автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование некоторых процессов горения на основе явных и явно-неявных разностных схем

На правах рукописи

ЗОТКЕВИЧ Александр Андреевич

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРОЦЕССОВ ГОРЕНИЯ НА ОСНОВЕ ЯВНЫХ И ЯВНО-НЕЯВНЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск, 2004

Работа выполнена в Институте вычислительной математики и. математической геофизики СО РАН.

Научный руководитель: д.ф.-м.н., профессор

Ю.М. Лаевский

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., профессор

В.В. Пененко, к.ф.-м.н., доцент ГА Чумаков

Ведущая организация: Институт гидродинамики СО РАН,

Защита состоится 24 ноября 2004 г. в 15 часов на заседании специализированного диссертационного совета Д 003.061.02 при Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, пр. Академика Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ИВМиМГ СО РАН.

Автореферат разослан 22 октября 2004 г.

г. Новосибирск

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н.

2005-4 13014-

Общая характеристика работы

Актуальность. Актуальность данной тематики обусловлена следующими факторами. Во-первых, это практическая потребность в моделировании процессов химической кинетики, нестационарной диффузии и теплопроводности в реальных объектах. В такого сорта задачах особенность решения реализуется лишь в небольшой области. Именно на такие задачи и ориентирован предложенный в данной работе алгоритм. Во-вторых, необходимым требованием к современным алгоритмам является возможность их эффективной реализации на многопроцессорных системах. А явные методы, как уже упоминалось, обладают универсальными возможностями для распараллеливания. В-третьих, алгоритмы должны быть надежными, а для этого необходима теоретическая обоснованность используемых методов. Перечисленные факторы говорят об актуальности рассматриваемой проблематики.

Цель работы. Численное моделирование процесса ламинарного горения в двумерном случае с использованием нового класса алгоритмов на специальной адаптивной структурированной сетке.

Научная новизна.

♦ Развивается новый подход к конструированию разностных схем решения краевых параболических задач, описывающих процессы и явления со значительной пространственно-временной раз-номасштабностью.

♦ Впервые осуществлено численное моделирование процесса распространения ламинарного пламени в двумерной постановке, обеспечивающее не только качественное, но и количественное воспроизведение основных характеристик процесса.

Научно-практическая ценность. Описаная в диссертации методика может быть использована также при моделировании и других нестационарных процессов горения, например, фильтрационного горения газов. Предложенные в диссертации подходы просты в реализации и в то же время позволяют значительно сократить время счета в вычислительных экспериментах при решении задач с особенностями решения. Кроме того, благодаря тому, что рассматриваются явные схемы, предлагаемые алгоритмы могут быть эффективно реализованы на многопроцессорных ЭВМ, что позволяет сократить время счета на порядки величин. _____

ГОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ ММЮ1Ш I

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на конференциях молодых ученых ИВМиМГ СО РАН (2001, 2003, 2004 гг.); 6-th International Conference "Parallel computing technologies" (Novosibirsk, 2001); международных конференциях по вычислительной математике ICCM и МКВМ (Новосибирск, 2002, 2004 гг.); семинарах ИМВиМГ СО РАН и ИГ СО РАН.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 86 страницах и содержит список литературы из 84 наименований.

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Юрию Мироновичу Лаевскому за постоянное внимание и руководство работой.

Содержание работы

Во введении содержится обоснование актуальности темы работы, а также дан обзор методов, имеющих отношение к исследованию.

Данная работа посвящена численному моделированию нестационарных процессов со значительной пространственно-временной раз-номасштабностью, когда лимитирующим фактором при построении численного алгоритма является не его устойчивость, а точность. Ярким примером задач такого типа являются математические модели в теории горения. Процессы горения весьма разнообразны и играют существенную роль как в промышленном применении, так и в обыкновенной жизни; достаточно упомянуть двигатели внутреннего сгорания, теплоэнергостанции, сжигание бытовых отходов. Вычислительные сложности при моделировании обуславливаются наличием процессов с сильно различающимися характерными временами: малым временем химической реакции и большим временем диффузионного механизма тепловой релаксации. Высокая скорость превращения вещества вкупе с медленным распространением тепловых возмущений и диффузионного перемешивания реагирующей смеси приводят к формированию очень узкой зоны химической реакции с большими градиентами температуры и плотности Попытка моделирования таких процессов с помощью простых математиче-

ских инструментов, таких, как, например, равномерная сетка приведет либо к некорректности полученных результатов по причине недостаточного количества узлов сетки, либо к огромным вычислительным затратам. Частичным решением этой проблемы может быть использование адаптивной структурированной пространственной сетки, которая в соответствии с подходящим критерием имеет большее количество узлов в зоне горения. Такая сетка дает возможность не производить лишние вычисления в области с небольшими градиентами вкупе с достаточным количеством узлов в области существенного изменения решения. Но только использование хорошей пространственной аппроксимации при помощи адаптивной сетки не решает вопроса построения эффективного алгоритма. Особенно это касается 2-х и 3-х мерных моделей. Так, автору не известна ни одна работа по численному моделированию распространения фронта неодномерного ламинарного пламени, в которой бы не качественно, а количественно воспроизводилась бы скорость распространения пламени.

Как уже говорилось, одним из основных факторов при выборе параметров схемы является точность по временной переменной. При этом применение неявных схем не спасает положение, поскольку шаг по времени, требуемый для обеспечения точности, соответствует шагу явной схемы. Но только (и это самое важное) в очень небольшой пространственной области. В обычных однородных явных схемах условие устойчивости является глобальным - ориентируется на самый мелкий пространственный шаг. В данной работе мы ориентируемся на новый класс "составных" явных и явно-неявных схем, в которых условие устойчивости локализуется по пространству. Помимо простоты реализации такие схемы допускают очевидное естественное распараллеливание вычислений.

Также во введении приводится модель ламинарного горения, рассматриваемая в данной работе. Моделирование производится в области между двумя бесконечными в направлении одной из осей, например, ОУ, пластинами. Область решения представляет собой произвольное прямоугольное сечение, сделанное при фиксированном У0. Процесс описывается системой уравнений

срр^^хАт + дрш^т),

где Т - температура газа, г] - концентрация, р - плотность, Б - коэффициент диффузии, ср - удельная теплоемкость при постоянном давлении, А - коэффициент теплопроводности, ф - тепловой эффект реакции, проходящей в соответствии с законом Аррениуса

(1)

где к - предэкспонент, Л - универсальная газовая постоянная, Е -энергия активации. Для рассматриваемого случая с числом Льюиса

Условия на границах таковы: для концентрации на левой границе прямоугольника задаются условия Дирихле

на остальных границах задается условие

дг!

дп

= 0.

Для температуры на левой границе задается условие Дирихле, на правой условие

дТ дп

= 0,

на верхней и нижней границах прямоугольника задаются условия Ньютона, описывающие теплопотери

дТ дп

± а±Т = 0.

(2)

Система уравнений сводится к энтальпийной постановке: йи

ВАН,

дг

дт)

дь

(3)

где - энтальпия. Граничные условия для будут

следующими:

на левой границе прямоугольника,

дн

дп

на правой и

(Ш дп

±а±(н-У-т1- = О

(4)

на верхней и нижней границах. Собственно, данная диссертация посвящена численному исследованию данной модели при помощи составных схем на адаптивной структурированной сетке.

В главе 1 рассматривается двухуровневая явная схема с временной аппроксимацией второго порядка по одной из групп переменных и первого по другой. Выбор явной схемы обусловлен тем, что для процессов и явлений со значительной пространственно-временной разномасштабностью лимитирующим фактором при построении разностных схем является не устойчивость алгоритма, а его точность.

В п. 1.1 вводятся необходимые обозначения и формулируется метод; схема рассматривается в абстрактной форме, т. е. для двух групп переменных при блочном представлении оператора сеточной задачи с существенно различными спектральными свойствами блоков, а именно

1Ип|| « Р22||.

Постановка задачи осуществляется в конечномерных гильбертовых пространствах. Пусть Я{, г = 1,2 и Я = Н\ У. Н2 - вещественные конечномерные гильбертовы пространства. Далее, пусть Ац : III Н{, { — 1,2 и А\г : Н2 #1 - линейные непрерывные операторы, причем Ац являются самосопряженными и положительно определенными в Н(. И,наконец, А?? : Н\ Я2 - оператор, сопряженный к Аи■ Определим оператор А : Я Я как матричный оператор вида

Ац А12

( Ап А12 1 [ гА?2 А22 ) '

Предполагается, что оператор является положительно полуопределенным.

В пространствах Н\ и Н2 рассмотрим следующую двухуровневую

п+5

разностную схему: по заданным элементам /" € Яг, Д 6 Я1,

где At = тт и и® = и". В дальнейшем шаг т будем называть внутренним. Таким образом, на первом шаге осуществляется прогноз по явной схеме Эйлера для первой группы переменных. На втором шаге по результатам прогноза линейной интерполяцией находим внутренние значения переменных первой группы. Далее, по явной схеме Эйлера с внутренним шагом вычисляем значения второй группы переменных. И наконец, на четвертом шаге осуществляется коррекция решения первой группы. Отметим, что на одном шаге интегрирования Д£ только один раз вычисляется элемент Ац«""1"1, а Ап«" берется с предыдущего шага. Единственным исключением является первый шаг, на котором вычисляются два элемента •Лцг^ и Ацу\.

П. 1.2 посвящен приведению схемы к каноническому виду

(5)

позволяющему применить теорию устойчивости А.А. Самарского. Вводятся обозначения:

Исследованию устойчивости посвящены пп. 1.3-1.4 диссертации. Приведем формулировки доказанных в этих пунктах теорем.

Теорема 1 (об устойчивости по начальным данным). При выполнении условий Пусть выполнены условия

Тогда имеет место неравенство

(В-ш,и>)й > ^(Агу,ги)£, Уги € Я.

Теорема 2 (об устойчивости по правой части). Пусть выполнены условия

Тогда для решения уравнения (5) при нулевых начальных данных имеет место априорная оценка

Следствие. При условиях предыдущей теоремы справедливо неравенство

(Ли'У) < \ At (||/f ||? + 11Я11? + 4fe max 111) •

Таким образом, условия устойчивости по начальным данным двухуровневой явной схемы - это условие на шаг At, который зависит только от оператора Ац и условие на количество "внутренних" шагов т, которое зависит от оператора А^г-

В п. 1.5 приводятся некоторые численные результаты, указывающие на второй порядок точности по At.

В п. 1.6 рассмотрена модификация схемы, предложенной в п. 1.1. Это явно-неявная схема с расширенной областью устойчивости, позволяющая сосредоточить особенности алгоритма в некотором легко обратимом операторе.

В главе 2 рассматривается адаптивная подвижная сетка, специально сконструированная для решения задач с сильно меняющимися решениями.

В п. 2.1 описана структура сетки, алгоритм построения сетки, а также рассмотрен критерий построения. Приведем здесь структуру сетки и критерий ее построения.

Пусть задана некоторая исходная область. Для применения предлагаемого алгоритма построения сетки эта область должна быть каким-либо образом разбита на прямоугольники одного размера, либо на прямоугольники, длины сторон которых в 2n раз меньше длин сторон исходных прямоугольников. Набор прямоугольников одного размера будем называть уровнем, нумерация уровней будет начинаться с 0. Уровень, имеющий прямоугольники с самой большой площадью, есть нулевой уровень. Прямоугольники, составляющие уровень, будем называть ячейками. Каждый уровень описывается 2 частями, каждая из которых описывается при помощи структуры

struct MESH

vector<mVect> Level; vector<in.t> Index;

где есть вектор типа

Тип vector есть элемент STL(Standart Template Library), включенной в стандарт языка

Одна из частей, описывающих уровень, отвечает за стандартные ячейки, то есть, за прямоугольные ячейки, которые условно разбиты на 2 одинаковых треугольника (говорим здесь условно, так как информацию об этой ячейке мы можем использовать как угодно, например, считать, что прямоугольник разбит на 4 треугольника). Вторая часть отвечает за нестандартные ячейки восьми типов (Рис. 1). Нестандартные ячейки описывают соединения между уровнями к и к+1, большая разница между уровнями на соединениях запрещена.

1 2 3 4 4 6 7»

Рис. 1. Типы ячеек

Строка есть номер ячейки по горизонтали, столбец - по вертикали. Нумерация начинается с нуля. Номер считается при условном разбиении исходной области только на ячейки соответствующего уровня. Нумерация для всех уровней начинается из одной произвольной угловой точки. В структуре MESH для обеих частей, описывающих уровень, вектор Index есть упорядоченный набор номеров строк, в которых содержатся ячейки соответствующего уровня. Для стандартных ячеек вектор Level есть упорядоченный набор пар чисел. Каждая пара описывает набор прямоугольников, находящихся рядом, например, пара (2,5) опишет 4 прямоугольника, находящихся во 2, 3, 4 и 5 столбцах. Для нестандартных ячеек вектор Level есть упорядоченный по первому элементу пары набор пар чисел. Первый элемент пары описывает столбец, в котором находится ячейка, а второй ее тип.

Опишем теперь критерий, в соответствии с которым происходит изменение сетки. Для этого в явном виде должна быть задана некоторая функция F. Пусть для некоторой ячейки значения этой функции в ее вершинах есть а значение функции в центре

ячейки есть Fc. Критерием разбие"™? сти^й™ топкня и пя л опрй. , . 1 I -г 1 + F 2 + F 3 + F 4

ки уровня к + 1 является условие--Fc

I 4

> £\.

Критерием же соединения 4 ячеек одного уровня в 1 ячейку другого является условие непревышения аналогичной разностью некоторого £г для всех 4 ячеек. Для параметров £\ и £2 экспериментальным

путем было найдено оптимальное соотношение, позволяющее наилучшим образом отслеживать при движении сетки вид функции Е : 4:1.

На Рис. 2 приведена сетка, построенная с помощью функции, представляющей из себя максимум значений двух функций: (0.1 +

0.3вт4а;) и ехр ~ О-5)^ ~ 0-5)2^ в квадрате [0) 1] х [0,1].

'Л'ЛЪГЛЧ-

гжъъъъъцг:

ъъъъа:: "г*

'ЛЪ*

ЬЛК ■-■■х-УЛ"^;-.

'л*: ■ -

'ЛК. Г-у.'ЛШ

'Л*.

'ЛК • »•

'ЖК:

'лЪК ■хжаян

'Л'А'. у

ВаВДО":

ШИЛА'«.:...

'л чттепъ.

'Л'л'Л'ЛК ■■■ГЛЪ

Га'ЛГЛ'Л'Л'Л*. ;ав

'ЛГАГЛ'АГЛГ.'О Л'Л'ЛЪ'.

Рис. 2. Пример сетки

В п. 2.2 описано, каким образом реализуется движение сетки. Для сгущения и разряжения сетки достаточно взять функцию F в текущий момент времени и сгустить или разрядить сетку в соответствии с ней при помощи соответствующей процедуры. К сожалению, проверять приходится всю сетку, а не только, например, какие-либо определенные уровни. Причиной этих лишних затрат является необходимость отслеживания появления новых сгущений. Однако заметим, что, если нам известен характер процесса, то есть, например, необходимо отслеживать перемещающийся купол, то проверяется только та часть уровней, которую затронет изменение: проверка начинается с уровня с самыми мелкими ячейками и останавливается, как только один из уровней не изменил свою структуру.

В главе 3 описываются результаты моделирования ламинарного пламени в прямоугольной области при различных начальных условиях и условиях на границах. Показана корреляция результатов с формулой для скорости распространения фронта пламени по Зельдовичу (без теплопотерь, что соответствует одномерному случаю), а также картина распространения фронта для с процесса с тепло-потерями на границах при различных начальных данных, включая точечный источник.

В п. 3.1 еще раз приводится реализуемая математическая модель ламинарного пламени с Ье = 1.

В качестве функции, при помощи которой строится сетка, для моделирования процесса была использована функция ]№(г1,Т).

Описанная в п. 3.2 пространственная аппроксимация системы уравнений строится при помощи метода конечных элементов на линейных базисных функциях на сетке, описаной во второй главе.

В п. 3.3 на примере процесса без теплопотерь на границах выбираются оптимальные шаги по пространству и времени, а также устанавливается корреляция получаемых результатов с теоретическим результатом для одномерного случая. Были получены следующие оптимальные значения: длины сторон прямоугольников уровня 0: /1?0 = кг0 — 0.002, большой шаг по времени = 0.00002. Оптимальное соотношение большого и маленького шага по времени было получено равным 16 при 6 уровнях сетки. То есть минимальный шаг по пространству был следующим: = /1г6 = ^^ = 0.00003125.

П. 3.4 полностью посвящен результатам моделирования процессов с теплопотерями либо подогревом на границе.

Приведем здесь как пример серию рисунков, моделирующую распространение температурного фронта в области П = [0,0.1]X[0,0.004] для следующих физических величин:

и указанных выше оптимальных шагов по времени и пространству. При этом источник имел квадратную форму, центр источника находился в точке (0.09,0.002). Теплопотери описывались следующими параметрами: оц. = а_ = 5, Напомним, что граничные условия справа есть условия

дН_ дп

= 0,

дг] дп

= 0.

Черный цвет обозначает температуру Т = Ть, светло-серый - температуру Т = Го. Надписи в левом верхнем углу рисунка обозначают номер шага по времени. На рисунках изображена достаточная для отображения характера процесса часть области.

о

Концентрация справа стала "уходить" за границу, то есть собственно реакция в этой части области уже не идет. Исходный квадратный источник приобрел форму окружности, что соответствует физике процесса.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

1. В диссертации предложены 2 новые разностные схемы для решения краевых параболических задач, а именно: двухуровневые явная и явно-неявная схемы с временной аппроксимацией второго порядка по одной из групп переменных и первого по другой.

2. Доказаны теоремы об устойчивости по начальным данным и правой части, и показано, что условия устойчивости локализуются.

3. Реализована адаптивная структурированная сетка для решения задач с сильно изменяющимися решениями.

4. Осуществлено моделирование ламинарного пламени в прямоугольной области при различных начальных условиях и условиях на границах. Показана корреляция результатов с аналитической приближенной формулой для скорости распространения фронта пламени, а также картина распространения фронта для процесса с теплопотерями на границах при различных начальных данных, включая точечный источник.

Публикации по теме диссертации

[1] Дробышевич В.И., Зоткевич А А. Явно-неявный алгоритм решения параболических уравнений с адаптивной временной сеткой // Региональные проблемы Сибири и Дальнего востока. — Новосибирск: Изд. ИМ СО РАН, 2000. - С. 17-25.

[2] Зоткевич А.А., Лаевский Ю.М. Об одном классе двухуровневых явных схем // СибЖВМ. - 2002. - Т.5. - С. 163-173.

[3] Зоткевич А.А. Об одном классе двухуровневых явных схем // Тр. конф. молодых ученых. - Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2001. -С. 113-122.

[4] Зоткевич А. А. Адаптивная сетка для решения задач с существенной разномасштабностью // Тр. конф. молодых ученых. — Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2003. - С. 42-48.

[5] Зоткевич А.А. Численное моделирование распространения фронта пламени в двумерном случае // Труды конференции молодых ученых. - 2004. - Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН. - С. 61-67

[6] Зоткевич А.А. Численное моделирование распространения фронта пламени в двумерном случае // Тр. междунар. конф. по вычислительной математике. - Новосибирск, 2004. - Ч. 2. - С. 487-492

[7] Banushkina P.V., Laevsky Yu.M., Zotkevich A.A., On local conditions of stability for multilevel difference schemes // Proc. Intern. Conf. of Computational Mathematics. - Novosibirsk, 2002 . - Pt. 2. - P. 334-339.

[8] Laevsky Yu.M., Banushkina P.V., Litvinenko S.A., Zotkevich A.A. Parallel algorithms for non-stationary problems: survey of new generation of explicit schemes // Lecture Notes in Computer Science. - 2001. -Vol. 2127. - P. 442-446.

ЗОТКЕВИЧ Александр Андреевич

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРОЦЕССОВ ГОРЕНИЯ НА ОСНОВЕ ЯВНЫХ И ЯВНО-НЕЯВНЫХ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия ИД № 02202 от 30 июня 2000 г. Подписано в печать 19.10.2004 г.

Формат бумаги 60 х 84 1/1в Объем 0,88 п. л. 0,9 уч.-изд.л. Тираж 100 экз. Заказ № 69

ОмегаПринт, лицензия ПЛД № 57-58 от 30.06.2000 г.

»21538

РНБ Русский фонд

2GG5-4 19G27

Введение

1 Двухуровневые схемы

1.1 Описание метода.

1.2 Каноническая форма двухуровневой явной схемы

1.3 Устойчивость по начальным данным.

1.4 Устойчивость по правой части.

1.5 Численный эксперимент.

1.6 Явно-неявная схема.

2 Алгоритм построения адаптивной подвижной сетки

2.1 Алгоритм построения стационарной сетки. Критерий построения сетки.

2.2 Движение сетки

3 Моделирование ламинарного пламени

3.1 Математическая модель ламинарного пламени с Le = 1. Критерий построения сетки для моделирования ламинарного пламени.

3.2 Пространственная аппроксимация системы дифференци

Т альных уравнений.

3.3 Процесс без теплопотерь и подогрева. Выбор оптимальных шагов по пространству и времени

3.4 Процесс с теплопотерями либо подогревом.

Ф 3.4.1 Теплопотери, граничные условия слева

3.4.2 Теплопотери, граничные условия справа.

3.4.3 Теплопотери, граничные условия справа, концентрация

3.4.4 Затухание: теплопотери на двух границах.

3.4.5 Затухание: теплопотери на одной из границ.

3.4.6 Затухание: точечный источник.

3.4.7 Подогрев

Данная работа посвящена численному моделированию нестационарных процессов со значительной пространственно-временной разномасштаб-ностью, когда лимитирующим фактором при построении численного алгоритма является не его устойчивость, а точность. Ярким примером задач такого типа являются математические модели в теории горения. Процессы горения весьма разнообразны и играют существенную роль как в промышленном применении, так и в обыкновенной жизни; достаточно упомянуть двигатели внутреннего сгорания, теплоэнергостанции, сжигание бытовых отходов. Вычислительные сложности при моделировании обуславливаются наличием процессов с сильно различающимися характерными временами: малым временем химической реакции и большим временем диффузионного механизма тепловой релаксации. Высокая скорость превращения вещества вкупе с медленным распространением тепловых возмущений и диффузионного перемешивания реагирующей смеси приводят к формированию очень узкой зоны химической реакции с большими градиентами температуры Т и плотности rj. Попытка моделирования таких процессов с помощью простых математических инструментов, таких, как, например, равномерная сетка приведет либо к некорректности полученных результатов по причине недостаточного количества узлов сетки либо к огромным вычислительным затратам. Частичным решением этой проблемы может быть использование адаптивной структурированной пространственной сетки, которая в соответствии с подходящим критерием имеет большее количество узлов в зоне горения. Такая сетка дает возможность не производить лишние вычисления в области с небольшими градиентами вкупе с достаточным количеством узлов в области существенного изменения решения. Но только использование хорошей пространственной аппроксимации при помощи адаптивной сетки не решает вопроса построения эффективного алгоритма. Особенно это касается 2-х и 3-х мерных моделей. Так, автору не известна ни одна работа по численному моделированию распространения фронта неодномерного ламинарного пламени, в которой бы не качественно, а количественно воспроизводилась бы скорость распространения пламени.

Как уже говорилось, лимитирующим фактором является также точность по временной переменной. При этом применение неявных схем не спасает положение, поскольку шаг по времени, требуемый для обеспечения точности, соответствует шагу явной схемы. Но только (и это самое важное) в очень небольшой пространственной области. В обычных однородных явных схемах условие устойчивости является глобальным - ориентируется на самый мелкий пространственный шаг. В данной работе мы ориентируемся на новый класс "составных"явных и явно-неявных схем, в которых условие устойчивости локализуется по пространству. Помимо простоты реализации такие схемы допускают очевидное естественное распараллеливание вычислений.

Собственно, данная диссертация посвящена численному моделированию процессов диффузии-реакции при помощи составных схем. Моделирование производилось при помощи адаптивной структурированной сетки.

В качестве инструмента моделирования был использован пакет MS Visual С++ 6.0.

Далее будут приведены некоторые соображения по поводу актуальности данной тематики, цель исследования, а также будут сказаны слова о научной новизне результатов; будет описана структура диссертации.

Актуальность данной тематики обусловлена следующими факторами: Во-первых, это практическая потребность в моделировании процессов химической кинетики, нестационарной диффузии и теплопроводности в реальных объектах. В такого сорта задачах особенность решения реализуется лишь в небольшой области. Именно на такие задачи и ориентирован предложенный в данной работе алгоритм. Во-вторых, необходимым требованием к современным алгоритмам является возможность их эффективной реализации на многопроцессорных системах. А явные методы, как уже упоминалось, обладают универсальными возможностями для распараллеливания. В-третьих, алгоритмы должны быть надежными, а для этого необходима теоретическая обоснованность используемых методов. Перечисленные факторы говорят об актуальности рассматриваемой проблематики.

Целью работы является численное моделирование процесса ламинарного горения в двумерном случае с использованием нового класса алгоритмов на специальной адаптивной структурированной сетке.

Кратко остановимся на научной новизне полученных результатов.

В диссертации предлагается развитие нового подхода к конструированию явных и явно-неявных схем решения краевых параболических задач, а именно, строятся двухуровневые явные и явно-неявные схемы со вторым порядком аппроксимации по времени в части области.

Доказаны теоремы об устойчивости по начальным данным и правой части. При этом основным результатом следует считать тот факт, что устойчивость обеспечивается независимыми для каждого из блоков условиями.

Построена адаптивная подвижная сетка для решения задач типа диффузии-реакции, характеризующихся большими вторыми производными в некоторой небольшой части области.

Осуществлено моделирование ламинарного пламени в прямоугольной области при различных начальных условиях и условиях на границах. Показана корреляция результатов с формулой для скорости распространения фронта пламени по Зельдовичу [13], а также картина распространения фронта для с процесса с теплопотерями на границах при различных начальных данных, включая точечный источник.

Скажем здесь о рассматриваемой в данной работе математической модели ламинарного пламени. Это система нелинейных параболических уравнений диффузии-реакции, описывающая распространение фронта ламинарного пламени между двумя бесконечными в направлении одной из осей, например, ОУ, пластинами. Область решения представляет собой произвольное прямоугольное сечение, сделанное при фиксированном Уо- Пространство между пластинами заполнено некоторым газом с концентрацией 7] и имеющим температуру Т. В начальный момент времени происходит зажигание, а именно, в некоторой области температура газа полагается равной температуре горения, а концентрация равной 0.

Уравнения имеют следующий вид: cpP^ = \AT + QpW(r1,n где р - плотность, D - коэффициент диффузии, ср - удельная теплоемкость при постоянном давлении, Л - коэффициент теплопроводности, Q - тепловой эффект реакции, проходящей в соответствии с законом Ар-рениуса

W(rj,T) = kr]exp~EfRT, где к есть предэкспонент, R - универсальная газовая постоянная, Е -энергия активации. Для рассматриваемого случая с числом Льюиса Le = 1

D = Х/срр.

Условия на границах задаются следующим образом: для концентрации на левой границе прямоугольника задаются условия Дирихле

77=1, на остальных границах задается условие on

Для температуры на левой границе задается условие Дирихле,

Т = То, на правой условие -0 дп ' 8 на верхней и нижней границах прямоугольника задаются условия Ньютона, описывающие теплопотери дТ а±Т = 0. дп

В работе рассматриваются различные начальные данные, в том числе точечный источник.

Перейдем к структуре диссертации. Работа состоит из данного введения, трех глав, заключения и списка литературы. Во введении ниже приведен обзор литературы по теме диссертации и краткое содержание всех глав. Главы 1,2 и 3 посвящены собственно материалам исследования. Заключение содержит список полученных результатов. Список литературы содержит 84 наименования. Ссылки на первоисточники приведены во введении. В основной части текста упоминаются лишь работы, содержащие некоторые конкретные факты, используемые для доказательств. Главы разделены на пункты с двухиндексными номерами. В диссертации принята трехиндексная нумерация формул, теорем, лемм и ссылок на них. Первый индекс соответствует номеру главы, второй - номеру пункта главы, третий - номеру формулы или утверждения данной главы.

Известно, что параболические системы (к которым относятся и системы, описывающие процессы диффузии-реакции) относятся к жестким системам дифференциальных уравнений, для решения которых и строится предложенная в работе схема. С литературой по жестким системам можно ознакомиться в [38], [40], [45], [46], [56]. В Главе 1 (пункт 1.1) данной диссертации предлагается двухуровневая явная схема с временной аппроксимацией второго порядка по одной из групп переменных и первого по другой. Выбор явной схемы обусловлен тем, что для процессов и явлений со значительной пространственно-временной разномасштабно-стью лимитирующим фактором при построении разностных схем является не устойчивость алгоритма, а его точность. Данное соображение легло в основу развития так называемых многоуровневых явных схем [50]. Центральным моментом в конструировании методов этого класса является использование различных шагов по времени в разных пространственных подобластях. Первой работой по таким явным методам является статья [25], в которой предложены двухуровневые схемы первого порядка точности и показана возможность локализации условий устойчивости. Там же цитируется литература по методам с различными временными шагами в подобластях. Здесь лишь еще раз упомянем работу [37], которая, по-видимому, является первой на эту тему, и монографию [44], содержащую достаточно полный список литературы по данному вопросу. Скажем также о подходе конструирования явных схем, который состоит в использовании неявной схемы для части переменных и итерационном решении возникающей системы . Конечное число шагов итерационного процесса порождает, по сути дела, двухуровневую явную схему [2]. Похожая методика использовалась в работе [23], однако там и по первому набору переменных используется неявная схема, в то время как в данной работе по первому набору переменных мы используем явную схему. Явно-неявные схемы, которые конструируются в разных пространственных подобластях, рассматриваются в работах [75], [26]. Кроме того, существуют схемы с переменным внутренним шагом. При этом одно из условий устойчивости, или, что то же самое, условие на количество внутренних шагов существенно ослаблено, и связано это с использованием полиномов Чебышева для определения переменного шага. Явные схемы такого типа для решения параболических уравнений были представлены в работах [27], [28], [31], [38], [74]. Вместо полиномов Чебышева можно использовать полиномы Ланцоша, введенные в [73]. Алгоритмы, использующие полиномы Ланцоша, можно найти в работах [26], [70]. При этом, если в [70] применение полиномов Ланцоша демонстрировало лишь еще одну возможность конструирования явных схем с расширенной областью устойчивости, то в работе [26] они используются по существу, без них не удается получить устойчивый алгоритм.

В пункте 1.6 рассмотрена модификация схемы, предложенной в пункте 1.1. Это явно-неявная схема с расширенной областью устойчивости, позволяющая сосредоточить особенности алгоритма в некотором операторе.

Полученный в главе основной результат состоит в локализации условий устойчивости по каждой из групп переменных(пункты 1.3 и 1.4). Исследование устойчивости при этом базируется на общей теории устойчивости разностных схем [42]. Численный эксперимент (пункт 1.5) показал сходимость метода с предполагаемым порядком (второй и первый в областях с коррекцией и без коррекции). Результаты, полученные в данной главе, являются методической основой для моделирования процесса, которому посвящена 3 глава диссертации.

Итак, какой бы мелкой мы не делали сетку во второй подобласти, это не влияет на построение сетки в первой подобласти. Правильный выбор расчетной сетки в задачах математической физики всегда был важнейшим компонентом численного решения. Более грубую сетку по пространству имеет смысл использовать в местах достаточно плавного поведения решения и коэффициентов, а более мелкую - вблизи особых точек [3], [8], [36]. Для решения задач с особенностями традиционно применяют неравномерные, сгущающиеся вблизи особенностей сетки. При рассмотрении нестационарных задач можно ориентироваться на использование методов со сгущением сеток отдельно по времени или по пространству. В более общей ситуации сетки сгущают одновременно как по пространственным переменным, так и по времени. В работах [32], [33], [34], [35], [36], [37] для повышения точности приближенного решения в части расчетной области, в которой решение имеет особенность, используются разностные схемы с более мелким шагом по времени. Однако, в этих работах рассматриваются неявные схемы. В частности, это объясняется тем, что зачастую ставят задачу построения безусловно устойчивых методов, к каким, как известно не относятся явные методы.

Аналогичные методики, использующие в зоне адаптации шаг по времени существенно более мелкий, чем вне зоны, можно найти, например, в работах [57], [78], [79], [58], [11]. Схемы с адаптацией по времени можно рассматривать как схемы на существенно неравномерных сетках по времени. В этой интерпретации вне зоны адаптации используют схемы с фиксированными (равными нулю) шагами по времени. На этой методологической основе адаптивные по времени схемы для параболических задач рассмотрены в работах [1], [5], [76]. Традиционно (см. например [10], [59]) широко применяются алгоритмы с интерполированием на границе зоны адаптации. В работе [4] исследуются схемы на локально сгущающихся сетках по времени на основе декомпозиции (разделения) расчетной области на каждом временном шаге. Такой же подход с интерполированием на границе зоны адаптации часто используется при сгущении сеток как по времени, так и по пространству [60], [61]. При этом в [62] удается установить условную сходимость таких методов.

В пункте 2.1 главы 2 описано собственно построение сетки, сгущающейся в области разрыва производных функции критерия. В настоящее время могут быть выделены два основных направления построения адаптивных сеток для нестационарных задач: метод динамических локально-сгущающихся сеток (который состоит в добавлении узлов сетки в областях низкой точности решения и их возможном изъятии в других областях) и метод подвижных сеток [8]. Преимущества и недостатки прямоугольных и подвижных сеток обсуждались, например, в работах [63], [65]. Одна из первых работ, посвященных движущимся сеткам для МКЭ - это работа [69]. В ней были использованы так называемые пространственно-временные конечные элементы. Такие элементы были применены и в работе [48], где построение сетки ведется в соответствии с градиентами решения как по пространственным, так и по временной переменным. Такой подход, по утверждению авторов статьи, решает проблемы с устойчивостью и дискретизацией оценки ошибки, а также позволяет контролировать общую ошибку. Необходимо отметить работу [52], посвященную МКЭ на составных областях; основная идея здесь заключается в решении уравнений MMPDE (moving mesh partial differential equations) отдельно в каждой подобласти. В работе [64] для построения сетки используется апостериорная оценка ошибки, а именно, в исходную непрерывную задачу подставляется дискретное решение, далее минимизируется полученный функционал. Применение динамически адаптивных сеток для исследования течений с многомасштабной структурой потока описано в работе [7]. Представляют несомненный интерес также методы построения адаптивных сеток, предлагаемых в [29]. Кроме того, существует ряд программных пакетов, использующих адаптивные сетки, такие как [80] и [84]. Отметим работу [81]. Сетка, описанная в данной работе, в значительной степени опиралась на идеи ее автора. Нужно сказать, что идеи, легшие в основу построения сетки, описанной в главе 2, просты и встречаются во многих работах, посвященных как стационарным, так и движущимся сеткам: [77, 48, 53, 68, 54, 55, 66, 47]. Каким образом организовано движение сетки, описано в пункте 2.2. Наиболее полный обзор методов построения структурных адаптивных сеток содержится в [30].

Глава 3 посвящена результатам моделирования ламинарного пламени в прямоугольной области при различных начальных условиях и условиях на границах. В пункте 3.1 описана математическая модель ламинарного пламени [13] и сказано несколько слов о критерии построения сетки. Определение критерия построения сетки является важной проблемой, неправильный выбор критерия может усложнить вычисления и существенно исказить не только количественную, но и качественную картину процесса. В различных работах предлагаются различные способы построения сетки для моделирования ламинарных пламен. Распространение метода динамической адаптации [8] для моделирования различных режимов ламинарного горения в одномерном случае предложено в [9]. В этом методе применяется функция скорости движения некоторой нестационарной системы координат. Выбор функции скорости происходит в соответствии с принципом квазистационарности (в его основе лежит утверждение, что существует нестационарная система координат, в которой все процессы происходят стационарно). В работе [47] проводится анализ метода локальной коррекции ошибки (LDC: Local Defect Correction) в применении к стационарным ламинарным пламенам. Дискретизация на составной сетке основана на комбинации стандартных дискретизаций на нескольких однородных сетках, покрывающих различные части области. Размеры таких локальных сеток выбираются а соответствии с поведением решения в соответствующей части области. В работе [67], посвященной численным аспектам моделирования ламинарного пламени, предлагается схема пространственной аппроксимации второго порядка на равномерной сетке и применяется многосеточный метод, который заключается в нахождении решения в части области на более грубой сетке, являющейся частью исходной "хорошей"сетки. Также рассмотрен метод конечных объемов на нескольких однородных сетках, покрывающих различные части области(как и в предыдущей работе), то есть при построении сетки также использован метод локальной коррекции ошибки LDC. По временной переменной используется неявный метод, так как в случае явного метода условия устойчивости здесь повлекут за собой требование слишком маленького шага по времени. Однако сам автор в заключении 3 главы признает, что неявный метод на каждом временном слое приводит к очень сложной для решения системе уравнений.

Пространственная аппроксимация системы уравнений, описанная в пункте 3.2, строится при помощи метода конечных элементов на линейных базисных функциях на сетке, описанной в главе 2. По математическим аспектам МКЭ имеется ряд монографий, содержащих обширную литературу. Здесь хотелось бы отметить монографию Ю.М. Лаевского [20], а также работы [21] и [22].

Нужно сказать, что сложность моделирования ламинарных пламен приводит к тому, что многие исследователи рассматривают упрощенную модель простых пламен в одномерном случае (см. напр. [83, 9]) или рассматривают модель стационарного ламинарного пламени [47]. В данной работе также рассмотрен фактически одномерный случай, а именно процесс, происходящий без теплопотерь (п. 3.3.) Целью данного рассмотрения являлось установление корреляции результатов с формулой для скорости распространения фронта пламени по Зельдовичу [13], а также выбор оптимальных шагов по времени и пространству, позволяющих экономить вычислительное время вместе с хорошей точностью вычислений.

Пункт 3.4 полностью посвящен моделированию распространения фронта пламени для с процесса с теплопотерями на границах при различных начальных данных, включая точечный источник.

Большой обзор литературы, посвященной численным аспектам тепло-обменных процессов, содержится в [82].

И, наконец, в заключении данной работы дано краткое изложение основных результатов.

Результаты автора по тематике данной диссертации изложены также в работах [12], [14], [15], [16], [17], [18], [51], [72].

Заключение

В данном пункте мы приведем краткий перечень полученных в диссертации результатов.

В диссертации предложены 2 новых разностных схемы для решения краевых параболических задач, а именно: двухуровневые явная и явно-неявная схемы с временной аппроксимацией второго порядка по одной из групп переменных и первого по другой.

Доказаны теоремы об устойчивости по начальным данным и правой части, и показано, что условия устойчивости локализуются.

Реализована адаптивная структурированная сетка для решения задач с сильно изменяющимися решениями.

Осуществлено моделирование ламинарного пламени в прямоугольной области при различных начальных условиях и условиях на границах. Показана корреляция результатов с аналитической приближенной формулой для скорости распространения фронта пламени, а также картина распространения фронта для с процесса с теплопотерями на границах при различных начальных данных, включая точечный источник.

1. Абрашин В.Н., Лапко C.J1. Об одном классе разностных схем решения уравнений Навье-Стокса. II // Дифференц. уравнения.— 1993.- Т.29, № 4 С.673-688.

2. Банушкина П.В. Двухуровневые явные схемы итерационного типа. // Труды конф. молодых ученых. — Новосиб., 2001. — ИВМ и МГ СОРАН С.21-29.

3. Вабищевич П.Н. Адаптивные сетки составного типа в задачах математической физики. // Журн. вычисл. математики и мат. физики.- 1989. Т.29, № 6 - С.902-914.

4. Вабищевич П.Н. О разностных схемах на локально-сгущающихся сетках по времени // Изв. вузов. Математика. — 1995. — № 4, С.22-28.

5. Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы с переменными шагами по времени // Весщ АН Беларусь Сер. ф1з.-мат. навук. — 1994.- № 4, С.5-11.

6. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984.

7. А.Н. Гильманов. Применение динамически адаптивных сеток для исследования течений с многомасштабной структурой потока //

8. Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 2001. — Т.41, № 2 -С.311-326.

9. Дарьин Н.А., Мажукин В.И., Самарский А.А. Конечно-разностный метод решения уравнений газовой динамики с использованием адаптивных сеток, динамически связанных с решением // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1988. — Т.28, № 8 — С.1210-1225.

10. М.М. Демин, В.И. Мажукин, А.В. Шапранов. Метод динамической адаптации в проблеме ламинарного горения. // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 2001. — Т.41, № 4 — С.648-661.

11. Дробышевич В.И. Разностные схемы с различными временными шагами в подобластях для решения многомерных уравнений // Сиб. мат. журн. 1995. - Т.36, № 3 - С.534-542.

12. Дробышевич В.И., Лаевский Ю.М., Яушева JI.B. Алгоритм решения параболических уравнений с различными временными шагами в подобластях. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1989. — Препринт, № 855.

13. Дробышевич В.И., Зоткевич А.А. Явно-неявный алгоритм решения параболических уравнений с адаптивной временной сеткой. // Региональные проблемы Сибири и Дальнего востока. — Новосибирск: ИМ СО РАН 2000. - С. 17-25.

14. Зельдович Я.Б и др. Математическая теория горения и взрыва. — М.: Наука, 1980.

15. Зоткевич А.А., Лаевский Ю.М. Об одном классе двухуровневых явных схем.// Сибир. Журн. Вычисл. Матем. — 2002. — Т.5. — С. 163173

16. Зоткевич А.А. Об одном классе двухуровневых явных схем. // Труды конференции молодых ученых. -2001. Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН.

17. Зоткевич А.А. Адаптивная сетка для решения задач с существенной разномасштабностью. // Труды конференции молодых ученых.- 2003. Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН. С.42-48.

18. Зоткевич А.А. Численное моделирование распространения фронта пламени в двумерном случае. // Труды конференции молодых ученых. 2004. - Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН.

19. Зоткевич А.А. Численное моделирование распространения фронта пламени в двумерном случае. // Труды международной конференции по вычислительной математике. — Новосибирск. — 2004. — Часть 2. С. 487-492

20. Лаевский Ю.М. Концентрирующие операторы в методе конечных элементов (Часть 1) — Новосибирск: Вычислительный Центр СО АН СССР, 1990. Препринт, № 907

21. Лаевский Ю.М. Метод конечных элементов (основы теории, задачи).

22. Новосибирск: Новосибирский госуниверситет, 1999.

23. Лаевский Ю.М. Метод конечных элементов решения многомерных параболических уравнений. — Новосибирск: Новосибирский госуниверситет, 1993.

24. Лаевский Ю.М. Проекционно-сеточные методы решения двумерных параболических уравнений. — Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН, 1987.

25. Лаевский Ю.М. О методах решения сеточных параболических задач, основанных на окаймлении матрицы. // Сиб. мат. журнал — 1998 — Т.39, № 6 С.1322-1335

26. Лаевский Ю.М., Банушкина П.В. Об устойчивости двухуровневых явных схем // Сиб. журн. вычисл. матем. — 2001. — Т. 4, № 1. — С.107-109.

27. Лаевский Ю.М., Банушкина П.В. Составные явные схемы // Сиб. журн. вычисл. матем. 2000. - Т. 3, № 2. — С. 165-180.

28. Лаевский Ю.М., Гололобов С.В. Явно-неявные методы декомпозиции области решения параболических уравнений // Сиб. матем. журн. 1995. - Т.36, № 3. - С.590-601.

29. Лебедев В.И. Как решать явными методами жесткие системы дифференциальных уравнений // Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1991. - Вып.8. - С.237-291.

30. Лебедев В.И. Явные разностные схемы с переменными шагами по времени для решения жестких систем уравнений — М.: ОВМ АН СССР, 1987 Препринт, № 177.

31. Лебедев А.С., Лисейкин В.Д., Хакимзянов Г.С. Разработка методов построения адаптивных сеток. // Вычисл. технологии. — 2002. — Т.7, т. С. 29-43.

32. Лисейкин В.Д. Обзор методов построения структурных адаптивных сеток. // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1996. — Т.36, № 1 С.3-41.

33. Локуциевский В.О., Локуциевский О.В. Применение чебышевских параметров для численного решения некоторых эволюционных задач. //М.: ИПМ АН СССР, 1984 Препринт, № 98.

34. Матус П.П. Об одном классе разностных схем на составных сетках для нестационарных задач математической физики // Диф. уравнения 1990 - Т.26 № 7 - С.1241-1254.

35. Матус П.П. К вопросу построения разностных схем для многомерных параболических уравнений на адаптивных сетках // Диф. уравнения 1991 - Т.27 № И - С.1961-1971.

36. Матус П.П. Консервативные разностные схемы для параболических и гиперболических уравнений второго порядка в подобластях // Диф. уравнения 1993 - Т.29 № 7 - С.700-711.

37. Матус П.П. О разностных схемах на составных сетках для гиперболических уравнений // ЖВМ и МФ 1994 - Т.34 № 6 - С.870-885.

38. Матус П.П. Консервативные разностные схемы для квазилинейных параболических уравнений в подобластях // Диф. уравнения — 1993 Т.29 № 7 - С.1222-1231.

39. Матус П.П. Об одном классе разностных схем для нестационарных краевых задач математической физики. — Минск: Ин-т математики АН БССР, 1989. Препринт, № 23(373). - С.ЗО // Дифференциальные уравнения. - 1990. - Т. 26, № 7. С.1241-1254.

40. Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. — Новосиб.: Наука, Сиб. предприятие РАН, 1997.

41. Новиков Е.А., Демидов Г.В. Экономичный алгоритм интегрирования нежестких систем ОДУ // Численные методы в математической физике. 1979. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. - С.69-83.

42. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноритский И.Г. Численные методы решения жестких систем. — М.: Наука, 1979.

43. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука, 1971.

44. Самарский А. А. Теория разностных схем. — 3-е изд. М.: Наука, 1989.

45. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. — М.: Наука, 1973.

46. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус П.П. Разностные схемы с операторными множителями. — Минск: ЗАО "ЦОТЖ", 1998.

47. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений // Под ред. Дж. Холла и Дж. Уатта. — М.: Мир, 1979.

48. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений // Под ред. О.О. Филиппова. М.: ИПМ АН СССР, 1988.

49. Anthonissen, Martijn J.H. Local defect correction techniques: analisis and application to combustion.// Eindhoven: Eindhoven University of Technology. 2001. - Proefschrift. - ISBN 90-386-0871-3

50. O.Axelsson and J. Maubach. A time-space finite element discretization technique for the calculation of the electromagnetic field in ferromagnetic materials.// International journal for numerical methods in engeneering.- 1989. Vol. 28, 2058-2111.

51. Banushkina P.V. The compound explicit schemes. // Bulletin of tne Novosib. Сотр. Center — Series: Special Issue — 1999. — P. 1-7.

52. P.V. Banushkina, Yu.M. Laevsky. Multi-level explicit schemes // Rus. J. Numer. Anal. Math. Model. 2001. - Vol.16, № 3.

53. Banushkina P.V., Laevsky Yu.M., Zotkevich A.A., On local conditions of stability for multilevel difference schemes. // Proceedings of the International Conference of Computational Mathematics — Novosibirsk- 2002 Part 2 - P. 334-339.

54. Cao W., Huang W. and Russel R.D. A moving mesh method in multiblock domains with application to a combustion problem.// Numerical methods for partial differential equations. —1999.—Vol. 15. Issue 4. P. 449-467.

55. A. Cohen. Multiscale adaptive processing for evolution equation // Proceedings of ENUMATH 2001 the 4th European Conference on Numerical Mathematics and Advanced Application — Ischia — 2001- P. 605-629.

56. H. Blum, A. Schroder, F.T. Suttmeier. A posteriori estimates for FE-solutions of variational inequalities. // Proceedings of ENUMATH 2001 the 4th European Conference on Numerical Mathematics and Advanced Application — Ischia — 2001 P. 669-680.

57. Byrne G.D., Hindmarsh A.C. Stiff ODE Solvers: A Review of Current and Coming Attractions // Jour, of Сотр. Physics. — 1987. — V.70 — P. 1-62.

58. Davis S., Flaherty J.F. An adaptive finite element method for initial-boundary value problems for partial differential equations. // SIAM J. Sci. Statist. Comput. 1982. - V.3 - P.6-27.

59. Drobyshevich V.I., Laevsky Yu.M. An algorithm of solution of parabolic equations with different time-steps in subdomains. // Rus. J. Numer. Anal. Math. Model. 1992. - V.7, № 3. - P.205-220.

60. Ewing R.E., Lazarov R.D., Pasciak J.E., Vassilevski P.S. Finite element methods for parabolic problems with time steps variable in space. — Wyoming: Univ. of Wyoming, 1989. Report 1989-05. - P.23.

61. Ewing R.E., Lazarov R.D., Vassilev A.T. Adaptive techniques for dependent problems. // Comput. Meth. Appl. Mech. Engrg. — 1992.- V.101 — P.113-126.

62. Ewing R.E., Lazarov R.D., Vassilevski P.S. Finite difference schemes on grids with local refinement in time and space for parabolic problems. I: derivation, stability, and error analysis // Computing. — 1990. — V.45.- P.193-215.

63. Ewing R.E., Lazarov R.D. Approximation of parabolic problems on grids locally refined in time and space. // Appl. Numer. Math. — 1994.— V.14.- P.199-211.

64. Gropp W.D. Local uniform mesh refinement with movings grids // SIAM J. Sci. and Statist. Comput. 1987. — V.8. — P. 292-304.

65. Hansbo P. Moving finite element methods by use of space-time elements: I.scalar problems. // Numerical methods for partial differential equations. -1998.-Vol. 14. Issue 2. — P. 251-262.

66. Hedstrom G.W., Rodrique G.H. Adaptive-grid method for time-dependent partial differential equations. // Lect. Notes Math. — 1982.- V.960. P.474-484.

67. V. Heuveline, R. Rannaher. Adaptive FEM for eigenvalue problems. // Proceedings of ENUMATH 2001 the 4th European Conference on Numerical Mathematics and Advanced Application — Ischia — 2001 — P. 713-722.

68. Bastiaan van't Hof. Numerical aspects of laminar flame simulation // Eindhoven: Eindhoven University of Technology. — 1998. — Proefschrift. ISBN 90-386-0641-9

69. P. Houston, B. Senior, E. Suli. Sobolev regulariti estimation for hp-adaptive finite element methods. // Proceedings of ENUMATH 2001 the 4th European Conference on Numerical Mathematics and Advanced Application — Ischia 2001 - P. 631-656.

70. Jamet P. Galerkin-type approximations which are discontinuous in time for parabolic equations in a variable domain.// SIAM journal on numerical analysis 1978 — Vol. 15, №5. — P. 912-928

71. Laevsky Yu.M. The use of Lanczos polynomials for solving parabolic equations. // Numerical Methods and Applications. — Sofia: Publishing House of the Bulg. Acad, of Sci., 1989. P.244-249.

72. Laevsky Yu.M., Banushkina P.V. Multilevel explicit schemes and their stability. // Russ. J. Numer, Analys. Math. Modeling — 2001 — V.16, № 3. C.215-233.

73. Yu.M. Laevsky, P.V. Banushkina, S.A. Litvinenko, A.A.Zotkevich. Parallel algorithms for non-stationary problems: survey of new generation of explicit schemes. // Lecture Notes in Computer Science — 2001. Iss. 2127. - P.442-446.

74. Lanczos C. Chebyshev polinomials in the solutions of Large-scale linear systems. — Proc. Assoc. Comput. Mach. — Toronto, 1953. — pp.124-133

75. Lebedev V.I. Explicit difference schemes with time-variable steps for solvings stiff systems of Equations. // Sov. J. Numer. Analys. Math. Modelling. 1989. - V.4, № 2.

76. Litvinenko S.A. On the explicit-implicit domain decomposition method without overlapping for parabolic problems // Bull. NCC., Numer. Anal. 1995. - Is.6 - P.43-60.

77. Matus P.P., Vabishchevich P.N. Difference schemes on the grids locally refining in space as well as in time // Advances in Numer. Methods and Applications. — Singapore: World Scientific, 1994. — P. 146-153.

78. Osher S., Sanders R. Numerical approximations to nonlinear conservation laws with locally varying time and space grids. // Math. Comput. 1983. - V.41. - P.321-386.

79. Revilla M.A. Simple time and space adaption in one-dimensional evolutionary partial differential equations. // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1986. - V.23. - P.2263-2270.

80. Saad Y. SPARSKIT: a basic tool kit for sparse matrix computations // Tech. Report 90-20, RIACS, NASA Ames Research Center, Moffet Field, CA, 1998. 58.

81. Sander I.A. The program of Delaunay triangulation construction for the domain with the piecewise smooth boundary.// Bulletin of the Novosibirsk Computing Center. — 1998. — Series: Numerical Analysis. Issue 8. P. 71-79.

82. T.M. Shih. A literature survey on numerical heat transfer. // Numerical Heat Transfer. 1982.- V.5. - P. 369-420.

83. Somers, L.M.T. The simulation of flat flames with detailed and redused chemical models.// Eindhoven: Eindhoven University of Technology. — 1994. PhD thesis.

84. Triangle: Engineering a 2D quality mesh generation and delaunay triangulation http://www-2.cs.cmu.edu/ quake/triangle.htm