автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Нелинейные методы обработки данных

На правах рукописи

Тайбин Борис Залманович

НЕЛИНЕЙНЫЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ

специальность: 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург - 2003

Работа выполнена на первой кафедре обшей физики и кафедре ядерной физики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный консультант - доктор физико-математических наук, профессор Константин Александрович Гриднев

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник

Николай Демьянович Дикусар доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник

Георгий Николаевич Крылов

Ведушая организация - Петербургский институт ядерной физики им. Б. П. Константинова РАН.

Защита состоится " 23" 2003 года в /часов на заседании

диссертационного совета Д 212.232.51 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете в ауд. 3536 математико-механического факультета по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., д. 28.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. А. М. Горького СПбГУ по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Вячеслав Борисович Мелас

Автореферат разослан " гг »

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук

Б. К. Мартыненко

£оо5Г- А I4so(

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы работы. Во многих разделах естествознания сталкиваемся с проблемой анализа сложных кривых, получаемых в результате разнообразных измерений. При этом в ходе обработки наблюдений У(х) в присутствии помехи п(х) наиболее часто возникает представление суммарного сигнала в виде совокуп-

ности одного и того же эталона / (ж), сдвинутого на неизвестную величину хт и измененного в Ст раз по интенсивности

М

Y{x) = S(x) + n(z) = Yl Cmf(x - xm) + n(x). (0.1)

m=1

Такое сложение M сигналов связано с проявлением принципа суперпозиции, когда отдельные т-е процессы не оказывают воздействия друг на друга. При этом нахождение величин сдвигов хт в редких случаях удается осуществить графически по положениям максимумов. Типичными же являются ситуации, для которых разделение отдельных процессов не просматривается вследствие перекрытия их сигналами с большей интенсивностью.

Традиционный путь для таких ситуаций сводится к миними-

X

зации "энергии" помехи Еп — J n2(x)dx в интервале регистрации

о

[0, X] и поиском таких оценок См, ¿ м , ял я которых функция Fm

х. м

FM(Cm,xm) = Еп = ]\У{х)-^СтПх-гт)\2Лж (0.2) о m=1

достигает минимума. Причем при применении итерационных методов сталкиваемся с многомодальностыо функции Fm > сильной зависимостью результата от выбора начального приближения и параметров регуляризации, а также с фактом неоднозначности самого разложения наблюдений на фиксированное число процессов. Именно эти трудности и приводят к необходимости разработки новых способов поиска нелинейных параметров, свободных от указанных недостатков, позволяющих по алгебраическим формулам находить неизвестные параметры для функций эталонов /(ж) следующего вида: синусоид, экспонент, экспоненциально затухающих колебаний, гауссоид, функций типа Коши и др.

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С. Петербург ОЭ i

Цель настояшей работы заключается в поиске таких преобразований данных наблюдений как линейных, так и нелинейных, после применения которых нелинейные параметры, входящие в функции - эталоны, определяются по аналитическим формулам на основе установления условий связи между собой отдельных равноотстоящих по абсциссам ординат с последующей минимизацией по коэффициентам связи.

Научная новизна и значимость работы определяется тем, что в ней впервые:

— разработаны новые способы поиска нелинейных параметров для разнообразных функций-эталонов /(ж), принадлежащих к пяти классам базисных функций: синусоидам, экспонентам, гауссоидам, функциям типа Коши и функциям с радикалами;

— сформулированы признаки и условия синусоидальности, экс-поненциальности, гауссоидности для обработки полигармонических, многоэкспоненциальных и многогауссоидных процессов;

— предложены оценки помехоустойчивости преобразований синусоидальности и экспоненциальности. Подготовлен комплекс программ по моделированию поиска частоты основного тона при распознавании зашумленных речевых сигналов;

— построено приближенное решение уравнения Льенара с квадратичным трением и кубической восстанавливающей силой. Разработан комплекс программ его решения в графической и алгебраической формах;

— созданы аналитические методы определения показателей экспонент: метод дробно-рациональной аппроксимации на основе преобразования Фурье, ZР - метод с использованием X - преобразования и аппроксимации Паде, метод последовательного поиска частот релаксации смеси двух, трех и четырех процессов с помощью X -преобразования;

— проведен сравнительный анализ методов определения параметров моделируемой суммы двух экспонент в присутствии шумов, а также выполнен их расчет на основе реального физического эксперимента из области задач спектроскопии с высоким временным разрешением;

— исследован общий подход к разделению смеси сигналов, подчиняющихся принципу суперпозиции. Показаны способы выделения числа процессов и сокращения числа переменных для минимизации с использованием энергетических соображений;

— предложена наглядная геометрическая интерпретация смеси двух экспоненциальных процессов при переходе к новым координатам. Приведены методы аналитического определения параметров совокупности экспоненциально затухающих колебаний при совместном использовании признаков синусоидальности и экспонен-циальности;

— построено преобразование для функции-эталона с явным максимумом (произведение степенной функции на затухающую экспоненту), имеющее четкую физическую реализуемость с помощью нерекурсивных фильтров последовательно нарастающих порядков;

— продемонстрирована применимость преобразования гауссо-идности к анализу многогауссоидных процессов с постоянной и с переменной полушириной. Показано использование преобразования Гаусса для нахождения параметров смеси отдельных гауссоид;

— рассмотрено применение "вейвлет-анализа" для определения параметров многоэкспоненциальных и многогауссоидных процессов с применением фильтров типа "мексиканская шляпа" и "кардио-фильтр" при наличии шумов;

— разработана серия методов аналитического определения параметров диэлектрической релаксации. Для смеси двух процессов дана геометрическая интерпретация данных наблюдений в виде прямой, гиперболы, эллипса. Проведено численное моделирование процессов, описываемых функциями типа Коши, с варьированием процентного уровня шумов. Создан комплекс программ вычислений времен релаксации, интенсивностей отдельных процессов, а также предельных значений параметров диэлектрической релаксации;

— построены специальные преобразования, позволяющие по измерениям магнитной аномалии над телами простейшей формы находить параметры, связанные с глубиной залегания и ориентацией предмета под поверхностью Земли. Осуществлена экспериментальная проверка этой методики.

Эти основные положения и выносятся на защиту.

Практическая значимость работы заключается в том, что развитые в ней методы определения нелинейных параметров синусоид, экспонент, гауссоид, функций типа Коши и приближенного решения дифференциального уравнения Льенара с квадратичным трением и кубической восстанавливающей силой доведены до конкретных рабочих программ и могут быть использованы для широкого круга исследований в разных областях науки.

Структура работы. Работа состоит из введения, семи глав, заключения, списка цитируемой литературы 139 наименований; она насчитывает 346 страниц текста, включая содержание, общую характеристику работы, предисловие и 55 рисунков.

Апробация работы и публикации. Два метода по теме работы опубликованы в "Опт. и спектр." 1992 г., еще один метод в "Вестн. С.-Петерб. ун-та" 1993 г.. Поиск скрытых периодов представлен в публикациях в "Astr. Nachr." 1989 г. и "Astrophysics and Space Science" 1994 г., а также в "Вестн. С.-Петерб. ун-та" 1999-2000 гг. Вопросы современного подхода к методу Прои й и различные аспекты аналитического определения параметров диэлектрической релаксации представлены там же в 1996-1997 гг., 2000 и 2002 гг. Две статьи, связанные с методом рекуррентных соотношений, получившим в работе дополнительное развитие, включены в 1977-1978 гг. в Государственный фонд алгоритмов и программ СССР. Серия методов определения параметров многоэкспоненциальных кривых релаксации содержится в учеб. пособии, СПб. 1994, в канд. дис., Дубна. 1996. Нахождению нелинейных параметров, входящих в функции-эталоны в виде синусоид, экспонент, гауссоид, функций типа Коши, экспоненциально затухающих колебаний и др., посвящена монография, СПб. 2002.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Для многих разделов науки характерно проявление принципа триарности, тесно связанного с реакцией системы У на внешнее воздействие X на объект исследования А. Особенно часто с этим принципом сталкиваемся в физических экспериментах различной природы. Общая его схема хорошо знакома и протекает по правилу X => | А | => Y когда под действием внешнего сигнала X на входе и знания выходного сигнала Y получаем информацию о внутренних свойствах объекта А. Такая схема, протекающая в прямом направлении (слева направо), является наиболее типичной. Однако для задач космогонии срабатывает обратный порядок, при котором по регистрации красного смешения Y и знания свойств аппарата А удается извлечь данные об источнике излучения X. Естественно,

что с этим принципом имеем дело и в математике. Например, при

—* —►

решении системы линейных уравнений - АХ = В,

~В =>• [X]

когда под входным воздействием понимаем вектор правой части В

и с помощью преобразующей матрицы А находим решение X. В случае, если на вход системы с матрицей А

¿ХЦ)

<и

I

У х (г) Л =>. [а] => ~Х (г)

1 _у

подаются скорости Л- или интегралы / X (1.) ¿1 изменяющихся

о

во времени величин X (¿), получаем решение системы дифференциальных или интегральных уравнений. Демонстрация этого принципа для целой группы входных воздействий пронизывает большую часть работы, относящуюся к задачам разделения смеси сигналов, описываемых различными функциями.

Для широкого круга задач в области естественных наук характерна связь с анализом экспериментальных данных, получаемых в результате проведения разнообразных измерений. При этом в процессе обработки наблюдений экспериментатор обычно принимает некоторую функциональную модель интересующего явления, пытаясь описать его ограниченным числом параметров, представляя зарегистрированный сложный сигнал комбинацией простых, более удобных для анализа. Поэтому наиболее часто в исследованиях различной природы встает вопрос о разложении экспериментальных данных на совокупность функций /(г) заданного вида, которые обычно называются эталонными функциями. И хотя разнообразие объектов измерений приводит к многообразию видов эталонных функций /(ж), тем не менее почти во всех естественнонаучных дисциплинах сказывается общность следующего порядка.

Дело в том, что при анализе данных наблюдений (особенно физических) приходится часто сталкиваться с представлением суммарного сигнала в виде (0.1), когда отдельные т-е процессы протекают независимо от других, и эффект от суммы воздействий совпадает с суммой эффектов от различных воздействий. При этом наиболее характерными являются ситуации сильного подавления отдельных процессов со стороны более интенсивных процессов, когда нахождение величин сдвигов хт по оси х осуществить графически становится невозможным (рис. 1).

Угм

X

Рис. 1. Смесь двух сигналов I и II -V'2(a;) = Cxf(x — xi) + C2f(x — x2) с параметрами Cj = 0, 5, C2 = 1; aj] = 20, x2 = 10, где в качестве эталона выбрана гауссоида f(x) = .4ехр[-02(ж - а)2], А - 100, а = 30, а = 0,0715.

Для ситуаций с перекрытием обычно используется метод наименьших квадратов (МНК) с поиском минимума функции Fm (0.2) 2М переменных. Напомним, что если в качестве независимой переменной х выступает время ¿, а в качестве Л' — время регистрации Т, то Еп соответствует определению истинной энергии помехи. Выражение (0.2) при усреднении по интервалу X отвечает записи среднеквадратического значения помехи

что во временном представлении соответствует понятию средней мощности помехи. Для минимизации функции Рм (0.2) или Рм (0.3) располагаем обширной группой итерационных методов, связанных с использованием МНК с ограничениями типа равенств и неравенств, градиентных методов, методов случайного поиска, методов Ньютона, Ньютона - Канторовича и методов с привлечением регуляризации по А. Н. Тихонову. Наличие многих минимумов у функции , зависимость результата вычислений от выбора вектора начального приближения или параметров регуляризации,

п

.»(г) = ^ n\x)dx = FM = [У (г) - jr CMf(x - гт)]2 , (0.3)

м

неоднозначность самого разложения наблюдений на фиксированное число процессов — своеобразная плата за простоту записи в методе МНК. Кроме того, по мнению П. М. Гопыча, ни один из критериев не гарантирует, что "подгонка будет прервана в истинном минимуме минимизируемого функционала".

Именно эти факты и приводят к необходимости разработки новых способов поиска нелинейных параметров, свободных от указанных трудностей, позволяющих по алгебраическим формулам находить неизвестные параметры для функций-эталонов f(x) следующего вида: синусоид - A sin (шх + ip), экспонент - Аехр(-ах), экспоненциально затухающих колебаний — А ехр ( — схх) sin (ojx + tp), функции с явным максимумом в виде произведения степени х на экспоненту - Ах ехр (—аж), гауссоиды - А ехр [—а(х — а)2], функций типа Коши - i i '2 и ФУнкций более сложного вида -A(h2 + х2)-2, A(h2 + х2)~ъ'2. °

Таким образом, целью предлагаемого исследования является нахождение таких преобразований данных наблюдений, после применения которых нелинейные параметры, входящие в функции-эталоны, определяются по аналитическим формулам на основе установления условий связи между собой отдельных равноотстоящих по абсциссам ординат с последующей минимизацией по коэффициентам связи.

Прежде, чем приступить к изложению методов поиска нелинейных параметров, остановимся на общих принципах разделения смеси сигналов. В соответствии с необходимыми условиями существования минимума функции Fм, т. е. обращениями в нуль М ее частных производных по переменным См и хм, приходим к двум группам систем нормальных уравнений. Сначала получаем систему на основе линейно входящих величин СЛ/ при п = 1,2,..., М:

(0.4)

К]{хп - Хт) = f(x - Xm)f{ X - Хп) , Ку (хп) = У(х)/( X - хп) .

При минимизации функции Fm по нелинейным параметрам сдвигов хп имеем систему

Z) СгпК;(х„ - хт) = Ку{хп) ,

м

1С CmG¡(xn — хт) = Gy(xn) ,

m=1

(0.5)

- Хт) = /(х - хт)/(х - .тп) , = У(х)/(х - хп) .

В принципе системы (0.4) и (0.5) полностью решают задачу о нахождении коэффициентов См и сдвигов хм- Правда, при этом оценки См на основании (0.4) являются функциями сдвигов хм, но такой подход их подстановки в (0.5) снижает число переменных для минимизации в два раза. Покажем, однако, что использовать систему (0.5), куда входят производные f(x) эталонной функции /(ж), совсем не обязательно. Для этих целей среднее значение функционала Рм, т. е. среднеквадратическое значение помехи п(х), запишем следующим образом:

м

ум = ^оо = р'оо - ст/(х - *т)]*

т=1

или после усреднений

м мм

~РМ =У2(1)-2^ СтКу(хт) + X) £ СтСпК,{хт - хп) , (0.6)

т— 1 т=1 п = 1

которое при использовании системы (0.4) получим либо в форме

м м

Рм=УЧх)~ Е Е СгпСпК/(хгп — хп) ,

771 = 1 п=1

(0.7)

либо

_ _ м

Рм=У2(х)~ Е СтКу(хт) .

т=1

(0.8)

Итак, среднеквадратическая ошибка Рм = я2(ж) становится минимальной, если использовать выражения (0.7) или (0.8). От-нормируем функцию Рм к дисперсии наблюдений Оу = У2(х) — х —

I <%х, тогда находим Нм = = 1 — с функцией

о "

мм м

Е Е стспк,(хт-хп) Е стку(хт)

-^-= -. (°-9)

иу и у

т. е. каждое слагаемое (0.9) отражает вклад по мощности отдельного т-го процесса в общую их совокупность, причем по условиям

нормировки этот вклад можно оценивать и в процентах, принимая единичное значение функции Фм за 100%. Вместе с тем такая запись (0.9) дает возможность определения числа процессов М в смеси наблюдений и чисто графически. На рис. 2 изображены ситуации, соответствующие выделению одного, двух или трех сигналов.

Рис. 2. Характерное поведение функции Фм ПРИ выделении М процессов.

Рис. 3. Поведение функции Фм в неопределенной ситуации числа процессов М.

В случае близости значений Фм ДРУГ к другу в пределах единицы (рис. 3) для выбора числа М переходим к расстановке амплитуд по числу процессов, отбрасывав те из них, амплитуда которых много меньше амплитуды максимального в заданное число раз (рис. 4).

Рис. 4. Расстановка амплитуд См по числу процессов М.

В сжатом виде круг проблем, затрагивающих широкий спектр физических исследований, связанных с определением скрытых периодов, нахождением параметров многоэкспоненциальных и много-гауссоидных кривых, а также у кривых, описываемых совокупностью функций типа Коши и др., представлен следующей схемой:

1. ПРИЗНАК И УСЛОВИЕ СИНУСОИДАЛЬНОСТИ

Рассмотрим общую форму записи сигнала

X(i) = AN(t) sin[w< + ifi + УОО],

где N(i) и i/>(i) - известные законы изменения амплитудной и фазовой модуляций во времени t с начальными амплитудой - А, фазой — f> и угловой частотой и. Осуществим нелинейное преобразование Т[Х(<)] входного сигнала X(t) в выходной У(<) в виде

Y(t) = T[.Y(<)] = a(t)X(t) + b(i, r)X(t - т) + c(t, r)X(i - 2т),

коэффициенты которого Ь и с могут зависеть не только от времени t, но и от параметра сдвига т, представление которых изменяется в зависимости от вида модуляции.

Обычно при построении таких преобразований предполагается, что коэффициенты Ь и с являются постоянными величинами, и не упоминается о способе их нахождения, особенно для случая, когда они становятся отдельно функциями сдвига т или времени t либо того и другого вместе. Для учета такой зависимости и сформулируем

1.1. Признак синусоидальности.

Найдем преобразование T[X(t)], которое устраняет синусоидальную зависимость, т. е. если временной ряд X(í) представляет собой гармоническое колебание с угловой частотой ш, амплитудой А и фазой </>

X(t)=ABin(u>t + <p), (1.1) то Y{i) =T[X(t)] = 0. (1.2)

Рассмотрим сначала преобразование

Y(t) = а(0)Х(<) + а{т)Х{1 - т) + а(2т)Х(< - 2т), (1.3)

и подставим (1.1) в (1.3), тогда для Y(t) имеем, сгруппировав члены, содержащие сомножителями выражения Asin(cj< + <¿j) и A cos(uit + <р),

Y(i) — ylsin(a>< + ví)[a(0) + a(r) costот + а(2т) cos 2шт] —

—A cos(u;i + tp)[a{r) sin шт + а(2т) sin 2шт].

Для обеспечения выполнения (1.2) требуется одновременное обращение в нуль условий

Г- а(т) cos шт + а(2т) cos 2ыт = — а(П) ,

L а(т) sin и>т 4- а(2т) sin 2шт = 0 ,

откуда а(т) = — 2а(0) coeur, а(2т) = а(0) . (1.4)

Выбирая в ввиду произвольности коэффициента а(0) его значение а(0) = 1, на основании (1.4) получим искомое преобразование (1.3) в виде

Y(t) = T[X(í)] = X(t) - 2 cosa,tX{í - t) + X{t - 2t) . (1.5)

Назовем условие - 2cos^(f - r)+X(t- 2т) = 0, (l6)

признаком синусоидальности, т. е. условием того, что три произвольные точки с ординатами — т), Х(1 — 2т) принадлежат кривой, изменяющейся по синусоидальному закону (1.1).

На рис. 5 изображена блок-схема такого преобразования, на котором параметр р = —2 сое ыг, т. е. преобразование (1.5) переписывается следующим образом: К(<) = Х(1) + рХ{1 — т) + ЛГ(< — 2т).

Рис. 5. Блок-схема преобразования синусоидальности (1.5)

Тем самым, предлагаемый признак синусоидальности обоснован также и физически, поскольку соответствует построению нерекурсивного фильтра М-го порядка с варьированием параметра р = —2соэшт, причем выделение отдельных частот происходит при многократном прохождении этого фильтра, когда выходной сигнал вновь поступает на вход с новым значением р. Блок-схема (см. рис. 5) дает наглядный образ осуществляемого преобразования.

Отметим, что для и>т = 2пп (га = 0, ±1,...) признак синусоидальности переходит в условие линейности

Х(г) -2ХЦ-т) + Х(% - 2т) =~оТ

указывающее, что три последовательные произвольные точки с ординатами Х(<), — т), Х(1 — 2т) лежат на кривой с бесконечно большим периодом, т. е. на прямой Х{1) = <1 + ги1. Дополнительно заметим также, что для и>т — ■птп (тп — 2п 4- 1) признак синусоидальности (1.6) превращается в условие дискретизации

Х(<) 4- 2ХЦ - т) -+ Х(1 — 2т) — 0 ,

выделяющее максимальную частоту /тах, связанную с временем дискретизации сигнала т = 1/2/тах.

Для определения неизвестной частоты одного колебания на основании признака синусоидальности (1.6) имеем

cosыг = [Х(<) + X(t - 2r)]/2X(t - г) (1.7)

или в дискретной форме cosи>т = (Хк + Хк+^)/2Хк+г для любой произвольной тройки экспериментальных ординат X(t), X(t — г), X{t — 2т) и t = кт (к — О, I, . . ., N — 1; N - число точек наблюдений).

Пусть анализируемая функция Хк = 10 cos(&7r/3) для к — 0,1,..., 6 принимает следующие значения: 10, 5,—5,—10,—5, 5, 10, тогда скользящее сканирование по тройкам при единичном шаге г показывает, что все рк — —2 cos(ujt) = —1. Это и соответствует неизвестному периоду Т = 6-г, ибо ют = 2пт/Т = тг/3, что и моделировалось.

Итак, каждая тройка значений ординат приводит к определенной величине неизвестной частоты. Располагая, например, (N — 2) тройками значений ординат, в качестве искомой частоты выберем среднее по всем (N — 2) тройкам либо, воспользовавшись избыточностью условия признака синусоидальности (1.6) (для одного неизвестного существует (N — 2) уравнений) с помощью МНК, используя всю совокупность наблюдений, запишем в дискретном виде

JV-3 JV-3

со& uiT = ]Г(Л'* + Л',+2)Л-, + 1/2 J2 Л1+1 ■

fc=0 i=о

Приведем также условие синусоидальности, используя равенство частот u>i и u>i в выражении (1.7) при замене t на < — т

F(t) = X(t-T)[X{t-T) + X(t-ZT)}-X{t-2T)[X(i) + X{t-2T)\ = 0,

(1.8)

устанавливающее принадлежность четырех последовательных отсчетов к кривой, изменяюшейся по синусоидальному закону (1.1). Последнее выражение дает возможность сформулировать, что для всякою гармонического колебания (1.1) достаточно удовлетворение условию (1.8), когда каждая тройка последовательных ординат в соответствии с (1.7) несет в себе информацию о неизвестной частоте.

Последовательное же сканирование по тройкам ординат, расставленных с единичным шагом по аргументу, с последующим усреднением расчетных значений неизвестных частот по числу используемых троек или после применения к признаку синусоидальности МНК переходит в сканирование с удвоенным, утроенным и т. д.

шагами. При этом находится среднее средних по отдельным шагам, что повышает точность определения скрытой частоты.

Кроме того, в работе (гл. II) обращается большое внимание на зависимость результатов вычислений значений периодов от числа значащих цифр в данных наблюдений и от порядка расстановки их с одинарным, удвоенным и т. д. шагами, что также является своеобразным учетом влияния шумов на поиск скрытого периода. Помимо этого проведем расчеты искомого периода при наличии аддитивного шума с изменяемым процентным его уровнем.

2. Поиск срытого периода с учетом зашумления

Особый интерес в анализе данных представляет собой определение неизвестного периода при наблюдениях отдельной части этого периода, поскольку в этом случае применение преобразования Фурье не приводит к желаемому результату. Такая ситуация складывается, например, при поиске периодических структур в распределении скоплений Галактик по их красному смешению. Рассмотрим функцию

Хк - 100 eos (¿0,07) (к = 0,1,... ,22)

с периодом Т — 27гт/0,07 = 89,76т, у которой оставим только две значащие цифры в дробной ее части после запятой: 100, 100, 99, 98, 96, 94, 91, 88, 85, 81, 76, 72, 67, 61, 56, 50,44, 37, 31, 24, 17, 10, 3. На рис. 6 исходная зависимость изображена сплошной линией. Легко видно, что отдельные точки кривой, особенно на хвосте четверги этого колебания, лежат на прямой линии вследствие ограниченности числа значащих цифр в представлении функции X¡¡. Естественно, возникает вопрос: что произойдет, если подвергнуть совокупность наблюдений преобразованию, связанному с пропусканием ее через фильтрующее окно с некоторой характеристикой Н? Оказывается, что при любом линейном преобразовании сигнала Тп

2 м

Тп = ГГГ—Г J2 НкХк+п , п = 0,1,..., N - 2М - 1, 2 М + 1

к-О

переписываемого в виде Тп = Scos(nJ + <р) + Сsin(nJ + <р), где 2 а/ . 2 м

А чг—- А

S = - У Ни sin к J , С — - У Нt eos kJ

2М -I- 1 2М + 1 ^

о к= о

также выполняется признак синусоидальности:

Тп - 2соsJTrt+1 +Т„+2 = 0 (п = 0,1.....N — 2М — 3),

Проведем моделирование с чашумлением наблюдаемой совокупности, осуществляя скользящее среднее по трем точкам

Хк = Хк + Ц£ к

Хк = (Хк+Хк+1+Хк+2)/3,

где (I - процентный уровень шума, радикал отражает среднеква-дратическое значение сигнала, а ск - случайные числа, подчиняющиеся равномерному распределению в интервале [—1, 1]. В табл. 1 представлены результаты трехкратного сглаживания при вычислении периода Т по методу средних и Тщ с использованием МНК.

Таблица 1

Результаты трехкратного сглаживания при наличии шумов

ц% 0 1 2 5 10 15 20 25

Т 89,75 90,22 90,56 92,45 90,38 9С,55 86,36 87,40

Тм 90,07 90,03 89,99 89,85 89,59 89,31 89,01 88,69

к=и

Рис. 6. Шумовая ситуация при 10- и 25%-ном уровне помех.

Итак, при последовательном сканировании по каждым трем точкам видно, что искомый период находится с высокой точностью даже для значений с 10-25%-ном уровне шумов.

3. Определение двух неизвестных частот процесса с помощью признака синусоидальности

Пусть

= А1 51п(о>1< + ¥1) + Аз 81П(Ш2< + ^2)

и осуществим однократное прохождение схемы на рис. 5 с коэффициентом р 1 = — 2 соя и)} т.

Ух(0 = +Р1*(< - Т) + Л'(/ - 2т) .

(1.9)

Затем для преобразованной функции У\(1) снова пройдем туже схему с коэффициентом р2 = —2 совш2т:

уж) = т[у1(г)} = г1(1)+р2у1(1-т)+у1(г-2т), (мо)

откуда после подстановки (1.9) имеем при р = р\ + Р2, Я — Р1Р2

У2(<) = р[Л'(«-т) + Х(<-Зт)]-Н9 + 2)Л'(*-2т) + А(<)+Л"(<-4г) = 0.

(1.11)

Рис. 7. Блок-схема преобразования синусоидальности Уг(<) смеси 2-х процессов.

Этот признак соответствует преобразованию синусоидальности для совместного выделения двух скрытых частот колебаний, причем для его получения можно обойтись и без двукратного прохождения схемы на рис. 5, а осуществить реализацию схемы на рис. 7. Итак, пять последовательных значений ординат .¥(<),.— т), . . ., Х(1 — 4т) и другие пять Л'(<-т),Л'(<-2т),...,А'(<-5т)

при замене < —<• < — г удовлетворяют условию (1.11), откуда после применения МНК ко всей совокупности данных приходим к системе уравнений с неизвестными р ид.

В табл. 2 представлены тестовые значения суммы двух гармонических колебаний при единичном шаге т.

Хк - Юсов^тг/З) + 10сов(А:7г/2) , (А: = 0, 1, ..., 12).

Таблица 2 Моделирование суммы двух колебаний Хк с частотами f\ и /2

Параметр рк = — (Хк + Хк+7)/Хк +1 вычисляется при последовательном сканировании по тройкам ординат. Функция Fk -из условия синусоидальности. Значения Yik на выходе схемы на рис. 7 вычисляются при отобранном при к — 4 по смене знака функции Fk величине р = —1, а также новые величины pik и Flk. Тире в табл. 2 означает неопределенность типа 0/0, оо -наличие нуля в знаменателе при вычислении рк. Значения pi = — 1 и р2 = 0 соответствуют периодам 7\ = 6 и Т2 = 4, которым и отвечают частоты шх = 7г/3 и uii = 7г/2, ис пользуемые при моделировании. Для этого же примера вычисления с применением признака синусоидальности при одновременном определении двух скрытых периодов (рис. 7) с помощью последовательного выбора пяти ординат приводит к одинаковым значениям параметров р — — 1 и j = 0, которым отвечают Pi = — 1,рг = 0, т. е. те же значения, что и были получены выше.

Совершенно аналогично строится методика определения параметров авторегрессии: Y(i) = X(t) + aiX(t — т) + a2X(t — 2т),

пригодная для других базисных

функций с разной формой записи коэффициентов а1>2. Например, для суммы 2-х экспонент

Л"(<) = А^""' + А2е-ч* -

аг = —(е "Г + е~1*т), а2 =

к -V, Рк Fk Yxk Pik Fit

0 20 -1 50 0 0 0

1 5 -1/3 100 10 - 0

2 -15 -1 100 0 0 0

3 -10 1 50 -10 - 0

4 5 -1 50 0 0 0

5 5 оо -50 10 - 0

6 0 -1 -50 0 0 0

7 5 1 -100 -10 - 0

8 5 -1 -100 0 0 0

9 -10 -1/3 -50 10

10 -15 -1 -50 0

11 5

12 20

-аг = —2е cosjÖT экспоненту Л'(<) = Ate'

а2 = е

е-11 Ге-12Т. д

лебания X(i)

-2 аг.

Ae~al cos(ßt + ip) для произведения степени на

а, — -2е

-аг, а2 = е~2ат.

Для базисных эталонов 3-х видов с четырьмя и восьмью параметрами также существует общая схема У(<) = Х(<) + а^* - г) + а2Хи - 2т) + а3Л'(< — Зт) + а4Х(1 — 4т) нахождения коэффициентов авторегрессии ах-ец в зависимости от типа эталонной функции. Так, например, для суммы 2-х функций с явным максимумом

A'(i) = A^te-"1' +A2te~a*-: ау =

+

о —«з<:

-2(е-а>г + е~а*т), а2 - е~2а'т

а4

2(e_Q,r + е

-2в1Г _-2ааг.

2а*т п- — 1 "3 —

— азг)е~aiT е~ азГ

для смеси 2-х экспоненциально затухающих колебаний: X(i) — A\e~ait cos(/?x< + ¥>i) + A2e~a2t cos(/32t + <р2): аг = -2(e_air cos/^T-f e~"2T cos¡32t), a2 = e"2"^ + cosftrcos^T + c"2"2',

03 = —2e'

■«ifp-ni' (е-азг

cosfiiт + e-ajr cos02т), a4 = e

-2a2r

и для суммы 4-х экспонент эта схема тоже пригодна.

4. Признак и условие гауссоидности

В вышеприведенные преобразования коэффициенты а,- входят линейным образом, хотя и являются комбинациями функций от нелинейных параметров процессов, в то время как для формулирования признака и условия гауссоидности одиночного процесса а;(<) = А ехр [—£*(< — а)2] < £ [0,!Г] осуществляется нелинейное преобразование с неизвестным коэффициентом УУ

У (0 = - 2т) + Шх2(1 -т) ¡£ [2т, Т] ,

которое после подстановки ж(<) примет вид

У(<) = А2 ехр(-2а<2 + 4от< - 2ат2)[ехр(-2ат2) + IV].

Таким образом, преобразование гауссоидности У(<) (см. рис. 8) перейдет в признак гауссоидности

У(<) = x{t)x(i - 2т) + Wx7(i - г) = 0, если W = -ехр(-2от2) ,

откуда открывается возможность вычисления текущих значений коэффициента IV и показателя а

W =

x(i)x(t - 2т) x2{t - т)

1 z(<)®(< - 2т) ° = - хЩ-т

Л'(|)

Дополнительно к признаку гауссоидности приведем и условие гаус-содности

F(t) = x(t)x3(t - 2т) - x(t - 3r)x3(t - т) = 0 ,

показывающее, что любые четыре последовательных отсчета несут в себе информацию о гауссоидной кривой x(t).

Рис. 8. Блок-схема преобразования гауссоидности с использованием нелинейных элементов в виде квадратора и умножителя.

При использовании всей совокупности наблюдений при применения МНК к признаку гауссоидности имеем

т т

W = - / x(i)x2{t - т)ж(< - 2т) Л/ / x4(i - т) di . Отметим, что

среди признаков и условии: синусоидальности, экспоненциальности, экспоненциально затухающих колебаний, функций с явным максимумом, гауссоидности выделяется единственное условие, которое является необходимым и достаточным - это условие экспоненциальности - У(<) = Х(1)Х(1 — 2т) — Х2(/ — т) = 0, дважды присутствующее в условии синусоидальности (1.8), поскольку после применения преобразования экспоненциальности к гармоническому колебанию (1.1) получаем У(<) = — (Л вшит)2 и его же при замене I на < — т.

5. О поиске параметров функций типа Коши

Перейдем теперь к установлению условий связи для функций типа Коши, используемых в анализе релаксационных явлений в частотной области, в которых комплексная диэлектрическая проницаемость £*(ш) для М независимых процессов характеризуется

2г

2 г

выражением:

е-{ш) = - «"м = + £ (£°1"£оо)Ят • (1Л2)

т.1 1 + ,Ь,Г-

где интенсивность и время релаксации гт - параметры т-го

М

процесса, причем выполняется условие нормировки С Nm = 1.

т = 1

После выделения в £*(и>) вещественной и мнимой частей получим

М N

е'(ш) — Есо + (г0 - ес ^ V" т

^ 1 + и,2т£ ' т=1 т

М .

£"М = (¿о - Е • (ЫЗ)

т=1 1+Ь> Т«

В случае неизвестных предельных значений с0, £оо воспользуемся разложением е'(^) (1-13) по прямым и обратным степеням малого параметра, являющегося произведением частоты на длительность процесса релаксации, пригодного для граничных частот на начальном и конечном участках регистрации данных с ожидаемыми величинами времен самого быстрого и самого медленного из процессов релаксации: тт|п, гтах. При этом должны выполняться следующие условия: (шт|пттах)" <К 1, (штахгтш)" » 1. В этих ограничениях знаки "много меньше 1" и "много больше 1"означают, что некоторой степенью п малого параметра можно пренебречь по сравнению с погрешностью экспериментальных данных, причем для второго неравенства имеется ввиду разложение по обратным степеням произведения (штахгтт)- Запишем разложение е'(ш) в ряд по степеням малых величин (штт) в окрестности низких частот

е'{и>) = в«, +(е0 -е«,) 51>т(1 - + и>4т4 +0<и>6т£)), и> - 0 .

т

С учетом нормировки С — 1 имеем

= £0 + А0и>2 + Вой/4 + 0(швт^ ач) , ш-»0,

где [Ао] (с2) и [Во] (с4) - размерные величины, указывающие на подлежащую рассмотрению модель, в которой исключаются все слагаемые, содержащие шестую и более высокие степени малого параметра, а остаются только 2-я и 4-я степени, т. е. первое неравенство

выполняется при п — 6. Аналогичным образом поступаем и при и> —* оо, раскладывая е'(и>) в ряд по обратным степеням ш:

s(ui) =£„3+ Аоо -^т- + 2?оо—у + О ( —J—5—) , w-*oo,

Ш1П

Итак, для c'(lj) имеем два разложения по прямым и обратным степеням, применяя к которым МНК построим алгоритмы определения оценок е0 и £оо-

6. О работоспособности методов поиска предельных значений диэлектрической релаксации на модельных примерах с зашумлеиием

Продемонстрируем работоспособность методов расчета предельных значений £о> ссо при численном моделировании двухрелаксаци-онного процесса со следующими параметрами:

ti = 4 мкс, т2 = 0,4 мкс; JV", = 0, 7 , = 0, 3; е0 = 12, 65 , е« = 2, 9 .

К вычисленным по этому набору значениям е' и е" для экспериментальной сетки частот / (Гц) добавлялись шумы по следующим правилам: е'к —> е!к + Ae't = 0, Хе^РЧь, ¿'I +

Де" = minfs:''}//.?;", где т]'к и r)'l - равномерно распределенные слу-i

чайные числа из интервала [— 1, 1], а ß - процентный уровень за-шумления.

Таблица 3 •

Расчетные значения со и их относительные погрешности (в %) при /х = 0,1

Длина - Начало

0 2 4 6 8 10

4 12,588 12,638 12,665 12,714 12,567 12,698

0,49 0,09 0,12 0,51 0,66 0,38

5 12,625 12,661 12,660 12,694 12,625 12,639

0,20 0,09 0,08 0,35 0,20 0,09

6 12,621 12,651 12,665 12,632 12,635 12,583

0,23 0,01 0,12 0,14 0,12 0,53

7 12,638 12,650 12,667 12,641 12,619 12,543

0,09 0,00 0,13 0,07 0,25 0,85

Таблица 4

Расчетные значения и их относительные погрешности (в %) при /1 = 0,1

Длина Конец

45 43 41 39 37 35

4 3,023 2,803 2,906 2,909 2,902 2,943

4,24 3,34 0,21 0,07 0,31 1,48

5 2,925 2,868 2,919 2,916 2,906 2,958

0,86 1,10 0,66 0,55 0,21 2,00

б 2,882 2,884 2,991 2,905 2,913 2,916

0,62 0,55 3,14 0,17 0,45 0,55

7 2,887 2,899 2,913 2,905 2,928 2,906

0,45 0,03 0,45 0,17 0,97 0,21

Укажем, что в табл. 3-4 слова "начало" и "конец" означают соответственно номера частот на начальном и конечном участках для подряд следующих частот, а слово "длина" - количество частот в этом интервале.

Таким образом, результаты проведенного численного моделирования по предлагаемому методу нахождения предельных значений е0 и показывают, что при зашумлении данных вплоть до /.i < 0, 5 удается найти значения са и £м с удовлетворительной точностью даже при отбрасывании довольно значительного числа концевых частот (до 8-10).

6.1. Аналитическое определение параметров

диэлектрической релаксации в случае двух процессов

В случае двух (М = 2) процессов релаксации для комплексной диэлектрической проницаемости (1.12) имеем

£*(ш) = £00 + (е0 - е«>)(—-т--Ь ~—т-) •

1 + гшт\ 1 + гыт2

После умножения на произведение знаменателей правой части получим

£*(ш)[1 + iu>(Ti + т2) — и>2Т1Т2] = £оо[1 + гш(т\ + г2) — ш2тх т2] + +(£о - Soo)[Wi(l + twr2) + Nt{\ + iW2)].

Введя новые переменные - р = — (т2 +т2), q = гг т2, т21 = N1 т2 +N2ti , с учетом нормировки N i 4- N2 = 1 перепишем последнее уравнение в виде

£*(w)(l — iüjp — bfq) = Соо(1 — iup — w2q) + (e0 — еоо)(1+ г'шт21) . (1.14)

Используя определение (1-12) и выделяя в уравнении (1.14) сначала вещественную, а затем мнимую части, получаем два условия связи для г' и е" при обозначении т — рс^ — (с0 — £oo)r2i-

е'(ы) = е"(иг)шр + e'{üj)u;2q - £ооа?q + е0 , (1.15)

е"(ш) — е'(и>)шр + e"(uj)ui'2q + шг , (1-16)

6.2. Геометрические построения с помощью прямых

Установленные условия связи (1.15) и (1.16) позволяют применить их для получения наглядных геометрических образов, особенно после записи (1.15) в переменных и(ш) = {е'{ш) — £оо)/(ео ~ £co)i V(lj) = е"(ш)/(ео ~ £оо) и перехода к новым координатам:

_ Ц(Ш) - 1 _ У{ш)

У(Ш) - ГТ, S > =

с применением которых уравнение (1.15) станет уравнением прямой линии У = рХ + } с коэффициентом наклона, соответствующим параметру р, и "свободным членом" д. Типичное поведение зависимости У(Х) для модельных данных изображено на рис. 9. _X

-ю .12-1'

Рис. 9. Уравнение прямой в координатах (X ,У).

6.3. Сравнение аналитических методов нахождения параметров релаксации

Результаты вычислений параметров релаксации по разработанным методам сведены в таблицы, в которых расчетные значения отдельного параметра отвечают строке таблицы и методу, указанному в столбце, а в последнем столбце приведены точные значения параметров моделирования суммы двух процессов релаксации. Для используемых значений е' и е" зафиксировано три знака после запятой, а зашумлепие данных выполнено по упомянутому выше алгоритму. Римские цифры в столбцах табл. 5—6 соответствуют методу расчета: I - разностный метод, II - МНК по уравнению (1.16), III - МНК по уравнению (1.15), IV - комбинированному способу по уравнению (1.16) в координатах u, v, V - определение параметров с использованием уравнения прямой, VI - с применением уравнения I/ + Uu,r21 + p(U2 + v2)u, = 0. Таблица 5

Расчетные значения параметров релаксации при ц — 0, 1

Парам. I II III IV V Точно

12,655 12,670 12,628 12,639* 12,639* 12,65

^оо 2,898" 2,984 2,898* 2,898* 2,898* 2,9

Т\ 4,064 4,030 3,945 4,030 3,977 4

Tl 0,454 0,428 0,385 0,428 0,401 0,4

N! 0,687 0,701 0,705 0,692 0,698 0,7

n2 0,313 0,299 0,295 0,308 0,302 0,3

ф 4,0- Ю-5 3,3- Ю-6 6,8- Ю-6 1,3 • Ю-5 5,1 • Ю-8 3,4 • Ю-6

VI метод дает значения р — —4, 43 мкс, т21 = 1,517мкс.

Таблица 6

Расчетные значения параметров релаксации при /I = 0,5

Парам. I II III IV V Точно

12,808 12,645 12,766 12,671* 12,671* 12,65

^оо 2,907* 2,625 2,907* 2,907* 2,907* 2,9

П 3,933 3,818 4,069 3,818 3,848 4

тг 0,214 0,252 0,377 0,252 0,283 0,4

nx 0,725 0,706 0,696 0,729 0,729 0,7

n2 0,275 0,294 0,304 0,271 0,271 0,3

Ф 1,2 ■ Ю-3 9,6 • Ю-4 1,2 • Ю-4 5,8- Ю-4 3,3- Ю-4 8,5- Ю-5

VI мегод дает значения р = —4, 107 мкс, т21 = 1, 247 мкс.

Для тех методов, где не предусмотрено нахождение предельных параметров независимым способом, использовано разложение в ряд вещественной части диэлектрической проницаемости е' по прямым и обратным степеням и>2 (эти значения помечены звездочкой). Результаты, приведенные в табл. 5-6, прежде всего показывают работоспособность предлагаемых методов, а также дают возможность отбора способов, наиболее устойчивых к действию шумов (см. III, V, VI). Введение новых координат (X, Y) и (X], Yt) в V и VI методах позволило получить наглядную геометрическую картину, отвечающую совокупности двух процессов релаксации. В этих координатах двухрелаксационный процесс описывается прямой линией.

7. Условие связи для функций с радикалами

Аномалия магнитного поля Y над шаром с углом намагниченности i, магнитным моментом М и глубиной залегания h, т. е. разность между реально существующим полем и его нормальным значением в данной точке X, характеризуется выражением

Y =z^-[h2 +Х2 + 3(Х2 - Л2) cos 2i - &hX sin 2г](Л2 + X2)~5/2 ,

для которого при расстановке отсчетов по оси X с постоянным шагом получаем условие связи

-Yk(h2 + X2?'2 + 3 Yk+l(h2 + X¡+1)5'2--3Yk+2(h2 + Х2+2Г'2 + Yk+S(h2 + Xl+3)*'2 = 0 .

Аналогично получаем и условие связи для горизонтального цилиндра

Yk+2(h2 + X2k+2)2(h2 + XkXk+l) - 2Yk+í{h2 + X2+1)2x x(h2 + XkXk+2) + Yk{h2 + X2)2(h2 + Xk+lXk+2) = 0 ,

считая его критерием принадлежности аномалии к полю над цилиндром.

ВЫВОДЫ

Прежде всего отметим, что в работе сформулирован общий подход к нелинейной обработке данных наблюдений на основе построения управляемой их фильтрации с использованием функций-эталонов, присутствующих в описании большинства физических

явлений. Среди этих эталонов выделено пять классов базисных функций, наиболее типичных для научных исследований. К первому из них относятся синусоиды, ко второму - экспоненты, экспоненциально затухающие колебания и произведение степенной функции на экспоненту. К третьему - гауссоиды, к четвертому - функции типа Коши, к пятому - функции с радикалами. При этом для каждого класса установленные условия связи последовательных ординат друг с другом в виде конечноразностных уравнений дают возможность провести минимизацию в эвклидовой метрике уже по линейно входящим в эти условия коэффициентам. Это позволяет находить значения нелинейных параметров, входящих в функции-эталоны, по аналитическим формулам без применения каких-либо итераций и выбора начальных приближений, столь характерных при непосредственном использовании методов минимизации функций многих переменных.

Во-вторых, напомним, что в результате применения МНК располагаем линейной алгебраической системой нормальных уравнений, правда, при этом следует иметь ввиду, что коэффициенты, служащие решениями системы уравнений, обычно являются комбинациями нелинейных параметров, характеризующих ту или иную функцию-эталон, причем в ряде случаев эти параметры находятся как корни характеристического уравнения степени М.

Естественно, такой подход, обусловленный необходимостью разбиения стадий обработки на два этапа: сначала установление условий связи и затем минимизация по коэффициентам связи, требует от исследователя проведения в обязательном порядке изучения границ области существования решений. Особенно важно при этом наблюдать за тем уровнем шума, при котором происходит выпадение за контур области, т. е. проследить за помехоустойчивостью метода при определении нелинейных параметров. Выполнение таких процедур позволит экспериментатору выбрать перед обработкой данных наблюдений наиболее подходящий фильтр для снижения уровня шумов и обеспечения максимального отношения сигнал/шум.

В-третьих, заметим, что поскольку сами используемые преобразования, приводящие к тем или иным признакам, например, синусоидальности, эксионенциальности и др., являются нерекурсивными фильтрами дифференциального типа, то перед их применением следует подавить высокочастотные шумовые составляющие в масштабе с помощью различных числовых сглаживающих

фильтров с передаточной характеристикой с постоянной времени г или в масштабе ехр {—ш2т2/2) для фильтров, аналогичных вейвлет-фильтрам типа "мексиканская шляпа" или "кардиофильтр".

В-четвертых, уместно указать, что разработанная методология поиска нелинейных параметров для разнообразных функций-эталонов /(х), принадлежащих к пяти классам вышеупомянутых базисных функций, может быть пригодна и для других функций, для которых также необходимо сформулировать соответствующие признаки и условия с оценкой для их получения помехоустойчивости возникающих при этом преобразований.

В-пятых, следует также отметить, что созданные аналитические методы определения показателей экспонент: метод дробно-рациональной аппроксимации на основе преобразования Фурье, ХР - метод с использованием X - преобразования и аппроксимации Ладе, метод последовательного поиска частот релаксации смеси двух, трех и четырех процессов с помощью - преобразования могут быть использованы и в качестве стартовых значений в различных итерационных методах. Это замечание относится и к серии методов аналитического определения параметров диэлектрической релаксации, описываемых функциями типа Коши и методов с другими базисными функциями.

В-шестых, уместно указать на предлагаемую в ряде методов геометрическую интерпретацию данных наблюдений в виде прямой, гиперболы, эллипса, плоскости, эллипсоида вращения и т. п. на основе перехода к новым координатам. Проведенное численное моделирование процессов с варьированием процентного уровня шумов с помощью разработанного комплекса программ дает возможность продемонстрировать не только работоспособность предлагаемых методов, но и представить визуализацию решений в графической и алгебраической формах.

В-седьмых, для некоторых базисных функций осуществлена экспериментальная проверка методики построения условий связи, например, для функций с радикалами по измерениям магнитной аномалии над телами простейшей формы удается рассчитать параметры, связанные с глубиной залегания и ориентацией предмета под поверхностью Земли, а для синусоидальных функций построено приближенное решение уравнения Льенара с квадратичным трением и кубической восстанавливающей силой с учетом амплитудной и фазовой модуляций. Для функций этого же класса создан комплекс

программ по моделированию поиска частоты основного тона при распознавании речевых сигналов в условиях шумов.

В-восьмых, для большинства из использованных классов базовых функций продемонстрирована физическая обоснованность преобразований синусоидальности, экспоненциальности, гауссоидно-сти и др., их тесная связь с построением нерекурсивных фильтров М-го порядка.

Отметим также, что предлагаемый подход построения преобразований наблюдаемой информации, при которых нахождение нелинейных параметров осуществляется по аналитическим формулам для выделенных базисных функций, не свободен от ограничений. Это прежде всего связано с тем, что рассмотренные в работе методы при всей своей не только математической, но и физической обоснованности и геометрической интерпретации обладают сравнительно узкой областью устойчивости решений. Вследствие же присутствия шумов происходит выпадение из границ области существования решений, поэтому для обеспечения стабильных расчетных значений перед обработкой требуется предварительная фильтрация данных. Кроме того, для любого метода, использующего разности, всякое дифференцирование, с точки зрения теории фильтрации, характеризует собой линейный фильтр, усиливающий высокие частоты, которыми обычно насыщены помехи, для снижения уровня которых подходит применение простого трех-четы-рехкратного сглаживания даже при весьма ограниченном числе значащих цифр обрабатываемых данных.

После некоторых высказанных замечаний, касающихся достоинств и ограничений предлагаемых в работе методов, отметим кратко выводы проделанного:

1. Сформулирован общий подход к построению процедур оценивания параметров пяти классов нелинейных моделей временных рядов, полученных в результате наблюдений для процессов различной природы;

2. Обоснованы теоретически процедуры построения соответствующих преобразований для выделенной группы базисных функций;

3. Разработаны численные процедуры нелинейной обработки данных с учетом границ их применимости;

4. Проведен анализ свойств построенных процедур для разных

моделей шума с помошью численного моделирования типичных задач;

5. Созданы исследовательские комплексы программ для всех пяти классов моделей, реализующих построенные процедуры и демонстрирующих работоспособность методов;

5. Получены решения реальных задач из ряда областей физики на основе предложенной методики;

6. Выполнен ряд экспериментов, дополнительно подчеркивающих физическую обоснованность используемых в работе преобразований.

Таким образом, в этой работе затрагивались не только теоретические и методологические вопросы математического моделирования, но в значительной степени обращалось внимание на особенности разработки вычислительных алгоритмов, пригодных для практического применения на основе комплекса программ, позволяющих исследовать как научные, так и практические проблемы.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах:

1. Тайбин Б. 3. Скрытые периоды, экспоненты, рекурренты. СПб.: НИИХ СПбГУ, 2002. 368 с.

2. Тайбин Б. 3., Фомин Г. А., Ляшин А. М. Сравнительный анализ методов расчета параметров диэлектрической релаксации //Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: физика, химия. 2002. Вып. 2(Р^12). С. 16-26.

3. Тайбин Б. 3., Фомин Г. А., Ковшик А. II., Ляшин А. М. Предельные свойства кривых диэлектрической релаксации //Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: физика, химия. 2000. Вып. 4(№-28). С. 45-56.

4. Тайбин Б. 3. Применение признака синусоидальности к анализу сигналов.//Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2000. Вып. 1(№4). С. 38-48.

5. Тайбин Б. 3. Признак и условие синусоидальности. //Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 1999. Вып. 4.(№-25). С. 54-65.

6. Тайбин Б. 3., Макарова М. В., Беленький М. И. Приближенное решение нелинейного дифференциального уравнения

Льенара с квадратичным трением и кубической восстанавливающей силой // Вестн. С.-Петербург, ун-та. 1998. Сер. 4. Вып. 2. (№-11). С. 10-14.

7. Тайбин Б. 3., Фомин Г. А., Ллшин А. М., Кальвин В. О. О выборе области информативных частот при определении параметров диэлектрической релаксации // Вестн. С.-Петербург, ун-та. 1997. Сер. 4. Вып. 2. (№-11). С. 28-36.

8. Тайбин Б. 3. Современный подход к методу Прони (к 200-летию метода) // Вестн. С.-Петербург, ун-та. 1996. Сер. 4. Вып. 3. (№48). С. 102-109.

9. Тайбин Б. 3., Фомин Г. А., Фридрих В. Л. Аналитический метод определения параметров диэлектрической релаксации // Вестн. С.-Петербург, ун-та. 1996. Сер. 4. Вып. 3. (№18). С. 24-28.

10. Тайбин Б. 3. Методы определения параметров многоэкспоненциальных кривых в данных физического эксперимента. Диссертация на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук по специальности 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях. С.-Петербург. 1995. 122 с.

11. Litvin V F., Holzmann F. М., Taibin В. Z., Smirnov A. V., Orlov V. V., Anosova J. P., Grebenkina E. Т., Baryshnikov V. N., Polyakova G. D. Search for the matter clumps in scales Z ~ 1 (Исследование для изолированных групп материи в масштабах красного смещения Z порядка 1)// Astrophysics and Space Science 215: 245-261. 1994.

12. Тайбин Б. 3. Методы обнаружения параметров многоэкспоненциальных кривых релаксации: Учеб. пособ. СПб., 1994. 104 с.

13. Тайбин Б. 3., Смирнов В. Б., Меркулов А. А. Новые идеи по разложению многоэкспоненциальных кривых в задачах спектроскопии с временным разрешением // Вестн. С.-Петербург, ун-та. 1993. Сер. 4. Вып. 1. (Na4). С. 87-90.

ЛР № 040815 от 22.05.97.

Подписано к печати 04.06.2003 г. Формат бумаги 60X84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 2 усл. п.л. Тираж 100 экз. Заказ 2979. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика. 198504, Санкт-Петербург. Старый Петергоф. Университетский пр. 26.

i

I

il

í

I

P 14 80 1

ОБЩАЯ XАРАКТЕРИСТИ1СА РАБОТЫ.

ПРЕДИСЛОВИЕ.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

МЕТОДОВ ПОИСКА ПАРАМЕТРОВ

СМЕСИ ДВУХ ЭКСПОНЕНТ.

1.1. О выборе методов сравнения результатов вычислений .

1.2. Метод дробно-рациональной аппроксимации (МДРА)

1.3. Аналитические способы определения показателей затуf хани я при применении Z - преобразования . . 25 ^ 1.4. ZP - метод .:.

1.5. О разделении смеси двух экспонент с близкими показателями затухания

1.5.1. Использование одинаковых случайных реализаций шума для сравнения результатов по разным методам

1.5.2. Обработка реального физического эксперимента по измерению "времени жизни" состояний атомов гелия

1.6. Об одном подходе к анализу экспоненциальных процессов в присутствии шумов .

ГЛАВА II. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕ- . НИЕ ПАРАМЕТРОВ ПОЛИГАРМОНИЧЕС- . КОГО ПРОЦЕССА.

2.1. Определение параметров гармонического сигнала

2.1.1. Случай одного колебания (М =1).

2.1.2. Влияние числа значащих цифр на определение скрытого периода.

2.1.3. Влияние расстановки отсчетов на величину скрытого . периода.

2.1.4. Определение интенсивности и фазы одного колебания

2.1.5. Дискретное линейное преобразование для поиска скрытого периода.

2.1.5.1.Один канал, один сигнал.

2.1.6. Результаты численного моделирования при последовательном сглаживании

2.1.7. О признаке синусоидальности для таблиц с перемен- . ным шагом по аргументу.

2.2. Случай двух колебаний (М= 2).

2.2.1. Сглаживание для одновременной селекции двух частот полигармонического процесса

ГЛАВА III. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИЗНАКА И УСЛОВИЯ СИНУСОИДАЛЬНОСТИ ДЛЯ АНАЛИЗА СИГНАЛОВ

3.1. Признак синусоидальности

3.2. Признак синусоидальности для сигналов с амплитудной модуляцией

3.3. Признак синусоидальности для сигналов с фазовой модуляцией.

3.4. Признак синусоидальности с учетом амплитудной и фазовой модуляций

3.5. Применение признака синусоидальности для выделения скрытых периодичностей.

3.5.1. Определение двух неизвестных частот процесса с помощью признака синусоидальности . —

3.5.2. Нахождение трех скрытых периодов процесса с использованием признака синусоидальности

3.6. Применение признака синусоидальности к . . анализу сигналов.

3.6.1. Нахождение параметров аппроксимации корреляционной функции помехи с помощью признака синусоидальности

3.6.1.1.Представление корреляционной функции помехи суммой двух экспоненциально затухающих колебаний

3.6.2. Определение параметров колебания при наличии линейного тренда

3.6.3. Применение признаков синусоидальности и экспоненциальности.

3.7. Использование признака синусоидальности в присутствии помех

3.7.1. Проверка работоспособности преобразования

3.7.2. Оценка помехоустойчивости линейного преобразования

3.7.3. Оценка помехоустойчивости признака синусоидальности

3.8. Определение частоты основного тона

3.9. О приближенном решении уравнения Льенара с квадратичным трением и кубической восстанавливающей силой

ГЛАВА IV. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ

РАЗДЕЛЕНИЯ СИГНАЛОВ.

4.1. Построение методики разделения смеси сигналов

4.1.1. Условие связи для функции с явным максимумом - f(x) = Ах ехр (—ах).

4.1. 1.1.Выделение одного процесса.

4.1.1.2.Выделение двух процессов

4.1.1.3. Выделение трех процессов.

4.2. Нахождение параметров спектров с постоянной полушириной

4.2.1. О выборе параметров эталонной функции

4.2.2. Аналитический подход к определению положений максимумов суммарной кривой для гаус-соид с постоянной полушириной

4.2.2.1.0 некоторых аспектах современного подхода к методу Пронй.

4.2.2.2.0 числе обусловленности и числе, значащих цифр для метода Пронй

4.2.2.3.Геометрический подход к методу Пронй

4.2.2.4.Фильтр Пронй и оценка помехоустойчивости его метода.

4.2.2.5. Обоснование преимуществ вывода условий связи

4.2.2.6.Об анализе экспоненциальных процессов с переменным шагом.

4.3. Аналитическое определение показателей гаус-соид с переменной полушириной

4.3.1. Признак и условие гауссоидности.

4.3.2. Применение признака гауссоидности для одновременного выделения двух процессов

4.3.3. Определение параметров гауссоид при наличии запаздываний.

4.3.4. Об отдельных аспектах анализа многогауссо-идных кривых.

4.3.4.1.0 дополнительной методике уточнения показателей Rm.

4.3.5 О дифференциальном уравнении для гауссоиды

4.3.6. О разделении смеси двух гауссоид при непрерывном изменении аргумента

4.3.7. Об одном способе разделения смеси двух гауссоид в дискретном случае.

4.3.8. Об использовании преобразования Гаусса к анализу спектров

ГЛАВА V. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАЛЫХ ВОЛН.

5.1. О спектре преобразования малых волн.

5.2. Об отношении сигнал/шум в анализе спектров

5.2.1. О методе вычисления интеграла Y(t) при анализе многоэкспоненциальных процессов

5.3. Применение кардиофильтра к анализу сигналов

ГЛАВА VI. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПАРАМЕТРОВ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ РЕЛАКСАЦИИ

6.1. Применение диаграммы Аргана и МНК для нахождения предельных значений s0 и

6.1.1. Об использовании максимума s"(u>)

6.2. Совокупность М процессов диэлектрической релаксации

6.2.1. Мера близости приближающей кривой к экспериментальной

6.2.2. Об одном способе графического поиска времени релаксации.

6.3. Предельные значения кривых диэлектрической релаксации

6.3.1. О выборе предельных значений параметров е0 и Гро при аппроксимации совокупности наблюдений одиночным процессом релаксации

6.3.2. Выбор начальных и концевых участков экспериментальных кривых для определения £0 и оо • •

6.3.3. О работоспособности методов поиска предельных значений диэлектрической релаксации на модельных примерах с зашумлением.

6.3.4. Применение метода разложения в ряды до прямым и обратным степеням частоты к экспериментальным данным для определения предельных значений £0) Еоо • •

6.3.5. Применение методов разложения в ряд к одиночным процессам.

6.4. Аналитическое определение параметров диэлектрической релаксации в случае двух процессов

6.4.1. Использование разностного способа.

6.4.2. МНК при отсутствии предварительной информации о значениях г0 и Еоо.

6.4.3. МНК для условия связи с заданным значением

6.4.4. Комбинированный способ определения параметров диэлектрической релаксации

6.4.5. Геометрический подход к анализу двухрелак-сационного процесса .

6.4.6. Геометрические построения с помощью прямых и гиперболы.

6.4.7. Сравнение, аналитических методов нахождения параметров релаксации.

6.5. Аналитическое определение параметров диэлектрической релаксации для смеси трех процессов

6.5.1. Обработка экспериментальных данных

6.6. Совокупность четырех процессов диэлектрической релаксации.

6.7. Выбор области информативных частот при определении параметров диэлектрической релаксации

6.7.1. О числе обусловленности системы уравнений для нахождения параметров р и q.

6.7.2. Относительная погрешность расчета г1( г2 и A^!

6.7.3. О влиянии числа значащих цифр L на точность определения параметров диэлектрической релаксации

6.8. Определение параметров диэлектрической релаксации для совокупности двух процессов при раздельном использовании и е"{<л>)

6.8.1. Использование только функции U(u>).

6.8.2. Применение функции V(u/).

ГЛАВА VII. О ВЫЧИСЛЕНИИ ПАРАМЕТРОВ МАГНИТНЫХ АНОМАЛИЙ ПРОСТЕЙШИХ МОДЕЛЬНЫХ СИСТЕМ.

7.1. Шар.

7.2. Горизонтальный круговой цилиндр. ф 7.3. Экспериментальное определение глубины залегания тела цилиндрической формы по измерению аномалии магнитного поля

Актуальность темы работы. Во многих разделах естествознания сталкиваемся с проблемой анализа сложных кривых, получаемых в результате разнообразных измерений. При этом в ходе обработки наблюдений Y(x) в присутствии помехи п(х) наиболее часто возникает представление суммарного сигнала S(x) в виде совокупности одного и того же эталона /(а;), сдвинутого на неизвестную величину хт и измененного в Ст раз по интенсивности м

Y(x) = S(x) + п(х) = J2 Cmf(x - хт) + п(х). то=1

Такое сложение М сигналов связано с проявлением принципа суперпозиции, когда отдельные т-е процессы не оказывают воздействия друг на друга. При этом нахождение величин сдвигов хт в редких случаях удается осуществить графически по положениям максимумов. Типичными же являются ситуации, для которых разделение отдельных процессов не просматривается вследствие перекрытия их сигналами с большей интенсивностью.

Традиционный путь для таких ситуаций сводится к минимих зации "энергии" помехи Еп = / n2(x)dx в интервале регистрации о А

О, X] и поиском таких оценок См, ^м» Для которых функция Fm х м г м

FM(CM,xM) = Еп = J [У(д;) - Cmf(x -xm)]2dx о m=1 достигает минимума. Причем при применении итерационных методов сталкиваемся с многомодальностью функции Fm> сильной зависимостью результата от выбора начального приближения и параметров регуляризации, а также с фактом неоднозначности самого разложения наблюдений на фиксированное число процессов. Именно эти трудности и приводят к необходимости разработки новых способов поиска нелинейных параметров, свободных от указанных недостатков, позволяющих по алгебраическим формулам находить неизвестные параметры для функций эталонов f(x) следующего вида: синусоид, экспонент, экспоненциально затухающих колебаний, . гауссоид, функций типа Коши и др.

Цель настоящей работы заключается в поиске таких преобразований данных наблюдений как линейных, так и нелинейных, после применения которых нелинейные параметры, входящие в функции - эталоны, определяются по аналитическим формулам на основе установления условий связи между собой отдельных равноотстоящих по абсциссам ординат с последующей минимизацией по коэффициентам связи.

Научная новизна и значимость работы определяется тем, что в ней впервые: разработаны новые способы поиска нелинейных параметров для разнообразных функций-эталонов f(x), принадлежащих к пяти классам базисных функций: синусоидам, экспонентам, гауссоидам, функциям типа Коши.и функциям с радикалами; сформулированы признаки-и условия синусоидальности, экс-поненциальности, гауссоидности для обработки полигармонических, многоэкспоненциальных и многогауссоидных процессов; предложены оценки помехоустойчивости преобразований синусоидальности и экспоненциальности. Подготовлен комплекс программ по моделированию поиска частоты основного тона при. распознавании зашумленных речевых сигналов; построено приближенное решение уравнения Льенара с квадратичным трением и кубической восстанавливающей силой.,Разработан комплекс программ его решения в графической и алгебраической формах; созданы аналитические методы определения показателей экспонент: метод дробно-рациональной аппроксимации на основе преобразования Фурье, ZP - метод с использованием Z - преобразования и аппроксимации Паде, метод последовательного поиска частот релаксации смеси двух,.трех и четырех процессов с помощью Z -преобразования; проведен сравнительный анализ методов определения параметров моделируемой суммы двух экспонент в присутствии шумов, а также выполнен их расчет по данным реального физического эксперимента из области задач спектроскопии с высоким временным разрешением; исследован общий подход к разделению смеси сигналов, подчиняющихся принципу суперпозиции. Показаны способы выделения числа процессов и сокращения числа переменных для минимизации с использованием энергетических соображений; предложена наглядная геометрическая интерпретация смеси двух экспоненциальных процессов при переходе к новым координатам. Приведены методы аналитического определения параметров совокупности экспоненциально затухающих колебаний при совместном использовании признаков синусоидальности и экспонен-циальности; построено преобразование для функции-эталона с явным максимумом (произведение степенной функции на затухающую экспоненту), имеющее четкую физическую реализуемость с помощью нерекурсивных фильтров последовательно нарастающих порядков; продемонстрирована применимость преобразования гауссо-идности к анализу многогауссоидных процессов с постоянной и с переменной полушириной. Показано использование преобразования Гаусса для нахождения параметров смеси отдельных гауссоид; рассмотрено применение "вейвлет-анализа" для определения параметров многоэкспоненциальных и многогауссоидных процессов с применением фильтров типа "мексиканская шляпа" и "кардио-фильтр" при наличии шумов; разработана серия методов аналитического определения параметров диэлектрической релаксации. Для смеси двух процессов дана геометрическая интерпретация данных наблюдений в виде прямой, параболы, гиперболы. Проведено численное моделирование процессов, описываемых функциями типа Коши, с варьированием процентного уровня шумов. Создан комплекс программ вычислений не только времен релаксации и интенсивностей смеси отдельных процессов, но и предельных значений параметров диэлектрической релаксации; построены специальные преобразования, позволяющие по измерениям магнитной аномалии над телами простейшей формы находить параметры, связанные с глубиной залегания и ориентацией предмета под поверхностью Земли. Осуществлена экспериментальная проверка этой методики.

Эти основные положения и выносятся на защиту.

Практическая значимость работы заключается в том, что развитые в ней методы определения нелинейных параметров синусоид, экспонент, гауссоид, функций типа Коши и приближенного решения дифференциального уравнения Льенара с квадратичным трением и.кубической восстанавливающей силой доведены до конкретных рабочих программ и могут быть использованы для широкого круга исследований в разных областях науки.

Структура работы. Работа состоит из введения, семи глав, заключения, списка цитируемой литературы 139 наименований; она насчитывает 346 страниц текста, включая содержание, общую характеристику работы, предисловие и 55 рисунков.

Апробация работы и публикации. Два метода по теме работы опубликованы в "Опт. и спектр." 1992 г., еще один метод в "Вестн. С.-Петерб. ун-та" 1993 г. Поиск скрытых. периодов представлен в публикациях в "Astr. Nachr." 1989 г. и "Astrophysics and Space Science" 1994 г., а также в "Вестн. С.-Петерб. ун-та" 1999-2000 гг. Вопросы современного подхода к методу Пронй и различные аспекты аналитического определения параметров диэлектрической релаксации представлены там же в 1996-1997 гг., 2000 и 2002 гг.

Две статьи, связанные с методом рекуррентных соотношений, получившим в работе дополнительное развитие, включены в 1977— 1978 гг. в Государственный фонд алгоритмов и программ СССР. Серия методов определения параметров многоэкспоненциальных кривых релаксации содержится в учеб. пособии, СПб. 1994, в канд. дис., Дубна. 1996. Нахождению нелинейных параметров, входящих в функции-эталоны в виде синусоид, экспонент, гауссо-ид, функций типа Коши, экспоненциально затухающих колебаний и др., посвящена монография, СПб. 2002.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Интерес к многокомпонентной аппроксимации данных наблюдений возник у автора более 30 лет назад в ходе теоретического изучения процессов распространения радиоволн длинноволнового диапазона и их экспериментальной проверки. При этом огибающая радиоимпульса, распространяющегося вдоль трасс с различными электрическими свойствами, аппроксимировалась суммой одной и той же сдвинутой функции-эталона /(f), в качестве которой выступали экспонента, экспоненциально затухающее колебание, произведение степенной функции на экспоненту и др. Навигационный аспект исследований требовал ослабления влияния отраженных от ионосферы сигналов и шумов на привязку по переднему фронту земного сигнала. Использованные различные итерационные методы: градиентные, Ньютона, представленные в книге И. С. Березина и Н. П. Жидкова [1] и книге Химмельблау Д. [2], случайного поиска в работах Рао С. Р. [3], Ермакова С. М. [4],.Жиглявского А. А. [5] не обеспечивали требуемой точности местоопределения.

Знакомство с книгой Хемминга Р. В. [6] и работой Корнейчука А. А. [7], посвященной определению констант радиоактивного распада, вывело на метод Пронй [8], а работа Александрова JI. [9] и работы Гаджокова В. [10, 11], связанные с введением 2 - х регу-ляризационных параметров в методе Ньютона-Канторовича [1], позволили несколько повысить точность очищения переднего фронта от мешающего действия отраженных сигналов, особенно при приеме сигналов на неподвижных пунктах. Работа Заикина П. Н. и Моисеева В. Н. [12] указала на важность привлечения априорной информации о временах жизни выделяемых процессов при использовании регуляризационного алгоритма определения показателей экспонент. Теоретическим и алгоритмическим аспектам поиска параметров экспоненциальных зависимостей, когда экспериментальные значения содержат погрешности, оценки которых считаются известными, посвящена работа Хорошиловой Е. В. [13]. С анализом экспоненциальных зависимостей и задачами декомпозиции спектрометрических данных связана работа Колтун И. А. [14], в которой определяется нижняя оценка количества компонент в экспоненциальной модели и затем уже для хорошо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений находятся показатели экспонент и интенсивности процессов. Злоказов В. Б. [15] обратил внимание на важность предварительной обработки данных наблюдений с помощью фильтрации, т. е. устранение из спектра "тех или иных компонент", относящихся к фону или шуму, указав на отличие задач поиска параметров спектров, когда спектры функции сигнала и помехи частотно не разделены от задач отделения сигналов от помех в радиофизике с четким разнесением их по частоте. Численные задачи декомпозиции спектров даже на основе метода регуляризации по А. Н. Тихонову, по мнению Гопыча П. М. [16], выдвигают проблему "оптимального прерывания итераций в ходе подгонки" и проблему "оценки погрешностей, найденных в результате подгонки значений параметров", поскольку ни один из критериев не гарантирует, что "подгонка будет прервана в истинном минимуме минимизируемого функционала".

Разнообразие шумовой ситуации реального эксперимента в задачах навигации и спектроскопии с временным разрешением, ядерной физике, ядерного магнитного резонанса и физике жидких кристаллов выявило при использовании итерационных процедур не только зависимость результата от выбора начального приближения для поиска глобального минимума, но и сильную зависимость от значений параметров экспоненциальной регуляризации, как во временной, так и в частотных областях.

Из вышеизложенного ясно, почему для большего понимания алгебраически точного классического метода Пронй и его модификаций [17—26] потребовалось в дополнение к общепринятым методам (итерационным [27-31], графическим [32-35], статистическим [3641], геометрическим [42-45], трансформационным [46-50]) создание новых методов, основанных на преобразованиях наблюдаемых величин с установлением условий связи для их дальнейшей реализации в бортовых устройствах.

ВВЕДЕНИЕ

Для многих разделов науки характерно проявление принципа триарности, тесно связанного с реакцией системы У на некоторое внешнее воздействие X на объект исследования А. Особенно часто с этим принципом сталкиваемся в физических экспериментах различной природы. Общая его схема хорошо знакома и протекает по правилу

X =» [~А~] => У, когда под действием внешнего сигнала X на входе и знания выходного сигнала У получаем информацию о внутренних свойствах объекта А. Такая схема, протекающая в прямом направлении (слева направо), является наиболее типичной. Однако для задач космогонии срабатывает обратный порядок, при котором по регистрации красного смещения У и знании свойств аппарата А удается извлечь данные об источнике излучения X.

Естественно, что с этим принципом имеем дело и в математике.

Например, при решении системы линейных уравнений - АХ = В, в |Т] X, когда под входным воздействием понимаем вектор В til с помощью преобразующей матрицы А находим решение X. В случае, если на вход системы с матрицей А v t или J X(t) dt [Г] о подаются скорости —jp-*- или интегралы / X (t) dt изменяющихся о во времени величин X(t), получаем решение системы дифференциальных или интегральных уравнений.

Перед демонстрацией этого принципа для целой группы входных воздействий отметим, что в философском плане триединый подход к анализу явлений природы отмечался еще со времен античности у Пифагора, Евклида вплоть до Паскаля, Декарта, Лейбница.

Особенно заметно это у Гегеля с его тезисом, антитезисом, синтезом и у Г. И. Гюрджиева, утверждавшего, что во всем проявляется закон триединства: действие, противодействие и равновесие.

Простота этой схемы подталкивала философов древности, средних веков (Н. Кузанский) и современных ученых, таких как В. Гей-зенберг, А. Эйнштейн, И. Пригожин, к выдвижению идеи о возможности математизации философии как науки. Современный немецкий философ Г. Кребер считает, что триарная схема, отвечающая системе линейных уравнений, соответствует закону перехода количества в качество, а система дифференциальных уравнений связана с законом единства и борьбы противоположностей. Более подробно эти вопросы затронем в гл. Ill—IV, VI.

Для широкого круга задач в области естественных наук характерна связь с анализом экспериментальных данных, получаемых в результате проведения разнообразных измерений. При этом в процессе обработки наблюдений экспериментатор обычно принимает некоторую модель интересующего явления, пытаясь описать его ограниченным числом параметров, представляя зарегистрированный сложный сигнал комбинацией простых, более удобных для анализа. Поэтому наиболее часто в исследованиях различной природы встает вопрос о разложении экспериментальных данных на совокупность функций f(x) заданного вида, которые обычно называются эталонными функциями или. функциями сравнения. И хотя разнообразие объектов измерений приводит к многообразию видов эталонных функций f(x), тем не менее почти во всех естественнонаучных дисциплинах сказывается общность следующего порядка.

Дело в том, что при анализе данных наблюдений (особенно физических) приходится часто сталкиваться с представлением суммарного сигнала в виде совокупности одного и того же эталона f(x), сдвинутого на неизвестную величину хт и измененного в Ст раз по амплитуде, т. е. в присутствии помехи п(х) справедливо выражение м

Y(x) = ^Cmf(x - хт) + п(х) , (0.1)

771 = 1

Такая запись (0.1) сложения нескольких М процессов соответствует проявлению принципа суперпозиции, когда отдельные т-е процессы протекают независимо от других, т. е. не оказывают воздействия друг на друга, и когда эффект от суммы воздействий совпадает с суммой эффектов от различных воздействий. При этом нахождение величин сдвигов хт по оси г в некоторых ситуациях удается осуществить графически по положениям максимумов. Однако в большинстве случаев имеем дело с ситуациями, когда разделение отдельных сигналов не просматривается вследствие перекрытия их сигналами с большей интенсивностью.

Традиционный путь для таких ситуаций сводится к минимизах ция "энергии" помехи Еп = Jn2(x)dx за весь интервал регистрао ции [О, X], что приводит к составлению функционала

FM(Сь С2,., Смг» • • • > хм) = FM(Cm,xm) = м

Y(x) - J2 Cmf{x - хт))2 dx , (0.2) о 171=1 А т. е. применению МНК с поиском таких оценок См» £м> при которых функционал Fm достигает минимума. Напомним, что если в качестве независимой переменной а; выступает время t, а в качестве X — время регистрации Т, то Еп соответствует определению.истинной энергии помехи. Выражение (0.2) при усреднении по интервалу X отвечает записи среднеквадратического значения помехи I 7 м п2{х) = — J n2(x)dx = FM = [Y(x)~ J2CMf(*-*rn)]2, (0.3) о 771=1 что во временном представлении соответствует понятию средней мощности помехи.

Для минимизации функции Fm (0«2) или Fm (0-3) располагаем обширной группой итерационных методов, связанных с использованием МНК с ограничениями типа равенств и неравенств, градиентных методов, методов случайного поиска, методов Ньютона, Ньютона — Канторовича и методов с привлечением регуляризации по А. Н. Тихонову. При этом во всех методах сталкиваемся с мно-гомодальностью функции Fm и сильной зависимостью результата от выбора вектора начального приближения и параметров регуляризации, а также с фактом неоднозначности самого разложения наблюдений на фиксированное число процессов.

Именно эти факты и приводят к необходимости разработки новых способов поиска нелинейных параметров, свободных от указанных трудностей, позволяющих по алгебраическим формулам находить неизвестные параметры для функций-эталонов f(x) следующего вида: синусоид — Asm(ujx + tp), экспонент - Аехр( —ах), экспоненциально затухающих колебаний - А exp ( — ах) sin (шх + <р), функции с явным максимумом в виде произведения степени х на экспоненту — Лхехр(—ах), гауссоиды — А ехр [— а(х — а)2], функций типа Коши - 1+д2а2) г+х^а2 и Функций более сложного вида -A{b? + x2)"2, A{h2 + х2)-5/2.

Таким образом, целью предлагаемого исследования является нахождение таких преобразований данных наблюдений, после применения которых нелинейные параметры, входящие в функции- эталоны, определяются по аналитическим формулам на основе установления условий связи между собой отдельных равноотстоящих по абсциссам ординат с последующей минимизацией по коэффициентам связи.

Для вышеприведенных функций-эталонов и сформулирован ряд условий связи для равноотстоящих по абсциссам ординат, к изложению которых перейдем в гл. I—VII.

Завершая введение, хочу отметить нескольких соавторов, коллективно с которыми были написаны, научные работы, хотя при этом в ряде статей идеи методов и формулы для их реализации были предложены диссертантом. Так, поиск периодических структур в популяциях Галактик осуществлен при участии физиков - В. Ф. Литвина, Ф. М. Гольцмана и группы астрономов -Ю. П. Аносовой, В. Н. Барышникова, Е. Т. Гребенкиной, В. В. Орлова, Г. Д. Поляковой, А. В. Смирнова, исследования по определению параметров многоэкспоненциальных кривых проведены совместно с С. А. Ивановым, В. Н. Ивановой, А. А. Меркуловым, В. Б. Смирновым, а в разработке методов анализа процессов диэлектрической релаксации приняли участие В. О. Кальвин, А. П. Ковшик, А. М. Ляшин, Г. А. Фомин, В. Л. Фридрих.

Прежде всего отметим, что в работе сформулирован общий: подход к нелинейной обработке данных наблюдений на основе по строения управляемой их фильтрации с использованием функций эталонов,, присутствующих в описании большинства физических явлений. Среди этих эталонов выделено пять классов базисных функций, наиболее типичных для научных исследований. К первому из них относятся синусоиды, ко второму - экспоненты, экспоненци ально затухающие колебания и произведение степенной функции на экспоненту. К третьему - гауссоиды, к четвертому - функции типа, Коши, к пятому — функции, с радикалами. При этом для каждо го класса установленные условия связи последовательных ординат друг с другом в виде конечноразностных уравнений дают возмож ность провести минимизацию в эвклидовой метрике уже по линейно входящим в эти условия коэффициентам. Это позволяет находить значения нелинейных параметров,, входящих в функции-эталоны,.по аналитическим формулам без применения каких-либо итераций и выбора начальных приближ;ений, столь характерных при непо средственном использовании методов минимизации функций мно гих переменных.Во-вторых, напомним, что в результате применения МНК рас полагаем линейной алгебраической системой нормальных: уравне ний, правда, при этом следует иметь ввиду, что коэффициенты,, служащие решениями системы уравнений, обычно являются комби нациями нелинейных параметров, .характеризующих ту или иную функцию-эталон, причем в:ряде случаев эти параметры находятся как корни характеристического уравнения степени М".Естественно, такой подход, обусловленный необходимостью раз биения стадий обработки на два этапа: сначала установление усло вий,, связи и затем минимизация по коэффициентам связи, требует, от исследователя проведения в обязательном порядке изучения: гра ниц области существования решений.,Особенно важно при этом на блюдать за тем уровнем шума, при котором происходит, выпадение за контур области, т . е. проследить за помехоустойчивостью метода при определении нелинейных параметров. Выполнение таких про цедур позволит экспериментатору выбрать перед обработкой дан ных наблюдений наиболее подходящий фильтр для снижения уров ня шумов и обеспечения максимального отношения сигнал/шум.В-третьих, заметим, что поскольку сами используемые преобра зования, приводящие к тем или иным признакам, например, си нусоидальности, экспоненциальности и др. , являются нерекурсив ными фильтрами дифференциального типа, то перед их примене нием следует подавить высокочастотные шумовые составляющие в масштабе -j^ с помощью различных числовых сгла.живающих фильтров с передаточной характеристикой с постоянной времени г или в масштабе ехр (—u/^r^/2) для фильтров, аналогичных вейвлет фильтрам типа "мексиканская шляпа" или "кардиофильтр".В-четвертых, уместно указать, что разработанная методоло гия поиска нелинейных параметров для разнообразных функций эталонов /(д;), принадлелсащих к пяти классам вышеупомянутых базисных функций, может быть пригодна и для других функций, для которых таклсе необходимо сформулировать соответствующие признаки и условия с оценкой для их получения помехоустойчиво сти возникающих при этом преобразований.В-пятых, следует также отметить, что созданные аналитиче ские методы определения показателей экспонент: метод дробно рациональной аппроксимации на основе преобразования Фурье, ZP • метод с использованием Z - преобразования и аппроксимации ГГа де, метод последовательного поиска частот релаксации смеси двух, трех и четырех процессов с помощью Z - преобразования могут быть использованы и в качестве стартовых значений в различ ных итерационных методах. Это замечание относится и к серии методов аналитического определения параметров диэлектрической релаксации, описываемых функциями типа Коши и методов с дру гими базисными функциями.В-пхестых, уместно указать на предлагаемую в ряде методов гео метрическую интерпретацию данных наблюдений в виде прямой, параболы, гиперболы, плоскости, эллипсоида вращения и т . п. на основе перехода к новым координатам. Проведенное численное моде лирование процессов с варьированием процентного уровня шумов с помощью разработанного комплекса программ дает возмож:ность продемонстрировать не только работоспособность предлагаемых методов, но и представить визуализацию решений в графической и алгебраической формах.В-седьмых, для некоторых базисных функций осуществлена экс периментальная проверка методики построения условий связи, на пример, для функций.с радикалами по измерениям магнитной аномалии над телами простейшей формы удается рассчитать пара метры, связанные с глубиной залегания и ориентацией предмета под поверхностью Земли, а для синусоидальных функций построено приблилсенное решение уравнения Льенара с квадратичным трени ем и кубической восстанавливающей силой с учетом амплитудной и фазовой модуляций. Для функций этого же класса создан комплекс программ по моделированию поиска частоты основного тона при распознавании речевых сигналов в условиях шумов.В-восьмых, для большинства из использованных классов базо вых функций продемонстрирована физическЕья обоснованность пре образований синусоидальности, экспоненциальности, гауссоидно сти и др., их тесная связь с построением нерекурсивных фильтров М-го порядка.Отметим также, что предлагаемый подход построения преобра зований наблюдаемой информации, при которых нахождение нели нейных параметров осуществляется по аналитическим формулам для выделенных базисных функций, не свободен от ограничений.Это прежде всего связано с тем, что рассмотренные в работе ме тоды при всей своей не только математической, но и физической обоснованности и геометрической интерпретации обладают срав нительно узкой областью устойчивости решений. Вследствие же присутствия шумов происходит выпадение из границ области суще ствования решений, поэтому для обеспечения стабильных расчет ных значений перед обработкой требуется предварительная филь трация данных. Кроме того, для любого метода, использующего разности, всякое дифференцирование, с точки зрения теории филь трации, характеризует собой линейный фильтр, усиливающий вы сокие частоты, которыми обычно насыщены, помехи, для сниже ния уровня которых подходит применение простого трех-четы рехкратного сглаживания да,лсе при весьма ограниченном числе значащих цифр обрабатываемых данных.После некоторых высказанных замечаний, касающихся досто инств и ограничений предлагаемых в работе методов, отметим кратко выводы проделанного:

1. Сформулирован общий подход к построению процедур оце нивания параметров пяти классов нелинейных моделей временных рядов, полученных в результате наблюдений для процессов различ ной природы;

2. Обоснованы теоретически процедуры построения соответ ствующих преобразований для выделенной группы базисных функ ций;

3. Разработаны численные процедуры нелинейной обработки данных с учетом границ их применимости;

4. Проведено исследование свойств построенных процедур для различных моделей шума с помощью численного моделирования типичных задач;

5. Созданы исследовательские комплексы программ для всех пя ти классов моделей, реализующих построенные процедуры и демон стрирующих работоспособность методов;

5. Получены решения реальных задач из ряда областей физики на основе предложенной методики;

6. Выполнен ряд экспериментов, дополнительно подчеркиваю щих физическую обоснованность используемых в работе преобра зований.В слсатом виде круг проблем, затрагивающих широкий спектр физических исследований, связанных с определением скрытых пе риодов, нахождением параметров многоэкспоненциальных и много гауссоидных кривых, а т а к ж е у кривых, описываемых совокупно стью функций типа Коши и др., представлен следующей схемой: Метод наим.квадратов Сглаживание Разделение сигналов Предварительная обработка Итерационные методы Фильтрация "Мексиканская шляпа" Аналитическое определение параметров функций - эталонов f{x) А sin {шх + ф) Л ехр {—ах) Ах ехр (—аа:) Л ехр {—ах) sin {изх + ^р) А ехр [—а{х — а)^] Таким образом, в этой работе затрагивались не только теорети ческие и методологические вопросы математического моделирова ния, но в значительной степени обращалось внимание на особенно сти разработки вычислительных алгоритмов, пригодных для прак тического применения на основе комплекса программ, позволяющих исследовать как научные, так н практические проблемы.

1. Березин И. С, Жидков Н. П. Методы вычислений. В 2-х т . М.: Наука, 1966. Т . 1, 632 с ; Т. 2, 584 с.

2. Химмелъблау Д. Прикладное нелинейное программирование / Пер. с англ. И. М. Быховской и Б . Т. Вавилова; Под ред. М. Л. Выховского. М.: Мир, 1975. 534 с.

3. Рао СР. Линейные статистические методы и их применение. /Пер . с англ. А. М. Кагана, В . М. Калинина, и К. П. Латышева; Под. ред. академика Ю . В. Линника. М.: Наука, 1968. 548 с.

4. Ермаков М., Жигляеекий А. А. Математическая теория оптимального эксперимента: Учеб. пособие. М.: Наука, 1987. 320 с.

5. Жигляеекий А. А. Математическая теория глобального случайного поиска. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1985. 296 с.

6. Хемминг Р. В. Численные методы для научных работников и инженеров /Пер . с англ. В. А. Арлазарова, Г. Разиной и А. В. Ускова; Под ред. Р . Гутера. М.: Наука, 1968. 400 с.

7. Корнейчук А. А. Точность измерений и существование решений задачи о радиоактивном распаде / / Ж у р н . вычисл. мат . и матем. физики. 1967. Т. 7, N - 11. 218-222.

8. Александров Л. Препринт ОИЯИ. 1970. №• N Р5 - 5136, Р 5 - 5137. Дубна.

9. Гадон:оков В. Обработка спектров от Ge - Li - детекторов на ЭВМ (программа К А Т О К ) ПТЭ. .№- 5. 1970. 82 - 85.

10. Гадококов В. Автоматизация обработки данных дискретной спектроскопии ядерных измерений. ЭЧАЯ. 1980. Т . Н . Вып.

12. Заикин и. П., Моисеев В. Н. Устойчивый метод интерпретации данных измерений изотопного анализа / / Ж у р н . вычисл. мат . и матем. физики. 1978. Т. 18, N - 2. 487-490.

13. Хорошилова Е. В. Разработка устойчивых автоматизированных алгоритмов решений спектрометрических задач декомпозиции: Автореф. дис. на соиск. учен, степени канд. физ.-мат. наук. Дубна, 1986. 17 с.

14. Колтун И. А. Декомпозиционные методы анализа экспоненциальных зависимостей и их применение: Автореф. дис. на соиск. учен, степени канд. физ.-мат. наук. Дубна, 1988. 12 с.

15. Злоказов В. Б. Математические методы анализа экспериментальных спектров и спектроподобных распределений / / ЭЧАЯ. 1985. Т. 16, вып. 5. 1126-1163.

16. Гопыч П. М. Автоматическая обработка спектров / / Э Ч А Я . 1993. Т. 24, вып. 6. 1596-1659.

17. Hilebrand F. Introduction to Numerical analysis. McGraw-Hill, 1956.

18. Kahn M., Mackisack M. S., Osborne M. R., Smyth G. K. On the consistency of Prony's method and related algorithms. Journal of Computational and Graphical Statistics, 1:329-349, 1992.

19. Osborne M. R. Some special nonlinear least squares problems. SIAM Journal on Numerical Analysis, 12(4):571-592, 1975.

20. Osborne M. R. Nonlinear least squares - the Levenberg algorithm revisited. Journal of Australian Mathematical Society, В 19:343-357, 1976. 0.

21. Osborne М, R., Smyth G. K. A modified Prony algorithm for exponential function fitting. SIAM Journal of Scientific Computing, 16(1): 119-138, 1995.

22. Osborne M. R., Smyth G. K. A modified Prony algorithm for fitting functions defined by difference equations. SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 12:362-382, 1991.

23. Белашев Б. 3., Сулейменов М. К. Поиск периодичностей в экспериментальных данных методами авторегрессионной модели / / П и с ь м а в ЭЧАЯ. 2002. N^ 3112.. 77-86.

24. Rashke В., Stucke U. Beitr.Physik Atmos., 46:203, 1973.

25. Cantor D. G., Evans J. W. On approximation by positive sums of powers. SIAM Journal on Applied Mathematics, 18(2):380-388, March 1970.

26. Wiseombe W. J., Evans J. W. Exponential-Sum fitting of radiative transformation functions. Computat ional Physics, 24(4):416-444, August 1977.

27. Gustavson S. A. A computat ional scheme for exponential approximation. Z. Angew. Math . Mech., 61:284-287, 1981.

28. Ruhe A. Fi t t ing empirical d a t a by positive sums of exponentials. SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 1(4): 481— 498, 1980.

29. Evans J. W., Gragg W. В., LeVeque R. J. On least squares exponential sum approximation with positive coefficients. Mathematics of Computat ion, 34(149):203-211, 1980.

30. Avrett E., Hummer D. Mon. Notic. Roy. Astron. S o c , 130:865, 1965.

31. Foss S. D. A method for obtaining initial estimates of the param.eters in exponential curve fitting / / Biometrics. 1969. V. 25. Part 3. P. 580.

32. Mancini P., Pilo A. A computer program for multiexponential fitting by the peeling method / / Computers and Biomedical Research. 1970. N 3. P. 1 - 14.

33. Thomasson W. M., Clare J. W. Analysis of exponential decay curves: a three - step scheme for computing exponents / / Math . Biosc. 1974. V. 22. P. 179 - 195.

34. Agha M. A direct method for fitting Hnear combinations of exponentials. Biometrics, 27:399-413, 1971.

35. Cornel R. G. A method for fitting linear combinations of exponentials. Biometrics, pages 104-113, 1962.

36. Delia Corte M., Buriccki L., Romano S. On the fitting of linear combinations of exponentizds. Biometrics, 30:367-369, June 1974.

37. Shah B. K. Obtaining preliminary estimates to fit two-term exponential model to blood concentration data . Journal of Pharmaceutical Sciencies, 62:1208-1209, 1973.

38. Bertero M., Boccacci , Pike E. R. On the recovery and resolution of exponential relaxation rates from experimental da ta ii - the opt imum choice of experimental sampling points for Laplace transform inversion. Proc . Roy. S o c , 393(51), 1984.

39. Bertero M., Brianzi P., Pike E. R. On the recovery and resolution of exponential relaxation rates from experimential data: Laplace transform inversions in weighted spaces. Inverse Problems, 1:1-15, 1985.

40. Kammler D. W. Least squares approximation of completely monotonic functions by sums of exponentials. SIAM Journal on Numerical Analysis, 16:801-818, 1979.

41. Steyn N. S. Fi t t ing linear combinations of exponential decays by using Fourier analysis. In Compstat , pages 615-621, Vienna, 1980. Physica-Verlag.

42. Duncan G. Т. An empirical study of jackknife-constructed confidence regions in nonlinear regression. Technometrics, 20(2): 123-129, May 1978.

43. Burstein J. Approximations by exponentials, their extensions and difi'erential equations. m.etric press, Boston, 1997.

44. Akaike H. A new look at the statistical model identification. I E E E Transactions on Automatic Control, AC-19(6):716-723, December 1974.

45. Ljung L. System Identification. Theory for the User. Prentice Hall, Englewood CliiFs, N. J., 1987

46. Petersson J., Holmatrom K. A Review of the Parameter Est imation Problem of Fi t t ing Positive Sums to Empirical Da ta . 1998.

47. Бранский В. П. Философские основания проблемы синтеза релятивистских и квантовых принципов. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1973. 176 с.

48. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям /Пер . с нем. В. Фомина. М.: Наука, 1971. 576 с.

49. Апдроноб А. А., Витт А. А., Хайкин Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981. 568 с.

50. Тайбин Б. 3. Скрытые периоды, экспоненты, рекурренты. СПб: НИИХ СПбГУ. 2002. 368 с.

51. Тайбин Б. 3. Современный подход к методу Прони (к 200- летию метода) / / В е с т и . -Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 1996. Вып. 3 (N^ 18). 102-109.

52. Тайбин Б. 3. Методы обнаружения параметров многоэкспоненциальных кривых релаксации: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во -Петерб. ун-та, 1994. 104 с.

53. Тайбин Б. 3. Методы определения параметров многоэкспоненциальных кривых в данных физического эксперимента: Авто-реф. дис. на соиск. учен, степени канд. физ.-мат. наук. СПб.: Изд. -Петерб. ун-та, 1995. 16 с.

54. Иванов А., Иванова В. П., Смирнов В. В., Тайбин Б. 3. Z-преобразование и аппроксимация Паде в задаче определения параметров экспоненциально затухающих сигналов / / О п т . и спектр. 1992. Т. 73, вып. 2. 262-268.

55. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации / Пер. с англ. Г. П. Бабенко; Под ред. К. И. Бабенко. М.: Мир, 1980. 608 с.

56. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования /Пер . с 3-го нем. изд. Г . А. Вольперта; С предисл. Я. 3 . Цыпкина. М.: Наука, 1971. 288 с.

57. Бейкер Док.(мл.), Грейвс-Моррис П. Аппроксимация Паде /Пер . с англ. Е. А. Рехманова, П. Суетина; Под ред. А. А. Гончара. М.: Мир, 1986. 502 с.

58. Тайбин Б. 3., Смирнов В. Б., Меркулов А. А. Использование геометрических представлений при анализе многокомпонентных кривых в спектроскопии с временным разрешением / / Опт. и спектр. 1992. Т. 73, вып. 2. 253-261.

59. Тайбин Б. 3., Смирнов В. Б., Меркулов А. А. Новые идеи по разложению многоэкспоненциальных кривых в задачах спектроскопии с временным разрешением / / Вести. -Петерб. унта . Сер. 4: Физика, химия. 1993. Вып. 1 ( N - 4). 87-90.

60. Claverie Р., Denis А., Yeramian Е. The Representation of functions throuqh the combined use of integral transforms and Pade approximants: Pade-Laplace analysis of functions as sums of exponentials / / J . Computer Phys. Rep. 1989. N 9. P. 247-299.

61. Тайбин Б. 3., Фридрих В. Л. Прямое и обратное преобразование Фурье для функций, заданных таблично с постоянным или переменным шагом по аргументу / / Информ. бюл. Алгоритмы и программы. М., 1978. №• 6(26). 26 с.

62. Lanczos G. Applied Analysis. Prentice Hall. Englewood. Cliffs. 1957. P. 272-280.

63. Гоноровский И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и связь, 1986. 512 с.

64. Багаев А., Огинец О.В., Толмачев Ю.А., Смирнов В.Б. О переносе энергии возбуждения мелсду верхними состояниями атома гелия / / Опт. и спектр. 1979. Т. 46. Вып. 6. 1067-1077.

65. Потапов А.В,, Чернявский А.Ф. Статистические методы измерений в экспериментальной ядерной физике. М.: Атомиздат, 1980. 262 с.

66. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в 3-х т . Т . 1. Изд. 6-е. М.: Наука, 1966. 607 с.

67. IMSL STAT/LIBRARY. Chapter 2: Regression, Pages 280- 293.

68. Мелас В. Б. Математические методы планирования имитационных и регрессионных экспериментов: Дис. на соиск. учен, степени доктора физ.-мат. наук. СПбГУ. СПб. 1993. 305 с.

69. Lag arias J. С, Reeds J. A., Wright M. H., Wright P. E. Convergence properties of Nelder-Mead simplex algorithm in low dimensions. May 1. SIAM Journ. of Optimization. 1997.

70. Серебренников M, Г., Переозванский A. A. Выявление скрыт ы х периодичностей. М.: Наука, 1965. 244 с.

71. Тайбин Б. 3. Признак и условие синусоидальности / / В е с т н . -Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 1999. Вып. 4 ( N - 25). 54-65.

72. Тайбин Б. 3. Применение признака синусоидальности к анализу сигналов / / В е с т н . -Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2000. Вып. 1 (N^ 4). 38-48.

73. Марпл-мл. А. Цифровой спектральный анализ и его приложения /Пер . с англ. О. И. Хабарова, Г. А. Сидоровой; Под ред. И. Рыжака . М.: Мир, 1990. 584 с.

74. Данилов Д . Л., Жиглябский А. А. (ред.) Главные компоненты временных рядов: метод "Гусеница". СПб.: Изд-во -Петерб. ун-та, 1997. 308 с.

75. Литвин В, Ф., Гольцман Ф. М., Тайбин Б. 3. и др. О периодических структурах в распределении скоплений галактик по их красному смещению. - Л., 1988. - Препринт Спец. астр, обсерватории АН СССР, №• 53Л. 10 с.

76. Litvin V. F., Holtsman F. М., Taibin В. Z. е. а. On the periodical structures in populations of galaxies and clusters of galaxies / / Astr. Nachr. 1989. Vol. 310, N 1. P. 23-27.

77. Литвин В. Ф., Гольцман Ф. М., Тайбин Б. 3. и др. Квазипериодические структуры в популяциях галактик. - Д., 1990. -Препринт Ин.-та прикладной астрономии АН СССР, N— 19. 27 с.

78. Litvin V. F., Holzmann F. М., Taibin В. Z. е. а. Search for the mat ter clumps in scales Z 1 / / Astrophysics and Space Science. 1994. Vol. 215. P. 245-261.

79. Бриллиндокер Д. Временные ряды / Пер. с англ. А. В. Булин- ского, И. Г. ;Журбенко; Под ред. А. Н. Колмогорова. М.: Мир, 1980. 536 с.

80. Хемминг Р. В. Цифровые фильтры / Пер. с англ. В. Н. Лисина; Ред. О. А. Потапов. М.: Недра, 1987. 221 с.

81. Бронштейн И. Н., Семенджев К. А. Справочник по математике для инж;енеров и учащихся втузов /Пер . с нем.; Под ред. Г. Гроше и В. Циглера. М.: Наука, 1981. 720 с.

82. Градштейн И. С, Рыокик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.

83. Боревич 3. И. Определители и матрицы: Учеб. пособие для вузов. М.: Наука, 1988. 184 с.

84. Ефимов Н. В. Квадратичные формы и матрицы. М.: Наука, 1967. 160 с.

85. Романенко А. Ф., Сергеев Г. А. Вопросы прикладного анализа случайных процессов. М.: Советское радио, 1968. 256 с.

86. Hess W. J. Pitch determination of speech signals - with special emphasis on time-domain me thods / /NCVS workshop on voice analysis, the center of performing arts. Denver, 1994. February. P. 1-34.

87. Haus H. A. / / I E E E J. Quantum electronics. 1975. Vol. QE-11, N 9. P. 736-746.

88. Теругикин Б. Об учете связи между спектрами при машинной обработке. Разложение семейства спектров по функциям заданного вида / / В е с т и . Ленингр. ун-та. 1981. N - 16. 95—96.

89. Денисов Г. С, Теругикин Б. К вопросу о спектроскопическом определении числа компонент в системе с равновесиями / / О п т . и спектр. 1981. Т . 51. 1118-1120.

90. Тайбин Б. 3. Проявление релаксационных процессов в системе "человек-окружающая среда" / / В е с т н . -Петерб. отд. Р А Е Н . 1997. №• 1(4). 412-415.

91. Тайбин Б. 3. Современный подход к методу Прони (к 200- летию метода) / /Вестн . -Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 1996. Вып. 3 ( N - 18). 102-109.

92. Чи-2кик В. И. Ядерная магнитная релаксация: Учеб. пособие. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1991. 253 с.

93. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники: В 3-х кн. Кн. 2-я. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Сов. радио, 1975. 392 с.

94. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. Изд. 2-е, доп. и перераб. М.: Наука, 1973. 343 с.

95. Браун В. Диэлектрики /Пер . с англ. А. Н. Губкина; Под ред. В. А. Чуенкова. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. 326 с.

96. Дебай П. Полярные молекулы /Пер . с нем. Н. К. Щодро. М.; Л.: Гос. науч.-техн. изд-во, 1931. 247 с.

97. Рюмцев Е. И., Ковшик А. П., Рад^жаб И. У., Безбородое Б. Диэлектрические релаксационные явления в моно-тропных жидких кристаллах / / Ж у р н . физ. химии. 1991. Т . 65, №-12. 3350-3355.

98. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров /Пер . с англ. И. Г. Арамановича, А. М. Березмана, И. А. Вайнштейна, Л. 3 . Румынского, Л. Я. Цла-фа; Под ред. И. Г. Арамановича. М.: Наука, 1973. 832 с.

99. Тайбин Б. 3., Фомин Г. А., Ляшин А. М., Кальвин В. О. О выборе области информативных частот при определении параметров диэлектрической релаксации / / В е с т н . -Петерб. ун-та . Сер. 4: Физика, химия. 1997. Вып. 2 (№• 11). 28-36.

100. Тайбин Б.З., Фомин Г.А., Ковшик А.П., Ляшин A.M. Предельные свойства кривых диэлектрической релаксации / / Вестн. -Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2000. Вып. 4 (№- 28). 45-56.

101. Тайбин Б. 3., Фомин Г. А., Фридрих В. Л. Аналитический метод определения параметров диэлектрической релаксации //Becr-R. -Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 1996. Вып. 3 (№• 18). 24-28.

102. Linington R. E. The use of simplified anomalies in magnetic surveying/ / Archaeometry. 1964. Vol. 7. P. 3-13.

103. Scollar I. Magnetic methods of archaeological prospecting- advances in instrumention and evalution techniques / / P h i l . Trans. Ray. Soc. London. A. 1970. Vol. 269. P. 109-119.

104. Логачев A. A., Захаров В. П. Магниторазведка. 5-е изд., пе- рераб. и доп. Л.: Недра, 1979. 351 с.

105. Магниторазведка: Справочник геофизика. М.: Недра, 1980. 367 с.

106. Кинкулькин И. Е., Рубцов В. Д., Фабрик М. А. Фазовый метод определения координат. М.: Сов. радио, 1979. 280 с.

107. Воронцов Ю. И, Теория и методы макроскопических измерений: Учеб. руководство. М.: Наука, 1989. 280 с.

108. Пугачев В. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. Изд. 3-е, испр. М.: Физматгиз, 1962. 884 с.

109. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976. 536 с.

110. Daubechies I. Ten lectures on vawelets. Philadelphia: Pennsilva- nia. Society for industrial and applied m.athematics. 1992. 357 p.

111. Довокенко Г. Н., Довженко Д. Л., Смирнов В. Б. Анализ многоэкспоненциальных кривых по методу Прони / / Опт. и спектр. 1999. Т. 86, №• 1. 20-23.

112. Дробахин О. О. Идентификация параметров модели в виде суммы экспоненциальных функций при помощи метода Прони / / Автометрия. 1989. N - 4. 36-42.

113. Льюис К. Д. Методы прогнозирования экономических показа^ телей /Пер . с англ. и предисл. Е. 3 . Демиденко. М.: Финансы и статистика, 1986. 133 с.

114. Burnside W. S., Panton А. W. The theory of equations. Dublin. Dublin Univ. Press, 1904.

116. Бейтмен Г., Эрдейи A. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены / П е р . с англ. Н. Я. Виленкина. М.: Наука, 1974. Т. II . 296 с.

117. Астафьева Н. М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения / /Успехи физ.наук. 1996. Т. 166, N - 11. 1145-1170.

118. Воробьев В. И., Грибунин В. Г. Теория и практика вейвлет- преобразования. СПб.: ВУС, 1999. 208 с.

120. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной облас т и / П е р . с англ. Ф. В. Широкова. М.: Наука, 1964. 268 с.

121. Минкин В.И., Осипов О. А., Жданов Ю. А. Дипольные моменты в органической химии. Л.: Химия, Ленингр. отд. 1968. 246 с.

122. Тарасов В. И. Метод анализа многокомпонентных экспоненциальных кривых релаксаций / / Автометрия. 1992, N - 2. 114-118.

123. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инлсенеров: Учеб. пособие. М.: Высш. школа,, 1994. 544 с.

124. Павлов Г. М., Фомин Г. А,, Иваницкий В. В. Об одном способе расчета корреляционных параметров результатов совместных измерений / / Вестн. -Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 1997. Вып. 4 (N^ 25). 116-119.

125. Тайбин Б. 3., Фомин Г. А., Ллшин А, М, Сравнительный анализ методов расчета параметров диэлектрической релаксации / /Вестн . -Петерб, ун-та.. Сер. 4: Физика, химия. 2002. Вып. 2 (№-12) 16-26.

126. Уиттекер Э. Т., Ватсон Док. Н. Курс современного анализа. Ч . первая. Основные операции анализа /Пер . с англ.; Под ред. Ф. В . Широкова М.: Физматгиз, 1963. 344 с.

127. Оран Э., Борис Док. Численное моделирование реагирующих потоков /Пер . с англ.; Под ред. В. Л. Зимонта, П. И. Чушкина. М.: Мир, 1990. 661 с.

128. Тайбин Б.З., Фридрих В.Л. Обобщенный метод секущих для решения трансцендентных уравнений комплексного переменного / / Информ. бюл. "Алгоритмы и программы". Гос . фонд алгоритмов и программ СССР. П 002385. М., 1977. №• 4(18). 13 с.

129. Капранов М. В., Кулешов В. Н., Уткин Г. М. Теория колебаний в радиотехнике: Учеб. пособие для вузов. М.: Наука, 1984. 320 с.