки самолета, раскрытие парашюта, в автомобилестроении - аквапланпрование автомобильной шины, в кораблестроении - движение судна, в машиностроении - движение масла через уплотнители, деформация лопаток турбины в потоке, тепловые деформации работающего подшипника, в медицине - работа сердца, движение крови по деформируемым сосудам. Основная сложность моделирования взаимодействия жидкости и конструкции заключается в необходимости получения совместного согласованного решения уравнений динамики конструкции и уравнении движения жидкости или га за.

За последние десятилетия разработано большое количество аналитических и полуэмппрнческпх методов. Однако, данные методы преимущественно применимы для узкого класса задач с простейшей геометрией и рядом ограничений, накладываемых на постановку задачи и граничные условия. В то же время, для решения промышленных задач требуется учитывать сколь угодно сложную геометрию и граничные условия. Поэтому, одним т основных и наиболее перспективных методов для решения задач является прямое численное моделирование.

Существуют два основных метода для решения задач взаимодействия жидкости н конструкции с помощью численного моделирования: монолитный и метод расщепления. Монолитный метод подразумевает сведение задачи в одну систему уравнений с единым методом их решения. Метод расщепления предполагает разделение всей системы уравнений на подсистемы, которые решаются отдельно, периодически обмениваясь

данными через заданный интервал времени. Монолитный метод более устойчив и лучше отражает физику явления. Однако он требует общего математического аппарата для решения всех уравнений, в то время как большинство существующих на сегодняшний день решателей ориентированы либо на моделирование динамики деформируемых конструкций, либо на моделирование движения жидкости или газа. Метод расщепления позволяет использовать существующие решатели. Самая простая модификация метода расщепления - явный метод расщепления. При использовании явного метода расщепления решение подсистем осуществляется один раз на некотором временном интервале, в конце которого подсистемы обмениваются данными. Однако известно, что явный метод обладает численной неустойчивостью. Причина неустойчивости -неравенство значений скорости поверхности конструкции и нагрузок на ней, вычисленных в подсистемах в моменты обмена. Существует три пути устранения неустойчивости: использование неявной схемы расщепления, использование явной схемы с предиктор/корректором и использование искусственной сжимаемости. Использование неявной схемы в методе расщепления предполагает повторное решение уравнений движения жидкости и динамики конструкции вплоть до достижения согласованного решения обеих подсистем. Такой способ позволяет в значительной мере устранить причину неустойчивости, однако он в десятки раз увеличивает время расчета. Использование предиктор/корректора предполагает предсказание скорости границы со стороны конструкции и нагрузки на границе со стороны потока на следующем шаге. Однако, поскольку нагрузки, вычисляемые в потоке, зависят от предсказанных, а не от истинных смещений твердого тела на границе раздела, то в случае недостаточно точного предсказания это также может приводить к неустойчивости. Использование искусственной сжимаемости предполагает внедрение в уравнение неразрывности для жидкости коэффициентов демпфирования,

4

предугадывающих отклик подвижной или деформируемой конструкции на изменение нагрузки со стороны потока.

Таким образом, разработка эффективных алгоритмов для моделирования взаимодействия жидкости и конструкции, обладающих достаточным запасом устойчивости, является актуальной задачей.

Цель работы. Разработка технологии решения задач взаимодействия подвижных и деформируемых элементов конструкции с потоком жидкости или газа. Применение ее для решения практически важных задач.

Научная новизна. Впервые для расширения диапазона устойчивости явного метода расщепления введены демпфирующие коэффициенты податливость и мобильность, которые обеспечивают устойчивую работу алгоритма в широком диапазоне параметров. Проведено теоретическое и численное исследование, подтверждающее расширение границ устойчивости алгоритма. С помощью разработанного алгоритма исследовано поведение защемленной с двух сторон пластины в до- и сверхзвуковом потоке газа. Подтвержден недавно открытый одномодовый флаттер пластины на низких сверхзвуковых скоростях. Обнаружено, что неустойчивость пластины при переходе на дозвуковые скорости принимает форму выпучивания с амплитудой, соответствующей амплитуде флаттера. Исследована зависимость флаттера и выпучивания от безразмерных параметров.

Практическая ценность. Разработан метод, предназначенный для численного решения задач взаимодействия подвижных и деформируемых элементов конструкции с потоком жидкости или газа, сочетающий высокую скорость, точность и устойчивость вычислений. Данный метод использован для разработки прямого сопряжения программных комплексов Р1о\¥У1зюп-НРС и АЬаяш, предназначенных для решения широкого круга задач.

5

Посредствам разработанного метода исследована неустойчивость деформируемой пластины в потоке газа, проведено численное моделирование работы уплотнителя, подшипника скольжения, а также устройства автоматического бесконтактного захвата. Разработанный метод может с успехом применяться в процессе промышленной разработки в авиации, автомобилестроении, судостроении, машиностроении, атомной промышленности, автоматизации производства и медицине.

Положения, выносимые на защиту:

1. Разработан метод связывания программных комплексов, предназначенных для расчета уравнений движения жидкости и деформации конструкций на основе введения пристенных демпфирующих коэффициентов.

2. Исследовано влияние пристенных демпфирующих коэффициентов (податливость и мобильность) на численную устойчивость совместного решения.

3. Решена задача о поведении упругой пластины в до- и сверхзвуковом потоке газа с помощью разработанного метода. Получена зависимость амплитуды выпучивания пластины и амплитуды и частоты флаттера пластины ог параметров материала и размеров пластины и потока газа.

4. Решен ряд практически важных задач с помощью разработанного метода: левитация ротора опорного подшипника, определение расхода масла через маслосъемный колпачок, определена зависимость времени центровки детали от скорости центрирующей струи газа в автоматической сборочной линии.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 49-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (Долгопрудный, Россия, 2006),

6

Конференции пользователей ABAQUS (Abaqus Users' Conference) (Париж, Франция, 2008), 51-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (Долгопрудный, Россия, 2008), VI Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых (Санкт-Петербург, Россия, 2009), 52-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (Долгопрудный, Россия, 2009), VIII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Алушта, 2010), конференции пользователей ABAQUS (Abaqus Users' Conference) (Чикаго, США, 2010).

Публикации результатов. По теме диссертации опубликовано 4 статьи, 6 тезисов, сделано 8 научных докладов.

Личный вклад автора. Общая постановка задачи и определение направлений исследований принадлежит научному руководителю. Все результаты, изложенные в диссертации, получены автором самостоятельно.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 143 страницах машинописного текста, содержит 6 таблиц, проиллюстрирована 84 рисунками, состоит из 4 глав, выводов и списка литературы, включающего 95 наименований.

В первой главе приведен анализ литературных данных и состояния вопроса по алгоритмам решения задач взаимодействия подвижной и деформируемой конструкции с потоком жидкости или газа, проанализированы достоинства и недостатки различных алгоритмов, сформулированы задачи исследования. Вторая глава посвящена описанию разработанного алгоритма и демпфирующих коэффициентов, теоретическому и численному исследованию устойчивости. Третья глава посвящена описанию исследования неустойчивости упругой пластины в до-

7

и сверхзвуковом потоке газа. В четвертой главе описан ряд практически важных задач, решенных с помощью разработанного метода, а именно, возникновение левитации при работе опорного подшипника скольжения, работа уплотнителя в маслосъемном колпачке, и работа устройства автоматического захвата.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, описывается круг задач, дается краткий обзор существующих численных методов, а также формулируются цели диссертационной работы.

Первая глава посвящена детальному анализу разработанных на сегодняшний день численных методов для решения задач взаимодействия подвижной и деформируемой конструкции с потоком жидкости или газа.

Во второй главе представлен метод решения задач взаимодействия подвижных и деформируемых элементов конструкции с потоком жидкости или газа с помощью программных комплексов Abaqus и Р1о\у\Ч5юп-НРС.

В первой части второй главы приведено описание расчетной схемы. Моделирование движения и теплообмена в жидкости и газе, а также движения твердого тела осуществляется в программном комплексе Р1о\у\Ыоп-НРС, основанном на методе контрольных объемов. Моделирование движения, деформации и нагрева конструкций осуществляется в программном комплексе Abaqus, основанном на методе конечных элементов. Связь между уравнениями движения и деформации конструкции и уравнениями движения жидкости и газа осуществляется посредствам прямого явного сопряжения. Рассмотрим разработанный метод на примере моделирования взаимодействия деформируемой конструкции с идеальной несжимаемой жидкостью. Уравнение для деформации конструкции решается в АЬаяив и в дискретной форме имеет вид:

\УЙ'1 - \А/'

т т,ч| (1)

где 1 - номер шага по времени, т - масса элемента конструкции, \У -скорость поверхности конструкции, - внешняя сила, действующая на

элемент не со стороны жидкости или газа, ^ - внешняя сила, действующая на элемент со стороны жидкости или газа, I - внутренняя сила, действующая на элемент конструкции, г-'+1 = — 7" - шаг по времени, Г - время. При моделировании движения твердого тела уравнение (1) модифицируется к виду:

- XV' ^ т---= К +Т/,

и решается во РЬуЛ^юп-НРС.

Уравнения для моделирования движения жидкости решаются во Р1о\у\^5юп-НРС и в дискретной форме имеют вид:

Т 5 5 Р

$((\м-м/м)<Ь) = о, (3)

где О - объем элемента жидкости, V - скорость жидкости, в - векторная площадь поверхности элемента, Р — давление в жидкости, р - плотность жидкости. Решение уравнений осуществляется поочередно на каждом временном шаге. Сила, действующая на конструкцию со стороны жидкости или газа, равна ¥Г=Р^.

Г: I ; _ у , / Расчет

1-1 гр I ГГ! 1 + 1

1 1 деформации

I I I ^ конструкции в

^ 1 ~ , ^ 1 АЬаяш/

•Ч^, ^^ д и,+1,\Ум Д движения

^ \ X : конструкции во

^^ ! ! ПоиЛ^оп-НРС

Н-1-*

Расчет движения

жидкости во

Временной шаг РЬ-иМбюп-НРС

V_ _У

Г

¡+1 у7'

Рис. 1. Алгоритм сопряжения расчета взаимодействия подвижной или деформируемой конструкции в Abaqus и Р1о\у\^5Юп-НРС

Во второй части второй главы приведено описание демпфирующих коэффициентов, предназначенных для улучшения устойчивости схемы. Рассматривается уравнение (3). Проблемы, возникающие при использовании явного метода, появляются из-за того, что в данном уравнении скорость жидкости V'*1 вычислена при давлении и вязком напряжении с шага /+1, а скорость поверхности тела — при значении силы с шага /. Подстановка последнего в разностную схему вызывает осцилляции давления и может привести к расхождению решения. Для предотвращения осцилляций необходимо предугадать изменение скорости Д\У на шаге / +1 под действием силы со стороны жидкости.

В данной работе предлагается оценивать изменение скорости по формуле:

ЛР

Д\У = С- — а+ВАРтп, (4)

т

где п - нормальный к поверхности вектор, С и В - демпфирующие коэффициенты податливость и мобильность, АР - изменение давления. Податливость конструкции С вычисляется по формуле:

С = (5)

АР У

где Д1 - перемещение элемента при изменении давления на АР. Физический смысл параметра податливость - линейный отклик элемента подвижной конструкции на изменение давления. Мобильность конструкции вычисляется по формуле:

5=-, (6)

т

где 5 - площадь элемента конструкции. Мобильность можно охарактеризовать как величину, обратную инертности элемента конструкции с единичной площадью. Значения податливости и мобильности неизвестны при моделировании движения жидкости. Однако стартовые значения С0 и В0 можно оценить, подставив в формулы (5) и (6) средние значения параметров

11

конструкции. Так, С0 можно положить равным отношению предполагаемого перемещения всей конструкции к среднему значению изменения давления, а В0 - отношению площади конструкции к ее массе.

Подстановка выражения для изменения скорости (4) в уравнение неразрывности с учетом постоянства с и в дает:

|(у>' - \у,+| )* = ГС + В(Xм (7)

$ т

Выражение в правой части уравнения (7) может трактоваться как искусственная сжимаемость жидкости в пристенных ячейках.

В третьей части второй главы приведено теоретическое подтверждение возможности улучшения устойчивости посредствам использования демпфирующих коэффициентов на примере упрощенной одномерной схемы.

1РД.Т Х^Х Х^.У^у-'.У. .т .V. .Т'.х.

V ^ .4. .к ц А а * * 4. Н н .ч 4, .н

Рис. 2. Движение поршня под воздействием давления со стороны жидкости.

Исследование устойчивости упрощенной расчетной схемы проводится на примере моделирования одномерного движения жесткого незакрепленного поршня под воздействием давления со стороны жидкости (см. Рис. 2). Движения поршня в безразмерном виде описывается следующей системой уравнений:

1У=а-Р (8)

Р = -

-¿V с!2У 2-+ —- + а-Р

Л Л2

(9) (10)

где а - отношение массы жидкости к массе поршня. В дискретном виде уравнения (8)-(10) без учета демпфирующих коэффициентов имеют вид:

-в-Р"» (11)

о('+Ч - р<1)

Р<"~ X

2— + —г + а-Р Л Л2

(12) (13)

При использовании демпфирующих коэффициентов уравнение (13) приобретает вид:

"'-Ч1Г

где А = С+Вг2. Далее приводится исследование обеих схем на устойчивость посредством метода усиления мод. Обнаружено, что без демпфирующих

коэффициентов схема становится неустойчивой при а > , а с их

применением - при а> ^ 2Л + 3 ' последнее означает, что использование

демпфирующих коэффициентов позволяет улучшить устойчивость задачи.

В четвертой части второй главы приводится численное исследование влияния демпфирующих коэффициентов на устойчивость конкретной расчетной схемы на примере моделирования одномерного движения незакрепленного поршня и поршня, закрепленного на пружине, под воздействием давления со стороны жидкости. Для расчетов использовался программный комплекс Р1о\у\^5юп-НРС. Установлено, что при снижении отношения плотности поршня к плотности жидкости, амплитуда колебаний, возникающих вследствие развития неустойчивости, усиливается и при отношении плотностей 0.5 становится сопоставимой с величиной силы, действующей на поршень. Далее проводятся расчеты с использованием податливости и мобильности. Мобильность используется при моделировании

движения свободного поршня, а податливость используется при моделировании движения поршня, закрепленного на пружине.

30 20 10 0 -10 -20 -30

А

Ч

/ > -_

4) 0 1 0 2 0 о

1 ис

25

_ I /НДЬ!

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 б

Рис. 3. Сила, действующая на незакрепленный поршень (а): 1 - 5 = 0,2В = Ю50, и на поршень, закрепленный на пружине (б): 1 - С = 0,2-

С = 0.001С„.

Установлено, что использование демпфирующих коэффициентов позволяет улучшить устойчивость решения. Определяются оптимальные значения податливости С = 0.001С„ и мобильности В = 10Вй (см. Рис. 3).

В третьей главе представлено применение разработанного метода для исследования устойчивости деформируемой защемленной с двух сторон

пластины в до- и сверхзвуковом потоке газа. Деформация пластины моделируется в АЬацш, движение газа моделируется во

______ РЬмМвюп-НРС.

В задаче имеется четыре

Рис. 4. Обтекания пластины потоком.

безразмерных параметра,

определяющих картину течения: М = - - число Маха, й = —р2-, -2— -

жесткость пластины, р = - плотность пластины, Ь = — - длина пластины.

Ра кР

Здесь У): - скорость газа вдали от пластины, а - скорость звука в газе, Ер -модуль Юнга пластины, V - коэффициент Пуассона пластины, рр -плотность пластины, ра - плотность газа вдали от пластины, 1р - длина пластины, Ир - толщина пластины.

Обнаружено три основных типа поведения пластины: устойчивое равновесие, статическая неустойчивость в виде выпучивания и динамическая неустойчивость в виде флаттера. Причем, статическая неустойчивость наблюдается только при дозвуковом течении, а динамическая неустойчивость - только при сверхзвуковом течении. Обнаружен флаттер двух видов: в виде бегущей волны и стоячей волны. Причем бегущая волна наблюдается при числе Маха М< 1.2, а стоячая при числе Маха М >1.2. Существование выпучивания при дозвуковом обтекании, флаттера при низком сверхзвуковом обтекании, а также бегущая волна при флаттере с М<\.2 хорошо согласуются с теоретическими и экспериментальными исследованиями, проведенными ранее. Зависимость амплитуды выпучивания

и флаттера от безразмерных параметров, является новым фактом.

А симптотическая теория Моделирование

M(D = 10.8, р = 6000, L = 300) 1.05 1

M(D = 21.5, р = 6000, L = 300) 1.07 1

M(D = 32.3, р = 6000, L = 300) 1.09 1.03

М( D = 43.1, р = 6000, L = 300) 1.10 1.06

M(D = 53.9, р = 6000, L = 300) 1.11 1.18

M(D = 64.7, р = 6000, L = 300) 1.12 1.27

L{ М= 1.15, £> = 21.5,р = 6000) 150 146

£>(М= 1.15,р = 6000,1 = 300) 86 53.4

р(М= 1.15, £> = 21.5,1 = 300) Не зависит Не зависит

Флаттер,

5 4 3 2 1 О

11, мм т V ' 1 1

1 Л \7 V Флаттер,

Выпучивание {Г / ! /

% Я V* у 1 ' \ кчш ^ ТЧ

1 1 I 1 —«э-,—,-1

-•-0=10 --0=21.5 -*-Б=43.1 -«►~Б=53.9

0.4

К,

1.9

0.9 1.4

Зона устойчивости

Рис. 5. Зависимость величины отклонения/амплитуды колебания пластины от числа Маха М и жесткости й, при р = 6000,^=300.

0.9

Колебания [то -»-0=10

-*-В=43.1 -•-0=53.9

1.1

1.3

1.5

1.7

Рис. 6. Зависимость частоты колебания пластины от числа Маха М и жесткости О, при р = 6000, 1=300.

Проведено исследование возникновения неустойчивости пластины в зависимости от определяющих параметров: числа Маха, безразмерной длины, безразмерной жесткости и безразмерной плотности. Для сверхзвукового обтекания проведено сравнение с асимптотической теорией. Полученные результаты исследований хорошо согласуются с асимптотической теорией при изменении, безразмерной длины, безразмерной плотности и несколько хуже при изменении числа Маха и безразмерной жесткости. Это может быть обусловлено тем, что асимптотическая теория дает очень большие изменения безразмерной жесткости при незначительных изменениях числа Маха в точке возникновения неустойчивости.

Проведено исследование поведения пластины в зависимости от числа Маха и при различных безразмерных жесткостях. Получено, что для малых значениях безразмерной жесткости при м = 1 статическая неустойчивость переходит в динамическую неустойчивость с аналогичной амплитудой, а с повышением жесткости при М = 1 появляется зона устойчивости (см. Рис. 5). Также, получено, что при уменьшении безразмерной жесткости Т> амплитуда пластины возрастает, а частота остается постоянной до тех пор, пока при достаточно малых и не будет активизирована вторая мода колебания пластины (см. Рис. 6). Это можно объяснить тем, что безразмерная жесткость влияет только на возникновение колебания пластины с определенной частотой и величину отклонения, но не на значение частоты колебания. Также следует отметить, что частота колебания пластины монотонно возрастает при числе Маха \<М<\.2 в зоне бегущей волны, а затем немонотонно меняется в небольшом интервале значений. При колебании пластины по первой моде амплитуда колебаний также монотонно возрастает при числе Маха 1<А/<1.2, а затем монотонно убывает независимо от безразмерной жесткости.

В четвертой главе представлено применение разработанного метода для решения практически важных задач с использованием разработанного метода.

В первой части четвертой главы представлено моделирование работы опорного подшипника скольжения посредствам сопряжения программных комплексов АЬаяив и Р1о\у\%юп-НРС. В исследуемом подшипнике клиновидный зазор между опорой и валом возникает за счет неравномерного теплового расширения опоры при нагреве из-за трения в масле, заполняющим зазор. Течение масла в клиновидном зазоре порождает подъемную силу, которая уравновешивает вес вала.

В ходе решения

110 100 90 80 70 60 50 40

По, гьемна* сила,

< ряв НЯЯ ИРГ ' вата

задачи проводится серия расчетов при различной толщине зазора, определяется зависимость подъемной силы от величины ¿,мкм зазора, определятся само значение зазора, соответствующее силе, равной ве-

Рис. 7. Зависимость подъемной силы (Р^, действующей на вал, от величины зазора ((1) су вала (см. Рис. 7). Для найденной толщины определяется форма деформированной опоры подшипника и распределение температуры в зазоре подшипника. Значение величины зазора, образующегося в подшипнике, хорошо согласуется с экспериментом.

Во второй части четвертой главы представлено моделирование работы маслосъемного колпачка посредствам сопряжения программных комплексов АЬаяш и Р1о\уУшоп-НРС.

<3-10«,г/е

Уд, м/с

Рис. 8. Зависимость расхода масла С2 через уплотнитель от амплитуды колебания штока У0 при постоянной частоте колебания ю = 32 рад/с

В результате моделирования работы масло-сьемного колпачка получено, что расход масла через него линейно зависит от амплитуды колебания штока (см. Рис. 8) и практически не зависит от частоты колебания. Расход, полученный при рабочем режиме, хорошо согласуется с реальным рас-

1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 О

ходом масла в современном автомобиле.

В третьей части четвертой главы представлено моделирование работы

пневматического захватного устройства,

и С

предназначенного для захвата колец уплотнения с конвейерной ленты. Захват производится посредствам вакуумного К, м/с канала. Вакуумный канал -О 10 20 30 40 50 канал, имеющий форму Рис. 9Время центрирования/кольцапри кольца, давление в котором различных скоростях потока V в составляет порядка 0.1 атм.

центрирующей струе Выходное отверстие

вакуумного канала находится непосредственно над конвейерной лентой. Захват кольца осуществляется за счет всасывающей силы, обусловленной низким давлением в канале. Прежде чем произвести захват, необходимо провести центровку кольца: поместить кольцо напротив вакуумного канала

19

так, чтобы центр вакуумного кольца совпадал с центром канала. Центровка осуществляется с помощью струи воздуха, истекающей из отверстия в центре канала.

В результате моделирования работы пневматического захватного устройства получена зависимость времени центровки колец от скорости центрирующей струи (см. Рис. 9). Время центровки кольца при рабочей скорости струи хорошо согласуется с экспериментом.

Основные результаты и выводы

1. Разработан метод решения задач взаимодействия подвижной и деформируемой конструкции с потоком жидкости или газа в программных комплексах Abaqus и Flow Vision-UPC.

2. Для расширения устойчивости метода введены коэффициенты демпфирования податливость и мобильность. Возможность применения демпфирующих коэффициентов для расширения области устойчивости обоснована теоретически на упрощенной схеме. Проведены прямые численные эксперименты по подбору значений параметров.

3. С использованием разработанного метода проведено исследование устойчивости защемленной с двух сторон пластины в до- и сверхзвуковом потоке газа. Численно подтверждено существование выпучивания при дозвуковом обтекании пластины и флаттера при низком сверхзвуковом обтекании, ранее описанных теоретически и обнаруженных экспериментально. Исследована зависимость амплитуды выпучивания и флаттера, а также частоты флаттера от безразмерных параметров, определяющих задачу.

4. С использованием разработанного метода проведено численное моделирование работы опорного подшипника скольжения,

маслосъемного колпачка и пневматического захватного устройства. Получено хорошее совпадение с результатами экспериментов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Шишаева A.C., Жлуктов C.B., Кузнецов К.В., Аксенов A.A. Численное моделирование работы опорного подшипника с помощью прямого сопряжения систем Abaqus и FlowVision-HPC // Известия Волгоградского Государственного Технического Университета, Серия Актуальные проблемы управления, вычислительной техники и информатики в технических системах, Выпуск 7, №12 (60). 2009, Волгоград. С. 51-54.

2. Кристаль М.Г., Срегачев Е.В., Волчков В.М., Татаринцев Д.Ю., Шишаева A.C. Компьютерное моделирование процесса захвата уплотнительных колец пневматическим захватным устройством // Сборка в машиностроении, приборостроении. 2010, 10, С.3-6.

3. Жлуктов C.B., Аксенов A.A., Харченко С.А., Москалев И.В., Сушко Г.Б., Шишаева A.C. Моделирование отрывных течений в программном комплексе FLOWVISION-HPC // Вычислительные методы и программирование. 2010. Том 11, С. 234-245.

4. Аксенов A.A. Шишаева A.C. Моделирование взаимодействия деформируемой конструкции с потоком жидкости с использованием пристенных демпфирующих коэффициентов // Вычислительные методы и программирование. 2010. Том 11, С. 366-372.

5. Аксенов A.A., Веденеев В.В., Кузнецов К.В., Шишаева A.C. Моделирование сверхзвукового флаттера пластины посредством прямого сопряжения программных комплексов Abaqus и FlowVision НРС II Материалы 8-й Международной конференции по

неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2010). М.: МАИ-ПРИНТ. 2010. С. 288-290.

6. C'hen R.. Akseiiov A.. Shishaeva А.. Kuo F. Onset of Levitation in Thrust Bearing: FSI Study Using Abaqus-FlowVision Coupling /7 SIMULIA Customer Conference. Providence. Rliode Island. May 2010. pp. 538-545.

7. Aksenov A.. Koreuev D.. Shyshaeva A.. Vucinic D.. Mravak Z. Drop-Test FSI Simulation with Abaqus and FlovvVision Based on the Direct 2-Way Coupling Approach // Abaqus Users' Conference. Newport. Rhode Island. May 2008. pp. 611-624.

8. Шншаева A.C. Моделирование работы маслосъемного колпачка посредством программных комплексов ABAQUS и FLOWVISION // Сборник трудов 49-й научной конференции МФТИ. Часть III. М.. 2006. С. 155

9. Шншаева А.С.. Жлуктов СВ.. Кузнецов К.К.. Аксенов А.А. Применение прямого сопряжения систем ABAQUS и FLOWVISION-НРС для моделирования работы подшипника скольжения // Сборник трудов 52-й научной конференции МФТИ. Часть III. М.. 2009. С. 135138.

10. Шншаева А.С.. Кузнецов К.К.. Аксенов А.А. Применение прямого сопряжения систем ABAQUS и FlowVision-HPC для моделирования течения жидкости через уплотнитель // Сборник трудов 52-й научной конференции МФТИ. Часть III. М.. 2009. С.70-71.

Тираж: 100 экз. Типография «SunPrint» 119334, Москва, Ленинский пр-т. Д.37А (495) 626-42-43 www.sunprint.ru

Оглавление.

Введение.

Глава 1. Обзор задач и методов решения.

1.1. Обзор методов решения задач взаимодействия жидкости или газа с подвижными и деформируемыми элементами конструкции.

1.2. Анализ результатов обзора. Цели и задачи настоящего исследования.

Глава 2. Метод решения задач взаимодействия подвижной и деформируемой конструкции с потоком жидкости или газа.

2.1. Описание расчетной схемы.

2.2. Демпфирующие коэффициенты.

2.3. Теоретическое исследование устойчивости расчетной схемы

2.4. Численное исследование устойчивости расчетной схемы.

2.5. Анализ полученных результатов.

Глава 3. Исследование устойчивости упругой пластины в до- и сверхзвуковом потоке газа.

3.1. Численное моделирование защемленной с двух сторон пластины в до- и сверхзвуковом потоке газа.

3.2. Сравнение с асимптотической теорией.

3.3. Анализ полученных результатов.

Глава 4. Применение разработанного метода для решения технологических задачах.

4.1. Определение условий возникновения левитации при работе опорного подшипника скольжения.

4.2. Моделирование работы уплотнительного устройства в маслосъемном колпачке.

4.3. Моделирование процесса захвата уплотнительных колец пневматическим захватным устройством.

4.4. Анализ полученных результатов.

Актуальность темы. Задачи взаимодействия подвижных и деформируемых конструкций с жидкостью или газом широко распространены в науке, промышленности, медицине. Примерами таких задач в авиации являются флаттер крыльев и обшивки самолета [1, 2], раскрытие парашюта [3], в автомобилестроении - аквапланирование автомобильной шины [4], в кораблестроении - движение судна [5], в машиностроении - движение масла через уплотнители [6], деформация лопаток турбины в потоке [7], тепловые деформации работающего подшипника [8], в медицине - работа сердца [9-12] движение крови по деформируемым сосудам [13-21]. Основная сложность моделирования взаимодействия жидкости и конструкций заключается в необходимости получения совместного согласованного решения уравнений динамики конструкции и уравнений движения жидкости или газа.

За последние десятилетия разработано большое количество аналитических и полуэмпирических методов [22-31]. Однако, данные методы преимущественно применимы для узкого класса задач с простейшей геометрией и рядом ограничений, накладываемых на постановку задачи и граничные условия. В то же время, для решения промышленных задач требуется учитывать сколь угодно сложную геометрию и граничные условия. Поэтому, одним из основных и наиболее перспективных методов для решения задач является прямое численное моделирование [32].

Существуют два основных метода для решения задач взаимодействия жидкости и конструкции с помощью численного моделирования: монолитный и метод расщепления. Монолитный метод подразумевает сведение задачи в одну систему уравнений с единым методом их решения. [33-37]. Метод расщепления предполагает разделение всей системы уравнений на подсистемы, которые решаются отдельно, периодически обмениваясь данными через заданный интервал времени [38-53]. Монолитный метод более устойчив и лучше отражает физику явления. Однако он требует общего математического аппарата для решения всех уравнений, в то время как большинство существующих на сегодняшний день решателей ориентированы либо на моделирование динамики деформируемых конструкций, либо на моделирование движения жидкости или газа. Метод расщепления позволяет использовать существующие решатели. Самая простая модификация метода расщепления - явный метод расщепления. При использовании явного метода расщепления решение подсистем осуществляется один раз на некотором временном интервале, в конце которого подсистемы обмениваются данными. Однако известно, что явный метод при определенных условиях может обладать численной неустойчивостью, при которой начальные возмущения могут возрастать со временем. Причина неустойчивости — неравенство значений скорости поверхности конструкции и нагрузок на ней, вычисленных в подсистемах в моменты обмена. [47, 48, 53, 54]. Существует три пути устранения неустойчивости: использование неявной схемы расщепления, использование явной схемы с предиктор/корректором и использование искусственной сжимаемости. Использование неявной схемы в методе расщепления предполагает повторное решение уравнений движения жидкости и динамики конструкции вплоть до достижения согласованного решения обеих подсистем [46]. Такой способ позволяет в значительной мере устранить причину неустойчивости, однако он в десятки раз увеличивает время расчета. Использование предиктор/корректора предполагает предсказание скорости границы со стороны конструкции и нагрузки на границе со стороны потока на следующем шаге [48]. Однако, поскольку нагрузки, вычисляемые в потоке, зависят от предсказанных, а не от истинных смещений твердого тела на границе раздела, то в случае недостаточно точного предсказания это также может приводить к неустойчивости. Использование искусственной сжимаемости предполагает внедрение в уравнение неразрывности для жидкости коэффициентов демпфирования, предугадывающих отклик подвижной или деформируемой конструкции на изменение нагрузки со стороны потока [55-61].

Таким образом, разработка эффективных алгоритмов для моделирования взаимодействия жидкости и конструкции, обладающих достаточным запасом устойчивости, является актуальной задачей.

Цель работы. Разработка технологии решения задач взаимодействия подвижных и деформируемых элементов конструкции с потоком жидкости или газа. Применение ее для решения практически важных задач.

Научная новизна. Впервые для расширения диапазона устойчивости явного метода расщепления введены демпфирующие коэффициенты Податливость и Мобильность, которые обеспечивают устойчивую работу алгоритма в широком диапазоне параметров. Проведено теоретическое и численное исследование, подтверждающее расширение границ устойчивости алгоритма. С помощью разработанного алгоритма исследовано поведение защемленной с двух сторон пластины в до- и сверхзвуковом потоке газа. Подтвержден недавно открытый одномодовый флаттер пластины на низких сверхзвуковых скоростях. Обнаружено, что неустойчивость пластины при переходе на дозвуковые скорости принимает форму выпучивания. Исследована зависимость флаттера и выпучивания от безразмерных параметров.

Практическая ценность. Разработан метод, предназначенный для численного решения задач взаимодействия подвижных и деформируемых элементов конструкции с потоком жидкости или газа, сочетающий высокую скорость, точность и устойчивость вычислений. Данный метод использован для разработки прямого сопряжения программных комплексов РЬхуЛ^Ыоп-НРС

62] и АЬаяив, предназначенных для решения широкого круга задач. Посредствам разработанного метода исследована неустойчивость деформируемой пластины в потоке газа, проведено численное моделирование работы уплотнителя, подшипника скольжения, а также устройства автоматического бесконтактного захвата. Разработанный метод может с успехом применяться в процессе промышленной разработки в авиации, автомобилестроении, судостроении, машиностроении, атомной промышленности, автоматизации производства и медицине.

Положения, выносимые на защиту:

1. Разработан метод связывания программных комплексов, предназначенных для расчета уравнений движения жидкости и деформации конструкций на основе введения пристенных демпфирующих коэффициентов.

2. Исследовано влияние пристенных демпфирующих коэффициентов («податливость» и «мобильность») на численную устойчивость совместного решения.

3. Решена задача о поведении упругой пластины в до- и сверхзвуковом потоке газа с помощью разработанного метода. Получена зависимость амплитуды выпучивания пластины и амплитуды и частоты флаттера пластины от параметров материала и размеров пластины и потока газа.

4. Решен ряд практически важных задач с помощью разработанного метода: левитация ротора опорного подшипника, определение расхода масла через маслосъемный колпачок, определена зависимость времени центровки детали от скорости центрирующей струи газа в автоматической сборочной линии.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 49-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (Долгопрудный, Россия, 2006), Конференции пользователей ABAQUS (Париж, Франция, 2008), 51-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (Долгопрудный, Россия, 2008), VI Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых (Санкт-Петербург, Россия, 2009), 52-й научной конференции МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (Долгопрудный, Россия, 2009), VIII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Алушта, 2010), конференции пользователей ABAQUS (Abaqus Users' Conference) (Чикаго, США, 2010).

Публикации результатов. По теме диссертации опубликовано 4 статьи [63-66], 6 тезисов [67-72], сделано 8 научных докладов.

Личный вклад автора. Численное исследование устойчивости разработанного метода. Численное исследование устойчивости пластины в floja сверхзвуковом потоке. Тестирование разработанного метода. Численное моделирование работы опорного подшипника скольжения, уплотнителя в маслосъемном колпачке, пневматического захватного устройства.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 143 страницах машинописного текста, содержит 6 таблиц, проиллюстрирована 84 рисунками, состоит из введения, 4 глав, выводов и списка литературы, включающего 95 наименований.

Заключение

1. Разработан метод решения задач взаимодействия между подвижной и деформируемой конструкцией с потоком жидкости или газа, основанный на явном методе расщепления. Разработанный метод применен для моделирования взаимодействия подвижной и деформируемой конструкции с потоком жидкости или газа и программных комплексах Abaqus и Р1 о бюп-НРС .

2. Предложена численная схема, в которой для расширения устойчивости метода в уравнения движения жидкости введены коэффициенты демпфирования Податливость и Мобильность. Они предназначены для предугадывания скорости конструкции. Значения коэффициентов задаются вручную и определяются по характеристикам конструкции.

3. Проведен теоретический анализ влияния коэффициентов демпфирования на устойчивость на упрощенной схеме. Показано, что использование демпфирующих параметров позволяет сделать решение более устойчивым.

4. Проведено численное исследование возникновения неустойчивости на примере движения незакрепленного поршня и поршня, закрепленного на пружине под воздействием давления со стороны жидкости во Р1о\¥У18юп-НРС. Проведены расчеты при различных значениях демпфирующих коэффициентов. Получено, что для устранения неустойчивости при движении свободного поршня следует использовать Мобильность, а при движении поршня, закрепленного на пружине, - Податливость. Определены значения демпфирующих коэффициентов, при которых решение становится устойчивым. Отсюда можно заключить, что разработанный метод позволяет соединять готовые решатели, при этом в значительной степени предотвращать неустойчивость, характерную для методов данного класса.

5. С использованием разработанного метода проведено исследование устойчивости защемленной с двух сторон пластины в до- и сверхзвуковом потоке газа. Обнаружено три основных типа поведения пластины: устойчивое равновесие, статическая неустойчивость в виде выпучивания, и динамическая неустойчивость в виде флаттера. Обнаружен флаттер двух видов: в виде бегущей волны и в виде стоячей волны. Причем бегущая волна наблюдается при числе Маха М<1.2, а стоячая при числе Маха М>1.2. Существование выпучивания при дозвуковом обтекании пластины, флаттера при обтекании пластины с низкой сверхзвуковой скоростью, бегущая волна при флаттере при М<1.2 хорошо согласуются с исследованиями, проведенными в последние годы. Существование статического отклонения, связанного с флаттером, является новым фактом. Проведено исследование возникновения неустойчивости пластины в зависимости от определяющих безразмерных параметров: числа Маха, безразмерной длины, безразмерной жесткости и безразмерной плотности. Для сверхзвукового обтекания проведено сравнение с асимптотической теорией. Получено, что результаты исследований хорошо согласуются с асимптотической теорией при изменении числа Маха, безразмерной длины, безразмерной плотности и несколько хуже при изменении безразмерной жесткости. Проведено исследование поведения пластины в зависимости от числа Маха и при различных безразмерных жесткостях. Получено, что при малых значениях безразмерной жесткости при М=1 статическая неустойчивость переходит в динамическую неустойчивость с аналогичной амплитудой, а при повышении жесткости при М=1 появляется зона устойчивости. Также, получено, что при уменьшении безразмерной жесткости амплитуда пластины возрастает, а частота остается постоянной до тех пор, пока при достаточно низких жесткостях не будет активизирована вторая мода колебания пластины. Следует отметить, что частота колебания пластины монотонно возрастает при числе Маха 1<М<1.2 - в зоне бегущей волны, а затем немонотонно меняется в небольшом интервале значений. При колебании пластины по первой моде амплитуда колебаний также монотонно возрастает при числе Маха 1<М<1.2, а затем монотонно убывает независимо от безразмерной жесткости. Отсюда можно заключить, что разработанный метод можно с успехом применять для проведения новых научных исследований.

6. С использованием разработанного метода проведено численное моделирование практически важных задач: a. Проведено моделирование работы подшипника скольжения, Получено условие возникновения левитации в подшипнике за счет теплового расширения опоры, форма деформированной опоры подшипника и распределение температуры в зазоре подшипника. Значение величины зазора, образующегося в подшипнике, хорошо согласуется с экспериментом. b. Проведено моделирование работы маслосъемного колпачка двигателя внутреннего сгорания. Получено, что расход масла через него линейно зависит от амплитуды колебания штока и практически не зависит от частоты колебания. Расход, полученный при рабочем режиме, хорошо согласуется с расходом реальных масел в современном автомобиле. c. Проведено моделирования работы пневматического захватного устройства. Получена зависимость времени центровки колец от скорости центрирующей струи. Время центровки кольца при рабочей скорости струи хорошо согласуется с экспериментом.

Отсюда можно заключить, что разработанный метод можно с успехом применять для решения разнообразных практически важных задач, имеющих широкое применение в промышленности.

7. Разработанный метод позволяет соединять готовые решатели для моделирования взаимодействия подвижной и деформируемой конструкции с потоком жидкости или газа, при этом обладает расширенной областью устойчивости по сравнению с обычным явным методом расщепления. Данный метод может с успехом применятся в для решения практически важных задач.

1. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. - М.: Наука, 2006. - 247 с.

2. Келдыш М.В. Избранные труды. М.: Наука, 1985. - 569 с.

3. Stein K.R., Benney R.J., Tezduyar Т.Е., Leonard J.W., Accorsi M.L. Fluid-Structure Interactions of a Round Parachute: Modeling and Simulation Techniques. // Journal of Aircraft. 2001. - V. 38. - P. 800-808.

4. G.W.H. van Es. Hydroplaning of modern aircraft tires. National Aerospace Laboratory NLR, 2001. - 11 p.

5. Sato Y.,< Miyata H., Sato T. CFD simulation of 3-dimensional motion of a ship in waves: application to an advancing ship in regular heading waves// Journal of marine science and technology. 1999. - V.4. - P. 108-116.

6. Макаров Г. В. Уплотнительные устройства. Л.: «Машиностроение», Ленинградское отделение, 1973. - 232 с.

7. Черкасский В.М. Насосы, вентиляторы, компрессоры: Учебник для теплоэнергетических специальностей вузов. — 2-е изд., перераб. и доп. М.: Энергоатомиздат, 1984. - 416 с.

8. Чернавский С.А. Подшипники скольжения. М.: МАШГИЗ, 1963. -244 с.

9. Scotti С.М., Shkolnik A.D., Muluk S.C., Finol E.A. Fluid-structure interaction in abdominal aortic aneurysms: effects of asymmetry and wall thickness. // BioMedical Engineering OnLine. 2005. - 4:64.

10. Dumont K., Vierendeels J., Segers P, Van Nooten G., Verdonck P. Predicting ATS open pivot (TM) heart valve performance withcomputational fluid dynamics. I I Journal of Heart Valve Disease. 2005. -V.14(3).- P. 393-399.

11. Эртель Г. мл. (ред.) Путеводитель Прандтля по гидроаэродинамике. -Москва-Ижевск: НИЦ «РХД», ИКИ, 2007. 776 с.

12. Cebral J., Lohner R., Soto О., Choyke P., Yim P. Patient-Specific Simulation of Carotid Artery Stenting Using Computational Fluid Dynamics // Lecture Notes in Computer Science. 2001. - V. 2208. - P. 193-219.

13. Gerbeau J.-F, Vidrascu M., Frey P. Fluid-structure interaction in blood flows on geometries based on medical imaging. // Computers & Structures. 2005. - V. 83, (2-3) - P. 155-165.

14. Gerbeau J.-F., Vidrascu M. A quasi-Newton algorithm based on a reduced model for fluid-structure interaction problems in blood flows.// Math. Modelling and Num. Analysis. 2003. - V. 37(4) - P. 631-648.

15. Prosi M., Perktold К., Ding Z., Friedman M. Influence of curvature dynamics on pulsatile coronary artery flow in a realistic bifurcation model. // Journal of Biomechanics. 2004. - V. 37. - P. 1767-1775.

16. Scotti C, Finol E. Compliant biomechanics of abdominal aortic aneurysms: A fluidstructure interaction study. // Computers & Structures. 2000. - V. 85.-P. 1097-1113.

17. Perktold K., Rappitsch G. Computer simulation of local blood flow and vessel mechanics in a compliant carotid artery bifurcation model. // Journal of Biomechanics. 1995. -V. 28 (7). - P. 845-856.

18. Yanga X., Liu Y., Yang J. Fluid-structure interaction in a pulmonary arterial bifurcation. // Journal of Biomechanics. 2007. - V.40. - P. 26942699.

19. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа: Учеб. для вузов. 7-е изд., испр. - М.: Дрофа, 2003. - 840 с.

20. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С. Теплопередача. Учебник для вузов. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: «Энергия», 1975. - 488 с.

21. Garric I.E., Rubinow S.E. Flutter and oscillating air-force calculations for an airfoil in a two-dimensional supersonic flow. NACA, 1946. -Report № 846. - 25 p.

22. Cunningham H.J. Flutter analysis of flat rectangular panels based on three dimensional supersonic potentional flow. // AIAA Journal. 1963. - V. 1. -№8.-P. 1795-1801.

23. Nelson H.C., Cunnigham H.J. Theoretical investigation of flutter of twodimensional flat panels with one surface exposed to supersonic potential flow. NACA. 1956. - Report № 1280. - 24 p.

24. Ильюшин А.А. Закон плоских сечений в аэродинамике больших сверхзвуковых скоростей. // Известия АН СССР. ПММ. 1956. - Т. 20. -В. 6.-С. 733-755.

25. Ashley Н., Zartarian G. Piston theoiy — new aerodynamic tool for the aeroelastician. // Journal of the Aeronautical Sciences. 1956. - V. 23. -№. 12.-P. 1109-1118.

26. Горячева И.Г. Механика фрикционного взаимодействия. М.: Наука, 2001.-478 с.

27. НиЬпег В., Walhorn E., Dinkier D. A monolithic approach to fluid-structure interaction using space-time finite elements. // Computer Methods in Applied Mechanic Engineering. 2004. - V. 193. - P. 2087-2104.

28. Walhoern E., Hubner В., Kollce A., Dinkier D. Fluid-structure coupling within a monolithic model involving free surface flows. // Computational Fluid and Solid Mechanics. 2003. - V. 2. - P. 1560-1563.

29. Bathe K.-J., Zhang H. Finite element developments for general fluid flows with structural interactions. // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2004. - V. 60. - P. 213-232.

30. Heil M. An efficient solver for the fully coupled solution of large-displacement fluidstructure interaction problems. // Computer Methods in Applied Mechanic Engineering. 2004. - V. 193. - P. 1-23.

31. Chen X., Zha G., Hu Z., Numerical simulation of flow induced vibration based on fully coupled fluid-structural interactions. // 34th AIAA Fluid Dynamics Conference and Exhibit, Portland, Oregon, 2004,- P. 2004-2240.

32. Tezduyar T. E., Sathe S., Keedy R., Stein K. Space-time finite element techniques for computation of fluid-structure interactions. // Computer Methods in Applied Mechanic Engineering. 2006. - V. 195. - P. 20022027.

33. Dettmer W., Peric D. A computational framework for fluid-rigid body interaction: Finite element formulation and applications.// Computer Methods in Applied Mechanic Engineering. 2006. - V. 195. - P. 16331666.

34. Dettmer W., Peric D. A computational framework for fluid-structure interaction: Finite element formulation and applications // Computer Methods in Applied Mechanic Engineering. 2006. - V. 195. - P. 57545779.

35. Matthies H. G., Steindorf J. Partitioned strong coupling algorithms for fluid structure interaction. // Computers and Structures. ~ 2003. V. 81. - P. 805-812.

36. Pipemo S., Farhat C. Design of efficient partitioned procedures for the transient solution of aeroelastic problems. // Revue Européenne des Elements Finis. 2000. - V. 9. - P. 655-680.

37. Rank E., Scholz D., Halfmann A., Gluck M., Breuer M. Durst F. Fluid structure interaction in civil engineering. // Computational Fluid and Solid Mechanics. 2003. - V. 2. - P. 1488-1491.

38. Farhat C., van der Zee K. G., Geuzaine P. Provably second-order time-accurate loosely-coupled solution algorithms for transient nonlinear computational aeroelasticity. // Computer Methods in Applied Mechanic Engineering. 2006. - V. 195. - P. 1973-2001.

39. Sachhs S.M., Stetnel D.C., Schafer M. Implicit partitioned coupling with global multigrid in fluid-structure interaction. // V European Conference on Computational Fluid Dynamics ECCOMAS CFD, 2010, Lisbon, Portugal, 14-17 June 2010.

40. Degroote J., Haelterman R., Annerei S., Bruggeman P., Vierendeels J. Performance of partitioned procedures in fluid-structure Interaction, // Computers & Structures. 2010. - V. 88. Issues 7-8. - P. 446-457.

41. Lesoinne M., Farhat C. Geometric conservation laws for flow problems with moving boundaries and deformable meshes, and their impact on aeroelastic computations.// Computer Methods in Applied Mechanic Engineering. -1996.-V.134.-P. 71-90.

42. Vaassen J., Klapka I., Leonard B., Hirsch C. A staggered approach to compute Fluid-Structure-Interaction problems on non-conform grids. // ACOMEN 2008, University of Liege, Belgium, 26-28 May 2008.

43. Forster C. Robust methods for fluid-structure interaction with stabilized finite elements. Institut fur Baustatik und Baudynamik der Universität Stuttgart, Professor Dr.-ing. M. Bischoff. - Stuttgart, 2007. -210 c.

44. Causin P., Gerbeau J.-F., Nobile, F. Added-mass effect in the design of partitioned algorithms for fluid-structure problems. // Computer Methods in Applied Mechanic Engineering. 2005. - V. 194. - P. 4506-4527.

45. Raback P., Ruokolainen J, Lyly M., Järvinen E. Fluid-structure interaction boundary conditions by artificial compressibility. // ECCOMAS CFD 2001, Swansea 4-7 September 2001.

46. Chorin A. J. A Numerical method for solving incompressible viscous flow problems. // Journal of Comp. Physics. ~ 1997. V.135. - P.l 18-125.

47. Rogers S. E., Kwak D., Kaul U. On the accuracy of the pseudocompressibility method in solving the incompressible Navier-Stokes equations. // Applied Mathematical Modelling. 1987. - V.l 1. - P. 35-44.

48. Carter F. D., Baker A. J. Accuracy and stability of a finite element pseudo-compressibility CFD algorithm for incompressible thermal flows. // Numerical Heat Transfer, Part В. 1991. - V 20. - P. 1-23.

49. Peyret R. Unsteady evolution of a horizontal jet in a stratified fluid. // Journal of Fluid Mechanics. 1976. - V.78(l). - P.49-63.

50. Merkle C, Athavale M. Time-accurate unsteady incompressible flow algorithm based on artificial compressibility. // A1AA Paper 87-1137. AIAA Pres Washington DC. 1987. - P.397-407.

51. Aksenov A. A., Dyadldn A.A., Pokhilko V.I. Overcoming of Barrier between CAD and CFD by Modified Finite Volume Method // Proc. of "1998 ASME Pressure Vessels and Piping Division Conference", San Diego, ASME PVP. 1998 V. 377-1.

52. Кристаль М.Г., Срегачев Е.В., Волчков В.М., Татаринцев Д.Ю., Шишаева А.С. Компьютерное моделирование процесса захвата уплотнительных колец пневматическим захватным устройством. // Сборка в машиностроении, приборостроении. 2010. - В. 10. - С.3-6.

53. Жлуктов С.В., Аксенов А.А., Харченко С.А., Москалев И.В., Сушко Г.Б., Шишаева А.С. Моделирование отрывных течений в программном комплексе FLOWVISION-HPC. // Вычислительные методы и программирование. 2010. - Том 11. - С. 234-245.

54. Аксенов А.А. • Шишаева А.С. Моделирование взаимодействия деформируемой конструкции с потоком жидкости с использованием пристенных демпфирующих коэффициентов. // Вычислительные методы и программирование. 2010. - Том 11. - С. 366-372.

55. Aksenov A., Korenev D., Shishaeva A., Vucinic D., Mravak Z. Drop-Test FSI simulation with Abaqus and FlowVision based on the direct 2-way coupling approach. // Abaqus Users' Conference, Newport, Rhode Island, May 2008. P. 611-624.

56. Chen R., Aksenov A., Shishaeva A., Kuo F., Onset of Levitation in Thrust Bearing: FSI Study Using Abaqus-FlowVision Coupling. // SIMULIA Customer Conference, Providence, Rhode Island, May 2010. P. 538-545.

57. Шишаева А.С., Кузнецов К.К., Аксенов А.А. Применение прямого сопряжения систем ABAQUS и FlowVision-HPC для моделирования течения жидкости через уплотнитель // Сборник трудов 52-й научной конференции МФТИ. Часть HI. Т.2 М., 2009. - С.70-71.

58. Nelson Н.С., Cunningham H.J. Theoretical investigation of flutter of twodimensional flat panels with one surface exposed to supersonic potential flow. NACA, 1956. - Report No 1280. - 24 p.

59. Dowell E.H. Aeroelasticity of Plates and Shells. Leyden: Noordhoff, 1975.- 139 p.

60. Dowell E.H. Panel flutter: A review of the aeroelastic stability of plates and shells. // AIAA Journal. 1970. - V. 8, No 3. - P. 385-399.

61. Dowell E.H. Aeroelasticity of plates and shells. Kluwer Academic Publishers, 1974.- 160 p.

62. Yang T.Y. Flutter of flat finite element panels in supersonic potential flow. //AIAA Journal.- 1975.-V. 13, № 11.-P. 1502-1507.

63. Мовчан А.А. О колебаниях пластинки, движущейся в газе. // Известия АН СССР. ПММ. 1956. - Т. 20, Вып. 2. - С. 211-222.

64. Мовчан А.А. Об устойчивости панели, движущейся в газе. // Известия АН СССР. ПММ. 1957.-Т. 21, Вып. 2. - С. 231-243.

65. Мовчан А.А. Устойчивость лопатки, движущейся в газе. // Известия АН СССР. ПММ. 1957. - Т. 21, Вып. 5. - С. 700-706.

66. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. -М.: Физматгиз, 1961. -339 с.

67. Веденеев В. В. Флаттер пластины, имеющей форму широкой полосы, в сверхзвуковом потоке газа. // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2005. - № 5. - С. 155-169.

68. Веденеев В. В. Нелинейный высокочастотный флаттер пластины. // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2007. - № 5. - С. 197-208.

69. Веденеев В. В. Численное исследование сверхзвукового флаттера пластины с использованием точной аэродинамической теории. // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2009. - № 2. - С. 169-178.

70. Веденеев В. В., Гувернюк С. В., Зубков А. Ф., Колотников М. Е. Экспериментальное исследование одномодового панельного флаттера в сверхзвуковом потоке газа. // Известия РАН. Механика жидкости и газа.-2010.-№2.-С. 161-175.

71. Bendiksen О.О., Davis G.A. Nonlinear traveling wave flutter of panels in transonic flow. // AIAA Paper 95-1486. 1995. - 17 p.

72. Bendiksen O.O., Seber G. Fluid-structure interactions with both structural and fluid nonlinearities. // Journal of sound and vibration. 2008. - V 315. -P. 664-684.

73. Пожбелко В.И. Динамическое моделирование и нелинейная безразмерная аналитическая характеристики сил вязкого трения гидродинамических опор скольжения // Проблемы машиностроения, Известия Челябинского научного центра. — 2003. В. 1 (18) - С. 71-75.

74. Еркаев Н.В., Нагайцева, Н.А. Математическая модель нестационарных движений вала в гидродинамическом подшипнике. // Прикладная механика и техническая физика. 2003. - Т. 44, № 5. - С. 118-127.

75. Petrushina М., Klambozki S., Tchij О. Thermomechanical Analysis of the Turbo-Compressor Sliding Bearing Mount Units. // 9-th Int. LS-DYNA User Conference Simulation Technology, Dearborn, 2006. P. 1324-1339.

76. Кристаль М. Г, Стегачев. Е.В. Моделирование пневмовихревого захватного устройства с вращающейся вихревой камерой. // Сборка в машиностроении, приборостроении. 2004. - №1. - С. 19 -23.

77. Kim J., Kline S. J., Johnston J. P. Investigation of a Reattachment Turbulent Shear Layer: Flow over a Backward-Facing Step. // Transactions of the ASME, Journal of Fluids Engineering. 1980. - V. 102. - P. 302-308.

78. Eaton J. K., Johnston J. P. A Review of Research on Subsonic Turbulent Flow Reattachment. // AIAA Journal. 1980. -V. 19, Iss.9. - P. 1093-1100.

79. ШлихтингГ. Теория пограничного слоя. -М.: Наука, 1974. 712 с.