автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Однофазные и многофазные математические модели электролиза алюминия

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. Ломоносова

Факультет вычислительной математики и кибернетики

48534а/ На правах рукописи

Анпилов Сергей Валерьевич

ОДНОФАЗНЫЕ И МНОГОФАЗНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОЛИЗА АЛЮМИНИЯ

Специальность - 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 2 СЕН 2011

Москва-2011

4853492

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов факультета ВМК МГУ им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель: Доктор физико-математических

наук Савенкова Надежда Петровна

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических

наук Бычков Владимир Львович, Физический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова

Кандидат физико-математических наук, зам. директора по научной работе Института Физической Оптики Ибраимов Нариман Смаилович

Ведущая организация: ИПМ Им. Келдыша РАН

Защита состоится " К " 0!СМЛ($/1£ 2011 г. в час. мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.43 при Московском государственном университете имени М.В .Ломоносова, расположенном по адресу: 119991, Российская Федерация, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, Факультет ВМК МГУ имени М.ВЛомоносова, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Факультета ВМК МГУ имени М.В.Ломоносова.

С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова http://www.cmc.msu.ru в разделе «Наука» - «Работа диссертационных советов» - «Д 501.001.^Г».

Автореферат разослан 2011 г.

Учёный секретарь диссертационного

совета, доктор физико-математических у ^

наук, профессор Е.В. Захаров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Настоящая работа посвящена численному исследованию МГД-стабильности алюминиевого электролизёра в условиях промышленного производства алюминия.

Актуальность темы диссертации

Математическое моделирование фактически является единственным способом исследования, и визуализации динамических процессов на границе раздела сред электролит-алюминий. В силу высокой температуры (960°С) и химической агрессивности среды проведение экспериментальных замеров основных характеристик процесса электролиза алюминия в промышленной электролизной ванне крайне затруднено. Поэтому достаточно адекватное математическое моделирование позволяет получить достоверную информацию о форме границы раздела сред, конфигурации распределения скоростей металла и электролит, электромагнитных полей и электрических токов в средах, а также зависимости этих величин от геометрии ванны, конфигурации анодов и условий проведения процесса электролиза. Это даёт возможность выработать рекомендации по оптимальному режиму проведения процесса электролиза и выбору формы рабочего пространства ванны с целью увеличения выхода алюминия по току.

Цель работы

Целью настоящей диссертационной работы является:

1. разработать нестационарную трёхмерную математическую модель электролиза алюминия в промышленной ванне, описывающую гидродинамические и электромагнитные процессы в электролизной ванне во взаимосвязи, учитывающую реальную форму рабочего пространства и позволяющую исследовать МГД-стабилыюсть ванны при различных режимах проведения электролиза алюминия;

2. разработать численный метод решения поставленной трёхмерной математической модели;

3. осуществить программную реализацию численного метода, позволяющую визуализировать полученные результаты;

4. определить границы возможного применеиия осреднённой двухмерной математической модели электролиза алюминия.

Положения, выносимые на защиту

1. Разработана трёхмерная двухфазная математическая модель алюминиевого электролизёра, учитывающая взаимосвязь гидродинамических и электромагнитных процессов в средах алюминия и электролита, реальную геометрию ванны и конфигурацию анодов.

2. Предложен численный метод решения и осуществлена его программная реализация, позволившая провести визуализацию динамических процессов во всём объёме электролизной ванны.

3. Численно исследована МГД-стабильность ванны при замене различных пар выгоревших анодов.

4. Исследована зависимость МГД-стабильности работы электролизёра от формы рабочего пространства ванны для заданной конфигурации анодов.

Научная новизна работы

Диссертационная работа предлагает оригинальный подход к моделированию промышленного алюминиевого электролизёра. Математическая модель, описывающая магнитно-гидродинамические процессы в электролизной ванне, основана на трёхмерной системе уравнений магнитной гидродинамики - системе уравнений Навье-Стокса, записанной для сред алюминия и электролита в двухкомпонентном приближении для смеси вязких жидкостей, и на системе уравнений Максвелла. Особенность математической постановки модели заключается в том, что нестационарные гидродинамические и электромагнитные процессы в ней рассматриваются во взаимосвязи в двухкомпонентной смеси, каждой из компонент которой соответствует своё поле скоростей. Такая постановка позволяет определить границу раздела сред в зависимости от чистоты металла и учесть реальную геометрию ванны. Разработанный в диссертации численный метод решения позволил исследовать МГД-стабильность ванны в условиях выемки выгоревших анодов и предложить оптимальную форму гарнисажа электролизной ванны, для которой характерна наибольшая МГД-стабильность режима протекания электролиза для конкретной ванны.

Теоретическая и практическая значимость

Работа имеет как теоретическую, так и практическую значимость. Теоретическая значимость заключается в применении многофазного

подхода к моделированию магнитно-гидродинамических процессов в промышленной электролизной ванне, а также в разработке численного метода решения полученной трёхмерной системы уравнений в частных производных.

Практическая ценность заключается в применении разработанного программного комплекса для решения конкретных технологических задач для реальной промышленной электролизной ванны с учётом формы рабочего пространства, конфигурации анодов и распределения подаваемых на них электрических токов. Результаты, полученные в диссертации, хорошо согласуются с экспериментально полученными данными. Численные расчёты, проведённые для конкретной ванны, позволяют предсказать динамику границы раздела сред алюминий-электролит при замене выгоревших анодов и дать рекомендации по подбору оптимальной формы гарнисажа ванны.

Апробация работы и публикации

По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре кафедры физики твёрдого тела физического факультета МГУ им. Ломоносова под руководством проф. Бушуева В.А., в Институте Прикладной Механики им. Келдыша РАН, Институте Безопасного Развития Ядерной Энергетики, на семинарах факультета ВМК и конференциях:

1. Третий международный конгресс «Цветные металлы-2011», 2011

2. Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование», 2007,2008,2009, 2011.

3. XVIII Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов, и решение задач математической физики», посвященная памяти К.И. Бабенко, 2010.

4. Тихоновские чтения, 2007,2008,2011.

5. Международная научная конференция «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики», посвященная памяти академика А.А.Самарского, 2009.

Личный вклад автора

Личный вклад автора состоит в разработке представленной в диссертации математической модели, разработке численного метода решения полученной системы уравнений в частных производных, разработке программного комплекса, позволяющего проводить расчёты на основе предложенного численного метода.

Основные результаты, изложенные в диссертационной работе, были впервые получены автором. Постановка и ход научных исследований осуществлялись под руководством д.ф - м.н. Савенковой Надежды Петровны. Основное содержание диссертационной работы и её результатов полностью отражено в 12 научных публикациях автора. В материалах совместных публикаций личный вклад автора является определяющим.

Публикации

Положения диссертации отражены в 12 публикациях автора, 3 из которых в изданиях, рекомендованных ВАК [6, 7, 9].

Структура работы

Диссертация состоит из титульного листа, оглавления, введения, трёх глав, заключения и списка литературы (55 наименований). Объём диссертации - 120 страниц.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю в.н.с. д.ф. - м.н. Савенковой Надежде Петровне за поддержку и постоянную помощь в работе.

Краткое содержание работы

Во введении даётся постановка задачи, приводится обзор литературы и обзор диссертации по главам. В рамках рабочей гипотезы математической модели считается, что внутри электролизной ванны располагается вязкая несжимаемая жидкость, через которую проходит ток, состоящая из двух вертикальных слоев: верхний слой - электролит и нижний слой - жидкий алюминий. Рабочая температура колеблется в пределах 940-980°С, при таких температурах плотность алюминия превосходит плотность электролита, что обуславливает их разделение на два слоя. Вдоль бортов электролизера находится слой, образованный углеродистыми соединениями - настыль. Она служит защитой от коррозии внутренней поверхности ванны электролитом. Нижняя поверхность ванны - неровная, неровности обусловлены образованием

отложений по бокам и на дне ванны (т.н. гарнисаж). Верхняя поверхность жидкости ограничена погруженными в электролит анодами прямоугольной формы. Геометрические размеры рассматриваемого электролизёра составляют 8.9м в длину, 3.7 м в ширину и 0.65 м в высоту. Под анодами расположена зона обратного окисления металла, насыщенная химически активными газами, способными окислить полученный в результате электролиза алюминий.

В первой главе приводится математическая постановка задачи, в основе которой находится система уравнений в частных производных, описывающая динамику двух жидкостей, зависящую от проходящих через них электрических токов, электромагнитного поля, формы гарнисажа и распределения анодов в алюминиевом электролизёре.

Параграф 1.1 посвящен описанию рабочей гипотезы модели. Предполагается, что в каждом малом элементарном объёме ДК присутствует и алюминий, и электролит, при этом их смесь совокупно занимает объём целиком, а каждая из жидкостей - некоторую часть этого объёма - А Ух (для алюминия) и А К (для электролита).

Для каждой среды (компоненты смеси) вводится параметр ат-объёмная доля фазы (или объёмное содержание фазы):

=-^-,ог2 при этом аг,+ог2 = 1. (1)

Здесь и далее переменные с индексом т = 1 относятся к среде алюминия, с индексом 2 - к среде электролита. Каждой среде приписывается собственное поле скоростей уш .

Также сделаны следующие предположения: температура смеси считается постоянной, поскольку процесс электролиза рассматривается на малых временах, т.к. МГД-нестабильность развивается в течение нескольких секунд, поддержание постоянной температуры ванны является технологической задачей, плотности, коэффициенты вязкости и электропроводности сред считаются постоянными.

Основными неизвестными являются: скорости движения сред

металла и электролита Ут = (ит,= 1,2 ; объёмные доли металла а, и электролита а2, давление р, плотность электрического тока

.¡-(ид), напряжённость магнитного поля Н = (Нх,Ну,Иг) и сила Лоренца Р = (Рх,Ру,Р2).

В параграфе 1.2 приводятся дифференциальные уравнения сохранения массы и импульса для обеих компонент смеси. Уравнение неразрывности для т-й фазы имеет вид:

^ + = а1+а2=1 (2)

& р„

где Мт] = -Мы - массовая скорость превращения глинозёма, растворённого в электролите, в алюминий в процессе электролиза, отнесённая к единице объёма, т, I- индексы фазы, уВ1 - скорость гп-й фазы.

Уравнение движения для т-й фазы выглядит следующим образом:

да V —- — —■ Уг> — 1 _- Р _-

51 Рш Рп, Р,„

= , (4)

' Р

гт

где р - давление, д - динамическая вязкость среды,

Р„1 - объёмная плотность силы трения (Стоксовой силы) между

компонентами смеси за счёт вязких сил, Рт1 =~Р1т;

- объёмная плотность силы, обусловленной электромагнитным полем (силы Лоренца).

В параграфе 1.3 приводится математическая модель для расчета давления.

В параграфе 1.4 приведена модель расчёта электрических токов в обеих средах.

В параграфе 1.5 приводится система уравнения для расчёта электромагнитного поля, основанная на классической системе магнитной гидродинамики.

В параграфе 1.6 приведена полная математическая постановка модели.

В главе 2 предлагается численный метод решения полученной системы уравнений.

В параграфе 2.1 проводится разбиение исходной математической задачи на физические процессы. При этом выделяются следующие этапы решения:

/, 2 Этап

Для каждой из сред решается система уравнений, (2)-(4), описывающая их движение, используется конечно-разностный метод второго порядка точности - полученный по модифицированной для трёхмерного случая схеме, основанной на схеме «Кабаре»

3 Этап

Проводится пересчёт электромагнитного поля в ванне. Решается система уравнений Максвелла конечно-разностным методом второго порядка точности.

4 Этап

Пересчет нового распределения плотности электромагнитных сил во всей расчётной области.

5 Этап

На этом этапе производится расчёт давления во всей расчётной области.

6 Этап

Пересчёт электрических токов при замене выгоревших анодов. Для определения токов уравнение Лапласа на потенциал решается конечно-разностным методом второго порядка точности во всей расчётной области.

В параграфе 2.2 описываются разностные методы решения уравнений 1-6-го этапов: вводится сетка равномерная по пространству и неравномерная по времени. Приведена разработанная автором разностная схема, применяемая на на 1-3 этапах.

По известным на п-м временном слое величинам решение этапов 1-6 повторяется до тех пор, пока не выполнится следующий критерий:

где О - множество узлов, принадлежащее расчётной области <р". к ,<р"* к -значения переменных {ит,\т,м/т,р,ат\т = 1,2), полученные на последт двух последовательных расчётах. Далее проводится пересчёт шага по времени и происходит переход па п+1-й временной слой.

Параграф 2.3. посвящён численному исследованию свойств разностного метода решения этапов 1-2. При помощи численного эксперимента были исследованы консервативность разностного метода, его порядок точности и было получено условие выбора шага по времени. В таблице 1 приведены отклонения масс компонент смеси в процессе расчёта, обусловленные погрешностью схемы. Видно, что отклонения не превышают величины порядка шага по пространству.

'..С мх АЛ/, м2 А М2 М, +М2 дм,+дм2

0,0 23139,779 0,000 8623.971 0,000 31763,75 0,000

0,017 23139,538 -0,241 8623,510 -0,461 31781,548 -0,701

0,0359 23139,041 -0,738 8623,998 0.027 31763,536 -0,214

0,718 23139,924 0,145 8623,542 -0,429 31763,466 -0,284

6,462 23139,853 0,74 8623,631 -0,340 31763,484 -0,266

14,316 23139,960 0,181 8623,528 -0,443 31763,388 -0,362

Таблица 1. Изменение суммарных масс алюминия, электролита и смеси в целом со временем

гдеМш = АУ^атрт, А К -объём расчётной ячейки, АМЛ| = М"т - Мйт.

ш

Численное исследование на сгущающихся сетках показало, что суммарная погрешность предложенного в диссертации численного метода имеет первый порядок точности. Экспериментально полученное в результате численных экспериментов, условие устойчивости разработанного разностного метода имеет вид:

гп+1 < С с, 0.01

шах (тах|АГ.,1| де{у,л£}\ и 1 )

В главе 3 приводятся результаты тестирования, а также результаты отдельных численных экспериментов, проведённых в целях верификации разработанной математической модели.

В параграфе 3.1 приведены тестовые расчёты, проведенные для искусственно заданных начальных условий, подтверждающие адекватность численной реализации каждого отдельно взятого этапа. Также приведены результаты расчётов для реальной геометрии ванны, где в качестве начальных данных были использованы данные, известные из физических экспериментов.

□ □ □ □ □ магнитное поле оттоков, текущих в ванне и в ошиновке ванны а) экспериментальные б) рассчитанные

Рисунок 1. х-компонента вектора индукции электромагнитного поля.

Глупая сторона

0 1 2 3 4 6 6 7 8 X, м

У Лицевая сторона

Полученные результаты расчётов хорошо согласуются с экспериментально замеренными значениями, что подтверждает адекватность математической модели. На рисунке 1 приведена х-компонента вектора индукции электромагнитного поля, измеренная на т.н. «глухой» и «лицевой» сторонах электролизёра, что соответствует сторонам су=0^у=Ьу. Остальные две рассчитанные компоненты

индукции электромагнитного поля также согласуются с экспериментально замеренными.

В параграфе 3.2 приводятся результаты моделирования выемки анодных блоков в электролизной ванне, оценка вклада индуцированных токов и результаты исследования влияния формы настыли на МГД- ~ стабильность ванны. К

Технология электролиза с обожженными анодами подразумевает 1

I

периодическую замену анодов, в процессе чего могут происходить нежелательные возмущения среды, приводящие к снижению эффективности производства. ~

Рисунок 2. Геометрия электролизной ванны. Расположение 11 и 22-го анодов.

При замене выгоревших анодных блоков, которые выводят парами по мере их выгорания, происходит перераспределение токов по анодам, что влечет за собой изменение распределения напряженности электромагнитного поля в металле и электролите, а значит, ведет к изменению величины электромагнитной силы, действующей в этих среда, что в свою очередь меняет распределение полей скоростей в металле и электролите. Практика показывает, что часто нежелательные колебания поверхности раздела возникают при извлечении двух крайних анодов. Проведен численный эксперимент, моделирующий извлечение 11-го и 21-го (двух крайних, см. рис. 2) анодов.

а) б)

Рисунок 3. Положение границы раздела сред при всплеске, вызванном выемкой анодов. Время Ъ = 0.25 с.

На рис. З.а приведена характерная граница раздела сред для случая устойчивой работы электролизера. Численный эксперимент показал, что примерно через 0.3 с после отключения анодов наблюдается всплеск поверхности раздела (см. рис. З.б), при котором МПР становится равно 2 см, что меньше критического для данного электролизера, однако затем амплитуда колебаний снижается до допустимой величины. Рис. З.б хорошо согласуется с рис. 4, на котором показано распределение скоростей в обеих средах в вертикальной плоскости X/.

- 1 ' -1 ' , > 1 I Г Г | 1 , , II Г 1 1 г . 11111'. 1 1 ! Г ( , . • 1 1 • • 1(1'''

- 1 / / / / / / t * / / ( 1 \ ( г ! I 1 1 : , . II,, III. 1,1. 1 | | 1 • -I 1 1 : « - • 1 | ) 1 » ■ ■ > . ,

\ / / А / / / ! 1 11!: 11111'- 1

- ; 1 11 > 1 ',11111 .....1 1

,11111 4 1 1 1 I 1 1 ^ 1

- .\llii ,11/11 ,11/11 ■ 1 1 М 1 ! 1 ' 1 1 1 1 1 '

- ,11111 II,,, I 1 1 1 1 • 1 | .....<1 , ' 1' V 11111'' I 1 1 11 I 1 ■ ' \ Ч ■■ |

0 X, т 2 4 6 8

Рисунок 4. Поле скоростей в плоскости X/ на расстоянии 1.75 м от длинной стороны ванны. Время I = 0.25 с. Максимальный модуль скорости - 0.04 м/с,

На рис.5-6 приведены поля скоростей в алюминии и электролите в момент, когда МПР достигает наименьшего значения.

О

/ / I I

- \\\ \s\\\ \ N 4 - - ^ \ \ 1 I¡¡////III 1 М | И ЧJ I I 1 '•■'// | // *м \ \ \ I | п I и I I I I 11 / I I ' ' " / / / I

?/ \\W\W\WMJ II/////"""" I/ \КЧ\\\\\! (1/ / J wuin'""" ' yX\\\l i'' ч I'

..., vi / л- -."V"*"*-" / /

К /у.

I /////✓-

__1_!_L_

"0 х 2 4 6 8

Рис.5. Поле скоростей в среде электролита в момент достижения наименьшего МПР. Проекция на плоскость ХУ. 2 = 0.4875 м. I = 0.25 с. Максимальный модуль скорости - 0.08 м/с,

-

>4! .11 И! -I \ 1 ! 1 1 1 111 г г 1 / 1 1 1 1 1 ,,, , 1' / II 1 [ 1 1 1 1 М t 1 1 ! i 1 tll 1 I I t 1 1 1 ! 1 П t \ \ \ \ \ \ / / / / / / / / / / / t / / / 1 1 1 f 1 //t!//////////,////I / ////^' ,// 1

_ \ \ \ / / ---------------_// !

/ \ \ ч ч ч \ S SSNSSn^ns- "" /

"У//1 / • / \ \ \ \ \ \ \ \ N ------------ i > 1 г . . 1 , I 1 1 ,

Рис.6. Поле скоростей в среде алюминия в момент достижения наименьшего МПР. Проекция на плоскость ХУ. г = 0.1625 м. I = 0.25 с. Максимальный модуль скорости - 0.08 м/с,

Предположение о представлении алюминия и электролита как смеси двух жидкостей, сделанное в рабочей гипотезе модели, не позволяет точно определить положение границы раздела сред, поэтому граница раздела восстанавливается как поверхность уровня с а{ - А, где 0 < А < 1, А = const. «Толщина размытия» границы раздела сред (т.е. область, в которой а, изменяется от А до 1) составляет приблизительно 0.1 -0.15 см.

Рис.7. Динамика максимальной высоты поверхности раздела после извлечения 11 и 21 анодов. Шаг по времени - 0.015 с. Макс, высота уровня алюминия - 0.292 м.

На рис. 7 изображена динамика максимальной высоты поверхности металла. Расчеты показали, что при одновременном извлечении 11 и 22-го анода происходит резкое возрастание амплитуды колебаний до 4 см, что приводит к тому, что МПР (расстояние анод-металл), изначально составляющее 5-6 см, становится меньше допустимого. Это свидетельствует о нарушении стабильности работы электролизера, что подтверждается технологическими наблюдениями. Таким образом, проведение предварительных расчетов по предложенной модели позволяет заранее делать прогноз о стабильности процесса электролиза при извлечении анодов из конкретного электролизера, не прибегая к дорогостоящим физическим экспериментам.

В параграфе 3.3 приведено сравнение результатов, полученных в результате расчётов по осреднённой по высоте двумерной модели. Расчёты, проведенные по разработанной в диссертации математической модели, подтверждают существование в каждом из сред слоёв, толщина которых не превышает 1/3 толщины соответствующей области, о которых действительно можно говорить как о средних слоях области, в которых физические величины не испытывают значительных изменений (см. рис. 8).

а) металл б) электролит

Рисунок 8. Распределение скоростей по высоте электролизёра в средах.

Было проведено исследование МГД-стабильности электролизёра в зависимости от формы настыли - для трёх конфигураций - когда её край у борта находится за проекцией края анода (т.е. ближе к стенке ванны, рис. 9), когда настыль заходит под анод (рис. 10) и, когда граница круто падающей настыли находится строго под краем анода (рис. 11) -последняя считается наиболее удачной в смысле устойчивости протекания магнитогидродинамических процессов. Были проведены расчёты для трёх описанных видов формы рабочего пространства.

Рисунок.9. Вертикальный срез ванны. Конфигурация 1.

Рисунок. 10. Вертикальный срез ванны. Конфигурация 2.

Рисунок. 1 ]. Вертикальный срез ванны. Конфигурация 3.

16

Ш •322 9?

О 16 е »4

в«* с<* ¡><м-

Рисунок. 12. Динамика максимальной амплитуды колебания границы раздела сред для конфигурации 1.

Графики максимальной высоты поверхности уровня алюминия, полученные в результате проведённого моделирования, для ванн, имеющих форму рабочего пространства, изображённую на рис. 9-11, приведены на рис. 12-14. Расчёт проводился на временах порядка десятков секунд, для данных конфигураций наблюдались невозрастаклцие колебания МПР. Как видно из рис. 12-14 -максимальная амплитуда колебания границы раздела сред в этих вариантах существенно отличается: для первого варианта (рис. 12) она составляет около 1,5 см, для второго (рис. 13) - 5,5 см, для третьего (рис. 14)- не превышает 1 см.

4=|

Рисунок. 13. Динамика максимальной амплитуды колебания границы раздела сред для конфигурации 2.

о oj 06 03 i !г 15 18 г гг !j 26 ге 3 32 за з& зв * 42 «а 45 лв s

Рисунок. 14. Динамика максимальной амплитуды колебания границы раздела сред для конфигурации 3.

В Заключении приведены основные результаты диссертационной работы:

1. Разработана трёхмерная двухфазная математическая модель алюминиевого электролизёра, учитывающая взаимосвязь гидродинамических и электромагнитных процессов в средах алюминия и электролита, реальную геометрию ванны и конфигурацию анодов.

2. Предложен численный метод решения и его программная реализация, что позволяет провести визуализацию динамических процессов в электролизной ванне.

3. Численно исследована МГД-стабильность ванны при замене различных пар выгоревших анодов и зависимость МГД-сгабильности работы электролизёра от формы рабочего пространства ванны для заданной конфигурации анодов.

Основные положения диссертации изложены в работах

1. Савенкова Н.П., Анпилов C.B., Проворова О.Г., Кузьмин Р.Н. «Об устранении неопределенности критерия Бояревича-Ромерио» // Математика. Компьютер. Образование: сб. тезисов XIV международной конференции / Под ред. Г.Ю.Ризниченко. М.Ижевск: "Регулярная и хаотическая динамика", 2007, С. 95.

2. Савенкова Н.П., Анпилов C.B., Проворова О.Г., Кузьмин Р.Н. «Об устранении неопределенности критерия Бояревича-Ромерио» F // Математика. Компьютер. Образование: сб. трудов XIV

международной конференции / Под общей редакцией Г.Ю. Ризниченко; М.-Ижевск: Научно-издательский центр "Регулярная и хаотическая динамика", 2007, том 2, С.225-231.

3. Савенкова Н.П., Анпилов С.В, Кузьмин Р.Н., Проворова О.Г., Мокин А.Ю. «Трехмерная модель динамической поверхности раздела сред в процессе электролиза» // Математика. Компьютер. Образование: сб. тезисов XV международной конференции / Под ред. Г.Ю.Ризниченко. М.-Ижевск: "Регулярная и хаотическая динамика": сб. тезисов, 2008, том 1, С.113.

4. Савенкова Н.П., Кузьмин Р.Н., Проворова О.Г., Шобухов A.B., Анпилов C.B. , Складчиков С.А. «Двумерная и трехмерная математические модели электролиза алюминия» // Математика. Компьютер. Образование: сб. тезисов XV международной конференции / Под ред. Г.Ю.Ризниченко. М.-Ижевск: "Регулярная и хаотическая динамика": сб. тезисов, том 1, 2009. С. 174.

5. Н. П. Савенкова, А. В. Шобухов, С. В. Анпилов, Р. Н. Кузьмин «Математическое моделирование физико-технологического процесса электролиза» //Прикладная физика; 2009; №6; с.43-51.

6. Н.П. Савенкова, Р.Н. Кузьмин, О.Г. Проворова, A.B. Шобухов, C.B. Анпилов, С.А. Складчиков «Двумерная и трехмерная математические подели электролиза алюминия» // Динамика сложных систем, 2009, №2, С.53-59.

7. Кузьмин Р.Н., Савенкова Н.П., Анпилов C.B., Пискажова Т.В., Проворова О.Г. «Трехмерная двухфазная модель МГД-стабильности алюминиевого электролизера» // XVIII Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики», посвященная памяти К.И. Бабенко: сб. тезисов, 2010, С.6.

8. Савенкова Н.П., Анпилов C.B., Кузьмин Р.Н., Проворова О.Г., Пискажова Т.В. «Двухфазная трёхмерная модель алюминиевого электролизёра» // Прикладная физика, 2011, №6. С.25-33.

9. Савенкова Н.П., Анпилов C.B., Кузьмин Р.Н., Проворова О.Г., Пискажова Т.В. «Трехмерная двухфазная модель алюминиевого электролизера» // Математика. Компьютер. Образование: сб. тезисов XV международной конференции / Под ред.

Г.Ю.Ризниченко. М.-Ижевск: "Регулярная и хаотическая динамика": сб. тезисов, 2011, С.229.

Ю.Савенкова Н.П., Анпилов C.B. «Двухфазная трёхмерная модель МГД-стабильности алюминиевого электролизёра» // Тихоновские чтения, сб. тезисов, М.: МАКС Пресс, 2011, С 70-71.

11. Анпилов C.B. Двухфазная 3-D модель алюминиевого электролизёра // Препринт, М.: МАКС Пресс, 2011, 18с.

12. Савенкова Н.П., Анпилов C.B., Кузьмин Р.Н., Проворова О.Г., Пискажова Т.В. «Двухфазная 3D модель мгд-явлений алюминиевого электролизёра» // Сборник докладов третьего международного конгресса «Цветные металлы - 2011». Красноярск,. - С. 282-286.

Напечатано с готового оригинал-макета

Подписано в печать 31.08,2011 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 358.

Издательство ООО 'МАКС Пресс" Лицетия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы,МГУ т. М В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 527 к.

Введение.

Постановка задачи.

Обзор литературы.

Обзор работы.

Основные результаты.

Глава 1.Математическая модель МГД-процессов в алюминиевом электролизере.

§ 1.1 Рабочая гипотеза модели модели.

§ 1.2 Дифференциальные уравнения масс и импульсов для каждой фазы.

§ 1.3 Математическое моделирование давления.

§ 1.4 Математическое моделирование токов.

§ 1.5 Математическое моделирование электромагнитного поля.

§ 1.6 Полная математическая модель.

Глава 2. Численный метод решения.

§ 2.1 Разделение на этапы по физическим процессам.

§ 2.2 Численный метод решения задачи по этапам.

§ 2.3 Численное исследование разностного метода.

Глава 3. Анализ численных экспериментов.

§ 3.1 Тестовые и верификационные расчёты.

§ 3.2 Моделирование некоторых процессов, возникающих при промышленном производстве алюминия.

Моделирование замены выгоревших анодных блоков.

Оценка вклада индуцированных токов.

Численное исследование влияния формы настыли на мгд-стабильность ванны.

§ 3.3 Сравнение численных экспериментов, проведенных по однофазной и двухфазной математическим моделям.

Постановка задачи

В типичной промышленной установке, электролизеры расположены в два ряда продольно — торец к торцу, в каждом электролизере ток распределяется посредством системы подводящих шин. Внутри электролизной ванны располагается вязкая несжимаемая жидкость, через которую проходит ток, состоящая из двух вертикальных слоев: верхний слой

- электролит и нижний слой — жидкий алюминий. Вдоль бортов электролизера находится слой, образованный углеродистыми соединениями

- настыль. Она служит защитой от коррозии внутренней поверхности ванны электролитом. Нижняя поверхность ванны — неровная, неровности обусловлены образованием отложений по бокам и на дне ванны (т.н. гарнисаж). Верхняя поверхность жидкости ограничена погруженными в электролит анодами прямоугольной формы. Геометрические размеры рассматриваемого электролизёра составляют 8.9 м в длину, 3.7 м в ширину и

0.65 м в высоту. Рабочая температура колеблется в пределах 940-980°С, при таких температурах плотность алюминия (2.546-103 кг/м3) превосходит плотность криолита (2.112-103 кг/мг), что обуславливает их разделение на два слоя. На рис. 1 изображен схематичный срез алюминиевого электролизёра с погруженными анодами. гарннсаж аноды криолит свободная поверхность катод

Рис. 1. Схематичное изображение электролизёра -поперечный разрез.

Основной процесс, происходящий на катоде - восстановление трехвалентного алюминия А1 + Зе = А1, на угольном аноде происходит разряд кислородосодержащих ионов с образованием окислов углерода СО и СО2. Суммарная реакция, происходящая в электролизере, может быть описана уравнением:

А1203 + ХС = 2А1 + (2Х-3)СО + (3-Х)С02

Процесс электролиза непрерывный, поэтому в электролит периодически загружают глинозем. Для поддержания уровня- и состава электролита загружают свежий и вторичный криолит, оборотный электролит, фтористый алюминий, и кальцированную соду.

В процессе производства, алюминия возникают нежелательные явления (циркуляция металла, волнообразование на поверхности металла, перекос анода и др.); что ведет к негативным последствиям: к размыву гарнисажа, разрушению подовых и анодных блоков, прорыву металла, перемешиванию алюминия с электролитом и пр. В результате нарушается технологический режим, снижается выход' по току и уменьшается срок службы* электролизеров: Важно знать, как изменения конструкции и технологических параметров отражаются на процессах, происходящих в электролизере.

Основным показателем работы электролизёра является выход по току -отношение количества практически полученного алюминия к количеству, которое должно выделиться на катоде согласно закону Фарадея. Считается, что первопричина снижения выхода по току - окисление растворенного алюминия анодными газами:

Основные потери энергии происходят в электролите, что* побуждает уменьшать междуполюсное расстояние (МПР). При этом на поверхности раздела металл-электролит легко возникают нежелательные возмущения или волны. При некоторых условиях наблюдается рост амплитуд этих, волн, который называют неустойчивостью, или магнитогидродинамической (МГД) нестабильностью. На рис.2 приведено схематичное изображение участка рабочей зоны электролизёра. Даже простое незатухающее колебание поверхности раздела должно быть устранено, так как при нем возрастает массоперенос растворенного алюминия от катода в межполюсное пространство, где он снова окисляется. МГД-нестабильность является основным препятствием увеличения выхода по току, и её устранение является одним из самых тонких мест в технологическом процессе производства первичного алюминия.

Рис.2. Схематичное изображение рабочей зоны.

Устойчивость работы алюминиевого электролизера зависит от физических полей - электрических, тепловых, магнитных и гидродинамических, которые находятся в сложной взаимосвязи. Если проводящая жидкая среда находится в магнитном поле, то при ее движении в ней индуцируются электрические поля и возникают электрические токи. На токи в магнитном поле действуют силы, которые могут существенно повлиять на движение жидкости. С другой стороны эти токи меняют и само магнитное поле. Таким образом, возникает сложная картина взаимодействия магнитных и гидродинамических явлений.

Силы Лоренца вызывают нежелательные возмущения на поверхности металла. При некоторых условиях наблюдается рост этих возмущений, нарушающих технологический процесс. В этом случае говорят, что электролизер работает неустойчиво. Эти неустойчивости представляют большое препятствие увеличения выхода по току. Проводимость электролита на 4 порядка меньше проводимости металла. Толщина электролита должна быть поддержана выше некоторого критического значения, чтобы обеспечить стабильность, а за это расплата — большие энергетические потери.

Технология электролиза с обожженными анодами подразумевает периодическую замену анодов, в* процессе чего могут происходить нежелательные возмущения поверхности раздела, приводящие к снижению эффективности производства. При, замене выгоревших анодов, которые выводят парами по мере их выгорания, происходит перераспределение токов (суммарная величина которых порядка нескольких, сотен кА) по анодам, это вызывает перераспределение электрического тока и, соответственно, электромагнитных сил в расплаве. Это, в свою очередь, вызывает изменение распределения скоростей, в электролите и металле, образование вихрейг в средах, что вызывает возмущение' границы раздела* сред металла* и электролита. Часто* при этом возникает МГД-нестабильность, зазора между анодом и жидким^ металлом! становится) меньше допустимого, «3 см (значение1 минимального допустимого МПР р для каждой электролизной ¡ванны индивидуально).

За последние два десятилетия появилось много, работ, посвященных исследованию механизмов, вызывающих волнение на поверхности металла. Само по себе существование различных подходов, дающих объяснения,этому явлению, свидетельствует о том, что исчерпывающего ответа* нет. Математические модели имеют ограниченные области применения. Создание и использование их зависит от поставленной задачи.

Важным параметром, влияющим на эффективность, работы электролизера, является межполюсное расстояние (МПР). МНР — это расстояние между подошвой анодов, и поверхностью металла. Чем больше межполюсное расстояние, тем больше выход по току. Если межполюсное расстояние больше 6 см, то выход по току растет не значительно. Если межполюсное расстояние меньше 3 см, то выход по току резко падает, так как алюминий попадает в реакционную зону, где происходит его обратное окисление. Поэтому для большинства ванн оптимальное МНР лежит в диапазоне 4—6 см.

Одна из основных задач текущей технологии - создание условий в межполюсном пространстве, при которых уменьшается поток растворенного и диспергированного алюминия с поверхности катода и снижается вероятность его вторичного окисления, а также создание условий, при которых уменьшается вероятность зажатия ванны (когда МПР становится меньше допустимого).

Таким образом, при электролизе криолито-глиноземных расплавов на выход по току влияет:

• Температура рабочей зоны

• Межполюсное расстояние

• Плотность тока

• Состав электролита

Неполадки в работе ванн — это такие расстройства процесса электролиза, которые приводят к снижению выхода по току и качества получаемого алюминия, к перерасходу электроэнергии и сырья, а также к более серьезным последствиям - аварийному состоянию ванн, требующему выключения отдельных ванн и даже целой их группы.

В [45] подробно описаны неполадки, которые могут возникать в технологическом процессе производства первичного алюминия. К основным неполадкам в работе ванн авторы относят следующие:

• Холодный ход ванны

• Выпадение глинозема на подину ванны

• Затяжной, «негаснущий» анодный эффект

• Горячий ход ванны

Холодный ход ванны. наблюдается если ванна получает недостаточное количество тепла, его причинами может быть пониженная сила тока серии, малое МПР, а также большое количество,1 металла в ванне, опасность холодного хода ванны заключается в увеличении криолито-глинозёмной смеси при понижении; температуры и как результат. — выпадения; её: на дно ванны. Выпадение глиноземаг на подину ванны, или «отравление ванны глиноземом» также. может происходить, если в ванну загружено глинозема больше того количества, которое может раствориться в электролите. :

Анодный эффект возникает при снижении концентрации глинозема в электролите: до 1-2%, поэтому его гасят внесением, глинозема; вI ванну. Елавный признак анодного эффекта — резкое; почти мгновенное, повышение напряжения в ванне. Основной: причиной: анодного, эффекта является ухудшение смачиваемости поверхности: анода: электролитом из-за увеличения? поверхностного * натяжения на границе: раздела; электролит—анод, т.е. на поверхности анодашоявляется! сплошная прослойка из пузырьков газа продукта электролиза. Растет сопротивление на границе электролит-анод, что влечет за- собой потери тока; резкое повышение напряжения и резкое перераспределение токов; по анодам. Для каждой ванны существует критическая плотность тока. Чем она выше, тем реже*, возникает анодный эффект. Величина критической плотности тока зависит главным образом? от состава электролита и температуры. Затяжной анодный эффект характеризуется тем что он длится несколько часов; и его не- удается ликвидировать обычным приемом — загрузкой в электролит очередной порции глинозема. Если затяжной анодный эффект не прекратить, то неизбежен прорыв электролита и металла и даже полный выход ванны из строя.

Горячий ход ванны характеризуется высокой температурой электролита, что создает условия для более усиленного окисления растворенного алюминия, что, в свою очередь, также вызывает повышение температуры и ведет к понижению выхода по току. Его причинами могут быть:

• Чрезмерно малое МПР (избыточное тепло выделяется в рабочей зоне при обратном окислении алюминия);

• Сильно возросшее напряжение из-за увеличения МПР;

• Недостаточное количество алюминия в ванне;

• Анодный эффект;

• Перегрев электролита на каком-то участке (местный перегрев) при неравномерном распределении тока. Главная причина — сильный перепад поверхности раздела металл—электролит. При этом плотность тока растёт и электролит перегревается, происходит усиленное окисление алюминия и повышается температура ванны.

Сильный перепад МНР возникает, когда:

• Нарушена параллельность между нижней поверхностью анодов и дном ванны из-за перекоса анодов после выливки алюминия и перетяжки рамы анодов.

• Анод неравномерно расходуется из-за неоднородности материала, из которого он состоит, и в нижней его части образуется конус, который может так вырасти, что начнет касаться алюминия.

• Анод замыкается с алюминием через обломившийся кусок анода или кусок подового блока, который не вынули из ванны.

• Анод касается настыли.

Поскольку физические эксперименты по оптимизации работы электролизера затруднительны, а замеры полей при температуре близкой к 1000 °С на практике дают погрешность порядка 15%, возрастает роль проведения численного эксперимента на основе математического моделирования. Таким образом, математическое моделирование фактически является единственным способом исследования, и визуализации динамических процессов на границе раздела сред электролит-алюминий. В силу высокой температуры и химической агрессивности среды проведение экспериментальных замеров основных характеристик процесса электролиза алюминия в промышленной электролизной ванне крайне затруднено. Поэтому достаточно адекватное математическое моделирование позволяет получить достоверную информацию о форме границы раздела сред, конфигурации распределения скоростей металла и электролит, электромагнитных полей и электрических токов в средах, а также зависимости этих величин от геометрии ванны, конфигурации анодов и условий проведения процесса электролиза. Это даёт возможность выработать рекомендации по оптимальному режиму проведения процесса электролиза и выбору формы рабочего пространства ванны с целью увеличения выхода алюминия по току.

Необходимо провести математическое моделирование процесса промышленного электролиза алюминия в условиях, максимально приближенным к реальным. Требуется построить нестационарную математическую модель, описывающую движение двух жидкостей, находящихся в электролизной ванне как составляющих двухкомпонентной смеси, описывающую электромагнитные и гидродинамические процессы в своей взаимосвязи, с учетом как токов, исходящих из анодов, так и индуцированного тока. Модель должна учитывать форму рабочего пространства ванны, вязкое трение между средами, влияние нестационарного электромагнитного поля и конфигурации анодов на гидродинамику процесса.

Результаты численного расчета должны позволять определить положение и визуализировать динамику поверхности раздела между средами как поверхность уровня жидкого алюминия, скоростей в средах жидкого металла и электролита, а так же основных электромагнитных величин в обеих средах.

Итак, требуется: провести математическое моделирование нестационарной границы поверхности уровня жидкого металла, поля скоростей и электромагнитных полей; провести численные эксперименты по выявлению зависимости МПР ванны от геометрии гарнисажа ванны; провести численные эксперименты по исследованию мгд-стабильности ванны при замене выгоревших анодов; провести сравнение многофазной и однофазной моделей алюминиевого электролизёра.

Обзор литературы

В математическом моделировании алюминиевых электролизеров можно выделить два крупных направления:

1. Получение основных полей (магнитного, электрического), формы стационарной поверхности металла и скоростей в установившемся стационарном течении [18, 21, 31, 33].

2. Изучение колебаний поверхности металла и получение критериев устойчивости [8-13, 30].

Как правило, исследование устойчивости проводится на основании приближения «мелкой воды» и линеаризации в окрестности стационарного решения с последующей оценкой вкладов членов в уравнении движения. Полученные уравнения отличаются правой частью, авторы работ по-разному учитывают возмущающие электромагнитные силы, также уравнения отличаются граничными условиями [8, 9].

В настоящее время можно выделить три вида моделей для описания физических полей в алюминиевом электролизере.

Первый из них [21], основан на двумерных уравнениях Навье-Стокса< и к-е модели турбулентности; учитывается только движение в горизонтальной плоскости, не учитывается вертикальный перенос импульса, т. е. трение относительно узких слоев жидкости о дно ванны, нижнюю поверхность анода и между собой. Для нахождения скоростей, давления и формы поверхности металла решается усредненная по времени система уравнений Навье-Стокса. В [21] приведены результаты расчета скоростей в металле и электролите и формы поверхности металла для ванн с различными схемами ошиновки. В работе [21 ] также описана модель для расчета электрического и магнитного поля в алюминиевом электролизере. Для нахождения распределения тока в электролизере авторы работы используют закон Ома. Электрический потенциал находится из уравнения Лапласа для потенциала. Авторы работы [21] делают предположение, что величина компоненты электрического тока, направленной вдоль длинной стороны электролизера мала по сравнению с вертикальной компонентой и с компонентой, направленной вдоль короткой стороны электролизера. Уравнение на электрический потенциал решается в плоскости, в поперечном сечении электролизера. Магнитное поле находится с помощью закона Био-Савара-Лапласа, интегрирование ведется по объему, занятому токонесущими элементами системы. Магнитное поле рассчитывается без учета ферромагнетиков.

Второй подход — это рассмотрение движения металла, электролита, распределения температуры в вертикальном разрезе, представляющий'собой систему уравнений теплоэлектропереноса, Максвелла и Навье-Стокса [31]. Этот подход не позволяет получить распределение температур и* линии циркуляции в планарной плоскости, тем не менее, конвекция учитывается с помощью эффективного коэффициента теплопроводности.

Третья, наиболее распространенная в настоящее время модель Моро-Эванса [33]. Одна из главных идей в формулировке этой модели состоит в том, что основной интерес представляет описание циркуляции средних слоев жидкостей. Как следствие этого в уравнении движения в горизонтальной плоскости учитывается трение слоев друг о друга. Следующий шаг - это оценка значений вклада каждого члена в уравнение для моментов движения. В результате разность между электромагнитным силами и градиентом давления уравновешивается силами трения, которые предполагаются пропорциональными скорости. Первая двумерная модель в приближении «мелкой воды» была предложена в работе [3], в данной модели используется нелинейное волновое уравнение для описания поверхности невязкой жидкости. Нелинейность обусловлена электромагнитной силой. К сожалению, в работе не приводится вывод этого уравнения.

В работе [33] рассматривается электролизер бесконечных размеров. В основе модели лежат уравнения Навье-Стокса. Используется классическая техника.линейной теории гидродинамической устойчивости, за исключением того, что для моделирования течений на середине каждого слоя предполагается линейный закон трения в приэлектродной области. Авторы отмечают, что электромагнитная неустойчивость может развиваться, если плотность, тока в жидком алюминии достаточно велика. Она может порождать крупномасштабные волны (1,5-2 м); распространяющиеся в направлении горизонтального тока. Возрастание уровня»турбулентности (или возрастание коэффициента трения) может стабилизировать возмущения. Это предполагает существование некоторого механизма насыщения, и требует развитие нелинейных моделей, способных различать условия насыщения от условий развития хаоса. В работе [33] получен результат, который противоречит [4]. А именно: рассматривается электролизер со сплошным анодом. Система^ запитана вертикальным электрическим проводником, расположенным выше анодного блока. Какова бы ни была длина проводника, система (в рамках используемой модели) неустойчива. Если добавить однородное поле в г-направлении, то система становится устойчивой- в случае, когда В: -компонента магнитного поля превышает некоторое критическое значение 10 “3 7л-. Авторы объясняют это различие тем, что-они учли индуцированный электрический ток, в то- время- как в статьях, опубликованных ранее, индуцированным1 током пренебрегают. Уравнения выводятся при следующих предположениях:

• Движения несжимаемых жидкостей подчиняется уравнениям Навье-Стокса.

• Электромагнитное поле подчиняется квазистационарным уравнениям Максвелла.

• Электрические токи вне электролизера, в анодных и катодных блоках известны и не зависят от времени.

• Флуктуации вокруг стационарного движения настолько маленькие, что уравнения можно линеаризовать в окрестности стационарного решения.

• Изменения электромагнитного поля настолько маленькие, что ротор электрического поля равен нулю.

• В линеаризованной системе для флуктуаций можно пренебречь вязкими членами.

• При расчетах дополнительно предполагалось:

• Стационарное поле скоростей - нулевое.

• Стационарная поверхность — плоская.

• Аноды и катод представляют из себя два слоя.

В [6] выводится волновое уравнение методом разложения по малому параметру. В качестве малого параметра взяты: отношение глубины слоев к горизонтальным размерам ванны, отношение амплитуды волны к глубине, отношение проводимости электролита к проводимости металла. Получены уравнения, аналогичные уравнениям в работе [3], усиленные наличием анодного слоя. В работе [12] демонстрируются области справедливости подходов на основе теории «мелкой воды», хорошо описываются неустойчивости, порожденные вертикальным магнитным полем. Авторы строят трехмерное интегро-дифференциальное уравнение для описания колебаний в металле, осредняя его по глубине слоя, получают новое двумерное волновое уравнение. Тщательно моделируются аноды, приведена трактовка граничных условий. Из-за этого коэффициент в волновом уравнении отличается от [26]. Новое волновое уравнение было выведено из теории «мелкой воды» в работе [27] и в других работах этих же авторов. В этом уравнении сила Лоренца выражена непосредственно в терминах движения жидкости. Приводится общий энергетический критерий для того, чтобы установить, какие движения могут быть неустойчивыми. Это могут быть как бегущие, так и стоячие волны. Приводится достаточное условие стабильности, которое не требует решения основных уравнений.

Позднее эта модель получила свое развитие в работе [28], где задавалось идеализированное распределение магнитного поля и электрического тока в жидкой среде, что позволило получить решение гидродинамических уравнений в виде аналитических выражений. В" работе [28] сделано предположение, что распределение электромагнитных величин при продольном расположении электролизеров в серии двухмерно и не зависит от координаты х вдоль, длинной* стороны ванны, аналогичное предположение для токов сделано в работе [21]. Для4 расчета магнитного поля« от соседнего’ ряда электролизеров,* соседний* ряд представляется- как линия с током, равным по модулю току серии. Магнитное поле от соседнего ряда электролизеров и от ошиновки считается* по ^закону Био-Савара-Лапласа для прямого отрезка с током*. Для нахождения магнитного, поля* от токов; текущих внутри электролизера; из всех возможных решений уравнения

Ч2В = 0 выбираются те, которые соответствую простейшему распределению плотности тока в жидкости - как линейной функции координат. Индуцированные токи в модели авторами [28] не учитываются. В работе [29] авторы описывают методику расчета распределения тока и магнитных полей для конкретной конструкции электролизера. При этом авторы не приводят данных об идентификации модели. Далее в- ряде работ, например [20, 21] также используется модель Моро-Эванса, для расчета магнитного поля используются замеры магнитного поля по периметру ванны. В этих работах, как и в модели Бояревича [9], также делается переход от трехмерной задачи к двухмерной, он делается путем усреднения трехмерных уравнений (Др = о ) по высоте каждого слоя. Получая в результате усредненный по высоте каждого слоя потенциал, как функцию от горизонтальных координат, можно найти горизонтальные токи. Вертикальный же ток находится с помощью предположения, что трехмерный потенциал равномерно изменяется по вертикали в пределах каждого слоя. Влияние индуцированных токов не учитывается на этапе расчета электрического потенциала, а учитывается после расчета скоростей и магнитного поля при пересчете электрического тока. Магнитное поле от токов, текущих внутри ванны, считается путем решения дифференциальных уравнений с граничными условиями -экспериментальными замерами. Наблюдается совпадение рассчитанных траекторий движения металла с экспериментальными, полученными в [27].

В работе [34] авторы исследуют циркуляцию электролита и металла в алюминиевом электролизере. Для описания совместного движения металла и электролита в работе применяется система, уравнений Навье-Стокса. Значения электромагнитных сил задаются аналитически по формулам, не зависящим от вертикальной координаты. При таком задании сил вертикальная компонента скорости в слое металла близка к нулю, что свидетельствует о горизонтальной конвекции алюминия. С этим связан тот факт, что отклонение положения поверхности металла от начального 5 задавалось прямой) в работе составляет величину ~10" м.

В работе [35] как и в работе [34] авторы исследуют топологию движения расплава в алюминиевом электролизере. Однако в работе [35] используется другой подход. В [35] предлагается концепция оценки гидродинамики электролизера, позволяющая получить информацию о характере движения расплава. В этой работе говорится, что поле скорости напрямую связано с ротором электромагнитной силы. Если расчетным или экспериментальным путем найти распределение плотности тока и индукцию магнитного поля в расплаве, то можно качественно определить топологию течения. При этом имеется в виду, что траектории движущихся объемов расплава должны быть замкнуты вследствие сИу V = 0. Предлагаемая концепция позволяет без расчета гидродинамики расплава составить представление о характере его движения при изучении схемы ошиновки, что дает технологам возможность оценить последствия предлагаемых решений. формулы векторного анализа, можно получить выражение для ротора электромагнитной силы из которого следует, что завихренность силы возникает в том случае, если плотность тока меняется вдоль направления магнитного поля или магнитное поле меняется вдоль направления плотности тока. Так как толщина слоя электролита и жидкого алюминия много меньше горизонтальных размеров ванны, то основная циркуляция будет происходить в горизонтальной плоскости. Ответственной за эту циркуляцию является вертикальная составляющая ротора силы, из чего следует, что завихренность электромагнитной силы, а значит и горизонтальная циркуляция расплава, вызываются неравномерностями в распределении вертикальной компоненты плотности тока в объеме расплава. Таким образом, в [35] говорится, что, если ликвидировать неравномерность вертикальной компоненты плотности^ тока, то в любом внешнем магнитном поле, т.е. при любой схеме ошиновки, расплав будет оставаться практически неподвижным.

Согласно оценкам [35] значение плотности индуцированных токов в электролите пренебрежимо мало по сравнению с общим током. В металле для электролизера с током серии 175 кА величина индуцированных токов сравнима с общим током.

Используя уравнения электродинамики сИу у = 0, сИу В = 0 и известные

В работе [35] описаны различные модификации ошиновки электролизера для оптимизации распределения магнитного поля и увеличения выхода по току. Отмечается, что важнейшей мерой повышения эффективности работы, электролизера является уменьшение скоростей движения расплава в межэлектродном пространстве. Основным способом уменьшить скорости циркуляции расплава является снижение электродинамических сил уменьшением индукции магнитного поля и распределение ее так, чтобы вместо больших контуров циркуляции расплава образовалось несколько с малыми скоростями и перекосами уровня. Для компенсации' магнитного поля тока соседнего ряда электролизеров, расположенных в. два' ряда применяется ошиновка, создающая встречный компенсирующий поток. Состояние настылей на подине определяет величину и направление горизонтальных токов. Если край настыли у борта за проекцией* края анода, то горизонтальные токи максимальны по величине и протекают в сторону борта. Если настыли заходят под анод, то горизонтальные токи протекают к центру. Когда граница круто падающей настыли находится под. краем анода [1][35], то горизонтальные токи минимальны. При' этом металл как бы зажимается- в пространстве, ограниченном проекцией, анода, увеличивается гидравлическое сопротивление, обеспечивается более спокойное состояние расплава.

Тем не менее, никакие модели, не могут претендовать на точное описание процессов в электролизере. Даже использование пакетов программ известных фирм [11][42] показывает значительное расхождение в вычисленных и измеренных значениях г-компоненты магнитного поля. Задача состоит в том, чтобы на основании модели можно было судить о том, как изменения конструкции и технологических параметров отражаются на количественных и качественных характеристиках процессов, происходящих в электролизере.

Количественной характеристикой неустойчивости в алюминиевом электролизере является технологический параметр «уровень шума», который представляет собой амплитуду флуктуации напряжения на ванне и измеряется, в вольтах. Существуют анодные (высокочастотные) шумы и катодные (низкочастотные) шумы. Появление анодных шумов происходит в результате изменений в газовом слое под рабочей поверхностью анода. Поверхность анода подвергается воздействию выделяющихся из-под него газов, которые содержат СО и СО2, а также 02, содержащемся в воздухе. Эти газы, вступая во взаимодействие с углеродом вертикальных граней анода, приводят к их повышенному износу. Поэтому периферия анода обгорает быстрее, и расстояния между концами штыря и подошвой анода на периферии становится меньше, чем в центральной зоне, что может привести к сильному перепаду поверхности раздела металл-электролит. Выделяющиеся пузырьки газов влияют на распределение токов в аноде, так как налипают на нижнюю поверхность и понижают коэффициент электропроводности в этой области. Так же эти пузырьки вызывают мелкую рябь на поверхности металла. Появление катодных шумов происходит в результате колебаний поверхности, металла, обусловленных гравитационными и электромагнитными силами.

Обзор работы

• В главе 1 предложена трёхмерная двухфазная модель для описания магнитогидродинамических процессов, протекающих в алюминиевом электролизёре.

• В главе 2 описан численный метод решения предложенной системы уравнений.

• В главе 3 проведены расчеты, подтверждающие адекватность предложенной модели, представлены результаты расчетов моделирования конкретных электролизных ванн, проведен численный эксперимент по исследованию МГД-нестабильности электролизера при замене выгоревших анодов. Проведено сравнение полученных результатов с результатами, полученными по разработанной ранее двумерной модели, позволяющее подтвердить адекватность и применимость двумерной модели и указать область её применения.

Основные результаты

• Разработана трёхмерная двухфазная, математическая модель алюминиевого электролизёра, учитывающая взаимосвязь гидродинамических и электромагнитных процессов в средах алюминия и электролита, реальную геометрию ванны и конфигурацию анодов.

• Предложен численный метод решения и его программная реализация, что позволяет провести визуализацию динамических процессов в электролизной ванне.

• Численно исследована МГД-стабильность ванны при замене различных пар выгоревших анодов и зависимость МГД-стабильности работы электролизёра от формы рабочего пространства ванны для заданной конфигурации анодов.

Автор выражает глубокую благодарность за постоянную помощь, поддержку и внимание своему научному руководителю, доктору физикоматематических наук Н.П. Савенковой.

Особую благодарность автор выражает академику РАЕН, доктору физико-математических наук, профессору физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова Р.Н. Кузьмину за постоянное внимание, консультации по физической постановке задачи и полезные советы в ходе выполнения диссертационной работы.

Автор благодарен преподавателям кафедры вычислительных методов МГУ им. М.В. Ломоносова профессору А.П. Фаворскому, профессору Г.Г. Еленину, профессору A.B. Гулину, профессору В.Б. Андрееву, профессору С.И. Мухину, профессору Н.В. Соснину, доценту Терновскому В.В. за обсуждение работы и ценные замечания.

Автор глубоко признателен доктору технических наук Т.В. Пискажовой и доктору технических наук, профессору Красноярского государственного университета О.Г. Проворовой за научные консультации и конструктивное обсуждение результатов численных экспериментов.

Основные результаты работы:

• Разработана трёхмерная двухфазная математическая модель алюминиевого электролизёра, учитывающая взаимосвязь гидродинамических и электромагнитных процессов в средах алюминия и электролита, реальную геометрию ванны и конфигурацию анодов.

• Предложен численный метод решения и его программная реализация, что позволяет провести визуализацию динамических процессов в электролизной ванне.

• Численно исследована МГД-стабильность ванны при замене различных пар выгоревших анодов и зависимость МГД-стабильности работы электролизёра от формы рабочего пространства ванны для заданной конфигурации анодов.

Заключение

1. Овчинников В.В., Проворова О.Г., Пингин В.В., Пискажева Т.В. Математические модели и МГД-явления в электролизере Содерберга // Цветные металлы. 1997. № 1. С. 61-63.

2. Н. П. Савенкова, А. В. Шобухов, С. В. Анпилов, Р. Н. Кузьмин «Математическое моделирование физико-технологического процесса электролиза» // Прикладная физика. 2009. №6. С.43-51

3. Urata N., Mori К., Ikeuchi Н. Behavior of Bath and Molten Metal in Aluminium Electrolytic Cell // Light Metals Japan. 1976. P. 573-583.

4. Sele T. Instabilities of the Metal Surface in Electrolytic Cells // Light Metals. 1977. P. 7-24.

5. Moreau R., Ewans J.W. An analysis of hydrodynamics of aluminum reduction cells // Jour. Electrochem. Soc. 1984. Vol. 131, No.10. P. 22512259.

6. Sneyd A.D., Wang A. Interfacial Instabilities due to MHD Mode Couplingin Aluminium Reduction Cells // Jour. Fluid Mech. Д994. Vol.263. P.343-359. '

7. Bojarevics V.V., Romerio M.V. Long waves instability of liquid metal-electrolyte interface in aluminium electrolysis cells: a generalization of Sele’s criterion //Eur. Jour. Mech. В /Fluids. 1994. Vol.13, No.l. P. 33-56.

8. L. Leboucher, V. Bojarevics & K. Pericleous The shallow water approximation applied to the aluminium electrolysis process // Centre for Numerical Modelling and Process Analysis University of Greenwich, 1998.

9. M. Dupuis, V. Bojarevics and J. Freibergs, “Demonstration Thermo-Electric and MHD Mathematical Models of a 500 kA A1 Electrolysis cell: Part 2”, Light Metals, TMS, (2004), 453-459.

10. М. Dupuis, V. Bojarevics and J. Freibergs, “Demonstration Thermo-Electric and MHD Mathematical Models of a 500 kA A1 Electrolysis cell”, Proceedings of the 42nd Conference on Light Metals, CIM, (2003), 3-20.

11. M. Dupuis and I. Tabsh, “Thermo-electric Coupled Field Analysis of Aluminum Reduction Cells using the ANSYS® Parametric Design Language”, Proceeding of the ANSYS® Fifth International Conference, volume 3, 17.80-17.92, (1991).

12. M. Dupuis and I. Tabsh, “Thermo-electromagnetic Modelling of a Hall

13. Heroult Cell”, Proceeding of the ANSYS® Sixth'International Conference, volume 4, 9.3-9.13, (1994). .

14. Проворова О.Г., Пингин B.B., Овчинников B.B., Пискажева Т.В., Горин Д.А. Математические модели физических полей в электролизере Содерберга//Магнитная гидродинамика. 1998. Т.34. С. 375-385.

15. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. — М. : Наука, 1992.

16. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. — М. : Научный мир, 2000.

17. Н. П. Савенкова, А. В. Шобухов, С. В. Анпилов, Р. Н. Кузьмин «Математическое моделирование физико-технологического процесса электролиза» // Прикладная физика. 2009. №6. С.43-51.

18. Головизнин В.М., Самарский А.А. Некоторые свойства разностной схемы «Кабаре» // Математическое моделирование. 1998. Т. 10, № 1. С. 101-116.

19. Головизнин В.М., Самарский А.А. Разностная аппроксимация конвективного переноса с пространственным расщеплением временной переменной // Математическое моделирование, 1998. Т. 10, № 1. С. 86100. '

20. Gerbeau J.-F., Lelievre Т., Le Bris С. Simulations of MHDI flows with moving interfaces // Jour. Comput. Phys. 2003. Vol. 184. P. 163-19k

21. Нигматулин P.И. Основы механики гетерогенных сред. -М.: Наука,1978. :

22. Дорохов ИЛ Г., Кафаров В.В., Нигматулин Р:И. Методы механики сплошной» среды для: описания* многофазных многокомпонентных смесей с химическими реакциями и процессами тепло и массопереноса. Прикладная математика и механика. 1975. Т.39, No.3. С. 485-496:

23. Нигматулин Р.И. Мелкомасштабные течения; • и поверхностные эффекты в: гидродинамике многофазных сред: Прикладная математика и механика. 1971. Т.35, №3, С. 450-463

24. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы' решения задач газовою динамики; 1-М::;Наука, 1980:

25. Gerbeau, J. Metal pad roll instabilities Text.,/ J; Gerbeau,.T. Lelievre, G. Le Bris, N. Ligonesche, C. Vanvoren // Light Metals. — 2002.

26. Grjotheim, K. Introduction to Aluminum Electrolysis |Text. / K. Grjotheim,

27. H. Kvande // Dusseldorf: Aluminium-Verlag. — 1993. Р.260Л

28. Moraru, A. Current field in an aluminum electrolysis cell Text. / A. Moráru, A. Panaitesku, A. Grisu // Light Metals. — 2005. — P.469-474.

29. Lindsay, R.I. Applications of new stability criteria to industrial cell design Text. / R.I: Lindsay, P.A. Davidson // Light Metals. 1997. - P.423-428.

30. Lympany, S.D. The hall-heroult cell: some designs alternatives examined bya mathematical model Text. / S.D. Lympany, J.W. Evans // Metall. Trans.

31. B. 1983. -March. - Vohl4B;-P.63-70. .

32. Dupuis M. Weakly coupled thermo-electric and MHD mathematical models of an aluminium electrolysis cell Text. / M. Dupuis, V. Bojarevics // Light Metals. — 2005. — P.449-454.

33. Deslöux J:, Flueck M., Romerio M.V. Modelling for Instabilities in Hall-Heroult Cells: Mathematical; . and' Newmerical Aspects //

34. Magnetohydrodynamics in Process Metallurgy. 1991. P. 107-110.

35. Василевский, О.И. Численное исследование течений- расплавов в . алюминиевом электролизере Текст. / О.И.' Василевский^ ВЖ Иванов,

36. В:А. Крюковский* С.А; Щербинин // Цветные металлы. 1989: - №9. -. . С.50-54. . ' ' : ■ . , . ■

37. Горбачев; Е.В. Об описаниш МГД явлений Bi алюминиевых электролизерах различной мощности Текст.! / Е.В. Горбачев, Э.В. Щербинин // Цветные металлы. 1990. - №3. — С.47-52.

38. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы* математической физики. -—М.: Научный мир, 2000.

39. Коростелев. И.Н.,. Патрин Г.С., Пингин В.В., Проворова О.Г., Шайдулин E.Pi’ “Магнитогидродинамические явления в электролизере”

40. Ch. Droste, М. Segatz and'D.Vogelsang; Magnetohydrodynamics Instability Analysys in Reduction Cells, Light Metals^ 1999

41. Исследование магнитогидродинамических явлений в- алюминиевых электролизерах Текст.: отчет о НИР / Красноярск, 1993. — 50с.

42. Алаторцев A.B., Кузьмин Р.Н., Проворова О.Г., Савенкова Н.П. Исследование МГД-нестабильности в алюминиевом электролизере // Сб.тезисов XI международной конференции «Математика. Компьютер. Образование». Дубна, 2004. С.89.

43. Минцис М.Я., Поляков П.В., Сиразутдинов Г.А. «Электрометаллургия алюминия» Новосибирск: Наука. - 2001.

44. Р.И. Нигматулин «Мелкомасштабные течения и поверхностные эффекты в гидромеханике многофазных сред» // Прикладная математика и механика, 1975, том 35. С.451-463

45. С Н Droste PHOENICS' Applications in the Aluminium Smelting Industry // PHOENICS User Conference 2000 Proceedings, C.05/00-22

46. Сушков А.И., Троицкий И. А. Металлургия Алюминия. —1. М. : Металлургия, 1965. ч

47. Содержание диссертации изложено в следующих работах:

48. М.-Ижевск: "Регулярная и хаотическая динамика": сб. тезисов, 2008, том1, С.113.

49. Н. П. Савенкова, А. В. Шобухов, С. В. Анпилов, Р. Н. Кузьмин «Математическое моделирование физико-технологического процесса электролиза» // Прикладная физика; 2009; №6; с.43-51.

50. Н.П. Савенкова, Р.Н. Кузьмин, О.Г. Проворова, A.B. Шобухов, С.В. Анпилов, С.А. Складчиков «Двумерная и трехмерная математические подели электролиза алюминия» // Динамика сложных систем, 2009, №2,1. С.53-59.

51. Савенкова Н.П., Анпилов С.В., Кузьмин Р.Н., Проворова О.Г., Пискажова Т.В. «Двухфазная трёхмерная модель алюминиевого электролизёра» // Прикладная физика, 2011, №6. С.25-33.

52. Савенкова Н.П., Анпилов С.В. «Двухфазная трёхмерная модель МГД-стабильности алюминиевого электролизёра» // Тихоновские чтения, сб. тезисов, М.: МАКС Пресс, 2011, С 70-71.

53. Анпилов С.В. Двухфазная 3-0 модель алюминиевого электролизёра // Препринт, М.: МАКС Пресс, 2011, 18с.

54. Савенкова Н.П., Анпилов С.В., Кузьмин Р.Н., Проворова О.Г., Пискажова Т.В. «Двухфазная 30 модель мгд-явлений алюминиевого электролизёра» // Сборник докладов третьего международного конгресса «Цветные металлы 2011». Красноярск,. - С. 282-286.