автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Анализ устойчивости управляемых дифференциально-разностных систем с неопределенными параметрами

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Методы вычисления предельных запаздываний дифференциально-разностных систем в задаче устойчивости.

1.1. Анализ поведения корней квазиполинома в зависимости от запаздываний.

1.2. Определения максимального запаздывания.

1.3. Запас устойчивости.

1.4. Колебательность.

Глава 2. Устойчивость линейных семейств квазиполиномов с неопределенным запаздыванием.

2.1. Введение.

2.2. Критерий устойчивости линейного семейства квазиполиномов.

2.3. Определение максимального запаздывания.

2.4. Запас устойчивости.

2.5. Запас колебательности.

Глава 3. Синтез робастных регуляторов.

3.1. Алгоритмы вычисления 1-го и 2-го интервальных радиусов.

3.2. Построение мажорантных систем.

3.3. Системы с параметрами.

В настоящее время интенсивно развивается направление автоматизации научных исследований и конструкторского проектирования сложных технических объектов. В последнее время наибольшей популярностью пользуются задачи автоматизации конструирования и исследования систем управления термоядерными реакторами на основе токамаков. Отличительной особенностью задач синтеза регуляторов, стабилизирующих положение, ток и форму плазмы в токамаках, является исключительно широких спектр требований и ограничений по качеству динамических процессов в замкнутой системе. Особую роль здесь играют различные подходы теории оптимального управления и робастной устойчивости.

Наиболее значимые фундаментальные результаты в этом направлении были получены в трудах A.M. Ляпунова, В.И. Зубова, JI.C. Понтрягина, Р. Беллмана и многих других ученых. Эта теория определила базу для решения задач оценки робастных свойств систем управления относительно допустимых задержек в каналах обратной связи, которые существенно влияют на качество управления.

Вопросы решения прикладных задач в области робастной устойчивости нашли отражение в фундаментальных работах B.J1. Харитонова, А.П.Жабко и других известных специалистов.

Однако появление новых моделей управления плазмой в термоядерном ректоре потребовали разработки новых методов параметрического анализа влияния запаздываний в управляющих сигналах. Появилась необходимость постановки и решения новых математических задач, адекватных содержательным задачам оценки управляющих регуляторов, так как применение универсальных математических методов не всегда эффективно в плане их оценки качества. Это определяется относительной новизной сформированного в последнее время комплекса требований к качеству стабилизации плазмы, в отличие от широко известного ранее требования обеспечения ее устойчивости.

В последние годы получены новые результаты, направленные на преодоление указанных недостатков. Однако много вопросов до сих пор остаются открытыми. Например, оценка времени переходного процесса и уровня колебательности системы в пространстве неопределенных параметров, в том числе и задержек в каналах обратной связи, требует проведения дополнительных исследований, которые бы позволили более эффективно применять методы теории оптимальной стабилизации и робастной устойчивости для решения поставленных задач. Это определяет актуальность темы исследований, направленных на развитие методов анализа управляемости дифференциально-разностных систем уравнений и адаптацию теории к решению прикладных задач по управлению техническими объектами и технологическими процессами.

Целью диссертационной работы является проведение исследований, направленных на развитие математических методов оценки робастности в системах управления динамическими системами, а также разработка специализированного математического аппарата и его адаптация к особенностям задач стабилизации формы и тока плазмы в термоядерных реакторах-токамаках и создание алгоритмического обеспечения для решения прикладных задач на основе полученных теоретических результатов.

При этом основное внимание в работе уделяется следующим направлениям исследований:

- развитию методов и алгоритмов оценки робастности системы по отношению к задержкам в каналах обратной связи в условиях достижения заданного уровня времени переходного процесса и частоты колебаний;

- созданию алгоритмов построения границ допустимых запаздываний в конкретных задачах по автоматизации процессов управления динамикой плазмы.

Методы исследований. Для решения задач, рассматриваемых в диссертации, привлекаются классические и современные методы анализа и синтеза динамических систем управления. Построение и исследование математических моделей объектов управления и оценки робастности регуляторов осуществляется с использованием современного аппарата математического анализа, теории функций комплексной переменной, высшей алгебры, теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна результатов состоит в разработке теории и новых вычислительных алгоритмов решения задач оценки робастности управляемых систем.

Разработаны методы получения оценок границ запаздываний для областей расположения собственных чисел, обеспечивающих заданный запас устойчивости и колебательности.

Предложены методы получения вышеописанных оценок для семейств квазиполиномов с неопределенными запаздываниями.

Введены понятия первого и второго радиуса устойчивости для модели параметрической неопределенности. Получены алгоритмы их вычисления.

Предложен алгоритм поиска приближенного решения уравнения Вольтерра.

Создан пакет программного обеспечения, реализующий сформированные в работе алгоритмы на ЭВМ. Работоспособность и эффективность принятого подхода и разработанного алгоритмического программного обеспечения подтверждена решением конкретных задач.

Практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются развитием теории робастной устойчивости дифференциально-разностных систем запаздывающего типа и могут быть использованы при анализе устойчивости и синтезе регуляторов управляемых динамических систем. Разработанные в диссертации методы и алгоритмы ориентированы на решение задач на базе широкодоступных вычислительных средств типа ЭВМ. Следует подчеркнуть, что практическая ценность работы состоит в ее изначальной ориентации на реализуемость как разрабатываемых алгоритмов, так и получаемых с их помощью законов управления в реальных условиях применения.

Апробация работы. Диссертация в целом, а также ее отдельные положения и полученные результаты докладывались на XXXI, XXXIII, XXXIV научных конференциях "Процессы управления и устойчивость" факультета прикладной математики и процессов управления (г. Санкт-Петербург), международном семинаре "Beam Dynamic and Optimization" (г. Саратов 2001), международной математической конференции "Еругинские чтения" (г. Брест. 2002), международной математической конференции "Еругинские чтения" (г. Витебск. 2003), международной конференции "Physics and Control" (г. Санкт-Петербург 2003), а также на семинарах кафедры теории управления СПбГУ.

Отдельные результаты диссертации использованы при выполнении научно-исследовательских работ по программе ИТЕР-ФЕАТ.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Зарецкий Д.В. Интервальный метод решения уравнения Вольтерра. // Труды XXXI науч. конф. "Процессы управления и устойчивость". СПб., 2000, С. 168-171.

2. Жабко А.П., Зарецкий Д.В. Анализ устойчивости управляемых систем с запаздыванием в каналах обратной связи. // Труды XXXII науч. конф. "Процессы управления и устойчивость". СПб., 2001.- С. 47-49.

3. Зарецкий Д.В., Ким А.Р. Универсальная программная оболочка для решения задач оптимизации. // Тезисы докладов международного семинара "Beam Dynamics & Optimization".- Саратов, 2001.- С. 54-58.

4. Жабко А.П., Зарецкий Д.В. О вычислении предельных запаздываний дифференциально-разностных систем в задаче устойчивости. // Труды международной математической конференции. "Еругинские чтения VIH". Брест, 2002 - С. 59-60.

5. Зарецкий Д.В. Устойчивость линейных дифференциально-разностных систем // Труды XXXIV науч. конф. "Процессы управления и устойчивость". СПб., 2003- С. 166-169.

6. Жабко А.П., Зарецкий Д. В. Анализ расположения корней квазиполинома с соизмеримыми неопределенными запаздываниями.

СПб// Труды международной математической конференции. "Еругинские чтения IXй. Витебск, 2003- С. 102-103.

7. А.Р. Zhabko, D.V. Zaretsky Robust stability of the linear time-delay systems with indefinite delay // International Conference "FHYSICS and CONTROL", Saint Petersburg, 2003, Pages 1050-1051.

Выводы

• Время стабилизации и колебание процесса слабо зависят от второго временного запаздывания. Система неустойчива для Т2 >30Ш5, динамика в норме для Т2 < 18шб .

• Время стабилизации и колебание процесса очень сильно зависят от первого временного запаздывания. Если Т{ < 5шэ, уровень п — 3 и Т = 5т5 является гарантированным .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Полученные в диссертации результаты являются развитием теории робастной устойчивости дифференциально-разностных систем запаздывающего типа и могут быть использованы при анализе устойчивости и синтезе регуляторов управляемых динамических систем. Эти результаты применялись при выполнении научно-исследовательских работ, проводимых НИИ ВМ и ПУ по программе ИТЕР-ФЕАТ.

Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту, являются следующие.

1. Разработаны методы получения оценок границ запаздываний для областей расположения собственных чисел, обеспечивающих заданный запас устойчивости и колебательности для систем с соизмеримыми запаздываниями.

2. Предложены методы получения вышеописанных оценок и границ для семейств квазиполиномов с неопределенными запаздываниями.

3. Введены понятия первого и второго радиуса устойчивости для модели параметрической неопределенности. Получены алгоритмы их вычисления.

4. Предложен алгоритм поиска приближенного решения уравнения Вольтерра в задачах построения регуляторов.

5. Выполнены практические расчеты для всех предложенных алгоритмов, подтверждающие их работоспособность и эффективность.

В диссертации решены поставленные задачи, получены алгоритмы построения оценок предельного запаздывания на случай расположения собственных чисел, обеспечивающий заданных запас устойчивости и колебательности. Предложенные методы позволяют проанализировать асимптотическое поведение изучаемых систем при неограниченном возрастании времени.

1. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. 233с.

2. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240с.

3. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М., 1967.

4. Беллман Р., Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений, ИЛ, 1954.

5. Березин И .С., Жидков Н.И. Методы вычислений. М.: Физматгиз. Т.2. 1960. 620 с.

6. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.,1979.

7. Гамбасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.,1971. 508 с.

8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М, 1967.

9. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967.

10. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. М., 1979

11. Жабко А.П., Харитонов B.JI. Методы линейной алгебры в задачах управления. СПбГУ, 1993.

12. Жабко А.П. Разностные преобразования систем линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием. Вопросы механики и процессов управления. Вып.7. J1., 1984. С.35-44.

13. Жабко А.П. Построение функционала Ляпунова в стационарной линейной системе с запаздыванием. Вопросы механики и процессов управления. Вып. 10. JL, 1987. С.33-37.

14. Жабко А.П., Зубов Н.В., Прасолов A.B. Методы исследования систем с последействием. JL, 1984. Деп. В ВИНИТИ N 2103-84.

15. Жабко А.П., Зарецкий Д.В. Устойчивость дифференциально-разностных систем с неопределенными параметрами. Труды международной математической конференции "Еругинские чтения VIII". Брест. 2002.

16. Жабко А.П., Зарецкий Д.В. Анализ расположения корней квазиполинома с неопределенными соизмеримыми запаздываниями. Труды международной математической конференции "Еругинские чтения IX". Витебск. 2003.

17. Жабко А.П., Зарецкий Д.В. Анализ устойчивости управляемых систем с запаздыванием в каналах обратной связи. Труды XXXI научной конференции "Процессы управления и устойчивость". СПб. 2000.

18. Зарецкий Д.В. Интегральный метод решения уравнения Вольтерра. Труды XXX научной конференции "Процессы управления и устойчивость". СПб. 1999.

19. Зарецкий Д.В. Ким А.Р. Универсальная программная оболочка для решения задач оптимизации. "Beam Dynamics & Optimization" Proceedings of Intern. Workshop. Saratov. 2001.

20. Зарецкий Д.В. Устойчивость линейных дифференциально-разностных систем с неопределенными соизмеримыми запаздываниями. Труды XXXIV научной конференции "Процессы управления и устойчивость". СПб. 2003.

21. Зубов В.И. Методы A.M. Ляпунова и их применение. Л., ЛГУ, 1957, 242 с.

22. Зубов В.И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. Л., 1962, 630 с.

23. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М., 1975.

24. Зубов В.И. Теория уравнений управляемого движения. Л., 1979.

25. Зубов В.И. Теория колебаний. М., 1979.

26. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М., 1971.

27. Колмагоров А.Н. и Фомин C.B., Элементы теории функций и функционального анализа, изд. МГУ, вып. (1954), вып. (1960)

28. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. M., 1959.

29. Красовский H.H. Теория управления движением. М., 1968.

30. Крейн М.Г., Неймарк М.А. Методы симметрических и эрмитовых форм в теории отделения корней алгебраических уравнений. Харьков, 1936.

31. Курош А.Г., Курс высшей алгебры, "Наука", 1965.

32. Ландау Э., Введение в дифференциальное и интегральное исчисление.

33. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М., 1950.

34. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. Москва: Гостехиздат, 1951. 250с.

35. Марков A.A. О функциях, получаемых при обращении рядов в непрерывные дроби. Зап. АН СССР. 1984. Т.74 N2. С. 1-30

36. Малкин И.Г., Теория устойчивости движения, "Наука", 1966.

37. Мейман H.H., Чеботарев Н.Г. Проблема Рауса-Гурвица для полиномов и целых функций. Тр. Мат. Ин-та. 1949. Т.26.

38. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М, 1972.

39. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений, Гостехиздат, 1949.

40. Неймарк Ю.И. Д-разбиение пространства квазиполиномов (к устойчивости линеаризованных распределенных систем) ПММ. 1949. Т.13.

41. Неймарк Ю.И. Структура Д-разбиения пространства полиномов и диаграммы Вышнеградского. Докл. АН СССР. 1948. Т.52. С.853-856.

42. Петровский И.Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

43. Персидский C.K. К исследованию устойчивости сложных систем дифференциальных уравнений. И Прикладная математика и механика, 1970. -Т.З, N2.- С.219-226.

44. Прасолов A.B. Аналитические и численные методы исследования динамических процессов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1995. 146 с.

45. Прасолов A.B. О построении периодического решения для системы второго порядка с запаздыванием. Дифференц. уравнения. 2000, N4, С. 470-474.

46. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М., 1961.

47. Понтрягин JI.C. О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций. Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1942. Т.6.

48. Понтрягин JI.C. О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций (добавление). Докл. АН СССР. 1953. Т.91. С. 1279-1280.

49. Рудин У. Основы математического анализа. М., 1976.

50. Смирнов В.И., Курс высшей математики, т. III, ч. 1, Наука, "1967".

51. Смирнов Н.В., Смирнова Т.Е. Синтез многопрограммных управлений в билинейных системах // Прикладная математика и механика. 2000. Т. 64, вып. 6. С. 929-932.

52. Смирнов Н.В., Жабко А.П., Екимов A.B. Анализ асимптотики решения системы интегральных уравнений типа свертки с нормированным ядром // Вестник СПбГУ. Сер. 1. Математика, механика, астрономия. 2000. Вып. 1, № 1. С. 27-34.

53. Степанов В.В., курс дифференциальных уравнений, Физматгиз, 1959.

54. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М., 1984. 416 с.

55. Фрезер Р., Дункан В. и Коллар А., Теория матриц и ее приложения, ИЛ, 1950.

56. Харитонов В.Л. Определение максимального запаздывания в задачах стабилизации. Дифференциальные уравнения, N4, том XVII, 1982.

57. Харитонов В.Л. Семейства устойчивых квазиполиномов. АиТ. 1991. N7.

58. Харитонов В.Л. Проблема Рауса-Гурвица для семейств полиномов и квазиполиномов. Математическая физика. Киев. 1979. Вып.26. С.69-79.

59. Харитонов В.JI. Задача распределения корней характеристического полинома автономной системы. Автоматика и телемеханика. 1981. N5. С. 42-47.

60. Харитонов В.Л. Устойчивость одного семейства разностных систем. Автоматика и телемеханика. 1990. N3. С.38-45.

61. Харитонов В.Л., Хитров Г.М. К решению матричного уравнения Ляпунова. Управление динамическими системами. Л., 1978. Вып.2. С.259-264.

62. Kharitonov V.L. Interval stability of quasipolynomial. Control of Uncertain Dynamic Systems. CRC Press, 1991. P. 439-446.

63. Хейл Д. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М., 1984.

64. Чебышев П.Л. Полное собрание сочинений. В 5 т. М.;Л., 1948.

65. Чеботарев Н.Г., Мейман H.H. Проблема Рауса-Гурвица для полиномов и целых функций. Тр. Матеем. Ин-та им. В.А. Стеклова, М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1949. Т. XXVI. С.331.

66. Чернецкий В.И. Математическое моделирование стохастических систем. Петрозаводск Изд-во 111 У, 1994. 488с.

67. Чернецкий В.И. Математическое моделирование динамических систем. Петрозаводск Изд-во Ш У, 1996. 432с.

68. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М., 1969.

69. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М., 1971.

70. Anderson B.D.O., Jury E.I., Mansour М. On robust Hurwitz polynomials. IEEE Trans. AC-32.1987. P.909-913.

71. Barmish B.R., Shi Z. A simple test for robust stability of delay systems. Proc. Amer. Control Conf. 1988. P.92-97.

72. Barmish B.R., Shi Z. Robust stability of perturbed systems with time-delay Automatica. 1989. V.25.371-381.

73. Bartlett A.C., Hollot C.V., Lin H. Root locations of an entire polytope of polynomials: it suffices to check the edges. Math. Contr. Signals & Systems. 1988. Vol.1. P.61-71.

74. Bhattacharyya S.P. Lecture notes in control and information sciences. New York, 1987. Vol.99.172p.

75. Faedo S. Un nuovo problema di stabilita per le equazioni algebriche a coefficienti reali. Aun. Scuola notm. super. Pisa sci. fis. Et mat. 1953. Vol.7. N 1-2. P.53-63.

76. Fu M., Olbrot A.M., Polis M.P. Robust stability for time-delay systems: edge theorem and graphical test. IEEE Trans. 1989. V. AC-34. N8. P.813-820.

77. Hermite C. Sur le nombre des raciness d'une equation on algebrique comprise entre des limites donnees. J. fur reine und angew, Math, 1856, Bd 52, C.39-51.

78. Hunrishsen D., Pritchart A.J. An application of state space methods to obtain explicit formulae for robustness of polynomials. In Robustness in identification and control. New York, 1989. P. 183-206.

79. Hurwitz A. Uber die bedingungen unter welchem eine gleichung nur wurzeln mit negativen relent teilen besitzi. Math. Ann. 1895. Bd 46. S.273-284.

80. Kaiman R.E. Algebraic characterization of polynomials whose zeros lie in a certain algebraic domains. Proc. Nat. Acad. Sci. 1969. Vol.64. N3. P.818-823.

81. Olbort A.W. Thirty two edge theorem for the robust stability of time delay and distributed parameter systems with an interval uncertainty model. Proc. Of the 1991 Amer. Contr. Conference (Boston). P.335-356

82. Rantzer A. Hurwitz testing sets for parallel polytopes of polynomials. System and Control Letters. 1990. V.15. P. 99-104.

83. Rantzer A. Stability conditions for polytopes of polynomials. IEEE Trans. 1992. V. AC-37. P. 79-89.

84. Schwengeler. Geometrische. Uber die Verteilung der nullstellen spezieller ganzer functionen (exponential summen). Dissertation, Zurich, 1925.

85. Soh C.B., Berger C.S., Dabke K.P. On the stability properties of polynomials with perturbed coefficients. IEEE Trans. AC-30. 1985. P.1033-1036.

86. Soh C.B., Berger C.S., Dabke K.P. Addendium to "on the stability properties of polynomials with perturbed coefficients". IEEE Trans. AC-32. 1987. P.239-240.

87. Stepan F. Stability charts for linear functional differential equations. Diff. equations. Szeged, 1984. Vol.47. P. 1049-1057.