автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование вторичных методов разработки нефтяных месторождений Крайнего Севера

На правах рукописи

ПАВЛОВ Михаил Никифорович

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВТОРИЧНЫХ МЕТОДОВ РАЗРАБОТКИ НЕФТЯНЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ КРАЙНЕГО СЕВЕРА

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Якутск - 2005

Работа выполнена на кафедре прикладной математики ГОУ ВПО "Якутский государственный университет им. М.К. Аммосова" Министерства образования и науки Российской Федерации

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Васильев Василий Иванович

Официальные оппоненты:

член-корресаондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Шайдуров Владимир Викторович

доктор физико-математических наук, профессор Вабищевич Петр Николаевич

Ведущая организация:

Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН

Защита состоится »23 -

2005 г. в часов на за-

седании диссертационного совета Д 212.306.04 при Якутском государственном университете им. М.К. Аммосова по адресу: 677016, г. Якутск ул. Кулаковского, 48.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Якутского государственного университета им. М.К. Аммосова.

Автореферат разослан " 2*? 11 ДХТЯ СрА 2005 г

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук

Б.В. Яковлев

2 а £> б - Ч

Актуальность темы. В последние годы в связи с тем, что исчерпываются запасы нефти, необходимы принципиально новые высокоэффективные технологии разработки "сложных" месторождений, не поддающихся разработке традиционными методами. Основной объем добычи углеводородного сырья, да и полезных ископаемых в России, приходится на Крайний Север с его суровыми климатическими условиями, а также наличием мощной толщи многолетнемерзлых горных пород. В связи с этим разработка месторождений, и тем более внедрение новых неотработанных технологий в этих условиях связаны с большими материальными и ресурсными затратами.

С другой стороны, нужны новые технологии, увеличивающие конечную нефтеотдачу пластов: активно развивать технологию бурения горизонтальных эксплуатационных скважин, имеющих большую область дренирования; широко использовать такие вторичные методы разработки нефтяных месторождений, как вытеснение нефти водой или растворителями. Последние с учетом вышеуказанного требуют тщательного математического моделирования, которое подразумевает создание новых эффективных моделей и методов их численной реализации.

С развитием компьютерной техники и программного обеспечения появилась возможность получать при помощи вычислительного эксперимента достаточно достоверные данные о процессах разработки нефтяных месторождений. Суть эксперимента состоит в комплексном изучении всей технологической цепочки: изучаемый процесс - математическая модель - вычислительный алгоритм - программа на компьютере.

Целью настоящей работы является: построение, допускающих эффективную численную реализацию, математических моделей неизотермических двухфазных течений в коллекторах со сложной геометрией, с произвольным расположением нагнетательных и эксплуатационных скважин.

Задачи исследования:

1. Численная реализация алгоритма прыжкового переноса для задачи Баклея-Леверетта, сравнение его с другими известными методами, такими как явная схема и нелинейная ТУБ - коррекция разностной схемы

2. Разработка и численная реализация математических моделей задач неустановившейся фильтрации двухфазной сжимаемой жидкости в у пру го-деформируемой пористой среде со сложной границей.

'Кабаре".

3. Построение эффективного вычислительного алгоритма, пригодного для численной реализации математических моделей технологии разработки нефтяных месторождений с помощью наклонных (горизонтальных) скважин.

Научная новизна. Предложен алгоритм прыжкового переноса для задачи Баклея-Леверетта; разработаны и численно реализованы математические модели процессов изотермической и неизотермической фильтрации в упруго-деформируемой пористой среде со сложной границей, с произвольным количеством нагнетательных и эксплуатационных скважин; построены вычислительные алгоритмы для случаев горизонтального и наклонного расположения эксплуатационных скважип.

Теоретическая ценность работы заключается в том, что иредло женные математические модели и разработанные вычислительные алгоритмы могут служить основой для численного исследования широкого класса задач фильтрации многофазной жидкости в пористой среде.

Практическая ценность. Результаты диссертации могу т найти применение для решения актуальных задач нефтедобычи, а именно: для планирования режима добычи, исследования взаимовлияния скважин, оптимизации систем нефтедобычи, вычисления области вытеснения нефти водой при заданном расположении скважин.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах кафедры прикладной математики Института математики и информатики Якутского государственного университета; во Н-ой республиканской научно-практической конференции "Информационные технологии в науке, образовании и экономике" (г. Якутск, ноябрь 2003); на научной конференции студентов и молодых ученых РС(Я) в рамках программы "Лаврентьевские чтения" (г. Якутск, апрель 2003, 2004); на Международной конференции по вычислительной математике "МКВМ-2004" (г. Новосибирск, июнь 2004); на IV Международной конференции по математическому моделированию (г Якутск, июль 2004); во Н-ой и Ш-ей Всероссийских школах-семинарах студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития северных территорий в условиях рынка" (г. Якутск, август 2004, июль 2005).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-[6]

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы из 108 на-

именований, изложена на 120 страницах машинописного текста. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, а также дается краткое изложение содержания диссертации.

В первой главе рассматривается математическая модель двухфазного течения в пористых средах - задача Баклея-Леверетта. Рассмотрим классическую задачу Баклея-Леверетта о заводнении-

тё + <2-^ = 0, 0 <t<i, 0 <х<1, от ох

з(х, 0) = $0 < в, 0 < х < I, (М) = з, 0<t<l

Сложность построения эффективного вычислительного алгоритма, пригодного для численного решения задачи, инициирована тем фактом, что функция Баклея-Леверетта ^(й) является невыпуклой функцией. Для решения данной задачи, помимо классических явной и неявной разностных схем, использован метод нелинейной ТУБ-коррекции разностной схемы "Кабаре" и алгоритм прыжкового переноса, предложенные В.М. Головизниным.

На рис. 1-4 представлены соответственно результаты счета по схеме "неявный уголок", по явной схеме "уголок", нелинейной ТУБ-коррекции разностной схемы "Кабаре" и алгоритма прыжкового переноса при до = 0.1. Линиями 1-3 графически представлены распределения насыщенности, полученные в моменты времени 1-0.08, 0.16, 0.23, соответственно. Кружками обозначены значения точного решения. На рисунках представлены результаты при N = 100, С} = 0.3 м3/с. Результаты счета говорят сами за себя - наблюдается более сильное "размазывание" скачка насыщенности, полученной по схеме "неявный уголок", менее - по явной схеме "уголок" и у нелинейной ТУБ-коррекции разностной схемы "Кабаре", а алгоритм прыжкового переноса дает практически точное решение.

Г |

\ V ! \2 \з

: 1

0.5 1

Рис 1 Неявная схема

Г | Ьг®— ......... -^

: 1 2

: \-

Рис 3 Нелинейная ТУБ - коррекция разностной схемы "Кабаре"

Б

0.85 - 3 .....

чГ I3

0.5 1

Рис 4 Лл[ оритм прыжково] о переноса

I

к Во второй главе построены и численно реализованы двумерные ма-

тематические модели совместного течения несмешивающихся сжимаемых жидкостей в упруго-деформируемой пористой среде Математические модели построены таким образом, что из первого уравнения системы определяется распределение насыщенности, а из второго уравнения - распределение давления. При построении разностной схемы для давления в ближайших скважине двенадцати потоковых узлах использованы поправочные коэффициенты Чекалина А.Н.

Также исследован вторичный метод добычи нефти посредством закачки подогретой воды Извлечение нефти из пластов при помощи обычного заводнения проходит довольно эффективно в условиях, когда отношение вязкости нефти к вязкости воды не превышает десяти. Известно, что вязкость такой нефти сильно зависит от температуры и отношение значений вязкости в зависимости от температуры может достигать до ста. Поэто-' му в нефтепромысловой практике широкое распространение получили

термические методы воздействия на нефтяные залежи, ибо при закачке , в пласт горячей воды в нагретой области пласта значительно уменьша-

ется вязкость нефти, что способствует улучшению условий извлечения нефти из залежи.

Независимо от выбранной модели течения, выбора конкретного алгоритма численной реализации неизбежны принципиальные трудности, связанные с произвольностью рассматриваемой области исследования. Часть этих трудностей связана с построением сетки Эта особенность затрудняет, в частности, создание комплексов прикладных программ, пригодных для численной реализации математических моделей изучаемых процессов, поскольку каждая математическая модель характеризуется

нс только набором коэффициентов, но и геометрией области определения Для избежания вышеуказанных трудностей в работе используется метод фиктивных областей, предложенный и обоснованный, в работах Г.И Марчукт, А Н. Коновалова, П Н Вабищевича.

Рассмотрены начально-краевые задачи для дифференциальных уран-нений, описывающие двухфазную фильтрацию несмешивающихся сжимаемых жидкостей в упруго-деформируемой пористой среде-

для насыщенности

да _ (- - \дР

, = к (1М + 1Щ §гас1р. (х,г)епт, (1)

V М1 № ) К '

з(х, () = во(а;), х £ дО., ¿>0,

— 5, х = XI, 1 = 1,Му, £ > 0, в(х, 0) = х е й;

для давления

р{х,г) = ро{х), хедп, г > о,

. р(я,0) =Ро(ж), жбй;

для температуры

ЭТ д (-дТ\ д (,дТ\ дТ дТ\

срт = дх Ы + дЦ - Г1^ + ду)+

' т(м) = т0{х), хедП, г > о, ^

т(х,о) = т0{х), хей.

Рассматриваемой начально-краевой задаче (1)-(3) на равномерной прямоугольной пространственно-временной сетке поставлены в соответствие чисто неявные разностные схемы с аппроксимацией конвективных слагаемых "против потока"-

для насыщенности .9 — 5

т0—--Ьто^/З»^! - (р) - /3,^(1 - ~

1т+т)х

VI

М2

X Е (V (Рга+1 - Рга-1) а=1 \

+ (1-*}(Р>а +1 -Йа-О)

Рг„+1 - Рга-1 <Л0 + 1 - V.«

2ка

Нп

^

2Ка

К

га — 1,ЛГа—1, а =1,2, ¿€шТ «0,г2 = ЗЛГЬ,2 = 5г1)0 = = 50>

в,1>1г = в, Ж = X;, / - 1, Мь г £ ШТ, вн,г 2 = в<ь га = 0, ЛГа, а = 1,2;

для давления

_ р — р . .

т--= Лр + Ф, х £ши, Ь £ ит,

т _

Р?1,»2=Р0' га = 0,Л^а, л =1,2,

где

Л = Л! + л2,

га — 1)

(а>„Рт„)г , «а = 2, Л^а-2, 1

— - , г« =

/г«

ф =

^ + -^ро, га = 1, Па _

Ф,„ га = 2, лга - 2, „(+1)

Ф/г +

ка

-ро,

%а — Л/д 1;

для температуры

Т - Г

^РгиИ--Г"*- =

12 + 1

h\

11 + 1/2 h\

Tiz . Г12 — Tl2_ i --

. Тг l - Г„-1

<4-1/2--P5----Ь

/г?

а=1

СРцл £ i»»(P.« + l -pJo-l)Wa

h\

Tia+i — Tlo

ha

+

+ (1 - V {Pla +1 - Pla -l)) W* —

ha

<pT)

где

ia = l,Na-l, a = 1,2, (ёшг, 1?lti = T0, га = 0,7Va, a = 1,2,

i^t = <2r<5(x - x/),

- = ( W ® =

[0, в противном случае.

Разностная схема (4) в окрестностях нагнетательных скважин модифицируется при помощи введения поправочных коэффициентов, предложенных Чекалиным А.Н..

771-

.Р-Р

= Ар + Ф, X Е LJh, t е U)T,

где

ia = 0,Na, a =1,2,

A = Ai+A2, ага=£щтага,

-г- (o-l^Pxa - OiaPi„) , ia = l,

(5)

Кр =

{КРха)ха > г'а = 2, Na - 2, Г- (-oi^Vta - а.сРг«) , га = Na- 1;

ha

£n,m —

0.5тг 2 1

ln(h/rc)' т — ' k,n,m 4'

2arctgQ.b 2 5

- ' ln2 Q ~ 4

15 - 4

На рис.5-7 представлены графики распределения давления, насыщенности и температуры. Здесь рассмотрено нефтяное месторождение с контуром нефтеносности в форме эллипса с полуосями а=500 м, Ь-400 м, с четырьмя нагнетательными и одной эксплуатационной скважинами. На скважинах задан постоянный дебит. На рисунках представлены графики на 730-й день после начала работы скважин. Показан характер движения флюида при неизотермической фильтрации. Количество итераций на одном временном слое не превышает 3-5.

Результаты расчетов показали, что учет сжимаемости флюидов и деформируемости пористой среды является необходимым, так как из графиков видно, что распределение давления существенно изменяется во времени.

к 10е

Рис 5 Распределение давления

Рис 6 Распределение насыщенности

зео ^

380-

о о

Рис 7 Распределение температуры

В третьей главе рассмотрен случай горизонтального и наклонного расположения эксплуатационной скважины. Горизонтальная скважина имеет гораздо большую область дренирования Это становится особенно актуальным в случае, когда пласт имеет малую продуктивную толщину, что в случае вертикального бурения приводит к необходимости использовать большое количество обычных вертикальных скважин Кроме того, применение горизонтальных скважин позволяет в ряде случаев значительно повысить коэффициент конечной нефтеотдачи месторождений

Также следует упомянуть такие важные аспекты применения горизонтальных скважин, как бурение в тех местах, где применение обычных вертикальных скважин попросту невозможно, например, если нефтяной пласт находится под природным заповедником или верхние слои над пластом чрезвычайно трудны для бурения. Горизонтальные скважины могут быть также использованы на месторождениях ранее уже разработанных вертикальными скважинами и не дающих приемлемых дебитов

В случае, когда наклонная скважина проходит через узлы сетки, как в случае с горизонтальной скважиной, не возникает проблем Проблемы возникают, когда скважина проходит через грани сетки. Речь идет о "размазывании" источника по ближайшим узлам. Для решения этой задачи используем следующий алгоритм.

Пусть даны координаты двух точек. Через эти две точки проведем прямую, которую будем подразумевать за эксплуатационную скважину Нас будет интересовать тот случай, когда скважина проходит через грани пространственной сетки. На рис 7 схематически представлена скважина, пересекающая грани ячейки.

Теперь рассмотрим собственно сам алгоритм "размазывания" источника по ближайшим узлам. Пусть объем куба АВСБАхВхСхВх равен V, а точка Р будет серединой отрезка ЕС. Тогда куб АВСОА\В\С\В\ можно разбить на восемь параллелепипедов. На рис. 8 представлен один из них Пусть ее объем равен У\. Объемы других семи параллелепипедов тоже обозначим соответственно Уг, Уз, У^. У5, Уе, У?, Ц, тогда

у = у1 + у2 + у3 + у4 + у5 + у6 + у! + Ц.

Теперь Ф разложим по вершинам следующим образом: узел А принадлежит двум ячейкам, которые пересекает скважина, из них выберем

ту ячейку, для которой расстояние от текущей точки до прямой минимально, в данном случае это ячейка, которая представлена на рис. 8.

VI

Тогда узлу А приходится — Ф. таким же образом поступаем с узлом В,

У2 Vз

ему приходится — Ф, узлу С - —Ф, для узла О расстояние до скважины минимально в соседней ячейке, т.е. для него будут аналогично

Уь

соответствовать объемы соседней ячейки, для узла А\ - — Ф и тд Этот алгоритм позволяет исследовать скважины произвольного наклона.

На рис. 9 представлено распределение давления на 730-й день после начала работы скважин, в срезе плоскостью хз = 40. Здесь рассмотрено нефтяное месторождение с контуром нефтеносности в форме цилиндра, основаниями которого служат эллипсы с полуосями а=220 м, Ь=180 м Высота цилиндра равна 40 м. Рассмотрен случай одной нагнетательной скважины и одной наклонной эксплуатационной скважины На скважинах задан постоянный дебит

Основные результаты работы

Работа посвящена построению и численной реализации математических моделей вторичных методов разработки северных нефтяных месторождений. Полученные результаты могут быть сформулированы следующим образом:

1 Предложены, допускающие эффективную численную реализацию математические модели вторичных методов разработки нефтяных месторождений, учитывающие упругие свойства коллектора и флюидов, произвольное число и расположение нагнетательных и эксплуатационных скважин.

2. Построена и численно реализована математическая модель неизотермической двухфазной фильтрации. Вычислительный эксперимент показал, что нагнетание подогретой воды оказывает существенное влияние на скорость движения и величину скачка насыщенности только в малой окрестности нагнетальных скважин.

3. Численная реализация получающихся на каждом временном слое разностных эллиптических задач проведена с помощью метода сопряженных градиентов с использованием попеременно-треугольного метода. С помощью средства визуального программирования Delphi разработан комплекс прикладных программ, реализующий предложенные математические модели.

Основные результаты опубликованы в работах:

[1] Павлов М.Н. Метод прыжкового переноса для квазилинейного гиперболического уравнения с выпуклой функцией конвективного потока // "Лаврентьевские чтения" Республики Саха (Якутия): Тезисы докладов. - Якутск, 2001. С. 36.

[2] Павлов М.Н Метод прыжкового переноса для задачи Баклея-Леверетта // "Лаврентьевские чтения" Республики Саха (Якутия)-Тезисы докладов - Якутск, 2002. С. 25.

[3] Павлов М.Н. Численное решение двумерной задачи двухфазной фильтрации // Информационные технологии в науке, образовании и экономике: Сборник трудов. - Якутск, 2003. С. 135-141

[4] Павлов М.Н. Разностный метод решения одной задачи двухфазной фильтрации // Труды Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. Ч. II. - Новосибирск, 2004 С. 580585.

[5] Павлов М.Н Метод прыжкового переноса для задачи Баклея-Леверетта // Математические заметки ЯГУ. - Якутск, 2004. С. 136144.

[6] Павлов М Н Численный метод решения трехмерной задачи двухфазной фильтрации // Всероссийская школа-семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов "Математическое моделирование развития Северных территорий в условиях рынка": Тез докладов. - Якутск: Изд-во ЯГУ, 2004 С. 33.

Подписано в печать 26.10.2005. Формат 60х 84/16. Бумага тип. №2. Гарнитура «Тайме». Печать офсетная. Печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 2%

Издательство ЯГУ, 677891, г. Якутск, ул. Белинского, 58.

Отпечатано в типографии издательства ЯГУ

ч

1

M

I

f

■i л

I

I

i

f i

I ¡

!

)

»21090

РНБ Русский фонд

2006-4 18609

Введение

Глава 1. ЗАДАЧА БАКЛЕЯ-ЛЕВЕРЕТТА

1.1. Простейшая математическая модель двухфазного течения

1.2. Нелинейная ТУБ - коррекция разностной схемы "Кабаре"

1.3. Алгоритм прыжкового переноса.

1.4. Вычислительный эксперимент

Глава 2. ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ДВУХФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ НЕСМЕШИВАЮЩИХСЯ

ЖИДКОСТЕЙ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

2.1. Основные уравнения теории двухфазной фильтрации

2.2. Численная реализация двухфазной фильтрации несмешива-ющихся жидкостей в пористой среде при учете упругих свойств пласта и флюидов.

2.3. Численная реализация процесса неизотермической фильтрации

2.4. Результаты вычислительного эксперимента.

Глава 3. ТРЕХМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ДВУХФАЗНОЙ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ

3.1. Вывод математической модели.

3.2. Расчет неизотермической задачи для горизонтальной скважины

3.3. Численное исследование наклонной скважины.

3.4. Результаты вычислительного эксперимента

На протяжении веков нефть добывалась и использовалась в повседневной жизни людьми, живущими в местах, где нефть просачивалась на поверхность. В России первое письменное упоминание о получении нефти появилось в шестнадцатом веке. Путешественники описывали, как племена, жившие у берегов реки Ухта на севере Тимано-Печорского района, собирали нефть с поверхности реки и использовали ее в медицинских целях и в качестве масел и смазок. Нефть, собранная с реки Ухта, впервые была доставлена в Москву в 1597 году.

В 1702 году царь Петр Первый издал указ об учреждении первой регулярной российской газеты "Ведомости". В первом выпуске газеты была опубликована статья о том, как была обнаружена нефть на реке Сок в Поволжье, а в более поздних выпусках была информация о нефтепроявлениях в других районах России. В 1745 году Федор Пряду нов получил разрешение начать добычу нефти со дна реки Ухта. Прядунов также построил примитивный нефтеперегонный завод и поставлял некоторые продукты в Москву и Санкт-Петербург.

Нефтепроявления также наблюдались многочисленными путешественниками на Северном Кавказе. Местные жители даже собирали нефть с помощью ведер, вычерпывая ее из скважин глубиной до полутора метров. В 1823 году братья Дубинины открыли нефтеперерабатывающий завод в Моздоке для переработки нефти, собираемой с близлежащего Вознесенского нефтяного месторождения.

Нефте- и газопроявления были зафиксированы в Баку, на западном склоне Каспийского моря арабским путешественником и историком еще в десятом веке. Марко Поло позднее описывал, как люди в Баку использовали нефть в медицинских целях и для проведения богослужений. С четырнадцатого века нефть, собираемая в Баку, экспортировалась в другие страны Среднего Востока. Первая нефтяная скважина в мире была пробурена на Биби-Айбатском месторождении вблизи Баку в 1846 году, более чем на десятилетие раньше, чем была пробурена первая скважина в США. С этим событием связывают начало современной нефтяной промышленности.

Освоение северных территорий, в которых сосредоточены значительные запасы полезных ископаемых и углеводородного сырья, имеет ряд специфических проблем, обусловленных суровыми климатическими условиями. В первую очередь, они связаны с наличием мощной толщи многолетне-мерзлых горных пород. Недостаточная точность в определении технологических параметров систем добычи и транспорта углеводородного сырья приводит к неоправданно высоким коэффициентам запаса или приводит к огромным затратам на их строительство и обеспечение нормального функционирования.

Эффективность решения любой проблемы во многом зависит от правильного учета протекающих процессов. В настоящее время усилиями школ академиков А.Н. Тихонова, A.A. Самарского, H.H. Яненко, Г.И. Мар-чука и H.H. Моисеева выработана новая технология проведения научных исследований - вычислительный эксперимент. Суть вычислительного эксперимента [56, 59, 72, 75, 77, 83, 86, 104] состоит в комплексном изучении всей технологической цепочки: изучаемый процесс - математическая модель - вычислительный алгоритм - программа на компьютере. Во многих случаях вычислительный эксперимент, заменяя дорогостоящий натурный, позволяет с минимальными затратами эффективно прогнозировать и управлять исследуемым процессом или объектом.

Как правило, в идеале вычислительный эксперимент в силах проводить лишь коллективы, в которых бок о бок трудятся, взаимодействуют высококвалифицированные специалисты в конкретной области знаний, вычислительной и прикладной математике, программировании.

Первым этапом вычислительного эксперимента является выбор, а в необходимых случаях, разработка математической модели изучаемого процесса - поле деятельности специалиста в конкретной предметной области науки: физика, механика, мерзлотоведа, геолога и т.д., в зависимости от того, какой процесс изучается. Если нет возможности привлечения в исследования специалистов в предметной области, то исполнитель обязан консультироваться с последними. С точки зрения чистого математика модель обязана быть корректно поставленной, а с точки зрения прикладного математика допускать эффективную численную реализацию. Последнее требование впервые было высказано А.Н. Коноваловым. Далее в работу включается вычислитель, разрабатывающий на основе современных достижений вычислительной математики эффективный вычислительный алгоритм, реализующий рассматриваемую математическую модель на компьютере. В зависимости от имеющейся в распоряжении коллектива или конкретного исполнителя вычислительной техники и ее программного обеспечения, от уровня его квалификации, создается программная реализация построенной математической модели. Как правило, это даже не одна модель, а целое семейство моделей. В результате вычислительного эксперимента, представляющего собой многовариантные расчеты, очерчиваются области эффективного применения каждой из рассматриваемых моделей [20, 75, 77, 72, 59, 101, 102, 105, 107].

Математические модели широкого круга проблем освоения северных территорий успешно строятся с помощью методов механики многофазных сред [58, 62, 63]. Действительно, наиболее полные замкнутые математические модели мерзлых горных пород удается строить, предполагая, что они представляют собой многофазные насыщенные дисперсные среды, в которых проходят фазовые переходы.

В последние годы в связи с тем, что исчерпываются запасы нефти, добываемой традиционными методами, в стране наблюдается устойчивое падение ее добычи. Поэтому стали насущно необходимы принципиально новые высокоэффективные технологии разработки "сложных" месторожде-# ний, не поддающихся разработке традиционными методами. Нужны технологии, увеличивающие конечную нефтеотдачу пластов. Следует отметить, что широкое внедрение в промысловую практику даже достаточно простых вторичных методов разработки нефтяных месторождений, таких как вытеснение нефти водой или растворителями, приводит к необходимости углубленного изучения как самих математических моделей, так и методов их численной реализации [2], [62], [23]-[32].

Задачи механики многофазных сред из рассматриваемого класса обладают следующими специфическими особенностями: -наличие сильного и контактного разрыва; -вырождение определяющих уравнений;

-необходимость интегрирования на больших временных интервалах; -одно и то же уравнение одновременно описывает несколько физических процессов с различными характерными временами, отличающимися на несколько порядков;

-необходимость интегрирования начально-краевых задач для "жестких" систем дифференциальных уравнений и т.п.

Эти особенности, как правило, исключают или, при благоприятном стечении обстоятельств, затрудняют использование классических разностных методов, хорошо зарекомендовавших себя при решении других классов задач [47, 55, 76]. И это может быть связано либо с существом изучаемых процессов, либо с выбором соответствующей математической модели.

Теоретические основы математического описания движения жидкостей и газов в пористых средах заложены в трудах Л.С. Лейбензона, И.А. Парного, П.Я. Полубариновой-Кочиной, Р.И. Нигматулина и их многочисленных учеников. Математическое моделирование реального процесса вытеснения из пористой среды одной жидкости другой жидкостью является достаточно наукоемкой проблемой. Оно основано на законах механики гетерогенных сплошных сред. Подробное изложение общих вопросов теории многофазного течения в пористых средах можно найти в монографиях Ф f Г.И. Баренблатта, В.М. Ентова и В.М. Рыжика [6], Ю.П. Желтова [39], Р. Коллинза [44], Б.Б. Лапука и Ф.А. Требина [51], J1.C. Лейбензона [52], Р.И. Нигматулина [62], Л.И. Рубинштейна [74], И.А. Чарного [95, 96], Э.Б. Чекалюка [98]. В.Н. Щелкачева [101], в коллективных монографиях К.С. Басниева и др. [7], В.Н. Николаевского и др. [63], Э.А. Бондарева и др. [8, 14], О.Э. Цынковой и др. [89].

В связи с тем, что аналитические решения задач теории фильтрации удается строить лишь в некоторых частных случаях, исследователи с конца сороковых годов начали строить численные методы их решения. В настоящее время имеется ряд монографий, посвященных численным методам решения разнообразных задач теории фильтрации: X. Азиза и Э. Сеттари [1], Г.Г. Вахитова [33], С.Н. Закирова и Б.Б. Лапука [41], А.Н. Коновалова [47], В.И. Васильева и др. [31], Г.Б. Кричлоу [50], М.М. Максимова и Л.П. Рыбицкой [54] и других авторов, а также большое число статей как отечественных, так и зарубежных исследователей.

Основные принципы и методы построения разностных методов решения краевых задач, в том числе и для математических моделей процессов тепло- и массопереноса, течения жидкостей и газов в пористых средах, разработаны в трудах А.Н. Тихонова, A.A. Самарского, П.Н. Вабищевича, Г.И. Марчука, В.В. Шайдурова, H.H. Яненко и их школ [18]-[22], [57], [87], [75]-[85], [55]-[56], [99], [102]-[104]. Среди основных назовем принципы однородности и консервативности, метод геометрического расщепления многомерных краевых задач по направлениям и физическим процессам, метод фиктивных областей, принципы установления и регуляризации, а также различные способы построения дискретных аналогов краевых задач, такие как интегро-интерполяционный метод, методы интегральных тождеств, аппроксимации соответствующего квадратичного функционала и сумматор-ных тождеств [75], [87], [55], [56], [102], [103], [18]-[20], [34].

Теперь перейдем к изложению содержания работы.

В первой главе рассматривается математическая модель двухфазно-# го течения в пористых средах - задача Баклея-Леверетта, как правило, имеющая разрывное решение. Для ее численного решения используется нелинейная ТУБ-коррекция разностной схемы "Кабаре" [35]. Этот алгоритм значительно превосходит по своим транспортным характеристикам классические линейные однородные разностные схемы. К числу достоинств этого алгоритма можно отнести свойство однородности и компактности используемого сеточного шаблона и второй порядок аппроксимации на пространственных сетках при отсутствии сильных и слабых разрывов. Предложена реализация алгоритма прыжкового переноса [36] для задачи Баклея-Леверетта, позволяющая определить положение стационарного скачка насыщенности. Проблема реализации заключалась в том, что функция Баклея-Леверетта является невыпуклой функцией. При этом в ячейке "образуется разрыв", который не является ни ударной волной, ни волной разрежения. Проводится сравнение алгоритма прыжкового переноса с ^ другими известными методами, такими как схема "неявный уголок", явная схема "уголок" и нелинейная ТУЭ-коррекция разностной схемы "Кабаре". Приведены графики расчетов.

Во второй главе рассматриваются численно реализуемые двумерные математические модели совместного течения несмешивающихся сжимаемых жидкостей в деформируемой пористой среде при учете упругих свойств пласта и флюидов со сложной границей контура нефтеносности. Разностные схемы построены таким образом, что из первого уравнения системы определяется распределение насыщенности, а из второго уравнения -распределение давления. Разностная схема для давления модифицирована уточненной аппроксимацией вблизи скважины методом Чекалина А.Н [97]. Также численно исследован вторичный метод добычи нефти посредством закачки подогретой воды. Извлечение нефти из пластов при помощи обычного заводнения проходит довольно эффективно в условиях, когда отношение вязкости нефти к вязкости воды не превышает десяти. При вытеснении высоковязкой нефти закачиванием воды с температурой, существенно не Ф превышающей пластовую температуру, нефтеотдача залежи до обводнения эксплуатационных скважин получается низкой. Известно, что вязкость такой нефти сильно зависит от температуры и отношение значений вязкости в зависимости от температуры может достигать до двух порядков. Поэтому широкое распространение в нефтепромысловой практике получили термические методы воздействия на нефтяные залежи, ибо при закачке в пласт горячей воды в нагретой области пласта значительно уменьшается вязкость нефти, что способствует улучшению условий извлечения нефти из залежи. С помощью построенного вычислительного алгоритма были проведены численные расчеты. В конце главы приведены результаты вычислительного эксперимента, представленные в виде графиков распределения насыщенности, давления и температуры.

В третьей главе предложена трехмерная модель неизотермической двухфазной фильтрации сжимаемых жидкостей в деформируемой пористой среде [47]. Здесь рассматривается горизонтальная эксплуатационная скважина. В последние десятилетия как в нашей стране, так и за рубежом активно развивается технология бурения горизонтальных эксплуатационных скважин. Горизонтальная скважина имеет гораздо большую область дренирования. Это становится особенно актуальным в случае, когда пласт имеет малую продуктивную толщину, что в случае вертикального бурения приводит к необходимости использовать большое количество обычных вертикальных скважин. Кроме того, применение горизонтальных скважин позволяет в ряде случаев значительно повысить продуктивность выработки скважин, а также коэффициент нефтеотдачи месторождений. Кроме того, следует упомянуть такие важные аспекты применения горизонтальных скважин, как бурение в тех местах, где применение обычных вертикальных скважин попросту невозможно, например, если нефтяной пласт находится под природным заповедником или верхние слои над пластом чрезвычайно трудны для бурения. Горизонтальные скважины могут быть также использованы на месторождениях ранее уже разработанных верти-■Ш кальными скважинами и не дающих приемлемых дебитов, а вследствие этого просто оставленных. Осуществлена численная реализация построенной математической модели. Рассмотрены случаи при разном количестве и расположении скважин. Так же в этой главе рассмотрен случай наклонной эксплуатационной скважины. В случае, когда наклонная скважина проходит через узлы сетки, как в случае с горизонтальной скважиной, не возникает проблем. Проблемы возникают, когда скважина проходит через грани сетки. Для решения этой задачи используем алгоритм "размазывания" источника по ближайшим узлам. Приведены результаты вычислительного эксперимента.

В заключении приведены основные результаты работы. Ш

Заключение

Работа посвящена построению и численной реализации математических моделей вторичных методов разработки северных нефтяных месторождений. Полученные результаты могут быть сформулированы следующим образом:

1. Предложены, допускающие эффективную численную реализацию математические модели вторичных методов разработки нефтяных месторождений, учитывающие упругие свойства коллектора и флюидов, произвольное число и расположение нагнетательных и эксплуатационных скважин.

2. Построена и численно реализована математическая модель неизотермической двухфазной фильтрации. Вычислительный эксперимент показал, что нагнетание подогретой воды оказывает существенное влияние на скорость движения и величину скачка насыщенности только в малой окрестности нагнетательных скважин.

3. Численная реализация получающихся на каждом временном слое разностных эллиптических задач проведена с помощью метода сопряженных градиентов с использованием попеременно-треугольного метода. С помощью средства визуального программирования Delphi разработан комплекс прикладных программ, реализующий предложенные математические модели.

1. Азиз X., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. - М.: Недра, 1982. 408 с.

2. Алексеев A.C., Коновалов А.Н. Математические аспекты поиска и добычи нефти // Методологические и философские проблемы физики. -Новосибирск, 1982. С. 98-105.

3. Андреев В.Б. О сеточных аппроксимациях задачи о скважине // Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск, 1987. С. 13-23.

4. Антонцев С.Н., Монахов В.Н. О некоторых задачах фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1969. Вып. 2. С. 156-177.

5. Бакирова М.И., Зембеков М.А., Карпов В.Я. Метод моделирования задачи фильтрации со скачком насыщенности // Математическое моделирование. 1993. Т. 5, № 2. С. 54-65.

6. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984. 211 с.

7. Басниев К.С., Власов A.M., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидравлика. М.: Недра, 1986. 303 с.

8. Бондарев Э.А., Бабе Г.Д., Гройсман А.Г. и др. Механика образования гидратов в газовых потоках. Новосибирск: Наука, 1976. 158 с.

9. Бондарев Э.А., Васильев В.И. К численному решению задач типа Ве-ригина // Численное решение задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1977. С 25-29.

10. Бондарев Э.А., Васильев В.И. Численное решение одного класса неклассических краевых задач теории фильтрации // Динамика многофазных сред. Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1977. С. 26-32.

11. Бондарев Э.А., Васильев В.И. и др. Методы решения задач фильтрации с подвижными границами //6 Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Аннот. докладов. Ташкент, 1986. С. 124-125.

12. Бондарев Э.А., Васильев В.И. Особенности математических моделей неизотермической фильтрации газа. Красноярск: Препринт ВЦ СО АН СССР, 1990. №15. 38 с.

13. Бондарев Э.А., Васильев В.И. Особенности математических моделей неизотермической фильтрации // Нефтегазоносность и вопросы освоения месторождений нефти и газа Якутии. Сборник научных трудов. Якутск: ЯНЦ СО АН СССР, 1990. С. 128-142.

14. Бондарев Э.А., Васильев В.И., Воеводин А.Ф., Павлов Н.Н., Шадрина А.П. Термогидродинамика систем добычи и транспорта газа. Новосибирск: Наука, 1988. 272 с.

15. Бондарев Э.А., Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. К математическому моделированию диссоциации газовых гидратов // Докл. АН СССР, 1989. Т. 308, № 3. С, 575-577.

16. Бочаров О.Б., Монахов В.Н. Неизотермическая фильтрация несмеши-вающихся жидкостей с переменными остаточными насыщенностями // Динамика сплошной среды. 1988. Вып. 88. С. 3-12.

17. Булыгин В. Я. Гидромеханика нефтяного пласта. М.: Недра, 1978. 232 с.

18. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей. М.: Изд. МГУ, 1987. 164 с.

19. Вабищевич П.Н. Метод фиктивных областей в задачах математической физики. М.: Изд. МГУ, 1991. 156 с.

20. Вабищевич П.Н. Численное моделирование. М.: Изд. МГУ, 1993. 152 с.

21. Вабищевич П.Н., Самарский A.A. Разностные схемы для нестационарных задач конвекции-диффузии // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1998. Т. 38, № 2. С. 207-219.

22. Вабищевич П.Н., Самарский A.A. Численное решение задач конвекции-диффузии. Эдиториал УРСС. Москва, 1999. 248 с.

23. Васильев В.И. О линейных двухслойных разностных схемах для задач нестационарной фильтрации // Докл. АН БССР. 1983. Т. 27, № 4. С. 304-306.

24. Васильев В. И. Численное интегрирование дифференциальных уравнений с нелокальными граничными условиями. Якутск: Изд. ЯФ СО АН СССР, 1985. 159 с.

25. Васильев В.И. Численное моделирование процесса неизотермической фильтрации природного газа / / Тезисы докладов Международной конференции по математическому моделированию. Якутск, 1994. С. 131133.

26. Васильев В.И., Михайлова P.C. Численное решение задач конвективной диффузии // Процессы переноса в деформируемых пористых средах. Якутск, 1980. С. 102-110.

27. Васильев В.И., Тимофеева Т.С. Численное моделирование двухфазного течения несжимаемых несмешивающихся жидкостей // Ученые записки ЯГУ. Сер. математика, физика. 1994. С. 51-62.

28. Васильев В.И., Тимофеева Т.С. Численное решение задачи Баклея-Леверетта // Математ. заметки ЯГУ. 1995. Т. 2, № 1. С. 110-119.

29. Васильев В.И., Тимофеева Т.С. Неизотермическая двухфазная фильтрация флюидов // Актуальные проблемы современной математики. Т.2. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1996. С. 36-40.

30. Васильев В.И. Численное моделирование процессов разработки углеводородного сырья // Наука и образование. 1996. Вып. 3. С. 57-63.

31. Васильев В.И., Попов В.В., Тимофеева Т.С. Вычислительные методы в разработке месторождений нефти и газа. Новосибирск: Издательство СО РАН, 2000 - 126 с.

32. Васильев В.И., Максимов A.M., Петров Е.Е., Цыпкин Г.Г. Теплопере-нос в промерзающих и протаивающих грунтах. М.: Наука, 1996.

33. Вахитов Г.Г. Эффективные способы решения задач разработки неоднородных нефтеводоносных пластов методом конечных разностей. -М.: Гостоптехиздат, 1963. 216 с.

34. Годунов С. К. Разностные методы решения уравнений газовой динамики. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1962. 96 с.

35. Головизнин В.М., Самарский A.A. Некоторые свойства разностной схемы "Кабаре" // Математическое моделирование. 1998. Т.10, №1 С.101-116.

36. Головизнин В.М., Карабасов С.А. Метод прыжкового переноса для численного решения гиперболических уравнений. Точный алгоритм для моделирования конвекции на эйлеровых сетках. Препринт JV4BRAE-2000-04. Москва: ИБРАЭ РАН, 2000. 40 с.

37. Голубев Г.В., Данилаев П.Г. Численные методы определения фильтрационных параметров и решения обратных задач // Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск, 1987. С. 104-108.

38. Есекеева М.Ж., Коновалов А.Н., Хорсова Г.Е. Асимптотически устойчивые разностные схемы в задачах двухфазной фильтрации // Моделирование в механике. 1991. Т. 5(22), № 2. С. 20-35.

39. Желтов Ю.П. Механика нефтегазоносного пласта. М.: Недра, 1975. 216 с.

40. Желтов Ю.П. Разработка нефтяных месторождений. М.: Недра, 1986.

41. Закиров С.Н., Лапук Б.Б. Проектирование и разработка газовых месторождений. М.: Недра, 1974. 376 с.

42. Золотухин А.Б. Моделирование процессов извлечения нефти из пластов с использованием методов увеличения нефтеотдачи. М.: Изд-во МИНГП, 1990.

43. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

44. Коллинз Р. Течение жидкостей через пористые материалы. М.: Мир, 1964. 350 с.

45. Коновалов А.Н. Метод расщепления по физическим процессам в задачах фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости // Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1972. С. 119-122.

46. Коновалов А.Н. Метод фиктивных областей в задачах фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости с учетом капиллярных сил // Числ. методы механики сплошной среды. 1972. Т. 3, № 5. С. 52-67.

47. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. 166 с.

48. Коновалов А.Н., Монахов В.Н. О некоторых моделях фильтрации многофазных жидкостей // Динамика сплошной среды. 1976. Вып. 27. С. 51-65.

49. Королев А.Б., Шалимов Б.В., Швидлер М.И. О некоторых разностных схемах для численного решения задачи Баклея-Леверетта // Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975. С. 137-154.

50. Кричлоу Г.Б. Современная разработка нефтяных месторождений -( проблемы моделирования. М.: Недра, 1979. 303 с.

51. Лапук Б.Б., Требин Ф.А. О состоянии и задачах дальнейшего развития теоретических основ разработки газовых месторождений // Тр. МИНХ и ГП. ГОСИНТИ. 1961. С. 112.

52. Лейбензон Л.С. Подземная гидрогазодинамика // Собр. трудов. Т. 2. М.: Изд-во АН СССР, 1953. 544 с.

53. Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Математические модели объемных фазовых переходов в пористых средах. Приложение к разработке нетрадиционных источников энергии. М., 1989. (Препринт / ИПМех. АН СССР; № 426).

54. Максимов М.М., Рыбицкая Л.П. Математическое моделирование процессов разработки нефтяных месторождений. М.: Недра, 1976. 264 С.

55. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. 536 с.

56. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982.

57. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979.

58. Михайлов Г.К., Николаевский В.Н. Движение жидкостей и газов в пористых средах. Механика в СССР за 50 лет. Т. 2. М.: Наука, 1970. С. 585-648.

59. Моисеев H.H. Математика ставит эксперимент. М.: Наука, 1979. 224 с.

60. Монахов В.Н., Тлюстен С.Р. Тестовые решения начально-краевых задач для системы уравнений двухфазной фильтрации // Краевые задачи теории фильтрации. (Динамика сплошной среды; Т. 108). 1994. С. 121-125.

61. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 2. М.: Наука, 1987. 360 с.

62. Нигматулин Р.И. Нефть и газ России // Вестник РАН. 1993. Т. 63, № С. 705-713. 8. С. 705-713.

63. Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970. 336 с.

64. Николаевский В.Н., Бондарев Э.А., Миркин М.И. и др. Движение углеводородных смесей в пористой среде. М.: Недра, 1968.

65. Павлов М.Н. Метод прыжкового переноса для квазилинейного гиперболического уравнения с выпуклой функцией конвективного потока // "Лаврентьевские чтения" Республики Саха (Якутия): Тезисы докладов. Якутск, 2001. С. 36.

66. Павлов М.Н. Метод прыжкового переноса для задачи Баклея-Леверетта // "Лаврентьевские чтения" Республики Саха (Якутия): Тезисы докладов. Якутск, 2002. С. 25.

67. Павлов М.Н. Численное решение двумерной задачи двухфазной фильтрации // Информационные технологии в науке, образовании и экономике: Сборник трудов. Якутск, 2003. С. 135-141.

68. Павлов М.Н. Разностный метод решения одной задачи двухфазной фильтрации // Труды Международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. Ч. И. Новосибирск, 2004. С. 580-585.

69. Павлов М.Н. Метод прыжкового переноса для задачи Баклея-Леверетта // Математические заметки ЯГУ. Якутск, 2004. С. 136144.

70. Панфилов М.Б., Панфилова И. В. Осредненные модели фильтрационных процессов с неоднородной внутренней структурой. М.: Наука, 1996.

71. Попов Ю.П., Самарский A.A. Вычислительный эксперимент // Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1988. С. 16-78.

72. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР. (1917-1967). -М.: Наука, 1969. 546 с.

73. Рубинштейн Л. И. Температурные поля в нефтяных пластах. М.: Недра, 1972.

74. Самарский A.A. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент // Вестник АН СССР. 1979. № 5. С. 38-49.

75. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 616 с.

76. Самарский A.A. Вычислительный эксперимент в задачах технологии // Вестник АН СССР. 1984. № 11. С. 17-29.

77. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. 352 с.

78. Самарский A.A., Вабищевич П.Н., Васильев В.И. Итерационное решение ретроспективной обратной задачи теплопроводности // Мат. моделирование. 1997. Т. 9, № 7. С. 119-127.

79. Самарский A.A., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы с операторными множителями. Минск: ЗОА "ЦОТЖ", 1998.

80. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.

81. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432 с.

82. Самарский А.А, Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Наука, 1997.

83. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. 592 с.

84. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1981. 352 с.

85. Тихонов А.Н, Костомаров Д.М. Вводные лекции по прикладной математике. М.: Наука, 1984.

86. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1977. 735 с.

87. Трапезникова М.А., Чурбанова Н.Г. Моделирование процесса нефтеотдачи явными и неявными численнымм методами // Мат. моделирование. 1997. Т. 9, № 6. С. 53-66.

88. Цынкова О.Э., Мясникова H.A., Баишев Б.Т. Гидродинамические методы увеличения нефтеотдачи. М.: Недра, 1993.

89. Цыпкин Г.Г. Математическая модель фазовых переходов лед-вода-пар в слабопроницаемых мерзлых грунтах // Изв. АН СССР. МЖГ. 1991. N6. С.72-78.

90. Цыпкин Г.Г. О разложении газовых гидратов в пластах // Инж. физ. журн. 1991. Т. 60, № 5. С. 736-742.

91. Цыпкин Г.Г. О влиянии подвижности жидкой фазы на диссоциацию газовых гидратов в пластах // Изв. АН СССР. МЖГ. 1991. № 4. С. 105-114.

92. Цыпкин Г.Г. Математическая модель диссоциации газовых гидратов, сосуществующих со льдом в природных пластах // Там же. 1993. № 2. С. 84-92.

93. Цыпкин Г.Г. Разложение газовых гидратов в низкотемпературных пластах // Там же. 1998. № 1. С. 101-111.

94. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. М.: Гостоптехиздат, 1963. 396 с.

95. Чарный И.А., Астрахан Д.И., Власов A.M. и др. Хранение газа в горизонтальных и пологозалегающих водоносных пластах. М.: Недра, 1968. 300 с.

96. Чекалин А.Н. Численные решения задач фильтрации в водонефтяных пластах. Казань: Изд-во КГУ, 1982.

97. Чекалюк Э.Б. Термодинамика нефтяного пласта. М.: Недра, 1975. 238 с.

98. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. 288 с.

99. Шевченко Д. В. Применение многосеточных методов для расчета давления в нефтяном пласте // Математическое моделирование. 2002. Т. 14, №, С.113-118.

100. Щелкачев В.Н. Упругий режим пластовых водонапорных систем. -М.: Гостотехиздат, 1948. 144 с.

101. Яненко Н.Н. Введение в разностные методы математической физики. Ч. 2. НГУ. Новосибирск, 1968. 388 с.

102. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1967. 196 с.

103. Яненко Н.Н., Преображенский Н.Г., Разумовский О.С. Методологические проблемы математической физики. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1986.

104. Chavent G. A new formulation of diphasic incompressible flows in porous media // Lecture notes in mathematics. 1975. - V. 503. - P. 258-270

105. Darsy.H, Les Fountaines publiques de la ville de Dijon (Paris: Victor Dalmont, 1856)

106. Selin M.S., Sloan E.D. Heat and mass transfer during the dissociation of hydrates in prous media // AIChE Journal. 1989. Vol. 35, No 6. P. 10491052.

107. Saad Y. Iterative Methods for sparse Linear Systems. Boston, PWS Publishing Company, 1995.