автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Асинхронное параллельное кинетическое моделирование взаимодействия мощного излучения с веществом

На правах рукописи

Ёлкина Нина Владимировна

Асинхронное параллельное кинетическое моделирование взаимодействия мощного излучения с веществом

Специальность 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (в отраслях физико-математических наук)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

I

Работа выполнена в Институте Прикладной Математики им. М.В. Келдыша РАН (ИПМ им. М.В. Келдыша РАН)

кандидат физико-математических наук, В.Д. Левченко

доктор физико-математических наук, профессор В.А. Гасилов доктор физико-математических наук, профессор В.А. Грибков Физический Институт им. Лебедева РАН

Защита диссертации состоится «1%» декабря 2003 г. в -? 4 часов на заседании диссертационного совета Д 002.024.02 в ИПМ им. М.В. Келдыша РАН

по адресу: г. Москва, 125047, Миусская площадь, д.4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ им. М.В. Келдыша РАН.

Автореферат разослан « » ноября 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

У"/-

Г.В. Устюгова

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

¿роз-/!

щая характеристика работы

Актуальность темы Бурное развитие лазерной техники в последние 10-15 лет, связанное с появлением нового способа получения сверхмощных импульсов —• Chirped Pulse Amplification (CPA), повлекло за собой появление новой области науки и стало источником развития новейших технологий, связанных с сильно релятивистской плазмой. Диапазон приложений простирается от создания плазмы с астрофизическими параметрами до постановки экспериментов до медицинских приложений и создания новых лекарств. В аспекте новых технологий, основные надежды возлагаются на создание компактных ("настольных", "table-top") ускорителей, источников жесткого рентгеновского излучения и реализацию лазерного термоядерного синтеза.

При интенсивностях I > 1018Wcm-2, когда напряженность электрического поля в лазерной волне на порядки превосходит внутриатомное значение, любое вещество переходит в плазменное состояние за несколько лазерных периодов, посредством оптической ионизации. Релятивистские эффекты взаимодействия электрона с таким импульсом становятся доминирующими. В настоящее время значительное число научно-исследовательских лабораторий во всем мире продолжает интенсивное изучение сильно релятивистских режимов взаимодействия излучения с веществом. Исследования большого круга явлений, связанных с релятивистской лазерной плазмой позволяет достичь более полного понимания физики лазерно-плазменного взаимодействия и поэтому представляет несомненный общефизический интерес. Кроме того, изучение процессов ускорения электронов и ионов, а также различных нелинейных процессов генерации высоких гармоник оптического излучения (генерация рентгеновского излучения) представляется важным в прикладном аспекте: генерация гармоник высокого порядка рассматривается как перспективный метод получения ультракоротких импульсов когерентного коротковолнового излучения. Создание источников такого излучения достаточной мощности обеспечит существенный прогресс в медицине, биологии и наноэлектронике.

Процессы взаимодействия таких импульсов с веществом име-

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА Cnetepfiyprw у. 09 ?0

ют существенно коллективный характер, что влечет за собой необходимость кинетического описания протекающих процессов. При этом получение аналитических результатов во многих случаях возможно только в упрощенном одномерном случае. В тоже время в задачах лазер-плазменного взаимодействия. Так как времена протекания процессов взаимодействия малы по сравнению с временами столкновений, то следует использовать самосогласованную систему уравнений Власова-Максвелла. Нелинейность про- ' цессов лазер-плазменного взаимодействия делает необходимым учет геометрического фактора. Все отмеченные особенности, а также огромное прикладное значение рассматриваемых процессов, делают необходимым использование полномасштабного кинетического моделирования для изучения взаимодействия мощного излучения с плазмой. В то же время известно, что кинетическое моделирование является одной из наиболее ресурсоемких задач даже для современных многопроцессорных суперкомпьютеров.

Исследования, результаты которых представлены в диссертации, шли по трем основным направлениям. Во-первых, это создание метод распараллеливания, который бы дал возможность обойти проблему простоя основного количества процессоров в ожидании завершения работы самого медленного, т. е. проблемы "bottle neck". Во-вторых, реализация эффективного кода макрочастиц для кинетического моделирования взаимодействия мощного излучения с плазмой и создание набора диагностик для исследования сопутствующих процессов. В-третьих, проведение численных экспериментов для изучения процессов взаимодействия лазерных импульсов с в широком диапазоне сверхкритических плотностей .

плазмы.

Несмотря на то, что теоретическое описание поглощения лазерного импульса в сильно релятивистском режиме затруднено из-за существенной нелинейности происходящих процессов, было практически одновременно предложено несколько механизмов коллективного поглощения в сверхкритической плазме. Исторически первым была предложен механизм резонансного поглощения, сущность которого состоит в возбуждении плазменных колебаний вблизи критической плотности в случае достаточно протяженно-

го градиента плотности. Этот вид поглощения сильно зависит от поляризации и угла падения лазерного импульса. Нагрев большей части быстрых электронов сверхкритической плазмы происходит при взаимодействии лазерного импульса с поверхностным слоем мишени. Если импульс очень короткий и сверхинтенсивный, то основным механизмом нагрева является вакуумный нагрев предложенный в работах. Сущность этого механизма состоит в том, что электроны скинового слоя совершают только часть своей восьмерко-образной траектории в вакууме и приобретают энергию, достаточную чтобы проникнуть в плазму и уйти от действия электромагнитной волны (скиновый эффект).

Другим важным способом нагрева является стохастический нагрев в приповерхностной области, где из-за наложения падающей и отраженной лазерной волны образуется стоячая волна. В этой волне электроны движутся хаотически, что приводит к повышению электронной температуры.

Цели диссертации

1. Построение иерархии асинхронных методов распараллеливания локальной пространственно-временной декомпозиции для задач физики плазмы.

2. Разработка набора эффективных ускоренных алгоритмов метода макрочастиц (particles-in-cell, PIC), обладающих высокой степенью локализации, для реализации модели асинхронных вычислений

3. Создание на основе разработанных алгоритмов объектно-ориентированного параллельного кинетического Р1С-кода SUR/MP, учитывающего иерархическую структуру памяти современных компьютеров.

4. Проведение численных экспериментов по моделированию взаимодействия мощного лазерного импульса с докритической и сверхкритической плазмой.

Научная новизна

Впервые реализован метод для распараллеливания задач физики плазмы посредством организации асинхронных вычислений в рамках кода SUR/MP. Для задач практической сложности (само-каналирование последовательности лазерных импульсов в докри-тической плазме) было получено теоретически возможное ускорение при увеличении числа процессоров. Сформулирован общий подход к проблеме распараллеливания, посредством организации асинхронных вычислений на основе абстракции пространственно-распределенного клеточного автомата.

Полученные с помощью кода SUR/MP результаты позволили изучить процессы ускорения электронов внутри мишени, установить каскадный характер развития филаментационной неустойчивости в плотной лазерной плазме.

Впервые были исследованы особенности поведения ионов при филаментационной неустойчивости и обнаружено образование ионных каналов в плазме.

С помощью вейвлет-преобразования изучена филаментацион-ная неустойчивость пучка быстрых электронов в сверхкритической плазме и предложен сценарий ее развития, основанный на дроблении масштабов филаментов.

Практическая ценность

Основная ценность данной работы заключается в создании универсального подхода к конструированию асинхронных алгоритмов распараллеливания на основе понятия пространственно-распределенного клеточного автомата. Этот метод позволяет существенно облегчить ключевую проблему параллельного моделирования — неравномерность загрузки отдельных процессоров "bottle neck" без использования специальных алгоритмов динамической загрузки. На основе этого подхода был создан метод локальной пространственно-временной декомпозиции для моделирования задач физики плазмы. Созданный на основе этого метода код SUR/MP, использующий оптимизированные для асинхронного расчета метод макрочастиц, является мощным инструментом для исследования нелинейных релятивистских процессов, характерных для актуальных параметров лазер-плазменного взаимодей-

ствия. Использование этого кода представляет несомненную ценность при проектировании лазер-плазменных ускорителей и исследования процессов при взаимодействии мощного импульса со сверхкритической плазмой. Исследование процессов генерации и транспорта пучка быстрых электронов сквозь мишень необходимо для развития новых концепций лазерного термоядерного синтеза с концепции быстрого поджига.

Апробация работы

Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на Международных и Всероссийских научных конференциях: "Звенигородская конференция по физике плазмы и УТС" (Звенигород, 2000, 2001, 2003), "ULIA Euroconference", (Пиза, Италия, 2000), "Всероссийская конференция по высокопроизводительным вычислениям и их приложениям" (Черноголовка, 2000), "30th EPS Conference of Controlled Fusion and Plasma Physics" (Санкт-Петербург, 2003), "Плазменная электроника и новые методы ускорения", (Харьков, Украина, 2003)

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 98 страниц. Диссертация содержит 45 графиков. Список литературы включает 81 наименований.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность выбора темы исследования и сформулированы цели диссертации. Дан краткий обзор прогресса в лазерной технике и накопленных к настоящему времени материала экспериментального и теоретического исследования процессов взаимодействия мощного излучения с веществом. Обосновывается необходимость кинетического описания и параллельного численного моделирования процессов лазер-плазменного взаимодействия.

В первой главе излагается метод локальной пространственно-временной декомпозиции для распараллеливания задач физики плазмы посредством организации асинхронных вычислений. В основе метода LSTD лежит конечность скорости распространения возмущений. Скорость распостранения возмущений является параметром задачи. Для задач физики плазмы, где решаются уравнения Максвелла для электромагнитного излучения это скорость света. В случае сверхзвуковой гидродинамики это скорость звука. Из конечности скорости распространения возмущений следует, что состояние ячейки при переходе на следующий временной шаг зависит только от ближайщей окрестности данной ячейки. Таким образом мы подошли к следующему понятию метода LSTD — области зависимости. Область зависимости определяется ближайшей окрестностью ячейки, из которой за временной шаг могут дойти возмущения.

Метод сформулирован в терминах пространственно-распределенного клеточного автомата (cellular automata, СА), что позволило выявить основные свойства метода и потенциальные приложения к широкому кругу задач вычислительной физики.

На основе нескольких модельных клеточных автоматов показаны преимущества данного метода для распараллеливания приложений с неравномерной загрузкой отдельных процессов, без использования специальных алгоритмов динамической балансировки загрузки. Простота предлагаемого клеточного автомата позволяет изучить метод распараллеливания не отвлекаясь на сложности реализации алгоритмов моделирования физического явления. Другими словами мы будем рассматривать распараллеливание СА с простыми правилами эволюции, при этом имея в виду, что все утверждения можно применить и к более сложным в физическом и алгоритмическом смысле системам. Реализация алгоритмов для задач физики плазмы представляет самостоятельный интерес и рассматриваются в следующей главе диссертации.

Обсуждаются особенности реализации параллельных вычислений с помощью библиотеки MPI (Message Pasage Interface). Распространенность и доступность библиотеки распараллеливания стандарта MPI (Message Pasage Interface) сделало эту технологию

очень популярной. Для асинхронного распараллеливания клеточного автомата необходимо использовать так называемые неблокирующие функции MPI_Isend()/MPI_Irecv(). Эти функции реализуют прием/передачу данных, не требуя потверждения о получении информации соседним процессором. Идентификатор типа MPI_Request* содержит информацию о выполении неблокирующих операций. Проверка выпонения этих операций в прикладной программе может осуществляться только с помощью вызова специальных функции MPI, в нашем случае использована функция MPI_Test(). Таким образом, на каждом временном шаге эволюции клеточного автомата с помощью этой функции проверяется произошла ли передача информации о граничных ячейках соседнего процессора или нет. Если передача произошла, то обрабатываются ячейки, область зависимости которых включает в себя ячейки из соседних процессоров.

В силу сложности отмеченных приложений, с которыми имеет дело автор, возникает необходимость использования технологии объектно-ориентированного программирования (ООП), представленной в работе. Использование этой технологии дает грандиозные преимущества в разработке сложных систем по сравнению с классическими методами структурного программирования. Поэтому в данной работе затронут вопрос объектно-реализации модельного клеточного автомата.

Во второй главе представлены численные методы кинетического моделирования методом макрочастиц. Метод макрочастиц применяется к моделированию процессов, описываемых в рамках бесстолкновительного приближения самосогласованной системы уравнений Власова-Максвелла:

^ + = 0 (1)

1 дВ с дt

„ я 1дЕ _ - 4тг-

-V х Е, -— = V х В--j

с ot с

V • Ê = 4тф, V • В = 0.

Здесь fi и /е — функции распределения ионной и электронной компонент плазмы, зависящие от шести координат фазового пространства (г,р) и времени t, V = p/m^/l +p2/(mc)2— скорость частиц. Самосогласованные электромагнитные поля Е(г, i) 5(f, £) зависят от р и j — плотности заряда и тока, выражающихся через моменты функции распределения:

p{r, t) = ^еа fadp, j{r,t) = ]Геа / Vfadp (3)

а а

При использовании для моделирования системы метода макрочастиц, бесстолкновительная плазма заменяется плазмой макрочастиц гораздо меньшей плотности, таким образом непрерывная функция распределения электронов и ионов Де в уравнении Власова (1) заменяется дискретной:

f(r,p,t) = J2A(f,fa(t))6(p-pa(t)) (4)

а

здесь а — номер макрочастицы, a A(f,fa(t)) — функция влияния, определяющая способ взвешивания макрочастиц на сетке. Для нахождения фазовых траекторий макрочастиц необходимо решить уравнения Ньютона-Лоренца, учитывающие релятивистские эффекты.

На основе метода сдвинутых сеток была создана численная схема для решения уравнений Максвелла, наиболее подходящая для распараллеливания: передача между процессорами организована в виде особого типа граничных условий и размер сообщения сведен к минимуму, передаются только две компоненты электрического поля. Разработаны методы, позволяющие переносить часть вычислений с ячейки на сетку, что существенно увеличивает быстродействие кода. Также эти алгоритмы учитывают требование локализации данных и вычислений в ячейках расчетной сетки. Наибольшее внимание уделено разработке метода расчета токов и плотностей зарядов. Для расчета токов и плотностей зарядов использован новый вид гладкого формфактора макрочастицы с минимальным носителем: (lxlxl): Fi(xa) = cosттха. Этому формфактору соответствует функция влияния: Ai(xa) =

| 1-2 | f-i j t 1 H-l 1 ! 1 1 •+» I 1 1

ЕиЬ: 1Е., Д. | Я, | Ц. Л, t Щ. I Д..Я■ IЕ._

Ecsfc

Start:

г &U Яг

IcrIC. Jcnle:

Д..Я

Eh,ET 4 44 № з' li » 44 4

E. E* Е1,Е» Е. Е.

-b.J. J. •4Л Л ¿..Л Л. 4 J,

ayncfar, | gvntfafT | »удсЬг, | яудсЬт, |

I fi.cfjBC I fiUjBC I fi.VjBC [ pj.UjBC"] PtJump: [ | B:,BU \ 3, | Д,,В, [ Bt [ [ Вт | B„В, \ В, | Д,,Щ~]

РИМ»; T 7 T f ' ? ' ? ' ? I_,

PtPush: | 0,p, г | gr.ftr | DV.p,? I Р>,йг I Cr,p,r | Ь>,дг | PIPush: [ synchf. ) svnchr. | еудсЬг, | syncbr. | srnchr. [ svnehr. ~| ¡¿.¡¿».В, 1 &.B, ¡Bf| Д..Д, {¿¡¿„В, |Я,1В„В,, [¿^¿„Я, |вГ|

B®Je

4,4

4

O-Uj

4

O-Uj * Eb

i*

0-rtfj

4,4

0-»DV Q-s-Pj

4,41414,4

i '-i-L

I i+i

¿+2 ) i+3 | i+A

Рис. 1: Стена Фокса (1/2) [1 + cos 7пга] с размером 2x2x2. Это позволяет существенно уменьшить область зависимости ячейки, что привело к снижению операций на временном шаге метода макрочастиц, при сохранении гладкости интерполированных значений токов и плотностей зарядов. Один временной шаг метода макрочастиц включает в себя выполнение следующих алгоритмов:

• {J —> (Е,В)} — решение уравнений Максвелла (2),

• {(Е,В) —> (UE,UB)} — вычисление взвешенных на сетке полей (UE,UB) и расчет сил, действующих на частицу,

• {(UE, UВ) —> (р, г)} — решение уравнений движения частиц и вычисление вкладов в ток от отдельных частиц,

• {UJ —> J} -- интерполяция вкладов в ток UJ от движения отдельных частиц и вычисление сеточных токов J.

На основе метода распараллеливания, представленного в предыдущей главе, и разработанных алгоритмов метода макрочастиц создан кинетический код SUR/MP. Код был реализован в рамках объектно-ориентированной технологии программирования, наиболее эффективной для разработки крупных проектов. В качестве основного языка программирования использовался С + +.

Для обработки полученных данных использовался скриптовый язык python. Показана возможность повышения эффективности вычислений (реализованная в коде SUR/MP) при использовании иерархической системы памяти современных суперкомпьютеров. Расспараллеливание производилось с использованием функций библиотеки MPI. Для визуализации результатов расчета применялся программные пакеты GNU plot и ImageMagick. Для полнасштаб-ного тестирования кода были проведены исследования взаимодействия последовательности лазерных импульсов с докритической плазмой. Изучались процессы самоканалирования импульса с образованием плазменного канала и генерацией кильватерного ускоряющего электрического поля. Наблюдалось теоретически предсказанное явление релятивистской самофокусировки импульса в подкритической плазме. Проведено сравнение с экспериментальными данными и данными кинетического моделирования с помощью других кодов. Для обсуждаемой задачи самоканалирования импульсов проведены измерения масштабируемости (ускорения в зависимости от количества процессоров) кода на многопроцессорной системе МВС1000М, которые показали ускорение вычислений близкое к теоретически возможному (~ 100% на 100 процессорах Alpha). Основное преимущество полученного кода состоит в том, что при помощи него можно адекватно моделировать лазерную плазму в широком диапазоне плотностей Ne = 1 — 100ncr, причем время расчетов для временного промежутка Т = 400 -г 1000/s не превышало 24 часов. Типичные характеристики расчетов были расположены в следующих диапазонах: 106 4-108 узлов сетки, 108 - Ю10 макрочастиц.

В третьей главе представлены результаты исследования взаимодействия мощного излучения с плазмой. С помощью релятивистского кода SUR/MP проведено несколько серий численных экспериментов, предназначенных для изучения особенностей формирования пучка быстрых электронов. В качестве вещества мишени был использован полиэтилен СН% как наиболее часто используемый материал в экспериментах. Численные эксперименты проводились в диапазоне плотностей Ne — 1 ЮОпс,..

При рассматриваемых интенсивностях I > 1018 W/cm2 основ-

Рис. 2: Распределение электронов е по импульсам вдоль оси 2, twо = 150, Ne = 8псг, s-поляризация

ную роль в поглощении лазерной энергии и конверсии в кинетическую энергии быстрых электронов играют коллективные, нелинейные процессы, в первую очередь это опрокидывание возбуждаемых в плазме ленгмюровских волн большой амплитуды, которые возникают под действием пондеромоторной силы лазерного импульса в приповерхностном слое плазменной мишени.

На рис.2 приведены функции распределения электронов по импульсу Pz вдоль оси z. На этом рисунке видно образование пучка быстрых электронов, ускоренных с границы плазменной мишени.

На величину тока, переносимого пучком заряженных частиц через вакуум существует естественное ограничение, именуемое аль-феновским пределом 1а- Ее значение составляет /д = (iymc?/е, где Р = щ/с, 7 = (1 — /З2)-1/2 — релятивистские факторы, а щ — скорость частиц, составляющих пучок. Когда ток в пучке равен значению 1л, энергия магнитного поля, окружающего пучок, равна кинетической энергии, переносимой пучком.

Рис. 3: Поперечная составляющая импульса ионов йоо = 190, Ые = 8псг, я-поляризация. Ионы выталкиваются в поперечном направлении из филаментов.

Однако, в плазме при распространении пучка этот предел существенно снижен, что связано с нейтрализацией заряда и тока электронного пучка при распространении сквозь плазму. В плазме возникает обратный ток, в большой степени компенсирующий ток пучка. В тоже время система "пучок-обратный плазменный ток" подвержена развитию филаментационной неустойчивости (неустойчивость Вейбеля), которая проявляется в разбиении пучка быстрых электронов на узкие филаменты.

Развитие филаментационной неустойчивости приводит к усилению мелкомасштабного магнитного поля сгенерированного пучковыми филаментами. Магнитное поле филамента может усиливаться до тех пор, пока величина ларморовского радиуса электрона, движущегося в локальном магнитном поле, не станет равной поперечному размеру филамента. В случае сильно релятивистского пучка, когда 7 1, энергия магнитного поля сравнима с кинетической энергией электронов пучкового филамента. В численных экспериментах было найдено, что при плотности ]\Ге < 10псг I = Ю19^ • ст-1 величина магнитного поля, связанного пучковыми с филаментами достигала нескольких десятков мегагауссов.

С помощью вейвлет-прсобразования исследовался переход энергии магнитного поля из крупномасштабной в мелкомасштабную составляющую. Вейвлет-преобразование Ь) некоторого сигнала /(х) можно записать в виде:

■ф — анализирующий вейвлет. Для исследования дробления энергетических масштабов филаментационной неустойчивости был использован вейвлет Морле. Его аналитическая запись и фурье-образ выглядят следующим образом:

ехр (гко£) — ехр

<ф(р) — атт ( ехр ( — —

а2(к0 + Ш)2^

W(i

-0.25

0

0.25

-30 -20 -10 0 10 20

Рис. 4: Распределения коэффициентов вейвлет-преобразования W(a,b) профиля продольного импульса Pz в сечении z = 8c/ljq. tujQ — 120, s-поляризация, Ne = 6nCT.

Вейвлет Морле представляет собой плоскую волну, промодули-рованную гауссианом. Параметр а задает ширину гауссиана, ко волновое число волны. При а2 = 2 и fco = формулы (6) с достаточной точностью можно записать в виде:

В работе анализируются профили филаментационного магнитного поля для выяснения пространственных масштабов филамента-ционной неустойчивости.

Полная энергия распределена по масштабам в соответствии с глобальным спектром энергии коэффициентов вейвлет-преобразования:

Глобальный спектр энергии носит также название скаллограммы

(8)

Рис. 5: Скаллограмма энергии магнитного поля, tu>o — 200, s-Ne = б ncr.

(рис.5) (scalogram) или дисперсии вейвлет преобразования (wavelet variance).

Также проанализировано влияние динамики ионов на развитие неустойчивости. При прохождении пучка ускоренных лазерным импульсом электронов сквозь мишень в плазме образуется избыточный положительный заряд. Механизм его образования состоит в следующем: электроны ускоренные лазерным импульсом с поверхности, а также быстрые электроны, сгенерированные в приповерхностной области мишени, образуют ток, проникающий в плазму. Ток в плазме компенсируется током плазменных частиц. Однако, из-за пространственной неоднородности, в плазме генерируется магнитное поле, связанное с пучком ускоренных электронов. Это поле начинает разделять заряды, что приводит к развитию филаментации. Плазменный ток состоит из большего, по сравнению с прямым пучком количества более медленных плазменных электронов, которые вытесняются из области, где проходит прямой пучок. При развитии филаментации из пучковых филаментов медленные плазменные электроны вытесняются быстрее. Таким образом области прохождения филаментированного соответствует область пониженной электронной плотности с минимумами в местах, где расположены филаменты. При этом на-

блюдается образование избыточного положительного заряда, что приводит к активному вовлечению ионов в участия в дальнейших процессах, наблюдаемых в плазме, рис.3. Под действием электростатической силы избыточного положительного заряда ионы начинают вытесняться из области, где проходил электронный пучок. Вытеснение в основном происходит в поперечном направлении из всей области, занимаемой филаментированным потоком. При этом из мест, где непосредственно расположены филаменты вытеснение ионов происходит интенсивнее.

Как показывают результаты численных экспериментов, сильные магнитные поля остаются в плазме после того, как интенсивность падающего излучения ослабевает и даже после прохождения лазерного импульса. Энергия, заключенная в квазистатическом магнитном поле имеет значительную величину, сравнимую с кинетической энергией пучка ускоренных электронов. Отсюда можно предположить, что после прохождения лазерного импульса в плазме реализуется некоторый механизм, который поддерживает магнитное поле и постепенно приводит к уменьшению его энергии путем преобразования в кинетическую энергию плазменных частиц. Предполагается, что значительный вклад в процессы конверсии энергии магнитного поля в кинетическую энергию связан с поведением ионов.

Как показывают результаты моделирования на поздних стадиях взаимодействия, ионов, летящих в положительном направлении оси 2, больше, чем летящих в обратном направлении, где приведено распределение ионов водорода по импульсам вдоль оси г. Наибольший продольный импульс ионы приобретают на поверхностях мишени, причем на обратной стороне импульс наибольший. Предполагается, что ускорение ионов в настольных лазер-плазменных ускорителях будет основано на этом явлении.

Таким образом, ток, возбуждаемый этими ионами, соответствует магнитному полю, которое было связанно с обратными фи-ламентами плазменного компенсирующего тока. Это означает, что на поздних временах сильное магнитное поле может в какой-то мере поддерживаться ионным током. Предположительно прямой ток ионов сосредоточен на месте филаментов плазменного тока.

На месте потоковых филаментов образуются плазменные каналы с пониженной плотностью.

На основе полученных результатов разработан сценарий развития филаментационной неустойчивости с учетом особенностей лазер-плазменного взаимодействия.

На защиту выносятся следующие положения

1. Разработан метод локальной пространственно-временной декомпозиции для распараллеливания задач взаимодействия излучения с веществом посредством организации асинхронных вычислений. Метод сформулирован в терминах асинхронного пространственно-распределенного клеточного автомата. Построена иерархия методов LSTD для задач с различными типами симметрии.

2. В рамках метода LSTD разработаны эффективные алгоритмы метода макрочастиц. Указанные методы и алгоритмы реализованы в рамках 3D3V PIC объектно-ориентированного кода SUR/MP. Разработан набор диагностик для выявления характерных процессов лазер-плазменного взаимодействия. Для тестирования возможностей кода было проведено моделирование явления самоканалирования последовательности лазерных импульсов в подкритической плазме.

3. С помощью кода SUR/MP исследованы процессы генерации и транспорта пучка быстрых электронов при взаимодействии лазерного импульса со сверхкритической плазмой. Изучены механизмы регулярного (вакуумный нагрев, ускорение в плазменной волне) и стохастического (в падающей и отраженной лазерной волне) ускорения электронов. Методами вейвлет-анализа исследованы плазменные электрические и магнитные поля, сгенерированные пучком быстрых электронов при прохождении плазменного слоя, выявлены основные пространственно-временные масштабы процессов диссипации энергии. Предложен сценарий развития филаментационной неустойчивости с учетом особенностей лазер-плазменного взаимодействия.

Публикации по теме диссертации

[1] Ёлкина Н.В., Жданов С.К., 2000, Исследование солитонных

решений уравнения Кадомцева-Петвиашвили, Тезисы докладов XXVII Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС, с 74.

[2] Ёлкина Н.В., Левченко, В.Д., 2000, SUR/MP: Параллельный

3D3VPIC-код. I. Уравнения Максвелла, Препринт ИПМ РАН №47.

[3] Ёлкина Н.В., Левченко, В.Д., 2000, 3D Kinetic Modelling of Plasma in Magnetic Field (code SUR/MP), Abstracts of Workshop on Nonlinear Structures in Magnetized Plasmas, Tarusa, Russia.

[4] Elkina N.V., Levchenko, V.D., The Parallel Relativistic PIC code

for Laser-Plasma Interaction Modelling, Abstracts of ULIA euroconferences-2, Pisa, Italy, 2000, p. 121.

[5] Ёлкина H.В., Левченко, В.Д., Метод локальной

пространственно-временной декомпозиции в задачах кинетического моделирования плазмы, Труды Всеросс. конф. "Высокопроизводительные вычисления и их приложения", Черноголовка, 2000, с 278.

[6] Ёлкина Н.В., Левченко, В.Д., Образование плазменного ка-

нала при распространении мощных коротких лазерных импульсов в плазме: результаты 3D3V кинетического моделирования, Тезисы докладов XXVIII Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС, 2001, с 128.

[7] Ёлкина Н.В., Леонов А.А., Чуданов В.В., 2002, Моделирова-

ние сверхзвуковых течений методом кусочно-параболической аппроксимации, Препринт ИБРАЭ-2002-06.

[8] Ёлкина Н.В., Левченко, В.Д., Алгоритм расчета тока для

метода макрочастиц, препринт ИПМ РАН №49, 2002.

[9] Елкина Н.В., Левченко, В.Д., Кинетическое моделирование

генерации быстрых частиц при взаимодействии мощных лазерных импульсов со сверхкритической плазмой, Тезисы докладов XXX Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС, 2003, с 128.

[10] Elkina N.V., Levchenko, V.D., The kinetic simulation of ion acceleration and magnetic field filament structure generation by relativistic laser pulse in overdense plasma, Proc. 30th EPS Gonf. of Plasma Physics and Controlled Fusion, St.-Peterburg, Russia, 2003.

[11] Elkina N.V., Levchenko, V.D., 2003, Relativistic particle-in-cell code SUR/MP for laser-plasma simulation, Proc. 30th EPS Conf. of Plasma Physics and Controlled Fusion, St.-Peterburg, Russia.

[12] Елкина H.B., Левченко, В.Д., Развитие филаментацион-цой неустойчивости при взаимодействии мощного лазерного импульса со сверхкритической плазмой, Вопросы Атомной Науки и Техники, №4, 2003, с 124.

[13] Елкина Н.В., Левченко, В.Д., Генерация филаментационной структуры магнитного поля в лазер-плазменном взаимодействии, Прикладная Физика, К*5, 2003, с. 16.

t

s

!

Подписано в печать 10.11.2003 г. Формат 60 х 90/16. Объем 1.0 пл. Тираж 100 экз. Заказ № 10111

Оттиражировано в ООО «САТУРН мтк» 111020, Москва, Авиамоторная ул., 11

2g>c>3 -A - i

Введение

1 Асинхронные методы распараллеливания

1.1 Иерархия асинхронных методов распараллеливания.

1.2 Клеточный автомат и асинхронные вычисления.

1.3 Объектно-ориентированный анализ клеточного автомата.

1.4 Реализация параллельных вычислений с помощью MPI.

1.5 Асинхронные вычисления в модельных задачах.

2 Математическая модель и реализация

2.1 Математическая модель и численные методы.

2.2 Численная схема для уравнений движения частиц.

2.3 Основной алгоритм метода макрочастиц.

2.4 Ускоренный алгоритм расчета токов в метода макрочастиц.

2.5 Идеология клеточного автомата в применении к декомпозиции данных и алгоритмов метода макрочастиц.

2.6 Образование канала в подкритической плазме при прохождении последовательности лазерных импульсов.

3 Взаимодействие мощных лазерных импульсов с плазмой

3.1 Основные процессы в лазерной плазме.

3.2 Процессы ускорения электронов и формирование пучка.

3.3 Возбуждение плазменных колебаний.

3.4 Филаментационная неустойчивость пучка быстрых электронов.

3.5 Вейвлет-диагностика диссипативных магнитных структур.

3.6 Динамика ионов.

Актуальность темы

Физика свсрхсильных электромагнитных полей является молодой наукой. Ее развитие началось в около десяти лет назад после открытия нового способа получения сверхкоротких лазерных импульсов — Chirped Pulse Amplification (CPA) [1]. Этот способ позволил получать фемтосекундный и субпикосекундные импульсы с интенсивностя-ми I = 1017 -т- 1021 Wcm~2. При взаимодействии подобных импульсов с веществом происходит быстрая ионизация, образуется сильно нелинейная релятивистская плазма, для адекватного описания которой необходим кинетический подход. В такой плазме ведущими становятся коллективные процессы, что позволяет применить систему самосогласованных уравнений Власова-Максвелла [2].

На сегодняшний день существует много возможных применений коротких мощных импульсов. Диапазон приложений простирается от создания плазмы с астрофизическими параметрами до медицинских приложений и создания новых лекарств. В аспекте новых технологий, основные надежды возлагаются на создание компактных ("настольных", "table-top") ускорителей, источников жесткого рентгеновского излучения и реализацию лазерного термоядерного синтеза. Развитие лазерной техники и некоторые явления, сопутствующие различным интенсивностям, отражены на диаграмме 1.

При интенсивностях I > 1018Wcm~2, когда напряженность электрического поля в лазерной волне на порядки превосходит внутриатомное значение, любое вещество переходит в плазменное состояние за несколько лазерных периодов, посредством оптической ионизации. Релятивистские эффекты взаимодействия электрона с таким импульсом становятся доминирующими. В настоящее время значительное число научно-исследовательских лабораторий во всем мире продолжает интенсивное изучение сильно релятивистских режимов взаимодействия излучения с веществом. Исследования большого круга явлений, связанных с релятивистской лазерной плазмой позволяет достичь более полного понимания физики лазерно-плазменного взаимодействия и поэтому представляет несомненный общефизический интерес. Кроме того, изучение процессов ускорения электронов и ионов, а также различных нелинейных процессов генерации высоких гармоник оптического излучения (генерация рентгеновского излучения) представляется важным в прикладном аспекте: генерация гармоник высокого порядка рассматривается как перспективный метод получения ультракоротких импульсов когерентного коротковолнового излучения. Создание источников такого излучения достаточной мощности обеспечит существенный прогресс в медицине, биологии и наноэлектронике.

Аналитические методы исследования при актуальных параметрах лазерной плазмы ограничены узким кругом сильно упрощенных и зачастую одномерных задач. Поэтому основным инструментом исследования становится численный эксперимент.

На сегодняшний день моделирование процессов в лазерной плазме производится в различных приближениях. Следует выделить два основных направления: гидродинамический подход [3] и кинетический подход. Отдельно следует отметить метод моделирования с помощью молекулярной динамики (ab initio).

Процессы взаимодействия импульсов с I ^ 10lsWcm~2 с веществом имеют существенно коллективный характер, что влечет за собой необходимость кинетического описания протекающих процессов. Так как времена протекания процессов взаимодействия малы по сравнению с временами столкновений, то следует использовать самосогласованную систему уравнений Власова-Максвелла.

Все методы кинетического моделирования предъявляют исключительные требования к ресурсам и быстродействию вычислительной техники. В особенности это касается методов прямого численного моделирования кинетических уравнений [4], определенных в шестимерном фазовом пространстве (px,Py,Pz,x, У,z)- Метод макрочастиц в этом смысле более доступен, но балансирует на пределе возможностей суперкомпьютеров. Сложность метода макрочастиц связана с необходимостью обеспечения достаточного количества макрочастиц в дебасвской сфере, это означает, что при повышении плотности плазмы общее количество макрочастиц растет как ~ у/Щ, Ne плотность плазмы, нормированная на критическую плотность. Таким образом продвижение в область высоких и сверхвысоких плотностей напрямую связано с прогрессом в развитии вычислительной техники и разработки эффективных методов распараллеливания.

Диссертация посвящена созданию параллельных высокопроизводительных алгоритмов кинетического моделирования методом макрочастиц (particles-in-cell, PIC) [5, 6, 7] взаимодействия релятивистских лазерных импульсов с плазмой в широком диапазоне параметров. Особое внимание уделено разработке нового подхода к распараллеливанию кинетических кодов на основе построения модели асинхронных вычислений: метода пространственно-временной декомпозиции (Local Space-Time Decomposition, LSTD). Данный подход был первоначально разработан для задач физики плазмы, а позже переформулирован в терминах пространственно-распределенных асинхронных клеточных автоматов, что расширило область его применимости на другие задачи, описываемые системами гиперболических уравнений. Выгода в использовании асинхронного метода LSTD в сравнении с традиционным синхронным методом декомпозиции расчетной области по процессорам (Domain Decomposition) состоит в возможности обойти основную проблему параллельных расчетов — "bottle neck", связанную с неравномерностью загрузки отдельных процессоров, без использования специальных алгоритмов динамической загрузки. Для более эффективных вычислений в рамках метода LSTD были разработаны эффективные алгоритмы метода макрочастиц, обладающие высокой степенью локализации, что является первым требованием асинхронного моделирования.

Представленные в работе методы реализованы в рамках асинхронного параллельного релятивистского объектно-ориентированного кода SUR/MP. Для всесторонней проверки и полномасштабного тестирования кода SUR/MP было проведено моделирование взаимодействия лазерных импульсов с докритической. Исследовались хорошо изученные явления релятивистской самофокусировки и самоканалирования лазерного импульса в докритической плазме. Эти результаты имеют приложение в проектировании плазменных ускорителей, основанных на ускорении электронов и ионов при прямом взаимодействии с импульсом, а также в сгенерированном этим импульсом продольным (кильватерным) плазменном электрическом поле.

Нелинейная квантовая Ю30 — электродинамика

1 TeV<

1018

1027 -•

Лабороторная астрофизика

Средняя характерная— ю15> энергия JL

Предел лазеров 1 ве\/

Физика высоких энергий Ядерные реакции Ускорение ионов Ускорение протонов Ускорение электронов

Разделение изотопов 1 * Кулоновский взрыв Туннельная ионизация генерация высоких гармоник Надборьерная ионизация Многфотонная ионизация Двух-трехфотонная ионизация

J!II

Рис. 1: Развитие лазерной техники

Наиболее существенные результаты, полученные с помощью кода SUR/MP, связаны с моделированием сильно сверхкритической лазерной плазмы. Достижение актуальных параметров этих численных экспериментов стало возможно благодаря использованию представленного в диссертации метода асинхронного распараллеливания LSTD. Цель численного эксперимента состояла в выяснении механизмов генерации и транспорта пучка быстрых электронов сквозь мишень. Эта задача имеет огромное прикладное значение для реализации лазерного термоядерного синтеза. Интересно что именно численные эксперименты окончательно прояснили невозможность использования известной концепции быстрого поджига (Fast Ignition) в традиционной формулировке [8, 9] с использованием электронного пучка в качестве переносчика энергии к центру мишени, так как в этом случае быстро развивается филаментационная неустойчивость (неустойчивость Вейбеля). При развитии этой неустойчивости пучок быстрых электронов разбивается на узкие филаменты, в результате чего существенная часть кинетической энергии пучка трансформируется в энергию мелкомасштабного магнитного поля, сгенерированного этими филаментами. На основе серии численных экспериментов был предложен сценарий развития филаментационной неустойчивости в лазер-плазменном взаимодействии. Другой результат этих экспериментов связан с оптимизацией мишени для получения пучка быстрых протонов с желаемыми характеристиками. Эти результаты имеют значения для конструирования компактных источников высокоэнергетических (до нескольких десятков MeV) протонов, область применения таких пучков простирается от протонного быстрого поджига для термоядерного синтеза до использования в медицине.

Состояние вопроса

Трудность численного интегрирования кинетических уравнений заставила искать новые методы моделирования. Следует отметить, что методы дискретного моделирования с использованием макрочастиц начали развиваться также для гидродинамики |10].

Практически сразу стала ясна необходимость использования многопроцессорных компьютеров для кинетического моделирования Несмотря на то, что кинетическое уравнение Власова является более простым по сравнению с уравнениями Больцмана или Фокксра-Планка [2], учитывающими влияние бинарных столкновений, функция распределения определена в шестимерном фазовом пространстве (px,Py,Pz,x,y,z) и зависит от времени: f(p,r,t). Численное решение 3D3V уравнения Власова на существенных временных промежутках остается пока слишком трудной задачей даже в свете современного развития вычислительной техники. Кинетическое моделирование предъявляет исключительно высокие требования к объемам памяти и быстродействию и мощности вычислительной системы.

Получение сверхкоротких лазерных импульсов посредством новейшей технологии Chirped Pulse Amplification (CPA) [1] открыло новую область физики и стало источником развития новейших технологий, связанных с процессами взаимодействия лазерных импульсов с плазмой. Область применения мощных лазерных импульсов включает в себя создание компактных ("настольных", "table-top") ускорителей электронов и ионов

Н].

Одними из самых известных явлений, доступных для наблюдения в релятивистском режиме лазер-плазменного взаимодействия стала предсказанная в [12] релятивисткая самофокусировка импульса в подкритической плазме. Другое явление, имеющее место при данных условиях это самоканалирование импульса в плазме [13]. Для релятивистских импульсов отношение шр/ио должно быть скорректировано, так как релятивистские эффекты приводят к увеличению эффективной массы плазменных частиц. Таким образом в релятивистском режиме имеем и)р/шо = {пр/'упа.)1!2, где 7 = \/1 + а2. Это в свою очередь приводит к изменению индекса преломления в плазме, и носит название релятивистского просветления плазмы. Порог релятивистской самофокусировки равен: Р = 17(и>оЛ^р) СИЛ При превышении этого критерия лазерный импульс подвергается филаментационной неустойчивости и распадается на узкие филаменты. В работе [14] методами кинетического моделирования были исследованы процессы релятивистской самофокусировки и самоканалирования импульса в докритической и подкритической плазме. В этих работах также была исследована филаментационная неустойчивость лазерного импульса, характерная для широких мощных импульсов. Проиллюстрирована возможность сильного взаимодействия отдельных филаментов посредством магнитного поля и возможность их слияния в один филамент.

Результаты по исследованию генерации квазистатических магнитных и электрических полей в докритической плазме приведены в работах [15, 16, 17, 18, 19].

Трехмерное кинетическое моделирование показало, что при распространении интенсивного импульса сквозь плазму происходит образование своеобразной "ударной волны" перед фронтом импульса, возникновение ионных филаментов и двойных слоев [20]. Достигнут большой прогресс в изучении ускорения электронов в подкритической плазме. В работе [13] показано, что при больших интенсивностях а = 50 электроны, движущиеся в плазменном канале, образованном лазерным импульсом, могут совершать бетатронные колебания в квазистатических магнитных и электрических полях. Если мощность лазерного импульса сильно превышает порог релятивистской самофокусировки, то электроны могут получать энергию непосредственно из лазерного импульса.

Результаты этих численных экспериментов подтверждают, что при данных условиях большая часть электронов ускоряется непосредственно взаимодействуя с лазерным импульсом, в то время как ускорение в кильватерных плазменных полях (Ь\УЕА) дает несущественный вклад в долю быстрых электронов.

Двухтемпсратурная функция распределения ускоренных электронов, характерная для данных экспериментов была связана с наличием двух существенно различающихся механизмов ускорения: 1) ускорение непосредственно в лазерной волне, 2) ускорение в сгенерированных плазменных полях. После того, как стали доступны источники с релятивистскими интенсивностями, быстро стал возрастать интерес к процессом взаимодействия лазерного импульса с плотными (сверхкритическими) и твердотельными мишенями. Несмотря на то, что теоретическое описание поглощения лазерного импульса в сильно релятивистском режиме затруднено из-за существенной нелинейности происходящих процессов, было практически одновременно предложено несколько моделей коллективного поглощения в сверхкритической плазме. Исторически первым была предложен механизм резонансного поглощения, сущность которого состоит в возбуждении плазменных колебаний вблизи критической плотности в случае достаточного протяженного градиента плотности [21]. Этот вид поглощения сильно зависит от поляризации и угла падения лазерного импульса. Нагрев большей части быстрых электронов сверхкритической плазмы происходит при взаимодействии лазерного импульса с поверхностным слоем мишени Если импульс очень короткий и сверхинтенсивный, то основным механизмом нагрева является вакуумный нагрев, предложенный в работах [22, 23]. Сущность этого механизма состоит в том, что электроны скинового слоя совершают только часть своей восьмерко-образной [24] траектории в вакууме и приобретают энергию, достаточную чтобы проникнуть в плазму и уйти от действия электромагнитной волны (скиновый эффект).

Другим важным способом нагрева является стохастический нагрев в приповерхностной области, где из-за наложения падающей и отраженной лазерной волны образуется стоячая волна [20].

Возможность стохастического нагрева электронов до мегаэлектронвольтных энергий обсуждается в работах {25, 26, 27]. Когда электроны приобретают достаточную энергии в лазерном и проникают внутрь плазменной мишени, на поверхности мишени образуется избыточный положительный ионный заряд. Ионы начинают ускоряться посредством механизма кулоновского взрыва [18, 28]. В случае коротких интенсивных импульсов, когда смещение заряда производится непосредственно пондеромоторной силой импульса, энергия ионов достигает нескольких десятков МеУ [29].

В работе [30] изучался быстрый нагрев сильно сжатой плазмы с использование муль-титераваттного лазерного излучения. Эффективное распространение интенсивного лазерного импульса и нагревание сжатой плазмы было реализовано с помощью конусной мишени. Величина скорости распределения энергии лазерного импульса в сверхплотной плазме было исследовано посреством нейтронных измерений. Было изучено свойство генерации и распространения энергетичных электронов в интенсивным лазерном взаимодействии с твердотельными мишенями. Доля поглощенной и конвертированной в быстрые электроны энергии лазерного импульса составила около 40% при интенсивности импульса I = 1019 \УстГ2. Эти электроны распространялись в мишени с углом а = 20° — 30° или в виде коллимированных пучков.

В работах [31, 32, 33] экспериментально доказано, что ионы могут ускорятся как с передней, так и с обратной стороны мишени. В эксперименте [33] для этих целей использовалась дейтериво-борная мишень специальной скошенной формы и диагностика, основанная на анализе продуктов распада бора в возбуждаемых быстрыми протонами ядерных реакциях.

Кинетическое моделирование методом макрочастиц также показало, что наиболее эффективно ускоряются ионы с обратной стороны мишени. Таким образом формируется пучок быстрых электронов, который при прохождении плазменной мишени генерирует магнитные и электрические поля, и выходя с обратной стороны мишени формирует ускоряющую структуру для ионов [34].

Основным параметром, отвечающим за эффективность ускорения ионов, то есть определяющим величину энергии отсечки, является толщина мишени. В работе [35] при использовании короткого импульса (Тр = 100 /в) с интенсивностью I = Ю20Игст~2 и мишени с толщиной Д = 100 цт было получено для энергии отсечки значение 2си«о// = 6.5 МеУ, при температуре протонного пучка Трь = 1.4. При уменьшении толщины мишени до Д = 3 цт, температура и энергия отсечки оказались Трь — 3.2 МеУ и Тси^о// = 24 МеУ.

Результаты экспериментов [33] показали, что большое количество протонов 1013 р может быть ускоренно источником, отвечающим плотности тока ДОЛст-1. Эта величина на девять порядков превышает достижимое значение тока в циклотроне, но имеет сравнимый поперечный эммитанс е± < 1.07Г тпт гас1. Протоны с энергиями до 60 МеУ наблюдались в эксперименте [31, 32]. Интенсивность импульса в этом эксперименте превышала 102ОИгстГ2. Энергетический спектр быстрых электронов имеет резкий спад высоэнергетичного хвоста, что известно как явление отсечки. Кроме того ускоренные протоны образовывали кольцевые структуры. Эта особенность была объяснена в работе [36] воздействием самосгенерированного магнитного поля.

В работе [37] на основе результатов многочисленных экспериментальных изысканий, проведенных на установке РЕТА\УАТТ (ЬЬЛЬ), предлагается использовать пучок протонов, ускоренных с обратной стороны мишени для реализации концепции протонного быстрого поджига термоядерной мишени в рамках схемы непрямого лазерного синтеза [38]. Транспортировка энергии к центру мишени посредством пучка протонов представляется более реальной, чем схема традиционного быстрого поджига, основанного на электронном пучке [8]. Это связано с тем, что в случае электронного пучка, сгенерированного лазерным импульсом быстро развивается филаментационная неустойчивость [39, 40].

Еще одно важное применение настольных ускорителей протонов будет связано с медицинским использованием для терапии различных заболеваний. Преимущество лазерных ускорителей по сравнению с традиционными источниками протонов (циклотроны, магнитные системы) в этой области очевидно. Большая часть упомянутых выше явлений интенсивно изучается с помощью кинетического моделирования методом макрочастиц. В прекрасных обзорах [5, 6, 7] описаны алгоритмы метода макрочастиц и численные схемы для решения уравнений Максвелла и Пуассона для полей и уравнений Ньютона-Лоренца для частиц. В работе [41, 42] предложены локально- консервативные алгоритмы для решения уравнений Максвелла. Для численного решения уравнений Максвелла наиболее часто применяется метод сдвинутых сеток, предложенный в работе [43]. В работе [44] метод ускорения расчетов, основанный на переносе части вычислений с макрочастиц на сетку. В работе [45] представлена полностью консервативная схема вычисления заряда для PIC метода. Дополнительное развитие кинетическое моделирование получило после появления объектно-ориентированной идеологии программирования, наиболее эффективной при создании крупных проектов [46]. Особенности объектно-ориентированной реализации метода макрочастиц можно найти в работах [47, 48]. В работе [49] представлена объектно-ориентированная модель плазмы. Современная ситуация такова, что распределенные системы могут объединять грандиозные вычислительные ресурсы, которые существенно превосходят многопроцессорные суперкомпьютеры. Переносимость параллельных приложений на различные архитектуры достигается использованием портируемых библиотек распараллеливания, среди которых особенно следует отметить библиотеку MPI [50]. Стандарт этой библиотеки стал общепринятым.

В обзорной работе [51] изложены общие концепции построения численных алгоритмов для ЭВМ большой мощности, отмечено несколько методик, построенных на базе метода расщепления по физическим процессам и широко используемым для расчета нелинейных процессов в аэродинамике, турбулентности. Рассмотрены актуальные пространственно-нестационарные задачи механики сплошных сред и физики плазмы, отмечены их общие черты: гиперболичность уравнений, многомерность, нелинейность. Выделены основные черты схем: консервативность, использование характеристических свойств уравнений, явность алгоритмов.

Для распараллеливания явных алгоритмов традиционным методом является декомпозиция расчетной области (Domain Decomposition) [52]. Метод Domain Decomposition состоит в том, что расчетная область дробится на части, каждая из которых рассчитывается на отдельном процессоре. На каждом временном шаге процессоры обмениваются информацией, необходимой для дальнейшего расчета. Метод Domain Decomposition может быть различной размерности 1D,2D или 3D в зависимости от требования конкретной задачи.

Параллельное кинетическое моделирование методом макрочастиц часто осложняется неравномерностью загрузки отдельных процессоров. Таким образом может возникнуть проблема узкого места (bottle neck) [50], когда большая часть процессоров простаивает, ожидая пока самый загруженный процессор закончит расчет. Одним из способов решения этой проблемы является использование алгоритмов динамической загрузки [53]. В работе [54] обсуждаются централизованные и децентрализованные алгоритмы динамического регулирования загрузки процессорных элементов в применении к параллельному моделированию задач физики плазмы методом макрочастиц. Все методы, исключая представленные в последнем разделе использующие априорное знание о расчетной области, могут быть применены в других приложениях.

Понятие клеточного автомата стало одним из весьма плодотворных направлений исследования в науке. Четкая формулировка понятия клеточного автомата как пространственно распределенной системы взаимодействующих элементов (образующих упорядоченную решетку) и превосходный обзор современных методов моделирования пространственно распределенных динамических систем с использованием клеточного автомата можно найти в работе [55].

Существенная нелинейность процессов в плотной лазерной плазме требует использования большого числа диагностических техник для выявления основных характеристик процессов. Для диагностики пространственно-временных структур часто используется метод вейвлет- анализа. Обзор по различным аспектам вейвлет-анализа, а также областям его применений дан в работах [56, 57]. Метод вейвлет- преобразования хорошо подходит для выявления каскадных нелинейных процессов [58]. Развитие методов нелинейной физики, а также обсуждение свойств каскадных диссипативных процессов можно найти в работах [58, 59, 60].

Целью работы являются

1. Построение универсального способа конструирования асинхронных параллельных алгоритмов моделирования гиперболических задач на основе абстракции асинхронного пространственно-распределенного клеточного автомата

2. Построение иерархии асинхронных методов распараллеливания локальной пространственно-временной декомпозиции для задач физики плазмы.

3. Разработка набора эффективных ускоренных алгоритмов метода макрочастиц (particles-in-cell, PIC), обладающих высокой степенью локализации, для реализации модели асинхронных вычислений

4. Создание на основе разработанных алгоритмов объектно-ориентированного параллельного кинетического PIC-кода SUR/MP, учитывающего иерархическую структуру памяти современных компьютеров.

5. Проведение численных экспериментов по моделированию взаимодействия мощного лазерного импульса с докритической и сверхкритической плазмой.

В работе решены следующие задачи

Сформулирован общий подход к проблеме распараллеливания, посредством организации асинхронных вычислений на основе абстракции пространственно-распределенного клеточного автомата. В рамках этого подхода построена иерархия методов локальной пространственно-временной декомпозици и(Ьоса1 Space-Time Decomposition, LSTD) для распараллеливания задач физики плазмы. На основе метода LSTD разработаны эффективные ускоренные алгоритмы метода макрочастиц и создан асинхронный параллельный объектно-ориентированный PIC код SUR/MP.

С помощью данного кода проведены численные эксперименты по моделированию образования канала в докритической плазме при прохождении последовательности лазерных импульсов.

Исследованы явления генерации и транспорта пучка быстрых электронов в сверхкритической плазме. Установлена возможность дополнительного ускорения электронов внутри плазменной мишени в возбужденных пучком плазменных волнах. Для анализа филаментационной неустойчивости был использован всйвлет-анализ, позволивший установить каскадный процесс развития филаментационной неустойчивости. На основе этих результатов расчетов и вейвлет-анализа был предложен сценарий развития филаментационной неустойчивости в лазер-плазмешюм взаимодействии.

Исследованы особенности поведения ионов при развитии филаментационной неустойчивости, а также процессы формирования ускоряющих структур для ионов (двойной слой, облако вылетевших электронов) на поверхностях мишени.

Научная новизна

Впервые реализован метод для распараллеливания задач физики плазмы посредством организации асинхронных вычислений в рамках кода SUR/MP. Для задач практической сложности (самоканалирование последовательности лазерных импульсов в докритической плазме) было получено теоретически возможное ускорение при увеличении числа процессоров вплоть до 100 CPU. Сформулирован общий подход к проблеме распараллеливания, посредством организации асинхронных вычислений на основе абстракции пространственно-распределенного клеточного автомата.

Полученные с помощью кода SUR/MP результаты позволили изучить процессы ускорения электронов внутри мишени установить каскадный характер развития филаментационной неустойчивости в плотной лазерной плазме.

Впервые были исследованы особенности поведения ионов при филаментационной неустойчивости и обнаружено образование ионных каналов в плазме.

Практическая ценность

Основная ценность данной работы заключается в создании универсального подхода к конструированию асинхронных алгоритмов распараллеливания на основе понятия пространственно-распределенного клеточного автомата. Этот метод позволяет существенно облегчить ключевую проблему параллельного моделирования — неравномерность загрузки отдельных процессоров без использования специальных алгоритмов динамической загрузки. На основе этого подхода был создан метод локально-временной декомпозиции для моделирования задач физики плазмы. Созданный на основе этого метода код SUR/MP, использующий оптимизированные для асинхронного расчета метод макрочастиц, является мощным инструментом для исследования нелинейных релятивистских процессов, характерных для актуальных параметров лазер-плазменного взаимодействия. Использование этого кода представляет несомненную ценность при проектировании лазер-плазменных ускорителей и исследования процессов при взаимодействии мощного импульса со сверхкритической плазмой.

На защиту выносятся следующие положения

1. Разработан метод локальной пространственно-временной декомпозиции для распараллеливания задач взаимодействия излучения с веществом посредством организации асинхронных вычислений. Метод сформулирован в терминах асинхронного пространственно-распределенного клеточного автомата. Построена иерархия методов LSTD для задач с различными типами симметрии.

2. В рамках метода LSTD разработаны эффективные алгоритмы метода макрочастиц. Указанные методы и алгоритмы реализованы в рамках 3D3V PIC объектно-ориентированного кода SUR/MP. Разработан набор диагностик для выявления характерных процессов лазер-плазменного взаимодействия. Для тестирования возможностей кода было проведено моделирование явления самоканалирования последовательности лазерных импульсов в подкритической плазме.

3. С помощью кода SUR/MP исследованы процессы генерации и транспорта пучка быстрых электронов при взаимодействии лазерного импульса со сверхкритической плазмой. Изучены механизмы регулярного (вакуумный нагрев, ускорение в плазменной волне) и стохастического (в падающей и отраженной лазерной волне) ускорения электронов. Методами всйвлст-анализа исследованы плазменные электрические и магнитные поля, сгенерированные пучком быстрых электронов при прохождении плазменного слоя, выявлены основные пространственно-временные масштабы процессов диссипации энергии. Предложен сценарий развития фила-ментационной неустойчивости с учетом особенностей лазер-плазменного взаимодействия.

Личный вклад автора

Состоит в разработке общего подхода к организации асинхронных вычислений на основе пространственно-распределенного клеточного автомата. Создании иерархии методов асинхронного распараллеливания в рамках метода ЬЭТБ и эффективных алгоритмов метода макрочастиц, а также в участии в создании ЗБЗУ асинхронного параллельного кинетического кода макрочастиц 31Ш/МР на основе разработанных методов и проведении численных экспериментов по исследованию образования канала в подкри-тической плазме при прохождении лазерного импульса. Также автором построена модель генерации пучка быстрых электронов при взаимодействии лазерного импульса со сверхкритической плазмой и проведены численные эксперименты по подтверждению этой модели. Изучены процессы, связанные с транспортом пучка быстрых электронов сквозь мишень и предложен сценарий развития филаментационной неустойчивости с учетом особенностей лазер-плазменного взаимодействия, а также исследованы процессы ускорения ионов. Автором был самостоятельно разработал комплекс диагностик для вейвлет-анализа диссипативных магнитных структур и установлен каскадный характер развития филаментационной неустойчивости.

Достоверность и обоснованность научных результатов

Достоверность достигается использованием для описания процессов лазер-плазменного взаимодействия самосогласованной кинетической модели без допущения каких бы то ни было упрощающих предположений относительно функции распределения. Достигается использованием численных алгоритмов высокой точности и использованием консервативных схем. Для проверки правильности кода были проводились многочисленные тестовые расчеты на всех этапах разработки. Кроме того для подтверждения правильности моделировались задачи, имеющие аналитическое решение, а также всестороннее сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными.

Апробация работы

Результаты, представленные в диссертации, докладывались и обсуждались на Международных и Всероссийских научных конференциях: "Звенигородская конференция по физике плазмы и УТС" (Звенигород, 2000, 2001, 2003), "ULIA Euroconference", (Пиза, Италия, 2000), "Всероссийская конференция по высокопроизводительным вычислениям и их приложениям" (Черноголовка, 2000), "IV Харитоновские чтения" (Саров, 2002), "30th EPS Conference of Controlled Fusion and Plasma Physics" (Санкт-Петербург, 2003), "Плазменная электроника и новые методы ускорения", (Харьков, Украина, 2003).

Публикации

Результаты, представленные в диссертации опубликованы в работах: [61],[62],[63], [64],[65], [66],[67],[68], [69],[70], [71], [72], [73].

Заключение

Работа посвящена развитию нового типа методов распараллеливания задач взаимодействия излучения с веществом, посредством организации асинхронных вычислений. Для исследования возможностей распараллеливания с помощью метода LSTD использована абстракция клеточного автомата.

Разработаны эффективные алгоритмы метода макрочастиц. Рассмотренные методы реализованы в рамках кинетического кода SUR/MP.

Исследованы процессы ускорения электронов и формирования электронного пучка. Изучены особенности транспорта пучка быстрых электронов сквозь сверхкритическую мишень.

Разработан метод асинхронного распараллеливания локальной пространственно-временной декомпозиции для распараллеливания широкого класса задач с конечной скоростью распространения возмущений. Метод сформулирован в терминах асинхронного пространственно-распределенного клеточного автомата. Построена иерархия методов LSTD для задач с различными типами симметрии. В рамках метода LSTD разработаны эффективные алгоритмы метода макросчастиц. Методы и алгоритмы реализованы в 3D3V PIC объектно-ориентированном коде SUR/MP. Разработан набор диагностик для выявления характерных процессов лазер-плазменного взаимодействия. В качестве тестирования кода SUR/MP исследованы процессы самоканолирования последовательности импульсов в подкритической плазме. Исследованы процессы генерации и транспорта пучка быстрых электронов при взаимодействии лазерного импульса со свеерхкритической плазмой. Изучены механизмы регулярного (вакуумный нагрев, ускорение в плазменной волне) и стохастического (в падающей и отраженной волне) ускорения электронов. Методами вейвлет-анализа исследованы плазменные электрические и магнитные поля, сгенерированные пучком быстрых электронов при прохождении плазменного слоя, выявлены основные энергетические масштабы. Предложен сценарий развития филаментационной неустойчивости с учетом особенностей лазер-плазменного взаимодействия. Также рассмотрены особенности поведения ионов в процессе развития филаментации. Исследованы процессы ускорения ионов с поверхностей мишени.

REFERENCES

1] Morou G.A., Perry M.D. Terrawatt and petawatt subpicosecond lasers // Science. — 1994. — № 917. - C. 264.

2] Силин В. Введение в кинетическую теорию газов. — М.: Наука, 1971.

3] Shumlak U., Loverich J. Approximate riemann solver for the two-fluid plasma model// J.Сотр. Phys. - 2003. - T. 187. - C. 620-638.

4] Shumlak U., Loverich J. Conservative numerical schemes for the vlasov equation // J. Сотр. Phys. - 2001. - T. 172. - C. 168-188.

5] Бэдсел Ч., Ленгдон А. Физика плазмы и численное моделирование. — М.: Энер-гоатомиздат, 1989.

6] Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. — М.: Мир, 1987.

7] Сигов Ю. С. Вычислительный эксперимент: мост между прошлым и будущим физики плазмы. Избранные труды. Сост. Змиевская, Г.И., Левченко, В.Д. — М.: Физматлит, 2001.

8] Tabak М.Ц Physics of Plasmas. — 1994. — Т. 1. - С. 1626.

9] Лукьянов С.Ю., Ковальский Н.Г. Горячая плазма и управляемый термоядерный синтез. — Москва: Изд. МИФИ, 1997.

10] Оран Э., Борис Дою. Численное моделирование реагирующих потоков. — М.: Мир, 1990.

11] Morou G.A, Barty C.P.J, Perry M.D. Ulrahigh-intensity lasers: physics of the extreme on a tabletop// Physics Today. — 1998. — T. 22.

12] Аскарьян Г.А.Ц ЖЕТФ. — 1962. - Т. 15. - С. 8.

13] Pukhov A. Strong field interaction of laser radiation // Rep. Prog. Phys. — 2003. — T. 66. - C. 47-100.

14] Pukhov A., Meyer-ter-Vehn J. Relativistic magnetic self-channeling of light in near-critical plasma: Three-dimensional particle-in-cell simulation. // Phys. Rev. Letters. — 1996. - T. 76. - C. 3975-3978.

15] Аскаръян Г.А., Буланов С.В., Пегораро Ф., Пухов A.M. Магнитное взаимодействие каналов самофокусировки и потоков электромагнитного излучения: их слияние и накопление энергии. Действие на них внешних магнитных полей // Письма в ЖЭТФ. - 1994. - Т. 60, № 4. - С. 240-246.

16] Askaryan G.A., Bulanov S.V., et al. Magnetic interaction of ultrashort high-intensity laser pulses in plasmas// Plasma Phys. Control. Fussion. — 1997. — T. 39. — C. 137-144.

17] Perogaro F., Bulanov S.V., et al. Magnetic fields from high-intensity laser pulses in plasmas// Plasma Phys. Control. Fussion. — 1997. — T. 39. — C. 261-272.

18] Буланов С.В., X ДП. Когерентные структуры в лазерной плазме// Успехи современной радиоэлектроники. — 2000. — № 2. — С. 3-36.

19] Буланов С.В., X ДП. Взаимодействие лазерных импульсов петаваттной мощности с плазмой докритической концентрации// Физика Плазмы. — 1999. — Т. 25, № 9. — С. 1-15.

20] Umstadter D. Relativistic laser-plasma interactions Ц J. Phys. D: Appl. Phys. — 2003. - T. 36. - C. 151-165.

21] Bergmann A., al.et. Resonance absorption by nonlinear electron plasma waves // Europhys. Lett. — 1999. — T. 14. — C. 661.

22] Brunei F. Not-so-resonant, resonant absorbtion // Physical Review Letter. — 1987. — T. 59, № 1. - C. 52-55.

23] Brunei F. Anomalous absorbtion of high intensity subpicosecond laser pulses // Physics of Fluids. - 1988. - T. 31, № 9. - C. 2714-2719.

24] Ландау JI., Лифщиц E. Теория поля. — М.: Наука, 1989.

25] Nakamura Т., other. Stochastic acceleration by intense laser fields// Phys. of Plasmas. — 2002. - T. 9. - C. 1801.

26] Sheng Z.-M., other. Stochastic heating and acceleration in colliding laser fields in plasma // Phys. Rev. Lett. - 2002. - T. 88. - C. 5.

27] Tanimoto M., otherЦ Phys. Rev. E. — 2003. — T. 68. — C. 02640-1.

28] Toma E.-S. Cluster explosion and characterization of ultrashort xuv pulses // Ph.D. Thesis. — 2002. — T. .

29] Bulanov S., other// JETP Lett. - 2000. — T. 71. — C. 407.

30] Kodama R., diet. Fast heating of supersolid density plasmas towards laser fussion ignition// Plasma Phys. Control. Fussion. — 2002. — T. 44. — C. 109-119.

31] Snavely R.A., other// Phys. Rev. Lett. — 2000. — T. 85. — C. 2945.

32] Hatchett S.P., other// Phys. Plasma. — 2000. — T. 7. — C. 2076.

33] Nemoto K., other// Appl. Phys. Lett. — 2001. — T. 78. — C. 595.

34] Pukhov A. Three -dimensional simulations of ion acceleration from foil irradiated by a short-pulse laser// Phys. Rev. Lett. — 2001. — T. 86, № 16. — C. 3562-3565.

35] Mackinon A. J., other// Phys. Rev. Lett. — 2002. — T. 88. — C. 215006.

36] Cark E., other// Phys. Rev. Lett. — 2000. — T. 84. — C. 4108.

37] Roth M., alet. Fast ignition by intense laser-accelerated proton beams// Physical Review Letter. — 2001. — T. 86, № 3. — C. 436-439.

38] Трубников Б.А. Теория плазмы. — М.: Наука, 1989.

39] Vehn J.Meyer-ter. Fast ignition of icf targets: an overview Ц Plasma Phys. Control. Fussion. - 2001. - T. 43. - C. 113-125.

40] Sentoku Y., Mima K., Honda M., Sheng Z. M., Kaw P., Nishihara K., Nishikawa K. // Proc. Conf. Inertial Fusion Science and Applications, Editors: K.A. Tanaka, D.D. Meyerhofer, J. Meyer-ter-Vehn. - 2001. — T. . — C. 370.

41] K.S. Yee. Numerical solution of initial boundary value problems involving maxwell equations in isotropic media// IEEE Trans. Antenas Propagat.,. — 1966. — № 14. — C. 302-307.

42] Villasenor J., Buneman 0. Rigorous charge conservation for local electromagnetic field solvers// Computer Physics Communications. — 1992. — T. 69. — C. 306-316.

43] Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. — Москва: Изд. МФТИ, 1994.

44] Батищев О. В. Ускоренный алгоритм метода частиц. — Москва, 1985. — (пре-принт/ИПМ им. М.В.Келдыша РАН; № 15).

45] Esirkepov T.Zh. Exact charge conservation scheme for particle-in-cell simulations with an arbitrary form-factor // Computer Physics Communications. — 2001. — T. 135, № 2. — C. 144.

46] Буч Г. Объектно-ориентированный анализ и проектирование. — Петербург: Бином, 1999.

47] Verboncoeur J.P., Langdon А.В., Gladd N.T. An object-oriented electromagnetic PIC code// Computer Physics Communications. — 1995. — T. 87, № 1-2. — C. 199-211.

48] Reynders J., Forslund D.W., Hinker P. J., Tholburn M., Kilman D., Humprey W. OOPS: An object-oriented particle simulation class library for distributed architectures // Computer Physics Communications. — 1995. — T. 87, № 1-2. — C. 212-224.

49] Левченко В.Д. Объектно-ориентированная модель плазмы в нелинейной динамике сильно неравновесных открытых Власовских систем. — М.: диссертация на соискание ученой степени к.ф.-м.н., 1998.

50] Gropp W., Lush Е., Skjellum A. Using MPI. — Cambridge, Massachusetts, London, England: The MIT Press, 1994.

51] Белоцерковский О. M. Математическое моделирование на суперкомпьютерах (опыт и тенденции)// ЖВМиМФ. - 2000. - Т. 40, № 8. - С. 1221-1236.

52] Тарнавский Г.А., Шпак С.И. Декомпозиция методов и распараллеливание алгоритмов решения задач аэродинамики и физической газовой динамики: вычислительная система "Поток-3"// Программирование. — 2000. — № 6. — С. 45-57.

53] Вшивков В.А., Краева М.А., Малышкин В.Э. Параллельная реализация метода частиц// Программирование. — 1997. — № 2. — С. 39-51.

54] Краева М.А., Малышкин В.Э. Algorithms for dynamic load balancing in implementation of the particle-in-cell method on mimd multicomputers // Программирование. — 1999. — № 1. — С. 39-45.

55] Ванаг В.К. Исследование пространственно-распределенных динамических систем методами вероятностного клеточного автомата Ц УФН. — 1999. — Т. 169, № 5. — С. 481.

56] Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения// УФН. — 1996. - Т. 40, № 11. - С. 1145-1170.

57] Дремин О.В., other. Вейвлеты и их использование// УФН. — 2001. — Т. 171, № 5. — С. 466-501.

58] Фрик Г.Г. Турбулентность: модели и подходы. — Пермь: изд. ПермГУ, 1998.

59] Малинецкий Г.Г. Хаос: структуры вычислительный эксперимент. — М.: УРСС, 2002.

60] Кулаков А.В., Румянцев А.А. Введение в физику нелинейных процессов. — М.: Наука, 1988.

61] Ёлкина Н.В., Левченко В.Д. SUR/MP: Параллельный 3D3V PIC-код. I. Уравнения Максвелла// Препринт ИПМ РАН№47. — 2000.

62] Ёлкина Н.В., А. А., Леонов, Чу данов В. В. Моделирование сверхзвуковых течений методом кусочно-параболической аппроксимации // Препринт ИБРАЭ-2002-06. — 2002.

63] Ёлкина Н.В., Жданов С. К. Исследование солитонных решений уравнения Кадомцева-Петвиашвили // Тезисы докладов XXVII Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС. — 2000. — С. 74.

64] Ёлкина И.В., Левченко В.Д. Образование плазменного канала при распространении мощных коротких лазерных импульсов в плазме: результаты 3D3V кинетического моделирования // Тезисы докладов XXVIII Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС, с 128. — 2001.

65] Elkina N. V., Levchenko V.D. 3D kinetic modelling of plasma in magnetic field (code SUR/MP) // Abstracts of Workshop on Nonlinear Structures in Magnetized Plasmas, Tarusa, Russia. — 2000.

66] Elkina N. V., Levchenko V.D. The parallel relativistic PIC code for laser-plasma interaction modelling Ц Abstracts of ULIA euroconferences-2, Pisa, Italy, p. 121. — 2000.

67] Ёлкина H.B., Левченко В Д. Кинетическое моделирование генерации быстрых частиц при взаимодействии мощных лазерных импульсов со сверхкритической плазмой// XXX Звенигородская конференция по физике плазмы и УТС, с 128. — 2003.

68] Декомпозиция методов и распараллеливание алгоритмов решения задач аэродинамики и физической газовой динамики: вычислительная система "Поток-3" // Программирование. — 2000. — № 6. — С. 278-281.

69] Ёлкина Н.В., Левченко В.Д. Алгоритм расчета тока для метода макрочастиц // препринт ИПМ РАН №49. — 2002.

70] Ёлкина Н.В., Левченко В.Д. Развитие филаментационной неустойчивости при взаимодействии мощного лазерного импульса со сверхкритической плазмой// Вопроса Атомной Науки и Техники. — 2003. — № 4. — С. 124-128.

71] Ёлкина Н.В., Левченко В.Д. Генерация филаментационной структуры магнитного поля в лазр-плазменном взаимодействии // Прикладная физика. — 2003. - № 5. -С. 16-24.

72] Elkina N. V., Levchenko V.D./J Proc. of 30th EPS Conf. of Plasma Physics and Contr. Fusion, St.-Peterburg, Russia. — 2003.

73] Elkina N. V., Levchenko V.D. The kinetic simulation of ion acceleration and magnetic field filament structure generation by relativistic laser pulse in overdense plasma/^ Proc. of 30th EPS Conf. of Plasma Physics and Contr. Fusion, St.-Peterburg, Russia. — 2003.

74] Dewdney A.K. Compute reactions:mthe hodgepodge machine makes wave // Scientific American. - 1988. — T. . — C. 104.

75] Rouff P. Excitability in a closed stirred belousov-zhabotinsky system // Chem. Phys. Lett. - 1982. - T. 90. - C. 76.

76] Hockney R. W., Eastwood J. W. Computer simulation using particles. — New York: McGraw-Hill, 1981.

77] Випетатг О.Ц Comput. Phys. Comm. — 1976. — T. 12. — C. 21.

78] Попов Ю.П., Самарский A.A. Вычислительная газодинамика. — М.: Энергоатом-издат, 1989.

79] Ландау Л., Лифщиц Е. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука, 1989.

80] Елкина Н.В. Генерация электрического поля в лазерной плазме/'' препринт ИПМ РАН, в печати. — 2003.

81] Кингсеп A.C. Введение в нелинейную физику плазмы. — М.: МФТИ, 1996.