автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное интегрирование уравнений движения вязкой сжимаемой среды в сферическом канале

На правах рукописи

ЧЕРНЫЩОВ Антон Владимирович

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ СЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ В СФЕРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Воронеж 2005

Работа выполнена на кафедре высшей математики ГОУ ВПО Воронежской государственной технологической академии

(ВГТА)

Научный руководитель- доктор технических наук, профессор

Ряжских Виктор Иванович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Колодежнов Владимир Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент Дорняк Ольга Роальдовна

Ведущая организация: Воронежский государственный

технический университет

Защита диссертации состоится 22 декабря 2005 г. в 13:30 на заседании диссертационного совета Д 212.35.02 при ГОУ ВПО Воронежская государственная технологическая академия.

Отзыв на автореферат (в двух экземплярах) просим направлять по адресу: 394000, г. Воронеж, проспект Революции, 19, ГОУ ВПО ВГТА, диссертационный совет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке академии.

Автореферат разослан 21 ноября 2005 г.

Ученый секретарь /'

------ '

диссертационного совета / ' ' Хаустов И. А.

¿а/?6 - »

2211 ЯМ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Для проектирования новых и анализа существующих технических систем необходима разработка методов расчета явлений переноса, базирующихся на фундаментальных законах.

Достоверная информация о структуре полей скорости, давления и температуры при течении вязкой сжимаемой среды предопределяет рациональные режимы функционирования элементов в системах предметного назначения. Существующие подходы при синтезе многомерных математических моделей с распределенными параметрами, как правило, основываются на системе допущений, не позволяющей достаточно адекватно описывать реальную физическую картину. Например, пренебрежение фактором сжимаемости в дозвуковых течениях (число Маха М< 1) и использование модели несжимаемой ньютоновской среды приводит к снижению прецизионности пневмомеханических элементов различных систем управления, неточному прогнозированию гидродинамической обстановки обтекания в узлах летательных аппаратов и т.д. Данное обстоятельство предполагает использование математических моделей, основывающихся на менее жестких допущениях. Задача осложняется тем, что разрешение такой ситуации приводит к необходимости решения нестационарных, сопряженных, существенно нелинейных уравнений Навье-Стокса и энергии в трехмерной постановке для областей сложной геометрии.

Классические аналитические методы неприменимы для решения задач в такой постановке, т.к. предназначены для анализа явлений, имеющих линейный характер, и поэтому на практике применяется численное интегрирование. Однако и численные методы, основывающиеся на технологии конечно-разностной аппроксимации уравнений и граничных условий, требуют дополнительной адаптации для конкретных задач и минимизации использования ресурсов вычислительной техники для достижения необходимой точности.

В настоящее время подход, основывающийся на совместном применении численных методов и ЭВМ для решения разнообразных задач, трансформировался в новую современную технологию проведения теоретических исследований - вычислительный эксперимент. В связи с этим реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде компонентов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов актуальна.

В качестве предметной области, иллюстрирующей особенности использования разработанного инструментария, выбрана задача дозвукового течения вязкого газа в сферическом канале в элементах транспортных пневмосистем.

Диссертационная работа выполнялась на кафедре высшей математики Воронежской государственной техно/0^ К'тйЭД § соответ_

БИБЛИОТЕКА [ СП*

чя^ед 3

- -—-•

ствии с планом научно-исследовательских работ по теме: «Математическое обеспечение структурного и параметрического анализа технологических, технических и информационных систем» (№ г.р. 01.20.0011235).

Цель работы. Разработка и реализация численного метода интегрирования уравнений движения вязкой сжимаемой среды в виде комплекса предметно-ориентированного программного обеспечения для проведения вычислительных экспериментов.

Для достижения указанной цели поставлены следующие задачи:

- проанализировать существующие математические модели и численные методы для проведения вычислительного эксперимента по определению основных гидродинамических характеристик потока вязкой сжимаемой жидкости в сферических каналах;

- на основе уравнений Навье-Стокса синтезировать математическую модель осесимметричного напорного течения вязкой сжимаемой жидкости в сферическом канале и разработать численный метод интегрирования;

- провести вычислительный эксперимент по определению основных гидродинамических характеристик и сравнить полученные результаты с имеющимися данными и натурным экспериментом;

- разработать методику расчета и апробировать ее на системах пневмотранспорта.

Методы исследования. В работе использованы методы теории гидродинамических и теплообменных процессов, вычислительной математики и моделирования.

Научная новизна:

математическая модель осесимметричного напорного движения вязкой сжимаемой среды в канале образованном концентрическими сферами, позволившая отказаться от допущений о несжимаемости среды в ламинарном режиме течения;

- явная конечно-разностная схема численного интегрирования нестационарной двумерной системы уравнений гиперболически-параболического типа с граничными условиями в виде Дирихле и фон Неймана, отличающаяся декомпозицией исходной задачи на последовательно решаемые несопряженные подзадачи гидродинамики и теплообмена;

- результаты вычислительных экспериментов по идентификации основных гидродинамических и тепловых характеристик течения вязкого сжимаемого газа в сферическом канале, их анализ и обобщение.

Практическая значимость:

- алгоритм и программа расчета полей скорости, давления и температуры в сферическом канале при напорном движении вязкой

сжимаемой среды;

- методика расчета для проектирования элементов систем со сферическими каналами;

- технические предложения по одновременному контролю массы и пространственного положения протекторного полотна в системах пневмотранспорта, защищенных патентами РФ №2194954 и №2183822.

Результаты работы апробированы на ОАО ПТП "Воронежский шинный завод" и подтверждены соответствующей документацией.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались в работе следующих научных форумов: «Математическое моделирование в технике и технологиях. ММТТ-12» (Великий Новгород, 1999); Восьмая научно-практическая конференция «Резиновая промышленность. Сырье, материалы, технология» (ГУП НИИШП, Москва, 2001); «Информационные технологии в управлении и моделировании» (Белгород, 2005); «Составляющие научно-технического прогресса» (Тамбов, 2005); «Качество науки - качество жизни» (Тамбов, 2005); «Глобальный научный потенциал» (Тамбов, 2005); «Достижения ученых XXI века» (Тамбов, 2005), а так же отчетных научных конференциях Воронежской государственной технологической академии (Воронеж, 1999-2005).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 12 печатных работ, в том числе два патента Федерального института промышленной собственности.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, основных выводов, списка литературы из 122 наименований. Материал диссертации изложен на 118 страницах, содержит 45 рисунков и 6 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, сформулированы цели и задачи исследования, его практическая и научная значимость.

В первой главе рассмотрены основные математические модели движения ньютоновских вязких сред на основе обзора материалов отечественных и зарубежных литературных источников. Проанализированы методы решения систем дифференциальных уравнений в частных производных, и вопросы касающиеся аппроксимации, сходимости и устойчивости решения конечно-разностных схем. Сформулированы задачи, решение которых способствует достижению поставленной цели исследования.

Во второй главе представлены результаты математического моделирования движения ньютоновской сжимаемой жидкости в сферическом канале.

Физическая область решения анализируемой задачи представлена на рис. 1. Рассматривается задача обтекания сферы без бокового смещения в

плоскости (ХУ). В этой связи рассмотрим фронтальную проекцию (плоскость 7.У) осесимметричного сферического канала (рис.1).

Рис. 1 - Схема движения среды в концентрическом сферическом канале

Система уравнений движения вязкой сжимаемой среды в сферическом канале при осесимметричной постановке записана в виде:

дп 1

д

дп (Я + а)2 дЯ

({К + аУпиг) + 7В

1

(/г+сг)5т(^-0)а© П = М2Р;

•©)] = 0; (1) (2)

з(ш/,) гаи) д(пиг-иг) | пи,-и,

Я + а дЯ

дп

+ —

1 д{пигив)

(Я + а)Щ(3&) Я + а 8®

пи;

Я + а

д2ив

1 дп _1_

Мг дЯ Яе

4 д2и„

3 дЯ2 (Я + а)2 дв1

д2и„

3(Я + а)д@дЯ + 3(Я + а) дЯ Т (Я + а)2 дв "з Я + а дЯ

8_дЦ^ *0) дЦк 1 ^'6) дЦв

див 8 и„

иа

Ъ(Я + а)2 дв 3 {Я + а)2 3 {Я + а)

-cXg(3■Q)

дП я дяк г е> я в яд@[ в>

~дгив 4 д2ив I а2С/я 8 дик

пи,ив

я

1 до. 1

МгЯ дЯ Яе

дЯ2 3Я- д®2 3Яд&дЯ ЪЯ дЯ

| 8 дЦя | 2 | 4 ^(¿»-0) 4

ЗЛ2 д& Я дЯ 3 Я2 дв ЗЯ2$т2(9 &)

дТ ,, ЗГ 57

8Ч

дЯ Я + а д® Яе Рг

2 ЭГ аТ ^(.9-0) дТ

_ — _ — ч _ — •>__

Я + адЯ дЯ2 (Я + а)2 д@

+ -=-

1 д2т

(Я + а)1 д@2

и.

- + -=-

+

див и.

Я + сг дв Я + а

Я + сг (Я + а) Щ(9@)

ди.

1 див 211.

д1± дЯ

дЯ (Я + а)2 (Я + а) <30

2 '

ив

- + -=-

1 ди.

иД

дЯ (Я + а) д® (Я + а) (Я + а)1%($-@)

V

(5)

где О = р / р - относительная плотность газа; Л/ =

число Маха;

Яе =

Р<1У

число Рейнольдса;

Рг =

ГАС,

число Прандт-

Г-Г.

ля;»7 = г/г =и,/И0;Д =-^ ;0 = в / 9; Р = р! р ; ;

г,~го

характерные плотность и давление; и, скорость в радиальном и

угловом направлении соответственно;

характерная скорость;

а = г0 /(г,-г0) - геометрический симплекс, г0,г{- радиусы внутренней сферы и полусферической полости соответственно; г - текущий радиус, ¿/ -ширина сферического канала; т, т - текущий момент времени и характерное время соответственно; у - отношение теплоемкостей; К, - универсальная газовая постоянная.

В работе показано, что упрощенная форма записи уравнения сохранения энергии (5) правомерна, и пренебрежение эффектом Джоуля-Томсона приемлемо для рассматриваемых условий течения

Граничными условиями при решении принимались: условия при-

липания на поверхности канала; отсутствие отвода (подвода) теплоты извне (изотермический процесс).

ин (Л,0,0) = ид (Л,0,0) = 0; Р(Л,0,0) = Рат„; 7-(Л,©,0) = 0 ;

и,(0,0, Г}) = иг (1,0, п) = и „(0,0, /7) = 1/,(1,0,17) = 0; дР(0,0,7) _ аР(1,©,/7) _ дТ(0,®,п) _ дТ(\,®,п) = р,

ел- ая эя а/?

(УД/?,О,/7) = О; и,(Л,0,7) = -1; /»(Л,0,т?) -1; Р(К, 1,/7) = : ди,(ЙХп) дивШ,п) дТ(К, 0,7) ЭГ(й,1,/7)

а©

30

а©

о©

■ = о.

(6) (7)

(В)

(9)

(10)

Нахождение решения задачи (1)-(10) осуществлялось маршевым методом, (стационарное решение получается из нестационарного, как асимптотическое по времени). Маршевой координатой являлось текущее время процесса.

Конечно-разностная аппроксимация величины давления в области решения реализовывалось по трехточечной схеме, вычисление значения в точке /,у осуществлялось по известным значениям в соседних точках/-!, у, / + 1,у, /,у-1 и/,у + 1.

[0-0-ДК+а}1 /Н», , - [(/•+1) • А/г+а]2

(/•л/г+о-)-

1

(/•ДД + оОвтОЗ- уд©)

2АЯ

[«Г.; .у,", ,зш[£-(у-1)-Л0] 2Д©

Д?7 +

(П)

2Д©

/•д/г+ст

20" и" -и" и", -и", -О", и", -и",

■^•"г /"/ / "/ у ^ ) "1-1,1 1 + 1,/ 1-1.1 1-1 / 1-1.1 I

(/■д/г+сг) "" ' (/-дя+сг)

2ДЛ

а" ,и" ,-уя ,-£2" .-V"

/ г/ /-г| "/,/-) / /-I

2Д©

дглуу;,

(/•ДД + ст)

I О - о

I /-И I "/-I, .

Д/?--^--;-Ап +

М- 2ДЛ

Re

4 <„ -2<, +4".

1

AÄ

(/•д/г+о-)2

А©2

1

V4-l /-I + V'-lJ-l

8

".♦1.7 "".-I у

3(/-А/г + сг)

4Д/?Д©

3(г • А/? + <т) 2ДЛ

| ctg^-y-AQ)«,.,,)-",.;-! | 1ctg(J-/-Ae)v^,.<-v,-,./

(i-AR + af 2А0 3 (/AÄ+cr) 2AÄ 7 v,V,-v,:;-, 8 7<, ctg(,9 •/'• Д©)

3(/■ AÄ + er) 2A0 3 (/• AT? + er) 3 (i-AR + a)2

a/?;

Q v = Q" v" -

1.7 '-J '.J i.J

2Q" m" -v" £2" u" -v" -fi" m" -v"

*Ъе1.1иц ".J | J ",-l.,Hi-l; Vi,/

i-AR + a

2 AR

| ctg(i9 y A0)дЯ v„ _v„ | 1 ,

/•AÄ + er '-J i-AR + a 2Д©

-у,:

i ■ AR + er

Д77-

1

M'(i-AR + a) 2AÄ

ß" - fi" 1 Re

A/r

ЗО-ДЛ + сг)2 8

Д©

3(/AÄ + tr) 8

4ДЛД0

3(/ • АЯ + <j) 2 А/? 3(/ • AR + er) 2А0 (i-AR + a) 2AR

| 4ctg(¿'-y-Ae)vlV,-v,")-i 4__

3 {i-AR + af 2A0 3 (i-AR + a)2 sin2 (.9-у Д0)

а//;

ПГ»»+1 _ yn _

' У "" ЛУ

'/ti / ~ 'i-i.i ,

U, .-!-^ +

1 2AR

•j-n _у//

'<./»! '/ H

/А/г + cr 2 A©

Д/7 =

RePr

2 е.,-Г,, Ги-зс + с,

i-AR + a 2AR

cos(i9-y-А0) Г,,"7;",-

AR2

n->n i Tn

i-1 _z//,+

(i -AR + a)2 sin (у ■ А©) 2Д© (/-ДЯ + сг)2 А©2

Д/7 +

i-AR + a

v"i ctg(i9-y • AQ) / ■ AR + а

У

ч, ... - и,

i i

i-AR + a 2 А©

2A R (i-AR + af 1

2AR

2u;, v"; ctg(i9-y-A0)

i-AR + a

i-AR + a

Выбранная конечно-разностная схема аппроксимации исходной системы уравнений обеспечивает точность получения решения с первым порядком точности по времени и вторым порядком точности по пространственным координатам или погрешностью в видеО[А^,(А/?)2,(А©)2].

Численная реализация на ЭВМ осуществляется в следующей последовательности:

а) вычисление значение плотности (11);

б) расчет значений скоростей (12) и (13);

в) определение значений температуры (14).

При анализе устойчивости конечно-разностной исходили из следующих допущений: а) погрешность округления является однородной, как для компонент скорости, так и давления; б) погрешностями округления более чем первого порядка малости пренебрегаем; в) размер шагов по координатам предполагался равными, т.е. AR - А® = АН .

Условием согласованности разностной схемы является стремление к нулю погрешности аппроксимации при измельчении сетки. Это условие безусловно выполняется, если погрешность аппроксимации убывает при измельчении сетки, т. е. если погрешность аппроксимации имеет порядок О(Ат), О(АН), для выбранного способа аппроксимации доказано что:

lim 0(Ат7,Д//2) = О

Л» >0 \ '

Л/| >0 АН >0

Следовательно, предложенная конечно-разностная аппроксимация модельного уравнения согласована.

Уравнения движения среды и неразрывности представлены в виде:

где АГВ1,С1 - коэффициенты зависящие от соотношения шагов по времени

и координате, чисел Маха и Рейнольдса, а также характеристической скорости У0 и номера узла пространственной сетки.

Условием устойчивости по определению можно считать соотношение:

Применение метода Неймана к полученному конечно-разностному уравнению для величины погрешности е неэффективен, из-за зависимости 4,5,,С, от /. В связи с этим при численной реализации задачи предлагается алгоритм контроля за процессом устойчивости на одном временном шаге. Таким образом, если на данном временном слое не выполняется условие устойчивости, в этом случае производится корректировка коэффициентов А,, Вг С, путем корректировки соотношения шагов А г], А/?, Д0.

Третья глава посвящена экспериментальным исследованиям. Численный анализ устойчивости осуществлялся для различных значений чисел Маха, Рейнольдса, геометрического критерия подобия и на различных расчетных сетках. Основные результаты представлены на рис. 2 и 3.

Анализ показал, что в общем случае, увеличение числа Маха или числа точек разбиения расчетной области ужесточает требования к максимально допустимому приращению по маршевой координате, что соответственно приводит к дополнительным затратам машинного времени.

Программная реализация синтезированной математической модели позволила провести ряд численных экспериментов для различных значений характерных параметров. Анализ полученных графических зависимостей показывает, что в силу малости зазора в сферическом канале давление во входном участке, по радиальной составляющей, для любого меридионального сечения успевает выровняться (рис. 4 а). Наблюдаются значительные потери давления во входной области потока связанные с разворотом течения и соответственно потерей кинетической энергии. После этого участка давление стабилизируется, аналогично линейным каналам с постоянным сечением (рис. 4 а). На участке развитого движения сферического канала поток становиться изотермическим рис. 4 б, а на входном участке значительно влияет разогрев за счег вязкостного терния вблизи твердых границ канала.

Увеличение числа Маха ведет к образованию дозвукового скачка давления на входном участке (рис. 5 а), это оказывает существенное влияние на поле температур (рис. 5 б).

При значениях чисел Рейнольдса более 3000 полученные гидро- и термодинамические характеристики не отвечают физическому смыслу для описания течений в данной области, поэтому необходимо применение математических моделей учитывающих возникающую турбулизацию.

Число Маха

0,0022 0,0017 0,0012

Шаг по маршевой координате

-0 096 0013 -016 -О 19 -0 22 -0 25

0,0007

Рис. 2 - Граница устойчивости для различных значений чисел Маха при толщине сферического слоя (1=0,0015 м

120000

100000

О 80000

Р 60000

о 40000

20000 Н

Число точек

0,0026 0 0025 0,0024 0 0023 0 0022 0,0021 0,002 0 0019 Шат по маршевой координате

Рис. 3 - Граница устойчивости для различного количества точек разбиения

расчетной области

Рис. 4 - Термодинамические характеристики течения сжимаемой среды в сферическом слое при Ле=656; М=0,08; Рг=0,7; ст=15- а - давление: б - температура; в - меридиональная скорость; г - радиальная скорость

в г

Рис 5 Термодинамические харатериаики 1ечения сжимаемой среды в сферическом слое при Яе=2010: М=0.24. Рг=0.7: ст=44: а - давление, б - температура; в - меридиональная скорость: г - радиальная скорость

Полученные результаты коррелируют с известными работами Эс-тилл, Брили, МакДональд: критическое число Маха составляет приблизительно 0,4, что подтверждает физическую адекватность применений полученной математической модели в указанном диапазоне чисел Маха. При этом учет сжимаемости особенно актуален в области чисел Рейнольдса от 600 и Маха от 0,08 до 0,4. Это означает, что строгой границы по числу Маха отделяющего сжимаемое от несжимаемого течения вязкого газа отсутствует, и в каждом конкретном случае полученные результаты позволяют оценить ошибку применения модели в зависимости от геометрических, гидродинамических и теплофизических масштабов.

Для проверки адекватности математической модели исследовалось физическое распределение давления в сферическом канале на специально сконструированной лабораторной установке, принципиальная схема которой представлена на рис. 6.

Устройство содержит вертикальный карман 1 с полусферическим дном, в котором свободно размещен сферический силовой элемент 2. Карман соединен с источником рабочей среды (сжатого воздуха) под сферой 2. Давление подаваемого сжатого редуцированного воздуха контролировалось манометром 3, а расход задавался регулятором 4. Расход измерялся ротаметром 5. Измерение давления в подающем штуцере и по сферической образующей осуществлялось посредством девяти дифференциальных и-образных водяных манометров 6.

Анализ адекватности результатов вычислительного эксперимента проводился для установившегося режима течения среды.

Графические зависимости распределения поля давления на поверхности сферического кармана, для различных значений чисел Маха и Рей-нольдса, представлены на рис. 6.

Полученные результаты показывают, что данные математической модели на входном участке несколько больше значений полученных на натурной модели. Однако к выходу из канала ситуация меняется на противоположную, значения полученные на физической модели превышают расчетные.

Рис. 6 - Распределение поля давления на поверхности сферической камеры при числах М=0,16 Яе=1400 и а=42

Математическая оценка, на основе вычисления среднеинтегрально-го отклонения расчетных от экспериментальных зависимостей, в рассматриваемой области течения составила не более 5%.

Сравнительный анализ выполненных численных и физических экспериментов подтверждает правомерность допущений принятых при синтезе математической модели.

Практическая реализация результатов математического моделирования представлена в четвертой главе.

Величина реакции движущегося слоя вязкой сжимаемой среды является основной характеристикой моделируемых пневмомеханического устройств. Эта характеристика предопределяет несущую способность уст-

ройства, т.е. величину предельно допустимой нагрузки (массы погонного метра полосового материала) на сферический элемент, ее величина вычислялась по выражению:

Р = , 2Г_ , = |>8Н1(25-0)</0 = -^т Гп$т(2£-3)</е.

п-г-рУ- * М *

Профаммная реализация данного выражения позволила вычислить величину поддерживающей силы, и значение поддерживаемой массы, как сферы, так и транспортируемого полотна. Графическая зависимость величины поддерживающей силы от гидродинамических параметров потока представлена на рисунке 7.

Поддерживающая сила, Н

канала, м

Рис. 7 - Величина поддерживающей силы в зависимости от числа Маха и толщины сферического канала

Предложенная графическая зависимость является основой инженерного проектирования устройств со сферической прослойкой.

Программирование осуществлялось с использованием объектно-ориентированного языка Borland Delphi 7. Конечный программный продукт предназначается для расчетов на ПК под управлением ОС Windows. При разработке программного обеспечения использовано разделение расчета на потоки, что обеспечивало стабильность работы всей системы.

На основе результатов математического моделирования разработаны новые схемы пневмомеханических устройств. Проведен комплекс конструкторских работ по проектированию такого рода средств, обеспечивающих контроль массы и продольно-поперечного перемещения полосовых материалов, и в частности протекторного массива.

Практические применение результатов исследование позволяет

спроектировать и внедрить разработанные технические решения, обеспечивающие увеличение уровня автоматизации производства полосового (листового) материала и уменьшение количества бракованной продукции при его производстве.

Выполненное технико-экономическое обоснование показало целесообразность предлагаемых инновационных устройств. Предварительная оценка показала, что экономия существующих затрат за счет снижения количества бракованной продукции может составить до 241 946,89 р./год.

В приложении представлены акт производственных испытаний разработанного оборудования, патенты РФ и диплом всероссийской научно-практической конференции, свидетельствующие о практической ценности и полезности проведенных работ.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Синтезированная математическая модель осесимметричного напорного течения вязкой среды в сферическом канале позволила отказаться от допущений о несжимаемости среды, а также учесть сопряженное влияние гидродинамических параметров на температурное поле.

2. Разработанная явная конечно-разностная схема численного интегрирования уравнений Навье-Стокса позволяет идентифицировать основные гидродинамические и тепловые характеристики течения. Установлено соотношение шагов интегрирования, обеспечивающее устойчивость и сходимость вычислительного процесса.

3. Проведены вычислительные эксперименты и их верификация по экспериментальным данным, подтвердившая корректность математической модели, и определившая граница ее применения (числа Рейнольдса не более 2000)

4. Определена величина интегрального давления со стороны потока на внутреннюю поверхность сферы в зависимости от чисел Маха и Рейнольдса, которая существенно возрастает с их увеличением, что позволяет прогнозировать функционирование пневмомеханических систем со сферическим несущим элементом.

5. На основе результатов вычислительного эксперимента предложены технические решения для контроля массы полосового материала в процессе транспортирования, обладающие новизной.

6. Разработан предметно-ориентированный программный комплекс, позволяющий осуществлять вычислительные эксперименты для выбора рациональных режимов функционирования устройств.

7. Ожидаемый экономический эффект от внедрения результатов исследования составляет около 250 тыс. рублей в год на одну установку в ценах на 2005 г. за счет снижения количества бракованной продукции.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Болгова И.Н. О вопросах автоматического центрирования полимерных полосовых материалов в шинной промышленности агрегате [Текст] / И.Н. Болгова, A.B. Чернышов // Материалы XXXVII отчет, науч. конф. за 1998 г. / Воронеж, гос. технол. акад. - Воронеж, 1999 - 4.2. -С. 151. 2 Болгова И.Н. Математическое моделирование течения вязкой несжимаемой среды в тонких сферических прослойках [Текст] / И.Н. Болгова, A.B. Чернышов Ч Математические методы в технике и технологиях ММТТ-12: сб. тр. междунар конф. - Великий Новгород, 1999. - Т.2. - С. 87-89.

3. Чернышов A.B. Совершенствование оборудования для контроля параметров полосового материала [Текст] / A.B. Чернышов // Модернизация существующего и разработка новых видов оборудования для пищевой промышленности: сб. науч. тр. / Воронеж, гос. технол. акад. - Воронеж, 2003. -С. 79-80.

4. Ряжских В.И. Метод установления численного решения течения вязкой сжимаемой жидкости в сферическом канале [Текст] / В.И. Ряжских, A.B. Чернышов // Материалы XLIII отчет, науч. конф. за 2004 г. / Воронеж, гос. технол. акад. - Воронеж, 2004. 4.2 - С. 206-207.

5 Ряжских В.И. Математическое моделирование движения вязкой сжимаемой среды в несимметричном сферическом канале [Текст] / В.И. Ряжских, A.B. Чернышов, М.В. Чернышов // Материалы XLII отчет, науч. конф. за 2003 г.' Воронеж, гос. технол акад. - Воронеж, 2004 - Ч 3- - С. 69-71.

6. Чернышов A.B. Качественный анализ математического моделирования движения вязкой сжимаемой среды в сферическом канале [Текст] / A.B. Чернышов // Качество науки - качество жизни: сб. науч. ст. междунар. науч.-практич. конф. / Тамбов, гос. технич. ун-т. - Тамбов, 2005. - С 61-62.

7. Чернышов A.B. Моделирование нестационарного движения ньютоновской жидкости в сферическом канале [Текст] / A.B. Чернышов // Информационные технологии в управлении и моделировании: сб. докл. междунр. науч.-практич. Интернет-конф. / Белгород, гос. технич. ун-т. им. В.Г. Шухова - Белгород, 2005. - С. 246-247.

8. Чернышов A.B. Об устойчивости алгоритма установления решения уравнений движения вязкой сжимаемой среды для сферической системы координат [Текст] / A.B. Чернышов // Составляющие научно-технического прогресса: сб. материалов междунар. науч.-практич. конф. / Тамбов, гос. технич. ун-т. - Тамбов, 2005. - С. 117-118.

9. Чернышов A.B. Анализ температурного поля при течении вязкого сжимаемого газа в сферическом слое [Текст] / А В. Чернышов, В И. Ряжских, М.В. Чернышов // Глобальный научный потенциал: сб. материалов междунар. науч.-практич. конф. / Тамбов, гос. технич. ун-т - Тамбов, 2005. -С 54-57.

10 Чернышов A.B. Анализ распределения поля давления воздуха в сферическом канале [Текст]/AB Чернышов, MB Чернышов//Достижения ученых XXI века: сб. материалов междунар. науч.-практич. конф. / Тамбов, гос технич. ун-т. - Тамбов, 2005. - С. 66-68.

11 Патент РФ 2194954, МКИ Кл 7 G 01 G 11 /00 Устройство для контроля параметров протекторного полотна / Сырицын Л.М., Болгова И.Н., Чернышов A.B., Гапиенко В.П. -Заявл. 6.12.2001, Опубл. 21.05.2002, Бюл. №15. -6 е., ил.

12. Патент РФ 2183822, МКИ Кл.7 G 01 G 11/00 Устройство для контроля параметров полосового полимерного материала / Битюков В.К., Сырицын Л М., Болгова И.Н., Чернышов A.B., Портнов М.М. - Заявл. 20.02.2001; Опубл. 12.08.2001, Бюл. №21. - 5 с , ил.

Подписано к печати 18 ноября 2005 г. Заказ №5^52 Формат 60><84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Ризография

Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. ГОУ ВПО Воронежская государственная технологическая академия УПО ВГТА, 394000, г. Воронеж, пр. Революции, 19

1239 9/

РНБ Русский фонд

2006-4 23331

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1 СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ НЬЮТОНОВСКИХ СРЕД В СФЕРИЧЕСКИХ КАНАЛАХ.

1.1 Основные математические модели движения ньютоновских вязких сред.

1.2 Методы решения систем дифференциальных уравнений в частных производных.

1.3 Аппроксимация и устойчивость конечно-разностных приближений модельных уравнений.

1.4 Выводы. Цели и задачи исследования.

Глава 2 СИНТЕЗ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ НЬЮТОНОВСКОЙ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В СФЕРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Преобразование исходной системы уравнений к безразмерному виду.

2.3 Численная схема решения системы уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости и алгоритм решения.

2.4 Устойчивость конечно-разностной схемы.

Глава 3 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ СФЕРИЧЕСКОГО КАНАЛА.

3.1 Численный анализ устойчивости математической модели.

3.2 Результаты численного моделирования полей давления, скоростей и температуры.

3.3 Установка для проведения физического эксперимента и его результаты.

3.4 Сравнительный анализ вычислительного и физического экспериментов.

Глава 4 ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ.

4.1 Методика расчета пневмомеханического устройства со сферическим несущим элементом.

4.2 Описание пакета. предметно-ориентированного прикладного программного обеспечения.

4.3 Технические решения.

4.4 Расчет экономической эффективности внедрения разработанных пакетов программ и устройств.

Актуальность темы. Для проектирования новых и анализа существующих технических систем необходима разработка методов расчета явлений переноса, базирующихся на фундаментальных законах.

Достоверная информация о структуре полей скорости, давления и температуры при течении вязкой сжимаемой среды предопределяет рациональные режимы функционирования элементов в системах предметного назначения. Существующие подходы при синтезе многомерных математических моделей с распределенными параметрами, как правило, основывается на системе допущений, не позволяющей достаточно адекватно описывать реальную физическую картину. Например, пренебрежение фактором сжимаемости в дозвуковых течениях (число Маха М< 1) и использование сжимаемой модели ньютоновской среды приводит к снижению прецизионности пневмомеханических элементов различных систем управления, неточному прогнозированию гидродинамической обстановки обтекания в узлах летательных аппаратов и т.д. Данное обстоятельство предполагает использование математических моделей, основывающихся на менее жестких допущениях. Задача осложняется тем, что разрешение такой ситуации приводит к необходимости решения нестационарных, сопряженных, существенно нелинейных уравнений Навье-Стокса и энергии в трехмерной постановке для областей сложной геометрии.

Классические аналитические методы неприменимы для решения задач в такой постановке, т.к. предназначены для анализа явлений, имеющих линейный характер, и поэтому на практике применяется численное интегрирование. Однако и численные методы, основывающиеся на технологии конечно-разностной аппроксимации уравнений и граничных условий, требуют дополнительной адаптации для конкретных задач и минимизации использования ресурсов вычислительной техники для достижения необходимой точности.

В настоящее время подход, основывающийся на совместном применении численных методов и ЭВМ для решения разнообразных задач, трансформировался в новую современную технологию проведения теоретических исследований - вычислительный эксперимент. В связи с этим реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде компонентов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительных экспериментов актуальна.

В качестве предметной области, иллюстрирующей особенности использования разработанного инструментария, выбрана задача дозвукового течения вязкого газа в сферическом канале в элементах транспортных пневмосистем.

Диссертационная работа выполнялась на кафедре высшей математики Воронежской государственной технологической академии в соответствии с планом научно-исследовательских работ по теме: «Математическое обеспечение структурного и параметрического анализа технологических, технических и информационных систем» (№ г.р. 01.20.0011235).

Цель работы. Разработка и реализация численного метода интегрирования уравнений движения вязкой сжимаемой среды в виде комплекса предметно-ориентированного программного обеспечения для проведения вычислительных экспериментов.

Для достижения указанной цели поставлены следующие задачи:

- проанализировать существующие математические модели и численные методы для проведения вычислительного эксперимента по определению основных гидродинамических характеристик потоков вязкой сжимаемой жидкости в сферических каналах;

- на основе уравнений Навье-Стокса синтезировать математическую модель осесимметричного напорного течения вязкой сжимаемой жидкости в сферическом канале и разработать численный метод интегрирования;

- провести вычислительный эксперимент по определению основных гидродинамических характеристик и сравнить полученные результаты с имеющимися данными и натурным экспериментом;

- разработать методику расчета и апробировать ее на системах пневмотранспорта.

Методы исследования. В работе использованы методы теории гидродинамических и теплообменных процессов, вычислительной математики и моделирования.

Научная новизна:

- математическая модель осесимметричного напорного движения вязкой сжимаемой среды в канале образованном концентрическими сферами, позволившая отказаться от допущений о несжимаемости среды в ламинарном режиме течения;

- явная конечно-разностная схема численного интегрирования нестационарной двумерной системы гиперболически-параболического типа с граничными условиями в виде Дирихле и фон Неймана, отличающаяся декомпозицией исходной задачи на последовательно решаемые несопряженные подзадачи гидродинамики и теплообмена;

- результаты вычислительных экспериментов по идентификации основных гидродинамических и тепловых характеристик течения вязкого сжимаемого газа в сферическом канале, их анализ и обобщение. Практическая значимость:

- алгоритм и программа расчета полей скорости, давления и температуры в сферическом канале при напорном движении вязкой сжимаемой среды;

- методика расчета для проектирования элементов систем со сферическими каналами;

- технические предложения по одновременному контролю массы и пространственного положения протекторного полотна в системах пневмотранспорта, защищенных патентами РФ №2194954 и №2183822. Результаты работы апробированы на ОАО ПТП "Воронежский шинный завод" и подтверждены соответствующей документацией.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались в работе следующих научных форумов: «Математическое моделирование в технике и технологиях. ММТТ-12» (Великий Новгород, 1999); Восьмая научно-практическая конференция «Резиновая промышленность. Сырье, материалы, технология» (ГУЛ НИИП1П, Москва, 2001); «Информационные технологии в управлении и моделировании» (Белгород, 2005); «Составляющие научно-технического прогресса» (Тамбов, 2005); «Качество науки - качество жизни» (Тамбов, 2005); «Глобальный научный потенциал» (Тамбов, 2005); «Достижения ученых XXI века» (Тамбов, 2005), а так же отчетных научных конференциях Воронежской государственной технологической академии (Воронеж, 1999-2005).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 12 печатных работ, в том числе два патента Федерального института промышленной собственности.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, основных выводов, списка литературы из 122 наименований. Материал диссертации изложен на 118 страницах, содержит 45 рисунков и 6 таблиц.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Синтезированная математическая модель осесимметричного напорного течения вязкой сжимаемой среды в сферическом канале позволила отказаться от допущений о несжимаемости среды, а также учесть сопряженное влияние гидродинамических параметров на температурное поле.

2. Разработанная явная конечно-разностная схема численного интегрирования уравнений Навье-Стокса позволяет идентифицировать основные гидродинамические и тепловые характеристики течения. Установлено условие, для соотношения шагов интегрирования, обеспечивающее устойчивость и сходимость вычислительного процесса.

3. Проведены вычислительные эксперименты и их верификация по экспериментальным данным, подтвердившая корректность математической модели, определившая границу ее применения (числа Рейнольдса менее 2000).

4. Определена величина интегрального давления со стороны потока на внутреннюю поверхность сферы в зависимости от чисел Маха и Рейнольдса, которая существенно возрастает с их увеличением, что позволяет прогнозировать функционирование пневмомеханических систем со сферическим несущим элементом.

5. На основе результатов вычислительного эксперимента предложены технические решения для контроля массы полосового материала в процессе транспортирования, обладающие новизной.

6. Разработан предметно-ориентированный программный комплекс, позволяющий осуществлять вычислительные эксперименты для выбора рациональных режимов функционирования устройств.

7. Ожидаемый экономический эффект от внедрения результатов исследования составляет около 250 тыс. рублей в год на одну установку за счет снижения количества бракованной продукции.

1. Адриан, П. Расчет сферических газостатических подшипников с осевой нагрузкой Текст. / П. Адриан // Вена, "Constr. mas.", 1981, 33, №12. -С. 557-561.

2. Альбом течений жидкости и газа Текст. / под. ред. Ван-Дайк М., 1986.- 184 с.

3. Аналитические исследования динамики газа и жидкости Текст. / Шмыглевский Ю.Д. М., 1999. - 232 с.

4. Андерсон, Д. Вычислительная гидродинамика и теплообмен Текст. / Андерсон, Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. // В 2-х т. Пер. с англ. М., Мир, 1990.-384 е., ил.

5. Андреева, Е.А. К расчету статических характеристик пневматического элемента "сопло-заслонка" Текст. / Е.А. Андреева // Вопросы пневмо- и гидроавтоматики. М.: АН СССР, i960.- с. 17-23.

6. A.c. 1008623 СССР, МКИ G 01 В 11/00 Конвейерные весы / В.К. Би-тюков . Г.В. Полов. Е.Д. Чертов (СССР) №3319645/18-10; Заявл. 17.07.81; Опубл. 30.03.83, Бюл. №12.- 2 е., ил.

7. A.c. 1281912 СССР, МКИ G 01 G 11/00 Способ бесконтактного контроля массы: движущихся изделий / В. К. Битюков, Г. В. Попов. Е.Д. Чертов (СССР).-№ 3868348/24-10; Заявл. 8.12.84; Опубл. 07.01.87, Бюл. №1.- 2 е., ил.

8. A.c. 1569572 СССР, МКИ G 01 G 11/00 Конвейерные весы / В.К. Битюков, А.Е. Емельянов. Е.Д. Чертов (СССР). -№4410133/24-10: Заявл. 08.02.88; Опубл. 07.06.90, Бюл. №21.- 3 е., ил.

9. A.c. 228304 СССР, МКИ G 01 L 01/02 Преобразователь механического усилия в давление сжатого воздуха / И.В. Сердюков, И.И. Заславский (СССР).- № 1150186/18-10; Заявл. 19.04.67; Опубл. 08.10.68. Бюл.- №31.- 2 е., ил.

10. A.c. 621967 СССР, МКИ G 01 G 9/00 Устройство для взвешивания изделий на воздушной подушке / В.К. Битюков, Е.Д. Чертов (СССР). №2460519/18-10; Заявл. 10.03.77; Опубл. 30.08.78, Бюл. №32. 2 е., ил.

11. П.А.с. 802802 СССР, МКИ G 01 G 3/16 Способ измерения массы / Ю.Н.Журавлев, Г.М. Крайзман (СССР). №2728831/18-10; Заявл. 19.02.79; Опубл. 12.02.81. Бюл. №5.- 2 е., ил.

12. Бахвалов, Н.С. Численные методы Текст. / Н.С. Бахвалов, Н.П, Жидков, Г.М. Кобельков // М.: Лаборатория базовых знаний, 2000 624 е.,ил.

13. Берд, Р. Явления переноса Текст. / Берд Р., Стюарт В., Лайтфут Е. // М., «Химия», 1974. 688 с.

14. Березин, И.С. Методы вычислений Текст. / И.С. Березин, Н.П. Жидков // т.1. М., Наука, 1966. 468 с.

15. Березин, И.С. Методы вычислений Текст. / И.С. Березин, Н.П. Жидков // т.2. М., Физматгиз, 1962. 484 с.

16. Березовец, Г.Т. О допустимых упрощениях при расчете пневматических регуляторов Текст. / Г.Т. Березовец, В.Н. Дмитриев, Э.М. Наджафов // -Приборостроение, 1957, №4, с.11-18.

17. Битюков В.К. Исследование пневматических лотковых механизмов загрузочно-транспортных устройств к машинам и поточным линиям Текст. // Автореф. дис. канд. техн. наук. Воронеж, 1969.- 20 с.

18. Битюков В.К. Научно-теоретические основы межоперационного автоматического перемещения изделий электронной техники транспортными устройствами с воздушной прослойкой // Автореф. дис. докт. техн. наук. -Москва, 1982.- 40 с.

19. Битюков В.К. Влияние геометрических параметров карманов давления на характеристики несущей прослойки Текст. / В.К. Битюков, Ю.Н. Золотарев, В.Н. Колодежнов // Известия ВУЗов. Машиностроение 1990.-№3.1. С. 56-60.

20. Битюков, B.K. Гидродинамика и теплоперенос в системах с тонкими несущий слоями вязкой несжимаемой жидкости. Текст. / В.К. Битюков, В.Н. Колодежнов // Воронеж: Издательство Воронежского государственного университета, 1999 192с.

21. Битюков, В.К. Пневматические конвейеры Текст. / В.К. Битюков, В.Н. Колодежнов, Б.И. Кущев // Воронеж: Изд-во ВГУ, 1984.- 164 с.

22. Битюков, В.К Весы для бесконтактного контроля массы движущихся изделий Текст. / В.К. Битюков, Б.И. Кущев, Е.Д. Чертов, И.А. Баскакова // Информационный листок о научно-техническом достижении №35-81 НТД, Серия 1303.10.- Воронежский ЦНТИ. 1981.- 4с., ил.

23. Бэтчелор Дж.К. Введение в динамику жидкости М., 2004. - 768 с.

24. Васильев, Г.К. Операционно-транспортные системы на газодинамической подушке для термической обработки изделий микроэлектронного производства Текст. / Г.К. Васильев // сб. науч. тр. по проблемам микроэлектроники, 1978.- Вып- 39.- С.138-153.

25. Веденялин, Г.В. Общая методика экспериментального исследования и обработки опытных данных / Г.В. Веденялин // М.: Наука, 1981 г. -215 с.

26. Волосевич, П. П. Автомодельные решения задач газовой динамики и теплопереноса Текст. / П.П. Волосевич, Е.И. Ливанов // М: МФТИ, 1997 -240 с.

27. Воробьев, В.Я. Теория и эксперименты Текст. / В .Я. Воробьев, А.Н. Елсуков // Минск. 1980.- 158 с.

28. Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике Текст. / М.Я. Выгодский // М., Наука, 1973. - 872 с.

29. Газовая динамика. Избранное. Текст. / под ред. А.Н. Крайко, А.Б. Ватажин // Т. 2. М., 2001. 768 с.

30. Гаргинло, Э. П. Характеристики газостатических сферических подшипников Текст. / Гаргинло, Э. П. (Garginlo Edward Р.) и др.// "Trans ASME", 1976, F98,№1, p. 111-116.

31. Гидроаэромеханика Текст. / J1. Прандтль // М., 2002. 572 с.

32. Годунов, С.К. Разностные схемы. Ведение в теорию. Текст. / С.К. Годунов, B.C. Рябенький // М.: Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1977. 439 с.

33. Гольдштейн, С. Современное состояние гидродинамики вязкой жидкости Текст. / С. Гольдштейн (ред.). // Пер. с англ. В 2-х т. М., Издатип-лит, 1948. Т. 1 375 е.; т. 2 - 407 с.

34. ГОСТ 24619-81 Весы и весовые дозаторы. Технологические пределы взвешивания и дозирования. Нормы точности.

35. Грачев, Ю.П. Математическое планирование экспериментов Текст. /Ю.П. Грачев // М.: Пищевая промышленность, 1979. 200 с.

36. Григорьев, Б.С. Переходный процесс при образовании смазочного слоя в сферическом подшипнике со сдавливанием газовой пленки Текст. / Б.С. Григорьев //Тула, "Прикладная математика", 1977. с. 130-133.

37. Дроздович, В.Н. Газодинамические подшипники Текст. / В.Н. Дроз-дович //. Л.: Машиностроение, 1976. 208 с.

38. Дьяконов, В.П. Математическая система Maple V R3/R4/R5 Текст. /В.П, Дьяконов // М.: "Солон", 1998. 400 с.

39. Емельянов, А.Е. Математическое моделирование процессов бесконтактного взвешивания изделий Текст. /А.Е. Емельянов // Автореф. дис. канд. тех. наук. Воронеж, 1991. - 24 с.

40. Емельянов, А.Е. Пневматическое устройство измерения массы Текст. /А.Е. Емельянов, Е.Д. Чертов // Тез. докл. Всесоюзного совещания "Пневмоавтоматика и пневмопривод". М.: 1990. - Ч. 1.- с.83.

41. Зауэр, Р. Введение в газовую динамику Текст. / Р. Зауэр // Пер. с немец. М., Наука, 2003. 228 с.

42. Звягин, В.Г. Аппроксимационно-топологический подход к исследованию задач гидродинамики. Система Навье-Стокса. Текст. / В.Г. Звягин,

43. B.Т. Дмитриенко // М, Наука, 2004. 112 с.

44. Исследование и расчет газостатических подшипников с двумя сферическими рабочими поверхностями Текст. / Demian Traían и др. // "An. 1 Congr. mee. fina 1 feira mee. fina., San Paulo, 17-21 Sept., 1984", S.J., s.a.1. C.137-148.

45. Исследование устойчивости сферического газового подшипника Текст. / Карпов B.C. и др. // М.: "Машиноведение", 1982, №4. - С.82-85.

46. Калиткин, H.H. Численные методы Текст. / H.H. Калиткин // М., Наука, 1978. -512с.

47. Карман, Т. Аэродинамика Текст. /Т. Карман // М., Мир, 2001. -204 с.

48. Колодежнов, В.Н. Гидродинамические и теплообменные процессы в системах с несущими прослойками при подаче и технологической обработке пищевых продуктов Текст. / В.Н. Колодежнов // Автореф. дис. док. техн. наук. Москва, 1992 - 41 с.

49. Ламб Г. Гидродинамика / Г. Ламб // Т. 1. М., Мир, 2003. 452 с.

50. Ламб Г. Гидродинамика / Г. Ламб // Т. 2. М., Мир, 2004. 482 с.

51. Липман, А.Е. Автоматизированная система взвешивания в движении Текст. / А.Е. Липман, А.И. Шапиро // Механизация и автоматизация производства. 1986, № 7.- С. 20-22.

52. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа Текст. / Л.Г. Лойцян-ский // М.: Наука, -1978. - 800 с.

53. Люсин, В.М. Статические характеристики сферического воздушного подвеса при малых избыточных давлениях наддува Текст. / В.М. Люсин // "Тр. Ленингр. политех, ин-та", 1976, №352 С. 65-70.

54. Мак-Келви, Д.М. Переработка полимеров Текст. / Д.М. Мак-Келви //М., Химия, 1965.-458 с.

55. Маккормак, Р.В. Численный метод решения уравнений вязких течений Текст. / Р.В. Маккормак // Аэрокосмическая техника, 1983. т. 1, № 4, С. 114-123.

56. Марчук, Г.И. Методы расщепления Текст. / Г.И. Марчук // М.: Наука, 1988.-264 с.

57. Математические основы механики жидкости Текст. / Марсден Дж.Е., Чорин А. М. // Наука, 2004. 204 с.

58. Методика расчета сдвоенного сферического газостатического подшипника Текст. / Demian Traian и др.// "Feingera tetechnik", 1986, 35, №1. -С.13-15.

59. Патанкар, С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости Текст. /С. Патанкар // Пер. с англ. М.: Энергопромиздат, 1984.-152 с. ил.

60. Патент 4153290 (США), МКИ В 29 F 3/08 Automatic control of extrusion Текст. / Richard F. Giles, Pinch W. Va (США), Phillips Petroteum Co (США) № 880522; Заявлено 24.02.78; Опубл. 18.09.79, Бюл. №33. - 7 е., ил.

61. Патент 54-135372 (Япония), МКИ В 29 H 17/00 Устройство для взвешивания резины. Текст. / № 768423: Заявл. 24.06.83; Опубл. 18.12.84, Бюл. №42, 5 е., ил.

62. Патент РФ 2039944, МКИ 6 G 01 G 17/02, 11/02 Устройство для взвешивания ленточного материала Текст. / Битюков В.К., Колодежнов В.Н., Сырицын Л.М., Шелякина И.Н. 92007540/10, Заявл. 23.11.92; Опубл. 20.07.95, Бюл. №20.- 6 е., ил.

63. Патент РФ 2039945, МКИ 6 G 01 G 17/02, 11/02 Устройство для взвешивания ленточного материала Текст. / Битюков В.К., Колодежнов В.Н., Сырицын Л.М., Шелякина И.Н. 92007541/10, Заявл. 20.11.92; Опубл. 20.07.95, Бюл. №20.- 3 е., ил.

64. Патент РФ 2090845, МКИ 6 G 01 G 11/00 Устройство для взвешивания ленточного материала Текст. / Битюков В.К., Колодежнов В.Н., Сырицын Л.М., Шелякина И.Н. 93016212/28, Заявл. 29.03.93; Опубл. 20.09.97, Бюл. №26.- 3 е., ил.

65. Патент РФ 2183822, МКИ Кл.7 G 01 G 11/00 Устройство для контроля параметров полосового полимерного материала Текст. / Битюков В.К., Сырицын Л.М., Болгова И.Н., Чернышов А.В., Портнов М.М. Заявл. 20.02.2001; Опубл. 12.08.2001, Бюл. №21. - 5 е., ил.

66. Патент РФ 2188128, МКИ Кл.7 G 01 G 11/00 Устройство для изготовления профилированных протекторных заготовок Текст. / Сырицын Л.М., Болгова И.Н., Гапиенко В.П., Чернышов А.В. // Заявл. 8.11.2000 г., Опубл. 19.02.2001, Бюл. №9, 4 с, ил.

67. Патент РФ 2194954, МКИ Кл.7 G 01 G 11/00 Устройство для контроля параметров протекторного полотна Текст. / Сырицын J1.M., Болгова И.Н., Чернышов A.B., Гапиенко В.П. // Заявл. 6.12.2001, Опубл. 21.05.2002, Бюл. №15. 6 е., ил.

68. Петросюк, М.И. Исследование поля давления в пространстве между несущей пластиной лотка и транспортируемой деталью Текст. / М.И. Петросюк, Г.А. Пригорский // Известия вузов. Технология легкой промышленности, 1973, №4, С.165-170.

69. Плохотников, К.Э. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент Текст. / К.Э. Плохотников// Методология и практика М., 2003. 280 с.

70. Попов, Г.В. Теоретические основы синтеза технологического оборудования с аэродинамическими прослойками при автоматизации производства изделий микроэлектроники Текст. / Г.В. Попов // Автореф. дис. док. техн. наук. Москва, 1994.- 32 с.

71. Прандтль, JI. Гидроаэромеханика Текст. /Л.Г. Прандтль // М.: Иностранная литература, 1951. 567 с.

72. Прокулевич, JI.A. Устойчивость сферических газовых подшипников со спиральными канавками на роторе Текст. / J1.A. Прокулевич // М.: "Трение и износ", 1987, 8, №6. с. 1031-1037.

73. Разностные методы решения задач газовой динамики Текст. / Самарский A.A., Попов Ю.П. // М.: Наука, 2004. 424 с.

74. Расчет расходных характеристик пневмоконвейеров, снабженных карманами давления Текст. / Битюков В.К. и др. // Известия ВУЗов. Машиностроение. 1988. -№7. - с.82-86.

75. Роуч, П. Вычислительная гидродинамика Текст. / П. Роуч // М.: Мир, 1980-616 с.

76. Ряжских В.И., Чернышов A.B. Математическое моделирование движения вязкой сжимаемой среды в несимметричном сферическом канале // Вестник ТГТУ, Тамбов: ТГТУ, 2004. с. 146-152.

77. Самарский A.A., Вабищевич ГШ. Численные методы решения задач конвекции-диффузии Текст. / A.A. Самарский, П.Н. Вабищевич // М, Изд.З. 2004. 248 с.

78. Сложное движение шипа сферической газовой опоры при наличии статического и динамического дисбалансов Текст. / В.М. Люсин др. // М.: "Машиноведение", 1980. С. 125-129.

79. Справочник по математике Текст. / Корн Г., Корн Т. // М.: Наука, 1977-832 е., ил.

80. Таннэхил, Дж.К. Численное исследование двумерного вязкого течения Текст. / Дж.К. Таннэхил, Т.Д. Холст, Дж.В. Рэкич // Ракетная техн. и космон., 1982, т. 20, № 3, с. 33-43.

81. Теплотехнический справочник Текст. / под. ред. В.Н. Юренева, П.Д. Лебедева // т.1 — М., Энергия , 1975. 744 с.

82. Уравнения математической физики Текст. / Владимиров B.C. // М.: Наука, 1971 -512 с.

83. Устойчивость разностных схем Текст. / A.A. Самарский, А.В, Гу-лин // М., 2005. 384 с.

84. Флетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкостей Текст.

85. Характеристики газодинамических сферических подшипников со спиральными канавками Текст. / Юичи Сато (Yuichi Sato) и др. // "Дзюнка-цу, Y. Yap. Soc. Lubr. Eng.", 1983, 28, №3. С. 221-227.

86. Чертов, Е.Д. Разработка и исследование пневматических контрольно-сортировочных автоматов для пищевой промышленности Текст. / Е.Д. Чертов // Автореф. дис. канд. техн. наук. Воронеж, 1979.- 25 с.

87. Численные методы оптимизации Текст. / А.Ф. Измаилов, М.В. Со-лодов // М., 2005. 304 с.

88. Численные методы решения обратных задач математической физики Текст. / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич // М., 2004. 480 с.

89. Численные методы условной оптимизации. М.: Мир. 1977.- 292 с.

90. Шелякина И.Н. К вопросу расчета пневмовесоизмерительной системы на воздушной подушке Текст. / И.Н. Шелякина // Тез. докл. конф. "Информационные технологии и системы" Воронеж, 1993. - С. 98.

91. Шелякина И.Н. Моделирование и разработка массоизмерителей с воздушной прослойкой для систем управления производством протекторных заготовок Текст. / И.Н. Шелякина // Автореф. дис. канд. техн. наук. — Воронеж, 1995.-24 с.

92. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя Текст. /Г. Шлихтинг // -М.: Наука, 1974. 712 с.

93. Tilgner, A. Fluid flows in spherical shells Text. / A. Tilgner, F.H. Busse // J. Fluid Mech, 2001, vol. 426, pp. 387-396.

94. Astill, K.N. An Analysis of Laminar Forced Convection between Concentric Spheres Text. / K.N. Astill // Trans ASME, 1976. p. 73-81.

95. Benton, E.R. A Table of Solutions of the One-Dimensional Burgers Equation / E.R. Benton, G.W. Platzman //. Quart. Appl. Math., v.30, p. 195-212.

96. Briley, W.R. Solution of Multidimensional Compressible Navier-Stokes Equations by a Generalized Implicit Method Text. / W.R. Briley, H. McDonald // J. Comput. Phys. 24,1997. p. 372-397.

97. Courant, R On the Partial Difference Equation of Mathematical Physics / R. Courant, K.O. Friedrichs, H. Lewy // IBM J. Res. Dev., 1967, v.l 1, p. 215-234.

98. DuFort, E.C. Stability Conditions in the Numerical Treatment of Parabolic Differential Equations Text. / E.C. DuFort, S.P. Frankel // Mathematics Та

99. Fetecau, A Unidirectional motion of simple fluid in spherical domains Text. / Fetecau // Mech. Appl., Tome 44, No 6, p. 727-733, Bucharest, 1999.

100. Araki, K. The nonaxisymmetric instability of the wide-gap spherical Couette flow Text. / Keisuke Araki, Jiao Mazushima, Shinichiro Yanase // Phys Fluids, April 1997, No9, pp. 1197-1199.

101. Leonard, B.P. A Stable and Accurate Convective Modeling Procedure Based on Quadratic Upstream Interpolation Text. ! B.P. Leonard // Comput. Methods Appl. Mech. Engng., v. 19, p. 59-98.

102. O'Brien, G.G. A Study of the Numerical Solutions of Partial Differential Equations / G.G. O'Brien, M.A. Hyman, S. Kaplan // J. Math. Phys., v. 29, p. 223-251.

103. Yang, R.-J. A numerical procedure for predicting multiple solutions of a spherical Taylor-Couette flow Text. / R.-J. Yang // International Journal for Numerical Methods in Fluids, vol. 22, 1996. p. 1135-1147.

104. Feng, W. The existence and uniqueness of weak solution of the flow between two concentric rotating spheres Text. / Weibing Feng, Kaitai LI // Appl. Math, and Mech., Jan 2000, vol. 21, Nol, pp. 67-72.

105. Feng, W. The Spectral Method for the Flow between Two Concentric Rotating Spheres Text. / Weibing Feng, Kaitai LI // Part I: The Full Discrete Leg-endre-Galerkin Methods. Comm. in Nonlinear Sci. & Num. Simul., 1988, vol. 3, №4, pp. 206-211.

106. Feng, W. The Spectral Method for the Flow between Two Concentric Rotating Spheres Text. / Weibing Feng, Kaitai LI // Part II: The Full Discrete Nonlinear Legendre-Galerkin Method. Comm. in Nonlinear Sci. & Num. Simul., 1988, vol.3, №4, pp. 211-214.