автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование торможения однонаправленного потока невязкой сжимаемой жидкости в трубопроводе при его перекрытии

На правах рукописи

ПАЛИШКИН ДМИТРИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТОРМОЖЕНИЯ ОДНОНАПРАВЛЕННОГО ПОТОКА НЕВЯЗКОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБОПРОВОДЕ ПРИ ЕГО ПЕРЕКРЫТИИ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Воронеж-2010

004607446

Работа выполнена на кафедре информационных и управляющих систем в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Воронежская государственная технологическая академия»

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Дободейч Иван Александрович

доктор технических наук, профессор Ефимочкин Александр Фролович, ОАО «КБ Химавтоматики»

Ведущая организация:

доктор технических наук, профессор Попов Виктор Михайлович, Воронежская государственная лесотехническая академия

ГОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

Защита состоится « 22 » апреля 2010 г. в 13— часов на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 212.035.02 при ГОУ ВПО ВГТА по адресу: 394036, г. Воронеж, проспект Революции, 19, конференц-зал.

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах), заверенные гербовой печатью учреждения, направлять в адрес совета академии.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО ВГТА.

Автореферат размещён на официальном сайте ГОУ ВПО ВГТА www.vgta.vrn.ru « 19 » марта 2010 г.

Автореферат разослан « 19 » марта 2010 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

к.т.н, доцент И.А. Хаустов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Практика эксплуатации пневмогидравлических систем (ПГС) показывает, что гидравлические удары, возникающие при закрытии исполнительных устройств, выключении нагнетательных установок, являются причиной возникновения динамических нагрузок в системе, которые могут привести к авариям с тяжёлыми последствиями. Возможная разгерметизация особенно вредна для ПГС с токсичными, взрывоопасными жидкостями и газами, например, для химических производств и холодильных систем. Обеспечение запаса прочности ПГС введением в её состав средств гашения гидравлического удара увеличивает стоимость ПГС и ухудшает её массо-габаритные характеристики. При разработке ПГС и исследовании режимов их работы требуется как можно точнее оценивать величину давления в жидкости, расход жидкости и временную характеристику изменения эффективного проходного сечения продуктопровода.

Модели гидроудара разрабатывались Н.Е. Жуковским, М.А. Мостко-вым, И.А. Чарным, H.A. Картвелишвили, H.H. Кочиной, М.Т. Гладышевым, JI. Аллиеви, JI. Бержероном, А. Бергантом и другими, но каждая из них содержит ряд допущений. Линейная теория представляет разработанный аппарат для решения уравнений модели, но не учитывает конвективные члены уравнений неразрывности и движения. При отказе от общности краевых условий ряду авторов удалось решить задачу в нелинейной постановке. Ими получены автомодельные решения уравнений неразрывности и Эйлера, применимые для конкретных краевых условий. Несмотря на значительные достижения в изучении гидроудара, последние продолжают периодически повторяться с тяжёлыми последствиями. За последнее время крупнейшей оказалась авария на Саяно-Шушенской ГЭС 17 августа 2009 г. По данным ВНПО «Радуга», в год на водопроводных сетях происходит около 75 тысяч прорывов и иных аварий, что сопровождается потерями тепла и воды в объёме до 10-20 %. Обнаружение разрыва и восстановление трубопровода, находящегося под землёй, занимает в среднем 5-7 суток. На нефтеперерабатывающих предприятиях наиболее подвержены гидроударам установки налива жидких продуктов, точность дозирования которых зависит от времени закрытия отсечного клапана. Привлекательным способом нахождения компромисса между минимизацией приращения давления и быстродействием системы представляется выбор временной характеристики перекрытия проходного сечения трубопровода, но он требует уточнения её роли в неустановившихся процессах в потоке сжимаемой жидкости. В этой связи инструментом проектирования и диагностики ПГС становится математическое моделирование, а уточнение математических моделей нестационарных процессов в них представляется актуальным.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с планом госбюджетных научно-исследовательских работ ГОУ ВПО ВГТА по теме «Разработ-

ка и совершенствование математических моделей, алгоритмов регулирования, средств и систем автоматического управления технологическими процессами» (№ г.р. 01.960.007315).

Цель работы - разработка математической модели торможения однонаправленного потока невязкой сжимаемой жидкости в наклонном трубопроводе и её исследование при различном характере перекрытия проходного сечения трубопровода для прогнозирования изменения давления и скорости в потоке.

В соответствии с поставленной целью пришлось решать следующие задачи исследования:

- разработка математической модели торможения однонаправленного потока невязкой сжимаемой жидкости в наклонном трубопроводе с учётом различного характера перекрытия его проходного сечения во времени;

- поиск новых точных решений системы нелинейных уравнений нестационарного течения невязкой сжимаемой жидкости в трубопроводе;

- - выбор рационального метода численного решения задачи торможения однонаправленного потока по результатам тестирования с помощью точных решений;

- разработка алгоритма и программы численного получения временной характеристики перекрытия проходного сечения трубопровода при заданных ограничениях на время, скорость перекрытия и максимальное приращение давления в трубопроводе;

- нахождение временной характеристики перекрытия проходного сечения трубопровода, обеспечивающей минимальное время закрытия сечения при ограничении на приращение давления.

Методы исследования. В работе использованы методы гидродинамики, теории дифференциальных уравнений в частных производных и вычислительной математики, математического моделирования с использованием инструментальных средств интегрированных программных систем, методы измерения давления.

Научная новизна.

1. Математическая модель торможения однонаправленного потока невязкой сжимаемой жидкости в трубопроводе с учётом конвективных членов уравнений, наклона трубопровода и различных временных характеристик перекрытия его проходного сечения.

2. Новые семейства точных решений системы нелинейных уравнений в частных производных, описывающих однонаправленное нестационарное течение невязкой сжимаемой жидкости.

3. Зависимость приращения давления во времени при гидроударе, учитывающая характер перекрытия проходного сечения трубопровода и указывающая в случае предельного гидроудара большие приращения давления, чем известные.

4. Алгоритм и программа нахождения временной характеристики пе-

рекрытия проходного сечения трубопровода при заданных ограничениях на время, скорость перекрытия и на максимальное приращение давления в трубопроводе.

Теоретическая и практическая значимость. Предложенная математическая модель позволяет более точно описывать процесс торможения сжимаемой жидкости в трубопроводе во время перекрытия его проходного сечения по сравнению с известными, учитывая конвективные члены уравнений гидродинамики и временную характеристику перекрытия трубопровода. Модель позволяет оценивать предельные значения приращения давления и их связь с временными характеристиками перекрытия трубопровода.

Результаты могут быть использованы при моделировании переходных процессов в различных ПГС, содержащих трубопровод с исполнительным устройством (ИУ) клапанного типа на торце, с целью уточнения методик расчёта давления и скорости в нестационарном потоке сжимаемой жидкости; с целью выбора рациональных временных характеристик перекрытия трубопровода, способствующих снижению максимального давления при гидроударе; для возможной оценки требуемого запаса прочности элементов конструкции ПГС.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных конференциях и семинарах в Воронежской государственной технологической академии (2006 - 2008 гг.), воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XX» (г. Воронеж, 2009 г.), Российской научно-технической конференции «Компьютерные технологии автоматизированного проектирования систем машиностроения и аэрокосмической техники» (г. Воронеж, 2008 г.), VII международной научной конференции «Авиация и космонавтика - 2008» (г. Москва, 2008 г.), международных научных конференциях «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-20» (г. Ярославль, 2007 г.) и «ММТТ-21» (г. Саратов, 2008 г.), II и III международных научных конференциях «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, 2007 и 2009 гг.).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 12 печатных работ, в том числе 4 статьи в издании, рекомендованном ВАК РФ.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, выводов, списка литературы и приложений. Материал диссертации изложен на 148 страницах основного текста и 14 страницах приложения, содержит 51 рисунок и 5 таблиц. Библиография включает 138 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновываются актуальность темы диссертационной работы, формулируются цель и задачи исследования, научная новизна, теоретическая и практическая значимость полученных результатов, излагается краткое содержание по главам.

В первой главе проводится анализ работ различных авторов, рассматривающих математическое моделирование нестационарного движения сжимаемой жидкости в трубопроводах. Отмечены возможные области и условия применения различных математических моделей, а также способы решения поставленных задач. Обсуждаются возможные краевые условия, принимаемые при разработке математических моделей торможения сжимаемой жидкости. На основе проведённого анализа научной и технической литературы подтверждена актуальность темы исследования.

Во второй главе аналитически исследуется математическая модель торможения потока невязкой сжимаемой жидкости (НСЖ) на базе нелинеари-зованной системы уравнений неразрывности и Эйлера. Используется её изо-энтропическая модификация для однонаправленного течения НСЖ в цилиндрическом трубопроводе с абсолютно жёсткими непроницаемыми стенками, расположенном под углом в к горизонту,

где /" - время; <р - угловая координата; р - давление в НСЖ; g - ускорение свободного падения; Я, а, р0 - масштабы линейных координат, скорости и плотности. г,г,р - размерные продольная, радиальная координаты и плотность. Объёмные силы представлены только силами гравитации. Искомые величины р, Р, М однозначно определяются системой уравнений (1), несмотря на её кажущуюся переопределённость[1].

Системе (1) удовлетворяют следующие выражения для плотности, давления и система двух уравнений'11:

Дободейч И.А., Барметов Ю.П. Решения уравнений движения невязкой сжимаемой жидкости в трубопроводе // Дифф. уравнения. - 2006. - Т. 42, № 5. - С. 703 - 706.

(О

— = В0рсо5^; — = -В0р&\п<р, дг гд<р

для безразмерных переменных

(2)

Р-Рй ехр

/>=р0(г,р)-ехр[ф(г,г-)} (3) ("ам дМ ,2дФ п

j % --hM--Yb -= i>;

P»\r, (p) = Аю exp(S0r cos «9 / ¿2) 5r & dz

(4) ^ + =

3r & dz

где poa,b = const, f{r) - произвольная функция, находящаяся из краевых условий конкретной задачи.

Система (5) при Ь*- О является гиперболической и имеет две звуковые

характеристики — = М±Ь, определяющие b как постоянную скорость звука. dr

В частном случае при ЬФ = ±{М-Вт) выражения (3)-{4) и система (5) принимают вид:

мМ-вЛ (6) яи я.,

^ + {М±Ъ)д^В, (8)

p=/(r)+z>V; &

Рассмотрим изменение параметров НСЖ в трубопроводе, перекрываемом за сечением z = 0 . Направления скорости и отсчёта z противоположны, для чего принято М > 0; z < 0. Скорость, плотность и давление НСЖ вдоль трубопровода в начальный момент заданы. Например, при 5 = 0:

p(z,T = 0 ,r = 0)al; P(z,0,0) = Рсо; M(z,0)s Л/00. (9)

При этом M(z, т) = Мм при z < (М00 ± б)г.

Для подвижной границы раздела установившегося и неустановившегося движения НСЖ z,

M(z.,t) = A/(z,0), z. = |(M0-^r, (10)

P(z„r,r) = P(z,0,r); f 0 ^ 1 ;

где A - относительная скорость звука. Для неподвижной границы (z = 0)

Gk\rhF\pSk{r),Pc,pc\-, (П)

где Gk(т) — массовый расход через критическое проходное сечение ПГС, Рс,рс - давление и плотность в критическом проходном сечении ПГС, fiSk - эффективная площадь проходного сечения (ЭПС), делённая на площадь сечения трубопровода Sr; р - коэффициент расхода.

Можно указать решение (8) в неявном виде, содержащее произвольную дифференцируемую функцию Н:

z = Qz- + yr2 +Н(а\а = М±Ь-Вт. (12)

Но (12) допускает разрешение относительно М лишь при отдельных видах Н. Для решения же конкретных задач необходимо иметь решения (8) в явном виде. В работе был получен и использован ряд частных решений (8). При Н(п) =гп~ т0П + ^П2

М2(г,т)=~Т + к°^ ТЬ + Вт; И2 =Тг + 4 Аг,2,;

/ л » X 11

/к, (13)

=г-г0 Т-т-т0; к1,т0,г0 =сопз1; к0 =±1; Э2 >0.

При н{а) =г0-т0а+-

п-к2

п ' 2 2 Т (14)

А (г, г) = (*2Г- г, У - 4^7; г * г0. При Н{п) = г0- т0П + к0 ■¡к! + 2к2П + к3Пг

4 ' Т -к3 (15)

В4 =к](т2-к3)+к2(к2 +2г1т)+к1г2- г^Го+дД".

При Н{а) = к10.3 + к20.2 — г0П + г0 решение определяется как вещественный корень кубического уравнения

^а.3 + к2п2 + т-г1= 0; а = м±ъ-вт. (16)

Конкретный вид функции Г в граничном условии (11) определяется конструкцией ИУ, свойствами и режимом истечения НСЖ. В частности, было рассмотрено граничное условие для сечения г = 0, полученное по закону сохранения массы НСЖ между ним и критическим проходным сечением трубопровода

лИ^-Ми--3^ (17)

Кг>т ат р00Ьта

при следующих допущениях.

1. Исполнительное устройство имеет полость объёмом ¥с, заполненную НСЖ с плотностью рс под давлением Рс.

2. Предполагается Рс(т)~ Р(0,т,0).

3. Если НСЖ газообразна, то в полости Ус давление и плотность связаны по адиабате Пуассона с показателем к:

(р/р01=(Р/Ра)с-

Если принять рСй = 1, обозначив рсо = рс|г=о, Рсо = Рс, то Рсо = \/к .

4. Перепад давления на ИУ предполагается сверхкритическим, т.е. использовалась известная формула:

та \ рс

рсБти

где Д - критическое отношение давлений Рвн I Рс, определяемое для адиабатического истечения по формуле Сен-Венана; Рвн - давление во внешней среде. Из (3), (4) и (17) следует

к от

f р

гс

у Рсо J

-^^2(1 -рк)Р^Рс1к, 0 = /(z,T,B), (18)

5. Если трубопровод горизонтальный (В = 0) и ЬФ = ±М, то из (6), (7) и (9) получается /?00 =ехр(Л/00 lb), /(т)=РС0 -b2 = const, и соответственно:

Р = ехр(±Л/"//°°) Р = РС0 + 62(р-1) (19)

Принимая в (19) знак «-» в выражении р, из (18) следует

+ (20) к дт рйт

где обозначено Ai0r = Лф, г), р0г = р(0, г,0), P0r s р(о, т,0), j = Fc /(&Sy )

Начальное условие для (20) определяется так:

Mm=MSt\rj2PC0(l~/3k).

В допущении наличия полости и докритического истечения через ИУ выводится аналогичное условие для капельной сжимаемой жидкости:

А = (21)

дт V Рот

а при ЬФ = ±М

А + . (22)

Имеющихся констант в выражениях (13)—(16) достаточно, чтобы удовлетворить краевым условиям (20) либо (22). При неполной информации о виде временной характеристики (известно от 3 до 5 точек) константы подлежат определению из системы уравнений вида М(0, ) = М,-, получаемой из граничного условия в фиксированные моменты времени. При большем числе известных точек константы находились минимизацией среднеквадратичного

N

отклонения £ [м(о, )- М{ ]2 .

Решения (13)—(15) позволяют описать участки кривой Л/(0, г) без перегибов, решение (16) - с перегибами. Согласно расчётам, применение точных решений ограничено условием гладкости \дМ()т /дт\-тк < 10"', где тк -

время полного перекрытия сечения трубопровода. Для решений (13)—(16) в работе удалось аналитически выразить по три константы через заданные значения г, и м(0,г;) при В = 0, остальные находились численным решением системы уравнений.

На рис. 1-2 представлены результаты моделирования гидроудара на базе решений (15), (16). На рис. 2 результаты расчётов давления по (15), (16) с условием (20) сопоставлены с расчётами по модели, полученной без учёта нелинейности исходных уравнений и в обозначениях (20) принимающей вид Мл^,т)=¥{г + Ът\ Рл{г,т) = РС0+Ь(Мт-Мл), (23)

где у/ - произвольная функция аргумента (г + Ьт).

Изменению ¿иБк (г), заданному кривой 1 (рис.1), соответствуют кривые 3 (рис.1), 1 и 4 (рис.2), построенные с помощью решения (15). Аналогично /лБк (г) (кривая 2 рис.1) определяет кривые 4 (рис.1), 2 и 5 (рис.2), построенные с помощью решения (16). Для данной М0г(т) также построены Рл(г,г) по (23) - кривые 3 и 5 рис.2.

Параметры модели (8), (18Н20): М00 = 0,1; Ь = 1; к = 1,4; Рсо = 0,714

а = 340 м/с; К = 10~2м; тк =300 =8,82-Ю"3 с);^(0)=0,122 ; рк =0,53 % = 20 . Константы (15) при т<тк равны: г0 =-385,624; г0 = 357,113 к0=1; Л, =1,7256-106; к2 =2,3653-106; к3= 2,1261-Ю6. Константы (15) при т>тк: т0= 100,0; 20 = 269,0; к0=-1; к, = -7,037-105; к2 = -7,005-105; ¿з = —6,881 -105. Граница между двумя решениями в плоскости (г; г) проходит по характеристике 2 = [л/(0, г^-б^г-г^), где М(0, тк) = 0,015 .

Константы (16): к2 =-1,1575-Ю6.

0,10 М(0,т)

т0 = 2,20-106

0,05

_____ I I

V 1 'Л ^

\\ V 3 I

0.0

г0 = —6,9712-105; кх =-8,1243-105;

Рис. 1. Временные характеристики (г) (кривые 1, 2) и соответствующие им скорости (кривые

3,4).

0,6

1,0

1,15

1,10

1,05

1,00

2 / 1 / ........./........ у ...... V/ г.......

/ / / / / ..........ТГГ !

/ / у z' / / / //

_ . ,. —L —,_ _ I , 4 ■ - i- ■ -Y-

Рис. 2. Нормированное давление Р(г, г,О)/ Рсо в сечениях г = 0 (кривые 1-3) и 2 - -тк / 2 (кривые 4-6).

о,о

0,5

1,0

1,5

2,0

Я

Помимо характерного укручения фронта первичной волны давления (ПВД) на графиках наблюдается расхождение оценок амплитуды ПВД по моделям (8), (18)—(20) и (23), составляющее 5,2 % и согласно (19) растущее вместе с М00. Координата переднего фронта ПВД z, = (Мт - b)r удовлетворяет (10) при А = Ь.

Из (19) следует полученная ранее[,] формула для приращения давления при торможении потока НСЖ с начальной скоростью wm

Ар = р00а2 (e^-l), (24)

что позволяет дать верхнюю оценку Ар с большим запасом, чем по известной формуле Н.Е. Жуковского Ар = p(Mawm , полученной без учёта конвективных членов (1), не привлекая дополнительных допущений о конструкции ПГС и свойствах НСЖ. Здесь р00,а - плотность НСЖ и скорость звука при г = z = 0 .

Согласно рис. 1, относительная скорость отстает во времени от

pSk{r) на величину, пропорциональную что затягивает рост давления р(0,т,0) до предельного значения на некоторое время после полного закрытия ИУ. Уравнение (20) описывает Р(0, г,0) при различных % и P^i (г) ДО прихода отражённой волны. Кроме того, согласно рис. 2, при выпуклой pSk(r) (кривая 1) Р(о, г,О) возрастает медленнее, чем для pSk(г) с перегибом (кривая 2), описывающей перекрытие проходного сечения трубопровода за тот же период г е [0; т к ].

В третьей главе для описания состояния НСЖ в ПГС «источник жидкости - трубопровод - клапан» после прихода отражённой волны давления предложена математическая модель, отличающаяся возможностью учёта временной характеристики перекрытия проходного сечения трубопровода pSk (г). Модель включает систему (5) с начальными условиями M(z,0)= М00, ф(г,0) = Ф00, где согласно (6) принято Ф00 = -М00 / Ъ. При zT=-LI R (L ~

размерная длина трубопровода) расположен источник постоянного давления: ф(г7.,г)=ф00; при г = 0 принимается условие (18) либо (21), где положено

р = род ехр(ф + Мт / Ъ), Р = Рсо + Ь1 [р -1) (25)

С помощью точных решений (15) был протестирован ряд численных методов решения системы (5). Известны работы, посвященные тестированию подобных методов на уравнении Бюргерса, в отличие от (5) содержащего диссипативные члены. Согласно результатам тестирования (рис. 3-5), отклонение от точного решения и чувствительность к изменению шагов расчётной сетки (при приемлемых затратах времени) будут наименьшими для сеточно-характеристического метода [4, 5] и метода Адамса на центральном шаблоне. Несколько им уступает один из методов Мак-Кормака (кривые 3 рис. 3, 4). На основании критерия Куранта при |М| < Мт рекомендовано условие устойчивости данных методов:

\Аг\>2(мт+Ь)Ат. (26)

Рис. 3. Зависимость нор-

мы отклонения

чис-

•елгт

ленного решения от точного (5) от числа шагов по времени Ыт. Шаги расчётной сетки: Аг = -2; Ат = Ю'2. Кривая 1 рис.3 - схемы на центральном по г шаблоне, методы Лакса-Вендрофа,

Адамса и сеточно-характеристический метод; 2 - схема 4-го порядка аппроксимации по г, 3 - схема Мак-Кормака.

-1,6

-1,8

-2,0

-22

Рис. 4. Зависимость нор-

-2,4.]— - 2,5

2 ■ "V

-2Л

-1,5

-1.0

-0.5

0.0

мы отклонения Ь2 численного решения от точного (5) от величины шага Дг при т = 100, гт - -200. Кривая 1 -схема Адамса и сеточно-характеристический метод; 2 - схема на центральном по г шаблоне;

3 - схема Мак-Кормака;

4 - схема Лакса - Венд-рофа.

Неявные методы на центральном шаблоне с весовыми коэффициентами сг не показали преимуществ в точности перед явными. Константа останова итерационного процесса е, определяющая условие останова

< £ (к - номер итерации), отвечает за сходимость лишь к

Ык)-М<;к-Ч

некоторому приближённому решению и при значениях £<10~4 не влияет на точность. Неявные методы оказались более чувствительны к изменению шагов расчётной сетки, чем явные, при затратах машинного времени, больших до 10 раз.

Рис. 5. Зависимость нормы отклонения Ь2 численного решения от точного (5) от величины шага Аг для неявных

методов при различных значениях весового коэффициента сг.

-1.6

-2.0

-22

-2.4

"2,5

0,7

0.5/

I

/

0.1 0.2

М-Адамса

--а--а---

-2,0

-1,5

-0,5

Ат

Пример рассчитанных переходных процессов по давлению, возникающих в системе «источник движения - трубопровод - клапан» при перекрытии проходного сечения трубопровода, приведён на рис. 6. Исходные данные: М00 =0,1; Ь= 1; ¿ = 1,4; Рсо =1/£ = 0,714; а = 340м/с; Д = 0,02м;

тк = 100 ((к = 6,8 • 10'3 с); Ь = ткЯ; (о) = 0,122 ; /Зк = 0,53; х = 20 . Шаги

расчётной сетки Дг = -2; Дг = 10~2. В расчётах использовался сеточно-характеристический метод.

Рис. 6. Нормированное давление в сечениях х - 0 (кривые 1-2) и 2 = гт / 2 (кривые 3—4). Кривые 1 и 3 построены по нелинейной модели (5), (23), кривые 2 и 4 - по 4 0 5 0 Ут* линейной.

Согласно рис. 6, при отражении первичной волны давления от конца 2Т возникает волна пониженного давления, способная при достаточно мед-

ленном перекрытии (atk >2L) уменьшить предельное приращение давления.

Разработанные модель и комплекс программ позволяют выбрать рациональные временные характеристики закрытия проходного сечения трубопровода fiSk(г), согласно условию тк -> min , ограничениям

р(0,т,0)< Рт1;

ат

<dfiSk

(27)

•г, >0; fiSk (г = 0)= fjSk0', MSk(r>Tk)= 0; t*Sk(r)e [0;//S,M]Vr > 0; PmUd/uS„ = const,

системе (5) и условию (18) или (21). Выбор характеристики по предложенному методу позволяет уменьшить время перекрытия трубопровода до 18 % по сравнению с методикой предшественников. Характеристики, построенные для торможения газообразной НСЖ, представлены на рис. 7. Аналогичный вид имеют характеристики, рассчитываемые для торможения капельной НСЖ. Приращения давления (Pm¡ - Рсо) оказалось удобным задавать относительно максимально возможного, определяемого по (24) как

АР.

- h2(e

maxO и V 0.35-

Моц/Ь

0,30 0.25 0.20 0.15 0,10 0.05

0,50

0,60";

0.70/ : 0.35 i \\\ ¡Ь W

Рис. 7. Временные характеристики перекрытия ЭПС, удовлетворяющие (27), для М00 = 0,3 и различных значений критерия ~ Рсо АР„„. Л

0,0

3.0

1.0 at/

Помимо оптимальных характеристик специального вида представляет интерес влияние формы более распространенных, реально известных семейств характеристик ¿¿>к(т) на максимальное приращение давления. Это позволяет рационально выбирать ИУ среди имеющихся в распоряжении проектировщика ПГС. Так, для выбора конкретной характеристики выпуклого семейства предлагается пользоваться рис. 8. Она позволяет сделать выводы:

- при значениях соотношения «время перекрытия проходного сечения трубопровода ¡к - время пробега ПВД по трубопроводу Ь / а » от 2 до 3 наиболее рациональной в плане (27) в данном семействе представляется линейная временная характеристика;

- при увеличении шк / Ь рациональны более выпуклые характеристики; для выбора конкретных характеристик семейства предлагается пользоваться графиком рис. 8,

- отражённая волна начинает уменьшать предельное приращение давления при а(к/Ь < 2 за счёт полости клапана Ус, затягивающей рост давления.

Параметры модели (5), (18), соответствующие рис. 8: Мм = 0,1; Ь ~ 1; Рсо = 1/к = 0,714; а = 340м/с; (о)= 0,122 ; А =0,53; * = 20.

Рис. 8. Зависимость максимального приращения давления при гидроударе от времени перекрытия трубопровода для выпуклой характеристики pSk(t) при различных значениях параметра pSk(tk /2)/juSk(О). «Opt» - оптимальные характеристики, подобные рис. 7.

Разрушительными последствиями отличаются гидроудары в наклонных потоках воды на гидроэлектростанциях. На рис. 9 приведены расчётные изменения давления в первом полупериоде гидроудара для водовода крупной ГЭС. В отсутствие межфазного взаимодействия и свободных поверхностей механизмы процессов торможения потоков газа и капельной жидкости можно считать одинаковыми, поэтому расчёты проводились по системе (5). При z = 0 использовалось условие (21) для докритического истечения НСЖ.

Исходные данные: Ь = 1; рс0 = 24 атм ; R = 2,0 м; L = 240 м ;

а = 1200 м/с, р0 = 999,8 кг/м3; ik=0,2c; pSk (о) = 0,703 ; % = 1,0. Начальная скорость w00 = 12 м/с соответствует М00 = 0,01, нормированное время закрытия ЭПС Гд.=120; Ра) = рс<) /(р0а2)= 1,69 -10"3. При угле наклона оси потока

в = 75° В = 1,32 • 10~s. Применение модели ограничено условием Р> 0. Как следует из (6), давление в наклонном потоке растёт со временем даже при не

зависящей от времени скорости, увеличивая разрушительное действие гидроудара. Его рост продолжается до прихода отражённой волны.

МПа

Рис. 9. Нормированное давление в сечениях z = О (кривые 1-2) и z = zr/2 (кривые 3—4). Кривые 1 и 3 построены при в= 1,32 10"5, кривые 2 и 4 -при 5 = 0.

В четвёртой главе для проверки адекватности разработанной модели использованы экспериментальные кривые давления у клапана, полученные при исследовании торможения потока воздуха в системе «ёмкость-трубопровод-клапан» под давлением 25 ^ 35 атм. Давление в экспериментах измерялось преобразователями типа КРТ (основная погрешность ± 0,5 %) и регистрировалось ЭВМ с помощью платы цифрового ввода данных LCard L-783 с частотой до 10 кГц.

На рис. 10 представлены теоретические и экспериментальные результаты, полученные при закрытии пневматических клапанов 12эи565б (cly =10 мм ) и Т-220 (dy = 20 мм ). Гладкость экспериментальных кривых позволяет применить полученные аналитические решения для описания переходных процессов. Каждую из экспериментальных кривых P(0,t) оказалось рациональным аппроксимировать с помощью пары решений (15), момент их сшивания roi выбирать как момент перегиба желаемой Pfo,/).

Параметры модели, соответствующие кривой 2 рис. 10: рсо = 26,59 атм; г01= 286,3. Оценки констант (15) при т<тт равны: г0 =-507,338 ; z0 = 324,595; kQ=l; к, =-4,012 -107 ; к2 =-8,331 -107 ; к, =-4,303 -107. Константы в (15) при г01<г<г02: г0 =515,633; z0 = 29,398; к0=-1; к{ =-2,042-Ю6; к, =-4,851-Ю6; къ =-2,805-Ю6. г02 = 429,5. Оценки расхождения результатов: максимальное расхождение 1,51 % относительно Рсо; среднеквадратичное отклонение 0,362 %; расчётное значение критерия Фишера F = 455,9 при табличном значении FT = 2,55.

Согласно рис. 10, расчётные и экспериментальные кривые давления у клапана качественно совпадают при количественном расхождении до 8,0 % (для кривой 1). Причинами расхождения могли стать вязкость воздуха и процессы теплообмена, не учтённые в модели, а также колебательные процессы во внутренних полостях клапана и наведённые помехи в измерительной аппа-

ратуре. Восстановление характеристики (?) с помощью разработанной математической модели (рис. 11) позволяет говорить о возможности решения обратной задачи отыскания /¿^Д?) по экспериментальным осциллограммам

Р(0,?) и известному значению/.

?

1

^ \ У" 1

л /

> \ \

Рис. 10. Расчётные (сплошные) и экспериментальные (пунктир) кривые давления у клапанов 12эи565б (кривые 1, частота опроса 10 кГц) и Т-220 (кривые 2,

АМ

0,1С М(<и)

0.05 0.0

0 А г 2 48 'с ;

уу —_ ^^ Л

: N \

110-эс

Рис. 11. Восстановленные по модели скорость перед клапаном м(0, ?) (кривая 1) и характеристика закрытия ЭПС трубопровода (?) при / = 12 (кривая 2), соответствующие кривой 2 рис. 10.

В приложениях приведены список использованных обозначений и результаты тестирования численных методов решения (5) и (8) с помощью точного решения (15).

Использованные сокращения: ГЭС - гидроэлектрическая станция; ИУ - исполнительное устройство; НСЖ - невязкая сжимаемая жидкость; ПГС - пневмогидравлическая система; ЭВМ - электронно-вычислительная машина; ЭПС - эффективное проходное сечение.

ВЫВОДЫ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана математическая модель торможения однонаправленного потока невязкой сжимаемой жидкости в наклонном трубопроводе, учитывающая характер перекрытия его проходного сечения во времени и нелиней-

ность исходных уравнений.

2. Найдены новые точные решения системы нелинейных уравнений однонаправленного нестационарного течения невязкой сжимаемой жидкости, содержащие до пяти произвольных постоянных, варьированием которых можно удовлетворить широкому классу граничных условий.

3. При тестировании численных методов с помощью найденных точных решений задачи гидроудара выявлено, что отклонение от точного решения и чувствительность к изменению шагов расчётной сетки (при приемлемых затратах времени) будут наименьшими для сеточно-характеристического метода и метода Адамса на центральном шаблоне.

4. При продолжительности перекрытия трубопровода 1к, меньшей удвоенного времени пробега первичной волны давления по нему ( шк IЬ < 2), давление перед концевым сечением трубопровода продолжает повышаться ещё некоторое время после завершения перекрытия. Значения давления, найденные по предложенной модели, превышают результаты, полученные без учёта нелинейностей уравнений, при относительном расхождении не более 12 %.

5. Предложенный алгоритм позволяет находить временную характеристику перекрытия проходного сечения трубопровода при значениях Шк / Ь от 2 до 3, соответствующую ограничениям на время, скорость перекрытия и на максимальное приращение давления в трубопроводе. Найденные характеристики позволяет уменьшить время закрытия до 18 %.

6. Расчёты для заданного семейства выпуклых характеристик перекрытия показали: при значениях шк / Ь от 2 до 3 рациональной в плане минимизации приращения давления является линейная временная характеристика перекрытия. При больших значениях данного отношения предпочтительны более выпуклые характеристики. Предложенная модель позволяет указать временную характеристику перекрытия проходного сечения трубопровода, уменьшающую приращение давления на (7... 12) % при том же времени перекрытия.

7. Расчётные и экспериментальные (на воздухе) изменения давления у запорного устройства при его закрытии совпадают при количественном расхождении не более 8,0 % относительно максимального приращения.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи, опубликованные в издании, определённом ВАК РФ по научной специальности диссертационной работы:

1. Давление в трубопроводе при закрытии клапана с известными особенностями [Текст] / И.А. Дободейч, Ю.П. Барметов, Д.А. Палишкин // Системы управления и информационные технологии. - 2009. - № 3.1 (37). - С. 132- 135.

2. Нелинейная модель гидроудара в невязкой жидкости [Текст] / И.А. Дободейч, Ю.П. Барметов, Д.А. Палишкин // Системы управления и информационные технологии. - 2009. - № 1 (35). - С. 9 - 12.

3. Математические модели возникновения течения сжимаемой жидкости в трубопроводе [Текст] / И.А. Дободейч, Ю.П. Барметов, Д.А. Палишкин, Т.Ч. Колбая // Системы управления и информационные технологии. - 2008. -№ 1.2(31).-С. 221 -225.

4. Сеточно-характеристический метод расчёта нестационарного течения сжимаемой жидкости в потоке переменного сечения [Текст] / Ю.П. Барметов, И.А. Дободейч, Т.Ч. Колбая, Д.А. Палишкин // Системы управления и информационные технологии. - 2007. - № 4 (30). - С. 4 - 8.

Другие публикации: ■ 5. Применение метода характеристик для расчёта течения газа с учётом влияния различных факторов [Текст] / Ю.П. Барметов, И.А. Дободейч, Д.А. Палишкин, Т.Ч. Колбая // Вестник Воронежской государственной технологической академии. - 2009. - № 2 (40). - С. 49 - 52.

6. Об аналитических решениях некоторых задач динамики сжимаемой жидкости [Текст] / И.А. Дободейч, Ю.П. Барметов, Д.А. Палишкин // Вестник Воронежской государственной технологической академии. - 2008. - № 2 (36). -С. 71-74.

7. Развитие течения сжимаемой жидкости при ускоряющемся открытии клапана [Текст] / И.А. Дободейч, Ю.П. Барметов, Т.Ч. Колбая, Д.А. Палишкин // Сб. трудов XXI междунар. научн. конф. «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-21» в 10-и т. Т. 3, секция 3. - Саратов: изд-во СГТУ, 2008.-С. 13-16.

8. Модели изменения давления в трубопроводе в период возникновения течения сжимаемой жидкости [Текст] / Ю.П. Барметов, И.А. Дободейч, Т.Ч. Колбая, Д.А. Палишкин // Сб. трудов XX междунар. научн. конф. «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-20» в 10-и т. Т. 3, секция 3. - Ярославль: изд-во ЯГТУ, 2007. - С. 111 - 114.

9. Математическая модель изменения давления в газонаполненном трубопроводе в период открытия клапана [Текст] / И.А. Дободейч, Ю.П. Барметов, Т.Ч. Колбая, Д.А. Палишкин // Сб. научных трудов «Теоретические основы проектирования технологических систем и оборудования автоматизированных производств». - Воронеж: изд-во ВГТА, 2007. - Вып. 5, ч. 1. - С. 114-120.

10. Торможение сжимаемой жидкости в трубопроводе [Текст] / Ю.П. Барметов, Д.А. Палишкин // Сб. трудов III междунар. научн. конф. «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» в 2-х т. Т.2. - Воронеж: Научная книга, 2009. - С. 77 - 79.

11. К проблеме поиска частных решений одной газодинамической системы [Текст] / И.А. Дободейч, Д.А. Палишкин // - Мат-лы Воронежской весенней матем. школы «Понтрягинские чтения — XX. Современные методы

теории краевых задач». - Воронеж: изд-во ВГУ, 2009. - С. 48 - 50.

12. О разработке способов диагностики характеристик элементов пневмогидросистем изделий [Текст] / Т.Ч. Колбая, И.А. Дободейч, Ю.П. Бар-метов, Д.А. Палишкин // Сб. трудов междунар. научн. конф. «Проблемы и перспективы развития двигателестроения» в 2-х ч. 4.1. - Самара: изд-во СГАУ, 2009. -С. 201 -203.

Подписано в печать 18.03.10. Формат 60*84 '/16. Усл. печ. л. 1,2. Тираж 100 экз. Заказ 329

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская 3.

Введение.

Глава 1. Математические модели нестационарных течения сжимаемой жидкости в пневмогидравлических системах.

1.1. Роль возмущений давления в аварийности пневмогидравлических систем.

1.2. Особенности моделирования торможения сжимаемой жидкости

1.3. Математические модели однонаправленного неустановившегося течения невязкой сжимаемой жидкости.

1.3.1. Линейные модели.

1.3.2. Нелинейные модели одномерного неустановившегося течения невязкой сжимаемой жидкости.

1.3.3. Применение группового анализа при моделировании течений невязкой сжимаемой жидкости.

1.4. Возможные краевые условия.

1.5. Экспериментальные исследования гидравлических ударов

1.6. Цели и задачи исследования.

Глава 2. Математическое моделирование торможения невязкой сжимаемой жидкости в трубопроводе на базе аналитических решений

2.1. Уравнения однонаправленного движения сжимаемой жидкости в трубопроводе с учётом массовых сил.

2.1.1. Течение при торможении сжимаемой жидкости в трубопроводе

2.1.2. Преобразование и свойства используемой системы уравнений.

2.2. Краевые условия.

2.3. Аналитические решения уравнений однонаправленного движения невязкой сжимаемой жидкости.

2.3.1. Аналитические решения, описывающие первичную волну давления.

2.3.2. Определение констант в частных решениях уравнения для первичной волны давления.

2.3.3. Обобщённые решения уравнения для первичной волны давления.

2.4. Граничное условие в концевом сечении трубопровода.

2.5. Результаты расчётов для модели бесконечно протяжённого трубопровода.

2.5.1. Результаты расчётов торможения газообразной сжимаемой жидкости.

2.5.2. Результаты расчётов торможения капельной сжимаемой жидкости в бесконечном трубопроводе.

2.6. Выводы по второй главе.

Глава 3. Математическое моделирование торможения невязкой сжимаемой жидкости в трубопроводе с использованием численных методов

3.1. Моделирование распространения первичной волны давления в трубопроводе конечно-разностными методами.

3.2. Моделирование нестационарного течения невязкой сжимаемой жидкости с учётом отражённых волн сеточно-характеристическим методом.

3.3. Тестирование численных методов при помощи точных решений системы Эйлера.

3.3.1. Тестирование явных конечно-разностных схем.

3.3.2. Тестирование неявных конечно-разностных схем

3.4. Результаты расчётов процесса торможения невязкой сжимаемой жидкости в системе «источник жидкости — трубопровод—клапан»

3.5. Временные характеристики перекрытия трубопровода, удовлетворяющие ограничениям на время перекрытия и приращение давления.

3.6. Выводы по третьей главе.

Глава 4. Экспериментальное исследование переходного процесса при торможении потока в системе «ёмкость—трубопровод-клапан»

4.1. Цель экспериментов. Состав и описание материальной части.

4.2. Варианты установок для испытаний клапанов.

4.3. Системы управления стендом и регистрации параметров

4.4. Результаты экспериментов.

4.5. Сравнение результатов моделирования и экспериментов

4.6. Выводы по четвёртой главе.

Практика эксплуатации пневмогидравлических систем (ПГС) показывает, что гидравлические удары, возникающие при закрытии исполнительных устройств, выключении нагнетательных установок, являются причиной возникновения динамических нагрузок в системе, которые могут привести к авариям с тяжёлыми последствиями. Возможная разгерметизация особенно вредна для ПГС с токсичными, взрывоопасными жидкостями и газами, например, для химических производств и холодильных систем. Обеспечение запаса прочности ПГС введением в её состав средств гашения гидравлического удара увеличивает стоимость ПГС и ухудшает её массо-габаритные характеристики. При разработке ПГС и исследовании режимов их работы требуется как можно точнее оценивать величину давления в жидкости, расход жидкости и временную характеристику изменения эффективного проходного сечения про-дуктопровода.

Модели гидроудара разрабатывались Н.Е. Жуковским, М.А. Мостковым, H.A. Чарным, H.A. Картвелишвили, H.H. Кочиной, М.Т. Гладышевым, JT. Аллиеви, JL Бержероном, А. Бергантом и другими, но каждая из них содержит ряд допущений. Линейная теория представляет разработанный аппарат для решения уравнений модели [71], но не учитывает конвективные члены уравнений неразрывности и движения. При отказе от общности краевых условий ряду авторов удалось решить задачу в нелинейной постановке [30, 69, 104]. Ими получены автомодельные решения уравнений неразрывности и Эйлера, применимые лишь для конкретных краевых условий. Несмотря на значительные достижения в изучении гидроудара, последние продолжают периодически повторяться с тяжёлыми последствиями. За последнее время крупнейшей оказалась авария на Саяно-Шушенской ГЭС 17 августа 2009 г. Статистика свидетельствует: в коммунальном хозяйстве 83 % аварий (разрывов трубопроводов или арматуры) происходят из-за гидроударов, и лишь 17 % - от всех прочих причин [26]. По данным ВНПО «Радуга» [95], в год на водопроводных сетях происходит около 75 тысяч прорывов и иных аварий, что сопровождается потерями тепла и воды в объёме до 10-20 %. Обнаружение разрыва и восстановление трубопровода, находящегося под землёй, занимает в среднем 5-7 суток. Износ действующих в Росси систем водоснабжения превышает 40 % и нарастает с каждым годом. На нефтеперерабатывающих предприятиях наиболее подвержены гидроударам установки налива жидких продуктов, точность дозирования которых существенно зависит от времени закрытия запорного клапана. Из-за влияния волновых процессов эксплуатационные издержки на одной установке производительностью 8 л/с достигают стоимости 10—12 тонн нефтепродуктов в год. В США гидроудары в конденсационных трубопроводах АЭС постоянно привлекают внимание Комиссии по ядерному регулированию (ИЯС) [2, 122].

Помимо изменения давления, в ряде практических задач важна динамика расхода рабочего тела ПГС. Например, особенности нестационарных режимов делают актуальным моделирование переходных процессов в потоке жидкости при регулировании её подачи в скользящем режиме, требующем переключать исполнительное устройство (ИУ) со значительной скоростью и частотой - до 10-^-20 Гц. В оборудовании периодической полимеризации, эффективно защищённом от гидроударов, актуальна проблема определения объёма накопленных токсичных жидких продуктов в трубопроводах после срабатывания запорной арматуры.

Характер изменения параметров среды также несёт информацию о функционировании ПГС. В частности, Т.Ч. Колбая с соавторами [90] предложены экспресс-методы диагностики ИУ, основанные на измерении перепада давления на нём, и позволяющие избегать значительных материальных затрат на прямое определение положения запорного элемента и скорости потока посредством использования математических моделей отдельных участков ПГС.

Привлекательным способом нахождения компромисса между минимизацией приращения давления и быстродействием системы представляется выбор временной характеристики перекрытия проходного сечения трубопровода, но он требует уточнения её роли в неустановившихся процессах в потоке сжимаемой жидкости. В этой связи инструментом проектирования и диагностики ПГС становится математическое моделирование, а уточнение математических моделей нестационарных процессов в них представляется актуальным.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с планом госбюджетных научно-исследовательских работ ГОУ ВПО ВГТА по теме «Разработка и совершенствование математических моделей, алгоритмов регулирования, средств и систем автоматического управления технологическими процессами» (№ г.р. 01.960.007315).

Цель работы - разработка математической модели торможения однонаправленного потока невязкой сжимаемой жидкости в наклонном трубопроводе и её исследование при различном характере перекрытия проходного сечения трубопровода для прогнозирования изменения давления и скорости в потоке.

В соответствии с поставленной целью пришлось решать следующие задачи исследования:

- разработка математической модели торможения однонаправленного потока невязкой сжимаемой жидкости в наклонном трубопроводе с учётом различного характера перекрытия его проходного сечения во времени;

- поиск новых точных решений системы нелинейных уравнений нестационарного течения невязкой сжимаемой жидкости в трубопроводе;

- выбор рационального метода численного решения задачи торможения однонаправленного потока по результатам тестирования с помощью точных решений;

- разработка алгоритма и программы численного получения временной характеристики перекрытия проходного сечения трубопровода при заданных ограничениях на время, скорость перекрытия и максимальное приращение давления в трубопроводе; нахождение временной характеристики перекрытия проходного сечения трубопровода, обеспечивающей минимальное время закрытия сечения при ограничении на приращение давления.

Объектом исследования являются нестационарные течения сжимаемой жидкости в пневмогидравлических системах. Предметом исследования является изменение параметров течения невязкой сжимаемой жидкости (НСЖ) в ПГС при её торможении, а также взаимосвязь параметров течения НСЖ с временными характеристиками перекрытия эффективного проходного сечения трубопровода.

Методы исследования. В работе использованы методы гидродинамики, теории дифференциальных уравнений в частных производных и вычислительной математики, математического моделирования с использованием инструментальных средств интегрированных программных систем, методы измерения давления.

Научная новизна.

1. Математическая модель торможения однонаправленного потока невязкой сжимаемой жидкости в трубопроводе с учётом конвективных членов уравнений, наклона трубопровода и различных временных характеристик перекрытия его проходного сечения.

2. Новые семейства точных решений системы нелинейных уравнений в частных производных, описывающих однонаправленное нестационарное течение невязкой сжимаемой жидкости.

3. Зависимость приращения давления во времени при гидроударе, учитывающая характер перекрытия проходного сечения трубопровода и указывающая в случае предельного гидроудара большие приращения давления, чем известные.

4. Алгоритм и программа нахождения временной характеристики перекрытия проходного сечения трубопровода при заданных ограничениях на время, скорость перекрытия и на максимальное приращение давления в трубопроводе.

Теоретическая и практическая значимость. Предложенная математическая модель позволяет более точно описывать процесс торможения сжимаемой жидкости в трубопроводе во время перекрытия его проходного сечения по сравнению с известными, учитывая конвективные члены уравнений гидродинамики и временную характеристику перекрытия трубопровода. Модель позволяет оценивать предельные значения приращения давления и их связь с временными характеристиками перекрытия трубопровода.

Результаты могут быть использованы при моделировании переходных процессов в различных ПГС, содержащих трубопровод с исполнительным устройством (ИУ) клапанного типа на торце, с целью уточнения методик расчёта давления и скорости в нестационарном потоке сжимаемой жидкости; с целью выбора рациональных временных характеристик перекрытия трубопровода, способствующих снижению максимального давления при гидроударе; для возможной оценки требуемого запаса прочности элементов конструкции ПГС.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных конференциях и семинарах в Воронежской государственной технологической академии (2006 - 2008 гг.), воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения — XX» [45] (г. Воронеж, 2009 г.), Российской научно-технической конференции «Компьютерные технологии автоматизированного проектирования систем машиностроения и аэрокосмической техники» [62] (г. Воронеж, 2008 г.), VII международной научной конференции «Авиация и космонавтика - 2008» [61] (г. Москва, 2008 г.), международных научных конференциях «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-20» [11] (г. Ярославль, 2007 г.) и «ММТТ-21» [42] (г. Саратов, 2008 г.), II и III международных научных конференциях «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, 2007 и 2009 гг.).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 12 печатных работ, в том числе четыре статьи в издании, рекомендованном ВАК РФ

10, 43,46, 47].

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, выводов, списка литературы и приложений. Материал диссертации изложен на 148 страницах основного текста и 14 страницах приложения, содержит 51 рисунок и 5 таблиц. Библиография включает 138 наименований, в том числе 19 на иностранных языках.

ВЫВОДЫ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана математическая модель торможения однонаправленного потока невязкой сжимаемой жидкости в наклонном трубопроводе, учитывающая характер перекрытия его проходного сечения во времени и нелинейность исходных уравнений.

2. Найдены новые точные решения системы нелинейных уравнений однонаправленного нестационарного течения невязкой сжимаемой жидкости, содержащие до пяти произвольных постоянных, варьированием которых можно удовлетворить широкому классу граничных условий.

3. При тестировании численных методов с помощью найденных точных решений задачи гидроудара выявлено, что отклонение от точного решения и чувствительность к изменению шагов расчётной сетки (при приемлемых затратах времени) будут наименьшими для сеточно-характеристического метода и метода Адамса на центральном шаблоне.

4. При продолжительности перекрытия трубопровода (к, меньшей удвоенного времени пробега первичной волны давления по нему (шк /Ь<2), давление перед концевым сечением трубопровода продолжает повышаться ещё некоторое время после завершения перекрытия. Значения давления, найденные по предложенной модели, превышают результаты, полученные без учёта нелинейностей уравнений, при относительном расхождении не более 12 %.

5. Предложенный алгоритм позволяет находить временную характериг стику перекрытия проходного сечения трубопровода при значениях от

2 до 3, соответствующую ограничениям на время, скорость перекрытия и на максимальное приращение давления в трубопроводе. Найденные характеристики позволяет уменьшить время закрытия до 18 %.

6. Расчёты для заданного семейства выпуклых характеристик перекрытия показали: при значениях шкИ от 2 до 3 рациональной в плане минимизации приращения давления является линейная временная характеристика перекрытия. При больших значениях данного отношения предпочтительны более выпуклые характеристики. Предложенная модель позволяет указать временную характеристику перекрытия проходного сечения трубопровода, уменьшающую приращение давления на (7.12) % при том же времени перекрытия.

7. Расчётные и экспериментальные (на воздухе) изменения давления у запорного устройства при его закрытии совпадают при количественном расхождении не более 8,0 % относительно максимального приращения.

1. Абалакин, И.В. Кинетически-согласованные разностные схемы как модель для описания газодинамических течений. Текст. / И.В. Абалакин, Б.Н. Четверушкин. // Математическое моделирование. 1996, Т. 8, № 8. - С. 17-36.

2. Аварии и инциденты на атомных электростанциях. Текст. //Под ред. С.П. Соловьёва. Обнинск, ин-т атомной энергетики, 1992. — 298 с.

3. Актершев, С.П. Увеличение давления гидроудара в трубопроводе при наличии локализованного объёма газа. Текст. / С.П. Актершев, A.B. Фёдоров // Журнал прикладной механики и технической физики. — 1987. Т. 28, № 6.-С. 107 111.

4. Актершев, С.П. Влияние газовой полости на процесс нагружения давлением гидравлической линии. Текст. / С.П. Актершев, А.П. Петров, A.B. Фёдоров // Журнал прикладной механики и технической физики. 1990. Т. 31, №3. -С. 92-96.

5. Аристов, С.Н. Класс точных решений уравнений Навье-Стокса для сжимаемого вязкого газа. Текст. // Доклады АН СССР. 1990. Т. 313, № 6. -С. 1424-1426.

6. Аронович, Г.В. Гидравлический удар и уравнительные резервуары. Текст. / Г.В. Аронович, H.A. Картвелишвили, Я.К. Любимцев М.: Наука, 1968.-248 с.

7. Бакирова, М.И. Разностная схема газовой динамики с использованием параметров Римана. Текст. / М.И. Бакирова, А.Ю. Гапоненко, Т.Е. Моисеев и др. // Дифференциальные уравнения. 2002. Т. 38, № 7. - С. 936 - 942.

8. Барметов, Ю.П. Влияние исполнительного устройства на фронт волны давления в газонаполненной системе. Текст. / Ю.П. Барметов, И.А. До-бодейч // Материалы 41-й отчётной конференции ВГТА за 2002 г. В 3-х ч. -Воронеж: ВГТА, 2002. 4.2, 248 с. - С. 11 - 13.

9. Барметов, Ю.П. Модель изменения давления в трубопроводе в период возникновения течения сжимаемой жидкости. Текст. / Ю.П. Барметов, И.А.

10. Дободейч, Т.Ч. Колбая, Д.А. Палишкин. // Сб. трудов XX МНК «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-20». В 10 т., т.З. — Ярославль: ЯГТУ, 2007. - С. 1 И - 114.

11. Барметов, Ю.П. Применение метода характеристик для расчёта течения газа с учётом влияния различных факторов. Текст. / Ю.П. Барметов, И.А. Дободейч, Т.Ч. Колбая, Д.А. Палишкин // Вестник Воронежск. гос. тех-нол. акад. 2009. № 2 (40). - С. 49 - 52.

12. Бахвалов, Н.С. Численные методы. Уч. пособие для вузов. Текст. / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. СПб: изд-во БХВ, 2002. - 630 с.

13. Белоцерковский, О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. Текст. М.: Наука, 1984. - 519 с.

14. Беляев, E.H. Математическое моделирование рабочего процесса жидкостных ракетных двигателей. Текст./ E.H. Беляев, В.К. Чванов, В.В. Черва-ков. М.: изд-во МАИ, 1999. - 228 с.

15. Боков, Д.Н. Метод характеристических направлений для расчёта одномерного скалярного нелинейного уравнения адвекции с невыпуклой функцией потока. Текст. / Математическое моделирование. — 2002. Т. 14, № 3. — С. 43 -58.

16. Бублик, В.В. Групповая классификация двумерных уравнений движения вязкого теплопроводного совершенного газа. Текст. // Прикладная механика и техническая физика. 1996, Т. 37, № 2. - С. 27 - 34.

17. Бутковский, А.Г. Методы управления системами с распределёнными параметрами. Текст. М.: Наука, 1975. - 568 с.

18. Василенко, В.А. Разработка методик расчёта нестационарной газодинамики теплоносителей в теплотехнических установках и системах. Текст.: автореф. дисс. к.т.н., 05.14.04. Краснодар, КГТУ, 2009. - 24 с.

19. Вервейко, Н.Д. Лучевая теория упруговязкопластических волн и волн гидроудара. Текст. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1997. - 204 с.

20. Вишневский, К.П. Переходные процессы в напорных системах водо-подачи. Текст. /М.: Агропромиздат, 1986. 123 с.

21. Воеводин, А.Ф. Численные методы расчёта одномерных систем. Текст. /А.Ф. Воеводин, С.М. Шургин. Новосиб.: Наука, 1981. - 208 с.

22. Волобуев, А.Н. Течение жидкости в трубках с эластичными стенками. Текст. // Успехи физических наук. 1995. Т.165, № 2. - С. 177 - 186.

23. Волобуев, А.Н. Сравнительные характеристики ударных волн различной формы в эластичном трубопроводе. Текст./ А.Н. Волобуев, А.П. Толстоногое // Известия вузов. Авиационная техника. — 2007. № 1. — С. 38 — 41.

24. Воробьёв, О.В. Об одном методе численного интегрирования одномерных задач газовой динамики. Текст. / О.В. Воробьёв, Я.А. Холодов // Математическое моделирование. 1996. Т.8, № 1 - С. 77 - 85.

25. Галанин, М.П. Применение разрывного метода Галёркина для численного решения квазилинейного уравнения переноса. Текст.// М.П. Галанин, Е.Б. Савенков, С.А. Токарева. — М.: препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2005.-35 с.

26. Ганиев, Р.Ф. Волновая стабилизация и предупреждение аварий в трубопроводах. Текст. / Р.Ф. Ганиев, Х.Н. Низамов, Е.И. Дербуков. М.: изд-во МГТУ, 1996.-257 с.

27. Гельфанд, Б.Е. Исследование гидроудара в гидродинамических ударных трубах. Текст. / Б.Е. Гельфанд, Е.И. Тимофеев // Теплофизика высоких температур. 1983. Т. 21, № 2. - С. 330 - 334.

28. Гердюков, H.H. Исследование распределения импульса давления в трубах, заполненных водой. Текст. / H.H. Гердюков, Ю.А. Крысанов, С.А.

29. Новиков // Журнал прикладной механики и технической физики. 1986. Т. 27, №5.-С. 92-95.

30. Герц, Е.В. Исследование переходных процессов в пневматических системах. Текст. / Е.В. Герц, В.И. Есин, Ю.Г. Прядко // Сб. «Механика машин». Вып. 43. М.: Наука, 1974. - С. 95 - 104.

31. Гладышев, М.Т. Неустановившиеся движения жидкости в трубах и тонкостенных оболочках. Текст. // Инженерно-физический журнал. 1995. Т.68, № 6. - С. 960 - 967.

32. Гликман, Б.Ф. Математические модели пневмогидравлических систем. Текст. М.: Наука, 1986. - 386 с.

33. Годунов, С.К. Разностные схемы. Текст. / С.К. Годунов, B.C. Рябенький. М.: Наука, 1973. - 400 с.

34. Грачёв, В.В. Динамика трубопроводных систем. Текст. /В.В. Грачёв, С.Г. Щербаков, Е.И. Яковлев М.: Наука, 1987.-437 с.

35. Гришин, Ю.А. Версия метода характеристик с плавающей сеткой. Текст. // Математическое моделирование. 2003, Т. 15, № 8. - С. 3 - 8.

36. Гужев, Д.С. Уравнение Бюргерса тест для численных методов. Текст. / Д.С. Гужев, H.H. Калиткин // Математическое моделирование. — 1995, Т. 7, №4.-С. 99- 127.

37. Дикаревский, B.C. Уравнение гидравлического удара для напорных трубопроводов с вязкой жидкостью. Текст. // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1992, № 9-10. -С. 19- 83.

38. Дободейч, И.А. Определение гидросопротивления дросселей посредством кратковременной нестационарной продувки. Текст. / И.А. Дободейч, Э.Г. Манулиц, Н.Б. Рутовский // Известия вузов. Авиационная техника. — 1972. №3.-С. 44-47.

39. Дободейч, И.А. Решения уравнений Навье Стокса для одномерного течения при заполнении трубопровода. Текст. // Деп. в ВИНИТИ 25.11.82. -№ 5848 - 82 Деп. -ВТИ, Воронеж, 1982. - 13 с.

40. Дободейч, И.А. Особенности одномерного течения сжимаемой жидкости. Текст. // Вестник ВГТА. 1997. № 1. - С. 106 - 113.

41. Дободейч, И.А. Первичная волна давления в жидкости после срабатывания клапана, установленного на трубопроводе. Текст. / И.А. Дободейч, Ю.П. Барметов // Прикладная механика и техническая физика. — 2005. Т .46, № 1.-С. 78-84.

42. Дободейч, И.А. Решения уравнений движения невязкой сжимаемой жидкости в трубопроводе. Текст. / И.А. Дободейч, Ю.П. Барметов // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42, № 5. - С. 703 - 706.

43. Дободейч, И.А. Давление в одномерном потоке сжимаемой жидкости. Текст. / И.А. Дободейч, Ю.П. Барметов // Вестник Воронежск. гос. технич. ун-та. Энергетика 2007, Т.З, № 6. - С. 109 - 112.

44. Дободейч, И.А. Математические модели возникновения течения сжимаемой жидкости в трубопроводе. Текст. / И.А. Дободейч, Ю.П. Барметов, Д.А. Палишкин, Т.Ч. Колбая // Системы управления и информ. технологии. — 2008. № 1.2 (31). С. 221 - 225.

45. Дободейч, И.А. Об аналитических решениях некоторых задач динамики сжимаемой жидкости. Текст. / И.А. Дободейч, Ю.П. Барметов, Д.А. Палишкин // Вестник Воронежск. гос. технол. акад. — 2008. № 2 (36). — С. 71 -74.

46. Дободейч, И.А. Нелинейная модель гидроудара в невязкой жидкости. Текст. / И.А. Дободейч, Ю.П. Барметов, Д.А. Палишкин // Системы управления и информ. технологии. 2009. № 1 (35). - С. 9 - 12.

47. Дободейч, И.А. Давление в трубопроводе при закрытии клапана с известными особенностями. Текст. / И.А. Дободейч, Ю.П. Барметов, Д.А. Палишкин // Системы управления и информационные технологии. 2009. № 3.1 (37).-С. 132- 135.

48. Дулов, В.Г. Газодинамика процессов истечения. Текст. / В.Г. Дулов, Г.А. Лукьянов. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1984. - 354 с.

49. Емцев, Б.Т. Техническая гидромеханика: учебник для вузов Текст. — М.: Машиностроение, 1987. 440 с.

50. Жуковский, Н.Е. О гидравлическом ударе в водопроводных трубах Текст. M.-JL: Гостехиздат, 1949. - 103 с.

51. Зайцев, В.Ф. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. Текст. / В.Ф. Зайцев, А.Д. Полянин. — М.: Физматлит, 2003. 416 с.

52. Калиткин, H.H. Сравнение свойств схем бегущего счёта для уравнения переноса. Текст. / H.H. Калиткин, И.А. Козлитин. // Математическое моделирование. 2006, Т. 18, № 10.-С. 71 -75.

53. Кармазинов Ф.В., Гумен С.Г. Проблемы водоснабжения Санкт-Петербурга. // Тр. межд. конгресса «Вода: экология и технология», 6—9 сент. 1994. М, 1994, Т.2. С. 436 - 438.

54. Картвелишвили, JI.H. Гидравлический удар: основные положения и современное состояние теории. Текст. // Гидротехническое строительство. -1994. №9.-С. 49-54.

55. Клековкин, А.Я. О снижении величины гидроудара в литейной форме. Текст. / А.Я. Клековкин, Н.Т. Башаримов. // Доклады АН БССР. 1991. Т. 35, №2.-С. 150- 154.

56. Ковалёв, А.Д. К теории гидроудара в двухфазной газожидкосной смеси. Текст. / А.Д. Ковалёв, Г.П. Шиндяпин // Известия АН СССР. Механикажидкости и газа. 1984. № 5. - С. 202 - 204.

57. Коваленко, В.Н. Общее решение уравнений неустановившегося напорного движения вязкой жидкости в трубах с переменным расходом. Текст. // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1991, № 10. - С. 127- 130.

58. Козырева, Т.С. Реализация оптимального управления потоком для снижения гидроудара. Текст. / Т.С. Козырева, О.Ф. Долгова // Известия вузов. Авиационная техника. 1996, № 3. - С. 59 - 62.

59. Колбая, Т.Ч. Математическое моделирование нестационарного течения сжимаемой жидкости и диагностика исполнительных устройств. Текст.: дисс. к.т.н., 05.13.18. Воронеж, ВГТА, 2008. - 156 с.

60. Колбая, Т.Ч. Математическая модель возникновения течения сжимаемой жидкости. Текст. / Т.Ч. Колбая, И.А. Дободейч, Ю.Г1. Барметов, Д.А. Палишкин // Сб. трудов Vil МНК «Авиация и космонавтика». М.: МАИ, 2008.-236 с.-С. 87-88.

61. Кочина, H.H. О неустановившемся движении вязкой жидкости в длинной трубе Текст. // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. -1980. №6.-С. 35-43.

62. Кочина, H.H. О движении жидкости в длинной трубе Текст. // Доклады АН СССР. 1981. Т. 259, № 4. - С.795 - 799.

63. Кочина, H.H. О периодических решениях задачи об одномерном неустановившемся движении жидкости в трубе Текст. // Прикладная математика и механика. 1993. Т.57, № 5 - С. 185 - 190.

64. Крайко А.Н. О приближениях нелинейной акустики в задачах о колебании газа в трубах. Текст. / А.Н. Крайко, A.JI. Ни // Прикладная математика и механика. 1980, Т. 44, № 1. - С. 77 - 88.

65. Кудряшов, H.A. Нелинейные волны при течении жидкости в вязко-эластичной трубке. Текст. / H.A. Кудряшов, H.JT. Чернавский // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2006. № 1. - С. 54 - 67.

66. Кудряшов, H.A. Ударные волны в изотермическом газе при наличии сил сопротивления Текст. / Ю.Н. Гордеев, H.A. Кудряшов, В.В. Мурзенко // Прикладная математика и механика. 1985. Т. 49, № 1. - С. 171 - 175.

67. Куликовский, А.Г. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. Текст. / А.Г. Куликовский, Н.В. Погоре-лов, А.Ю. Семёнов. М.: Физма глит., 2001. - 608 с.

68. Курант, Р. Уравнения с частными производными. Пер. с англ. Текст. -М.: Мир, 1964.-843 с.

69. Лаврентьев, В.Л. Расчет гидравлического удара с учетом неизотер-мичпости перекачиваемой жидкости. Текст. // Известия вузов. Строительство и архитектура. 1988, № 4. - С. 83 - 85.

70. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. Текст. / Т. 6. Гидродинамика. // Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Наука, 1986. - 736 с.

71. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа. Текст. М.: Наука, 1975.-840 с.

72. Лямаев, Б.Ф. Стационарные и переходные процессы в сложных гидросистемах. Методы расчёта на ЭВМ Текст. // Б.Ф. Лямаев, Г.П. Небольсин, В.А. Нелюбов. Л.: Машиностроение, 1978. - 192 с.

73. Магдалинская, Н.В. Экспериментальное исследование затухания волны давления при гидравлическом ударе. Текст. / Н.В. Магдалинская, Г.Д. Розенберг// Доклады АН СССР. 1980, Т. 255, № 4. - С. 813 - 816.

74. Магомедов, K.M. Сеточно-характеристические численные методы Текст. / K.M. Магомедов, A.C. Холодов. М.: Наука, 1988. - 287 с.

75. Макагон, П.Г. Неустановившееся движение жидкости в трубопроводе. Текст. / В сб. «Гидропривод и гидропневмоавтоматика». Киев: Техника. - 1984. - Вып. 20. - С. 88 - 92.

76. Здесь же: 79 А. Научно-технический отчё1 ОАО «КБХА» № 34-06. Исследование расходных и временных характеристик клапанов. Утв. Ефимочкин Л.Ф., исп. Велик П.П., Манулиц Э.Г., Колбая Т.Ч., научн. коне. Дободейч И.Л. Воронеж: КБХА, 2006. - 88 с.

77. Маркин, Н.С. Основы теории обработки результатов измерений. Текст. М.: изд-во стандартов, 1991. - 176 с.

78. Мартынов, Г.А. Общая теория распространения звуковых волн в жидкостях и газах. Текст. // Теоретическая и математическая физика. 2006, Т. 146,№2.-С. 340-352.

79. Марчук, Г.И. Повышение точности решений разностных схем. Текст. / Г.И. Марчук, В.В. Шайдуров. М.: Наука, 1979. - 319 с.

80. Махарадзе, Л.И. Нестационарные процессы в напорных гидротранспортных системах и защита от гидравлических ударов Текст. / Л.И. Махарадзе, Г.И. Кирмелашвили. Тбилиси: Мецниереба, 1986. - 153 с.

81. Михеев, Ю.С. Расчёт гидроудара в магистралях с демпфером на конце. Текст. // Известия вузов. Авиационная техника. — 1991. № 4. — С. 18 — 21.

82. Мостков, М.А. Прикладная гидромеханика. Текст. М—Л.: Госэнер-гоиздат, 1963.-461 с.

83. Накоряков, В.Е. Гидравлический удар и распространение возмущений в эластичных трубах, заполненных жидкостью. Текст. / В.Е. Накоряков, В.В. Соболев, И.Р. Шрейбер, Б.Я. Штивельман// Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. — 1976, № 4. — С. 3 — 8.

84. Овсянников, JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. Текст. М.: Наука, 1978. - 399 с.

85. Павлихин, Г.П. Определение параметров потока криогенного продукта на входе в фильтроэлемент при гидравлическом ударе. Текст. / Г.П. Павлихин, Ю.О. Рынсков, В.И. Безруков // Известия вузов. Машиностроение. — 1986, №9.-С. 69-73.

86. Павлов, C.B. Теоретическое и экспериментальное исследование гидроудара в загазованной дисперсной среде, движущейся в деформируемой оболочке. Текст.: дисс. к.ф.-м.н., 01.04.07. Курск, КГТУ, 2006. — 139 с.

87. Пирумов, У.Г. Газовая динамика сопел. Текст. / У.Г. Пирумов, Г.С. Росляков. М.: Наука, 1990. - 368 с.

88. Писаревский, В.М. Гасители колебаний газа. Текст. — М.: Недра, 1986.- 117 с.

89. Полянин, А.Д. Методы решений нелинейных уравнений математической физики и механики. Текст. / А.Д. Полянин, В.Ф. Зайцев, А.И. Журов. — М.: Физматлит, 2005. 256 с.

90. Полянин, А.Д. Новые классы точных решений нелинейных диффузионно-кинетических уравнений и систем обобщённого вида. Текст. // А.Д. Полянин, Е.А. Вязьмина. // Теоретические основы химической технологии. — 2006. Т. 40, № 6. С. 595. - 603.

91. Протасов, В.Ф. Экология, здоровье и природопользование в России. Текст. / В.Ф. Протасов, A.B. Молчанов. М.: Финансы и экономика, 1995. -523 с.

92. Рождественский, Б.Л. Системы квазилинейных уравнений и их применение к газовой динамике. Текст. / Б.Л. Рождественский, H.H. Яненко. -М.: Наука, 1978.-346 с.

93. Розенберг, Г.Д. К оценке применимости модели несжимаемой жидкости для расчёта гидроудара. Текст./ Г.Д. Розенберг, Е.И. Леонов. // Инженерно-физический журнал. 1983. Т. 44, № 4. - С. 651 - 657.

94. Руденко, О.В. Теоретические основы нелинейной акустики. Текст. / О.В. Руденко, С.И. Солуян. М.: Наука, 1990. - 287 с.

95. Рукавишников, В.А. Об уравнении Кортевега — де Вриза в цилиндрическом трубопроводе. Текст. / В.А. Рукавишников, О.П. Ткаченко. — Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2008, Т. 48, № 1. — С. 146-153.

96. Рычков, А.Д. Математическое моделирование газодинамических процессов в каналах и соплах Текст. — Новосибирск: Наука, 1988. — 222 с.

97. Самарский, A.A. Разностные методы решения задач газовой динамики. Текст. / A.A. Самарский, Ю.П. Попов. М.: Наука, 1990. - 424 с.

98. Самарский, A.A. Математическое моделирование: идеи, методы, примеры. Текст. / A.A. Самарский, А.П. Михайлов. М.: Физматлит, 2005. -320 с.

99. Самарский, A.A. Принцип регуляризации и устойчивость разностных схем. Текст. / A.A. Самарский, П.Н. Вабищевич. // Фундаментальная и прикладная математика. 1998, Т. 4, № 3. - С. 71 - 82.

100. Сидоров, А.Ф. Избранные труды: Математика. Механика. Текст. / — М.: Физматлит, 2001. 576 с.

101. Станюкович, К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды Текст.-М: 1971.-284 с.

102. Сулейманов, В.А. Расчёт нестационарных режимов работы газопроводов Текст. // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1987, № 1. -С. 143 - 152.

103. Сумец, П.П. Математическое моделирование лучевым методом распространения волн в трубопроводах с учётом их особенностей Текст.: дисс. к.ф.-м.н., 05.13.18. Воронеж, ВГУ, 2003. - 146 с

104. Сухарев, М.Г. Инвариантные решения уравнений, описывающих движение жидкости и газа в длинных трубопроводах. Текст. // Доклады АН СССР. 1967, Т. 175, №4.-С. 781 -784.

105. Тасенко, В.И. Построение и исследование моделей и свойств нефтега-зоподобных сред на основе математического моделирования. Текст.: авто-реф. дисс. к.ф.-м.н., 05.13.18. Елец, ЕГУ, 2009.-24 с.

106. Тукмаков, A.JI. Моделирование газодинамических процессов в закрытой трубе при неравновесных начальных условиях. Текст. // Математическое моделирование. 2003. Т. 15, № 4. - С. 122 - 128.

107. Уизем, Дж. Линейные и нелинейные волны. Пер. с англ. Текст. — М. Мир, 1973.-638 с.

108. Флетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкостей Текст. / Т. 1. Основные положения и общие методы. // Пер. с англ. М.: Мир, 1991. — 502 с.

109. Флетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Текст. / Т. 2. Методы расчета различных течений. // Пер. с англ. М.: Мир, 1991. -552 с.

110. Хабиров, C.B. К анализу инвариантных подмоделей ранга три уравнений газовой динамики. Текст. // Доклады РАН. 1995, Т. 341, № 6. - С. 764 - 766.

111. Хребтов, В.А. Решение задачи Коши для уравнений гидравлического удара в у пру го деформируемых трубах. Текст. // Журнал прикладной механики и технической физики. 1989. Т. 30, № 5. - С. 117 — 122.

112. Чарный, И.А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах Текст. М.: Недра, 1975. - 135 с.

113. Четверушкин, Б.Н. Кинетически-согласованные схемы в газовой динамике. Текст. / Б.Н. Четверушкин, Л.В. Дородницын. // Математическое моделирование. 1999, Т. 11, № 7. - С. 64 - 74.

114. Четверушкин, Б.Н. Квазигазодинамическая система уравнений и уравнения Навье Стокса. Текст. / К.Н. Иванова, Б.Н. Четверушкин, Н.Г. Чурбанов. // Математическое моделирование. - 2004, Т. 16, № 4. — С. 98 — 104.

115. Шорин В.П. Устранение колебаний в авиационных трубопроводах. -М.: Машиностроение, 1980. 155 с.

116. Bergant A. Water hammer with column separation: a review of research in the twentieth century. Текст. / A. Bergant, A. Simpson, A. Tijsseling. // Journal of Fluids and Structures, 2006, No. 22. pp. 135 - 171/

117. Ghidaoui M. A review of water hammer: theory and practice. Текст. / M.S. Ghidaoui, Ming Zhao, D.A. Mclnnis, D.H. Axworthy. // ASME Appied Mechanics Reviews. 2005, vol.58, Nr 1. - pp. 49 - 76/

118. Guinot V. Riemann solvers for water hammer simulations by Godunov method. // Int. J. Numer. Methods Eng. 2002. Nr 49. - pp. 851 - 870

119. Hearn, H.C. Development and application of a priming surge analysis methodology. Электронный ресурс. www.aiaa.com; 41-st AIAA /ASME /SAE /ASEE Joint propulsion conference and exhibit. 2005, Tucson, AR, USA. — 10 p.

120. Hwang Y.H. A fast Godunov method for the water-hammer problem / Y.H. Hwang, N.M. Chung // Int. J. Numer. Methods Eng. 2002. Nr 40. - pp. 799 -819.

121. Kaliatka A. RELAP5 code analysis of water hammer. Текст. / A. Kaliatka, E. Uspuras, M. Vaisnoras. // Lietuvos Energetika, 2005, Nr 4. pp. 1 - 9.

122. Lohrasbi A.R. Water hammer analysis by characteristics. Текст. / A.R. Lohrasbi, R. Attamejad. // American J. of Engineering and Applied Sciences, 2008, Nr 1(4). pp. 287 - 294.

123. Stein, E. Encyclopedia of Computational Mechanics. Vol.1. / E. Stein, R. de Borst, Т. Hughes. England: J. Wiley, 2004. - 808 p.

124. Tijsseling A. Exact solution of linear hyperbolic four-equation systems in axial liquid-pipe vibration. Текст. // Journal of Fluids and Structures, 2003, No. 18.-pp. 179- 196/

125. Tijsseling A. Meshless computation of water hammer. Текст. / A. Tijsseling, A. Bergant. // Scientific Bulletin of the "Politehnica" Univ. of Timosoara, Trans. Mech. 2007, vol. 52, Nr 6. - pp. 65 - 76.

126. Thailert K. One class of regular partially invariant solutions of the Navier -Stokes equations. Текст. // Nonlinear Dynamics. 2006, vol. 43, Nr 4. — pp. 343 -364.

127. Vitkovsky J. Systematic evaluation of one-dimensional unsteady friction models in simple pipelines. Текст. / J. Vitkovsky, A. Bergant, A. Simpson, M. Lambert. // J. Hydraul. Engl. 2006, vol. 132, Nr 7. - pp. 696 - 708.