автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Анализ многомасштабных структур и моделирование динамики их формирования на основе иерархического диффузионного подхода

На правах рукописи

Постников Евгений Борисович

Анализ многомасштабных структур и моделирование динамики их формирования На основе иерархического диффузионного подхода

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

2 5 АВГ 2011

Воронеж -2011

4852327

Работа выполнена в Курском государственном университете.

Научный консультант: докт. физ.-мат. наук, профессор

Лоскутов Александр Юрьевич, МГУ им. М.В. Ломоносова Официальные оппоненты: докт. физ.-мат. наук

Романовский Михаил Юрьевич, Президиум РАН; докт. техн. наук, профессор Ряжских Виктор Иванович, Воронежский гос. технол. ун-т; докт. физ.-мат. наук, профессор Чуем Геннадий Николаевич, Ин-т теор. и экспер. биофизики РАН

Ведущая организация:

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана

Защита состоится Ц сентября 2011 г. в 15.10 на заседании диссертационного совета Д 212.038.20 при Воронежском государственном университете, расположенном по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан «_/_» 1 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь ///

диссергационного совета, к.ф.-м.н. С.А. Шабров

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Одной из актуальных проблем математического моделирования является изучение нелинейных процессов "реакция-диффузия", ведущих к возннкновению структур и распространению автоволн в сплощной среде. Использование единого математического аппарата позволяет унифицированным способом подойти к постановке и решению задач физической1, химической2 и биофизической кинетики''.

В частности, одной из важных примеров является процесс "диффузионно-ограниченной агрегации" (Diffusion-Limited Aggregation, DLA), предложенный Т. Виттеном и JI. Сандером, который служит универсальной моделью формирования фрактальных структур при электро- и химической депо-зиции микрочастиц из раствора, образования дендритных включений в минералах, электрического пробоя и других4. Наличие иерархии пространственных масштабов в конденсированных средах и описываемых по аналогии с ними, является предпосылкой одного из новейших подходов к их описанию - сетевого представления5, в рамках которого также отмечен аномальный динамический скейлинг.

Характерной чертой подобных процессов является возникновение распространяющихся фронтов реакции, формирующих бегущие автоволны. Классический подход к их описанию, заложенный работами А.Н. Колмогорова, И.Г. Петровского, Н.С. Пискунова и Р.Э. Фишера, базируется на сосуществовании двух процессов - локальной реакции в любой точке пространства и переносе реагентов за счет свободной неограниченной диффузии. Однако он неприменим в случае плотной среды с затрудненным массопереносом, а также взаимодействий, происходящих только на границе взаимно непроницаемых компонентов реакции. К подобным задачам реакционно-диффузионной кинетики конденсированных сред примыкают также и задачи о распространении контактных инфекций, в которых роль физико-химических реагентов играют маломобильные здоровые и инффицированные индивиды.

Эти факты привели ряд авторов к гипотезе о невозможности построения на основе дифференциальных уравнений в частных производных моделей процессов, происходящих в средах с существенными ограничениями на случайные блуждания, и необходимости введения феноменологических параметров обрезания функции плотности или использования интегро-дифферен-

1 А. Ю. Лоскутюв, А. С. Михайлов. Оспопы теории сложных систем. М: РХД, 2007.

2 P. Gray, S. К. Scott Chemical Oscillations and Instabilities: Non-linear Chemical Kinetics. — Oxford University Press, 1994.

3 J. D. Murray. Mathematical Biology II. — Springer, 2003.

4 T. C. Hatsey. Ditïusion-Limited Aggregation: A Model for Puttern Formation // Physics Today. — 2000. - Vol. 53. — Pp. 36-41.

5 M. Nemnan, A.-L. Barabdsi, D. J. Watts. The Structure and Dynamics of Networks. — Princeton University Press, 2006.

цигльных уравнений6, которые гораздо сложнее для качественного и количественного исследования.

Поэтом}' актуальной является задача детального исследования перехода от микроскопического стохастического описания (управляющее уравнение) к макроскопическому усредненному (уравнения типа Чепмена-Колмогорова-Фоккера-Планка) в подобных средах, а также методов решения полученных таким образом нелинейных диффузионных уравнений.

Не менее важной является и обратная к рассмотренной проблема; выявление локальной структуры уже сформированных сложных пространственных и временных распределений. В настоящее время одним из мощных инструментов для ее решения является непрерывное вейвлет-преобразование, которое нашло применение в самом широком круге задач физики и смежных наук7. Существующие методы расчета основаны на его непосредственном определении как интегрального преобразования свертки. Однако, такой подход содержит существенные трудности при обработке экспериментальных и модельных данных, представленных существенно неоднородными выборками, что требует выработки альтернативных подходов, базирующихся на теории многомасштабных диффузионных процессов.

Структуры, обладающие радиальной симметрией, требуют для анализа применения интегрального преобразования Ганкеля8. Однако существующий математический аппарат зачастую является недостаточным в случае данных, которые обладают выраженной иерархией пространственных или временных масштабов, на которых проявляются существенно различные свойства. В этом случае, вейвлет-преобразование, позволяющее проводить эффективную кратномасшабную декомпозицию выборки, представляется перспективным инструментом для проведения интегрального преобразования Ганкеля при его использовании для математического моделирования задач физики и обработки сигналов.

Цель и диссертационной работы. Анализ и моделирование сложных многомасштабных структур и динамики их формирования на основе последовательного комплексного подхода, основанного на решении систем линейных и нелинейных дифференциальных уравнений диффузионного типа.

В рамках данной цели выделены следующие задачи: 1) построение новых математических моделей контактных многомасштабных процессов роста фрактальных агрегатов, распространения автоволн в средах с ограниченным массопереносом и аномальной диффузии; 2) разработка новых методов анали-

6 V. Л. Bogoyavlenskiy, N. A. Chernova. Diffusion-limited aggregation: A revised mean-field approach // Phys. Rev. E. 2000. Vol. CI. Pp. 5422 0428.

7 S Mallat. A Wavelet Tour of Signal Processing. — Academic Press, 1999. S. Jaffard, Y. Meyer, R. D. Ryan. Wavelets. Tools for Science h Technology.— SIAM, 2001. Wavelets in Physics, Ed. by J. C. van den Berg. — Cambridge University Press, 1999.

8 The Transforms and Applications Handbook, Ed. by A. D. Poularikas. CRC Tress, 2000.

за многомасштабных структур на основе вейвлет-преобразования и 3) разработка, тестирование и приложения численных алгоритмов на основе данных методов и их реализация в виде комплекса программ.

Научная новизна. Разработан переход от микроскопического описания к среднеполевому диффузионному на основе последовательного учета иерархии пространственных и/или временных масштабов исследуемых структур, позволяющий единым образом получить новые:

• математические модели автокаталитических контактных процессов (формирование фрактальных кластеров и бегущих автоволн в средах с ограниченным массопереносом) и аномальной диффузии (супердиффузии), основанные на введении иерархии операторов диффузии, действующих на областях, доступных для процессов переноса и реакциях, определенных на их границах, а также аналитические аппроксимации и результат ты вычислительного эксперимента, полученные на основе разработанных оригинальных программных решений; разработанные модели, ь отличие от существующих, не требуют введения феноменологических подгоночных дробно-степенных функций и параметров обрезания для воспроизведения скейлинга, характерного для роста фракталов и аномальной диффузии, а также впервые в явном виде учитывают разделение масштабов полного перемешивания и контактного взимодействия

в задачах о моделировании реального химического реактора конечной толщины и распространения эпидемии в маломобильной популяции.

• методы расчета непрерывного вейвлет-преобразования с практически-значимыми вейвлетами (семейства Морле и Гаусса), основанные на его сведении к решению задачи Коши и начально-граничной задачи для системы диффузионных уравнений, расчета интегрального преобразования Ганкеля, базирующиеся на дискретном вейвлет-преобразовании;

• алгоритмы численного расчета предложенных вейвлет-методов, тестирование которых показало их преимущество по сравнению с существующими (использованными, в частности, в MATLAB Wavelet Toolbox, WaveLab) реализованные в виде программного комплекса (http://sourceforge.net/projects/wxmorlet/), и успешно примененные к задачам выделения нестационарных периодических структур в конденсированных средах.

Практическая значимость состоит в разработке новых методов моделирования и анализа многомасштабных структур, которые применимы для решения актуальных задач физики и смежных отраслей наук, в частности:

• сформирование фрактальных и сетевых структур с заданными масштабными и динамическими свойствами в физико-химической технологии и биофизике;

• анализ структур и сигналов на основе высокопроизводительных и высокоточных вейвлет-алгоритмов, в том числе при помощи реализованного программного продукта.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту.

1.. Метод перехода от микроскопического к среднеполевому диффузионному описанию, общий для моделирования широкого круга структур, порождаемых контактными автокаталическими процессами.

2. Расчет фрактальной размерности DLA-кластеров на основе диффузионной модели их роста, согласующийся с данными эксперимента и ре-эз'льтатами прямого микроскопического численного моделирования.

3. Модели формирования бегущих волн автокаталитических контактных реакций в сплошной среде с затрудненным массопереносом, их аналитические и численные решения, подтвержденные прямым численным моделированием и сравнением с экспериментальными эпидемиологическими данными.

4. Диффузионные методы расчета непрерывного вейвлет-преобразования на основе вейвлетов семейств Гаусса и Морле, обоснование их преимуществ применительно к анализу сложных многомасштабных структур и: реализованный на основе данных методов программный продукт.

5. Анализ нестационарных структур в гранулярных газах на примере анализа фотоизображений высокого разрешения главных колец Сатурна, полученных космическим аппаратом "Кассини".

6. Выявление физического смысла синхронизации масштабов вейвлетных фаз связанных хаотических осцилляторов на основе диффузионного подхода к вейвлет-преобразованию.

7. Среднеполевой расчет релаксационных процессов в сети типа "small world", объясняющий супёрдиффузионное поведение в натурном эксперименте и при прямом микроскопическом численном моделировании.

8. Метод вычисления интегрального преобразования Ганкеля на основе дискретного вейвлет-преобразования и обоснование его преимуществ на тестовых примерах.

Апробация работы. Результаты по теме диссертации были лично доложены автором на научных конференциях: SampTA'03: International Workshop on Sampling Theory and Applications (Austria, Salzburg, Strobl, May 26-30, 2003); VII International Symposium on Orthogonal Polynomial, Special Functions and Applications. (Denmark, Copenhagen, August 18-22, 2003) (грант ОргкомитетаНелинейные волны - 2004 (Н.Новгород, 29 февраля -7 марта 2004); VII международная школа "Хаотические автоколебания и образование струк-тур"(Саратов, 1-6 октября 2004); III Всероссийская конференция "Необратимые процессы в природе и технике" (Москва, 24-26 января 2005); ApplMath05: Applied Mathematics and Scientific Computing (Croatia, Brijuni, June 19-24, 2005); WavE2006: Wavelet and Applications Conference (Switzerland, Lausanne, July 10-14, 2006) (грант Оргкомитета)-, XVIII сессия Российского акустического общества (Таганрог, 11-14 сентября 2006) (диплом РАО за лучшую научную работу молодого ученого)-, ESF-Workshop "PDE Approaches to Image Processing" (Germany, Köln, Oktober 7-10, 2006) (приглашенный пленарный доклад)-, IV Всероссийская конференция "Необратимые процессы в природе и технике" (Москва, 29-31 января 2007); NBIC-ISBN 2007: Netherlands Bioinformatics Conference / Internationall Symposium on Networks in Bioinforma-tics (The Netherlands, Amsterdam, April 16-19, 2007); The Benelux Bioinformatics Conference (Belgium, Leuven, November 12-13, 2007); XV Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование" (Дубна, 28 января - 2 февраля 2008); 72. Jahrestagung der Deutsche Physikalische Gesellschaft und DPG Frühjahrstagung des Arbeitskreises Festkörperphysik mit anderen Fachverbänden und den Arbeitskreisen der DPG (Germany, Berlin, February 24-29, 2008); Dynamics Days Berlin - Brandenburg 2008 (Germany, Postdam, October 8-10, 2008) (участие поддержано грантом РФФИ 08-01-09297-моб-з)-, XVI Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование" (Пущино, 19-24 января 2009); Die Deutsche Physicalische Gesellschaft Frühjahrstagung der Sektion Kondensierte Materie (Germany, Dresden, March 22-27, 2009). Die Deutsche Physicalische Gesellschaft Frühjahrstagung der Sektion Kondensierte Materie (Germany, Regensburg, March 21-26, 2010).

Помимо этого, результаты работы докладывались на семинарах кафедр статистической физики, нелинейной динамики и стохастических процессов Берлинского университета имени Гумбольдтов, кафедры нелинейной динамики Института динамики и самоорганизации имени Макса Планка (Геттинген, Германия), Института высокопрозводительных вычислений Штуттгартского университета (Германия), Института математики Любекского университета (Германия), Пущине кой радиоастрономической обсеватории Астрокосмиче-ского центра ФИАН, кафедры функционального анализа Воронежского государственного университета.

Исследования были поддержаны грантами DAAD по программе "Михаил

Ломоносов" (2005, 2007) и грантом РФФИ 09-01-12133-офи-м (2009).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 40 работах, из них 18 статей в журналах, рекомендованных ВАК [1-18], монография [19], главы в двух коллективных монографиях [20, 21], 14 статей в прочих журналах, сборниках научных трудов и трудах конференций [22-37], 3 препринта [38-40]. Кроме того, разработанный программный комплекс размещен в репозитории открытого программного обеспечения: http ://sourceforge.net/proj ects/wxmorlet/.

Соответствие паспорту специальности. В соответствии с формулой специгльности 05.13.18 - "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" в диссертационном исследовании на базе единого подхода разработаны новые фундаментальные математические модели, методы и практически реализующие их алгоритмы и программы, примененные к широкому кругу задач физики конденсированного состояния, био- и астрофизики. ,Диссертационное исследование соответствует пунктам 1—5, 7 паспорта специальности.

Личный вклад автора. Все результаты, изложенные в диссертации, получены либо автором самостоятельно, либо при его непосредственном, активном и творческом участии. В работах, имеющих междисциплинарный характер! и выполненных с соавторами, автору принадлежит основная разработка вопросов, связанных с методами математического моделирования.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения. Текст изложен на 290 страницах, включая 82 рисунка и 2 таблицы. Для сохранения последовательности изложения, обзоры существующих подходов, относящихся к каждому из направлений исследований, вынесены во вводные параграфы каждой из глав. Список цитируемой литературы состоит из 312 наименований.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на зашиту научные положения.

В первой главе рассматривается среднеполевая модель диффузионно-ограниченной агрегации (DLA), сопровождаемой ростом фрактальных кластеров (далее - ФК) при необратимом присоединении броуновских частиц к растущему агрегату при их контакте. В начале приведен обзор имеющихся проблем физики конденсированных сред, которые могут быть описаны данной моделью, а затем представлены результаты оригинальных исследований.

Для моделирования роста ФК на основе дифференциальных уравнений

типа "реакция-диффузия" вводится так называемый "оператор контактной диффузии". Его физический смысл состоит в переходе к распределенной системе от микроскопического описания процесса, которое задано дискретным управляющим уравнением

А р(х,у)= (1)

и(х, У) [(р(х + а> У) + р(х -а,У) + р(х, У + а) + Р(х, У ~ «)) /41 вводящим взаимодействие только при непосредственном контакте броуновской частицы с частицей, принадлежащей кластеру. Здесь где и - плотность вероятности обнаружить броуновскую частицу, р плотность распределения частиц кластера в соседних "ячейках" с характерным размером а, равным диаметру частиц. В континуальном приближении при условии сохранения ненулевого значения диаметра частицы (первичное огрубление) искомая система диффузионных уравнений будет иметь следующий вид:

dtp = и\р + (a2/4)V2p] (2)

dtu = (a2/4)V2u - р [u + (a2/4)V2u] , (3)

где при выводе уравнения (3), описывающего плотность распределения блуждающих частиц, учетена также их свободная диффузия вдали от кластера. Исходя из микроскопической постановки задачи, в качестве граничных при г = R используются условия непроницаемости дти = дги — 0, что соотвеству-ет тому, что блуждание свободных частиц и рост кластера происходит внутри замкнутой окружности радиусом R. Соответственно, начальным условием для броуновской частицы, вбрасываемой на этой границе, является сосрдото-ченное распределение в виде дельта-функции Дирака u{r) ~ 5(г — R) и, аналогично, в начальный момент единственная частица-затравка расположена в центре рассматриваемого круга: p(r) ~ ¿~(г).

Однако система (2) - (3), как и близкая к ней система, предложенная в работе9, не дают решения с дробно-степенной зависисмостью плотности кластера от его радиуса, т.е. не описывают фрактальность объекта.

Поэтому ключевым моментом в дальнейшем построении модели является введение вторичного (временного) огрубления, далее ВО, основанного на том, что прибавление единственной частицы к границе кластера равносильно ее "размазыванию" тонким слоем по всему периметру, что в модели среднего поля соответствует пренебрежимо малой флуктуации. Поэтому допускается, что плотность кластера меняется только после того как свободные частицы адсорбировались по всему периметру, т.е. полностью заполнили поверхностный слой кластера. Таким образом удается избежать искусственных феноменологических допущений, используемых обычно для описания фракталов.

9 R. Ball, М. Nauenberg, Т. А. Witten. Diffusion-controlled aggregation in the continuum approximation // Phys. Rev. A. - 1984. - Vol. 29. — Pp. 2(117-2020.

В этом случае система (2) - (3) может быть представлена итеративной последовательностью дифференциальных уравнений

Рп+1 = р„ + Си [р + (а2/4) У2р] , (4)

-и(г,0) = У2и(г) — р„(г) [и(г) + (а2/4)У2(У(г)] , (5)

где п — номер итерации, соответствующий заполнению очередного слоя, и введена функция

Т'

и(г) = ^ |«(г,т)«*г, о

которая с точностью до нормировки дает усредненное по характерному времени сз'ществования свободной частицы Т* распределение свободных частиц в пространстве. Соотвествующее условие нормировки:

_ 2ят_а2_

а 27г/£/(р + а2У2р/4)п*г'

Численное решение (4) - (5) с тем же условиями непроницаемости на границ,5 области {дти(г)\т=оя = 0) подтверждает (рис. 1), что данный подход позволяет получить необходимую стпенную зависимость радиального распределения средней плотности кластера, а также промоделировать характерную динамику его роста. Метод ВО позволил получить также и аналитическое решение системы, выражающееся через преобразование Ганкеля.

Помимо процесса агрегации частиц одного сорта на плоскости, описанный подход обобщен на ФК в трехмерном пространстве (расчетная £>/ = 2.70, экспериментальная: Б] = 2.49), а также ФК, образованных в системе невзаимодействующих частиц нескольких сортов. Последняя ситуация реализуется в молекулярной физике при формировании структур путем осаждения частиц на. неоднородную подложку с заданной струюурой.

В мультикомпонентном случае уравнение агрегации (4) записывается для каждого сорта частиц, а (5) принимает вид

-«Чг.О) - ^ - ХУ'(г)^ V2и\г) - и\г)р\г).

Суммирование по всем сортам частиц отвечает ограничению подвижности блуждающих частиц формирующимся ФК как целым. Проведенное численное моделирование для частиц двух сортов показало, что рассматриваемая модель адекватно воспроизводит особенности среднего распределения плотности частиц в ФК: найденная О; = 1.75, что хорошо согласуется с опытным

Рис. 1. СЛЕВА: схема среднеполевого сведения микроскопической структуры ФК угловым усреднением к аксиально-симметричному распределению, разбитому на слои с радиальной толщиной, равной диаметру частицы (ФК для наглядности изображен в уменьшенном масштабе). СПРАВА: графики рассчитанной зависимости плотности кластера от радиуса в модели Ball et al (пунктирная линия, фрактальная размерность Dj — 1) и модели с ВО (штриховая линия, Ds = 1.78). Экспериментальное значение ¿>/ = 1.72.

значением 1.65 с учетом того, что среднеполевая модель априори подразумевает более плотное заполнение плоскости частицами ФК.

Во второй главе рассматриваемый новый подход применен к решению задачи о генерации автоколебаний и распространении бегущих автоволн в конденсированных средах с автокаталитической реакцией и массопереносом, существенно различным на разных пространственных масштабах.

В обзоре, приведенном в начале главы, обосновано, что классические модели "реакция-диффузия" не отвечают физической картине переноса взаимодействия в случае контактных процессов.

Решению этой проблемы посвящена остальная часть главы, в которой изложены результаты оригинальных исследований. Предлагаемый подход базируется на методе, изложенном в первой главе. Вводится разбиение пространства на ячейки с характерным размером а, как и в (1), каждая из которых рассматривается как содержащая группу частиц, которые могут реагировать путем автокаталитической реакции.

Первая часть результатов относится к рассмотрению индивидуальной ячейки, содержащих два реагента. Субстрат х поступает в ячейку через ее нижнюю границу и необратимо преобразуется в продукт у путем монотонной необратимой тримолекулярной реакции. В свою очередь, продукт может быть удален из ячейки тоже только через нижнюю границу. Такая ситуация характерна, например, для экспериментов по изучению реакции гликолиза в гелевом реакторе, открытым для обмена веществом только с одной стороны

(one-side fed gel reactor)10.

Предложена система уравнений, описывающая данный механизм с учетом диффузионного перераспределения вещества внутри ячейки,

dtx = д\х - ху2, dtV = д2у + ху2,

с граничными условиями (индекс п означает внешнюю нормаль): дпх\п=0 = -V, дпу|n=0 = wy.

Показано, что вертикальное стационарное распределение концентрации ys на отрезке [0, о], удовлетворяющее нелинейному уравнению на собственные значения

dly + (cs-ya)y2s=0 (6)

с граничными условиями

дпУа|„=о = V, dnys\rí=a = 0; ys|2=0 = v/w

при 3l'i ln) < 2Cj для всех п теряет стабильность и возбуждаются автоколебания, реапизующие принципиально новый механизм, не требующий введения петли обратной связи в уравнениях, описывающих динамику реакции в толще среды. В случае пространственно-неоднородного по радиусу втока субстрата в системе возникают кинематические фазовые волны, распространяющиеся за счет различной частоты локальных автоколебаний в радиальном нглравлении, см. рис. 2. Показано, что с увеличением размера ячейки собственные функции - решения (6) обладают свойством масштабной инвариантности у s L~2ys, п L2n.

Тг,кже анализирется связь данного явления с феноменом переворота фазы и изменения направления фазовой волны в системе Селькова с диффузией и Брюсеелятор, а а также впервые показана изомрофность математических моделей этих систем.

Вторая часть главы посвящена моделированию автоволн в неограниченной среде, представимой как совокупность ячеек, передача взаимодействия между которыми может осуществляться только на линия контакта их границ. В данной части работы рассматривается квадратичная автокаталическая реакция, которая отвечает не только важным физико-химических процессам в конденсированной среде (модели Лоттки, Филда-Короша-Нойеса), но и может быть использована как модель биофизических задач популяционной динамики. Каждая ячейка в рассматриваемой модели может находиться одном

10 il Verтеег (geb. Bagyan). Spatio-temporal dynamics of glycolysis in an open spatial reactor: Ph.D. thesis / Magdeburg Univ. — 20(18.

-10 -К ""0.......5.....10

-10-5.......0 5 10

Рис. 2. Сравнение экспериментальных фотографий распространения сходящейся кинематической гликолитической волны в геле [Э. Уегтеег, 2008] (слева) и ее численной модели на основе предложенного в данной работе подхода (справа).

из трех состояний: 5 (восприимчивое), I (активное) или Д (рефрактерное). Так как основной целью является анализ распространения волны на расстояния, существенно превышающие характерный размер ячейки, и времена, превышающие время релаксации распределения внутри ячеек, то принимается, что внутри каждой ячейки выполняется условие полного перемешивания. При условии нормирования парциальных значений указанных плотностей, когда 5,+ / + /? = 1, й1, I и Я интерпретируются как вероятности того, что данная ячейка примет одно из трех возможных состояний.

Исходя из того, что некоторая произвольная ячейка способна быть активированной ("инфицированной") одной из соседних за единичное время с вероятностью к/4, независимо от ориентации, переход от микроскопического управляющего уравнения к среднеполевому дифференциальному уравнению в частных производных аналогичен выводу (4) - (5):

Добавляя к (7) релаксационный член, соответствующий среднему времени релаксации г и вводя транспортный коэффициент О = ка2/4, при условии соблюдения закона сохранения полного числа частиц, получаем систему

Показано, что при переходе в сопутствующую систему координат (где V - скорость распространения бегущей автоволны), х' = х — ьЬ , для системы

дг = кБ [/ + (а2/4)У2/| .

(7)

<Э(/ = к(1 — Я— 1)1 + £>(1 — Д — /) V2/ — т~11, = т~г1.

(8)

Рис. 3. слева: форма автоволны для различного числа внутрених состояний ячейки (г = 1 (крестики), г = 5 (плюсы), г = 10 (звездочки)) при кг — 6 при микроскопическом моделировании методом Монте-Карло и решении (11), (12) (сплошная линия). Справа: пространственно-временная динамика эпиозотии (звездочки - первые записи о заболевании, кружки - моменты 50%-й смертности) и автоволны на основе сооттветствующей модели автэкаталической реакции (штриховая наклонная линия и вертикальный сплошной отрезок задают рассчитанные скорость автоволны и ее характерную полуширину).

(8) существует дополнительный инвариант

1п5 + КтЯ + Яг^ = 0. (9)

Тогда пространственная плотность 5 удовлетворяет автономному уравнению: НЯ гР Я 1

Исследование уравнения (10) показало, что его структура допускает приближенные аналитические решения в явной форме для переднего

=| [1+18^(^(3/-^))], (11)

и заднего

ад = ехр (Сехр ^ - кг) , (12)

фронтов волны, где х'0, С - константы, определяемые начальными условиями.

Совместное использование (11), (12) с инвариантами (9) и 5 + / + Я = 1 дает аналитическую форму волны:

1{х') = 1 - 5(аг0 + (кт^Ьад).

Сравнение с результатами прямого численного моделирования методом Монте-Карло показало, что полученные аппроксимации обладают высокой точностью для весьма широкого набора параметров, см. рис. 3. Видно, что согласие достаточно быстро улучшается при росте числа внутренних состояний ячейки, что согласуется с исходным допущением о переходе к континуальному описанию с помощью уравнений в частных производных на основе приближения локального среднего поля.

Практическая применимость разработанной математической модели продемонстрирована на примере биофизической задачи моделирования эпиоозо-тии 1988 года phocine distemper virus среди тюленей Северного и Балтийского морей, временная и пространственная динамика которой подробно документирована11. В данном случае три типа взаимодействующих частиц ассоциированы с восприимчивыми, инфицированными и переболевшими особями. На рис. 3 представлено сравнение результатов расчетов на основе уравнений (8) с экспериментальными данными. Видно, что модельные расчеты согласуются с природными наблюдениями с достаточно высокой точностью.

В третьей главе с точки зрения теории диффузионных процессов рассматривается новый подход к непрерывному вейвлет-преобразованию, определяемому как свертка исследуемой функции f(t) с комплексным сопряжением вейвлета гр(0:

Здесь 4 и Ь - временные (или, в зависимости от физической постановки задачи, координатные) переменные, а - масштаб, т.е. переменная, пропорциональная текущему периоду сигнала, С(а) - нормирующий множитель.

Разработанные методы применены к анализу структурообразования в неупорядоченной среде на примере радиального распределения вещества в главных кольцах Сатурна. Последняя задача является одной из наиболее актуальных проблем изучения специфической формы конденсированных сред - гранулярных газов - активное исследование которых ведется в настоящее время12.

Во вводной части главы приводится обзор свойств вейвлетных функций, входящих в преобразования вейвлетов, построенных на основе гауссианы, в частности, наиболее важного для анализа функций, содержащих локальные периодичности, стандартного вейвлета Морле

11 R. Dietz, М.-Р. Heide-Jergenson, Т. Harkdnen. Mass deai;h of harbour seals Phoca vitulina in Europe // Ambio. — 1989. - Vol. 18. — Pp. 258-264.

12 Granular Gases, Ed. by T. Poschel, S. Luding. — Springer, 2П01.

(13)

—oo

ф{£) =-■ eiu°te-\i\ С (a) = l/aV2i,

(14)

в амплитудной (модули базисных функций на всех масштабах ограничивают одинаковую площадь) нормировке, которая обеспечивает наиболее эффективный анализа сигналов.

Предложенный метод интерпретирует вейвлет^преобразование на основе выбодов теории диффузии. Представление (13) с (14) виде

а +2° «'-у и>(а,Ь)=е~Ъ | /(¿)6 Л, (15)

—оо

может рассмотрено как решение дифференциального уравнения в частных производных

даю = ад^т - ш0дьт, (16)

выраженное через функцию Грина. В пределе а —► 0 ядро преобразования

(15) переходит в дельта-функцию Дирака. Как следствие, показано, что искомое вейвлет-преобразование является решением задачи Коши для уравнения

(16) с начальным условием го (О, Ь) = /(Ъ) ехр(-и>ц/2).

Для конечной выборки, соответствующей случаю реальных экперимен-тальных данных о структуре конденсированных сред или временных рядов, отражающих их динамику, данная задача сводится к начально-граничной. Сравни ние численной реализации предложенного метода, проведенное на тестовых примерах (простая гармоника с различным сотношением длины ин-тервал8./периода; экспоненциально затухающая синусоида, сложенная с синусоидой постоянной амплитуды, отличной от нуля на ограниченном отрезке внутри: полного интервала, представленного выборкой с равноотстоящими и сзтцественно неравноотстоящими узлами), с известными методами вычисления зейвлег-преобразования (использование Быстрого преобразования Фурье в качестве промежуточного шага, использование предвычисленных фильтров), обосновывает следующие преимущества нового подхода: ¡) число узлов выборки, отличное от степени двойки или другого разложения на сомножители, не ограничивает скорость и точность расчетов; и) благодаря существованию' устойчивых конечно-разностных алгоритмов, применимых для численного решения (16) и простых для расчетов на неравномерной сетке, при вычислениях автоматически достигается адаптация к локальным особенностям данных; Ш) независимое задание граничных условий на концах интервала позволяет компенсировать краевые эффекты.

Метод обобщен на полные семейства вейвлетов Морле и Гаусса с высшими исчезающими моментами, определяемых как производные от (14) и гауссианы 1р(/ъ) = ехр(-£2/2) соотвественно. В этих случаях искомое преобразование является суперпозицией решений дифференциальных уравнений вида

да\У1 = ад2ь\¥[ - шфьУ/1

ь

Рис. 4. Вейвлет-детектирование волн в щели Энке кольца А Сатурна (а) - фото, б) график радиального распределения вещества), порождаемых резонансным взаимодействием гранулярного газа со спутниками. Начало отсчета практически совпадает с положением резонанса 11:10 с Пандорой. Следующая волнообразная структура генерируется резонансом 15:14 с Прометеем. Первый цуг волн после щели порождается резонансом 12:11 с Пандорой. Наклонные черными линиями показаны соответствующие линии максимумов модуля вейвлет-преобразования (с).

с начальными условиями №,(0,Ь) = /(«)«'; индекс I принимает значения от 0 до И, где N - число исчезающих моментов. Для действительных вейвлетов гауссова семейства, служащих одним из основных средств анализа фрактальных и мультифрактальных свойств кластеров, образуемых при агрегации в коллоидных системах, электродепозиции и т.п., в том числе при БЬА-процес-се следует положить ы0 = 0.

Разработанным методом проведена обработка фотоизображений высокого разрешения, полученных космическим аппаратом "Кассини" в 2004-2005 гг для выделения и исследования периодических структур вещества в кольцах Сатурна А, В, С. Обсуждается их принадлежность к различным классам, связанных с характерными физическими причинам их формирования: резонансные волны, порождаемые гравитационным взаимодействием вещества кольца со спутниками планеты, см. например, рис. 4 (особо исследован вопрос об их перекрытии и сосуществовании, возможность решения которого обусловлена высокой точностью разработанного алгоритма кейвлет-анализа); квазигидродинамические волны, порождаемые эффектом вязкой надстабильности вещества кольца, рассматриваемого как сплошная конденсированная среда и т.д. В частности, результаты, представленные в диссертации и опубликованные

в статье [12] являются перспективными для исследования взимодействия пылевых структур с межпланетной плазмой, как отмечено в обзоре13.

В четвертой главе исследуются два направления, объединенны& методом учета различных пространственных масштабов в пространственной структуре и/или временной динамике.

В первой части главы вводится еще один новый подход к непрерывному вей влет-преобразованию со стандартным вейвлетом Морле, ориентированный на, изучение явлений хаотической синхронизации, важных в изучении автоколебательных процессов в динамике конденсированных сред. Он основан на введении переменной центральной частоты, входящей в качестве независимой переменной т в уравнение диффузии

где введено обозначение и = и)о/жа. Искомый вейвлет-образ связан с решением (17) взятым "в момент времени" г = при начальном условии и (О, Ь) == /(&) ехр(—¿7Г1/&), как ги(а, Ъ) = и (и, Ь) ехр(гииЬ).

Метод применяется к изучению вопроса о физическом смысле понятия хаотической синхронизации на примере связанных осцилляторов Ресслера

СШ1 = 0.98, и>2 = 1.03, Оо = 0.22, р = 0.1 с = 8.5, е = 0.05.

Интерес к системе (18), являющейся одним из классических модельных уравнений, описывающих хаотическую динамику ряда лазерных систем, проявляющих иррегулярную последовательность импульсного излучения. Важной проблемой при изучении подобных конденсированных сред является вопрос о наличии синхронизации отдельных осцилляционных источников при наличии их связи в распределенной среде. При этом для системы Ресслера в настоящее время была выдвинута гипотеза о наличии нового типа хаотической синхронизации - "синхронизации временных масштабов" 14. Она базируется: на факте, что несмотря на несинхронность фаз ее решений, определяемых: классическими методами (угловая переменная на фазовой плоскости, фаза преобразования Гильберта), при использовании фазы ф(а, Ь) комплексного вейшгет-образа w(a,b) = \w(a, b)j ехр(г^(а, b)) модуль разности мгновенных значений фаз остается ограниченным во времени ^(ао, b) — </Ь(«сь Ь)| < const для всех Ь.

13 р. К. ShiMa. В. Bliassan. Fundamentals of dust-plasma interactions // Rev. Mod. Phys. — 2009. — Vol. SI. - Pp. 2И4.

14 Л. E. Hramov, A. A. Koronovskii. Time scale synchronization of chaotic oscillators // Physica D. — 2005. - Vol. 206. - Pp. 252-264.

dru = (2?rV) 1 diu,

(17)

¿1,2 = -Wi,2у - 21,2 + e(a?2,i - £1,2).

2/1,2 = + O-0Vl,2 — Zl,2 + £(2/2,1 — 2/1,2),

¿1,2 = V + 21,2(2:1,2 - c)

(18)

Рис. 5. Временная эволюция разности фаз связанных хаотических осцилляторов Ресслера, вычисленной для следующих значений базисной частоты ши: 0.5тг, тг, 1.5л-, 2тг, 2.5тг, Згг, 3.5тг, 4тг. Видно, что для первые четыре кривые с течением времени нарастают, а вторые - остаются ограничеными сверху.

В данной работе проанализированы причины, вызывающие такую синхронизацию и выявлен параметр регуляризации - базисная частота ш0, превышение которой определенного порога приводит к: подавлению расходимости разности фаз. см. рис. 5.

Показано, что при —> 0 имеет место предельный переход к исходным фазовых кривым, т.е. стандартным определениям фазы. При малых величинах базисной частоты вейвлета Морле преобразование детектирует локализацию всплеска характерной протяженностью в один период. При этом в силу хаотичности сигнала, точная локализация всплесков 2:1,2 (£) флуктуирует и, соответственно, разность фаз накапливается. При росте ю0 временное разрешение вейвлета ухудшается, на его характерной ширине укладывается большее число периодов колебаний и флуктуации сдвига фаз между двумя сигналами за счет такого диффузионного усреднения сглаживаются по мере расширенния гаусова окна. Однако, при таких условиях становятся неразличимыми фазовые траектории, находящиеся внутри одного ограничивающего тора - более грубой топологической структуры. В результате детектирется синхронизация, однако не исходных хаотических сигналов, а усредненных движений по торам, ограничивающим аттракторы Ресслера в фазовом пространстве. Наконец, предельный переход со приводит к преобразова-

нию Фурье, которое выявляет несущие частоты сравниваемых сигналов, но полностью теряет информацию об их временной динамике.

Вторая часть главы посвящена иерархической по коэффицентам диффузии модели дифузиокных процессов в сети типа "small world" (далее SW-сеть), предложенной в работе ls. Данная модель является эффективным представлением структуры ряда неупорядоченных систем с существенным вкладом различных масштабов связей: высокомолекулярных соединений, (например, белков в глобулярном состоянии), ферромагнитного упорядочивания в системах с примесями (модель Изинга с малым вкладом взаимодействия удаленных спкнов), нейронный биологисеких сетей, социальных структур. Статистика натурных процессов и прямое численное моделирование показывают, что случайные блуждания на данной структуре проявляют свойства супердиффузии, когда среднеквадратичное смещение < x'¿{t) >~ ta с 0 < а < 2, скорость релаксации изначально локализованного распределения быстрее нормальной (временная зависимость от ~ t~052 до ~ £_ое в отличие от нормальной ~ Г05).

Рассматривается SW-сеть, сконструированная на основе регулярной одномерной решетки с периодическими граничными условиями, путем введения новых связей, каждая с вероятностью р может быть соединена с любым из других: узлов и ее отображение в иерархическую распределенную систему, см. рис. 6а.

Полная вероятность обнаружить частицу в j-м узле на fc-шаге подразделяется на парциальные таким образом, что

Птах

U{j,k) = Y,un{j,k). (19)

71 = 1

В этом случае управляющее уравнение для кал-сдой группы узлов:

+ 1) - wn(j, к) =

(unü + l.*) +«»(J - 1»*))/2+

Птах

+ (р/Птах) («i - «п) , (20) ¿=1

где выполняется следущие возможности для блуждающей частицы: 1) шаг с равной вероятностью в один из ближайших соседних узлов вдоль концентрической псдрешетки, другими словами, переход j —* j + 1 для группы, маркированной индексом п в (20), соответствует переходу j —* j + п ; 2) изменение принадлежности к группе с вероятностью р/птах, где 1 /птах -

15 Э. J. Watts, S. Н. Strogatz. Collective dynamics of 'small-world' networb // Nature. — 1998. — Vol. 393. — Pp. 440-442.

нормализующий множитель, учитывающий число "коротких путей". Таким образом, р/птах объединяет все W,tJ для связей с длинами, отличными от п. Как следствие, птл.т слагаемых рип/ть max дает вероятность оттока из п-й группы, равную рип.

Рис. 6. Среднеполевое моделирование диффузии на БШ-еети: а) Отображение в иерархическую решетку: каждому узлу оригинальной сети (слева) сопоставляется система узлов, расположенных вдоль радиальных линий (справа). Штриховые линии одного оттенка отмечают начальные и конечные точки путей с различной длиной шага. Ь) Зависимость расчетного среднеквадратичного смещения а, (сплошная линия) от времени, показывающая переход от нормальной диффузии (пунктирная линия, а = 1) к супердиффузии (штриховая линия, а = 1.62). Экспериментальные значения [Акпаая й е1, 2003] а = 1.55 - 1.60. с) Релаксация локализованного в начальный момент времени распределения плотности блуждающих частиц: сплошная линия, соответствующая рассчитанной плотности блуждающих частиц в начальной точке стремится к степенной зависимости с показателем степени -0.6, что согласуется с экспериментальными значениями реврегееп е1 а1, 2000], лежащими в пределах от -0.52 до -0.6.

Если число узлов в основной регулярной решетки достаточно велико, то после перехода к непрерывному пределу соотношение (20) принимает вид уравнения "реакция-диффузия"

дгип = Опд1ип + р (п~1хи - ип) (21)

с периодическими граничными условиями.

Здесь суммирование в реакционном члене производится с использованием определения (19), Оп - коэффициенты диффузии континуальной апрокси-мации на непрерывных окружностях, которая заменяет в таком приближении круговые подрешетки (см. рис. ба, справа). Они имеют значения Оп = п20\ вследствие формулы для среднеквадратичного смещения < х" >~ t, где £>1 соответствует случайному блужданию по основной регулярной решетке. Кроме этого, вводится допущение, что перераспределение по радиальным линиям, соединяющим окружности, не требует времени, так как каждый данный отрезок соотвествует одному узлу как целому. Полная плотность вероятности обнарз'жить частицу в точке с координатой х в момент времени t определяется выражением (19) с заменой к) —> (х, I).

На рис. (3 представлены результаты расчетов характеристик релаксации, проведенные на отрезке [-200,200] с непроницаемыми границами при значении р -= 0.01-, соответствующем данным16, Птах = 8, £>1 = 1 и начальных условиях и:(.г, 0) = (1 - р) ехр(—ип> 1(2,0) = \р/птах] ехр(~х2/В1).

В пятой главе основное внимание уделено математическим вопросам, связанным с использованием дискретного вейвлет-преобразования для учета локальных масштабных свойств функции при ее интегральном преобразовании Галкеля Рп(р), определяемого со своим обращением как

оо со

ВД = | ¡{г)ирг)гс1г, Ш = | ^(р)Л(рг)рф. (22)

о о

где ^п1'«^) ~ функция Бесселя. В работе исследованы случаи п = 0,1.

Во введении к главе приведен обзор области применения в области математического моделирования и чиленных методов, в том числе в задачах физики и техники (распространение акустических и электромагнитных волн в слоизтых средах и аксиально-симметричных волноводах; радиальный рост агрегатов, в частности, аналитическое среднеполевое описание БЬА-класте-ров, описанное в первой главе), что связано с тем, что в аксиально-симметричной геометрии оператор диффузии преобразованием (22) сводится к простому алгебраическому виду. На основе обзора известных методов его обоснована необходимость разработки новых подходов, ориентированных на работу с функциями, обладающими различным локальным поведением на различных интервалах области определения, таких как среда с различной стратификацией на. различных участках и многомасштабные фрактальные объекты.

Основная идея предложенного метода состоит в том, что для лучшего учета локальных свойств преобразуемой функции, "гладкий" сомножитель

16 S. Jesperatn, I. M. Sokolov, A. Blumen. Relaxation properties of small-world networks // Phys. Rev. E. — 200a. — Vol. 62. — Pp. 4405-4408. E. Almaas, R. V. Kidkarni, D. Stroud. Scaling properties of random walks; on small-world networks // Phys. Rex. E. — 2003. — Vol. 68. — P. 056105.

g(r) = f(r)r подвергается многомасштабному разложению по функциональному базису, состоящему из вейвлетов ipjk(r) = 2(2>г - к) с шагом к и масштабом j, построенных на полиномиальных сплайнах:

9(r) = £je^ez dMr), где djk = 2^ g(r)dr - g(r)dr\ .

При этом пространственной локализации и самоподобия при'изменении масштаба достигается путем сжатия и сдвига единственной функции например, для простейшего члена семейства - вейвлета Хаара w(t) = 1 is (0,1/2), „(t) = -1, { е (1/2,1), = 0, £ g (0,1).

При этих условиях явная формула для преобразования Ганкеля первого порядка имеет вид

= ? {g <*>* № (рА) - Л (р(к -ь 1))] +

00 1 1 (23)

Е g^fc [2У0 (р(к + |)2"J) - J0 (р(к + 1)2->) - J0 (pk2-i)] I '

где коэффициенты crjk имеют смысл среднего значения функции g (г) = f{r)r на отрезке [/с,/с+1], a djk - коэффициенты детализации, определенные выше.

Одной из существенных сторон такого представления является то, что (23) - точное, а не приближенное выражение. Соответственно, в силу ортогональности функций и относительно простых для вычисления интегралов входящих в данные ряды, (23) может быть использовано при проведении аналитических преобразований, таких как среднеполевое описание динамики роста фрактальных кластеров.

Кроме того, так как коэффициенты детализации djk убывают весьма быстро на участках, где функция д{г) является достаточно гладкой и их можно считать отличными от нуля только на участках резкого ее изменения, то выражение (23) упрощает и численного моделирование в аксиально-симметричных задачах физики сплошных сред.

При при заданном уровне точности г (ненулевыми считаются только djk > е) точность аппроксимации функции g усеченной функцией де задана

оценкой Д = (у ~ де К2)1/2 < епу2^ где щ _ количество выброшенных коэффициентов. Один из тестовых примеров показан на рис. 7. Видно, что даже первые несколько уровней вейвлет-разложения дают приближение исходной функции с достаточно высокой точностью.

Предложенный подход, как это отмечено в 17, послужил основой началу ведущейся в настоящее время активной разработки вейвлет-методов для численного преобразования Ганкеля.

1 Г У; i" Sinti а R Sinsh• Р- К- PandeV- Efficient algorithms to compute Hankel transforms using wavelets // Comp. Phys. Comm. 2008. Vol. 17U. Pp. 812 818.

Рис. 7. Верхний рисунок: исходная функция (слева), ее преобразование Ганкеля (справа): точное - сплошная линия и приближенное (пунктир) с использование вейвлет-алгоритма на уровне 7 = 3. Нижний рисунок слева: абсолютная ошибка преобразования для различных максимальных уровней промежуточного разложения по базису Хаара -7 = 2 (сплошная линия), 7 = 3 (штриховая линия), 7 = 4 (пунктирная линия), а также на большем интервале при 7 = 3 (справа).

В Заключении приводятся основные выводы: Построены следующие принципиально новые модели:

» Динамическая модель диффузионно-ограниченной агрегации, которая впервые позволила получить корректное значение фрактальной размерности ОЬА-кластера и промоделировать его рост на основе диффереци-альных уравнений в частных производных типа "реакция-диффузия".

® Модель автоколебаний в химическом реакторе конечного объема, разделяющая основные факторы, обуславливающая их существование, на однонаправленную автокаталитическую реакцию в толще среды и петлю обратной связи (потокам обмена реагентами с внешеней средой), вынесенную в граничные условия, что соотвествует реалистичным условиям физико-химического эксперимента. Данная модель позволила впервые объяснить формирование сходящихся гликолитических автоволн, наблюдаемых экспериментально и показать существование автоколебаний в системах с однонаправленной химической реакцией.

<» Модель распространения контактной инфекции в маломобильной попу-

ляции, позволишая объяснить все типы эпидемических волн Кендалла в данной системе и подтвержденная сравнением с микроскопическим моделированием и воспроизводящая природные эпидемиологические данные.

1 Среднеполевая модель релаксации и аномальной диффузии на сети типа "small world", впервые позволившая воспроизвести данные процессы в такой структуре, на основе дифференциальных уравений в частных производных без привлечения аппарата дробных производных с фено-менолочическими степенными показателями.

Разработаны новые методы:

Метод вторичного огрубления, впервые позволивший учесть конечный объем частиц, формирующих фрактальные агрегаты, что позволяет получить дробную фрактальную размерность с модели, основанной на переходе к дифференциальным уравениям в частных производных.

Метод расчета непрерывного вейвлет-преобразования, основанный на его сведении к задаче Коши для дифференциальных уравнений в частных производных, показавший свою эффективность как на тестовых примерах, так и при обработке современных экспериментальных данных о структуре колец Сатурна, полученных аппаратом "Кассини".

Метод использования дискретного вейвлет-преобразования в качестве промежуточного шага при расчете преобразования Ганкеля, обоснованный на тестовых примерах и заложивший основу для дальнейших современных исследований в данном направлении.

Реализованы новые алгоритмы:

Алгоритм численного расчета вейвлет-преобразования с вейвлетом Мор-ле, основанный на дискретизации системы уравнений метода расчета непрерывного вейвлет-преобразования, основанного на его сведении к задаче Коши, и его программная реализация в виде программного комплекса (http ://sourcef orge.net/proj ects/wxmorlet/).

Список публикаций

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

[1] Е. В. Postnikov, А. В. Ryabov, A. Yu. Loskutov. Analysis of patterns formed by two-component diffusion limited aggregation // Phys. Rev. E. — 2010. — Vol. 82. P. 051403.

[2] E. B. Postnikov, E. A. Lebedeva. Decomposition of strong nonlinear oscillations via modified continuous wavelet transform 11 Phys. Rev. E. — 2010. - Vol. 82. - P. 057201.

[3] E.B. Postnikov, A. Yu. Verisokin, D. V. Verveyko, A. I. Lavrova. Self-sustained biochemical oscillations and waves with a feedback determined only by boundary conditions 11 Phys. Rev. E. - 2010. - Vol. 81. - P. 052901.

[4] E. B. Postnikov. Hierarchical mean-field model describing relaxation in a small-world network // Phys. Rev. E. - 2009. - Vol. 80. - P. 062105.

[о] E. B. Postnikov. Wavelet phase synchronization and chaoticity // Phys. Rev. E. - 2009. - Vol. 80. - P. 057201.

[6] А. И. Лаврова, E. Б. Постников, Ю. M. Романовский. Брюсселятор — .абстрактная химическая реакция? // УФН,— 2009.— Т. 179.— С. 1327-1332.

[7] A. I. Lavrova, L. Schimansky-Geier, Е. В. Postnikov. Phase reversal in the Selkov model with inhomogeneous influx // Phys. Rev. E. — 2009. — Vol. 79.- P. 057102.

[8] U. Naether, E. B. Postnikov, I. M. Sokolov. Infection fronts in contact disease spread // Eur. Phys. J. B. - 2008. - Vol. 65. - Pp. 353-359.

[9j E. Б. Постников. Представление вейвлет-преобразования с вейвлетами гауссова семейства суперпозицией решений дифференциальных уравнений в частных производных // Вычислительные методы и программирование. - 2008. - Т. 9. - С. 84-89.

[10] Е. В. Postnikov, А. В. Ryabov, A. Loskutov. Generalization of the DLA process with different immiscible components by time-scale coarse graining // J. Phys. A.- 2007,- Vol. 40. - Pp. 12033-12042.

[11] E. Б. Постников. О точности синхронизации вейвлетной фазы хаотических сигналов // ЖЭТФ. - 2007. - Т. 132, № 3. - С. 742-745.

[12] Е. Б. Постников, А. Ю. Лоскутов. Вейвлет-анализ тонкой структуры колец В и С Сатурна по данным аппарата"Кассини" // ЖЭТФ — 2007 — Т. 131, № 3.-С. 752-759.

[13] Е. В. Postnikov, I. М. Sokolov. Continuum description of a contact infection spread in a SIR model // Mathematical Biosciences. — 2007,— Vol 208 — Pp. 205-215.

[14] E. В. Постников. Вычисление непрерывного вейвлет-преобразования как решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений в частных производных // Журн. выч. мат. и мат. физики. - 2006 -Т. 46, № 1. - С. 77-82.

[15] Е. Б. Постников, А. Ю. Лоскутов. Анализ мелкомасштабных волновых структур кольца А Сатурна по данным межпланетного аппарата "Кассини" // ЖЭТФ. - 2005. - Т. 128, № 4. - С. 752-759.

[16] А. Б. Рябов, Е. Б. Постников, А. Ю. Лоскутов. Модель DLA в континуальном среднеполевом приближении // ЖЭТФ, — 2005. —Т 128 Ш 2 — С. 292-299.

[17] П. С. Зыков, Е. Б. Постников. Применение вейвлет-преобразования с кусочно-линейным базисом для вычисления преобразования Ганкеля // Журн. выч. мат. и мат. физики. — 2004. — Т. 44, № 3. — С. 421-425.

[18] Е. В. Postnikov. About calculation of the Hankel transform using preliminary wavelet transform // J. Appl. Math. — 2003. — no. 6. — Pp. 319-325.

Прочие публикации:

[19] E. В. Постников. Методы математической физики в обработке сигналов и изображений. Munchen: GRIN Verlag, 2009.

[20] Е. В. Postnikov. Partial Differential Equations as a Tool for Evaluation of the Continuous Wavelet Transform // Mathematical Physics Research Developments / Ed. by M. B. Levy. Nova Science Publishers, 2009. Pp. 1-36.

[21] E. B. Postnikov, A. Yu. Loskutov. Continuous Wavelet Transform as an Effective Tool for the Detecting of Saturn Rings' Structure // Space Exploration Research / Ed. by J. H. Denis, P. D. Aldridge. - Nova Science Publishers, 2009. - Pp. 341-360.

[22] E. B. Postnikov, I. M. Sokolov. Anomalous lateral diffu-sion in a layered medium // Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft. Reihe Vi. - 2010. - Vol. 45, no. 3. - P. 281.

[23] A. Yu. Verisokin, D. V. Verueyko, E. B. Postnikov, А. I. Lavrova. Model of Glycolytic Traveling Waves Control in 3D Spatial Reactor // IEEE Central Applications, (CCA) & Intelligent Control, (ISIC). - 2009. - Pp. 194-198.

[24] E. Б. Постников. Вейвлет-лреобразование с вейвлетом Морле: методы расчета, основанные на решении диффузионных дифференциальных уравнений // Компьютерные исследования и моделирование. — 2009. — T. I, № 1. С. 5 12.

[25] Е. Б. Постников. Непреывное вейвлет-преобразование сигналов, представленных выборкой с неравноотстоящими узлами: применение диффузионных дифференциальных уравнений // Математика. Компьютер. Оборазование: Сб. научных трудов. Т. 2/ Под ред. Г.Ю.Ризниченко и А.Б.Рубина. - М.-Ижевск:: РХД, 2008,- С. 211-218.

[26] Е. В. Postnikov. The hierarchical system of PDE ana a diffusive anomalous spread in media with multiscale connections // Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft. Reihe VI. - 2009. - Vol. 44, no. 5. - P. 233.

[27] E. Б. Постников. Среднеполевые модели диффузионных процессов в системах: с контактным взаимодействием и на сети с дальними связями // Сборник материалов научного семинара программы "Михаил Ло-моносов'12007/2008 гг. (Москва, 18-19 апреля 2008). - M.: DAAD, 2008. -С. 169-172.

[28] Е. Б. Постников. Современные методы численнного вычисления преобразования Ганкеля // Ультразвук и термодинамические свойства вещества.— Т. 34-35.— Курск: Изд-во КГУ; Российское Акустическое общество, 2008. - С. 148-158.

[29] Р. В. Киселев, Е. Б. Постников. Компьютерная реализация вейвлет-ана-лиза акустических сигналов на основе алгоритма, использующего численное решение дифференциальных уравнений в частных производных // Акустические измерения и стандартизация. Электроакустика. Ультразвук и ультразвуковые технологии. Атмосферная акустика. Акустика океана. Сборник трудов XIX сессии Российского акустического общества. - Т. 2. - М.: ГЕОС, 2007. - С. 7-9.

[30] Е. Б. Постников. Моделирование процессов диффузии в сетях типа small world связанными дифференциальными уравнениями в частных произ-

водных // Необратимые процессы в природе и технике: Труды Четвертой Всероссийской конференции. 29-31 января 2007. — МГТУ ФИАН 2007.-С. 48-51.

[31] Е. Б. Постнъ ж os. Частотно-временной анализ нестационарных сигналов при помощи интегрального вейвлет-преобргзования, основанного на решении дифференциальных уравнений в частных производных // Акустические измерения и стандартизация. Электроакустика. Ультразвук и ультразвуковые технологии. Атмосферная акустика. Акустика океана. Сборник трудов XVIII сессии Российского акустического общества — Т. 2.-М.: ГЕОС, 2006. - С. 46-48.

[32] Е. Б. Постников. Модифицированная континуальная SIR-модель распространения контактной инфекции // Сборник материалов научного семинара программы "Михаил Ломоносов"2005/2006 гг. (Москва, 24-25 апреля 2006). - М.: DAAD, 2006. - С. 159-162.

[33] А. Б. Рябов, Е. Б. Постников, А. Ю. Лоскутов. Среднеполевое описание агрегации с ограниченной диффузией в пространстве различной размерности // Необратимые процессы в природе к технике: III Всероссийская конференция (Москва, 24-26 января 2005).- М.: Изд-во МГТУ 2005 -С. 43-45.

[34] Е. Б. Постников. Проведение преобразования Ганкеля с использованием вейвлетов и перспективы его применения для решения акустических задач // Ультразвук и термодинамические свойства, вещества, — Т. 30-31. Курск: Изд-во КГУ; Российское Акустическое общество 2004. - С. 120-124.

[35] Е. В. Postnikov. Using Wavelets Based on B-splines for Calculation of the Hankel Transform // WSEAS Trans. Math. 2004 Vol 3 no 1 Pp. 250-253.

[36] А. В. Рябов, E. Б. Постников, А. Ю. Лоскутов. Fractal growth dynamics of DLA-clusters in a mean field approximation // Хаотические автоколебания и образование структур: Материалы VII международной школы. — Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Коледж", 2004. — С. 167-168.

[37] Е. Б. Постников, А. Б. Рябов, А. Ю. Лоскутов. Использование дифференциальных уравнений в частных производных для изучения иррегулярных структур путем непрерывного вейвлет-преобразования // Хаотические автоколебания и образование структур: Материалы VII международной школы. - Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Коледж"', 2004. - С. 28-29.

[38] E. B. Postnikov, A. Loskutov. Analysis of Saturn main rings by continuous wavelet transform with the complex Morlet wavelet // arXiv:astro-ph/0502375. - 2006. - Pp. 1-23.

[39] E. B. Postnikov, A. Loskutov. Wavelet transform and diffusion equations: applications to the processing of the "Cassini" spacecraft observations // ar.Xiv:astro-ph/0502375. - 2005. - Pp. 1-9.

[40] E. B. Postnikov, A. Y. Loskutov, S. A. Larionov et al. Analysis of DNA structure as a 2D random walk by complex wavelet transform // Nature Precedings <http://dx.doi.org/10.1038/npre.2007.U61.1>. - 2007.

Постников Евгений Борисович

АНАЛИЗ МНОГОМАСШТАБНЫХ СТРУКТУР И МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ИХ ФОРМИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ ИЕРАРХИЧЕСКОГО ДИФФУЗИОННОГО ПОДХОДА

Автореферат

Подписано в печать 31.05.2011 г. Формат 60x84/16 Бумага офсетная. Печать офсетная Тираж 100. Заказ № 2.Л&?

Изд -во Курского государственного университета

_305000, г. Курск, ул. Радищева, д. 33__

Отпечатано в лаборатории информационно-методического обеспечения КГУ

Введение

Глава 1. Среднеполевое описание диффузионно-ограниченной агрегации.

1.1. Введение: диффузионно-ограниченная агрегация (БЬА) как универсальная модель фрактального структурообразования

1.2. Среднсполевая модель роста БЬА-кластера [1-3]

1.3. Диффузионно-ограниченная агрегация в системе с двумя сортами невзаимодействующих частиц [4, 5]

1.4. Обсуждение перспектив среднеполевого подхода для моделирования диффузионно-ограниченной агрегации

1.5. Выводы по моделированию БЬА-процесса

Глава 2. Моделирование бегущих автоволн в среде с автокаталитической реакцией и затрудненным массопереносом

2.1. Введение: проблема описания реакционно-диффузионных автоволи в конденсированной среде при контактных процессах

2.2. Локальные автоколебания и автоволны в ячейках конечного размера [6-8].

2.3. Математическая модель автоволны, распространяющейся в однородной среде при затрудненном массопереносе и контактной квадратичной автокаталитичесой реакции [9-12].

2.4. Сравнение аналитических результатов с результатами моделирования методом Монте-Карло [10]

2.5. Апробация на реальных эпидемиологических данных [9, 11]

2.6. Обсуждение и перспективы применеиия модели контактных процессов

2.7. Выводы по метематическому моделированию автоволн с среде с затрудненным массопереносом.

Глава 3. Непрерывное вейвлет-преобразование с точки зрения дифференциальных уравнений в частных производных и его приложение к анализу структурообразования

3.1. Введение

3.2. Действительнозначные вейвлеты гауссова семейства и их приложения в обработке изображений.

3.3. Комплексное непрерывное вейвлет-преобразование с вейвлетом Морле как задача Коши для системы дифференциальных уравнений в частных производных [13-19].

3.4. Непрерывное вейвлет-преобразования с вейвлетами семейств Гаусса и Морле как суперпозиция решений системы уравнений в частных производных [13, 19, 20]

3.5. Исследование волновых структур вещества главных колец Сатурна [21-25]

3.6. Выводы и перспективные направления приложения разработанных методов для исследования физико-химических и биофизических конденсированных сред [3, 26].

Глава 4. Исследование хаотической синхронизации и аномальной диффузии путем решения диффузионных уравнений с иерархией переменных коэффициентов диффузии.

4.1. Введение: проблемы детектирования и описания хаотической синхронизации.

4.2. Задача Коши для непрерывного вейвлет-преобразования с переменным разрешением [13, 15, 27, 28, 28, 29]

4.3. Введение: сетевые структуры типа "small world" и случайные блуждания на них.

4.4. Средиеполевое описание аномальной диффузии в сети типа "small world" [12, 29-31].

4.5. Выводы и и перспективы.

Глава 5. Использование вейвлетного базиса для анализа неупорядоченных многомасшабных структур с использованием интегрального преобразования Ганкеля.

5.1. Введение: применение преобразования Ганкеля в современных задачахд

5.2. Известные методы приближенного и численного вычисления преобразования Ганкеля

5.3. Использование дискретного вейвлет-преобразования для проведения преобразования Ганкеля [32-37]

5.4. Выводы и перспективы применения вейвлетов для расчета преобразования Ганкеля

Актуальность работы. Одной из актуальных проблем математического моделирования является изучение нелинейных процессов "реакция-диффузия", ведущих к возникновению структур и распространению автоволн в сплощной среде. Использование единого математического аппарата позволяет унифицированным способом подойти к постановке и решению задач физической [38], химической [39] и биофизической кинетики [40].

В частности, одной из важных примеров является процесс "диффузионно-ограниченной агрегации" (Diffusion-Limited Aggregation, DLA), предложенный Т. Виттеном и JL Сандером, который служит универсальной моделью формирования фрактальных структур при электро- и химической депо-зиции микрочастиц из раствора, образования дендритных включений в минералах, электрического пробоя и других [41]. Наличие иерархии пространственных масштабов в конденсированных средах и описываемых по аналогии с ними, является предпосылкой одного из новейших подходов к их описанию - сетевого представления [42], в рамках которого также отмечен аномальный динамический скейлинг.

Характерной чертой подобных процессов является возникновение распространяющихся фронтов реакции, формирующих бегущие автоволны. Классический подход к их описанию, заложенный работами А.Н. Колмогорова, И.Г. Петровского, Н.С. Пискунова и Р.Э. Фишера, базируется на сосуществовании двух процессов - локальной реакции в любой точке пространства и переносе реагентов за счет свободной неограниченной диффузии. Однако он неприменим в случае плотной среды с затрудненным массопереносом, а также взаимодействий, происходящих только на границе взаимно непроницаемых компонентов реакции. К подобным задачам реакционно-диффузионной кинетики конденсированных сред примыкают также и задачи о распространении контактных инфекций, в которых роль физико-химических реагентов играют маломобильные здоровые и инффицированные индивиды.

Эти факты привели ряд авторов к гипотезе о невозможности построения на основе дифференциальных уравнений в частных производных моделей процессов, происходящих в средах с существенными ограничениями на случайные блуждания, и необходимости введения феноменологических параметров обрезания функции плотности или использования интегро-диффе-ренциальных уравнений [43], которые гораздо сложнее для качественного и количественного исследования.

Поэтому актуальной является задача детального исследования перехода от микроскопического стохастического описания (управляющее уравнение) к макроскопическому усредненному (уравнения типа Чепмена-Колмогорова-Фоккера-Планка) в подобных средах, а также методов решения полученных таким образом нелинейных диффузионных уравнений.

Не менее важной является и обратная к рассмотренной проблема: выявление локальной структуры уже сформированных сложных пространственных и временных распределений. В настоящее время одним из мощных инструментов для ее решения является непрерывное вейвлет-преобразование, которое нашло применение в самом широком круге задач физики и смежных наук [44-46]. Существующие методы расчета основаны на его непосредственном определении как интегрального преобразования свертки. Однако, такой подход содержит существенные трудности при обработке экспериментальных и модельных данных, представленных существенно неоднородными выборками, что требует выработки альтернативных подходов, базирующихся на теории многомасштабных диффузионных процессов.

Структуры, обладающие радиальной симметрией, требуют для анализа применения интегрального преобразования Ганкеля [47]. Однако существующий математический аппарат зачастую является недостаточным в случае данных, которые обладают выраженной иерархией пространственных или временных масштабов, на которых проявляются существенно различные свойства. В этом случае, вейвлет-преобразование, позволяющее проводить эффективную кратномасшабную декомпозицию выборки, представляется перспективным инструментом для проведения интегрального преобразования Ганкеля при его использовании для математического моделирования задач физики и- обработки сигналов.

Цель и диссертационной работы. Анализ и моделирование сложных многомасштабных структур и динамики их формирования на основе последовательного комплексного подхода, основанного на решении систем линейных и нелинейных дифференциальных уравнений диффузионного типа.

В рамках данной цели выделены следующие задачи: 1) построение новых математических моделей контактных многомасштабных процессов роста фрактальных агрегатов, распространения автоволн в средах с ограниченным массопереносом и аномальной диффузии; 2) разработка новых методов анализа многомасштабных структур на основе вейвлет-преобразования и 3) разработка, тестирование и приложения численных алгоритмов на основе данных методов и их реализация в виде комплекса программ.

Научная новизна. Разработан переход от микроскопического описания к среднеполевому диффузионному на основе последовательного учета иерархии пространственных и/или временных масштабов исследуемых структур, позволяющий единым образом получить новые:

• математические модели автокаталитических контактных процессов (формирование фрактальных кластеров и бегущих автоволн в средах с ограниченным массопереносом) и аномальной диффузии (супердиффузии), основанные на введении иерархии операторов диффузии, действующих на областях, доступных для процессов переноса и реакциях, определенных на их границах, а также аналитические аппроксимации и результаты вычислительного эксперимента, полученные на основе разработанных оригинальных программных решений; разработанные модели, в отличие от существующих, не требуют введения феноменологических подгоночных дробно-степенных функций и параметров обрезания для воспроизведения скейлинга, характерного для роста фракталов и аномальной диффузии, а также впервые в явном виде учитывают разделение масштабов полного перемешивания и контактного взимодействия в задачах о моделировании реального химического реактора конечной толщины и распространения эпидемии в маломобильной популяции.

• методы расчета непрерывного вейвлет-преобразования с практически-значимыми вейвлетами (семейства Морле и Гаусса), основанные на его сведении к решению задачи Коши и начально-граничной задачи для системы диффузионных уравнений, расчета интегрального преобразования Ганкеля, базирующиеся на дискретном вейвлет-преобразовании;

• алгоритмы численного расчета предложенных вейвлет-методов, тестирование которых показало их преимущество по существующими (использованными, в частности, в MATLAB Wavelet Toolbox, WaveLab) реализованные в виде программного комплекса http://sourceforge.net/projects/wxmorlet/), и успешно примененные к задачам выделения нестационарных периодических структур в конденсированных средах.

Практическая значимость состоит в разработке новых методов моделирования и анализа многомасштабных структур, которые применимы для решения актуальных задач физики и смежных отраслей наук, в частности:

• формирование фрактальных и сетевых структур с заданными масштабными и динамическими свойствами в физико-химической технологии и биофизике;

• анализ структур и сигналов на основе высокопроизводительных и высокоточных вейвлет-алгоритмов, в том числе при помощи реализованного программного продукта.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту.

1. Метод перехода от микроскопического к средпеполевому диффузионному описанию, общий для моделирования широкого круга структур, порождаемых контактными автокаталическими процессами.

2. Расчет фрактальной размерности Б ЬА-кластеров на основе диффузионной модели их роста, согласующийся с данными эксперимента и результатами прямого микроскопического численного моделирования.

3. Модели формирования бегущих волн автокаталитических контактных реакций в сплошной среде с затрудненным массопереносом, их аналитические и численные решения, подтвержденные прямым численным моделированием и сравнением с экспериментальными эпидемиологическими данными.

4. Диффузионные методы расчета непрерывного вейвлет-преобразования на основе вейвлетов семейств Гаусса и Морле, обоснование их преимуществ применительно к анализу сложных многомасштабных структур и реализованный на основе данных методов программный продукт.

5. Анализ нестационарных структур в гранулярных газах на примере анализа фотоизображений высокого разрешения главных колец Сатурна, полученных космическим аппаратом "Кассини".

6. Выявление физического смысла синхронизации масштабов вейвлетных фаз связанных хаотических осцилляторов на основе диффузионного подхода к вейвлет-преобразованию.

7. Среднеполевой расчет релаксационных процессов в сети типа "small world", объясняющий супердиффузионное поведение в натурном эксперименте и при прямом микроскопическом численном моделировании.

8. Метод вычисления интегрального преобразования Ганкеля на основе дискретного вейвлет-преобразования и обоснование его преимуществ на тестовых примерах.

Апробация работы. Результаты по теме диссертации были лично доложены автором на научных конференциях: SampTA'03: International Workshop on Sampling Theory and Applications (Austria, Salzburg, Strobl, May 26-30, 2003); VII International Symposium on Orthogonal Polynomial, Special Functions and Applications. (Denmark, Copenhagen, August 18-22, 2003) (грант Оргкомитета); Нелинейные волны - 2004 (Н.Новгород, 29 февраля -7 марта 2004); VII международная школа "Хаотические автоколебания и образование струк-тур"(Саратов, 1-6 октября 2004); III Всероссийская конференция "Необратимые процессы в природе и технике" (Москва, 24-26 января 2005); ApplMath05: Applied Mathematics and Scientific Computing (Croatia, Brijuni, June 19-24, 2005); WavE2006: Wavelet and Applications Conference (Switzerland, Lausanne, July 10-14, 2006) (грант Оргкомитета)\ XVIII сессия Российского акустического общества (Таганрог, 11-14 сентября 2006) (диплом РАО за лучшую научную работу молодого ученого); ESF-Workshop "PDE Approaches to Image Processing" (Germany, Koln, Oktober 7-10, 2006) (приглашенный пленарный доклад); IV Всероссийская конференция "Необратимые процессы в природе и технике" (Москва, 29-31 января 2007); NBIC-ISBN 2007: Netherlands Bioinformatics Conference / Internationall Symposium on Networks in Bioinforma

10 tics (The Netherlands, Amsterdam, April 16-19, 2007); The Benelux Bioinformatics Conference (Belgium, Leuven, November 12-13, 2007); XV Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование" (Дубна, 28 января - 2 февраля 2008); 72. Jahrestagung der Deutsche Physikalische Gesellschaft und DPG Frühjahrstagung des Arbeitskreises Festkörperphysik mit anderen Fachverbänden und den Arbeitskreisen der DPG (Germany, Berlin, February 24-29, 2008); Dynamics Days Berlin - Brandenburg 2008 (Germany, Postdam, October 8-10, 2008) (участие поддержано грантом РФФИ; 08-01-09297-моб-з)\ XVI Международная-конференция "Математика. Компьютер. Образование" (Пущино, 19-24 января 2009); Die Deutsche Physicalische Gesellschaft Frühjahrstagung der Sektion Kondensierte Materie (Germany, Dresden, March 22-27, 2009). Die Deutsche Physicalische Gesellschaft Frühjahrstagung der Sektion Kondensierte Materie (Germany, Regensburg, March 21-26, 2010).

Помимо этого, результаты работы докладывались на семинарах кафедр статистической физики, нелинейной динамики и стохастических процессов Берлинского университета имени Гумбольдтов, кафедры нелинейной динамики Института динамики и самоорганизации имени Макса Планка (Геттинген, Германия), Института высокопрозводительных вычислений Штуттгартского университета (Германия), Института математики Любекского университета (Германия), Пущинской радиоастрономической обсеватории Астрокосмиче-ского центра ФИ АН, кафедры функционального анализа Воронежского государственного университета.

Исследования были поддержаны грантами DAAD по программе "Михаил Ломоносов" (2005, 2007) и грантом РФФИ 09-01-12133-офи-м (2009).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 40 работах, из них 18 статей в журналах, рекомендованных ВАК [1, 4-7, 9, 10, 16, 20, 22, 23, 27-29, 32, 34, 48, 49], монография [14], главы в двух коллективных монографиях [13, 21], 14 статей в прочих журналах, сборниках научных трудов и трудах конференций [2, 3, 8, 11, 12, 15, 17-19, 30, 31, 33, 35, 36, 50, 51], 3 препринта [24-26]. Кроме того, разработанный программный комплекс размещен в репозитории открытого программного обеспечения: http://sourceforge.net/projects/wxmorlet/.

Личный вклад автора. Все результаты, изложенные в диссертации, получены либо автором самостоятельно, либо при его непосредственном, активном и творческом участии. В работах, имеющих междисциплинарный характер и выполненных с соавторами, автору принадлежит основная разработка вопросов, связанных с методами математического моделирования.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения. Текст изложен на 290 страницах, включая 82 рисунка и 2 таблицы. Для сохранения последовательности изложения, обзоры существующих подходов, относящихся к каждому из направлений исследований, вынесены во вводные параграфы каждой из глав. Список цитируемой литературы состоит из 312 наименований.

5.4. Выводы и перспективы применения вейвлетов для расчета преобразования Ганкеля

Таким образом, использование дискретного вейвлет-преобразования в качестве вычислительного базиса представляется перспективным в расчетах, связанных с моделями, представимых в виде диференциальных и интегральных уравнений в аксиально-симметричной геометрии, так как оператор диф

0.4

Л (р*)

0.2 О

О 5 10' 15 20 25 30 р*

Рис. 5.5. Точное преобразование Ганкеля и абсолютная погрешносгь его приближенного расчета. фузии преобразованием (5.1) сводится к простому алгебраическому виду (см., например, обзоры в книгах [305, 306]).

Высокая адаптивность вейвлет-разложения к свойствам сигналов, обладающих различным локальным поведением на различных интервалах области определения, обеспечивает эффективное удаления стохастической компоненты при использовании экспериментальных входных данных и сжатие выборки для более быстрого проведения расчетов.

В заключение можно отметить, что вейвлет-подход, предложенный с статьях автора [32, 34], получил продолжение в цитирующих их недавних работах [307-311], в которых рассмотрены другие типы вейвлетов, введены усовершенствования алгоритма, использующего в качестве промежуточного шага базис Хаара, а также нашел приложение в физике конденсированного состояния при проектировании твердотельных дифракционных устройств [312].

Заключение

Построены следующие принципиально новые модели:

Динамическая модель диффузионно-ограниченной агрегации, которая впервые позволила получить корректное значение фрактальной размерности DLA-кластера и промоделировать его рост на основе диффереци-альных уравнений в частных производных типа "реакция-диффузия".

Модель автоколебаний в химическом реакторе конечного объема, разделяющая основные факторы, обуславливающая их существование, на однонаправленную автокаталитическую реакцию в толще среды и петлю обратной связи (потокам обмена реагентами с внешеней средой), вынесенную в граничные условия, что соотвествует реалистичным условиям физико-химического эксперимента. Данная модель позволила впервые объяснить формирование сходящихся гликолитических автоволн, наблюдаемых экспериментально и показать существование автоколебаний в системах с однонаправленной химической реакцией.

Модель распространешш контактной инфекции в маломобильной популяции, позволишая объяснить все типы эпидемических волн Кендалла в данной системе и подтвержденная сравнением с микроскопическим моделированием и воспроизводящая природные эпидемиологические данные.

Среднеполевая модель релаксации и аномальной диффузии на сети типа "small world", впервые позволившая воспроизвести данные процессы в такой структуре на основе дифференциальных уравений в частных производных без привлечения аппарата дробных производных с фепо-менолочическими степенными показателями.

Разработаны новые методы:

• Метод вторичного огрубления, впервые позволивший учесть конечный объем частиц, формирующих фрактальные агрегаты, что позволяет получить дробную фрактальную размерность с модели, основанной на переходе к дифференциальным уравениям в частных производных.

• Метод расчета непрерывного вейвлет-преобразования, основанный на его сведении к задаче Коши для дифференциальных уравнений в частных производных, показавший свою эффективность как на тестовых примерах, так и при обработке современных экспериментальных данных о структуре колец Сатурна, полученных аппаратом "Кассини".

• Метод использования дискретного вейвлет-преобразования в качестве промежуточного шага при расчете преобразования Ганкеля, обоснованный на тестовых примерах и заложивший основу для дальнейших современных исследований в данном направлении.

Реализованы новые алгоритмы:

• Алгоритм численного расчета вейвлет-преобразования с вейвлетом Мор-ле, основанный на дискретизации системы уравнений метода расчета непрерывного вейвлет-преобразования, основанного на его сведении к задаче Коши, и его программная реализация в виде программного комплекса (http ://sourceforge.net/projects/wxmorlet/).

В заключение я хочу поблагодарить за постоянную поддержку и сотрудничество А.Ю. Лоскутова, И.М. Соколова, А.И. Лаврову, Ю.М. Романовского, М. Хаазе, И.Я. Новикова, А. Пиковского, сотрудников группы нелинейной динамики и хаоса физического факультета МГУ, кафедр нелинейной динамики, статистической физики и стохастических процессов Берлинского университета им. Гумбольдтов и коллег по физико-математическому факультету КГУ.

1. А. В. Рябов, Е. Б. Постников, А. Ю. Лоскутов. Модель DLA в континуальном среднеполевом приближении // ЖЭТФ.— 2005,— Т. 128, № 2. — С. 292-299.

2. Е. В. Postnikov, А. В. Ryabov, A. Loskutov. Generalization of the DLA process with different immiscible components by time-scale coarse graining // J. Phys. A. 2007. - Vol. 40. - Pp. 12033-12042.

3. E. B. Postnikov, A. B. Ryabov, A. Yu. Loskutou. Analysis of patterns formed by two-component diffusion limited aggregation // Phys. Rev. E. — 2010,-Vol. 82,- P. 051403.

4. E.B. Postnikov, A. Yu. Verisokm, D. V. Verveyko, A. I. Lavrova. Self-sustained biochemical oscillations and waves with a feedback determined only by boundary conditions // Phys. Rev. E. 2010. - Vol. 81.- P. 052901.

5. A. I. Lavrova, L. Schimansky-Geier, E. B. Postnikov. Phase reversal inthe Selkov model with inhomogeneous influx // Phys. Rev. E. — 2009. — Vol. 79. P. 057102.

6. A. Yu. Verisokin, D. V. Verveyko, E. B. Postmkov, A. I. Lavrova. Model of Glycolytic Traveling Waves Control in 3D Spatial Reactor // IEEE Control Applications, (CCA) & Intelligent Control, (ISIC). — 2009. — Pp. 194-198.

7. E. B. Postmkov, I. M. Sokolov. Continuum description of a contact infection spread in a SIR model // Mathematical Biosciences. — 2007. — Vol. 208. — Pp. 205-215.

8. U. Naether, E. B. Postnikov, I. M. Sokolov. Infection fronts in contact disease spread // Eur. Phys. J. B. 2008. - Vol. 65. - Pp. 353-359.

9. E. В. Постников. Модифицированная континуальная SIR-модель распространения контактной инфекции // Сборник материалов научного семинара программы "Михаил Ломоносов"2005/2006 гг. (Москва, 24-25 апреля 2006). — М.: DAAD, 2006,- С. 159-162.

10. Е. В. Postnikov. Partial Differential Equations as a Tool for Evaluation of the Continuous Wavelet Transform // Mathematical Physics Research Developments / Ed. by M. B. Levy. — Nova Science Publishers, 2009.— Pp. 1-36.

11. E. В. Постников. Методы математической физики в обработке сигналов и изображений. — Miinchen: GRIN Verlag, 2009.

12. Е. Б. Постников. Вейвлет-преобразование с вейвлетом Морлс: методы расчета, основанные на решении диффузионных дифференциальных уравнений // Компьютерные исследования и моделирование — 2009. — Т. 1, № 1 С. 5-12.

13. Е. Б Постников. Вычисление непрерывного вейвлет-преобразования как решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений в частных производных // Журн. выч. мат. и мат. физики. — 2006. — Т. 46, № 1. С. 77-82.

14. Е. Б. Постников. Непреывное вейвлет-преобразование сигналов, пред- * ставленных выборкой с неравноотстоящими узлами: применение диффузионных дифференциальных уравнений // Математика. Компьютер.

15. Оборазование: Сб. научных трудов. Т. 2/ Под ред. Г.Ю.Рнзниченко и А.Б.Рубина.— М.-Ижевск:: РХД, 2008. С. 211-218.

16. Е. Б. Постников. Представление вейвлет-преобразования с вейвлетами гауссова семейства суперпозицией решений дифференциальных уравнений в частных производных // Вычислительные методы и программирование. — 2008. Т. 9. - С. 84-89.

17. Е. В. Postnikov, A. Yu. Loskutov. Continuous Wavelet Transform as an Effective Tool for the Detecting of Saturn Rings' Structure // Space Exploration Research / Ed. by J. H. Denis, P. D. Aldridge. — Nova Science Publishers, 2009. Pp. 341-360.

18. E. Б. Постников, А. Ю. Лоскутов. Анализ мелкомасштабных волновых структур кольца А Сатурна по данным межпланетного аппарата "Кассини" // ЖЭТФ. 2005. - Т. 128, № 4. - С. 752-759.

19. Е. Б. Постников, А. Ю. Лоскутов. Вейвлет-анализ тонкой структуры колец В и С Сатурна но данным аппарата "Кассини" // ЖЭТФ.— 2007. Т. 131, № 3. - С. 752-759.

20. Е. В. Postnikov, A. Loskutov. Wavelet transform and diffusion equations: applications to the processing of the "Cassini" spacecraft observations // arXiv:astro-ph/0502375. 2005. - Pp. 1-9.

21. E. B. Postnikov, A. Loskutov. Analysis of Saturn main rings by continuous wavelet transform with the complex Morlet wavelet // arX-iv:astro-ph/0502375. 2006. - Pp. 1-23.

22. E. B. Postnikov, A. Y. Loskutov, S. A. Larionov et al. Analysis of DNA structure as a 2D random walk by complex wavelet transform // Nature Precedings <http://dx.doi.org/10.1038/npre.2007.1461J>. 2007.

23. Е. Б. Постников. О точности синхронизации вейвлетной фазы хаотических сигналов // ЖЭТФ. 2007. - Т. 132, № 3. - С. 742-745.

24. Е. В. Postnikov, Е. A. Lebedeva. Decomposition of strong nonlinear oscillations via modified continuous wavelet transform // Phys. Rev. E. — 2010. — Vol. 82.-P. 057201.

25. E. B. Postnikov. Hierarchical mean-field model describing relaxation in a small-world network // Phys. Rev. E. — 2009. — Vol. 80,- P. 062105.

26. Е. В. Postnikov. The hierarchical system of PDE ana a diffusive anomalous spread in media with multiscale connections // Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft. Reihe VI. — 2009. — Vol. 44, no. 5.- P. 233.

27. E. В. Postnikov. About calculation of the Hankel transform using preliminary wavelet transform // J. Appl. Math. — 2003. — no. 6,— Pp. 319-325.

28. E. B. Postnikov. Using Wavelets Based on B-splines for Calculation of the Hankel Transform // WSEAS Trans. Math.— 2004,- Vol. 3, no. 1,-Pp. 250-253.

29. П. С. Зыков, E. В. Постников. Применение вейвлет-преобразования с кусочно-линейным базисом для вычисления преобразования Ганкеля // Журн. выч. мат. и мат. физики. — 2004. — Т. 44, № 3. — С. 421-425.

30. Е. Б. Постников. Современные методы численнного вычисления преобразования Ганкеля // Ультразвук и термодинамические свойства вещества.— Т. 34-35.— Курск: Изд-во КГУ, Российское Акустическое общество, 2008,- С. 148-158.

31. Е. В. Postnikov. Using Wavelets for Calculation of the Hankel Transform // Seventh International Symposium on Orthogonal Polynomial, Special Functions and Applications. Conference book. — Copenhagen, 2003. — Pp. 64-65.

32. А. Ю. Лоскутов, А. С. Михайлов. Основы теории сложных систем.— М: РХД, 2007.

33. P. Gray, S. К. Scott. Chemical Oscillations and Instabilities: Non-linear Chemical Kinetics. — Oxford University Press, 1994.

34. J. D. Murray. Mathematical Biology II. — Springer, 2003.

35. Т. C. Halsey. Diffusion-Limited Aggregation: A Model for Pattern Formation // Physics Today. — 2000. — Vol. 53.- Pp. 36-41.

36. M. Newman, a.-L. Barabasi, D. J. Watts. The Structure and Dynamics of Networks. — Princeton University Press, 2006.

37. V. A. Bogoyavlenskiy, N. A. Chernova. Diffusion-limited aggregation:

38. A revised mean-field approach // Phys. Rev. E.— 2000.— Vol. 61.— Pp. 5422-5428.

39. S. Mallat. A Wavelet Tour of Signal Processing. — Academic Press, 1999.

40. S. Jaffard, Y. Meyer, R. D. Ryan. Wavelets. Tools for Science & Technology.- SI AM, 2001.

41. Wavelets in Physics, Ed. by J. C. van den Berg. — Cambridge University Press, 1999.

42. The Transforms and Applications Handbook, Ed. by A. D. Poularikas. — CRC Press, 2000.

43. E. B. Postmkov. Wavelet phase synchronization and chaoticity // Phys. Rev. E. 2009. - Vol. 80. - P. 057201.

44. А. И. Лаврова, E. Б. Постников, Ю. M. Романовский. Брюсселятор — абстрактная химическая реакция? // УФН.— 2009.— Т. 179. — С. 1327-1332.

45. Е. В. Postnikov, I. М. Sokolov. Anomalous lateral diffu-sion in a layered medium // Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft. Reihe VI. 2010. - Vol. 45, no. 3. - P. 281.

46. T. A. Witten, L. M. Sander Diffusion-Limited Aggregation, a Kinetic Critical Phenomenon // Phys. Rev. Lett. — 1981, —Nov. — Vol. 47, no. 19.— Pp. 1400-1403.

47. D. L. Turcotte. Self-organized complexity in geomorphology: Observations and models // Geomorphology. — 2007. — Vol. 91. — Pp. 302 310.

48. H. Imai. Biomineralization I. — Springer, 2007.

49. M. Pooyandeh, S. A. Mesgari, Alimohammadi, , R. Shad. Computational Science and Its Applications ICCSA 2007. — Springer, 2007. — Vol. 4706 of Lecture Notes in Computer Science. — Pp. 308-321.

50. G. Greenfield. Applications of Evolutionary Computing. — Springer, 2008. — Pp. 402-411.

51. P. W. Anderson. Nishina Memorial Lectures. — Springer, 2008. — Vol. 746 of Lecture Notes in Physics. — Pp. 1616-6361.

52. B. Mandelbrot. Fractals and Chaos. The Mandelbrot Set and Beyond. — Springer, 2004.

53. E. Ben-Jacob. From snowflake formation to growth of bacterial colonies II: Cooperative formation of complex colonial patterns // Contemp. Phys. — 1997. Vol. 38. - Pp. 205-241.

54. T. Vicsek. Fractal growth phenomena. — World Scientific, 1989.

55. P. Meakin. Progress in DLA research // Physica D.— 1995.— Vol. 86.— Pp. 104-112.

56. P. Meakin. Fractals, Scaling and Growth Far from Equilibrium. — Cambridge University Press, 1998.

57. C. Amitrano, P. Meakin, H. E. Stanley. Fractal dimension of the accessible perimeter of diffusion-limited aggregation // Phys. Rev. A. — 1989. — Vol. 40,- Pp. 1713-1716.

58. A. Arneodo, J. Elezgaray, M. Tabard, F. Tallet. Statistical analysis of off-lattice diffusion-limited aggregates in channel and sector geometries // Phys. Rev. E. 1996. — Vol. 53. - Pp. 6200-6223.

59. E. Somfai, R.C. Ball, J.P. DeVita, L.M. Sander. Diffusion-limited aggregation in channel geometry // Phys. Rev. E. — 2003. — Vol. 68. — P. 020401.

60. D. Tillberg, J. Machta. Structural and computational depth of diffusion-limited aggregation // Phys. Rev. E. 2004. — Vol. 69. — P. 051403.

61. A. Erzan, L. Pietronero, A. Vespignani. The fixed-scale transformation approach to fractal growth // Rev. Mod. Phys. — 1995. — Vol. 67. — Pp. 545-604.

62. M.B. Hastings. Renormalization theory of stochastic growth // Phys. Rev. E. 1997. - Vol. 55. - Pp. 135-152.

63. T. A. Witten, L. M. Sander. Diffusion-limited aggregation // Phys. Rev. B. 1983. - Vol. 27. - Pp. 5686-5697.

64. R. Ball, M. Nauenberg, T. A. Witten. Diffusion-controlled aggregation in the continuum approximation // Phys. Rev. A.— 1984.— Vol. 29.— Pp. 2017-2020.

65. E. Brener, H. Levine, Y. Tu. Mean-field theory for diffusion-limited aggregation in low dimensions // Phys. Rev. Lett.— 1991.— Vol. 66.— Pp. 1978-1981.

66. G. Tripathy, A. Rocco, J. Casademunt, W. van Saarloos. Universality Class of Fluctuating Pulled Fronts // Phys. Rev. Lett.— 2001.— Vol. 86.— Pp. 5215-5218.

67. K. Oh.no, K. Kikuchi, H. Yasuhara. Continuous mean-field theory of the diffusion-limited-aggregation model // Phys. Rev. A. — 1992. — Vol. 46. — Pp. 3400-3404.

68. H. Levine, Y. Tu. Mean-field diffusion-limited aggregation in radial geometries // Phys. Rev. A.— 1992.- Vol 45. Pp. 1053-1057.

69. H. Sakaguchi. A Mean-Field Lattice Model for the Diffusion-Controlled Aggregation // J. Phys. Soc. Ja,p. — 1999, — Vol. 68,— Pp. 61-63.

70. A. Loskutov, D. Andrievsky, V. Ivanov et al. Fractal growth of rotating DLA-clusters // Macromol. Symp. 2000. — Vol. 160, — Pp. 239-248.

71. E.T. Whittaker, G.N. Watson. A Course of Modern Analysis. — Cambridge University Press, 1996.

72. H. Roder, E. Hahn, H. Brune et al. Building one- and two-dimensional-nan ostructures by difTusion-controlled aggregation at surfaces // Nature.— 1993,-Vol. 366.- Pp. 141-143.

73. P. Jensen, A.-L. Barabasi, H. Larralde et al. Controlling nanostructures // Nature 1994. - Vol. 368. - P. 22.

74. F.-J. Meyer zu Henngdorf, M. C. Reuter, R. M. Tromp. Growth dynamics of pentacene thin films // Nature. — 2001. — Vol. 412. — Pp. 517-520.

75. M. Murr, D. E. Morse. Fractal intermediates in the self-assembly of sili-catein filaments // PNAS. 2005. - Vol. 102. - Pp. 11657-11662.

76. M. N. Yousaf, B. T. Houseman, M. Mrksich. Using electroactivc substrates to pattern theattachment of two different cell populations // PNAS.— 2001. — Vol. 98. — Pp. 5992-5996.

77. J. Turner, M. L. Becker, X. Li et al. PNA-directed solution- and surface-assembly of shell crosslinked (SKL) nanoparticles conjugates // Soft Matter. 2005. - Vol. 1. - Pp. 69-78.

78. A. Khademhosseini, R. Langer, J. Borenstein, J. P. Vacanti. Microscale technologies fortissue engineering and biology // PNAS. — 2006. — Vol. 103. Pp. 2480-2487.

79. P. Suci, M. T. Klem, M. Young, T. Douglas. Signal amplification using nanoplatform cluster formation // Soft Matter. —- 2008. — Vol. 4. — Pp. 2519-2523.

80. T. Nagatani, F. Sagues. Phase transition in diffusion-limited aggregation with two immiscible components // Phys. Rev. A.— 1991.— Vol. 44.— Pp. 6723-6729.

81. V. Tchijov, S. Rodriguez-Romo, S. Nechaev. Interface structure in colored DLA model // JETP Letters. 1996. - Vol. 64. - Pp. 549-555.

82. S. Rodriguez-Romo, V. Tchijov, O. Ibanez-Orozco, V. M. Castano. Growth probability in bicolored diffusion limited aggregation // Physica A. — 2005. Vol. 347. - Pp. 301-313.

83. S. Redner. Nonequilibrium Statistical Mechanics in One Dimension // Ed. by V. Privman. — Cambridge University Press, 1997.

84. C. Evertsz. Self-affine nature of dielectric-breakdown model clusters in a cylinder // Phys. Rev. A. 1990. - Vol. 41. - Pp. 1830-1842.

85. J. Nittmann, H. Stanley. Tip splitting without interfacial tension and dendritic growth patterns arising from molecular anisotropy // Nature.— 1986. — Vol. 321. Pp. 663-668.

86. M.T. Batchelor, B.I. Henry. Branching in the zero-noise limit of discrete Laplacian growth processes // Phys. Rev. A.— 1992,— Vol. 45.— Pp. 4180-4183.

87. M. T. Batchelor, В. I. Henry. Fractal dimensions of zero-noise diffusion-limited aggregation // Physica A. — 1992. — Vol. 191. — Pp. 113-116.

88. P. Manneville. Cellular Automata and Modeling of Complex Physical Systems. — Springer, 1989.

89. А. Ю. Лоскутов, А. С. Михайлов. Введение в синергетику, — М.: Наука, 1990.

90. S. Ulam. On Some Mathematical Problems Connected with Patterns of Growth of Figures // Mathematical Problems in the Biological Sciences / Ed. by R. Bellman. AMS, 1962,- P. 215.

91. S.C. Fu, G. Milne. A Flexible Automata Model for Disease Simulation // Lecture Notes m Computer Science. — Springer, 2004. — Vol. 3305. — Pp. 642-649.

92. Angel Sánchez, M. J. Bernal, J. M. Riveiro. Multiparticle aggregation model for dendritic growth applied to experiments on amorphous Co-P alloys // Phys. Rev. E.~ 1994,— Vol. 50,- Pp. R2427-R2430.

93. K.-H. Roh, D. C. Martin, J. Lahann. Biphasic Janus particles with nanoscale anisotropy // Nature Materials. — 2005. — Vol. 4. — Pp. 759-763.

94. S.-M. Yang, S.-H. Kim, J.-M. Lim, G.-R. Yi. Synthesis and assembly of structured colloidal particles //J. Mater. Chem. — 2008. — Vol. 18. — P. 2177-2190.

95. Mathematics of Random Media, Ed. by W. E. Kohler, B. S. White. AMS, 1989.

96. N. Konno. Phase Transitions of Interacting Particle Systems. — World Scientific, 1995.

97. M. Liggett. Stochastic Interacting Systems: Contact, Voter, and Exclusion Processes. — Springer, 1999.

98. Nonequilibrium Statistical Mechanics in One Dimension, Ed. by V. Priv-man. — Cambridge University Press, 1999.

99. R. Durrett. Stochastic Spatial Models // SI AM Rev. — 1999.- Vol. 41.— Pp. 677-718.

100. R. A. Fischer. The wave of advance of advantageous genes // Annals of Eugenics. 1937. - Vol. 7. — Pp. 355-369.

101. A. Kolrnogorov, I. Petrovski, N. Piskunov. Etude de équation de la diffusion avec croissance de la quantité de matmre et son application a un problème biologique // Moscow University Bulletin of Mathematics. — 1937.— Vol. l.-Pp. 1-25.

102. J. Boissonade. Simple Chemomechanical Process for Self-Generation of Rhythms and Forms // Phys. Rev. Lett. — 2003. — Vol. 90, — P. 188302.

103. S. Bagyan, T. Mair, E. Dulos et al. Glycolytic oscillations and waves in an open spatial reactor: Impact of feedback regulation of phosphofructokiinase // Biophys. Chem. 2005. - Vol. 116. — Pp. 67-76.

104. S. Vermeer (geb. Bagyan). Spatio-temporal dynamics of glycolysis in an open spatial reactor: Ph.D. thesis / Magdeburg Univ.— 2008.— The full e-text is free available through Deutschen Nationalbibliothek. http://d-nb.info/995027714.

105. J. Wolf, R. Heinrich. Dynamics of two-component biochemical systems in interacting cells; Synchronization and desynchronization of oscillations and multiple steady states // BioSystems. — 1997. — Vol. 43. — Pp. 1-24.

106. M. Fuentes, M. N. Kuperman, J. Boissonade et al. Dynamical effects induced by long range activation in a nonequlibrium reaction-diffusion system // Phys. Rev. E. 2002. - Vol. 66. - P. 056205.

107. X. Shao, Y. Wu, J. Zhang et al. Inward Propagating Chemical Waves in aj Single-Phase Reaction-Diffusion System // Phys. Rev. Lett. — 2008. — Vol.100.- P. 198304.

108. A. I. Lavrova, S. Bagyan, T. Mair et al. Modeling of glycolytic wave propagation in an open spatial reactor with inhomogeneous substrate influx // BioSystems. — 2009. Vol. 97. — Pp. 127-133.

109. A. I. Lavrova, L. Schimansky-Geier, E. B. Postnikov. Phase reversal inthe Selkov model with inhomogeneous inlux // Phys. Rev. E. — 2009. — Vol. 79. P. 057102.

110. A.A. Harms, O. E. Hileman. Chemical clocks, feedback, and nonlinear behaviour // Am. J. Phys. 1985. - Vol. 53. — P. 578.

111. L. F. Lopez, F. A. V. Coutinho, M. N. Burattini, E. Massad. Modelling the spread of infections when the contact rate among individuals is short ranged:

112. Propagation of epidemic waves // Mathematical and Computer Modelling. —s1999. — Vol. 29. Pp. 55-69.i 122. P. P. J. M. Schram. Kinetic Theory of Gases and Plasmas. — Springer,1991.

113. M. N. Kuperman, Wio H. S. Front propagation in epidemiological models with spatial dependence // Phisica A.— 1999, — Vol. 272, — Pp. 206-.

114. M. Kardar, G. Parisi, Y. C. Zhang. Dynamic scaling of growing inter; faces // Phys. Rev. Lett. 1986. - Vol. 56. - Pp. 889-892.li

115. P. Grassberger. On the critical behavior of the general epidemic process and dynamical percolation // Math. Biosciences.— 1982,— Vol. 63.— Pp. 157-172.

116. A. Cliff, P. Haggett. Atlas of disease distributions : analytic approaches to epidemiological data. — Blackwell, 1993.

117. D. A. Kessler, Z. Ner, L. M. Sander. Front propagation: Precursors, cutoffs, and structural stability // Phys. Rev. E. — 1998. — Vol. 58. — Pp. 107-114.

118. L. M. Sander, C. P. Warren, I. M. Sokolov et al. Percolation on heterogeneous networks as a model for epidemics // Mathematical Biosciences. — 2002. Vol. 180. - Pp. 293-305.

119. J. Mai, I.M. Sokolov, A. Blumen. Discreteness effects on the front propagation in the A + B 2A reaction in 3 dimensions // Europhys. Lett. — 1998. Vol. 44. - Pp. 7-12.

120. C. P. Warren, G. Mikus, E. Somfai, L. M. Sander. Fluctuation effects in an epidemic model // Phys. Rev. E.— 2001. — Vol. 63. — P. 056103.

121. E. Moro. Internal Fluctuations Effects on Fisher Waves // Phys. Rev. Lett. 2001. — Vol. 87. - P. 238303.

122. C. R. Doering, C. Mueller, P. Smereka. Interacting particles, the stochastic Fisher-Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov equation, and duality // Physica A. 2003. - Vol. 325. - Pp. 243-259.

123. E. Brunet, B. Derrida. Shift in the velocity of a front due to a cutoff // Phys. Rev. E. 1997. - P. 2597.

124. F. Brauer, Castillo-Chavez. Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology. — Springer, 2001.

125. Mathematical Epidemiology, Ed. by F. Brauer, P. van den Driessche, J. Wu. — Springer, 2008.

126. W. 0. Kermack, A. G. McKendrick. A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics // Proc. R. Soc. Lond. A. — 1927,— Vol. 115.— Pp. 700-721.

127. S. Winkle Geißeln der Menschheit. Kulturgeschichte der Seuchen. — Artemis & Winkler Verlag, 1997.

128. W. Otten, J. A. N. Filipe, C. A. Gilhgan. An empirical method to estimate the effect of soil on the rate for transmission of damping-off disease // New Phytologist. — 2004. Vol. 162. - Pp. 231-238.

129. D. G. Kendall. Mathematics and Computer Science in Biology and Medicine.-M.R.C., H.M.S.O., 1965.-Pp. 213-225.i

130. D. Molhson. Spatial contact models for ecological and epidemic spread // J. R. Stat. Soc. B.~ 1977,- Vol. 39,- Pp. 283-326.

131. J. Medlock, M. Kot. Spreading disease: integro-differential equations old and new // Mathematical Biosciences.— 2003. — Vol. 184,— Pp. 201-222.

132. T. Härkönen, R. Dietz, P. Reijnders et al. A review of the 1988 and 2002 phocine distempervirus epidemics in European harbour seals // Dis. Aquat. Org. 2006. - Vol. 68. - P. 115-130.j

133. A. D. Koeijer, O. Diekmann, P. Reijnders. Modelling the spread of phocine distemper virus among harbour seals // Bull. Math. Biol— 1998.— Vol. 60. — Pp. 585-596.

134. J. Swinton, J. Harwood, B. T. Grenfell, G. A. Gilligan. Persistence threshold for phocine distemper virus infection in harbour seal Phoca vituli-na metapopulations // Journal of Animal Ecology. — 1998. — Vol. 68. — Pp. 54-68.

135. T. J. Hsu, Mou C. Y., Lee D. J. Effects of Macromixmg on the oregona-tor model of the belousov — zhabotinsky reaction in a stirred reactor // Chemical Engineering Science. — 1994. — Vol. 49. — Pp. 5291-5305.

136. A. Grossman, J. Morlet. Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shape // SIAM J Math Anal. — 1984. — Vol. 15. Pp. 723-736.

137. B. Walczak. Wavelets in Chemistry. — Elsevier Science & Technology, 2000.

138. Wavelets in the Geosciences, Ed. by R. Klees, H. N Haagmans. — Spinger, 2000.

139. W. Keller. Wavelets in Geodesy and Geodynamics. — de Gruyter, 2004.

140. Wavelets in Medicine and Biology, Ed. by A. Aldroubi, M. A. Unser. — CRC Press, 1996.

141. P. Lió. Wavelets in biomformatics and computational biology: state of art and perspectives // Bioinformatics. — 2003. — Vol. 19,— Pp. 2-9.

142. M. Holschneider. Wavelets. An Analysis Tool. — Oxford University Press, 1995.

143. IEEE Trans. Pattern Analysis, Machine Intelligence. Characterization of signals from multiscale edges // Mallat, S. and Zhong, S. — 1992. — Vol. 14 Pp 710-732.

144. S. Mallat, W. L. Hwang. Singularity detection and processing with wavelets // IEEE Trans. Inform. Theory. — 1992. — Vol. 38 — Pp. 617-643.

145. E. Bacry, J. F. Muzy, Arneodo A. Singularity spectrum of fractal signals from wavelet analysis: Exact results // J. Stat. Phys.— 1993. — Vol. 70.— Pp. 635-674.

146. D. Marr. Vision. A computational Investigation into the Human Representation and Processing of Visual Information. — W.H. Freeman and Company, 1982.

147. J. J. Koenderink. The structure of images // Biological Cybernetics. — 1984,- Vol. 50. Pp. 363-370.

148. P. Kestener, A. Arneodo. Three-Dimensional Wavelet-Based Multifractal Method: The Need for Revisiting the Multifractal Description of Turbulence Dissipation Data // Phys. Rev. Lett. 2003. — Vol. 91. — P. 194501.

149. P. Mräzek, J. Weickert, G. Steidl. Scale Space Methods in Computer Vision. — Springer, 2003. — Vol. 2695 of Lecture Notes in Computer Science. — Pp. 101-116.

150. M. Haase. Paradigms of Complexity. Fractals and Structures in the Sciences // Ed. by M. Novak.- World Scientific, 2000.— Vol. 2695.— Pp. 287-288.

151. Я. Б. Зельдович, А. Д. Мышкис. Элементы математической физики.— М.: Наука, 1973.

152. A. Dutt, V. Rokhlin. Fast Fourier Transforms for Nonequispaced Data, II // Appl. Сотр. Harm. Anal — 1995, — Vol. 2. — Pp. 85-100.

153. G. Steidl. A note on fast Fourier transforms for nonequispaced grids // Adv. Сотр. Math. 1998. — Vol. 9. — Pp. 337-352.

154. A. F. Ware. Fast Approximate Fourier Transforms for Irregularly Spaced Data // SI AM Rev. 1998. - Vol. 40. - Pp. 838-856.

155. S. Bagchi, S. K. Mitra. The Nonuniform Discrete Fourier Transform and Its Applications in Signal Processing. — Springer, 1999.

156. L. Greengard, J.-Y. Lee. Accelerating the Nonuniform Fast Fourier Transform // SI AM Rev. 2004. - Vol. 46. - Pp. 443-454.

157. C. Torrence, G. P. Compo. A practical guide to wavelet analysis // Bull. Am. Meteorol. Soc. 1998. - Vol. 79. - Pp. 61-78.

158. C. S. Cho, S.-W. Ha, J. H. Kim et al. Optoelectronic difference-of-Gaus-sian wavelet transform system // Optical Engineering. — 1997. — Vol. 36. — Pp. 3471-3475.

159. Справочник по специальным функциям, Под ред. М. Абрамовиц, И. Стиган, — М.: Наука, 1979.

160. L. W. Esposito. Planetary rings // Rep. Prog. Phys.— 2002,— Vol. 65.— Pp. 1741-1783.

161. L. Esposito. Planetary Rings. — Cambridge University Press, 2006.

162. E. D. Miner, R. R. Wessen, J. N. Cuzzi. Planetary ring systems. — Springer, 2006.

163. Saturn: Overview and Abstracts, Ed. by J. L. Martin — Nova Publishers, 2004.

164. F. H. Shu, J. N. Cuzzi, J. J. Lissauer. Bending Waves in Saturn's Rings // Icarus. 1983. - Vol. 53. — Pp. 185-206.

165. F. H. Shu, C. Yuan, J. J. Lissauer. Nonlinear spiral density waves: an inviscid theory // Astroph. J. — 1985, — Vol. 291. — Pp. 356-376.

166. F. H. Shu, L. Dones, J. J. Lissauer et al. Nonlinear spiral density waves -Viscous damping // Astroph. J. — 1985. — Vol. 299. — Pp. 542-573.

167. L. J. Spilker, S. Pilorz, L. A. Lane et al. Saturn A ring surface mass densities from spiral density wave dispersion behaviour // Icarus. — 2004. — Vol. 171.- Pp. 372-390.

168. L. J. Horn, J. N. Cuzzi. Charactistic Wavelengths of Irregular Structure in Saturn's B Ring // Icarus. 1996. - Vol. 119. - Pp. 285-310.

169. K.-U. Thiessenhusen, L. W. Esposito, J. Kurths, F. Spahn. Detection of Hidden Resonances m Saturn's B Ring // Icarus. — 1995.— Vol. 113. — Pp. 206-212.

170. C. D. Murray. Solar and Extra-Solar Planetary Systems. — Springer, 2001, — Vol. 577 of Lecture Notes in Physics. Pp. 91-152.

171. E. Griv, M. Gedalin. The fine-scale spiral structure of low and moderately high optical depth regions of Saturn's main rings: A review // Planetary and Space Science. — 2003. — Vol. 51. — Pp. 899-927.

172. U. Schm.it, W. M. Tscharnuter. On the Formation of the Fine-Scale Structure in Saturn's B Ring // Icarus. 1999. — Vol. 138. - Pp. 173-187.

173. С. С. Porco, Е. Baker, J. Barbara et al. Cassini Imaging Science: Initial Results on Saturn's Rings and Small Satellites // Science. — 2005. — Vol. 307. — Pp. 1226-1236.

174. M. S. Tiscareno, J. A. Burns, P. D. Nicholson et al. Cassini imaging of Saturn's rings. II. A wavelet technique for analysis of density waves and other radial structure in the rings // Icarus. — 2007. — Vol. 189. — Pp. 14-34.

175. P. K. Shukla, B. Eliasson. Fundamentals of dust-plasma interactions // Rev. Mod. Phys. 2009. - Vol. 81. - Pp. 25-44.

176. Initial sequencing and analysis of the human genome // Nature. — 2001. — Vol. 409.-Pp. 860-921.

177. M. A. Gates. Simple DNA sequence represenations // Nature.— 1985,— Vol. 316.- P. 219.

178. C. L. Berthelsen, J. A. Glazier, M. H. Skolnick. Global fractal dimension of human DNA sequences treated as pseudorandom walks // Phys. Rev. A. — 1992. — Vol. 45. Pp. 8902-8913.

179. T.-H. Hsu, S.-L. Nyeo. Diffusion coefficients of two-dimensional viral DNA walks // Phys. Rev. E. 2003. - May. - Vol. 67. - P. 051911.

180. С. В. Ларионов, А. Ю. Лоскутов, E. В. Рядченко. Геном как двумерное блуждание // Доклады Российской академии наук. — 2005. — Т. 405. — С. 755-759.

181. S. Larionov, A. Loskutov, Е Ryadchenko. Chromosome evolution with naked eye: Palindromic context of the life origin // Chaos. — 2008. — Vol. 18. P. 013105.

182. C.-K. Peng, S. V. Buldyrev, A. L. Goldberger et al. Long-range correlations in nucleotide sequences // Nature. — 1992. — Vol. 256. — Pp. 168-170.

183. A. Arneodo, E. Bacry, P. V. Graves, J. E. Muzy. Characterizing Long-Range Correlations in DNA Sequences from Wavelet Analyis // Phys. Rev. Lett. 1995. — Vol. 64. — Pp. 3293-3296.

184. A. Arneodo, Y. d'Aubenton Carafa, E. Bacry et al. Wavelet based fractal analysis of DNA sequences // Physica D. — 1996. — Vol. 96. — Pp. 291-320.

185. S. Nicolay, F. Argoul, et al. Low Frequency Rhythms in Human DNA Sequences: A Key to the Organization of Gene Location and Orientation? // Phys. Rev. Lett. — 2004. Vol. 93. - P. 108101.

186. S. Nicolay, E. B. Brodie of Brodiea, M. Touchon et al. From scale invariance to deterministic chaos in DNA sequences: towards a deterministic description of gene organization in the human genome // Physica A. — 2004,— Vol. 342. Pp. 270-280.

187. T. Allen, N.D. Price, B. 0Joyce, A. R. Palsson. Long-Range Periodic Patterns in Microbial Genomes Indicate Significant Multi-Scale Chromosomal Organization // PLoS Comput. Biol.— 2006.— Vol. 2, no. 1.— Pp. e2:0013-0021.

188. A. A. Tsonis, P. Kumar, J. B. Eisner, P. A. Tsonis. Wavelet analysis of DNA sequences // Phys. Rev. E.- 1996. Vol. 53,- Pp. 1828-1834.

189. G. Abramson, H.A. Cerdeira, C. Bruschi. Fractal properties of DNA walks // BioSystems. — 1999. Vol. 49. — Pp. 63-70.

190. J. A. Berger, Mitra S. K., M. Carli, A. Neri. Visualization and analysis of

191. DNA sequences using DNA walks // Journal of the Franklin Institute. — 2004. — Vol. 341. Pp. 37-53.

192. C. Cattani. Bioinformatics Research and Development. — Springer, 2008.— Pp. 528-537.

193. J.-P. Antoine, R. Murenzi, P. Vandergheynst, S. T. Ah. Two-Dimensional Wavelets and Their Relatives. — Cambridge University Press, 2004.

194. A. Pikovsky, M. Rosenblum, J Kurihs. Synchronization: An Universal Concept in Nonlinear Sciences.— Cambridge University Press, 2001.

195. S. Boccaletti, J. Kurths, G. Osipov et al. The synchronization of chaotic systems // Phys. Rep. 2002. - Vol. 366,- Pp. 1-101.

196. M. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J Kurths. Phase Synchronization of Chaotic Oscillators // Phys. Rev. Lett. 1996. - Vol. 76 - Pp 1804-1807.

197. D. J. DeShazer, R. Breban, E Ott, R. Roy. Detecting Phase Synchronization in a Chaotic Laser Array // Phys. Rev. Lett.— 2001.— Vol 87.— P. 044101.

198. W. Wang, I. Z. Kiss, J. L. Hudson. Clustering of Arrays of Chaotic Chemical Oscillators by Feedback and Forcing // Phys. Rev. Lett.— 2001.— Vol. 86. Pp. 4954-4957.

199. D.-S. Lee, J. R. Ryu, Y.-J. Park et al. Stabilization of a chaotic laser and quenching // Appl. Phys. Lett. 2005. - Vol. 86.- P. 181104.

200. M. G. Rivera, G. Martinez Mekler, P. Parmananda. Synchronization phenomena for a pair of locally coupled chaotic electrochemical oscillators: A survey // Chaos. 2006. - Vol. 16. - P. 037105.

201. J. M. Cruz, M. Rivera, P. Parmananda. Experimental observation of different types of chaotic synchronization in an electrochemical cell // Phys. Rev. E. 2007. — Vol 75. — P. 035201.

202. E. Mosekilde, Y. Maistrenko, D. Postnov. Chaotic synchionization: applications to living systems. — World Scientific, 2002.

203. A. C.-L. Chian, Y. Kamide, Е. L. Rempel, W. М. Santana. On the chaotic nature of solar-terrestrial environment: Interplanetary Alfven intermitten-cy // J. Geophys. Res. 2006. - Vol. 111. - P. A07S03.

204. M. Palus, J. Kurths, U. Schwarz et al. The solar activity cycle is weakly synchronized with the solar inertial motion // Phys. Lett. A. — 2007. — Vol. 365.-Pp 421-428.

205. T. Kreuz, F. Morrnann, R. G. Andrzejak et al. Measuring synchronization in coupled model systems: A comparison of different approaches // Physica D. 2007. - Vol. 225. - P. 29-42.

206. M. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths et al. Locking-Based Frequency Measurement and Synchronization of Chaotic Oscillators with Complex Dynamics // Phys. Rev. Lett. 2002. — Vol. 89. — P. 264102.

207. А. А. Короповский, Храмов A. E. Анализ хаотической синхронизациидинамических систем с помощью вейвлетного преобразования // Письма в ЖЭТФ. 2004. - Т. 79. - С. 391-395.

208. А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii. Time scale synchronization of chaotic oscillators // Physica D. — 2005. — Vol. 206. — Pp. 252-264.

209. I. De Moortel, S. A. Munday, A. W. Hood. Wavelet Analysis: the effect of varying basic wavelet parameters // Solar Physics. — 2004.— Vol. 222.— Pp. 203-228.

210. P. S. Addison, J. N. Watson, T. Feng. Low-oscillation complex wavelets // Journal of Sound and Vibration. — 2002. — Vol. 254. — Pp. 733-762.

211. A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, V. I. Ponomarenko, M. D. Prokhorov. Detection of synchronization from univariate data using wavelet transform // Phys. Rev. E. 2007. - Vol 75. - P. 056207.

212. D. Ghosh, A. Ray, A. R. Chowdhury. Generalized and Phase Synchronization Between Two Different Time-Delayed Systems // Modern Physics Letters B. 2008. - Vol. 22. - Pp. 1867-1878.

213. T. D. Tsankov, R. Gilmore. Strange Attractors are Classified by Bounding Tori // Phys. Rev. Lett. 2003. - Vol. 91. - P. 134104.

214. C. Letelher, E. Roulm, О. E. Rossler. Inequivalent topologies of chaos in simple equations // Chaos, Solitons and Fractals.— 2006.— Vol. 28.— Pp. 337-360.

215. H. Giacommi, S. Neukirch. Intergals of motion and the shape of the at-tractor for the Lorenz model // Phys. Lett. A. — 1997.— Vol. 227. — Pp. 309-318.

216. C. Chandre, S. Wiggins, T. Uzer Time-fiequency analysis of chaotic systems 11 Physica D. 2003. — Vol. 181. — P. 171-196.

217. J. S. Golan. Foundations of linear algebra. — Kluwer Academic Publ, 1995.232. 0. E. Rossler. An equation for continuous chaos // Phys. Lett. — 1976. — Vol. 57. Pp. 397-398.

218. J. Crutchfield, D. Farmer, N. Packard et al. Power spectial analysis of a dynamical system // Phys. Lett. — 1980. — Vol. 76A. — Pp. 1-4.

219. S.G. Mallat, Z. Zhang. Matching pursuits with time-frequency dictionaries // IEEE T. Signal. Proces. 1993. - Vol. 41. - Pp. 3397-3415.

220. M. M. Goodwin, M. Vetterli. Matching pursuit and atomic signal models based on recursive filter banks // IEEE T. Signal. Proces.— 1999.— Vol. 47,- Pp. 1890-1902.

221. H. Yang, S. T. Bukkapatnam, R. Komanduri. Nonlinear adaptive wavelet analysis of electrocardiogram signals // Phys. Rev. E. — 2007. — Vol. 76. — P. 026214.

222. V. A. Gusev, A. A. Koronovskii, A. E. Khramov. Adaptive wavelets applied to the analysis of nonlinear systems with chaotic dynamics // Tech. Phys. Lett. 2003. - Vol. 29. - Pp. 775-778.

223. D. J. Watts, S. H. Strogatz. Collective dynamics of'small-world' networks // Nature. 1998. - Vol. 393. - Pp. 440-442.

224. J. W. Clark, A. T. Eggebrecht. The small world of the Nobel Nematode Caernorhabditis elegans // Condensed Matter Theories. Vol. 19. / Ed. by M. Belkacem, P. M. Dinh. Nova Science Publishers, 2005. - Pp. 321-328.

225. A. R. Atilgan, P. Pelin Akan, C. Canan Bay sal. Small-World Communication of Residues and Significance for Protein Dynamics // Biophys. J. — 2004, —Vol. 85. — Pp. 85-91.

226. T. 0. Yeates, M. Beeby. "BIOCHEMISTRY: Proteins in a Small World-// Science. — 2006. — Vol. 314. Pp. 1882-1883.

227. M. G. Grigorov. Global properties of biological networks // Drug Discov. Today. — 2005. — Vol. 10. — Pp. 365-372.

228. H. Yi, M.-S. Choi. Effect of quantum fluctuations in an Ising system on small-world networks // Phys. Rev. E. — 2003. — Vol. 67. — P. 056125.

229. P. K. Das, P. Sen. Zero temperature dynamics of Ising model on a densely connected small world network // Eur. Phys. J. B. — 2005. — Vol. 47. — Pp. 391-396.

230. A. Chatterjee, P. Sen. Phase transitions in an Ising model on a Euclidean network // Phys. Rev. E.- 2006 Vol. 74,- P. 036109.

231. C. P. Herrero. Zero-temperature Glauber dynamics on small-world networks // J. Phys. A — 2009. —Vol. 42. P. 415102.

232. S. Jespersen, I. M. Sokolov, A. Blumen. Relaxation properties of small-world networks // Phys. Rev. E.— 2000. Vol. 62,- Pp. 4405-4408.

233. E. Almaas, R. V. Kulkarni, D. Stroud. Scaling properties of random walks on small-world networks // Phys. Rev. E. 2003. — Vol. 68. - P. 056105.

234. Anomalous Transport: Foundations and Applications, Ed. by R. Klages, G. Radons, I. M. Sokolov. Wiley-VCH, 2008.

235. I. M. Sokolov. Statistics and the single molecule // Physics. — 2008. — Vol. l.-P. 8.

236. R. D. Skeel, M. Berzins. A Method for the Spatial Discretization of Parabolic Equations in One Space Variable / / SI AM J. Sci. and Stat. Comput. — 1990,-Vol. 11.— Pp. 1-32.

237. J. Schuster, F. Cichos, C. von Borzcyskowski. Diffusion in ultrathin liquid films // European Polymer Journal. — 2004. — Vol. 40. — Pp. 993-999.

238. V. P. Shkilev. Model of superdiffusion // JETP.— 2008,— Vol. 107.— Pp. 892-898.

239. S. Petrovskii, A. Morozov, B.-L. Li. On a possible origin of the fat-tailed dispersal in population dynamics // Ecological Complexity. — 2008. — Vol. 5. — Pp. 146-150.

240. A. Cliff, P. Haggett. Time, travel and infection // British Medical Bulletin. — 2004. Vol. 69. - Pp. 87-99.

241. S. Riley. Large-Scale Spatial-Transmission Models of Infectious Disease // Science. 2007. - Vol. 316. - Pp. 1298-1301.

242. L. A. Rvachev, I. M. Longini. A Mathematical Model for the Global Spread of Influenza // Math. Biosc. 1985. - Vol. 75. - Pp. 3-23.

243. V. Colizza, M. Barthélémy, A. Barrat, A. Vespignam. Epidemic modeling in complex realities // Comptes Rendus Biologies. — 2007. — Vol. 330. — Pp. 364-374.

244. L. Sattenspiel, K. Dietz. A Structured Epidemic Model Incorporating Geographic Mobility Among Regions // Math. Biosc. — 1995.— Vol. 128.— Pp. 71-91.

245. D.J. Watts, R. Muhamad, D.C. Medina, P.S. Dodds. Multiscale, resurgent epidemics in a hierarchical metapopulation model // PNAS. — 2005. — Vol. 102,-Pp. 11157-11162.

246. D. Brockmann, L. Hufnagel, T. Geisel. The scaling laws of human travel //

247. Nature. 2006. - Vol. 439. - Pp. 462-465.j

248. R. Barakat, E. Par shall, B. H. Sandler. Zero-order Hankel transformation algorithms based on Filon quadrature philosophy for diffraction optics and beam propagation // J. Opt. Soc. Am. A. — 1998. — Vol. 15. — Pp. 652-659.fR

249. D. Subbarao. Paraxial lens approximation and self-focusing theory //J.

250. Opt. Soc. Am. B. 2004. - Vol. 21. - Pp. 323-329.ft

251. N. Bonod, E. Popov, M. Neviure. Differential theory of diffraction by finite cylindrical objects //J. Opt. Soc. Am. A. — 2005. — Vol. 22. Pp. 481-490.

252. J. L. Horner, R. Lions. Approximation for modal coupling in scattered fields from orifices //J. Acoust. Soc. Am. — 2000. — Vol. 108. — Pp. 488-493.

253. S. E. Sherer. Scattering of sound from axisymetric sources by multiple circular cylinders // J. Acoust. Soc. Am. — 2004. Vol. 115. - Pp. 488-496.

254. P. J. Morris. The scattering of sound from a spatially distributed axisym-metric cylindrical source by a circular cylinder // J. Acoust. Soc. Am.— 1995, —Vol. 97 Pp. 2651-2656.

255. К. H. Jun, H. J. Eom. Acoustic scattering from a circular aperture in a thick hard screen // J. Acoust. Soc. Am. — 1995. — Vol. 98. — Pp. 2324-2327.

256. J. S. Seo, H. J. Eom, H. S. Lee. Acoustic scattering from two circular apertures in a thick hard plane // J. Acoust. Soc. Am. — 2000. — Vol. 107. Pp. 2338-2343.

257. J. Cao, S. He. Reconstruction of the velocity and density in a stratified acoustic half-space using a short-pulse point source // J. Acoust. Soc. Am. —1997. Vol. 102. - Pp. 815-824.

258. A. Cheng, T. W. Murray, J. D. Achenbach. Simulation of laser-generated ultrasonic waves in layered plates // J. Acoust. Soc. Am.— 2001.— Vol. 110.- Pp. 848-855.

259. J. Cao, S. He. Closed-form solution for the transient reflected pressure for a point source above an acoustic half-space with an exponentially stratified density // J. Acoust. Soc. Am. 1994. - Vol. 96, — Pp. 2516-2525.

260. A. R. Krommer, C. W. Ueberhuber. Computational Integration.— SIAM,1998.

261. D. G. Duffy. Transform Methods for Solving Partial Differential Equations. CRC Press, 2004.

262. Я. M. Жилейкин, А. Б. Кукаркин. Об алгоритме быстрого преобразования Фурье-Бесселя // Журн. выч. мат. и мат. физ.— 1995. — Т. 35, № 7.- С. 1128-1133.

263. K. LePage, PL. Schmidt. Spectral integral representations of monostatic backscatttering from three-dimensional distributions of sediment volume inhomogeneities // J. Acoust. Soc. Am.— 2003 — Vol 113, no. 2,— Pp. 789-899.

264. D. W. Zhang, X.-C. Yuan, N. Q. Ngo, P. Schum. Fast Hankel transform and its application for studying the propagation of cylindrical electromagnetic fields // Opt. Express. 2002 — Vol. 10, no. 12. — Pp 521-525.

265. B. W. Suter. Foundations of Hankel transform algorithms // Q. Appl. Math. 1991. - Vol. 49. - Pp. 267-279.

266. M. J. Cree, P. J. Bones. Algorithms to numerically evaluate the Hankel transform // Comput. Math. Appl — 1993. —Vol. 26, no 1-12.

267. W. L. Anderson. Computer piogiam Numerical integration of related Hankel transform of orders 0 and 1 by adaptive digital filtering // Geophysics. — 1979 Vol 44, no. 7. - Pp. 1287-1305.

268. W. L. Anderson. Computation of Green's tensor integrals for three-dimensional electromagnetic problems using fast Hankel transform // Geophysics. — 1984. — Vol. 49, no. 10. — Pp. 1754-1759.

269. A. E. Sicgman. Quasi fast Hankel transform // Optics Lett. — 1977. — Vol. 1, no. 1 Pp. 13-15.

270. A. J. S. Hamilton. Uncorrelated modes of the nonlinear power spectrum // Monthly Not. Roy. Astron. Soc. — 2000. — no. 312.

271. Q. H. Liu, B. Tian, X. Xu, Z. Q. Zhang. Recent progress on nonuniform fast Fourier transform algorithms and their applications // J. Acoust. Soc. Am. — 1999. — Vol 106, no. 4. P. 2135.

272. J. Benedetto, P. Ferreira. Modern Sampling Theory. — Boston: Birkhauser, 2003.

273. В. V. Suter, R. A. Fledges. Understanding fast Hankel transforms //J. Opt. Soc. Am. A. — 2001. — Vol. 18, no. 3.- Pp. 717-720.

274. J. Markham, J.-A. Conchello. Numerical evaluation of Hankel transforms for oscillating functions // J. Opt. Soc. Am. A. — 2003. — Vol. 20, no. 4.— Pp. 621-630.

275. J. D. Secada. Numerical evaluation of the Hankel transform // Сотр. Phys. Comm. 1999. - Vol. 116. - Pp. 278-294.

276. L. Yu, M. Huang, M. Chen et al. Quasi-discrete Hankel transform // Opt. Lett. — 1998. — Vol. 23, no. 6.

277. M. Guizar-Sicairos, J. C. Gutierrez- Vega. Computation of quasi-discrete Hankel transforms of integer order for propagating optical wave fields // J. Opt. Soc. Am. A — 2004,- Vol. 21, no 1,- Pp. 53-58.

278. К. Дж. Трантер. Интегральные преобразования в математической физике.— М : Гос. издат. техт. теор. лит., 1956.

279. A. Jerri. The Shannon Sampling Theorem Its Various Extensions and Applications: A Tutorial Review // Proc. IEEE. — 1977, — Vol. 65, no. 11.— Pp. 1565-1596.

280. L. Filon. On a quadrature formula for trigonometric integrals // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1928-1929. - Vol. 49. - Pp. 38-47.

281. R. Barakat, E. Parshal. Numerical Evaluation of the Zero-Order Hankel Transform Using Filon Quadrature Philosophy // Appl. Math. Lett. — 1996. Vol. 9, no. 5. - Pp. 21-26.

282. R. Barakat, В. H. Sandler. Evaluation of First-Order Hankel Transforms Using Filon Quadrature Philosophy // Appl. Math. Lett. — 1998. — Vol. 11, no. 1.— Pp. 127-131.

283. R. Barakat, В. H. Sandler. Filon Trapezoidal Schemes for Hankel Trams-forms of Order Zero and One // Сотр. Math. Appl — 2000.— Vol. 40.— Pp. 1037-1041.

284. И. H. Дремип, О. В. Иванов, В. А. Нечитайло. Вейвлеты и их использование // Усп. физ. наук.— 2001,— Т. 171, № 5. — С. 465-501.

285. Ч. Чуй. Введение в вэйвлеты. — М.: Мир, 2001.

286. И. Я. Новиков, С. Б. Стечкин. Основы теории всплесков // Усп. ма-тем. наук. 1998. - Т. 53, № 6. - С. 53-129.

287. W. Sweldens. The lifting scheme: A new philosophy in biorthogonal wavelet construction // Proceedings of Wavelet Applications in Signal and Image Processing III / SPIE. — Vol. 2569 of SPIE Proceedings Series.- SPIE, 1995.- Pp. 68-79.

288. G.-P. Bonneau, S. Hahmann, G. M. Nielson. BlaC Wavelets: a multiresolution analysis with non-nested spaces // Proceedings of VIS'96 / ACM. — ACM, New York, 1996,- Pp. 43-48.

289. H. L. Resnikoff, R. О'Neil Wells. Wavelet Analysis: The Scalable Structure of Information. — Springer, 1998.

290. K. Urban. Wavelets in Numerical Simulation: Problem Adapted Construction and Applications. — Springer, 2002.

291. V. K. Singh, 0. P. Singh, P. K. Pandey. Numerical evaluation of the

292. Hankel transform by using linear Legendre multi-wavelets // Comp. Phys. Comm. 2008. - Vol. 179. - Pp. 424-429.

293. V. K. Singh, O. P. Singh, P. K. Pandey. Efficient algorithms to compute Hankel transforms using wavelets // Comp. Phys. Comm. — 2008. — Vol. 179.- Pp. 812-818.

294. P. K. Pandey, 0. P. Singh, V. K. Singh. An Efficient Algorithm for Computing Zero-Order Hankel Transforms // Applied Mathematical Sciences. — 2008. Vol. 2. - Pp. 2991 - 3000.

295. P. K. Pandey, V. K. Singh, 0. P. Singh. An improved method for computing Hankel transform // J. Franklin I. — 2009. — Vol. 346. — Pp. 102-111.

296. V. K. Singh, P. K. Pandey, S. Singh. A stable algorithm for Hankel transforms using hybrid of Block-pulse and Legendre polynomials // Comp. Phys. Comm. 2010. - Vol. 181. - Pp. 1-10.

297. O. Komenda. — Synteticke difraktivni elementy pro tvarovani svazku. — Master's thesis, Ceske vysoke uceni technicke v Praze, 2006.