автореферат диссертации по инженерной геометрии и компьютерной графике, 05.01.01, диссертация на тему:Автоматическая аппроксимация односвязных гиперповерхностей полиэдрами применительно к расчетам несущей способности оболочек покрытий

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ.

1.1. Элементы гиперсетей и полиэдров.

1.2. Конструирование гиперсети с использованием метода конечных разностей

1.3. Дискретное моделирование замкнутых гиперповерхностей

1.4. Формирование линеаризованной дискретной модели условия пластичности.

Выводы по первой главе

ГЛАВА 2. АППРОКСИМАЦИЯ ЗАМКНУТЫХ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА ОПИСАННЫМИ ИЛИ ВПИСАННЫМИ

ПОЛИЭДРАМИ.

2.1. Параметризация и классификация замкнутых гиперповерхностей второго порядка в Еп пространстве

2.2. Конструктивный принцип отображения гиперповерхностей второго порядка в, Е''прост-ранстве

2.3. Аппроксимация замкнутых гиперповерхностей второго порядка вписанными полиэдрами

2.4. Двусторонняя оценка погрешности линейной аппроксимации гиперповерхности второго порядка. ИЗ

Выводы по второй главе

ГЛАВА 3. АВТОМАТИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ВЫПУКЛЫХ

ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ И НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ОБОЛОЧЕК

3.1. Механическое поведение и несущая способность оболочек.

3.2. Условия текучести оболочек и расчеты несущей способности.

3.3. Линеаризация условий текучести произвольного вида

3.4. Расчет несущей способности жесткопластических оболочек.

3.5. Оптимальный проект купольного покрытия

3.6. Пакет программ расчета на ЭШ несущей способности пологих оболочек.

Выводы по третьей главе

В период до 1990 года советскому народу предстоит претворить в жизнь генеральную стратегическую задачу, выдвинутую ХХУ1 съездом КПССХ - завершить перевод народного хозяйства на преимущественно интенсивный путь развития, добиться неуклонного роста производительности труда, повышения эффективности производства и на этой основе - дальнейшего подъема материального и культурного уровня жизни народа. Партия указывает и на главное средство для решения этой задачи - всемерное ускорение научно-технического прогресса. "В одиннадцатой пятилетке, -подчеркивалось на ХШ съезде КПСС, - развитие науки и техники должно быть в еще большей мере подчинено решению экономических и социальных задач советского общества, ускорению перевода экономики на путь интенсивного развития, повышению эффективности общественного производства11.

Внедрение в практику црогрессивных и высокоэффективных достижений науки и техники, повышение на этой основе производительности общественного труда являются не только социально-экономической, но и важнейшей политической задачей.

В "Основных направлениях экономического и социального развития СССР на 1981-1985 годы и на период до 1990 года" предусмотрено:

- улучшить проектно-сметное дело, осуществлять строительство по наиболее прогрессивным и экономичным проектам;

- расширить применение новых эффективных конструкций, обеспечить современные требования стоимости и трудоемкости;

- расширять автоматизацию проектно-конструкторских и научно-исследовательских работ с применением электронновычислительной техники.

На необходимость изыскания резервов в народном хозяйстве, в частности в строительстве, указывается также в материалах ноябрьского (1982 г,), декабрьского (1983 г«) и февральского (1984 г.) Пленумов ЦК КПСС.

Одним из эффективных путей реализации резервов в строительстве является уточнение методов расчета и расчетных схем конструкций и сооружений на всех стадиях проектирования, в результате чего обеспечивается экономия материалов при иохране-нии надежности и безопасности сооружений.

Трудоемкость расчетов строительных конструкций, естественно, удлиняет сроки проектирования, что в свою очередь отрицательно влияет на сроки ввода объектов строительства в эксплуатацию.

В связи с задачами, поставленными партией и правительством, в нашей стране разработаны и утверждены комплексные целевые программы в области улучшения проектно-сметного дела и совершенствования строительных конструкции, в частности, целевая научно-техническая программа Госстроя СССР на 11-го пятилетку.

Настоящая диссертация выполнена в соответствии с разделом 07.02.01 этой программы: "Разработать на основе теории пластичности, прочности и устойчивости предложения по выбору расчетных схем и рекомендуемых методов расчета зданий и сооружений массового применения".

Таким образом, тема диссертации, в которой рассмотрены геометрические аспекты црочностных расчетов и проектирования эффективных современных пространственных конструкций, весьма актуальна.

Проблема надежности сооружений при одновременном снижении их материалоемкости, а следовательно, и стоимости, тесно связана с оценкой их несущей способности. Вопросы устойчивости и надежности зданий и сооружений цриобретают особое значение при строительстве в районах с повышенной сейсмичностью, в частности, в республиках Средней Азии. Решению этой задачи в значительной степени способствует использование в современном строительстве цроектов, в которых в качестве покрытий зданий предлагаются монолитные оболочки вместо обычных плоскостных покрытий. При этом стоимость 1 м2 покрытия здания уменьшается на 8-10 руб., расход стали - на 12-32 кг, масса покрытия до 40 % по сравнению с решениями в плоскостных конструкциях. Известно, что в сейсмических районах, особенно в Средней Азии, в связи с необходимостью обеспечения сейсмостойкости, стоимость здания и расходы строительных материалов увеличиваются 43 ] . Поэтому ставится задача достижения заданной несущей способности с наименьшей затратой строительных материалов цри увеличении сейсмостойкости покрытия.

В различных отраслях науки и техники нашли применение нелинейные функции многих переменных. Наиболее характерным примером являются разнообразные целевые функции оптимизационных задач. В общем случае решение их сводится к задаче нелинейного программирования, однако часто геометрический анализ нелинейных функций позволяет провести их линеаризацию с тем, чтобы далее использовать хорошо разработанные методы линейного программирования.

В качестве другого класса задач рассмотрим проблему несущей способности оболочек. Отыскание двусторонних оценок несушей способности идеальных жесткопластических конструкций статическим и кинематическим методами теории предельного равновесия в классической форме связано с условием пластичности в виде функции многих переменных (рис.1.1).

Г С Л/ /V . /V м . м ~ м ) ^ к (1.1)

К /ух ? у У /Уху ? 9 ' у 7 ' 'ху 1 ^

Наиболее естественным методом исследования функции такого вида является геометрическое моделирование в абстрактном многомерном пространстве.

Для оболочек условие пластичности обычно формулируется в шестимерном пространстве внутренних усилий , М.^ , причем в общем случае представляет замкнутую выпуклую гиперповерхность второго порядка. Ввиду выпуклости Р задача расчета несущей способности оболочек является существенно нелинейной.

Реальное проектирование конструкций связано с их оптимизацией. Среди различных формулировок оптимизации [из ] с практической точки зрения наибольший интерес представляет задача об отыскании конструкций наименьшей условной стоимости (массы) цри заданной несущей способности. Такая постановка задачи требует многократного решения задачи предельного равновесия, поэтому к алгоритму отыскания несущей способности предъявляются высокие требования в отношении быстродействия.

Один из наиболее эффективных путей ускорения решения этой задачи состоит в линеаризации исходной нелинейной задачи, тогда для решения могут быть применены методы линейного программирования [24,44,88,101,103,105,113,122] . Такая линеаризация требует замены нелинейной выпуклой гиперповерхности вписанными или описанными полиэдрами.

Рис. И

Известно, что оценка, полученная на основе точной поверхности пластичности [з1-35,38,72,81,85,109^ , заключена между оценками, найденными с помощью внешнего и внутреннего приближений, поэтому геометрическая интерпретация этой задачи состоит в том, чтобы выбрать полиэдр, гарантирующий заданную точность решения.

Такие задачи являются частью более общей геометрической проблемы дискретизации гиперповерхности с целью линеаризации описывающей ее нелинейной функции.

Идея использования аппарата многомерной начертательной геометрии для оптимальной автоматической линеаризации гиперповерхности, моделирующей условия пластичности, принадлежит научному руководителю автора настоящей диссертации А.СДехтярю 34,81, 8б] . Исследования, связанные с реализацией этой идеи в области теории предельного равновесия, в существующей литературе отсутствуют.

Обзор литературы по многомерной начертательной геометрии показал, что авторами, работающими в этой области, прямо не ставилась и не решалась сформулированная выше задача. Однако существуют многочисленные работы, связанные с аналогичной проблемой в трехмерном и двухмерном пространствах.

Б области дискретизации кривых линий и поверхностей можно выделить два направления:

1) дискретное моделирование поверхностей в виде сетей;

2) аппроксимация кривых линий и поверхностей линейными элементами.

Значительные исследования в первом из указанных направлений выполнены профессором Михайленко В.Е., доцентом Ковалевым СЛ. и их учениками [4,5,25,30,37,39,45-52,64,66-68,80,96] .

Дискретные точечные каркасы поверхностей в этих работах формируются с использованием метода конечных разностей или интерполирующего многочлена Лагранжа. Среди достоинств таких моделей следует отметить возможность учета наперед заданных требований, дифференциально-геометрического характера и статических свойств моделируемой конструкции.

Второе направление достаточно глубоко изучено в работах профессоров Осипова В.А., Павлова A.B. и их учеников 12,13, 14,27-29,64,73,76,77,92 J . В этих исследованиях приведены как общие принципы линейной аппроксимации и паркетирования поверхностей, так и решения ряда оптимизационных задач линейной аппроксимации.

Основной целью работ как первого, так и второго направления была постановка и решение задач формообразования в архитектуре и технике. Эти работы не были связаны с проблемами прочностных расчетов строительных конструкций, оболочек покрытий. Поэтому указанные авторы не обобщали в своих работах многомерные пространства и в этих исследованиях не учитывались специфические требования, предъявляемые к аппроксимации гиперповерхностей с точки зрения теории предельного равновесия.

В основу решения задач в многомерных пространствах могут быть положены фундаментальные исследования ведущих специалистов в области многомерной начертательной геометрии.

Действительно, функции нескольких независимых переменных могут моделироваться соответствующими геометрическими образами (точка, линия, отсек поверхности, некоторый объем) в многомерном цространстве. Во многих случаях удается отобразить эти геометрические объекты в виде векторной каркасной гиперповерхности построением ряда ее сечений на чертеже.

Наиболее крупные практические успехи в этом направлении принадлежат школе физико-химического анализа акад. Курнакова Н.С., применяющей графические методы для изучения многокомпонентных систем [бб] .

Способ каркасного задания поверхности в голономных кибернетических системах, предложенный д-р. техн. наук проф. Павловым A.B. [76,77] , явился основой многих работ, связанных с многомерной начертательной геометрией каркасных поверхностей

29, по] .

Значительным вкладом в теорию многомерной начертательной геометрии поверхностей являются работы д-ра техн. наук проф. Первиковой В.Н. [78,7э] . В этих работах предложены общие рег-0 шения основных позиционных задач с линейными элементами с пространства без применения следов применительно к исследованию многокомпонентных систем, указано на возможность задания на аксонометрическом чертеже нелинейных образов пространства дискретным каркасом их сечений, встречающихся в соответ-ствуицихся химических диаграммах и др. Первикова В.Н. дает теоретические обобщения основной теоремы центральной аксонометрии ^"пространства [79 ] .

Д-р техн. наук проф. Филиппов П.В. на разработанных игл новых моделях iT* пространства 101-10б] решает в широком диапазоне ряд практических задач, в частности, транспортных и физико-химического анализа. Особое внимание в этих работах уделено применению современной вычислительной техники при решении задач начертательной геометрии многомерных пространств. Так, в работе [юб] используются методы интерактивной машинной графики.

Применению ЭВМ для решения задач многомерной начертательной геометрии посвящены также работы Валькова К. И. [I6 J и Волкова В.-Я. [l9] .

Среди исследований за последние два десятилетия отметим работы Гумена Н.С., в которых на основе графоаналитического отображения многомерных поверхностей предложены рациональные методы решения ряда многопараметрических задач технологии и конструирования [27,28,29, Iio] .

В указанных работах, посвященных многомерной начертательной геометрии поверхностей, рассматриваются только криволинейные поверхности, вопросы их линейной аппроксимации не затрагиваются.

В большинстве работ, связанных с исследованием линейных многопараметрических систем, в частности, физико-химического анализа (Буке [не] , Радщев В.П. [М] , Курнаков Н.С. [5б] , Очеретный В.А. [75] и др.), для изображения диаграмм состояний линейных систем применяются правильные геометрические фигуры: правильные треугольники, прямоугольные трехгранные призмы, пирамиды с квадратным основанием и правильными треугольниками в качестве боковых граней, из четырехмерных фигур - политопы, тлеющие в качестве трехмерных граней те или другие из предыдущих фигур и т.д.

При применении для изображения диаграмм состояний линейных систем политопов их изображают в аксонометрии или перепроектируют на грани или же на плоскости проекций, и переходят к эпюру Скоуте [ 123J . Подобные соответствия между политопом и совокупностью состояний системы возможно провести только в случае линейных зависимостей между переменными.

В случаях с нелинейными зависимостями между п - переменными совокупность состояний системы может быть описана лишь нелинейными поверхностями в многомерном пространстве.

В большинстве работ авторы не связывают линейные многопараметрические системы с гиперповерхностями, за исключением [27] , где указано, что политопы могут быть использованы при линейной аппроксимации в качестве аппроксимирующих элементов. Однако указанная возможность в анализируемых работах нигде не исследовалась, так как практической потребности в этом у авторов не возникало.

В настоящее время можно выделить класс инженерных задач, которые в математической постановке сводятся к исследованию систем линейных и нелинейных уравнений, а также линейных неравенств со многими переменными. К этим задачам относится расчет прочности оболочек из идеально жесткопластического материала, построение диаграмм состояния, отражающих завис шлость ряда переменных величин, отыскание конструкций наименьшей условной стоимости (массы) при заданной несущей способности.

В теории предельного равновесия жесткопластических оболочек условия текучести в общем случае являются функцией шести независимых переменных. Для куполообразных осесимметричных оболочек такая функция включает только четыре независимые переменные. Поэтому в настоящей работе особое внимание уделяется пространствам шести и четырех измерений.

Кроме перечисленных выше работ, в диссертации использованы также отдельные результаты ряда работ в различных областях:

- в области многомерной геометрии 3,6,7,16,19,23,26-29, 36,40,42,55,56,57,62,63,69-71,76,78,79,82-84,91,94,95,97-107,

- в области прикладной геометрии поверхностей [^2,4,5,6,12-15,20,22,37,39,40,42,45-53,58,64,66-69,73,76,77,80,90-92,111,

- в области исследований несущей способности оболочек покрытий [8,17,18,21,31-35,38,41,54,61,65,68,72,81,85-89,93, 109,113,114,122];

- в области методов линейного программирования примени -тельно к использованию современной вычислительной техники [12, 14,24,35,44,48,51,59-61,81,86,88,96,101-103,105,108,113,114, 115,122] .

В настоящей работе поставлена следующая цель: на основе геометрии многомерных пространств создать геометрический аппарат линеаризации замкнутых гиперповерхностей применительно к расчетам несущей способности оболочек покрытий.

На основании изучения теоретических вопросов, связанных с прочностными расчетами оболочек покрытий и учета требований практики в работе поставлены следующие теоретические и прикладные задачи:

1. Разработать теоретические основы конструирования гиперсетей с использованием методов конечных разностей.

2. Предложить способ дискретного моделирования замкнутых гиперповерхностей.

3. Разработать алгоритм формирования линеаризованной дискретной модели условия пластичности.

4. Изучить вопросы параметризации гиперповерхностей второго порядка.

5. Сформулировать принципы дискретизации гиперповерхностей.

6. Разработать способы и алгоритмы аппроксимации гиперповерхностей второго порядка вписанными и описанными полиэдрами.

7. Создать пакет программ для расчета несущей способности оболочек на основе автоматической процедуры оптимальной линеаризации условия пластичности.

8. Осуществить внедрение результатов теоретических исследований при проектировании реальных объектов.

В первой главе рассматриваются вопросы дискретного моделирования гиперповерхностей. Исследованы элементы гиперсетей, их взаимопринадлежность. Изучены условия замкнутости и выпуклости дискретных моделей гиперповерхностей. Исследованы возможности конструирования гиперсетей методом конечных разностей с использованием ЭВМ в автоматическом режиме. Разработан способ конструирования замкнутых гиперсетей на основе координатного преобразования.

Во второй главе изучены аналитические возможности дискретизации гиперповерхности в целях ее линеаризации. Проведена параметризация гиперповерхностей второго порядка на основе исчислительных методов геометрии. Дано обобщение способа отображения четырехмерных геометрических фигур на ортогональном чертеже. Детально изучены возможности аппроксимации гиперповерхности второго порядка вписанными и описанными полиэдрами.

Третья глава посвящена вопросам практического использования теоретических исследований первых двух глав для решения задач, связанных с определением несущей способности оболочек покрытий. В ней приведена геометрическая интерпретация задачи предельного равновесия конструкций. Решена задача линеаризации условия пластичности произвольного вида для жесткопластических оболочек. Поставлена и решена задача выбора оптимального числа граней аппроксимирующего полиэдра с наперед заданной точностью аппроксимации.

Научная новизна. На основе синтеза методов многомерной, аналитической и вычислительной геометрии с использованием современной вычислительной техники получены следующие новые теоретические и практические результаты:

- теоретические основы конструирования гиперсетей, являющихся дискретными моделями выпуклых замкнутых гиперповерхностей;

- алгоритм автоматического решения задачи оптимальной аппроксимации выпуклых, замкнутых гиперповерхностей второго порядка полиэдрами с наперед заданной точностью;

- методика, алгоритмы и пакет программ для расчета несущей способности пологих оболочек с применением линейного программирования.

Практическая ценность работы состоит в комплексе разработанных на базе математического моделирования алгоритмов и пакета программ, ориентированных на применение в задачах оптимального проектирования и позволяющих получать нижние оценки несущей способности пологих оболочек.

Внедрение разработанного комплекса программ по линеаризации условий пластичности в Республиканском проектном институте

• I. .

Узгипросельстрой и в Проектно-экспериментальной мастерской при Самаркандском архитектурно-строительном институте позволило получить заданную точность вычислений несущей способности оболочек при наименьших затратах машинного времени.

На защиту выносится:

- обобщение теории дискретного моделирования поверхностей на случай многомерных пространств;

- координатный способ конструирования гиперсетей по наперед заданным условиям;

- условия выпуклости и замкнутости дискретных моделей гиперповерхностей ;

- параметризация гиперповерхности второго порядка методом исчислительной геоме трии;

- графоаналитические принципы отображения гиперповерхностей второго порядка;

- алгоритмы аппроксимации замкнутых гиперповерхностей второго порядка вписанными и описанными полиэдрами;

- методика, алгоритмы и пакет программ для расчета несущей способности пологих оболочек с применением линейного программирования.

Апробация работы. Основное содержание диссертации опубликовано в четырех работах, доложено и обсуждено на 43-й, 44-й, 45-й научно-технических конференциях Киевского ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительного института (1982, 1983, 1984 гг.), на ХУТ научно-теоретической конференции Самаркандского государственного архитектурно-строительного института и Самаркандского областного правления НТО Стройиндустрии (1983 г.), на УП научно-теоретической конференции Бухарского технологического института пищевой и легкой промышленности (1984 г.).

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения списка использованной литературы наименований и приложения ( страниц). Работа содержит страницы машинописного текста, рисунков, таблицы.

Выводы по третьей главе

1. На основе обобщения теории полиэдров разработана методика линеаризации условий текучести произвольного вида дая пластических оболочек вписанными и описанными полиэдрами. Методика позволяет получать полиэдры с произвольным числом граней.

2. Методика линеаризации использована для построения алгоритма и программы автоматического приближения выпуклых гиперповерхностей вписанными и описанными полиэдрами с любым числом граней.

3. Автоматическая линеаризация условий пластичности жесткопластических оболочек позволила построить эффективную методику и программу расчета нижних оценок несущей способности пологих оболочек, прямоугольных в плане. Методика основана на применении методов линейного программирования.

4. Результаты решения контрольных примеров подтвердили достоверность методики и программы расчета несущей способности оболочек. Получена возможность повышения эффективности программ за счет оптимального выбора числа граней полиэдров -отыскиваются полиэдры с минимальным числом граней, приводящие к оценкам несущей способности с заданной точностью.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Решение задач, вытекающих из постановлений партии и правительства, по созданию новых строительных конструкций, обеспечению современных требований стоимости и трудоемкости проект но-конструкторских работ предполагает разработку эффективных способов расчета несущей способности зданий и сооружений.

На основе методов геометрии многомерных пространств в работе создан геометрический аппарат линеаризации замкнутых гиперповерхностей применительно к оценке нижней границы несущей способности оболочек архитектурных покрытий.

Создание этого аппарата потребовало выполнения научных исследований, в результате которых получены следующие основные результаты:

1. Изучены топологические свойства многомерных дискретных сетей, представляющих собой частные случаи многомерного комплекса. Выявлены численные характеристики взаимной принадлежности клеток различных измерений, являющихся элементами гиперсети. Это позволило получить как формальное, так и наглядное представление о структуре гиперсети.

2. На основе многомерного обобщения метода конструирования упругих двумерных сетей с использованием координатного преобразования пространства предложен способ конструирования замкнутых гиперсетей, включающих наперед заданные 0-мерные клетки. Этот способ использован для дискретного моделирования гиперповерхности пластичности, для конструкций из композитных материалов по экспериментально полученным предельным напряжениям.

3. Разработаны геометрический и машинный алгоритмы линеаризации дискретной модели условия пластичности, что является необходимым и достаточным условием для составления главной матрицы задачи линейного программирования.

4. Исследованы возможности дискретизации гиперповерхности второго порядка для ее последующей линеаризации. В целях наглядного представления задачи линеаризации гиперповерхностей второго порядка проведена их параметризация и изучены приемы их отображения на двумерной плоскости.,

5. На основе предложенной в диссертации методики разработан алгоритм и создан пакет программ автоматической линеаризации гиперповерхностей второго порядка путем построения вписанных и описанных полиэдров с любым числом главных граней. Такая двойная аппроксимация гиперповерхности пластичности полиэдрами позволяет осуществлять двустороннюю оценку несущей способности конструкций методами предельного равновесия. Программа может быть использована и для линеаризации кусочно-криволинейных гиперповерхно с тей.

6. Методика расчета несущей способности оболочек развита и обобщена за счет введения автоматической процедуры оптимальной линеаризации условия пластичности: независимо от формы условия текучести отыскивается минимальное число граней вписанных и описанных полиэдров, что обеспечивает расчет несущей способности с заданной точностью. Решены конкретные примеры, подтверждающие правильность методики и реализующих ее программ. Программы оформлены в виде пакета, ориентированного на применение в задачах расчета несущей способности и оптимального проектирования оболочек-покрытий.

7. Пакет программ для расчета несущей способности оболочек использован при проектировании купольного покрытия актового зала Самаркандского архитектурно-строительного института. В результате проведенных оптимизационных расчетов первоначальный проект удалось улучшить, понизив материалоемкость на 32 % и добиться экономического эффекта 19,4 тыс.рублей.

Разработанная в диссертации методика геометрического моделирования несущей способности конструкций принята к внедрению в Бухарских филиалах Республиканских проектных институтов Узмежколхозстрой и Узгипросельстрой. Реальный экономический эффект составил 50 тыс.рублей в год, и ожидаемый экономический эффект составит 60 тыс.рублей в год.

1. Акивис М.А. Многомерная дифференциальная геометрия. 1977.- 83 с.

2. Александров А.Д. Выпуклые многогранники. М. - Л.: Гостех-издат, 1950. - 428 с.

3. Алексеев Ю.Н. Анализ процессов обработки металлов давлением, прокаткой и резанием в многомерных пространствах.

4. В кн.: Самолетостроение и техника воздушного флота. Вып.13. Харьков, 1968, с. 90-91.

5. Амиров М. Графоаналитический способ конструирования сетчатого каркаса и его применение в строительстве. : Дис. . канд. техн. наук. Киев, 1974. - 184 с.

6. Амиров М., Михайленко В.Е. К вопросу конетруирования сетчатого каркаса. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика, вып. 18. - Киев: Буд1вельник, 1974, с. 10-16.

7. Аносов В.Я. О расчете смесей по методу векториального многоугольника. Изв. АН СССР. М.-Л., Сер. хим., 1938, № 4, с. 855-864.

8. Атанасян Л.С. Основы многомерной геометрии. М.: Изд-во МГПИ им. Ленина, 1963. - 273 с.

9. Ахвледиани Н.В. К расчету железобетонных оболочек вращения по предельному равновесию. Сообщения АН ГССР, т. 18, # 2, 1957, с. 205-210.

10. Ахмедов Ю.Х. Графоаналитическое изображение гиперквадрикв Е пространстве при автоматизированном проектировании.- В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика, вып.36.- Киев: Будтвельник, 1983, с. 79-81.

11. Ахмедов Ю.Х. Параметризация гиперповерхности второго порядка. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика, вып,38. - Киев: Буд1вельник, 1984, с. 68-69.

12. Ахмедов Ю.Х. Моделирование гиперповерхности упругой гиперсетью, имеющей наперед заданные опорные узлы. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика, вып. 37. -Киев: Буд1вельник, 1984, с. 85-86.

13. Бадаев Ю.И. Вопросы подготовки и анализа оптимальности геометрической информации элементов поверхностей для целей воспроизведения в системах с программным управлением. : Дис. . канд. техн. наук. К., 1977. - 192 с.

14. Бадаев Ю.И., Залевский В.И. Аппроксимация плоских кривых ломаной кривой. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика, вып. 21. - Киев: Бупдвельник, 1976, с. 105-108.

15. Бачурин Ю.Д. Аппроксимация элементов линейчатых поверхностей с целью автоматизации подготовки информации для воспроизведения в системах с программным управлением. : Дис. . канд. техн. наук. К., 1975.

16. Бубенников A.B., Громов М.Я. Начертательная геометрия. -М.: Высшая школа, 1969. 416 с.

17. Вальков К.И. Линейные преобразования многомерного пространства как средство геометрического моделирования в науке и технике. : Дис. . канд. техн. наук. -М., 1964.

18. Варвак М.Ш., Дехтярь A.C. Экспериментальное исследование несущей способности пологих оболочек с отверстием. -Прикладн. механика, 1970, вып. 3, т. 6.

19. Власов В.З. Избранные труды, т. I. Изд-во АН СССР, 1962, 528 с.

20. Волков В.Я. Теория параметризации и моделирования геометрических объектов многомерных пространств и ее приложения.: Автореф. дис. . докт. техн. наук. М., 1983. - 28 с.

21. Выгодский М.Я. Дифференциальная геометрия. М. - Л., 1949. - 512 с.

22. Гениев Г.А., Киссюк В.Н., Тюпин Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона. М.: Стройиздат, 1974. - 316 с.

23. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. (Пер. с немец.), 3-е изд. М.: Наука, 1981. - 344 с.

24. Гордевский Д.З., Лейбин A.C. Популярное введение в многомерную геометрию. Харьков, 1964. - 191 с.

25. Грицюк H.A. Использование методов графического отображения пространства для решения общей задачи линейного программирования. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика, вып.7. - Киев: Буд1вельник, 1968, с. I55-I6I.

26. Грищенко В.Г. Аппроксимация результатов измерения поверхности упорядоченной пространственной сетью. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика, вып. 36. - Киев: Буд1вельник, 1983 , с. 49-51.

27. Гулак Н. Опыт геометрии о четырех измерениях. Геометрия синтетическая. Тифлис, 1877. - 123 с.

28. Гумен Н.С. Графоаналитическое исследование многопараметрических систем со взаимно зависимыми параметрами. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика, вып. 12. -Киев: Будхвельник, 1971, с. 97-102.

29. Гумен Н.С. Вычисление объемов п симплексов разбивкой на части. - В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика, вып. 21. - Киев: Будтвельник, 1976, с. 63-68.

30. Гумен Н.С., Павлов A.B. Зависимость меззду элементами аксонометрического проектирования в косоугольной многомерной аксонометрии. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика, вып. 3 , Киев: Бупдвельник, 1965, с. 123-127.

31. Даниловская Н.Д. Конструирование сводов оболочек с равным распором вдоль опорного контура. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика, вып. 36. Киев: Буд1вельник, 1983, с. 72-73.

32. Дехтярь A.C. К несущей способности жесткопластических оболочек. В сб.: Исследования по теории сооружений, т. 24, 1980.

33. Дехтярь A.C. Экспериментальное обоснование подтверждения условий текучести для железобетонных оболочек. В кн.: Труды XI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. - Харьков, 1977.

34. Дехтярь A.C. Опытное обоснование условия текучести для железобетонных оболочек. Изв. вузов. Строительство и архитектура, 1980, № 3, с. 29-32.

35. Дехтярь A.C., Липский А.Г. Об условиях текучести железо. бетонных оболочек. Изв. вузов. Строительство и архитектура, 1983, № 9, с. 38-43.

36. Джапаридзе И.С. Изображение некоторых гиперповерхностей в бинарных плоскостных моделях. Труды Груз, политехи.ин-та, 1970, Ш 5 (140), с. 52-58.

37. Джалолов А.Ф. Подготовка геометрической информации к проектированию опалубки монолитных оболочек. : Дис. . канд. техн. наук. Киев, 1984. -166 с.

38. Дубинский A.M., Шарапов Г.В. Экспериментальное исследование предельного равновесия железобетонных оболочек, очерченных по поверхности гиперболического параболоида. Строительные конструкции. - Киев: Буд1вельник, 1973, вып.22.

39. Евстифеев М.Ф., Ковалев С.Н., Петрова А.Г. Образование спиральных кривых методом деформации плоской системы координат. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика, вып. 25 , Киев: Буд1вельник, 1978, с. 21-23.

40. Емеличев В.А., Ковалев М.М., Кравцов М.К. Многогранники, графы оптимизации. М.: Наука. Главная ред. физ.-мат. литературы, 1981. - 344 с.

41. Ерхов М.И. Теория идеального пластического тела и конструкций. М.: Наука, 1978. - 352 с.

42. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М., 1974. - 544 с.

43. СНйП П-21-75. Бетонные и железобетонные конструкции. Нормы проектирования. -М.: Стройиздат, 1976. 88 с.

44. Карпелевич Ф.И., Садовский Л.Е. Элементы линейной алгебры и линейного программирования. М., 1963. - 274 с.

45. Ковалев С.Н., Петрова А.Т. Вопросы координатного преобразования пространства. В кн.: Реферативная информация о научно-исследовательских работах в Вузах УССР. Прикл. геом.и инж. графика, вып.2, Изд-во Вица школа, Киев, 1978,с.13-14.

46. Ковалев С.Н. и др. Геометрические свойства дискретных сетей. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика, вып. 35. Киев: Буздвельник, 1983, с. 22-25.

47. Ковалев С.Н., Бабичев А.Н. Дискретные геометрические сети приближенного паркетирования поверхностей. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика, вып. 35. - Киев: Бу-Д1вельник, 1983, с. 95-98.

48. Ковалев С.Н. Структура автоматизированного формообразования растянутых систем. В кн.: Прикладная геометрия и. инженерная графика, вып. 30. - Киев: Буд1вельник, 1980, с. 12-17.

49. Ковалев С.Н. Дискретные геометрические модели упругих сетей. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика, вып. 32. - Киев: Буидвельник, 1981, с. 27-31.

50. Ковалев С.Н. Количественные характеристики дискретных сетей. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика, вып. 38, - Киев: Буд1вельник, 1984,» с. 19-22.

51. Ковалев С.Н., Харченко А.И. Алгоритмы формирования сетей равновесия. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика, вып. 34. - Киев: Бупдвельник, 1983 , с. 42-44.

52. Ковалев С.Н. Об одной схеме координатного преобразования пространства. В кн.: Республиканская конференция по прикладной геометрии и инженерной графике (ноябрь, 1976 г.). Тезисы докладов. - Киев: Наукова думка, с. 43-44.

53. Котов И.И. Геометрические основы ключевых способов построения поверхностей. Труды Всесоюзн. заочн. энерг. ин-та, вып. 10, 1957, с. 15-36.

54. Кривелев Л.И. Исследование предельного состояния пологих железобетонных оболочек с плоским контуром. Бетон и железобетон, 1965, & 4.

55. Куликов С.М. Введение в начертательную геометрию многомерных пространств. М., 1970. - 84 с.

56. Курнаков Н.С. Избранные труды, том I. Изд-во АН СССР, 1960. 595 с.

57. Ладочников В.Н. Простейшие способы изображения многокомпонентных систем. Изв. СФХА, № 3, вып. I, 1926; И 2, вып. 2, 1924.

58. Люстерник Л.А. Выпуклые фигуры и многогранники. М.: Госиздат техн. - теор. литературы, 1956. - 212 с.

59. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на ФОРТРАНе. М.: Мир, 1977. - 584 с.

60. Мазный Г.А. Программирование на БЭСМ-6 в системе ДУБНА. -М.: Наука, 1978. 272 с.

61. Малков В,П., Угодчиков А.Г. Оптимизация упругих систем. -М.: Наука, Главн. ред. физ. мат. литературы, 1981. - 288 с.

62. Маренко Е.К. О симплициальном разбиении симплотопов в составе П- мерного комплекса. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика, вып. II. - Киев: Будхвельник, 1970,с. 170-175.

63. Мартыненко В.А. Некоторые особенности конструирования базиса чертежей п мерного пространства. - В кн.: Кинематические методы конструщювания технических поверхностей, вып. 213. -М., 1970, с. 100-107.

64. Мезенцев Л.Г., Осипов В.А., Хасанов В.Х., Ядгаров Дж.Я. Аффинное преобразование шести сети в задаче паркетирова-ния поверхности. - В кн.: Прикладная геометрия и инженернаяграфика, вып. 35. Киев: Буд1вельник, 1983, с. II9-122.

65. Мирзабекян Б.Ю. К определению нижней границы несущей способности оболочек. Строительная механика и расчет сооружений, 1968, № 3.

66. Михайленко В.Е., Ковалев С.Н. Конструирование современных архитектурных сооружений. Киев: Буд!вельник, 1978. -112 с.

67. Михайленко В.Е., Обухова B.C., Подборный А.Л. Формообразование оболочек в архитектуре. Киев: Буд1вельник, 1972. - 205 с.

68. Михайленко В.Е. Зависимость геометрических размеров современных архитектурных форм от материала. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика, вып. 22. - Киев: Буд1вель-ник, 1976, с. 6-И.

69. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: Изд-во Московск. ун-та, 1980. -439 с.

70. Мордухай-Болтовский Д.Д. Начертательная геометрия трехмерного и четырехмерного пространства как метод геометрических построений в ограниченной области. Журн. физ.-мат. об-ва цри Пермс. гос. ун-те, 1927, с. 63-71.

71. Найдыш В.М. Построение наглядных изображений многомерных объектов на плоскости П в базисе плоскости. Научн. труды Мелитопольск. ин-та механизации сельск. хоз-ва, 1967, т. 5, вып. I, с. 60-66.

72. Олыпак В., Савчук А. Неупругие поведение оболочек. М.: Мир, 1966. - 144 с.

73. Осипов В.А. Числовая модель поверхности и ее R сеть -В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика, вып.33,

74. Киев: Буд1вельник, 1982, с. 6-8.

75. Основные направления экономического и социального развития СССР на I981-1985 годы и на период до 1990 года. -Правда, 5 марта 1980 г.

76. Очеретный В.А. О плоских и многомерных сечениях фигур в применении к исследованию многокомпонентных систем. : Автореф. дис. . канд. техн. наук. Краснодар, 1963.

77. Павлов A.B. Зависимость между элементами аксонометрического проектирования в аксонометрии косоугольных осей. Изв. Киевского ордена Ленина политехнич. ин-та, т. XI, 1952,с. 254-260.

78. Первикова В.Н. Комплексный чертеж П мерного евклидова пространства на А - мерной плоскости. - Труды Московок, научн. методич. семинара по начертательной геометрии и инженерной графике, 1963, вып. 2, с. 172-179.

79. Первикова В.Н. Обобщение основной теоремы центральной аксонометрии на пространство П измерений. В кн.: Методы начерт. геометр, и ее приложения. - М., 1955, с.141-155.

80. Петрова А.Т. Геометрические основы конструирования трансцендентных поверхностей. : Дис. . канд. техн. наук, К., 1977. 188 с.

81. Печенов А.Н., Дехтярь A.C., Ковальский А.П. Архитектурные конструкции гражданских зданий. Киев: Будхвельник, 1983. - 72 с.

82. Пухальский К.У. Исследование равнорасположенных связок применительно к геометрическому моделированию процесса сельскохозяйственного производства. : Дис. . канд. техн. наук, Барнаул, 1967.

83. Прянишникова З.И. Обобщение проекций Е.С.Федорова. В кн.: Методы начертательн. геометрии и ее приложения. - М., 1955. . с. 155-176.

84. Радищев В.Н. О применении геометрии четырех измерений к построению равновесных физико-химических диаграмм. Изв. сектора физ.-хим. анализа, 1947, т. 15, № 5, с. 5-35.

85. Рассказов А.О., Дехтярь A.C. Предельное равновесие оболочек. Киев Вица школа, 1978. - 152 с.

86. Рейтман М.И., Ярин Л.И. Оптимизация параметров железобетонных конструкций на ЭЦВМ. М.: Стройиздат, 1974. - 96 с.

87. Ржаницын А.Р. Расчет оболочек методом предельного равновесия. В сб.: Исследования по вопросам теории пластичности и прочности строительных конструкций. - М.: Госстрой-издат, 1958.

88. Ржаницын А.Р. Расчет оболочек методом предельного равновесия при помощи линейного программирования. Труды У1 Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. - М.: Наука, 1967.

89. Ржаницын А.Р. Предельное равновесие пластинок и оболочек. М.: Наука, 1983. - 288 с.

90. Рыжов H.H. Параметризация поверхностей. Труды УДН игл. П.Лумумбы, т. ХХУ1, Математика, вып. 3. Прикл. геом. -М., 1967, с. 18-22.

91. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. - 647 с.

92. Сластин Ю.В. Линейная аппроксимация пространственных кривых, заданных графически. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика, вып. 31. - Киев: Буд1вельник, 1981,с. 53-54.

93. Северов Л.Ф. Предельное равновесие пологих железобетонных оболочек положительной гауссовой кривизны с прямоугольным планом. Сб. трудов ЛИИЖТ, вып. 239, 1965.

94. Солодовникова Э.В. Моделирование многомерного пространства методом проекции с числовыми отметками и некоторые ее приложения. : Дис. . канд. техн. наук. Л.: 1974. - 167 с.

95. Стрингхем В.И. Правильные фигуры в п пространстве. (Перев. М.К.Фаге). Успехи математических наук, вып. 10, 1944, с. 22-33.

96. Тукаев С.К. Автоматизированная аппроксимация плоской кривой линии, ломаной со звеньями заданной длины. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика, вып. 30. -Киев: Буд1вельник, 1980, с. 47-50.

97. Федоров Е.С. Графические операции с четырьмя независимыми переменными. Изв. Российск. Акад. Наук. Сер. 4, 1918,7, с. 615-624.

98. Федоров Е.С. Линейные совокупности векторов в пространстве. Зап. Горн, ин-т, 1914, т. 5, вып.1, с. 30-33.

99. Федоров Е.С. Простое и точное изображение точек пространства четырех измерений на плоскости посредством векторов. Зап. Горн. Ин-т, 1909, т. 2, вып.З, с. 213-240.

100. Федоров Е.С. Точное изображение точек пространства на плоскости. Зап. Горн, ин-та, 1980, т.1, вып.1, с.52-79.

101. Филиппов П.В. Графоаналитический метод решения основной задачи линейного программирования. Докл. ХЖ Научн.конференц. Ленингр. инж.-строит, ин-та, 1965, с. 15-19.

102. Филиппов П.В. Начертательная геометрия многомерного пространства и ее приложения. Л.: Изд-во Ленинградок.ун-та, 1979. - 280 с.

103. Филиппов П.В. 0 применении многомерной начертательной геометрии в линейном программировании. В кн.: Материалы конференц. работников кафедр начертательной геометрии и графики вузов Закавказья. - Тбилиси, 1965, с. 137-142.

104. Филиппов П.В. Об изображении образов многомерных пространств ортогональными проекциями. Зап. Ленингр. горн, ин-та, 1961, т. 39, вып. 3, с. 95-107.

105. Филиппов П.В. Графоаналитическое описание гиперэпюра на векторной модели. В кн.: Прикладная геометрияи инженерная графика, вып.19. Киев: Буд1вельник, 1975, с. 3-6.

106. Франк М.Л. Начертательная геометрия четырехмерного пространства по идее Е.С.Федорова. Учен. зап. Ленингр. ун-та. Серия мат. наук, 1938, Jé 37, с. 90-107.

107. Фролов С.А. Кибернетика и машинная графика. М.: Машиностроение, 1974. - 222 с.

108. Ходж Ф. Дж. Сравнение условий текучести пластических оболочек. В сб.: Проблемы механики сплошных сред, 1961.1. АН СССР.

109. НО. Чередниченко Л.С., Гумен Н.С., Гумен B.C. Геометрическое моделирование некоторых многопараметрических систем химической технологии. Киев: Вища школа, 1977. - 108 с.

110. Четверухин Н.Ф. 0 параметризации кривых линий и поверхностей. В кн.: Математика в школе, № 5, 1964.

111. Четверухин Н.Ф. Формы высших ступеней в многомерном расширенном евклидовом пространстве. В кн.: Прикладная геометрия и инженерная графика, вып. 12. - Киев: Буд!-вельник, 1971, с. 3-5.

112. Чирас A.A. Методы линейного программирования при расчете упруго-пластических систем. Л.: Стройиздат, 1969. -198 с.

113. Чирас A.A. и др. Математические модели анализа оптимизации упруго-пластических систем. Вильнюс: Москлас, 1982. -112 с.

114. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ: Практическое руководство. (Пер. с англ.). -М.: Мир, 1982. - 238 с.

115. Яглом И.М., Болтянский В.Г. Выпуклые фигуры. М.: Наука, 1951. - 343 с.

116. Энциклопедия элементарной математики, т.У, -М.: Наука, 1966. 624 с.

117. Воеке Н.Е. Eine Anwendung mehrdimensLona.Ee

118. Geometrie auf chemisch.- тгп.егавод Lsche Fragen. -In: Neues Jahrbuch, für Mineralogische.

119. Bd 2. 1916, S. -109- 148. 119. Bürau W. M ehrdimenslonaße proektive andhöhere Geometrie.- Berlin, </961. 436 S.

120. Eckhart L. Der vierdimensionaße Raum.— L eipzLcj , 1929. 54 S.

121. Schoute P. H. M ehrdimensionaie Geometrie. T. 1. Leipzig, S902. - 295 S.

122. SommervitEe JJ. 9 The refations connec-ti-ng the ang£e Space of n dimensiones. — Proc. Roy. Soc. London , Ser. A . 1927, 115 .

123. Grossmon HDie Lineare Ausdehnung-siehre ein neuer -zweig der Motematik- Leipz ig , 4984-. -279 S.

124. Jouffret E. Treite ei-ementeire de S-eometrte a guatre dimensiones. —Porisj/905. — 212 p.

125. Heronese Q. G rundziegp der Geometrie Von mehreren Arten cfrodilniger Einhettentorer Form. entWicklet. — Leipzig 9 1684. -707 S.

126. Stringham W.U. Regulär fege/res in n-c/imen-%iona€ Space. — 4mer. J. Math. /8QO. vo€. <5 , p.1-14.