автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное моделирование тепломассообмена сферической частицы, обтекаемой высокотемпературным реакционноспособным газом

о г {ГОСУЭДрСТВЕНнЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЬ! Ац,11*( V1 0 по ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

" 8 ОНШ

таискии государственный университет

На правах рукописи

АНДРЕЕВА Ангелина Юрьевна

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОМАССООБМЕНА СФЕРИЧЕСКОЙ ЧАСТИЦЫ, ОБТЕКАЕМОЙ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНЫМ РЕАКЦИОННОСПОСОБНЫМ ГАЗОМ

Специальность 05.13.16 "Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Барнаул, 1996

Работа выполнена в Алтайском государст венном техническом университете им. И.И.Ползунова

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор М.П. Стронгин

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор В.И. Букатый;

кандидат физико-математических наук А.Т. Зиновьев

Ведущая организация - Институт теоретической и прикладной

механики СО РАН

Защита состоится 1996 г. в 14 часов на

заседании диссертационного совета К $64.45.03 по присуждению

ученой степени кандидата наук в Алтайском государственном университете ^ Д) и^и^гхг^ €

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Алтайского государственного университета

Автореферат разослан "//" ¿¿¿¿¿агЛл 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

С.С. Кузиков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современных процессах плазмохимичёских технологий, порошковой металлургии, плазменного и детоНЗционно-газового напыления широко используются двухфазные газовые потоки," что обуславливает необходимость изучения взаимодействия газовой и дисперсной фаз. Многие из вышеназванных процессов характеризуются малой объемной концентрацией дисперсной фазы, хотя массовая концентрация может быть велика. Кроме того, материалы, участвующие в вышеперечисленных процессах, часто обладают пористой структурой и внутренние реакции могут оказывать влияние на состояние газовой фазы. В этом случае одной из центральных проблем расчета взаимодействия фаз является определение коэффициентов сопротивления, тепло- и массообмена одиночной частицы с учетом внутренних реакций в ее объеме. Экспериментальное получение этих параметров в диапазоне чисел Рейнольдса 0..1000 сопряжено со значительными трудностями, поэтому, особую актуальность приобретают теоретические исследования, результаты которых часто являются единственным источником информации о поведении температурных и концентрационных полей внутри и возле частицы. Однако расчет таких задач представляет собой сложную проблему, требующую решения "сопряжённых динамической, тепловой и диффузионной задач с учетом уравнений химической кинетики, термодиффузии, многокомпонентной диффузии и переменности теплофизических свойств. Поэтому получение точной информации аналитическими методами проблематично. Использование же методов математического моделирования гораздо эффективнее и позволяют не делать многих упрощающих модель допущений, что благоприятно сказывается на адекватности модели и делает ее более универсальной.

Изложенное определяет актуальность численного моделирования тепломассообмена сферической частицы с учетом внутренних и внешних реакций и обтекания ее газом, которое даст возможность получить поля теплофизических параметров как внутри, так и вне частицы.

Цель работы. Целью работы является построение модели, описывающей процессы тепломассообмена внутри частицы и нахождение . эффективного численного метода • для решения сопряженной задачи телоомассообмена обтекаемой сферической

частицы в диапазоне умеренных чисел Рейнольдса, а также проведение на основе разработанного метода численных исследований для выявления влияния кинетических параметров реакций внутри частицы, ее пористости, чисел Рейнольдса, а также влияния внутренних и внешних реакций на локальные и интегральные параметры течения газовой смеси возле одиночной частицы. Научная новизна.

1. Предложена и численно реализована математическая модель нестационарной сопряженной задачи внутреннего тепломассообмена одиночной частицы, обтекаемой реакционноспособным газом.

2. Проведен анализ динамики гетерогенной химической реакции в объеме частицы и ее влияния на параметры газового потока и химическую реакцию в газовой фазе.

3. Исследовано влияние внутренних реакций на коэффициенты сопротивления, тепло- и массообмена частицы.

4. Получены данные о поведении дозвукового потока газа около сферической частицы при наличии одной гомогенной химической реакции между испаряющимся из частицы и натекающим компонентом смеси.

Практическая ценность. Результаты расчетов по разработанной в диссертации методике дают возможность определения коэффициентов тепло- и массообмена сферы, а также коэффициента сопротивления при наличии внутренней реакции в частице, испарения продукта реакции с ее поверхности и обтекания ее реагирующим газовым потоком. На защиту выносятся.

1. Методика расчетов для численного решения двумерной сопряженной задачи внутреннего и внешнего тепломассопереноса одиночной частицы и ее обтекания.

2. Результаты численного моделирования с использованием неявной многошаговой конечно-разностной схемы процесса образования, выхода и горения летучих соединений из одиночной частицы, обтекаемой потоком газа.

3. Результаты численного моделирования процесса восстановления материала частицы натекающим газом.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на Ежегодной конференции Международной ассоциации студентов-физиков 1АРБ (СПбУ, С.Петербург, 1994), Междунарожной конференции "Промышленные проблемы СВС-технологий" (АлтГТУ, Барнаул, 1994), 3-ей юбилейной научно-

практической конференции Бийского технологического института (БТИ, Бийск, 1995), Научно-технической конференции студентов, аспирантов и профессорско-преподавательского состава АлтГТУ (АлтГТУ, Барнаул, 1995), семинаре проф. В.М. Фомина (ИТЛМ СО ТАН, 1996).

Содержание и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. (156 страниц текста, в т.ч. 27 рисунков, библиография - 98 наименований).

Автор выражает благодарность Кошелеву , К.Б. за консультации, ценные замечания и обсуждение результатов работы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе проведен анализ ранее опубликованных теоретических и экспериментальных работ по тепломассообмену сферической частицы.

Такая задача возникает, например, при исследовании процессов восстановления металлов, горении твердого топлива, нанесении защитных покрытий. В последнее время наиболее полно изучено горение твердого топлива. Надо отметить, что эта задача требует сложных подходов к построению модели. Прежде, всего, следует иметь в виду, что твердое топливо содержит в своей массе вещества, которые при нагреве разлагаются и образуют горячую парогазовую смесь, сгорание которой идет как внутри частицы, так и вне ее; во-вторых, кинетика процесса горения твердого топлива осложнена еще и вторичным реагированием, механизм которого может быть различным; в третьих, преобладание физических или химических процессов определяет режим горения и требует различных подходов к решению задачи. Эти аспекты изучены в работах A.A. Предводителева, Д.А. Франк-Каменецкого, Я.Б. Зельдовича, Л.Н. Хитрина, Е.С. Головиной, В.В. Померанцева, Д.Б. Сполдинга, Ф.А. Вильямса и др.

В работах Ю.П. Гуппало, А.Д. Полянина, Ю.С. Рязанцева исследуется тепломассообмен частицы, осложненный различными процессами: обтеканием, поверхностными реакциями, выходом и горением летучих соединений.

Особая важность проблемы образования и горения летучих подтверждена рядом исследований практического характера (Г.П. Алаев, Е.В. Колбасов, Б.В. Нелюбин )..

Влияние пористого строения материала на тепломассоперенос частиц в целом изучено в работах A.M. Головина, В.М. Песочина и Т.В. Виленского, Д.М. Хзмаляна. Вклад, вносимый внутренней реакцией в суммарный тепломассообмен частицы, в случаях, когда важно учитывать внутреннее реагирование (радиус частиц г>100 мкм), исследован в работах Е.А. Нуркенова и М.С. Оренбаха.

В работах A.B. Лыкова введено понятие сопряженной задачи, которое позволяет упростить реализацию многофазной задачи за счет применения различных методов для разных фаз. A.M. Гришин и В.М. Фомин применили такой подход для решения задач механики реагирующих сред.

Таким образом, хочется отметить, что среди большого количества моделей, описывающих тепломассообмен (в том числе и процесс горения) частицы, преобладают задачи с подробным описанием одного или двух аспектов проблемы. Как правило, если тщательно промоделирована кинетика процесса, и даже учтено внутреннее реагирование, проблема влияния обтекания рассматривается в упрощенной постановке или ею вообще пренебрегается. В задачах же со строгим описанием газодинамики, с использованием уравнений, позволяющих моделировать обтекание для чисел Re> > 1 наоборот, отсутствует или упрощена модель тепломассообмена частицы.

Практически отсутствуют данные о результатах моделирования тепломассообмена частиц с одновременным учетом внутренних реакций, испарения с поверхности частицы, обтекания ее газом и реакций в газовой фазе.

Создание нестационарной модели, которая наряду со строгим описанием газодинамических процессов в газовой фазе позволяла бы моделировать различные реакции, которые имеют место в технологических процессах, и определять коэффициенты тепломассообмена и другие характеристики, причем непосредственно в процессе моделирования, является актуальной задачей.

Во второй главе дается математическая постановка задачи обтекания и тепломассообмена сферической частицы.

Используются следующие предположения: течение газа осесимметричное; числа Маха и Кнудсена полагаются малыми; на внешней границе расчетной области используются стационарные граничные условия; химические реакции описываются брутто-реакцией; структура пор в объеме частицы не учитывается.

С учетом принятых допущений течение газа около сферы описывается уравнениями Иавье-Стокса, записанных в сферической системе координат с началом в центре сферы. Сюда входят: уравнение неразрывности

Эр 1 -д , 2 ... 1 д

—+ ——(г pVr) +--

dt г2 дг r rsineae

+ (г2руг) + ~—(sinePK0) = о, ... (л

'о

уравнения движения

^ + то- «

dt г дг г sin 9 59

дР 1 д ' , \ 1 д , . s

--+ -т — (r~G„) +--(smQGrB) + (2)

дг г дг г sinG 59

4HdivYctge-^(^ + y9ctge + 2Vr), 3 г г 59

dt г дг г sin 9 <99 г

1 дР 1 3 , , _ ч 1 5 - . „ „ . г дв г дг г sinb 59

^divV - Ц-ctg9( V0ctg9 + Vr),

3 г

_ . ;dV divV. „ . 1 5И V divV or r r 59

уравнение энергии

_ ж .. дт уе эг. 1а, 2, аг

рС„(—+К — + ——)'=т — (г ^—0+ 4)

К " Э/ г дг г Э9 г2 Эг Эг

г$теае ае дг^ р г гае~ а=1

Система (1-4) дополняется уравнением состояния газа: т

Для описания многокомпонентного течения к уравнениям (1-4) добавляются уравнения сохранения массы отдельных компонент

ЭК т, эк ЭГ

р(—- + V —- + ——-) эг г дг г ае

^ Т (г2у'а} - -г^ 1 <*п е7оа) ■+ К. г дг г 51п о ае

£^=1. (6)

а = 1

£

а=1,2

Щ тг

КЗ^-Я^. (7)

Здесь и выше ? -время; г и 0-полярные координаты; Уг и -

радиальная и тангенциальная составляющие вектора скорости V; р -

плотность газа; Р -давление; ц -вязкость; Т -температура; Сп -

(X ос ос "

теплоемкость; 5 =(7 г / ф -вектор плотности диффузионного

потока а -компонента; X -теплопроводность; т -молярная масса

газовой смеси; Уа, та -массовая концентрация и молярная масса а -компонента во внешней области; 7?а -скорость реакции а -компонента; Кд -коэффициент скорости реакции.

Для получения коэффициента вязкости используется формула Будденберга и Уилке. Вектор определяется соотношением Стефана-Максвела. Коэффициент теплопроводности X, величины т и Ср газа расчитываются исходя из состава смеси. Переносные и теплофизические свойства газовой смеси (величины та, Ха, та, Сра) полагаются функциями от Т.

На внешней границе {г->оо) в натекающей части задаются граничные условия невозмущенного потока, в кормовой части - мягкие граничные условия. На оси задаются условия осевой симметрии.

Внутри частицы рассматривается модельная задача теплома'ссопереноса, осложненного гетерогенной реакцией на поверхности пор.

Пусть 1-й компонент (натекающий газ) является восстановителем. Проникая в частицу, он вступает в реакцию со связанным окислителем (0-й компонент) и восстанавливает материал частицы с образованием продукта реакции (2-й компонент). Гетерогенная реакция моделируется эффективной реакцией в объеме.

Уравнения, описывающие этот процесс

дС, 1 д , 2п д . . ап Я, 1

-- = -V— гО„—--(втбД,—1)—- —

д( г дг р дг г втв ае р ев рвщ

эс2 1 д,, ас2ч 1 д ,. зс2ч я, 1

дг ,г дг р дг г Бшб 59 р 30 рр тг

дг рр т0

прдТ 15,,. 57\ 1 д , ■ . аег. л„р

р„С£ — = —г- — (г А —) + —--(Хп этб—) - АНИ.

Ур р г2 дг р дг г втЭ 59 59 "

где Са -концентрация а- компонента внутри частицы (заметим, что под концентрацией вещества внутри частицы мы понимаем плотность этого вещества, отнесенную к плотности внешнего газа на бесконечности); Бр - эффективный коэффициент диффузии; рр -плотность частицы; Ир -скорость реакции в частице; Хр -теплопроводность частицы; су -теплоемкость материала частицы; АН - энтальпия реакции.

Массовая скорость гетерогенной реакции вычисляется при

помощи следующего соотношения: = К0ре КТТСХС0, где Кдр-

константа скорости реакции в частице.

На границе отсутствует разрыв концентрации (Са=Уа) и ставятся условия равенства потоков:

(15)

рУУ{ - РМ — = ~РрЕ>р . (16)

„ ( 8С дС2 \

При рассмотрении задачи о выходе и горении летучих соединений, будем полагать, что интенсивное испарение летучих веществ с поверхности частицы препятствует проникновению натекающего газа внутрь частицы. Таким образом его массовая концентрация внутри частицы равна нулю. Поэтому используется система уравнений (12-14).

Е

Скорость реакции Е = К0е КТТС0.

На межфазной границе к условию (15) добавятся

-X

К

'дг

г=г,- О

и = 1

дт

дг

В третьей главе описывается разностная схема для численного решения поставленной задачи, а также результаты тестовых расчетов.

Аппроксимация пространственных производных строится путем их замены в конвективных членах разностями против потока, а в остальных - центральными разностями.

Запишем систему уравнений (1-4,6) в виде:

— = (20) дг

где Х = (р, рУп р% Т, у1, ....ун.1)т, ТУ - правая часть соответствующих уравнений. Проведем линеаризацию правой части

Ш по X и р. Разностная схема

у/+1 _ уI 1 +1 __ /

Xм -Х! = \У-хВ'(—-~)-хВ16(1--(21)

5 = — а!' 6 дР'

аппроксимирует систему (20) с первым порядком точности по временному шагу и линейна относительно искомых переменных на верхнем временном слое. Однако желательно еще более упростить вид матричных операторов В и В

5

Представив матричный оператор В в виде В = запишем (21) в виде:

5 vl + 1 v/ „1 + 1

(/ _ ту д»)* + тЛ6л ^ = W"'

i=i т т приближенно факторизуем операторы.

(/ + Я*) * П) s 1 • + тВ*у1 тВ6\

I-1 1=1

В итоге разностная схема примет вид:

у-/+! у-' п'+1 _ п1

ьс ~ + (/ + тДЛ)-' тВ6" ^-£-) = . (22)

т т

Она аппроксимирует систему (21) с порядком 0(х+АИ2), где АЬ=тах(Аг, ДЭ). Эквивалентная (22) схема в дробных шагах выглядит

5-5-= 1 = 1. А,

т

5-= _ м 5 (23)

Т

уУ + 1 V"/ „/+1

Л ~ Л _ . Р ~ Р _ ^ т т р

Для решения уравнений (11,12,15) используется один из' методов расщепления, называемый методом стабилизации. Все указанные уравнения можно представить в виде:

^- + Лср = /, ■ (24)

где оператор А>0 не зависит от времени и представим в виде А —А] +А2 при условии, что /4^>0,

Разностная схема, аппроксимирующая эту задачу

' + + ~ф" + Лф" = /. (25)

2 2 ' х

Ее удобно представить в виде последовательности действий:

(Е + ~А2)^п+1 (26)

ф" + 1 = ф" + .

Предложенная схема абсолютно устойчива и, при достаточной гладкости решения, аппроксимирует исходную задачу с точностью до величин второго порядка малости по т.

В целях тестирования были проведены расчеты обтекания сферы несжимаемой жидкостью при 5</?£1%£200 . Получено хорошее согласование с экспериментальными и теоретическими данными не только по безразмерным коэффициентам, но и по локальным параметрам течения.

В четвертой главе описаны результаты численного моделирования обтекания сферы, с учетом реакций в объеме частицы.

На рис. 1 приведены изолинии концентраций С/ (а) и С2 (б) внутри частицы к моменту времени г~б при расчете задачи о

Рис. 1.

восстановлении. Так как поток газа сдувает испаряющийся компонент с лобовой точки частицы и практически не уносит его из областей за частицей, вполне естественно, что концентрация испаряющегося газа выше в кормовой точке, чем в остальном объеме. Концентрация же натекающего газа выше в обдуваемой им лобовой точке. Это подтверждают данные на' рис. 2, где приведены изолинии

в)

Рис.2.

температуры (а), концентрации испаряющегося компонента (б) и линий тока (в) во внешней области. Кроме того, по линиям тока можно сделать вывод сосуществовании за кормой частицы застойной зоны.

На рис. 3 . даны временные зависимости числа Ш для различных параметров химической реакции (1- Кор=2; 2- Крр=3\ 3-Кор-4). Влияние константы скорости реакции на теплообмен частицы очебидно, кроме' того, в первые моменты времени н.аблюдается существенная его немонотонность.

Далее исследуется влияние различных факторов на динамику образования и выхода летучих, а также влияние натекающего потока на концентрационные и температурные поля в газовой фазе для задачи о выходе летучих.

В случае, когда моделируется горение летучих, во внешней области в первые моменты времени, когда из частицы выходит

ш

достаточное количество газа, наблюдается довольно интенсивная реакция между испаряющимся с поверхности и натекающим газом. На рис. 4 приведены изолинии массовой концентрации испаряющегося (а) и образующегося (б) компонента, которые позволяют получить представление о реакции снаружи и влиянии на нее конвекции газа. На рис. 4(а) видно, что к определенному моменту времени испарение с поверхности идет только в кормовой части сферы, что объясняется неравномерным прогревом частицы натекающим газом. Лобовая ее часть прогревается сильнее, реакция там идет активнее и заканчивается раньше.

г=4

1=80

5.01

Рис. 4.

0.001

1 г О

б)

Рис. 5.

Распределение концентраций и температур по радиусу внутри частицы приведены на рис. 5 (1- г~5; 2- /=/5; 3- 30; 4- /=40). Эти данные получены для следующих параметров внутренней задачи: Кор=2, 0р=0.01, Вкр=0.06, Хр=30. Анализируя профили для температуры, можно предположить, что столь крутой (несмотря на значительный коэффициент теплопроводности) температурный фронт не может быть результатом прогрева частицы натекающим газом,

Рис. 6.

следовательно, . прогревание '" идет главным образом за счёт тепла экзотермической реакции.

Все распределения,

приведенные на рис. 5, практически однородна по углу, и поэтому вполне достаточным является знание профилей в одной точке (д=0), однако, на рис. 6 приведены изолинии испаряющегося

компонента Cj для малых значений коэффициента диффузии внутри частицы (Dp=0.001). Ясно, что из-за неравномерного прогревания лобовой области и из-за низких скоростей в точке 8=0 , концентрация второго компонента здесь несколько выше, чем:в остальном объеме частицы.

На рис. 7(а) представлен график зависимости концентрации испаряющегося компонента на поверхности частицы в точк§ Q-0 от времени (1 - Dp=0.01, К0р^4\ 2 - Dp=0.01, К0р=2\ 3 - Dp=0.001,

Рис. 7.

к0р~4> 4-^=0.007. Кор=2). На рис. 7(6) то же самое в точке г=0.Щ. Сравнивая рисунки (а) и (б) можно отметить интересный эффект, связанный с зависимостью С^ от коэффициента диффузии. Внутри частицы пиковое значение

концентрации . для. Вр-0.001 существенно выше, чем для Вр=0.01, а на границе наоборот. В случае большего

О 10

Рис. 8.

коэффициента диффузии внутренние градиенты меньше, однако и концентрация на границе будет выше.

На рис. 8 приведены временные зависимости коэффициента массообмена для случаев: 1 - йр=0'.01, Кдр=4\.2 - 0р=0.01 Кдр=2; 3 -, йр--0.05 К()р - 2.

Данные по коэффициенту сопротивления и числу Ии частицы приведены на рис. 9. Вычисления проводились при следующих параметрах: Т/Г^ОА, Кдр~2, 0р-0.01 и различных числах Рейнольдса.

Рис.9.

К достоинствам предлагаемой модели и метода следует отнести возможность получить многие параметры и характеристики процесса непосредственно в процессе моделирования, не прибегая к традиционно употребляемым эмпирическим зависимостям (Ренксизбулут М., Юань M.C,.Yueng М.С., Chen L.W.). Немонотонность полученных характеристик, и значительное несовпадение с рассчитанными по формулам, по видимому, связано с тем, что эмпирические формулы для Nu обычно не учитывают ни химической реакции в потоке, ни влияния внутренней реакции на теплообмен. Кроме того, для расчетов часто используются осредненные значения параметров потока и частицы. В предлагаемой же модели возможен достаточно аккуратный расчет всей структуры течения вблизи частицы, а следовательно, и коэффициентов теплообмена.

ВЫВОДЫ

1. Разработана и реализована неявная многошаговая конечно-разностная схема расщепления по физическим процессам и пространственным направлениям для решения сопряженной задачи тепломассообмена обтекаемой сферической частицы. Показана хорошая эффективность найденных методов расщепления, для

расчета задач теплообмена, осложненного химическими реакциями. Эмпирическим путем, найдены итерационные параметры для используемых методов, позволяющие эффективно проводить численное моделирование . Предложен подход, позволяющий проводить вычисление на границе по общей методике.

2..' Показана необходимость учета в определенном диапазоне изменения параметров, как внутренних, так и внешних реакций, пренебрежение которыми может привести к существенным ошибкам в определении интегральных характеристик.

3. В результате расчетов получены данные, демонстрирующие значительную неравномерность по углу температурных и концентрационных полей внутри частицы, возникающую из-за влияния потока. Таким образом, показана важность многомерного подхода в тех случаях, когда такая неравномерность может влиять на искомые параметры.

4. В результате численных расчетов найдены значения эффективных коэффициентов тепло- и массобмена, а также коэффициент сопротивления частицы, в зависимости от параметров, характеризующих режим обтекания, пористость и кинетические характеристики как в динамическом. так'и ,в стационарном варианте. :

4.1. Показано, что коэффициент теплообмена частицы может на порядок- превышать - значения, получаемые по эмпирическим формулам.

4.2. При наличии химических реакций в объеме частицы, может иметь место немонотонная зависимость от времени коэффициентов тепло-и массообмена частицы.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Андреева А.Ю. Стронгин М.П. Кошелев К.Б. Численное моделирование тепло- и массообмена испарякэщейся капли. Алт. политехн.инст-т.-Барнаул, 1992. Деп. в ВИНИТИ 3.07.92 N 2136-В92

2. Андреева А.Ю. Стронгин М.П. Принципы математического моделирования потоков в высокотемпературных технологиях. Труды Алт. госуд. техн. универ. им.И.И.Ползунова.-Выпуск 1.- Барнаул, 1993.-с. 50-57

3. Андреева А.Ю. Стронгин М.П. Численное моделирование тепломассообмена сферической частицы, обтекаемой высокотемпературным потоком газа. (Тезисы доклада) Научно-

техническое творчество студентов//Тез. докладов научно-технической конференции Алт. госуд. техн. универ.- Барнаул, 1994.-е. 136 .

4. Андреева А.Ю. Стронгин М.П. Кошелев К.Б. Тепломассообмен и обтекание сферической частицы потоком газа с учетом химической реакции внутри частицы. Промышленные проблемы СВС-технологий //Труды межд. конф., сентябрь 1994, Барнаул, с.48-58

5. Andreyeva A.Yu. Numerical Modeling Heat and Mass Transfer of Single Particle Taken into Account Chemical Reaction inside the Particle. Conference programm//IX Annual Conferense of the IAPS. August 15-21, St.Peterburg, p.28-29

6. Андреева А.Ю. Численное моделирование выхода и горения летучих из обтекаемой частицы. Сборник тезисов докладов 53-ей научно-технической конференции студентов, аспирантов и профессорско-преподавательского состава Алт. гос. техн. ун-та. Часть 1. Барнаул, Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 1995.

7. Андреева А.Ю. Кошелев К.Б. Стронгин М.П. Реагирующая частица, обтекаемая высокотемпературным газом. Сборник тезисов докладов 3-ей юбилейной научно-практической конференции Бийского технологического института. Ч. 1. Алт. гос. техн. ун-т им. И.И.Ползунова, БТИ,- Бийск, Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 1995 - с.142-144 ч

8. Андреева А.Ю. Кошелев К.Б. Стронгин М.П. Численное моделирование тепломассообмена сферической частицы и ее обтекания высокотемпературным газом. //' Теплофизика высоких температур .- 1996.- т.34, N 3.- с. 423-428