автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное моделирование пространственного переноса примесей в неоднородных пористых средах

На правах рукописи

од

Корсакова Надежда Константиновна*- 2000

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПЕРЕНОСА ПРИМЕСЕЙ В НЕОДНОРОДНЫХ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

05.13.16 — Применение вычислительной техники, математического моделирования, - математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 2000

Работа выполнена в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева Сибирского отделения Российской академии наук.

Научный руководитель: кандидат физико-математических

наук, в.н.с. Пеньковский В. И.

Официальные оппоненты : доктор физико-математических

наук, профессор Воеводин А. Ф. доктор физико-математических наук Квон В. И.

Ведущая организация : Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН

Защита состоится "_гГ^_|,июля 2000 года в часов на заседании диссертационного совета К 002.23.04 в Институте математики имени С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск-90, пр. академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан 11 го "июня 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор

Г. В. Демиденко

А г 32.*. о^

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема охраны водных запасов и связи с опасностью загрязнения подземных иод » результате антропогенного и техногенного воздействия на окружающую среду приводит к необходимости совершенствовать методы прогнозировании миграции загрязняющих примесей. Для описания распространения примесей применяются в основном двумерные модели, построение которых связано с осреднением характеристик течения по одной из координат. Однако, при наличии в области течения участков с резко изменяющейся гидравлической проводимостью, действующих источников и стоков, при сложной конфигурации границ адекватное описание фильтрационного процесса возможно только в рамках трёхмерных моделей. Дополнительным аргументом в пользу применения трёхмерных моделей служит сам пространственный характер явления дисперсии. При исследовании переноса неоконсервативных примесей необходимо также учитывать физико-химическое взаимодействие компонент раствора между собой и с пористой средой.

Прогнозные расчёты переноса примесей базируются на использовании математических моделей, учитывающих движение грунтовых под и конвективно-дисперсионный характер распространения присутствующих в растворе веществ. Если в составе растворов содержатся несколько компонент, то взаимодействие их в виде ионного обмена, сорбции, ком-плексообразования может существенно влиять на характер распределения концентраций. В этом случае принимаются во внимание кинетические соотношения, отражающие физики химические процессы, математические модели усложняются,

они становятся нелинейными, что в свою очередь приводит к дополнительным трудностям при решении соответствующих начально-краевых задач. В основном в литературе по многокомпонентному переносу хорошо исследованы одномерные и двумерные модели с постоянной скоростью фильтрации.

Особую сложность представляет решение задач с преобладающей конвективной составляющей. Развитие вычислительной техники в последнее десятилетие способствовало усилению интереса к пространственным задачам как у нас, так и за рубежом.

Цель работы. Создание трёхмерных математических моделей массопереноса, учитывающих различные неоднородные условия, физико-химические механизмы взаимодействия компонент раствора. Разработка эффективных численных методов реализации этих моделей. Анализ поведения характеристик процесса в зависимости от исходных параметров.

Научная новизна. Разработанные математические модели переноса загрязнений с учётом взаимодействия веществ в системе "растпор-тюрода"оригинальны. Впервые применяется математическая модель взаимосвязанных потоков грунтовых вод и потоков в лучевом дренаже. Разработаны экономичные вычислительные алгоритмы, позволившие получить свободные от оецнлляций решения систем уравнений. Проведены численные исследования поведения решений в зависимости от физических и химических параметров, входящих в основные системы уравнений.

Методика исследований. В работе используются методы конечных элементов, конечно-разностных схем, методы решения систем линейных алгебраических уравнений, метод ав-

тематического разбиения областей.

Практическая ценность. Разработанные математические модели и численные методы их реализации позволяют исследовать распространение примесей на фоне усложнённой фильтрационной картины, обусловленной неоднородностью пористой среды, наличием источников и стоков, а также и присутствии химических реакций.

Апробация работы Результаты работы докладывалась на семинарах и научных сессиях Института гидродинамики СО РАН; на Всесоюзном семинаре «Математическое моделирование гидрогеологических процессов» (Душанбе, 1991 г.); на Первой Всесибирской конференции по математическим проблемам экологии (Новосибирск, 1992 г.); на Второй Всероссийской конференции по математическим проблемам экологии (Новосибирск, 1994 г.); на Международном симпозиуме «Гидрогеологические и экологические процессы в водоемах и их водосборных бассейнах» (Новосибирск, 1995 г.); на Международной конференции «Математические модели и численные методы механики сплошных сред» (Новосибирск, 1996 г.), а также были представлены на 22-ой Генеральной Ассамблее Европейского геофизического общества (Вена, 1997 г.) и на 24-й Генеральной Ассамблее ЕСБ (Гаага, 1999 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 13 работ.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Объем работы 108 стр., 35 рис., 1 табл. Перечень литературы включает 40 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, приведён об-

30]) литературы, излагается краткое содержание работы.

Гласа I посвящена математической постановке трёхмерной задачи переноса переагирующих загрязняющих примесей в пористой среде и адаптации метода конечных элементов для решения поставленной задачи.

Р §1 рассмотрена общая модель переноса консервативных веществ в пористой среде. Модель представляет собой систему дифференциальных уравнений неустановившегося движения грунтовых вод и конвективно-дисперсионного переноса

¡,Л1 = Ч{КЧН) + С}, (1)

{0С\ = - У(КС) + Ф(х, у, г, С) (2)

с соответствующими начальными и граничными условиями, где /I — коэффициент упругоемкости, ф, Ф — источники или стоки, К — тензор гидравлической проводимости, // — напор, С — концентрация, И — тензор гидродинамическом дисперсии , V — скорость, í — время , 0 — пористость.

Отмечается, что существенное преобладание конвективной составляющей ведет к усложнению решения данной задачи.

В §2 описывается нротивотоковый весовой метод конечных элементов на основе локального баланса для решения уравнения конвективной дисперсии с преобладающим конвективным членом. Область решения задачи (1)-(2) разбивается на конечные элементы в виде треугольных призм. Через средние точки ребер и граней каждого элемента проводятся плоскости, делящие его на подэлементы. Внутри каждого из иодэлементов решение аппроксимируется функцией

С(х,у,г,1) = ^Гф<?)(х,у,г)С^), 0 = 1, ...,пй) , (3) 1=1

б

где пе — число подэлементов, совпадающее с числом вершин элемента, ф\ — базисные функции, зависящие от весовых коэффициентов. Весовые функции естественным образом строятся на основании локальных чисел Пекле. Массовый локальный баланс имеет место для подобластей, представляющих собой замкнутые многогранники, образованные вокруг каждой вершины частями, прилежащими к данной вершине призмы. В результате получаются интегральные соотношения, которые после подстановки в них представления решений (3) и последовательного интегрирования по всей области приводят к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Применение неявной разностной схемы для производной но времени позволяет получить системы линейных алгебраических уравнений.

В главе Ц описан алгоритм решения задачи, включающий в себя сложную систему подготовки данных и решения её с помощью численных средств. Приведены результаты численных расчётов тестовых и модельных задач переноса примесей, демонстрирующие особенности данной модели и эффективность применения численного метода для получения решений, свободных от осцилляций.

В §3 описывается экономичный алгоритм автоматической подготовки данных. Метод позволяет при минимуме входной информации подготовить данные для численной реализации модели переноса, учитывая особенности каждой конкретной задачи, например, выделяя области предполагаемого резкого возрастания скорости течения. Особое внимание уделяется источникам и стокам. В алгоритм входит автоматическое покрытие области решения задачи узлами сетки, послойная

триангуляция области и последующее построение призматических элементов.

D §4 рассмотрены особенности реализации численного алгоритма для решения систем 'линейных алгебраических уравнений с разреженными матрицами большой размерности. Предлагается способ экономичного хранения в памяти компьютера только ненулевых элементов матрицы. Системы решаются с помощью поточечных итерационных методов. В §5 приведены сравнительные результаты решения тестовых и модельных одномерных, двумерных и трёхмерных задач. Была рассмотрена модель переноса раствора нсрсаги-рующпх веществ в толще с неоднородным сложением грунта в виде тонкого пласта осадочных пород, включающем слон гранулированного песка с высокой гидравлической проводимостью (рис. 1) и модель переноса в неограниченной толще с объемным источником на верхней границе и водозабором внутри области течения (рис. 2). Результаты исследования решений как в нервом, так и во втором случае показали, что распределения концентрации присутствующей в грунтовых водах примеси носят пространственный характер, для описания которого крайне необходимо применение трёхмерной модели. Было изучено влияние па решение физических параметров задачи. На рис. 3 приведены изолинии концентрации, которые показывают влияние дисперсии на форму пятна загрязнения. При большей дисперсии пятно расплывается, захватывая зону водозабора, а при о; = 1 м, at = 0.1 м след загрязнения имеет более крутой фронт и сосредоточен в верхней части толщи.

Глава III посвящена описанию пространственных задач

переноса реагирующих веществ п пористой среде и особенностям их решения.

Р §6 рассмотрена трёхмерная модель перенося днухкомпо-нентного реаги])ующего раствора. Модель представляет собой сложную систему, состоящую помимо уравнения фильтрации из днух уравнений конвективной дисперсии веществ, присутствующих в растворе,

(0Ст)1 + (5т)е = У(£УС,п) - Ч{УСт) + Ф(х, у, г, I, Ст) (4) (т = 1,2)

и у1)авнений химических связен в виде законов действующих масс. В зависимости от заданных условий используются либо уравнения кинетики —

(5т), = КуСу (Зг - 5! - 52) - 1<;пЬ\П) (5)

либо, в предположении мгновенного равновесия, алгебраические соотношения. Здесь Ст — концентрации веществ в растворе; Зт —концентрации веществ в твердо]'! фазе; Ку, К]!1 — константы скоростей прямой и обратной реакций, Бт — сорбционпая ёмкость среды. Для решения соответствующих краевых задач было предложено сочетание метода конечных элементов с конечно-разностным методом. Изучена зпвпен-мость решений от основных физико-химических параметров модели. Учёт химических реакций значительно усложняет картину распределения концентраций. В условиях, близких к равновесным, в толще образуются локальные максимумы концентраций веществ как в растворе, так и в твёрдой фазе.

§7 посвящен пространственному трёхкомпонептпому переносу с учётом физической сорбции и комплсксообразова-ния. Модель была основана на системе, включающей в себя

дифференциальное уравнение фильтрации, уравнений конвективной дисперсии по количеству компонент раствора, вст} пающих в реакцию, и продукта комплексообразования, а также трёх уравнений химических связей. Проведены численные расчеты и исследована динамика концентраций для различных соотношений кинетических констант. Результаты значительно отличаются от аналогичных расчётов по двумерным моделям. Локальные максимумы распределения концентраций указывают на то, что при наличии химических связей участки наибольших концентраций веществ могут располагаться в местах, значительно удалённых от источников загрязнения.

В §8 рассматривался процесс переноса примеси на фоне движения грунтовых вод к лучевому дренажу (рис. 4). В дополнение к конвективно-дисперсионной задаче предложена математическая модель взаимосвязанного течения в толще и потока в трубах в виде системы уравнений, состоящей из фильтрационной задачи и уравнения движения потока в лучах-дренах водозабора. Уравнения системы связаны условиями сопряжения. Проведено сравнение с результатами расчётов задачи, в которой распределение напора в трубах задавалось постоянным. Показано, что перенос в толще, где располагается лучевой дренаж, носит ярко выраженный пространственный характер.

В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертации.

Основное содержание работы опубликовано в следующих работах:

1. Корсакова Н. К. Трехмерный перенос загрязнений в но-

ристои среде // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-пнс. Ин-т гидродинамики. 1994. Вып. 108. С.14-26.

2. Корсакова II. К. TInc;icinioe моделирование трехмерного переноса загрязнении с учетом физической сорбции в пористой среде // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / ЛИ СССР. Сиб. отд-иие. Ин-т гидродинамики. 1996. Выи.111. С. 49-58.

3. Корсакова II. К. Численное моделирование переноса консервативных и иекоисервапшных примесей в пористой среде // Водные ресурсы. 1996. Т.23, № G. С. G72-G78.

4. Корсакова II. К. Численное моделирование пространственного взаимодействия фильтрационного течении с лучевым дренажем // Математические модели фильтрации и их приложения: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-пнс Ин-т гидродинамики. 1999.

5. Корсакова II. К. Метод локального баланса с противотоко-вым взвешиванием при расчетах трехмерных задач переноса реагирующих примесей в пористой среде // Тез. докл. Международной конференции «Математические модели и численные методы механики сплошных сред». Новосибирск. 199G. С. 354.

G. Корсакова Н.К. Численное моделирование переноса консервативных и некоисервативных примесей в пористой среде // Водные ресурсы. 199G. Т 23, № 6. С. 672-G78. 7. Корсакова Н. К. Численное моделирование трехмерного переноса загрязнений в пористой среде // Тез. докл. Второй Всероссийской конференции но математическим проблемам экологии. Новосибирск. 1994. С. 24.

8. Корсакова H. К. Численное моделирование многокомпонентного пространственного переноса в пористой среде // Тез. докл. Международного симпозиума «Гидрогеологические и экологические процессы в водоемах и их водосборных бассейнах». Новосибирск. 1995. С. 90.

9. Рыбакова С. Т., Корсакова Н. К., Полунина И. Т. Численное моделирование плановых задач загрязнения подземных вод // Тез. докл. Всесоюзного науч. совещания «Моделирование и прогнозирование изменений природных усло-

*

вий при перераспределении водных ресурсов». Новосибирск. 1987. С. 102.

10. Корсакова Н. К. Пространственное взаимодействие фильтрационного течения с лучевым дренажём // Тез. докл. Международной конференции «Водные ресурсы и водохозяйственные проблемы». Душанбе. 1999. С. 124.

11. Рыбакова С. Т., Корсакова Н. К. Задача переноса неконсервативных примесей в пористых средах // Тез. докл. семинара «Математическое моделирование гидрогеологических процессов». Душанбе. 1991. С. 109.

12. Рыбакова С. Т., Корсакова Н. К., Полунина И. Т. Численное моделирование процессов переноса примесей в пористых средах // Тез. докл. Первой Всесибирской конференции по математическим проблемам экологии. Новосибирск. 1992. С. 112.

13. Korsakova N. К. A three-dimensional reactive contaminant transport in porous média // Abstract in Annales Geophysical Supplément/ 22nd General Assembly of EGS. 1997. V. 15, Part. 2. P. 272.

6.5п

£1=0/ dn /

ф ф 4* Ф Ф 4* а=о.1нУгод

) i-

с*=1 □.432м/сут

Дм/ . ' о.. ■ о

о . . <s». о

эк-=8.69м/сзт' ■

. «5 . • . О

О . •

а^О.Эп а^=0.005м

120м Н„=5.375и

йгттШтттШттттУ

t=5/ieT а)

40м 80м

t=12/ieT

ÍCh 8СЬ

Рис . 1

dH „ dC

dñ diT =0

//////////// / / // 150м

3QK

С*=100г/п

Н2=100н

с0=о

У +

© Q

отк

К =К =К =в1иУсут

X у г

//// S S / S"/ / /

Нх=99.1м

31м

отк

-7-7-7-7-7-7-7-7-7-7

150H

Рис. 2

Рис. 3

Рис . 4

Подписано в печать 10.06.2000. Формат00x841/16. "Усл. нем.л. 1. Тираж 75 экз. Бесплатно. Закал № 21.

Лицензия ПЛД № 57-19 от 10 декабря 199С г. Отпечатано и Институте гидродинамики им. М. А.Лавреитьева. 630090 Ноиоеибирск, пр. ак. Лаврентьева, 15.

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. Моделирование трехмерных задач переноса консервативных загрязняющих примесей в пористой среде

§1. Математическая модель.

§2. Применение противотокового весового метода конечных элементов.

Глава II. Алгоритм решения задачи.

§3. Автоматическая подготовка данных.

§4. Описание численного алгоритма решения.

§5. Расчёт моделей переноса консервативных примесей в пористой среде с неоднородными условиями.

Глава III. Пространственные задачи переноса реагирующих и нереагирующих веществ в пористой среде.

§6.Трёхмерный перенос загрязнений с учетом физической сорбции.

§7. Задача распространения многокомпонентного раствора в присутствии реакций сорбции и комплексообразования.

§8. Задача пространственного взаимодействия фильтрационного течения с лучевым дренажём. $

Растущая опасность загрязнения подземных вод и результате антропогенного и техногенного воздействия на окружающую среду (промышленные и бытовые отходы, попадающие в почву, некоторые технологии добычи полезных ископаемых и т. д.) ставит проблему охраны качества водных запасов на одно из первых мест. Это. и свою очередь- приводит к необходимости совершенствовать методы прогнозирования распространения загрязняющих веществ, более глубокого исследования физико-химических механизмов взаимодействия их между собой и с пористой средой.

Прогнозные расчёты переноса примесей базируются на использовании математических моделей, учитывающих движение грунтовых вод и конвективно дисперсионный характер распространения присутствующих в растворе веществ. С учетом происходящих попутно химических реакций и сорбционных процессов математические модели усложняются, они становятся нелинейными, что в свою очередь приводит к дополнительным трудностям при решении соответствующих начально краевых задач.

Для описания движения переноса консервативных примесей в норнГ стой среде в основном применяются двумерные модели (плановые или профильные, в зависимости от того, по какой из пространственных координат делают усреднение). Моделирование проводится на основе системы уравнений, включающей в себя фильтрационное уравнение, описывающее движение грунтовых вод через пористые среды, и уравнение конвективной дисперсии, отражающее процесс переноса загрязняющих веществ. Особый интерес представляют модели с преобладающей конвективной составляющей. Известно, что решение таких задач достаточно сложная проблема . К настоящему времени разработано много численных методов'для их решения, описанных в литературе, например, метод характеристик |19. 21|. копечпо-разпостпые методы различных модификаций [10, 22, 24, 25, 39], метод подвижных сеток [34], метод коллокации |17| и сочетание этих методов.

Однако существует ряд задач, когда требуется пространственное описание процессов переноса примесей в пористой среде. Эта необходимость возникает в тех случаях, когда усреднение характеристик модели по пространственным переменным значительно иекажа.ет расчетные результаты. например, при наличии различных псодпородпостей. таких как участки с резко отличающейся гидропроводимостыо. несовершенных скважин 13 мощных пластах и т. д. Дополнительным аргументом в пользу применения трёхмерных моделей служит сам пространственный (объёмный) характер явления дисперсии. Замечено, что даже небольшая поперечная дисперсия, действующая длительное время, существенно влияет на конфигурацию следа загрязнения.

Развитие вычислительной техники в последнее десятилетие способствовало усилению интереса к пространственным задачам как у пас. гак и за рубежом. Появление мощных ЭВМ и развитие на их базе векторного программирования позволило решать отдельные проетрапетвоппые задачи |20. 35|. Но большой объем вычислений, требуемый при трёхмерном моделировании сужает круг решаемых задач и вынуждает исследователей вносить упрощения, исходя из конкретного физического описания моделируемого объекта. Исходя из вышесказанного, можно выделить несколько методов решения пространственных задач, описанных в литературе.

В работе |27| предлагается при моделировании переноса примесей в многослойных системах с контрастной гидравлической проводимостыо воспользоваться упрощениями, исходя из физических свойств грунта. Уравнения, описывающие течение в слабопроницаемых слоях, принимаются одномерными, в них входит только вертикальная составляющая движения раствора. Решение этих уравнений сводится к вычислению некоторых аналитических выражений в виде интегралов свертки. В остальных областях движения уравнения принимаются трёхмерными, но без источниковых членов и без членов со смешанными производными по пространственным переменным. Внедиагопальпые члены тензора гидродинамической дисперсии предполагаются нулевыми. Упрощенный подход также используется при решении задачи вторжения соленой воды в прибрежные водоносные слои |26j и при моделировании течения грунтовых вод в переменно-насыщенной пористой среде [28|. Элементные матрицы в |28| вычисляются в упрощенном виде с помощью та.к называемых «коэффициентов влияния». Однако применяемый в этих работах метод Галеркипа позволяет получить решения, свободные от ое-цилляций. только для мелкой сетки и при больших 'значениях продольной и поперечной дисперсий. Следует отметить эффективность метода переменных направлений в сочетании с методом Галеркина [15. 18]. В работе |15] расщепление применяется в два этапа. Сначала уравнение интегрируется как двумерное с применением линейных базисных фупкцпй. затем применяют конечные разности по третьей координате. Этот метод совмещает простоту вычислений конечно-разностных методов с возможностью аппроксимации криволинейных границ конечными элементами. Расщепление пространственных координат в работе |18| осуществляется по схеме переменных направлений с применением метода конечных элементов. На каждом из трех дробных шагов по времени выделяется одно координатное направление. При этом соответствующие ему интегрируемые уравнения и базисные функции становятся одномерными. На примере расчетов пространственной задачи распространения загрязнения от источника, расположенного на верхней границе, показано, что форма и распространение пятна загрязнения значительно отличаются от расчётов но двумерным задачам для различных значений коэффициента поперечной дисперсии а*. Однако жесткие ограничения на числа Пекле и Куранта по каждому из координатных направлений

Ре, = Ь^<2, Си, = М* < * Du ~ Ах, ~ 2 сужают область применимости метода для задач с преобладающей конвекцией. Такие задачи часто возникают при моделировании переноса примосей в неоднородных толщах, которые могут включать в себя породы с высоко проводящими свойствами.

Для решения подобных задач наиболее перспективным представляется развитие техники противотоковых весов [37, 38|. Эта техника позволяет подавлять осцилляции в решениях и является наиболее экономной и простой с точки зрения затрат1 времени и памяти ЭВМ. так как при этом возникает возможность решать некоторые задачи даже па грубой сетке.

При моделировании переноса загрязняющих веществ в основном исследуют распространение1 консервативных примесей. Однако реально загрязнения могут представлять собой сложный набор химических веществ. вступающих во взаимодействие между собой и с пористой средой. Если в составе растворов содержатся множество компонент, то взаимодействие их в виде ионного обмена, сорбции, комплексообразования может значительно влиять па характер распределения концентраций. В этом случае помимо фильтрационного уравнения и уравнений конвективной дисперсии для компонент раствора система включает кинетические соотношения, отражающие физико- химические процессы.

Математическое описание задач переноса реагирующих веществ зависит от типа и скорости химических реакций [34|. В работе [40] рассматриваются различные подходы при решении систем уравнений, состоящих из уравнений переноса многокомпонентных растворов и уравнений кинетики. В предположении химического равновесия дифферепниал ьмыс уравнения кинетики заменяются алгебраическими соотношениями. Возможность такого упрощения зависит от величины безразмерных параметров чисел Дамкедера. Это исследовано в работе [29].

В основном в. литературе но многокомпонентному переносу хорошо исследованы одномерные |34. 30] и двумерные модели с постоянной скоростью фильтрации [8].

Настоящая диссертация посвящена численному моделированию переноса консервативных и пекопеервативпых веществ в пористых средах. В ней рассматриваются математические модели, описывающие совместное движение грунтовых вод и растворённых в них примесей. Исследуются способы численной реализации, основанные па методе конечных -цементов. Для различных систем уравнений предлагаются численные ал го-, ритмы, учитывающие особенности постановки каждой задачи. С помощью численных экспериментов исследуется влияние пространственного представления при моделировании процессор, переноса и зависимость решений задам от различных физико-химических параметров, входящих в основную систему уравнений, которые описывают движение:! многокомпонентных растворов.

Основное содержание! диссертации составляют результаты работ |1. 2. 3. 4. И, 31]. Охарактеризуем более подробно содержание диссертации, состоящей из трёх глав.

Первая глава посвящена математической постановке трёхмерной задачи переноса нереагирующих загрязняющих примесей в пористой среде и адаптации метода конечных элементов для решения поставленной задачи.

В §1 рассмотрена общая модель переноса консервативных веществ в пористой среде, предложенная ранее в работе |16|. Модель представляет собой систему дифференциальных уравнений неустановившегося движения грунтовых вод и конвективно дисперсионного переноса. Отмечается существенное влияние параметров исходной системы уравнений, на качественное поведение решения данной задачи.

В §2 описывается противотоковый весовой метод конечных элементов па основе локального баланса, предложенный в работе [39] для решения уравнения конвективной дисперсии. Здесь использовался метод конечных элементов для совместного решения системы уравнений.

Во второй главе диссертации онисап алгоритм решения задачи, включающий в себя сложную систему подготовки данных и решения её с помощью численных средств. Приведены результаты численных расчётов модели переноса примесей, демонстрирующие особенности данной модели и эффективность применения численного метода.

В §3 описывается алгоритм автоматической подготовки данных, подобный предложенному в работе [33] для двумерных задач, и распространённый на трёхмерный случай. В пего входит автоматическое покрытие области решения задачи узлами сетки, послойная триангуляция области и последующее построение призматических элементов.

В §4 рассмотрены особенности реализации численного алгоритма для решения системы линейных алгебраических уравнений с разреженной матрицей. Предлагается способ храпения в памяти компьютера только ненулевых элементов матрицы. Система решается с помощью поточечных итерационных методов.

В §о приведены сравнительные результаты решения тестовых и модельных одномерных, двумерных и трёхмерных задач. Исследуется поведение решений при различных соотношениях гидравлической проводимости и коэффициентов дисперсии для областей с неоднородным сложением в толще грунта с источниками и стоками в виде скважин.

Третья глава посвящена описанию пространственных задач переноса реагирующих веществ в пористой среде и особенностям их решения.

В §6 рассмотрена трёхмерная модель переноса двухкомпопептпого реагирующего раствора. Данная модель представляет собой систему, состоящую из уравнения фильтрации, двух уравнений конвективной дисперсии веществ, присутствующих в растворе и уравнений химических связей в виде законов действующих масс. В зависимости от заданных условий используются либо уравнения кинетики, либо, в предположении мгновенного равновесия, алгебраические соотношения. Для решения соответствующих краевых задач применялось сочетание метода конечных элементов с конечно разностным методом. Проведено численное исследование модели при различных условиях химического взаимодействия.

7 посвящен пространственной задаче трёхкомпопептпого переноса с учетом физической сорбции и комплексообразоваппя. Модель была основана на системе,включающей в себя дифференциальное уравнение1 фильтрации, четыре уравнения конвективной дисперсии по количеству компонент раствора, вступающих в реакцию и продукта комплексообразоваппя. а та, к же трёх уравнений химических связей. Проведены численные расчеты и исследовано поведение концентраций для различных-кинетических констант.

В заключительном §8 рассматривался процесс переноса примеси па фойе движения грунтовых вод к лучевому дренажу. Была представлена математическая модель в виде фильтрационной задачи и уравнения движения потока в лучах дренах водозабора. Эти уравнения были связаны условиями сопряжения. Для решения использованы как локально балансовый метод конечных элементов, так и конечно разностная аппроксимация. Приведены сравнительные расчёты с результатами расчётов задачи, в которой распределение напора в трубах задавалось постоянным. Показано, что перенос в толще, где располагается лучевой дренаж, посит выраженный пространственный характер. Все результаты проиллюстрированы графиками.

Результаты диссертации по мерс их получения докладывались на семинарах лаборатории фильтрации Института гидродинамики СО РАН (рук. зав. лаб. В.И. Пеньковекий); на Всесоюзном науч. совещании «Моделирование и прогнозирование изменений природных условий при перераспределении водных ресурсов» (Новосибирск. 1987 г.): на Всесоюзном семинаре «Математическое моделирование гидрогеологических процессов» (Душанбе. 1991 г.); па Первой Всесибирской конференции по математическим проблемам экологии (Новосибирск, 1992 г.); на Второй Всероссийской конференции по математическим проблемам экологии (Новосибирск, 1994 г.): на Международном симпозиуме; «Гидрогеологические и экологические процессы в водоемах и их водосборных бассейнах» (Новосибирск, 1995 г.); на Международной конференции «Математические модели и численные методы механики сплошных сред» (Новосибирск. 199G г.), а также были представлены па 22 ой Генеральной Ассамблее; Европейского геофизического общества (Вена, 1997 г.) и на 24 й Генеральной Ассамблее EGS (Гаага, 1999 г.).

Автор выражает искреннюю благодарность В.И.Пеньковскому за научное руководство и сотрудникам лаборатории фильтрации С.Т. Рыбаковой и A.A. Кашеварову за помощь в работе.

Основные результаты:

1. Предложен метод и разработан алгоритм решения трёхмерных моделей течения грунтовых вод и переноса примесей. Метод включает конечно-элементную аппроксимацию на основе локального баланса при наличии весовых функций для подавления осцилляций в решениях.

2. Создана методика, и разработан алгоритм подготовки начальных данных, включающий в себя автоматическое разбиение трёхмерной области на призматические конечные элементы и экономичное представление разреженных матриц больших алгебраических систем уравнений.

3. На примерах расчётов тестовых и модельных задач показана необходимость применения пространственного описания моделей в условиях неоднородной пористой среды, наличии в ней участков с высокой гидравлической проводимостью, присутствии источников-стоков в виде скважин.

4. Проведено сравнение с литературными данными. Показана эффективность весового метода конечных элементов для задач с преобладающей конвективной составляющей, а также для задач с наличием неоднородных участков в толще. Проведено численное исследования поведения решения в зависимости от различных параметров задачи.

5. Исследовано влияние физико-химического взаимодействия на поведение решений конвективно-дисперсионной задачи на примерах расчёта моделей распространения двухкомпонентного раствора с учетом физической сорбции и трёхкомпонентного раствора в присутствии реакций сорбции и комплексообразования. Показано, что учёт химических реакций значительно усложняет картину распределения концентраций. Проведено сравнение с решением двумерной задачи и показано значительное отличие в решениях. Изучено поведение решений относительно параметров модели (констант химических реакций).

6. Проведено численное исследование процесса переноса примесей в толще с действующим лучевым дренажем. Взаимодействие грунтового потока с потоком воды в лучевых дренажных трубах носит ярко выраженный пространственный характер, что указывает на необходимость использования разработанной трёхмерной модели.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрены вопросы моделирования и численной реализации пространственных моделей переноса загрязняющих примесей в пористой среде на фоне усложнённой фильтрационной картины течения (неоднородности среды, наличия источников и стоков в области течения), с учетом физико-химического взаимодействия компонент растворов между собой и со скелетом грунта. На основе численных экспериментов проведено исследование особенностей процессов распространения примесей в этих сложных условиях.

1. Корсакова Н.К. Трехмерный перенос загрязнений в пористой среде // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1994. Вып.108. С.14-26.

2. Корсакова Н.К. Численное моделирование трехмерного переноса загрязнений с учетом физической сорбции в пористой среде // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1996. Вып.111. С. 49-58.

3. Корсакова Н.К. Численное моделирование переноса консервативных и неконсервативных примесей в пористой среде // Водные ресурсы. 1996. Т 23, № 6. С. 672-678.

4. Корсакова Н. К. Численное моделирование пространственного взаимодействия фильтрационного течения с лучевым дренажем // Математические модели фильтрации и их приложения: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1999. С. 111-116.

5. Корсакова Н, К. Численное моделирование трехмерного переноса загрязнений в пористой среде // Тез. докл. Второй Всероссийской конференции по математическим проблемам экологии. Новосибирск. 1994. С. 24.

6. Корсакова Н. К. Численное моделирование многокомпонентного пространственного переноса в пористой среде // Тез. докл. Международного симпозиума «Гидрогеологические и экологические процессы в водоемах и их водосборных бассейнах». Новосибирск. 1995. С. 90.

7. Пеньковский В. И., Рыбакова С. Т Численное моделирование процессов массопереноса при подземном выщелачивании / / Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1989. Вып.90. С. 81=92.

8. Полубаринова Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. М:Наука, 1977.

9. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М:Мир, 1980.

10. Рыбакова С. Т., Корсакова Н. К., Полунина И. Т. Одномерные и двумерные задачи подземного выщелачивания // Отчет по хоздоговору 21/90 «Математическое моделирование процессов фильтрации неоднородных жидкостей». ИГиЛ СО РАН. 1989.

11. Рыбакова С. Т., Корсакова Н. К. Задача переноса неконсервативных примесей в пористых средах // Тез. докл. семинара «Математическое моделирование гидрогеологических процессов». Душанбе. 1991. С. 109.

12. Рыбакова С. Т., Корсакова Н. К., Полунина И. Т. Численное моделирование процессов переноса примесей в пористых средах // Тез. докл. Первой Всесибирской конференции по математическим проблемам экологии. Новосибирск. 1992. С. 112.

13. Babu D. К., Pinder G. F. A Finite Element-Finite Diffrence Alternating Direction Algorithm for Three-Dimensional Groundwater Transport. // Adv. Water Resour. 1984. V. 7, № 3. P. 116-119.

14. Bear J. Dinamics of Fluids in Porous Media. New York, 1972.

15. Bhuiyan M. A., Allayla R. I., Hussain T. et al. Solution of the Transport Equation by the Collocation Method in Conjuction with the Adaptive Hermite Element Family // Water Resour. Res. 1990. V. 26, № 11. P. 2661-2677.

16. Burnett R. D., Frind E. O. Simulation of Contaminant Transport in Three Dimensions. 1. The Alternating Direction Galerkin Technique. 2, Dimensionality Effects // Water Resour. Res. 1987. V. 23, № 4. P. 683705.

17. Chiang C. Y., Wheeler M. F. A Modified Methods of Characteristics Technique and Mixed Finite Element Method for Simulation of Groundwater Solute Transport // Water Resour. Res. 1989. V. 25, № 7. P. 1541-1549.

18. Diersch H.-J. G. Computational aspects in developing an interactive 3D groundwater transport simulator using FEM and GIS // IAHS Publ. 1994. № 220. P. 313-326.

19. Heinrich J. C., Huyakorn P. S., Zienkiewicz O. C. et al. An "Upwind"Finite Element Scheme for Two-Dimesional Convective-Transpört Equation // Int. J. Numer. Method. Eng. 1977. V. 11, № 1. P. 131-143.

20. Hughes T. J. E. (Ed.) Finite Element Methods for Convection Dominated Flow. New York: ASME, 1979.

21. Huvakorn P. S., Andersen P. F., Mercer J. W. et al. Saltwater Intrusion in Aquafer: Development and Testing of a Three-Dimensional Finite Element Model // Water Resour.Res. 1987. V. 23, № 2. P. 293-312.

22. Huyakorn P. S., Jones B. G., Andersen P. F. Finite Element Algorithm for Simulating Three-Dimensional Groundwater Flow and Solute Transport in Multilayer System // Water Resour. Res. 1986. V. 22, № 3. P.361-374.

23. Huyakorn P. S., Springer E. P., Guvanasen V. et al. A Three-Dimensional Finite Element Model for Simulating Water Flow in Variably Saturated Porous Media // Water Resour. Res. 1986. P. 1790-1808.

24. Jennings A. A., Kirkner D. J. Instantaneous Equilibrium Approximation Analysis // J. Hydraul. Eng. ASCE. 1984. V. 110, № 12. P. 1700-1717.

25. Korsakova N. K. A three-dimensional reactive contaminant transport in porous media //Annales Geophysical Supplement/ 22nd General Assembly of EGS. 1997. V. 15, Part. 2. P. 265-287.

26. Lo S. H. A New Mesh Generation Scheme for Arbitrary Planar Domains // Int. J. Numer. Method. Eng. 1985. V. 21, № 8. P. 1403-1426.

27. Mueller A. C., Carey G. F. Continuously Deforming Finite Elements // Int. J. Numer. Method. Eng. 1985. V. 21. P. 2099-2126.

28. Rubin J. Transport of Reacting Solutes in Porous Media: Relation between Mathematical Nature of Problem Formulation and Chemical Nature of Reaction // Water Resour. Res. 1983. V. 19, № 15. P .1231-1252.

29. Sommerijer B. P., Van der Houwen P. J., Kok J. Time integration of three-dimensional numerical transport model // Appl. Numer. Math. 1994. V. 16, № 1. P 201-225.

30. Sudicky E. A. The Laplace Transform Galerkin Technique: A Time-Continuous Finite Element Theory and Application to Mass Transport in Groundwater // Water Resour. Res. 1989. V. 25, № 8. P. 1833-1846.

31. Sun N. -Z., Yeh W. W. -G. A Proposed Upstream Weith Numerical Method for Simulating Pollutant Transport in Groundwater // Water Resour. Res. 1983. V. 19, № 6. P. 1489-1500.

32. Wang G., Sun N. -Z., Yeh W. W. -G. An Upstream Weight Multiple-Cell Balance Finite-Element Method for Solving Three-Dimensional Convection-Dispersion Equations // Water Resour. Res. 1986. V, 22, № 11. P. 1575-1589.

33. Yeh G. T. A Lagrangian-Eulerian Method with Zoomable Hidden Fine-Mesh Approach to Solving Advection-Dispersion Equations // Water Resour. Res. 1990. V. 26, № 6. P. 1133=1144.

34. Yeh G. T., Tripathi V. S. A Critical Evaluation of Recent Developments in Hydrogeochemical Transport Models // Water Resour. Res. 1989. V. 25, № 1. P. 93-108.