автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Численно-аналитические методы исследования состояний и управление колебаниями робота - манипулятора

1. Исследование устойчивости и расчёт АЧХ.

1.1. Уравнения движения динамических систем.

1.2. Исследование устойчивости стационарных состояний.

1.3. Применение метода Ляпунова-Шмидта к расчёту колебаний динамических систем.

1.4. Исследование устойчивости колебаний.

1.5. Выводы.

2. Оптимальное управление динамическими системами.

2.1 Критерий управляемости и наблюдаемости.

2.2 Первая задача динамики.

2.3 Оптимальное управление наблюдаемыми системами.

2.4 Исполнительные механизмы роботов.

2.5 Выводы.

3. Динамика погрузочно — разгрузочного робота.

3.1. Математическая модель манипулятора.

3.2. Исследование устойчивости движения по заданной программе.

3.3. Колебательные режимы, ответвляющиеся от заданной программы движения.

3.4. Выводы.

4. Оптимальное управление погрузочно-разгрузочным роботом.

4.1. Управление движением по заданной программе движения.

4.2. Управление колебательными режимами, ответвляющимися от основных (программных) движений.

4.3. Выводы.

Характерной чертой современной научно-технической революции является широкое внедрение роботов в сферу производства и научных исследований.

Роботы представляют собой универсальные автоматы для воспроизведения двигательных и интеллектуальных функций человека. Одним из важных классов их являются манипуляционные роботы. Практической целью создания роботов является передача им тех видов деятельности, которые для человека трудоёмки, тяжелы, монотонны, вредны для здоровья и жизни. Это прежде всего: вспомогательные производственные операции (загрузка и выгрузка установок, станков, автоматов); основные производственные операции (сварка, окраска, резка, сборка и т.д.); работы в так называемых экстремальных условиях (под водой, в космосе, в радиоактивных и ядовитых средах).

Роботы применяются для комплексной автоматизации производства, роста производительности труда, улучшения качества продукции. От традиционных средств автоматизации промышленные роботы отличаются универсальностью, возможностью их быстрой переналадки, что позволяет создавать на базе универсального оборудования роботизированные технологические комплексы, гибкие автоматизированные производства. В результате развития робототехники человечество получает возможность решать принципиально новые научные и производственные задачи.

Манипулятор, с точки зрения механики и теории механизмов, - это сложный пространственный управляемый механизм с несколькими степенями свободы, содержащий жёсткие и упругие звенья, передачи и приводы. Специфика задач механики роботов состоит в том, что роботы являются управляемыми системами и к ним предъявляется высокие требования по точности и быстродействию при реализации исполнительным механизмом самых различных условий движения объекта. Всё это требует при проектировании исполнительных механизмов роботов использования всего арсенала средств и методов механики, теории механизмов, теории автоматического управления, теории упругости и колебаний и др.

Высокие требования по быстродействию и точности приводят к необходимости учитывать упругость звеньев основного и передаточных механизмов робота. Для современного робота отношение массы переносимого груза к массе всей конструкции составляет около 10%. Это обусловлено тем, что с уменьшением массы конструкции робота снижаются его жёсткость и точность позиционирования. Алгоритмы моделирования динамики управляемых манипуляторов с учётом упругости передаточных механизмов широко освещены в ряде работ [30,53].

Существует целый ряд задач динамики роботов, решение которых требует учёта упругости передаточных механизмов и звеньев.

1. Первой задачей такого рода является определение статических ошибок робота, т.е. ошибок позиционирования, вызываемых деформациями упругих звеньев под действием статических нагрузок, в первую очередь сил тяжести. Статические деформации являются существенными как для «тяжёлых» роботов, транспортирующих грузы большой массы, так и для слабо нагруженных, в которых статические нагрузки создаются силами тяжести звеньев. Их влияние на общую точность позиционирования, как правило, не меньше, чем влияние технологических ошибок.

2. При решении траекторных задач и задач контурного управления становится необходимым определение динамических ошибок, возникающих в процессе движения робота и вызванных упругостью его звеньев. Известно, что упругие колебания имеют большое значение в современных быстроходных машинах. Одной из характерных особенностей цикловых быстроходных машин является возможность возникновения в них резонансных упругих колебаний, вызванных совпадением частот, присутствующих в спектре вынуждающих сил, с собственными частотами механической системы. В роботах также могут происходить резонансные явления, однако из-за низкочастотности возмущений, обусловленных медленностью программных движений, опасность возникновения резонансов оказывается в большинстве случаев незначительной. Наиболее существенные упругие колебания возникают при переходных процессах и продолжаются после окончания процесса позиционирования. Время, необходимое для затухания колебаний рабочих органов робота, должно добавляться к времени позиционирования при оценке производительности машины.

3. Упругость звеньев влияет на эффективность систем управления движением с обратными связями. Это влияние становится особенно заметно в тех случаях, когда собственные частоты механической системы попадают в полосу пропускания системы управления. Поэтому анализ упругой динамической модели становится необходимым при разработке систем управления.

Выбор упругой модели робота связан с определением жёсткостей его конструктивных элементов. Это приводит к необходимости дополнительного расчётного, а иногда и экспериментального анализа конструкций. Из-за неточности методов расчёта, а также из-за неизбежных отклонений действительных значений параметров упругих элементов от номинальных, упругие характеристики робота оказываются неточными, и введение их в расчётную схему может зачастую не приводить к уточнению расчёта. Поэтому при составлении расчётной схемы следует стремиться к её максимальному упрощению и сохранению в ней такого количества упругих элементов, которое, безусловно, необходимо для её адекватности реальной системе в рамках решаемой задачи. Естественно, что эта «мера адекватности» должна устанавливаться опытным путём, на основе анализа существующих конструкций.

Анализ большого числа конструкций показывает, что при выборе упругих моделей исполнительные звенья могут считаться абсолютно жёсткими телами, поскольку обычно их податливости пренебрежимо малы по сравнению с податливостями кинематических пар исполнительного механизма. Иными словами, при составлении расчётной модели упругого робота можно представлять его исполнительный механизм как систему твёрдых тел, соединённых упругими кинематическими парами.

Развитие теории оптимального управления связанно с ростом требований к быстродействию и точности систем регулирования. Увеличение быстродействия возможно лишь при правильном распределении ограниченных ресурсов управления.

Поэтому подавление колебаний или ограничение их амплитуд является важной задачей теории оптимального управления механическими системами.

Сложность задач теории оптимального управления потребовала более широкой математической базы для её построения. Это приводит к необходимости развивать методы автоматического построения уравнений динамики манипуляторов. В связи с быстрым ростом производительности ЭВМ и мощности математических пакетов стало возможным построение уравнений движения манипуляторов, основанных на уравнении Лагранжа II рода в аналитическом виде, что качественно влияет на точность найденных решений.

Выявление критических параметров, соответствующих поверхностям раздела устойчивых и неустойчивых равновесных состояний, может быть проведено на основе первого и второго методов Ляпунова. Недостатком первого метода является ограниченность исследования устойчивости равновесных состояний в первом приближении (устойчивости в малом). Второй метод сопряжён с трудностями построения функций Ляпунова.

Актуальность работы: применение новых конструкционных материалов, усложнение режимов работы погрузочно-разгрузочных роботов требует создания более сложных математических моделей этих объектов и усовершенствованных инженерных методов их расчёта. Одним из факторов уточнения расчётных моделей рассматриваемых объектов является учёт их физической нелинейности. Учёт этого фактора требует нового подхода к исследованию дифференциальных уравнений, описывающих поведение нелинейных систем. Этот подход, осуществляемый с общих позиций теории устойчивости движения, предусматривает: определение равновесных состояний манипулятора, нахождение областей неустойчивости, вычисление амплитудно-частотных характеристик колебательных режимов, решение обратной задачи динамики роботов, исследование устойчивости движения по заданной траектории при различных программах движения, определение колебательных режимов, ответвляющихся от основного движения, подавление или ограничение амплитуд колебаний при помощи дополнительных управляющих воздействий.

Цель исследования: на основе современных численно-аналитических методов провести исследование динамических эффектов, возникающих при работе роботов-манипуляторов; создать оптимальные управляющие воздействия, минимизирующие последствие этих эффектов.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Создание математической модели управляемого манипулятора на основе уравнений Лагранжа II рода, полученных в аналитическом виде при помощи современных информационных технологий.

2. Исследование устойчивости равновесных состояний манипулятора.

3. Решение обратной задачи динамики, позволяющей осуществлять движение схвата манипулятора вдоль некоторой траектории по заданной программе движения.

4. Исследование устойчивости движения схвата манипулятора вдоль некоторой траектории по заданной программе движения.

5. Нахождение АЧХ периодических режимов, ответвляющихся от основного движения.

6. Расчёт дополнительных оптимальных управлений, позволяющих ограничивать амплитуды колебаний в окрестности значений параметров, соответствующих поверхности раздела областей устойчивости и неустойчивости.

Методы исследования. При решении поставленных задач использованы: модифицированный метод Ляпунова - Шмидта, позволяющий находить области устойчивости основного движения и рассчитывать АЧХ колебаний; методы оптимального управления; современные информационные технологии. Научная новизна работы заключается в:

1. Модификации метода Ляпунова - Шмидта применительно к сложным нелинейным системам, в частности, робототехническим; причём интегрирование заменяется решением системы алгебраических уравнений без снижения точности (при особом виде матриц разложения).

2. Применении методов оптимального управления для механических систем с параметрами, принадлежащими поверхности раздела областей устойчивости и неустойчивости основного режима работы.

3. Создании комплекса программ, реализующего: определение равновесных состояний манипулятора, нахождение областей неустойчивости, вычисление амплитудно-частотных характеристик колебательных режимов, решение обратной задачи динамики роботов, исследование устойчивости движения по заданной траектории при различных программах движения, определение колебательных режимов, ответвляющихся от основного движения, подавление или ограничение амплитуд колебаний при помощи дополнительных управляющих воздействий.

Практическая ценность: разработанные в диссертации методы, алгоритмы и программы предусматривают применение их при: исследовании устойчивости вдоль программного движения манипулятора, расчёте АЧХ колебаний робота, нахождении управляющих воздействий, обеспечивающих подавление или ограничение амплитуд колебаний.

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в курсе «Теория автоматического управления», «Теория колебаний».

Апробация работы. По результатам работы сделаны доклады на следующих конференциях и семинарах:

1. «Фундаментализация и гуманизация образования в технических университетах» 2000 г.;

2. «Проблемы строительства и инженерной экологии», Новочеркасск 2000 г.;

3. «Современные проблемы механики сплошной среды» б-я международная конференция 12-14 июня 2000 г. г. Ростов - на -Дону;

4. «Современные проблемы механики сплошной среды» 8 международная конференция 18-21 октября 2002 г. г. Ростов - на -Дону;

5. «Международная школа-семинар по геометрии и анализу» памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо, база отд. Рост.гос.ун-та «Лиманчик», 511 сентября 2002 г.- Ростов н/Д.;

6. ежегодных научных конференциях кафедр «Теоретическая механика» и «Высшая математика» ФМИ 1999 - 2004 г.;

7. «Современные проблемы механики сплошной среды» 9 международная конференция 2003 г. г. Ростов - на - Дону;

8. III всероссийская конференции по теории упругости с международным участием. Ростов - на - Дону - Азов, 13 -16.10.2003 г.;

9. XVII Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях». Кострома. 2004 г.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 14 научных статей в центральных журналах и сборниках трудов ВУЗов.

На защиту выносится: новая концепция решения нелинейных динамических задач робототехники, основанная на общей теории устойчивости движения деформируемых тел и предусматривающая:

• определение стационарных (в частности равновесных) состояний;

• выявление критических значений параметров конструкций на основе совместного решения уравнения «основного» состояния и спектральной задачи;

• расчёт амплитудно-частотных характеристик периодических режимов, ответвляющихся от основных состояний, модифицированным методом Ляпунова -Шмидта;

• расчёт дополнительных оптимальных управлений, позволяющих ограничивать амплитуды колебаний в окрестности значений параметров, соответствующих поверхности раздела областей устойчивости и неустойчивости.

Диссертация изложена на 111 страницах машинописного текста и состоит из введения, 4-х глав, заключения, приложения, списка литературы, включающего 99 наименований. Работа иллюстрирована 46 рисунками.

ВЫВОДЫ:

Получены управляющие воздействия при движении схвата из одной точки пространства в другую, найденные дополнительные управляющие стабилизируют наблюдаемую систему.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие теоретические и практические результаты:

1. Предложена новая концепция решения нелинейных динамических задач робототехники, основанная на общей теории устойчивости движения.

2. Модифицирован алгоритм расчёта методом Ляпунова-Шмидта.

3. Построены уравнения Лагранжа II рода, описывающие движение манипулятора, в аналитическом виде с использованием современных информационных технологий.

4. Найдены области устойчивости стационарных состояний робота и при движении схвата из одной точки пространства в другую.

5. Решена первая задачи динамики, ставящая целью реализовать движение схвата манипулятора вдоль некоторой траектории по заданной программе движения.

6. Найдены АЧХ периодических режимов, ответвляющихся от основного движения.

7. При анализе устойчивости и расчёте АЧХ установлено:

7.1 при данных габаритах звена 2 стационарные состояния устойчивы, а поэтому можем считать, что звено абсолютно жёсткое и сократить количество координат до 3-х;

7.2 при движении с постоянной скоростью движение устойчиво;

7.3 при движении с ускорением неустойчивость возникает в фазе разгона

7.4 при увеличении вязкости зона устойчивости расширяется, а при увеличении жёсткости сужается, частота колебаний возрастает при возрастании жёсткости и массы. 8. Рассчитаны дополнительные оптимальные управления, позволяющие ограничивать амплитуды автоколебаний в области значений параметров, разделяющей устойчивые и неустойчивые режимы движения манипулятора.

1. Андрейчиков И.П., Юдович В.И. Об автоколебаниях вязкоупругих стрежней // Изв. Ан СССР.МТТ, 1974. № 2 С. 78-87

2. Андрейчиков И.П., Юдович В.И. Об устойчивости вязкоупругих стрежней // // Изв. Ан СССР.МТТ, 1974. № 6 С. 126-134

3. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы М.: Высш.шк., 1989-263 с.

4. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М. Физмат, 1981. 586 с.

5. Астахов В.И. Математическое моделирование инженерных задач в электротехнике. Новочеркасск: НГТУ, 1994. 192 с.

6. Афанасьев В.Н. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1989. 447 с.

7. Афанасьев В.Н. Математическое конструирование оптимальных систем управления. М. Изд МИЭМ, 1977

8. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: 1967. 223 с.

9. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Ил. 1960

10. Боголюбов Н.Н. Теория возмущения в нелинейной механике //Сб. инст. строит, мех. АН УССР. 1950. № 14 С. 9-34

11. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука 1974. 504 с.

12. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гостехтеориздат, 1956. 600 с.

13. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 527 с.

14. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987 542 с.

15. Веретенников В.Г., Маркеев А.П. Исследование устойчивости нелинейных систем. М.: МАИ. 1979. 96 с.

16. Васильев П.Ф. Численные методы экстремальных задач. М.: Наука, 1988. 549 с.

17. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. М. Физматиз, 1963. 879 с.

18. Воробьёв Е.И., Попов С.А., Шевелева Г.И. Механика промышленых роботов. М.: Высш. шк., 1988. 304 с.

19. Ворович И.И., Зипалова В.Ф. К решению краевых задач теории упругости методом перехода к задаче Коши // ПММ. 1965. т. 29, вып.5. С. 894-901

20. Воронов А.А. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука. 1985.351 с.

21. Воронов А.А., Ким Д.П., Лохин В.М. Теория автоматического управления. Ч II Теория нелинейных и специальных систем автоматического управления. М.: Высш. шк., 1986. 504 с.

22. Воронцов Г.В., Кабельков А.Н. Вынужденные колебания нелинейных электромеханических систем при параметрическом резонансе.//Изв. вузов. Электромеханика. 1989 № 8 с. 50-57.

23. Воронцов Г.В., Кабельков А.Н. Линейные краевые задачи об оптимальных управлениях многомерными электромеханическими системами//Изв. вузов. Электромеханика. 1991. №5 с.27-32

24. Воронцов Г.В., Кабельков А.Н. Оптимальные оценивания п управления в системах активного гашения колебаний // Надёжность и эффективность нетрадиционных систем защиты зданий и сооружений. Тез. докл.науч.-техн. конф. Севастополь. 1991.с 37-39

25. Воронцов Г.В., Кабельков А.Н. Оптимальные оценивания и управления нелинейными электромеханическими системами при квадратичных системах качества //Изв. вузов. Электромеханика. 1992. № 1 с. 82-86

26. Воронцов Г.В., Кабельков А.Н. Оптимальные управления в системах автоматического регулирование напряжённо-деформированного состояния конструкций // Строит, механика и расчёт сооружений. 1990. №2. с.70-75

27. Воронцов Г.В., Кабельков А.Н. Применение метода Ляпунова -Шмидта к исследованию устойчивости и автоколебаний сложных механических систем // Прик. механика. 1983 Т. 19. с. 102-109.

28. Воронцов Г.В., Кабельков А.Н. Уравнения основного и возмущённого движений геометрически и физически нелинейных систем //Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1990. № 10. С. 3034.

29. Вукобратович М., Стокич Д. Управление манипуляционными роботами: теория и приложения. М.: Наука, Гл. ред. физ. мат. лит. 1985. 384 с.

30. Вульфсон И.И. Динамические расчёты цикловых механизмов. Лю: Машиностроение, 1976. - 543 с.

31. Галиуллин А.С. Аналитическая динамика. М.: Изд-во РУДН, 1998. 441 с.

32. Галиуллин А.С. Обратные задачи механики. М.: Наука. Глав. ред. физ. мат. лит, 1981. 144 с.

33. Галиуллин А.С. Методы решения обратных задач динамики. М.: Наука. Глав. ред. физ. мат. лит, 1986. 224 с.

34. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 548 с.

35. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Физматиз. 1961.

36. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

37. Дьяконов В.П. Математическая система MAPLE V R3/R4/R5 М.: Солон, 1998. 400 с.

38. Кабельков А.Н. Об автоколебаниях консольного вязкоупругого стержня // Новочерк. политехи, ин-т. Новочекасск. 1977. Деп. в ЦИНИС 13.07.77 №653.

39. Кабельков А.Н. Методы линеаризации в задачах исследования устойчивости и колебаний нелинейных механических систем // Пути совершенствования преподавания теоретической механики. Тез. докл. VIII зональное совещание семинар. Владикавказ. 1990 с. 5456

40. Кабельков А.Н. Устойчивость и параметрически возбуждаемые колебания нелинейно деформируемых систем // Инженерные и социально- экономические проблемы ускорения НТП: Тез. докл. Междунар. науч. практ. конф. 1991. с.84

41. Кабельков А.Н., Воронцов Г.В. Алгоритм расчёта устойчивости и автоколебаний механических систем по методу Ляпунова Шмидта // Новочерк. политехи, ин-т. Новочеркасск. 1983. Деп. в ЦИНИС 28.04.83 № 2253

42. Кабельков А.Н., Воронцов Г.В. Исследование автоколебаний вязкоупругой механической системы с одной степенью свободы // Новочерк. политехи, ин-т. Новочеркасск. 1983. Деп. в ЦИНИС 28.04.83 №2254

43. Кабельков А.Н., Воронцов Г.В. Исследование фрикционных автоколебаний механических систем с двумя степенями свободы // изв. Сев.-Кавк. науч. центра высш. шк. Техн. науки 1984. № 1 с.55-59

44. Кабельков А.Н. Устойчивость и автоколебания вязкоупругих систем // Устойчивость в механике твёрдого тела: Тез. докл. II Всесоюз. симпозиума. Калинин. 1986. С. 93-99

45. Кабельков А.Н., Иванченко А.Н. Оптимальное управление колебаниями наблюдаемых систем // Изв. Электромеханика. 1995. № 5-6 с. 135-138

46. Кабельков А.Н.Нефедов В.В. Математическая модель погрузочно-разгрузочного робота // Проблемы строительства и инженерной экологии Материалы научно-практической конф., г. Новочеркасск, 2000 г. с. 100- 102.

47. Калиткин Н.Н. Численные методы. Гл. ред. Физ. мат. лит. М.: Наука, 1978 512 с.

48. Каудерер Г. Нелинейная механика. М.:Ил, 1961

49. Келлер Дж. Б., Антман С. теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. М.: Мир 1974. 254 с.

50. Колмановский В.Б. Носов. В.Р. Устойчивость управляемых систем. М.: Изд. МИЭМ, 1987

51. Коловский М.З., Слоущ А.В. Основы динамики промышленных роботов. М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. лит., 1988 240 с.

52. Кононенко В.О. Нелинейные колебания механических систем. Избр.тр. Киев: Наук, думка, 1980. 382 с.

53. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968

54. Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику. Киев: Изд-во АН УССР, 1937. 363 с.

55. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1980. 360 с.

56. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982. 269 с.

57. Ляпунов A.M. Общая задача устойчивости движения. М.- Л.: Гостехиздат, 1950. 472 с.

58. Макаров И.М. Робототехнические и гибкие автоматизированные производства. Книга 2. «Приводы робототехнических систем» М.: Высшая школа, 1986. 175 с.

59. Мак-Миллан В.Д. Динамика твёрдого тела. -М.: Изд-во иностр. лит., 1991.-224 с.

60. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1971.312 с.

61. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 535 с.

62. Нетутил А.В. Теория автоматического управления. М.: Высшая школа, ч1, 1976; ч.П. 1983

63. Нефедов В.В., Кабельков А.Н. Расчёт управляющих воздействий при заданной программе движения схвата погрузочно -разрузочного робота. // Изв. Высш. Уч. Зав. Сев. Кав. регион. Технические науки. 2002 № 1. с. 15-17.

64. Нефедов В.В., Кабельков А.Н. Нахождение АЧХ погрузочного -разгрузочного робота методом Ляпунова Шмидта с модифицированным алгоритмом расчёта. // Изв. Вузов. Электромеханика № 5 2003. - С 55 - 58

65. Нефедов В.В., Кабельков А.Н. Математическая модель манипулятора. Фундаментализация и гуманизация технических университетов: Материалы 49-й науч.техн.конф.студ. и асп. ЮРГТУ /Юж.- ос.гос.техн.ун-т.-Новочер-касск: ЮРГТУ, 2000,- С.86-89

66. Нефедов В.В., Кабельков А.Н. Оптимальное управление манипулятором.// Числено-аналитические методы исследования задач нелинейной механики. Сборник научных, г. Новочеркасск. 2003 г. С. 41-45.

67. Нефедов В.В., Кабельков А.Н. Устойчивость движения робота манипулятора. // Числено-аналитические методы исследования задач нелинейной механики Сборник науч. тр. г. Новочеркасск. 2004.- С. 30-38.

68. Огурцов А.И. Основы аналитической механики: Учебное пособие. М.: Изд. РУДН, 2000. 182 с.

69. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упруги:; систем. М.: Наука, 1967 420 с.

70. Парс JI. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971. 635 с.

71. Пол Р. Моделирование, планирование и управление движением робота манипулятора. М.: Наука. 1976.

72. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.

73. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.:Наука, 1978. 522 с.

74. Савинов Г.В. Автоколебания систем с сильно выраженной нелинейностью // Вестник МГУ. Сер. физ.-мат и естеств. наук. 1953. №6. С. 77-81

75. Самарский А.А., Гулин А.А. Численные методы. М.: Наука, 1989. 430 с.

76. Сафонов Ю.М. Электроприводы промышленных роботов. М.: Энергоатом издат. 1990. 177 с.

77. Сидоров И.М., Тимофеев В.В. Многочастотные колебания в нелинейных системах управления. М.: Наука, 1984. 248 с.

78. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы. М.: Гостехиздат. 1952. 272 с.

79. Тимофеев А.В. Управление роботами: Учебное пособие. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986. 240 с.

80. Тондл Автоколебания механических систем. М.: Мир, 1979. 792 с.

81. Чечурин C.C. Параметрические колебания и устойчивость периодического движения. Л.: Изд-во ЛГУ, 1983.

82. Шмидт Г. Параметрические колебания. М.: Мир, 1978.

83. Юдович В.И. Об устойчивости стационарных течений вязкой нестекаемой жидкости // Докл. АН СССР. 1965. т. 161, № 5. С. 10371041.

84. Юдович В.И. Об устойчивости автоколебаний жидкости // Докл. АН СССР. 1970. т. 195, № 3. С. 574-576.

85. Юдович В.И. Возникновение автоколебаний в жидкости // ПММ. 1971. т. 35, в. 4. С. 638-655.

86. Якубович В.А., Стрежинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука. 1972.

87. Development in Robotics. DrDobb's Journal, 1996 №12

88. Kalman R.E. Mathematical description of liner dynamical system. J. Soc. Indust. Appl. Math. Series A: On control, vol. 1 pp. 152-192: 1963

89. Schmidt E. Zur Theorie der linearen und nicht linearen jntegralgleichungen, 3, Math. Ann. 1910. 65, S. 370-399.

90. Industrial robot. International Quarterly. Volume 18, Number 1 1991.

91. Robotics Research. Volume 16, Number 4 August 1997.