автореферат диссертации по машиностроению и машиноведению, 05.02.05, диссертация на тему:Автоматизированная система программирования траекторий технологических манипуляционных роботов для операций механообработки

Введение.

ГЛАВА 1. Особенности применения и программирования технологических манипуляционных роботов на операциях механообработки.

1.1 Специфика применения роботов в качестве технологического оборудования на операциях механообработки.

1.2 Системы программирования технологических роботов.

1.3 НазАно-технические задачи диссертационной работы.

Выводы.

ГЛАВА 2. Разработка автоматизированной системы программирования траекторий технологических роботов на операциях механообработки.

2.1 Факторы, определяющие точность робототехнологических систем.

2.2 Автоматизированная система программирования траекторий технологических роботов.

Выводы.

ГЛАВА 3. Планирование и оптимизация траекторий движения технологических манипуляционных роботов.

3.1 Генерация траекторий движений манипуляторов на основе сплайн-методов.

3.2 Алгоритм оптимизации траекторий движений технологических роботов на основе анализа их жесткостных, динамических и частотных свойств.

Выводы.

ГЛАВА 4. Математическая модель системы «робот - рабочий орган инструмент - рабочий процесс».,.

4.1 Приведение динамических и упругих свойств манипулятора к системе координат рабочего органа.

4.2 Построение математической модели «робот - рабочий орган - инструмент - рабочий процесс» с учетом упругих свойств и люфтов в кинематических парах.

Выводы.

ГЛАВА 5 Экспериментальное исследование системы «робот - рабочий орган - инструмент - рабочий процесс».

5.1 Экспериментальное исследование методики определения эквивалентного люфта манипулятора робота РМ-01. 5.2 Экспериментальное исследование адекватности разработанных моделей систем роботизированной механообработки.

Выводы.

Основной тенденцией развития современного машиностроения является интенсификация производства на основе широкого внедрения средств комплексной автоматизации, новых технологий и компьютеризации. Одним из перспективных направлений является развитие робототехники. Целесообразность приобретения и эксплуатации технологических роботов (ТР) на современных предприятиях всегда определялась возможностью увеличения производительности, снижения затрат на производство, повышения качества продукции и автоматизации опасных работ. Однако сегодня, в связи с общим тяжелым положением в экономике страны, актуальной становится задача наиболее полного использования ресурсов уже имеющегося в производстве оборудования, поскольку внедрение нового требует значительных капиталовложений.

Таким образом, появляется потребность в разработке новых алгоритмов и методов управления, позволяющих наиболее полно использовать функциональные возможности конкретной модели промышленного робота. Применение таких методик позволит повысить производительность ТР при соблюдении требований технологического процесса.

Для решения этой важной научно-технической задачи в работе разработана система автоматизированного программирования, в комплексе учитывающая реальные возможности промышленного робота, его особенности как объекта управления и ограничения, накладываемые на рабочие режимы технологической постановкой задачи. Данная система основана на методах аналитического программирования и позволяет повысить точность роботизированной механообработки и сократить затраты на подготовку управляющих программ.

Принципиальная возможность решения данной задачи во многом определяется быстрым совершенствованием и повсеместным внедрением вычислительной техники. Применение компьютеров для моделирования в назд1ных исследованиях и управления в производстве дает возможность разрабатывать системы аналитического программирования.

В основу теоретических исследований данной диссертационной работы положены теоретические методы аналитической механики и динамики, матричного исчисления, численные методы и методы символьных вычислении, компьютерное моделирование, теории автоматического управления, а также статистические методы обработки экспериментальных данных. Прикладные вопросы рассмотрены применительно к задачам управления серийными промышленными роботами РМ-01.

Настоящая диссертационная работа основывается на результатах, достигнутых в нашей стране научными коллективами, руководство которыми осуществляли Е.П. Попов, Ю.М. Соломенцев, Ю.В. Подураев, Б.М. Базров, В.Л. Афонин,, Е.А. Девянин, А.И. Корендясев, A.B. Морозов, B.C. Кулешов, H.A. Дакота.

Значительные достижения в данной области робототехники имеют и иностранные ученые X. Асада, М. Вукобратович, Д.Е. Уитни и целый ряд других.

Исследование эффективности разработанных математических моделей «робот - рабочий орган - инструмент - рабочий процесс» осуществлено с помощью экспериментального комплекса, созданного на базе промышленного робота РМ-01 в лаборатории кафедры Робототехники и Мехатроники Московского Государственного технологического университета "СТАНКИН".

Особую благодарность хотелось бы выразить д.т.н. Подзфаеву Ю.В., а также к.т.н. Ю.В. Илюхину, к.т.н. И.Л. Ермолову, К.Э. Зиновенко, Н.В. Гусевой, к.т.н. В.П. Саунину, О.А Падогиной, кафедре Информационно-измерительных Систем и Техники МГТУ "СТАНКИН" и всем другим, в разное время, оказавшим большую помощь в проведении работы.

Основные результаты работы:

1. Дано технологическое определение понятия точности применительно к системе «робот - рабочий орган - инструмент - рабочий процесс» и описаны основные факторов, влияющие на точность роботизированной механообработки. На основе анализа этих факторов сделан вывод о том, что, как правило, наибольшее влияние на точностные показатели оказывают упругости элементов системы и люфты в сочленениях манипулятора.

2. На основе анализа современного состояния систем аналитического программирования роботов и станков с ЧПУ предложена система автоматического программирования применительно к РТК механообработки, и на основе ее разработана система автоматизированного программирования траекторий, которая позволила повысить точность и производительность операций роботизированной механообработки за счет более полного использования функциональных возможностей робота и сокращения времени подготовки управляющих программ.

3. Разработана методика определения эквивалентного люфта, заключающаяся в приведении люфтов (зазоров) в кинематических парах манипулятора к концевой точке манипулятора. Эквивалентный люфт позволяет определить диапазон изменения люфта на концевой точке манипулятора, в интересующем направлении. Данная методика может быть использована для любых типов манипуляторов.

4. Были рассмотрены различные методы построения онлайновых кривых и поверхностей и выполнена соответствующая программная реализация каждого из этих методов. Исходя из соответствующих требований, был выбран метод Эрмита как наиболее подходящий для формообразования сложнофасонных поверхностей и планирования траекторий движений технологических роботов.

5. Предложен алгоритм оптимизации траекторий движения технологических роботов на основе анализа их динамических, жесткостных и частотных свойств. На основе данного алгоритма, с использованием метода символьных вычислений, разработана соответствующая программа, результатом которой является генерация «зон эффективности», где должны наблюдаться более высокие точностные показатели механообработки и куда рекомендуется помещать объект, над которым выполняется технологическая операция.

6. Разработана комплексная математическая модель системы «робот - рабочий орган - инструмент - рабочий процесс», учитывающая люфты в сочленениях манипулятора (в виде эквивалентного люфта) и упругие свойства манипулятора (в виде эквивалентного упругого звена), рабочего органа и инструмента. На основе общей математической модели разработаны и описаны наиболее типичные для практики модели частных случаев роботизированной механообработки, отличающиеся различными соотношениями упругостей элементов системы.

7. Выполнен эксперимент по проверке эффективности предложенной методики определения эквивалентного люфта применительно к промышленному роботу РМ-01. Проведенные измерения подтвердили результаты вычислительного эксперимента, основанного на разработанной методике.

8. Произведено экспериментальное исследование предложенной в настоящей диссертационной работе математической модели системы «робот -рабочий орган - инструмент - рабочий процесс применительно к механообработке эластичным инструментом и жестким инструментом с податливым рабочим органом. Эксперимент подтвердил результаты компьютерного моделирования, основанного на соответствующих математических моделях, и позволил сделать вывод об адекватности предложенной математической модели «робот - рабочий орган - инструмент - рабочий процесс».

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследования, выполненные в диссертационной работе, привели к разработке автоматизированной системы программирования траекторий технологических манипуляционных роботов для операций механообработки, что позволило повысить точность и производительность за счет сокращения времени подготовки управляющих программ и более полного использования функциональных возможностей робота.

1. Аршанский М.М., Кучин К.В. Автоматизация измерений статических и динамических характеристик технологических систем при резании // СТИН, 1998, №8.

2. Аршанский М.М. Мехатронные технологии обработки материалов резанием // Мехатроника, 2000, № 1.

3. Асташев В.К., Бабицкий В.И. и др.; под ред. Крейнина Г.В., Динамика машин и управление машинами. М.Машиностроение, 1988.-240с.,ил.

4. Афонин В.Л., Джаноян P.P., Морозов A.B., Применение промышленных роботов в качестве технологического оборудования на отделочно-зачистных операциях. М., ВНИИТЕМР, №1, 1990, 52 с.

5. Афонин В.Д., Морозов A.B., Управление технологическими роботами для механической обработки. М., РАН, 1995, 158 с.

6. Афонин В.Л., Чинаев П.И., Алгоритмы оптимального управления упругой манипуляционной системой при выполнении силовых технологических оп-реациях. Тех. кибернетика, №3, 1987.

7. Базров Б.М. Технологические основы проектирования самоподстраивающих станков. М.: Машиностроение, 1978. - 216с., ил.

8. Бансявичус Р.Ю., Иванов A.A., Камышный Н.И., Промышленные роботы для миниатюрных изделий. -М. Машиностроение, 1985.-264с.,ил.

9. Белман Р., Введение в теорию матриц. -М.:Наука, 1969.-368с.,ил.

10. Бурдаков С.Ф. и др. Проектирование манипуляторов промышленных роботов и роботизированных комплексов. -М.:Высшая школа, 1986.-264с.,ил.

11. Бурдун Т.Д., Марков Б.Н. Основы метрологии. М.: Издательство «Стан-кин», 1981, 330 с.

12. Власов A.n., Ющенко A.C. Робототехнологический комплекс РМ-01. -М:Машиностроение., 1988, 95 с.

13. Воробьев Е.И., Козырев Ю.Г., Царенко В.И.; под общ. ред. Попова Е.И., Промышленные роботы агрегатно-модульного типа. -М. Машиностроение, 1988.-240с.,ил.

14. Вукобратович М., Стокич Д., Управление манипуляционными роботами.-М.:Наука, 1985.

15. Вукобратович М., Стокич Д., Кирчански Н. "Неадаптивное и адаптивное управление манипуляционными роботами" М., Мир, 1989.

16. Городецкий Ю.И. О колебаниях при резании металлов. М:Машиностроение., 1984,135 с.

17. Городецкий О.М., Специализированная система MMANG для проведения аналитических выкладок в механике сложных систем твердых тел.// Пакеты прикладных программ. Аналитические преобразования.-М.:Наука, 1988.

18. Дерябин А.Л., Эстерзон М.А. Технология изготовления деталей на станках с ЧПУ и в ГПС. М.: Машиностроение, 1989, 288с.

19. Егоров О.Д. Механика и конструирование роботов. М.: Издательство «Станкин», 1997, 510 с.

20. Елисеев СВ., Кузнецов Н.К., Лукьянов A.B. Управление колебаниями роботов.- Новосибирск: Наука, 1990.

21. Ермолов И. Л. Синтез движений технологических роботов для операций с движущими объектами на основе метода компьютерной алгебры. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. -М.:, 1992.

22. Ермолов И.Л., Подураев Ю.В., Технология автоматического программирования промышленных роботов.// Тезисы международной конференции "Новые материалы и технологии". М.: МАТИ.-1994.

23. Зайдель Г. Высокопроизводительные компактные обрабатывающие центры. М: Европ. семинар, 1992.

24. Зенкевич СЛ., Ющенко A.C. Управление роботами. М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2000, 400 с.

25. Илюхин Ю.В., Подураев Ю.В. Проектирование исполнительных систем роботов. Линеаризованные системы. М.: Изд-во МПИ, 1989, 75 с.

26. Карл де Бор. Практическое руководство по сплайнам.-М.:Радио и связь., 1985., 240 с.

27. Кедров С.С, Колебания металлорежущих станков.- М.:Машиностроение, 1978.-198С.

28. Колкер Я.Д., Математический анализ точности механической обработки деталей.-К.:Техшка, 1976.-200с.,ил.

29. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы. М.:Наука., 1976., 670 с.

30. Кузнецов Ю.Н. Станки с ЧПУ. К.: Высшая школа., 1991, 278 с.

31. Марков H.H. Нормирование точности в машиностроении. М.: Издательство «Станкин», 1992, 320 с.

32. Марков H.H. Обработка результатов измерений. М.: Издательство «Станкин», 1990,125 с.

33. Мещеряков Р.К., Лошкарев В.М., Новиков А.Н. Применение роботов на операциях отделочно-зачистной и упрочняющей обработке. М: Вестник машиностроения, 1988.

34. Научно-технические разработки сотрудников КГТУ. Производственные технологии: эластичный инструмент. Под рук. Темных В.Н., 1999 г.

35. Подураев Ю.В. Контурное силовое управление технологическими роботами на основе тензорно-геометрического метода: Дисс. д.т.н. -М: 1993.

36. Полесников В.Н. Повышение производительности и точности операций контурного фрезерования на станках с ЧПУ. // Дис. к.т.н., Челябинск, 1988, 233 стр.

37. Попов Е.П., Пальтов И.П. Приближенные методы исследования нелинейных систем. Физматгиз, 1960, 256 с.

38. Промышленные роботы: Внедрение и эффективность. — М.: Мир., 1987, 384 с.

39. Проспект системы OPTIMACH (Бельгия).

40. Рапопорт Т.Н., Солин Ю.В., Применение промышленных роботов. -М.:Машиностроение, 1985.-272с.,ил.

41. Pay Э. Производительность и использование современных управляющих CNC обрабатывающих центров. // Европ. сем., М., 1996 г.

42. Руководящие технические материалы: Обработка деталей вращающимися металлическими щетками. 1986., 85 с.

43. РТК зачистки / Проспект НПО "Гранат" (г. Минск).

44. САПР и графика: Как вырастить виртуальное яблоко, октябрь 2000 г., 97 с.

45. Саунин В.П. Адаптивное силовое управление манипуляционными роботами на операциях механообработки. Диссерация на соискание ученой степени кандидата технических наук. -М.:, 1992

46. Сисей М. Внедрение промышленного робота для зачистки стальных шпунтов. М.: ГПНТБ., 1990., 25 с.

47. Соломенцев Ю.М., Митрофанов В.Г. и др. Адаптивное управление технологическими процессами. М.: Машиностроение, 1980.-536 с, ил.

48. Сосонкин В.П., Мартинов Г.М. Концепция числового программного управления мехатронными системами: архитектура систем типа PCNC // Мехатроника, 2000, №1.

49. Справочник по промышленной робототехнике: В 2-х кн./ под ред. Ш. Но-фа. -М.: Машиностроение, 1989.-960с.,ил.

50. Справочник технолога-машиностроителя т.2/ Под ред. А.Г. Косиловой и Р.К. Мещерякова, М.: Машиностроение, 1985.- 420 с.51. «СТИН», журнал, №4, 1996, 110 с.52. «СТИН», журнал, №1,1999, 98 с.53. «СТИН», журнал, №6, 2000, 117 с.

51. Фу, Гонсалес. Робототехника. М.:Мир., 1984., 275 с.

52. Чадин А.И. Повышение эффективности роботизированного технологического процесса зачистки деталей приборов. Автореферат, Лениград, 1990.

53. Черноусько Ф.Л. Манипуляционные роботы: Динамика, управление, оп-тимизация.-М.:Наука, 1989.

54. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. -М.:Наука, 1980.

55. Шенк X., Теория инженерного эксперимента. -М.:Мир, 1972.-384с.,ил.

56. Шикин Е.В., Плис А.И. Кривые и поверхности на экране компьютера. Руководство по сплайнам для пользователей. -М.:ДИАЛОГ-МИФИ., 1996., 240 с.

57. Ярошевский B.C. Последовательное вычисление кубического сплайна в задачах управления. 1994,14 с.

58. Armstrong В., O.Khatib, J.Bwdick. "The explicit Dynamic model and Inertial Parameters of the PUMA-560 Arm". In Proc. IEEE Conf. on Robotic and Automation, 1986.

59. Asada H., Slotine J.-J.E. Robot analysis and control.-New York, 1986.

60. Davenport J.H./Computer algebra.-Academic Press, 1988.

61. Fukuda T., Kitamura N. Adaptive force control of manipulators. IEEE Int.,1983, Apr3, Vol3.

62. Golovin V. Robot for message and mobilization. Workshop Proceedings, Ametmas, 1998

63. Kramer B., Bausch J., Gott R. Robotic deburring // Robotic and Computer -Integrated manuf. Vol. 1, №3/4, 1984.

64. Leahy M.B. Efficient PUMA Manipulator Jacobian Calculation and Inver-sion.//in Journal of Robotic Systems №4, 1987.

65. Leahy M.B., Valavanis K.P., Saridis J.G. "Evalution of dynamic models for PUMA robot control". IEEE Trans, on Rob. and Autom., vol. 5,2, 1989.

66. Production and use of industrial robots//Unitcd Nations Publication., N.4. -1985., 160 P.

67. Rhoades K. A summer of automatic finishing processes. Int. Machine Tool Tech. conf. V3 1986.

68. Robot deburrer//Flight Int. — 1985. A V. 128. — N 3986. — P. 51.

69. Somlo J., Podurajev J. "Optimal Cruising Trajectory Planning for Robots". Mechatronics (England), 1994,vol.4, N5,p.517-538.

70. Tareuchi J. Sakamoto M., Kouda K. Automation of deburring operations by means of colour information//CIRP Ann. — 1987. — V. 36 — N 1. — P., 293— 296.

71. Wiens G.J./ The Role of Inertia Sensivity in the Evaluation of Manipulator Performance.// Transactions of the AS ME, June, 1994.

72. Winder Frans./Computer Algebra Problems and Developments./Proceeding of the 1991 SCAFI Seminar at CWI, Amsterdam.-John Wiley and Sons, Inc., 1992.

73. Whitney D.E. "Historical perspective and state of the art in robot force control" IEEE bit. Conf. on Rob. and Aut., 1985.

74. Программы построения сплайновых поверхностей, выполненные с помощью метода символьных вычислений в среде программирования Maple V фирмы Waterloo Maple Inc.

75. Сплайновые поверхности Безье1. Bezie curveclean of memoryrestart:creat of some arraywith(plots):with(linalg): >Px:=array(1.4,1.4): >Py:=array(1.4,1.4): >Pz:=array(1.4,1.4):

76. U,V-parameters matrix >Ul,l.:=u**0: >U[2,l]:=u**l: >U[3,l]-u**2: >U[4,l]:=u**3:convert(U,matrix); >V1,1. :=v**0:

77. V2,l. : =v**l: >V[3,1] :=v**2:1. V4,lconvert(V,matrix);1. Ut:=transpose(U);calculation of elementary spline curves1. P-top's matrix

78. Рх3,4. =х[2,3 >Рх[4,1] :=х[3,0] >Рх[4,2] =х[3,1] >Рх[4,3] =х[3,2]1. Рх4,4. :=х[3,3convert(Px,matrix); >Ру1Д. :=У[0,0 >Ру[1,2] =у[ОД] >Ру[1,3] =У[0,2 >Ру[1,4] =У[0,3 >Ру[2Д -У [1,0 >Ру[2,2]:=у[1,1] >Ру[2,3] =У[1,2

79. Ру2,4. =У[1,3] >Ру[ЗД] =У[2,0]

80. X:=evalm(Ut&*Mt&*Px&*M&*V);

81. Y~evalm(Ut&*Mt&*Py&*M&* Y);

82. Z-eValm(Ut&*Mt&*Pz&*M&*V); >v"w/10;u:=uu/10;srf:= seq([ seq([X[l,l.,Y[I,l],Z[l,l]], w=0.10)], uu=0.10)];f:=surfdata({srf},axes=frame, labels=x,y,z.);plot ofBezie curve #xdisplay({f});

83. M-basic matrix of Bezie curvesml,l.:=l:m2,l.-0:m3,l.:=0:m4,l.:=0:ml,2.-0:m2,2.:=0:m3,2.:=l:m4,2.-0:ml,3.:=-3:m2,3.:=3:m3,3.:=-2:m4,3.:=-l:ml,4.:=2:m2,4.:=-2:m3,4.:=l:m4,4.-l:convert(m,matrix):1. M;=evalm(m*l);1. Mt:=transpose(M);

84. U,V-parameters matrix >U1,1. =u**0 >U[2,1]1. U3,1. =u**2 >U[4,1]convert(U,matrix); >V1,1. =v**01. V2,l' >V[3,1.1. V4,l :=v**3:convert(V,matrix);1. Ut.-transpose(U);calculation of elementary spline curves1. P-top's matrix

85. Pyl,4. =Ygy[Offl: >Py[2,l] =y[l,0]:1. Py2,2. =y[l,l]:1. Py2,3. =ygy[i,o]1. Py2,4. =ygy[i,i]1. PPy[33'i =xgy[0,0.pn 2 =xgy°ffl1. Py3'3. =zgy[0,0]1. Py3'4. =zgy[Ofl]py4ffl =xgy[l,0

86. X:=evalm(Ut&*Mt&*Px&*M&*V);

87. Y:=evalm(Ut&*Mt&*Py&*M&*V);

88. T:=array(1.4,l-l): >R:=array(1.3,l.l):m:=array(1.4,1.4): >M:=array(1.4,1.4): >Mt:=array(1.4,1.4):n-number of tops >n:=6:x:=array(0.3,0.3): >y:=array(0.3,0.3): >z:=array(0.3,0.3):f:=array(l.n-3): >X:=array(0.n-2):1. Y:=array(0.n-2):1. Z:=array(0.n-2):

89. M-basic matrix of Bezie curvesm l,l.::=l:m 2,1.: =4m3,l =1m4,l.: =0m :i,2.:=-3:mi2,2.:=0m=3,2.:=3m4,2.:=0 >m[l,3]:=3in2,3. --6: >m[3,3] =3:m4,3 =0: >m[l,4. =-1;m2,4. =3: >m[3,4] --3:m4,4. =1:convert(m,matrix):1. M:=evalm(m* 1/6);1. Mt:=transpose(M);

90. U,V-parameters matrix >U1,1. =u**0 >U[2,1] =A**\ >U[3,1] =u**2 >U[4,1] =u**3convert(U,matrix);

91. Vl,l. =v**0 >V[2,1] =v** 1 >V[3,1] =v**2 >V[4,1] =y**3convert(V,matrix);1. Ut:=transpose(U);calculation of elementary spline curves1. P-top's matrix

92. R-equations of elementary spline curvef1.-plot's function of elementary spline curve >Pxl,l.:=x[0,0]:

93. Pyl,l. =y[o,o] >Py[l,2] =y[o,i] >Py[l,3] =y[0,2] >Py[l,4] =y[o,3 >Py[2,l] =y[i,o1. Py2,2. =y[i,i]1. Py2,3. =y[l,2]

94. Py2,4. =y[i,3] >Py[3,l] =y[2,0 >Py[3,2] =y[2,l >Py[3,3] =y[2,2]

95. X:=evalm(Ut&*Mt&*Px&*M&*V);

96. Y:=evalm(Ut&*Mt&*Py&*M&*V);

97. Z:=evalm(Ut&*Mt&*Pz&*M&*V); >u:=uu/10:v:=w/10:srf- seq([ seq([X[l,l.,Y[l,l],Z[l,l]], w=0.10)], uu=0.10)];f:=surfdata({srf},axes=frame, labels=x,y,z.); # plot of Bezie curvedisplay({f});

98. Программы построения сплайновых кривых, выполненные с помощью метода символьных вычислений в среде программирования Maple Vфирмы Waterloo Maple Inc.

99. M-basic matrix of Catmull-Rom spline >ml,l.:=0:m2,l.:=2:m3,l.:=0:m4,l.:=0:ml,2.:=-l:m2,2.:=0:m3,2.:=l:m4,2.:=0:ml,3.:=0:m2,3.:=-5:m3,3.:=4:m4,3.:=-l:ml,4.:=l:m2,4.:=3:m3,4.:=-3:m4,4.:=l:convert(m,matrix);1. M:=evalm(m*0.5);1. T-parameter's matrix

100. Tl,l.:=(t-i+l)**0: >T[2,l]:=(t-i+l)**l: >T[3,l]:=(t-i+l)**2: >T[4,l]:=(t-i+l)**3:convert(T,matrix);calculation of elementary spline curves1. P-top's matrix

101. R-equations of elementary spline curvef1.-plot's function of elementary spline curve >j-0:for i from 1 to n-3 do >j:=j+l: >Pl,l.:=x[i-l]: >P[l,2]:=x1.: >P[l,3]:=x[i+l]: >P[l,4]:=x[i+2]: >P[2,l]:=y[i-l]: >P[2,2]:=y[i]: >P[2,3]:=y[i+l]: >P[2,4]:=y[i+2]:

102. P3,l.:=z[i-l]: >P[3,2]:=z1.: >P[3,3]:=z[i+l]: >P[3,4]:=z[i+2]:convert(P,matrix);

103. Y:=array(0.n-2): >Z:=array(0.n-2):array of tops >x0.:=0: >y[0]:=0 >z[0]:=9 >x[l]:=l >y[l]:=lzl.:=4x2.:=2y2.:=2z2. =1: >x[3] =3: >y[3] =3:z3. =0: >x[4] =4: >y[4] =4: >z[4] =1: >x[5] =5: >y[5] =5: >z[5] =4: >x[6] =6: >y[6] =6: >z[6] =9:

104. M-basic matrix of Bezie curves >ml,l.:=l:m2,l.:=0:m3,l.:=0:m4,l.;=0:ml,2.:=-3:m2,2.:=3:m3,2.:=0:m4,2.:=0:ml,3.;=3:m2,3.:=-6:m3,3.:=3:m4,3.:=0:ml,4.:=-l:m2,4.:=3:m3,4.;=-3:m4,4.:=l:convert(m,matrix);1. M:=evalm(m*l);

105. T-parameters matrix >T1,1. =(t-i+l)**0 >T[2,1] =(t-i+l)**l >T[3,1] =(t-i+l)**2 >T[4,1] =(t-i+l)**3convert(T,matrix);calculation of elementary spline curves1. P-top's matrix

106. M-basic matrix of Ermit curve >ml,l.:=l;m2,l.:=0:m3,l.:=0:m4,l.:=0:ml,2.:=0:m2,2.;=0:m3,2.:=l:m4,2.:=0:ml,3.:=-3:m2,3.:=3:m3,3.:=-2:m4,3.:=-l:ml,4.:=2:m2,4.:=-2:m3,4.:=l:m4,4.:=l:convert(m,matrix);1. M:=evalm(m);

107. T-parameter's matrix >Tl,l.Kt-i+l)**0:

108. T2,l.:=(t-i+l)**l: >T[3,l]Kt-i+l)**2: >T[4,l]:=(t-i+l)**3:convert(T,matrix);calculation of elementary spline curves1. P-top's matrix

109. R:=evalm(P& * M& * T); >X1.:=Rl,l.: >Y[i]:=R[2,l]: >Z[i]:=R[3,l]:f|j. :=plot3d(X1.,Y[i],Z[i]],t=i-l. .i,s=0. 1 ,axes=boxed,orientation=45,45.): >od;plot of Ermit curve >display({fll.,fI2],f3],fI4],fI5],fI6]});

110. M-basic matrix of Ermit curve >ml,l.:=l:m2,l.:=0:m3,l.:=0:m4,l.:=0:ml,2.:=0:m2,2.:=0:m3,2.:=l:m4,2.:=0:ml,3.:=-3:.m2,3.;=3:m3,3.:=-2:m4,3.:=-l:ml,4.:=2:m2,4.:=-2:m3,4.:=l:m4,4.:=l:convert(m,matrix):1. M:=evalm(m):t;='t': >i:='i':

111. T-parameter's matrix >Tl,l.:=(t-i+l)**0 >T[2,l]-(t-i+l)**l >T[3,l]:=(t-i+l)**2 >T[4,l]:=(t-i+l)**3convert(T,matrix):i:='i':calculation of elementary spline curves1. P-top's matrix

112. P3,2.:=z[tr,i]+zi: >P[3,3]:=w[i-l]: >P[3,4]:=w1.:con vert(P,matrix);

113. Cmaxxil,yil,zil.:=cmax: >od;od; >od;the maximum from minimum regidities1. Cmn:=0:for xmax from 0 to 9 dofor ymax from 0 to 9 dofor zmax from 0 to 9 doif Cmaxxmax,ymax,zmax.>Cmn and Cmax[xmax,ymax,zmax]<>10el00 then

114. Cmn:=Cmaxxmax,ymax,zmax.; xo:=xmax; yo:=ymax; zo:=zmax fï : >od;od; >od;xopt:=xo:yopt:=yo:zopt:=zo:save xopt, yopt, zopt, Cmn,Cmax, Mata4.m' : >read Mata4.m';1. Cmn;

115. Программы построения эквивалентного люфта, выполненные с помощью метода символьных вычислений в среде программирования Maple

116. V фирмы Waterloo Maple Inc.1. Обнуление памятиrestart;

117. Загрузка библиотеки линейной алгебрыwith(linalg):

118. Задание параметров двухзвенного манипулятора >Ы:=43 1.8;1.:=433.1; >dql:=0.001627;dq2:=0.001282; >dql.:=dql/2; >dq[2]:=dq2/2;1. Матрица кинематики

119. Xpr:=Ll*sin(ql)+L2*sm(ql+q2);

120. Ypr:=Ll*cos(ql)+L2*cos(ql+q2);1. F:=vector(2,Xpr,Ypr.);1. J:=jacobian(F,ql,q2.);1. Jc:=inverse (J);1. Jc:= inverse (J);

121. Jctr:=transpose (Jc); >Ca:=9.8*10A4; >Cb:=2.9*10M;

122. Cj:=linalgmatrix.(2,2,[Ca,0,0,Cb]);

123. Преобразование структурной схемы модели «робот рабочий органинструмент рабочий процесс»sc1. Гтг ,1. MW