автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.12, диссертация на тему:Автоматизированное проектирование радиоэлектронных схем, моделируемых дифференциальным кубическим уравнением Льенара с квадратичным трением

-V5 САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

-Ч УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

МАКАРОВА Мария Валентиновна

АВТОМАТИЗИРОВАННОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ, МОДЕЛИРУЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ КУБИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЕМ ЛЬЕНАРА С КВАДРАТИЧНЫМ ТРЕНИЕМ

05.13.12 системы автоматизации проектирования (промышленность)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 1997

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете

Научный руководитель - доктор технических наук,

профессор НЕЛЕПИН Рональд Аполлонович. Официальные оппоненты - доктор технических наук, профессор ДИДУК Геннадий Андреевич;

кандидат технических наук, доцент ШЖБЕРОВ Владимир Николаевич

Ведуиря организация - Институт проблем транспорта РАН.

Защита состоится У/1997 года в $ часов на заседании диссертационного" совета К-063.57.4 8 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199178, Санкт-Петербург, В.О., 10 линия, д. ЪЪ., ауЗ. 66.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени А.М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9.

Автореферат разослан " " DJCMsJhtSi 19 97 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета К-063.57.48.

кандидат технических наук-^Л^^^^М.А.Галактионов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В последние десятилетия в промышленности, на транспорте и в технике находят широкое применение радиоэлектронные схемы, которые все время усложняются и совершенствуются. Как следствие, актуальной является задача разработки систем автоматизированного проектирования (САПР) радиоэлектронных схем. Однако, если ряд процедур автоматизированного проектирования (машинная графика, составление на компьютере проектной документации) к настоящему времени достаточно хорошо разработаны, то проблема параметрического синтеза схемы на основе исследования ее нелинейной математической модели еще далека от завершения. Эта проблема состоит в исследовании систем нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих предельные циклы, и восходит к классическим работам Пуанкаре, Льеяара, к XVI проблеме Гильберта, к работам по теории нелинейных колебаний, выполненных в СССР школами академиков Л.И. Мандельштама и A.A. Андронова. В связи со сказанным, актуальной является задача исследования нелинейных динамических систем, моделирующих процессы в радиоэлектронных схемах, и основанная на атом исследовании процедура параметрического синтеза этих систем, как составная и важная часть САПР.

Цель работы. Построить математическую модель, описывающую динамическое поведение распространенных типов радиоэлектронных схем (генераторов, мультивибраторов, усилителей, триггеров), в виде системы дифференциальных уравнений. Разработать аналитическую и компьютерную процедуру параметрического синтеза этой системы с целью создания САПР рассматриваемых схем.

Методы исследования. При построении математической модели выделенного класса радиоэлектронных схем используются методы анализа электрических цепей и методы математического моделирования.

При изучении математической модели — системы дифференци-

альн'ых уравнений применяются методы качественной теории дифференциальных уравнений, методы теории динамических систем, методы теории бифуркаций.

Для описания релаксационных колебаний используются методы исследования разрывных колебаний и элементы теории сингулярных возмущений дифференциальных уравнений и их систем.

Для построения приближенного аналитического решения, описывающего режим генерации автоколебаний в радиоэлектронной схеме, используется метод медленно меняющихся амплитуд.

При создании текстов компьютерных программ, с целью автоматизации проектирования и расчета изучаемых радиоэлектронных схем, применяются методы программирования на языке Паскаль.

Научная новизна. В работе автором получены следующие новые результаты и положения, которые выносятся на защиту:

1. Построена математическая модель часто применяемых радиоэлектронных схем (генераторов, мультивибраторов, усилителей, триггеров), представляющая собой нелинейное дифференциальное кубическое уравнение Льенара с квадратичным трением, эквивалентное системе двух дифференциальных уравнений, называемой кубической системой Льенара.

2. Проведено полное качественное исследование математической модели, в результате которого: определены тип и характер устойчивости особых точек системы, изучено поведение траекторий-в малой окрестности особых точек и на бесконечности, получены условия наличия и отсутствия предельных циклов, а так же условия возникновения релаксационных колебаний.

3. Найдено приближенное аналитическое решение уравнения Льенара в виде квазигармонического колебания с переменной амплитудой и фазой, которая может быть постоянной Или зависеть от времени. Определено время установления стационарных колебаний.

4. Созданы пакеты прикладных программ LIENAR и CYCLE, основывающиеся на теоретических результатах по исследованию математической модели и позволяющие осуществлять параметрический синтез системы и схемы, которую она описывает.

5. Разработана процедура САПР радиоэлектронных схем изучаемого класса, составной частью которой являются пакеты LIENAR и CYCLE. Предложенная Методология САПР позволяет осуществлять автоматизированное проектирование рассматриваемых радиоэлектронных схем.

Достоверность проведенных иследований подтверждается компьютерным и реальным физическим экспериментом. Все полученные в работе результаты являются новыми.

Практическая значимость. Построена, математическая модель, представляющая собой систему дифференциальных уравнений, описывающая возможные режимы работы радиоэлектронных схем, имеющих широкое практическое применение: генераторов, мультивибраторов, усилителей, триггеров. По результатам качественного и аналитического исследования модели созданы пакеты прикладных программ LIENAR и CYCLE, позволяющие осуществлять процедуру параметрического синтеза указанной системы и определять реальные физические параметры соответствующей схемы. Все это сделало возможным разработать методологию САПР изучаемых радиоэлектронных схем.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на заседании кафедры ТСУ ЭФА ПМ - ПУ СПбГУ, на XXVIII научной конференции "Прикладная математика и процессы управления1' (ПМ - ПУ СПбГУ, 1997). По теме диссертации опубликовано б работ [1-6].

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из четырех глав, выводов по каждой главе и по диссертации в целом, содержит 27 рисунков, 1 таблицу, список литературы из 117 наименований и приложение в виде пакета прикладных программ. Работа изложена на 180 страницах.

Краткое содержание работы

В главе I проведен обзор и анализ литературы по математическому моделированию и автоматизированному проектированию радиоэлектронных схем, обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована ее целевая установка. Показано, что в общем случае математической моделью радиоэлектронных схем является система обыкновенных дифференциальных уравнений, полученная на основе связи фазовых переменных и их производных, а так же применения законов Кирхгофа.

Дано описание основных радиоэлектронных схем: генераторов, мультивибраторов, усилителей, триггеров. Представлена математическая модель нелинейного колебательного контура, который входит составной частью в многие радиоэлектронные схемы. В случае, когда резистивный и индуктивный элементы — линейные, а емкостной — нелинейный контур моделируется уравнением Дюф-финга:

х+кх+ Ьх + Ь2х2 + Ь3х3 — 0 ,

где (') обозначает производную по времени.

В случае, когда реактивные элементы — линейны, а резистивный — нелинейный, контур моделируется уравнением Ван - дер -Поля

х-/л(1 - хг)х +1 = 0.

Далее построена математическая модель туннельно - диодного мультивибратора, в безразмерной форме соответствующая уравнению

х -+ (х — а)х + /Зх + ух2 — О

и модель многофункциональной схемы на туннельных диодах, представляющая систему двух дифференциальных уравнений первого порядка:

х = у — (1 — к)х — 1х3 , у = _(2/г - к)х ~ 1х3 ,

где с*,/?, 7, 6 — параметры модели, выражающиеся через реальные физические величины, характеризующие режимы работы схем.

Так, например, записанная выше система может моделировать режимы генератора, мультивибратора, усилителя, триггера, а в определенных случаях позволяет использовать изучаемую схему как логический элемент в устройствах вычислительной техники.

На основании анализа приведенных выше моделей, предложена более общая модель в виде нелинейного дифференциального кубического уравнения Льенара с квадратичным трением

£ + («1 + 1а,1Х + За.зх2)х + Ь%х + Ь2х1 + Ь3х3 = 0 ,

которое описывает выделенный класс, радиоэлектронных схем (генераторы, мультивибраторы, усилители, триггеры) и эквивалентно кубической системе Льенара

х ~ у — а\Х — а2х2 — а3х3 , у - -Ь^х - Ь2а:2 - Ь3х3,

В главе II проведен полный качественный анализ указанной системы. В § 1 рассмотрен случай, когда система имеет однократную единственную особую точку. В § 2 изучен случай сосуществования однократной и двукратной особых точек. В каждом из указанных случаев определен тип особых точек, характер их устойчивости, проведено исследование поведения траекторий системы вблизи особых точек и на бесконечности, которая в обоих рассматриваемых случаях имеет одинаковую характеристику. Отмеченный факт и дополнительные исследования позволили найти условия существования в кубической системе Льенара устойчивых предельных циклов, на практике соответствующих режимам автоколебаний в моделируемых схемах.

Так, в случае единственной однократной особой точки 0(0,0), эти условия следующие

1)а!<0,аз>0,а2 — любое;

2) аг = 0 , а3 > 0, а3 < (2/3)(а2Ь2/Ь1).

Во втором случае система имеет две особые точки: О^О, 0) — однократную и 02(0,0) — двукратную. Система изучается в виде:

( х — у — а\Х — а2х2 — азх3, [ у — ~зх(х — с)2 .

Устойчивый предельный цикл вокруг О1 существует при условиях:

1) «1 < 0, а3 > 0; - 2) ау = 0, а3 > 0 , а3 < -(4/3)(«2/с);

3) а3 = 0, 01 < 0 , аг + 2а2с > 0.

Отдельно проанализирована ситуация, когда вокруг 01 существует устойчивый предельный цикл, который вместе с особой точкой (?2 окружен неустойчивым предельным циклом. Это возможно, если:

1) 01 < 0, а3 < 0, а\ > Зс^ал;

2) = 0, «з < 0, а3 < ~(4/3)(а}/с);

В случае втором при выписывании условий предполагается, что 5 > 0, иначе делается замена времени I на —I.

В § 3 рассмотрен случай трех однократных особых точек. Система изучается в виде:

( х — у — а¡х — аIX2 — а3ж3 , у = ~.чх{х — к)(х — I).

Здесь условия существования устойчивого предельного цикла, окружающего все три особые точки, получены на основании специально доказанного утверждения, для выполнения которого достаточным является требование: кI < 0. Устойчивые предельные циклы малой амплитуды вокруг каждой из особых точек возникают за счет бифуркации Хопфа.

В §4 подробно исследован случай, когда кубическая система Льенара содержит малый параметр е при старшей производной и может быть записана следующим образом:

{ех ~ у — а\х — а^х2 — азх3 , у = -(с - + Ьх + ¿) .

Для системы такого вида решен вопрос наличия в ней релаксационных колебаний, весьма важных для установления режима мультивибратора.

В главе III § 1 на основе проведенного полного качественного исследования кубической системы Льенара разработана процедура параметрического синтеза этой системы, заключающаяся в том,

чтобы по данным качественного анализа и компьютерного эксперимента определить математические параметры модели и реальные физические параметры, характеризующие радиоэлектронную схему и о б ее п счиб аютдие необходимые режимы ее работы: генератор, усилитель, триггер. Создан пакет прикладных программ LIENAR, позволяющий осуществлять описанную выше процедуру параметрического синтеза и являющийся составной частью предложенной САПР радиоэлектронных схем рассматриваемого класса. Текст программ написан на языке Паскаль и предствален в §2. Применимость разработанной методологии САПР продемонстрирована при расчете конкретных радиоэлектронных схем: мультивибратора и многофункциональной схемы на туннельных диодах. Дополнительно, по сравнению с ранее проведенными исследованиями, получены условия наличия в этих схемах периодических режимов малой амплитуды. .

В главе IV рассмотрена схема одноконтурного автогенератора на туннельном диоде, вольт - амперная характеристика которого на ее падающем участке в окрестности рабочей точки (VD, /о) аппроксимируется полиномом третьей степени

1(V0 + U) = /0 + DXU + Пги2 + DZU3,

где

Di=(^Ov-ц' =5 (¿¿LVo' ^=I •

Параметрами схемы являются: сопротивление R, индуктивность L, емкость С, напряжение источника Е. При дальнейшем исследовании имеют важное место точки максимума (Vmax, Imaz) и минимума (Kiuni /mm) вольт - амперной характеристики, так как с их помощью находятся коэффициенты D\, D-i, !)?_,.

= -W3{yn„ + К„п ~ 2Ро)/2;

гл _ _Лщ'п Л?_

3 " (K^Wpi^« - Vmin)/2 - Щ'

Математической моделью схемы автогенератора является кубическое уравнение Льенара с квадратичным трением относительно {/(<), в правой части которого стоит некоторая постоянная й. Коэффициенты уравнения выражаются через параметры схемы и могут быть найдены по формулам:

Решение уравнения Льенара найдено в виде квазигармонического колебания с несущей частотой и>0, амплитудой Л(2) и фазой которая может быть и постоянной:

При помощи метода медленно меняющихся амплитуд получены аналитические представления амплитуды и фазы колебания. Выражение для амплитуды имеет вид

в1 = ЛД + А/С; а2 = С2/С; а3=/>з/С;

6! = (ЛОг + 1)/ЬС ; Ьг = ИП2/1С; Ь3=П.В3/ЬС-, <1 = {Е-У0- Ш0)/ЬС.

{/(*) = совОио*+¥>(*))-

>1(0 =

ч/А2(0) + [72->12(0)]е2«7,

где 7 = При постоянной фазе колебания

В случае, когда фаза колебаний зависит от времени:

Если считать, что в начальный момент (¿{//Л)|<=о — 0, то есть в случае постоянной фазы колебания ее можно найти по формуле

/а1Л2(0) — -у5*] V. ¿й)7

Для нахождения самой фазы колебаний, в случае ее зависимости от времени, получено выражение:

где

г, = (3/2)аз72 -2аг, J — -((3/2)(аз72/а) + 4)1п7 , ф(1) = ((3/2)(аз72/а) - 2)ln[/12(0) + (72 - Л2(0))е2о<] Значение А(0) находится из биквадратного уравнения

афА\0) - (аа2 - 62/2)Л2(0) - d = 0 .

В частном случае, при d = 0 получается А(0) = л/|7 — b2j{2а-2^)\. Определено время установления стационарных колебаний:

t = 1 ь,

5 2а 92[72 - Л2(0)] '

где g — параметр, характеризующий долю достижения уровня насыщения 7, определяемый как q = /1(/?)/7.

Для автоматизации расчета периодического режима изучаемого класса радиоэлектронных схем разработан пакет CYCLE, который позволяет получать аналитическое и графическое представление амплитуды, фазы колебаний и решения в целом. Пакет CYCLE может быть использован как часть пакета LIENAR, осуществляющего процедуру параметрического синтеза системы Льенара, моделирующей работу схемы. Проведенный физический эксперимент подтвердил правильность теоретических и компьютерных расчетов, точность выбранной математической модели, а, затем, практическую реализуемость предложенной методологии САПР радиоэлектронных схем, моделируемых кубическим уравнением Льенара с квадратичным трением.

Список опубликованных, работ по теме диссертации.

1. Макарова М.В. Кубическое уравнение Лъенара с квадратичным трением // Деп. в ВИНИТИ, №3425 - В96, 1996.

2. Макарова М.В. Описание и применение схем на туннельных диодах при разработке электронной аппаратуры // Сборник научных трудов "Управление транспортными системами". СПГУВК Санкт - Петербург. 1997. с. 225 - 236.

3. Макарова М.В. Релаксационные колебания уравнения Льена-ра с квадратичным трением // Тезисы доклада на I Международной научно - практической конф. "Дифференциальные уравнения и их применения", Санкт - Петербург, 1996. с 146.

4. Макарова М.В. Предельные циклы одного класса уравнений Льенара // Тезисы доклада на III Международной конф. АЖМ, Воронеж, 1995. с. 30.

5. Макарова М.В. САПР радиоэлектронных схем на базе качественного исследования дифференциального кубического уравнения Льенара с квадратичным трением // Тезисы доклада на Международной научно - технической конференции ТРАНС-КОМ - 97, Санкт - Петербург, 1997, с. 132.

6. Makarova M.V., Modeling of electrical nonlinear circuits in automatic control systems // Proceedings of International Conference on Informatics and Control, St. Petersburg, Russia, 1997, pp. 377 - 381.