автореферат диссертации по энергетическому, металлургическому и химическому машиностроению, 05.04.13, диссертация на тему:Численное моделирование турбулентности на характерных режимах течений в каналах гидромашин и гидропневмоагрегатов

На правах рукописи

Почервина Надежда Ивановна

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ НА ХАРАКТЕРНЫХ РЕЖИМАХ ТЕЧЕНИЙ В КАНАЛАХ ГИДРОМАШИН И ГИДРОПНЕВМОАГРЕГАТОВ

Специальность 05.04.13 - гидравлические машины, гидропневмоагрегаты

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 2003

Рабога выполнена на кафедре Гидромеханики и гидравлических машин Московского энергетического института (технического университета).

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор, МОРГУНОВ Г.М.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор, СЕРГИЕВСКИЙ Э.Д.

доктор технических наук, профессор, ШЕЙПАК А.А.

Ведущая организация: Центральный институт авиационного моторостроения имени П.И. Баранова.

Защита состоится в аудитории « /? » ¿¿г^Г/о* 2003г. в

/5 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.157.09 при Московском энергетическом институте (техническом университете) по адресу г. Москва, ул. Красноказарменная, д.17.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского энергетического института (технического университета).

Отзывы в двух экземплярах, заверенные печатью организации, просим направлять по адресу: 111 250, г. Москва, ул. Красноказарменная, д. 14, Ученый совет МЭИ (ТУ).

Автореферат разослан «_» _ 2003г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.157.09

— ЛЕБЕДЕВА А.И.

\ -ofc>\ 3

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

уальность работы. Определяется необходимостью совершенствования юдинамических расчетов проточных элементов гидроэнергетических щовок и других гидроаппаратов различного ' применения, истеризующихся турбулентными режимами течения рабочих сред.

Современные возможности компьютерной техники позволили создать граммные комплексы, позволяющие проводить многовариантные юдинамические расчеты пространственных течений в сложных областях

в стационарной, так и в нестационарной постановках в абсолютной и )сительной системах координат. К таким программным продуктам юится, например, решение прямой задачи для лопастных систем юмашины МЭИ; модуль' FLOTRAN пакета программ ANSYS; граммные комплексы STAR CD, FlowVision, MTFS и др. Вместе с тем все ¡стные решения используют ту или' иную полуэмпирическую модель ¡улентности с опытными константами либо подгоночными параметрами с ишченным интервалом их достоверного применения. Последнее ничивает возможности разработанных расчетных методов более жатного описания реальных гидродинамических процессов в рабочих щах с текучими средами, в том числе в гидромашинах и гидро-шоагрегатах. Так, расчеты нестационарных и неодномерных течений в ю-пневмоагрегатах как систем с распределенными параметрами являются >ее исключением, чем правилом. Более того, при инженерных, а часто и 1ных исследованиях динамики гидро-пневмоприводных систем ничиваются рассмотрением обыкновенных дифференциальных уравнений (стоянными или переменными коэффициентами. Следовательно, имея в / непрерывно возрастающие быстродействие и ресурсы компьютеров,' илвается возможность направить основные усилия на разработку более ективных и- универсальных математических моделей, описывающих ¡улентные течения. Данная проблема актуальна и, как известно,'является цаментальной. Поэтому естественны попытки продвинуться в ее решении, матривая течения в областях с простейшей геометрией. В качестве вых в данной работе приняты прямоосные каналы прямоугольного ния с исследованными течениями в диапазоне чисел

до 4.6-105. Вместе с тем такие или близкие к ним конфигурации границ и режимных параметров чисел Рейнольдса характерны для отдельных проточных элементов гидромашин и гидро-пневмоагрегатов. Поэтому полученные в диссертации расчетные данные также имеют практическое значение; способствуют определению направлений дальнейшего развития

I

математических моделей гидродинамики данных устройств, с повышенной адекватностью отвечающих физике явлений и ориентированных в перспективе на повышение качественных показателей гидроустройств. Цель работы.

1. Обзор и анализ общего и предметного - применительно к проточным частям гидромашин и гидроагрегатов - состояния проблемы описания турбулентности: теория турбулентности, существование и единственность решений системы Навье-Стокса, подходы к моделированию, • методы численного расчета, возможности современных ЭВМ в области численного моделирования явления, существующие методики расчета турбулентных теченкй в проточных элементах лопастных гидромашин и др.

2. Определение перспективных направлений в области численного моделирования сдвиговой турбулентности.

3. Разработка численного метода конечных разностей, обладающего гибкостью адаптации при расчете внутренних течений в прямоугольных каналах гидроустановок.

4. Формирование комплекса мероприятий, обеспечивающих возможность контроля достоверности численных результатов.

Научная новизна.

1. Для решения системы Навье-Стокса, описывающей движение несжимаемой жидкости, предложена и исследована разностная схема расщепления. Схема отличается повышенной устойчивостью за счет применения неявного счета. Вместе с тем схема является «быстрой», поскольку на каждом дробном шаге используются экономичные линейные прогонки. Данная схема положительно зарекомендовала себя при решении ряда тестовых задач для ламинарных течений.

2. Предложена адаптивная схема расщепления по времени, построенная в соответствии с принципом разделения во времени процессов разной

' интенсивности. Направление создания адаптивных схем представляется

перспективным при исследований сдвиговой турбулентности, поскольку не предусматривает введения каких-либо допущений эмпирического или гипотетического свойства на масштаба* расчетной сетки.

3. Разработан численный метод расчета крупномасштабной турбулентности в плоском канале, использующий моделирование подсеточных движений. Для решения исходной системы дифференциальных уравнений разработана схема расщепления по физическим факторам, использующая на заключительном дробном шаге адаптацию полей скорости и давления О.М. Белоцерковского, В.А.Гущина и В.В.Щенникова. '

4. В результате численного исследования течения в плоском канале Получены данные ■ о распределении скорости среднего течения и квазиактуёльной скорости, турбулентных интенсивностей, напряжений Рейнольдса, среднеквадратичной пульсации" давления; с помощью коэффициентов пространственной автокорреляции ■ выяснена пространственная структура вихрей.

Достоверность результатов.

Разностные схемы решения системы Навье-Стокса прошли тестирование на ламинарных режимах - численно решены задачи о разгоне течения' "под действием, постоянного перепада давления и развитии течения (течение на начальном участке канала).

При численном моделировании крупномасштабной турбулентносга в плоском канале методом замыкания подсеточных движений предпринят комплекс мер, обеспечивающих контроль достоверности численной модели и физических допущений. Полученные результаты сопоставлены с экспериментальными данными Лауфера при числе Рейнольдса " 123200 и данными расчета Дирдорфа. Практическая ценность работы.

Разработанная методика расчета квазиактуальных значений скорости и давления турбулентного течения отличается относительной простотой реализации, что способствует более широкому внедрению математического моделирования в практику • разработки проточных частей гидроэнергоустановок и технологических аппаратов в условиях гидродинамической нестационарности с целью сокращения роли модельных и натурных испытаний; и, особо, при расчетных исследованиях и проектировании высокоэффективных по гидродинамическим показателям

качества лопастных и объемных гидромашин, устройств гидро-пневмоавтоматаки и др.

Предложенный численный метод моделирования крупномасштабной турбулентности может быть использован для детального исследования турбулентных течений в каналах элементов гидравлических машин и гидро-пневмоагрегатов при необходимом учете специфических особенностей их геометрии и режимных параметров. Личный вклад автора.

1. Основываясь на анализе соответствующей предложенной линеаризованной схемы расщепления, получены условия устойчивости счета на дробных шагах; достаточные условия схемной аппроксимации и оценена устойчивость разностного решения. Таким образом, обоснован выбор параметров интегрирования, обеспечивающий сходимость разностной схемы. Численно решены ламинарная задача о разгоне течения в трубе прямоугольного сечения и задача о ламинарном движении жидкости на начальном участке трубы прямоугольного сечения.

2. Методом замыкания подсеточных движений рассчитано турбулентное течение в плоском канале. Для представления подсеточного масштаба использована модель молекулярно-турбулентной аналогии с коэффициентом вихревой вязкости в виде аппроксимации Смагоринского. Для решения исходной системы уравнений применена схема расщепления по физическим факторам; положительными сторонами схемы является расчет флуктуации скорости и давления на одном временном шаге и относительная простота постановки краевых условий.

3. Разностные схемы реализованы в виде программного проекта в среде Microsoft Developer Studio на языке Microsoft Fortran PowerStation 4.0. Апробация работы. Результаты работы докладывались на:

1. Научно-технической конференции, посвященной 50-тилетию кафедры Гидромеханики и гидравлических машин МЭИ (ТУ) 3-6 декабря 1996г. г. Москва

2. Пятой международной конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика» 2-3 марта 1999г. г. Москва

3. Научных семинарах по проблемам турбулентности кафедры Гидромеханики и гидравлических машин МЭИ (ТУ) 1997г., 1998г., 1999г., 2000г., 2001г., 2002г., г. Москва.

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 7 докладов на научных, межвузовских и международных конференциях. Автор защищает. Метод численного моделирования крупномасштабной турбулентности и его программную реализацию; результаты численного исследования течения в плоском канале.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из пяти глав, заключения и списка- используемой литературы. Работа изложена на 193 страницах машинописного текста, содержит 30 рисунков. Список литературы включает 217 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. : ■

В первой главе приведен обзор современного состояния проблемы описания турбулентности с позиций существующих физических теорий, подходов к моделированию и методов численных решений; показана перспективность математического моделирования турбулентности на основе уравнений Йавье-Стокса. В первом разделе обоснована теоретическая актуальность постановки задачи и раскрыта практическая значимость работы.

Во втором разделе показана актуальность' Задачи в области лопастных гидравлических машин и смежных с нею отраслях техники.

В третьем разделе рассмотрена аналитическая модель задачи; приведены известные результаты о существовании" й единственности решений начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса; о теоретическом критическом числе Рейнольдса, полученном при исследовании устойчивости возмущенного движения.

В четвертом разделе описаны вйхревая модель турбулентности, механизм каскадного переноса энергии, «законы» Турбулентности, изотропия и анизотропия турбулентности и ее масштабов, отмечены особенности и приведены оценки микро- и макромасштабов движений.

В пятом разделе предложена классификация современных методов исследования турбулентных течений, включающая аналитические универсальные теории турбулентности, эмпирические модели для усреднейных характеристик течения, феноменологические модели на основе гипотезы о «пути перемешивания», полуэмпирические модели переноса

рейнольдсовых характеристик, модели замыкания подсеточных движений, прямое численное решение уравнений Навье-Стокса.

Затруднения, возникающие на пути численного решения полных уравнений Навье-Стокса, а также ограниченные возможности методов, содержащих моделирование, обусловили появление новых постановок задачи турбулентности, которые приведены в шестом разделе. Рассмотрены синергетический подход, а также подход к исследованию турбулентности как к задаче с неточно и неполно заданной информацией, решение которой очень чувствительно к неопределенности начальных данных; в рамках последнего расширенная постановка задачи состоит в поиске упорядоченной структуры теченкя в виде регуляризованного описания последнего.

Поиск стратегии решения нелинейных задач привел к развитию аксиоматического метода. Так, в седьмом разделе изложен дискретный подход к моделированию развитой сдвиговой турбулентности, допускающий самостоятельное рассмотрение крупномасштабной и мелкомасштабной движений в силу гипотезы об их статистической независимости, подтвержденной отчасти принципом Иевлева.

В восьмом разделе рассмотрены возможности прямого численного моделирования турбулентности на базе современных суперкомпьютеров и лучших пользовательских ЭВМ; при оценке производительности компьютеров были использованы контрольно-оценочные тесты Whetstone, Dhrystone и Unpack.

В девятом разделе обосновано применением конечно-разностного метода для решения поставленной задачи.

Вторая глава отведена математическому моделированию. В первом разделе приведена исходная безразмерная система уравнений.

Во втором разделе обсуждаются некоторые подходы к решению системы Навье-Стокса. Приведены способы регуляризации системы Н.Н. Яненко, р. Темама, О.А. Ладыженской. Рассмотрены получившие распространение методы решения исходной нерегулярной системы, такие как метод частиц в ячейках (PIC) Харлоу, метод крупных частиц О.М.Белоцерковского, маркеров и ячеек (MAC) Харлоу и Уэлча и др. Для решения систем дифференциальных уравнений представлен метод расщепления, развитие которого связано с работами Дугласа, Писмэна, Рэчфорда, Н.Н.Яненко, Г.И. Марчука, А.А Самарского, С.К.Годунова и др. Для расчета несжимаемых течений на

основе данного метода О.М.Белоцерковским разработаны схемы расщепления по физическим факторам. Рассмотрены различные способы стабилизации решений.

В третьем разделе обсуждена роль пульсаций давления в распределении

целесообразность решения задачи в двух постановках для исследуемой расчетной области - с фиксированным (первая и вторая разностные схемы) и определяемым давлением, связанная с особенностями решений уравнения Пуассона для давления с пульсирующим источниковым членом.

Поскольку основные трудности интегрирования системы Навье-Суокса в турбулентной зоне связаны с нелинейностью последней, при выборе разностной схемы особое внимание уделено свойствам консервативности и устойчивости. Приоритет отдан быстрым неявным схемам расщепления, приводящим на дробных шагах к решению квазилинейных уравнений с трехдиагональными матрицами; консервативность достигнута введением итераций.

В четвертом разделе исследована схема расщепления с фиксированным давлением. Для линеаризованной схемы доказаны следующие теоремы: об условиях устойчивости прогонки на дробных шагах по начальным данным; об условиях аппроксимации на целых шагах; об условиях устойчивости схемы в целом; об условиях устойчивости схемы в целом при ограничении на число временных шагов. Данные результаты позволяют дать оценку уровня и соотношений для пространственно-временных шагов разностной схемы и целесообразного способа реализации последней при обеспечении порядка аппроксимации схемы и устойчивости вычислительного процесса. Если число Пекле яа всех дробных шагах схемы удовлетворяет соотношению

где номер дробного шага, |м"|- максимальная проекция модуля скорости на направление я, I, - размер области течения в направлении я, к = шах„и{к,}, в, - соответственно коэффициенты, связанные с асимметрией сетки и скорости в направлении 5; а шаг по времени - условию

энергии по компонентам пульсаций скорости, а также обоснована

Л«<1. С1)

5-1.3

„ • 2-h\ a-Pe 1 n\ z-s5-nun_ ,--<|i-7fK где s<-p-—^--г—й. 0<cr< —, (2)

N

J A-k2

R& max -

j-1.3

■Д-Я

2

где h, - шаг сетки в направлении s, то предложенная разностная схема аппроксимирует линеаризованную задачу с погрешностью не более а. Если при этом число шагов по времени подчиняется условию

. м>0, (3)

• • 2

1=1

то М- множитель' роста разностного решения, характеризующий устойчивость задачи в целом.

В пятом разделе исследована схема с аппроксимационной поправкой на недивергентность вектора скорости на дробных шагах - усовершенствованный вариант предыдущей схемы.

В шестом разделе исследована схема расщепления с определяемым давлением (третья разностная схема). На последнем этапе временного шага использовано расщепление по физическим факторам О.М.Белоцерковского. Уравнение Пуассона для давления решается методом установления по адцитизно-усредненной схеме покомпонентного расщепления. Для схемы счета давления доказаны следующие теоремы: об условиях устойчивости схемы; о сходимости аддитивной схемы; о выборе оптимального итерационного параметра. Для "полной линеаризованной схемы доказаны следующие теоремы: об условиях аппроксимации на целых шагах; об условиях устойчивости схемы в целом при ограничении на число временных шагов.

Для трех разностных схем составлены собственные пакеты программ на языке Microsoft Fortran PowerStation 4.0 в среде Microsoft Developer Studio.

В третьей и четвертой главах рассматриваются соответственно ламинарные и турбулентные течения в прямоосном канале прямоугольного сечения с отношением высоты к ширине равным 13.3; такой канал используется Конт-Белло для экспериментального исследования турбулентного течения между параллельными стенками.

В третьей главе вышеуказанные программы тестированы на решении задач для ламинарных течений. В первом разделе дана общая постановка тестовых задач.

Во втором разделе рассмотрена задача об установившемся течении в бесконечно длинной трубе прямоугольного сечения под действием постоянного перепада давлений; для последней приведено решение Буссинеска. В третьем разделе рассмотрена задача о разгоне течения в бесконечно длинной трубе прямоугольного сечения под действием постоянного перепада давлений; приведено решение задачи й виде бесконечного двойного ряда. Численное решение задачи о разгоне течения проводилось на основе схемы, описанной в четвертом разделе гл.2, при числах Рейнольса 37, 371 и 927, рассчитанных по средней скорости и гидравлическому диаметру. Аналитическое и численное решения в указанном диапазоне скоростных режимов совпадают с точностью до сотых долей процента при Яе не более 371; расхождение достигает 0,3 % при Яе = 927.

В четвертом разделе решена задача о развитии течения в трубе прямоугольного сечения. Численное решение сопоставлено с приближенными решениями для плоского течения. Первое решение получено Лейбензоном методом. выделения погранслоя и невязкого ядра течения в виде неявных функций для скорости • и давления. Второе решение - результат интегрирования упрощённой системы уравнений движения, выполненное Таргом, - имеет вид бесконечного ряда для искомых величин. Численное решение задачи о разгоне течения проводилось на основе схемы, описанной в шестом разделе гл.2, при Яе = 371 и 927. Безразмерная длина начального участка, вычисленная с погрешностью 1%, при Яе =371 равна примерно 0,2Яе; полученный результат превышает соответствующую длину начального участка в решении Тарга 0,18Яе и в решении методом выделения двух областей 0,104Яе.

В четвертой главе обсуждается прямое численное моделирование турбулентного течения в канале. В первом разделе освещены вопросы, касающиеся методики анализа вычислительного эксперимента.

Во втором разделе подведены итоги выполненной серии численных экспериментов. Установлено, что переход на более мелкие сетки в области чисел Рейнодьдса около 2000 приводит к потере устойчивости решенйя. Для

полученных' устойчивых на некотором временном интервале решений турбулентные характеристики не соответствуют реальным. По-видимому, разностные схемы на равномерных сетках с разрешением близким к масштабам' диссипации не позволяют получить сколько-нибудь приемлемое турбулентное решение даже в области ламинарно-турбулентного перехода, где ширина частотного спектра вихрей сравнительно невелика. Причины такого результата и направления преодоления возникших затруднений всесторонне обсу!ждаются, опираясь на многочисленную литературу по данному вопросу.

Построена модель ламинарно-турбуленТного перехода для турбулентного течения в канале, общая структура которой включает следующие этапы: поступление начальных возмущений, генерацию вихря в области стенки, I

вытеснение вихря в центральную область, расширение и диссипация вихря на оснобе модели распада вихревой нити, поступление йторичных возмущений в зону генерации. Оценен диапазон изменения временных масштабов для данной модели, С позиций этой модели полученные результаты получают интерпретацию, просматриваются рациональные направления их коррекции.

В третьем разделе предложена адаптивная схема расщепления по времени; выстроенная в соответствии с принципом разделения процессов разной интенсивности. Для этого введен основной шаг по времени Т, согласованный с интенсивностью конвекции в ядре потока и молекулярной диссипации усредненного течения, а также промежуточный шаг по времени I = Т1 согласованный с интенсивностью генерации и диссипации вихрей. Схема решения на одном временном шаге состоит из двух этапов. На первом этапе,'.1 «замораживая» основное течение и конвекцию в ядре течения, на <

мелкой сетке организуется генерация и диссипация вихрей. Этап состоит из N+1 тагов По времени величиной I. На втором этапе поток «отпускается», то ,

есть на крупной сетке моделируется основное течение и конвекция в ядре течения так, чтобы удовлетворить уравнению неразрывности.

Процедура' разделения масштабов может быть реализована также на схемах1 с • постоянным временным шагом путем применения оператора усреднения к исходным уравнениям - при этом расчеты крупномасштабных структур проводятся в явном виде, а для мелкомасштабных структур необходимо вводить моделирование.

В пятой главе выполнен расчет крупномасштабной турбулентности в плоском канале методом замыкания подсеточных движений.

В первом разделе дано общее описание и физическое обоснование метода. Метод замыкания в инженерных расчетах впервые применил Дирдорф для изучения течения в канале и в пограничном слое; и достиг обнадеживающих результатов; полученные результаты анализировались путем сопоставления с подробными экспериментальными данными Лауфера для этого канала. С целью иметь надежный источник контроля вычислений, в настоящей работе для моделирования выбрано трехмерное турбулентное течение в плоском канале с той же самой относительной шероховатостью стенок, которая принята в работах вышеупомянутых авторов.

Параметры канала: высота А, ширина B = 0.7h, длина £ = ЗА. Введена система координат: ось х- в направлении вниз по течению, у- в боковом направлении параллельно верхней и нижней стенкам, z- вертикально вверх ортогонально верхней и нижней стенкам.

Во втором разделе проведено усреднение исходных уравнений. Получена следующая безразмерная система уравнений движения:

дй, м е {--7 1 . ~т~'П д fc; , \ v\ (4)

—- = ->,— и, •«,+«, -и,---S.u. -и.--\Р -2-х. 1+-W

dt &&Д ' 1 ' 1 3 4 ' ' J йс,v '' Re.

где i = 1, 2, 3 соответственно для направлений х, у, z; масштаб длины h;

масштаб скорости идинамическая скорость; и, - безразмерная скорость; Р"-

безразмерное отклонение величины общего усредненного давления от

средневременного давления - усредненного за время значительно большее

периода , максимальных пульсаций истинного давления; Re,- число

Рейнольдса, составленное по динамической скорости.

• t _ ___

Далее, наряду с и,, обозначения u,v,w используются для компонент

вектора скорости по осям х, у, z соответственно; ( ) - знак горизонтального усреднения; двойной штрих « " » в условиях рассматриваемой задачи означает отклонение от горизонтального усреднения.

Поскольку усреднение проведено в масштабе сетки, будем разделять сеточный масштаб движений и подсеточный масштаб движений (ПС.М). Конвективные члены «, • м;, будучи усреднены на отрезке времени, заметно превышающем период максимальных пульсаций, представляют собой часть общих напряжений Рейнольдса, а именно низкочастотную часть спектра;

будем именовать их разрешимыми напряжениями. Члены вида и, -иt - другая

часть общих напряжений Рейнольдса, представляющая высокочастотный спектр; в соответствии с происхождением последние будем называть подсеточными напряжениями.

В третьем разделе описана модель замыкания подсеточных движений. Для представления напряжений Рейнольса ПСМ использована известная модель молекулярно-турбулеятной аналогии:

' ' 1 II

ди, | ди) дх1 дх,

(5)

3

Для коэффициента вихревой вязкости к выбрана аппроксимация Смагоринского.

В четвертом разделе введена схема сетки. Сетка регулярная равномерная, безразмерные сеточные интервалы: Дх = 0 0625,Ду = 0.025, Дг = 0 025. Общее число сеточных объемов 53760. ' 1

В пятом разделе рассмотрена схема решения усредненной системы (4), использующая расщепление по физическим факторам. На первом этапе моделируется течение под действием средневременного перепада давления; для определения промежуточного поля скорости используется метод Эйлера:

-и,

+ ¿„2, ¿=1,3 (6)

Яе.

где Д] - центральный разностный оператор первой производной; Л] -трёхточечный разностный оператор второй производной.

На втором этапе воздействуем на промежуточное «замороженное»

течение давлением Р'"'; получим поле скорости на п+1 временном уровне:

1

— и+] — Л+-

= -Д.» = 0. (7)

г

Давление' выбрано так, чтобы поле скорости на п+1 временном слое удовлетворяло с точностью до погрешности аппроксимации уравнению неразрывности:

■ ¿|лг*'-1.д,Г^о. (8)

Для интегрирования уравнения Пуассона (8) принята аддитавно-усреднённая схема покомпонентного расщепления, применённая в гл.2.

В шестом разделе назначены начальные и граничные условия. На твердых границах приняты две группы граничных условий. Первая группа граничных условий предложена, вторая группа - ранее применена Дирдорфом.

В седьмом разделе описан комплекс мер, предпринятых для контроля достоверности численной модели. Аппроксимации напряжений Рейнольдса ПСМ проверена дополнительным решением на сетке с двойным сеточным интервалом. На каждом временном шаге пульсации давления найдены из уравнения Пуассона; для решения последнего организован счет на установление; критерий окончания итерационного процесса - минимизация нормализованной сеточной функции:

где ( ) означает усреднение по всему пространству решения. Методом подбора допустимое значение (9) было установлено на уровне 1,2-Ю"4.

Разностная схема реализована в виде программного проекта в среде Microsoft Developer Studio на языке Microsoft Fortran PowerStation 4.0.

В восьмом разделе представлен обзор и анализ численных результатов. Чтобы и вихри приняли характерную устойчивую форму с вытягиванием вниз по течению, потребовалось около 420 временных шагов. Коэффициент сопротивления вычисленный по максимальному скоростному напору,

по измерениям Лауфера Аплч =0 0112. Для рассчитанных профилей: при первом типе граничных условий коэффициент сопротивления = 0 0096 на 14% меньше, чем полученный Лауфером, в расчете Дирдорфа = 0.0088 -на 21% меньше, при втором типе граничных условий Дт„ = 0.0075 - на 33% меньше. Все три представленные группы рассчитанных профилей избыточны по скорости. Наименее близкими к экспериментальным являются профили, полученные для второй группы граничных условий; поэтому эти решения исключены из дальнейшего рассмотрения. Преодоление указанного недостатка представляет собой дилемму в рамках модели с коэффициентом

вихревой вязкости в виде аппроксимации Смагоринского. Уточнение расчетных результатов требует применения другой концепции моделирования подсеточной турбулентности.

Имеет место незначительное перераспределение турбулентной

кинетической энергии от и к компонентам V , к в данном расчете. В центре канала наблюдается дефицит турбулентной кинетической энергии и, наоборот, у стенок - переизбыток. Вблизи стенок профили разрешимых напряжений падают к нулю, так как в этом районе напряжения связаны с движениями ПСМ. Турбулентная кинетическая энергия ПСМ вблизи стенок распределена довольно равномерно по компонентам пульсаций скорости как данном расчете, так и в расчете Дирдорфа. Рассчитанное общее турбулентное трение - разрешимое и подсеточное - в области стенок несколько избыточно, а в центре канала имеет хорошее совпадение с экспериментом.

Максимальное значение общего коэффициента корреляции между пульсациями продольной скорости и пульсациями поперечной в направлении перпендикулярном стенкам скорости в расчете 0.49, в расчете Дирдорфа 0.47, а по экспериментальным данным 0.45.

Обсуждена проблема учета молекулярной вязкости при умеренных числах Рейнольдса. В качестве примера рассмотрено течение при В-6™« = 123200; расчет показал, что при установленном сеточном разрешении удержание членов молекулярного трения в указанном режиме не оказывает влияние ни на профиль среднего течения, ни на турбулентные характеристики. Из (6) отношение турбулентного трения ПСМ к молекулярному составляет £ • Яе. в каждой точке. Минимальная величина этого соотношения в центре канала при Яе^ =123200 ЛГ|г_05 -Ле. =4.9, а у стенок достигает значения В.е. =32. Так как в центре канала величины ¡З2«,/йк,г| очень малы, то вклад как общего, так и молекулярного трения несущественен; а у стенок, для внешней части пристеночного слоя, где величины |э2и,/йс,2| значительны,

вклад молекулярного трения мал в сравнении с турбулентным трением ПСМ. Распределение разрешимой среднеквадратичной пульсации давления

Р"2^ по высоте канала более однородно, чем распределение общей

2 з _ _

турбулентной кинетической энергии — ]>Ди( -и, +и', ■ и'^ и составляет в среднем

0.88 от кинетической энергии; данное отношение, измеренное Абероем для изотропной турбулентности 0.7.

С целью выяснения пространственной структуры вихрей, рассчитаны усредненные во времени коэффициенты пространственной автокорреляции между пульсациями скоростей в трех направлениях:

Установлено, что и вихри вытянуты в направлении по течению по сравнению с V и вихрями; различие масштабов вихрей особенно проявляется ближе к стенке при г = 0.2 , уменьшаясь к центру канала. В направлении по течению масштабы и вихрей ближе к масштабам V и ч> вихрей, чем в расчетах Дирдорфа; последнее, по-видимому, связано с незначительным перераспределением энергии от продольной к поперечным компонентам в данном расчете, отмеченным выше. Автокорреляции Яи в поперечных направлениях сравнивались с измерениями Лауфера. Более резкое падение автокорреляций в параллельном стенкам направлении у по сравнению с измеренными связано с принятием границ интегрирования у<01.

В целом по поперечным направлениям рассчитанные масштабы и вихрей меньше соответствующих измеренных и рассчитанных Дирдорфом масштабов, а масштабы V и и> вихрей довольно близки к рассчитанным Дирдорфом.

В девятом разделе рассмотрены возможности развития метода для характерных геометрий и режимов течений в каналах гидромашин и гидроаппаратов в направлении сокращения использования эмпирических данных.

1. Показана своевременность постановки и практическая значимость задачи в области лопастных гидравлических машин и смежных с нею отраслях техники, где моделирование турбулентных течений требуется для совершенствования целого ряда гидродинамических расчетов. Рассмотрено

(11)

где х = 1-х+]-у + к-г - вектор положения, г-г-г:+.¡-гу+к-гг - вектор смещения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

бщее и предметное - применительно к проточным частям гидромашин и идроагрегатов - состояние проблемы описания турбулентности.

азработан метод численного моделирования крупномасштабной д^р

урбулентности. Метод расчета квазиактуальных значений скорости и ГИДр

авления турбулентного течения отличается относительной простотой уСта

зализации, что способствует его внедрению в практику исследования и хара азработки проточных частей гидроэнергоустановок и гидро-

невмоаппаратов, функционирующих в условиях гидродинамической пр^

естационарности, с целью сокращения роли модельных и натурных ГИДр

спытаний на заключительных этапах исследования или параметрического как

интеза. - ' ' orafc

1редложенный численный метод моделирования крупномасштабной отнс

урбулентности рекомендуется к использованию при детальном турб

сследовании турбулентных течений в каналах элементов гидравлических пр0Г

•ашин и гидро- пневмоагрегатов, близких по форме к рассмотренному в изве

астоящей , работе. Показаны возможности развития метода для турб

арактерных геометрий и режимов течений в каналах гидромашин и 0Гра

идроаппаратов. • 0Гра

Летодом замыкания подсеточных движений рассчитано турбулентное адек

ечение в канале. Для представления подсеточного масштаба использована 0рГа

•одель молекулярно-турбулентной аналогии с коэффициентом вихревой пне£

¡язкости в виде аппроксимации Смэгоринского. Для решения исходной ГИдр

истемы уравнений применена схема расщепления по физическим CKCJp

акторам; положительными сторонами схемы является расчет флуктуаций Hayt'

короста и давления на одном временном шаге и относительная простота 0Гра

[остановки краевых условий. Предложена группа граничных условий для с Пй

корости вблизи твердых границ, отражающих реальное нарастание вид^

короста в интервале вязкого подслоя. Разностная схема реализована в 0ТКр

.иде программного проекта в среде Microsoft Developer Studio на эфф,

зыке Microsoft Fortran PowerStation 4.0. ' Typg

Сопоставление полученных численных результатов с измерениями Лауфера фу^

; расчетами Дирдорфа свидетельствуют о приемлемой точности расс

»азработанного разностного численного метода решения уравнений Навье- тако

>окса, усредненных посредством фильтрации с применением функции сече Ьильтра «ящичного» типа.

6. Разработаны разностные схемы для расчета как стационарных, так и нестационарных ламинарных течений в каналах близких к каналам прямоугольного сечения, а также допускающие модифицикацию под каналы различной конфигурации, находящие применение в гидравлических машинах и гидро-пневмоагрегатах. Для каждой из схем исследованы вопросы аппроксимации задачи на целых шагах, устойчивости счета на дробных шагах, устойчивости задачи в целом, об условиях сходимости линеаризованной схемы, выбора оптимальных итерационных параметров при решении задачи Пуассона для давления, выбора параметров разностной схемы, особенностей постановки

£ граничных условий. На основе полученных оценок свойств разностных

решений построены алгоритмы выбора параметров предложенных к рассмотрению разностных схем. Для разностных схем составлены собственные пакеты программ на языке Microsoft Fortran PowerStation 4.0 в среде Microsoft Developer Studio. Разностные схемы отлажены на решении следующих тестовых задач для ламинарных течений: разгон течения в трубе прямоугольного сечения под действием постоянного перепада давления; развитие течения в трубе прямоугольного сечения (течение на начальном участке канала).

7. Рассмотрено прямое численное моделирование турбулентных течений в канале. Вычислительный эксперимент показал, что разностные схемы на равномерных сетках с разрешением близким к масштабам диссипации не позволяют получить сколько-нибудь приемлемое турбулентное решение,

г однако содействовал построению модели ламинарно-турбулентного

перехода для сдвиговой турбулентности. В рамках данной модели выявлена необходимость построения адаптивной схемы решения, учитывающей специфику явления. Предложена двухэтапная адаптивная схема расщепленйя, выстроенная в соответствии с принципом разделения процессов различной'интенсивности.

a^iij Ю90 1

\oyo\

Основное содержание диссертации изложено в следующих публикациях:

1. Дочернина Н.И. Подходы к выбору эффективной схемы МКР прямого численного интегрирования уравнений Навье-Стокса. // Труды научной конференции ЕМФ'98 с международным участием. - София, Технический

• университет, 1998. -Т.З - С.115-120.

2. Почернина Н.И., Моргунов Г.М. Выбор и эффективное применение схемы МКР прямого численного интегрирования уравнений гидродинамики. // Пятая международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Радиотехника, электроника и энергетика».: Тез. докл., - М., МЭЙ, 1999. - Т. 2 - С.356-358,

3. Почернина Н.И. Прямое численное моделирование турбулентности на основе метода «глубокого» расщепления. // Научно-техническая конференция студентов и аспирантов МГТУ им. Баумана: Тез. докл.- М., МГТУ им. Баумана, 1999. - С.70-73.

4. Почернина Н.И. Моделирование турбулентности на основе метода « глубокого расщепления».// Труды международной конференции «Информационные средства и технологии» - Москва, МЭИ, 2000.- Т.1 -С.101-104.

5. Почернина Н.И., Моргунов Г.М. Возможности современных ЭВМ прямого численного моделирования турбулентности. // Седьмая международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника энергетика».: Тез. докл., - М., МЭИ, 2001.-Т.З - С.235-236.

6. Почернина Н.И., Моргунов Г.М. Прямое численное моделирование турбулентности на современных компьютерах: // Труды международной конференции «Информационные средства и технологии» - М., МЭИ, 2001. - Т. 2-С.139-141.

7. Почернина Н.И., Моргунов Г.М. Применение схем расщепления при численном моделировании крупномасштабной турбулентности в плоских каналах методом замыкания подсеточных движений. // Девятая международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов Радиоэлектроника, электротехника энергетика».: Тез. докл., - М., МЭИ,

2003. - Т.З. - С.203-204.

Тираж т

Типография МЭИ, ул. Красноказарменная, д. 13.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ АНАЛИЗ ПРОБЛЕМ И ПОДХОДОВ К

РЕШЕНИЮ.

1.1 Общая постановка проблемы.

1.2 Актуальность задачи в области лопастных гидравлических машин и смежных с нею отраслях техники.

1.3 Аналитическая модель задачи.

1.4 Вихревая теория турбулентности.

1.5 Подходы и методы описания турбулентных течений.

1.6 Подходы к моделированию турбулентности.

1.7 Дискретный подход к моделированию развитой сдвиговой турбулентности.

1.8 Возможности современных ЭВМ.

1.9 Проблемы прямого численного моделирования ламинарно-турбулентного перехода на базе модели Навье-Стокса: дискретная и непрерывная форма представления решения.

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ В КАНАЛЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ

Введение.

2.1 Исходная безразмерная система уравнений.

2.2 Подходы к решению уравнений Навье-Стокса.

2.3 Пульсации давления и скорости.

2.4 Первые модельные уравнения конвекции-диффузии.

2.4.1 Постановка задачи. Начально-краевые условия.

2.4.2 Аппроксимация на целых шагах.

2.4.3 Об обеспечении устойчивости разностных схем для уравнений Навье-Стокса.

2.4.4 Устойчивость счета на дробных шагах.

2.4.5 Достаточные условия схемной аппроксимации.

2.4.6 Устойчивость задачи в целом.

2.4.7 Граничные условия.

2.4.8 Условия сходимости линеаризованной схемы. Выбор параметров интегрирования.

2.5 Вторые модельные уравнения конвекции-диффузии.

2.5.1 Дифференциальная и разностная задачи.

2.5.2 Аппроксимация на целых шагах.

2.5.3 Устойчивость схемы с аппроксимационной поправкой.

2.5.4 Выбор параметров интегрирования схемы с аппроксимационной поправкой.

2.6 Квазистационарное течение в канонической области.

2.6.1 Постановка задачи. Начально-краевые условия.

2.6.2 Аппроксимация на целых шагах.

2.6.3 Расчет давления. Решение уравнения Пуассона.

2.6.4 Устойчивость расчета давления.

2.6.5 Сходимость аддитивной схемы.

2.6.6 Оптимальный итерационный параметр.

2.6.7 Устойчивость схемы в целом.

2.6.8 Выбор параметров разностной схемы.

2.7 Краткое описание программ.

волинейной системы координат, лагранжевой сетки. Вследствие этого, общая и фундаментальная задача - хотя бы статистически достоверного описания турбулентных зон - ставится в один ряд и, в некоторой степени, подчинена с)шдественно менее значимым условиям. Это приводит к затруднениям при анализе результатов, что, также, может спровоцировать ошибочные выводы относительно переложения тех или иных методик на другие классы задач.Между тем проблема расчета турбулентного рода движений носит самостоятельный характер. Поэтому представляется целесообразным изучение высокоскоростных докритических, бифуркационных и закритических течений в облаете простой геометрии. В настоящей работе указанные течения рассматриваются в канапе прямоугольного сечения. Подобный выбор продиктован, как простотой записи уравнений движения, так и наличием скрупулезно подробной и тонкой экспериментальной базы, предоставленной в монографии Конт-Белло [59]. Аналогичный подход может быть применен к течениям в круглых трубах.Вместе с тем предложенная к рассмотрению задача имеет и самостоятельное конкретно-практическое значение. Как известно, проточные части аппаратов химической технологии имеют форму каналов. Поэтому сведения об особенностях каналовых течений позволяют получить представление об эволюции химических реакций, температурных полей. Кроме того, задача актуальна при исследовании гидродинамической устойчивости, турбулентности, гидродинамических расчетах проточных элементов энергетических установок (в том числе гидроэнергетических), характеризующихся турбулентными режимами течения рабочих сред, авиационных и ракетных двигателей.Представленная к рассмотрению задача является модельной для решения актуальной в настоящее время проблемы расчета течений в проточном тракте лопастных гидромашин на основе трехмерной модели [102, 180]; рассмотрим общее значение задачи применительно к указанной предметной области.1.2 Актуальность задачи в области лопастных гидравлических машин и смежных с нею отраслях техники.Турбулентная форма движения жидкости имеет место в проточных элементах лопастных гидромашин (ЛГМ). Прогресс в решении задачи турбулентности способствует созданию более совершенных методов гидравлических и прочностных расчетов лопастных машин, что обеспечивает развитие в целом ряде отраслей техники, как-то насосо- и турбостроение, авиация, компрессоростроение и др. Как в период становления, так и сегодня ведущая роль в развитии и расширении этих отраслей отводится эксперименту и методам его обобщения, что объясняется сложностью происходящих в лопастных системах явлений. Дальнейшее улучшение уже достигнутого высокого уровня показателей ЛГМ все больше связывают с развитием расчетных методов.Обратимся к истории вопроса об исследовании течений в проточной части ЛГМ при различных режимах работы.Как известно, задача исследования течения в лопастной системе может быть задана в двух постановках - прямой и обратной [182]. Прямая задача состоит в расчете течения в заданной области, а обратная - в нахождении поверхностей лопастей рабочего колеса, лопаток направляющего (выправляющего) аппарата или статора, обеспечивающих заданную структуру потока.Относительное течение в лопастном колесе гидромашин близко к установившемуся лишь в расчетных режимах. В нерасчетных режимах неустановившееся течение, являющееся турбулентным, связано с вихреобразованием.Его характер формируется под действием сил внутренней вязкости жидкости во всей области течения. Методы расчета турбулентных течений к настоящему времени недостаточно развиты. Существуют более или менее точные методы анализа потока в близких к расчетному режимах, основанные на модели идеальной жидкости [145, 182], а также учитывающие вязкость [33, 142, 158, 169], в то время как исследование режимов с неустановившимися формами движения осуществляется главным образом путем обобщения экспериментальных данных на основе законов подобия [82]. Неустановившиеся течения на нерасчетных режимах имеют пространственный характер, поэтому их описание требует рассмотрения трехмерных моделей (ТММ) движения жидкости.Расширение вычислительных возможностей позволило разработать ТММ [84]. Метод решения прямой трехмерной задачи преложен Г.М.Моргуновым [92, 102]. Однако в настоящее время практическое применение этих моделей ограничено. Главным препятствием для широкого внедрения таких методов в практику гидромашиностроения является состояние вопроса в области моделирования турбулентных течений.В первом приближении течение в лопастных гидромашинах вблизи оптимального режима можно считать установившимся. Проследим развитие основных методов расчета установившихся течений.Основное уравнение лопастных машин - уравнение Эйлера - позволяет определить теоретический напор колеса по приращению момента количества движения [6]. Но это уравнение не дает связи между формой и размерами рабочего колеса и создаваемым им изменением момента количества движения [82]. Приближенно данная задача может быть решена в рамках струйной теории в предположении осесимметричности потока по схеме бесконечного числа бесконечно тонких лопастей - введением функции тока в уравнение Эйлера [182]. Полученные таким образом результаты требуют уточнения на конечное число лопастей - их корректировка большей частью производится данными эксперимента. На самом деле распределение относительных скоростей в канале колеса отлично от осесимметричного - со всасывающей стороны лопасти скорости больше, чем с напорной. Это служит одной из главных причин того, что теоретический напор лопастного колеса насоса, рассчитанный по схеме бесконечного числа лопастей, не вполне совпадает с опытным значением теоретического напора [82].Например, в колесе центробежного насоса в реальных условиях конечного числа лопастей среднее значение относительной скорости уклоняются от направления касательной к поверхности лопасти в сторону уменьшения угла с направлением, обратным переносной скорости. Это вызывает уменьшение окружной составляющей абсолютной скорости по сравнению с рассчитанной по схеме бесконечного числа лопастей; поэтому полученный с использованием данной схемы напор колеса завышен по сравнению с опытным значением.По данным [82] для типовых соотношений лопастного колеса центробежного насоса поправка на конечное число лопастей составляет около 30% напора.При применении к потоку в области колеса схемы потенциального течения потенциапьную функцию для скоростей абсолютного потока можно разложить на сумму составляющих функций потока протекания, осевого вихря и циркуляционного потока. Тогда скорости потока вытеснения и циркуляционного потока, обратные на напорной стороне лопасти скоростям потока протекания и совпадающие с последними на всасывающей, дадут в сумме неравномерное распределение скоростей более близкое к реальному. Основанный на схеме потенциального потока метод учета конечного числа лопастей разработан Г.Ф. Проскурой [122].Однако схема потенциального потока соответствует совершенному обтеканию лопасти - без отрывов - что исключает возможность возникновения вихрей в проточной части колеса. Реальное обтекание лопасти и стенок колеса происходит с образованием пограничного слоя. Так, при течении в направлении положительного градиента давления толщина слоя может значительно нарастать. В условиях торможения относительного потока при обтекании лопасти это приводит к отрыву потока от поверхности лопасти. В центробежном насосе отрыв потока можно наблюдать ближе к выходу с всасывающей стороны лопастей, а в режиме перегрузки также и на напорной стороне [82].Зона отрывного течения сокращает сечение потока на выходе, что приводит к увеличению относительных скоростей и уменьшению теоретического напора.Поэтому применительно к конфузорным решеткам радиально-осевых турбин сведение динамической задачи к расчету потенциального течения более обоснованно, чем в случае диффузорных решеток колес центробежных насосов. Действительно, в условиях распространения зоны завихренности вглубь потока утрачивается возможность прямой постановки решения уравнений пограничного слоя - уже нельзя рассчитывать скорости внешнего безвихревого потока без учета влияния на него погранслоя. В таком случае следует учитывать обратное влияние пограничного слоя на поток или использовать опытное распределение давления по поверхности лопасти. Неучет влияния погранслоя на внешний поток может привести к заметному искажению явления отрыва [80]. Ввиду «обратного влияния» пограничного слоя на поток расчет последнего существенно усложняется - преимущество модели течения Прандтля, включающей невязкое течение в ядре потока и вязкое пределах пограничного слоя, состоящее в возможности отдельного рассмотрения области потенциального течения в значительной степени утрачивается. Изучение погранслоя при неопределенном внешнем течении также становится проблематичным. Естественным способом преодоления создавшихся затруднений представляется совместное рассмотрение области невязкого течения и пограничного слоя течения на основе уравнений гидродинамики. Реальное движение жидкости в проточной области лопастного колеса турбулентное.Поэтому центральной проблемой при решении данной задачи является поиск надежного механизма учета фактора турбулентности.Возвратимся к расчету на основе струйной модели с поправкой на конечное число лопастей. Данный расчет позволяет лишь приближенно обеспечить требуемые параметры ЛГМ. Более того, ввиду произвола в задании форм осесимметричных поверхностей течения спроектированное лопастное колесо в расчетном режиме часто имеет низкий гидравлический КПД; также расчети ный режим может не совпадать с режимом максимального гидравлического КПД [182].Уравнение Эйлера носит характер интегрального закона - оно может быть получено в виде интеграла уравнения движения жидкости по объему течения [66]. Но лопастная система должна обеспечить заданные граничные условия. Удовлетворительное решение последней задачи возможно лишь при рассмотрении исходных уравнений движения. Поэтому дальнейшее развитие методов расчета течений в ЛГМ связано с использованием уравнений гидродинамики жидкости. Первые успехи в данном направлении были достигнуты при рассмотрении двумерных моделей (ДМ) в общем случае трехмерного течения в проточной части ЛГМ. Так, для густых лопастных систем низкой быстроходности нашла применение осесимметричная модель течения [182]. В частности, получено решение обратной задачи осесимметричного движения идеальной жидкости в предположении равноскоростного [24] или безвихревого [187] течения в меридианной плоскости. Помимо принятия допущений о характере меридианного потока существенным недостатком данной постановки задачи является отсутствие учета конечного числа лопастей - коррекция решения может быть проведена только приближенными методами [182].В осевых гидромашинах поверхности тока близки к цилиндрическим.Пренебрегая влиянием вязкости в ядре потока и считая поступивший на лопасти поток безвихревым, а обтекание лопастей - безотрывным можно считать течение в области осевого рабочего колеса потенциальным [38]. В рамках принятой идеализации исходная задача расчета движения жидкости в трехмерной области сводится к ряду двумерных задач обтекания цилиндрических решеток профилей потенциальным потоком. Для решения обратной задачи нашли применение метод тонких круговых дужек Вознесенского - Пекина [24] и метод телесных профилей Лесохина [78]. Для решения прямой задачи используются метод конформного отображения решетки профилей на решетку кругов и менее распространенный метод интегральных уравнений [18].Полученная в результате решения задачи обтекания информация о скоростях и давлении потока в лопастной системе позволила оценивать качество рабочего колеса в кавитационном отношении; кроме того, появилась ценная возможность рассчитать с помощью теории пограничного слоя профильные потери [182], составляющие весомую долю общих потерь энергии. Это позволило продвинуться в изучении влияния геометрии лопастной системы на ее энергетические и кавитационные показатели и, как следствие, добиться существенного улучшения показателей гидротурбин и насосов осевого типа [ 180].Однако методы обтекания применяются для нахождения течений на заданных поверхностях тока - структура меридианного потока не обеспечивается никакими расчетами. Высокая точность расчета этими методами потока в осевых ЛГМ обусловлена использованием известного из опыта факта о близкой к осевой направленности движения жидкости в гидромашинах данного типа. На самом деле в районе втулки колеса и на периферии лопасти цилиндричность течения нарушается и поток становится трехмерным. Это обусловлено присутствием концевых явлений, которые развиваются на фоне воздействия вязкости. Поэтому ожидаемые по результатам методов теории решеток показатели рабочего колеса не могут быть оценены вполне надежно.Наличие развитых методов решения задач осесимметричного течения и обтекания двумерных решеток профилей с одной стороны и потребности практики в более полном учете трехмерной структуры реального потока в лопастных системах - с другой, привели к появлению квазитрехмерной модели (КТМ) установившегося течения в ЛГМ. Данная модель течения представлена к рассмотрению У Чжун-Хуа [160, 215]. На основе КТМ разработаны приближенных методы расчета пространственных течений в гидромашинах, основанные на сведении исходной трехмерной задачи к COBOKJOIHOCTH двумерных задач.Наибольшее распространение получил предложенный Г.Ю.Степановым комплекс двух задач - задачи усредненного осесимметричного течения и задачи обтекания решеток на осесимметричных поверхностях тока в слое переменной толщины [145]. Для расчета усредненного потока проводится усреднение уравнений движения и уравнения неразрывности идеальной или вязкой несжимаемой жидкости в окружном направлении. При этом поверхностями тока усредненного потока являются поверхности вращения Sicp. Применение операции усреднения увеличивает количество неизвестных в упомянутой системе уравнений - последняя становится незамкнутой. В указанные уравнения помимо усредненных параметров входят массовые силы воздействия лопасти на жидкость (или обратно) F и пульсационные члены R.Развитие квазитрехмерных методов расчета течений напрямую связано с поиском наиболее совершенных механизмов определения сил F и R, а также способов возможной минимизации R - посредством «удачного» усреднения.Первоначально для расчета усредненного потока использовалась схема бесконечно большого числа бесконечно тонких лопастей (схема Лоренца [202]). При этом поверхность бесконечно тонкой лопасти является также поверхностью тока относительного потока, нормальной к полю массовых сил F.Чтобы воспользоваться схемой Лоренца необходимо перейти от поверхности лопасти конечной толщины к некоторой фиктивной поверхности Sicp, которая является аналогом бесконечно густой лопастной системы, В качестве такой поверхности в первом приближения может быть принята скелетная поверхность лопасти [42,145] или поверхность тока, делящая расход через межлопастный канал пополам [107].При таком подходе решение прямой квазитрехмерной задачи состоит в последовательном решении двух самостоятельных двумерных задач. Сначала решается осесимметричная задача расчета усредненного потока по схеме Лоренца, Затем на полученных осесимметричных поверхностях тока в слое переменной толщины производится расчет обтекания решеток профилей.Для редких решеток такой подход может привести к большой погрешности решения задачи [12, 107]. Однако недостатки последнего особенно проявляются при решении обратной задачи. Данные опыта показывают, что если принять спроектированную по схеме Лоренца поверхность в качестве средней поверхности рабочего колеса, то расчетные и фактические оптимальные параметры зачастую получаются отличными [158].Учет конечного числа лопастей, позволяющий более обоснованно задавать геометрию поверхности Sicp при решении прямой задачи был предложен в работах Г.И. Топажа [153].При решении обратной задачи корректный переход от поверхности Згср к лопасти рабочего колеса вызывает затруднения. Один из способов, нашедший практическое применение в гидротурбостроении, разработан Г.И. Топажем [158] и в дальнейшем рассмотрен в работах [40, 182].При учете конечного числа лопастей пренебрегают скоростями, нормальными к поверхности тока Sicp. Поэтому полученные не основе расчета усредненного потока по схеме Лоренца решения являются приближенными.Кроме того, не всегда можно найти в усредненном потоке поверхность тока Sicp, ортогональную полю массовых сил F [158]. В этих случаях не удается свести расчет усредненного потока к схеме Лоренца. В современных подходах к решению квазитрехмерной задачи поверхности тока Згср не вводятся.Массовые силы в уравнениях усредненного течения находят непосредственно из расчета обтекания решеток. Квазитрехмерная задача решается методом последовательных приближений. В частности, при решении прямой задачи сначала решают задачу обтекания решеток на некоторых принятых в первом приближении поверхностях Sicp, например, поверхностях тока осесимметричного потенциального или равноскоростного потока [82]. Затем, используя рассчитанные параметры потока на лопасти, решается осесимметричная задача. Также по параметрам потенциального потока, найденным при решении задачи обтекания, могут быть определены квадратичные пульсационные члены R (если R не сводятся в данном потоке к нулю [158]). В результате решения осесимметричной задачи уточняется форма поверхностей Sicp. Если полученные Slop недопустимо отличаются от первоначально принятых, то проводится вторая итерация и так далее - до сходимости итерационного процесса.Допущением такого подхода к решению квазитрехмерной задачи является то, что силы F и R определяются из расчета обтекания решеток, при котором поверхности Sicp принимаются за поверхности тока потенциального потока. Для оценки этого отклонения может быть решена третья двумерная задача на осесимметричных поверхностях, ортогональных поверхностям Sicp [20].Квазитрехмерные методы расчета, основанные на решении усредненных уравнений движения по схеме конечного числа лопастей, дают особые преимущества в применении в случае рассмотрения лопастных систем с небольшим количеством лопастей; для густых решеток, особенно при решении прямой задачи, схема Лоренца может иметь приоритет из-за меньшей трудоемкости.Имеется опыт учета вязкости жидкости при квазитрехмерном расчете потока. При этом используются усредненных уравнениях вязкой жидкости или в усредненные уравнения идеальной жидкости вводятся массовые силы трения, направленные вдоль вектора относительной скорости [33, 142, 168]. В этих расчетах пренебрегают трением в ядре потока, предполагая, что наибольшее влияние на усредненный поток оказывает вязкое трение у лопастей рабочего колеса и стенок проточной части. Для определения составляющих сил трения и потерь энергии в пристенной зоне производится расчет соответствующих пограничных слоев.Квазитрехмерная постановка задачи расчета течений в межлопастных каналах дает лишь приближенное решение трехмерной задачи. Если ядро течения существенно вихревое, например, из-за срыва вихрей с выходных кромок направляющего аппарата на входе рабочего колеса турбины, в полной мере не могут быть определены пульсационные члены R. Кроме того, использование модели обтекания решеток профилей потенциальным потоком предполагает безотрывное обтекание лопастей жидкостью и большие числа Рейнольдса течения; такие условия обеспечиваются удовлетворительно лишь в режимах близких к оптимальным.Усреднение уравнений движения в окружном направлении обедняет картину явлений реального потока. Выпадают из рассмотрения вторичные течения на стенках колеса, возможный отрыв потока в области погранслоя на лопасти, вихревая зона в области входной кромки лопасти. В рамках рассматриваемой модели влияние вихревой структуры потока на входе и турбулентного трения в ядре течения не имеет смысла учитывать - эти факторы действуют в пределах погрешности КТМ. Для повышения точности расчета пространственного потока в гидромашинах по сравнению с результатами на основе КТМ в настоящее время развиваются трехмерные модели расчета [84]. Доведенная до численной реализации методика решения прямой трехмерной задачи преложена профессором МЭИ Г.М.Моргуновым [92,102].Однако расчеты на основе ТММ пока не нашли широкого применения в практике гидромашиностроения. Сложившиеся положение связано не только с высокой трудоемкостью вычислений по ТММ, а также с недостаточным развитием методов расчета турбулентных течений, требующих дальнейшего усовершенствования. Главные аспекты современного состояния проблемы расчета турбулентных течений рассматриваются ниже. Отметим лишь, что на базе имеющихся в области моделирования турбулентности методик в нашей стране и за рубежом созданы программные вычислительные пакеты. Перечислим наиболее заметные среди них.Модуль FLOTRAN конечно-элементного многоцелевого пакета программ ANSYS американской компании ANSYS Inc. для решения задач гидроаэродинамики. FLOTRAN использует следующие известные модели турбулентности - Zero Equation Model (ZEM) - модель, базирующаяся на использовании гипотезы Прандтля о «пути перемешивания», (к-8)-модель с двумя дополнительными уравнениями - турбулентной кинетической энергии и скорости диссипации, а также Re-Normalized Group (RNG), New KB Model (NKE), Girimaji Model (GIR), Shih, Zhu и Lumley Model (SZL) - различные модификации (к-е) - модели.Универсальный программный комплекс STAR CD разработки компании CD-adapco group для решения задач механики жидкостей и газов с прикладными программами во многих областях промышленности, в том числе аэрокосмической, турбоэнергомашиностроении, насосостроении. Для расчета турбулентности применяются (к-8)-модели, двухмасштабные модели типа (к-8), метод крупных вихрей и другие.Конечно-элементный программный комплекс CFX TascFlow для исследоваш1я трехмерных движений жидкости и газов, а также моделирования теплопередачи.Программный комплекс Flow Vision - продукт российской компании Тесис - для решения трехмерных задач динамики жидкости и газов методом конечных объемов. FlowVision использует (к-Б)-модель турбулентности.Программный пакет FLOW-3D американской компании Flow Science предназначен для моделирования гидродинамических процессов и теплообмена. В частности, применяется рядом фирм при разработке конструкций летательных аппаратов, моделирования устройств гидроавтоматики и гидромашин, а также для анализа гидротехнических сооружений.Конечно-элементный пакет программ вычислительной гидродинамики Fluent американской компании Fluent Inc.В настоящей работе исследуется турбулентное течение в канале. Форму каналов в лопастных гидравлических машинах имеют подводящие и отводящие элементы. Несмотря на преимущественно второстепенные функции данных устройств (исключая отводы осевых насосов), конструктивное совершенство последних в значительной степени отражается на энергетических, виброакустических и других показателях гидромашины в целом. Подвод и отвод должны создавать наилучшие условия для установившегося относительного движения в области колеса. Отводящему каналу насоса следует придать форму, обеспечивающую преобразование кинетической энергии в давление с наименьшими гидравлическими потерями. Конструкция отсасывающей трубы турбины должна минимизировать потери энергии на выходе. не допуская возникновения кавитации на лопатках турбины. Практика проектирования данных устройств до настоящего времени в значительной мере опирается на данные опыта. Это связано в основном с отсутствием простых и надежных методик изучения турбулентных течений в каналах различной конфигурации, позволяющих вычислять потери на трение, отслеживать нарастание пограничных слоев, отрыв потока от стенок.Далее, основной способ обеспечения высоких антикавитационных свойств лопастных колеса основан на анализе лучших типовых конструкций.Улучшение качеств колеса в отношении кавитации по сравнению с уже достигнутым возможно путем исследования распределения давления по поверхности лопасти. Отработка новых конструкций осуществляется в основном постановкой испытаний моделей и последующей корректировки поверхности лопасти с целью выравнивания распределения давления. Разрабатываются также теоретические пути исследования потока в кавитационном отношении.Как известно, при срыве режимных параметров гидромашины уже имеет место развитая кавитация, захватывающая значительную часть лопасти [123, 182]. Поэтому теоретически строгие методы вычисления показателей, характеризующих кавитационное качество ЛГМ - например критического кавитационного коэффициента турбин или критического кавитационного запаса насосов - базируются на расчетах кавитационных течений. Однако существующие теоретические методы расчета, основанные на различных схемах кавитации [111, 129], не позволяют с высокой точностью найти распределение давления при кавитационном обтекании лопастей. Г.И.Топаж ввел в практику приближенный метод, позволяющий оценивать кавитационные свойства лопастных систем по результатам бескавитационного обтекания лопастей - по распределению давления по поверхности лопасти [158]. В квазитрехмерных методах давление определяется из расчета обтекания решеток профилей [182]. Предполагается, что наиболее полный учет факторов, влияющих на течение, при использовании трехмерных методов позволит точнее прогнозировать распределение давления. Как показано выше, успех решения трехмерной задачи связан с совершенствованием методов ной задачи связан с совершенствованием методов расчета турбулентных форм движения.Следующей важной проблемой, возникающей при создании лопастной гидромашины, является прогноз гидравлических, объемных и механических потерь энергии. Наименее доступны теоретическому определению гидравлические потери. Эта категория потерь также наиболее чувствительна к изменениям конфигурации проточной части гидромашины. Поэтому вопросу обеспечения высокого гидравлического КПД уделяется особое внимание при проектировании новых серий гидромашин.На практике гидравлический расчет проточной части лопастной гидромаш1шы базируется большей частью на рекомендуемых нормативных данных, полученных методом анализа и последующего обобщения на основе теории подобия серий конструктивных форм с высоким значением гидравлического КПД. Данный расчет всегда содержит элемент произвола, а качества проектируемой ЛГМ зависят от удачного выбора ряда нормативных величин. Практика создания ЛГМ большей частью основана на подобии лучшим опытным образцам; поэтому следует ожидать, что гидравлический КПД проектируемых ЛГМ находится на уже достигнутом уровне в заданной области использования. Перспективы повышения гидравлического КПД связаны с созданием общей расчетной теории гидравлических потерь ЛГМ. Расчётно-теоретическое исследование гидравлических потерь в ЛГМ сопряжено со значительными трудностями ввиду сложности и взаимного влияния физических процессов, происходящих в области течения. Даже такие факторы как интенсивность и масштаб турбулентности во входном сечении ЛГМ оказывает влияние на гидродинамические процессы на обтекаемых поверхностях лопасти, а значит и на гидравлические потери [21]. Особенно сложна структура потока в диффузорном рабочем колесе центробежного насоса.Методы расчета гидравлических потерь в проточной части ЛГМ как правило базируются на приближенных теоретических и полуэмпирических моделях [68]. Условно, гидравлические потери можно разделить на вязкие и вихревые [182]. К вязким потерям относятся профильные потери - потери на трение в решетках лопастных систем, а также потери на трение о стенки проточной части гидромашины. Расчет вязких потерь основан на применении теории пограничного слоя [178]. Широкое применение для исследования вязких потерь в ЛГМ получили методы расчета пограничного слоя на основе уравнения импульсов, полученное интегрированием уравнения движения пограничного слоя [145, 178]. Так для плоских решеток осевых гидромашин применяется разработанный Л.Г. Лойцянским метод расчета пограничного слоя [80]. Данный метод обобщен для двумерных решеток Б.С.Раухманом [124, 182]. Получают развитие методы расчета пространственного пограничного слоя для определения потерь на стенках проточной части [27, 145, 177].Как известно, для интегрирования уравнения импульса требуется знать закон распределение скорости по условной границе пограничного слоя [37]. Реформация о распределении скорости по поверхности лопасти может быть получена при расчете течения в исследуемой лопастной системе. В квазитрехмерных методах данная скорость определяется из расчета обтекания решеток профилей [182]. Совершенствование трехмерных методов, позволяющих более полно учесть факторы, влияющие на течение, предположительно позволит точнее определять распределение скорости и, следовательно, точнее оценивать профильные потери.К вихревым относятся ударные и индуктивные потери [158]. Ударные потери возникают при отрывном обтекании входной кромки лопастной системы. Индуктивные потери обусловлены срывом вихрей с выходной кромки лопастной системы. Строгое определение вихревых потерь затруднительно [5, 28, 145, 170], поэтому для их оценки применяются приближенные методы расчета. В работе [154] предлагается метод расчета индуктивных потерь, основанный на рассмотрении вихревой модели движения. В инженерной практике для определения ударных потерь широко используется соотношение из [145] - аналогичное по структуре известной формуле Борда [37]. Данное соотношение получено путем применения теоремы количества движения к объему втекающей на входные кромки лопастей жидкости.Отмеченные выше приближения для индуктивных и ударных потерь выражаются через скорости потока в проточной части ЛГМ. Вероятно, эти скорости могут быть определены тем точнее, чем полнее учтены факторы, влияющие на течение. Наиболее полный учет упомянутых факторов влияния возможен при использовании трехмерных моделей течения.Подводя итог проведенного анализа современного состояния проблем в области расчета лопастных гидромашин, можно отметить, что многие из них прямо или косвенно связаны с недостаточным развитием методов расчета напорных турбулентных течений. Поэтому предложенная к рассмотрению в данной работе тема представляется своевременной и важной.Возможность моделирования встречающихся в практике гидромашиностроения сложных течений зависит от понимания физики турбулентного потока в целом; поэтому так важны усилия в данном направлении. Для изучения турбулентности целесообразно брать самые простые случаи данного явления.Примером может служить рассматриваемое в настоящей работе течение в канале.1.3 Аналитическая модель задачи Математическая модель изотермического движения вязкой несжимаемой среды, известная как модель Навье-Стокса, впервые была предложена Анри Навье еще в 1822 году. Однако, допуская точные решения лишь для узкого класса течений, она оказалась тем не менее настолько сложна для аналитического разрешения, что основным инструментом ее исследования до сих пор являются многочисленные полуэмпирические, феноменологические и приближенные (численные) модели. Точные решения получены для некоторых течений, В частности, к ним относятся слоистые течения, уравнения движения которых легко разрешимы в силу линейности. Так, широко известно стационарное течение Пуазейля с параболическим распределением скорости.Однако интегрирование нестационарных уравнений для разгонного течения. выполненное Шиманским [178], проводится уже в бесконечно длинной трубе, т.е. некоей идеальной области течения, поскольку в противном случае на начальном участке трубы течение уже не является слоистым. Для исследования течения на начальном участке канала, плоского, полученные Шлихтингом [178] и круглого, соответственно, Шиллером [176], привлекаются результаты теории погранслоя, основанные на упрощении исходных уравнений. Вообще, значительное количество работ посвящено приближенным решениям, то есть интегрированию усеченных уравнений Навье-Стокса, таких, в которых отброшены некоторые члены, по своей величине малые в условиях конкретной задачи. При приближенном решении особую роль играют два предельных случая: ползущие и потенциальные течения. Уравнения ползущего течения легли в основу теории гидродинамической смазки. Уравнения потенциального течения сами по себе не имеют широкого самостоятельного применения, поскольку переопределены по граничным условиям. Введение модели погрансоля, и потенциального внешнего потока позволило решить задачу ламинарного обтекания. Следует заметить, что точные и приближенные, в определенном выше смысле, решения получены лишь для таких течений, которые можно охарактеризовать, как регулярные. Между тем наиболее распространенная форма движения, существенно более сложная - турбулентная, как выяснилось, не поддается описанию в рамках рассмотренных аналитических решений. Более того, даже полные линеаризованные модели не дают удовлетворительного результата. Качественное различие между двумя основными формами движения - ламинарным и турбулентным, впервые было отмечено в середине XIX века, когда эксперименты показали, что турбулентное сопротивление, в отличие от ламинарного, пропорционально примерно квадрату скорости. Известный аэромеханик Г, Ламб в своей монографии [76] объясняет это обстоятельство тем, что для получения турбулентного решения системы Навье-Стокса недопустимо пренебрегать конвективными членами. Наличие значимых нелинейных членов в уравнениях сохранения импульса служит не только основным источником затруднений интегрирования уравнений в области турбулентности, но также и ставит под сомнение факт самого существования и единственности решений. Для нелинейных уравнений известно, что в нестационарных задачах хорошее решение может существовать не во всем временном интервале. Как отмечено в [75], за конечный промежуток времени оно может или «уйти на бесконечность» или «рассыпаться», потерять регулярность, перестать удовлетворять уравнениям, начать ветвиться. Решение может иметь как стационарный, так и нестационарный характер. Состояние вопроса в области теории уравнений несжимаемой жидкости наиболее полно освещено в монографиях [75, 148]. Приведем лишь основные наиболее ценные результаты, изложенные в [75].Стационарные краевые задачи имеют, по крайней мере, одно решение, соответствующее ламинарному течению, при любых числах Рейнольдса Re.Для ограниченной области течения и малых чисел Re решение нестационарной краевой задачи единственно и устойчиво. Для общего трехмерного случая доказана однозначная разрешимость начально-краевых задач вблизи гладких начальных данных, то есть, для малых интервалов изменения времени. Вопрос о разрешимости задачи «в целом», то есть для любого временного интервала при любых гладких начальных данных задачи и размерах области течения, остаётся открытым.Если значения внешних сил за время t—> оо приближаются к некоторым стационарным значениям, для которых соответствующая краевая задача имеет решение vo с небольшим числом Re, то решения нестационарной задачи, отвечающие произвольным начальным режимам, очень быстро стремятся к vo при t-» 00, Если же число Re велико, то нет оснований ожидать, что решения вообще стремятся к каким-либо определенным пределам при t—> оо.Как можно видеть, теория не дает однозначного ответа на вопрос о существовании и тем более единственности решений, соответствующих на опыте турбулентным режимам. Следует отметить, в связи с этим, особенную роль, так называемого, теоретического критического числа Re, нахождение которого стало достижением теории устойчивости. Существование некой гранищ)! ламинарных режимов, таким образом, заложено в структуру используемых уравнений. Далее, при пересечении этой границы, необходимо знать, действительно ли решения теряют устойчивость, либо они неустойчивы «в малом», что позволяет описать турбулентность как «порядок в хаосе». Если интегрально устойчивые решения существуют, то какие допущения и какие подходы позволяют их, хотя бы и статистические, отыскать. Только сопоставив эти решения с экспериментальными результатами можно судить о том, описывает ли модель Навье-Стокса весь спектр (или некоторую значительную, в том числе и закритическую, его часть) реальных вязких макроскопически пренебрежимо сжимаемых и изотермических течений. Ведь при ее выводе был использован целый ряд гипотез, в частности, сплошности, несжимаемости, введен эмпирический линейный закон трения Ньютона, вообще говоря, справедливый для равновесных состояний среды, и с помощью дополнительных гипотез обобщен на трехмерные нестационарные течения. Автор [75] высказывает сомнения относительно допущений теории Стокса при больших числах Re, в частности, постоянства кинематического коэффициента вязкости и теплового режима. Вообще, имеется мнение о том, что традиционные уравнения несжимаемого течения не являются, по крайней мере на высокоскоростных режимах, замкнутой системой [58]. Энергия вязких напряжений в пограничном слое (либо в турбулентном потоке) приводит к повышению температуры и, следовательно, воздействует на давление в соответствии с уравнением состояния. Также, не сформировано окончательное суждение о роли сжимаемости при развитии турбулентности. Возможно, используемое представление о несжимаемости при выводе связи между тензорами деформаций и напряжений допустимо лишь применительно к достаточно медленным движениям. Принимая во внимание многочисленные опасения, особо актуальной видится задача об отыскании верхнего (например, по числу Re) предела применимости несжимаемой модели.Таким образом, строгий математический анализ системы Навье-Стокса, а также, много раньше, результаты многочисленных экспериментов, указывают на существование, наряду с ламинарной формой движения, некоторой пришщпиально отличной, гораздо более трудной для описания формы, которую Рейнольде назвал «извилистой», а сегодня более известна как турбулентная. Прежде чем разобрать подходы к исследованию турбулентности, учитывая сложность явления, остановимся на рассмотрении общих тенденций принятой в настоящее время и, в основе своей, получившей практическое подтверждение, физической модели турбулентности.1.4 Вихревая теория турбулентности.Турбулентный поток образуется в результате нелинейного взаимодействия изменяющихся вихрей разного порядка и формы, которые участвуют в некотором организованном движении. Неустойчивые по своей природе вихревые образования видоизменяются, участвуя в процессах переноса, диффузии и диссипации, поэтому рассматриваемая форма движения носит квазипериодический по времени характер. Вместе с тем турбулентность квазипериодична как по времени, так и по пространству, поскольку между размерами вихря и его частотой имеет место некая вероятностно определенная связь. Такая структура движения позволяет характеризовать поле течения в каждой точке с помощью усредненных и пульсационных параметров - скорости, давления и прочих. При инвариантности пульсаций скорости относительно изменения осей имеет место изотропная турбулентность, в противном случае - анизотропная.Теряя устойчивость, в основном, вихри уменьшаются в размерах. Процесс вихреобразования приближенно можно представить как механизм растяжения и сжатия жидких частиц - вихревых трубок - под действием скоростей деформаций, создаваемых «соседними» вихрями. Теннекс и Ламли [166] показали, что в отсутствии вязкости вихревые трубки растягиваются очень быстро, в то время как увеличение размеров вихрей (сжатие) происходит с много меньшей скоростью. Кроме того, применительно к данной модели вихреобразования, из закона сохранения момента количества движения следует постоянство циркуляции скорости по поверхности вихря. Поэтому процессу растяI жения сопутствует рост завихренности или кинетической энергии вихря. В реальных течениях направленного характера большие вихри формируются под влиянием усредненного потока и области течения, что вызывает статистически преимущественную ориентацию крупных вихрей, то есть анизотропность турбулентности. Вообще, анизатропность тесно связана с процессами генерации турбулентности [166], Далее, растяжение вихревых трубок в одном направлении приводит к увеличению составляющих скорости в двух других, вследствие чего растяжению подвергаются жидкие частицы, имеющие завихренности вдоль этих направлений. Наличие такого рассеивающего механизма вихреобразования приводит к тому, что изначальное преобладание скорости деформации в одном направлении для крупных вихрей при переходе к мелким ослабляется. Следовательно, мелкомасштабная турбулентность должна носить однородный и изотропный характер. Оказывается, что приведенные выводы относительно структуры турбулентности, сделанные на основе невязкой модели, хорошо согласуются с опытом. Это связано с особенным процессом энергопреобразования, присущим данной форме течения, который известен, как каскадный процесс переноса энергии.Обыкновенно считается, что энергией могут обмениваться только вихри сравнимых размеров. Как показано выше, завихренность вихрей, сокращающихся под действием более крупных, возрастает. Таким образом, происходит перенос части энергии от более крупных вихрей к мелким. Примечательной особенностью такого переноса - энергопреобразования является сравнительно низкая диссипативность. Это связано с тем, что в больших и средних вихрях, ввиду слабой завихренности, градиент скорости поперек вихря мал и, следовательно, малы силы вязкого трения. Наоборот, в мелких вихрях молекулярное трение значительно и вместе с тем мал запас механической энергии.Поэтому именно в мелкомасштабных вихревых образованиях преимущественно происходит основная диссипация энергии в тепло вследствие торможения их силами вязкости вплоть до полного вырождения. Конечно, и крупные вихри, в конечном счете, распадаются, однако, обладая солидным запасом механической энергии и, являясь в меньшей степени сдвиговыми, со значительно меньшей скоростью, что позволяет называть их «долгоживущими» [167]. В связи с этим, крупные вихри, в том числе и из внешнего потока, могут, в отличие от мелких, переносить информацию вниз по течению. Это свойство оказывает настолько важное влияние на структуру течения, что было введено понятие предыстории развития турбулентности («эффектов памяти») [90]. В связи с этим, при моделировании турбулентности «эффект памяти» целесообразно принимать во внимание при постановке начально-краевых условий. Крупные вихри несут в себе основную часть кинетической энергии турбулентности, поэтому называются энергосодержашими.Важную роль играет приток энергии от крупномасштабных вихрей 8 равный скорости диссипации энергии. Согласно «первому закону» турбулентности, экспериментально подтвержденному при достаточно больших числах Re, скорость дисспации определяется, в основном, временем «одного оборота» энергосодержащих вихрей, мало зависящее от вязкости.Этим объясняется, почему коэффициент гидравлического трения развитых турбулентных течений слабо зависит от числа Re, несмотря на то, что имеет место вязкая диссипация.Макромасштаб турбулеьггности Л, или характерный размер крупных вихрей ограничен размерами области течения и зависит от многих факторов, в том числе и предыстории турбулентности. Размеры минимальных вихрей определяются главным образом вязкостью v и скоростью диссипации е. Колмогоров оценивает микромасштаб т| следующим образом [166]: Рост числа Re сопровождается увеличением диссипации энергии 8 и, как следует из представленной оценки, уменьшением микромасштаба турбулентности, 1.5 Подходы и методы описания турбулентных течений Классификацию современных методов исследования турбулентных течений можно представить в следующем виде: 1) Аналитические теории турбулентности 2) Эмпирические модели для усредненных характеристик течения 3) Феноменологические модели Л. Прандтля, Т. Кармана, Дж.Тейлора и др. на основе гипотезы Ж. Буссинеска 4) Полуэмпирические модели переноса рейнольдсовых характеристик 5) Модели замыкания подсеточных движений 6) Численные модели решения замкнутых уравнений Навье-Стокса Первая группа методов преследует задачу построения такой универсальной теории, которая бы решала основные фундаментальные трудности проблемы турбулентности, связанные с недетерминированными взаимодействиями, как правило, без использования свободных и подгоночных параметров.Подобные теории используют в качестве переменных лишь усредненные поля турбулентных пульсаций и базируются по большей части на статистических подходах. Исследованиями в данной области занимались Крейчнан и Херринг [90, 166]. Аналитические модели пока не находят широкого применения, поскольку структурно очень сложны даже для однородной турбулентности, а при распространении на произвольные течения теряют универсальноаналитический характер.Вторая группа методов, связанная с построением эмпирических моделей для усредненных характеристик течения, дала наиболее плодотворные результаты для нужд практики. Получение законов подобия открыло возможности построения универсальных законов распределения скоростей и сопротивления для различных областей течения [37, 178]. Однако данные методики не дают представления о пульсационных характеристиках турбулентного течения, нестационарных процессах, не позволяют получить даже усредненные характеристики в областях сложной геометрии, то есть не являются универсальными в широком смысле.Третья и четвертая группы методов рассматривают турбулентность с позиций подхода, впервые введенного в практику расчетов О. Рейнольдсом [209]. Разберем основные позиции данного подхода.Рейндольс усреднил по времени исходные уравнения, выделив из актуальных значений скорости и давления пульсационные и средние на некотором элементарном временном интервале составляющие. Применение операции усреднения, в общем случае неоднозначной, в условиях исходной задачи вызывает опасения, по крайней мере, по двум причинам. Во-первых, турбулентное течение неоднородно и представляет собой наложение разномасштабных вихрей - «долгоживущих» крупных и «короткоживущих» мелких. В связи с этим, возникает проблема выбора интервала усреднения. Если интервал мал по сравнению с временем «жизни» крупных вихрей, то нельзя достоверно ожидать, что их вклад в течение учтен. Если же интервал слишком велик, то усреднение может быть слишком грубым, например, в условиях статистически нестационарного потока. Во-вторых, исходная система нелинейна и, кроме того, пульсации скорости могут быть значительны и достигать 10 и более процентов. При таких условиях усреднение системы уравнений может представлять собой некорректную операцию.Система Рейнольдса незамкнута, поскольку помимо характеристик усредненного течения содержит усредненные параметры пульсаций в виде симметричного тензора турбулентных напряжений.Проблема замыкания в феноменологических методах третьей группы удовлетворительно решена только для сдвиговых двумерных течений. Использование теорий «пути перемешивания» Л. Прандтля, подобия Т. Кармана, переноса завихренности Дж.Тейлора, а также других предположений эвристического свойства позволяют получить универсальные законы распределения скоростей течений в областях простой геометрии - близкие к опытным данным в ограниченных подобластях [178].В полуэмпирических моделях переноса четвертой группы, кроме системы Рейнольдса, рассматриваются уравнения переноса корреляций пульсаций скорости - кинетической энергии к, скорости диссипации е и других, полученные путем усреднения комбинации из уравнений Навье-Стокса. Введение дополнительных уравнений переноса не позволяет замкнуть систему. Более того, экспериментально доказано, что с ростом порядка корреляции пульсаций скорости растут по абсолютной величине, что затрудняет достижение сходимости методов данной группы. Наиболее распространенными моделями переноса, которые базируются на использовании одного пространственного масштаба, являются к-модель Колмогорова-Прандтля и (к-г)- модель. В них предполагается, что все корреляции пульсаций связаны с характеристиками турбулентности к, е и усредненного течения подобно напряжениям Ньютона через коэффициент турбулентной вязкости. Для замыкания используются масштаб турбулентности Л и некоторые произвольные постоянные, которые подбирают экспериментально. Недостатки такого подхода особенно ощутимы применительно к сложным течениям, поскольку Рейнольдсовы напряжения в них не могут быть выражены только через одномасштабные корреляции. Для описания таких течений применяют методы расчета, базирующиеся на использовании нескольких пространственных масштабов; уравнения Рейнольса дополняют системой уравнений переноса турбулентных напряжений. Проблема замыкания данной модели переноса слоиша и не решена окончательно.Основным недостатком моделей переноса является непосредственное использование усредненных характеристик турбулентного течения; при этом основополагающей для турбулентности динамике взаимодействия между различными масштабами течения уделяется незначительное внимание [166]. В частности, что выше отмечено как общее свойство подхода Рейнольдса, недостаточно хорошо поддается описанию крупномасштабная турбулентность.Эволюция турбулентности существенным образом зависит от деталей, которые были утеряны при усреднении [166].Тот факт, что описанию на базе усреднения лучше поддается мелкомасштабная изотропная турбулентность, послужил причиной развития методов пятой группы. Модели замыкания подсеточных движений занимают промежуточное положение между прямыми численными методами моделирования турбулентности и методами, использующими усреднение турбулентных параметров. Основоположником данного подхода является Дирдорф [188191].Автор [166] отмечает, что удовлетворительная точность схем замыкания мелкомасштабных движений достигается лишь тогда, когда разделение течения на мелкомасштабную и крупномасштабную составляющие не оказывает заметного влияния на эволюцию крупномасштабных структур. В любом случае, применение данного подхода оправдано лишь тогда, когда требуется информация о поведении крупномасштабных структур потока. Статистические свойства локальных турбулентных характеристик, по-видимому, удается получить только при прямом численном решением уравнений Навье-Стокса.Проанализируем основные трудности, возникающие при прямом численном моделировании турбулентности.1.6 Подходы к моделированию турбулентности Широко распространен подход к исследованию турбулентности, как к задаче с неточно и неполно заданной информацией. Далее, делается предположение о том, что исходная задача очень чувствительна к неопределенности начальных условий. Поэтому многие методы решения проблемы турбулентности базируются на расширенной постановке. Это означает, что объектом изучения является не математическая модель явления, а математическая модель исследования явления.В частности, такое видение проблемы характерно для синергетического подхода или подхода с позиций развивающейся теории самоорганизации открытых структур. Теория самоорганизации занимается изучением механизма возникновения порядка как наиболее вероятного состояния в сложных нелинейных системах и средах. При этом переход от ламинарного течения к турбулентному рассматривается как процесс самоорганизации или упорядочивания структуры. В таких условиях основным вопросом является поиск адекватных параметров порядка или функций состояний, рассмотрение которых позволит найти устойчивое или вероятное решение. Эта теория использует динамический и статистический способы моделирования и описания процессов [120].Так, бельгийская школа И. Пригожина [120] развивает термодинамический подход к теории самоорганизации. В рамках данного подхода основное общее понятие синергетики - структура как состояние, возникающее в результате согласованного поведения большого числа частиц, - заменяется более специальным понятием - «диссипативная структура». Этим подчеркивается особая конструктивная роль диссипации или рассеянии информации открытой структуры в процессах самоорганизации. Применительно к диссипации вводится понятие энтропии как некоего параметра порядка. Причем диссипация связывается с действием напряжений Рейнольдса. Далее, доказывается для линейных процессов и постулируется для нелинейных «принцип минимума производства энтропии в процессах самоорганизации». В данной трактовке прослеживается очевидная аналогия с термодинамическими закономерностями и вообще с теорией равновесных фазовых переходов. Однако следует отметить, что если известный в гидродинамике принцип Гельмгольца минимума диссипируемой механической энергии [80] сформулирован применительно к «медленным» стационарным течениям, то принцип Пригожина касается неравновесных состояний. Остается открытым вопрос о правомерности применения понятия энтропии к неравновесным переходам.Распространение понятий равновесных переходов на состояния, далекие от равновесия встречает многочисленные возражения. Неравновесные состояния связывают с нелинейным типом исходных систем уравнений. Как известно, характер решений подобных систем, а также связь с начально-краевыми условиями существенно более сложна, чем в линейном случае. Поэтому в общем случае необоснованно строить какие-либо физические концепции, опираясь на опыт исследования линейных моделей. Эти позиции еще более укрепились, когда пошатнулись первоначальные представления о турбулентности как о некоем хаосе. Большим достижение в этом направлении стало открытие в 1963 году Лоренцем странных аттракторов. Занимаясь проблемой прогноза погоды Лоренц численно решат уравнения термоконвекции. Исследуемые им уравнения привели к решениям, очень чувствительным к точности задания начальных условий. Оказалось, что детерминированные системы с малым числом степеней свободы могут вести себя внешне как хаотические.Таким образом, областью решений достаточно близких по начальным условиям задач является не непрерывная функция, а дискретное множество, которое было названо странным аттрактором. Обнаружено еще одно примечательное свойство странных аттракторов. Оказывается, эти объекты могут быть фракталами, то есть структурами дробной размерности.Появление математических моделей со столь непредсказуемыми решениями, имитирующими хаос, позволило закрепиться мнению о том что, упорядоченная структура турбулентного течения определяется как аттрактор асимптотически устойчивого решения для усредненных величин. В такой постановке, исходная задача представляется некорректной в обычно принятом смысле. Поэтому в данном случае под упорядоченной структурой турбулентного течения понимается его регуляризованное описание [9]. Например, в частных случаях параметром регуляризации может служить шаг расчетной сетки. Однако в общем случае использование данного параметра в целях регуляризации не очевидно.Широкое внедрение нелинейных задач в практику численных исследований и связанные с этим сложности привели к необходимости поиска стратегии решения нелинейных задач. Еще в 30-ые годы основоположник отечественной школы нелинейных колебаний и волн Л. И. Мандельштам сформулировал программу выработки «нелинейной культуры, включающей надежный математический аппарат и физические представления, адекватные новым задачам, выработать нелинейную интуицию, годную там, где оказывается непригодной интуиция, выработанная на линейных задачах» [86]. Многообразие поведения даже простейших нелинейных моделей привело, в основном, к развитию аксиоматического метода, который бы на уровне аксиом учитывал основные преимущественные особенности исследуемых физических процесCOB. примером применения такого подхода к моделированию предельно развитой турбулентности является модель О.М. Белоцерковского и Э.Г. Шифрина [9]. Данная модель рассматривает турбулентное течение как движение подобластей - «пятен турбулентности»- с не дифференцируемым, но непрерывным полем. Турбулентная подобласть является некоторой внутренней структурой ячеек, для совокупности которых справедливы дифференциальные ламинарные макроуравнения для усредненных величин. Расширенные системой в самом общем виде интегральных уравнений сохранения массы, энергии и импульса макроуравнения вместе уравнениями равновесной термодинамики решаются численно с использованием усреднения по ячейке. Масштаб ячейки выполняет функцию регуляризатора решения. Значительным препятствием распространения и развития подходов подобного типа являются отсутствие единой замкнутой интегральной постановки задачи турбулентности, а также существенные пробелы в области теории численных решений интегральных нелинейных систем.Другой подход к исследованию развитой сдвиговой турбулентности, обоснование основных положений которого изложены О.М.Белоцерковским в монографии [9], получил наибольшее распространение. Его также можно рассматривать как аксиоматический и охарактеризовать как дискретный, допускающий самостоятельное рассмотрение крупномасштабной и мелкомасштабной турбулентности.1.7 Дискретный подход к моделированию развитой сдвиговой турбулентности.Предпосылками для реализации данного подхода стали результаты многочисленных экспериментов по изучению турбулентности. Вопреки первоначально укоренившемуся мнению оказалось, что турбулентность ошибочно трактовать как полностью стохастический процесс, поскольку последняя часто включает как элемент организованное движение почти когерентных структур. Так, широкому классу турбулентных потоков с поперечным сдвигом присуще наличие нестационарного квазиорганизованного движения Крупномасштабных образований со слабой пульсацией. Внутренняя зона таких течений состоит из мелкомасштабных пульсаьщй достаточно высокой интенсивности, но примерно однородной. Исследователи отмечают, что в ряде случаев (например, в плоских слоях смешения) даже очень мелкомасштабные движения могут быть высоко упорядочены [9]. Из опыта известно, что структура крупномасштабных образований для закритических высокоскоростных режимов слабо зависит от числа Re, если от него не зависят граничные и начальные условия. На основании этих данных была предложена гипотеза о статистической независимости крупно- и мелкомасштабных движений.Эта гипотеза наводила на соображения о возможности расчета хотя бы усредненных полей и даже характеристик крупномасштабного турбулентного движения при некотором универсальном (усредненном) для широкого диапазона чисел Re учете влияния мелкомасштабных движений [9].В изотропных турбулентных течениях при больших числах Re максимум энергии пульсационного движения в области длинноволновых возмущений сильно разнесен с максимумом диссипации энергии в области коротковолновых возмущений. Исходя из этого, А.Н, Колмогоровым было сделано предположение о существовании промежуточного (инерционного интервала), в котором энергия не генерируется и не диссипирует, а только передается более мелким вихрям [9]. Наличие такого разделительного интервала, вопервых, позволяет в силу очевидной однонаправленности процессов взаимодействия в определенной степени обосновать справедливость гипотезы о независимости крупно- и мелкомасштабных движений в области развитой турбулентности, во-вторых, при расчете течений вклад крупномасштабных движений моделировать на основе механизма объемной конвекции.С учетом сделанных выше замечаний относительно особенностей физической картины турбулентности естественен следующий предложенный в [9] дискретный подход к моделированию разврггой сдвиговой турбулентности- исследование макроструктур на низкочастотном и инерционном интервалах проводится путем прямого численного моделирования, основанного на рассмотрении сглаженных динамических уравнений для идеальной среды в форме интегральных законов сохранения с приближенным механизмом диссипации; - стохастическая составляющая турбулентности изучается статистическим путем с привлечением кинетических моделей турбулентности.Рассмотрим подробнее потенциальные перспективы использования данного подхода для решения задачи построения универсальной модели турбулентности.При моделировании крупномасштабных движений решаются усредненные уравнения Эйлера. В качестве сглаживающего оператора или фильтра используются диссипативные разностные схемы, основанные на ориентированных разностях. При этом анализ дифференциальных приближений данной схемы показывает, что действие такого фильтра эквивалентно введению в структуру исходных уравнений вязкостных членов с коэффициентами, пропорциональными скорости и размеру ячейки в направлении действия скоростей деформаций. Таким образом, структура коэффициентов аппроксимационной вязкости подобна структуре коэффициентов турбулентной вязкости для микромасштаба равного шагу сетки, полученных на основе анализа размерностей. Предполагается, что варьируя величиной шага можно достичь равенства этих коэффициентов, то есть адекватности описания используемой разностной схемы механизма турбулентного перемешивания. Следует отметить, что применение данного подхода к нестационарным задачам на больших промежутках времени затруднено, так как, с одной стороны, ориентированные аппроксимации вносят большие ошибки, а с другой - сокращение данной ошибки путем уменьшения размеров ячеек может привести к неустойчивости, поскольку коэффициент турбулентной вязкости пропорционален размеру ячейки.Правомерность рассматриваемой постановки задачи для расчета усредненных полей крупномасштабной развитой турбулентности подтверждается расчетами [9]. Вместе с тем вызывает сомнения вычисление по сглаженным уравнениям усредненных характеристик пульсационного крупномасштабного турбулентного движения. Расчет ведется до получения устойчивых характеристик, которые могут быть найдены путем статистической обработки данных. Возникает вопрос, являются ли полученные характеристики истинными.Изучением данного вопроса занимался В.М.Иевлев [44]. Путем сопоставления уравнения для плотности вероятности совокупности неизвестных исходной системы с аналогичным уравнением для усредненной системы было установлено, что при одинаковом задании начально-краевых условий статистические характеристики реального и усредненного потоков полностью совпадут. Таким образом, согласно принципу Иевлева, расчет по сглаженным уравнениям принципиально может обеспечить получение правильных статистргческих характеристик потока, зависящего от крупномасштабной турбулентности, хотя детальная пространственно-временная картина такого пульсационного движения не будет при этом воспроизводить какой-либо реальный процесс.Представляется важной оценка чувствительности усредненных решений к способам усреднения.Второе направление рассматриваемого подхода связано с моделированием стохастической составляющей турбулентности путем статистического моделирования на основе кинетического уравнения. В настоящее время отсутствует универсальная теория турбулентности на кинетическом уровне. Известные кинетические уравнения разработаны для узкого класса задач. Для замыкания этих уравнений требуется задание некоторых констант (например, интегрального масштаба турбулентности). Разработка универсальной кинетической модели сложна; обнадеживающие результаты, наверное, следует ожидать лишь в области предельно-развитой турбулентности с относительно однородной микроструктурой.Таким образом, несмотря на существование эффективных методик расчета высокоскоростных сдвиговых течений не удается хотя бы численно подтвердить гипотезу о том, что турбулентность описывается полными уравнениями Навье-Стокса. Попытки нахождения нестационарных и нерегулярных решений, то есть моделирования перехода к «хаосу» предпринимаются в основном на примерах с внешними возмушающими силами. Однако принципиально важно определиться в вопросе о роли внутреннего инерционного механизма уравнений в возникновении бифуркаций и поддержании стохастического процесса. Для этого, по крайней мере, необходимо обеспечить адекватный реальным физическим процессам баланс при аппроксимации вязкостных и конвективных членов в области ламинарно-турбулептного перехода. Поиск указанного баланса представляется целесообразным вести в двух направлениях: установления корректных численных схем и увеличения масштаба разреI шения. I I Проведенные Дирдорфом исследование крупномасштабной турбулентности в плоском канале при введении моделирования подсеточных движений * показало, что коэффициент турбулентной вязкости с ростом сеточного разрешения имеет тенденцию все более равномерного распределения по ширине канала [188, 189]. Действительно, переходя к пределу при уменьшении сеточного интервала подсеточное турбулентное трение сменяется молекулярным, для которого коэффициент вязкости постоянен. Было предложено моделирование крупномасштабной турбулентности в канале прямоугольного сечения на мелких сетках методом эмпирического подбора подходящей величины коэффициента вязкости, обеспечивающего устойчивость турбулентных характеристик надсеточного масштаба.1.8 Возможности современных ЭВМ Попытаемся оценить современные возможности удовлетворения требований предъявляемых к ресурсам ЭВМ при расчете турбулентных течений на базе системы Навье-Стокса. Одним из главных препятствий, возникающих при прямом численном моделировании турбулентности, является обеспечение приемлемого разрешения численной схемы. В силу детерминированного характера связей явлений в ламинарном потоке на макроуровне, механизм диссипации, происходящей на микроуровне, может быть описан с помощью интегральных параметров достаточно крупных структур течения. Турбулентная диссипация, как известно, происходит на диссипация, как известно, происходит на уровне самых мелких вихрей без столь прямого взаимодействия через вязкость с вихрями крупных масштабов.Каскадный перенос энергии и связанное с ним выравнивание направлений деформаций при переходе на микроуровень приводят к тому, что при диссипации имеет место более сложная связь между вихрями крупных и самых мелких масштабов. По разным оценкам эта зависимость, в лучшем случае, имеет слабо детерминированный характер. Поэтому целесообразной кажется оценка возможности расчета с разрешением, позволяюищм описывать вихревые образования, в которых происходит основная диссипация энергии.На Рис. 1.2 представлена производительность лучших суперкомпьютеров, вычисленная по Linpack. Данные на ноябрь 1998 года.Производительность компьютеров непрерывно нарастает, хотя и сегодня видны перспективы применения и развития прямых численных методов в области турбулентности. J T(Re) 1-1 0^ 1 •10 Re 1 •10^ } 1 1 •10 Рис. 1.4 1.9 Проблемы прямого численного моделирования ламинарнотурбулентного перехода на базе модели Навье-Стокса: дискретная и непрерывная форма представления решения.При численном решении полной системы Навье-Стокса наибольшее распространение получили конечно-разностные и проекционно-разностные методы в форме Бубнова - Галеркина (спектральные или Фурье - методы).В спектральном методе используется представление решения в виде отрезков рядов по гладким функциям - тригонометрическим, полиномам Чебышева. Бесселя. Данный метод нашел широкое применение для задач с достаточно гладкими решениями и граничными условиями. В частности, несомненная эффективность спектрального метода доказана при решении многих задач теории упругости. Однако успешное применение Фурье - методов к существенно нелинейным задачам гидродинамики встречает значительные затруднения.Понятно, что при наличии разномасштабных движений в турбулентном потоке для достижения приемлемой точности решения необходимо использовать достаточно длинные ряды. Операции суммирования и перемножения таких рядов, вообще говоря, неустойчивы по отношению к погрешности коэффищ1ентов. Для коррекции данного эффекта применяют оптимизацию по числу членов, подавление шума с помощью форм-фактора, например, регуляризацию Тихонова. Несмотря на фильтрование шумовых помех вычислительные погрешности особенно с ростом числа Рейнольдса быстро приводят к нефизическим осцилляциям и, в итоге, «разболтке» решения [109]. Такая ситуация, на наш взгляд, складывается, прежде всего, потому, что при интегрировании системы спектральными методами ввиду сложности конвективные члены всегда аппроксимируются явным образом. Поскольку возможности увеличения масштаба разрешения весьма ограничены, то аппроксимационная ошибка решения недопустимо растет. Кроме того, резко повышаются требования по устойчивости. С одной стороны, высокая чувствительность спектрального решения к малейшим локальным ошибкам в силу его глобального характера и, с другой стороны, трудности принципиального свойства этих ошибок избежать - два фактора, препятствующие все большему внедрению спектральных методов в практику гидродинамических расчетов.При решении уравнений Навье-Стокса спектральными методами в традиционной форме часто используют Фурье - разложение. При этом в областях больших градиентов, например около стенок, решение расходится, что объясняется влиянием эффекта Гиббса в точках разрыва Фурье рядов. В таких случаях применяется разложение по полиномам. Поскольку производные от ортогональных многочленов вычисляются гораздо точнее, чем от тригонометрических функций, то аппроксимация полиномами большее распространение получила в спектральном методе с коллокациями или псевдоспектральном методе.Вычисления неизвестных в псевдоспектральном методе ведутся непосредственно в физическом пространстве. В спектральном пространстве при прямом дискретном преобразовании вычисляются коэффициенты разложения, а при обратном - производные по пространству от неизвестных. Эффективность данного метода перед обычным спектральным достигается при использовании быстрого преобразования Фурье. Вместе с тем возникают дополнительные ошибки (ошибки представления), связанные с тем, что при перемножении составляющих конвективных членов спектральный диапазон результирующих функций непрерывно расширяется, в то время как при прямом преобразовании вычисляются лимитированное число коэффициентов. Влияние возникающих при этом ошибок сказывается в искажении амплитуд низких частот.Реализация спектральных методов еще более осложняется при решении задач в областях сложной формы. Для расчета таких течений используются, по крайней мере, два подхода. Первый подход заключается в переходе к обобщенным криволинейным координатам, в которых рассматриваемая область однородна. По данным Орсега [166] для сохранения высокой точности спектральных методов параметры преобразований следует вычислять также спектральными методами. Второй подход состоит в разбиении области сложной геометрии на элементарные подобласти. При этом возникают трудное ги стыковки по границам, вызванные необходимостью обеспечения непрерывности решений при переходе из одной подобласти в другую.Несомненным преимуществом конечно-разносных методов перед спектральными является универсальность применения.Далее рассмотрим главные современные направления развития разностных подходов при моделировании ламинарно-турбулентного перехода.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ В КАНАЛЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ. Введение.Приведена исходная безразмерная система уравнений. Рассмотрены некоторые подходы к решению системы. Обсуждается роль пульсаций давления в распределении энергии по компонентам пульсаций скорости.Исследуются три схемы расщепления.Основные условные обозначения: V - градиент; V • а - дивергенция вектора а; А- оператор Лапласа; 2.1 Исходная безразмерная система уравнений.Идея метода искусственной сжимаемости получила развитие в работе Р.Темама [148]. В данной работе, помимо регуляризации в указанном выше смысле, используется регуляризация для удержания детерминированности решения. Также в [75] О.А.Ладыженской предлагается специальная 8-аппроксимация конвективных членов, которая вносит дополнительную вязкость на высокоскоростных режимах. Существуют и другие способы стабилизации уравнений Навье-Стокса. Для возмущенных уравнений в ряде случаев удается доказать однозначную разрешимость «в целом» начальноI I • Краевых задач. Понятно, что такого рода регуляризации, в общем случае, сужают класс функций, к которому возможно принадлежат решения исходной системы. Если окажется, что уравнения Навье-Стокса описывают детерминированный процесс, то решения, вычисленные по возмущенным уравнениям при малых 8 окажутся близкими к точным [75]. Аналогичные рассуждения имеют место при рассмотрении решений е-возмущенных регулярных систем.Однако выводы об адекватности дифференциальных аппроксимаций основываются на предположениях о гладкости начально-краевых условий и самих решений. Вместе с тем при численном решении данные условия могут быть нарушены. Кроме того, нарушение возможно в сршу объективных причин, то есть воздействия нелинейности, при высоких скоростях течения, тем более на турбулентных режимах. Тогда нельзя гарантировать сходимость такого решения именно к решению исходной системы. Поэтому представляется, что для продвижения в закритическую область целесообразно использовать уравнения движения в подлинном виде. Особенно осторожно, на наш взгляд, следует относиться к системам эволюционного типа. Предпосылки для таких опасений будут сформулированы ниже. Регуляризационная аппроксимации уравнений Навье-Стокса рассматривалась также в работах [70, 71, 73].Второй подход к решению уравнений Навье-Стокса состоит в решении исходной нерегулярной системы. Применительно к движениям сжимаемого газа распространен двухэтапный метод моделирования течений, включающий эйлеров и лагранжев этапы.Впервые данный метод был использован в методе частиц в ячейках (PIC), предложенном Харлоу в 1955 году для задач с сильными деформациями жидкости, большими относительными перемещениями и столкновениями поверхностей раздела [108]. Схема метода условно устойчива, поскольку основана на явных аппроксимациях первого и второго этапа. Однако PIC методу присуща вычислительная неустойчивость (флуктуации), связанная с дискретностью представления среды. С целью сокращения подобных эффектов для решения газодинамических задач О.М.Белоцерковским был разработан метод крупных частиц (МКЧ), использующий континуальную модель среды в объеме крупных частиц. В данном методе процессы переноса вещества и энергии разделены во времени на микромасштабах [8]. Роль реального механизма диссипации играют схемные диссипативные эффекты (так называемая аппроксимационная вязкость). Структура коэффициентов аппроксимационной вязкости схожа со структурой коэффициента турбулентной вязкости Vj., для я - масштаба крупных вихрей Vj.=w '^/l, где Мд - изменение средней скорости на протяжении размера вихрей Я [9].Примененительно к несжимаемым течениям зачастую применяются явные схемы, как, например, в методе маркеров и ячеек (MAC), предложенном в 1965 году Харлоу и Уэлчем [8]. Данный метод получил широкое распространение при решении задач гидродинамики. Начиная со времени возникновения, МАС-метод постоянно усовершенствовался. Например, изменения коснулись постановки граничных условий для давления, которая сложна в исходном варианте метода. Среди наиболее известных модификаций метода маркеров и ячеек можно назвать SMAC [8], SUMMAC [174], MACRL [174].В настоящее время получают развитие методы расщепления задачи в естественной постановке. Эти методы берут свое начало с работ американских ученых Дугласа [192], Писмэна и Рэчфорда [208], опубликованных в 1955 году, В нашей стране разработка данного направления исследований связана с работами К.Годунова, Г.И. Марчука, А.А Самарского, Н.Н.Яненко и других.Математическое обоснование метод расщепления или дробных шагов, отчасти (для задач в линейной постановке), получил на основе представлений о слабой аппроксимации функций, введенных в [185].Следует отметить, что рассмотренные методы, в большей или меньшей степени, применяются для расчета крупномасштабной структуры закритических несжимаемых течений. Однако требование устойчивости решений существенно лимитирует верхнюю границу применимости.Далее представляется необходимым произвести оценку характеристик микронестационарности (пульсационности) полей скорости и давления и попытаться оценить вклад каждой из них в формирование общих свойств течения.2.3 Пульсации давления и скорости.Из уравнений Рейнольдса [см., например, 80] можно видеть, что вклад пульсаций скорости отражается в виде тензора турбулентного трения. В свою очередь, пульсации давления в рамках данного подхода усредняются до нуля.Между тем исследователи естественно стремятся проинтегрировать уравнения движения на сетках, сравнимых с размерами самых мелких вихрей, то есть с масштабами диссипации. Возникает закономерный вопрос о том, как влияют пульсации скорости на давление в реальных и моделируемых течениях. И, наоборот, какова роль пульсаций давления в сложном механизме турбулентности. Внести некоторую ясность по последнему вопросу позволяют следующие сведения.Структура балансовых уравнений (2.8) дает некоторые основания полагать, что осредненное течение передает энергию только компоненте ui, а эта энергия распределяется между другими компонентами благодаря пульсациям давления, то есть именно давление является посредником в распределении турбулентной кинетической энергии. В частности, в результате анализа экспеI • I I риментов на турбулентных пограничных слоях Шубауером в 1954 [210] году высказано предположение о том, что возникновение течения вдоль оси xi создает градиенты давления, вызывающие пульсации потока с компонентами вдоль осей Х2 и Хз.Исследования структуры турбулентности течений в каналах и пристеночных - в пограничном слое - выявили анизотропность крупных вихрей [59]. Как известно, крупные вихри являются носителями основной части кинетической энергии течения [166]. Анизотропность крупных вихрей обусловлена неравномерностью распределения кинетической энергии по компонентам щ, U2, из, перехрдящей от усредненного течения к вихрям.Результаты многочисленных экспериментов подтверждают наличие анизотропности энергосодержашлх вихрей. Даже при исследовании турбулентности за решеткой Виаттом получено для отношения J("i^)/("2^) значения, меняющиеся в диапазоне от 1,1 до 1,3 [217]. По экспериментальным данным Лауфера на оси канала данное отношение оказывается порядка 1,05 [199].Имеется также гипотеза о наличии косвенного механизма передачи энергии компонентам U2 и из, поскольку передаточный член вида и^ • - ^ по своей форме связан, видимо, с большими волновыми числами, чем те, благодаря которым энергия передается от усредненного течения к компоненте ui ! « I [59]. В рамках данной гипотезы роль поперечных градиентов давления может быть сведена до источника первоначальных пульсаций скорости, подобно тому, как нагревание необходимо для начала горения органических веществ, а для поддержания горения требуется только приток кислорода. Таким образом, роль пульсаций статического давления в механизме т)фбулентности окончательно не ясна. Перейдем к рассмотрению первого вопроса, поставленного в начале данного пункта, а именно: как влияют пульсации скорости на давление в реальных и моделируемых течений.Если полагать, что уравнения Навье-Стокса правильно описывают закритические течения, то уравнение для давления можно рассматривать как диагностическое уравнение, а не эволюционное (как, например, в случае сжимаемой среды): "^"^ ^Г, ^,1 (х,ОеПх[0,Г], (2.10) Р = Ро, (х,0едПх[0,Т1 где дО. - граница области течения Q.Следовательно, функция давления является решением уравнения Пуассона. Градиент вектора конвективных сил ф представляет собой функцию источников данного уравнения. Ради наглядности будем рассматривать модельную задачу распространения тепла по пластине. Тогда решение р следует понимать как температуру, а функции ф и ро имеют смысл соответственно распределения источников тепла и температуры на границе. Многочисленные экспериментальные результаты по исследованию турбулентности показывают, что усредненные среднеквадратичные турбулентные пульсации скорости и турбулентные касательные напряжения распределены по центральной области течения достаточно равномерно. Подробные и весьма точные измерения по данному вопросу можно найти в монографии Ж.Конт-Белло [59]. В таких случаях говорят о локальной эргодичности процесса. И только в области стенок имеет место резкое падение этих величин до нуля, что объясняется влиянием вязкости. Это свидетельствует о том, что и функция ф в усредненном виде достаточно гладкая (если исходная задача квазистационарная), а в естественном - сильно осциллирующая. Следовательно, переходя к модельной задаче, источники температуры распределены статистически равномерно. В таком случае, замена задачи в первоначальной постановке задачей с статистически усредненным расположением температурных источников не приведет к существенному искажению результата, то есть не повлияют на распределение температуры по пластине.Рассмотренный пример отражает свойства решений уравнения Пуассона. Известно, что данное уравнение, как вообще уравнения эллиптического типа, обладает той особенностью, что возмущение, внесенное в какую-либо точку, оказывает влияние на все другие точки в вычислительной области. С одной стороны, данная особенность обусловливает возможность проведенной выще замены функций источника. С другой стороны, любая вычислительная погрешность отражается на всей области решений. Вероятность нарастания такой погрешности при решении уравнения с быстро осциллирующей правой частью весьма велика. Это связано с тем, что в условиях рассматриваемой задачи дифференцирование быстроменяющихся функций в правой части может быть расценено как не корректная процедура. Действительно, с вычислительной точки зрения данная операция сопряжена с неизбежными погрешностями. Эти погрешности в силу свойств эллиптических задач гарантированно распространятся по всей области счета. Это может привести к искажению и катастрофической потере точности результата. Другая ситуация будет иметь место, например, в уравнениях с вязкостью параболического типа.Вернемся к исходной задаче. Рассмотрим, в самом общем виде, схему расщепления, обычно применяемую для решения системы уравнений движения несжимаемой жидкости [9]. Данную схему можно представить в виде: 1 -ый шаг м"*'/' = f{u"'"\ р"), 2-ой шаг 1-ый этап Др""^ ' = g{u",p",u"*^'^\ 2-ой этап м""' = г(и",р"У'\р''''), . где п, п+1 - значения на предыдущем и последующем временных слоях.Можно видеть, что при расчете на мелкой сетке, к которому обыкновенно стремятся, на втором шаге, в силу изложенного, появляются погрешности при определении давления. Далее, на том же шаге, поле скоростей «подправляется» с учетом этих ошибок.При расчете на крупной сетке не удается отслеживать изменение скоростей. На первом шаге крупная сетка не позволяет установить приемлемый баланс в аппроксимации конвективных и диссипативных членов, вследствие чего на втором шаге уравнение Пуассона будет содержать неверную функцию источников.Суммируя сказанное, можно сформулировать следующий подход к решению сложившейся проблемы.В случае нестационарного течения первый шаг выполняется на сетке, разрепшмость которой определяется уравнениями данного шага, - то есть на мелкой сетке. На той же сетке вычисляется правая часть уравнения Пуассона для давления. Затем возможны два варианта: либо уравнение интегрируется на мелкой сетке с предварительным сглаживанием функций источника, либо на крупной, а результаты интерполируются на мелкую. Далее, на втором этапе возвращаемся к первоначальной сетке.В случае квазистационарного течения (стационарного по усредненным характеристикам) в областях простой геометрии давление может быть задано или найдено на первых шагах расчета. Кажется, что в данном случае исходная система переопределена по количеству уравнений. Вместе с тем можно надеяться, что в случае правильного задания или нахождения давления поле скоростей во всей пространственно-временной области автоматически будет удовлетворять уравнению неразрывности. В таком ракурсе задача на начальной стадии сводится к вариационной задаче: нужно найти функцию давления так, чтобы дивергенция вектора скорости была минимальной. Однако остается открытым вопрос, касающийся метода отыскания этой «наилучшей» функции.Распределение давления с приемлемой точностью может быть установлено лишь для относительно простых областей. В остальных случаях, следует воспользоваться методикой, предложенной для нестационарных течений. Данный расчет нужно проводить до выхода давления на стабилизационный режим, а затем продолжать как для квазистационарного течения.Вернемся к рассмотрению аппроксимации исходной системы уравнений регулярной на высокоскоростных режимах. В данном случае возникают два вопроса. Во-первых, при пульсирующих функциях вектора скорости могут нарушаться оценки, используемые при доказательстве сходимости. Вовторых, каким образом можно организовать расчет системы с сильно разнородными по гладкости неизвестными функциями. По-видимому, какой-то из • указанных вопросов либо другие представляют проблему, поскольку расчеты на базе уравнений с 8 - возмущениями ведутся при умеренных числах Рейнольдса.Вернемся к вопросу расчета нестационарных течений. Было выяснено, I i что на первом этапе второго шага расчет может быть осуществлен двумя способами. Рассмотрим каждый из них, В случае, когда уравнение Пуассона интегрируется на мелкой сетке с предварительным сглаживанием функций источника, возможно «зашумление» решения случайными погрешностями и погрешностями округления. Это может быть связано с выбором неоправданно малого шага интегрирования. Во втором случае, когда диагностическое зфавнение решается на крупной сетке, неравномерность источников сглаживается, и, кроме того, появляется возможность выбрать оптимальный шаг интегрирования. Помимо этого, второй способ расчета является более универсальным и отличается простотой реализации; поэтому будем использовать его в дальнейшем.Приведенные в данном пункте соображения относительно характера изменения давления и скорости, а также их значения в механизме турбулентности требуют более основательного подтверждения. Поэтому в дальнейшем предполагается рассмотреть две задачи: • - квазистационарное течение в канонической области с известным распределением давления; - квазистационарное течение в канонической области с определяемым распределением давления.Сопоставление результатов позволит обоснованно судить о степени соответствия приведенных рассуждений применительно к процессам, происходящим в реальных течениях.2.4 Первые модельные уравнения конвекции-диффузии.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Показана своевременность постановки и практическая значимость задачи в области лопастных гидравлических машин и смежных с нею отраслях техники, где моделирование турбулентных течений требуется для совершенствования целого ряда гидродинамических расчетов. Рассмотрено общее и предметное - применительно к проточным частям гидромашин и гидроагрегатов -состояние проблемы описания турбулентности.

2. Разработан метод численного моделирования крупномасштабной турбулентности. Метод расчета квазиактуальных значений скорости и давления турбулентного течения отличается относительной простотой реализации, что способствует его внедрению в практику исследования и разработки проточных частей гидроэнергоустановок и гидро-пневмоаппаратов, функционирующих в условиях гидродинамической нестационарности, с целью сокращения роли модельных и натурных испытаний на заключительных этапах исследования или параметрического синтеза.

3. Предложенный численный метод моделирования крупномасштабной турбулентности рекомендуется к использованию при детальном исследовании турбулентных течений в каналах элементов гидравлических машин и гидро-пневмоагрегатов, близких по форме к рассмотренному в настоящей работе. Показаны возможности развития метода для характерных геометрий и режимов течений в каналах гидромашин и гидроаппаратов.

4. Методом замыкания подсеточных движений рассчитано турбулентное течение в канале. Для представления подсеточного масштаба использована модель молекулярно-турбулентной аналогии с коэффициентом вихревой вязкости в виде аппроксимации Смагоринского. Для решения исходной системы уравнений применена схема расщепления по физическим факторам; положительными сторонами схемы является расчет флуктуаций скорости и давления на одном временном шаге и относительная простота постановки краевых условий. Предложена группа граничных условий для скорости вблизи твердых границ, отражающих реальное нарастание скорости в интервале вязкого подслоя. Разностная схема реализована в виде программного проекта в среде Microsoft Developer Studio на языке Microsoft Fortran PowerStation 4.0.

5. Сопоставление полученных численных результатов с измерениями Лауфера и расчетами Дирдорфа свидетельствуют о приемлемой точности разработанного разностного численного метода решения уравнений Навье-Стокса, усредненных посредством фильтрации с применением функции фильтра «ящичного» типа.

6. Разработаны разностные схемы для расчета как стационарных, так и нестационарных ламинарных течений в каналах близких к каналам прямоугольного сечения, а также допускающие модифицикацию под каналы различной конфигурации, находящие применение в гидравлических машинах и гидро-пневмоагрегатах. Для каждой из схем исследованы вопросы аппроксимации задачи на целых шагах, устойчивости счета на дробных шагах, устойчивости задачи в целом, об условиях сходимости линеаризованной схемы, выбора оптимальных итерационных параметров при решении задачи Пуассона для давления, выбора параметров разностной схемы, особенностей постановки граничных условий. На основе полученных оценок свойств разностных решений построены алгоритмы выбора параметров предложенных к рассмотрению разностных схем. Для разностных схем составлены собственные пакеты программ на языке Microsoft Fortran PowerStation 4.0 в среде Microsoft Developer Studio. Разностные схемы отлажены на решении следующих тестовых задач для ламинарных течений: разгон течения в трубе прямоугольного сечения под действием постоянного перепада давления; развитие течения в трубе прямоугольного сечения (течение на начальном участке канала).

7. Рассмотрено прямое численное моделирование турбулентных течений в канале. Вычислительный эксперимент показал, что разностные схемы на равномерных сетках с разрешением близким к масштабам диссипации не позволяют получить сколько-нибудь приемлемое турбулентное решение, однако содействовал построению модели ламинарно-турбулентного перехода для сдвиговой турбулентности. В рамках данной модели выявлена необходимость построения адаптивной схемы решения, учитывающей специфику явления. Предложена двухэтапная адаптивная схема расщепления, выстроенная в соответствии с принципом разделения процессов различной интенсивности.

178

1. Адлер Д. Современное состояние внутренней аэродинамики ценробежного рабочего колеса. // Энергетические машины и установки.-1980.- №3

2. Амосов А.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров.- М.: Высшая школа, 1994

3. Аносов Ф.В., Белобородов А.В., Гущин М.В. Модельные исследования гидротурбин. JL: Машиностроение, 1971

4. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1987

5. Басин A.M., Миниович И .Я. Теория и расчет грбных винтов. Л.: Машиностроение, 1963

6. Башта Т.М., Руднев С.С. и др. Гидрвлика, гидравлические машины и гидравлические приводы. М.: Машиностроение, 1987

7. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976

8. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных часиц в газовой динамике. М.: Наука, 1982

9. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. -М.: Физико-математическая литература, 1994

10. Белоцерковский О.М., Гиневский А.С. Моделирование турбулентных струй и следов на основе метода дискретных вихрей. М.: 1995

11. П.Бетчов Р., Криминале В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир, 1971

12. Босман К., Эль-Шаарави М. Квазитрехмерное численное решение уравнений течения газа в турбомашинах. // Теоретические основы инженерных расчетов,- 1977.-№1

13. Варламов А.А., Васильев Ю.В., Пылев И.М., Федоров А.В. Проектирование рабочих колес ПЛ гидротурбин с использованием методов оптимизации. // Гидравлические машины,- 1986,- Вып.20

14. Бредшоу П., Себеси Т., Фернгольц Г-Г и др. Турбулентность. М.: Машиностроение, 1980

15. Вазов В.,Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: Иностранная литература, 1963

16. Викторов Г.В., Моргунов Г.М. К задаче расчета решеток профилей в слое переменной толщины.// Доклады научно-технической конференции по итогам НИР 1966-1967гг. М„ МЭИ, 1967

17. П.Викторов Г.В., Моргунов Г.М. Решение обратной задачи решеток профилей на осесимметричных поверхностях тока в переменном слое. // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1968.- №4

18. Викторов Г.В. Гидродинамическая теория решеток. М: Высшая школа, 1969

19. Викторов Г.В., Маковецкий А.Ф. Решение осесимметричной задачи для произвольного вихревого течения жидкости методом интегральных уравнений. // Тр. Моск. Энерг. Ин-та.- М., МЭИ, 1972.- Вып. 132

20. Викторов Г.В. Третья двумерная задача для лопасных систем турбомашин. // Тр. Моск. Энерг. Ин-та.- М., МЭИ, 1975.- Вып.259

21. Викторов Г.В. Классификация гидромашин и баланс энергии. М.: МЭИ, 1979

22. Викторов Г.В. Подобие и моделирование в гидромашинах. М.: МЭИ, 1980

23. Витензон М.С., Федоров А.В. Аналитические и численные решения в задаче оптимизации решеток гидромашин. // Журнал технической физики.-1985,-Т.55, Вып.5

24. Вознесенский И.Н. Жизнь, деятельность и избранные труды в области гидромашиностроения и автоматического регулирования,- М: 1952

25. Войташевский Д.А. Основы общей теории гидродинамических решеток применительно к турбомашинам. // Тр. ВНИИГидромаш,- М., 1968,-Вып.37

26. Гиневский А.С Влияние вязкости жидкости на величину циркуляции вокруг профиля гидродинамической решетки.// Промышленная аэродинамика. М.: Оборонгиз, 1957 -№.9

27. Гиневский А.С., Федяевский К.К., Колесникова А.В. Расчет турбулентного пограничного слоя. JI.: Судостроение, 1973

28. Гогиш JI.B., Степенов Г.Ю. Отрывные и кавитационные течения: основные свойства и расчетные модели. М.: Наука, 1990

29. Годунов С.К, Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1977

30. Гольдин А.В., Полушкин В.К. Расчет потерь энергии в поворотнолопастных гидротурбинах на напоры 50-60 м. // Тр. Центр, котлотурб. ин-та.- 1978,-Вып.164

31. Гольдин А.В. Исследование и разработка лопастных систем реактивных гидромашин с исользованием метода экспресс-анализа их энергобалансовых характеристик : Автореф.дис.док.физ.-мат. Наук.-Л., 1983.

32. Гришин Ю.А., Круглов М.Г. Влияние угла атаки и радиуса округления передней кромки на потери в решетке профилей. // Энергомашиностроение,-1967.-№12

33. Дженнионс И., Стоу П. Система квазитрехмерного проектирования лопаток турбомашин. // Энергетические машины и установки.-1985.- №2

34. Дженнионс И., Стоу П. Важность учета эффектов окружной неравномерности в системе расчета осредненого по каналу квазитрехмерного потока в турбомашинах. // Энергетические машины и установки.-1986.- №2

35. Дорфман Л.А. Численные методы в газодинамике турбомашин. М.: Энергия, 1974

36. Дорфман Л.А., Серазетдинов А.З., Левина С.Р. и др. Квазитрехмерный расчет потока в турбинных ступенях. // Энергомашиностроение.-1976,- №10

37. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика. М.: Машиностроение, 1987

38. Жуковский М.И. Расчет обтекания решеток профилей турбомашин. М.-Л.: Машгиз, 1960

39. Жуковский М.И. Аэродинамический расчет потока в осевых турбомашинах. Л.: Машиностроение, 1967

40. Жуковский М.И., Головачев Ю.П. Гидродинамическое профилирование лопастной системы РО и ПЛ гидротурбины в вихревом потоке с учетом конечного числа лопастей. // Энергомашиностроение.-1978,- №6

41. Жуковский М.И., Казачков Л.Я., Топаж Г.И. Квазитрехмерная задача расчета потока в гидромашине с учетом конечного числа лопастей конечной толщины. // Изв. Вузов. Энергетика.-1981,- №13

42. Жуковский М.И., Климович В.И. Определение режимных параметров гидротурбины на основе решения прямой осесимметричной задачи. // Изв. Вузов. Энергетика.-1987.- №10

43. Жуковский Н.Е. Вихревая теория гребного винта. М.: ОНТИ, 1937

44. Иевлев В.М. Численное моделирование турбулентных течений.- М.: Наука, 1990

45. Ильин В.П., Кузнецов Ю.И. Трехдиагональные матрицы и их приложения. -М.: Наука, 1985

46. Казачков Л.Я. Проектирование лопастной системы рабочего колеса гидротурбины для Туруханской ГЭС с использованием методов оптимизации. // Тр. Центр, котлотурб. ин-та.- 1985.- Вып.222

47. Казачков Л.Я., Никольская С.Б., Федоров А.В. Об оптимальном профилировании решеток гидротурбин. // Изв. вузов. Энергетика 1985.-№2

48. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978

49. Квятковский B.C. Рабочий процес осевой гидротурбины.- М.: Машгиз, 1951

50. Климович В.И., Лурье К.А., Федоров А.В. К вопросу об условиях на поверхности раздела областей различных типов в проточной части турбомашин. Л: Препринт. Физ.- техн. ин-та.-1979.- №638

51. Климович В.И., Федоров А.В. Задачи оптимизации течений жидкости в гидротурбинах. Л: Препринт. Физ.- техн. ин-та.-1982.- №753

52. Климович В.И., Федоров А.В. Об оптимальном вихревом течении жидкости в проточном тракте гидротурбины. // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.-1984,- №3

53. Климович В.И. Оптимальное проектирование лопастных систем гидротурбины. // Тр. Центр, котлотурб. ин-та.- 1985.- Вып.222

54. Климович В.И., Федоров А.В. Соотношения на разрывах, возникающих на кромках лопастных систем при осесимметричном течении жидкости в турбомашинах. // Изв. АН Арм.ССР., Механика 1985.- №1

55. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса.- М.: Наука, 1990

56. Кнэпп Р., Дейли Дж., Хэммит Ф. Кавитация.- М.: Машиностроение, 1974

57. Кобельков Г.М. О методах решения уравнений Навье-Стокса //ДАН, том 243, №4

58. Ковеня Н.Н., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики.- Новосибирск: Наука ,1981

59. Конт-Белло Ж. Турбулентное течение в канале с параллельными стенками. -М.: Мир, 1968

60. Колтон А.Ю., Этинберг Н.Э. Основы теории и гидродинаического расчета водяных турбин. М.-Л.: Машгиз, 1958

61. Колычев В. А., Оробченко А. А. Методика определения суммарных параметров потока в радиально-осевой гидротурбине. // Гидравлические машины.- 1976.-Вып.10

62. Кочин Н.Е. Гидродинамическая теория решеток. М.-Л.:, Гостехиздат, 1949

63. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорноо исчисления,- М.:, 1961

64. Кочин Н.Е, Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М.: Физматгиз, 1963

65. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. и др. Вся высшая математика.- М.: Эдиториал УРСС, 2001

66. Кривченко Г.И. Гидравлические машины. М.: Энергоатомиздат, 1983

67. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М: Высшая школа, 1981

68. Кузьминский С.С., Пылев И.М. Применение уравнения баланса энергии для оценки энергетических характеристик гидротурбин. // Энергомашиностроение.-1977.- №2

69. Кузьминский С.С., Пылев И.М., Степанов В.Н., Заболотный Ф.Т., Райз Л.М. Проектирование лопастной системы гидротурбины с использованием прямой осесимметричной задачи. // Проблемы машиностроения.-1981.-Вып. 14

70. Кузнецов Б.Г. Об аппроксимации уравнений Навье-Стокса.// Об одном способе аппроксимации уравнений гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости. // ДАН, том 213, №1

71. Кузнецов Б.Г., Смагулов Ш. Об аппроксимации уравнений Навье-Стокса.// Численные методы механики сплошной среды.-1975.-6, №2

72. Кузнецов Б.Г., Мошкин Н.П., Смагулов Ш. Численное исследование вязкой несжимаемой жидкости в каналах сложной геометрии при задании перепада давления.// Численные методы механики сплошной среды.-1982.- 14, №5

73. Кузнецов Б.Г., Смагулов Ш. О сходящихся схемах дробных шагов для трехмерных уравнений Навье-Стокса.// Численные методы механики сплошной среды.-1984.-15, №2

74. Кэкер С., Окапу Ю. Оценка кпд осевой турбины по потерям в решетке профилей на среднем радиусе. // Энергетические машины и установки.-1982.-№1

75. Ладыженская О.М. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970

76. Ламб Г. Гидродинамика. М.: Гостехиздат, 1947

77. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982

78. Лесохин А.Ф. Расчет лопастей рабочих колес осевых турбин (решетка профилей конечной тощины). // Тр. ЛПИ.- 1953.- №5

79. Леонтьев Г.М. Определение скорости полного течения на поверхности лопасти радиально-осевого рабочего колеса. // Энергомашиностроение.-1977.-№3

80. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа.- М.: Наука, 1987

81. Ломакин А.А. Центробежные и пропеллерные насосы.- М.-Л: Машгиз, 1950

82. Ломакин А.А. Центробежные и осевые насосы.- Л: Машиностроение, 1966

83. Лурье А. Операционное исчисление в приложениях к задачам механики.-М.: ОНТИ, 1936

84. Макнэлли В., Сокол П. Обзор методов расчета внутренних течений в применении к турбомашинам. // Теоретические основы инженерных расчетов.- 1985.-№1

85. Малышев А.К., Пылев И.М. Оптимальные параметры насосотурбин и их связь с гидродинамическими характеристиками решеток лопастей. // Энергомашиностроение.-1986,- №10

86. Мандельштам Л.И. Полное собрание трудов: В 5 т., Л: Изд. Акад. Наук СССР, 1948-1955

87. Марчук Г.И.Методы расщепления. М.: Наука, 1988

88. Марчук Г.И.Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980

89. Меткалф М., Рид Дж. Описание программирования Фортран 90. М.: Мир, 1995

90. Методы расчета турбулентных течений./ Под ред. Хонькина А.Д. М.: Мир, 1984

91. Милн Томпсон Л.М. Теоретическая гидромеханика.- М: Машиностроение, 1964

92. Моргунов Г.М. Пространственное обтекание лопастных систем гидромашин установившимся потоком идеальной жидкост. // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.- 1975,- №6

93. Моргунов Г.М. Постановка прямой трехмерной задачи теории лопастных гидромашин. //Тр. Моск. Энерг. Ин-та.- 1975,- Вып.259

94. Моргунов Г.М. Разработка численного методарасчета пространственного безвихревого потока в гидромашинах. // Тр. Моск. Энерг. Ин-та.- 1975.-Вып.259

95. Моргунов Г.М. Некоторые особенности постановки интегрального метода прямой трехмерной задачи для лопастных систем. // Тр. Моск. Энерг. Инта.- 1977,- Вып.337

96. Моргунов Г.М. Пространственное турбулентное течение в пристеночном слое. // Тр. Моск. Энерг. Ин-та.- 1979.- Вып.404

97. Моргунов Г.М. Пространственное турбулентное течение в подобласти основного потока. // Тр. Моск. Энерг. Ин-та.- 1979.- Вып.404

98. Моргунов Г.М. К задаче расчета рабочих колес гидромашин в турбулентном потоке. // Тр. Моск. Энерг. Ин-та.- 1981.- Вып.543

99. Моргунов Г.М. Методика расчета вихревого баротропного потока идеальной жидкости в турбомашина. // Тр. Моск. Энерг. Ин-та.- 1981,-Вып.543

100. Моргунов Г.М. Методика расчета вихревого баротропного потока идеальной жидкости в турбомашина. // Тр. Моск. Энерг. Ин-та.- 1981.-Вып.543

101. Моргунов Г.М., Алхимов В.Г., Горбань В.М. Применение прямой трехмерной задачи теории решеток к исследованию безвихревого пространственного обтекания рабочих колес гидротурбин. // Энергомашиностроение.-1981,- №11

102. Моргунов Г.М. Интегральный метод трехмерного расчета вихревого баротропного течения в турбомашинах. // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.- 1984.- №6

103. Моргунов Г.М., Волков А.В., Фролов В.В. Структура потока в лопастных системах нагнетательного типа. //Теплоэнергетика.- 1986.- №6

104. Моргунов Г.М., Горбань В.М., Панкратов С.Н., Волков А.В. Численное решение прямой трехмерной гидродинамической задачи для исследования и проектирования лопастных гидромашин: уч. пособие.// Тр. Моск. Энерг. Ин-та.-2001.

105. Мороз П.А., Полянская JI.B. Решение некоторых задач неустановившегося движения жидкости в трубопроводе.// Инженерный журнал,- 1965.- №5

106. Никольская С.Б., Топаж Г.И., Федоров А.В. Оптимизация течения жидкости за рабочим колесом гидротурбины. // Изв. Вузов. Энергетика.-1983.- №12

107. Новак Р., Хирси Р. Система для программ квазитрехмерного расчета течения в межлопастных каналах турбомашин. // Теоретические основы инженерных расчетов.- 1977.-№1

108. Олдер Б., Фернбах С., Ротенберг М. Вычислительные методы в гидродинамике. - М.: Мир, 1967

109. Панченко О.В. Прямое численное моделирование крупномасштабной турбулентности в осесимметричном канале.: Дис. канд. физ.-мат. наук -1995

110. Пароди М. Локализация характеристических чисел матриц и ее применение.-М.: Иностранная литература, 1960

111. Перник А.Д. Проблемы кавитации. Л.: Машиностроение, 1966

112. Полянин А.Д., Вязьмин А.В. Справочник по точным решениям уравнений тепло- и массопереноса. М.: Факториал, 1998

113. ПЗ.Почернина Н.И. Подходы к выбору эффективной схемы МКР прямого численного интегрирования уравнений Навье-Стокса. // Тр. научной конференции ЕМФ'98 с международным участием. София, Технический университет, 1998. - Т.З

114. Почернина Н.И. Прямое численное моделирование турбулентности на основе метода «глубокого» расщепления. // Научно-техническая конференция студентов и аспирантов МГТУ им. Баумана: Тез. докл.- М., МГТУ им. Баумана, 1999.

115. Почернина Н.И. Моделирование турбулентности на основе метода « глубокого расщепления».// Труды международной конференции «Информационные средства и технологии»-Москва, МЭИ, 2000.- Т.1

116. Почернина Н.И., Моргунов Г.М. Прямое численное моделирование турбулентности на современных компьютерах. // Тр. международной конференции «Информационные средства и технологии» М., МЭИ, 2001. -Т. 2

117. Радиоэлектроника, электротехника энергетик».: Тез. докл., М., МЭИ, 2003.- Т.З

118. Пригожин И., Стенгерс И.Порядок из хаоса. М.: Эдиториал, 2000

119. Проблемы турбулентности./ Под ред.Великанова Н.А. М.:НКТП СССР, 1936

120. Проскура Г.Ф. Гидродинамика турбомашин.- Киев: Машгиз, 1954

121. Пылаев Н.И., Эдель Ю.У. Кавитация в гидротурбинах. Л.: Машиностроение, 1974

122. Раухман Б.С. Профильные потери решетки радиально-осевой гидротурбины в двумерном неплоском потоке. // Энергомашиностроение.-1963.-№12

123. Раухман Б.С. Прямая задача обтекания двумерной решетки профилей. // Тр. Центр, котлотурб. ин-та.- 1965.- Вып.61

124. Раухман Б.С. Расчет обтекания несжимаемой жидкостью решетки профилей на осесимметричной поверхности тока в слое переменной толщины. // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.-1971.- №1

125. Раухман Б.С. Оценка и улучшение кавитационно-эрозионных показателей радиально-осевых гидротурбин с помощью гидродинамических методов. // Тр. Центр, котлотурб. ин-та.- 1981,- Вып. 186

126. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений.-М.: Наука, 1968

127. Рождественский В.В. Кавитация.- Л.: Машиностроение, 1977

128. Руднев С.С.Подобие в гидромашинах. // Тр. ВНИИГидромаш,-1970

129. Рябенький В.С.,Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений,-М.: Издательство технико-теоретической литературы, 1956

130. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983

131. Самарский А.А., Вабищевич П.Н Численные методы решения задач конвекции-диффузии. М.: Эдиториал УРСС, 1999

132. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973

133. Самарский А.А., Галактионов В.А. Режимы с обострениями в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987

134. Самарский А.А., Николаев Е.С. Библиотека программ для решения краевых задач разностными методами. Издательство Московского Университета,1983

135. Самохин А.Б., Самохина А.С. Численные методы и программирование на Фортране для персонального компьютера. М.: Радио и связь, 1996

136. Сивердинг К. Современные достижения в иссследовании основных особенностей вторичных течений в каналахтурбинных решеток. // Энергетические машины и установки.-1985,- №2

137. Сидоров А.Ф., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука ,1984

138. Сироткин Я.А. Численный метод расчета вихревого потока идеальной несжимаемой жидкости в осесимметричных каналах. // Известия АН СССР. Механика и машиностроение. 1961.- №5

139. Сироткин Я.А. К постановке обратной осесимметричной задачи установившегося вихревого течения идеальной несжимаемой жидкости в турбомашинах. // Известия АН СССР. Механика и машиностроение. 1966-№1

140. Сироткин Я.А. Аэродинамический расчет лопаток осевых гидромашин. -М.: Машиностроение, 1972

141. Сироткин Я.А., Степенов Г.Ю. Установившееся осесимметричное вихревого течения идеальной невязкой жидкости в многоступенчатых турбомашинах. // Известия АН СССР. Механика и машиностроение. 1981.-№6

142. Соболев C.JI. Уравнения математической физики. М.: Наука ,1966

143. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М.: Физматгиз, 1962

144. Тарг С.М. Основные задачи теории ламинарных течений. М.: Гостехтеоретиздат, 1955

145. Таунсенд А. Структура турбулентного потока с поперечным сдвигом. -М.: Изд-во иностранной литературы,!959

146. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса: теория и численный анализ,- М.: Мир,1981

147. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач,- М.: Наука, 1979

148. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1977

149. Топаж Г.И., Этинберг И.Э. Уравнения осредненного движения жидкости в рабочем колесе гидромашины. // Тр. Центр, котлотурб. ин-та,- 1965,-Вып.61

150. Топаж Г.И. Вихревая модель осредненного осесимметричного движения жидкости в гидромашине. // Тр. Центр, котлотурб. ин-та.- 1967.- Вып.79

151. Топаж Г.И. Учет конечного числа лопастей при решении прямой задачи осредненного осесимметричного течения невязкой несжимаемой жидкости в гидромашине. // Энергомашиностроение.-1967.- №3

152. Топаж Г.И. Индуктивные потери энергии в гидротурбине. // Энергомашиностроение.-1975.- №7

153. Топаж Г.И. Условия проектирования РК гидротурбины с наименьшими индуктивными потерями. // Энергомашиностроение.-1976,- №3

154. Топаж Г.И., Федоров А.В. Асимптотический метод решения квазитрехмерной задачи расчета течения жидкости в гидротурбине: Препринт Физ.-техн. ин-та., №809.- JL: ,1983

155. Топаж Г.И. Определение параметров оптимального режима работы радиально-осевой гидротурбины. // Гидравлические машины.- 1985,- Вып.19

156. Топаж Г.И. Расчет интегральных гидравлических показателей гидромашин. JL: Издательство ленинградского университета, 1989

157. Тьюарсон Р. Разреженные матрицы. М., Мир, 1977

158. У-Чун-Хуа, Браун. Теория прямой и обратной задач рсчета потока в решетке, составленной из профилей произвольной формы. // Вопросы ракетной техники: Сб. переводов и обзор иностр. период, лит.- 1953.- №1

159. Федоров А.В. Минимизация выходных потерь энергии в гидротурбинах. //Журнал технической физики.-1981.-№51. Вып.5

160. Федоров А.В. Об оптимальном профилировании лопастей в гидротурбине. // Журнал технической физики.-1981№51. Вып. 10

161. Федоров А.В. Асимптотические и точные решения в задаче максимизации КПД гидротурбины. // Журнал технической физики.-1983,-№53. Вып.6

162. Федоров А.В., Витензон М.С. Метод оптимизации решеток профилей гдромашин для подсистемы САПР «Проточная часть". // Тр. Центр, котлотурб. ин-та.- 1987.-Вып.232

163. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. М.: Мир, 1991

164. Фрост У, Моулден Т. Турбулентность: принципы и применение. М.: Мир, 1980

165. Хинце И.О. Турбулентность. М.: Физико-математическая литература, 1963

166. Хирш К., Варзе Г. Метод конечных элементов для расчета течения в турбомашинах. // Теоретические основы инженерных расчетов.- 1976,- №3

167. Хирш К., Варзе Г. Комбинированная программа расчета квазитрехмерного потока в турбомашинах методом конечных элементов. // Энергетические машины и установки.-1979.- №1

168. Чжен П. Отрывные течения.- М.: Мир, 1973

169. Численное решение задач гидромеханики./ Под ред. Ишлинского А.Ю.-М.: Мир, 1977

170. Численное решение задач гидромеханики./ Под ред. Рихтмайера Р. М.: Мир, 1977

171. Численное моделирование в гидродинамике./ Под ред. Черного Г.Г.- М.: Наука, 1986

172. Численные методы в механике жидкостей. / Под ред. Белоцерковского О.М. М.: Мир, 1973

173. Шерстюк А.Н. К определению профильных потерь в турбинных решетках на нерасчетных углах атаки. // Изв. АН СССР. Энергетика и автоматика.-1960.- №2

174. Шиллер JI. Движение жидкости в трубах. М.: ОНТИ, 1936

175. Шкарбуль С.Н. Метод оценки гидравлических качеств проектируемого рабочего колеса турбомашины на основе расчета пространственого пограничного слоя. // Изв. Вузов. Энергетика.-1983,- №2

176. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969

177. Шокин Ю.И., Яненко Н.Н. Метод дифференциального приближения: применение к газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1985

178. Этинберг И.Э. Теория и расчет проточной части поворотно-лопастных гидротурбин. М.-Л.: Машиностроение, 1965

179. Этинберг И.Э, Раухман Б.С., Топаж Г.И. Развитие метода Лесохина А.Ф. построения плоских решеток профилей применительно к расчету на ЭВМ. // Энергомашиностроение.-1968.- №3

180. Этинберг И.Э, Раухман Б.С. Гидродинамика гидравлических турбин. -М.-Л.: Машиностроение, 1978

181. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967

182. Яненко Н.Н. Методы расщепления в задачах газовой динамики. -Новосибирск: Наука, 1981

183. Яненко Н.Н. О слабой аппроксимации систем дифференциальных уравнений. // Сибирский математический журнал.-1964.-5, №6

184. Яненко Н.Н., Бояринцев Ю.Е. О сходимости разностных схем для уравнения теплопроводностис переменными коэффициентами. // ДАН, Т. 139, №6

185. Bauersfeld W. Die Konstruktion der Francis-Schaufel nach der Lorenzshen Turbinentheorie und ihre Eigenscaften. // Zeitschrift des VDI 1912. - Vol.56, №51

186. Deardorff J.M. A Numerical Study of Three-Dimensional Turbulent Channel Flow at Large Reynolds Numbers.// Journal of Fluid Mechanics.- 1970. Vol.41

187. Deardorff J.M. The Use of Subgrid Transport Equations in a Three-Dimensional Model of Atmospheric Turbulence.// Journal of Fluids Engineering. -1973.- Vol.95, Ser.I

188. Deardorff J.M. Three-Dimensional Study of the Height and Mean Structure of a Heated Planetary Boundary Layer.// Boundary Layer Meteorology.- 1974. -Vol.7

189. Deardorff J.M. Three-Dimensional Numerical Study of Turbulence in an Entraining Mixed Layer.// Boundary Layer Meteorology.- 1974. Vol.7

190. Douglas J. On the numerical integration of —-+—T =— by implicitдх ду dtmethods. // Journal Soc. Industr. Appl. Math. - 1955. - Vol.3, №1

191. Eisemann P.R. A multi-surface method of coordinate generation // J. of Сотр. Phys. 1979.- Vol .33, №1

192. Eisemann P.R. Coordinate generation with precise controls over nesh proprties. // J. of Сотр. Phys. 1982. - Vol.47, №3,

193. Eriksson L.E. Generation of boundary-conforming grids around wing-body configurations using transfinite interpolation. // AIAA Journal. 1982.- Vol.20, №10

194. Ferziger J. Large Eddy Numerical Simulations of Turbulent Flows. // AIAA Journal.- 1977.- Vol.15, №9

195. Klebanoff P. Characteristics of turbulence in a boundary layer with zero pressure gradient. //NACA. Report 1247.: NACA Technical Note 3178 -1955.

196. Laufer J. Investegation of turbulent flow in a two-dimensional channel.// NACA Report 1053.: NACA Technical Note 2123 1951.

197. Laufer J. The structure of turbulence in fully developed pipe flow. //NACA Report 1174.: NACA Technical Note 2954 1954.

198. Leith C.E. Proceedings of the WMO-IUGG.: Symposium on Numerical Weather Prediction. Tokyo, 1968.

199. Lilly D. The Representation of Small-Scale Turbulence in Nnumerical Simulations. // Proceedings of the IBM Scientific Computing Symposium on Environmental Sciences. IBM Form. no. 320-1951 1967.

200. Lorenz H. Neue Theorie und Berechnung der Kreiselrader. Berlin, 1906.

201. Mintz Y. Design of Some Numerical General Circulation Model. // Billetin of the Research Council of Israel 76. 1958.

202. Nlises R. Theorie von Wasserradern. Leipzig, 1908.

203. Miyata H., Yamada Y. // J. Numeric Meth. Fluids. 1992.- Vol. 14, № 11

204. Numerical Grid Generation. / ed. by J.F.Thompson. New York, North-Holland, 1982

205. Numerical Grid Generation in Computational Fluid Dynamics / ed. by J. Hauser and C. Taylor. Swansea, 1986

206. Peaceman D., Rachford H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations. // Journal Soc. Industr. Appl. Math.- 1955. - Vol.3, №1

207. Reynolds O., On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the determination of the criterion.// Phil.Trans. Roy. Soc. London Ser. A.-1895. -Vol. 186

208. Schubauer G. Turbulent processes as observed in boundrary layer and pipe. // Journal Appl. Phys. -1954. Vol.25

209. Schumann U. Ein Verfahren zur Direkten Numerischen Simulation Turbulenter Stroemungen in Platten- und Ringspaltkaelen und ueber seine Andwendung zur Untersuchung von Turbulenzmodellen.: Dissertation Univ. Karlsruhe., KFK-1854 Karlsruhe, 1973.

210. Smagorinsky J., General Circulation Experiments with the Primitive Equations.// Monthly Weather Review -1963. Vol.91

211. Smagorinsky J., Manabe S., Holloway J. // Monthly Weather Review. -1965. Vol.93

212. Uberoi M.S. Energy transfer in isotropic turbulence.// Phys.Fluids Journal.-1963.-Vol.6

213. Wu Chung-Hua. A general theory of three-dimensional flow in subsonic and supersonic turbomachines of axial, radial and mixed-flow types.-«Transactions of the ASME». 1952. - Vol. 74, № 8

214. Wu Chung-Hua. A theory of the direct and inverse problems of compressible flow past cascade of arbitrary blade sections lying in arbitrary stream filament of revolution in turbomachine.-«Scientia Sinica».- 1959. Vol. 8, № 12

215. Wyatt L. Energy and spectra in decaying homogeneous turbulence.: Ph. D. Thesis. Manchester, 1955.