автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование физических процессов в анизотропных средах

Введение.

ГЛАВА 1. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ.

1.1 Научно-технические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям в частных производных второго порядка со смешанными производными.

1.2 Физические особенности жидкокристаллического состояния вещества.

1.3 Математическое моделирование прохождения электрического тока через жидкокристаллический раствор.

1.4 Краткие сведения об эллиптических уравнениях.

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

УРАВНЕНИЯ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ СО

СМЕШАННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ.

2.1 Некоторые сведения из теории матриц.

2.2 Разностная аппроксимация задачи.

2.3 Обзор по теории итерационных методов.

2.4 Решение эллиптических уравнений второго порядка общего вида итерационными методами SOR и SSOR.

2.5 Различные формы записи уравнения конвекции-диффузии и их влияние на сходимость метода SOR.

2.6 Нестационарный треугольный кососимметрический метод.

ГЛАВА 3. РАСЧЕТ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В

АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ.

3.1 Особенности расчета концентрации примесей в НЖК при различных внешних условиях.

3.2 Неоднородное распределение концентрации при прохождении слабого электрического тока.

3.3 Численные эксперименты для задачи с переменными диффузионными коэффициентами.

Использование современных ЭВМ открывает широкие возможности для решения различных задач механики (линейных и нелинейных), где классические методы анализа для получения количественной информации оказываются в большинстве своем непригодными. За последние годы математическое моделирование стало активно внедряться в практику научных и прикладных разработок при исследовании сложных явлений и процессов, происходящих в механике, физике, химии, биологии и других науках. Таким образом, построение общих и экономичных численных методик представляется весьма актуальным.

В точных науках возникает много важных проблем, изучение которых связано с решением систем дифференциальных уравнений в частных производных или интегральных уравнений, выражающих, например, законы сохранения. Газовая динамика, механика сплошных сред, гидродинамика, физика плазмы, теория упругости относятся к числу наук, исследующих такие явления, которые описываются уравнениями указанного вида. При теоретических исследованиях таких задач мы имеем дело с весьма сложными математическими моделями, решение которых без привлечения численных методов не только сейчас, но и в обозримом будущем вряд ли возможно. Можно сказать, что одной из характерных черт современных исследований стала математизация физического познания, интенсивное применение методов математического моделирования. Вот почему важна в настоящее время разработка общих численных методик (алгоритмов) для изучения задач математической физики [5].

Математическое моделирование, по существу, это определение свойств и характеристик рассматриваемого явления, процесса или состояния путем решения с помощью ЭВМ системы неких уравнений - математической модели. Важно так «сконструировать» приближенную модель, чтобы она достаточно точно отражала характерные свойства рассматриваемого явления; при этом могут быть опущены несущественные и второстепенные свойства явления с тем, чтобы приближенная математическая модель была доступна для исследования на данном уровне развития вычислительной техники. Лишь с помощью современных ЭВМ удается проводить численное моделирование достаточно сложных природных и технических процессов. Рассмотрение же физических основ самого явления дает качественную картину, с помощью которой проверяется и уточняется исходная постановка задачи [5].

В связи с появлением ЭВМ большой мощности значительно повысился интерес к различным численным методам и алгоритмам, реализация которых граничит с проведением вычислительного эксперимента. Потребность в таком подходе к решению задач математической физики диктуется все усложняющимися запросами практики, а также связана с попыткой создания более рациональных общих теоретических моделей для изучения сложных физических явлений.

Численное моделирование особенно важно там, где не совсем ясна физическая картина изучаемого явления, не познан до конца внутренний механизм взаимодействия. В процессе численного эксперимента происходит, по существу, уточнение исходной физической модели. Путем расчетов на ЭВМ различных вариантов ведется накопление фактов, что дает возможность, в конечном счете, произвести отбор наиболее реальных и вероятных ситуаций.

Активное использование методов численного моделирования позволяет резко сократить сроки научных и конструкторских разработок. В тех случаях, когда физический эксперимент трудно осуществим, математическое моделирование служит практически единственным инструментом исследования [42].

Кажущаяся простота численного эксперимента, однако, таит в себе значительные трудности, связанные с построением соответствующей математической модели - численного алгоритма решения задачи и необходимостью обоснования полученных результатов. Определяющими условиями успеха численного эксперимента являются удачно выбранная модель явления, численный метод решения соответствующей математической задачи и способ реализации алгоритма на ЭВМ. При этом удачным является именно тот метод решения, который в определенном смысле адекватен рассматриваемому явлению.

Таким образом, выбор и построение оптимального (для данной задачи) метода решения, является, по всей видимости, центральным моментом в настоящее время. Скорее всего, в ближайшем будущем не столько мощности ЭВМ, сколько разработка рациональных моделей будет определять эффективность внедрения вычислительного эксперимента в различные области науки и техники [37].

Основной принцип использования математических результатов состоит в том, что условия, обеспечивающие решение задачи в более простых и частных случаях, должны выполняться и для более общих и сложных задач. Параллельно с этим рассмотрение физики явления дает качественную картину, с помощью которой проверяется и уточняется постановка задачи. Наконец, окончательная экспериментальная проверка позволяет судить о правильности сделанных предположений и дать оценку алгоритма и полученного решения, в частности его точности. Оценка точности численного решения сформулированной дифференциальной задачи должна производиться чисто математически, без привлечения данных физического эксперимента. Последними можно пользоваться для качественных сравнений, количественное же сравнение расчета с экспериментом должно давать информацию о том, насколько принятая физическая модель близка к реальным условиям [5].

В то же самое время вычислительные схемы и алгоритмы должны базироваться на достаточно ясных и простых моделях и предпосылках. Благодаря этому численную реализацию алгоритмов можно будет рассматривать как своего рода моделирование на ЭВМ соответствующего физического эксперимента. Кроме того, на всех этапах исследования математическая теория, физический и численный эксперимент на ЭВМ должны применяться совместно и согласованно.

Таким образом, в основе каждой математической модели должен лежать ряд общих требований. Система уравнений, составляющих математическую модель, должна быть замкнутой и непротиворечивой. Алгоритм решения задачи должен быть легко реализуем, чтобы решение соответствующей системы уравнений не отнимало много времени и средств. К желательным свойствам математической модели следует отнести ее корректность по входным параметрам и свойство физической замкнутости в том смысле, чтобы количество внешних физических параметров было минимальным и чтобы они соответствовали величинам, которыми можно управлять в реальном эксперименте [37].

Для выработки правильных решений необходимо верно представлять динамику развития рассматриваемого процесса. Часто в силу невозможности проведения полномасштабных натурных экспериментов в рассматриваемых задачах, единственным методом изучения динамики процессов является метод математического моделирования. Математическое моделирование базируется на моделях, созданных на основе законов сохранения вещества, импульса и энергии. Применяемые для их решения разностные схемы обладают свойством консервативности. Как правило, продуктом разработок являются программные комплексы для проведения вычислительных экспериментов с целью прогнозирования процессов распространения загрязнений в различных средах (подземной, воздушной, водной) [49].

За последние десятилетия большой размах в нашей стране и за рубежом приобрели исследования структуры и физических свойств жидких кристаллов, являющиеся составной частью физики твердого тела. Трудами ученых разных специальностей (особенно в России, Франции, США и Англии) наука о жидких кристаллах быстро развивалась и приобрела ясные и строгие очертания, свое собственное лицо. Сейчас известно, что жидкокристаллическая структура присуща самым разнообразным системам, включая растворы полимеров и биологические мембраны. Поэтому исследование структурных превращений в жидких кристаллах способствует прогрессу в изучении анизотропных вязко-упругих сред вообще [47].

Фундаментальным свойством жидкого кристалла, отличающим его от изотропной жидкости и придающим сходство с твердым телом, является наличие ориентационной степени свободы, которая характеризует макроскопическую упорядоченность длинных осей молекул в пространстве. Эта дополнительная степень свободы анизотропной жидкости обусловливает уникальные свойства среды, которые связаны с высокой чувствительностью пространственного распределения ориентационной упорядоченности по отношению к изменению температуры и концентрации смесей, а также к воздействию электрических и магнитных полей, упругих напряжений и вязкого течения [38].

Существует обширная литература, посвященная вопросам применения жидких кристаллов в технике. Жидкие кристаллы открывают интересную возможность моделирования самых различных явлений. Органические материалы все шире внедряются в современную микро- и оптоэлектронику. Достаточно упомянуть фото- и электронорезисты, применяемые в литографическом процессе, лазеры на органических красителях, полимерные сегнетоэлектричес-кие пленки. Развивается молекулярная электроника, предполагающая использование молекулярных систем в самых различных функциональных элементах. Одним из классических примеров, подтверждающих указанную тенденцию, являются жидкие кристаллы [6].

Нематические жидкие кристаллы сегодня не имеют конкурентов среди других электро - оптических материалов с точки зрения энергетических затрат на их коммутацию. Оптическими свойствами жидкого кристалла можно управлять непосредственно с микросхем, используя мощность в диапазоне микроватт. Это - прямое следствие структурных особенностей жидких кристаллов.

Лиотропные фазы, представляющие собой растворы линейных жидкокристаллических полимеров, используются в технологии высокопрочных полимерных волокон. Другим примером применения жидкокристаллических фаз в химической технологии является получение высококачественного кокса из тяжелых нефтяных фракций. В обоих случаях решающую роль играют особенности структурного упорядочения молекул. Особо следует подчеркнуть возможности создания анизотропных оптических элементов, а также пьезодат-чиков и нелинейно-оптических материалов на основе жидкокристаллических полимеров, сочетающих в себе структурную организацию жидких кристаллов и механические свойства полимерных материалов [6].

Диссертационная работа посвящена реализации модели прохождения постоянного электрического тока через жидкокристаллический раствор.

Актуальность темы исследования обусловлена потребностью решать задачи о распространении различных примесей в жидкокристаллической среде, являющейся анизотропной жидкостью. Наличие примесей в жидких кристаллах существенно влияет на их электропроводность, структуру и другие физические свойства. Характер фазовых переходов может также сильно зависеть от степени загрязненности вещества. Наличие примесей, при достаточной их концентрации, может изменять характер фазового перехода от первого рода ко второму.

Целью работы явились разработка математического аппарата и численная конечно - разностная реализация конвективно - диффузионной модели распространения примеси в жидкокристаллической среде. При этом решались следующие задачи:

- дискретизация исходной модели, описывающейся уравнением диффузии - конвекции со смешанными производными;

- исследование свойств получаемого несамосопряженного оператора;

- разработка алгоритмов реализации полученной разностной схемы -итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений с несимметричной матрицей;

- проведение расчетов, учитывающих анизотропные свойства среды.

Научная новизна работы определяется полученными теоретическими результатами и предлагаемым практическим решением ряда вычислительных задач. Основой проведенных исследований явились методы операторного подхода [15, 30, 42, 43, 44 45, 46] в теории разностных схем в сочетании с классическими результатами матричного анализа [11, 12, 52, 53, 149].

Достоверность проведенных исследований обусловлена последовательным математическим выводом используемых уравнений, теоретическим исследованием свойств предложенных методов, проведением численных экспериментов для подтверждения теоретических результатов.

Практическая значимость выполненной работы состоит в том, что численно реализована и доведена до конечного вида - расчетных программ для ЭВМ - модель распространения примеси в жидкокристаллическом растворе, находящемся во внешнем электрическом поле.

Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции "Математическое моделирование в экологии и численные методы" (EMMNA'99, г. Ростов - на - Дону, 1999г.); на международной конференции OFEA-2001 "Optimization of finite element approximations&splines and wavelets", Санкт-Петербург, 2001г.; на VII, VIII и IX Всероссийских Школах-семинарах молодых ученых «Современные проблемы математического моделирования» (п. Абрау-Дюрсо, 1997г., 1999г. и 2001г.); на Всероссийской конференции «ММ ПЭБ», (п. Абрау-Дюрсо, 2000г.); на VI Всероссийском совещании по проблемам построения сеток для задач математической физики (п. Абрау-Дюрсо, 1996г.); на международной конференции «Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в механике и физике» (г. Ростов - на - Дону, РГУ, 2001 г.).

В полном объеме диссертационная работа докладывалась на научном семинаре «Методы решения краевых задач для уравнений математической физики» лаборатории вычислительного эксперимента ЮГИНФО РГУ.

Работа состоит из трех глав.

Первая глава посвящена построению математической модели распределения примеси в жидкокристаллическом растворе, находящемся во внешнем электрическом поле. Глава состоит из четырех разделов.

В первом разделе рассматриваются основные научно-технические задачи, приводящие к решению эллиптических уравнений второго порядка со смешанными производными: задача о распространении тепла в движущейся анизотропной среде, задача турбулентной диффузии и задача об обтекании крыла летательного аппарата потенциальным потоком газа. Второй раздел посвящен описанию физических особенностей жидкокристаллического состояния вещества. Показана схема фазовых переходов и описаны два типа жидких кристаллов: термотропные и лиотропные ЖК. В третьем разделе первой главы приведены вывод математической модели и дана постановка задачи о прохождении постоянного электрического тока через анизотропный раствор электролита. В четвертом разделе содержатся краткие сведения об эллиптических уравнениях, содержащих смешанные производные.

Во второй главе диссертации изложены основные теоретические результаты и приведены результаты численных экспериментов, полученные при решении поставленной задачи. Глава состоит из шести разделов.

В первом разделе второй главы приведены вспомогательные сведения из теории матриц и сформулированы леммы, которые будут использоваться в дальнейшем. Второй раздел посвящен построению разностной схемы для уравнения диффузии-конвекции со смешанными производными. Для аппроксимации конвективных членов используются центральные разности. Для аппроксимации смешанных производных используются как семиточечные, так и девятиточечный шаблоны. В результате конечно-разностной аппроксимации получается диссипативный оператор. Третий раздел представляет собой обзор по теории итерационных методов. В четвертом разделе второй главы приводится решение эллиптических уравнений второго порядка общего вида итерационными методами SOR и SSOR. Приведено достаточное условие сходимости метода SOR и представлены результаты расчетов для задач при различной аппроксимации смешанных производных. Пятый раздел посвящен исследованию влияния формы записи исходного дифференциального уравнения на сходимость метода последовательной верхней релаксации. Рассматриваются три формы записи уравнения (дивергентная, недивергентная и симметричная) и доказывается, что правильный выбор формы записи исходного дифференциального уравнения играет решающую роль при решении получаемой после дискретизации СЛАУ итерационными методами. Дано достаточное условие сходимости метода SOR. В шестом разделе второй главы рассматривается нестационарный треугольный кососимметрический метод, решается задача минимизации нормы оператора перехода метода, дается формула для нахождения последовательности оптимальных итерационных параметров в случае коммутирующих операторов. Проводится численное тестирование различных треугольных кососимметрических методов (стационарных и нестационарных, со смешанными производными и без них). Представлено сравнение скорости сходимости данных методов.

Третья глава диссертации состоит из трех разделов и посвящена применению разработанных методов к расчету распределения примесей в анизотропных средах. Проведенные численные расчеты полностью подтвердили сделанные теоретические выводы.

Первый раздел последней главы посвящен описанию особенностей численного моделирования анизотропных сред при различных внешних условиях. Во втором разделе третьей главы решается задача о распределении концентрации и потенциала электрического поля в частном, но часто встречающемся случае - при однородной и гомеотропной ориентации директора, когда молекулы ориентированы перпендикулярно направлению приложенного поля. Рассматривается случай, когда результирующий ток создается только одним сортом ионов, в то время как ионы противоположного знака в целом неподвижны. В подобной ситуации задача о прохождении слабого тока в НЖК становится аналогичной задаче о растворе электролита, в котором ионы одного знака растворяются с одного электрода и высаживаются на другом. Показано, что в данном случае распределение концентрации не является однородным. В третьем разделе последней главы представлены результаты расчетов задачи диффузии - конвекции со смешанными производными при различных переменных (анизотропных) диффузионных коэффициентах. К защите представлены следующие результаты.

1). Предложена методика численного решения эллиптических краевых задач общего вида с краевыми условиями первого и второго рода в широком диапазоне изменения коэффициентов.

2). Доказано, что форма записи уравнения конвекции-диффузии оказывает существенное влияние на сходимость итерационных методов решения СЛАУ, получаемых в результате центрально-разностной аппроксимации исходной задачи.

3). Предложен и исследован нестационарный треугольный кососимметричес-кий метод, основанный на идее разложения только кососимметричной части исходной матрицы. Решена задача о нахождении спектра оператора перехода метода в случае коммутирующих операторов. Получена формула для нахождения последовательности оптимальных итерационных параметров в этом случае.

4). Проведен вычислительный эксперимент, в котором разработанные методы использованы для моделирования и расчета распределения концентрации в анизотропном растворе при различных (постоянных и переменных) коэффициентах диффузии.

Автор диссертации выражает глубокую и искреннюю признательность своему научному руководителю директору ЮГИНФО РГУ, д.ф.-м.н., проф. Крукиеру Л.А. и благодарит коллектив лаборатории вычислительного эксперимента ЮГИНФО РГУ, в котором была выполнена данная работа.

1. Присутствие в уравнении конвекции-диффузии смешанных производ ных не увеличивает общего числа итераций при данных значениях Ре.2. Для всех протестированных треугольных методов наиболее трудной является задача 4 с сильно меняющимися коэффициентами при конвективных членах.3. Переход к трехслойной схеме со стационарным параметром не дает заметного улучшения скорости сходимости методов.Диаграмма 19 (Ре = 1000) Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4

1ТКМС ИТКМ! аТШ2 ПТКМЗ ШТШ4 кг Диаграмма 20 (Ре = 10000) Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 • ТКМС ИТКМ1 аТШ2 ПТКМЗ •ТКМ4 ГЛАВА 3 РАСЧЕТ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ

3.1. Особенности расчета концентрации примесей в НЖК при различных внешних условиях.Подчеркнем, что сложность и разнообразие явлений, происходящих при электролизе в ЖК, затрудняет рассмотрение всех возможных случаев и процессов, происходящих на различных электродах. Полное решение задачи о прохождении тока через раствор ЖК должно проводиться в два этапа [27].Как правило, сначала из уравнения диффузии-конвекции находится распре деление концентрации С в растворе. В дальнейшем производится интегри рование уравнения для потенциала электрического поля с известной функцией С, что приводит к определению распределения потенциала.Следует иметь в виду, что хотя влияние электрического поля явно и не учитывается уравнением (1.3.5) для распределения концентрации, все же его величина может иногда входить в граничные условия, определяющие, наряду с указанным уравнением, фактическое распределение концентрации в растворе электролита. Зная из решения уравнения (1.3.5) концентрацию как функцию координат (и времени), затем обычно находят распределение потенциала в растворе.Кроме того, при выводе уравнения для распределения концентрации мы пренебрегли зависимостью коэффициентов диффузии от концентрации.Однако на практике в ряде случаев диффузионные коэффициенты могут резко изменяться в присутствии добавок некоторых солей. Поэтому полученные в результате численного эксперимента данные будут иметь скорее качественное, а не количественное значение. Точное измерение коэффициентов диффузии сопряжено с преодолением экспериментальных трудностей. Иногда для измерения коэффициентов диффузии некоторых ионов успешно используется электрохимический метод измерения по величине диффузионного тока [27].Тщательно очищенные НЖК, как и другие органические жидкие диэлектрики, обладают чрезвычайно низкой собственной электропроводно стью (возможно, меньше 10"'^ ом"' см'). Практически же их электропровод ность обусловлена ионами примесей и может относительно легко регулиро ваться в диапазоне 10" < а < 10 ом см . Следует также заметить, что в обычных условиях концентрация ионов оказывается существенно ниже концентрации всей растворенной примеси. Присутствие примеси может заметно изменять величину диэлектрической анизотропии НЖК, но заранее трудно что-либо сказать о характере этих изменений, так как теория анизо тропии диэлектрических свойств жидких кристаллов не учитывает наличия примеси [38].Типичными нематиками, на которых выполнено большинство серьез ных исследований, являются п - азоксианизол (сокращенно ПАА) и метоксибензилиден - п- бутиланилин (МББА). Первое соединение обладает нематической мезофазой в интервале температур 116 С (Тпл) - 136 С (Тс).Второе соединение является нематиком при комнатной температуре: Тпл = следует помнить, что температура фазовых переходов в ЖК очень сильно зависит от чистоты (загрязненности) соединений. Особенно это относится к температуре просветления ЖК. Например, в литературе для широко изучен о ного нематика МББА приводятся для Тс значения температур от 39 до 47 Понижение температур плавления и просветления ЖК под влиянием примесей перемещает мезофазы в другие области температур и, более того, во многом изменяет их физические свойства. Как правило, разница между веществом, получаемым на заводе в жестких условиях, и лабораторным веществом, полученным в мягких условиях, весьма заметна. Она обусловле на именно содержанием примесей (например, продуктов разложения исход ных веществ) в полученном соединении. Так, нашей промышленностью выпускается соединение холестерилолеат, синтезируемое нагреванием холестерина и олеиновой кислоты (без растворителя и катализатора) на отщепляющейся в результате реакции воды. Полученный продукт очищает ся многократной перекристаллизацией. В результате полученное вещество имеет вид жидкого меда с Тпл = 5 С, Тс= 28 С, т.е. мезофаза существует при комнатной температуре, тогда как в лабораторных условиях получается кристаллический продукт с Тпл = 22 С, Тс== 43 Таким образом, лабораторные исследования жидкокристаллических веществ дают только предварительную информацию (весьма ценную) об изучаемых явлениях. Более полную информацию получают, изучая тексту ры (тонкие слои) жидких кристаллов.3.2. Неоднородное распределение концентрации при прохождении слабого электрического тока.Возможными механизмами образования носителей постоянного электрического тока являются униполярная инжекция, биполярная инжекция и диссоциация молекул. В ряде случаев результирующий ток создается только одним сортом ионов, в то время как ионы противопо ложного знака в целом неподвижны. В подобной ситуации задача о прохождении слабого тока в НЖК становится аналогичной задаче о растворе электролита, в котором ионы одного знака растворяются с одного электрода и высаживаются на другом [26].Рассмотрим частный случай, когда директор п ориентирован однород но и перпендикулярно потоку ионов. Такая ориентация жидкокристалличес кого слоя носит название гомеотропной. В литературе имеется ряд работ, посвященных этому вопросу [38, 39], в которых авторы для получения данной ориентации молекул ЖК-образца используют либо поверхностно активные добавки (лецитин, полиамидная смола), либо магнитное поле.При такой ориентации молекул общие уравнения, описывающие прохождение тока через раствор электролита, упрощаются, и исходную задачу можно решить в явном виде, используя некоторые дополнительные предположения. Сначала найдем распределение концентрации в растворе, а затем решим задачу для потенциала электрического поля.Как и в общем случае, растворитель (НЖК) покоится, а через раствор вдоль оси ОУ проходит поток массы ионизированных молекул с плотностью где е" - заряд отрицательного иона, а т'' - соответствующая масса. С другой стороны, этот поток равен рсУ + / с / из (1.3.4). Тогда с помощью элементарных преобразований получаем уравнение для концентрации dy e (3.3.1) где £)х С^уу / Руу- Таким образом, в рассматриваемом случае слабый постоянный электрический ток сопровождается возникновением градиента концентрации отрицательных ионов, который пропорционален плотности Согласно (1.3.17) где электропроводность су^фф определяется из уравнения = + • сг^ дс pD^ е здесь Г-температура.В результате получаем Л . - ( 1 - е ) Из (3.3.4) следует, что распределение концентрации подвижных носителей заряда не является однородным в условиях протекания слабого электрического тока (Рис. 3. 1).Как правило, на практике С « 1. Рассмотрим два случая, когда концентрации ионов остаются постоянными либо на катоде (С/ = const), либо на аноде {С2 = const).Ф = и > 0 Рис. 3. 1 Поскольку в данном случае В первом случае по условию с(0) = , поэтому Я-С] и с ( у ) = С 1 + во втором случае по условию c(d) - С2, поэтому pD (3.3.6) 1 d >Co .Для определенности рассмотрим первый случай (Су = const). После того, как найдено распределение концентрации в растворе электролита, обычно решают задачу о распределении потенциала электрического поля.Согласно (1.3.2) имеем известно [26], что Е = — Уд), где (р — потенциал электрического поля. Тогда при наших предположениях получаем d(p ^ dS dc ' - + Pi. dy Используя (3.3.1), получаем, что 1 ^ y^i d& f a ^ pD_^ dc Известно, ЧТО при малых концентрациях G± = а Тогда С<7,фф Ссг рО^ дс т Д ^ + — ( 1 - С ) Теперь из (3.3.8) можно найти выражение для потенциала

(р{у) = ] С{у) ^ эфф о где С(у) из (3.3.5). Таким образом, потенциал электрического поля в первом случае может быть вычислен по формуле , С1-=СОП81 (3.3.10) Поставленная задача решена. Во втором случае потенциал находится аналогично. Заметим, что из (3.3.10) получается и вольтамперная характери стика (при заданном потенциале): , С/ = СОП81. (3.3.11) Введем обозначение при малых концентрациях можно считать, что W = const. Тогда , С] = const.Построим графики функций С(у) (Рис.3.2 - 3.7) жр (у) (Рис.3.8 - 3.13) при различных диффузионных коэффициентах. Рассмотрим следующие варианты данной задачи:

1. Dj_^\ /у{с{у)?ж. 3. 2), ((р(у)-Рис. 3. 8);

2. D_i = sin (у) (с(у) - Рис. 3.3), ((р(у) - Рис. 3. 9);

3. = sin (у) + 1 (с(у) - Рис. 3.4), (ф(у) -Рис. 3.10);

4. = (с (у ) -Рис .3 .5 ) , (ф(у ) -Рис . 3. 11);

6. D_L=ln(y) (с(у)-Рис. 3.7), (ф(у) -Рис .3 . 13).Параметры, входящие в (3.3.12) и (3.3.13), взяты из реальных физичес ких экспериментов и имеют следующие значения:

1. Величина d (ширина слоя НЖК) имеет порядок от нескольких мкм (10^ м) до нескольких десятков мкм, часто берется (и будет здесь использоваться) значение d = 20 мкм = 2 • 10^ м;

2. сг = 10"^ ом' см' (эффективная электропроводность);

3. Для удобства положим W = 1;

4. Постоянная концентрация на катоде Cj = 10""^ .30 г \ i г Рис. 3. 5 •20 -15 -10 -5 О 5 10 15 20 Рис. 3. 6

2.15-10" h К У ) 2.1-10 Ф(У) 2-10'

/ / y 4 / Рис. 3. 9 Рис.3. 10

2.05-10" -

Ф(У) 2-10' Ф(У) 2-10

1.95-10" h Рис. 3. 12

2.2-10" h

1.8-10" h Рис. 3. 13

3.3. Численные эксперименты для задачи с переменными диффузионными коэффициентами Поскольку при решении ряда различных задач с переменными диффу зионными коэффициентами рекомендуется использовать девятиточечный шаблон для аппроксимации смешанных производных, то будем использо вать шаблон (2.2.8) ср = q = 0.5. Расчетная область покрывается равномер ной прямоугольной сеткой с шагом 1/20 по обоим направлениям. Будем рассматривать решения поставленной задачи при значениях числа Ре = J0\ Согласно (1.3.18) правая часть уравнения (1.3.5) имеет вид где f/ > О - заданная разность потенциалов, р - плотность раствора, (т.,фф -

некоторое «эффективное» значение электропроводности. Значения коэффи циентов при конвективных членах берутся из таблицы 1 (стр. 77): (a) К1 = 1,К2=-1; (b) К1 =1-2х,К2 = 2у-]; (c) К1 = х+у, К2 =х-у; (d) Kl = 51п(2лх), К2 =- 2nycos (2кх).Рассматриваются следующие варианты поставленной задачи с различ ными диффузионными коэффициентами:

1. Кп = Кп 1, Ki2 = 1,Ко = 0; (Рисунок 1 : (а), (Ь), (с), (d));

3. Кц = sin х + 1, К22 = cos у + 1, K¡2 = К21 = sin X cosy, Ко = 0; (Рисунок 3: (а) - (d) ) ;

4. Ки = ехр(2х), К22 = ехр(2у), Кп = К2, =0.5(ехр(х + у)). Ко = 0.(Рисунок 4: (а) - (d)) .Условие 4 kii(x) к22(х) > (ki2(x) + k2i(x)f выполняется при V (х,у)е Q.для данных коэффициентов диффузии.Рисунок 1 (а).Рисунок 1 (b).Рисунок i (с).Рисунок 2 (а).Рисунок 2 (b).Рисунок 2 (с).Рисунок 2 (d).Рисунок 3 (а).Рисунок 3 (с).Рисунок 3 (d).Рисунок 4 (а).Рисунок 4 (b).•.i...V..v.>-WfÍAÍ^ Рисунок 4 (d).в заключении заметим, что при наложении на электроды определен ного порогового напряжения Уп , в НЖК могут возникать явления ЭГД неустойчивости [38,39,47]. Первые экспериментальные данные о наличии в НЖК специфических электрооптических эффектов, сопровождающих макрокопическое движение анизотропной жидкости, были получены Цвет ковым, который высказал предположение о существенной роли анизотропии электропроводности в этих явлениях. Почти тридцать лет спустя Вильяме и Капустин возобновили эти исследования, которые затем были развиты во многих аспектах рядом авторов. Эксперимент заключался в следующем.Если приложить к слою НЖК с отрицательной анизотропией электропро водности (например, к названным выше ПАА или МББА) постоянное электрическое поле с и > Пп , то образуется текстура, представляющая со бой систему чередующихся темных и светлых полос. Эти полосы получили название доменов Капустина - Вильямса. Они возникают в направлении, перпендикулярном первоначальной ориентации директора, и хорошо видны в поляризованном свете, плоскость поляризации которого совпадает с направлением директора. При другой ориентации плоскости поляризации света домены не видны. Ширина доменов слабо зависит от внешнего напря жения и всегда немного меньше толщины слоя нематика. Кроме того, доме ны не являются статическими образованиями - в них совершается вихревое движение. Скорость этого движения имеет порядок величины десятков микрометров в секунду и зависит от напряжения. Она максимальна в центрах вихрей, и здесь градиент скорости максимально искажает исходную ориентацию директора. В возникновении доменов определяющую роль играют процессы проводимости. В связи с этим область частот, в которой возникают данные явления, получила название режима проводимости. В предложенной модели данная область частот не рассматривается, и прило женное напряжение и подразумевается ниже порогового.

1. Адамчик А., Стругальский 3. (1979). Жидкие кристаллы. М., Советское радио, 160 с.

2. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. (1994). Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 544 с.

3. Барник М.И., Блинов JI. М., Пикин С. А., Труфанов А. Н. (1977). -ЖЭТФ, т. 72, с. 756.

4. Беллман Р. (1976). Введение в теорию матриц. М.: Наука, 351с.

5. Белоцерковский О. М. (1984). Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 520 с.

6. Блинов Л. М., Пикин С. А. (1986). Жидкокристаллическое состояние вещества. М.: Знание, 64 с.

7. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. (1982). Введение в механику сплошных сред. М.: Наука, 335 с.

8. Гантмахер Ф.Р. (1966). Теория матриц. М.: Наука, 576 с.

9. Крукиер Л.А. (1997). Кососимметричные итерационные методы решения стационарной задачи конвекции-диффузии с малымпараметром при старшей производной II Изв. ВУЗов, Матем. №4, с.77-85.

10. Крукиер JI.A. (1991). Математическое моделирование гидродинамики Азовского моря при реализации проектов реконструкции его экосистемы II Математическое моделирование, т.З, №9, с.3-20.

11. Крукиер JI.A. (1979). Неявные разностные схемы и итерационный метод их решения для одного класса систем квазилинейных уравнений II Изв. ВУЗов, Матем. №7, с.41-52.

12. Крукиер JI.A. (1983). О некоторых способах построения оператора В в неявных двухслойных итерационных схемах, обеспечивающего их сходимость в случае диссипативного оператора А // Изв. вузов. Математика, № 5, с. 41 47.

13. Крукиер JI.A. (1981). Об одном достаточном условии сходимости итерационных методов с несамосопряженным исходным оператором // Изв. Вузов, Математика, № 9, с. 75-76.

14. Крукиер JI. А., Мартынова Т. С. (1999). «О влиянии формы записи уравнения конвекции диффузии на сходимость метода верхней релаксации» II ЖВМиМФ, т.39, № 11, с. 1821 -1827.

15. Крукиер JI. А., Муратова Г. В. (1992). Решение систем линейных алгебраических уравнений с несимметричной матрицей многосеточным методом II Вычислительные технологии, Новосибирск, ИВТ СО РАН, т. 1, № 2, ч. 2, с. 180-189.

16. Кузнецов Ю.А. (1989). Алгебраические многосеточные методы декомпозиции области IIМ.: ОВМ АН СССР, № 232, 41с.

17. Ладыженская О.А. (1973). Краевые задачи математической физики. М.: Наука.

18. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. (1964). Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 540 с.

19. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. (1986). Механика сплошных сред. М.: Наука, 736 с.

20. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. (1982). Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 623 с.

21. Левич В. Г. (1952). Физико-химическая гидродинамика. М.: Изд-во АН СССР, 538 с.

22. Мартынова Т. С. (2000). «Нестационарный треугольный кососим-метрический метод для решения больших разреженных несимметричных систем линейных алгебраических уравнений» И Сборник трудов всероссийской конференции «ММ ПЭБ», Ростов-на-Дону, РГУ, с. 156-165.

23. Мартынова Т. С. (2001). «О сходимости итерационного метода SOR» II «Современные проблемы математического моделирования», Сборник трудов IX всероссийской школы-семинара, Ростов-на-Дону, изд-во РГУ, с. 119-124.

24. Марчук Г. И. (1989). Методы вычислительной математики. М.: Наука.

25. Матвеенко В.Н., Кирсанов Е.А. (1991). Поверхностные явления в жидких кристаллах. М., Изд-во МГУ, 272 с.

26. Монин А.С., Яглом A.M. (1992). Статистическая гидромеханика. Санкт-Петербург, Гидрометеоиздат, Т. 1.

27. Папков С.П., Куличихин В.Г. (1977). Жидкокристаллическое состояние полимеров. Изд-во «Химия», 246 с.

28. Парлетт Б. (1983). Симметричная проблема собственных чисел. М.: Мир.

29. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов JI.A. (1984). Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 288 с.

30. Патанкар С. (1984). Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. Москва, Энергоатомиздат, 152 с.

31. Пейре Р., Тейлор Т. Д. (1986). Вычислительные методы в задачах механики жидкости. Л., Гидрометеоиздат, 351 с.

32. Пикин С. А. (1981). Структурные превращения в жидких кристаллах. М., Наука, 336 с.

33. Пикин С.А. (1971). ЖЭТФ, т. 60, с. 1185.

34. Пикин С.А., Блинов JI.M. (1982). Жидкие кристаллы. М.: Наука, 280 с.

35. Роуч П. (1980). Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 616 с.

36. Самарский А.А. (1971). Введение в теорию разностных схем. М.: Наука., 552 с.

37. Самарский А.А. (1989). Теория разностных схем. М.: Наука, 616 с.

38. Самарский А.А., Андреев В.Б. (1976). Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 352 с.

39. Самарский А.А., Гулин А.В. (1989). Численные методы. М.: Наука, 432 с.

40. Самарский А.А., Николаев Е.С. (1978). Методы решения сеточных уравнений. М., Наука.

41. Сонин А. С. (1983). Введение в физику жидких кристаллов. М., Наука, 320 с.

42. Тихонов А.Н., Самарский А.А. (1972). Уравнения математической физики. М.: Наука, 736 с.

43. Тишкин В.Ф., Клочкова JIB., Кулешов А.А., Сузан Д.В. (2000). «Математическое моделирование в задачах экологии и промышленной безопасности», Ростов-на-Дону, изд-во РГУ, сборник трудов Всероссийской конференции «ММ ПЭБ», стр. 197.

44. Уилкинсон Дж.(1970). Алгебраическая проблема собственных значений. М., Наука.

45. Федоренко Р.П. (1961). Релаксационный метод решения разностных эллиптических уравнений II ЖВМиМФ,т. 1 ,№ 5.

46. Федоренко Р.П. (1964). О скорости сходимости одного итерационного процесса // ЖВМиМФ, т.4, № 3.

47. Хейгеман Л., Янг Д. (1986). Прикладные итерационные методы М.: Мир.

48. Хорн Р., Джонсон Ч. (1989). Матричный анализ. М.: Мир.

49. Чигринов В. Г., Пикин С. А. (1978). Кристаллография, т. 23, с. 333.

50. Чикина JI. Г. (1997). Решение уравнения конвекции-диффузии спреобладающей конвекцией в областях сложной формы. Диссертация на соискание уч. ст. канд. ф.-м. наук, РГУ, б-ка ЛВЭ ЮГИНФО РГУ.

51. Чикина JI. Г., Крукиер JI.A. (2000). «Кососимметрический итерационный метод для решения стационарного уравнения конвекции-диффузии», Известия вузов, Математика, 11, стр. 62-75.

52. Шайдуров В. В. (1989). Многосеточный метод конечных элементов. М.: Наука, 288 с.

53. L. Anderson (1976). SSOR preconditioning ofToeplitz matrices II Ph. D. Thesis, Chalmers University of Technology, Sweden.

54. Р. Arbenz, R. Geus (1999). A comparison of Solvers for Large Eigenvalue Problems Occuring in the Design of Resonant Cavities II Numer. Linear Algebra Appl., 6, p. 3-16.

55. Axelsson (1974). On preconditioning and convergence acceleration in sparse matrix problems IICERN Technical Report 74-10, Geneva.

56. Axelsson (1996). Iterative Solution Methods. Cambridge Univ. Press.

57. Ворре C.W., Stern М.А.(1980). AIAA Paper 80-0130, January.

58. Ворре C.W., Aidala P.V.(1980). Complex Configuration Analysis at Transonic Speeds. AGARD Conference on Subsonic/ Trans. Config. Aerodynamics, Preprint N. 285, May.

59. E. F. F. Botta and A. E. P. Veldman (1981). On local relaxation methods and their application to convection-diffusion equations 11 J. Comput. Phys. V. 48. p. 127- 149.

60. P. H. Brazier (1974). II Comput. Meth. Appl. Mech. Engrg. 3, p. 335-347.

61. A. M. Bruaset (1995). A Survey of Preconditioned Iterative Methods. Addison-Wesley Longman, Harlow, Essex, UK.

62. D.A. Caughey (1978). Lecture Notes, University of Tennessee Space Institute, Tullahoma, TN, December.

63. F. Chatelin (1993). Eigenvalues of Matrices. Wiley, New York.

64. J.J. Chattot, C. Coulombeix (1978). Calcus D'Ecoulements Transsoniques Autor D'Ailes. ONERA Rept. T.P. No. 125, Chatillon, France.

65. L.T. Chen, D.A. Caughey (1980). J. Aircraft 17,p. 167-174.

66. R. C. Y. Chin, T. A. Manteuffel (1988). An analysis of block successive overelaxation for a class of matrices with complex spectra П SIAM, J. Numerical Analysis, v. 25, N 3.

67. R. C. Y. Chin, T. A. Manteuffel, J. de Pillis (1984). AD1 as a preconditioning for solving the convection-diffusion equation II SIAM, J. Sci. Stat. Comput., v.5, No 2, p. 281-299.

68. J. Cihlar, P. Angot (1999). Numerical Solution of Navier-Stokes Systems //Numer. Linear Algebra Appl., 6, p. 17-27.

69. Chin R.C., Manteuffel T.A., de Pillis T. (1984). ADI as a preconditioning for solving the convection-diffusion equation II SIAM J. of Sci.& Stat. Comput.,, v. 5, 2, p. 281-299.

70. Concus P., Golub G.H. (1976). A generalized conjugate gradient method for the numerical solution of elliptic partial difference equations. II Lect. Notes in Econom.& Math. Syst., v. 134, p. 56-65.

71. J. Cullum, A. Greenbaum (1996). Relations between Galerkin and norm-minimizing iterative methods for solving linear systems U SIAM J. Matrix Anal. Appl. 17, p. 223-247.

72. E. R. Davidson (1975). The iterative calculation of a few of the lowest eigenvalues and corresponding eigenvectors of large real symmetric matrices И J. Сотр. Phys. 17, p. 87-94.

73. J. W. Demmel (1997). Applied Numerical Linear Algebra. SIAM, Philadelphia.

74. D. Dijkstra (1974). The solution of the Navier-Stokes Equations near the Trailing of a Flat Plate II Ph. D. Thesis, University of Groningen.

75. E. Dubois-Violette (1974). Solid State Comm., v 14, p. 767.

76. L.W. Ehrlich (1981). An Ad Hoc SOR Method H J. of Сотр. Physics 44, p. 31-45.

77. Elman H.C. (1984). Iterative methods for nonselfadjoint elliptic problems H Elliptic Problem Solvers II. Proc. Conf., Montery, Calif., 10-12 Jan. 1983, Orlando e.a., p. 271-283.

78. Elman H.C., Golub G. H. (1990). Iterative Methods for cyclically reduced non-self-adjoint linear systems // Math, of Comput., v. 54, No 190, p. 671700.

79. Elman H.C., Golub G. H. (1992). Line iterative methods for cyclically reduced discrete convection-diffusion problems U SIAM, J. Sci. Stat. Comput., v. 13, No 1, p. 339-363.

80. Elman H.C., Streit R.L. (1986). Polynomial iteration for nonsymmetric indefinite linear systems // Lect. Notes Math., 1230, 103-117.

81. B. Fischer (1991). Chebyshev polynomials for disjoint compact sets II Report of Institute for Angewandte Mathematics, Hamburg, Germany.

82. B. Fischer (1996). Polynomial Based Iteration Methods for Symmetric Linear Systems. Wiley-Teubner, Chichester, UK.

83. R. W. Freund, G. H. Golub, N. M. Nachtigal (1992). Iterative solution of linear systems 11 Acta Numerica 1, p. 5 7-100.

84. R. W. Freund, N. M. Nachtigal (1991). QMR: A quasi-minimal residual method for non-Hermitian linear systems 11 Numerical Math. 60, p. 315339.

85. A. Greenbaum (1997). Iterative Methods for Solving Linear Systems. SIAM, Philadelphia.

86. A. Greenbaum and L. N. Trefethen (1994). GMRES/CR and Arnoldi/ Lanczos as matrix approximation problems // SIAM J. Sci. Comput. 15. P. 359-368.

87. P.P.N, de Groen (1976). Singularity Perturbed Differential Operators of Second Order И MC Tract 68, Mathematical Centre, Amsterdam.

88. M. H. Gutknecht (1992). A completed theory of the unsymmetric Lanczos process and related algorithms, part IП SIAM J. Matrix Anal. 13, p. 594639.

89. Gutknecht M. H. (1993). Variants of BiCGSTAB for matrices with complex spectrum II SIAM J. Sci. Comput. 14, p. 1020-1033.

90. Hackbush W. (1994). Iterative solution of large sparse systems of equations I I Berlin: Springer-Verlag, 429 p.

91. A. Hadjidimos, M. Neumann (1998). Euclidean Norm Minimization of the SOR Operators И SIAM, J. Matrix Anal. Appl., v. 19, N 1, p. 191-204.

92. H. Hofner, W. Schonauer, R. Weiss (1998). The program package LINSOL basic concepts and realization И Preprint of Applied Numerical Mathematics, Germany.

93. M. Ishiguro, M. Suzuki, S. Asada (1997). Vector parallel preconditioning methods for the conjugate gradient algorithm and its variants I I Transactions of Japan SIAM, 7, p. 205-216.

94. С. T. Kelley (1995). Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations. SIAM, Philadelphia.

95. L. A. Krukier, T. S. Martynova (1999). «Point SOR and SSOR methods for the numerical solution of the steady convection-diffusion equation with dominant convection» II Series in Computational and Applied Mathematics, IMACS, volume 5, p. 399-404.

96. L. A. Krukier, T. S. Martynova (1999). "Initial forms of convection-diffusion equation and convergence of SOR " II тезисы международнойконференции "Математическое моделирование в экологии и численные методы" (EMMNA'99), г.Ростов-на-Дону, с. 25.

97. J. Kuang, Jun Ji (1988). A survey of AOR and TOR methods // J. of Computational and Applied Mathematics 24, p. 3-12.

98. R. B. Lehoucq, D. C. Sorensen (1996). Deflation techniques for an implicitly restarted Arnoldi iteration II SIAM J. Matrix Anal. Appl. 17, p.789-821.

99. Manteuffel T.A. (1977). The Tchebyshev iteration for nonsimmetric linear systems II Numer. Math., 28, p. 307-327.

100. Manteuffel T.A. (191%). Adaptive procedure for estimating parameters for nonsimmetric linear systems II Numer. Math., 31, p. 183-208.

101. Martynova T. S., Belokon T.V. (2001). Non-stationary iterative method for strongly nonsymmetric linear equation systems II Мат. моделирование, т. 13, № 3, с. 61-68.

102. Meijerink J.A., van der Vorst H. A. (1977). An iterative solution method for linear systems of which the coefficient matrix is a symmetric M-matrix II Math. Сотр., v.31, p. 148.

103. Muratova G.Y., Krukier L.A. (1996). Multigrid method for the iterative solution of strongly nonselfadjoint problems with dissipative matrix И Proceeding of the AMLI'96, Nijmegen, June, 13-15, v.2. p. 169-178.

104. Murman E.M., J.D. Cole (1971). AIAA J. No. 9, p. 114-121.

105. N. M. Nachtigal, S. C. Reddy, L. N. Trefethen (1992). How fast are non-symmetric matrix iterations? И SIAM J. Matrix Anal. Appl. 13, p. 778-795.

106. С. C. Paige, P. V. Dooren (1999). Sensitivity Analysis of the Lanczos Reduction II Numer. Linear Algebra Appl. 6, p. 29-50.

107. B. N. Parlett, D. R. Taylor, Z. A. Liu (1985). A look-ahead Lanczos algorithm for unsymmetric matrices II Math. Сотр., N 44, p. 105-124.

108. Rigal A. (1979). Convergence and Optimization of Successive Overrelaxation for Linear Systems of Equations with Complex Eigenvalues // J. of Computational Physics 32, p. 10-23.

109. Y. Saad (1996). Iterative Methods for Sparse Linear Systems. PWS Publishing, Boston.

110. Saad Y., Schultz M.H. (1986). GMRES: a generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems II S1AM J. Sci. Stat. Comput., 7, p. 856-869.

111. W. Schonauer, R. Weiss (1995). An engineering approach to generalized conjugate gradient methods and beyond II Preprint of Applied Numerical Mathematics, Germany.

112. D. Silvester, H. Elman, D. Kay, A. Wathen (2001). Efficient preconditioning of the linearized Navier-Stokes equations for incompressible flow II J. of Сотр. and Appl. Math., 128, p. 261-279.

113. V. Simoncini (1999). A new variants of restarted GMRES II Numer. Linear Algebra Appl., 6, p. 61-77.

114. G. L. G. Slejpen, H. A. van der Vorst (1996). A Jacobi-Davidson iteration method for linear eigenvalue problems it SIAM J. Matrix Anal. Appl. 17, p. 401-425.

115. B. Smith, P. Bjorstad, W. Gropp (1996). Domain Decomposition: Parallel Multilevel Methods for Elliptic Partial Differential Equations. Cambridge U. Press, Cambridge, UK.

116. Smolarski D.C., Saylor P.E. (1988). An optimum iterative method for solving any linear system with a square matrix // BIT(Dan.), 28, p. 163178.

117. P. Sonneveld (1989). CGS, a fast Lanczos-type solver for nonsymmetric linear systems H SIAM J. Sci. Stat. Comput. 10, p. 36-52.

118. R. V. Southwell (1940). Relaxation methods in Engineering Science П Oxford University Press.

119. R. V. Southwell (1946). Relaxation methods in Theoretical Physics // Oxford University Press.

120. J. C. Strikwerda (1980). Iterative method for the numerical solution of second order elliptic equations with large first order terms // SIAM J. Sci. & Stat. Сотр., v. 1, 1, p. 119-130.

121. N. Takemitsu (1980). // J. of Computational Physics, 36, p. 236-248.

122. Taussky O. (1968). Positive-definite matrices and their role in the study of the characteristic roots of general matrices II Adv. Math., v.2, p. 1 75186.

123. M.C. Thompson, J.H. Ferziger and G.H. Golub (1987). Block SOR applied to the cyclically reduced equations as an efficient solution technique for convection-diffusion equations U J.Computational Tehniques & Applications: CTAC, p. 637-646.

124. К. C. Toh, L. N. Trefethen (1994). Pseudozeros of polynomials and pseudospectra of companion matrices //Numer. Math. 68, p. 403-425.

125. К. C. Toh, L. N. Trefethen (1998). The Chebyshev polynomials of a matrix II SIAM J. Matrix Anal. Appl.

126. L. N. Trefethen, D. Bau III (1997). Numerical linear algebra II SIAM, Philadelphia.

127. H. A. Van der Vorst (1982). A vectorizable variants of some ICCG methods // SIAM J. Sci. Stat. Comput., 3, p. 350-356.

128. H. A. Van der Vorst (1983). Stabilized incomplete LU-decompositions as preconditioning for the Tchebycheff iteration //Precond. Meth.: Anal. & Appl., N.Y.e.a., p. 243-263.

129. H. A. van der Vorst (1992). Bi-CGSTAB: A fast and smoothly convergent variant of Bi-CG for the solution of nonsymmetric linear systems 11 SIAM J. Sci. Stat. Comput. 13, p. 631-644.

130. R. S. Varga (1962). Matrix Iterative Analysis. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ.

131. R. Weiss (1996). Parameter-Free Iterative Linear Solvers. Akademie Verlag, Berlin.143. 0. A. Widlund (1978). Lanczos method for a class of nonsymmetric systems of linear equations // SIAM J. Numer. Anal., v. 15, p. 801-812.

132. J. H. Wilkinson (1965). The Algebraic Eigenvalue Problem II Clarendon Press, Oxford, UK.

133. Z. I. Woznicki (1993). Estimation of the Optimum Relaxation Factors in the Partial Factorization Iterative Methods И SIAM J. Matrix Anal. Appl. 14, p. 59-73.

134. Z. I. Woznicki (1994). The Sigma-SOR Algorithm and the Optimal Strategy for the Utilization of the SOR Iterative Method // Math. Of Computation, v. 62, N 206, p. 619-644.

135. Z. I. Woznicki, H. Jedrzejec (2000). A new class of modified line-SOR algorithms II Institute of Atomic Energy, Poland.

136. Z. Woznicki (1979). AG A two-sweep iterative methods and their application in critical reactor calculations II Nukleonica 23, p. 941 -968 .

137. David M. Young (1950). Iterative methods for solving partial difference equations of elliptic type II Doctoral thesis, Harvard University.

138. Young David M. (1971). Iterative Solution of Large Linear Systems. N.Y. & London, Academic Press.

139. J. Zhang (2000). Preconditioned iterative methods and finite difference schemes for convection-diffusion II Appl. Math. And Сотр. 109, p. 11-30.

140. S. L. Zhang, S. A. Fujino (1995). A class of product-type methods based on Lanczos process II Transactions of Japan SIAM, 5, p. 343-360.