автореферат диссертации по машиностроению и машиноведению, 05.02.05, диссертация на тему:Автоматизированный синтез регуляторов следящих приводов манипуляторов с целью стабилизации динамических свойств промышленных роботов

ВВЕДЕНИЕ.

1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СИНТЕЗА УПРАВЛЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ.

1.1 Историческая справка.;.

1.2 Понятие эффективности, как обобщенный критерий подавления возмущений.

1.2.1 Формирования показателей эффективности системы.

1.2.2 Математическая модель объекта управления.

1.2.3 Использование взвешенных норм для оценивания эффективности системы.

1.2.4 Стандартная модель для расчета регулятора.

1.3 Методы синтеза регуляторов по норме Н'и.

1.3.1 Вычисления нормы

Н и синтез регулятора по этой норме.

1.3.2 Постановка задачи синтеза регулятора по норме W.

1.3.3 Решение задачи синтеза регулятора по норме Н~°.

Выводы по главе 1.

2 РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ РАСЧЕТА КОРРЕКТИРУЮЩИХ СВЯЗЕЙ

ДЛЯ РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ СЕПАРАТНЫМИ ПРИВОДАМИ.

2.1 Модели исполнительных механизмов следящих приводов с учетом присущих им неопределенностей.;.

2.2 Синтез регуляторов по норме без применения эталонной модели динамики привода.

2.2.1 Синтез регулятора для модели привода, учитывающей механическую постоянную времени двигателя.

2.2.2 Синтез регуляторов для модели, учитывающей механическую и электрическую постоянные времени двигателя.

2.2.3 Синтез регуляторов для модели привода с учетом упругости редуктора.

2.3 Синтез регуляторов по норме Н°° с применением эталонной модели динамики привода.

2.3.1 Синтез регулятора для привода, с учетом механической постоянной времени двигателя.

2.3.2 Синтез регулятора для модели привода, учитывающий механическую и электрическую постоянные времени.

2.3.3 Синтез регулятора для привода с учетом упругости редуктора.

Выводы по главе 2.

3 РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ СИНТЕЗА РЕГУЛЯТОРОВ ПРИВОДОВ ПРОМЫШЛЕННЫХ РОБОТОВ.

3.1 Стандартная модель исполнительного механизма манипулятора.

3.1.1 Построение нелинейной стандартной модели механики манипулятора.

3.1.2 Вывод уравнений динамики механики манипулятора с использованием символьного исчисления.

3.1.3 Линеаризация уравнений динамики механики манипулятора.

3.2 Синтез регулятора для управления многозвенным исполнительным механизмом манипулятора.

3.2.1 Синтез регулятора при полной информации о переменных состояния объекта управления.

3.2.2 Анализ системы синтезированной при полной информации о переменных состояния.

3.2.3 Синтез регулятора при неполной информации о переменных состояния.

3.2.4 Анализ системы синтезированной при неполной информации о переменных состояния.

3.2.5 Анализ робастности транспортной подсистемы приводов манипулятора при наличии упругости редуктора.

Выводы по главе 3.

4 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ СИНТЕЗИРОВАННЫХ

ПРИВОДОВ ПРОМЫШЛЕННЫХ РОБОТОВ.

4.1 Моделирование движения манипулятора РМ-01.

4.1.1 Движение рабочего органа в позиционном режиме работы манипулятора.

4.2 Движение рабочего органа по заданной траектории.

4.2.1 Движение по кусочно-линейной траектории.

4.3 Экспериментальное исследование робастности синтезированного привода манипуляционного робота.

4.3.1 Описание лабораторной установки.

4.3.2 Обоснование адекватности математической модели динамики приводов манипулятора РМ01 реальному роботу.

Выводы по главе 4:.

Актуальность проблемы. Благодаря широкому внедрению робототехники в различные технологические процессы, удается повышать производительность труда, качество выпускаемой продукции и конкурентоспособность предприятия. Дополнительно при этом удается освободить многих людей от утомительного, однообразного, тяжелого труда, а также от работы во вредных для здоровья условиях.

Роль робототехнических систем и качества управления ими в современном производстве. Робототехнические системы (РТС) стали неотъемлемой частью технологического процесса во многих отраслях промышленности. Роботы используются в сварке, сборке, механообработке, окраске и многих других процессах, успешно заменяя собой человека и обеспечивая большую скорость и качество выполнения операций. В то же время усложнение технологических процессов и растущие требования к качеству изделий ставят перед робототехникой все более сложные задачи, часть из которых неизбежно связана с качеством и достижением требуемых характеристик управления.

При точечной сварке контроллер манипулятора должен обеспечить подвод рабочего органа в заданную точку с высокой точностью. Обычно ошибка в положении точки не должна превышать 1 мм, а ориентации - 1 градус. При больших отклонениях ухудшается качество сварки. Часто свариваются детали, имеющие сложную форму, это накладывает ограничения на траекторию рабочего органа.

При дуговой сварке большое значение имеет как точность подвода горелки к шву, так и скорость ее движения. Для качественной сварки желательно горизонтальное положение шва. Часто контроллер робота управляет не только звеньями манипулятора, но и позиционером, обеспечивающим поворот детали в наилучшее положение с точки зрения технологии. Если движение манипулятора и позиционера происходит одновременно, то перемещения горелки и детали складываются, как складываются и ошибки.

При окраске предъявляются высокие требования к ориентации сопла и расстоянию от него до окрашиваемой детали. Часто окрашиваются детали сложной формы, качество окраски при этом зависит от точности движения сопла по заданной траектории.

Аналогичные требования предъявляются в технологиях лазерной сварки, лазерной резки и склейки деталей.

Особенностью синтеза управления приводами манипуляторов является наличие неопределенностей их параметров. В диссертации под неопределенностями понимается: во-первых, изменение ряда параметров привода влияющих на его динамические свойства в процессе работы из-за меняющейся конфигурацией манипулятора. Во-вторых, отсутствие точной априорной информации о некоторых параметрах приводов и объекта управления на этапе проектирования.

Существенным фактором может стать непостоянство момента инерции нагрузки. В мехатронных системах, не всегда возможно точное определение конструктивных параметров, например, упругости редукторов.

Работа манипулятора связана с непрерывным изменением его конфигурации, поэтому приводы манипулятора будут испытывать различную нагрузку в различных положениях «руки» - вытянутом, сложенном, когда груз поднят вверх или опущен вниз. Особенно сильно этот фактор влияет на работу первых трех степеней подвижности. Для транспортно-сборочных манипуляторов или манипуляторов, используемых при сварке деталей, стационарными клещами масса нагрузки существенно возрастает, когда к массе схвата, постоянно закрепленного на фланце манипулятора, добавляется масса перемещаемой детали. В современных сборочно-сварочных линиях широко используется концепция построения линии без выделенных транспортных механизмов (челнок, конвейер и т.п.), когда один и тот же манипулятор используется как для сварочных, так и для транспортных операций. В этом случае используется сменный инструмент (захват и сварочные клещи) и масса объекта нагрузки меняется в 2-5 раз в течение одного рабочего цикла.

Учитывая сказанное, для обеспечения требуемых характеристик технологического процесса можно либо использовать манипулятор с приводами большей мощности, либо снижать нагрузку на приводы путем уменьшения рабочих скоростей и ускорений.

В первом случае возрастает стоимость манипулятора, его габариты и потребление электроэнергии. Во втором случае снижается производительность работы, что приводит к уменьшению объема выпуска продукции.

В автомобильной промышленности время цикла работы сварочного робота составляет не более одной-двух минут. Поэтому увеличение реального времени цикла сварки относительно планового даже на одну секунду, в масштабе года выливается в существенные убытки. Более подробно этот вопрос рассмотрен в [2].

Как показано в докторской диссертации Ю.В. Подураева [21], новое поколение роботов и робототехнических систем, предназначенных для выполнения различных технологических задач, отличается рядом характерных особенностей. К ним следует отнести нелинейность кинематической структуры, выполнение движений по криволинейным траекториям в пространстве и сложные законы перемещения во времени, обеспечение цели управления при изменяющихся и неопределенных параметрах исполнительного механизма.

Проблематика построения математических моделей исполнительных механизмов роботов определяется следующими основными положениями.

Многомерность системы. В роботах нового поколения широко распространены универсальные механизмы, которые обеспечивают управляемое перемещение по шести степеням подвижности, все чаще находят применение кинематические структуры с избыточностью для выполнения операций в средах с препятствиями, либо в реконфигурируемых системах.

Взаимосвязанность движений звеньев системы означает, что движение каждого ее звена влияет на движение остальных звеньев. К тому же, для многих технологических задач параметры рабочего механизма заранее точно не определены.

Необходимость анализа упругих свойств возникает при автоматизации операций, где рабочий орган находится в силовом контакте с объектом работ. К числу таких операций можно отнести, например, механообработку и сборку, когда для обеспечения заданной точности обрабатываемых деталей необходимо, чтобы погрешность отработки траектории не превышала допустимого значения.

Важным фактором, определяющим эту погрешность, является упругая деформация механических звеньев и преобразователей движения.

Многие автоматизированные технологические операции требуют контурного управления движением многозвенного робота-манипулятора по заданной траектории. К ним относятся дуговая сварка, лазерная и водоструйная резка, зачистка заусенцев на сложных профилях.

Эффективность решения задачи контурного управления во многом определяется выбранной формой математической модели многозвенной машины, как управляемого объекта.

Математическая модель удобна для синтеза регуляторов исполнительных приводов, так как устанавливает непосредственную связь между векторами обобщенных сил и ускорений. Однако для задач контурного управления представляется не вполне адекватной по следующим причинам:

• при программировании движений исполнительного органа закон движения удобно задавать не в обобщенной, а в декартовой системе координат;

• высокая размерность систем уравнений затрудняет ее использование для вычислений в реальном времени [21].

В настоящей работе делается попытка решения перечисленных задач с использованием общей теории синтеза систем по норме Я00 [31]. В настоящей диссертации рассматривается ряд теоретических и практических проблем, возникающих при решении вышеуказанных задач.

Обзор состояния проблемы. Большой вклад в решении теоретических проблем робототехники внесли научные коллективы МГТУ (Станкин), МГТУ им. Баумана, Института прикладной математики РАН, Института машиноведения РАН, Института проблем передачи информации РАН, Института прикладной механики РАН, МИРЭА, ЛПИ и других организаций под руководством И.М. Макарова, Д.Е. Охоцимского, Е.П. Попова, В.Г. Градецкого, Н.А. Дакоты, B.C. Кулешова, В.М. Лохина, Е.И. Юревича, Ю.В. Подураева, Ю.В. Илюхина, А.Ф. Верещагина, А.С. Ющенко, С.Л. Зенкевича, А.Г. Лескова и других ученых. Именно благодаря их общим усилиям, многие проблемы управления роботами на сегодняшний день можно считать решенными.

Для построения управления сложной технической системой такого рода требуются подходящие математические методы. Структура системы управления роботом носит иерархический характер.

Для каждого уровня проектирования системы управления применяется соответственный математический метод. Так, для исполнительного уровня (уровня привода) часто используются системы дифференциальных уравнений. На тактическом уровне осуществляется вычисление и генерация управляющих сигналов на приводы подвижных сочленений манипулятора. Для уровня искусственного интеллекта - нечеткая логика, нейронные сети, исчисление предикатов, теория графов и пр.

При проектировании в качестве математической модели управляемого объекта на исполнительном уровне, необходимо иметь полную динамическую модель манипулятора. Она содержит модели таких устройств, как механизмы, двигатели, регуляторы, датчики и т.д. и описывается системой дифференциальных уравнений.

Успешную работу промышленных роботов обеспечивает надежная и точная работа исполнительного уровня системы управления. Проблеме управления манипуляторами на исполнительном уровне посвящено большое количество работ, например [27,29,33,34,35,37,41,46,47]. В диссертации же предлагается методика автоматизированного проектирования приводов исполнительного механизма манипуляционного робота с учетом наличия неопределенностей параметров и обеспечения заданной точности и динамики.

Система управления приводами манипулятора является нелинейной и многомерной, с перекрестными связями между приводами отдельных звеньев. Нелинейный объект можно линеаризовать относительно заданного положения, однако параметры линеаризованной модели изменяются в зависимости от конфигурации манипулятора. Важно, чтобы регулятор обеспечивал работоспособность системы при различных значениях обобщенных координат и различных весах переносимого груза, т.е. требуется обеспечить малую чувствительность (робаст-ность) управляемого объекта к изменению его параметров.

Задачи диссертации. Целью диссертации является создание универсальной методики автоматизированного проектирования сепаратных следящих приводов и приводов манипуляционных роботов, обеспечивающей улучшение их качества в смысле малой чувствительности к значениям изменяющихся и заранее неопределенных параметров. В соответствии с этим, в диссертации поставлены и решены следующие задачи:

1) Создать универсальную методику автоматизированного построения исходных математических моделей для расчета регуляторов сепаратных приводов и исполнительных подсистем манипуляционных роботов.

2) Разработать универсальный алгоритм автоматизированного построения математической модели механики манипуляционного робота.

3) Разработать универсальный алгоритм расчета корректирующих связей для робастного управления сепаратными приводами и приводами промышленных роботов.

4) Определить зависимости весов критерия качества от динамических и точностных требований, предъявляемых к сепаратным приводам и многомерным приводам промышленных роботов.

5) Выполнить экспериментальную проверку разработанной методики проектирования робастных сепаратных и многомерных приводов промышленных роботов.

Обзор содержания диссертации. В работе предлагается методика автоматизированного синтеза регулятора приводов исполнительного механизма манипулятора на основе общей теории синтеза систем управления по норме НГ (аш~ бесконечность).

Обосновывается выбор универсальных стандартных моделей объектов управления, учитывающих динамику звеньев, и исполнительных двигателей манипулятора. Используется многомерный критерий качества системы с весами отдельных его составляющих.

Разработаны алгоритмы и программы для построения стандартной модели, синтеза и анализа регуляторов сепаратных приводов и исполнительных механизмов роботов.

Результаты исследования иллюстрируются примерами расчетов регуляторов на основе предлагаемой методики.

Для подтверждения достоверности полученных новых теоретических результатов выполнено экспериментальное исследование математических моделей и реального манипулятора РМ01 с регулятором, рассчитанным по предлагаемой методике.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, выводов, списка литературы и приложения.

Выводы по главе 4:

В четвертой главе диссертации выполнено экспериментальное исследование работы манипулятора на основе полной нелинейной математической модели приводов транспортной подсистемы манипулятора РМ01 и эксперимента с реальным манипулятором. Рассмотрены режимы работы манипулятора отслеживания заданных траекторий. Эксперименты подтвердили обоснованность сделанных допущений в предыдущих главах.

На основании полученных экспериментальных данных можно сделать следующие выводы.

1. Экспериментальные исследования выполнялись как на математической модели приводов манипулятора РМ01, так и на реальном манипуляторе.

2. Натурный эксперимент подтвердил адекватность математической модели динамике реального манипулятора.

3. Допущения о возможности использования линеаризованной модели манипулятора для синтеза регулятора по норме If, сделанные в третьей главе, обоснованы.

Заключение и общие выводы

Выполненные в диссертации исследования по синтезу робастных регуляторов для приводов промышленных роботов на основе теории нормы Я*5 позволили получить следующие новые теоретические и практические результаты.

1) Предложена методика автоматизированного синтеза робастных регуляторов манипуляционных роботов.

2) Создана универсальная методика автоматизированного построения «стандартных математических моделей» для расчета регуляторов приводов манипуляционных роботов различных типов.

3) Предложен и апробирован универсальный алгоритм расчета корректирующих связей для робастного управления приводами промышленных роботов.

4) Предложен подход к выбору положений линеаризации математической модели на основе анализа траекторий движения манипулятора.

5) Разработан алгоритм автоматизированного построения математической модели манипуляционного механизма в численном и в символьном виде.

6) Предложено использовать масштабирующий коэффициент для обеспечения допустимого уровня сигналов управления.

7) Выполнена экспериментальная проверка разработанной методики проектирования приводов промышленных роботов на полных нелинейных математических моделях приводов манипулятора и реальном манипуляторе.

На основе выполненных исследований молено сделать следующие выводы.

1) Синтез регулятора на основе теории нормы обеспечивает высокую робастность замкнутой системы.

2) Для обеспечения возможности практической реализации синтезированного регулятора в реальных приводах манипуляторов следует вводить масштабный коэффициент.

3) При синтезе регуляторов целесообразно использовать предложенные «стандартные математические модели», учитывающие динамические свойства объекта и требования по точности и динамике.

4) Для построения динамической модели механизма манипулятора удобно применять предложенные программы вывода уравнений в символьном или числовом виде.

5) Предлагаемые в диссертации алгоритмы и программы могут быть использованы на практике при автоматизированном проектировании робастных приводов манипуляционных роботов.

1. Дезоер Ч., Видъясгар М. Системы с обратной связью: вход-выходные соотношения. -М.: Наука, 1983. -280 с.

2. Воробьев К.И., Тихомиров В.Г. Имитационное моделирование работы сборочно-свароч-ных робототехнологических систем //Фундаментальные исследования, № 2004, С. 24-29.

3. Зенкевич СЛ., Ющенко А.С. Управление роботами. Основы управления манипуляцион-ными роботами: Учеб. для вузов -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2000. 400 е., ил.

4. Илюхин Ю.В. Создание высокоэффективных систем управления исполнительными движениями роботов и мехатронных устройств на основе технологически обусловленного метода синтеза: Дис. . д-ра техн. наук. М., -2001 -XXX с.

5. Илюхин Ю.В., Подураев Ю.В. Проектирование исполнительных систем роботов. М.: Изд-во МПИ, 1989- 75с.

6. Козлов О.С., Медведев B.C. Цифровое моделирование следящих приводов в кн. Следящие приводы T.I:/ Под ред. Б.К. Чемоданова. -М.: Изд-во. МГТУ, 1999. -904 с.

7. Коньков В.Г., Киселев А.Н., Гладков Д.В. Связь алгебраического уравнения Риккати с матрицей Гамильтона //Вестник МГТУ, 1996, № 1. -С. 3-14.

8. Крутько П.Д., Кузьмин Д.В. Метод связанных графов в задачах математического описания динамики голономных механических систем. //Проблемы машиностроения и надежности машин, № 6, 2001. -С. 63-68.

9. Крутько П.Д. Управление исполнительными системами роботов. -М.:Наука,1991.-336 с.

10. Кузьмин Д.В. Вычислительная эффективность классических методов динамики в задачах автоматизации вывода уравнений движения. //Проблемы машиностроения и надежности машин, № 2, 2002. -С. 23-28.

11. Кузьмин Д.В. Структура математического обеспечения автоматизированной системы вывода уравнений динамики методом связанных графов. //Проблемы машиностроения и надежности машин, № 6, 2001. -С. 14-17.

12. Курдюков А.П., Тимин В.Н. Синтез робастной системы управления на режиме посадки самолета в условиях сдвига ветра. //Известия АН СССР. Техническая кибернетика .1993. №6. -С. 200-208.

13. Медведев В.И. Синтез оптимального по норме регулятора для управления приводами манипулятора. //Тезисы докладов 30 научно-технической конференции (секции 6, 7, 8) Февраль 2003 г. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2003. -С. 63-66.

14. Медведев В.И. Синтез оптимального управления взаимосвязанными приводами манипулятора. //Теоретический и прикладной научно-технический журнал Мехатроника, автоматизация, управление. -М.: Изд-во Новые технологии. №9, октябрь 2003, -С. 5-10.

15. Медведев В.И. Синтез управления следящим приводом на основе теории нормы //Труды первой всероссийской научно-технической конференции "Мехатроника, автоматизация, управление", -М: Изд-во Новые технологии, 2004, -С. 191-194.

16. Медведев B.C., Лесков А.Г., Ющенко А.С. Системы управления манипуляционных роботов. -М.: Наука, 1978. -416 с.

17. Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления: Учебник / Под ред. Н.Д.Егупова; издание 2-ое, стереотипное. -М.:Изд-во МГТУ им.Баумана, 2002. 744 е., ил.

18. Подураев Ю.В. Основы мехатроники : Уч.пособие. М.:Изд-во МГТУ "Станкин", 2000 -80с.

19. Подураев Ю.В. Контурное силовое управление технологическими роботами на основе тензорно-геометрического метода: Дисс. доктора техн. наук. М., 1993.

20. Подураев Ю.В. Мехатроника: основы, методы, применение -М.: Машиностроение, 2006

21. Поздняк А.С. Основы робастного управления ВГ теория. -М.: Изд. МФТИ, 1991.-128 с.

22. Поздняк А.С., Себряков Г.Г., Семенов А.В., Федосов А.А. -М.: Гос. НИИАС. ИЛУ АН СССР. 1990.

23. Попов Е.П., Верещагин А.Ф., Зенкевич СЛ. Манипуляционные роботы. Динамика и алгоритмы -М.: Наука, 1978. -400 с.

24. Потемкин В.Г. Система Matlab 5 для студентов. ~М.: Диалог- МИФИ 1998, 314с.

25. Пупков К.А., Коньков В.Г., Киселев А.Н. Задача построения оптимального управления на основе четыре Риккати подхода. //Вестник МГТУ, сер. Приборостроение 1998, № 1. -С. 15-22.

26. Себряков Г .Г., Семенов А.В. Проектирование стационарных линейных многомерных систем на основе вход-выходных отображений. Методы //"-теории управления. //Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1989.№ 2. -С. 3-16.

27. Семенов А. В. Метод If- теории управления //Машиностроение. Энцик-лопедия/ Ред. совет: К.В. Фролов и др. Под общ. ред. Е.А. Федосова. ~М.: Машиностроение, 2000. -С. 314330.

28. Семенов А.В., Фурлетов М.В., Мещеряков Ш.Г., Морзеев Ю.В. и др. Структурные свойства линейных законов обратной связи. //Тезисы 1-го совещания «Новые направления в теории систем с обратной связью», Уфа 30 мая-2 июня , 1993, Уфа: УГАТУ. 1993. -С. 73-74.

29. Следящие приводы Т.1 :Теория и проектирование следящих приводов, 2е изд. /Под ред. Б.К. Чемоданова. -М.: Изд-во. МГТУ, 1999. -904 с.

30. Теория If (автор Коньков В.Г.- С. 10-270) //в кн. Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления/ Редактор Н. Д Егупов -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. -744 с.

31. Фрэнсис Б.А. Заметки по теории управления по критерию If //Вестник МГТУ, сер. Приборостроение 1991, № 1. -С. 17-38.

32. ЮревичЕ.И. Основы робототехники, 2- изд. -СПб.: БХВ-Петербург, 2005, -416с.

33. Anderson, B.D.O., «An algebraic solution to the spectral factorization problem», IEEE Transactions on Automatic Control, vol. AC-12, pp. 410-414, 1967.

34. Ball, J.A. and N. Cohen, «Sensitivity minimization in an If norm: Parametrization of all suboptimal solutions», International Journal of Control, vol. 46, pp. 785-816, 1987.

35. Ball, J.A. and J.W. Helton, «А Beurling-Lax theorem for the Lie group U(m,n) which contains most classical interpolation theory», J. Op. Theory, vol. 9, pp. 107-142, 1983.

36. Doyle, J.C., «Lecture notes in advances in multivariable control», ONR/Honeywell Workshop, Minneapolis, 1984.

37. Doyle, J.C., К. Glover, P. Khargonekar, and B. Francis, «State-space solutions to standard H2 and//"1 control problems», IEEE Transactions on Automatic Control, vol. AC-34, no. 8, pp. 831847, August 1989.

38. Foias, C., and A. Tannenbaum, «On the four-block problem, I», in Operator Theory: Advances and Applications, vol. 32, pp. 93-122, 1988 and «On the four-block problem, II: The singular system», Int. Equations Operator Theory, vol. 11, pp. 726-767, 1988.

39. Glover K., «Multiplicative approximation of linear multivariable sys-tems with LIf error bounds», Proceedings of the American Control Conference, Seattle, pp. 1705-1709, 1986.

40. Glover, K. and Mustafa D., «Derivation of the Maximum Entropy //"-controller and a State-space formula for its Entropy», International Journal of Control, vol. 50, no. 3, pp. 899-916, Sept. 1989.

41. Hautus, M.L.J, and L.M. Silverman, «System structure and singular control»,Linear Algebra Applications, vol. 50, pp. 369-402, 1983,

42. Hung, Y.S., «A£f°-optimal control Part I: Model matching, Part II: Solution for controllers», International Journal of Control, vol. 49, pp. 675-684, 1998.

43. Zames, G., «Feedback and optimal sensitivity: model reference transformations, multiplicative seminorms, and approximate inverses», IEEE Transactions on Automatic Control, vol. AC-26, pp. 301-320, 1981.

44. Zhou, K., and P.P. Khargoneckar, «An algebraic Riccati equation approach to If optimization», Systems and Control Letters, vol. 11, pp. 85-92, 1988.