автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное исследование стохастической динамики моделей автоколебательных систем радио- и оптического диапазона

ГЛАВА 1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ И АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ

1.1. Статистическое описание нелинейных динамических и автоколебательных систем. Экспериментальные факты

1.2. Стохастические дифференциальные уравнения ланжевеновского типа. Методы решения стохастических дифференциальных уравнений

1.3. Уравнение Фоккера-Планка для статистического анализа динамических систем

Способы решения уравнения Фоккера-Планка

1.4. Явление динамической бифуркации в автоколебательных системах. Стохастическая динамическая бифуркация - •

1.5. Основные модели исследуемых задач

1.6. Выводы и постановка задачи • •

ГЛАВА 2. АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ И СТАТИСТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ В АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ В МЯГКОМ РЕЖИМЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ

2.1. Динамика системы с квадратичной нелинейной характеристикой

2.1.1. Переходные процессы установления стационарного режима в системе с симметричной квадратичной характеристикой

2.1.1.1. Анализ системы на основе детерминированного уравнения

2.1.1.2. Динамика системы со случайными начальными условиями

2.1.1.3. Динамика системы, подверженной случайным воздействиям в переходном режиме. Анализ на основе СДУ

2.1.1.4. Динамика системы, подверженной случайным воздействиям в процессе эволюции. Анализ на основе УФП

2.1.1.5. Распределение вероятности времени переходного процесса. Метод статистического анализа динамики импульсных процессов.

2.1.2. Численный анализ переходных процессов срыва генерации

2.1.2.1. Анализ переходных процессов срыва генерации на основе СДУ

2.1.2.2. Переходные процессы срыва генерации.

Анализ на основе УФП

2.1.3. Стохастическая динамика автоколебательной системы с несимметричной квадратичной характеристикой

2.2. Динамика системы с кубичной нелинейной характеристикой.

2.2.1. Переходные процессы установления стационарного режима в системе с симметричной кубичной характеристикой

2.2.1.1. Анализ на основе детерминированного уравнения

2.2.1.2. Динамика системы со случайными начальными условиями

2.2.1.3. Динамика системы, подверженной случайным воздействиям в процессе эволюции. Анализ на основе СДУ

2.2.1.4. Динамика системы, подверженной случайным воздействиям в процессе эволюции. Анализ на основе УФП

2.2.1.5. Анализ распределения вероятности характерного времени переходного процесса

2.2.2. Численный анализ срыва генерации в системе с симметричной кубичной нелинейностью в мягком режиме

2.2.2.1. Анализ срыва генерации на основе СДУ

2.2.2.2. Анализ срыва генерации на основе УФП

2.2.3. Переходные процессы установления колебаний в системе с несимметричной кубичной характеристикой

2.3. Выводы.

ГЛАВА 3. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ В ЖЕСТКОМ РЕЖИМЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ

3.1. Установление стационарного режима.

3.1.1. Анализ системы на основе детерминированного уравнения.

3.1.2. Переходные процессы с флуктуирующими начальными условиями.

3.1.3. Исследование на основе стохастического дифференциального уравнения.

3.1.4. Исследование стохастической динамики на основе уравнения Фоккера-Планка.

3.2. Переходные процессы срыва генерации.

3.2.1. Переходные процессы срыва генерации на основе СДУ.

3.2.2. Переходные процессы срыва генерации. Анализ на основе УФП.

3.2.3. Статистический анализ на основе бифуркационной диаграммы.

3.3. Бистабильнось в автоколебательных системах.

Синергетические аспекты исследований.

3.4. Переходные процессы установления колебаний в системе с несимметричной кубичной характеристикой

3.5. Выводы.

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ БИФУРКАЦИИ В АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ.

4.1. Нестационарные процессы в системе с квадратичной нелинейностью при медленном изменении усиления вблизи порога. Анализ на основе

4.2. Нестационарные процессы в системе с квадратичной нелинейностью при медленном изменении усиления вблизи порога.

Анализ на основе уравнения Фоккера-Планка.

4.3. Нестационарные процессы в системе с кубичной нелинейностью при медленном изменении эффективного усиления близи порога. Анализ на основе СДУ.

4.4. Нестационарные процессы в системе с кубичной нелинейностью при медленном изменении эффективного усиления вблизи порога. Анализ на основе УФП.

4.5. Выводы.

Актуальность работы. Исследованию переходных процессов в нелинейных динамических системах подверженных случайным воздействиям уделяется значительное внимание. Особенно интенсивно идеи стохастической динамики нелинейных систем развиваются в статистической радиофизике и оптике - области, наиболее удобной для проведения экспериментальных и теоретических работ, где классическими объектами исследований являются автогенераторы электромагнитных колебаний радио-и оптического диапазонов.

Основополагающей работой в направлении статистического описания динамических систем явилась работа JL Понтрягина, А. Андронова, А.Витта, 1933г. Изучение флуктуаций переходных процессов в. автоколебательных системах началось с работ С.А. Ахманова, 1960г, 1981-г; флуктуационные явления в стационарном режиме работы подробно рассмотрены в работе А.Н. Малахова, 1968г. и во многих более поздних известных работах.

К настоящему времени теоретические исследования стохастической динамики автоколебательных систем с квадратичной и кубичной нелинейностью для интенсивности колебаний проведены приближенно аналитическими методами на основе стохастических дифференциальных уравнений ланжевеновского типа (СДУ) (Е.В. Бакланов, С.Г. Раутиан, 1969) и на основе уравнений Фоккера-Планка (УФП) для плотйости распределения случайной величины (ПРВ) (Г.Г. Телегин, 1971г., 1997г.). Решение проводилось следующим образом-: в начальный период развития генерации учитывались шумы, но не учитывалась нелинейность, а в режиме развитой генерации учитывалась нелинейность, но пренебрегали влиянием шума на систему, окончательный результат получался в виде "сшивки" двух решений. Такой подход позволил объяснить общую картину стохастических процессов в системах со слабой нелинейностью и постоянными управляющими параметрами, но не позволил выявить особенности стохастической динамики, которые воспроизводимы при численном эксперименте.

Идеи численного исследования стохастических процессов в нелинейных динамических системах на основе СДУ и УФП развиты во многих известных работах (К.Дж. Мерклингер, 1963г.; Н. Risken, 1984г; Ю.Л. Климонтович, 1989г.; В.А. Кабанов, 1996г.; А.И. Ноаров, 1999г.; О.В. Коломиец, 1999г., и др.). Обзор работ показал, что в большинстве случаев исследования проводятся на моделях со слабой нелинейностью для переходных процессов установления стационарного режима и стационарных режимов работы системы. В имеющейся научной литературе не было замечено работ по исследованию стохастических динамических процессов затухания генерации при резком и медленном изменении управляющего параметра.

Таким образом, численные исследования стохастической динамики автоколебательных систем с различными нелинейными характеристиками, постоянными и зависящими от времени управляющими параметрами на основе СДУ и УФП представляют актуальную задачу.

Необходимо отметить, что на основе исследований стохастических процессов в лазерах было сформулировано междисциплинарное научное направление - Синергетика (Г. Хакен, 1980г.), в направлении которого находятся исследования и в данной работе.

Цель работы: исследование нестационарных стохастических процессов в автоколебательных системах, экспериментально и теоретически не анализированных до настоящего времени.

Поставленная цель достигается решением следующих задач:

1. Численный анализ переходных процессов установления стационарных режимов и срыва генерации на основе СДУ и УФП в системе с квадратичной, кубичной, симметричной и несимметричной нелинейностью: а) в мягком режиме возбуждения; б) в жестком режиме возбуждения.

2. Численное исследование динамической бифуркации в автоколебательных системах при установлении квазистационарного режима и срыва генерации на основе СДУ и УФП: а) при прямом и обратном медленном переходах через пороговое значение управляющего параметра в системе с квадратичной нелинейностью; б) при прямом и обратном медленном переходе через пороговое значение управляющего параметра в системе с кубичной нелинейностью.

Методы исследований. Для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений, СДУ и УФП в среде пакета Maple V Release 6 использовались методы решения нелинейных дифференциальных уравнений, матричные методы, конечно-разностные методы решения уравнений математической физики и методы численного интегрирования.

Достоверность полученных результатов подтверждается совпадением с экспериментальными и теоретическими результатами исследований, полученными в известных работах (B.C. Ахманов, 1981г.; Г.Г. Телегин, 1973, 1997г.; P. Mandel, 1984г.; B.C. Анищенко, 1999г).

Научная новизна

1. Проведены наиболее полные численные исследования стохастической динамики автоколебательных систем с квадратичной и кубичной, симметричной и несимметричной характеристикой для интенсивности колебаний.

2. Предложен метод статистического анализа динамики импульсных процессов при переходе от ПРВ переменной состояния системы к ПРВ времени установления и затухания генерации. В качестве критерия относительной упорядоченности системы выбраны относительные флуктуации переменной состояния системы, времени.

3. Впервые выявлен бимодальный характер эволюции ПРВ переменной состояния автоколебательной системы с несимметричной квадратичной и с симметричной кубичной нелинейностью в мягком режиме возбуждения при резком переходе управляющего параметра через пороговое значение. На основе полученных результатов показаны условия возникновения бимодальности в эволюции ПРВ с потенциальной функцией V вида.

4. Выявлена бимодальность в эволюции ПРВ в автоколебательной системе с жестким возбуждением с несимметричной квадратичной и с симметричной кубичной нелинейностью как при установлении стационарного режима, так и при срыве генерации в случае резкого перехода управляющего параметра через пороговое значение.

5. Обнаружено тримодальное поведение эволюции ПРВ в автоколебательной системе с несимметричной кубичной нелинейностью как в жестком, так и в мягком режиме возбуждения колебаний при установлении стационарного режима.

6. Впервые решена задача стохастической динамической бифуркации в системах с кубичной симметричной нелинейностью как для установления квазистационарного режима, так и для случая медленного затухания генерации. Обнаружено бимодальное поведение ПРВ переменной состояния системы в режиме динамической бифуркации при прямом и обратном медленном переходах управляющего параметра через пороговое значение. Получена гистерезисная зависимость переменной состояния системы от управляющего параметра. Обнаружено, что переходы между нижним и верхним границами петли гистерезиса могут происходить при любых значениях управляющего параметра в области гистерезиса.

Практическая ценность результатов работы:

1. Разработанная программа численного анализа СДУ и УФП используется как для проведения аналогичных научных исследований в динамических системах с другими нелинейными функциями, так и для учебных целей.

2. Универсальный характер фундаментальных закономерностей стохастической динамики нелинейных систем позволяет использовать результаты, полученные при исследовании автоколебательных систем, в других областях науки, например в неравновесных носителях зарядов в полупроводниках с лавинным размножением электронов; процессы пробоя в газоразрядных приборах; в химической кинетике при исследовании автокаталитических реакций; в экономических и социологических системах при исследовании динамики популяций.

3. Использование разработанной прикладной программы позволяет проводить статистический анализ флуктуаций фронта радиочастотных и электрических импульсов на основе ПРВ, среднего значения и дисперсии времени переходных процессов в импульсных системах с различной нелинейной характеристикой и при различных видах начальных распределений переменной состояния системы.

Реализация и внедрение результатов работы. Основные результаты работы используются в учебном процессе кафедры радиотехники и радиотехнических систем Чувашского государственного университета по дисциплинам "Радиоавтоматика", "Вычислительные методы"; в Чебоксарском институте (филиале) Московского государственного открытого университета по дисциплине "Математические основы теории систем".

Результаты диссертации частично использовались в НИР по проекту №98-02-03338-р98волга, финансируемой РФФИ.

Апробация работы.

Основные результаты по данной теме работы докладывались и обсуждались на: Международной научной конференций "Математические модели нелинейных возбуждений, процессов, динамики, управления в конденсированных системах и других средах" (г. Тверь, ТГТУ, 1998г.); Всероссийских научно-технических конференциях "Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем", (г. Чебоксары, ЧувГУ, 1999г, 2001г.); III Всероссийской научно-технической конференции "Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике" (г. Чебоксары, ЧувГУ, 2000г.); XXXV научной студенческой конференции по гуманитарным, естественным и техническим наукам ЧувГУ (г. Чебоксары, 2001г.); Поволжской научно-практической конференции "Электротехника и электроника Поволжья на рубеже тысячелетий" (г. Чебоксары, 2001г.); III Всероссийской научно-практической конференции "Современные проблемы создания и эксплуатации радиотехнических систем", (г. Ульяновск., УлГТУ, 2001г.); на IV школе-семинаре "Актуальные проблемы физической и функциональной электроники" (г. Ульяновск, УО ИРЭ РАН, 2001г.).

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Результаты численного анализа стохастических явлений в переходных процессах моделей автоколебательных систем с квадратичной и кубичной, симметричной и несимметричной нелинейностью в мягком режиме возбуждения на основе СДУ и УФП.

2. Метод статистического анализа динамики импульсных процессов.

3. Результаты численного анализа стохастических явлений в переходных процессах моделей автоколебательных систем с квадратичной и кубичной, симметричной и несимметричной нелинейностью в жестком режиме возбуждения на основе СДУ и УФП.

4. Результаты численного анализа стохастической динамической бифуркации в автоколебательных системах с квадратичной и кубичной, симметричной и несимметричной нелинейностью на основе СДУ и УФП.

5. Результаты численного исследования стохастической динамики в автоколебательных системах на основе УФП при вариации начального статистического распределения переменной состояния системы.

Публикации. Содержание диссертационной работы отражено в 9 опубликованных работах автора.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Список литературы включает 93 наименования, рисунков 80, таблиц 2. Общий объем диссертации составляет 160 страниц компьютерной верстки.

4.5. Выводы.

1. Проведено численное исследование стохастической динамической бифуркации при прямом и обратном медленном переходах управляющего параметра через пороговое значение. Выявлены флуктуации времени установлении квазистационарного режима и медленного срыва генерации в системе с несимметричной квадратичной и симметричной кубичной нелинейностью.

2. Показаны метастабильные состояния автоколебательных систем с несимметричной квадратичной и симметричной кубичной нелинейностью для случая неравновесных фазовых переходов I рода.

Заключение.

1. Предложен метод статистического анализа динамики импульсных процессов. Указано, что в качестве критерия относительных флуктуаций переменной состояния системы, времени установления и срыва генерации необходимо оперировать относительными флуктуациями переменной состояния системы и времени.

2. Выявлена бимодальность эволюции плотности вероятности в автоколебательной системе с несимметричной квадратичной и с симметричной кубичной нелинейностью в мягком режиме возбуждения при резком изменении управляющего параметра вблизи порогового значения. На основе полученных результатов показаны условия возникновения бимодальности "в эволюции плотности распределения вероятности в системе V-образной потенциальной функцией и с одним характерным временем системы.

3. Выявлена бимодальность в эволюции плотности вероятности в автоколебательной системе с жестким возбуждением с несимметричной квадратичной и с симметричной кубичной нелинейностью как при установлении стационарного режима, так и при срыве ^генерации в случае резкого изменения управляющего параметра.

4. Обнаружено тримодальное поведение эволюции плотности вероятности в автоколебательной системе с несимметричной кубичной нелинейностью.

5. Показано, что автоколебательная система с несимметричной квадратичной и с симметричной и несимметричной кубичной нелинейностью как в жестком так и в мягком режиме возбуждения при учете стохастических процессов является метастабильной системой.

6. Впервые решена задача стохастической динамической бифуркации в системах с кубичной нелинейностью как для установления квазистационарного режима, так и для случая медленного срыва генерации.

7. Обнаружено бимодальное поведение плотности вероятности в режиме динамической бифуркации установления и срыва генерации в автоколебательной системе с симметричной кубичной нелинейностью. Показана гистерезисная зависимость переменной состояния системы от управляющего параметра. Выявлено, что переходы между нижним и верхним кривыми петли гистерезиса могут происходить при любых значениях управляющего параметра в области гистерезиса.

1. Понтрягин Л., Андронов А., Витт А. О статистическом рассмотрении динамических систем // ЖЭТФ. 1933, Т.З. В.З. С.165-180.

2. Красовский А.А. Статистическая теория переходных процессов в системах управления. М.: Наука. 1968, 240с.

3. Красовский А.А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем. М.: Наука. 1974, 232с.

4. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. Часть 1. Случайные процессы. М.: Наука, J976.

5. С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М.: Наука, 1981, 640с.

6. Телегин Г.Г. Динамика генерации газовых лазеров: Монография. Чебоксары. Изд-во Чуваш. Ун-та. 1997. 192с.

7. Ю.Л. Климонтович. Проблемы статистической динамики открытых систем: критерии относительной упорядоченности состояний в процессах самоорганизации //УФН, 1989, Том. 158, вып.1. С.59-91.

8. Климонтович Ю.П. Статистическая физика. М.: Наука, 1982.

9. Шелль, Экехард. Самооргацизация в полупроводниках: Неравновесные фазовые переходы в полупроводниках, обусловленных генерационно -рекомбинационными процессами./ Пер. С англ. Под ред. Б.М. Ашкинадзе, А.В. Субашиева. -М.: Мир,1991. 459с.

10. Бендат Дж., Пирсон А. Измерение и анализ случайных процессов. М.: 1971г.

11. В.И. Тихонов, М.А. Миронов. Марковские процессы. М. Сов. Радио. 1977.488с.

12. Е.В. Бакланов, С.Г. Раутиан, Б.И. Трошин, В.П. Чеботаев. О флуктуациях нарастания излучения в газовых квантовых генераторах // ЖЭТФ, 1969, т.56 вып. 4. С.1121-1131.

13. С.М. Пригарин. Численное решение краевых задач для линейных систем стохастических дифференциальных уравнений // ЖВММФ, 1998, том 38, №12, С.1983-1988.

14. Risken Н. The Fokker-Planck Equation. Berlin; Heidelberg: Springer, 1984.

15. Aoki K., Yamamoto K.//Apll. Phys. 1989. V.A48. P.lll.

16. Gordon J.P., Aslaksen E.W.//J. Quantum Electronics, 1970. V.QE-6. P.428.

17. Feller W.//Ann. Math. 1951. V.51. P.173.

18. Ван Кампен. Стохастические процессы в физике и химии.

19. Г.Г. Телегин, В.Г. Медведев. Статистический анализ переходных процессов в электронных системах// Вестник Чув. ун-та. 1996. №2. С.100-103.

20. Гулд X., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. Пер. с англ. М.: Мир. 1990г.

21. Морозов Ю.А. Динамика и распределение флуктуаций интенсивности в модах инжекционного лазера при высокочастотной модуляции тока накачки. //ЖТФ. 1997. Т.67. В.4. С. 78-82.

22. Сердюков С.И., Бельнов В.К. Обобщение уравнения Фоккера -Планка и флуктуации в термодинамических системах. // Докл. РАН. 1999. Т.367. №3. С363-366.

23. Нещадим М.В. Динамические процессы, определяемые статистическими соотношениями. // Сибирский журнал индустриальной математики. 1999. Т.2. №1. С. 108-116.

24. Змиевская Г.И. Численный стохастический аналог кинетических уравнений Эйнштейна-Фоккера. // Аннот. докл. ИПМ им. М.В. Келдыша РАН.

25. Змиевская Г.И. Численные стохастические модели неравновесных процессов. // Математическое моделирование. 1996. №11. С.3-40.

26. Спичак С.В. Симметрийная классификация одномерного уравнения Фоккера-Планка с произвольными коэффициентами сноса и диффузии. // Нелшшш коливання. 1999. Т.2. №3. С.401-413.

27. Колсмшець О.В. Прочислове розв'язування Фоккера-Планка-Колмогорова для дифференщально-р1зницевого р1вняння другого порядку з випадковыми вщхиленнями аргументу. // Нелшшш коливання. 1999. Т.2. №4. С.501-510.

28. Ноаров А.И. Об одном достаточном условии существования стационарного решения уравнения Фоккера-Планка // ЖВМиМФ. 1997. Т.37. №5. С.587-598.

29. Ноаров А.И. Численное решение уравнения Фоккера-Планака // ЖВМиМФ. 1999. Т.39. №8. С.1337-1347.

30. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. ГТТИ. 1953.

31. Р. Рихтмайер, К. Мортон. Разностные методы решения краевых задач. М. Мир. 1972. 420с.

32. Математическая физика. Энциклопедия. М. 1986г. 800с.

33. Дубнищева Т.Я. Концепции современного естествознания. Новосибирск, Изд-во ЮКЭА. 1997г. 832с.

34. К.Ф. Теодорчик. Автоколебательные системы. Изд. 3-е. M-JI. Гостехиздат. 1952г. 271с.

35. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М. Физматгиз, 1959.

36. Самарский А.А. Ведение в теорию разностных схем. М.: Наука. 1971.

37. Д.А. Губанов, К.А. Рукавица, Б.И. Шахтарин. Оптимизация параметров схемы слежения за задержкой по критерию максимума среднего времени до срыва синхронизации. // Радиотехника 2000. №11 С. 19-29.

38. А.А. Бободжанов, В.Ф. Сафонов. Дифференциальные уравнения с медленными и быстрыми переменными и метод регуляризации // Вестник МЭИ 2000. №6 С.24-35.

39. Э.В. Кальянов. Взаимодействие колебаний в автостохастической системе. //Журнал технической физики, 2000, том 70 вып.10. С.135-137.

40. В.А. Кабанов. Синергетические системы управления и самоорганизации. // Вестник МЭИ, 1996, №2, С.29-34.

41. И.Г. Карпов, А.В. Коренной. Анализ и синтез марковских моделей непрерывных случайных процессов в каналах связи // Радиотехника, 2000, №4, С.78-84.

42. В.А. Кабанов, Д.А. Хробостов. Нейроподобные и клеточные структуры в системах управления. // Вестник МЭИ, 1997, №2, С.38-42.

43. А.А. Красовский. Синтез аттракторов с приложением к системам активной виброзащиты.//Автоматика и телемеханика, 1996, №7, С. 18-31.

44. В.П. Коверда, В.Н. Скоков. Критическое поведение и 1/f шум при пересечении двух фазовых переходов в сосредоточенных системах // Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. 10, С. 1-7.

45. С.А. Решетняк. Усиленный отклик на сигнал в ансамбле взаимодействующих бистабильных элементов // Журнал технической физики, 2000, том 70, вып. 3, С. 1-5.

46. И.В. Цибовская. Динамика неавтономной автоколебательной системы с тремя степенями свободы // Интернет.

47. Э.В. Кальянов. Возбуждение потенциально автоколебательного состояния в генераторе с запаздыванием и инерционностью при одновременном воздействии регулярного и хаотического сигналов // Письма в ЖТФ, 1997, том 23, №14. С 66-71.

48. A.M. Шигаев. Сложная динамика простой модели электронного автогенератора с запаздыванием // Интернет.

49. W. Scharpf, М. Squicciarini, D. Bromley, C.Green, J R. Tredicce and L.M. Narducci. Experimental observation of a delayed bifurcation at the threshold of an argon laser // Optics communications, 1987, Volume 63, number 5, P.344-348.

50. G. Broggi, A. Colombo, L.A. Lugiato, Paul Mandel. Influence of white noise on delayed bifurcation // Physical review A, 1986, volume 33, number 5, P.3635-3637.

51. Paul Mandel and H. Zeghlache, T. Erneux. Time-dependent phase transitions // To appear in the proceedings of the Xth Sitges Conference on "Far from Equlibrium Phase Transitions".

52. С.П. Стрелков Введение в теорию колебаний. 2-е. изд. М. Наука. 1964. 437с.

53. В.Н. Лисицын, В.П. Чеботаев. Эффекты насыщения поглощения в газовом лазере // ЖЭТФ, 1968, т.54 вып. 2. С.419-423.

54. В.И. Татарский. О критериях степени хаотичности // УФН, 1989, Том. 158, вып. 1. С.123-126.

55. Б.И. Шахтарин, С.В. Артюшин, С.В. Голубев, К.А. Рукавица. Резонанс и хаос в одной нелинейной системе // Электричество, 2000 №2. С. 6469.

56. А.И. Ноаров. Численное исследование уравнения Фоккера-Планка // ЖВММФ. 1999. Том 39. №8. С1337-1347.

57. Численное решение уравнения Фоккера-Планка. Рецензия на книгу // УФН. 1988. Вып. 2.С155.

58. А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич. Разностные методы решения задач математической физики на нерегулярных сетках // Математическое моделирование. 2001. Том 13. №2. С. 5-16.

59. Г. Шустер. Детерминированный хаос. Вредение. М.: Мир. 1988.

60. А.А. Самарский, В.И. Мажукии, П.П. Матус, Г.И. Шишкин. Монотонные разностные схемы для уравнений со смешанными производными //Математическое моделирование. 2001. Том 13. №2. С. 17-26.

61. В.В. Акименко. Принцип максимума и нелинейные монотонные схемы для уравнений параболического типа // ЖВММФ, 1999, том 39, №4, С.618-629.

62. В.Е. Захватаев. О движении волнового фронта в бистабильной среде //ЖВММФ, 1999, том 39, №4, С.660-662.

63. В.В. Акименко. Монотонные схемы высокого порядка точности для уравнения переноса и параболического типа // ЖВММФ, 1999, том 39, №5, С.838-649.

64. В.Ф. Камбулов, С.А. Тарасов, Н.Б. Федоров, А.Н. Чикин. Об одной модели автоколебательной системы с распределенными параметрами // Математическое моделирование. 2000, том 12, №12, С.3-10.

65. Е.В. Меньшикова. Буферность как феномен второго порядка в одном классе автогенераторов с распределенными параметрами в цепи обратной связи.

66. Н.В. Бутенин, Ю.И. Неймарк, Н.А. Фуфаев. Введение в теорию нелинейных колебаний. М. Наука. 1987 384с.

67. Ж. Йосс, Д. Джозеф. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. Пер. с англ.-М.: Мир., 1983.-301с.

68. Г. Рёпке. Неравновесная статистическая механика. Пер. с нем.- М.: Мир, 1990-320с.

69. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Краасовского-М.: Наука. 1987, 712с.

70. Специальный физический практикум, ч. 1, 3-е изд. М., Изд-во ун-та, 1977г. 318с.

71. JI.C. Понтрягин. Знакомство с высшей математикой: Дифференциальные уравнения и их приложения. -М.: Наука. 1988. 208с.

72. В. Хорстхемке, Р. Лефевр. Индуцированные шумом переходы: Теория и применение в физике, химии, и биологии: Пер. с англ.-М.: Мир, 1987-400с.

73. А.А. Андронов. Теория колебаний. М.: Наука. 1981г.

74. А.А. Андронов. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М. Наука. 1967г.

75. О.И. Шелухин,В.И. Соленов. Математические модели и моделирование радиотехнических сигналов, устройств, систем. Москва, 1997г. 208с.

76. Дж. Купер, К. Маггиллем. Вероятностные методы анализа сигналов и систем. Пер. с англ.-М.: Мир. 1989. 376с.

77. Г. Корн, Т. Корн. Справочник цо математике для научных работников и инженеров. М.: Наука. 1968. 720с.

78. В.И. Кляцкин. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами. М.: Наука. 1975. 239с.

79. С.Э. Ананич. Разностные методы для уравнения Больцмана-Фоккера-Планка // Математическое моделирование. 1997. Том 9, №1. С.99-115.

80. М.Х. Харрасов. Об ассимптотике решений уравнения Фоккера-Планка при больших значениях времени // Теоретическая и математическая физика. 1993. Том 97, № 1, С. 113.

81. Г.В. Муратова. Многосеточный метод решения стационарного уравнения конвекции -диффузии // Математическое моделирование. Том 9. №2. 1997. С77-80.

82. В.И. Тихонов. Статистическая радиотехника. М.: Радио и Связь. 1982. 624с.

83. В.В. Мигулин, В.И. Медведев. Основы теории колебаний. М.1988. 391с.

84. А.Р. Волковский, А. А. Куркин. Исследование динамики автоколебательных систем с высокочастотным параметрическим воздействием // Труды итоговой научной конференции, посвященной Дню радио. 1996. С.89-94.

85. Н.В. Агудов, А.Н. Малахов. О влиянии шума на скорость распада нестабильных состояний динамических систем // Труды научной конференции по радиофизике, посвященной 95-летию со дня рождения М.Т. Греховой. 1997. Нижний-новгород, Изд-во ННГУ. С.66.

86. Телегин Г.Г., Смирнов Г.И. О статистической динамике переходных процессов в газоразрядной плазме // Физика плазмы, 1991, т. 17, В.2. С.253-256.

87. Телегин Г.Г., Калинин С.В., Кашников Б.П., Смирнов Г.И. Статистическая динамика фоточувствительных твердотельных структур // Физика твердого тела, 1995, т.37, №7, С.2090-2099.

88. Анищенко B.C., Вадивасова, Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы / Под ред. B.C. Анищенко. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999.368с.

89. Lab Assidnment #1, Bion/Chem 575 // http://courses.washington.edu/ bioen575/labs/labl .pdf.