автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.01, диссертация на тему:Анализ и синтез передаточных функций электрических цепей

Г6 o/i

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

О С til ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ

ИНСТИТУТ РШОТЕХЩКИ И ЭЛЕКТРОНИКИ

На правах рукописи

ВИТКОВ Матвей Григорьевич

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ / НОВЫЕ ЭФФЕКТИВНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ СХЕМНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ /

05.12.01. - теоретические основы радиотехники

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва - 1993

Работа выполнена в Московском техническом университете связи и информатики (МТУСИ).

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Зубаков В.Д.

доктор технических наук Левшин И.П.

доктор физико-математических наук Мкртчян Ф.А.

Ведущая организация: Государственный научно-исследовательский

институт радио (НШР) _ ^

Защита состоится " Ъ " схгяс'-'З 1993 г. в Ю часов на заседании специализированного совета Д 002.74.02. в Институте радиотехники и электроники РАН по адресу: 103907, г. Москва, ГСП-З, Моховая ул. 18, конференц-зал Института радиотехники и электроники РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института радиотехники и электроники РАН.

Автореферат разослан " С " О 0 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат технических наук М.Г. Голубцов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Цели исследования. Диссертация посвящена про1~е:.'лм схег.:ного проектирования на ЭВМ линейных электрических цзпеП СЗЦ) элементов аппаратуры радиотехники и связи. Главное вниу.акЕ-з обращено на первый этап схемного проектирования - поиск, выбор з синтез передаточных функций (ПР5) ЭЦ, удовлетворяющих сложные требованиям к их характеристикам., Основные цели исследования заключались в создании и применении эффективных численных методов и в выделении новых классов ПШ, позволяющих преодолеть трудности схемного проектирования.

Основные защищаемые положения. Созданы эффзктивнкз численные методы: экономный и быстро сходящийся в рассматриваема.! классе задач метод наилучшей равномерной аппроксимации, метод интерполяции рациональными функциями общего вида и др. На основе созданных автором новых экономных математических методов и с помощью выделения, синтеза и анализа ПРФ новых классов разработана совокупность новых численных методов схемного проектирования, которая впервые обеспечила синтез четырехполюсников по сложным совокупностям требований аппаратуры связи новых поколений, создав условие возможности реализации этой аппаратуры. Созданная совокупность методов является крупным достижением в развитии перспективного научного направления схемного проектирования ЭД на ЭВМ.

Актуальность. На рубеже 70 - 80 г. г. создание ряда эффективных разработок аппаратуры радиотехники и связи начало сдерживаться из-за отсутствия или недостаточной эффективности известных численных методов оптимального синтеза. Например, ддя новой аппаратуры многоканальной связи с временным уплотнением были необходимы фильтры, удовлетворяющие трем условиям: 1)выше заданной частоты рабочее затухание не ниже заданной функции А^(^);2)ни-же заданной частоты ^ - не более заданного А^; 3)определенная

на заданном относительном уровне (-40___-60 дБ) длительность

импульсного отклика не превосходит заданное значение Ь , близкое к допустимому минимальному пределу. Однако подходы к решению этой задачи не были исследованы и метод ее решения не был известен. Не было даже достаточно полных результатов анализа импульсных характеристик четырехполюсников известных классов, которые бы могли приблизить тэешение проблемы. А класс фильтров с максимальной кратностью полюсов ПРФ, названных в диссертации максимально-кратными фильтрами (МКФ), еще не был выделен.

Создание новых методов синтеза стимулировали и явные ограш-

чения из-за недостаточной эффективности известных методов. Общим недостатком известных численных методов аппроксимации частотных характеристик являются больше вычислительная и емкостная сложности. При аппроксимации Л|-го порядка даже в простейшем полиноми-

3

альном алгоритме на одну итерацию приходится затрачивать порядка н длинных операций (умножение или деление + сложение) и сохранять в памяти порядка промежуточных результатов. А в методах математического программирования, применяемых для рациональной аппроксимации, эти затраты возрастают многократно. Кроме того, с увеличением порядка ухудшается сходимость многих известных методов, включая методы параметрического синтеза и методы решения алгебраических уравнений теории фильтров, которые отличаются особенно сближенными корнями. Недостатки методов вынудили саше сложные фильтры аппаратуры этого периода (включая аппаратуру системы К1920 единой государственной сети связи) проектировать не оптимальными методами, а по характеристическим параметрам, что привело к излишнему усложнению аппаратуры. Создание в диссертации методов, позволивших распространить оптимальный синтез на область особенно сложных фильтров, было, несомненно, актуальным.

При проектировании сложных фильтров многоканальной аппаратуры не умели достаточно точно учесть влияние потерь в реальных катушках индуктивности, хотя уже била известна достаточно точная двух-параметричеекая аппроксимация экспериментальных ЧХ добротности: = 2 йт«изя/(ы2 + со^ ), (I)

где и - два экспериментальных параметра данной катушки. Это привело к тому, что цепи сложных фильтров были вынуждены дополнять не менее сложными цепями амплитудных выравнивателей. Было актуально решить проблему более точного учета потерь при синтезе, что позволило исключить такие выравниватели из схем аппаратуры.

В связи с обширным анализом временных характеристик четырехполюсников, который потребовался в ходе работы, было актуально разработать и применять самые простые и экономные алгоритмы такого анализа. При синтезе формирующих четырехполюсников с линейно-нара-стапцими АЧХ систем связи с предыскажением и нестандартными каналами нельзя воспользоваться известными решениями для стандартных каналов и применить к ним реактансные преобразования, т. к. при этом ухудшается аппроксимация АЧХ. Поэтому было актуально

разработать самый простой соответствующий метод аппроксимации и синтезировать с его помощью недостающие варианты предыскажающих и восстанавливающих четырехполюсников систем связи с предыскажениями и нестандартными каналами.

При оптимальном синтезе фазовых цепей был недостаточно исследован выбор критерия наилучшей аппроксимации, при котором минимизируются линейные искажения. Кроме того, ваяно было упростить метод фазовой коррекции и устранить численные трудности, которые могут возникать в окрестности полюсов аппроксимирующих тангенс-функций.

Новизна и научная значимость результатов. Центральное место среди разработанных в диссертации численных методов занимает новый численный метод наилучшей в смысле Чебышева аппроксимации. Новый метод снял ограничения, вызывавшиеся сложностью известных методов. На ЭВМ средней мощности были аппроксимированы характеристики ФНЧ-прототипов 19 порядка и выше. При аппроксимации АЧХ фильтров новым методом на одну итерацию затрачивается всего порядка Н длинных операций и требуется всего порядка ячеек памяти для хранения промежуточных результатов. При аппроксимации более общих характеристик может потребоваться порядка N 2 длинных операций на итерацию, однако и последний результат свидетельствует о чрезвычайной эффективности нового метода. Новый метод оказался достаточно универсальным и составил научную основу разработанных в диссертации численных методов синтеза по заданным частотным характеристикам всех разновидностей четырехполюсников, которые в ней рассматриваются. Приводимые в диссертации примеры иллюстрируют быструю сходимость к глобальному оптимуму при применении нового метода аппроксимации.

В свою очередь, новый метод аппроксимации в общем случае основывается на разработанных в диссертации новых методах экономной рациональной интерполяции. В этой области также получены существенные новые научные результаты. Как известно, первые экономные численные методы интерполяции, требующие порядка Ц^ длинных операций, были разработаны Ньютоном. Они используют специальные интерполяционные полиномы Ньютона. Метод Ньютона относится к вырожденному случаю рациональной интерполяции, когда полином знаменателя вырождается в единицу. Только спустя 200 лет (к самому началу 20 века) Тиле сумел разработать такой же экономный метод интерполяции для другого предельного случая, когда степени полиномов числителя и знаменателя равносильной рациональной интерполяции различа-

- 5 -

ются не более, чем на I. При этом используется аппарат специальных интерполяционных дробей Тиле. И вот теперь, спустя около 70 лет, в диссертации удалось разработать такой же экономный метод для общего случая, когда степени полиномов равносильной рациональной интерполяции могут быть выбраны произвольно. Метод использует смешанные цепные дроби предложенной в диссертации структуры. Как и в

о

методе Ньютона, здесь необходимо порядка М длинных операций.

Кроме того, в диссертации разработаны новые алгоритмы интерполяции с обычными интерполяционными цепными дробями Тиле, включая алгоритм дал интерполяции ФЧХ, который позволяет избежать переполнений в окрестности полюсов тангенс-функций, что особенно существенно при синтезе фазовых цепей высоких порядков, т.к. число полюсов в области аппроксимации приблизительно равно порядку фазовой цепи.

При синтезе минимально-фазовых искусственных линий задержки в диссертации впервые установлено, что для уменьшения межсимвольной интерференции следует минимизировать ошибку аппроксимации не по фазе или ГВП, а по <М1. В диссертации произведен синтез обычных и полосовых линий задержки по выделенному критерию.

Предложенный в диссертации метод решения характеристических уравнений теории фильтров высокого порядка со сближенными корнями, который использует изученные в диссертации модулярные преобразования различных рангов, сделал возможным синтез самых сложных вариантов йильтров диссертации (включая (,ильтры в виде ФНЧ-прототи-пов 19-32 порядков и фильтры, реализующие самые сложные характеристики фильтров системы связи К1920), которые ранее вынуждены были синтезировать по характеристическим параметрам, заведомо получая неоптимальные решения.

Выведенная автором новая формула, дополняющая известную форгцулу теоремы разложения Хевисайда и позволяющая сразу рассчитывать амплитуды и начальные фазы колебательных слагаемых оригинала, которые соответствуют парам простых сопряженных комплексных полюсов, позволила разработать самый экономный из известных алгоритм анализа временных характеристик четырехполюсников.

В диссертации впервые ввделен и изучен класс фильтров с максимальной кратностью полюсов и разработан метод их синтеза по заданной функции А^ (5-) и по заданной вещественной координате полюсов (ВКП). Проведенный в диссертации анализ этих фильтров показал, что, оптимизируя ВКП, можно снизить длительность импульсного от- 6 -

клика почти до предельного минимального значения, сохраняя при этот небольшое (менее единицы) значение с^- фактора.

Для синтеза реактивных фильтров с учетом потерь типа (I) в диссертации выделен новый класс лестничных фильтров, ПРФ которых содержат параметры и всех резонаторов их лестничной реализации. Это позволило впервые разработать метод синтеза цепочечных фильтров, при котором как угодно точно уже на стадии аппроксимации условий фильтрации можно учитывать заданные параметры частотных зависимостей потерь резонаторов синтезируемой ЭЦ фильтра.

Обоснованность, достоверность и практическая значимость научных результатов. Научные положения диссертации базируются на фунда -ментальных достижениях теории функций, теории аппроксимации, классической теории физики электрических и магнитных процессов, теории линейных электрических цепей. Все полученные в диссертации теоретические положения обосновываются аналитическим выводом. Все разработанные автором новые численные метода реализованы им в виде алгоритмов и программ для ЭВМ, испытаны, опубликованы и позволили успешно провести расчет большого числа практически важных вариантов четырехполюсников для проектировавшейся аппаратуры связи. Быстрая (за десятки итераций) сходимость новых предложенных итерационных методов при решении рассматривавшихся классов задач обоснована обширным численным экспериментом.

Существенное практическое значение имеют особенности выделенных в диссертации новых классов четырехполюсников. Например, предложенные автором МКФ обеспечивают задаваемые условия фильтрации при самой низкой добротности полюсов ПРФ. Это чрезвычайно важно дом реализации активных фильтров методами микроэлектроники и цифровой техники, т.к. позволяет применять самые простые известные активные и цифровые схемы и простейшие цепи с переключаемыми конденсаторами. Применение таких схем при большой полюсной добротности не позволяет обеспечивать надежность и необходимую обусловленность их частотных характеристик.

При оптимизации МКФ весьма существенной особенностью является уменьшение до единицы числа параметров, которые при заданных требованиях к АЧХ определяют временные характеристики этих фильтров. Т. е. соответствующая задача нелинейной оптимизации перестает являться проблемой - имеет известные решения. Путем решения такой задачи автором найдены варианты фильтров с быстрым затуханием отклика (БЗО) по требовавшееся совокупности условий.

- 7 _

При синтезе цепочечных реактивных фильтров существенное практическое значение имеет высокая точность учета потерь в резонаторах, которую обеспечивает разработанный авторш метод синтеза. Рассчитанные этим методом фильтры были сконструированы, изготовлены и подвергнуты испытаниям, которые показали, что измеренные характеристики практически совпадают с расчетными. Это позволило исключить из схем проектировавшейся аппаратуры подчистные амплитудные корректоры.

Использование результатов в учебном процессе. Некоторые результаты диссертационной работы рекомендуются к использованию в учебных институтах дяя обучения студентов радиотехнических и связных специальностей. При изучении раздела "спектральный метод" полезно рассмотреть выведенную автором в /8/ формулу спектра радиоимпульса с произвольной начальной фазой гармонического заполнения. Эта формула уже включена в несколько известных учебников, изданных центральными издательствами, например, в учебники И.С. Гоноровского и С.И. Баскакова. Формула автора, дополняющая известную формулу теоремы разложения Хевисайда для расчета колебательных слагаемых оригинала, соответствующих парам комплексных сопряженных полюсов данного операторного изображения по Лапласу, задолго до ее опубликования /6/ и по настоящее время используется на лекциях и упражнениях, которые автор проводил для студентов МГУСИ, а ранее для студентов МЭИ, ВЗЭИС, ШШ. Эта формула включена в опубликованные авторш в институтском издательстве учебно-методические пособия и книгу (М.Г. Витков. Переходные процессы в цепях с сосредоточенными параметрами. - М.:ВЗЭИС, 1969. - 148 е., ил.). Выведенная авторш формула особенно полезна на лекциях при изложении раздела "переходные процессы", вооружая лектора не просто универсальным аппаратом анализа колебательных составляющих, но аппаратом, который делает тривиальным анализ цепей 2...3 порядков, позволяет без особенных затрат времени рассмотреть'возбуждение колебаний в последовательном и параллельном контурах, явление биений и т. п. Применение изученных в диссертации модулярных преобразований позволяет упростить изложение раздела "синтез электрических фильтров" Разработанный в диссертации новый метод наилучшей аппроксимации был опубликован в книге (М.Г. Витков. Основы синтеза линейных электрических цепей. - М.:ВЗЭИС, 1970. - 143 е., ил. ) и со-

ставил научную основу разработанной автором системы автоматического проектирования фильтров для персональных ЭВМ, которая нашла широкое применение в лабораторном практикуме института, в курсовом и дипломном проектировании. В то же время, это простейший дая изложения на лекция из известных методов наилучшей аппроксимации, что позволяет именно его излагать на лекциях по разделу "аппроксимация частотных характеристик электрических цепей".

Публикации по теме диссертации. Все основные результаты диссертационной работы полностью отражены в статьях приводимого ниже списка публикаций. Важнейшие результаты получены и опубликованы автором в личных публикациях - без соавторов. Именно этим личным результатам автора посвящены отдельные главы диссертации.

Апробация. Диссертация была доложена и одобрена в нижеследующих организациях. На кафедрах TOS: МИРЭА ( зав. кафедрой д.т.н. проф. Л.А. Бессонов ), МИИГ ( зав. кафедрой д.т.н. проф. Б.И. Косарев ), Минского радиотехнического института (зав. кафедрой д.т.н. проф. И.А.Федорова ). На кафедрах: инженерной электрофизики ( зав. кафедрой д.т.н. проф. В.Г. Миронов) МЭИ , теории цепей и сигналов Горьковского политехнического института ( зав. кафедрой д.т.н. проф. В.В. Крылов ), на кафедре математической физики МГУ ( зав. кафедрой академик АН СССР А.Н. Тихонов ), на кафедре вычислительной математики и кибернетики Горьковского гос. университета ( зав. кафедрой д.ф.-м.н. проф. Д.И. Батищев ).

Отдельные результаты диссертации докладывались на 1У и У1 Всесоюзных школах-семинарах'Теория и практика программирования.." в г. Душанбе (1974г.) и в г. Владивостоке (1977г. ), на I и II конференциях "Применение ЗВМ.." в г. Киеве ( 1974 и 1975 г.г. ), на III Всесоюзной школе-семинаре "Оптимизация и конструкторское проектирование.." в г. Томске ( 1976 ), на Школе при центральном правлении Всесоюзного НГОРЭС им. A.C. Попова "Помехи и борьба с ними" в г. Москве ( 1984 г. ), на конференции "Опыт разработки и внедрения фильтров.." в г. Одессе ( 1984 г. ), на научно-технических конференции института ( 1975, 4976, 4979 - 1982, 1984 -1986, 1989 - 1991 г. г. ).

Значение полученных в диссертации результатов для развития отрасли связи было обсуждено и одобрено на Научно-техническом совете Министерства связи СССР с привлечением в качестве официальных рецензентов ведущих специалистов страны в области проектирования

фильтров и аппаратуры связи: д.т.н. проф. С.С. Когана и д.т.н. проф. Л.А. Коробкова.

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит 331 страницу и состоит из предисловия, введения, двенадцати глав, заключения, списка литературы и приложения.

Чтобы изложить в малом объеме большое число новых результатов, в диссертации все общие вопросы, место новых результатов среди результатов известных работ и общая оценка результатов - вынесены в предисловие и во введение, куда и отсылаем читателя, которого интересуют эти вопросы.

Учитывая квалификационный характер работы, автор постарался вынести в предисловие все вопросы, по которым можно судить о соответствии диссертации всем требованиям Положения ВАК к докторским диссертациям. Это должно облегчить читателю, интересующемуся только квалификационными вопросами, познакомиться с ними по обширному предисловию.

Принятая структура диссертации позволила посвятить объем всех двенадцати глав почти исключительно оригинальным методам и новым результатам. Она позволила основные результаты диссертации осветить с исчерпывающей полнотой.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Предисловие. Оно посвящено общей оценке работы: определению предмета исследования, его актуальности, формулированию цели исследования, проведению оценки научной новизны, научной и практической значимости и внедрению результатов диссертации.

Во введении рассмотрены исходные положения, изложено общее содержание исследований на фоне известных работ, распределение материала по главам. Большой объем исследований по теме диссертации вынудил не посвящать отдельных глав тем вопросам, которые имеют вспомога -тельный характер, как,например, исследованию спектра /8/, расширенным матрицам четырехполюсников /36/ илу общим теоремам теории электрических цепей /37/, а также исследованиям, которые выполнялись в соавторстве, и исследованиям, фундаментальные основы которых уже были разработаны другими исследователями. Этим видам исследований до 4985 г. во введении посвящен краткий обзор. Тематика исследований этих видов отражена ниже б шести пунктах.

1. Автором разработан эффективный программный комплекс для ЭВМ расчета импульсных откликов в случае ПРФ с кратными полюсами. С его помощью получены обширные результаты анализа временных характеристик МКФ /23/. Описанию этого комплекса не выделено отдельной главы, т. к. основы реализованного метода были разработаны ранее Поттле.

2. Не выделено места для описания алгоритмов и методик отдельных процедур синтеза реактивных четырехполюсников /7, 14/, т. к. они реализуют известный метод Дарлингтона.

3. Не выделено глав для имеющих вспомогательное значение исследований в области теории магнитных элементов ЭЦ, реализующих ПРФ:

а) доказательству /13/, что экспериментальная характеристика зависимости добротности от частоты (I) выводится при определенных упрощениях (когда линеаризованы динамические и статические характеристики перемагничиванич материала магнитного сердечника и пренебрежимо исследованное автором в А, 2/ влияние поверхностного эффекта); б) рекомендациям /13, 16/ по выбору сердечников катушек индуктивности; в) выводу аналитических выражений кривых перемагни-чивания магнитных монокристаллов кубической симметрии с отрицательной константой анизотропии (никель, большинство ферритов) /3/ ; г) изучению автором некоторых задач электродинамики магнитного экранирования /4, 5/.

4. Имеющая вспомогательное значение формула автора о спектре радиоимпульса /8/ описана во введении, в связи с постановкой задачи оптимального синтеза полосовых линий задержки нового класса.

5. Предложенный в соавторстве с М.Р. Шебесом прием развязки электрических связей имеет вспомогательное значение и отражен только в литературной ссылке /21/.

6. В ходе диссертационной работы не сразу были найдены классы 1Ш5, которые позволили решить задачи синтеза фильтров, удовлетворяющих требованиям проектировавшейся аппаратуры. Вначале были исследованы четырехполюсники с ПРФ известных классов: Баттерворта, Баттерворта-Лежандра, Джесса - Шусслера и некоторые другие. Сейчас эти исследования имеют только исторический интерес. Поэтому этим исследованиям в диссертации не выделено отдельных глав. Не выделено глав и для описания таких новых классов ПРФ , когда реализующие их четырехполюсники не получили широкого внедрения.

б том числе функции с полюсами (включая кратные) на окружности, охватывающей начало координат комплексной плоскости /20/.

В главе I рассмотрен расчет импульсного отклика

к (*) = ИЛ^^шК ек) + XI ¿Ке~ к ,оо, ВДКА к е

когда передаточная функция Н(р) имеет простые полюсы. Здесь б^ и и)к - параметры полюсов рк = - б^ + ] ьо к ; Кд - множество номеров пар сопряженных комплексных полюсов рк и р*; -множество номеров действительных полюсов рк = - б^ .

В диссертации введены следующие обозначения вспомогательных функций, которые получаются из передаточшх функций, когда в них опущены некоторые сомншители знаменателя, связанные с определенными полюсами заданной кратности гк ( в рассматриваемом случае простых полюсов гк = I ):

Н{к}(р) = ( р - рк ) Н(р) (2)

и

н{к.к}(р) е Г(р - рк){р- рк ^ К Н(Р>- (3)

Функции (2) и (3) названы соответственно ядрами Хевисайда передаточной функции по полюсу р„ и по паре сопряженных полюсов р„

к к

И Рк • ,

Параметры (¿к формулы импульсного отклика могут быть вычислены по известной формуле Хевисайда, записанной автором в виде:

¿к « ' (4>

Чтобы не находить комплексных составляющих и не совершать дая них каждой раз преобразований по формулам Эйлера, дая вычисления параметров Эк и ©к колебательных составляющих отклика в диссертации выведена следующая формула /6/:

Л е1е*= (5)

к

На основе формул (4) и (5) разработан экономный алгоритм расчета импульсных откликов. Автор реализовал этот алгоритм в виде программ для ЭШ. С его помощью в ходе диссертационной работы проведен обширный анализ временных характеристик четырехполюсников, рассматриваемых в диссертации.

В главе рассмотрен численный пример расчета по этому алгоритму.

3 главе 2 разработан метод, ослегчавдий решение алгебраических уравнений высокого порядка и со сближенными корнями /30, 35/. Его основу составляет обобщенное автором известное преобразование еиунк-ций Г(р) комплексного переменного р /30/:

%]( - р 2 ) = Р(р)-Р(- р) . (6)

Это преобразование названо автором модулярным преобразованием функции Г(р), а его результат назван модуляром или, точнее, модуляром второго ранга этой функции. Так для переменной р ее модуляр р^ = - р2. Поэтому модуляр (6) :лат.ет бчть записан в виде Рт(р12] ). Модуляром удвоенного ранга 2Ъ назван результат модулярного преобразования модуляра тэанга т, :

Получено следующее выражение модуляра переменной р ранга ъ

Р^^-Р* , г = 1,2,4,8,..., (7)

где г =■ 1 соответствует исходно;; йункции. В случае полинома степени /г.

А „ (р) = а 0+ а^р + а2Р2+---+ р"' ^

получено выражение его модуляра в.виде следующего полинома той же степени п, :

Ы [г] [>] 2 \ъ\гь

{1р[-а)=йо + й2 + ап (9)

коэффициенты которого могут быть найдены последовательным расчетом для рангов 2,4,8,16 и т. д. по исходным значениям = д.ЕЯ

к к

коэ(йШциентов полинома \8) с помощью следующего алгоритма:

12г-1 гь £2г1 2ъ С2г1 с гз 2

% = ао > = ; л 1 = (111 > +

^ к [П С11 |к.-= т1гЛ1, л-г] , (10)

+ 2 ^ (-1) 1...-И; - < - 1 }

к в£ ' { • = 1,2,3,..., п - I,

который в основном совпадает с известными алгоритмами, использовавшимися в некоторых специальных методах решения алгебраических уравнений, например, в методах решения Траксела или Лоба -

чевского-Греффе.

В диссертации отмечены случаи известных применений модуляров в теории цепей. Развитая автором теория модуляров позволила унифицировать соответствующие обозначения и термины. Модуляр второго ранга передаточной функции Н(р): Н£>](Рс2 = Н(р)-Н(-р) ,-назван в диссертации модуляром передачи. В результате модулярного преобразования мнимая ось р = [и преобразуется в положительную действительную полуось р^ = в точках которой модуляр передата совпадает с квадратом модуля передаточной функ-

ции:

НС23(рС2])

= | Н(^)!2.

2

Р{2] = ш

Представив модуляр передачи в следующем виде:

нс21(Рс2])= -а?-, (и)

1 + СР(12 Р

можно выделить выражение характеристической функции фильтрации 1^2^ , которая названа в диссертации модуляром фильтрации. Модуляр коэффициента отражения на входе четырехполюсника р^ ^ назван модуляром отражения. Введены и некоторые другие термины.

При решении алгебраических уравнений высокого порядка теории фильтров, которые отличаются высокой концентрацией корней, предложено от исходного уравнения Ап (р) = 0 с полиномом (8) переходить к решению соответствующего модулярного уравнения ранга г :

кп т^сгР = 0 •

Показано /30/, что корни рк ^ модулярного уравнения ранга г просто связаны с корнями рк исходного уравнения:

Рк - \-РйСт] & , ¿¿I, г .

Целое Ь здесь находится как тот элемент отрезка натурального ряда 1,2,3,...,ъ , при котором обеспечивается минимальное значение модуля |Ал(рк) | . Доказано, что если корни рк и р.- находятся у исходного уравнения на относительном расстоянии, ко-

торое много меньше единицы, то соответствующие корни модулярного уравнения находятся на относительном расстоянии в п раз большем. Этим объяснено ускорение сходимости эффективных процедур Берстоу, Ньютона, Дженкинса и Трауба и других после перехода к модулярным уравнениям. На численных примерах показано, что удвоение ранга может в десятки раз увеличить скорость сходимости или обеспечить решение, когда оно не наблюдалось вовсе, и на несколько порядков повысить точность решения /30, 35/.

Разработанный метод решения алгебраических уравнений со сближенными корнями имеет следующие основные особенности: очень прост алгоритм (10), лежащий в его основе; метод не требует знания области локализации сближенных корней - модулярные преобразования приводят к относительному увеличению расстояния между близкими корнями, лежащими в любой части комплексной плоскости, а не только в окрестности максимум двух граничных частот полосы пропускания, как при применении известного метода Темеша-Орчарда; метод может быть применен к алгебраическим уравнениям многополосных фильтров, когда число областей локализации сближенных корней совершенно произвольно; метод не имеет видимых ограничений -можно всегда удвоить ранг модулярного уравнения, если сходимость еще не наблюдалась.

В главе 3 разрабатываются эффективные методы интерполяции функций действительного переменного ^(х). Для интерполяции с узлами хк (к = ГЛП автором предложена сметанная цепная дробь специальной структуры /28/, которая в обозначениях Роджерса теории цепных дробей может быть записана в следующем виде:

М к - I ^

%<х)яР1 + Д (х-х£)] +

М (12)

П Сх~х ^ ^Л+Х х~хМ+2 Х~ХЦ~1 | + - -- - - .

^ М+1 + ^ М+2+ Л?+3+--- ^

При М = л + ю + I п ИЫ а - <п + 1 предложенная цепная дробь (12) равносильна соответствующей рациональной интерполиру-

ющей функции с произвольными п.- и m ( с ± rt ) :

д (зс) = г1 2х +

га-Зх гл/ х + х '

При можно выбирать и другое значение М: М = П - /V .

Обозначим значения интерполирующей функции в узлах интерполяции:

Для расчета параметров интерполирующей дроби (12) автором разработан следутаций алгоритм /28/:

/»!= У£ ;

Р>„ - > гДе вспомогательная величина Р* при исход-1

К К " '

(Î3)

Pt+I = (Pt - J3t )/(хк-хь) , t<M

ном значении Р^ = i/K расслаивается рекур-рентно по формулам:

Pt+I = (хк - xt > > г - M

При вычислении всех патаиетров интерполирующей дроби (12) разработанный алгоритм требует выполнить N ( ,\| - ï)/2 длинных операций (умножение или деление плюс сложение), сохраняя в памяти всего около M расчетных значений. Это значительно экономнее известного алгоритма непосредственной рациональной интерполяции, который требует уже ( :l3+ 6Н2- И )/3 длинных операций и сохранения в памяти около fрасчетных значений.

Автором разтаботано в диссертации eue несколько новых алгоритмов интерполяции цепными дробями /22/, в частности, особо усто!*чивий алгоритм, отличающийся наименьшим числом операций деления (по одной на вычисление каждого р к , к = 7TFJ ), который в дальнейшем применен при синтезе ФЧХ цепей, аппроксимирующих заданные идеальные ЧХ /32/.

В четвертой главе разработан новый ж самый экономный метод наилучшей в смысле Чебышева рациональной аппроксимации

чушада" действительного переменного. Новый метод является разновидностью методов последовательных интерполяций, когда область аппроксимации с Ч узлами интерполяция взаимно однозначно отображена на единичный отрезок [0, 11 оси г . Упорядоченные узлы интерполяции отображены в точки гк (к = ГТЮ, которые разбивают единичный отрезок с граничными точками 0 и = 1 на

N + I интервалов интерполяции » -2 к Т , к = ТГьГ+Г .

Разработанный .метод применим, когда втяголняются следующие условия для аппрокстаацш, определяемой рассматриваемыми интерполяциями: I) йункпдя ошибки аппроксимации (или, что равносильно, аппроксимирующая функция) непрерывна в области аппроксимации;

2) в какдом интервале интерполяции найдена точка альтернанса

, модуль ^ взвешенной ошибки аппроксимации у(^) в которой макстаален в даннорл интервале интерполяции:

М *1У(2.„)|» «»ад: 1у(х)| , к = I, N +1 ;

К Ш 7 7- 2

¿к-! к

3) альтернансние ошибки аппроксимации в соседних интервалах имеют тэотивополсскные знаки: _

у( гАк)-у( )ао,к»1,И . (14)

В работе обозначены: М - наиболыпир и S - наименьший из модулей М^ , Е » I - М/5 - неточность выравнивания модулей М^ , М - наибольший модуль взвешенной ошибки наилучшей в смысле Че-бышева аппроксимации. При выполнении перечисленных условий из теории наилучшей аппроксимации следует, что при аппроксимации полиномами, рациональными функциями или цепными дробями значение Е определяет относительную ошибку приближения рассматриваемой аппроксимации к наилучшей аппроксимации:

(М - М0 )/ М = В . (15)

Если точность приближения к наилучшей аппроксимации еще недостаточна, рассчитываются,как показано ниже, узлы и параметры аппроксимации следующего приближения (они, дай отличия от параметров исходной аппроксимации, будут обозначены со штрихом). Для этого разработан следующий алгоритм ДО, II, 19'.

Вначале рассчитываются и запоминаются вспомогательные значения (¿„° :

и§>). о , и^ + < I + б; - 2„_т ) .

_ Ги^/М, М^О.СЯМ, где 5„ » А 15 *

к [ 0,011 , М^ й 0,01 М ,

к = I, N + I . Находится нормирующий коэффициент

м/= 1 / . (17)

Рассчитываются и запоминаются следующие вспомогательные значения:

ак = , к = О, N + I . (18)

Для расчета узла интерполяции следующего приближения по старому значению ^ находится номер к , при котором выполняется следующее условие:

После этого рассчитывается искомое значение узла интерполяции: (г. - ¿„^Кг..-

■</ ~ г * *

= 2.кЛ * ~ 1 , С ж I, М. (19)

В работе обсуждены выбор исходного значения основного численного параметра Л! нового метода и его регулирование в процессе расчетов. Если в результате перехода к интерполяции нового приближения ухудшается выравнивание модулей ^ , то исходное значение Л) (обычно 2..Л0) предложено снижать каждый раз в 2.. .10 раз.

Подсчитана исключительно высокая эффективность алгоритма (16) - (19) нового метода: на расчет И узлов интерполяции следующего приближения требуется около 8 N + 3 длинных операций при сохранении в памяти около 6 N + 4 значений. Это значительно меньше соответствующих чисел известных алгоритмов наилучшей рациональной аппроксимации.

В главе 5 рассмотрено тестирование нового метода наилучшей аппроксимации. Оно проводилось вначале при осуществлении

чебнгаевской аппроксимации функции на интервале L0, тг/41

/11/. В ходе тестирования проверено выполнение условий метода и обнаружена быстрая (за несколько итераций) сходимость с точностью около IQ& к наилучшей чебшевской аппроксимации из простейшего исходного приближения, соответствовавшего интерполяции с равноотстоячдами узлами,- и в случае аппроксимации полиномами различного вида, и в случае аппроксимации рациональными функциями.

Разработанный новый метод наилучшей аппроксимации не использует аналитических свойств аппроксимируемой функции. Чтобы проверить быструю сходимость, когда первая производная аппроксимируемой функции изменяется в области аппроксимации скачком (от значения - I к значению + 2 при х 0), в качестве второй тестовой задачи рассмотрена наилучшая аппроксимация функции |х| на интервале L- 1, 13.

Дня проверки быстрой сходимости нового метода при наилучшей аппроксимации характеристик, типичных дая синтеза фильтров, в качестве третьей задачи рассмотрен численный синтез функций В.И. Золотарева и В. Kayэра наименее и наиболее уклоняющихся от нуля, которые, как известно, могут быть синтезированы и аналитически, на основе теории эллиптических функций Д9/. В ходе разработки для третьей тестовой задачи численного алгоритма синтеза, который не использует элементов теории эллиптических функций, авторш была установлена функциональная связь между нулями хк и полюсами функций Кауэра типа В /25/:

ГЧ1 - tf) - - x^j )

=1

к = I, H-I

х K-tl - XI

где 2Н - порядок функции Кауэра и Г - расфильтровка.

При решении всех тестовых задач наблюдалась быстрая сходимость, подтвердившаяся затем и в процессе синтеза разнообразных передаточных функций, аппроксимирующих самые различные частотные характеристики.

Глава 6 посвящена синтезу и анализу передаточных функций, аппроксимирующих характеристики идеальных фильтров. В рассматри-

ваемом случае общая: совокупность областей аппроксимации состоит из односвязных частичных областей аппроксимации различных номеров о/, разделенных интервалами расфильтровки. Различаются области пропускания и задерживания, в которых должны соответственно выполняться следующие условия фильтрации:

Ар(^) _ щ1пкр{ш) £ А (^>) , И У (20)

Ар(о>) - /адАр(г^) ^^ •

где Ар(<^) - рабочее затухание и - допустимый граничный

уровень затухания.

Рациональная передаточная функция заданного порядка интерполирует характеристику идеального Фильтра в наибольшем числе узлов интерполяции сиК , когда дадуляр фильтрации имеет следующий вид:

£2 П. (рС2 Г^Р2 4í П

К Ко

P[2J = -В- f (21)

к е К5

где, если Ц а 0 , - кратность нуля передачи в начале координат, а если р/0 ¿ 0 , то { М 0| - краткость нуля фильтрации ; Кд - множество номеров расположенных в областях пропускания узлов интерполяции сик (т. е. нулей фильтрации); К5 - множество номеров узлов интерполяции, расположенных в областях задерживания (т. е. нулей передачи).

Когда выбраны числа Ñ (ф узлов интерполяции в областях аппроксимации всех номеров о/, разработаны«} численный метод синтеза мо-дудяра фильтрации (21) сводится вкратце к следующему /26/. Каждая частичная область аппроксимации рассматривается последовательно: отображается на единичный отрезок L ОД 3 , в ней исследуется ошибка аппроксимации и определяется наибольший модуль ошибки М =• М(о) и неточность выравнивания модулей Е = E(q_). Если последняя неточность не укладывается в заданную норму EQ , т. е. нарушено следующее условие

S(q) é Е0 , (22)

то узлы интерполяции рассматриваемой области передвигаются в ней

с помощью нескольких итераций описанного в гл. 4 нового метода наилучшей аппроксимации. Затем рассматривается следующая частичная область аппроксимации и т. д., пока во всех частичных областях не будет выполняться условие Если после этого

условия ¡фильтрации задания (20) оказались нарушенными, то могут бить увеличены числа НЦ) тех областей данного типа (пропускания или задерживания), где модули 'Л(оказались наибольшими, либо за счет чисел и (с)) других областей того же типа, либо за счет увеличения порядка синтезируемой передаточной функции.

Быстрая сходимость синтеза передаточных функций фильтров высокой избирательности показана на примерах, которые хорошо иллюстрируют основные проблемы такого синтеза. Проиллюстрированы проблемы точности промежуточных расчетов и сильного влияния потерь в реальных Ь- элементах Ь С цепей, реализующих синтезируемые передаточные функции. Показано, что при сложных условиях фильтрации, даже в случае передаточных функций умеренного порядка, не эффективна известная методика учета влияния потерь.

В главе 7 разработан новый метод учета влияния потерь при синтезе лестничных Ь С фильтров с неидеальными Ь- элементами, добротность которых изменяется с частотой согласно (1)/26,29,31/. Выведено следующее выражение операторного сопротивления такого I,- элемента /27/- -

Это позволило установить следующее владение модуляра фильтрации лестничной I» С цепи с потерями:

1щ(р) -

РГ21 =

к *= кц

(23)

*С23 П (р[г:-и4с )2+ Р[21

КбК5.

2

2 0,

где и

выражены через резонансную частоту сок того колебательного контура расчетной идеальной реактивной цепи без потерь, который реализует расчетный нуль передачи на этой частоте, а = и = - параметры характеристики (I) Ь- элемента этого

контура соответствующей цепи с потеряет.

Применение передаточных функций нового класса, модуляр фильтрации которых имеет ввд (23), позволяет уже на стадии аппроксимации условий фильтрации точно учитывать влияние потерь в Ь- элементах с характеристиками (I) на положение нулей передачи. Это является первой отличительной особенностью нового метода синтеза. Второй его особенностью является способ учета влияния потерь на расположение полюсов этой функции. Этот учет производится на стадии реализации с помощью предложенного автором метода последовательных приближений /26, 29/.

При синтезе цепи первого приближения полюсы рк = - ^ - .1 синтезированной передаточной функции подвергаются зависящему от частоты со„ полюса корректирующего сдвигу нулевого приближения:

к

Дк

— 2 2 (0) _ ">т * ^к

4 о^Ч?

где <3^ ии)я - усредненные параметры всех Ь- элементов цепи. В большинстве примеров расчетные характеристики рабочего затухания синтезировавшихся цепей первого приближения удовлетворяли с некоторым запасом условиям заданий. Если же точность рассматриваемого приближения оказывается недостаточной, то синтезируется цепь следующего приближения, при расчете которой вносится корректирующий сдвиг, рассчитываемый по вызываемому потерями смещению полюсов расчетной цепи предыдущего приближения. На примерах показано, что это смещение может кардинально (даже в знаке) отличаться от смещения, предполагаемого теорией Дарлингтона.

Рассмотрены несколько подходов к решению задачи синтеза фильтров при недостаточной добротности Ь- элементов. Наиболее эффективным оказался переход к каскадному синтезу /31/ I идентичных звеньев с уменьшенными в Ь раз допустимыми уровнями -Ад^) = = КА-о)/1 . Таким способом (с применением двух каскадов ФВЧ и двух каскадов ФНЧ) синтезирована схема Лштьтра, реализующего на Ь- элементах с максимальными добротностями 350 и 500 сложные условия фильтрации фильтра транзита первичных групп системы М920 (при уменьшенном совокупном числе резонаторов по сравнению со стандартным кварцевым Шильтром транзита, рассчитанным по характеристическим параметрам /31/).

В главе 8 рассмотрен синтез и анализ разовых цепей. Для наилучшей аппроксимации заданной фазовой характеристикиуСсо) впервые разработаны интерполяционные алгоритмы, в которых предусмотрена защита от переполнений при интерполяции в узлах сок значений аппроксимируемой функции у/ = у (о^) в окрестности нулей и полюсов функции 2 ). Для этого параметры а^ полинома Гурвица (8)

интерполирующего фазового контура предложено искать решая систему

уравнений (в предположении единичной нормировки йг> = I): с, _

Вк ' к=£'г" •

маттаца коэффициентов которой определена автором (табл. 1)/9/.

Таблица 1

; Условие ^ ( /2)\*- I ) | Ц (/к /2) { * I

\1+1

С = 21 - I

Четное *.р ;, >

¿ - 21 Ча-

> - Вк = 1

Чтобы избежать решения системы уравнений при синтезе фазового контура с разовой характеристикой В(со), в диссертации рассмотрено разложение в цепную дробь /28/:

2 2 2 2 ,,, и-> ¡О -Йг а) - , г (В(и> )/2) ---Ь-£-=1 ,

Р р>2+—

дая расчета коэффициентов ßR которой разработан защищенный от переполнений алгоритм /32/.

С помощью разработанных методов на ЭВМ проведен синтез фазовых корректоров и искусственных линий задержки разных типов /9, 12, 15, 17, 28/. Осуществлен анализ фазовых цепей, синтезированных при минимизации ошибки аппроксимации идеальных ФЧХ по разным критериям: по фазе, по ГВЦ или по ФВП. При минимизации ошибки по ФВП установлено наилучшее снижение линейных искажений в минимально-фазовых линиях задержки. При минимизации ошибки по другим критериям (по фазе или по ГВП) у переходных функций таких линий образуется затянутая ступенька, длительность которой соизмерима с временем задержки, а относительный размер которой соизмерим с максимальной ошибкой по фазе в радианах /33/.

Разработаны новые методы синтеза фильтров с выравненными ФЧХ, рассматривавшихся ранее А.Ф. Белецким, A.A. Ланнэ и И.И. Трифоновым. Синтезированы новые классы таких фильтров.

В главе 9 рассмотрены синтез и анализ взаимообра&нх передаточных функций предыскажающих и восстанавливающих сигналы четырехполюсников. Чтобы удовлетворить условиям схемной реализуемости при двухсторонней нагрузке на резисторы таких четырехполюсников, разработан метод синтеза рациональных передаточных функций с одинаковыми степенями полиномов числителя и знаменателя, аппроксимирующих в заданной полосе частот линейно нарастающую с частотой идеальную АЧХ ( при фиксированном изменении АЧХ вне полосы аппроксимации). Установлено, что в результате наилучшей аппроксимации идеальная АЧХ может быть приближена с точностью около 2,5...10 процентов при невысоком порядке четырехпалюсни -ков (всего 1...2). Для подходящих вариантов синтезированы нормированные схемы прототипов предыскажающих и восстанавливающих предыскаженные сигналы четырехполюсников /28/.

Глава 10 посвящена синтезу и анализу полиномиальных четырехполюсников, АЧХ которых наилучшим в смысле Чебышева образом приближены к идеальным колоколообразным характеристикам четных рангов q, ( q,= 2, 4, 6, 8 ) /20/:

где и)^ - граничная частота области аппроксимации, выше которой АЧХ снижается ниже заданного уровня.

Были известны фильтры с АЧХ, близкими, к колоколообразным АЧХ (24) 'с рангом о2 - "Гауссовы фильтры". А.Г. Майер и Е.А. Леонтович доказали минимальность базы у сигналов со спектральной плотностью (24) при (^=2 , когда длительность и ширина спектра измеряются радиусами инерции соответствующих плоских фигур. Проведенный автором анализ показал /20/, что базы сравнительно невелики и при измерении длительности и ширины спектра по пороговому критерию на глубоких относительных уровнях ( табл. 2 ).

"Гауссовы фильтры" имекгг недостаточную равномерность АЧХ в области пропускания. Поэтому изучались и сравнивались характеристики фильтров с колоколообразными АЧХ различных рангов и соответствующих идеальных сигналов (см. варианты № 3, 7, 9 и 10 табл. 2).

Для решения задачи наилучшей аппроксимации АЧХ (24) , отличающейся плавным характером частотной зависимости при рассматривавшихся рангах , можно применять характеристики полиномиальных фильтров : обеспечивается достаточно низкий порядок цепи при малой ошибке аппроксимации, что подтвердила практика синтеза, и при этом появляется возможность использовать наиболее простые схемы реализации, свойственные полиномиальным фильтрам /20/. Разработанный метод синтеза основывается на новом методе наилучшей аппроксимации из гл. 4 диссертации. Им особенно удобно пользоваться в полиномиальном случае, если представить модуляр полинома Гурвица передаточной функции аппроксимирующего фильтра в виде четного интерполяционного полинома Ньютона и аппроксимировать с его помощью характеристику I / у (со)

По результатам наилучшей аппроксимации ( обычно при дополнительном условии точного совпадения с аппроксимируемой характеристикой на граничной частоте ) синтезированы цепи четырехполюсников и составлены таблицы параметров нормированных схем-прототипов /20/. Анализ импульсных откликов синтезированных цепей показал, что их длительности близки длительностям соответствующих идеальных сигналов ( см., например, № 3 и 4 , 6 и 7 табл. 2 ).

Таблица 2

Базы импульсных откликов при измерении граничной частоты ^ области задерживания и длительности Ь5 отклика на относительных уровнях - 40 дБ

Вид и параметры цепи или сигнала

7

8

9 10 Н 12

13

14

Отклик минимальной базы фильтра Джесса-Щусслера Лш 7

Фильтр с максимальной кратностью полюсов ПРФ П= 8,Ы5= 4, б"а = 1,06а>5 (минимизирована база) Сигнал со спектром (24) при с\,= 2 Отклик фильтра порядка М = 5с колоксдообразной АЧХ, близкой (24) при %,= 2 МК.Ф И - 8, К5=4, б'ц =0,51 со5 (оптимизирована равномерность АЧХ при со = 0 ) Отшшк фильтра порядка п = 9 с колоколообразной АЧХ, близкой (24) при = 4 Сигнал со спектром (24) при 4 Отклик фильтра с максимально-плоской АЧХ при П в 4 и Ы5= 2 Сигнал со спектром (24) при Сигнал со спектром (24) при 8 Отклик фильтра Баттерворта порядка гь - 6 Отклик фильтра Кауэра типа В при гь - 8, Г = 2 Отклик фильтра Кауэра типа В при п = 8, Г =1,4 Прямоугольный .импульс

1,799

1,870

2,94 3,20

3,33

3,80

3,94 4,70

4,82 5,70 6,70 8,93 19,5 31,8

В главе Н рассмотрены синтез и анализ выделенного в диссертации нового класса фильтров - МКФ ( с максимальной кратностью полюсов ПР5 ) /23, 34/. Так названы фильтры, имеющие ПРФ следующего вида:

Н(р)

а Пг

к = 5

(р2 + )

+ 2р <Га

+ со

~2 )

Но

<ь

где- М0 в 0 в случае четной ПРФ порядка = 2 г и (/„=!

№

5

6

ГГ

при нечетном порядке л = 2 г + I ; (Га ш а)а - соответственно вещественная координата полюса (ВКП) и его мнимая координата (МКП); /а - коэффициент нормировки. Обычно применялась нормировка Н0= Н(0) = 1. При такой нормировке максимальное значение модуля передаточной функции на оси частот В^ ^ 1 . Вели Н^, ^ I , то Н^ определяет перекорректировку АЧХ, которая у МКФ может быть как угодно большой при уменьшении б^ / .

Предложенные ПРФ могут иметь ненулевое значение Ы^ пар сопряженных мнимых нулей ± .|и_)к ( к = I, N5 ). Автором разработан синтез МКФ, при котором его Ы5 нулей передачи рассчитываются таким образом, чтобы в области непропускания фильтра обеспечить наилучшую в смысле Чебшева аппроксимацию нулевого значения АЧХ с учетом заданного коридора допуска Ад /23, 34/. Синтез проводится после выбора ВКП при заданных а, XI5 , ~ ,

А (и)). Он включает наилучшую аппроксимацию измененных допусков А1 (ил) =- _ Ад, , где постоянная Аапри заданном ВКП опре-

деляется значением МКП. Аппроксимация выполняется с помощью метода, разработанного в гл. 6 диссертации, по исходной характеристике А (ш ). В результате аппроксимации находятся значения нулей передачи и)т. и А «. Путем направленного поиска определяется значение МКП, при котором Ац обращается в ноль , что соответствует наилучшей аппроксимации нуля передачи в области непропускания с учетом именно заданной функции допуска Ад(л>). Как видим, синтез здесь оказывается гораздо более сложным, чем синтез при заданном полиноме ГУрвица или при заданных совокупностях значений ВКП и МКП, которые раньше рассматривались в литературе. Значение МКП здесь определяется только в конце синтеза, как один из результатов /23, 34/, Быстрая сходимость разработанного метода синтеза позволила осуществить синтез и анализ более тысячи вариантов фильтров нового класса.

С помощью однопараметрической оптимизации ПР5 МКФ по параметру ВКП были найдены варианты МКФ с заданными параметрами !ь, Ы^и , при заданной функции ), которые имели наименьшее значение длительности импульсного отклика на требуемом уровне а^ . Увеличивая порядок 'Ш п, и Ыу удается приблизиться к известным предельно малым длительностям отклика. Уменьшая ВКП удается ценой некоторого увеличения длительности отклика улучшать равномерность АЧХ. Таким путем были найдены решения задачи синтеза по заданной совокупности параметров: Лд , +в , Ав , АЧХ МКФ

проиллюстрированы большим числом примеров, соответствующих однородным условиям фильтрации = А^ - константа. Рассмотрены варианты при Ад = 40, 45, 55, 60 и 80 дБ" . Исследовано изменение характеристик при варьировании ВКП. На графиках проиллюстрированы характерные зависимости МКП от параметра ВКП при различных уровнях А^ . Показаны характерные зависимости длительности импульсного отклика МКФ различных порядков п и в зависимости от ВКП при часто задаваемом уровне затухания А^ = 40 дБ. Кривые АЧХ построены для различных вариантов МКФ разных поряд-„ ков, когда ВКП подбиралась из условия наибольшей в смысле Тэй-лора равномерности АЧХ МКФ при а) = 0 и когда выбранное значение ВКП приводило к перекорректировке АЧХ на 15 % .

Подходящие дая разработок новых видов аппаратуры ПРФ МКФ реализованы в виде фильтров быстрого затухания отклика -фильтров БЗО или ФБЗО /23/. Составлены обширные таблицы нормированных параметров передаточных функций с максимальной кратностью полюсов и таблицы параметров цепей, реализующих оптимизированные варианты этих функций /23, 38/.

Глава 12 посвящена синтезу и анализу передаточных функций с максимально-плоскими АЧХ и реализующим их цепям, названным максимально-плоскими фильтрами (МПФ). Наиболее известны МПФ Баттерворта. Известны также МПФ с конечными нулями передачи ±к ( к = I, ). Для упрощения синтеза МПФ последнего вида автором разработан новый численный метод , основывающийся на алгоритме гл. 6 диссертации. Разработанный метод обеспечивает при заданном порядке п, ШФ и заданном наилучшее в смысле Тэйлора приближение постоянного значения АЧХ в окрестности заданной центральной частоты максимально-плоской характеристики со0 ( в случае ФНЧ со0 = 0 ) и наилучшее в смысле Чебышева приближение нулевого уровня Н^ш ) =0 при заданной функции допуска А^ (си ) во всех областях непропускания фильтра и заданному распределению чисел нулей передачи между этими областями. На примерах показана быстрая сходимость метода. Для случая полосовых фильтров с несимметричными условиями фильтрации в нижней и верхней областях непропускания автором впервые предложено оптимизировать центральную частоту со0 и разработан численный алгоритм такой оптимизации. Показана эффективность такой оптимизации - снижение порядка ШФ.

Составлены таблицы параметров ПРФ МПФ и реализующих

их цепей /24/.

Проведен обширный анализ частотных и временных характеристик фильтров с максимально-плоскими АЧХ /24/. При этом установлено, что на уровнях -40 дБ наименьшую базу имеют отклики фильтров нижних частот Баттерворта, когда порядок фильтра п= 6 (см. № II таол. 2). Среди фильтров нижних частот с максимально-плоскими АЧХ и конечными нулям передачи могут быть найдены варианты с еще меньшими базами откликов (например, № 8 табл. 2).

Заключение посвящено четырем развернутым тезисам, в которых перечислены выносимые на защиту основные результаты. С несущественным сокращением изложение этих тезисов приведено ниже.

I. Разработаны новые расчетные методы и методики, которые отличает высокая эффективность. Среди них:

а) численный метод наилучшей в смысле Чебышева аппроксимации дробными рациональными функциями непрерывных вещественных функций. Среди известных методов многопараметрической нелинейной оптимизации, которые применяются для решения этой проблемы минимизации модуля наибольшего уклонения аппроксимирующей и аппроксимируемой функций, новый метод отличается алгоритмом перехода к улучшенному приближению. В основе этого перехода лежит предложенное и разработанное автором преобразование вспомогательной функции, характеризующей расположение узлов интерполяции рассматриваемого приближения, которое учитывает модули наибольших уклонений в отдельных интервалах интерполяции этого приближения. Разработанный алгоритм перехода к новому приближению при порядке аппроксимации // требует порядка N длинных арифметических операций и имеет емкостную сложность тоже порядка // , что значительно превосходит вычислительную и емкостную эффективности других методов. При этом в рассматриваемом в диссертации круге задач новый метод обнаруживал всегда быструю сходимость к наилучшей аппроксимации (за десятки итераций достигалось приближение к наилучшей аппроксимации с точностью 0);

б) методы интерполяции цепными дробями и смешанными цепными дробями нового вида. Разработанные в диссертации алгоритмы Т

и В отличаются от известных ранее расчетными формулами и порядком вычислений. Алгоритм автора В отличается от других известных алгоритмов интерполяции тем, что при заданном числе // узлов интерполяции он требует наименьшего числа делений ( Н- 1). Введенная автором смешанная цепная дробь нового вида позволила

ему разработать алгоритм интерполяции, который требует дая нахождения параметров интерполирующей дроби И- 1)/2 длинных арифметических операций. Тем самым, автору удалось найти окончательное решение поставленной Ньютонсм проблемы экономной рациональной интерполяции для общего случая, когда интерполирующая дробь равносильна дробной рациональной функции общего вида с произвольно заданными порядками полиномов числителя и знаменателя

в) метод, облегчающий решение алгебраических уравнений высокого порядка со сближенными корнями. В основе метода лежат модулярные преобразования различного ранга, которые являются обобщением известного преобразования, применяемого, например, в методе Лобачевского-Греффе. Предложенный автором метод отличается тем, что от решения исходного уравнения известными методами Берстоу, Дженкинса-Трауба и другими методами, эффективными при решении уравнений высокого порядка, при возникновении математических трудностей совершается переход по разработанной автором методике

к решению модулярного уравнения 2...6 ранга;

г) методика анализа импульсных откликов. Она отличается тем, что дая экономного расчета параметров колебательных составляющих импульсного отклика по заданной ПРФ и по заданным парам комплексных сопряженных полюсов ПРФ применяется выведенная авторш новая формула, дополняющая известную формулу теоремы разложения Хевисайда, которая приводит к простым расчетам только в случае вещественного полюса;

д) численные методы синтеза различных классов ПРФ, аппроксимирующих наилучшим образом характеристики, близкие к характеристикам идеальных фильтров. В том числе предложенного авторш класса ПРФ,

• позволяющего как угодно точно учесть при синтезе частотно-зависимые потери типа (I). Все методы отличаются от известных тем, что они основаны на новом методе наилучшей равномерной аппроксимации автора, определяющем высокую численную и емкостную эффективность соответствующих алгоритмов синтеза;

е) метод последовательных приближений дая синтеза лестничных ЭЦ, реализующих ПРФ с заданными параметрами частотно-зависимых потерь всех резонаторов ЭЦ;

ж) методы синтеза предысказителей систем связи с предыскажением и нестандартными каналами, отличающиеся методом наилучшего прибли-

< жения к линейно нарастающей АЧХ;

3) методы синтеза ПРФ фазовых цепей (фазовых корректоров, искусственных линий задержки), аппроксимирующие заданные идеальные ФЧХ с минимизированными ошибками по фазе, или по ГВП, или по ФВП. Они отличаются использованием нового метода наилучшего равномерного приближения, который обеспечил высокую численную и емкостную эффективности. Второе отличие составляет использование метода интерполяции цепными дробями с помощью алгоритма автора В. Третье отличие разработанных методов синтеза фазовых цепей заключается в том, что предусмотрена специальная защита от возможных переполнений при проведении расчетов на ЭВМ в окрестностях полюсов тангенс- или котангенс-функций фазы. Среди прочих разработан метод синтеза полосовых линий задержки нового класса, которые позволяют обеспечить минимальную вносимую линией дисперсию ФВП у продетектированно-го сигнала, который до детектирования был задержан в этой линии.

2. Совокупность разработанных в диссертации методов образует эффективное направление численного проектирования ПРФ и их схемных реализаций на ЭВМ, отличительной особенностью (определяющей его единство и эффективность ) которого является предложенный автором новый численный метод равномерной аппроксимации. В рамках этого направления облегчается решение многих классических традиционных задач: а) синтез фильтров близких идеальным; б)синтез МПФ; в)рас-чет импульсных откликов; г)синтез фазовых корректоров и т. п.

3. В рамках созданного расчетного направления проведен синтез

и анализ ПРФ и соответствующих ЭЦ или цифровых схем новых классов:

а) ПРФ и соответствующих цепей и схем МКФ. Рассчитаны и табулированы нормированные параметры новых ПРФ. Разработан метод их синтеза и оптимизации. Проведен анализ частотных и временных характеристик разнообразных МКФ различных порядков и при различных числах конечных нулей передачи, включая и случай полиномиальных МКФ. Найдены соответствующие фильтры БЗО, у которых сравнительно небольшие длительности импульсного отклика совмещаются с хорошей равномерностью АЧХ в области пропускания фильтра;

б) лестничных реактивных фильтров с заданными параметрами частотной зависимости потерь во всех индуктивных катушках. Численный анализ вариантов таких фильтров подтвердил хорошую обусловленность характеристик и их низкую чувствительность к изменениям параметров элементов синтезированной цепи. Это же подтвердила практика заводского изготовления таких фильтров, синтезированных предложенным автором методом;

- 31 -

в) фильтров, обеспечивающих наилучшую в смысле Чебышева аппроксимацию колоколообразных идеальных АЧХ различных рангов;

г) МПФ, у которых оптимизируется центральная частота максимально-плоской АЧХ. Эта предложенная авторш оптимизация позволяла в рассматриваемых случаях снижать порядок фильтров;

д) и ряда других четырехполюсников новых классов.

4. В рамках созданного расчетного направления осуществлено решение проблемы схемного проектирования линейных четырехполюсников и цифровых схем, позволивших реализовать новые разработки аппаратуры связи.

Литература диссертации содержит 481 наименование.

Приложение составлено из документов, подтверждающих внедрение, достоверность и практическую значимость результатов.

СПИСОК

публикаций по теме диссертации, отражающих основные положения и результаты исследования

1. Витков М.Г. Учет слабого поверхностного эффекта при перемагни-чивании.. .- "Автоматика и телемеханика", I960, Л 10,

с. 1393 - 1400.

2. Витков М.Г. Расчет импульсных параметров.. "Автоматика и телемеханика", 1962, № 12, с. 1686 - 1689.

3. Витков М.Г. Неплоские вращения вектора намагниченности.. ."Физика металлов и металловедение", 1964, № 4, с. 518 - 524.

4. Витков М.Г. Проникновение импульсного магнитного поля внутрь цилиндрического экрана,- Журнал технической физики, 1965,

№ 3, с. 410 - 413.

5. Витков М.Г. Импульсное возбуждение магнитного поля внутри цилиндрического экрана.- Журнал технической физики, 1965, № 10, с. 1786 - 1790.

6. Витков М.Г. К формулам теоремы разложения операторного метода расчета переходных процессов. - "Радиотехника", 1969, № I, с. 27 - 30.

7. .Витков М.Г., Шебес М.Р. Рациональный синтез цикла Бруне. - Труды учебных институтов связи, 1970, № 48, с. 225 - 228.

8. Витков М.Г. Спектр радиоимпульсов. - "Радиотехника", 1972, № 7, с. 89 - 91.

9. Витков М.Г. К оптимальному синтезу фазовых характеристик. -Труды учебных институтов связи, 1973, № 63, с. 43 - 49.

10. Витков М.Г. Новый метод чебышевской аппроксимации функций на ЭВМ.. .- В сб.: Теория и практика поограммирования.. ./ Тезисы докладов 1У Всесоюзной школы-семинара. - Душанбе:Дониш, 1974, с. 33.

11. Витков М.Г. Чебышевские аппроксимации тангенса. - Доклады академии наук СССР, 1974, т. 216, № 4, с. 721 - 723.

12. Витков М.Г. К синтезу низкочастотных искусственных линий задержки с чебышевской характеристикой фазового времени задержки. - Труды учебных институтов связи, 1974, № 67,

с. 10 - 13.

13. Витков М.Г. Условно-линейная теория добротных катушек индуктивности с сердечниками без вихревых токов. -"Радиотехника',' 1974, № 5, с. 100 - 104.

14. Шебес М.Р., Витков М.Г. Реализация вещественного нуля четной части входного сопротивления.. .- Труды учебных институтов связи, 1971, № 55, с. 225 -227.

15. Витков М.Г. Линии задержки с наименьшей дисперсией задержки по спектру. - "Электросвязь", 1975,8, с. 64 - 67.

16. Витков М.Г. , Шебес М.Р. Сердечники для катушек индуктивности с высокой добротностью.-"Радиотехника", 1976, № 5, с. 106-107.

17. Витков М.Г. Полосовые линии задержки с наименьшей дисперсией задержки по спектру. -"Радиотехника", 1976, № 4, с. 30 - 33.

18. Витков М.Г., Виткова A.A. Решение алгебраических уравнений методами Берстоу и модулярных преобразований,- Алгоритмы и программы/Гос. фонд.. ;Информациояннй бюллетень ВНГЙЦ, 1988, № 6, с. I - 2.

19. Витков М.Г. Численный синтез функций, наиболее и наименее отклоняющихся от нуля.- В сб.: У1 Всесоюзная школа-семинар "Теория и практика программирования..". - Владивосток: ДВНЦ

АН СССР, 1977, с. 59 - 60.

20. Витков М.Г. К оценке произведения длительности на ширину спектра некоторых сигналов. - "Радиотехника", 1977, № 5, с. 27 - 29.

2Î. Витков М.Г., Шебес М.Р. Развязка электрических связей при анализе цепей методом структурных чисел. - "Радиотехника", 1978, Jé 5, с. 88 - 90.

22. Витков М.Г. Простые активные фильтры с малой длительностью импульсного отклика на усилителях и переключаемых конденсаторах. - "Электросвязь", 1992, Jè 8, с 39 - 41.

23. Витков М.Г. Фильтры с максимальной кратностью полюсов. -"Электросвязь", 1978, № 8, с. 67 - 71.

24. Витков М.Г. Синтез фильтров с максимально-ровной АЧХ и выравненным затуханием в области непропускания. -"Радиотехника", 1980, № 6, с. 57 - 60.

25. Витков М.Г. Синтез функций, обеспечивающих наивысшую избирательность радиочастотных фильтров. - Труды НИИР, 1980, № 1, с. 104 - ИЗ.

26. Витков М.Г. Новый метод синтеза реактивных лестничных фильтров с потерями в катушках индуктивности. - Труды НИИР, 1981, № 2, с. 84 - 92.

27. Витков М.Г. Простейшие схемы замещения радиочастотной катушки индуктивности. - Труда НИИР, 1983, № 2, с. 20 - 25.

28. Витков М.Г. Простейший метод чебншевской аппроксимации частотных характеристик. - Труды НШР, 1983, № 4, с. 106 - 109.

29. Витков М.Г. Смещение полюсов передачи в фильтрах из-за -потерь в индуктивных элементах. - "Электросвязь", 1984, № 1, с. 56 - 59.

30. Витков М.Г. Модулярные преобразования для ускорения решения характеристических уравнений фильтров. - Труды НИИР, 1984,

№ 3, с. 96 - 98.

31. Витков М.Г., Григорьева Е.Д., лСуков C.B. Синтез фильтров стандартного группового канала. - Труды НИИР, № 2, 1986, с. 68 - 72.

32. Алгоритмы интерполяции частотных характеристик цепной дробью.-Витков М.Г. - Труды НИИР, 1987, & 2, с. 74 - 78.

33. Витков М.Г. Связь линейных искажений с выбором критерия аппроксимации ФЧХ для искусственных линий задержки. -"Радиотехника", 1988, № 6, с. 50 - 52.

34. Витков М.Г. Программа расчета параметров фильтров с максимальной кратностью полюсов передаточных функций. -"Радиотехника", 1988, й £2, с. 74 - 75.

32. Витков М.Г., Виткова А.А. Повышение точности решения алгебраических уравнений теории фильтров при применении модулярных преобразований. - Труды учебных институтов связи: Электронные устройства систем связи, 1988, с. 139 - 140.

36. Витков М.Г. Расширенные матрицы многополюсников. -"Электросвязь", 1989, .!£> 10, с. 53 - 56.

37. Витков М.Г. Законы электрических цепей для взвешенных токов.-"Электричество", 1991, № 5, с. 73-75.

38. Витков М.Г. Дискретный фильтр на переключаемых конденсаторах с малой длительностью илпульсного отклика. -"Радиотехника", 1990, № 12, с. 18 - 21.

39. Витков М.Г. Обобщенный закон сохранения в цепях с многополюсниками. - "Электросвязь", 1991, й 6, с. 40 - 41.

Подписано в печать .7.Сб.1992г.

догмат 6Сх64 хДб. Объем 2,09 усл.п.л. Тираж ICO экз. Ротапргнт ИРЗ РАН. Зак. '