автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численно-аналитические методы моделирования распределения электростатических зарядов, полей и емкостей пластин неканонической формы на основе томографического подхода и базисных разложений

На правах рукописи

Кулешова Елена Олеговна

ЧИСЛЕННО - АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ЗАРЯДОВ, ПОЛЕЙ И ЕМКОСТЕЙ ЩАСТИН НЕКАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЫ НА ОСНОВЕ ТОМОГРАФИЧЕСКОГО ПОДХОДА И БАЗИСНЫХ

РАЗЛОЖЕНИЙ

05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Томск - 2007

Работа выполнена в Томском политехническом университете

Научный руководитель- доктор физико-математических наук,

профессор Исаев Ю Н

Официальные оппоненты заведующий кафедрой прикладной

математики Новосибирского Государственного архитектурно-строительного университета, доктор физико-математических наук, профессор Воскобойников Ю Е

ведущий научный сотрудник Института мониторинга экологических и климатических систем СО РАН, г Томск, доктора физико-математических наук, профессор Нагорский П М.

Ведущая организация Институт автоматики и электрометрии

Сибирского отделения Российской академии наук

Защита состоится 8 ноября 2007 года в 10 час 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212 267.08 при Томском государственном университете по адресу 634050, г Томск, пр Ленина, 36

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета

Автореферат разослан « 6 » октября 2007 года

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор

Скворцов А В

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность

В отраслях современной техники широко используются электротехнические устройства, в которых необходимо формировать желаемое распределение электростатического поля В частности в технологии обработки поверхностей материалов электронными и ионными пучками, в ускорительной технике, где необходимо создавать желаемый градиент потенциала электростатического поля для увеличения концентрации частиц в потоке и для фокусировки потока заряженных частиц В реакторах, используемых в устройствах очистки воды, в которых для увеличения энерговклада необходимы электроды определенной конфигурации с определенной величиной емкости Это далеко не полный перечень устройств, где необходим расчет распределения электростатических зарядов, полей и емкостей

Многими авторами были решены частные случаи расчета емкостей плоских проводников (Шишигин С JI (2004), Шушкевич Г Ч (1999), Лебедев Н Н, Скальская И П (1992), Наркун 3 М (1999, 2000), Шелюто В А (1991), Тарновский А С (2000)), а так же предложены приближенные и аналитические методы расчета электрической емкости для ограниченных классов проводников Расчет электрической емкости и электрического поля пластин неканонической формы является задачей актуальной, о чем свидетельствует большое количество публикаций в России и за рубежом К ним относятся работы Howe G W О (1920), J С Cooke (1963), W R Smythe (1951), Allen D, Dennis S. (1953), Reitan D К, Higgms TI (1957) Наиболее полно осветили вопрос расчета электрической емкости в своих работах Иоссель ЮЯ, Кочанов ЭС, Струнский М Г(1981, 1999), Бинс К, Jlay-ренсон П (1970), Колечинский Е С (1983) Они достаточно подробно рассмотрели основные методы расчета емкости и полей для проводников канонической формы Однако для проводников более сложной формы в тех же работах приводятся методы, дающие приближенные результаты

Один из перспективных методов исследования связан с использованием принципа компьютерной томографии (KT) Преимущество этого метода заключается в том, что его информативность о каждом элементарном объеме исследуемого объекта во много раз выше, чем в других известных методах вычислительной диагностики Основные математические задачи компьютерной томографии сводятся к решению интегральных уравнений первого рода Известно, что задачи решения таких уравнений являются некорректно поставленными При нахождении их приближенных решений необходимо использовать методы регуляризации, позволяющие учитывать дополнительную информацию о решаемой задаче Цель работы

Целью диссертационной работы является разработка томографического метода определения распределения заряда на поверхности плоской системы электродов неканонической формы, претендующего на высокую

точность расчетов даже для проводников сколь угодно сложной конфигурации

Дня достижения указанной цели поставлены и решены следующие основные задачи.

1 Разработка эффективного способа расчета электрической емкости плоской системы электродов неканонической формы с использованием принципа компьютерной томографии

2 Разработка способа и алгоритма, позволяющего определять распределение заряда по поверхности проводника при наличии внешнего поля в осесимметричном случае в виде полиномиального разложения

3 Разработка эффективного алгоритма расчета распределения заряда по поверхности проводника неканонической формы, позволяющего представить решение в виде разложения по собственным функциям с учетом особенностей решения некорректных задач

Научная новизна исследований заключается в следующем

1 Впервые разработан способ расчета распределения зарядов и емкостей электродов в виде пластин неканонической формы на основе томографического подхода

2 Впервые разработан способ конструирования взаимно сопряженных полиномов, позволяющих сводить интегральное уравнение обратного проецирования в алгебраическое уравнение Полученные полиномы позволяют представлять прямое и обратное решение в аналитическом виде При использовании сопряженных полиномов коэффициенты разложения искомой функции распределения зарядов интегрального уравнения и известной функций распределения потенциалов остаются неизменными

3 Впервые получен алгоритм синтеза базис разложения, являющийся наилучшим для интегрального уравнения томографии обратного проецирования и учитывающий особенности решения некорректных обратных задач

Теоретическая значимость работы заключается в том, что в ней предложены способы и алгоритмы, позволяющие описать и определить пространственное распределение электростатических потенциалов, полей и зарядов для проводников неканонической формы.

Практическая ценность работы заключается в том, что полученный на их основе пакет программ позволяет рассчитывать емкости электродов, имеющих форму сферических сегментов и пластин с произвольными краями, а также может быть использован для расчета полей реакторов водоочистительных систем, при расчете полей электродов устройств высоковольтной техники

Автором получены полиномы, позволяющие представить расчет распределения зарядов и емкостей в аналитической форме, что является весьма полезным при инженерных вычислениях

Достоверность результатов диссертации подтверждается строгим применением методов компьютерной томографии, численных методов, методов решения некорректно поставленных задач, теории дифференциальных и интегральных уравнений, а также совпадением в частных случаях с результатами расчетов, выполненных другими авторами с помощью других подходов, удовлетворительным согласием результатов расчетов по разработанным алгоритмам и программам с данными лабораторных экспериментов

На защиту выносятся следующие положения

1 Способ расчета распределения электростатических зарядов и емкостей электродов в виде сферических сегментов и плоских пластин неканонической формы на основе томографического подхода

2 Способ конструирования сопряженных полиномов, позволяющих свести решение интегрального уравнения томографии - обратное проецирование к алгебраическому уравнению При использовании сопряженных полиномов коэффициенты разложения искомой функции распределения зарядов интегрального уравнения и известной функций распределения потенциалов остаются неизменными

3 Алгоритм синтеза базиса разложения, являющийся наилучшим для интегрального уравнения томографии обратного проецирования и учитывающий особенности решения некорректных обратных задач

Апробация результатов

Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на VIII, X, XII Всероссийской научно-технической конференции «Энергетика экология, надежность, безопасность» (Томск, 2002, 2004, 2006), XI Международной научно-практической конференции студентов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (Томск, 2003), IV Международной конференции по модификации материалов пучками частиц и плазменными потоками (Томск, 2002), Международной научно - технической конференции «Электротехника, электротехнические системы и комплексы» (Томск, 2003), IX - Международной научно-практической конференции, посвященной 45-летию Сибирского государственного аэрокосмического университета им Академика М Ф Решетникова (Красноярск, 2005).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 14 печатных работ, в том числе 5 - в журналах, рекомендованных ВАКом

Личный вклад автора в работы, выполненные в соавторстве и включенные в диссертацию, состоит в непосредственном участии в разработке методики, проведении расчетов и анализе полученных результатов

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, и заключения, изложенных на 140 страницах машинописного текста, включая 4 таблицы и 85 рисунков, списка литературы, содержащего 85 наименования

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность темы исследования и излагается состояние вопроса, ставятся цель и основные задачи исследования, раскрываются научная новизна, теоретическая и практическая ценность работы, формулируются основные положения, выносимые на защиту

В первой главе описываются способ моделирования и алгоритмы восстановления распределения зарядов при известном распределении потенциала на поверхности электродов, с последующим определением емкостей электродов неканонической формы Задача восстановления распределения заряда сводится, в общем случае, к решению двумерной обратной задачи - решению интегрального уравнения Фредгольма первого рода В ряде случаев распределения зарядов оказываются функциями сингулярными, поэтому автором отдано предпочтение алгоритму, позволяющему учитывать особенности функций распределения зарядов Одним из таких методов является томографический подход Таким образом, данная глава посвящена описанию алгоритма определения распределения зарядов на поверхности проводника томографическим способом Так же приведен регу-ляризирующий алгоритм, позволяющий учитывать особенности решения некорректных обратных задач, к которым относится задача восстановления распределения заряда

В главе приводится вывод соотношений связывающих распределение зарядов с распределением потенциалов на ее поверхности В частности для пластины оно имеет вид

-тЧь

4™iJJ(x-xBf+(y-y0)2 Здесь U(x0,y0) — потенциал проводника, хд,уд - координаты расположения заряда, ст(х, у) - искомая плотность поверхностных зарядов

Выражение (I) в компьютерной томографии известно как обратное проецирование (back projection), оно показывает, что распределение потенциала на поверхности проводника есть низкочастотная версия распределения зарядов на поверхности проводника. Целью главы является сведение выражения двумерного уравнения Абеля к уравнению томографии Это позволяет использовать хорошо разработанные томографические пакеты для решения уравнения Абеля

На примерах восстановления осесимметричного и несимметричного распределения зарядов плоских электродов, продемонстрирована работа алгоритма, учитывающего особенности решения обратных задач, и получено хорошее согласие при восстановлении параметров модельных задач

Также приведены примеры расчета емкостей электродов канонической и неканонической формы.

Для произвольного распределения зарядов а(х,у) на плоской пластине, порождаемого суперпозицией полей внешнего и, создаваемым самой пластиной, были определены томографические проекции этого распределения. Это есть решение прямой задачи. Затем была решена обратная задача - по заданным проекциям восстановлено распределение зарядов на поверхности электрода. Для распределения зарядов на поверхности электродов:

| Ех(х - О, I; у - 0,1; 30)" + Ех(х + 0,1; у + 0,1; 30)6 - £х(х - 0,1; у + 0,1430)6, г(х, у) < R (0, r(x,y) >- R

где Ех(х,у,а) = + ,

рис. 1.

пространственный вид приведен на

Рис. 1. Пространственное распределение зарядов пластины а(х,у)

Было получено распределение проекций изображения, представленных на рис. 2.

Рис. 2. Пространственное распределение проекций Р{р, 8)

Далее выполнено решение обратной задачи и определен заряд в дискретном множестве точек.

а б в

Рис. 3. Восстановленное распределение заряда без учета (а) и с учетом (б) регуляризации решения, модельное распределение (в)

Плотность распределения зарядов а(г) является функцией сингулярной и для выяснения действительного её содержания необходимо вычисление функционала от функции плотности о(г). В нашем случае этот функционал имеет смысл полного заряда проводника Q , который используется в дальнейшем для определения распределения электростатического поля и расчета электрических емкостей проводников. Приведем примеры расчета емкостей плоских электродов различных конфигурации на основе выше описанного томографического алгоритма. На рис. 4-7 приведены верхние и нижние границы значений емкостей, представленных в справочной литературе, а по центру проходят кривые, рассчитанные томографическим методом.

Результаты расчетов ёмкостей некоторых пластин неканонической формы на основе томографического подхода приведены на рис. 8-10.

пластины

'.о

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0.4 0,3 0,2

123456789 10 Рис. 4. Емкость пластины в форме ромба

Рис. 5. Емкость прямоугольной

Рис. 6. Емкость пластины в форме кругового сегмента

6 3 2 3 6

Рис. 7. Емкость пластины в форме кругового сектора

Рис. 8. Геометрические размеры проводников неканонической формы

Рис. 9. Распределение потенциалов на поверхностях проводников в форме «шайба», «цветок», «звезда»

Рис. 10. Распределение зарядов по поверхностям проводников

Рис. 11. Емкость пластины в форме «звезда», «цветок», «шайба»

Вторая глава посвящена описанию способа расчета распределения заряда по поверхности проводника при наличии внешнего поля в осесим-метричном случае. В этом случае решение интегрального уравнения Абеля предлагается искать в виде полиномиального разложения. Такой подход к

решению поставленной задачи позволяет заменить сложное интегральное уравнение, связывающее распределение зарядов на пластине, потенциал пластины и потенциал внешнего поля, алгебраическим При этом, распределение потенциалов на поверхности пластины и распределение зарядов на поверхности электродов представляются через две группы взаимно сопряженных полиномов Коэффициенты разложений распределения потенциалов и распределения зарядов одинаковы Полученные полиномы позволяют представлять прямое и обратное решение в аналитическом виде Приведены примеры решения модельных задач с учетом и без учета регуляризации решения

В данной главе была рассмотрена проводящая пластина, помещенная во внешнее электростатическое поле На поверхности проводника происходит перераспределение зарядов Возникшее распределение зарядов компенсирует (гасит) влияние внешнего поля Для тонкой пластины соотношение между распределением зарядов на пластине, потенциалом пластины и потенциалом внешнего электростатического поля записываются следующим образом

где и" (г0) - потенциал внешнего поля, (У0- потенциал проводника, ст(г) -распределение зарядов на проводнике

Цель работы заключалась в том, чтобы заменить сложное интегральное уравнение (2) алгебраическим, то есть получить аналитические соотношения, связывающие потенциал результирующего поля и распределения зарядов на проводнике

Во второй главе было доказано, что решение уравнения (2) в осе-симметричном случает иметь вид

Представленная зависимость позволила получить пару сопряженных полиномов Первая часть полиномов предназначена для представления потенциала в виде степенной зависимости С/(р) = ри, тогда как другая часть предназначена для представления распределения зарядов Аналитические соотношения между парой сопряженных полиномов для четного и нечетного случаев приведены ниже

-и°(г0)+и0 =

4яе0 ¿|г-г0|

1_ с <у(г)

А-, г = {х,у,г}, г0 = {дс0,^0,20},г,г0 еО, (2)

(3)

с(р) =

M(l,l)_R

при m = 1,

■ N

к-О V z

(Л2 - p2 )*~2 (ргтД2 - m - 2p"2*«2 - l)p"21*

2k+ \

M(m, 1)

m + 1

-к VH F{m)M(m, 1)

при ля - четном,

V^IFV-T^

In R + ^R2- р2 р""1 (m + l)-

^ / V

,/л2 - p2 R + yjR1 -P:

при m - нечетном

Jj

(m+t)

P—_+p<->

Здесь

m-l

= f[2* +1, Fl(m,£) = fj/w -s,F2(m,k) = f[2m - 2s +1, c(m,k) = ,

, + / ч / ч „¿(-1)' f« Л

= JL, \ ■* (MО*"Е^гттпT'

/П + П, ¿=o 2k+ \ v 2 ;

Сведем в таблицу выражения для U(p) = pm и сг(р) = у„,(р) различных значений т с точностью до мультипликативной постоянной равной

480/71

Для четных степеней_

U(p)

®(Р)

1

W0(p) =

1

V|/2(p) = -2

Д2-2р2

8 4р2Л2-8р4+/г"

9 ^

Ср) ~

Для нечетных степеней

и(р)

а(р)

Я

-1п

+ 3р 1п

. Л 15

ъы-т*

(

(2Я4+5ДУ-15р4)#

+ 15р"1п

R + ^¡R2-Í

ЛЛ

Используя табличные соотношения можно определить любое интересующее нас распределение зарядов при известном распределении потенциала - это решение обратной задачи Для этого необходимо представить распределение потенциала поля в виде разложения по многочленам

и{ р) = 1ХРи

(4)

Коэффициенты разложения ряда (4) легко определить, используя метод наименьших квадратов Распределение зарядов при этом определяется соотношением

Я /71=0

(5)

Вид полиномов ряда (5) определяется выражениями из таблицы В главе 2, соотношения (4) и (5) были использованы для определения распределения зарядов пластин с отверстием и без него, а также пластин в виде сферического сегмента В качестве иллюстрации приведем описание алгоритма расчета пластины в виде сферического сегмента

Решением интегрального уравнения (2), при известном потенциале сегмента и {я), будет выражение:

г

иш\ ~ I<ь

о(а,в) = -

<1 а,

7Г/?51П(8) (¡в

к

2) А} I

2,

(6)

После замены переменных в (6) х = tg(a/2), р = /^(б/2), и необходимых

\ с ии

сокращении получаем окончательное выражение для определения распре деления зарядов на поверхности пластины при наличии внешнего поля

а '|■0(х)хс1х

(,+р2) *

а(Я,р) =

2/^7г рф

к

(7)

где и(х) =-У , , / " , ст(Л,р) = а

VI

2+х1

а

Таким образом, задача сведена к известному интегральному соотношению (3), которое решается с помощью полиномиального разложения полученного автором.

Определим распределение заряда и емкость пластины в виде сферического сегмента с находящегося в пределах телесного угла а = л/3, 8 = {0,л}, Потенциал пластины и(х) = ио =\В, радиус сферы Я=1мм.

Для решения задачи разложим потенциал сферического сегмента по

2 "

степеням 0(х) = ■■ = ^Г Акр* . Коэффициенты разложения ряда

л/Г

+ X

А = {А, А2 А3......АК}' определим, используя метод наименьших квадратов.

Число коэффициентов разложения определяется точностью разложения раскладываемой функции.

После определения коэффициентов разложения находим распределения зарядов. Геометрические параметры сферического сегмента и результат восстановления приведен на рис. 12.

Гх ЧР

Рис. 12. Геометрические параметры сферического сегмента и пространственное распределение зарядов и профиль функции а(а,0)

¿л и

/? | с/(р |ст(0, а) 5ш(9)£/9

Емкость заряда определяется выражением С = -

ил

Для описанных выше геометрических параметров сферического сегмента и заданного потенциала пластины £У0 емкость равна С/е = 8 375 10~3

Используя полученные соотношения, так же можно решить прямую задачу - задачу определения распределения потенциала С/(р) на поверхности электрода при известном распределении зарядов а(р)

В третьей главе автором предлагается алгоритм расчета распределения зарядов по поверхности проводника неканонической формы при наличии произвольного внешнего поля Предлагаемый алгоритм позволяет находить решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода в виде разложения по собственным функциям интегрального оператора Фредгольма, что существенно упрощает решение сложной некорректной задачи. Такой подход позволяет свести решение интегрального уравнения, представленного в виде СЛАУ, к решению группы скалярных уравнений Разложение состояний системы по собственным функциям имеет оптимальный вид, это значит, что число членов разложения в собственный базис всегда меньше числа членов любого другого разложения В этом случае «разлагаемая» и «разлагающая» функции имеют близкую форму (есть некая степень похожести), то есть имеют высокий коэффициент корреляции

Алгоритм позволяет учитывать особенности решения некорректной обратной задачи в виде оптимального гашения высокочастотных компонент разложения Работа алгоритма продемонстрирована на примерах решения модельных задач восстановления распределения зарядов в случае осесимметричного и несимметричного распределений потенциалов

При воздействии внешнего поля возникает перераспределение зарядов, результирующее поле является суперпозицией полей создаваемого зарядами на поверхности электродов и внешним источником Этот факт выражается в виде интегрального уравнения Фредгольма первого рода

р=М> рь={*о>Л,Ь

где и(Ро) - потенциал результирующего поля, ог(р) - искомое распределение зарядов на поверхности электродов Известно, что уравнение (8) является некорректным по Тихонову, то есть решение этого уравнения а(р) чувствительно к неточным исходным данным £/(р,), в которых неизбежно присутствуют шумы

Первый этап алгоритма заключается в поиске собственных функций и собственных чисел двумерного интегрального уравнения (8)

где Ч'(р) - собственные функции, X - собственные числа

Второй этап алгоритма заключается в представлении искомого решения <т(р) и потенциала результирующего поля С/(р) в виде разложения в ряд по собственным функциям

сг(Р) = ХС„^„(Р), и(Р) = Е«ЙЧ/„(Р) (Ю)

п п

Затем определяются коэффициенты разложения ап обобщенного ряда Фурье известной функции 17(р) Представления функций ст(р) и £/(р) в виде рядов (10) подставляются в интегральное уравнение (8), которое редуцируется в алгебраическое, в силу свойств собственных функций (9)

п п

а

В силу линейной независимости собственных функций получаем- С„ = —.

К

Таким образом, было получено искомое решение в виде разложения по собственным функциям ст(р) = Ч'(р)

" К

Задача нахождения таких собственных функций *Рл(р) сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода

ч'ДрРч = (^(рЖР,Р?РДР'М2Р\ (11)

здесь К(р,р') - ядро интегрального уравнения , Ч'Др), Хк - собственные функции и собственные значения интегрального уравнения (11), соответственно,

IV (р) = 1 ' ^ ' - функция зрачка [0, |р[ > /?

Решение интегрального уравнения (11) находилось в факторизован-ном виде ЧР(р) - Д(р)©(0)

Прежде всего, определим вид азимутальной функции ©(0) Отметим, что функция ©(8) должна быть непрерывной и периодической функцией угла 0 с периодом 2% Подставляя решение (9) в уравнение (8) и выполнив замену переменных- £ = 00, = ^0, в' = £ + 0, получим.

//^(рЖ(р, Р ■ ОЩр •)©(; + 9)рф^ = ХЕ(р)&(&) (12)

о о

Из уравнения (12), в силу непрерывности, периодичности и единственности решения, следует, что ©(£ + 0) = 0(О©(9) Общее решение этого

уравнения, имеющее период 2л, хорошо известно и имеет вид ехр(/»;9). Следовательно, функция ©(0) записывается следующим образом:

0(6) = ехр(/т6) , где т = 0,1,2,... (13)

Для определения радиальной матрицы перехода, подставим выражение (13) в (12) и после некоторых преобразований получаем однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода:

Я 2п

|рф0Чр)Л(р)\сЛ;ехР(ш0К(Ру,0 = Щр) .

Введем обозначение: К„(р,р')= |<^ехр(/от0Х"(р,р',0.

(14)

Перепишем интеграл (14) в виде: К„(р,р') = 2

1

ехр(/'тО (1С,

Введем обозначение: ЛГт (р, р', О = 2

Р +Р ехр(шг^)

1-^со5(0

где т = 0,1,2,...

Р +Р

Выполнив суммирование Ыт (р, р', С) по углу С, от 0 до 2к было рассчитано ядро при различных т .

Далее определяем собственные функции для различных азимутальных составляющих ЧР°(р), ^'(р), ^'(р),... и вектора собственных чисел

А0, А.', А.2,... Пространственное изображение полученных собственных функций приведено на рис. 13-14.

Ш! й

Рис. 13. Контурные линии и изометрическое изображение первых четырех собственных

функций при т = 0

П 1(11 0 101 11 »11 (1 |Щ

Рис. 14. Контурные линии и изометрическое изображение первых чечырех собственных

функций при т = 1

Третий этап алгоритма заключается в фильтрации полученного решения в силу неизбежного наличия шумов в найденных коэффициентах разложения. На этом этапе производится гашение высокочастотных составляющих на основе использования сглаживающего функционала Тихонова, в котором учитывается согласование параметра регуляризации с уровнем шума измеряемой функции.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Приведём основные результаты проведённых исследований.

1. Разработан способ определения пространственного распределения электростатических потенциалов, полей и зарядов для электродной системы в виде сферических сегментов и плоских пластин. На основе предложенного математического описания получен пакет программ, позволяющие рассчитывать емкости электродов, имеющих форму сферических сегментов и пластин с произвольными краями.

2. Предложен способ синтеза сопряженных полиномов, позволяющих сводить задачу двумерного интегрального уравнения Абеля к алгебраическому уравнению. При использовании сопряженных полиномов, коэффициенты разложения искомой (распределение зарядов) и известной (распределение потенциалов) функций интегрального уравнения остаются неизменными. Полученные полиномы позволяют получить полезные аналитические соотношения для представления распределения зарядов и емкостей.

3. Разработан алгоритм и пакет программ для синтеза собственных функций двумерного интегрального уравнения Абеля для произвольной формы краев границ. Любое состояние системы можно описать в виде линейной комбинации собственных функции в наиболее простом виде. Полученные собственные функции обладают свойствами оптимальности, и являются наилучшим, по сравнению с любым другим, разложением в смысле размерности пространства разложения. Причем с помощью полу-

ченной системы собственных функций и соответствующих собственных чисел легко решается как прямая, так и обратная задачи для любого состояния системы

4 Разработаны алгоритмы регуляризации для двумерного интегрального уравнения Абеля на основе использования сглаживающего функционала Тихонова, позволяющего снизить паразитное влияние высокочастотных составляющих измеряемой функции на результат решения Разработанный алгоритм апробирован при решение интегрального уравнения в виде спектрального разложения и при замене интегрального уравнения на систему линейных алгебраических уравнений

5 Проведены моделирования восстановления распределения электростатических зарядов на поверхности электродов по известному распределению потенциалов при наличии шума и без него Разработанные алгоритмы и пакет программ могут быть использованы для расчета полей реакторов водоочистительных систем, при расчете полей электродов устройств высоковольтной техники, для расчета емкостей электротехнических и радио устройств, для моделирования фокусирующих полей заряженных пучков, предназначенных для технологической обработки поверхностей образцов

Основные материалы диссертации опубликованы в следующих работах

1. Воскобойников Ю Е, Исаев Ю Н, Литасов В А , Колчанова В А , Кулешова Е О Регуляризирующий алгоритм идентификации параметров схемы замещения электрического разряда ч I // Известия Томского политехнического университета -2007 -№1,-Т310 -с 79-82

2 Воскобойников Ю Е, Исаев Ю Н, Литасов В.А, Колчанова В А, Кулешова Е О Регуляризирующий алгоритм идентификации параметров схемы замещения электрического разряда ч II // Известия Томского политехнического университета -2007 -№2,-Т310 - с 73-77

3 Исаев Ю Н, Колчанова В А , Кулешова Е О, Шпильная О П Определение электротехнических параметров эквивалентной схемы замещения разрядного промежутка озонатора // Известия Томского политехнического университета - 2006 - № 1, - Т 309 - с 59-65

4. Исаев Ю Н, Кулешова Е О , Шпильная О П Томографический метод расчета распределения заряда и емкостей плоских электродов неканонической формы // Известия Томского политехнического университета -2005 — №7, — Т.308 -с 91-95

5 Исаев Ю Н, Колчанова В А , Кулешова Е О, Шпильная О П Определение оптимальной формы воздействующего импульса озонатора // Известия Томского политехнического университета — 2005 - № 7, -Т308 - с 87-91

6 Исаев Ю Н , Кулешова Е О Расчет распределения зарядов электрического поля на поверхности плоской системы электродов, помещенной

во внешнее электростатическое поле // XII Всероссийская научно-техническая конференция "Энергетика экология, надежность, безопасность", - Томск Изд-во ТПУ, 2006. - с 69-72

7 Исаев Ю Н, Кулешова Е О., Шпильная О П. Вейвлет пакет для оптимальной обработки сигналов // IX Международная научная конференция, посвященная 45-летию Сибирского государственного аэрокосмического университета им М.Ф Решетникова, - Красноярск, 2005 - с 276 - 278

8. Исаев Ю Н, Кулешова Е О, Шпильная О.П Адаптивное восстановление замутненных аэрокосмических изображений с использованием вейвлет преобразований // IX Международная научная конференция, посвященная 45-летию Сибирского государственного аэрокосмического университета им М Ф. Решетникова, - Красноярск, 2005 - с 248 -250

9 Носов Г В, Колчанова В А , Кулешова БОК расчету эффективности передачи энергии импульсным трансформатором // VIII Всероссийская научно-техническая конференция "Энергетика: экология, надежность, безопасность", - Томск Изд-во ТПУ, 2002 - С. 64 - 67.

10 Носов Г В , Усов Ю П, Кулешова Е О Электромашинные генераторы с периодически изменяющейся индуктивностью - мощные источники питания ускорителей // VI Международная конференция по модификации материалов пучками частиц и плазменными потоками - Томск Изд-во ТПУ, 2002 - с 165-167

11 Носов Г В , Кулешова Е.О К расчету напряжений и токов импульсного трансформатора // VIII Всероссийская научно-техническая конференция "Энергетика экология, надежность, безопасность", - Томск- Изд-во ТПУ, 2002 - с. 70 - 73

12 Носов Г.В , Кулешова Е О Сжатие во времени импульсов напряжений и токов // IX Международная научно-практическая конференция "Современные техника и технологии", - Томск Изд-во ТПУ, 2003 - с 256-258

13 Носов Г В , Кулешова Е О Численное моделирование на ЭВМ петель гистерезиса ленточных ферромагнитных сплавов. // Международная научно-техническая конференция "Электроэнергетика, электротехнические системы и комплексы", - Томск. Изд-во ТПУ, 2003 - с 256 -259

14 Носов Г В, Кулешова Е О. К расчету петель гистерезиса ферромагнитных сплавов // X Всероссийская научно-техническая конференция "Энергетика экология, надежность, безопасность", - Томск Изд-во ТПУ,2004.-с 83-86

Подписано к печати 01 10.2007 г Тираж 50 экз Кол-во стр 19 Заказ № 38 -07 Бумага офсетная Формат А5 Печать RISO Отпечатано в типографии ООО «РауШ мбХ» Лицензия Серия ПД № 12-0092 от 03.05 2001г. 634034, г. Томск, ул Усова 7, ком 046. тел (3822) 56-44-54

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Восстановление распределения зарядов по поверхности проводника и расчет емкостей электродов неканонической формы томографическим методом.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Численная реализация алгоритма восстановления распределения зарядов пластин неканонической формы.

1.3. Примеры решения модельных задач.

1.3.1. Модельная задача восстановления несимметричного распределения зарядов плоских электродов.

1.3.2. Модельная задача восстановления осесимметричного распределения зарядов плоских электродов.

1.4. Расчет емкостей электродов произвольной конфигурации.

1.4.1. Расчет емкостей проводника в форме круглого кольца.

1.4.2. Расчет емкостей проводников канонической и неканонической формы.

1.5. Построение регуляризирующего алгоритма.

Результаты главы.

ГЛАВА 2. Аналитический метод расчета распределения зарядов плоского кругового диска и сферического сегмента, расположенного во внешнем электростатическом поле.

2.1. Свободное распределение зарядов на диске.

2.2. Распределение зарядов на заземленном диске, помещенном в поле точечного заряда.

2.3. Свободное распределение зарядов на плоскости с круговым отверстием.

2.4. Свободное распределение зарядов на сферическом сегменте.

Результаты главы.

ГЛАВА 3. Расчет распределения зарядов на поверхности плоского электрода, помещенного во внешнее электростатическое поле.

3.1. Постановка задачи. Выводы основных соотношений.

3.2. Синтез собственных функций.

3.3. Пример решения модельной задачи. Восстановление распределения зарядов в случае несимметричного распределения потенциала с учетом особенностей обратных некорректных задач.

Результаты главы.

Актуальность

В отраслях современной техники широко используются электротехнические устройства, в которых необходимо формировать желаемое распределение электростатического поля [8, 9, 11]. В частности, в технологии обработки поверхностей материалов электронными и ионными пучками, в ускорительной технике, где необходимо создавать желаемый градиент потенциала электростатического поля для увеличения концентрации частиц в потоке и для фокусировки потока заряженных частиц. В реакторах, используемых в устройствах очистки воды, в которых для увеличения энерговклада необходимы электроды определенной конфигурации с определенной величиной емкости. В реакторе формируется электростатическое поле с желаемым распределением потенциалов для концентрации заряженных частиц в определенной области межэлектродного промежутка.

В электротехнических устройствах происходят сложные процессы, связанные с накоплением, перераспределением энергии, протеканием токов смещения, проводимости [10, 30, 32]. Поэтому, при проектировании различных электрических, электроавтоматических и радиотехнических устройств, расчете отдельных элементов телевизионной, телеметрической и электроизмерительной аппаратуры, расчете заземлителей возникает необходимость расчета электрической емкости [3, 5].

Это далеко не полный перечень устройств, где необходим расчет распределения электростатических зарядов, полей и емкостей.

Многими авторами были решены частные случаи расчета емкостей плоских проводников, а так же предложены приближенные и аналитические методы расчета электрической емкости для ограниченных классов проводников. Расчет электрической емкости и электрического поля пластин неканонической формы является задачей актуальной, о чем свидетельствует большое количество публикаций в России и за рубежом [18, 55, 58, 62, 63, 66, 68, 69, 71,72, 74, 76, 83, 84].

В общем случае, для точного расчета электрической емкости системы проводников требуется строгое решение соответствующей электростатической задачи. Сложность аналитического решения большинства электростатических задач обусловила появление и развитие ряда приближенных методов расчета электростатической емкости, в том числе, основанных на задании определенного распределения заряда по поверхности проводника.

В научно-технической литературе достаточно подробно рассмотрены основные методы расчета емкости и полей для проводников канонической формы. Однако, для проводников более сложной формы, в тех же работах, приводятся методы, дающие приближенные результаты.

Наиболее широкое распространение получил метод Хоу [18], в основе которого лежат два допущения: распределение заряда по поверхности тела равномерно, т.е. сг = const, что противоречит физическому смыслу задачи; потенциал поверхности тела равен среднему арифметическому значений потенциала во всех его точках.

Недостаток этого метода заключается в том, что он всегда дает заниженные значения емкости, причем, чем сложнее форма проводника, тем большую погрешность дает данный метод.

Следующая группа методов позволяет лишь определить пределы, ограничивающие истинное значение емкости, т.е. получить ее верхнюю и нижнюю границы. К ним относятся такие методы, как метод частей, метод симметризации, метод интегральных геометрических параметров.

Существующие вспомогательные методы заключаются в геометрических преобразованиях проводников и основаны на том, что при некоторых из этих преобразований значения емкостей остаются неизменными или меняются известным образом, что не всегда возможно.

В связи с внедрением компьютеров с мощным математическим программным обеспечением стало возможным применение новых методов исследования с привлечением современных методов математического моделирования. Один из перспективных методов связан с использованием принципа компьютерной томографии (КТ). Преимущество этого метода заключается в том, что его информативность о каждом элементарном объеме исследуемого объекта во много раз выше, чем в других известных методах вычислительной диагностики. Высокая эффективность этого метода впервые была продемонстрирована на примерах его использования в медицине и биологии [78, 79]. На данный момент имеется немало значительных результатов, полученных с помощью томографии в молекулярной физике, физике твердого тела, геофизике, атмосферной оптике, гидродинамике, квантовой электронике, физике лабораторной и космической плазмы, физике ускорителей частиц и т.п. Лежащее в основе метода преобразование Радона играет важную роль в современной квантовой теории поля и физике элементарных частиц.

Основные математические задачи компьютерной томографии сводятся к решению интегральных уравнений первого рода. Известно, что задачи решения таких уравнений являются некорректно поставленными [23, 38, 60, 67]. При нахождении их приближенных решений необходимо использовать методы регуляризации, позволяющие учитывать дополнительную информацию о решаемой задаче.

Таким образом, целью диссертационной работы является разработка томографического метода определения распределения заряда на поверхности плоской системы электродов неканонической формы, претендующего на высокую точность расчетов даже для проводников сколь угодно сложной конфигурации. При известном распределение зарядов можно подсчитать распределение полей и ёмкости проводников.

Для достижения этой цели решаются следующие основные задачи:

1. Разработка эффективного способа расчета электрической емкости плоской системы электродов неканонической формы с использованием принципа компьютерной томографии.

2. Разработка способа и алгоритма, позволяющего определять распределение заряда по поверхности проводника неканонической формы в виде полиномиального разложения.

3. Разработка эффективного алгоритма расчета распределения заряда по поверхности проводника неканонической формы, позволяющего представить решение в виде разложения по собственным функциям с учетом особенностей решения некорректных задач.

Диссертация состоит из трех глав.

В первой главе описываются способ моделирования и алгоритм восстановления распределения зарядов при известном распределении потенциала на поверхности электродов, с последующим определением емкостей электродов неканонической формы. Задача восстановления распределения заряда сводится, в общем случае, к решению двумерной обратной задачи - решению интегрального уравнения Фредгольма первого рода. В ряде случаев распределения зарядов оказываются функциями сингулярными и, поэтому, автором отдано предпочтение алгоритму, позволяющему учитывать особенности функций распределения зарядов. Одним из таких методов является томографический подход. Таким образом, данная глава посвящена описанию алгоритма определения распределения зарядов на поверхности проводника томографическим способом. Также приведен регуляризирующий алгоритм, позволяющий учитывать особенности решения обратных некорректных задач, к которым относится задача восстановления распределения заряда.

На примерах восстановления осесимметричного и несимметричного распределения зарядов плоских электродов продемонстрирована работа алгоритма, учитывающего особенности решения обратных задач, и получено хорошее согласие при восстановлении параметров модельных задач. Также приведены примеры расчета емкостей электродов канонической и неканонической формы.

Вторая глава посвящена описанию способа расчета распределения заряда по поверхности проводника при наличии внешнего поля в осесиммет-ричном случае. В этом случае решение интегрального уравнения Абеля предлагается искать в виде полиномиального разложения. Такой подход к решению поставленной задачи позволяет заменить сложное интегральное уравнение, связывающее распределение зарядов на пластине, потенциал пластины и потенциал внешнего поля, алгебраическим. При этом, распределение потенциалов на поверхности пластины и распределение зарядов на поверхности электродов представляются через две группы взаимно сопряженных полиномов. Коэффициенты разложений распределения потенциалов и распределения зарядов одинаковы. Полученные полиномы позволяют представлять прямое и обратное решение в аналитическом виде. Приведены примеры решения модельных задач с учетом и без учета регуляризации решения.

В третьей главе автором предлагается алгоритм расчета распределения зарядов по поверхности проводника неканонической формы при наличии произвольного внешнего поля. Предлагаемый алгоритм позволяет находить решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода в виде разложения по собственным функциям интегрального оператора Фредгольма, что существенно упрощает решение сложной некорректной задачи. Такой подход позволяет свести решение интегрального уравнения к решению СЛАУ. Разложение состояний системы по собственным функциям имеет оптимальный вид, это значит, что число членов разложения в собственный базис всегда меньше числа членов любого другого разложения. В этом случае, «разлагаемая» и «разлагающая» функции имеют близкую форму (есть некая степень похожести), т.е. коэффициент корреляции очень высокий.

Алгоритм позволяет учитывать особенности решения некорректной обратной задачи в виде оптимального - селективного гашения высокочастотных компонент разложения. Работа алгоритма продемонстрирована на примерах решения модельных задач восстановления распределения зарядов в случае осесимметричного и несимметричного распределения потенциала.

Научная новизна исследований заключается в следующем.

1. Впервые разработан способ расчета распределения зарядов и емкостей электродов в виде пластин неканонической формы на основе томографического подхода. Предложена электростатическая - томографическая аналогия, позволяющая сводить задачи электростатики к хорошо разработанным задачам томографии. На основе этой аналогии предложены принципы аналоговой томографии.

2. Впервые разработан способ конструирования взаимно сопряженных полиномов, позволяющих сводить интегральное уравнение обратного проецирования в алгебраическое уравнение. Распределение потенциалов на поверхности пластины представляется в виде разложения по одной группе полиномов, тогда как сопряженная группа представляет распределения зарядов на поверхности электродов с теми же коэффициентами разложения. Распределение зарядов является решением интегрального уравнения обратного проецирования. С помощью полученных полиномов решаются как прямая, так и обратная задачи уравнения обратного проецирования. Полученные полиномы позволяют представлять прямое и обратное решение в аналитическом виде.

3. Впервые получен алгоритм, позволяющий синтезировать оптимальный базис разложения, являющийся наилучшим для интегрального уравнения томографии обратного проецирования. При синтезе оптимального базиса были учтены особенности решения некорректных обратных задач.

Теоретическая значимость работы заключается в том, что в ней предложены способы и алгоритмы позволяющие описать и определить пространственное распределение электростатических потенциалов, полей и зарядов для проводников неканонической формы.

Практическая ценность работы заключается в том, что полученный на их основе пакет программ позволяет рассчитывать емкости электродов, имеющих форму сферических сегментов и пластин с произвольными краями, а также может быть использован для расчета полей реакторов водоочистительных систем, при расчете полей электродов устройств высоковольтной техники.

Автором получены полиномы, позволяющие представить расчет распределения зарядов и емкостей в аналитической форме, что является весьма полезным при инженерных вычислениях.

Достоверность результатов диссертации подтверждается строгим применением методов компьютерной томографии, численных методов, методов решения некорректно поставленных задач, теории дифференциальных и интегральных уравнений, а также совпадением, в частных случаях, с результатами расчетов, выполненных другими авторами с помощью других подходов, удовлетворительным согласием результатов расчетов по разработанным алгоритмам и программам с данными лабораторных экспериментов.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Способ расчета распределения электростатических зарядов и емкостей электродов в виде сферических сегментов и плоских пластин с произвольными краями, основанный на томографическом подходе.

2. Способ конструирования сопряженных полиномов, позволяющих свести решение интегрального уравнения томографии - обратное проецирование - к алгебраическому уравнению. При использовании сопряженных полиномов коэффициенты разложения искомой и известной функций интегрального уравнения остаются неизменными. Уравнение обратного проецирования связывает распределение зарядов с распределением потенциалов на поверхности электродов. Для решения уравнения производится разложение зарядов и потенциалов на сопряженные полиномы, при этом коэффициенты разложения остаются неизменными.

3. Алгоритм синтеза базиса разложения, являющийся наилучшим для интегрального уравнения томографии обратного проецирования и учитывающий особенности решения некорректных обратных задач.

При нумерации разделов, формул и рисунков первая цифра указывает номер главы, вторая - их порядковый номер.

Основные результаты, полученные в диссертации, представлены в опубликованных работах [31, 33, 43-54] и докладывались на VIII, X, XII Всероссийской научно - технической конференции «Энергетика: экология, надежность, безопасность» (Томск, 2002, 2004, 2006), XI Международной научно-практической конференции студентов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (Томск, 2003), IV Международной конференции по модификации материалов пучками частиц и плазменными потоками (Томск,

2002), Международной научно - технической конференции «Электротехника, электротехнические системы и комплексы» (Томск, 2003), IX - Международной научно-практической конференции, посвященной 45-летию Сибирского государственного аэрокосмического университета им. академика М.Ф. Ре-шетнева (Красноярск, 2005).

Личный вклад автора в работы, выполненные в соавторстве и включенные в диссертацию, состоит в непосредственном участии в разработке методики, проведении расчётов и анализе полученных результатов.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору ф.-м.н., профессору Ю.Н. Исаеву, а также зав. кафедры теоретической и общей электротехники Г.В. Носову за тесное сотрудничество, использование совместно-опубликованных материалов, ценные советы и оказанную помощь в работе.

Заключение

Приведём основные результаты проведённых исследований.

1 .Разработан способ определения пространственного распределения электростатических потенциалов, полей и зарядов для электродной системы в виде сферических сегментов и плоских пластин. На основе предложенного математического описания получен пакет программ, позволяющий рассчитывать емкости электродов, имеющих форму сферических сегментов и пластин с произвольными краями. Созданный пакет программ может быть использован для расчета полей реакторов водоочистительных систем, при расчете полей электродов устройств высоковольтной техники, для расчета емкостей электротехнических и радио устройств.

2.Предложенный способ синтеза сопряженных полиномов, позволяющих сводить задачу двумерного интегрального уравнения Абеля к алгебраическому уравнению. При использовании сопряженных полиномов коэффициенты разложения искомой (распределение зарядов) и известной (распределение потенциалов) функций интегрального уравнения остаются неизменными. Полученные полиномы позволяют получить полезные аналитические соотношения для представления распределения зарядов и емкостей, что является весьма полезным при инженерных вычислениях.

3. Разработан алгоритм и пакеты программ для синтеза собственных функций двумерного интегрального уравнения Абеля для произвольной формы краев границ. Любое состояние системы можно описать в виде линейной комбинации собственных функции в наиболее простом виде. Полученные собственные функции обладают свойствами оптимальности и являются наилучшим, по сравнению с любым другим разложением, в смысле размерности пространства разложения. Причем, с помощью полученной системы собственных функций и соответствующих собственных чисел легко решается как прямая, так и обратная задачи для любого состояния системы. а(р) = 1СД„(р), £/(р) = 1>,Х(р). п п

Соотношение между коэффициентами разложения искомой подынтегральной функции сг(р)-» С = {СрС^Сз-. С,,} и коэффициентами разложения известной - измеряемой функции £У(р)-»а = {а1,а2м3.мп}, имеет предельно простой вид Сп=ап/Хп, где X = {А,Д2Л3.А„} - собственные числа собственных функций Т(р) = {хР1(р),хР2(р),хР3(р)., порождаемых рассматриваемой системой.

4. Разработаны алгоритмы регуляризации для двумерного интегрального уравнения Абеля на основе использования сглаживающего функционала Тихонова, позволяющего снизить паразитное влияние высокочастотных составляющих измеряемой функции на результат решения. Алгоритм апробирован при решении интегрального уравнения в виде спектрального разложения и при замене интегрального уравнения на систему линейных алгебраических уравнений.

5. Проведено моделирование восстановления распределения электростатических зарядов на поверхности электродов по известному распределению потенциалов при наличии шума и без него. Разработанные алгоритмы и пакеты прикладных программ могут быть использованы для расчета полей реакторов водоочистительных систем, при расчете полей электродов устройств высоковольтной техники, для расчета емкостей электротехнических и радио устройств, для моделирования фокусирующих полей заряженных пучков, предназначенных для технологической обработки поверхностей образцов.

1. Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Спб.: Питер ТомЗ. - 4е изд. 2003. - 377с.

2. Миролюбов H.H., Костенко М.В., Левинштейн М.Л., Тиходеев H.H. Методы расчета электростатических полей. М.: Высшая школа. 1963. 415с.

3. Бахрушин Ю.П., Анацкий А.И. Линейные индукционные ускорители. -М.: Атомиздат, 1978. 248 с.

4. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. М.: Высшая школа, 1996.-638 с.

5. Колосов В.Г., Леонтьев А.Г., Мелехин В.Ф. Импульсные магнитные элементы и устройства. Л.: Энергия, 1976. - 312 с.

6. Электротехнический справочник: в Зт. Т.1 Общие вопросы. Электротехнические материалы/ Под общей ред. профессоров МЭИ В.Г. Герасимова и др. 7-е изд., испр. и доп. - М.: Энергоатомиздат, 1985. - 488 с.

7. Дьяконов В. MATHCAD 8/2000: специальный справочник. СПб: Издательство "Питер", 2000. - 592 с.

8. Вдовин С.С. Проектирование импульсных трансформаторов. Л.: Энергия. 1971.- 148 с.

9. Демирчян К.С., Чечурин В.Л. Машинные расчеты электромагнитных полей. М.: Высшая школа. 1986.- 240 с.

10. Яцкевич В.В. Теория линейных электрических цепей. Мн.: Выш. Шк. 1990.-264 с.

11. Физика и техника мощных импульсных систем. Сб. ст./Под ред. Акад. Е.П. Велихова. М.: Энергоатомиздат. 1987. 352 с.

12. Говорков В.А. Электрические и магнитные поля. М.: Госэнергоиздат. 1960.-462 с.

13. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983.

14. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. М.: Наука. 1984.

15. Брычков Ю.А., Маричев О.И., Прудников А.П. Таблицы неопределенных интегралов. М.: Наука. 1986.

16. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука. 1984.

17. Исаев Ю.Н. Численно аналитическое моделирование восстановления оптических сигналов и изображений: Монография. - Томск: Изд-во ТПУ, 2005.- 189 с.

18. Иоссель Ю.Я., Кочанов Э.С., Струнский М.Г. Расчет электрической емкости- JL: Энергоиздат, 1981,- 288 с.

19. Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Реконструктивная томография в газовой динамике и физике плазмы. Новосибирск: Изд-во Наука, 1987. -232 с.

20. Кравчук A.C. Основы компьютерной томографии. М.: Дрофа, 2001. -240 с.

21. Преображенский Н.Г., Пикалов В.В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы. Новосибирск: Изд-во Наука, 1982. - 238 с.

22. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов A.A. Математические методы компьютерной томографии. М.: Наука, 1985. 160 с.

23. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1986. -286 с.

24. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. - 424 с.

25. Карташов А.П. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. М.: Наука, 1976. - 255 с.

26. Макаров Е. Инженерные расчеты в MathCad: учебный курс. М. СПб.: Питер, 2005.-448 с.

27. Иоссель, Ю.Я. Расчет потенциальных полей в энергетике. Л.: Энергия, 1978.-350 с.

28. Демирчян К.С. Моделирование и машинный расчет электрических цепей. Учебное пособие / К. С. Демирчян, П. А. Бутырин. М.: Высшая школа, 1988.-334 с.

29. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 508 с.

30. Зевеке П.В., Ионкин П.А., Нетушил A.B., Страхов C.B. Основы теории цепей. М.: Энергоатомиздат, 1989. - 528 с.

31. Носов Г.В., Колчанова В.А., Кулешова Е.О. К расчету эффективности передачи энергии импульсным трансформатором. // VIII Всероссийская научно-техническая конференция "Энергетика: экология, надежность, безопасность", Томск: Изд-во ТПУ, 2002. - С. 64 - 67.

32. Бухгольц Г. Расчёт электрических и магнитных полей. М.: Наука, 1987.-240 с.

33. Исаев Ю.Н., Колчанова В.А., Шпильная О.П., Кулешова Е.О. Определение оптимальной формы воздействующего импульса озонатора // Известия Томского политехнического университета. 2005. - № 7, - Т.308. -с. 87-91.

34. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2 . M.: Наука, 1969. - 607 с.

35. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1969.-288 с.

36. Колечицкий Е.С. Расчет электрических полей устройств высокого напряжения- М.: Энергоатомиздат, 1983. 168 с.

37. Бинс К., Лауренсон П. Анализ и расчет электрических и магнитных полей. М.: Энергия, 1970. - 376 с.

38. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987. - 240 с.

39. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.: из-во МФТИ: Наука, 1985. - 336 с.

40. Демидович Б.П. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения: / Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова. М.: Физматизд, 1963. - 400 с.

41. Глушаков C.B. Математическое моделирование MathCad 2000, MatLab 5: / C.B. Глушаков, И.А. Жакин, Т.С. Хачиров. М.: Фолио: ACT, 2001. -524 с.

42. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматизд, 1959. - 470 с.

43. Носов Г.В., Кулешова Е.О. К расчету напряжений и токов импульсного трансформатора // VIII Всероссийская научно-техническая конференция "Энергетика: экология, надежность, безопасность", Томск: Изд-во ТПУ, 2002.-с. 70-73.

44. Носов Г.В., Кулешова Е.О. К расчету петель гистерезиса ферромагнитных сплавов. // X Всероссийская научно-техническая конференция "Энергетика: экология, надежность, безопасность", Томск: Изд-во ТПУ, 2004.-с. 83-86.

45. Носов Г.В., Кулешова Е.О. Сжатие во времени импульсов напряжений и токов. // IX Международная научно-практическая конференция "Современные техника и технологии", Томск: Изд-во ТПУ, 2003. - с. 256258.

46. Исаев Ю.Н., Кулешова Е.О., Шпильная О.П. Томографический метод расчета распределения заряда и емкостей плоских электродов неканонической формы. // Известия Томского политехнического университета. -2005. -№ 7,- Т.308. с. 91-95.

47. Исаев Ю.Н., Колчанова В.А., Кулешова Е.О., Шпильная О.П. Определение электротехнических параметров эквивалентной схемы замещения разрядного промежутка озонатора. // Известия Томского политехнического университета. 2006. - № 1, - Т.309. - с. 59-65.

48. Лебедев Н.Н., Скальская И.П. Емкость тонкого плоского кругового кольца.//ЖТФ. 1992. Т.62. Вып. 3. С. 1 8.

49. Левин Г.Г., Вишняков Г.Н. Оптическая томография. М.: Радио и связь, 1989.-224 с.

50. Deans S.R. The Radon transform and some of its application. N.Y.ect.: Jonv Wiley and Sons, 1983. - 289p.

51. Исаев Ю.Н., Колчанова B.A., Хохлова Т.Е. Определение параметров двухполюсника при воздействии импульсного напряжения, "Электричество". 2003. -№11,- С.64 - 67.

52. Поршнев С. В. Компьютерное моделирование физических процессов с использованием пакета MathCad : учебное пособие / С. В. Поршнев. — М.: Горячая линия-Телеком, 2002. — 252 с.

53. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Неккоректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Из-во Моск. ун-та. 1989. - 199с.

54. Владимиров B.C. Уравнения математической физики : учебник для вузов / В. С. Владимиров, В. В. Жаринов. — М.: Физико-математическая литра, 2000. — 400 с.

55. Yu. N. Isayev, V. A. Kolchanova, Т. Ye. Khokhlova. Determination of the parameters of a two-terminal network subjected to a pulsed voltage. "Electrical Technology Russia", 2003. - №4, - P. 64 - 67.

56. Корнев Я.И., Исаев Ю.Н., Ушаков В.Я., Яворовский H.A., Хаскельберг М.Б., Колчанова В.А. Влияние распределения электрических полей в реакторе на эффективность электроразрядной обработки воды. Физика ТГУ. 2004. - №10. - С. 89 - 96.

57. Верлань А.Ф. Интегральные уравнения. Методы. Алгоритмы. Программы: Справочное пособие/ А.Ф. Верлань, B.C. Сизинов; АН Украины; Институт проблем моделирования в энергетике. Киев: Наукова думка, 1986-543 с.

58. Cooke J.C. Triple integral equations. Quart. Journ. of Mech. and Appl. Math., 1963, vol. 16, pt.2.

59. Наркун З.М. Расчет электрической емкости системы проводников круглого сечения, расположенных в прямом двугранном угле, "Электричество". 1999.-№ 2.-С.52-54.

60. Лаврентьев М.М. Теория операторов и некорректные задачи / М.М. Лаврентьев, Л.Я. Савельев. Новосибирск: Изд-во института математики, 1999.-702 с.

61. Струнский М.Г.Эффективный метод расчета электрической емкости, "Электричество". 1999. - № 7. - С.31 - 39.

62. Струнский М.Г. О расчете емкости некоторых видов пластин, "Электричество". 1999. - № 9. - С.39 - 44.

63. Гельфанд И.М., Граев М.И., Виленкин Н.Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. М.: Физматизд, 1962. - 656с.

64. Тарновский A.C. Об определении понятий "потенциал" и "потенциальное поле", "Электричество". 2000. - № 1. - С.63 - 64.

65. Наркун З.М. Конденсаторная емкость системы электрических оболочек, расположенных внутри круглой оболочки, "Электричество". 2000. - № 10.-С.65-68.

66. Цлаф JI.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. М.: Наука, 1966.-176 с.

67. Шишигин С.Л. Построение двумерной картины электростатического поля, "Электричество". 2004. - № 3. - С.53 - 58.

68. Сабитов К.Б. Уравнения математической физики: учебное пособие / К. Б. Сабитов. — М.: Высшая школа, 2003. — 255 с.

69. Шушкевич Г.Ч. Электростатическая задача для тонкой незамкнутой эллипсоидной оболочки и диска.//ЖТФ. 1999. Т.69. Вып. 2. С. 1 4.

70. Баринов В.А., Совалов С.А. Режимы энергосистем: методы анализа и управления. М.: Энергоатомиздат, 1990. - 440 с.

71. Симонов E.H. Физические проблемы в медицинской рентгеновской компьютерной томографии // Медицинская техника: Научно-технический журнал. М. - 2004. - №4. - С. 8-12.

72. Лебедев H.H., Скальская И.П. Емкость тонкого плоского кругового кольца.//ЖТФ. 1992. Т.62. Вып. 3. С. 1 8.

73. В.А.Морозов.//ЖВФ и МФ. 1966.Т.6.№1.

74. В.А.Морозов. //ЖВФ и МФ. 1974. Т. 14. №2.

75. Шелютто В.А. Простая формула для емкости кольцевого конденсатора, учитывающая краевые эффекты. //ЖТФ. 1991. Т.61. Вып. 2. С. 1 5.

76. Наркун З.М. Вычисление электрической емкости системы проводников круглого и эллиптического сечения в виде пластин в присутствии проводящей плоскости.//ЖТФ. 2000. Т.70. Вып. 2. С. 1 5.

77. Глушаков C.B. Математическое моделирование MathCad 2000, MatLab 5: / C.B. Глушаков, И.А. Жакин, Т.С. Хачиров. М.: Фолио: ACT, 2001. -524 с.