автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное исследование тепловых и электрических полей при электролитическом получении некоторых легких металлов

р Г Б ОД 1 7 -Ш Но

На.правах рукописи УЖ 619.6:621.357.1

Фазылов Альберт Ринадович ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕШТОВИХ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ

полей при электролитическом получении

некоторых легмвс металлов

Специальность 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ ' диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Уфа - 1995

Работа, выполнена на кафедре вычислительной математики Ешосирскаго государственного университета.

Научные руководители: - Заслуженный деятель науки и техники России, доктор технических наук, профессор Иванов В.Т.

- квндидат физико-математических наук, доцент Щербинин С.А.

Официальные оппоненты - доктор физико - математических наук, профессор Рамазанов М.Д.

- кандидат физико-математических наук Кризский В.Н.

Ведущая организация - Уральский государственный технический университет.

Защита состоится " /6 * *1Я 1996 г. в ^ час. на заседании диссертационного совета Д-064.13.02 при Башкирском государственном университете по вдресу: 450074, г. Уфа, ул. Фрунзе, 32, математический факультет.

О диссертацией можно познакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета.

Автореферат разослан алРеля 1995 г.

Отзывы на автореферат, заверенные гербовой печатью, просим .высылать по указанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета Д-064.13.02 Морозкина Н.Д.

Ученый секретарь диссертационного совета Д-064.13.02 Морозкин Н.Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. При перехода от лабораторных исследований к опытным и опытно - промышленным испытаниям, при создании новых технологий и их аппаратурном оформлении в области высокотемпературной электрохимии проведение натурных экспериментов требует больших средств и времени для достижения поставленной цели: определения оптимальных■тепловых и влектр-ческих параметров работы электрохимических аппаратов, формы и размеров последних, Для оптимизации режима работы электрохимических систем необходим Количественный расчет трехмерных распределений теплового и электрического полей, причем рассматриваемых во взаимодействии и при учете всех особенностей конструкции аппарата. Газосодержание и скорость циркуляции электролита влияют йа процессы тепло-электропереноса, причем, в свою очередь, они сами зависят от параметров электрохимической ячейки. Наглядным примером вышесказанного может служить электролиз легких металлов. Взаимосвязь данных физических процессов затрудняет экспериментальные исследования в этой области, особенно при большой сила тона, которая имеет . место в промышленных электрохимических аппаратах, и наиболее эффективным методом их анализа становится математическое моделирование и вычислительный эксперимент.

Цель работы. Разработка собместной математической модели

теплоэлектропереноса и газогидродинамики (имеется в виду описание течения двухфазных штоков газ - жидкость) в электрохимических системах, разработка алгоритмов еэ решения; создание комплекса программ расчета и анализа тепловых, электрических и газогидро-

динамических • процессов; проведение исследования теплоэлектро-пареноса в промышленных электролизерах для получения некоторых легких металлов,

На аащиту Еынасятся; I) Разработанная математическая модель

расчете тепловых и электрических полей при учете теплоты электро-трохимических реакций в электрохимических системах. 2) Полученная математическая модель газогидродинамики, связывающая между собой скорость и газосодержание электролига вдоль вертикального анода в межэлектродном пространстве. 3) Совместная модель тепло-влектроперенооа и газогидродинамики в электрохимических системах, 4) Результаты исследования корректности математических моделей. Б) Алгоритмы расчета тепловых и электрических полей, скорооти и газосодержания электролита. 6) Разработанный комплекс программ для расчета теплоэлектропереиоса и газогидродинамики, включающий графический пакет для анализа двумерных распределений физических полэй, 7) Результаты исследования теплоэлектропереиоса в промышленных электролизерах для получения некоторых легких металлов -при различных конструктивных и технологических параметрах.

Научная новизна. Новым в работе является создание совместной

математической модели процессов теплоэлектропереиоса и газогидро-ЯИНйШКК.

Ранее при постановке задачи расчета тепловых и электрических полей недостаточно корректно учитывалось влияние протекающих в электрохимической системе электрохимических реакций. В диссертации приводится эллиптическое уравнение теплового поля с учетом дополнительного источника (стока) тепла электрохимических реакций. Приведена система дифференциальных уравнений, связываю-

- б -

щая скорость и газосодержзниэ электролита вдоль вертикального электрода в межэлектродном пространстве. Получены достаточные условия существования и единственности решения.

Разработан и апробирован итерационный метод, решения краевой задачи для области сложной формы, основанный на альтернирующем методе Шварца.

Ранее исследования теплоэлектропереноса в электрохимических системах проводили в одномерных и двумерных областях, в результате имели упрощенную постановку задачи. В.^рвые разработан комплекс программ для совместного расчета теплоэлектричаских и газогидродинамических процессов для магниевых электролизеров, причем в связи с особенностями его конструкции расчета производились в трехмерной области.

Для рассмотренных промышленных электролизеров получены важные зависимости теплоэлектропереноса от конструктивных и технологических параметров, а также от срока службы аппарата. Даны рекомендации по поддержанию оптимального теплового режима процесса электролиза, используя изменение некоторых технологических параметров.

Практическая ценность. Разработанные математическая модель

процессов теплоэлектропереноса и газогидродинамики в электрохимических системах и алгоритм ее решения реализованы в виде комплекса прикладных программ, который может служить математическим обеспечением при создании и реконструкции соответствующих установок.

Создано программное обеспечение по расчету электролизеров для. производства магния, которое используется на Березниковском титано - магниевом комбинате. Программы- сервисного обслуживания

разработаны в соответствии с требованиями заказчика, и учитывают особенности работы с вычислительной техникой специалистов в области электрохимии без опыта программирования. Проведены расчеты процессов теплоэлектропереноса и газогидродинамики в магниевом Сездиафрагменном электролизере с нижним вводом анодов.

Разработано программное обеспечение по расчету электролизеров для производства щелочноземельных металлов. На его основе получены важные зависимости процесса электролиза от конструктивных и технологических параметров аппарата и сделаны важные с практической точки зрения выводы,

Разработанный комплекс программ, результаты проведенных расчетов и сделанные выводы могут, быть использованы в инженерной практике и при создании новых промышленных электрохимических систем.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 4 Международной научной конференции "Методы кибернетики химико -технологических производств" в г. Москве /1994 г/. Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложение" в г. Саранске /1994 г/, I научной конференции молодых ученых - физиков республики Башкортостан /1994 г/, на научно -техническом семинаре "Вычислительная математика и кибернетика" в УГАТУ (г. Уфа), на- семинарах в Институте высокотемпературной электрохимии УрО. РАН (г. Екатеринбург), Российском институте титана и магния (г. Березники), на кафедре информатики, и вычислительной техники СГПИ (г. Стерлитамак) и кафедре вычислительной математики БашГУ. Доклады по результатам работы приняты на Мевдународнуга конференцию по' математическому моделированию в г. Якутске, 4 Всероссийскую научную конферэнцию "Динамика

процессов и аппаратов химической технологии" в г. Ярославле.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ.

Структура п объем работы. Диссертация состоит из введения, 6

глав, приложений и списка литература из 177 названий. В приложениях приведены 15 таблиц и 17 рисунков, 2 акта внедрения и I заключение о работе комплекса программ. Общий объем работы 182 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В введении показана актуальность разработки математической модели теплоэлэктропервноса и газогидродинамики в электрохимических системах, приведено краткое содержание всех глав, сформулирована цель настоящей работы.

В первой главе дан обзор работ, посвящешшх расчету тепловых и электрических полей. Приведены различные постановки дифференциальных уравнений температуры и электрического потенциала и рассмотрены всевозможные граничные условия I, II и III рода. При прохождении электрического тока в электрохимической системе происходят определенные электрохимические реакции, связанные также с выделением или поглощением некоторого количества тэпла. Краевая задача тепловых процессов с учетом дополнительного источника (стока) тепловыделения получена в 1.2.

При электролизе расплавленных солей на аноде выделяется газ в виде пузырьков различной величины. Поток газовых пузырьков у анода в существенной степени влияет на технические показатели работы электролизера. Так, например, более 80% потерь магния

связана с взаимодействием магния и хлора. Поэтому так важен расчет циркуляции электролита в межэлектродном . пространстве. Гааогидродинамика электролита в свою очередь зависит от конструкции электролизера и параметров электрохимической ячейки. В параграфе 1,3 для электрохимических ячеек с вертикальными электродами приведена система дифференциальных уравнений, связывающих не аду собой газосодержаниа Г(г) и скорость viz) электролита относительно вертикального анода в межэлектродном пространстве при учете гвзоваделения на аноде и постоянной скорости подъема газа

относительно электролита v :

Qlz)

H r<z>-(v<z> . ve) ]

£ - rtz)J -Vlz) ] " 0 • (e)

Начальные условия:

VlzH « V ■ rtz ï I „ = О , (3)

|z=o о |z=o

где iï - межэлектродное расстояние, Qlz) - удельное объемное газовыделение, vo - скорость потока электролита при входе в мажэлектродный зазор.

Теорема I. Задача <i> - (з) плеет единственное решние r<z)eCl[0,Z J, V(z)ec'tO,Z J . для ЛЮбЫХ 0<Z<œ, V JO, V>0, M>0,

о о О g о

ÛteleCtO.Z^: Ii Qtz)>0 при. zetO.ZJ, Причел 0ЛЯ Функций riz) ц viz) будет Выполнено: Viz) )V| Г(г) ^ С < J . для JBÖVX zeCO.Z 1 , С - const.

о о

VU ) > Viz ), Г(г ) > riz.), Оля ХОбЫХ z >z . z ,г eiO.Z ).

â 2 i 2 12 12 о

При условии Q(z)>o илеел vu^) > v(z2). Г(г() > Г(гг).

В 1.4 определена совместная математическая "модэль тепловых, электрических и гвзогидродинамических процессов!

div (A(T)-VT ) - -OCTbtVep)* + q(T), (x,y,z)cfl, (4)

div ( O(T)-Vtp ) - O , (Xi уi z )еП> (9) . r , Q(z)

r(z).^Vla) + Vj J - - , (х.у.г)«!^, (в)

- r<z)J -V(z) J - О , (x.y.aieП.. (7)

иТ) - а * Ь.г , (в)

О(Т) - - , <х,у,а)еОчП , (10)

d + в-Т •

(11 )

О(Г) ---(1 - Г(г))"* , <x,y,z>efl , 118)

d * в.Ц *

где П в й', П. - {(х.у.г)/ х^фс^, У^&^&^у в П. \(Т) И о(Т) - теплопроводность и электропроводность, зависящие от температуры Т(х,у,г), срсх.у.г) - электрический потенциал, теплота электрохимических реакций ч<Т) = <ТДз + Ав> Дз и Л<з

- изменение энтропии и энергии Гиббса, %. - электрохимический эквивалент вещества, т| - выход по току, I - сила тока, Ат - молекулярной вес, - объем, р - плотность, м » ь - у 'г - у1.

ь » - а,ь,с,с1,е - некоторые постоянше, зависящие от используемых материалов.

Кроме того, необходимо задать начальные условия для задачи газогидродинамики. На границах для теплового и электрического полей поставим соответствующий граничные условия I, II и III рода или условия сопряжения. На границе анод/электролит задано условие поляризации, учитывающее зависимость скачка потенциалов от температуры.

Для некоторых постановок краевых задач теплоэлектропереноса и газогидродинамики доказаны теоремы существования и единственности решения. Разрешимость доказана в обобщенном смысле. Применен метод монотонных операторов,

В 2 главе приведен алгоритм решения совместной задачи расчета процессов теплоэлектропереноса и газогидродинамики в электрохимических системах. В параграфе 2.2 построена разностная схема краевой задачи теплоэлектропереноса _ методом сумматорных тождеств. В 2.3 описан метод преобразования Фурье для решения системы линейных алгебраических уравнений при расчетах в трехмерной области. Для него получены формулы решения задачи на собственные значения при смешанных граничных неоднородных условиях I рода и однородных II рода. Дано описание проведенных вычислительных экспериментов для модельной задачи теплоэлектропереноса и газогидродинамики. Так, например, для решения систем алгебраических уравнений использовалось' три метода - метод преобразований Фурье, сопряженных градиентов и последовательной релаксации. Проведен анализ применимости и сходимости (для итерационных методов) данных алгоритмов для модельной задачи.

Предложен итерационный метод решения краевой задачи для области сложной формы, основанный на альтернирующем методе Шварца. Доказана его сходимость.

С2 - П^ Пг, Г - а и р, 7 - Г,л Г,. Г, и Г2 -границы областей 0, и Пг

Ди =• -ТЫ), хеП. и ■ ф(х), хеГ| ф(х)еС(Г>. |ф(х) |<М.хеГ.

Введем в рассмотрение область П-С1х .х ^а^}

с границей Г3.

I итерация:

Непрерывным образом дополняя граничные значения, заданные на а, зададим на 7 произвольные значения ф^х), меньшие м по

абсолютной величине. Определим и^ на С^: Ди^ - -г, хеО^, и4-ф(х),

хеа; и ^ =Ф4 С х) | хеу. ОпрвДЗЛИМ и' Н8 П,: Д^ « -Г, хеП^, 1^-фСх), хер; -и -ф(х),

N итерация (N>1):

Определим Ф,/*) при хе-у из решения краевой задачи:

Ди » -Г, хеО , и.-ф(х), хеГ(\Г . и -и , хеС , и -и хеС ,

N э N ' н м-!' м г'

ф (х) =■ и (х), хе7.

Задача для u^ на П4: Ди^- -г, х«=0(, u^-фсх), хеа; и^=фн(х), xef. Задача для на Ог; Ди^- -г, х«=Пг, ц^-ф(х), и^-фм<х), xsy. При достаточно гладкой функции f, получим для любого м

Утверждение I. Функции им в Qt и им а Па равнолерна сходятся к функциям ц' и ц , которые савпадат 67 = Г4п • Зл" предельные функции определят некоторую функцию ч(х) е с'ст^ ссГ). которая является решениел краевой задачи.

Одним из достоинств метода ВЭ является тот факт, что разработанный набор подпрограмм является достаточно универсальным и может быть применен для исследования аналогичных процессов. В главе 3 приводится описание комплекса программ расчета тепловых и электрических полей электролизеров различных типов. Комплекс программ предоставляет возможность автоматизированного сравнения мевду собой результатов расчетов при различных исходных данных. Подготовлены программы сервисного обслуживания, создания и сопровождения архива исходных данных и результатов расчета; и графический пакет 'Picture*. Разработка графического пакета •picture' преследовала следующие цели:. Во-первых, создание графических средств анализа для определенной задачи - анализа двумерных распределений тепловых и электрических полей, их градиентов и потоков в сечениях некоторых промышленных аппаратов. Во-вторых, возможность его применения и для других задач пользователями без опыта программирования. В общем случае ■picture' осуществляет анализ матрицы чисел при необходимости учета как величин значений элементов матрицы, так и их

местонахождения. В отличие от имеющихся стандартных графических средств (например, 'Surfer' Golden Software Ine. 1989) разрабОтанный графический пакет позволяет вызывать на экран чертей области и наносить на него I) штриховку различных типов в зависимости от диапазона анализируемых величин, 2) изолинии, 3) значения распределения полей в любой точке .области: а также сравнивать между собой полученные рисунки для различных вариантов данных. Именно такой набор сервисных графических возможностей требуется специалистам - электрохимикам.

Прежде чем проводить исследования на математической модели, необходимо удостовериться в ее соответствии реальному физическому процессу, правильности учета физических законов, эффективности работы алгоритма ее решения и качестве анализа полученных данных. Для этого достаточно просчитать задачу, решение которой уже известно. Поэтому в главе 4 проведено сравнение результатов расчетов теплового и электрического полей в вертикальном сечении электролизера для рафинирования алюминия с экспериментальными и расчетными данными других авторов. Аналогичные сравнения для других рассмотренных аппаратов даны в главах Б и 6.

В главе 5 приведены результаты расчетов теплового и электрического полей злэкт; элизера для получения щелочноземельных металлов при различных конструктивных и технологических параметрах. В 5.1 описана конструкция рассматриваемого аппарата. В параграфе 5.2 приведена постановка задачи расчета теплового и электрического полей. Выли проведены расчеты с целью определения оптимального режима работы электролизера. Как известно, выход по

току т) в процессе электролиза весьма существенно зависит от температуры. Оптимальной температурой процесса, в данном случае, можно считать величину 860 - 870 °С. Второй важнейшей характеристикой, влияющей на показатели работы ЭХС, является

Равота с меню

Равота о чертежей Бвод данных полай Граф.вывод данных Опции Печать

Коиаи равати

стрелки правления курсором Ь»с огмвна на ню fcnter яишор

Рис. I. Поперечный разрез электролизера для получения щелочноземельных металлов. Цифрами на рисунке обозначены: I) катодный токоподвод; 2) катод! 3) электролит; 4) сплав; 5) анодный токоотводящий элемент. Построены изотермы 400 и 700°С. Рисунок получен с использованием разработанного графического пакета "Picture1.

плотность тока на электродах J. Функция т)(л) имеет ярко выраженный максимум при некотором оптимальном значении плотности тока. При неизменных габаритах электрода влиять на J мы можем только посредством подаваемой на электролизер силы тока I. Учитывая, что силу тока следует повышать как можно больше, влиять на тепловое поле мы можем только двумя факторами: межэлектродным расстоянием (МЭР) и структурой теплоизоляции. Следовательно, задачу оптимизации режима работы электролизера можно сформулировать следующим образом: Найти минимально^ МЭР и состав теплоизоляции такие, чтобы при максимальной силе тока поддерживать оптимальный тепловой режим. Для решения подобных задач необходима разработка математической модели и проведение расчетов физических полей при различных технологических и конструктивных параметрах с целью определения их оптимальных значений. В б.З и 5.4 даны основные результата расчета при изменении некоторых наиболее важных конструктивных и технологических параметров и полученные на их основе технологические закономерности. Выработаны рекомендации по изменению технологического режима при переходе от шамотной теплоизоляции к экранной, и наоборот. Показана принципиальная возможность работы электролизера с экранной теплоизоляцией и рассчит»на возможность повышения его мощности. Предложен метод установления оптимального теплового энергосберегающего режима работы электролизера для получения щелочноземельных металлов с экранной изоляцией.'

Результаты расчета процессов теплоэлектропереноса и газогидродинамики в магниевых электролизерах представлены в главе 6. В параграфе в Л рассмотрены основные физико - химические зако-

номерности при электролизе магния. Обзор моделей физических процессов при производстве магния произведен в 6.2. Ранее не учитывалось взаимное влияние теплового и электрического полей, скорости и газосодержания электролита во всем разрезе ванны, что не позволяло использовать разработанные модели для полноценных инженерных расчетов. В параграфах 6.3 и 6.'4 описана конструкция бездиафрагменного электролизера с нижним вводом анодов и приведена постановка задачи' расчета теплоэлектрических и газогидро-динамичэских процессов.

Рис. 2. Область расчета- тепловых и электрических полей магниевого бездиафрагменного . электролизера с нихним вводом анодов. Цифрами на рисунке обозначены: I) электролит; 2) анод; 3) катод; 4) чугунная заливка; Б) подина; 6) стенка сборной ячейки; 7) сборная ячейка; 8) газосодержащий слой.

В качестве результатов работа комплекса программ можно получить распределения поля температуры Т(х,у,г) и электрического потенциала ф(х,/,г), вычислить электрический, энергетический и материальный балансы электролизера, определить скорость циркуляции электролита. Далее, в соответствии с общей концепцией вычислительного эксперимента, можно расчетным путем получать зависимости этих характеристик от технологических параметров. Результаты расчета тепловых и электрических полей, газосодерканвя и скорости электролита в электрохимической ячейке магниевого электролизера БЭН и их изменения при модификации конструктивных и технологических параметров представлены в 6.5 и 6.6.

В ходе эксплуатации электролизера с момента его пуска реальное соотношение между силой тока, напряжением, температурой, выходом по току и производительностью изменяются во времени от оптимальных. Во время работы магниевого бездиафрагменного электролизера с нижним вводом анодов, из-за особенностей его конструкции, изменять межэлектродное расстояние и состав теплоизоляции нельзя. Из вышесказанного вытекает необходимость проведения экспериментов по моделированию теплоэлектропереноса при различных сроках службы аппарата. В параграфа 6.7 даны результаты изменений электрического и энергетического балансов в зависимости от срока службы. В 6.8 приведены результаты и рекомендации по тепловому регулированию электролизера и использованию газов санитарно - технического отсоса для ликвидации дисбаланса тепла. Так, например, необходимо повышать плотность тока до достижения оптимального значения, обеспечивая при этом протекание процесса в допустимом диапозоне температур 670 - 720°С. Пра увеличении тепловых потерь выгоднее повысить силу тока, а не напряжение.

т.к. повышение силы тока приводит к увеличению производительности, е при рооте напряжения возрастает удельный расход электро-внэргии.

Достоверность результатов расчетов подтверждена удовлетворительным согласованием данных расчетов и натурных измерений. В приложении к диссертации приведены соответствующие заключения Института высокотемпературной электрохимии УрО РАН и Российского института титана и магния.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ.

1. Приведена математическая модель газогидродинамических процессов в электрохимических системах с вертикальными электродами -(имеется в виду течение двухфазных потоков газ - жидкость), состоящая из сиотеми дифференциальных уравнений, описывающих газосодержанио и скорость циркуляции электролита в межэлектродном пространстве при учете газовыделения на вертикальном аноде и .постоянной скорости подъема газа относительно электролита. Получены •достаточные условия существования и единственности решения.

2. Построена совместная Математическая модель теплоэлектрических и гвзогидродинамических процессов в электрохимических системах. При расчете теплового поля учитывается дополнительный источник тепла электрохимических реакций. Ранее подосине

модели не использовались. Исследована корректность постановки краевой задачи.

3. Построена разностная схема для системы уравнений теплоэлектро-переноса методом сумматорных тождеств для трехмерной области,

4. Описан итерационный процесс решения совместной математической модели теплоэлектропереноса и газогидродинамики. Для решения полученных систем линейных алгебраических уравнений использовались методы последовательной релаксации, сопряженных градиентов и преобразования Фурье. Проведены вычислительные эксперименты по выбору оптимального метода решения СЛАУ. Предложен итерационный метод решения краевой задачи для области сложной формы. Доказана его сходимость.

5. Методами вычислительного эксперимента проведены исследования теплового и электрического полей в сечении електролизера для получения щелочноземельных металлов. Предложен метод установления оптимального теплового энергосберегающего режима работы электролизера. Выработаны рекомендации по изменению данного режима при использовании теплоизоляция различных видов.

6. На основе совместной математической модели изучены процессы теплоэлектропереноса и газогидродинамики в электролизерах для получения магния. Получены результаты по изменению электрических, энергетических и материальных балансов при модификации наиболее ввитых конструктивных и технологических параметров. В отличие от предыдущих работ расчеты производились для трехмерной области.

7. Разработан комплекс программ для расчета тепловых и электрических полей, гаэосодержания и скорости циркуляции электролита в электрохимических системах. В его состав также входят

программы сервисного обслуживания, создания и сопровождения архива данных и результатов; и графический пакет для анализа двумерных распределения физических полей. При создании комплекса программ учитывались особенности работы с вычислительной техникой специалистов в области электрохимии без опыта программирования. Программное обеспечение внедрено в производство.

по теме диссертации опубликованы следующие работы

1. Фазылов А.Р., Щербинин С.А., Зайков Ю.П. Математическое моделирование тепловых и электрических полей при электролитическом рафинировании некоторых легких металлов. // Электрохимия. 1993, т.29. Я 9. с.ПБ6-ПБ9.

2. Щербинин С.А., Яковлева Г.А., Фазылов А.Р.. Математическая модель теплового и электрического полей магниевого электролизера. // Цветные металлы, 1994, № 4, - с.60-64.

3. Щербинин С.А., Яковлева P.A., Фазылов А.Р. Численные расчеты теплового и электрического полей магниевого электролизера. // Цветные металлы, 1994, № 6. - с.68-71.

4. Фазылов А.Р. Графический пакет прикладных программ для анализа физических полей промышленных аппаратов. // БашГУ, Уфа.. 14с. Деп. в ВИНИТИ. К I00I-B94. от 25.04.94.

5. Иванов В.Т., Поляков П.В., Фазылов А.Р., Щербинин O.A. Математическое моделирование и айализ взаимодействующих физических процессов в промышленных электрохимических системах. // Тез.

докл. 4 Мевднарод. конф.- "Ыаг. кибарн. шм. - техн. процессов", Москва, 1994. - с.47-48. I. Фазылов А.Р. Совместная математическая модель тепловых и электрических полей и газогидродинвмики в электрохимических системах. // Тез. докл. Мэадунврод. конф. "Дифференциальные уравнения и их приложение", Саранск, 1994. - р.158.

А