Численное моделирование процессов разрушения твердых тел со структурой

Кургузов, Владимир Дмитриевич

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование процессов разрушения твердых тел со структурой

доктора физико-математических наук: Кургузов, Владимир Дмитриевич
город: Новосибирск
год: 2004
специальность ВАК РФ: 05.13.18

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Численное моделирование процессов разрушения твердых тел со структурой»

Автореферат диссертации по теме "Численное моделирование процессов разрушения твердых тел со структурой"

На правах рукописи

Кургузов Владимир Дмитриевич

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ РАЗРУШЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ СО СТРУКТУРОЙ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Красноярск — 2004

Работа выполнена в Институте гидродинамики им. МА Лаврентьева СО РАН

Научный консультант: д.ф.-м.н., профессор

Корнев Владимир Михайлович

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., профессор

Садовский Владимир Михайлович

д.ф.-м.н., профессор Сенашев Сергей Иванович

д.ф.-м.н., профессор Сорокин Сергей Борисович

Ведущая организация: Новосибирский государственный

университет

Защита состоится 16 декабря 2004 г. в 16.00 на заседании Диссертационного совета Д 003.009.01 при Институте вычислительного моделирования СО РАН по адресу: 660036, Красноярск, Академгородок.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительного моделирования СО РАН.

Автореферат разослан 12 ноября 2004 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета к. ф.-м. н.

К. В. Симонов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современной технике возрастает значение проблем прочности. Это объясняется увеличением сложности технических изделий, необходимостью повышения качества, эффективности, надежности и долговечности. Проектирование и эксплуатация новой техники невозможно без всестороннего анализа прочности и надежности ее элементов. Для обеспечения заданного ресурса безопасной работы конструкции необходимо знать причины возникновения разрушения материала и конструкции в целом, а также характер развития процесса в зависимости от заданных условий внешнего воздействия, рабочей среды и структуры материала. Поэтому проблема разрушения является основной проблемой учения о сопротивлении материалов внешним воздействиям.

Появление трещин в конструкциях и их разрушение, которое происходит при средних расчетных напряжениях ниже предела текучести, показали необходимость дополнить классические методы расчета на прочность дополнительными условиями, которые учитывают развитие трещин, и новыми характеристиками материала, описывающими стадию разрушения.

Зарождение и рост трещин в элементах конструкций происходит в сложном неоднородном поле напряжений. Поэтому первой и главной задачей при исследовании механизма разрушения конструкции является детальное изучение поля напряжений в окрестности вершины трещины. Анализ напряженного состояния можно провести с помощью трех принципиально различных подходов: аналитическое решение, численный расчет и экспериментальное исследование. Каждое направление имеет известные достоинства и недостатки. Очевидно, что наиболее надежные результаты можно получить при совместном использовании этих методов.

К настоящему времени вопросы о концентрации напряжений в условиях упругости применительно к областям относительно простой формы оказались хорошо изучены в теоретической постановке и в смысле получения решений, удобных для практических инженерных расчетов. Основная часть затруднений связана с вычислениями, которые могут быть осуществлены методом конечных разностей, методом конечных элементов, методом граничных интегральных уравнений. Развитие и усовершенствование указанных численных методов является одним из краеугольных камней линейной механики разрушения.

Наличие в реальном теле остроконечных концентраторов напряжений, в

частности дефектов типа трещин, 1 ег0 Расчет на

прочность. В таких случаях классич 1скиеимиию»ы№аниаи сплошной среды

СВскрвмгА^у!

ъащц

приводят к некорректным результатам. Суть в том, что условие теоретической прочности недостижимо в практических задачах, а критерий Гриффит-са-Ирвина успешно «работает» при расчетах трещин, но приводит к несообразностям в случае угловых вырезов и включений.

Определенный прогресс в проблеме выбора критерия разрушения связан с подходом В. В. Новожилова, который предложил осреднять напряжения в пределах межатомных расстояний и сравнивать их с теоретической прочностью материала на разрыв. Проверено, что оценка Новожилова, взятая в качестве критерия разрушения, снимает ряд противоречий теории Гриффитса-Ирвина и совпадает с ней в простейших случаях.

В связи с широким внедрением расчетов на прочность и трещиностойкость в современной технике особую актуальность приобрела проблема разработки достаточно простого критерия хрупкого разрушения. Введенный Новожиловым критерий решает поставленную проблему, однако ряд аспектов остаются невыясненными прежде всего из-за «белых пятен» на межатомном (дискретном) уровне, например, в задаче об угловом вырезе на границе двух сред. Возникает необходимость объединения континуального и дискретного подходов, так как макроскопическая теория не способна описать то, что происходит в зоне разрушения.

Определенные надежды на решение указанных проблем исследователи связывают с дискретным подходом. Дискретные модели, особенно в задачах разрушения, позволили обнаружить ряд эффектов, не улавливаемых континуальными моделями, кроме того, дискретные модели представляются привлекательными в силу моделирования реальной атомной структуры.

Во всем мире наблюдается повышенный интерес к многомасштабному конструированию материалов. На международных конференциях все больше внимания уделяется моделированию процессов разрушения в материалах со структурой, многомасштабным моделям, объединяющим две и более техники моделирования, так как некоторые особенности поведения реальных материалов при разрушении можно описать, только принимая во внимание иерархию структур. Чаще всего применительно к разрушению речь идет о макро-, мезо- и микроразрушении. Макроразрушение, как правило, обсуждают исследователи, когда используются подходы механики сплошной среды. Сложные процессы, возникающие при микроразрушении, обсуждаются, например, при описании эффекта Ребиндера. Большое внимание влиянию разных масштабов, особенно на мезоуровне, уделяют в школе академика В. Е. Панина, что помогает описать некоторые процессы разрушения. Однако отсутствуют работы, в которых-исполmзуютсясразу несколько критериев разрушения от макро- до микроуровня

Цель работы. В диссертации ставились следующие основные цели исследований:

• разработка алгоритмов численного решения динамических и статических задач упругопластического деформирования твердых тел;

• математическое моделирование локализации деформаций и волн смещений при деформировании структурно-неоднородных сред;

• построение необходимых и достаточных дискретно-интегральных критериев хрупкой и квазихрупкой прочности для материалов с иерархией регулярных структур.

Научная новизна и основные положения, выносимые на защиту.

Новыми в диссертации являются:

• алгоритм решения плоской двумерной динамической задачи теории упругости, основанный на локальной аппроксимации неизвестных функций несколькими линейными полиномами;

• алгоритм решения статических задач теории упругости, основанный на аппроксимации неизвестных функций несколькими полиномами, что позволяет строить четырехугольный конечный элемент, для которого условия сопряжения формулируются в виде условий непрерывности усилий и смещений на его гранях;

• модель упругоиластического деформирования и ползучести тонких прослоек, позволяющая промоделировать весь процесс упругопластического деформирования от момента возникновения пластических деформаций до достижения предельного состояния при комбинированном действии нагрузок растяжения, сдвига и изгиба;

• необходимый и достаточный дискретно-интегральные критерии хрупкой прочности типа Нейбера-Новожилова для сложного напряженно-деформированного состояния трещиноватых тел;

• алгоритм численного решения задач нелинейного деформирования и потери устойчивости атомных решеток;

• двумерные модели краевых дислокаций; определение ширины ядра дислокации, которое хорошо согласуется с представлениями механики деформируемого твердого тела;

• многомасштабные дискретно-интегральные критерии хрупкой прочности с учетом иерархии структур для тел, содержащих угловые вырезы;

• экспериментально-расчетный метод определения разрушающей нагрузки при испытаниях образцов из структурно-неоднородных материалов с угловыми вырезами.

Достоверность полученных в работе результатов подтверждается соответствием выбранных математических моделей изучаемым физическим процессам, корректным применением методов механики деформируемого твердого тела, сопоставлением полученных результатов с известными теоретическими и экспериментальными данными.

Практическая ценность. Предложенные в диссертации дискретно-интегральные критерии хрупкой прочности, включающие в себя характеристики структуры материала, применялись для оценки прочности железобетонных изделий в работах В. В. Адищева. В некотором приближении такие строительные материалы, как ячеистый пенобетон и газобетон, можно считать пористыми средами с регулярно расположенными пустотными ячейками.

В диссертации получены соотношения, связывающие критический обобщенный коэффициент интенсивности напряжений (КИН) углового выреза с критическим КИН острой трещины, в том числе и для материалов с иерархией регулярных структур, которые позволяют, проведя только один эксперимент по определению критического КИН для образца с трещиной, получить критический КИН углового выреза для любого угла раствора. Предложенный в диссертации экспериментально-расчетный метод может быть применен для определения разрушающей нагрузки при испытаниях бетонных образцов с угловыми вырезами.

Созданный комплекс программ расчета напряженно-деформированного состояния многослойных тел вращения при интенсивных теплосиловых нагрузках внедрен в КБ Машиностроения (г. Миасс).

Работа выполнялась в рамках плановой тематики отдела механики деформируемого твердого тела Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН. Она поддержана грантами Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 95-01-00870, 98-01-00692, 01-01-00873, 0401-00191), грантом Президента РФ № НШ-319.2003.1, интеграционным проектом СО РАН № 3.11.1.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на VII (Миасс, 1981 г.), VIII (Ужгород, 1983 г.), IX (Саратов, 1985 г.) Всесоюзных конференциях по численным методам решения задач теории упругости и пластичности, на VI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986 г.), на VIII Всесоюзном симпозиуме по распространению упругих и упругопластических волн (Новосибирск, 1986 г.), на Сибирской школе молодых ученых по численным методам механики сплошной среды (Абакан,

1989 г.), на II (ИНПРИМ-96) (Новосибирск, 1996 г.), III (ИНПРИМ-98) (Новосибирск, 1998 г.), IV (ИНПРИМ-2000) (Новосибирск, 2000 г.) Сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике, на Межрегиональной научно-технической конференции «Строительные конструкции и расчет сооружений» (Новосибирск, 1997 г.), на Сибирской школе-семинаре «Математические проблемы механики сплошных сред» (Новосибирск, 1997 г.), на Всемирном керамическом конгрессе (CIMTEC-98) (Флоренция, Италия, 1998 г.), на Международной конференции «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 1999 г.), на Международной конференции «Математика в приложениях» (Новосибирск, 1999 г.), на V Международной школе-семинаре «Эволюция дефектных структур в конденсированных средах», (Барнаул, 2000 г.), на VI Международной конференции по компьютерному проектированию новых материалов и технологий (CADAMT-2001) (Томск, 2001 г.), на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г.), на Всероссийской школе-семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела (Новосибирск, 2003 г.), на ICF Interquadrennial Conference «Fracture at Multiple Dimensions» (Москва, 2003 г.), на International Workshop Mesomechanics: Fundamentals and Applications (Томск, 2003 г.), на международной конференции по физической мезомеханике (Томск, 2004 г.), на International Symposium on Developments in Plasticity and Fracture (Краков, Польша, 2004 г.), а также на семинаре отдела механики сред со структурой Института физики прочности и материаловедения СО РАН (руководитель — профессор П. В. Макаров), на семинаре отдела механики деформируемого твердого тела Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН (руководитель — профессор О. В. Соснин), на семинаре «Проблемы математического и численного моделирования» Института вычислительного моделирования СО РАН (руководитель — член-корреспондент РАН В. В. Шайдуров).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 31 работах, включая одну монографию.

Личный вклад автора. Автору во всех работах, опубликованных в соавторстве, в равной степени принадлежат как постановка задач и разработка основных положений, определяющих научную новизну и практическую ценность, так и результаты выполненных исследований.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 259 страниц, в том числе 92 рисунка, 6 таблиц и список литературы, включающий 266 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цели исследования, приведено краткое содержание работы и дан краткий обзор современного состояния исследований по теме диссертации. Отмечено, что большой вклад в развитие постановок и методов решения задач механики разрушения внесли отечественные ученые Г. И. Баренблатт, Л. М. Качанов,

B. Д. Клюшников, В. М. Корнев, М. Я. Леонов, Н. Ф. Морозов, В. В. Новожилов, В. В. Панасюк, В. Е. Панин, В. 3. Партон, Ю. Н. Работнов, Л. И, Слепян,

C. А. Христианович, Г. П. Черепанов, К. Ф. Черных, Е. И. Шемякин. Существенный вклад в разработку численных методов решения задач динамики упругопластического деформирования внесли В. Г. Баженов, И. О. Вогульский, Н. Г. Бураго, Ю. М. Волчков, С. К. Годунов, Г. В. Иванов, А. Н. Коновалов, С. Н. Коробейников, В. Д. Кошур, В. Н. Кукуджанов, К. М. Магомедов, И. Б. Петров, А. И. Рузанов, А. С. Холодов и другие исследователи.

В первой главе рассматриваются численные методы решения динамических и статических задач механики деформируемого твердого тела, которые в последующих главах применяются для решения задач механики разрушения.

Существующие методы решения задач динамики деформируемых твердых тел достаточно условно можно представить в виде трех направлений: метод конечных элементов; характеристические и сеточно-характеристические методы; конечно-разностные методы. Следует сказать, что все три подхода не противопоставляются и их взаимное проникновение все более заметно в последнее время.

Для численного решения двумерных задач динамической теории упруго -сти Г. В. Иванов предложил использовать несколько локальных аппроксимаций неизвестных функций полиномами Лежандра. В отличие от классических конечно-элементных подходов процедура нескольких аппроксимаций для каждой из искомых функций дает возможность сформировать достаточную для обеспечения монотонности численного решения искусственную диссипацию с одновременным расщеплением многомерной задачи на ряд независимых одномерных задач по пространственным направлениям. Содержащиеся в одномерных задачах параметры — константы диссипации — позволяют регулировать в получаемых схемах величину искусственной вязкости. При этом процедура решения каждой из этих одномерных задач является независимой и может быть как явной, так и неявной.

При частном выборе констант диссипации, для случая регулярных сеток, получающаяся явная схема полностью совпадает со схемой С. К. Годунова.

В то же время, одно из преимуществ подхода состоит в возможности построения схем, обладающих лучшими диссипативными свойствами по сравнению с методом распада разрыва. Существенно, что при этом не происходит увеличение числа арифметических операций, т. е. помимо улучшения диссипативных характеристик возрастает экономичность схемы.

В первых двух параграфах первой главы диссертации подход Г. В. Иванова, основанный на нескольких локальных аппроксимациях каждой из неизвестных функций,- применяется к построению эффективных численных алгоритмов интегрирования двумерных задач динамической теории упругости и моделированию на их основе процессов разрушения твердых тел.

В § 1 на основе нескольких локальных аппроксимаций неизвестных функций линейными полиномами строится схема решения плоской двумерной динамической задачи теории упругости. Алгоритм основывается на расщеплении полной задачи на четыре независимые одномерные, причем каждая из этих одномерных задач содержит максимальный набор констант диссипации. При этом алгоритм приобретает достаточно большой произвол, распорядиться которым можно так, что без дополнительных вычислительных затрат удается добиться более высокой точности при сохранении таких положительных качеств, как монотонность, диссипативность и т. д. Исследована диссипатив-ность, а следовательно, и устойчивость в энергетической норме построенной схемы. Показано, что при лучших диссипативных характеристиках и без увеличения вычислительных затрат, шаг интегрирования по времени в предпо-женном алгоритме может быть увеличен в раз по сравнению со схемой распада разрыва.

При моделировании процесса хрупкого разрушения в рамках построенных алгоритмов предполагается, что разрушение происходит по границам элементов при достижении нормальными или касательными напряжениями предельных значений. Вычисление решения с учетом разрушения на каждом шаге по времени состоит из двух этапов: 1) вычисления соответствующей этому слою времени системы расположения разрывов и расслоений с учетом возможного захлопывания трещин и образования новых; 2) вычисления решения с учетом расположения разрывов и расслоений, найденного на первом этапе. При вычислении решения по неявной схеме строится итерационная процедура вычисления разрывов и расслоений на каждом временном слое. При вычислении решения по явной схеме скорости и напряжения на границе между элементами на среднем слое по времени зависят от решения на нижнем слое только в двух примыкающих друг к другу элементах, и согласно формулам явной схемы расположение разрывов и расслоений однозначно определяется на первой итерации.

Рис. 1. Разрушение однородного (а) и слоистого (б) колец

В качестве примера приводятся результаты численного решения задач деформирования однослойного и трехслойного колец с учетом разрушения. На рис. 1 показаны трещины нормального разрыва (двойная черта) и расслоений (одинарная черта) в поперечном сечении однородного и слоистого колец.

При решении задач для бесконечных, полубесконечных или протяженных областей возникает необходимость ограничить вычисления в конечной области, поэтому возникает вопрос формулировки граничных условий на границе этой области — так называемых неотражающих условий, обеспечивающих отсутствие всякого влияния на решение извне. В § 2 рассматриваются два универсальных способа построения неотражающих условий на искусственных границах при численном решении двумерных задач динамики по явным схемам: 1) моделирование, основанное на аналогии с точными условиями для одномерных задач; 2) использование пространственных и пространственно-временных экстраполяции.

В § 3 подход, основанный на аппроксимации неизвестных функций несколькими полиномами, применяется к решению статических задач теории упругости. Процедура нескольких аппроксимаций напряжений и смещений позволяет строить четырехугольный конечный элемент, для которого условия сопряжения формулируются в виде условий непрерывности усилий и смещений на его гранях. В задачах с сингулярными особенностями в напряженных состояниях применение таких элементов оказывается намного эффективнее, чем использование традиционных конечных элементов. Эти элементы не содержат сингулярных точек, поскольку они содержат только величины, осред-

ненные по граням, и поэтому являются естественными регуляризаторами в задачах с особенностями в напряжениях.

Решение статических задач сопряжено с необходимостью решать большие системы алгебраических уравнений, и зачастую эффективность решения задачи зависит от используемого численного метода. В § 4 рассматривается итерационное решение статических задач механики деформируемого твердого тела методом самоуравновешенных невязок. Каждая итерация начинается с некоторого приближения, которое не удовлетворяет решаемой системе уравнений. Возникающие в уравнениях невязки в статических задачах можно интерпретировать как сосредоточенные силы и моменты, приложенные в узлах конечноэлементной сетки. Целью итерационного процесса является устранение этих сосредоточенных сил и моментов или сведение их в соответствии с некоторым критерием к минимальным значениям. В статических задачах механики деформируемого твердого тела каждая итерация релаксационного метода приводит, как правило, к уменьшению значения положительно определенного квадратичного функционала, что обеспечивает сходимость итераций.

Вторая глава диссертации посвящена численному моделированию процессов разрушения структурно-неоднородных сред. Материал этой главы основывается на представлении о механизме пластической деформации, развиваемом в работах школы академика В. Е. Панина.

Для описания поведения структурно-неоднородной среды необходимо ввести в рассмотрение не точки сплошной среды, а конечные объемы, которым приписаны смещения и повороты, и размеры которых определяют пространственный масштаб выделенного структурного уровня. Структурные элементы рассматриваются как элементарные носители пластической деформации. Поворачиваясь и смещаясь как целое, элементы структуры сами претерпевают деформации, в том числе и аккомодационные, необходимые для сохранения средой сплошности. Следовательно, пластическая деформация развивается в общем случае сразу на разных структурных уровнях, которые либо действуют одновременно, либо подключаются поэтапно. Деформация структурных элементов каждого масштабного уровня обеспечивается элементарными носителями более мелких масштабов, причем смещение на одном уровне обязательно сопровождается поворотом на более высоком уровне и наоборот. Для каждого материала может быть установлена соответствующая иерархия структурных уровней и характерные размеры структурных элементов (например, дислокации, дисклинации, ячейки, блоки, зерна).

Таким образом, для адекватного описания деформации среды с внутренней структурой необходимо одновременное рассмотрение, как минимум трех

структурных уровней: макроуровень (образец), мезоуровень (уровень фрагментов структуры), микроуровень (дефекты структуры).

На мезоуровне предлагается простая механическая модель деформирования структурно-неоднородной среды — модель среды из жестких блоков с упругопластическими прослойками.

Рассматривается деформирование тонкой прослойки между жесткими блоками, которые могут смещаться и поворачиваться как целое. Используется представление прослойки в виде слоя четырехугольных элементов, в каждом из которых вводится локальная косоугольная система координат £а (а = 1,2). Под уравнениями жесткости элемента понимаются зависимости усилий на гранях элемента от средних величин скоростей граней. При построении уравнений жесткости используется одна аппроксимация векторов усилий р :

и три аппроксимации вектора скорости и:

Здесь и — средняя в элементе величина скорости, U — средние величины скоростей на линиях = const. Представляя прослойку состоящей из последовательно увеличивающегося числа слоев элементов, можно получить последовательность решений, сходящихся к точному решению.

В качестве примеров применения уравнений сформулированной модели деформирования прослоек рассматривались процессы идеального упругопла-стического деформирования прямолинейной прослойки, у которой один из блоков был неподвижен, а второй перемещался поступательно и поворачивался. Вычислялись необходимые для осуществления процесса деформирования силы Р, Q и момент М. Вычисления велись до достижения предельного состояния, т. е. состояния, в котором деформирование прослойки происходит при неизменных величинах Р, Q, М. Полученные значения предельных нагрузок при растяжении со сдвигом и изгибе со сдвигом сравнивались с решениями Л. М. Качанова и Г. В. Иванова. Установлено, что соотношение между Р, Q и М, полученное Г. В. Ивановым, хорошо соответствует предельным

Рис. 2. Модель среды из жестких блоков с уиругопластическими прослойками

величинам нагрузок по уравнениям сформулированной модели деформирования прослоек.

В § 6 излагаются результаты численного моделирования волн смещений и локализации деформаций при растяжении полосы из жестких (недефор-мируемых) блоков с упругопластическими прослойками. При нагружении структурно-неоднородных сред важным мезоскопическим уровнем деформации является движение отдельных структурных элементов как целого по схеме «сдвиг+поворот». На их границах раздела происходит фрагментация материала, которая заканчивается возникновением разрывов среды. Поэтому в первом приближении можно пренебречь упругими деформациями блоков, из которых состоит полоса, считая их жесткими.

Рассмотрим два жестких (недеформируемых) блока, соединенных упруго-пластической прослойкой (рис. 2, а). Полагаем, что поле скоростей блоков и прослойки — плоское. Пусть и± — скорости перемещений центров 0+, 0_ блоков, ш± — угловые скорости блоков, Г±, М± — действующие на прослойку со стороны блоков силы и моменты сил относительно центров Зависимости М± от и±, и± называются уравнениями жесткости прослойки. В качестве модели деформирования прослойки принимается модель, изложенная в предыдущем параграфе. По этой модели прослойка представляется в виде слоя четырехугольных элементов (рис. 2, а, б) с уравнениями

жесткости

Р+ - Р- = + и^) + 2ха,

где = иа|^=±1, = — компоненты тензора напря-

жений в связанной с элементом прослойки косоугольной системе координат

£2 6 [-1; 1] (рис. 2, б), у/д = \ £п х — базисные векторы системы

г — шаг по времени. На каждой итерации В"13, ха, (р?)° ~ известные постоянные в пределах элемента величины, корректируемые при переходе от одной итерации к другой по процедуре, подробно изложенной в § 5.

Обозначим через 5 число образующих полосу жестких (недеформируе-мых) блоков (рис. 2, в), через \к, к = 1, 2, ..., 5 векторы и2к, и>к), в которых и\, и\ — декартовы компоненты скорости центра к-го блока, шк — угловая скорость этого блока.

Полагаем, что растяжение полосы задано в виде условий: блок к = 1 неподвижен, а блок к = 5 движется поступательно с заданной скоростью V и, следовательно,

V! =(0,0,0), = (О, V, О). (2)

Если для каждой из прослоек между блоками вычислить коэффициенты уравнений жесткости (1), то условия равновесия блоков (равенства нулю суммы приложенных к блоку сил и суммы моментов этих сил) можно сформулировать в виде уравнений

Ак\к-1 + Вкук + СкУк+1 = * = 2,3 . . . (3)

коэффициенты которых очевидным образом связаны с коэффициентами уравнений жесткости прослоек. Решение системы уравнений (2), (3) может быть вычислено прогонкой.

Было проведено большое число численных экспериментов по исследованию предельных нагрузок, волн поперечных смещений и локализации деформаций при растяжении полосы с тремя и пятью прослойками. Углы наклона прослоек выбирались случайно с использованием датчика случайных чисел.

При растяжении полосы с тремя и пятью прослойками поперечные смещения в виде волны возникают уже при упругих деформациях. В качестве иллюстрации волн поперечных смещений на рис. 3, б, в, г, представлены скорости V поперечных смещений оси полосы с указанными на рис. 3, а прослойками при упругом деформировании, начале пластического деформирования и в предельном состоянии. Соответствующие скорости и2 продольных смещений оси полосы представлены на рис. 3, д, е, ж.

а б в г д е ж

Рис. 3. Локализация деформаций при растяжении полосы с прослойками

При растяжении полосы с указанными на рис. 3, а прослойками деформация в предельном состоянии полосы локализуется в одной прослойке (рис. 3, г, ж). Из рис. 3, б, д видно, что эта прослойка отличается от других уже на стадии упругого деформирования тем, что в ней скачки скоростей (отрезки АВ и СБ на рис. 3, б, д) больше, чем в других прослойках. Различие возрастает с началом пластического деформирования (рис. 3, в, е). Отсюда следует, что в рассматриваемом примере можно прогнозировать локализацию деформаций в предельном состоянии полосы по скачкам скоростей при упругом и начальном упругопластическом деформировании.

Вывод о возможности прогнозирования локализации деформаций при растяжении полосы с прослойками по скачкам скоростей на стадиях упругого и начального упругопластического деформирования подтверждается результатами всех проведенных численных экспериментов.

В § 7 рассматривается плоская деформация тонких прослоек между жесткими блоками в случае, когда наряду с упругопластическим деформированием прослойки происходит ее вязкое деформирование (ползучесть). Проводится сопоставление построенной модели с моделью установившейся ползучести прослоек, предложенной Л. М. Качановым, и с моделью упругопластического деформирования прослоек без ползучести.

В исследованиях прочности и разрушения твердых тел придается все большее значение подходам, связанным с дискретностью строения материала. Феноменологические модели разрушения твердых тел не дают правильной картины распределения напряжений и деформаций вблизи трещины. Например, решение задач в рамках линейной механики разрушения приводит к бесконечным напряжениям и деформациям в кончике трещины для линейной упругой модели материала, что находится в противоречии с конечными значениями сил взаимодействия атомов, из которых состоит твердое тело.

Актуальность решения нелинейных задач по деформированию атомных решеток возникает в связи с попыткой адекватно описать возникновение и распространение трещины в твердом теле при действии растягивающих и сдвиговых нагрузок. Попытки дать более правильную модель разрушения твердых тел привели В. В. Новожилова к описанию возникновения и распространения трещины на атомном уровне, где возникновение трещины связывается с потерей устойчивости атомной цепочки. Большое различие теоретического и полученного экспериментально пределов прочности объясняется наличием в атомной цепочке примесных атомов и вакансий. В. М. Корневым и Ю. В. Тихомировым получены аналитические решения некоторых задач по потере устойчивости атомных цепочек, но такой подход нельзя применить к решению общего класса задач по деформированию атомных решеток. В то же время численные методы позволяют моделировать реалистичное поведение двумерных и трехмерных атомных решеток.

В § 8 хорошо развитая техника численного решения нелинейных задач механики деформируемого твердого тела методом конечных элементов применяется к решению нелинейных задач по деформированию атомных решеток, характер деформирования которых близок к характеру деформирования стержневой конструкции. Предлагается конечный элемент атомной пары, матрицы и векторы которого близки к соответствующим матрицам и векторам стержневого элемента. Отметим, что атомная решетка представляет из себя дискретную среду. При построении системы алгебраических уравнений для атомной решетки ошибки дискретизации не вводятся, в отличие от построения аналогичной системы в задачах механики сплошной среды. Кроме того, для атомных пар используются потенциальные законы взаимодействия атомов. Поэтому использование метода Ньютона приводит к итерационно-

му процессу, сходящемуся (если этот процесс сходится) к точному решению нелинейной задачи по деформированию атомной решетки.

Из-за больших смещений и поворотов физически нелинейная задача о деформировании атомной решетки становится еще и геометрически нелинейной. Решения подобных задач в силу наличия ниспадающего участка на диаграмме сила-смещение содержат собственные состояния типа максимальной нагрузки, причем таких собственных состояний может быть несколько. Основная трудность решения таких задач состоит в том, что в качестве монотонно возрастающего параметра нагружения нельзя взять внешнюю силу, действующую на атомную решетку. Второй особенностью, осложняющей решение, является вырожденность касательной матрицы жесткости при достижении максимальной нагрузки: det 'К = 0. При выполнении этого равенства итерационные процедуры ньютонова семейства не дают сходимости к точному решению. Для преодоления указанных трудностей в число неизвестных величин (наряду со смещениями) вводится параметр внешней силы, а в качестве дополнительного уравнения задается длина дуги в (U, А)-пространстве (U — вектор смещений, Л — параметр внешней силы).

В § 9 подход В. В. Новожилова применяется к построению необходимого дискретно-интегрального критерия прочности при сложном напряженном состоянии. Рассматривая разрушение идеального кристаллического твердого тела с трещиной как дискретный процесс, В. В. Новожилов предложил для оценки прочности хрупкого упругого тела в окрестности сингулярных точек поля напряжений осреднять последние в пределах межатомного расстояния и сравнивать их с теоретической прочностью на разрыв. Кроме того, он ввел необходимый и достаточный критерии хрупкой прочности. В работах В. М. Корнева предложены дискретно-интегральные критерии для трех простейших типов трещин (по терминологии В. В. Новожилова, это необходимые критерии), причем пределы осреднения напряжений поставлены в зависимость от наличия, размеров и местоположения дефектов в окрестности носика трещины. Считается, что соответствующие осредненные напряжения не превосходят теоретических прочностей на разрыв или на сдвиг.

Рассмотрим поведение под нагрузкой тела, имеющего макротрещину. Для пропорциональных путей нагружения имеем а = const в соотношении Т = йО, где — касательные напряжения, — нормальные напряжения. Допустим, что при сложном напряженном состоянии получена предельная кривая на плоскости , описывающая теоретическую прочность твердого тела, такая что в пределе при а 0 или а оо имеем теоретические прочности твердых тел на сдвиг и на разрыв . Введем обозначения для критических

состояний.

Рис. 4. Плотноупакованный слой атомов, имеющий макротрещину и вакансии

Рассмотрим плотноупакованный слой атомов, имеющий макротрещину и вакансии (рис. 4, а): считается, что при образовании макротрещины частично убран ряд атомов, а непосредственно перед вершиной имеются вакансии, отмеченные крестиком. Введем в рассмотрение дискретно-интегральный критерий квазихрупкой прочности:

(4)

Здесь ау и тху — нормальные и касательные напряжения в вершине трещины (они имеют интегрируемую особенность); ге — расстояние между центрами атомов; п и к — целые числа, причем п > к (к — число действующих межатомных связей); пге — интервал осреднения. Пределы осреднения напряжений в этом критерии поставлены в зависимость от наличия, размера и местоположения дефектов кристаллической решетки в окрестности носика трещины; в изображенном на рис. 4, а случае имеем п = 2, к = 1. Величина этих осредненных напряжений не должна превосходить соответствующую теоретическую прочность, определяемую величинами и . Предлагаемый критерий допускает переход к рассмотрению трещин нормального отрыва и поперечного сдвига. Таким образом, критерий (4) при а = 0 соответствует необходимому критерию хрупкой прочности В. В. Новожилова.

Если воспользоваться представлениями решений для напряжений на продолжении острой трещины у = О через КИН (коэффициенты интенсивности напряжений) то можно записать в окрестности кончика трещины для

линеинои задачи

где (Too, Tqo — характерные напряжения, заданные на бесконечности, либо на контуре ограниченного тела. Используя последнее представление решения и соотношение (4), получаем оценки КИН Ftf, Кд острой трещины:

\ПСToo / V 2 Too Vnr«, У

mre

(5)

Так как критические КИН к?, к$ суть верхние грани соответствующих множеств К®, Кц, то полученная система неравенств (5) в предельном случае очевидным образом сводится к одному соотношению

(6)

поскольку из-за линейности задачи т«, = аат* = аст*, =

Для определения критических параметров т* и а* решается задача о потере устойчивости трехатомной ячейки в плотноупакованном слое атомов при сложном напряженном состоянии. Рассматривается деформирование трехатомных ячеек, изображенных на рис. 4, б. Конфигурация 1 моделирует поведение трехатомной ячейки в вершине трещины (рис. 4, а) при наличии только одной вакансии перед вершиной трещины; конфигурация 2 моделирует поведение трехатомной ячейки в вершине трещины, когда имеются две вакансии, помеченных на рис. 4, а крестиками. В конфигурации 1 атом 2 закреплен, а в конфигурации 2 атом 2 может смещаться в направлении горизонтальной оси. Внешнее воздействие характеризуется силой £ приложенной к третьему атому ячейки и направленной под углом к горизонтальной оси. Действие межатомных сил предполагается центральным с потенциалом взаимодействия Леннард-Джонса ¿/(г) = Х)[(ге/г)12 — (ге/г)6] или Морзе II(г) = — где г — расстояние между атомами;

ге — положение равновесия; В, а — константы.

На рис. 5, а представлена зависимость в случае трехатомной ячейки типа 1 (рис. 4, б) для потенциала Морзе (кривая 1) и потенциала Леннард-Джонса (кривая 2). Полученные кривые охватывают весь диапазон разрушения твердых тел от хрупкого и квазихрупкого ( и > 0) до разрушения в пластической области ( о < 0) и хорошо согласуются с огибающей предельных кругов Мора для разных напряженных состояний.

-1.5 -1 -0.5

03 1

-1 -0.5

0.5 1

Рис. 5. Предельные кривые на плоскости т — а

На рис. 5, б представлена зависимость т —а в случае трехатомной ячейки типа 2 (рис. 4, б) для потенциала Морзе (кривая 1) и потенциала Леннард-Джонса (кривая 2). Сравнение двух потенциалов показывает, что потенциал Морзе, обычно применяемый для металлов, дает меньшие значения предельных касательных напряжений, чем дальнодействующий потенциал Леннард-Джонса. Резкое падение диаграмм г — а на рис. 5, б (график становится выпуклым вниз) левее угловой точки обнаруживает сверхчувствительность атомной решетки к появлению вакансий. Одно из проявлений такого эффекта — ковка металла при повышенной температуре, когда резко возрастает вероятность появления вакансий, кроме того, уменьшение модулей упругости с ростом температуры облегчает деформирование металла.

В § 10 предлагается достаточный дискретно-интегральный критерий квазихрупкой прочности для трещин нормального отрыва:

Здесь сгу (х, 0) — нормальные напряжения в вершине трещины в континуальной модели, имеющие интегрируемую особенность; ат — теоретическая прочность твердых тел на разрыв; V — удвоенные смещения берегов трещины; V* — критическое раскрытие трещины нормального отрыва; н =3-41/ или соответственно для плоской деформации и плоского

напряженного состояния; V — коэффициент Пуассона; О — модуль сдвига.

Напряжения для континуальной модели после осреднения с учетом по-врежденности материала сравниваются с теоретической прочностью идеальных кристаллов сгт в дискретной модели. Длина нагруженного участка разреза определяется с использованием реальных физических потенциалов

Рис. 6. Кривые разрушения

межатомного взаимодействия из решения задачи о потере устойчивости и закритическом деформировании трехатомной ячейки в плотноупакованном слое атомов при растяжении. Взаимодействие между берегами трещины имеет место только на нагруженном участке разреза.

При формулировке достаточного критерия в соответствии с гибридной моделью В В Новожилова используется новый класс решений, который отличается от решений, применяемых при формулировке классического достаточного критерия прочности. Предложенный достаточный критерий допускает предельный переход к необходимому критерию, когда в пределе можно пренебречь энергетическими характеристиками закритического деформирования ячейки.

На рис. 6 схематически показаны устойчивый (кривая 1) и неустойчивый (кривая 2) участки роста трещин, а также кривая разрушения, полученная по необходимому критерию (кривая 3). На устойчивом участке образовавшиеся новые системы воспринимают увеличивающуюся нагрузку, так как ,

в результате происходит подрастание трещины, поскольку 1®к < 1®*к. Здесь 2/0 -------„о

\1„к — длина острой внутренней трещины, — напряжения, полученные по необходимому критерию (4); ст^ — напряжения, полученные по достаточному критерию (7).

В § 11 изучается потеря устойчивости и закритическое деформирование четырехатомных ячеек в квадратной атомной решетке типа №С1 при обобщен-

Рис. 7. Модель дислокации Пайерлса

ном растяжении. Предлагается достаточный дискретно-интегральный критерий прочности для для сложного напряженного состояния, когда поля напряжений имеют сингулярную составляющую, а вектора полей напряжений и деформаций коллинеарны. Величины критических нагрузок, полученные в соответствии с достаточным критерием, существенно отличаются от полученных в соответствии с необходимым критерием, что позволяет описать эффект Ребиндера.

В § 12 исследуются простейшие модели краевых дислокаций Френкеля— Конторовой и Пайерлса. Важность определения ширины дислокации объясняется тем, что большинство особенностей поведения дислокаций, определяющих механические свойства кристаллов, существенно зависит от структуры ядра дислокации. На рис. 7 показана модель Пайерлса: под углом 60° к верхнему ряду производится внедрение двух жесткосвязанных атомов, приводящее к смещению атомов первого и второго рядов и образованию дислокации.

Вводится в рассмотрение такое понятие о ядре дислокации, которое хорошо согласуется с представлениями механики деформируемого твердого тела. Вне ядра дислокации смещения не превышают значений, соответствующих локальной теоретической прочности атомной решетки на сдвиг: и < и*. Эта оценка ширины ядра дислокации отличается от общепринятой (в физике твердого тела) оценки по фиксированным смещениям в ядре дислокации: и < Ь/8, где Ь — вектор Бюргерса.

Для определения ширины ядра дислокации решается задача о потере устойчивости ячейки 3-4-5 (рис. 7, б), деформирующейся в условиях сложного напряженного состояния. Полученные значения смещений сравниваются с критическими. Для плотноупакованной кристаллической решетки ядро дислокации оказалось довольно узким: два межатомных расстояния. Это объясняется тем, что трехатомная ячейка до потери устойчивости обладает повышенной жесткостью, другими словами, она имеет малую податливость при докритическом нагружении.

Четвертая глава диссертации посвящена описанию процесса разрушения тел с трещинами и угловыми вырезами. Рассматриваются острые трещины и вырезы в твердых телах, материал которых имеет иерархию регулярных структур от микроуровня до макроуровня. Используются полученные в третьей главе и доработанные многомасштабные необходимые и достаточные критерии прочности, основанные на современных представлениях физики твердого тела. Особое внимание уделяется установлению связи между критическим коэффициентом интенсивности напряжений (механика сплошных сред) для деформируемого твердого тела со структурой и теоретической прочностью (физика твердого тела) структурированных сред, что позволяет получить прочностные характеристик твердых тел с макродефектами в виде острых трещин и угловых вырезов. При построении необходимых и достаточных критериев разрушения при хрупком и квазихрупком деформировании материалов со структурой используются идеи работ Г. Нейбера и В. В. Новожилова.

В § 13 излагается метод ад дитивного выделения особенности, позволяю -щий определять коэффициент интенсивности напряжений в упругих задачах с трещиной. Рассматривается плоская деформация прямоугольного образца с краевой трещиной. Находится аналитическое решение вспомогательной задачи о растяжении плоскости с прямолинейным разрезом методами теории функций комплексного переменного путем сведения к задаче сопряжения Римана-Гильберта. Напряжения, найденные из решения вспомогательной задачи, добавляются с противоположным знаком к граничным условиям исходной задачи. Методом конечных разностей численно интегрируется система уравнений плоской теории упругости в напряжениях. Организуется итерационный процесс по коэффициенту интенсивности напряжений с использованием интеграла Раиса-Черепанова, который берется по контуру, достаточно далеко удаленному от носика трещины. Предложенный метод не требует измельчения сетки в окрестности носика трещины, так как бесконечные значения напряжений и большие градиенты напряжений выделены с помощью вспомогательного точного решения.

В § 14 методом конечных элементов исследуется напряженно-деформированное состояние в окрестности горизонтальной выработки квадратного поперечного сечения в массиве горных пород. Получено распределение главных напряжений в окрестности угловой точки, где поле напряжений имеет интегрируемую особенность. Обнаружено появление на кровле выработки растягивающих напряжений, которые нередко вызывают нарушение сплошности пород, поскольку последние плохо сопротивляются растяжению.

Актуальность решения подобных задач объясняется необходимостью разработки достаточно простого критерия хрупкой прочности, так как критерий Ирвина-Гриффитса успешно работает при расчете трещин, но приводит к несообразностям в случае угловых вырезов и включений. Введенный В. В. Новожиловым критерий решает указанную проблему, однако остаются невыясненными ряд аспектов, например, в задаче об угловом вырезе на границе двух сред. Возникает необходимость объединения континуального и дискретного подходов, так как макроскопическая теория не способна описать то, что происходит в зоне разрушения. Реальная трещина уже не является разрезом, а представляет собой угловой вырез, поэтому возникает задача определения напряженно-деформированного состояния в окрестности клиновидного надреза. Подобные задачи являются типичными в механике горных пород, так как проектные сечения многих выработок существенно отличаются от кругового. Таковы прямоугольные, трапециевидные, сводчатые, шалашеобразные и другие сечения выработок. Для описания разрушения в окрестности углового выреза необходимо выделение сингулярной составляющей поля напряжений, что в случае сложного напряженного состояния требует применения численных методов.

В § 15 на примере упругой полуплоскости, ослабленной угловым вырезом, при задании на бесконечности поля напряжений, слагающегося из растяжения и чистого сдвига, подход В. В. Новожилова применяется к определению разрушающих нагрузок для тел, содержащих угловые вырезы.

Рассматривается монокристалл с угловым вырезом, угол раскрытия которого определяется характеристиками кристаллической решетки (рис. 8, а). Асимптотика поля напряжений в окрестности углового выреза имеет вид

Здесь Ооо, Too — характерные напряжения; К\ — обобщенный КИН для случая растяжения при сингутярной составляющей гЛ'-1; Кц — обобщенный КИН для случая чистого сдвига при сингулярной составляющей

1.75 2.0 2.25 2.5 2.75 3

Рис. 8. Плотноупакованный слой атомов в окрестности углового выреза Аг = Аг(а) — корни характеристических уравнений

для растяжения и сдвига соответственно. Характерные напряжения и т^ определяются по построенным полям напряжений св(г,в), тгд(г,9). Зависимость решений уравнений (9), от угла а представлена на рис. 8, б. При а = ж угловой вырез вырождается в трещину: Ai = Аг = 1/2; при тт/2 < а < тг имеем 1/2 < Ai < 1, 1/2 < Аг < 1. При а = к/2 получаем полуплоскость: Ai = Аг = 1, сингулярная составляющая в этом случае отсутствует. Штриховой линией на рис. 8, б показаны решения уравнений (9), не дающие сингулярной составляющей.

Предлагается дискретно-интегральный критерий хрупкой прочности для угловых вырезов в условиях плоской деформации или плоского напряженного состояния:

Здесь о"й(г,0) — растягивающие напряжения на оси выреза, тгв(г, 0) — сдвигающие напряжения на оси выреза; п, к — целые числа (п> к)\ к — число межатомных связей; пге — интервал осреднения (для случая, представленного на рис. 8, о, п = 2, к = 1); оти тт — теоретические (идеальные) прочности монокристалла на растяжение и на сдвиг по плоскости 0 = 0 соответственно.

sin 2Ai,2tt ± Ai,2 sin 2а = 0

(9)

е J hiе J

О О

В предложенном критерии пределы осреднения напряжений на оси выреза зависят от наличия, размера и положения дефектов исходного материала. В качестве характерного линейного размера выбран параметр кристаллической решетки.

Подставляя (8) в (10), получаем оценки обобщенных КИН и Кц для остроугольного выреза при наличии вакансий на его оси в плоской задаче:

К\__1_ < <Jmk _ 1 Кц 1 ^ тт к .

AiV^nre)1-*1 ffoo ~ <7ооП ' Агч/^ггГе)1"^ Too - Too П

При а ч- ж имеем Ai = Аг = 1/2, и оценки (11) переходят в оценки для классических КИН Kj, К^ острой трещины.

Критерий (10) хрупкого разрушения для монокристалла с угловым вырезом можно обобщить на случай материалов с иерархией регулярных структур. Рассмотрим твердое тело, содержащее р вложенных регулярных структур таких, что их характерные линейные размеры г,- (г = 1,2,..., р) упорядочены следующим образом: Т{ r,-+j и каждый линейный размер отличается от последующего не менее чем на два порядка. Введем в рассмотрение семейство согласованных для каждой структуры дискретно-интегральных критериев хрупкой прочности:

nji T),Tj

~ j 0)d*, < <7« -L I 0 )dxt < r«. о 0

Здесь Oy\ TxJ — нормальные и касательные напряжения на оси выреза; 0,:г;гд — прямоугольные системы координат с началом в вершинах вырезов разного масштаба; щ, к{ — целые числа (п,- > fc,); ki — число активных связей, дей-

• * (0 ствующих в вершине выреза г-ой структуры; щг{ — интервал осреднения; afn

и Тт — теоретические прочности материала г-ой структуры на растяжение и

на сдвиг соответственно.

Характерные линейные размеры г», параметры поврежденности си-(0 (')

ловые параметры От или Тт для каждого структурного уровня определяются методами металлофизических исследований.

На макроуровне г = 1 получается простое соотношение, связывающее критический обобщенный КИН К\с с критическим КИН острой трещины

Klc = 2KlX1r\/2'Xl. (12)

В пределе при а -»■ ж имеем К^ К^..

В § 16 представлены результаты экспериментов по определению критического обобщенного коэффициента интенсивности напряжений при трехточеч-

ном изгибе призматического образца из пенобетона с угловым вырезом, которые обнаруживают возрастание разрушающей нагрузки с увеличением угла выреза. Другими словами, разрушающая нагрузка увеличивается с уменьшением массы конструкции, в противоположность тому, что наблюдается в пластичности. Для объяснения такого поведения используется дискретно-интегральный критерий хрупкого разрушения типа Нейбера-Новожилова.

С целью проверки предложенной теории была проведена серия экспериментов по определению разрушающей нагрузки при трехточечном изгибе призматического образца, ослабленного угловым вырезом. Испытывались образцы квадратного поперечного сечения 40 х 40 мм, длиной Ь = 160 мм, из пористого строительного материала «сибит». Средний диаметр пор, замеренный на инструментальном микроскопе в квадрате 10 х 10 мм, составил г\ = 0,48 мм. Геометрия образца и действующие нагрузки показаны на рис. 9. Были изготовлены образцы с глубиной выреза I — 10 мм и 16 мм и углом раствора выреза 0 = 60°, 90° и 120°.

Л Табл. 1

£ 1 Р ^числ Ркр щг кг

10 60° 0,683 10,26 7,006 6,092

4 к 90° 0,738 11,38 8,398 7,141

120° 0,849 11,60 8,848 10,029

' А Г " 16 60° 1,004 6,27 6,295 6,092

90" 1,076 7,04 7,575 7,141

т та 120° 1,236 7,25 8,961 10,029

Рис. 9. Схема эксперимента

На первом этапе эксперимента определялась разрушающая нагрузка для образца с трещиной (это предельный случай для образца с угловым вырезом при /? 0°). Для балки с трещиной имеется аналитическое решение, с помощью которого вычислялся критический КИН острой трещины Среднее значение по всем образцам составило

На втором этапе эксперимента определялась разрушающая нагрузка для образцов с угловым вырезом. Поскольку при такой геометрии аналитические решения отсутствуют, для нахождения поля напряжений применялся метод конечных элементов. Так как численно определялся при единичной нагрузке, то умножая полученные значения на экспериментально найденные значения критической нагрузки получаем критический обобщенный КИН углового выреза С другой стороны, подставляя в формулу (12)

К¡с = 5,73, получаем К— критический обобщенный КИН, найденный с применением дискретно-интегрального критерия (10).

Результаты экспериментов и численных расчетов представлены в табл. 1, где Щасл — обобщенный КИН при единичной н а г р у/(Л1,«Г1,) — коэффициент при К^. в формуле (12).

Данные экспериментов и численных расчетов, представленные в табл. 1, обнаруживают удовлетворительное совпадение, хотя при обработке экспериментальных результатов использовались существенные ограничения, связанные с предположением о регулярности расположения пор одинакового диаметра. Таким образом, соотношение (12), связывающее критический обобщенный КИН углового выреза с критическим КИН острой трещины для материалов с иерархией структур, позволяет, проведя только один эксперимент по определению критического КИН для образца с трещиной, получить критический КИН углового выреза для любого угла раствора.

В заключении сформулированы основные результаты работы:

1. Разработан алгоритм решения плоской двумерной динамической задачи теории упругости, основанный на локальной аппроксимации неизвестных функций несколькими линейными полиномами. Исследована диссипа-тивность, а следовательно, и устойчивость в энергетической норме построенной схемы. Показано, что при лучших диссипативных характеристиках и без увеличения вычислительных затрат, шаг интегрирования по времени в предложенном алгоритме может быть увеличен в раз по сравнению со схемой распада разрыва.

2. Разработан алгоритм решения задач динамики упругого деформирования с учетом разрывов и расслоений по границам элементов, на которые разбивается расчетная область. Получено решение задачи о хрупком разрушении однородного и слоистого колец под действием прямоугольного импульса бокового давления, когда разрушение происходит по границам элементов.

3. Разработан алгоритм решения статических задач теории упругости, основанный на аппроксимации неизвестных функций несколькими полиномами, что позволяет строить четырехугольный конечный элемент, для которого условия сопряжения формулируются в виде условий непрерывности усилий и смещений на его гранях. В задачах с сингулярными особенностями в напряженных состояниях применение таких элементов оказывается намного эффективнее, чем использование традиционных конечных элементов.

сдвига и изгиба. Проведено численное моделирование волн смещений и локализации деформаций при растяжении полосы из жестких недеформируемых блоков с упругопластическими прослойками.

5. Предложены модифицированные необходимый и достаточный дискретно-интегральные критерии прочности типа Нейбера-Новожилова для сложного напряженно-деформированного состояния, когда поля напряжений имеют сингулярную составляющую, а векторы полей напряжений и деформаций коллинеарны. Достаточный критерий допускает предельный переход к необходимому критерию, когда в пределе можно пренебречь энергетическими характеристиками закритического деформирования атомных ячеек.

6. Получено модельное описание узких ядер дислокаций. Выявлена дискретная структура ядра дислокации в моделях Френкеля-Конторовой и Пай-ерлса. Введено новое понятие о ядре дислокации, которое хорошо согласуется с представлениями механики деформируемого твердого тела.

7. Предложен дискретно-интегральный критерий хрупкой прочности для угловых вырезов. При растяжении и сдвиге получены простые соотношения, связывающие коэффициенты интенсивности напряжений при модифицированных показателях сингулярности, сами показатели сингулярности и теоретические прочности на растяжение и сдвиг монокристалла материала с учетом поврежденности материала в окрестности вершины.

8. Представлены результаты обработки экспериментов по определению критического обобщенного коэффициента интенсивности напряжений при трехточечном изгибе призматического образца с угловым вырезом, которые обнаруживают возрастание разрушающей нагрузки с увеличением угла выреза. Теоретические предсказания и экспериментальные результаты согласуются удовлетворительно.

9. Создан комплекс программ расчета напряженно-деформированного состояния многослойных тел вращения при интенсивных теплосиловых нагрузках. Разработаны программы расчета предельной нагрузки при деформировании структурно-неоднородной среды из жестких блоков с упругопласти-ческими прослойками. Создан комплекс программ для решения нелинейных задач по деформированию и потере устойчивости атомных решеток.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Васильковский С. Н., Кургузов В. Д. Определение коэффициента интенсивности напряжений в упругих задачах с трещиной // ПМТФ. 1980. № 3. С. 23-31.

2. Иванов Г. В., Кургузов В. Д. Схемы решения одномерных задач динамики неоднородных упругих тел на основе аппроксимации линейными полиномами // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / Ин-т гидродинамики. АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1981. Вып. 49. С. 27-44.

3. Кургузов В. Д. Численный алгоритм решения одномерных задач с от-кольными разрушениями // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / Ин-т гидродинамики. АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1982. Вып. 54. С. 153158.

4. Волчков Ю. М., Иванов Г. В., Кургузов В. Д. Численное решение задач динамического упругопластического деформирования тел вращения на основе локальной аппроксимации линейными полиномами // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы VII Всесоюзной конференции. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1982. С. 233-247.

5. Волчков Ю. М., Иванов Г. В., Кургузов В. Д. Алгоритм расщепления плоской задачи динамики упругого деформирования с учетом хрупкого разрушения // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / Ин-т гидродинамики. АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1983. Вып. 61. С. 36-48.

6. Волчков Ю. М., Иванов Г. В., Кургузов В. Д. Аппроксимация уравнений упругопластического деформирования в задачах динамики // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / Ин-т гидродинамики. АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1984. Вып. 66. С. 60-68.

7. Алексеев А. Е., Волчков Ю. М., Иванов Г. В., Кургузов В. Д. Алгоритм расщепления двумерных задач динамики деформирования тел вращения в случае разбиения меридионального сечения на произвольные четырехугольники // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы VIII Всесоюзной конференции. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1984. С. 7-14.

8. Волчков Ю. М., Иванов Г. В., Кургузов В. Д. Алгоритм решения динамической упругопластической задачи для тел вращения при неосесиммет-ричном нагружении // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы IX Всесоюзной конференции. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1986. С. 97-102.

9. Волчков Ю. М., Иванов Г. В., Кургузов В. Д. Схема численного решения динамических задач с условиями трения Кулона на поверхностях контакта // Теория распространения волн в упругих и упругопластических средах: Сб. науч. тр. / Ин-т горного дела. АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1987. С. 80-84.

10. Волчков Ю. М., Иванов Г. В., Кургузов В. Д. Об аппроксимации уравнений упругопластического деформирования в задачах динамики // Дина-

мика сплошной среды: Сб. науч. тр. / Ин-т гидродинамики. АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1989. Вып. 92. С. 45-53.

11. Иванов Г. В., Кургузов В. Д. Безмоментная модель упругопластиче-ского деформирования и предельного состояния тонких прослоек // ПМТФ.

1994.ДО 6. С. 122-129.

12. Иванов Г. В., Кургузов В. Д. Волны смещений и локализация деформаций при растяжении полосы с упругопластическими прослойками // ПМТФ.

1995. ДО 2. С. 136-143.

13. Иванов Г. В., Кургузов В. Д. Решение плоских задач упругости на основе конечных элементов с независимой аппроксимацией смещений // Вычислительные технологии. 1997. Т. 2. ДО 4. С. 60-76.

14. Анисимов С. А., Кургузов В. Д. Моделирование неотражающих условий при численном решении задач теории упругости // Вычислительные технологии. 1999. Т. 4. ДО 1. С. 3-13.

15. Иванов Г. В., Кургузов В. Д. Итерационное решение плоских задач упругости методом самоуравновешенных невязок // Вычислительные технологии. 1999. Т. 4. ДО 1. С. 66-79.

16. Кургузов В. Д., Корнев В. М. Дискретно-интегральный критерий прочности для сложного напряженного состояния // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / Ин-т гидродинамики. РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1999. Вып. 114. С. 173-174.

17. Kornev V. М., Kurguzov V. D. A discrete-integral strength criterion for complicated stress states // Fatigue к Fracture of Engineering Materials к Structures. 1999. V. 22. No. 11. P. 989-995.

18. Корнев В. М., Кургузов В. Д. Моделирование краевой дислокации и оценка ядра дислокации для плотноупакованного слоя атомов // ПМТФ. 2000. Т. 41.ДО 5. С. 211-216.

19. Корнев В. М., Кургузов В. Д. Дискретно-интегральный критерий прочности для сложного напряженного состояния // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2000. ДО 6. С. 99-106.

20. Корнев В. М., Кургузов В. Д. Достаточный дискретно-интегральный критерий прочности при отрыве // ПМТФ. 2001. Т. 42. ДО 2. С. 161-170.

21. Корнев В. М., Кургузов В. Д. Дискретно-интегральный критерий прочности для сложного напряженного состояния при наличии примесных атомов // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / Ин-т гидродинамики. РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2001. Вып. 119. С. 62-67.

22. Иванов Г. В., Волчков Ю. М., Вогульский И. О., Анисимов С. А., Кургузов В. Д. Численное решение динамических задач упругопластического деформирования твердых тел. Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2002. 352 с.

»219Ю

23. Немировский Ю. В., Кургузов В. Д. Прочность и жесткость сте _ железобетонных панелей со сложными структурами армирования // стия ВУЗов. Строительство. 2003. № 2. С. 4-11.

24. Немировский Ю. В., Кургузов В. Д. Влияние структуры армирс стеновых железобетонных панелей на концентрацию напряжений // Изз ВУЗов. Строительство. 2003. № 9. С. 24-32.

25. Кургузов В. Д. Напряженно-деформированное состояние массива горных пород, ослабленного квадратной выработкой // Вычислительные технологии. 2003. Т. 8. № 5. С. 84-93.

26. Вогульский И. О., Волчков Ю. М., Кургузов В. Д. Численное решение задач динамики упругопластического деформирования твердых тел // Всероссийская школа-семинар по современным проблемам механики деформируемого твердого тела. Сб. трудов. Новосибирск: изд-во НГТУ, 2003. С. 28-32.

27. Демешкин А. Г., Корнев В. М., Кургузов В. Д. Определение критического обобщенного коэффициента интенсивности напряжений при трехточечном изгибе образца с угловым вырезом // Всероссийская школа-семинар по современным проблемам механики деформируемого твердого тела. Сб. трудов. Новосибирск: изд-во НГТУ, 2003. С. 81-86.

28. Немировский Ю. В., Кургузов В. Д. Влияние структуры армирования стеновых железобетонных панелей с эллиптическим отверстием на концентрацию напряжений // Механика композиционных материалов и конструкций. 2004. Т. 10. № 2. С. 245-258.

29. Kornev V. М., Kurguzov V. D. Interrelation between toughness and both strength and structural parameters of material // International Journal of Fracture. 2004. Vol. 128. No. 1. P. 195-203.

30. Албаут Г. Н., Курбанов А. В., Кургузов В. Д. и др. Экспериментально-расчетный анализ величин первого коэффициента интенсивности напряжений в балках с угловым вырезом // Известия ВУЗов. Строительство. 2004. № 9. С. 92-98.

31. Кургузов В. Д. Безмоментная модель упруго пластического деформирования и ползучести тонких прослоек // Вычислительные методы и программирование. 2004. Т. 5. С. 184-196.

200М; 19247 i

Подписано в печать 9.11.2004 Формат 60x84/16. Объем 2 п. л. Тираж 120 экз. Отпечатано на ризографе ИВМ СО РАН 660036, Красноярск, Академгородок

Оглавление автор диссертации — доктора физико-математических наук Кургузов, Владимир Дмитриевич

Введение

Глава 1. Численное решение динамических и статических задач механики разрушения.

§ 1. Схемы решения двумерных динамических задач теории упругости на основе нескольких аппроксимаций

§ 2. Моделирование неотражающих условий при численном решении задач теории упругости

§ 3. Решение плоских задач упругости на основе конечных элементов с независимой аппроксимацией смещений.

§ 4. Итерационное решение плоских задач упругости методом самоуравновешенных невязок

Глава 2. Численное моделирование процессов разрушения структурно-неоднородных сред

§ 5. Безмоментная модель упругопластического деформирования и предельного состояния тонких прослоек

§ 6. Волны смещений и локализация деформаций при растяжении полосы с упругопластическими прослойками

§ 7. Безмоментная модель упругопластического деформирования и ползучести тонких прослоек

Глава 3. Дискретно-интегральные критерии прочности

§ 8. Численное моделирование нелинейного деформирования и потери устойчивости атомных решеток

§ 9. Необходимый дискретно-интегральный критерий прочности для сложного напряженного состояния

§ 10. Достаточный дискретно-интегральный критерий прочности при отрыве

§ 11. Многопараметрический достаточный критерий квазихрупкой прочности для сложного напряженного состояния

§ 12. Моделирование краевой дислокации и оценка ядра дислокации для плотноупакованного слоя атомов

Глава 4. Разрушение тел с трещинами и угловыми вырезами для материалов с иерархией регулярных структур.

§ 13. Определение коэффициента интенсивности напряжений в упругих задачах с трещиной

§ 14. Напряженно-деформированное состояние массива горных пород, ослабленного квадратной выработкой

§ 15. Модификация критерия разрушения Нейбера-Новожилова для угловых вырезов

§ 16. Определение критического обобщенного коэффициента интенсивности напряжений при трехточечном изгибе призматического образца с угловым вырезом

Введение 2004 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Кургузов, Владимир Дмитриевич

В современной технике возрастает значение проблем прочности. Это объясняется увеличением сложности технических изделий, необходимостью повышения качества, эффективности, надежности и долговечности. Проектирование и эксплуатация новой техники невозможно без всестороннего анализа прочности и надежности ее элементов. Для обеспечения заданного ресурса безопасной работы конструкции необходимо знать причины возникновения разрушения материала и конструкции в целом, а также характер развития процесса в зависимости от заданных условий внешнего воздействия, рабочей среды и структуры материала. Поэтому проблема разрушения является основной проблемой учения о сопротивлении материалов внешним воздействиям.

Направление науки о прочности, которое связано с исследованием несущей способности конструкции с учетом начального распределения повреждений и с изучением закономерностей зарождения и развития трещин, получило название механики разрушения. Создание механики разрушения явилось одним из величайших достижений ученых-механиков и материаловедов за последние 60 лет. Достигнутое понимание основных механизмов разрушения, а также внедрение контроля поврежденности в методологию технического проектирования оказало большое влияние на экономический аспект проблемы разрушения конструкций.

Появление трещин в конструкциях и их разрушение, которое происходило при средних расчетных напряжениях ниже предела текучести, показали необходимость дополнить классические методы расчета на прочность дополнительными условиями, которые учитывают развитие трещин, и новыми характеристиками материала, описывающими стадию разрушения.

Впервые задача о критическом состоянии тела с трещиной была решена Гриффитсом [229] с позиций общего энергетического баланса исследуемого объекта. Затем Вестергаард [260] и Снеддон [252] аналитически описали распределение напряжений у вершины трещины в упругом теле. Основываясь на этих результатах, Ирвин [236] предложил в качестве критических величин использовать коэффициенты интенсивности напряжений. Силовой критерий локального разрушения Ирвина состоит в сравнении рассчитанных значений коэффициентов интенсивности напряжений с их критическими значениями. Также Ирвин показал эквивалентность силового критерия разрушения и энергетического подхода Гриффитса в условиях упругой работы материала.

Крупным достижением механики разрушения явилась концепция квазихрупкого разрушения, впервые сформулированная Ирвином [235] и Оро-ваном [244]. Начиная с работ Гриффитса, Орована, Ирвина развитие теории прочности твердых тел пошло по пути изучения процесса разрушения — распространения трещин в твердых телах. При исследовании этого процесса классические подходы в рамках моделей механики сплошной среды оказались непригодными. Гриффите, Орован, Ирвин первыми сформулировали новые критерии прочности, вводя при этом такие характеристики материалов, которые являются определенными инвариантами в моделях механики сплошной среды. Эта теория получила название линейной механики разрушения. Линейная механика разрушения изучает состояние тел с трещинами в предположении, что материал сохраняет свойство линейной упругости вплоть до разрушения во всем объеме тела, за исключением, быть может, небольшой окрестности вершины трещины.

Линейная механика разрушения, созданная Ирвином и Орованом как обобщение теории Гриффитса на случай разрушения металлов, дала импульс для проведения огромного числа работ как теоретических, так и прикладного характера. Она была применена не только для исследования уже разрушившихся конструкций с целью выявить закономерности разрушения, но и интенсивно использовалась для определения скорости роста и усталостных трещин и устойчивого роста трещин коррозионного происхождения. Подробный анализ различных аспектов проблемы разрушения и широкий обзор литературы содержится в работах [156, 203, 209, 171, 181, 51, 196, 25].

Из приведенного обзора литературы и анализа состояния вопроса о концентрации напряжений в окрестности вершины трещины можно заключить, что к настоящему времени хорошо изученными в теоретической постановке и в смысле получения решений, удобных для практических инженерных расчетов, оказались лишь вопросы о концентрации напряжений в условиях упругости применительно к областям относительно простой формы. Для многосвязных областей, ограниченных линиями сложного очертания, особенно при наличии угловых точек и усложненных граничных условий, использование аналитических методов становится проблематичным. Даже численные методы при традиционных способах их применения оказываются малоэффективными [122].

Еще более трудную проблему представляет исследование поля напряжений в области пластических, упругопластических деформаций и в условиях ползучести. Точные теоретические решения получены для ограниченного числа случаев. Немногочисленны также и приближенные решения. Большинство этих решений выявляет лишь величину напряжений на контуре концентратора или по опасному сечению, оставляя открытым вопрос о напряженном состоянии по всей окрестности источника концентрации, что весьма существенно для оценки несущей способности элементов конструкций.

Для ряда случаев распределение напряжений в зоне концентрации применительно к реальным элементам конструкции в условиях упругих и упругопластических деформаций исследовано экспериментальным путем. Однако в связи со сложностью экспериментов, многообразием форм образцов и условий их нагружен ия не удается охватить необходимую для исследований область и сделать достаточно широкие обобщения. Поэтому в последние годы в практике научных исследований и инженерных расчетов в области прочности все чаще прибегают к использованию приближенных численных методов решения задач теории упругости и пластичности.

Численные методы, целесообразность использования которых была замечена уже давно, приобретают особенное значение в настоящее время. С одной стороны, это связано с повышением требований к надежности современных инженерных конструкций, расчет которых должен базироваться на новейших представлениях о поведении материала в различных условиях нагружения. При этом должна быть обеспечена высокая точность расчета. С другой стороны, появление мощных компьютеров привело к переоценке эффективности приближенных методов, связанных со значительными объемами вычислительных операций, что в прошлом ограничивало их применение.

Существенно, что при инженерных расчетах на прочность, как правило, не требуется абсолютная точность. Более того, она обычно лишена смысла, поскольку используемые в расчетах исходные данные о свойствах материала, спектре действующих нагрузок, режимах температуры и т. п. не являются точными величинами. Ясно, что в расчетах должны выдерживаться приближения, учитывающие степень точности исходных данных, и требования, предъявляемые к конечной точности прочностных расчетов соответствующих конструкций. Все это говорит в пользу численных методов расчета.

Цель диссертации — численное моделирование явления разрушения материалов и конструкций. В диссертации сочетаются как континуальный (механика деформируемого твердого тела), так и дискретный (физика твердого тела) подходы к проблеме разрушения. Численный расчет основывается на аналитических решениях и дополняется экспериментальными исследованиями.

В первой главе рассматриваются численные методы механики твердого деформируемого тела, которые в последующих главах применяются для решения задач механики разрушения.

Подробный обзор и анализ различных подходов к решению задач динамической теории упругости и пластичности можно найти, например, в работах [13, 112,114,113, 147]. Существующие методы решения задач динамики деформируемых твердых тел достаточно условно можно представить в виде трех направлений [114]:

• метод конечных элементов;

• характеристические и сеточно-характеристические методы;

• сеточные или конечно-разностные методы.

Следует сказать, что все три подхода не противопоставляются и их взаимное проникновение все более заметно в последнее время.

Под методом конечных элементов понимают подход, основанный на дискретизации расчетной области и формировании конечных соотношений между искомыми величинами (действующими в узлах силами и их перемещениями) на основе законов механики в вариационной форме, минуя стадию формулировки краевых задач для систем дифференциальных уравнений. Такой подход дает определенные преимущества при описании процесса деформирования тел со сложной геометрией. Метод надежно зарекомендовал себя для решения статических задач и интенсивно используется при исследовании нестационарных процессов в деформируемых твердых телах. Среди отечественных работ этого направления отметим работы [6, 14, 21, 22, 24, 87, 106, 125, 184, 185, 207].

Как сочетание и обобщение методов конечных элементов и вариационно-разностных можно упомянуть дискретно-вариационный метод [109, 110], разработанный для исследования нестационарных процессов в слоистых и композиционных средах. Конечно-элементный подход активно развивается за рубежом. В качестве примера здесь можно указать работы [19, 57, 217, 218, 216, 219, 266].

Детальному изложению, подробному обзору и анализу характеристических и сеточно-характеристических методов посвящена монография [124]. Эти подходы основаны на записи системы дифференциальных уравнений в характеристической форме с последующей их конечно-разностной аппроксимацией. Различают прямой и обратный характеристический метод [123].

Прямой метод состоит в следующем. В начальный момент времени в среде выбирается некоторая сетка, в узлах сетки выстраиваются характеристические поверхности и с помощью соотношений на них определяется решение на некотором удалении от начального момента времени. В случае, когда характеристические поверхности существенно зависят от решения, реализация метода достаточно сложна (определенные трудности вызывает и неединственность характеристической формы системы в многомерном случае) — решение получается в точках, нерегулярно распределенных по пространству и на разном расстоянии от начального момента времени. Однако для решения задач динамики упругих материалов с малыми деформациями, когда скорости распространения возмущений в среде постоянны, метод представляет собой процедуру пересчета решения на один и тот же слой по времени и при этом сохраняет начальную регулярность выбранной сетки. При решении многомерных задач характеристический метод позволяет максимально сблизить области зависимости разностной задачи и исходной системы дифференциальных уравнений. В то же время даже для одномерных линейных задач в случае, когда из узла сетки выходят несколько поверхностей с постоянными, но различными скоростями, требуется интерполяция построенного решения, что расширяет область зависимости разностной задачи и в итоге снижает точность решения.

В обратном характеристическом методе решение для всей области вычисляется в точках, отвечающих одному и тому же шагу по времени. При этом используется конечно-разностная аппроксимация соотношений на характеристических плоскостях, касательных к характеристическим конусам, выходящим из этой точки на предыдущий (нижний) слой по времени. Метод требует интерполирования на предыдущем слое, при этом расширяется область зависимости разностной задачи. В некоторых работах [124, 123] метод называется сеточно-характеристическим.

Описанный подход допускает большое многообразие модификаций, основанных и на различной интерполяции, и на различном выборе шаблона. В результате могут получаться как схемы первого порядка аппроксимации, так и методы второго порядка [77, 111, 173, 182, 186, 207]. Иногда рассматриваются полухарактеристические схемы, которые получаются в результате записи в характеристической форме системы уравнений меньшей размерности, после предварительной конечно-разностной аппроксимации по одной из пространственных переменных.

Среди работ, посвященных применению сеточно-характеристических методов для решения динамических задач деформирования упругих и упру-гопластических тел, можно указать следующие [78, 80, 79, 172].

Сеточные методы решения нестационарных задач механики деформируемого твердого тела основаны на аппроксимации гиперболической системы дифференциальных уравнений, описывающей движение среды, краевых и начальных условий для нее. В настоящее время это наиболее разработанный и часто используемый способ численного интегрирования задачи. Как правило, алгоритм представляет собой пересчет известного решения с нижнего слоя по времени (начиная с известных начальных условий) на следующий — верхний слой. Однако известны и многослойные методы, когда в вычислении решения на некотором шаге участвуют несколько предыдущих слоев.

В зависимости от того, дает ли процедура такого вычисления непосредственно значения искомых величин на верхнем слое или же для их определения необходимо решать систему перевязанных между собой уравнений, различают явные и неявные схемы. Одним из основных вопросов при выборе разностной схемы решения задачи является вопрос о целесообразности использования явных и неявных схем с точки зрения их точности и экономичности.

В пользу применения неявных схем при решении динамических задач говорит тот факт, что в большинстве своем неявные схемы абсолютно устойчивы, что, в принципе, позволяет вести интегрирование с большим шагом по времени. Кроме того, им может быть отдано предпочтение при решении задач с сильной неоднородностью рассчитываемого процесса, так как использование в этом случае явных схем связано с большим различием величины шага интегрирования в разных точках области, что приводит к необходимости использования малого шага по времени. Несомненно, неявные схемы более экономичны и при вычислении гладких решений.

Однако, как отмечается в [114], при расчете волновых процессов с большими градиентами, на шаг по времени все равно возникают ограничения, вызванные соображениями не устойчивости, а точности, которые не позволяют выбирать его достаточно крупным. В то же время, использование неявных схем с шагами интегрирования, сравнимыми с допускаемыми явными схемами, менее экономично ввиду дополнительных сложностей реализации неявных схем.

Среди используемых неявных разностных схем наибольшее применение получили схемы расщепления [10, 55, 129, 175, 189, 190] и схемы, основанные на методе дробных шагов [45, 46, 48, 81, 82, 83, 84, 85, 130, 213]. Примеры решенных с использованием этих схем задач содержатся в работах [29, 27, 28]. Достаточно эффективными оказываются подходы, допускающие использование комбинированных схем, в частности схем явных в одном направлении и неявных в другом.

Для численного решения двумерных задач динамической теории упругости Г. В. Иванов предложил использовать несколько локальных аппроксимаций неизвестных функций полиномами Лежандра [59, 63]. В отличие от классических конечно-элементных подходов процедура нескольких аппроксимаций для каждой из искомых функций дает возможность сформировать достаточную для обеспечения монотонности численного решения искусственную диссипацию с одновременным расщеплением многомерной задачи на ряд независимых одномерных задач по пространственным направлениям. Содержащиеся в одномерных задачах параметры — константы диссипации — позволяют регулировать в получаемых схемах величину искусственной вязкости. При этом процедура решения каждой из этих одномерных задач является независимой и может быть как явной, так и неявной.

При частном выборе констант диссипации, для случая регулярных сеток, получающаяся явная схема полностью совпадает со схемой С. К. Годунова [42]. В то же время, одно из преимуществ подхода состоит в возможности построения схем, обладающих лучшими диссипативными свойствами по сравнению с методом распада разрыва. Существенно, что при этом не происходит увеличение числа арифметических операций, т. е. помимо улучшения диссипативных характеристик возрастает экономичность схемы.

В первых двух параграфах первой главы диссертации подход Г. В. Иванова, основанный на нескольких локальных аппроксимациях каждой из неизвестных функций, применяется к построению эффективных численных алгоритмов интегрирования двумерных задач динамической теории упругости и моделированию на их основе процессов разрушения твердых тел.

В § 1 на основе нескольких локальных аппроксимаций неизвестных функций линейными полиномами строится схема решения плоской двумерной динамической задачи теории упругости. Алгоритм основывается на расщеплении полной задачи на четыре независимые одномерные, причем каждая из этих одномерных задач содержит максимальный набор констант диссипации. При этом алгоритм приобретает достаточно большой произвол, распорядиться которым можно так, что без дополнительных вычислительных затрат удается добиться более высокой точности при сохранении таких положительных качеств, как монотонность, диссипативность и т. д. Исследована диссипативность, а следовательно, и устойчивость в энергетической норме построенной схемы. Показано, что при лучших диссипа-тивных характеристиках и без увеличения вычислительных затрат, шаг интегрирования по времени в предложенном алгоритме может быть увеличен в л/2 раз по сравнению со схемой распада разрыва. Излагается процедура моделирования процессов хрупкого разрушения. При моделировании процесса хрупкого разрушения в рамках построенных алгоритмов предполагается, что разрушение происходит по границам элементов при достижении нормальными или касательными напряжениями предельных значений. Приводится решение задачи о хрупком разрушении однородного и слоистого колец.

В § 2 рассматриваются два универсальных способа построения неотражающих условий на искусственных границах при численном решении двумерных задач динамики по явным схемам: 1) моделирование, основанное на аналогии с точными условиями для одномерных задач; 2) использование пространственных и пространственно-временных экстраполяций. При решении задач для бесконечных, полубесконечных или протяженных областей возникает необходимость ограничить вычисления в конечной области, поэтому возникает вопрос формулировки граничных условий на границе этой области — так называемых неотражающих условий, обеспечивающих отсутствие всякого влияния на решение извне.

В § 4 рассматривается итерационное решение статических задач механики деформируемого твердого тела методом самоуравновешенных невязок. Каждая итерация начинается с некоторого приближения, которое не удовлетворяет решаемой системе уравнений. Возникающие в уравнениях невязки в статических задачах можно интерпретировать как сосредоточенные силы и моменты, приложенные в узлах конечноэлементной сетки. Целью итерационного процесса является устранение этих сосредоточенных сил и моментов или сведение их в соответствии с некоторым критерием к минимальным значениям. В статических задачах механики деформируемого твердого тела каждая итерация релаксационного метода приводит, как правило, к уменьшению значения положительно определенного квадратичного функционала, что обеспечивает сходимость итераций.

Вторая глава диссертации посвящена численному моделированию процессов разрушения структурно-неоднородных сред.

Основная проблема механики деформируемого твердого тела состоит в установлении связи между внешним воздействием, изменением исходной структуры среды и возникающими вследствие этого механическими полями.

В процессе исследования этой общей проблемы предложены различные модели, описывающие отдельные аспекты поведения деформируемого твердого тела. Каждая конкретная модель характеризуется определенным способом задания состояния системы (упругость, пластичность, вязкоупру-гость и т. д.). Естественно, что выбор модели, отвечающей данному физическому явлению, может быть оправдан только сравнением с экспериментом.

Наиболее интересными с точки зрения механики твердого тела являются модели реальных сред с дефектами. В одной из конкретных моделей (континуальная механика дефектов) сделана попытка описания таких сред. Исходным состоянием данной модели предполагается идеальное упругое тело, задаваемое вектором поля смещений, называемая линейным кристаллом [194, 208, 69].

Присутствие дефектов (дислокаций) приводит к нарушению линейности и, как следствие, к разрушению исходного состояния. Теперь состояние системы характеризуется тензором дисторсии (шесть компонент упругой деформации е и три компоненты вектора поворота ш). Следовательно, появление дислокаций неизбежно приводит к реализации вращательных степеней свободы. Разрывность вектора поворота вызывает появление коллективных или ротационных мод деформации. В континуальной механике дефектов рассматриваются три приведенных выше состояния, из которых каждое последующее является обобщением предыдущего [205, 52].

В работах школы академика В. Е. Панина развивается синергетиче-ский подход, рассматривающий деформируемое твердое тело как открытую сильнонеравновесную систему, а пластическое течение — как диссипативный процесс, снижающий уровень напряжений кристалла [170, 161, 169, 163, 164, 157, 158, 165, 162]. В соответствии с этим подходом пластическая деформация твердых тел может протекать только в условиях неоднородного напряженного состояния. Пластический сдвиг зарождается в зонах концентраторов напряжений как локальная потеря устойчивости атомной решетки и проявляется как локальное структурное превращение. Это структурное превращение может распространяться только в поле концентратора напряжений как сугубо релаксационный процесс. Основные концентраторы напряжений возникают на границах раздела и в различного рода зонах стесненной деформации. Их стохастическое распределение в твердом теле определяет так называемую распределенную систему. Взаимодействие релаксационных потоков в распределенной системе обусловливает волновой характер пластического течения твердого тела. При этом особенно существенно, что процесс пластического течения протекает одновременно или последовательно на различных структурных уровнях, масштаб которых определяется геометрией образца и размерами структурных неоднородно-стей, характерных для каждой стадии деформирования, а известные изменения дефектной структуры, сопровождающие пластическую деформацию, — не только следствие протекания процесса, но и причина перехода от одного уровня к другому.

Эти представления получили убедительное теоретическое и экспериментальное подтверждение [167, 168, 159], и в настоящее время волновой характер пластического течения твердых тел не вызывает сомнений.

В условиях кристаллографической направленности сдвига сохранение сплошности материала требует одновременного участия в скольжении не менее пяти систем плоскостей [174]. Однако результаты многочисленных экспериментальных исследований приводят к заключению, что в реальных условиях такая схема не реализуется: число действующих систем, как правило, меньше пяти, а во многих случаях скольжение происходит преимущественно по одной — трем системам скольжения, сопровождаясь эффектами поворота элементов структуры материала [183, 163, 166, 159]. Поворотные моды деформации в настоящее время являются объектами тщательного исследования.

Обнаружено, что повороты структурных элементов деформации наблюдаются с самого начала пластического течения [170]. Теоретическое и экспериментальное изучение этих эффектов привело к формулировке концепции структурных уровней деформации твердых тел [163]. Согласно этой концепции, при заданных граничных условиях любые пластические сдвиги в пределах определенного структурного элемента деформации вследствие их неизотропности обусловливают появление материального поворота, который вызывает действие на структурный элемент деформации со стороны окружения поля поворотных моментов. Как следствие, возникают поворотные моды деформации, вовлекающие в движение всю иерархию структурных уровней деформации материала. Это кардинально меняет механику пластического формоизменения и разрушения твердого тела. Учет данного обстоятельства позволил успешно описать кривые пластического течения в различных условиях нагружения.

Физика волнового характера пластического течения связана с особенностями вовлечения в деформацию множественного скольжения. Ведущим механизмом деформации является первичное скольжение под действием максимальных касательных напряжений, которое всегда порождает первичный материальный поворот. Все остальные механизмы деформации являются аккомодационными поворотными модами, обеспечивающими релаксацию поля поворотных моментов, действующих на структурный элемент деформации со стороны окружающего материала. Аккомодационные механизмы деформации осуществляются вторичными потоками дефектов и могут обусловливать как материальный поворот структурного элемента деформации (множественное скольжение), так и кристаллографический (зернограничное скольжение, миграция границ зерен, фрагментация и др.). Учитывая, что множественное скольжение зарождается только на границах раздела, включая боковую поверхность образца, корректное описание пластической деформации твердого тела может быть проведено только с учетом границ раздела и зависящих от времени релаксационных потоков деформационных дефектов.

Численное моделирование процессов разрушения структурно-неоднородных сред во второй главе диссертации основывается на представлении сплошной среды в виде жестких блоков, соединенных упругопластически-ми прослойками. Блоки могут смещаться и поворачиваться как твердое целое, прослойки же могут деформироваться упругопластически.

В § 5 формулируется модель плоской деформации прослоек, имеющая целью моделирование всего процесса упругопластического деформирования прослоек от момента возникновения пластических деформаций до достижения предельного состояния при комбинированном действии нагрузок растяжения (сжатия), сдвига и изгиба прослоек в общем случае, когда прослойка может быть криволинейной, а толщина ее переменной. Используется представление прослойки в виде слоя четырехугольных элементов. Строятся уравнения, определяющие зависимость усилий на гранях элементов от средних скоростей граней.

В § 6 излагаются результаты численного моделирования волн смещений и локализации деформаций при растяжении полосы из жестких недефор-мируемых блоков с упругопластическими прослойками.

В § 7 рассматривается плоская деформация тонких прослоек между жесткими блоками в случае, когда наряду с упругопластическим деформированием прослойки происходит ее вязкое деформирование (ползучесть). Проводится сопоставление построенной модели с моделью установившейся ползучести прослоек, предложенной JI. М. Качановым, и с моделью упру-гопластического деформирования прослоек без ползучести.

Исследование прочности материалов предполагает определение тех условий, при которых материал утрачивает способность противостоять внешнему нагружению и разрушается (разделяется на отдельные части). В рамках классического подхода к проблеме прочности принято, что разрушение происходит тогда, когда определенная комбинация, включающая в себя напряжения, деформации, температуру и некоторые другие параметры, характеризующие состояние материала и его конкретные свойства, достигает критического значения. Таким образом, в пространстве всех возможных значений указанных параметров существует замкнутая предельная поверхность, которая ограничивает область допустимых (с точки зрения прочности) состояний материала [171, 209].

Обычно окончательному разрушению материала, т. е. разделению его на части, предшествуют глубокие изменения в его структуре на макро-, мезо- и микроуровнях. Накопление этих необратимых изменений на различных стадиях деформирования можно отразить, если в уравнение предельной поверхности дополнительно ввести параметры, характеризующие поврежденность материала. В этом случае при помощи критерия прочности можно описать любое промежуточное состояние материала от начала появления пластических деформаций до полного разрушения и таким образом определить работоспособность конструкции.

Наличие в реальном теле остроконечных концентраторов напряжений, в частности дефектов типа трещин, принципиально усложняет его расчет на прочность. В таких случаях классические подходы механики сплошной среды приводят к некорректным результатам. Суть в том, что условие теоретической прочности недостижимо в практических задачах, а критерий Гриффитса-Ирвина успешно «работает» при расчетах трещин, но приводит к несообразностям в случае угловых вырезов и включений, удлиненных гладких дефектов и т. д. [150].

Необходимость корректировки классических критериев прочности особенно четко видна при одновременном растяжении и сдвиге упругой плоскости, ослабленной лункой, близкой к прямолинейной трещине [137]. В случае трещины характеристические числа для растяжения и сдвига совпадают, в случае лунки они не равны друг другу. В связи с этим, применяя критерий Ирвина, во втором случае получим несообразность.

Определенный прогресс в проблеме выбора критерия разрушения связан с подходом В. В. Новожилова, который в [148] предложил осреднять напряжения в пределах межатомных расстояний и сравнивать их с теоретической прочностью материала на разрыв. Проверено, что оценка Новожилова, взятая в качестве критерия разрушения, снимает ряд противоречий теории Грифитса-Ирвина и совпадает с ней в простейших случаях [136]. Недостаток критерия Новожилова — в неоднозначности интервала осреднения, поэтому наиболее успешно его можно применять в сравнительных оценках для разной геометрии вырезов в изделиях из одного материала.

В связи с широким внедрением расчетов на прочность и трещиностой-кость в современной технике особую актуальность приобрела проблема разработки достаточно простого критерия хрупкого разрушения. Введенный Новожиловым критерий решает поставленную проблему, однако ряд аспектов остаются невыясненными прежде всего из-за «белых пятен» на межатомном (дискретном) уровне, например, в задаче об угловом вырезе на границе двух сред.

Определенные надежды на решение указанных проблем исследователи связывают с дискретным подходом. Достаточно указать на работы М. Я. Леонова [120], В. В. Панасюка [155, 153], Н. Ф. Морозова [131, 132, 134, 135], Г. Зорского [58], JI. И. Слепяна [197], С. А. Назарова [141]. Дискретные модели, особенно в задачах разрушения, позволили обнаружить ряд эффектов, не улавливаемых континуальными моделями, кроме того, дискретные модели представляются привлекательными в силу моделирования реальной атомной структуры.

В третьей главе диссертации на основе объединения континуального и дискретного подходов формулируются необходимый и достаточный критерии хрупкой и квазихрупкой прочности, причем теоретическая прочность монокристалла определяется из решении задачи о деформировании атомных ячеек. Если рассматривать твердые тела со структурой от микроуровня, соответствующего характерному линейному размеру кристаллической решетки, до макроуровня — размер образца, то методы исследования, опирающиеся только на подходы механики сплошной среды обречены на неудачу, поэтому в механике разрушения необходимо применять такие методы исследования, которые не входили бы в противоречие с общепринятыми взглядами физики и химии твердого тела. По мнению автора наиболее плодотворный подход к решению поставленных задач связан с идеями работ В. В. Новожилова [148, 150, 151], вероятно среди гибридных моделей механики разрушения критерии В. В. Новожилова наиболее перспективны.

В § 8 хорошо развитая техника численного решения нелинейных задач механики деформируемого твердого тела методом конечных элементов применяется к решению нелинейных задач по деформированию атомных решеток, характер деформирования которых близок к характеру деформирования стержневой конструкции. Предлагается конечный элемент атомной пары, матрицы и векторы которого близки к соответствующим матрицам и векторам стержневого элемента. При построении системы алгебраических уравнений для атомной решетки ошибки дискретизации не вводятся, в отличие от построения аналогичной системы в задачах механики сплошной среды. Кроме того, для атомных пар используются потенциальные законы взаимодействия атомов. Поэтому использование метода Ньютона приводит к итерационному процессу, сходящемуся (если этот процесс сходится) к точному решению нелинейной задачи по деформированию атомной решетки.

В § 9 рассматривается плотноупакованный слой атомов, имеющий макротрещину и вакансии. Моделируется поведение атомной структуры в окрестности вершины трещины. Изучается потеря устойчивости трехатомной ячейки в плотноупакованном слое атомов при сложном напряженном состоянии. Выявлена существенная зависимость критических нагрузок потери устойчивости трехатомной ячейки от закрепления одного из атомов этой ячейки (схема закрепления определяется наличием или отсутствием вакансий в окрестности вершины трещины). Кривая теоретической прочности для сложного напряженного состояния определена из решения задачи о деформировании и потери устойчивости трехатомной ячейки. Эта кривая для простейшего случая напоминает огибающую кругов Мора для разных напряженных состояний. Обнаружена угловая точка, соответствующая бифуркации решений, из которой возможны два пути закритическо-го деформирования трехатомной ячейки. Проведено сравнение полученных численных значений теоретических прочностей с существующими экспериментальными наблюдениями и с теоретическими оценками. Предложен дискретно-интегральный критерий прочности для сложного напряженно-деформированного состояния. В отличие от классических критериев предложенный критерий допускает предельный переход по параметру длина трещины и описывает как прочность трещиноватых тел, так и прочность тел без трещин. Предложенный критерий описывает хрупкое и квазихрупкое разрушения и частично описывает пластическое разрушение.

В § 10 изучается потеря устойчивости и закритическое деформирование трехатомной ячейки в плотноупакованном слое атомов при растяжении. Вводится в рассмотрение достаточный дискретно-интегральный критерий прочности для трещин нормального отрыва, когда поля напряжений имеют сингулярную составляющую. При формулировке достаточного критерия в соответствии с гибридной моделью В. В. Новожилова используется новый класс решений, который отличается от решений, применяемых при формулировке классического достаточного критерия прочности. Предложенный достаточный критерий допускает предельный переход к необходимому критерию, когда в пределе можно пренебречь энергетическими характеристиками закритического деформирования ячейки. Если потеря устойчивости трехатомной ячейки связывается с теоретической прочностью на разрыв, то полная информация о закритическом деформировании этой ячейки позволяет получить после процедуры аппроксимации критическое раскрытие трещин нормального отрыва.

В § 11 моделируется поведение атомной структуры в окрестности вершины трещины. Изучается потеря устойчивости и закритическое деформирование трехатомных и четырехатомных ячеек при обобщенном растяжении. Предложен трехпараметрический достаточный дискретно-интегральный критерий прочности для для сложного напряженного состояния, когда поля напряжений имеют сингулярную составляющую, а вектора полей напряжений и деформаций коллинеарны. Величины критических нагрузок, полученные в соответствии с достаточным критерием, существенно отличаются от полученных в соответствии с необходимым критерием, что позволяет описать эффект Ребиндера.

В § 12 проводится численное моделирование краевой дислокации Френ-келя-Конторовой и Пайерлса. Получена оценка узких ядер дислокаций для плотноупакованного слоя атомов, выявлена дискретная структура ядра дислокации в моделях Френкеля-Конторовой и Пайерлса. Введено новое понятие о ядре дислокации, которое хорошо согласуется с представлениями механики деформируемого твердого тела: вне ядра дислокации напряжения не превосходят локальную теоретическую прочность атомной решетки на сдвиг. Эта оценка ядра дислокации отличается от общепринятой (в физике твердого тела) оценки по смещениям в ядре дислокации.

Четвертая глава диссертации посвящена описанию процесса разрушения тел с трещинами и угловыми вырезами. Рассматриваются острые трещины и вырезы в твердых телах, материал которых имеет иерархию структур от микроуровня до макроуровня. Цель четвертой главы — получить прочностные характеристик твердых тел с макродефектами в виде острых трещин и угловых вырезов. Для сред с иерархией структур, каждая из которых может содержать некоторые микродефекты, используются ранее полученные и доработанные многомасштабные необходимые и достаточные критерии прочности, которые не противоречат современным представлениям физики твердого тела. Особое внимание уделяется установлению связи между критическим коэффициентом интенсивности напряжений (механика сплошных сред) для деформируемого твердого тела со структурой и теоретической прочностью (физика твердого тела) структурированных сред. Напомним, что понятие коэффициента интенсивности напряжений используется только для трещин (разрезов). При построении необходимых и достаточных критериев разрушения при хрупком и квазихрупком деформировании материалов со структурой используются идеи работ Г. Нейбера [143] и В. В. Новожилова [148].

Во всем мире наблюдается повышенный интерес к многомасштабному конструированию материалов [256, 243, 255] (весь номер цитируемого журнала Science посвящен этому вопросу). На международных конференциях все больше внимания уделяется моделированию процессов разрушения в материалах со структурой, многомасштабным моделям, объединяющим две и более техники моделирования, так как некоторые особенности поведения реальных материалов при разрушении можно описать, только принимая во внимание иерархию структур. Чаще всего применительно к разрушению речь идет о макроразрушении, мезоразрушении и микроразрушении. Макроразрушение, как правило, обсуждают исследователи, когда используются подходы механики сплошной среды. Сложные процессы, возникающие при микроразрушении, обсуждаются, например, при описании эффекта Ребиндера [96]. Большое внимание влиянию разных масштабов, особенно на мезоуровне, уделяют в школе академика В. Е. Панина, что помогает описать некоторые процессы разрушения. Однако отсутствуют работы, в которых используются сразу несколько критериев разрушения от макро- до микроуровня.

В § 13 излагается метод аддитивного выделения особенности, позволяющий определять коэффициент интенсивности напряжений в упругих задачах с трещиной. Рассматривается плоская деформация прямоугольного образца с краевой трещиной. Находится аналитическое решение вспомогательной задачи о растяжении плоскости с прямолинейным разрезом методами теории функций комплексного переменного путем сведения к задаче сопряжения Римана-Гильберта. Напряжения, найденные из решения вспомогательной задачи, добавляются с противоположным знаком к граничным условиям исходной задачи. Методом конечных разностей численно интегрируется система уравнений плоской теории упругости в напряжениях. Организуется итерационный процесс по коэффициенту интенсивности напряжений с использованием интеграла Райса-Черепанова, который берется по контуру, достаточно далеко удаленному от носика трещины. Предложенный метод не требует измельчения сетки в окрестности носика трещины, так как бесконечные значения напряжений и большие градиенты напряжений выделены с помощью вспомогательного точного решения.

В § 14 методом конечных элементов исследуется напряженно-деформированное состояние в окрестности горизонтальной выработки квадратного поперечного сечения в массиве горных пород. Задачи определения напряженно-деформированного состояния в окрестности клиновидного надреза являются типичными в механике горных пород. При определении горного давления около выработок необходимо принимать во внимание поле напряжений нетронутого массива, которое линейно увеличивается с глубиной. Рассматривается задача определения напряженно-деформированного состояния в окрестности выработки, имеющей острые углы. Для расчета напряженно-деформированного состояния используется четырехугольный шестнадцатиузловой конечный элемент с кубической аппроксимацией смещений. Применение таких элементов позволяет повысить точность определения напряжений в окрестности угловых точек, когда поле напряжений имеет интегрируемую особенность. Получено распределение главных напряжений в окрестности угловой точки, где поле напряжений имеет интегрируемую особенность. Обнаружено появление на кровле выработки растягивающих напряжений, которые нередко вызывают нарушение сплошности пород, поскольку последние плохо сопротивляются растяжению.

В § 15 изучается разрушение при растяжении и сдвиге в окрестности вершины углового выреза, для описания которого предлагается использовать критерий разрушения типа Нейбера-Новожилова. Поля напряжений в окрестности углового выреза состоят из регулярной и сингулярной составляющих, причем коэффициент сингулярности зависит от угла раскрытия выреза. В монокристаллах этот угол определяется характеристиками кристаллической решетки. Этот коэффициент сингулярности только в пределе совпадает с коэффициентом сингулярности поля напряжений для трещины, когда угловой вырез в окрестности вершины переходит в двухсторонний разрез (трещину). В предложенном критерии пределы осреднения напряжений на оси выреза зависят от наличия, размера и положения дефектов исходного материала. Величина этих осредненных напряжений не должна превосходить теоретическую прочность исходной структуры. В качестве характерного линейного размера выбран параметр кристаллической решетки исходного материала. Для угловых вырезов при растяжении и сдвиге получены простые соотношения, связывающие коэффициенты интенсивности напряжений при модифицированных показателях сингулярности, сами показатели сингулярности и теоретические прочности на растяжение и сдвиг монокристалла материала с учетом поврежденности материала в окрестности вершины. В полученных соотношениях возможен предельный переход по углу от углового выреза к трещине. Показано, что классический критический коэффициент интенсивности напряжений, используемый при оценке прочности тел с трещинами, не является константой материала.

В § 16 представлены результаты экспериментов по определению критического обобщенного коэффициента интенсивности напряжений при трехточечном изгибе призматического образца с угловым вырезом, которые обнаруживают возрастание разрушающей нагрузки с увеличением угла выреза. Другими словами, разрушающая нагрузка увеличивается с уменьшением массы конструкции, в противоположность тому, что наблюдается в пластичности. Для объяснения такого поведения используется дискретно-интегральный критерий хрупкого разрушения типа Нейбера-Новожилова. Теоретические предсказания и экспериментальные результаты, по-видимому, согласуются удовлетворительно.

Основные результаты диссертации изложены в работах [31, 63, 115, 35, 36, 37, 5, 38, 39, 40, 64, 65, 66, 9, 67, 118, 237, 98, 99, 101, 100, 61, 116, 53, 23, 238, 240, 144, 145, 146, 4, 117].

Заключение диссертация на тему "Численное моделирование процессов разрушения твердых тел со структурой"

ВЫВОДЫ

1. Предложен метод аддитивного выделения особенности, позволяющий определять коэффициент интенсивности напряжений в упругих задачах с трещиной. Предложенный метод не требует измельчения сетки в окрестности носика трещины, так как бесконечные значения напряжений и большие градиенты напряжений выделены с помощью вспомогательного точного решения.

2. Построен дискретно-интегральный критерий хрупкой прочности для угловых вырезов в условиях плоской деформации или плоского напряженного состояния. Для угловых вырезов при растяжении и сдвиге получены простые соотношения, связывающие коэффициенты интенсивности напряжений при модифицированных показателях сингулярности, сами показатели сингулярности и теоретические прочности на растяжение и сдвиг монокристалла материала с учетом поврежденности материала в окрестности вершины.

3. Представлены результаты экспериментов по определению критического обобщенного коэффициента интенсивности напряжений при трехточечном изгибе призматического образца с угловым вырезом, которые обнаруживают возрастание разрушающей нагрузки с увеличением угла выреза. Для объяснения такого поведения используется дискретно-интегральный критерий хрупкой прочности типа Нейбера-Новожилова. Теоретические предсказания и экспериментальные результаты согласуются удовлетворительно.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Разработан алгоритм решения плоской двумерной динамической задачи теории упругости, основанный на локальной аппроксимации неизвестных функций несколькими линейными полиномами. Исследована диссипативность, а следовательно, и устойчивость в энергетической норме построенной схемы. Показано, что при лучших диссипативных характеристиках и без увеличения вычислительных затрат, шаг интегрирования по времени в предложенном алгоритме может быть увеличен в \/2 раз по сравнению со схемой распада разрыва.

2. Разработан алгоритм решения задач динамики упругого деформирования с учетом разрывов и расслоений по границам элементов. Получено решение задачи о хрупком разрушении однородного и слоистого колец под действием прямоугольного импульса бокового давления, когда разрушение происходит по границам элементов.

3. Разработан алгоритм решения статических задач теории упругости, основанный на аппроксимации неизвестных функций несколькими полиномами, что позволяет строить четырехугольный конечный элемент, для которого условия сопряжения формулируются в виде условий непрерывности усилий и смещений на его гранях. В задачах с сингулярными особенностями, в напряженных состояниях применение таких элементов оказывается намного эффективнее, чем использование традиционных конечных элементов.

4. Сформулирована модель плоской деформации прослоек, имеющая целью моделирование всего процесса упругопластического деформирования прослоек от момента возникновения пластических деформаций до достижения предельного состояния при комбинированном действии нагрузок растяжения, сдвига и изгиба. Проведено численное моделирование волн смещений и локализации деформаций при растяжении полосы из жестких недеформируемых блоков с упругопластическими прослойками.

5. Предложены модифицированные необходимый и достаточный дискретно-интегральные критерии прочности типа Нейбера-Новожилова для сложного напряженно-деформированного состояния, когда поля напряжений имеют сингулярную составляющую, а векторы полей напряжений и деформаций коллинеарны. Достаточный критерий допускает предельный переход к необходимому критерию, когда в пределе можно пренебречь энергетическими характеристиками закритическо-го деформирования атомных ячеек.

6. Получено модельное описание узких ядер дислокаций. Выявлена дискретная структура ядра дислокации в моделях Френкеля—Конторовой и Пайерлса. Введено новое понятие о ядре дислокации, которое хорошо согласуется с представлениями механики деформируемого твердого тела.

9. Создан комплекс программ расчета напряженно-деформированного состояния многослойных тел вращения при интенсивных теплосиловых нагрузках. Разработаны программы расчета предельной нагрузки при деформировании структурно-неоднородной среды из жестких блоков с упругопластическими прослойками. Создан комплекс программ для решения нелинейных задач по деформированию и потере устойчивости атомных решеток.

Библиография Кургузов, Владимир Дмитриевич, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Адищев В. В., Демешкин А. Г., Корнев В. М. Критерии хрупкого разрушения пористых сред регулярной структуры с мезоповре-ждениями. Сопоставление с экспериментальными данными. Новосибирск, 1998.(Препринт / РАН. Сиб. отделение. Ин-т гидродинамики; № 3-98).

2. Адищев В. В., Демешкин А. Г., Корнев В. М. Экспериментальная апробация критерия страгивания трещин в регулярно-неоднородной среде // Известия ВУЗов. Строительство. 1998. № 6. С. 130-133.

3. Адищев В. В., Демешкин А. Г., Корнев В. М., Козеко М. Е.

4. Экспериментальная проверка интегрального критерия хрупкой прочности в пористых средах с подкрепляющими элементами // Известия ВУЗов. Строительство. 1999. № 4. С. 21-26.

5. Албаут Г. Н., Курбанов А. В., Кургузов В. Д. и др.

6. Экспериментально-расчетный анализ величин первого коэффициента интенсивности напряжений в балках с угловым вырезом // Известия ВУЗов. Строительство. 2004. № 9. С. 92-98.

7. Алексеев А. Е., Волчков Ю. М., Иванов Г. В., Кургузов В. Д.

8. Ал футов Н. А., Зиновьев П. А., Попов Б. Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М.: Машиностроение, 1984.

9. Андреев А. В., Корнев В. М., Тихомиров Ю. В. Обрыв атомных связей в вершине трещины. Потеря устойчивости участка цепочки атомов // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1993. № 5. С. 135146.

10. Анисимов С. А. Векторное расщепление плоской динамической задачи теории упругости в областях из произвольных четырехугольников // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. Новосибирск, 1986. Вып. 75. С. 17-26.

11. Анисимов С. А., Кургузов В. Д. Моделирование неотражающих условий при численном решении задач теории упругости // Вычислительные технологии. 1999. Т. 4. № 1. С. 3-13.

12. Анучина Н. Н., Яненко Н. Н. Неявные схемы расщепления для гиперболических уравнений и систем // Докл. АН СССР. 1959. Т. 128. № 6. С. 1103-1106.

13. Афанасьев С. В., Баженов В. Г. О численном решении одномерных нестационарных задач упругопластического деформирования сплошных сред методом Годунова // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький: Горьк. гос. ун-т, 1985. Вып. 31. С. 59-65.

14. Афанасьев С. В., Баженов В. Г., Кочетков А. В. и др. Пакет прикладных программ «Динамика-1» // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький: Горьк. гос. ун-т, 1986. Вып. 33. С. 21-29.

15. Баклашов И. В., Картозия Б. А. Механика горных пород. М.: Недра, 1975.

16. Баклашов И. В., Руппенейт К. В. Прочность незакрепленных горных выработок. М.: Недра, 1965.

17. Бантушкин В. П., Поварова К. Б., Банных О. А. и др. Влияние кристаллографической ориентации на механические свойства монокристаллов легированного интерметаллида №зА1 // Металлы. 1998. № 2. С. 49-53.

18. Баренблатт Г. И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении // ПМТФ. 1961. № 4. С. 3-56.

19. Бате К., Вильсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982.

20. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: Мир, 1965.

21. Белов Н. В., Корнеев А. И., Николаев А. П. Численный анализ разрушения в плитах при действии импульсных нагрузок // ПМТФ. 1983. №5. С. 119-123.

22. Богданович А. Е. Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек. Рига: Зинатне, 1987.

23. Бураго Н. Г., Кукуджанов В. Н. Решение упруго пластических задач методом конечных элементов. Пакет прикладных программ «АСТРА». М., 1988. (Препр. / АН СССР. Ин-т проблем механики; № 326).

24. Бураго Н. Г., Кукуджанов В. Н. Численное решение задач континуального разрушения. М., 2004. (Препр. / РАН. Ин-т проблем механики; № 746).

25. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987.

26. Васильковский С. Н. Численный расчет напряженного состояния и поля скоростей смещений секториального выреза длинной цилиндрической трубы // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. 1968. № 3. С. 34-48.

27. Васильковский С. Н. Численное решение задачи об ударе в упругом приближении // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. Новосибирск, 1970. Вып. 12. С. 124-132.

28. Васильковский С. Н. Применение метода расщепления к решению основных краевых задач динамической теории упругости в напряжениях // Распространение упругих и упругопластических волн. М.: Наука, 1973. С. 24-31.

29. Васильковский С. Н. Обобщенные решения плоских упругих задач. Эквивалентность МКЭ и МКР // Материалы VI научной конференции по математике и механике. Томск: изд-во ТГУ, 1977. С. 3-10.

30. Васильковский С. Н., Кургузов В. Д. Определение коэффициента интенсивности напряжений в упругих задачах с трещиной // ПМТФ. 1980. № 3. С. 23-31.

31. Владимиров В. И., Карпинский Д. Н., Орлов А. Н. Теория роста трещины в материале с крупными неоднородностями // Физика металлов и металловедение. 1975. Т. 39. № 5. С. 952-959.

32. Волчков Ю. М., Иванов Г. В., Иванова О. Н. Вычисление плоских равновесных форм тонких стержней методом самоуравновешенных невязок // ПМТФ. 1994. № 2. С. 142-151.

33. Волчков Ю. М., Иванов Г. В., Кургузов В. Д. Аппроксимация уравнений упругопластического деформирования в задачах динамики // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / Ин-т гидродинамики. АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1984. Вып. 66. С. 60-68.

34. Волчков Ю. М., Иванов Г. В., Кургузов В. Д. Об аппроксимации уравнений упругопластического деформирования в задачах динамики // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / Ин-т гидродинамики. АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1989. Вып. 92. С. 45-53.

35. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1976.

36. Годунов С. К., Забродин А. В., Иванов Н. Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976.

37. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1973.

38. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М.: Мир, 1999.

39. Горский Н. М. О решении динамических задач теории упругости в напряжениях и скоростях смещений // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973. Т. 3. № 3. С. 24-31.

40. Горский Н. М. Решение динамических задач теории упругости с помощью неявных разностных схем // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974. Т. 5. № 5. С. 48-56.

41. Горский Н. М., Коновалов А. Н. О численном решении плоской задачи теории упругости в напряжениях // Труды конференции почисленным методам решения задач теории упругости и пластичности. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1969. С. 68-84.

42. Горский Н. М., Коновалов А. Н. О разностных методах решения динамических задач теории упругости // Тр. III Всесоюзной конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности. Ч. I. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974. С. 68-84.

43. Григолюк Э. И., Шалашилин В. И. Проблемы нелинейного деформирования. М.: Наука, 1988.

44. Григорян С. С., Чередниченко Р. А. Распространение в слоистом полупространстве упругих воли, вызванных поверхностной динамической нагрузкой // Изв. АН СССР. МТТ. 1976. № 3. С. 65-73.

45. Гудьер Дж. Математическая теория равновесных трещин // Разрушение. Т. 2. М.: Мир, 1975. С. 13-82.

46. Де Витт Р. Континуальная теория дисклинаций. М.: Мир, 1972.

47. Дерюгин Е. Е., Панин В. Е., Шмаудер 3. и др. Эффекты локализации деформации в композитах на основе А1 с включениями AI2O3 // Физическая мезомеханика. 2001. Т. 4. № 3. С. 35-47.

48. Дьяконов Е. Г. Разностные схемы с расщепляющимся оператором для многомерных нестационарных задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962. Т. 2. № 4. С. 549-568.

49. Ершов JI. В., Максимов В. А. Введение в механику горных пород. М.: Недра, 1976.

50. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.

51. Зорский Г., Рогуля Д., Рымаж Ч. Нелокальные континуальные модели дискретных систем // Успехи механики. 1979. Т. 2. № 1. С. 83108.

52. Иванов Г. В. Построение схем решения плоской динамической задачи теории упругости на основе аппроксимации линейными полиномами // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / Ин-т гидродинамики. АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1978. Вып. 37. С. 63-77.

53. Иванов Г. В. Расщепление задач упругости на основе минимизации функционала Лагранжа // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы IX Всесоюзной конференции. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1986. С. 142-149.

54. Иванов Г. В., Волчков Ю. М., Вогульский И. О., Анисимов С. А., Кургузов В. Д. Численное решение динамических задач упругопластического деформирования твердых тел. Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2002.

55. Иванов Г. В., Иванова О. Н. Вычисление пространственных равновесных форм тонких упругих стержней методом самоуравновешенных невязок // ПМТФ. 1994. № 4. С. 130-136.

56. Иванов Г. В., Кургузов В. Д. Безмоментная модель упругопластического деформирования и предельного состояния тонких прослоек // ПМТФ. 1994. № 6. С. 122-129.

57. Иванов Г. В., Кургузов В. Д. Волны смещений и локализация деформаций при растяжении полосы с упругопластическими прослойками // ПМТФ. 1995. № 2. С. 136-143.

58. Иванов Г. В., Кургузов В. Д. Решение плоских задач упругости на основе конечных элементов с независимой аппроксимацией смещений // Вычислительные технологии. 1997. Т. 2. № 4. С. 60-76.

59. Иванов Г. В., Кургузов В. Д. Итерационное решение плоских задач упругости методом самоуравновешенных невязок // Вычислительные технологии. 1999. Т. 4. № 1. С. 66-79.

60. Ильгамов М. А. О неотражающих условиях на границе расчетной области // Динамика оболочек в потоке: Сб. научн. тр. / КФАН

61. СССР, Казанский физико-технический институт. 1985. Вып. 18. С. 476.

62. Ишлинский А. Ю. Механика: идеи, задачи, приложения. М.: Наука, 1985.

63. Каплан И. Г. Введение в теорию межмолекулярных взаимодействий. М.: Наука, 1982.

64. Каталог механических свойств горных пород. JL: ВНИМИ, 1972.

65. Качанов JI. М. Сдвиг и сжатие тонкого пластичного слоя // Известия АН СССР. Механика и машиностроение. 1963. № 2. С. 172-173.

66. Качанов JI. М. Ползучесть тонкого слоя при сжатии и изгибе // Известия АН СССР. Механика и машиностроение. 1963. № 4. С. 8691.

67. Качанов JI. М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969.

68. Керштейн И. М., Клюшников В. Д., Ломакин Е. В. и др.

69. Основы экспериментальной механики разрушения. М.: Изд-во Моск. гос. ун-та, 1989.

70. Койтер В. Т. Общие теоремы теории упругопластических сред. М.: Изд-во Иностранной литературы, 1961.

71. Кондауров В. И., Кукуджанов В. Н. Численное решение неодномерных задач динамики упругопластических сред // Избранные проблемы прикладной механики. М.: ВИНИТИ, 1974. С. 37-54.

72. Кондауров В. И., Кукуджанов В. Н. Об определяющих уравнениях и численном решении некоторых задач динамики упругопла-стической среды с конечными деформациями // Численные методы в механике твердого деформируемого тела. М.: ВЦ АН СССР, 1978. С. 85-121.

73. Кондауров В. И., Петров И. Б. Расчет процессов динамического деформирования упругопластических тел с учетом континуального разрушения // Докл. АН СССР. 1985. Т. 285. № 6. С. 1344-1347.

74. Кондауров В. И., Петров И. Б., Холодов А. С. Численное моделирование процесса внедрения жесткого тела вращения в упруго-пластическую преграду // ПМТФ. 1984. № 4. С. 132-139.

75. Коновалов А. Н. Метод дробных шагов решения задачи Коши для многомерного уравнения колебаний // Докл. АН СССР. 1962. Т. 147. № 1. С. 240-245.

76. Коновалов А. Н. Применение метода расщепления к численному решению динамических задач теории упругости // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. Т. 4. № 4. С. 760-764.

77. Коновалов А. Н. Разностные схемы для численного решения плоских динамических задач теории упругости в напряжениях. Ч. 1 // Численные методы механики сплошной среды. 1973. Т. 4. № 5. С. 4156.

78. Коновалов А. Н. Разностные схемы для численного решения плоских динамических задач теории упругости в напряжениях. Ч. 2 // Численные методы механики сплошной среды. 1974. Т. 5. № 2. С. 3045.

79. Коновалов А. Н. Решение задач теории упругости в напряжениях. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1979.

80. Конторова Т. А., Френкель Я. И. К теории пластической деформации и двойникования // Журн. эксперим. и теорет. физики. 1938. Т. 8. № 12. С. 1340-1348.

81. Корнев В. М. Интегральные критерии хрупкой прочности трещиноватых тел с дефектами при наличии вакансий в носике трещины. Прочность компактированных тел типа керамик // ПМТФ. 1996. Т. 37. № 5. С. 168-177.

82. Корнев В. М. Интегральные критерии хрупкой прочности трещиноватых тел при наличии дефектов атомной структуры //IX Конференция по прочности и пластичности. Труды конференции. Т. 1. Москва, 1996. С. 99-104.

83. Корнев В. М. Снижение прочности металлов при хемосорбции водорода в вершине трещины // ПМТФ. 1998. Т. 39. № 3. С. 173-178.

84. Корнев В. М. Иерархия критериев прочности структурированных хрупких сред. Сателлитное зарождение микротрещин // ПМТФ. 2000. Т. 41. № 2. С. 177-187.

85. Корнев В. М. Многомаштабные критерии сдвигой прочности блочных хрупких сред. Сателлитное зарождение микропор // ФТПРПИ. 2000. Т. 40. № 5. С. 7-16.

86. Корнев В. М. Модификация критерия разрушения Нейбера-Новожилова для угловых вырезов (антиплоская задача) // ПМТФ. 2002. Т. 43. № 1. С. 153-159.

87. Корнев В. М. Необходимые и достаточные критерии разрушения композита с хрупким связующим. 1. Слабое армирование // ПМТФ. 2002. Т. 43. № 3. С. 152-160.

88. Корнев В. М. Обобщенный достаточный критерий прочности. Описание зоны предразрушения // ПМТФ. 2002. Т. 43. № 5. С. 153-161.

89. Корнев В. М. Количественное описание эффекта Ребиндера (хрупкие и квазихрупкие тела): от замедления разрушения до самопроизвольного диспергирования // Физическая мезомеханика. 2003. Т. 6. № 3. С. 9-18.

90. Корнев В. М., Демешкин А. Г. Необходимые и достаточные критерии разрушения композита с хрупким связующим. 2. Армирование высокопрочными волокнами // ПМТФ. 2003. Т. 44. № 3. С. 148-156.

91. Корнев В. М., Кургузов В. Д. Моделирование краевой дислокации и оценка ядра дислокации для плотноупакованного слоя атомов // ПМТФ. 2000. Т. 41. № 5. С. 211-216.

92. Корнев В. М., Кургузов В. Д. Дискретно-интегральный критерий прочности для сложного напряженного состояния // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2000. № 6. С. 99-106.

93. Корнев В. М., Кургузов В. Д. Достаточный дискретно-интегральный критерий прочности при отрыве // ПМТФ. 2001. Т. 42. № 2. С. 161-170.

94. Корнев В. М., Разворотнева JT. И. Сравнительные оценки прочности сухого и влажного кварца при измельчении // ПМТФ. 1998. Т. 39. № 1. С. 138-144.

95. Корнев В. М., Тихомиров Ю. В. Деформирование и потеря устойчивости участка цепочки атомов в вершине трещины // ПМТФ. 1993. № 3. С. 160-172.

96. Корнев В. М., Тихомиров Ю. В. О критерии хрупкого разрушения тел с трещиной при наличии дефекта атомной решетки // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1994. № 2. С. 185-193.

97. Корнев В. М., Тихомиров Ю. В. Потеря устойчивости участка цепочки атомов при наличии примеси. Снижение прочности хрупких трещиноватых тел // ПМТФ. 1996. Т. 37. № 3. С. 160-173.

98. Коробейников С. Н. Многоцелевая вычислительная программа по решению задач линейной теории упругости // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / Ин-т гидродинамики. АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1986. Вып. 75. С. 78-89.

99. Коробейников С. Н. Применение метода конечных элементов к решению нелинейных задач по деформированию и потере устойчивости атомных решеток. Новосибирск, 1997. (Препр. / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики; 1-97).

100. Коттрелл А. Теория дислокаций. М.: Мир, 1969.

101. Кошур В. Д., Немировский Ю. В. Континуальные и дискретные модели динамического деформирования элементов конструкций. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990.

102. Кукуджанов В. H. О численном решении задач распространения упруговязкопластических волн // Распространение упругих и упру-гопластических волн. Материалы V Всесоюзного симпозиума. Алма-Ата: Наука, 1973. С. 129-137.

103. Кукуджанов В. Н. Численное решение неодномерных задач распространения волн напряжений в твердых телах // Сообщения по прикладной математике. М.: ВЦ АН СССР, 1976. Вып. 6. С. 11-37.

104. Кукуджанов В. Н. Численные методы решения неодномерных задач динамики упругопластических сред // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы VI Всесоюзной конференции. 4.1. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1980. С. 105-120.

105. Кукуджанов В. Н., Кондауров В. И. Численное решение неодномерных задач динамики твердого деформируемого тела // Проблемы динамики упругопластических сред. Сер. Механика. Новое в зарубежной науке. Вып. 5. М.: Мир, 1975. С. 39-84.

106. Кургузов В. Д. Численный алгоритм решения одномерных задач с откольными разрушениями // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / Ин-т гидродинамики. АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1982. Вып. 54. С. 153-158.

107. Кургузов В. Д. Напряженно-деформированное состояние массива горных пород, ослабленного квадратной выработкой // Вычислительные технологии. 2003. Т. 8. № 5. С. 84-93.

108. Кургузов В. Д. Безмоментная модель упругопластического деформирования и ползучести тонких прослоек // Вычислительные методы и программирование. 2004. Т. 5. С. 184-196.

109. Кургузов В. Д., Корнев В. М. Дискретно-интегральный критерий прочности для сложного напряженного состояния // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / Ин-т гидродинамики. РАН. Сиб. отд-ние. Новосибирск, 1999. Вып. 114. С. 173-174.

110. Курленя М. В., Миренков В. Е., Шутов А. В. Оценка влияния собственного веса пород на деформирование их около выработок // ФТПРПИ. 2000. Т. 40. № 5. С. 30-35.

111. Леонов М. Я. Механика деформаций и разрушения. Фрунзе: Илим, 1981.

112. Леонов М. Я., Панасюк В. В. Развитие мельчайших трещин в твердом теле // Прикл. механика. 1959. Т. 5. № 4. С. 391-401.

113. Мавлютов Р. Р. Концентрация напряжений в элементах авиационных конструкций. М.: Наука, 1981.

114. Магомедов К. М., Холодов А. С. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. Т. 9. № 2. С. 373-386.

115. Магомедов К. М., Холодов А. С. Сеточно-характеристические численные методы. М.: Наука, 1988.

116. Майборода В. П., Кравчук А. С., Холин Н. Н. Скоростное деформирование конструкционных материалов. М.: Машиностроение,1986.

117. Макаров П. В. Микродинамическая теория пластичности среды с внутренней структурой // Новые методы в физике и механике деформируемого твердого тела. Тр. междунар. конф. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1990. С. 56-68.

118. Макклинток Ф. А., Ирвин Дж. Р. Вопросы пластичности в механике разрушения // Прикладные вопросы вязкости разрушения / Под ред. Б. А. Дроздовского. М.: Мир, 1968. С, 143-186.

119. Макмиллан Н. Идеальная прочность твердых тел // Атомистика разрушения: Сб. ст. 1983-1985 гг. / Сост. А. Ю. Ишлинский. М.: Мир,1987. С. 35-103.

120. Марчук Г. И. Метод расщепления для решения задач математической физики // Численные методы решения задач механики сплошных сред. М.: ВЦ АН СССР, 1969. С. 85-121.

121. Марчук Г. И., Яненко Н. Н. Применение метода расщепления (дробных шагов) для решения задач математической физики // Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск: Наука, 1985. С. 125-142.

122. Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.

123. Морозов Н. Ф. Проблемы хрупкого разрушения и их исследование методами теории упругости //VI Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. 1986. Ташкент. С. 12.

124. Морозов Н. Ф. Проблемы хрупкого разрушения и их исследование методами теории упругости // Механика и научно-технический прогресс. Т. 3: Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. С. 54-63.134135136137138139140141142143

125. Морозов Н. Ф., Паукшто М. В. Динамика трещин в дискретной постановке // Вестник Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1987. Вып. 3. С. 67-71.

126. Морозов Н. Ф., Паукшто М. В. К вопросу о «решетчатом захвате» // Доклады АН СССР. 1988. Т. 299. № 2. С. 323-325.

127. Морозов Н. Ф., Паукшто М. В. Дискретные и гибридные модели механики разрушения. СПб.: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 1995.

128. Морозов Н. Ф., Семенов Б. Н. Применение критерия хрупкого разрушения В. В. Новожилова при определении разрушающих нагрузок для угловых вырезов в условиях сложного напряженного состояния // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1986. № 1. С. 122-126.

129. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи теории упругости. М.: Наука, 1966.

130. Навал И. К., Римский В. К. Численный анализ распространения волн в кусочно-неоднородном слое // Математические методы в механике. Кишинев: Штиинца, 1980. Вып. 57. С. 69-76.

131. Навал И. К., Пацюк В. И., Римский В. К. Нестационарные волны в деформируемых средах // Математические методы в механике. Кишинев: Штиинца, 1980. Вып. 57. С. 98-110.

132. Назаров С. А., Паукшто М. В. Дискретные модели и осреднение в задачах теории упругости. Л.: Наука, 1984.

133. Негрескул С. И., Псахье С. Г., Коростелев С. Ю. и др. Моделирование зернистых сред методом элементной динамики. Томск, 1989. (Препр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Томск, научн. центр; № 39).

134. Нейбер Г. Концентрация напряжений. М.: Гостехтеоретиздат, 1947.

135. Панасюк В. В., Андрейкив А. Е., Ковчик С. Е. Определение вязкости разрушения К\с конструкционных материалов через их механические характеристики и параметры структуры // Физ.-хим. механика материалов. 1977. Т. 13. № 2. С. 120-122.

136. Панасюк В. В., Андрейкив А. Е., Ковчик С. Е. Методы оценки трещиностойкости конструкционных материалов. Киев: Наук, думка, 1977.

137. Панасюк В. В., Андрейкив А. Е., Партон В. 3. Основы механики разрушения материалов // Механика разрушения и прочность материалов. Т. 1. Киев: Наук, думка, 1988.

138. Панин В. Е. Новая область физики твердого тела // Известия ВУЗов. Физика. 1987. № 1. С. 3-8.

139. Панин В. Е. Современные проблемы прочности твердых тел // Изв. СО АН СССР. Сер. тех. наук. 1987. Вып. 3. С. 87-97.

140. Панин В. Е. Волновая теория пластической деформации твердых тел // Известия ВУЗов. Физика. 1990. № 2. С. 4-18.

141. Панин В. Е., Гриняев Ю. В., Данилов В. И. и др. Структурные уровни пластической деформации и разрушения. Новосибирск: Наука, 1990.

142. Панин В. Е., Гриняев Ю. В., Егорушкин В. Е. и др. Спектр возбужденных состояний и вихревое механическое поле в деформируемом кристалле // Известия ВУЗов. Физика. 1987. № 1. С. 36-51.

143. Панин В. Е., Гриняев Ю. В., Елсукова Т. Ф. и др. Структурные уровни деформации твердых тел // Известия ВУЗов. Физика. 1982. № 6. С. 5-27.

144. Панин В. Е., Егорушкин В. Е., Хон Ю. А. и др. Атом-вакансионные состояния в кристаллах // Известия ВУЗов. Физика. 1982. № 12. С. 5-28.

145. Панин В. Е., Елсукова Т. Ф. Деформация и разрушение поликристаллов при знакопеременном нагружении как диссипативный процесс // Синергетика и усталостное разрушение металлов. М.: Наука, 1989. С. 113-138.

146. Панин В. Е., Елсукова Т. Ф., Елисеева М. К. и др. Движение зерен как целого при пластической деформации поликристаллов // Поверхность. Физика, химия, механика. 1983. № 5. С. 138-141.

147. Предводителев А. А., Тяпунина Н. А., Зиненкова Г. М. и др.

148. Физика кристаллов с дефектами. М.: Изд-во Моск. ун-а, 1986.

149. Псахье С. Г., Коростелев С. Ю., Смолин А. Ю. и др. Метод подвижных клеточных автоматов как инструмент физической мезо-механики материалов // Физическая мезомеханика. 1998. Т. 1. № 1. С. 95-108.

150. Псахье С. Г., Остермайер Г. П., Дмитриев А. И. и др. Метод подвижных клеточных автоматов как новое направление дискретнойвычислительной механики. I. Теоретическое описание // Физическая мезомеханика. 2000. Т. 3. № 2. С. 5-13.

151. Работнов Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966.

152. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.

153. Райе Дж. Р. Математические методы в механике разрушения // Разрушение. Т. 2. М.: Мир, 1975. С. 204-335.

154. Рахматулин X. А., Каримбаев Т. Д., Байтелиев Т. Применение метода пространственных характеристик к решению задач по распространению упругопластических волн // Изв. Каз. ССР. Сер. физ.-мат. 1973. № 1. С. 141-152.

155. Ревуженко А. Ф., Шемякин Е. И. К вопросу о плоском деформировании упрочняющихся и разупрочняющихся пластических материалов // ПМТФ. 1977. №. 3.

156. Рикардс Р. Б., Снисаренко С. И. Деформирование при ударе балок из гибридных материалов // Механика композитных материалов. 1985. № 1. С. 97-103.

157. Рузанов А. И. Численное исследование откольной прочности с учетом микроповреждений // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1984. № 5. С. 109-115.

158. Сабодаш П. О., Чередниченко Р. А. Применение метода пространственных характеристик к решению осесимметричных задач по распространению упругих волн // ПМТФ. 1971. № 4. С. 101-109.

159. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: На-укова думка, 1968.

160. Саврук М. П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами // Механика разрушения и прочность материалов. Т. 2. Киев: Наук, думка, 1988.

161. Самарский А. А. Локально-одномерные разностные схемы для многомерных уравнений гиперболического типа в произвольной области // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1964. Т. 4. № 4. С. 638-648.

162. Самарский А. А. Экономичные разностные схемы для гиперболической системы уравнений со смешанными производными и их применение для уравнений теории упругости // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1965. Т. 5. № 1. С. 34-43.

163. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

164. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976.

165. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

166. Седов JI. И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1983.

167. Сергеев-Альбов Н. Н. Приближенно-аналитический алгоритм расчета акустических волновых полей. Новосибирск, 1985. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ; № 566).

168. Си Г., Либовиц Г. Математическая теория хрупкого разрушения // Разрушение. Т. 2. М.: Мир, 1975. С. 83-203.

169. Слепян Л. И. Механика трещин. М.: Наука, 1981.

170. Смирнов С. В., Смирнов В. К., Солошенко А. Н. и др. Определение коэффициентов в функциональной зависимости сопротивления деформации по результатам вдавливания конического индентора // Металлы. 1998. № 6. С. 91-94.

171. Смирнов С. В., Швейкин В. П. Метод определения диаграмм упрочнения отдельных структурных составляющих в многокомпонентных системах // Физика металлов и металловедение. 1995. Т. 80 № 1. С. 145-151.

172. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.

173. Томсон Р. Физика разрушения // Атомистика разрушения: Сб. ст. 1983-1985 гг. / Сост. А. Ю. Ишлинский. М.: Мир, 1987. С. 104-144.

174. Туров В. П. К вопросу о сведении задачи о распространении упругих волн в бесконечной области к задаче для области конечных размеров // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Буд Вельник, 1976. Вып. 28. С. 186-191.

175. Хелан К. Введение в механику разрушения. М.: Мир, 1988.

176. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиздат, 1956.

177. Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. М.: Атомиздат, 1972.

178. Холодов А. С. Сеточно-характеристические методы для многомерных задач механики сплошных сред // Школа-семинар соц. стран «Вычислительная аэрогидромеханика»: Сб. тез. докл. М., 1985. С. 110-114.

179. Хорев И. Е., Горельский В. А., Залепугин С. А. и др. Исследование деформирования и кинетики разрушения контактируемых тел при несимметричном динамическом воздействии // Физика горения и взрыва. 1983. № 5. С. 119-123.

180. Христианович С. А. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1981.

181. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974.

182. Черноусько Ф. Л., Баничук Н. В. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука, 1973.

183. Черных К. Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную теорию трещин. М.: Наука, 1996.

184. Шмитт-Томас К. Г. Металловедение для машиностроения. М.: Металлургия, 1995.

185. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.

186. Argyris J. Н., Lazarus L. P. A natural triangular layered element for bending analysis of isotropic, sandwich, laminated composite and hybrid plates // Сотр. Meth. in Appl. Mech. and Eng. 1993. No. 109. P. 29-44.

187. Atkinson M. Further analysis of the size effect in indentation hardness test of some metals // Journal of materials research. 1995. Vol. 10. No. 11. P. 2908-2915.

188. Bathe K.-J. Finite element formulation, modeling and solution of nonlinear dynamic problems // Numerical Methods for Partial Differential Equations. New York: Academic Press, 1979. P. 1-40.

189. Bathe K.-J. Finite Element Procedures in Engineering Analysis. Englewood Cliffs, N. J.: Prentice Hall, 1982.

190. Bathe K.-J., Dvorkin E. N. On the automatic solution of nonlinear finite element equations // Computers &; Structures. 1983. Vol. 17. P. 871— 879.

191. Bathe K.-J., Shyder M. D., Cimento A. P., Rolph W. D. On some current procedures and difficulties in finite element analysis of elastic-plastic response // Computers and Structures. 1980. Vol. 12. P. 607-624.

192. Bayliss A., Turkel E. Radiation conditions for wave-like equations // Commun. Pure Appl. Math. 1980. Vol. 33. P. 707-725.

193. Carpinteri A. Stress singularity and generalized fracture toughness at the vertex of re-entrant corners // Engng. Fracture Mech. 1987. Vol. 26. P. 143-155.

194. Carpinteri A., Pugno N. Structures with re-entrant corners // Atti del XV Convegno Nazionale del Gruppo Italiano di Frattura, May 3-5, 2000, Bari, Italy. P. 391-398.

195. Dimitrov V. I., Apostolov A. V., Belashtenko D. K. Effective atom-atom interaction in binary alloys // Annuarie de l'Univ. de Sofia. 1992. T. 83/84. P. 175-181.

196. Dugdale D. S. Yielding of steel sheets containing slits //J. Mech. Phys. Solids. 1960. Vol. 8. P. 100-104.

197. Dunn M. L., Suwito W., Cunningham S. Fracture initiation at sharp notches: correlation using critical stress intensities // Int. J. Solids Structures. 1997. Vol. 34. P. 3873-3883.

198. Dunn M. L., Suwito W., Cunningham S., May C. Fracture initiation at sharp notches under mode I, mode II, and mild mixed mode loading // Int. J. Fracture. 1997. Vol. 84. P. 367-381.

199. Enquist В., Majda A. Absorbing conditions for the numerical simulations of waves // Math. Comput. 1977. Vol. 31. No. 139. P. 629-651.

200. Enquist В., Majda A. Radiation boundary conditions for accoustic and elastic wave calculations // Commun. Pure Appl. Math. 1979. Vol. 32. P. 313-357.

201. Griffith A. A. The phenomenon of rupture and flow in solids // Phil. Trans. Roy. Soc. Ser. A. 1920. Vol. 221. No. 1. P. 163-198.

202. Griffith A. A. The theorie of rupture // Proceedings 1st International Congress Appl. Mech. Delft, 1924. Delft: J. Waltman, 1925. P. 55-63.

203. Gumbsch P. An atomistic study of brittle fracture: Toward explicit failure criteria from atomistic modeling //J. Mater. Res. 1995. Vol. 10. No. 11. P. 2897-2907.

204. Gumbsch P., Cannon R. M. Atomistic aspect of brittle fracture // MRS Bulletin. 2000. No. 5. P. 15-20.

205. Htils W. Die Amwendung der Finite-Element-Methode zur Lozung geomechanisher Antgaben // Bergakademia. 1969. Heft 10. P. 600-604.

206. Kornev V. M., Kurguzov V. D. A discrete-integral strength criterion for complicated stress states // Fatigue & Fracture of Engineering Materials к Structures. 1999. Vol. 22. No. 11. P. 989-995.

207. Kornev V. M., Kurguzov V. D. Interrelation between toughness and both strength and structural parameters of material // International Journal of Fracture. 2004. Vol. 128. No. 1. P. 195-203.

208. Kornev V. M., Razvorotneva L. I. Brittle fracture of cracked solids as affected by surfactants // Damage and fracture mechanics. Computer aided assessment and control. Southampton; Boston: Comput. Mech. Publ., 1998. P. 565-574.

209. Markworth A. J., Hirth J. P. An atomistic model of crack growth by-kink propagation // J. Mater. Sci. 1981. Vol. 16. No. 12. P. 3405-3417.

210. Olson G. B. Computational Design of Hierarchiclly Structured Materials // Science. 1997. Vol. 277. P. 1237-1241.

211. Orovan E. Energy criteria of fracture // Weld. Res. Suppl. 1955. Vol. 20. P. 1575-1598.

212. Peierls R. The size of a dislocation // Proc. Phys. Soc. 1940. Vol. 52. P. 34-37.

213. Phillips T. N., Rose M. E. A finite difference scheme for the equilibrium equations of elastic bodies // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1986. Vol. 7. No. 1. P. 288-300.

214. Seweryn A. Brittle fracture criterion for structures with sharp notches // Engng. Fracture Mech. 1994. Vol. 47. P. 673-681.

215. Seweryn A. Elastic stress singularities and corresponding generalized stress intensity factors for angular corners under various boundary conditions // Engng. Fracture Mech. 1996. Vol. 55. P. 529-556.

216. Seweryn A., Lukaszewicz A. Verification of brittle fracture criteria for elements with V-shaped notches // Engng. Fracture Mech. 2002. Vol. 69. P. 673-681.

217. Sih G. C. Strain-energy-density factor applied to mixed mode crack problems // Int. J. Fracture. 1974. Vol. 10. P. 305-322.

218. Smith W. D. A nonreflecting plane boundary for wave propagation problems // J. Comput. Phys. 1974. Vol. 15. No. 4. P. 492-503.

219. Sneddon I. N. The distribution of stress in the neighbourhood of a crack in an elastic solids // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1946. Vol. 187. P. 229-260.

220. Southwell R. V. Relaxation methods in theoretical physics. Oxford University Press, 1946.

221. Stupp S. I., Braun P. V. Molecular Manipulation of Microstructures: Biomaterials, Ceramics, and Semiconductors // Science. 1997. Vol. 277. P. 1242-1257.

222. Szuromi Ph. Microstructural Engineering of Materials // Science. 1997. Vol. 277. P. 1183-1236.

223. Theocaris P. S., Andrianopoulos N. P. A modified strain energy density criterion applied to crack propagation // Trans. ASME. Ser. E. 1982. Vol. 49. P. 81-86.

224. Tian D. C., Lu D. Q., Zhu J. J. Crack propagation under combined stresses in three-dimensional medium // Engng. Fracture Mech. 1982. Vol. 16. No. 1. P. 5-17.

225. Tirosh J. Incipient fracture angle, fracture loci and critical stress for mixed mode loading // Engng. Fracture Mech. 1977. Vol. 9. No. 3. P. 607616.

226. Westergaard H. M. Bearing pressures on cracks // ASTM Trans. J. Appl. Mech. 1939. No. 6. P. 49-53.

227. Wieghardt K. Uber das Spalten und Zerreiben elastischer Korper // Z. Math, und Phys. 1907. Vol. 55. P. 60-103.

228. Williams M. L. Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corners of plates in extension // J. Appl. Mech. 1952. Vol. 19. P. 526-528.

229. Wu H. C. Dual failure criterion for plain concrete //J. Engng. Mech. Div. Amer. Soc. Civ. Engng. 1974. Vol. 100. P. 1167-1181.

230. Yu B. Y. Fracture criterion of deviator stress tensor factor // Engng. Fracture Mech. 1982. Vol. 16. No. 1. P. 143-155.

231. Yu B. Y. A discussion on the mixed mode J-integral fracture criterion // Engng. Fracture Mech. 1982. Vol. 16. No. 1. P. 156-168.

232. Zienkiewicz О. C., Taylor R. L. The Finite Element Method. London: McGraw Hill, 1991.

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00