автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное исследование диссипативных структур для одного класса моделей типа реакция-диффузия

'И. 81?

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

ШСАК Татьяна Михайловна

УДК 517.9:541.128

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИССИПАТШЕМХ СТРУКТУР ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА МОДЕЛЕЙ ТИПА РЕАКЦИЯ - ДОФУЗЙЯ

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (01.01.00 - математика).

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1989

Работа выполнена на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М.Б.Ломоносова.

Научные руководители: академик А.А.Самарский, кандидат физ.-мат. наук, старший научный сотрудник Г.Г.Еленин.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук,

профессор Ю.М.Романовский, кандидат физ.-мат. наук С.А.Посошков.

Ведущая организация: Вычислительный центр АН СССР.

Защита диссертации состоится " //" в час. го мин. в. ауд. № на заседании специализированного Совета К 053.05.87 при МГУ им. М.В.Ломоносова но адресу: 119899,ГСП, Москва, Ленинские горн, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМлК МГУ.

Автореферат разослан /3 п

у

Ученый секретарь специализированного Совета /? л

доцент у^ТЗ А^^- В.М.Говоров

:ш«11М( neu

. каш

дел

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ .ктуальиость темы. В настоящее время широкое признание и

распространение получила новая методология приобретения научных знаний - вычислительный эксперимент /ВЭ/ на электронных вычислительных машинах /ЭВМ/ [1], Полномаитабный ВЭ представляется в виде следующей последовательности: объект исследования, математическая модель, численный алгоритм, программа, расчет на ЭВМ, анализ результатов моделирования, управление объектом исследования. В последние годы методы ВЭ активно используются при изучении гетерогенных каталитических реакций [23. Взаимодополняющее сочетание прецезионной техники физических измерений с методами математического моделирования /ММ/ позволяет достигать глубокого понимания сущности физико-химических процессов на границе раздела фаз, целенаправленно планировать новые натурные эксперименты, проектировать оптимальные конструкции химических реакторов. С проблемами гетерогенного катализа связано большое число сложных и важных фундаментальных и прикладных задач, решение которых позволит интенсифицировать производство важнейших народохозяйственных продуктов и создать новые материалы заданного качества.

Одним из важнейших вопросов математического моделирования гетерогенных каталитических реакций является определение критических условий, при которых происходит изменение тех или иных свойств нелинейной открытой реакционной системы. В частности, может наблюдаться множественность стационарных состоя-

[I] Самарский A.A. О математическом моделировании и вычислительном эксперименте в физике. - Вестник АН СССР, 1979, г 5, с. 38-49.

[2J Слинько М.Г. Некоторые проблемы математического моделирования химических процессов и реакторов. - Хим. пром., 1987, 2, с. 3-7.

ний, автоколебательное и автоволновке процессы, образование стационарных диссилагивных структур.

Настоящая работа содержит результаты исследования свойств решений одного семейства нелинейных уравнений в частных производных, описывающих гетерогенно-кагалигическую реакцию на поверхности металлических катализаторов. Основное внимание уделено определению условий возникновения и анализу особенностей формирования диссипативннх структур в неидеальной адсорбционной системе. Вознисновение диссипативннх структур кардинально меняет свойства устойчивости реакционной системы и её характеристики. Поэтому разработка методов исследования, определение с их помощью условий существования диссипативных структур и моделирование сложного нестационарного процесса их формирования является актуальной задачей математического моделирования как в области гетерогенного катализа, так и в новом междисциплинарном направлении исследований - синергетике [з]. Цель работы заключается в последовательном исследовании многопараметрического семейства моделей методами ВЭ для определения I-) условий множественности пространственно-однородных стационарных решений;

2) условий неустойчивости таких стационаров по Тьюрингу;

3) особенностей формирования диссипативных структур в открытой реакционной системе.

Научная новизна. В работе впервые с помощью аналитических и численных методов проведено систематического исследование свойств решений нового многопараметрического семейства нелинейных моделей типа реакция - диффузия. Предложен алгоритм

[З] Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1985, 419 с.

определения областей множественности и неустойчивости по Тьюрингу пространственно-однородных /п.о./ стационарных решений в многомерном пространство пара-лот ров семейства моделей. На основе предложенного алгоритма и метода продолжения по параметру решений системы нелинейных уравнений построены границы областей множественности и неустойчивости п.о. стационарных решений для двух моделей исследуемого семейства. С помощью сеточного метода и метода подвижных коночных элементов проведено численное исследование особенностей формирования дисси-(; пативных структур. Выделено три типа режимов формирования структур. В частности, найден нестационарный режим достройки контрастной диссидативной структура, описанный ранее для другой модели /см., например, [4}/. Приведены оценки параметров модели, при которых происходит увеличение ш уменьшение средней скорости реакции при формировании стационарной контрастной диссидативной структуры из неустойчивого по Тьюрингу и.о. стационара. Оценки подтверждены численными расчетами, Практическая ценность результатов исследований состоит в оригинальной методике исследования и определения областей множественности и неустойчивости пространственно-однородных стационарных решений многопараметрического семейства нелинейных моделей типа реакция - диффузия. Изученные в процессе вычислительного эксперимента нестационарные режимы формирования диссипативных структур существенно расширяют представления о свойствах неидеальной реакционной системы и могут быть использованы для целенаправленного планирования натурного экс-

[4] Еленин Г.Г., Крылов В.В., Полежаев A.A., Чернявский Д.С. Особенности формирования контрастных диссипативных структур. - ДАН СССР, 1983, т. 271, I, с. S4-88.

перимента в области гетерогенного катализа. Развитая в работе методика исследований и программные модули могут быть использованы при исследовании широкого круга явлений самоорганизации в ИПМ км. М.В.Келдыша АН СССР, ИАЭ им. И.В.Курчатова, ВЦ АН СССР, МГУ им. М.В.Ломоносова и ряде других научных организаций и вузов страны.

Аппробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной школе молодых ученых "Теоретические, проблемы вычислительной математики и математической физики" /г.Одесса, 1987/, на семинаре под руководством чл.-корр. АН ГДР, профессора В.Эбелинга /г. Берлин, 1987, 1989/, на семинаре под руководством профессора А.Б.Васильевой на физическом факультете МГУ /1989 г./ и изложены в 8 опубликованных работах. Структура и объем работа. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы- Общий объем диссертации составляет 133 страницы, 30 рисунков. Список литературы насчитывает 96 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, представлен обзор литературы по теме исследования и кратко изложено содержание работы.

В первой главе сформулированы математические модели исследуемого семейства, описывающие ряд гетерогенно-каталитичесшк реакций на поверхности катализатора в приближении невдеаль-ного адсорбционного слоя, в частности, реакцию окисления окиси углерода, имеющую важное экологическое значение. Приведены основные задачи качественного исследования и изложен алгоритм их решения.

В основе исследуемого семейства математических моделей

лежит система двух квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных типа реакция - диффузия:

где - поверхяостянё концентрации реагирующих веществ;

функции (в, »с"} описывают скорость изменения концентраций за счет процессов адсорбции, десорбции и реакции:

I (1X) = бО - ^(в, $(9,хЪ - *в,\№,/)

Элементы матрицы диффузия имеют вид:

Ц; О

Ц С;

0, - 5>, -0,

Функции

описывают влияние взакмодей-ствия между адсорбпрозанными частицами на скорости десорбции и реакции. В отсутствие взаимодействия У ' [О] и

Ъ (в, jo]) . 6; Се, % (в, \oV)*i ,

и рассматриваемые уравнения соответствуют приближения идеального слоя адсорбата.

Предполагается положительность компонентов векторов эг = { Ж1гэег , Жч~\ и d , компоненты вектора у описывает силу взаимодействия между частицами адсорбата и могут принимать в общем случае любые действительные значения. Параметры р, 9 и к принимают натуральные значения.

Уравнения семейства дополняются начальными условиями и однородных®! граничными условиями второго рода на концах отрезка 0 < X <= L :

IPs! -О , с = /,2

9 зе / тс * с, и

Физически допустимое решение задачи ищется в области

Л) - i е: е«»0.

Предполагается положительность функций "t ¿0

в области

В главе показано, что рассматриваемая задача удовлетворяет условиям физической реализуешсти: при любых допустимых значениях параметров в области существует по крайней

мере одно решение - прострянстванно-однородный стационар, и в процессе эволюции решение не выходит из области S .

Основным объектом качественного анализа являются п.с. стационарные решения. Исследуются условия их единственности и множественности, & также неустойчивости по Тьюрингу, в результате которой система спонтанно, вследствие развития флуктуация, может перейти в состояние стационарной диссидативной

структуры. Значения параметров, удовлетворяющие перечисленным условиям образуют области множественности и неустойчивости по Тьюрингу п.о. стационарных решений /Н.Т.Р./ в пространстве параметров моделей. Задача описания и определения этих областей в многомерном пространство параметров не является тривиальной и требует разработки оригинальных алгоритмов. В работе предложена схема описания исследуемых областей, основанная на разбиении пространства параметров на иерархическую систему подпространств меньшей размерности и последовательном проектировании областей на эти подпространства, а также алгоритм построения иерархической последовательности проекций областей. Множество параметров I и , А ] разбивается на параметры взаимодействия ¡р , параметры десорбции {^г, ? , диффузии с1 и параметры адсорбции , причем множество параметров

взаимодействия выбирается в качестве центрального. Такое разбиение множестза параметров и их иерархия обусловленя физическим смыслом параметров. В частности, параметры взаимодействия являются внутренними, присущими самой системе, и в этом смысле определяющими для существования неустойчивых по Тьюрингу решений. Параметры адсорбции зависят от внешних, легко изменяемых величин - парциальных давлений компонентов газа, окружающего поверхность катализатора.

Первый этап алгоритма состоит в проектировании исследуемых областей на пространство к . Далее фиксируются значения параметров $ & полученные сечения областей проектируются на плоскость . Для фиксированных $ и

соответствующие сзчения проектируются на плоскость о? . И, наконец, ддя фиксированных , , '^ч к я л случаем проекции областей на плоскость г ^ъ} . Целью качественного

анализа является получение выражений, описывающих границы указанных проекций, исследование особенностей кривых:, служащих границами, и создание алгоритма, позволяющего проводить построение этих кривых численно, с помощьв метода продолжения по параметру.

Качественный анализ основан на линейной зависимости функций от параметров , и исключении этих пара- . метров из условий множественности и неустойчивости по .Тьюрингу пространственно-однородных решений. Проведение качественного анализа позволило выделить ряд подзадач, относящихся к каждому из этапов алгоритма построения иерархической последовательности проекций областей. Эти подзадачи заключаются е определении неравенств, описывающих проекции областей, а также в получении выражений, задающих границы проекций. Нелинейная зависимость функций <0 от параметров 9 приводит к то»ду, что вопросы качественного исследования границ проекций требуют анализа систем нелинейных уравнений с ограниченной областью изменения параметров, а также определения экстремальных значений функций на ограниченной области.

Подробное качественное исследование границ и особенностей областей множественности и Н.Т.Р, для конкретных функций

Бо второй главе рассматривается сладувщие функции взаимодейст-

проведено в главах II и III.

Параметры р , Й и к принимают соответственно значения 1 г 2 и / ; параметры взаимодействия: ^ - } у, 21. Параметр ^ принимает два значения: 0 к ^ ¡2 - целое число.

Данные функции взаимодействия соответствуют модели, отбывающей иезависяд(ую от взаимодействия частиц десорбцию, и реакцию, в виде степенной функции зависящую от взаимодействия адсорбированных частиц. Уравнения модели имеют параболический тип зсюлу в области

Качественный анализ и построение границ проводится по алгоритм, аналогичному предложенному в первой главе, в котором исключаемыми параметрами служат и . Такой подход

позволил получить ряд выражений для границ в виде параметрической зависимости от одного параметра, а таххя более подробно исследовать свойства этих границ.

Рассмотрен вопрос о возможном числе пространственно- однородных стационаров цля дакнех функций взаимодействия и значений параметров р , ^ и ^ . Показано, что число гг.о, стационаров не превышает девяти.

Исследована область множественности в пространстве параметров модели. Показано, что множественность и.о. стационаров возможна при любых допустимых значениях параметров ^ и ?- .

Получены системы нелинейных уравнений, описывающие границы проекций области множественности на плоскости параметров десорбции, а также границы подобластей этой проекции. Подобласти соответствуют различному- качественному поведению границ проекций области множественности на плоскости параметров адсорбции. Подробно исследованы функции, описывающие границы проекций области множественности на плоскости параметров десорбции и границы её подобластей. Получены необходимые условия на параметры десорбции для множественности ¡т.о. стационарных решений.

Исследованы выражения, описывающие границы проеыдкй области множественности и подобластей разного числа п.о. решений на

плоскости параметров адсорбции. Показана неограниченность этой проекции, а также ограниченность её подобластей, соответствующих. числу стационаров, большему трех при и пяти при

Исследована область Н.Т.Р. в пространстве параметров модели. Показано, что для неустойчивости до Тьюрингу п.о. решений необходимо, чтобы значения параметра 2 удовлетворяли неравенству

Получены в явном виде и исследованы' выражения, описывающие границы проекций области Н.Т.Р. на плоскости параметров десорбции.

Получен ряд необходимых условий на отношение параметров диффузии для неустойчивости и.о. стационаров. Проекция области Н.Т.Р. на плоскости параметров диффузии разбита на две подобласти, соотаетстаущие случаям ограниченной и неограниченной, проекции области Н.Т.Р. на плоскости параметров адсорбции. Приведены выражения, онисызаяцие границы проекций области Н.Т.Р. ка плоскости параметров диффузии и границы её подобластей.

Исследованы проекции области Н.Т.Р. на плоскости параметров адсорбции.

На основе проведенного качественного анализа с помощью метода продолжения по параметру построены иерархические последовательности проекций областей множественности и Н.Т.Р. Третья глава посЕщена исследованию областей множественности и Н.Т.Р. для следующих функций взаимодействия:

©; (I р) = ьур (- (>, в, - у. ъУ)

- ГЗ -

- 6; ¿'б. г У 6; (6,?)

и значений параметров р ^ , ^ а 2 , к"--/ . Вектор параметров взаимодействия у имеет компоненты ^ > и ^ , которые могут принимать любые действителг-нке значения. Исследование проводится на основе алгоритма, предложенного в главе I. Наряду с областями множественности и Б.Т.Р. исследовалась также область параболичнсети, определяемая как множество значений паракет-ров , при которых уравнения модели имеют параболический тип вежду в области .

В результате качественного анализа области параболичности получена система нелинейных уравнений и ряд выражений, списывающих границу этой области, йсслэдовгяы основные свойства границы. Численно, с помощью метода продолжения по параметру, построено изображение гралжы области параболичности.

Показано, что множественность п.о. стационаров возможна

-г

при любых значениях параметров С . Получены выражения, описывающие границы проекций области множественности на плоскости параметров десорботи и исследованы их свойства.Множество допустимых значений параметров ^ разбито на подобласти различного качествзнного поведения границ проекций области множественности на плоскости параметров десорбции, приведены выражения, опиензаюцие границы этих подобластей, и численно построено изображение границ.

Исследованы выражения, описывающие границы проекций области множественности и подобластей различного числа л.о.стационаров на плоскости параметров адсорбции. Проекции области множественности на плоскости параметров адсорбции могут иметь достаточно сложный вид. В частности, эти проекции могут состоять из кснеч-

ного числа непересекающихся подобластей, быть как ограниченными, так и неограниченным!', границы проекций могут пересекэ.ть оси координат и иметь конечное число особых точек.

Исследована область Н.Т.Р. в пространстве параметров модели. Показано, что неустойчивость по Тьюрингу п.о. стационаров возможна лишь при достаточно сильных взаимодействиях между адг-сорбированными частицами. Получены выражения, описывающие границу проекции области Н.Т.Р. б пространстве параметров взаимодействия и исследованы её свойства. На"основе проведенного анализа численно построено изображение этой границы.

Получены выражения, описывающие границы проекций области Н.Т.Р. на плоскость параметров десорбции, исследованы их свойства. Относительно качественного вида проекций области Н.Т.Р. на плоскости параметров десорбции проекция области Н.Т.Р. в пространстве параметров взаимодействия разбита на две подобласти: при достаточно сильных взаимодействиях неустойчивость возникает при любых положительных значениях параметров десорбции. Если же взаимодействия более слабые, параметр десорбции частиц первого сорта должен быть достаточно мал. Получены выражения, описывающие границы подобластей и численно построено изображен ние этих подобластей... •

Исследованы выражения, описывающие границы проекций области Н.Т.Р. на плоскости параметров дифс[узии. Проекции области

•ч

Н.Т.Р. в пространстве параметров взаимодействия \ и ка плоскости параметров десорбции разбиты на подобласти различного качественного поведения границ проекций области Н.Т.Р. на плоскости параметров диффузии, Приведены выражения, описывающие границы этих подобластей, ксслэдованы их свойства. Рассмотрены основные качественные особенности проекций

области Н.Т.Р. на плоскости параметров адсорбции. В частности показано, что эти проекции всегда ограничены, могут состоять из конечного числа непересекающихся подобластей и в общем случае имеют достаточно сложный вид.-

На основе проведенного качественного анализа численно, с помощью метода продолжения по параметру решений систем нелинейных уравнений построен ряд проекций областей множественности и Н.Т.Р. на плоскостях параметров десорбции, диффузии и адсорбции.

Четвертая глава посвящена численному исследованию диссипативных структур для одной из рассматриваемых моделей семейства. Исследование проводилось с помощью неявного сеточного метода и метода подвижных конечных элементов. Рассматривалось формирование диссипативных структур в результате возмущения неустойчивого по Тьюрингу п.о. стационара, преимущественно при значениях параметров диффузии, удовлетворяющих условиям контрастности возникающих структур.

Численное исследование формирования диссипативных структур проводилось для двух случаев - существования в системе единственного п.о. стационара и трех п.о. стационаров. В первом случае для любых значений параметров наблюдался переход, системы в состояние стационарной диссипативной структуры. Во втором случае при выполнении ряда условий развитие малого возмущения п.о. стационарного состояния,неустойчивого по Тьюрингу, приводит к переходу системы в состояние устойчивого п.о. стационара.

Выделено три типа режимов формирования диссипативных структур:

I) режим самодостройки;

- 16 -

2) равномерное однородное образование структур;

3) более сложные режимы, включающие элементы самодостройки, а также движения и остановки сформировавшихся фрагментов структуры.

Проведено сравнение средних скоростей реакции на неустойчивом по Тьюрингу п.о. стационаре к контрастной диссипативной структуре. Численные расчеты показали, что средняя скорость реакции на диссипативной структуре может как превышать скорость реакция на п.о. стационаре, гак "и быть меньше неё. Яри-ведены оценки параметров модели для каждого из этих случаев.

В главе приведен также обзор литературы по методам численного интегрирования на адаптирующихся сетках и изложены особенности применения одного из таких методов - метода подвижных конечных элементов - к численному интегрированию рассматриваемой задачи. Показано, что данный метод наиболее эффективен при расчете контрастных структур з режиме формирования, соответствующем одновременному развитию всех фрагментов структуры. В этом случае применение метода подвижных конечных элементов позволяет получить результаты на сетке с меньшим числом узлов и за меньшее счетное время, чем это требуют традиционные сеточные метода на равномерных сетках.

В заключении сфорщулкрованы основные результаты, подученные в диссертационной работе:

1. Предложен алгоритм построения иерархической последовательности проекций для областей множественности и неустойчивости по Тьюрингу п.о. стационарных решений в многомерном пространстве параметров для одного семейства нелинейных математических моделей типа реакция - диффузия.

2. На основе предложенного алгоритма и метода продолжения

- г? -

по параметру решений системы нелинейных уравнений проьедено исследование областей множественности и неустойчивости по Тьюрингу п.о. стационарных решений для двух моделей рассматриваемого семейства. Построены иерархические последовательности проекций областей множественности и неустойчивости по Тьюрингу п.о. стационарных решений. Показано, что неидеальность адсорбционного слоя

1) необходима для неустойчивости по Тьюрингу п.о. стационарных решений;

2) может приводить к увеличению числа п.о. стационарных состояний.

3. С помощью неявного сеточного метода и метода подвижных конечных элементов проведено численное исследование формирования диссипативных структур из неустойчивого по Тьюрингу п.о. стационара для одной из рассматриваемых моделей семейства. Выделены следующие режимы формирования структур:

1) режим самодостройки;

2) равномерное однородное образование структур;

3) более сложные режимы, включающие элементы самодостройки, а также движения и остановки сформировавшихся фрагментов структуры.

Основные результаты диссертационной работы опубликованы в следующих работах:

1,.Еленин Г.Г., Лысак Т.М. Существование, единственность и множественность тривиальных стационарных решений в модели одного гетерогенного каталитического процесса.// Деп. в ВИНИТИ 29.09.87 & 69Э9-В87, 34 с. 2. Еленин-Г.Г., Лысак Т.М. Устойчивость тривиальных стациона-

ров в модели одного гетерогенного каталитического процесса. // Деп. в ВИНИТИ 29.09.87 Л 7000-В87, 71 с.

3. Еленин Г.Г., Лясак Т.М. Исследование условий мягкого возбуждения контрастных диссипативных структур в модели одного гетерогенного каталитического процесса.// Деп. в ВИНИТИ 15.12.87 й 8777-В87, 56 с.

4.- Еленин Г.Г., Лысак Т.М. Диссипативные структуры в модельной реакции окисления окиси углерода.// Диф. уравнения, 1988, 24, 7, 1136-1191.

5. Еленин Г.Г., Лысак Т.М. Условия неустойчивости просгранст-венно-однородных стационарных состояний для одного, класса гетерогенных каталитических реакций.// Мат. моделирование, 1989, I, 2, 137-150.

6. Еленин Г.Г., Лысак Т.М. Множественность .пространственно-однородных стационарных решений и условия параболичности квазилинейной системы уравнений одной модели гетерогенной каталитической реакции.// Мат. моделирование, 1989, I, 9, 81-92.

7. Еленин Г.Г., Лысак Т.М. Необходимые условия мягкого возбуждения диссипативных структур для одного семейства моделей гетерогенно-каталитических реакций.// Мат. моделирование, 1989, I, 9, 93-101.

8. Еленин Г.Г., Лысак Т.М. Алгоритм построения границ области неустойчивости пространственно-однородных решений для одного класса моделей типа реакция - диффузия.// Мат. моделирование, 1989, I, II, 129-147.