автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное исследование модели удара и последующего погружения твердого тела в сжимаемую вязкую жидкость

Г Г 5

31юг

Па правах рукописи

УСОВ Анатолий Борисович

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ УДАРА И ПОСЛЕДУЮЩЕГО ПОГРУЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА В СЖИМАЕМУЮ ВЯЗКУЮ ЖИДКОСТЬ

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (автоматика, вычислительная техника и автоматизация)

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону - 1998

Работа выполнена в Ростовском государственном университете.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Потетюнко Э.Н.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Крукиер Л.А. кандидат физико-математических наук доцент Золотарёв А.А.

Ведущая организация - г. Краснодар, Кубанский

государственный университет

Защита диссертации состоится п 2 У " _1998

г. в /1 часов на заседании диссертационного совета К063.52.12 при Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки 200/1, корп.2, ВЦ РГУ, к.406,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РГУ по адресу: ул. Пушкинская 148.

Автореферат разослан " ^ " сх^ус^их 1998 г.

учёный секретарь диссертационного совета К063.52.12,

кандидат физико-математических наук,

старший наз'чный сотрудник — / Муратова Г.В. /

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи математического моделирования и определения характера течения жидкости при ударных нагрузках, вызванных падением тел в жидкость, а также задачи нахождения гидродинамических сил, действующих на погружающиеся в жидкость тела, возникают в кораблестроении, авиации, гидростроительстве, метеорологии, ракетной технике, самолетостроении и космонавтике. Данные задачи возникли при исследовании процесса падения в воду ги-дробуёв, содержащих научно-исследовательскую аппаратуру, в хоздоговорных работах по темам "Математическое обеспечение исследований по ударостойкости составной тонкостенной конструкции и по управлению ее погружением" ( N ГР 01920012906. Инв. N 02920011017 ) и "Колебания упругих составных тонкостенных конструкций при ударном нагрушнии на начальном этапе погружения в жидкость" ( N ГР 01920006120. Инв. N 02930003410 ). Удар и гидродинамические силы, действующие на погружающиеся в жидкость гидробуи, могут приводить к их деформации, поломке научной аппаратуры. Для определения максимальных гидродинамических нагрузок и характера возникающего течения жидкости надо построить модель, описывающую процесс падения тел в жидкость, погружения и движения их в жидкости и исследовать решение этой модели.

Расчет на прочность сбрасываемых в воду гидробубв можно моделировать по разному. В общей постановке такая задача весьма сложна и получить на этом пути качественные результаты проблематично. Для получения простых формул, описывающих важные гидромеханические величины, характеризующие особенность процесса вхождения тел в жидкость, приходится отказываться от общей постановки задачи.

Для используемой в диссертации модели введены ограничения:

- Падающее тело считается абсолютно жестким. Такое допущение оправдано тем, что сбрасываемые в воду конструкции достаточно жесткие , специально подкрепленные бандажами и лонжеронами.

- Падение тела считается строго вертикальным, удар центрированным, днище тела — частью горизонтальной плоскости, боковая поверхность тела — цилиндрической поверхностью с образующими, перпендикулярными днищу тела, вращение тела отсутствует. При зтих предположениях задача падения тела в жидкость сводится к плоской задаче об ударе и проникании в жидкость твердого тела прямоугольной формы.

- Шидкость считается вязкой баротропяой, течение жидкости — изотермическим. Исследуется случай линейной зависимости давления от плотности жидкости.

- Само движение тела расщепляется на несколько стадий: удар, вхождение в воду, нестационарное движение целиком погруженного в жидкость тела, стахдаонарное движение тела под водой. Каждая стадия движения изучается в отдельности.

Для решения исследуемой модели применяется метод конечных разностей и предваряющий численный расчет — метод пограничного слоя. Методика Вишка-Люстерника построения пограничного слоя приводит к нелинейным уравнениям, которые решаются приближенными аналитическими или численными методами. Предложенная в диссертации модификация метода позволяет строить линейные уравнения пограничного слоя, допускающие точные решения в любом приближении. Решение, найденное методом пограничного слоя, используется при получении начальных условий для конечно-разностной реализации модели.

Всё вышесказанное определяет актуальность темы исследований.

Целью работы являлось построение математической модели падения тел в жидкость, решение модели асимптотическими и конечно-раз-

ностными методами, исследование свойств наеденных решений, а именно

- изучение сил гидродинамического воздействия жидкости при погружении в неё сбрасываемых с воздуха твёрдых тел;

- изучение движения твёрдых тел по инерции в жидкости после их приводнения с начальной скоростью;

- изучение движения полностью и частично погруженных в жидкость твердых тел, движущихся под действием внешних сил, действующих в жидкости и на тела.

Методика исследования. В работе используются:

- асимптотический метод пограничного слоя;

- вариационный метод;

- метод сжимающих отображений для решения интегральных уравнений;

- полунеявная схема метода конечных разностей для численного решения нестационарных краевых задач.

Научная новизна. Численная и асимптотическая реализация предложенной в работе модели падения тела в жидкость, позволила

- впервые предложить алгоритм для качественного исследования влияния сжимаемости жидкости на вихреобразования вблизи острых кромок тела ;

- впервые качественно и количественно исследовать влияние сжимаемости жидкости на ее сдвиговые течения, вызванные касательными напряжениями на свободной поверхности жидкости ;

- впервые сформулировать новые постановки граничных условий сопряжения течений на фронте уплотнения в сжимаемой жидкости при её нестационарном движении с разрывными начальными данными ;

- исследовать совместное влияние вязкости жидкости и её сжимаемости на силы гидродинамического воздействия со стороны жидкости на движущиеся в ней тела ;

- провести численное исследование задачи о движении вязкой-сжимаемой жидкости на начальном этапе погружения в нее твердого тела, определить максимум гидродинамических нагрузок, действующих на тело со стороны жидкости, характер изменения скорости тела и глубины его погружения в жидкость с течением времени.

Впервые предложено провести растяжение в пограничном слое, как пространственных переменных, так и времени. При помощи этой методики построены асимптотические разложения решений задач о движении вязкой жидкости со свободной поверхностью, движении тела произвольной формы, полностью или частично погруженного в жидкость.

Практическая значимость выполненной работы состоит в численной реализации и доведении до расчетных программ на ЭВМ модели падения тела в жидкость. Рассмотренные в диссертации задачи порождены конкретной хоздоговорной работой по автоматическому управлению погружением гидробуев, сбрасываемых с воздуха, что определяет их практическую значимость.

Построенные асимптотики позволяют учесть их в конечно-разностных методах решения задач. Выведенные в работе формулы для распространения фронтов уплотнения сжимаемой жидкости при ударных возбуждениях движения позволяют выделить в жидкости области с непрерывными неизвестными и искать решения в этих областях конечно-разностными методами, а вблизи фронтов учитывать в конечно-разностных схемах асимптотические формулы скачков и разрывов.

Результаты работы, разработанные алгоритмы и программы на ЭВМ могут использоваться в инженерных расчетах при определении гидродинамических сил, действующих на погружающиеся в жидкость тела.

Достоверность полученных результатов обусловлена корректной постановкой двумерных задач гидродинамики, применением математически обоснованных методов и теории пограничного слоя, совпадени-

ем характера поведения численных результатов с результатами натурных исследований и известными результатами других авторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 2-ой и 3-ьей Международных конференциях "Современные проблемы механики сплошной среда" в г. Ростове н/Д в 1996г. и в 1997г., на семинарах кафедр вычислительной математики и математической физики, прикладной математики и программирования, информатики и вычислительного эксперимента Ростовского государственного университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа занимает 141 страницу машинописного текста и состоит из введения, трёх глав, заключения и списка датированной литературы из 138 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении отмечены важность и актуальность теш исследовании, сформулированны цели и задачи исследования, изложено краткое содержание диссертации.

Глава I посвящена построению и обоснованию выбранной модели падения тел в жидкость и состоит из трех параграфов.

В §1 дается краткий исторический обзор работ, посвященных построению математических моделей, описывающих падение тел в жидкость. Строится плоская изотермическая модель вертикального падения абсолютно жесткого тела прямоугольной формы с плоским днищам в жидкость, занимающую нижнюю полуплоскость. Модель описывается уравнениями Навье-Стокса

а V , - 1 - .

<р4-р ) - = -?р + ра + ц А V + - V) I ( 1 )

* с! -ь 1 3 J

уравнениями сплошности среда и состояния

dp fä» йт.

tt + <p+p*>[ — + г-" j = 0 : p= d p : ( 2 >

dt * 1 в x д z J

граничными условиями -прилипания" на толе

vx= 0 ; VE= u ; на SB ( 3 )

условиями на бесконечности и начальными условиями задачи Vx= Yz= р= р= о ; t = о ( 4 >

lim (Г r1+ö)= 0; г=/х2-^2 '; i=f Т; vi ); ö> -1/2 ( 5 )

у оо v J

уравнением движения тела, полученным из второго закона Ньютона

du г f, ö v 2

М -

d t

в В

г U д у 2 ~ л

= М g + I -р + 211 —z - - u div V cos ot + ( 6 ) •» (л О z 3 j г

e в

, д v д v . ч

+ ц cos се —z + —х } dl ; u(0)= uО ; fl x dz ' J a

динамическими

f д у д у av„ зт , 2

р= 2ц Г —х +п2 —2 +пп <—" + —]- - ц div V ( 7 )

t,xay ^ я х 2 я y я 7 j ч

ах "Зг Лабх 02

д у д V Зу , ц (пи пд) (—2 + —х) +2 (па —х + П1 -=0

I х г ах ах д 2 ххЗХ 2 а <Э 2

и кинематическим условиями на свободной поверхности жидкости (7>

а с / ~ а С 1

-= V ; А= / 1 + < 9 с / д х )г ; п= - - ( 8 )

dt г х дх А

пв= - 1/ Л ; пх ; гх= - пе при г = С ( хД ).

Уравнения (1 )-( 8 ) записаны в неподвижной прямоугольной декартовой систем© координат Охг с центром в произвольной точке плоскости ( ось 02 направлена вертикально вниз ); р. - динамическая вязкость жидкости; У= (ух, у )- вектор возмущений скоростей частиц жидкости в Охг; р- возмущение плотности; р- гидродинамического давления; р+- плотность жидкости в невозмущенном состоянии;

- углы между внешней нормалью к погруженной части границы тела

( 5В ) и осями Ох и Ог; С= <0,8)- вектор ускорения свободного падения в Охг; Б - квадрат скорости звука в жидкости; и=иШ - скорость погружения тела; М- масса тела; пх,пг < ~ проекции единичного вектора внешней нормали ( касательной ) к 7 на оси Ох, Ог; С= С<хД)- возвышение 7 над плоскостью г=0.

В процессе погружения гаяа в жидкость происходит отрыв свободной поверхности жидкости от нижней поверхности тела. Условие отрыва совпадает с условием отрыва пограничного слоя от твердого

тела и берется в виде, указанном Л. Прандглем

Зт Зту

-ъ + -* =0 ( 9 )

дх дг на а В

Итак, исследуемая в диссертации модель падания тел в жидкость описывается системой уравнений (1 )-{ 9 >.

В §2 дан краткий исторический обзор методов решения различных моделей падения тел в жидкость, приводится обзор работ, посвященных применению метода пограничного слоя для решения уравнений в частных производных, и конечно-разностной реализации уравнений Навье-Стокса, описывающих движение вязкой сжимаемой жидкости.

В §3 делается вывод о невозможности конечно-разностной реализации модели, предложенной в §1, начиная с начального момента времени, в силу несогласованности начальных ( 4 ) и граничных условий на теле ( з ) при t= 0 (и^О) и невозможностью конечно-разностными методами описать разрывные функции. Решение задачи разбивается на два этапа: на первом — задача решается на временах 0< 1; < О методом пограничного слоя; на втором ( для времен — методом конечных разностей.

Глава % посвящена решению методом пограничного слоя ( на временах 0< г <1; ) предложенной модели падения тела в жидкость. Глава состоит из шести параграфов < §§ 4-9). В первых пяти параг-

рафах методом пограничного сдоя решаются модельные задачи, описывающие движение вязкой сжимаемой жидкости при наличии твердых тел, полностью или частично в нее погруженных. Результаты решения этих задач используются в §8 при решении методом пограничного слоя задачи ( 1 >-( 9 ).

В $4 строится асимптотика решения задачи о движении тела с гладкой границей, полностью погруженного в безграничную вязкую жидкость.

В пункте 1 приводится математическая постановка задачи. Изотермическое движение баротропной вязкой жидкости, в безразмерных переменных в Gxz описывается уравнением неразрывности

_,зп а п а п , a v a v

Mch Г- + v - + v - | + —* + -в= 0 ( 10 )

1з t х ах z a z J ax a z

уравнением состояния

р= D0p ; р= р%(ехр(ПЖ0>-1> (Mch^O); р= П (Mch=0) ( 11 ) и уравнениями Навье-Стокса

a v - -11,-1

-+ < V, v)V = -vn+F + - - J&V + - v(div V> I ( 12 )

at Re 3 J

Тело может, в отличие от ( 6 ), двигаться в любом направлении и

вращаться. Условия "прилипания" на теле имеют вид

y cos ы + v cos ы = u cos с* + u cos ос ; на ав < 13 )

л X В S л X Z Ъ

v sin ot - vr sin ot = u sin ot - u sin et : на ав

X X u £ X X Z Z

Уравнения движения тела в безразмерной форме примут вид а» 1 г d w 1 г

—х= Ф + - К dl ; —2= Ф + - К <31 ; { 14 )

dt х Mnix d t й MnJz

Up Г

а (о 1

=J Я <КА>~ < W )dl+ J (rA- ГА •

8t J J1 x s г * * * J ,

Op О g

V V 05 rs V V ш гх V V V V 0 при t = 0 ;

2 0 7 2 _ cos ol 8 V д V

К = cos ot <-p + - —x--div v >+ -* (— x + — z);

x x Re 0 x 3 Re Re д z д x

2 д 7 2 _ cos с£ 3 v 0 v„

К = cos d <-p + - —55--div v )+ -* <— x + — a);

2 z Re 0 z 3 Re Re 0 z 0 x

Условия на бесконечности и начальные условия получаются из < 4 ),

( 5 }. переходом к безразмерным переменным. Все величины, входящие

в ( 10 )-( 14 ), — безразмерны; Re.Mch- числа Вэйнольдса и Маха;

П - функция давления; F=(I fF )- вектор динамической составляющей

X

внешних массовых сил, действующих на жидкость и отнесенных к единице массы; D0= const - безразмерный квадрат скорости звука в жидкости; Г- граница тела; U=< ц^, ua)- вектор скорости точек границы тела (Г); ш- угловая скорость вращения тела вокруг его центра масс; W =(«x,w2)~ вектор скорости центра масс тела; R= (rx,rz) - радиус вектор, имеющий начало в центре масс; MQ- обезразмерен-ная масса тела; Ф= <Ф ,Ф )- вектор результирующей внешних сил,

x z _

действующих на тело; S- площадь движущегося в жидкости тела; Т= =(Тх,Та)~ вектор внешних поверхностных сил, действующих на тело и отнесенных к единице длины Г; JQ- обезразмэренный момент инерции тела относительно центра масс.

Таким образом, возникает задача о построении асимптотики решения задачи ( 4 ),( 5 ),( 10 )-< 14 ) при Re .

В пункте 2 строятся функции первого итерационного процесса — функции аналитические по малому параметру е ( е= 1/ -/Re ), т.е. разлагающиеся в ряда Тейлора по е и удовлетворяющие всем уравнениям с любой степенью точности

yd) s (vmf vci)} . a(x,z,t) ; ( 15 )

v¿1)= J é b. <x,z,t) ; p(1)= У el p. (x.z.t) ;

t=o i=o

nc1)=f el E^z.t) ; ü(1>=(4Í1>, uj1)> ; W(1)=<w¿1), wj1>) ;

¿ -q ^ x z x 2

pCi)= | el p.<x,z,t) ; ü)(1)<t)= | e'e. <t) ; w¿1)(t)=| el c.(t) ;

isO i-O i = 0

el d(t) ; u«»(t)=J el d(t) ; u^1)<t>=f e' ct<t) ;

i-o i=o t=o

и^Чх.гД) = w(1) - u)(1) г ; u(1 '{x.z.t)^ w(1} + ы(1} г ;

x X Z Z Z x

Главные члены разложений ( 15 ) определяются из уравнений Эйлера идеальной жидкости. Удовлетворить оба условия ( 13 > на теле не удается, поэтому в пункте 3 вводятся функции пограничного слоя V(2),n{2),UC2),p£2),pí2),Wt2),(i)í2), устраняющие невязки в выполнении граничных условий на теле и убывающие внутрь области.

Г = FC1) + FC2) ; Г = { V, П, р. р, U, W, (0 | ; < 16 )

Для описания функций пограничного слоя вводится ортогональная система координат О,уф, жестко связанная с Г. Функции пограничного слоя ищутся в виде

V(2)=<vC2\v<2>); u(2>=<u(2\u(2)); W(2>=<wl2>,w(2>>; { 17 )

у ф x Z x z

р(2)= | 81р0(3,ф,г): рсг>= у е1 <¿(s,ф,а>; ПС2)= J е1 ^(а,ф,«с)

i=V»3 i=W i=V4D

vf>= 5 е4Ь<в.ф,г); ví2)= f а^в.фл): u(2)(t)= f e1 LCc); uí2,= J el u(2>= w£2>- ш£2> r ; u£2>= w£2>+ ш£2> г ;

z ísviío 1 xx Z Z Z x

где N,N1-N10= const; s,t - растянутые переменные s=y/ek1; Проводя выбор параметров растяжения пограничного слоя < чисел к и

^), исходя из требований разрешимости возникающих уравнений пограничного сдоя и ликвидации невязок в выполнении условий ( 13 ), получим возможные варианты растяжения пограничного слоя: 1 > к= О ; 1 ; 1 ; Ы2= О ; Н3= Н5= 1 ; ( 18 )

N = N = N = N = N=1"

6 7 8 9 10 *

2) Множество вариантов растяжения, удовлетворяющих неравенствам: к > 2 ; к,= к/2+1 ; й2= к ; М.,= 1+1.5 к ; 1*3= Яд= И5= 2 к ( 19 )

М6= Н8= Н10= к+ 2- к1+ Н2; При любом выборе параметров растяжения, удовлетворяющих ( 19 ), получаются одинаковые уравнения пограничного слоя ( пункт 3.1 ), эквивалентность которых доказывается в пункте 4.

3) к= 2 ; к, = 2 ; К, = 4- ; И3= Н5= 4 ; = 2 ; ( 20 )

V V V V 4 •

Случай ( 20 ) вьщелен из ( 19 ), потому что в этом случае получаются отличные от случая ( 19 ) уравнения пограничного слоя.

Параметры растяжения, задаваемые формулами ( 18 )-( 20 ), определяют различные представления асимптотики решения задачи. Эквивалентность этих представлений в случаях ( 19 ) и < 20 ) на малых временах доказывается в пункте 4.

В пункте 3.1 строятся асимптотические разложения решения в случае ( 19 ) для к1=3; к=4; N,=7; N^4; Я3=Г^=К5=8; N^=N^N^N,^7. В главном приближении уравнения пограничного слоя принимают вид

о 1 д - а х з а зе з аз эф

д\ . 1 + ! ¿«4 1 (21 >

Р« а а2 ' а 1 РДзаз2 я ля ал ;

_ , д ря зро . ag.au.

мсй2 Г 8 + Вл —- I 1 + — + —- = а

»•ач 4 а ф |у=1=1/ аф аз

n

V 2 Р,ра £ П^1/^ к!); Ю0Ыз (Мсь/О); = Р8рж (Мсй=0)

Граничные условия на теле следующие

где Ь° = bQcos су- a0cos oiz; d° = dQcos оtx + cQcos <*в;

e° = e7 cos ct + cos уравнения движения тела и уравнение моментов имеют вид d в_ 1 г й-9,

( 23)

и 1 г <1 1 г

■7= - I К, (11 ; —7= - К_ (И ;

_ ; м_, л 1 d х -1 *

и р Р

71 (ГА- ГА) ^ • V V V- »7= 67- Ь •

о г

, 4 в в у г в уг а а у з^ву,

К.=С03 о! I-------- — +С03 Ы. I -- —Ь -- —

1 х13йз вх Звз г1эзаг0з3х-'

г 4 а в? я у г а )1? а у . а^ву,

К_5С03 Л |--^----* — 1+СОЕ -± -4- -± — |

^ 21 з а з а г завах-1 агавах'

где = в4соз с1е ; г вдсоз с*х ;

Задача ( 21 )-( 23 ) решается с нулевыми начальными условиями и условиями убывания на бесконечности. Главные члены погранслойных поправок к касательной и нормальной составляющим вектора скорости выражаются формулами Пуассона.

Таким образом, основное отличив представлений пограничного слоя при растяжении времени заключается в том, что погранслойные поправки к нормальной компоненте вектора скорости < функции давления ) определяются из уравнения движения в проекции на нормаль к Г ( уравнения неразрывности ); при к= 0 ~ наоборот. Пограничные слои при Н^ О — линейны, в отличие от нелинейных пограничных слоев Прандгля.

В пунктах 3.2 и 3.3 исследованы случаи к.,=к= 2 и к, =1; к=0.

В пункте 4 доказывается эквивалентность представлений асимптотики с параметрами ( 18 ),( 19 ).

В §§5-7, обобщая методику §4 на случай двух пространственных переменных, строятся асимптотики решений в случае: 1) движения твердого тела прямоугольной формы, полностью погруженного в вязкую сжимаемую жидкость; 2) вязкой жидкости со свободной поверхностью; 3) движения частично погруженного в жидкость тела.

В §8 строятся и исследуются модели, описывающие плоское движение вязкой сжимаемой жидкости при разрыве в начальных условиях задачи. Вязкая баротрапная жидкость в отсутствие внешних сил занимает все пространство. В начальный момент времени заданы поля воз-мущэний безразмерных скоростей и плотностей, которые терпят разрыв на поверхности Г0, делящей всю жидкость на области Б0, й0

О в области <30

V =

, Р = в области й0

0 в ^

г = О ( 24 )

. Р°>0 В ^

Математическая постановка-задачи совпадает с постановкой задачи о движении двух вязких несмешивающихся жидкостей, связанных условиями "сопряжения" на линии их контакта. В диссертации анализируются возможные варианты "сопряжения" решений на линии контакта жидкостей.

В пункте 1 дается обобщенная формулировка задачи, из которой, используя теорему Гаусса, выводятся уравнения Навье-Стокса, уравнение неразрывности и набор возможных граничных условий на Г^.. Отметим три качественно различных модели, описывающих разные течения вязкой жидкости, формальная возможность существования которых следует из полученных условий "сопряжения" на Г,.: 1) модель, описывающая течения, в которых начальные скачки уплот-

нения за счет сил диссипации исчезают при ЪО, и течения становятся непрерывными.

2) модель, описывающая течения, в которых возмущения в вязкой сжимаемой жидкости распространяются с конечной скоростью перемещения скачка уплотнения.

3) модель, описывающая течения, в которых начальный скачок уплотнения может сохраняться при г>0 и распространяться внутрь жидкости. Течение вязкой сжимаемой жидкости в этом случае может быть разрывным.

В пунктах 2,3, используя методику §4, строятся асимптотики решения задачи о движении вязкой жидкости, вызванном начальными данными ( 24 ), с граничными условиями на Г^, соответствующими сохранению начального скачка уплотнения при г> 0.

В пункте 4 рассмотрен пример наличия скачка уплотнения в вязкой жидкости ( разрывы терпят вектор скорости, плотность и давление в жидкости ).

В пункте 5 строятся асимптотические разложения решения задачи о непрерывном течении вязкой жидкости, вызванном условиями ( 24 }.

В §9, используя асимптотики, построенные в §§ 4-8, строится асимптотика решения задачи ( 1 >-{ 9 >.

В третьей главе приводится численная реализация рассматриваемой модели падения тела в жидкость. Исследуется процесс проникания тела в жидкость до отрыва свободной поверхности жидкости от нижней поверхности тела. Задача решается методом конечных разностей (МКР), проводится анализ подученных результатов. Используя построенные во второй главе ( §9 ) асимптотики, выводятся новые начальные условия ( в момент времени 1;= Х^ О ) для МКР.

В §10 используются известные преобразования координат, дающие возможность проводить счет задачи методом конечных разностей

на равномерной, не зависящей от времени, разностной сетке.

В §11 приводится численная схема МКР. Для решения задачи используется неразнесенная разностная сетка. Переходя в < 1 )-( 3 ), ( 5 )-( 9 ) к новым переменным и заменяя производные разностными соотношениями со вторым горядаом аппроксимации пространственных производных и первым — производных по времени, получим конечно-разностный аналог задачи.

При построении разностной схемы используются идеи метода расщепления: получающаяся система разностных уравнений расщепляется на три подсистемы ( для определения функций р, vx, vz ), которые решаются независимо друг от друга. Для расщепления системы разностных уравнений в разностных уравнениях движения значения плотности р и вязкостные члены, содержащие вторые смешанные производные, берутся с предыдущего k-ого временного слоя; в разностных уравнениях движения в проекциях на ось Oz все остальные функции берутся на (к+1 )-ом слое по времени; в уравнениях движения в проекциях на ось Ох — функция vz берется с k-го слоя по времени. Уравнение неразрывности аппроксимируется по неявной схеме МКР. Во втором условии ( 7 ) на свободной поверхности жидкости значения тх берутся на (к+1)-ом слое по времени, va— на к-ом слое, в первом условии — функции vx,vz — на (к+1)-ом слое, р — на к-ом. Условия ( 8 ) расписываются по явной схеме МКР.

В §12 показывается, что построенная разностная схема аппроксимирует исходную задачу с порядком О (At + (Ах)2 + (Az)2) ( Ах, Az- шаги сетки по пространственным координатам; At- по времени ). Доказывается условная устойчивость разностной схемы в случае "замороженных" коэффициентов, приводятся условия устойчивости, полученные с использованием спектрального критерия устойчивости разностных схем Неймана, принципа Куранта-Фридрихса-Леви и принципа

"замороженных" коэффициентов.

В §13 рассмотрено два модельных примера, на которых тестировалась предложенная разностная схема.

В §14 проводится анализ результатов решения задачи МКР. В таблицах для некоторых наборов входных данных приведены значения продолжительности первой стадии процесса погружения тел в жидкость, заканчивающейся отрывом свободной поверхности жидкости от нижней поверхности тела, значения гидродинамической силы и её максимума, значения скоростей частиц падкости и ее плотности вблизи проникающего тела; скорости и глубины погружения тела. Сделаны вывода о зависимости 1) гидродинамической силы от входных данных задачи; 2) возвышения свободной поверхности жидкости в фиксированный момент времени от пространственной координаты; 3) скорости погружения тела и глубины погружения от времени; 4) характера течения от вязкости щцкости и ее сжимаемости и др. Полученные результаты находятся в соответствии с результатами натурных наблюдений. Сделанные выводы прошшэстрированны графиками.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты, выносимые на защиту, состоят в следующем 1. Предложена модификация метода пограничного слоя для гостроения асимптотик решений задач о движении вязкой сжимаемой жидкости в случае движения тел произвольной формы в жидкости со свободной поверхностью и при наличии волн уплотнения. Предложенная модификация заключается в растяжении в пограничном слое наряду с пространственными и временной координаты. При помощи этой методики впервые найдены асимптотические разложения решений задач о движении вязкой жидкости со свободной поверхностью при произвольных на-

грузках на ней и движении частично погруженного в вязкую жидкость тела. Разработан, отличный от известных, метод построения углового пограничного слоя вблизи угловых точек тела, погруженного в вязкую жадность.

2. Исследуются возможные модели, описывающие движение вязкой сжимаемой жидкости при разрывных начальных данных, получен набор возможных граничных условий на фронтах уплотнения в вязкой сжимаемой жидкости.

3. Предложена модель, описывающая процесс падения тел в жидкость, и конечно-разностная реализация этой модели. Исследована

в случае "замороженных" коэффициентов устойчивость предложенной разностной схемы. Для тестирования разностной схемы проведены модельные расчета. Определены максимум гидродинамических нагрузок, действующих на тело со стороны жидкости, характер изменения скорости тела и глубины его погружения в жидкость с течением времени. На основе полученных численных результатов сделаны физические выводы, которые согласуются с результатами натурных наблюдений и объясняют, в частности, замедление движения и возможное возвратное движение гвдробубв на начальном этапе проникания их в жидкость в случае некоторых входных данных.

Список работ, опубликованных по теме диссертации.

1. Потетюнко Э.Н., Срубщик Л.е.. Усов А.Б. Асимптотика решения плоской задачи о движении тела в жидкости. Ростов-на-Дону. 1990. 52с. Деп. в ВИНИТИ 09.04.93. Ш08-В93 Дэп.

2. Потетюнко Э.Н., Усов А.Б. Пограничный слой на свободной поверхности вязкой сжимаемой жидкости. Ростов-на-Дону. 1994.

32с. Дэп. в ВИНИТИ 09.02.94. К352-В94 Дэп.

3. Потетюнко Э.Н., Усов А.Б. Асимптотика решения плоской задачи о движении тела в сжимаемой жидкости. Ростов-на-Дону. 1894. 36с. Дэп. в ВИНИТИ 20.04.94. N942-B94 Дэп.

4. Потетюнко Э.Н., Усов А.Б. Пограничный слой в жидкости при разрыве в начальных условиях задачи. Ростов-на-Дону. 1994. 24с. Дэп. в ВИНИТИ 20.04.94. N943-B94 Деп.

5. Потетюнко Э.Н., Усов А.Б. Движение частично погруженного в жидкость тела. Ростов-на-Дону. 1994. 54с. Дэп. в ВИНИТИ 20.04.94. N944-B94 Деп.

6. Потетюнко Э.Н., Усов А.Б. Численный расчет удара и пос-лэдуюшэго проникания тел в сжимаемую вязкую жидкость//йзв. вузов. Северокавк. регион. Естеств. науки. 1997. N1. С.46-52.

7. Усов А.Б. Асимптотика течений жидкости со свободной го-верхностыо//ШТФ. 1996. т.37. N1. С.48-58.

8. Усов А.Б. Численный расчет движения тела прямоугольной формы в вязкой сжимаемой жидкости. Ростов-на-Дону. 1996. 25с. Дэп. в ВИНИТИ 28.05.98. N1733-B96 Деп.

9. Усов А.Б. Асимптотика решения плоской задачи о движении тела в вязкой вддкости/УСоврэменные проблемы механики сплошной среда. Труда II Мэадунар. конф. Ростов-на-Дону. 19-20.09.96. МП "Книга", т.2. С. 169-174.

10. Усов А.Б. Двишенш частично погруженного в жидкость тела //Современные яроблвмы механики сплошной среда. Труда III Между-нар. конф. Ростов-на-Дону. 7-9.10.97. МП "Книга", т.2. С.164-168.

11. Усов А.Б. Угловой пограничный слой вблизи точки пересечения свободной поверхности жидкости и тела//Изв. вузов. Северокавк. регион. Естеств. науки. 1997. N4. С.30-33.