автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование МГД-нестабильности в процессе промышленного электролиза алюминия

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

Р

( На правах рукописи

Алаторцев Алексей Владимирович

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МГД-НЕСТАБИЛЬНОСТИ В ПРОЦЕССЕ ПРОМЫШЛЕННОГО ЭЛЕКТРОЛИЗА АЛЮМИНИЯ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2007

003054030

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, в.н.с. Савенкова Надежда Петровна

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Повещенко Юрий Андреевич

доктор физико-математических наук, в.н.с. Бычков Владимир Львович

Ведущая организация:

Институт прикладной механики РАН

Защита диссертации состоится " 2007 г. в 14:30

на заседании Диссертационного совета К 501.001.07 при Московском государственном университете им. М.В .Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, второй учебный корпус, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ.

Автореферат диссертации разослан " 11

2007 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета, кандидат физико-математических наук доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В России алюминий занимает первое место по объемам производства среди цветных металлов. В настоящее время первичный алюминий производится путем разложения глиноземного расплава под действием электрического тока в электролизных ваннах различного типа. Процесс электролиза алюминия сопровождается различными физико-химическими процессами. Одним из важнейших факторов развития алюминиевой промышленности является совершенствование существующих и внедрение новых технологий.

Основным показателем эффективности работы электролизера является выход по току — отношение количества практически полученного алюминия к количеству, которое должно выделиться на катоде согласно закону Фарадея. В процессе производства алюминия возникают нежелательные явления (циркуляция металла, волнообразование на поверхности металла, перекос анодных блоков и др.), что ведет к негативным последствиям: к размыву гарнисажа (слоя застывшего электролита по бокам и на дне электролизной ванны), разрушению анодных и подовых катодных блоков, прорыву металла, перемешиванию алюминия с электролитом и пр. В результате нарушается технологический режим, снижается выход по току и уменьшается срок службы электролизеров.

Для эффективного управления процессом производства алюминия важно знать, как изменения конструкции электролизера и его технологических параметров влияют на характеристики процессов, происходящих в электролизере.

При некоторых условиях наблюдается рост амплитуд колебаний поверхности жидкого металла, который называется магнитогидродинамической (МГД) нестабильностью. Даже простое незатухающее колебание поверхности раздела жидкий металл-электролит должно быть устранено, так как при нем возрастает массоперенос растворенного алюминия от катода в межполюсное пространство, где он снова окисляется анодным газом. Технологические исследования, проводимые для промышленных электролизеров, показали, что основным направлением повышения показателя выхода по току, является обеспечение МГД-стабильности процесса электролиза.

Поскольку получение основных характеристик протекания процесса на практике крайне затруднительно в виду агрессивности среды, особенностей конструкции электролизных ванн и практической невозможности наблюдения колебаний поверхности раздела сред, одним из основных инструментов исследования становится математическое моделирование динамики поверхности раздела сред и полей основных физических величин для полной физической постановки одновременно в двух средах.

Цель работы.

• Построение математической модели, адекватно отражающей протекание нестационарных процессов одновременно в двух средах на основе многомерного оператора Навье-Стокса и численное нахождение решения.

• Разработка эффективных численных алгоритмов исследования динамики изменения поверхности раздела сред.

• Создание комплекса программ для проведения численных экспериментов.

• Проведение численных экспериментов с помощью разработанных программ.

Положения, выносимые на защиту. Сформулированная выше общая проблематика позволяет выделить следующие основные положения, выносимые на защиту:

1) Математическое моделирование динамики изменения границы раздела сред в алюминиевом электролизере с учетом геометрии рабочего пространства электролизной ванны.

2) Математическое моделирование поля скоростей, напряженности магнитного поля, отдельно в каждой из сред, в зависимости от технологических параметров проведения процесса.

3) Математическое моделирование МГД-нестабильности при замене различных комбинаций выгоревших анодов для реального электролизера.

4) Методика снятия неопределенности в выборе ведущей пары мод в критерии Бояревича-Ромерио.

Практическая значимость. Работа имеет теоретический и прикладной характер. Методики диссертации применялись:

• Для расчета динамики изменения поверхности раздела сред жидкого алюминия и электролита.

• Для исследования МГД-нестабильности в условиях замены обожженных анодов.

• Для исследования влияния геометрии рабочего пространства электролизной ванны на МГД-нестабильность.

• Для повышения адекватности критерия Бояревича-Ромерио, работающего в реальном времени в автоматизированных системах управления технологическим процессом (АСУТТТ).

Представленные математические модели позволили:

• Провести численное моделирование границы раздела сред жидкого металла и электролита в процессе замены выгоревших анодов.

• Снять неопределенность в критерии Бояревича-Ромерио.

Научная новизна. В работе впервые:

• Проведено математическое моделирование полной физической постановки протекания процесса электролиза на временных промежутках с незначительным изменением температурного режима и химического состава электролита. Предложенная математическая модель позволяет моделировать поля основных физических величин как в среде металла, так и в среде электролита с учетом их взаимодействия, наблюдать динамику изменения поверхности раздела сред с учетом геометрии рабочего пространства электролизной ванны.

• Разработан эффективный метод исследования МГД-нестабильности в алюминиевом электролизере.

• Предложен метод снятия неопределенности в критерии Бояревича-Ромерио.

Личный вклад в работу. Работа проводилась на факультете ВМиК МГУ им М.В. Ломоносова в сотрудничестве с Физическим факультетом МГУ им М.В. Ломоносова и Красноярским государственным университетом. Непосредственное участие в работе принимали академик РАЕН, профессор, доктор физико-математических наук Р.Н. Кузьмин ( консультации по работе, обсуждение результатов), профессора, доктора физико-математических наук А.В. Гулин, Г.Г. Еленин, А.П. Фаворский (обсуждение результатов), профессор, доктор технических наук О.Г. Проворова (постановка задачи, исследование МГД-нестабильности, обсуждение результатов), доктор физико-математических наук Н.П. Савенкова (постановка задачи, общее руководство работы). Всем им автор выражает глубокую благодарность.

Автор лично принимал участие в постановке физической задач, автором лично проводилось построение вычислительных алгоритмов, создание комплекса программ, проведение серии расчетов, а так же участие в обсуждении и интерпретации численных результатов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференциях:

• 10-я международная конференция «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 2003).

• 11-я международная конференция «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 2004).

• 13-я российская конференция по холодной трансмутации ядер химических элементов и шаровой молнии (Дагомыс, 2005).

• 13-я международная конференция «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, 2006).

• Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов 2006» (Москва, Физический факультет МГУ, 2006).

Отдельные результаты работы докладывались на научном семинаре лаборатории математического моделирования в физике и на научном семинаре кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ им. Ломоносова.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 11 печатных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 41 наименование. Работа изложена на 134 страницах, содержит 82 рисунка и 4 таблицы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются основные задачи, цель работы, проводится обзор литературных источников по теме диссертации, приводится структура диссертации, а также кратко описываются основные результаты, полученные в работе.

В первой главе предлагается новая динамическая математическая модель для описания процессов в алюминиевом электролизере. В качестве исходных уравнений используется классическая система уравнений магнитной гидродинамики в переменных Эйлера, записанная в средах жидкого металла и электролита.

Численное решение трехмерной задачи связано с рядом технических проблем. Поскольку характерные вертикальные размеры электролизной ванны на порядок меньше горизонтальных (расстояние от верхней границы электролита до дна ванны порядка 40 сантиметров, в то время как длина ванны около 9 метров), и, кроме того, поскольку процессы по вертикальной координате в электролизёре протекают медленно по сравнению с горизонтальными направлениями, то становится возможным проведение осреднения системы уравнений в частных производных по вертикальной координате, что сводит трехмерную математическую модель к двумерной, позволяющей проводить расчет основных физических величин в средних слоях жидкого металла и электролита.

В § 1.1 описана конфигурация электролизера и его рабочей зоны (области расчета), приводится общий вид классическая трехмерной системы уравнений магнитной гидродинамики в переменных Эйлера, записанной в средах жидкого металла и электролита.

Для численного эксперимента выбрана упрощенная модель алюминиевого электролизера с обожженными анодами, которая по форме

представляет прямоугольный бак. Вертикальный ток течет от угольных анодных блоков (частично погруженных в электролит) через слой электролита (где в результате электролиза выделяется алюминий) и слой жидкого алюминия до угольного катода. Вдоль бортов электролизера и на дне находится застывший слой электролита - гарнисаж. На рис. 1 схематично показан продольный разрез электролизной ванны.

Рис. 1 Электролизная ванна (продольный разрез).

Вводится декартова система координат. При этом ось Ох направлена вдоль длины ванны, ось Оу от глухой стороны к лицевой, а ось Ог — вверх. Начало координат совмещено с углом ванны, к которому ближе первый анод, на уровне дна электролизной ванны.

В работе используются следующие основные обозначения: га{х,у) — высота гарнисажа, отсчитываемая от нулевого уровня (уровня подины);

— толщина слоя металла; Я, О, >-,О = г0 (х, у)+И| (х, у, 0 - высота границы раздела;

у,г) - толщина слоя электролита; Я2 (х, у, г) = Я, (х, у, г)+йз О, у, I) - высота поверхности электролита от нулевого уровня;

Ьх,Ьу - горизонтальные размеры электролизера вдоль длинного и короткого бортов соответственно.

Величины, относящиеся к жидкому металлу, снабжены индексом «1», к электролиту— индексом «2». Значение величины в среднем слое при необходимости обозначается чертой сверху, например: р. Впрочем, в большинстве случаев значение величины в среднем слое подразумевается (за очевидностью) без черты.

V, = («„у,,™,) - вектор скоростей в среде жидкого металла,

рх - плотность жидкого металла,

р] - давление в среде жидкого металла,

Н - вектор напряженности магнитного поля в среде жидкого

металла,

j ,= (_/'„,71у,_/1г) - вектор плотности электрического тока в среде жидкого металла,

J — г-компонента плотности электрического тока на границе жидкий металл-угольный катод,

1\ ~~ вектор плотности электромагнитных сил в среде жидкого

металла, с2

=--магнитная вязкость в среде жидкого металла,

4Ж7,

Е, - вектор напряженности электрического поля в жидком металле,

е, = 1 - диэлектрическая постоянная жидкого металла,

ег, - электрическая проводимость жидкого металла.

У2=(и2,у2,м2) - вектор скоростей в среде электролита,

р2 - плотность электролита,

р2 - давление в среде электролита,

Н 2= (Н2х,Н1у,Н2!)~ вектор напряженности магнитного поля в среде электролита, j 2= (Лх'Л^Л;) _ вектор плотности электрического тока в среде электролита, /г = (/гл./з^./з*) - вектор плотности электромагнитных сил в среде электролита, с2

у„2 = ---магнитная вязкость в среде электролита,

Е2 - вектор напряженности электрического поля в среде электролита, е2 - диэлектрическая постоянная электролита,

сг2 - электрическая проводимость электролита, 2 » 2 • 10"' м/сек - скорость осаждения металла из электролита, Со(*>>0 _ функция, описывающей нижнюю огибающую поверхности анодов, g - гравитационная постоянная,

МПР - межполюсное расстояние, - минимальное по пространству расстояние между границей раздела сред и нижней поверхностью анодных блоков.

В основе предлагаемой математической модели лежит предположение о том, что жидкости (электролит и расплавленный алюминий) в ванне движутся слоями, что соответствует реальному устройству электролизера, причем, среды движутся независимо друг от друга (за исключением вязкого трения между слоями) и без взаимной диффузии. В модели также сделаны следующие предположения:

• Процессы в электролизёре протекают медленно по вертикальной координате по сравнению с горизонтальными направлениями;

• Плотность сред постоянна;

• Температура сред постоянна;

• Ток в электролите вертикальный;

• Ток в аноде вертикальный и равномерно распределен в объеме каждого анода;

• Потенциал металла равен нулю относительно других слоев.

В § 1.2 проводится интегрирование выражения для давления в средах жидкого металла и электролита вдоль вертикальной координаты, в результате чего определяется давление в средних слоях сред. Для слоя жидкого металла исходное выражение имеет вид:

^-ад+Л (1)

02

После интегрирования для осредненного давления в жидком металле получается выражение:

т-\[йи-й8)-ш-ш))+т) (2)

где д(/0) находится из задачи Неймана для уравнения Пуассона:

5 7 8 7 4_ д2р. дгр,

Щ

дх

-7 „ ~J¡1!' -1-0 су

"I,

(3)

уш 0

уК

Аналогично находится выражение для давления в среднем слое электролита:

где р2(г0) находится из задачи Дирихле для уравнения Пуассона:

л- д 7 д 7

Л

,0

1=0 х=!.

(5)

В § 1.3 в правую часть уравнения электромагнитной индукции вводится дополнительный член, обусловленный влиянием тока, исходящего из анодов. Общее изменение вектора магнитной индукции рассматривается как сумма основного (учитывающего индуцированные токи) и дополнительного (учитывающего анодные токи). Выпишем уравнение электромагнитной индукции в дивергентном виде:

ан,

81

¿-+(У„У)Ни = (Ни,У)Уи-Г01{У Г01П11)+—Т01{Щ,

4 ' « Р. . /Т. .

(6)

Считая, что ^-компоненты скоростей и производные величин вдоль

э •

вертикальной координаты положены равными нулю ( и>, = у/2 г о, — з0), то есть

&

пренебрегая изменением процесса по вертикали, получаем следующую систему уравнений в частных производных для двух сред:

дНи дН, дН. ■—- + м,—-+у,—! 8( 1 дх 1 ду

ди,

ЭЯ ЭЯ„ —-л-и, —-81 1 8х

ая,

1у

ду 8Н„

Я,

8х

8и]__а

ду ду

дх

ду дх

(дН>у дН,; 'I дх ду ,

ч дх ду 1

сЬ

( йл

дх

ая„ | аи^ __

5/ йс 1 дх

Г* Г-^-Т а с 'дку

Ч дх[ 4"_ ду Ут 1 ъ). дх ду у

дН2, 8Н1х 8НЪ ди ди2 д

-- + И, —:— + V, —— = л,г + Н2у —--—

д(

дх

ду

дх

ду ду

(дН2у 8П1х]

ЭЯ„, ЭЯ,„ дН2 „ ^ гг 5у2 а

а/

а*

ау

дх ду ) 'г у

(дН2г дНъЛ

с2сг2 [ ду , с I

ая,. дн21 дн21

—^ + ——л.

аг

а*

аи

д а [дн2г V с

дх .4 дх[ + ду 1 J.

___т__%

дх ду ) е2о2 ^ дх

д}г,у ЭЦ

дх ду I

В § 1.4 приводится способ расчета анодного тока в средах по методике, разработанной в Красноярском государственном университете.

В § 1.5 проводится учет геометрии рабочего пространства электролизной ванны и анодов. Выводится аналитический вид функции, описывающей нижнюю огибающую поверхности анодов, помещенных в электролит, которая должна быть достаточно гладкой для обеспечения устойчивости применяемых разностных методов:

(7)

ф0 - функция, описывающая форму одного анода, получена в виде:

у>0=а+Ь-

(8)

где хс,ус - координаты центра анода;

а и Ь - константы: а - сдвиг по вертикали, Ь - -1 масштабирование (отражение относительно горизонтальной плоскости);

сие определяются из

АВ{ Д/+А,2) А-В 2_В(Ах2+А/): А-В

(9)

исходя из параметров анода: - горизонтальные размеры, А -

глубина погружения в электролит в центре анода, В - глубина погружения анода на его границе.

Конфигурация настыли и гарнисажа задаётся через величину г0 (х,у).

В § 1.6 представлена полная математическая модель, описывающая МГД-процессы в средних слоях сред жидкого металла и электролита: В слое жидкого металла система уравнений имеет вид:

5Й, | Э(»Л), а(у,М

81 дх ду

д(й»Л) . , Э(Л*М) 8

-Н---!--= —

дt дх ду дх

— т ———— + ——~—-

& дх ду ду

+АА

1

ъ-шуъз-м-т)

+

Диффузионные члены определяются по формулам:

ди.

Иг

дих

-

щ

а*

8х\ дх) ду)

Компоненты силы вязкого трения на границе раздела жидкого металла и электролита имеют вид:

Ъ, = -^{Ц-щУ+Ъ-ъ)2

Компоненты силы трения на нижней границе жидкого металла имеют

вид:

-£>А"1 А2 + V,2, ^ = V, ^

Продольные колебания поверхности жидкого металла моделируются уравнением:

81

[ди. дv. ^ п( ди, ду. ^ дх дх) ИУду ду)

дк д1

= 0,

где 0,1) - заданные коэффициенты, отвечающие характерным

горизонтальным размерам алюминиевого электролизера вдоль х и у координат соответственно.

Величина давления в начальный момент времени /3,(г0) находится из задачи Неймана для уравнения Пуассона:

д -? д -т д2р. дгр,

— /Г +—£ . Ап. -—— йс

др,

а*

-7 М

1-0 01»

>-0

=4

Горизонтальные компоненты плотности тока в металле определяются после решения задачи Неймана для уравнения Пуассона для потенциала:

аА

дп

= 0,

Вертикальная компонента плотности тока в металле определяется как полусумма токов входящих в слой и выходящих из слоя металла

2

При этом полагается, что ! ~ 2а'<Рк, а <рк находится из решения задачи

К

Неймана для уравнения Пуассона для потенциала в катоде.

Плотность электромагнитных сил в среде металла определяется по формуле:

I = —ьхН, =— [— гот,|хН. =—го/Н,хН,. 1 сд'1 1 ср\4тг 1 4щ

Аналогичная система уравнений в частных производных выписывается для слоя электролита:

вК 0

81 дх ду "

, д{Рг«гХ) . д(р2й2У11г2) д —_____ —--

81 дх ду ах

-Кн,

А), , уЛ) .. а

бг йзс £>у бу

+,(11)

дх

¿(Н2)+(У2,У)(Н2) = (Н2,У)У2-г0/(уЯгг0/Н2)+—П>г(-Ц. от е2 <х2

Диффузионные члены определяются формулами:

э( 5/гЛ а Г ггтЛ _ д( в&Л е( ауЛ

Компоненты силы трения на верхней границе электролита ^ под анодами имеют вид:

= Рун, = -Си, РЛ ,

а в остальной области эти силы заданы равными нулю. Давление в среде электролита в начальный момент времени р2(г0) находится из задачи Дирихле для уравнения Пуассона:

ду

дх

>2у

Рг

,.о = Ргё(Н, -у"1у 1-0 "I,

Я.+Я,

Плотность электромагнитных сил в среде металла определяется по формуле:

Г, =—!—го/Н, хН,.

3 4лр2 2 2

В начальный момент времени заданы значения скоростей и магнитного поля в металле и электролите:V,(.г,г0),Н,О,у,/0),У2(х,у,г0),Н2(х,у,/а), толщина слоя металла к,(х,у,1а)а0,25 м и толщина слоя электролита к,(х,у,10) »0,18 м, величины токов, исходящих из анодов и величины токов, выходящих через блюмсы. Исходя из этих данных, рассчитываются значения плотности возмущающих электромагнитных сил в начальный момент времени: ^(х,у,/0),Т2(х,у,/0), плотности токов: |2(лг,>0 и давление в средних слоях сред металла и электролита в начальный момент времени р,(х,у,/0),р2(х,у,/0).

Задаются также следующие граничные условия:

= 0,

да

V I =0 ^ ' дп

= 0, — Н. =0 81 ||г

= 0.

81 2|г

0

Силы Лоренца на границе в электролите заданы равными нулю, потому что плотность тока на границе в электролите равны нулю, так как гарнисаж не проводит ток.

Во второй главе разработан численный метод решения предложенной математической модели.

В § 2.1 произведено разбиение исходной задачи на этапы по физическим процессам.

В § 2.2 для каждого из этапов приведен используемый численный метод решения. При этом на отдельных этапах используются известные разностные методы, а на отдельных этапах (например, на этапах, учитывающих вязкое трение между слоями) — аналитически полученное точное решение, записанное в разностном виде. На рис. 2 приведена общая схема численного расчета при расщеплении на этапы по физическим процессам.

Рис. 2. Схема численного расчета. В § 2.3 проводится исследование устойчивости предложенного численного метода. Полуэмперически получено условие устойчивости суммарного метода после расщепление на этапы по физическим процессам:

тт(й,,й )

<С

max! max max abs (с. IАГ , - с. I АГ 11,1 ^а€{У„У,.Н,.Н11 >j V А1 А1 ''J I )

(12)

где С = const» 0.01.

В § 2.4 проводится апостериорная оценка точности численного метода. Для этого используются сгущающиеся сетки. Показано, что предложенный

численный метод гарантирует первый порядок точности решения полной постановки задачи по пространству и по времени.

В третьей главе представлены результаты численных расчетов и проведен их анализ.

В § 3.1 проведены тестовые расчеты, подтверждающие адекватность работы численного метода на отдельных этапах, а так же рассмотрен простейший одномерный плоский случай.

В § 3.2 проведены расчеты по данным конкретной электролизной ванны с учетом токов, входящих в каждый из 22 анодов. На рис. 3 изображена поверхность раздела жидкий металл-электролит на моменты времени /=0 с, /=5 с, (=10 с и с соответственно.

Рис. 3. Динамика поверхности раздела жидкий металл-электролит.

Результаты расчетов показали, что процесс электролиза происходит стабильно, МПР находится в допустимом диапазоне и амплитуда колебаний поверхности раздела значительно не растёт, и дали качественное совпадение с результатами наблюдений и расчетами по существующей стационарной модели.

В § 3.3 проведены расчеты динамики изменения поверхности раздела и полей основных физических величин при замене выгоревших анодных блоков в конкретной электролизной ванне. Расчеты показали, что при одновременном извлечении двух крайних анодов происходит резкое возрастание амплитуды

колебаний, что приводит к тому, что МПР становится меньше критического и свидетельствует о нарушении стабильности работы электролизера, что подтверждается наблюдениями.

Проведены расчеты для различных геометрий рабочего пространства, в зависимости от конфигурации гарнисажа.

Далее в параграфе изложены общие выводы, которые показывают возможность математического моделирования процесса электролиза в различных условиях и при возникновении неполадок различного типа.

В § 3.4 приведена методика снятия неопределенности в выборе ведущей пары мод в критерии Бояревича-Ромерио. Этот критерий часто используется в производственных АСУТП для определения порога устойчивости работы электролизера.' Критическое значение МПР согласно критерию Бояревича-Ромерио может быть выражено по формуле:

II

= М0

if\-Pi)h

. где

(13)

л(/)=

2-4 V.

К1У

-(l(m'+m,n'+n,l)-I(m'-m,n'-n,l)) +

+ " т+пт (l(m'+m,n'-n,l)-l(m'-m,n'+n,¡))

L L

* У

gn

m'2 п,г L* hj

m n

Xz

v. * i

m —m n -n

x у

где Ic, /„ - заданы; k,=—m,

I n

k„ =—n.

m,n - целые числа,

1, если kx, kt*ü sk=- если или ^ =0, kx *kv,

1/2, если kr = ky=Q

В критерии учитываются основные технологические параметры и распределение вертикальной компоненты магнитного поля через ее преобразование Фурье. Фурье-компоненты вертикальной составляющей магнитного поля в зависимости от длины настыли / обозначены через:

l(m,n,l) = —¡B.(x,yj)sm sin ^ dxdy

LsLyr

Согласно критерию Бояревича-Ромерио, считается, что электролизер работает устойчиво, если МПР не становится меньше критического значения, рассчитанного по формулам (13). Однако, при использовании на практике существует неопределенность в выборе ведущей пары мод (т,п)-(ш',п') для

использования в критерии. Предложенная математическая модель позволяет устранить эту неопределенность при помощи проведения расчета динамики поверхности раздела для конкретных электролизных ванн и последующего сравнения полученного в результате численного эксперимента МПР {\трфакт) с критическими МПР (hunPmm), рассчитанными по критерию Бояревича-Ромерио для различного выбора ведущих пар мод. При этом считается, что

Рассчитанное по предложенной модели МПР лежит в диапазоне 3,7-5,6 см. Отвечающее ему критическое МПР должно быть примерно равно 0,7*3,7 = = 2,59 см.

Сравнение

полученного критического МПР с критическими МПР из таблицы, рассчитанными по критерию Бояревича-Ромерио для различных пар мод, позволяет в качестве ведущей выбирать ту пару мод, которой соответствует ближайшее к полученному в результате численного эксперимента критическое МПР. Для данной электролизной ванны в качестве ведущей рекомендуется выбрать пару мод (1,1)-(2,0).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

• Предложена новая динамическая математическая модель МГД-нестабильности в процессе промышленного электролиза алюминия. Модель основана на нестационарных уравнениях Навье-Стокса и общих уравнениях магнитной гидродинамики в средних слоях двух сред.

• Разработан численный метод решения предложенной системы уравнений, основанный на разделении на этапы по физическим процессам. Создан комплекс программ, осуществляющий расчеты по предложенному методу.

• Проведено моделирование МГД-нестабильности электролизера при замене выгоревших анодов.

• Предложена методика снятия неопределенности в критерии устойчивости Бояревича-Ромерио, используемом в производственных АСУТП в реальном времени для оценки порога устойчивости в зависимости от основных технологических параметров электролизера.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Алаторцев A.B., Кузьмин Р.Н., Проворова О.Г. , Савенкова Н.П.

Математическое моделирование магнитно-гидродинамических процессов в

алюминиевом электролизере // Прикладная математика и информатика. М.: МАКС Пресс, 2003. №15. С. 46-61.

2. Алаторцев A.B., Кузьмин Р.Н., Проворова О.Г., Савенкова Н.П. Численное моделирование магнитно-гидродинамических процессов в алюминиевом электролизере // Сб. тезисов X международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Пущино, 2003. С.81.

3. Алаторцев A.B., Кузьмин Р.Н., Проворова О.Г., Савенкова Н.П. Численное моделирование магнитно-гидродинамических процессов в алюминиевом электролизере // Математика. Компьютер. Образование: сборник научных трудов, выпуск X, Т.2, под редакцией Г.Ю. Ризниченко. Москва-Ижевск, НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2003. С. 77-86.

4. Алаторцев A.B., Кузьмин Р.Н., Проворова О.Г., Савенкова Н.П. Исследование МГД-нестабильности в алюминиевом электролизере // Математика. Компьютер. Образование: сборник научных трудов, выпуск XI, Т.2, под редакцией Г.Ю. Ризниченко. Москва-Ижевск, НМД Регулярная и хаотическая динамика, 2004. С. 501-508.

5. Алаторцев A.B., Кузьмин Р.Н., Проворова О.Г., Савенкова Н.П. Исследование МГД-нестабильности в алюминиевом электролизере // Сб. тезисов XI международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Дубна, 2004. С.89.

6. Алаторцев A.B., Кузьмин Р.Н., Проворова О.Г. , Савенкова Н.П. Динамическая модель магнитно-гидродинамических процессов в алюминиевом электролизере // Прикладная физика. 2004. № 5. С. 33-42.

7. Alatortsev А. V., Kuz'min R. N., Provorova О. G., Savenkova N. P. Mathematical Modeling of Magnetohydrodynamic Processes in an Aluminum Electrolyzer. Computational Mathematics And Modeling // Selected Translations From Sbornik Trudov- Fakul'tet Vychislitel'noi Matematiki I Kibemetiki. Vol. 15, № 4. Oct. 2004. P. 350-364.

8. Алаторцев A.B., Кузьмин P.H., Савенкова Н.П. Динамическая модель магнитно-гидродинамических процессов в электролизе металлов // Сб. тезисов 13-й российской конференции по холодной трансмутации ядер химических элементов и шаровой молнии. Дагомыс, 2005. С. 69.

9. Алаторцев A.B., Кузьмин Р.Н., Савенкова Н.П. Моделирование динамики поверхности раздела в алюминиевом электролизере при замене анода // Сб. тезисов ХШ международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Дубна, 2006. С. 111.

10. Алаторцев A.B., Кузьмин Р.Н., Савенкова Н.П. Математические модели промышленного электролиза // Сб. Тезисов международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов 2006». Москва, Физический факультет МГУ, 2006. С. 67-68.

11. Алаторцев A.B., Кузьмин Р.Н., Савенкова Н.П. Моделирование динамики поверхности раздела в алюминиевом электролизере при замене анода. // Математика. Компьютер. Образование: сборник научных трудов, выпуск XIII, Т.2, под редакцией Г.Ю. Ризниченко. Москва-Ижевск, НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2006. С. 187-195.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 21.02.2007 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печ.л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 088. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

ВВЕДЕНИЕ.

Постановка задачи.

Обзор литературы.

Обзор работы.

Основные результаты.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МГД-ПРОЦЕССОВ В

АЛЮМИНИЕВОМ ЭЛЕКТРОЛИЗЕРЕ.

§ 1.1 Исходная система уравнений.

§ 1.2 Математическое моделирование давления в среднем слое жидкости.

§ 1.3 Уравнение электромагнитной индукции.

§ 1.4 Расчет анодного тока в средах.

§ 1.5 Учёт геометрии ванны и анодов в математической модели

§ 1.6 Полная математическая модель.

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ.

§ 2.1 Разделение на этапы по физическим процессам.

§ 2.2 Численный метод решения задачи по этапам.

§ 2.3 Устойчивость разностного метода.

§ 2.4 Оценка точности метода.

ГЛАВА 3. АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ.

§ 3.1 Тестовые расчеты.

Одномерный плоский случай.

Двумерный случай.

§ 3.2 Оценка адекватности результатов расчетов по конкретной ванне.

Расчет 766-ой ванны по 1-му аноду.

Расчет 766-ой ванны по 22-м анодам.

§ 3.3 Моделирование некоторых процессов, возникающих при промышленном производстве.

Замена выгоревших анодных блоков.

Исследование влияния геометрии рабочего пространства электролизера на МГД-стабильность.

Возможности по моделированию неполадок.

§ 3.4 Устранение неопределенности в критерии устойчивости Бояревича-Ромерио.

Постановка задачи

Необходимо провести математическое моделирование процесса промышленного электролиза алюминия в условиях, максимально приближенных к реальным. Требуется построить нестационарную математическую модель движения двух жидких слоев, описывающую электромагнитные и гидродинамические процессы в своей взаимосвязи, с учетом как токов, исходящих из анодов, так и индуцированного тока. Модель должна учитывать геометрию ванны и вязкое трение между средами и на их границах. Результаты численного расчета должны позволять визуализировать динамику изменения поверхности раздела между средами, скоростей в средах жидкого металла и электролита, а так же основных электромагнитных величин в обеих средах.

В производственных автоматизированных системах управления технологическим процессом (АСУТП) для определения порога устойчивости электролизера на практике часто используется критерий Бояревича-Ромерио [17], который в реальном времени позволяет следить за МГД-стабильностью технологического процесса и позволяет эффективно управлять электролизом. Опираясь на результаты моделирования, требуется предложить способ снятия неопределенности в выборе ведущей пары мод разложения поверхности металла для конкретных электролизных ванн.

Обзор литературы

В настоящее время первичный алюминий производится путем электролиза криолит-глиноземного расплава в электролизной ванне [14,16]. Основными компонентами криолит-глиноземного расплава являются: глинозем а120з, криолит иазашб, и фтористый алюминий A1F3. В промышленном электролите всегда присутствует фтористый кальций - CaF2, который снижает температуру плавления и снижает потери алюминия.

Электролит в расплавленном состоянии диссоциирует на ионы. Положительно заряженные ионы (катионы) разряжаются на катоде, отрицательные ионы (анионы) - на угольном аноде.

Основной процесс на катоде - восстановление трехвалентного алюминия А1 + Зе = А1, на угольном аноде - происходит разряд кислородосодержащих ионов с образованием окислов углерода СО и СО2. На рис. 1 изображена рабочая зона межполюсного зазора электролизера.

О О О о о о ° ° о о Транспорт С02

Реакционная зона ° конвекцией О о о

Перенос металла конвекцией

-V

Электролит

1 lOBCp^ill vy VII/ 11VV Л. UilJ^A

Алюминий

Пограничный слой

Рис. 1. Рабочая зона межполюсного зазора электролизера.

Суммарная реакция, происходящая в электролизере, может быть представлена в виде уравнения:

А1203 + ХС = 2А1 + (2Х-3)СО + (3-Х)С02

То есть в процессе электролиза в основном расходуется глинозем и углерод (в смеси пека и кокса), электроэнергия на разложение глинозема и поддержание рабочей температуры, дополнительно расходуются фтористые соли.

Процесс электролиза непрерывный, поэтому в электролит периодически загружают глинозем (а в самообжигающийся анод - анодную массу). Для поддержания уровня и состава электролита загружают свежий и вторичный криолит, оборотный электролит, фтористый алюминий, и кальцированную соду.

Основным показателем работы электролизёра является выход по току. Выход по току - отношение количества практически полученного алюминия к количеству, которое должно выделиться на катоде согласно закону Фарадея. Величина выхода по току таким образом рассчитывается по формуле:

Л = —^—100% /•/•0,335

В процессе производства алюминия возникают нежелательные явления (циркуляция металла, волнообразование на поверхности металла, перекос анода и др.), что ведет к негативным последствиям: к размыву гарнисажа, разрушению подовых и анодных блоков, прорыву металла, перемешиванию алюминия с электролитом и пр. В результате нарушается технологический режим, снижается выход по току и уменьшается срок службы электролизеров. Важно знать, как изменения конструкции и технологических параметров отражаются на процессах, происходящих в электролизере.

Считается, что первопричина снижения выхода по току - окисление растворенного алюминия анодным газом (СО2). Основная реакция, вызывающая потери металла:

2а1 + зс02 а1203 + зсо

Алюминий попадает в рабочую зону либо в следствие растворения, либо в следствие диспергирования.

Для уменьшения энергетических потерь следует по возможности уменьшать слой электролита, но при этом на поверхности раздела металл-электролит могут возникнуть колебания. При некоторых условиях наблюдается рост амплитуд этих волн, который называется неустойчивостью или магнитогидродинамической (МГД) нестабильностью. Даже простое незатухающее колебание поверхности раздела должно быть устранено, так как при нем возрастает массоперенос растворенного алюминия от катода в межполюсное пространство, где он снова окисляется. МГД-нестабильность является основным препятствием увеличения выхода по току, и её устранение является одним из самых тонких мест в технологическом процессе производства первичного алюминия.

В настоящее время развито две технологии производства первичного алюминия: в электролизерах с предварительно обожженными анодами, и в электролизерах с самообжигающимися анодами. Наиболее распространенными в мире являются электролизеры с обожженными анодами (70% добываемого алюминия). Технология электролиза с обожженными анодами подразумевает периодическую замену анодов, в процессе чего могут происходить нежелательные возмущения среды, приводящие к снижению эффективности производства. При замене выгоревших анодов, которые выводят по 1-2 шт. по мере их выгорания, происходит перераспределение токов (суммарная величина которых порядка двухсот кА) по анодам, что влечет за собой изменение распределения токов в металле и электролите, а значит, ведет к изменению величины электромагнитной силы, действующей в этих средах. Это, в свою очередь, вызывает изменение распределения скоростей в электролите и металле, образование вихрей в средах, что ведет к возмущению границы раздела сред металла и электролита. Часто при этом возникает МГД-нестабильность, зазор между анодом и жидким металлом становится меньше допустимого критического (значение минимального допустимого МПР для каждой электролизной ванны индивидуально и составляет в среднем 3 см).

Известно, что плотность чистого алюминия зависит от температуры следующим образом:

Г = 18 °С: рА1 =2,1 г/смг;

Т = 658 °С: рА1 =2,382 г/см3 (температура плавления алюминия);

Т > 658 °С: рм = 2,382 - 0,000273(t-658) г/см3;

Т = 950 °С: рА1= 2,302 т/см3; а плотность криолита:

Г = 18 °С: pNaiAIFi =2,948 г/см3;

Т = 1000 °С : Pno.aif6~2'08 Г//сл/3 (температура плавления криолита);

Т > 1000 °С: pNa)AiF6=2,0& - 0,00088(t-1000) г/см3;

Таким образом, с ростом температуры плотность алюминия падает меленнее чем плотность криолита, в итоге, уже при 950 °С плотность алюминия больше плотности криолита на 10%. Поэтому выделяющийся в результате электролиза алюминий осаждается на падине ванны под электролитом.

Если температура меньше 950 °С, то электролит может кристаллизоваться и плотность алюминия станет меньше плотности криолита. Тогда металл всплывет на поверхность. Чем выше электропроводность электролита, тем меньше падение напряжения при прохождении через него тока, т.е. затраты электроэнергии будут меньше. Максимальная удельная электропроводность электролита равна 446 См/м при температуре 1000 °С. Если в электролит добавить фтористый натрий и фтористый алюминий, то его удельная электропроводность будет почти в 2 раза меньше (267 См/м), т.е. затраты энергии возрастут. Однако повышение температуры на каждые 10 °С понижает выход по току на 3-4%. При температуре равной 940 °С выход по току равняется 95%, при температуре равной 980 °С выход по току равен 74%. Поэтому температуру поддерживают в пределах 940 - 970 °С.

Важным параметром, влияющим на эффективность работы электролизера, является межполюсное расстояние (МПР). МПР - это расстояние между подошвой анодов и поверхностью металла. Чем больше межполюсное расстояние, тем больше выход по току. Если межполюсное расстояние больше 6 см, то выход по току растет не значительно. Если межполюсное расстояние меньше 3 см, то выход по току резко падает, так как алюминий попадает в реакционную зону, где происходит его обратное окисление. Поэтому для большинства ванн оптимальное МПР лежит в диапазоне 4-6 см.

Одна из основных технологических задач - создание условий в межполюсном пространстве, при которых уменьшается поток растворенного и диспергированного алюминия с поверхности катода и снижается вероятность его вторичного окисления, а также создание условий, при которых уменьшается вероятность зажатия ванны (когда МПР становится меньше допустимого).

Таким образом, при электролизе криолито-глиноземных расплавов на выход по току влияет:

• Плотность тока,

• Межполюсное расстояние,

• Температура электролита,

• Состав электролита, и, конечно, качество обслуживания ванны.

Неполадки в работе ванн - это такие расстройства процесса электролиза, которые приводят к снижению выхода по току и качества получаемого алюминия, к перерасходу электроэнергии и сырья, а также к более серьезным последствиям - аварийному состоянию ванн, требующему выключения отдельных ванн и даже целой их группы.

В [14] подробно описаны неполадки, которые могут возникать в технологическом процессе производства первичного алюминия. К основным неполадкам в работе ванн авторы относят следующие:

• Холодный ход ванны;

• Выпадение глинозема на подину ванны;

• Затяжной, «негаснущий» анодный эффект;

• Горячий ход ванны.

Холодный ход ванны наблюдается если ванна получает недостаточное количество тепла, его причинами может быть пониженная сила тока серии, малое МПР, а также большое количество металла в ванне.

Выпадение глинозема на подину ванны, или «отравление ванны глиноземом» может происходить, если в ванну загружено глинозема больше того количества, которое может раствориться в электролите. Также это может происходить при холодном ходе ванны.

Анодный эффект возникает при снижении концентрации глинозема в электролите до 1-2%, поэтому его гасят внесением глинозема в ванну. Главный признак анодного эффекта - резкое, почти мгновенное, повышение напряжения в ванне. Основной причиной анодного эффекта является ухудшение смачиваемости поверхности анода электролитом из-за увеличения поверхностного натяжения на границе раздела электролит-анод. Поэтому на поверхности анода появляется сплошная прослойка из пузырьков газа - продукта электролиза. Растет сопротивление на границе электролит-анод, что влечет за собой потери тока и резкое повышение напряжения. Для и каждой ванны существует критическая плотность тока. Чем она выше, тем реже возникает анодный эффект. Величина критической плотности тока зависит главным образом от состава электролита и температуры. Затяжной анодный эффект характеризуется тем что он длится несколько часов и его не удается ликвидировать обычным приемом - загрузкой в электролит очередной порции глинозема. Если затяжной анодный эффект не прекратить, то неизбежен прорыв электролита и металла и даже полный выход ванны из строя.

Горячий ход ванны характеризуется высокой температурой электролита, что создает условия для более усиленного окисления растворенного алюминия, что, в свою очередь, также вызывает повышение температуры и ведет к понижению выхода по току. Его причинами могут быть:

• Чрезмерно малое МПР (избыточное тепло выделяется в рабочей зоне при обратном окислении алюминия);

• Сильно возросшее напряжение из-за увеличения МПР;

• Недостаточное количество алюминия в ванне;

• Анодный эффект;

• Перегрев электролита на каком-то участке (местный перегрев) при неравномерном распределении тока. Главная причина -сильный перепад поверхности раздела металл-электролит. При этом плотность тока растёт и электролит перегревается, происходит усиленное окисление алюминия и повышается температура ванны.

Сильный перепад поверхности раздела возникает, когда:

• Нарушена параллельность между нижней поверхностью анодов и дном ванны из-за перекоса анодов после выливки алюминия и перетяжки рамы анодов.

• Анод неравномерно расходуется из-за неоднородности материала, из которого он состоит, и в нижней его части образуется конус, который может так вырасти, что начнет касаться алюминия.

• Анод замыкается с алюминием через обломившийся кусок анода или кусок подового блока, который не вынули из ванны.

• Анод касается настыли.

Для ликвидации горячего хода ванны устраняют возможную причину нарушения режима электролиза:

• Если горячий ход произошел из-за роста тока, то его снижают до нормального.

• Если увеличено напряжение из-за большого МПР, то аноды опускают.

• Корректируют состав электролита.

• Если причиной горячего хода являются местные перегревы, то в первую очередь устраняют их. Характерными внешними признаками ванны с местными перегревами являются: колебание напряжения, неравномерное бурление электролита вокруг анода, перегрев электролита там, где нет бурления и большой накал анода на этом участке, образование на этом аноде «шейки».

• Если причиной является перекос анода, то его устраняют, регулируя подвески анода.

Поскольку физические эксперименты по оптимизации работы электролизера затруднительны, а замеры полей при температуре близкой к 1000 °С на практике дают погрешность порядка 15%, возрастает роль проведения численного эксперимента на основе математического моделирования.

Существуют различные уравнения, связывающие выход по току с магнитогидродинамическими явлениями (МГД-явлениями) в электролизёре [21,22]. При изучении магнитогидродинамических явлений можно выделить две задачи:

• Получение математической модели, описывающей основные поля в стационарном состоянии (магнитное, электрическое, форму стационарной поверхности раздела, линии течения в металле и электролите, скорости движения обоих жидкостей, формы рабочего пространства и т.д.);

• Получение математической модели, описывающей динамику поверхности раздела.

Приведем краткий обзор основных результатов, относящихся ко второй задаче. Существование различных подходов, дающих объяснения возникновению волн на поверхности металла, а значит приводящих к разным критериям устойчивости, свидетельствует о значимости этого явления для эксплуатационных качеств электролизера. Первая двумерная модель в приближении «мелкой воды» была предложена в [29,30]. В данной модели используется нелинейное волновое уравнение для описания поверхности невязкой жидкости. Нелинейность обусловлена электромагнитной силой. К сожалению, в [29,30] не приводится вывод этого уравнения. В работе [28] для анализа волн в металле предложен «Метод быстрых анодных погружений».

Аналитический критерий устойчивости впервые предложен в [26]. В качестве основного механизма неустойчивости в этой работе выбрано взаимодействие между горизонтальными электрическими токами и вертикальной компонентой вектора магнитной индукции. Введено понятие эффективного межполюсного расстояния 1),=^+—\\ Ds отражает зависимость возмущенных распределений тока от анодных сопротивлений.

Критерий Селе является необходимым условием и отражает тот факт, что если электролизер работает устойчиво, то выполняется условие: h1+^L)Hm >—^^—А, где JZ,BZ —невозмущенные компоненты плотности <*\ 8(Р\-Рг) тока и магнитного поля соответственно.

В работе [23] рассматривается электролизер бесконечных размеров. В основе модели лежат уравнения Навье-Стокса. Используется классическая техника линейной теории гидродинамической устойчивости, за исключением того, что для моделирования течений на середине каждого слоя предполагается линейный закон трения в приэлектродной области [23]. Авторы отмечают, что электромагнитная неустойчивость может развиваться, если плотность тока в жидком алюминии достаточно велика. Она может порождать крупномасштабные волны (1,5-2 м), распространяющиеся в направлении горизонтального тока. Возрастание уровня турбулентности (или возрастание коэффициента трения) может стабилизировать возмущения Это предполагает существование некоторого механизма насыщения и требует развитие нелинейных моделей, способных различать условия насыщения от условий развития хаоса. В работе [19] получен результат, который противоречит [26] и [23]. А именно: рассматривается электролизер со сплошным анодом. Система запитана вертикальным электрическим проводником, расположенным выше анодного блока. Какова бы ни была длина проводника, система (в рамках используемой модели) неустойчива. Если добавить однородное поле в z-направлении, то система становится устойчивой в случае, когда Вг -компонента магнитного поля превышает некоторое критическое значение 10" Тл. Авторы объясняют это различие тем, что они учли индуцированный электрический ток, в то время как в статьях, опубликованных ранее, индуцированным током пренебрегают. Уравнения выводятся при следующих предположениях:

• Движения несжимаемых жидкостей подчиняется уравнениям Навье-Стокса.

• Электромагнитное поле подчиняется квазистационарным уравнениям Максвелла.

• Электрические токи вне электролизера, в анодных и катодных блоках известны и не зависят от времени.

• Флуктуации вокруг стационарного движения настолько маленькие, что уравнения можно линеаризовать в окрестности стационарного решения.

• Изменения электромагнитного поля настолько маленькие, что ротор электрического поля равен нулю.

• В линеаризованной системе для флуктуаций можно пренебречь вязкими членами.

• При расчетах дополнительно предполагалось:

• Стационарное поле скоростей - нулевое.

• Стационарная поверхность - плоская.

• Аноды и катод представляют из себя два слоя.

В работах [27] и [17] рассматриваются стоячие волны. В [17] выводится волновое уравнение методом разложения по малому параметру. В качестве малого параметра взяты: отношение глубины слоев к горизонтальным размерам ванны, отношение амплитуды волны к глубине, отношение проводимости электролита к проводимости металла. Получены уравнения, аналогичные уравнениям в работе [29,30], усиленные наличием анодного слоя. Модифицирован критерий Селе. В работе [20] демонстрируются области справедливости подходов на основе теории «мелкой воды», хорошо описываются неустойчивости, порожденные вертикальным магнитным полем. Авторы строят трехмерное интегро-дифференциальное уравнение для описания колебаний в металле, осредняя его по глубине слоя, получают новое двумерное волновое уравнение. Тщательно моделируются аноды, приведена трактовка граничных условий. Вследствие этого, коэффициент в волновом уравнении отличается от [17]. Новое волновое уравнение было выведено из теории «мелкой воды» в работе [18] и в других работах этих же авторов. В этом уравнении сила Лоренца выражена непосредственно в терминах движения жидкости. Приводится общий энергетический критерий для того, чтобы установить, какие движения могут быть неустойчивыми. Это могут быть как бегущие, так и стоячие волны. Приводится достаточное условие стабильности, которое не требует решения основных уравнений магнитной гидродинамики.

В настоящей работе предлагается новая нестационарная математическая модель для описания МГД-процессов в промышленном алюминиевом электролизере, которая не разделяет описание основного и возмущенного движений и дает представление о состоянии поверхности раздела сред и скоростей движения в динамике.

Обзор работы

• В главе 1 предложена математическая модель полного физического моделирования физических процессов в промышленном алюминиевом электролизере.

• В главе 2 описан численный метод решения предложенной системы уравнений.

• В главе 3 проведены расчеты, подтверждающие адекватность предложенной модели, представлены результаты расчетов моделирования конкретных электролизных ванн, проведен численный эксперимент по исследованию МГД-нестабильности электролизера при замене выгоревших анодов, а также предложен алгоритм снятия неопределенности в критерии устойчивости Бояревича-Ромерио.

Основные результаты

Предложена новая динамическая математическая модель МГД-нестабильности в процессе промышленного электролиза алюминия. Модель основана на нестационарных уравнениях Навье-Стокса и общих уравнениях магнитной гидродинамики в средних слоях двух сред.

Разработан численный метод решения предложенной системы уравнений, основанный на разделении на этапы по физическим процессам. Создан комплекс программ, осуществляющий расчеты по предложенному методу.

Проведено моделирование МГД-нестабильности электролизера при замене выгоревших анодов.

Предложена методика снятия неопределенности в критерии устойчивости Бояревича-Ромерио, используемом в производственных АСУТП в реальном времени для оценки порога устойчивости в зависимости от основных технологических параметров электролизера.

Автор выражает глубокую благодарность за постоянную помощь, поддержку и внимание своему научному руководителю, доктору физико-математических наук Н.П. Савенковой.

Особую благодарность автор выражает академику РАЕН, доктору физико-математических наук, профессору физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова Р.Н. Кузьмину за постоянное внимание, консультации по физической постановке задачи и полезные советы в ходе выполнения диссертационной работы.

Автор благодарен преподавателям кафедры вычислительных методов МГУ им. М.В. Ломоносова профессору А.П. Фаворскому, профессору Г.Г. Еленину, профессору А.В. Гулину, профессору В.Б. Андрееву, доценту С.И. Мухину, доценту Н.В. Соснину за обсуждение работы и ценные замечания.

Автор глубоко признателен доктору технических наук, профессору Красноярского государственного университета О.Г. Проворовой за научные консультации и конструктивное обсуждение результатов численных экспериментов.

Основные результаты работы:

• Предложена новая динамическая математическая модель МГД-нестабильности в процессе промышленного электролиза алюминия. Модель основана на нестационарных уравнениях Навье-Стокса и общих уравнениях магнитной гидродинамики в средних слоях двух сред.

• Разработан численный метод решения предложенной системы уравнений, основанный на разделении на этапы по физическим процессам. Создан комплекс программ, осуществляющий расчеты по предложенному методу.

• Проведено моделирование МГД-нестабильности электролизера при замене выгоревших анодов.

• Предложена методика снятия неопределенности в критерии устойчивости Бояревича-Ромерио, используемом в производственных АСУТП в реальном времени для оценки порога устойчивости в зависимости от основных технологических параметров электролизера.

Заключение

1. Бояревич В.В. Математическая модель МГД-процессов в алюминиевом электролизере //Магнитная гидродинамика. 1987. № 1. С. 107-115.

2. Бояревич В.В., Калис Х.Э., Миллере Р.П., Погодкина И.Э. Математическая модель для расчета параметров алюминиевого электролизера // Цветные металлы. 1988. № 7. С. 63-66.

3. Математическое моделирование физических полей в алюминиевых электролизерах / Альчиков В.В. и др.; под ред. В.И. Быкова, B.C. Злобина.-Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2002. С.6-75.

4. Головизнин В.М., Самарский А.А. Некоторые свойства разностной схемы «Кабаре» // Математическое моделирование. 1998. Т. 10, № 1. С. 101-116.

5. Головизнин В.М., Самарский А.А. Разностная аппроксимация конвективного переноса с пространственным расщеплением временной переменной // Математическое моделирование, 1998. Т. 10, № 1. С. 86100.

6. Кузьмин Р.Н., Кулешов А.А., Савенкова Н.П., Филиппова С.В. Моделирование аварий на промышленном объекте с истечением тяжелых газов и жидкостей // Математическое моделирование, 1998. Т. 10, № 8. С. 33-42.

7. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. — М.: Наука, 1979.

8. Овчинников В.В., Проворова О.Г., Пингин В.В., Пискажева Т.В. Математические модели и МГД-явления в электролизере Содерберга // Цветные металлы. 1997. № 1. С. 61-63.

9. Проворова О.Г. Математические модели для эффективного управления некоторыми теплофизическими процессами : дис. . доктор техн. наук / Новосибирский государственный университет. — Новосибирск, 1997.

10. Ю.Проворова О.Г., Пингин В.В., Овчинников В.В., Пискажева Т.В., Горин Д.А. Математические модели физических полей в электролизере Содерберга // Магнитная гидродинамика. 1998. Т.34. С. 375-385.11 .Самарский А.А. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1989.

11. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. — М.: Научный мир, 2000.

12. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. — М.: Наука, 1992.

13. Сушков А.И., Троицкий И. А. Металлургия Алюминия. — М.: Металлургия, 1965.

14. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1972.

15. Федотьев Н.П., Алабышев А.Ф. и др. Прикладная электрохимия. — Санкт-Петербург : Госхимиздат, 1962. С. 275-330.

16. Bojarevics V.V., Romerio M.V. Long waves instability of liquid metal-electrolyte interface in aluminium electrolysis cells: a generalization of Sele's criterion // Eur. J. Mech. B/Fluids. 1994. Vol.13, №1. P.33-56.

17. Davidson P.A., Lindsay R.J. Stability of interfacial waves in aluminium reduction cells //J. Fluid Mech. 1998. Vol. 362. P. 273-295.

18. Desloux J., Flueck M., Romerio M.V. Modelling for Instabilities in Hall-Heroult Cells: Mathematical and Newmerical Aspects // Magnetohydrodynamics in Process Metallurgy. 1991. P. 107-110.

19. Droste Ch., Segatz M., Vogelsang D. Magnetohydrodynamics Instability Analysis in Reduction Cells // Light Metals. 1998. P. 419-427.

20. Grjotheim K., Kvande H. Introduction to Aluminum Electrolysis. — Dusseldorf: Aluminium-Verlag, 1993.

21. Grjotheim K., Welch B. Aluminum Smelter Technology. — Dusseldorf: Aluminium-Verlag, 1988.

22. Moreau R. Zeigler D. The Moreau-Ewans hydrodynamic model applied to actual Hall-Heroult cells // Metallurgical Transactions. 1988. Vol.19. P. 734744.

23. Moreau R., Ewans J.W. An analysis of hydrodynamics of aluminum reduction cells//J. Electrochem Soc. 1984. Vol. 131,№ 10. P. 2251-2259.

24. Moreau R., Ziegler D. Stability of Aluminium Cells-a new approach // Light Metals. 1986. P. 359-364.

25. Sele T. Instabilities of the Metal Surface in Electrolytic Cells // Light Metals. 1977. P. 7-24.

26. Sneyd A.D., Wang A. Interfacial Instabilities due to MHD Mode Coupling in Aluminium Reduction Cells // J. Fluid Mech. 1994. P. 343-359.

27. Tang H.Q., Urata N. Metal pad wave analysis using a fast anode lowering method // Light Metals, 1997. P. 387-393.

28. Urata N., Mori K., Ikeuchi H. Behavior of Bath and Molten Metal in Aluminium Electrolytic Cell // Kaikiuzoku (Light Metals, Japan), 1976. P. 573-583.

29. Urata N. Magnetic and metal pad instability // Light Metals. 1985. P. 581589.

30. Содержание дисссртации изложено в следующих работах:

31. Алаторцев А.В., Кузьмин Р.Н., Проворова О.Г. , Савенкова Н.П. Динамическая модель магнитно-гидродинамических процессов в алюминиевом электролизере // Прикладная физика. 2004. № 5. С. 33-42.

32. Алаторцев А.В., Кузьмин Р.Н., Проворова О.Г., Савенкова Н.П. Численное моделирование магнитно-гидродинамических процессов в алюминиевом электролизере // Сб. тезисов X международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Пущино, 2003. €.81.

33. Алаторцев А.В., Кузьмин Р.Н., Проворова О.Г., Савенкова Н.П. Исследование МГД-нестабильности в алюминиевом электролизере // Сб. тезисов XI международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Дубна, 2004. С.89.

34. Алаторцев А.В., Кузьмин Р.Н., Савенкова Н.П. Моделирование динамики поверхности раздела в алюминиевом электролизере при замене анода // Сб. тезисов XIII международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Дубна, 2006. С. 111.

35. Алаторцев А.В., Кузьмин Р.Н., Савенкова Н.П. Математические модели промышленного электролиза // Сб. Тезисов международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов 2006». Москва, Физический факультет МГУ, 2006. С. 67-68.