автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное моделирование нелинейных динамических систем. Реконструкция фазовой геометрии из временных рядов методами вложения

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ -АКАДЕМИЯ НАУК РК ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

ч

На правах рукописи УДК 519.86

МАКАРЕНКО НИКОЛАЙ ГРИГОРЬЕВИЧ

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Реконструкция фазовой геометрии из временных рядов методами

вложения

05.13.16 — Применение вычислительных стзепств. математического

д. ж ■ • '

моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Республика Казахстан Алматы 1998

/

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ -АКАДЕМИЯ НАУК РК ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

На ппапах рукописи УДК 519.36

МАКАРЕНКО НИКОЛАЙ ГРИГОРЬЕВИЧ

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Реконструкция фазовой геометрии из временных рядов методами

вложения

05.13,16 — Применение вычислительных средств, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Республика Казахстан Алматы 1998

Работа выполнена

в Институте Теоретической и Прикладной Математики Министерства Науки-Академии Наук РК

Научный руководитель

академик HAH PK, доктор технических наук Амербаев В.М,

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Локтионов А.А. кандидат физико-математических наук Нурмаханова М. Б.

Ведущая организация . Институт Космических Исследований

МН-АН PK

Защита состоится Л&- 4

на заседании диссертационного совета Д53.12.01 Института Теоретической и Прикладной Математики МН-АН РК по адресу: Алматы, Пушкина 125

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Теоретической и Прикладной Математики

Автореферат разослан 3-Х 998г.

Ученый секретарь диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В работе численными методами топологической динамики и математической морфологии строятся и исследуются коепыотерные модели сложных природных и техногенных процессов в сейсмологии, физике Солнца и гидрологии.

Актуальность темы.

За последние два десятилетия в исследовании нелинейных процессов было сделано несколько значительных открытия, изменивших наши представления о природе нелинейности. Одним из результатов является возникновение новой теоретической КОНСТруКЦКИ СГг1рйННОсО ийиирйКПЬОрй. ОкйЗоЛССЬ, ЧТО ДаЖС В

системах детерминированных уравнений с небольшим числом степеней свободы может возникать стохастическое поведение. Для этого существенна качественная природа уравнений, а не их размерность. Если уравнения таковы, что решения сильно зависят от начальных условий, малые погрешности начальных данных экспоненциально растут в фазовом потоке, и начиная с некоторого момента времени, будущее состояние системы становится непредсказуемым. Этот процесс может происходить даже в диссипативных системах, в которых имеет место сжатие объема в фазовом потоке. Траектории такой диссипативной системы заполняют низкоразмерное инвариантное притягивающее подмножество (аттрактор) в фазовом пространстве.

С точки зрения внешнего наблюдателя аттрактор ведет себя как гибкий (хотя не вполне управляемый) информационный процессор, обрабатывающий информацию о начальных данных. Его траектории разбегаются в одних (неустойчивых) направлениях и сжимаются в других - устойчивых. Вследствие диссипации, сжатие преобладает и в устойчивых направлениях аттрактор копирует сам себя: сечение фазового потока приобретает самоподобную (странную) структуру канторова множества с дробной размерностью.Такая «аппаратурная реализация» может исполнять очень сложный функциональный репертуар, меняя поведение от относительно простого, квазипериодического до стохастического.

Интерес к странным аттракторам вызван по меньшей мере двумя обстоятельствми. Во первых, большинство типичных природных систем являются диссипативными и описываются нелинейными уравнениями. Сценарий перехода к хаосу определяется главным образом типом нелинейности, а их не так много. Следовательно, асимптотические режимы таких систем в определенном смысле можно классифицировать. Во вторых, самоподобная структура аттрактора позволяет восстановить его

фазовый образ (с точностью до диффеоморфизмов и предположений о типичности), по проекции на произвольное направление. Формально такая реконструкция представляет собой дифференцируемое вложение в евклидово пространство соответствующей размерности. Таким образом, появляется уникальная возможность реконструировать универсальную модель системы непосредственно из наблюдаемых временных рядов.

Этот подход незаменим в большинстве_ интересных случаев, когда аналитические модели либо неизвестны, либо их решения требуют упрощений, которые не приемлемы для практических приложений. Именно такие случаи рассматриваются в диссертации.

Объекты исследования и источники данных.

Объектами исследования являлись : •нестационарная динамика сейсмических событий - ядерных взрывов и землетрясений

• динамические режимы в региональной сейсмичности

• хаотическая динамика глобального магнитного поля Солнца •колебания уровня Каспийского моря на разных масштабах времени

В качестве материала для численных экспериментов были использованы следующие данные:

♦каталог цифровых данных комплексной сейсмологической экспедиции Объединенного Института Физики Земли РАН •отдельные записи сейсмограмм ядерных взрывов станции NIL (Пакистан)

•каталог сейсмических событий Восточного Тянь-Шаня. 1965-1995 •Southern California!) Hypocenter's Data File. 1932-1993 •синоптические карты магнитного поля Солнца (Пулково ГАО) •Цюрихский ряд чисел Вольфа

•данные колебания уровня Каспийского моря (Институт Океонологии РАН)

В качестве нейроимитатора использовался базовый менеджер МУЛЬТИНЕЙРОН, версия 2.0, разработанный в Красноярске.

Цели и задачи исследования.

Целью исследований является разработка новых численных методов диагностики и анализа распределенных систем с хаотическим поведением.

В задачи входит создание компьютерных и нейрокомпьютерных моделей динамических систем в сейсмологии, астрофизике и геофизике, сравнение результатов моделирования с экспериментальными данными, и построение прогностических схем.

Научная новизна работы.

• Разработан новый подход к проблеме дискриминации взрывов и землетрясений, основанный на использовании масштабной информации в сигнале и технике топологических вложений.

• Разработан и апробирован новый метод анализа региональной сейсмичности на основе функционалов Мииковского.

• Впервые получена реконструкция динамики глобального магнитного поля Солнца на основе топологической информации синоптических карт и методов математической топологии.

• Построены топологические модели нелинейной динамики уровня Каспийского моря и разработана рабочая схема нейропрогноза уровня бессточного водоема.

Практическая значимость.

• Разработанный метод нейросетевой дискриминации ядерных взрывов и землетрясений проходит апробацию и может быть использован в мониторинге контроля за нераспространением ядерных испытаний.

• Выделение типичных режимов региональной сейсмичности с помощью предложенных морфологических мер может быть использовано в практических схемах долгосрочного прогноза сильных землетрясений.

• Методы контурной статистики, примененные для анализа фоновых полей Солнца, с успехом работают в диагностике радионуклидных загрязнений территории, примыкающих к Семиполатинскому ядерному испытательному полигону.

• Разработанная схема нейропрогноза уровня Каспийского моря может быть, полезна в стратегических планах развития Прикаспийского региона.

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:

• Современные проблемы Солнечной Активности, 1997, Санкт-Петербург;

• Новый цикл активности Солнца, 1998, Санкт-Петербург;

• International Conference on Problems of Geocosmos, St. Peterburg, 1998,

• Event Screening Workshop Beijing'97. November 4-7.1997. China,

• American Geophysical Union Chapman Conference on Fractal Scaling, Nonlinear Dynamics, and Chaos in Hydrologic Systems, May 12-15, 1998, Clemson University p. 19

Разработанные методы используются при выполнении гранта ШТАБ 95-0053 и ряда хоздоговорных работ.

Методы исследования: в Численные методы эргодической теории гладких динамических систем используются для реконструкции фазовых портретов по сейсмическим сигналам, индексам солнечной активности и временным рядам уровня Каспия. Полученная реконструкция позволяет оценить размерность (число уравнений) универсальной модели и диагностировать динамические режимы.

• Дифференциальная топология и интегральная геометрия применяются для извлечения информации из топологической сложности сечений графиков физических полей и потоков сейсмических событий.

На защиту выносятся:

• компьютерная методика использования скейлинговой информации в проблеме дискриминации ядерных взрывов и землетрясений

• диагностика сейсмических режимов региона по дискретным потокам событий с помощью функционалов Минковского

• методы дифференциальной топологии для реконструкции динамики глобального магнитного поля Солнца

» А*»лт"тч> ггт ттт тд »»лттатт ггтптп< кгт»т» (\ал/Углттлг»л плттлмю " Ш1/44I <мкппсм<- тидыхи дппашгш.п цч/ди^ши

Данные о структуре и объеме диссертации.

Диссертация состоит кз введения, пяти глав, заключения, списка используемых источников и приложения. Работа содержит страниц машинописного текста, 30 рисунков и библиографию из 90 наименований.

Содержание работы.

Во введении кратко излагается история подхода, актуальность темы, рассмотренные задачи и структура диссертации.

В главе 1 приводятся основные идеии эмбедологии (процедуры вложения) и теорема Такенса.

В главе 2 рассмотрена проблема распознавания сейсмических источников (ядерных взрывов и землетрясений) по наблюдаемым временным рядам. Подчеркивается, что нелинейные подходы оправданы здесь прежде всего специфическими свойствами литосферы как фрактальной среды. В этой ситуации скейлинговый

анализ сигнала и (или) его многомерных прототипов (вложений) (Рис. 1) способен отслеживать корреляции высокого порядка в сигнале, связанные с предполагаемыми различиями очагов для взрывов и землетрясений, а также сценариями их подготовки. Эти различия заключаются в разной структуре очагов: локальной для взрывов и распределенной для землетрясений. Извлечение информации, ответственной за такие различия, недоступно

Рис. 1. Ядерный взрыв. 09.09.1984. Землетрясение. 04.04.1989. Ворохово. 8Т8. (Талгар). Вложение в II2 . (Талгар) .Вложение в Я2.

100 МГ.......—~ I 1

VI (0 ) —■—8 5-70 —X—7 1-7 5 —М—76-80 —А.—6 1-8 5 ——ве-зо —•-9 1-95 -------С • К!

1 2 3 г 4

Рис.2 Функционал (площадь покрытия В(г)) в зависимости от радиуса.

Показано, что скейлинг взрывов и землетрясений различен. Функциональная форма корреляционной размерности положена в основу нейросетевого распознавания событий. Тестовая выборка включала 28 взрывов и 22 землетрясения. Для распознавания

использовалось 25 событий. Эффективность распознавания составила 89 %.

В главе 3 рассмотрена задача диагностики дискретных выборок в сейсмологии, которая возникает в рамках проблемы долгосрочного прогноза сильных землетрясений. Для этого прежде всего необходимо научится выделять типичные сейсмические режимы в регионе. Наблюдательными выборками является обычно поток событий, отраженных в каталогах землетрясений. Известные методы пригодны лишь для глобальной сравнительной морфологии, поскольку требуют объемов выборки накопленных на интервалах времени, сравнимых с временем существования инсгоументгльной сейсмологии. Такие масштабы интегрируют вариабельность сейсмической активности, связанной с подготовкой сильных землетрясений. В диссертации используются функционалы Минковского (Рнс;2), которые являются робастными морфологическими мерами сложности для дискретных реализаций и способны отслеживать перестройку пространственной сложности на временных масштабах, имеющих прогностическую ценность. Функционалы вычислены для реальных выборок Восточного Тянь-Шаня и Калифорнии. Результаты сравниваются с моделями случайных процессов.

В 4 рассматриваются методы использования топологической информации для реконструкции динамики глобального магнитного поля Солнца. Магнитное поле Солнца складывается из двух компонент: слабого глобального (фонового) поля и поля пятен, с напряженностью на 2-3 порядка выше и локализацией в экваториальной (королевской) зоне. До сих пор существуют две конкурирующие точки зрения на их взаимную связь: первая сводится к тому, что фоновое поле представляет результат распада и диффузии пятен; вторая предполагает разные механизмы происхождения фоновой и пятенной составляющей. Для решения этой задачи используются реконструкции, полученные по характеристике Эйлера и временному ряду чисел Вольфа. Указывается, что топологический индекс является физически информативным по сравнению с рядом чисел Вольфа; доказано, что магнитное поле управляет процессом образования пятен. Топологическая информация, полученная предложенными методами, может быть использована в комбинации с методами мультиразрешения (Рис.3).

/»nalyzed Signal

Values Ca.t> a » J1:1 - Caloretion mod* : tnf + by »

400 -200 300 A00 500 GOO 700 £00 000 1000

Рис.3 Вейвлет-аиализ временного ряда х-

В главе 5 рассмотрена задача моделирования режимов крупнейшего бессточного водоема - Каспийского моря. Распространенные простые балансовые модели марковского типа не привели к корректному прогнозу, что по видимому связано с нетривиальной статистической связью слагаемых балансовой арифметики. Применение методов вложения, дополненных . фрактальной интерполяцией палеоданных уровня (Рис.4) позволяет идентифицировать динамику Каспия на различных временных масштабах. В частности, удалось обнаружить типичность бистабильных режимов масштабов времени, отличающихся на порядки.

Найденный эффект персистентности может иметь несколько причин: стохастический резонанс, сильное последействие временного ряда (фрактальный гауссовский процесс) или автомодельность. В любом из вариантов, скейлинговый анализ предпочтительней линейных схем, хотя бы из-за качества и неэквидистантности данных. С другой стороны, алгоритм Такенса позволяет сделать нелинейный локальный прогноз, пример которого приведен в работе (Рис. 5).

Рис.4

Фрактальная аппроксимация ряда столетних значений, случайный скейлинговый коэффициент изменяется в интервале [-0.417-0.417].

Рис. 5.

10-летние значения временного ряда уровня Каспия (-600 г. A.C. - 1980 г. B.C.) Для обучения нейросети использовались отсчеты ряда до 1550 г. Эпигноз показан в выделенном фрагменте.

Благодарности.

Автор выражает искреннюю благодарность своим коллегам: Беляшову Д. Н. (ИГИ), Куклину Г. В. (ИСЗФ), Макарову В. И. (ГАО), Понярину Д. И. (ИФЗ), Обридко В. Н. (ИЗМИРАН), Амербаеву В. М. (ИТПМ), Дергачеву В. А. (ФТИ), Михайловой Н. Н. (ИФЗ) и участникам фрактального семинара ИТПМ.

и

Основные результаты исследования.

• Разработан и опробирован эффективный метод распознавания природы сейсмических источников, основанный на

использовании топологических вложений сигнала в Rn. Метод реализован на нейросети.

• Сделано сравнение региональной сейсмической активности Восточного Тянь-Шаня и Калифорнии с применением робастных морфологических мер.

« Получен временной ряд топологических индексов магнитной активности Солнца и доказана доминирующая роль глобального магнитного поля Солнца в его взаимосвязи с процессами образования пятен.

• Сделана оценка размерности магнитного аттрактора Солнца по реконструкции временного ряда топологических индексов.

• Получены оценки кореляционной размерности для топологических моделей (вложений) колебания уровня Каспия.

• Обнаружена бистабильность динамики уровня на трех масштабах времени.

• Разработана компьютерная модель прогноза уровня Каспия с использованием нейросети.

Идеи, лежащие в основе упомянутых основных результатов, являются авторскими. Тем не менее, большая часть опубликованных работ сделана з соавторстве с коллегами, постоянные дисскусии с которыми, стимулировали решение многих задач. Методы применялись к разным областям науки и, естественно, постоянные консультации со специалистами (Беляшов Д. Н., Макаров В. И., Машкенов С. А.) з каждой конкретней области быта неизбежны. Соавторы некоторых работ (Каримова JI. М., Терехов А. Г., Демченко Б. И., Тшценко А. В.) обеспечивали компьютерные эксперименты.

Результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Макаренко Н.Г., Мажкенов С.А., Белослюдцев О.М., Каримова JI.M., Курскеева Г.А. О корреляционной размерности геомагнитного аттрактора. II ДАН HAH РК 1992. №3.48-53.

2. Макаренко Н.Г., Мажкенов С.А., Каримова JI.M., Терехов А. Г. Скейлинговые свойства аттрактора, реконструированного по геомагнитным данным. II ДАН HAH РК 1993. №2. 48-53.

3. Makarenko N., Mazhkenov S., Karimova L., Kurskeeva G. About earthquake prediction by geomagnetic data. II Inland Earthquakes. 1994. v.8. N4. 44-48.

4. Макаренко Н.Г., Маяокенов С.А., Каримова Л.М., Терехов А.Г. Контурная статистика геомагнитных полей. //ДАН РК. 1996. №1. 51-56

5. Мажкенов С.А., Макаренко Н.Г., Терехов А.Г. Графодинамика и особенности региональной сейсмичности в Восточном Тянь-Шане. // ДАН РК 1994. №3. 67-73.

6. Makarenko N.G. Analysis of geophysical data: the nonlinear tool //in Book of Abstracts, International Conference on Problems Geocosmos, June29-July 3.1998. St.Peterburg, 5

7. Айшшова Г.К., Макаренко Н.Г., Макаров В.И., Тавастшерна К.С. и др. Об оценке параметров размерности фонового магнитного поля Солнца на основе Н-альфа карт // Солнечные данные. 1992. №3..97-103

8. Макаренко Н.Г., Каримова Л.М., Макаров В.И., Тавастшерна К.С. Контурная статистика крупномасштабных солнечных полей.//сб.Современные проблемы солнечной цикличности. Санкт-Петербург. 1997.139-143'

9. Мосин А.П., Макаренко Н.Г. Топологическая размерность солнечного аттрактора по рядам Вольфа // сб. Проблемы солнечной активности. Ленинград. ФТИ им.Иоффе. 1991..89-94.

10. Макаренко H.F., Каримова JI.M., Нагай Т.В. Эмбедология, солнечные циклы и прогноз динамики Каспийского моря II в сб. Современные проблемы солнечной цикличности. Санкт-Петербург, 1997,144-148.

11. Макаренко Н.Г. Многообразия, вложения, погружения и трансверсальность. // сб. Проблемы солнечной активности. Ленинград. ФТИ им.Иоффе. 1991. 14-27.