автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Аналитическое и численное моделирование статистических задач размещения методами планирования эксперимента

На правах рукописи

Нгуен Хай Вииь

АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ РАЗМЕЩЕНИЯ МЕТОДАМИ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 4 ОТ 2012

Санкт-Петербург — 2012

005045838

005045838

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном электротехническом университете «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина) на кафедре математического обеспечения и применения ЭВМ.

Научный руководитель —

доктор технических наук, профессор, профессор кафедры математического обеспечения и применения ЭВМ Григорьев Юрий Дмитриевич

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, доцент, заведующая кафедрой теоретических основ электротехники СПбГЭТУ Соловьева Елена Борисовна

Ведущая организация

Новосибирский государственный технический университет

Защита состоится 20 июня 2012 года в У^час. на заседании диссертационного Совета Д 212.238.01 Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина) по адресу: 197376, Санкт-Петербург, ул. Проф. А. Попова, 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан « » мая 2012 года.

кандидат технических наук, начальник научно-исследовательского сектора ОАО «Концерн «Океанприбор» Мельканович Виктор Сергеевич

Ученый секретарь

совета по защите докторских и

кандидатски.*.

диссертаций Д 212.238.01

кандидат технических наук

Щеголева Н. Л.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Предлагаемая работа посвящена решению статистических задач размещения объектов произвольной природы на основе алгоритмов построения точных планов эксперимента. В силу этого, разработанные алгоритмы могут быть использованы в различных прикладных областях (геофизика, метеорология и гидрология, навигация и т. д.). Основное внимание в диссертации уделено задачам размещения на основе моделей сейсмологического эксперимента, используемых для решения задачи определения пространственно-временных параметров очагов землетрясений. Выбор темы исследования обусловлен существующим интересом к ней в СРВ, в том числе, исследованиями, ведущимися в этом направлении в Институте геофизики Вьетнамской Академии наук и технологий (Ханой, СРВ) совместно с Институтом физики Земли (ИФМ РАН, Москва).

Задачи размещения объектов часто возникают на практике и издавна привлекают к себе внимание специалистов. Впервые одну из таких задач в детерминированной постановке поставил еще П. Ферма в XVII веке. Смысл соответствующих задач размещения заключается в требовании разместить несколько объектов относительно некоторого числа фиксированных объектов с учетом связей между ними.

Если целевой функционал и (или) связи между объектами имеют статистическую природу, то возникает класс задач, отличных от детерминированных. Такими задачами являются, с одной стороны, задачи планирования эксперимента (ПЭ), в которых требуется разместить узлы спектра плана согласно статистическим критериям оптимальности, а с другой — задачи размещения реальных объектов (станций наблюдений, навигационных ориентиров, реперных точек и т. п.) на основе регрессионных моделей наблюдений.

Несмотря на очевидную актуальность таких задач и большое количество соответствующих исследований, многие вопросы, связанные с применением методов ПЭ в конкретных областях, остаются до конца неисследованными, что объясняется как разнообразием и спецификой постановок задач, так и большой вариативностью способов их решения. Поэтому выбранная тема диссертационного исследования представляется весьма актуальной.

Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка алгоритмов оптимального размещения объектов на основе методов ПЭ с последующим их применением в задачах сейсмологии.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решались следующие задачи:

1. Анализ постановок задач размещения в различных прикладных областях, в том числе в геофизике, метеорологии и геодезии.

2. Реализация алгоритмов построения точных планов эксперимента по критериям £)-, А- и Жо-оптимальности как методологической основы для решения статистических задач размещения.

3. Разработка алгоритмов размещения объектов и численное решение с их помощью сейсмологических задач размещения.

4. Программная реализация разработанных алгоритмов решения задач ПЭ и размещения объектов.

Предметом исследования являются алгоритмы построения размещений объектов на основе регрессионных моделей наблюдений с последующим их применением в задачах сейсмологии.

Методы исследований. В работе использованы методы математической статистики, линейной алгебры, математического моделирования, теории методов оптимизации и планирования эксперимента.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Методология использования алгоритмов ПЭ в задачах размещения объектов.

2. Результаты аналитического исследования непрерывных планов экстраполяции в точку для полиномиальной регрессии.

3. Аналитические выражения критериев оптимальности в задаче размещения сейсмических станций.

4. Алгоритмы численного решения задач размещения сейсмических станций методами ПЭ.

Научную новизну представляют следующие результаты:

1. Результаты сравнительного анализа точных оптимальных планов эксперимента для кубической регрессии с минимальным числом опорных точек по шести критериям оптимальности.

2. Аналитические выражения весовых коэффициентов непрерывных планов экстраполяции в точку для полиномиальной регрессии 1-го, 2-го и 3-го порядков;

3. Аналитические выражения критериев £>- , А- и ^-оптимальности для сейсмологических моделей регрессии.

4. Алгоритмы численного построения оптимальных размещений объектов по различным критериям оптимальности.

Практическая значимость работы заключается в возможности применения полученных аналитических результатов и разработанных алгоритмов для решения статистических задач размещения в сейсмологии и смежных областях, а также в разработке комплекса программ планирования эксперимента и размещения объектов АРПЭ.

Достоверность результатов исследования подтверждается корректным использованием математического аппарата и результатами компьютерного моделирования на конкретных сейсмологических моделях.

Внедрение результатов работы. Результаты работы использованы в рамках учебного процесса при разработке учебных курсов «Планирование эксперимента и теория риска» на кафедре МО ЭВМ СПбГЭТУ («ЛЭТИ»).

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

— Международной конференции, посвященной 75-летию профессора, д. ф.-м. н. А. Г. Медведева (Беларусь, Минск, Минский гос. ун-т, 22-25 февраля 2010 г.);

— IX Международной конференции ФАМЭТ-2010 по финансово-актуарной математике и эвентоконвергенции технологий (Красноярск, ИВМ РАН, 23-25 апреля 2010 г.);

— Международной научной школе МАБР-2010 (Санкт-Петербург, ИПМ РАН, 6-10 июля 2010 г.).

— XII Международном Симпозиуме по непараметрическим методам в кибернетике и системном анализе (Красноярск, СибГАУ, 18-26 сентября 2010 г.);

— X Международной конференции ФАМЭБ-2011 по финансово-актуарной математике и эвентологии безопасности (Красноярск, ИВМ РАН, 23-24 апреля 2011 г.);

— расширенных научных семинарах лаборатории экономико-математических методов в контроллинге МГТУ им. Н. Э. Баумана, лаборатории теории и технологии программирования СПИИ РАН, кафедры метеорологических прогнозов РГГМУ, кафедры судовождения СПбВК;

— ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава СПбГЭТУ («ЛЭТИ»), 2010-2012 гг.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 9 научных работ, из них — 5 статей (4 статьи — из перечня изданий, рекомендованных ВАК) и 4 работы — в научных трудах международных конференций.

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, списка литературы, включающего 101 наименование, и трех приложений. Основная часть работы изложена на 132 страницах машинописного текста. Работа содержит 13 рисунков и 31 таблицу.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность и научная новизна, изложены цели, задачи и методы исследования, практическая значимость диссертационного исследования.

Первая глава (разделы 1.1, 1.2) носит обзорный характер. В ней на основе литературных источников проводится анализ задач размещения и дается характеризация задач ПЭ и размещения, подчеркивающая их общность.

В разделе 1.1.1 даются определения задач ПЭ и размещения как задач, формулируемых в шкалах отношений (X, <) —> П1 и наименований (П, и) —» Я1. Здесь X — множество точек евклидова пространства 11к с заданным на нем отношением порядка <, — множество эмпирических объектов с определенным на нем отношением эквивалентности

В разделе 1.1.2 приводятся примеры детерминированных задач размещения (задачи Ферма и Лемуана). Подчеркивается общность структур детерминированных и статистических задач размещения.

В разделе 1.1.3 проводится анализ существующих подходов по применению методов ПЭ в задачах сейсмологии, метеорологии и геодезии. Отмечаются важность использования методов ПЭ в задачах статистического моделирования, обосновываемая в работах академика Г. И. Марчука, чл.-кор.-та РАН С. М. Ермакова и представителей их научных школ, и большой вклад в развитие современных методов ПЭ таких ученых, как В. Б. Мелас, А. Н. Пепелышев, Е. В. Се-дунов, В. В. Федоров. Приводятся имена ученых-геофизиков, 'в работах которых задача определения координат гипоцентров землетрясений решается с использованием методов ПЭ . В их числе 3. И. Аранович, В. С. Ватасова, В. Н. Белобородое, В. Ю. Бурмин, В. А. Гаврилов, В. К. Гусяков, А. Ф. Еманов, А. Кийко, Н. В. Кондорская, Т. В. Курдюкова, О. К. Омельченко, Е. Ф. Саваренский, а также вьетнамские ученые Нго Тхи Лы, Нгуен Куй Хи, Фам Ван Тхук, Фам Лои Ву и др.

В метеорологии цикл работ по применению методов ПЭ для рационализации размещения метеостанций выполнен О. М. Покровским с соавторами. Отмечается, что еще в 1962 году академик Ю. В. Линник сформулировал и решил в одном частном случае геодезическую задачу оптимального размещения двух ориентиров с помощью критерия Л-огггимальности.

В разделе 1.2.1 приводится характеризация задач ПЭ в такой последовательности: модель, план эксперимента, информационая матрица, критерий оптимальности. В разделе 1.2.2 дается определение статистических задач размещения как предмета исследования. С целью выявления общности структуры задачи ПЭ и размещения классифицируются по нескольким признакам — шкалам, видам размещаемых объектам, видам моделей, критериям оптимальности, применяемым алгоритмам, областям применения.

На основе анализа литературы и данной характеризации делается вывод об актуальности темы диссертационной работы.

Вторая глава (разделы 2.1, 2.2) посвящена описанию алгоритмов построения непрерывных и точных планов эксперимента в модели наблюдений

И»=Ч(^,/8)+€». 3 = (1)

В разделе 2.1.1 приводятся краткие сведения о базовых понятиях теории планирования регрессионного эксперимента таких, как основные предположения о модели регрессии, планы эксперимента и их виды, теорема эквивалентности, информационная матрица.

В разделе 2.1.2 дается развернутая характеристика критериям оптимальности, используемым в ПЭ. Предварительно дается их определение в терминах наиболее широко используемых матричных норм. В качестве примера рассмотрена кубическая полиномиальная регресия

з

= ®е [-1,1].

£=0

Для нее построены оптимальные по различным критериям точные планы эксперимента e*(N) с минимальным числом опорных точек N = 4. Соответствующие результаты представлены в табл. 1. Все планы строились численно в классе симметричных планов вида

£(4) = К4 = ±1, х2,з = ±у}, у € [0,1),

т. е. согласно выбранному критерию оптимизировался узел у € [0,1). Из табл. 1. видим, что каждому критерию оптимальности соответствует свой план эксперимента. В приложениях выбор того или иного критерия оптимальности обусловлен разными факторами. Как показывает анализ литературы, наиболее востребованными в приложениях являются критерии D-, А- и Е-оитималыю-сти соответственно:

\D(e(N))\mm, tvD(£(N)) -> min, Amax[£>(e(JV))] min. (2)

£(Л) e{N)

Именно поэтому критерии (2) рассматриваются в представленной работе. Безусловно, встречаются примеры использования и других критериев, скажем, критерии экстраполяции в точку или на область.

Таблица 1

Характеристики насыщенных планов е*(4) = {х14 = ±1,г2,з = ±2/} для кубической регрессии, Xi(D) = Amin(D), A4(D) = Amax(D).

Критерий D A E Il • lloo cond Il • II/,

Узел у 0.4472 0.4941 0.5428 0.5000 0.5218 0.4246

\D\ 0.7629 0.7843 0.8568 0.7901 0.8184 0.7873

tr D 11.0000 10.7742 11.0157 10.7778 10.8517 11.2802

Amax(-D) 8.3922 7.8687 7.6921 7.8284 7.7248 8.7889

ИЩ00 8.0901 8.0011 8.0590 8.0000 8.0152 8.1863

cond(D) 47.2055 45.0069 44.8630 44.8767 44.6643 49.0739

imk 11.0902 11.2932 11.7297 11.3334 11.5118 11.065

Раздел 2.2.1 посвящен точным £)-оптимальным планам. Здесь описываются их свойства, отмечается возможность их построения обычным градиентным методом и дается развернутое описание известного Р-алгоритма Федорова, поскольку его модификация в шкале наименований используется в главе 3 для построения D-оптимальных размещений. Обозначим

Ad{x, у) = d(y) - d{х) - [d(x)d(y) - d2(x, у)], х, у <Е X, (3)

— D-функция Федорова, где d(x,y;e(N)) = jT(x)D0)f(y) функция дисперсии. Для реализации £>-алгоритма построения точных планов используется следующая

Теорема 1. (Федоров). Пусть £*(ЛР) = {х},... ,1^}, = {хь.. ,,хц} — Р-оптималъный и произвольный планы соответственно. Имеют место утверждения:

(1) для узлов х) € е'{Щ и у € X выполняются неравенства До{х],у) < 0;

(2) для узлов X] е е(ЛГ) произвольного плана е(Лг) существуют у е X такие, что

Ао{х1,у)>0. (4)

Идея алгоритма заключается в последовательной минимизации функций Федорова до тех пор, пока все они не станут отрицательными. На каждой з-ой итерации реализуется эвристический перебор узлов хсогласно условию

тах тах Дя+1(х,-, ж) >0, х{ € ев-ц(ЛГ). (5)

1<1<п хел

Если условие (5) выполнено, и максимальное значение Д8+1(:Гг,х) достигается при г = ¿8+1 в точке Ж3+1, то из точки х]1+1 в точку х"+г переносится одно измерение. Типичный вид £>-функций (функция регрессии — кубическая парабола) для неоптимального плана е(10) представлен на рис. 1, 2.

Рисунок 1. ¿»-функция &1(х2,х). Рисунок 2. ¿»-функция Ді(і3,і).

На рис. 3, 4 представлены типичные О-функции Ао(х*, х) для узлов оптимального плана £*(Ю), а на рис. 5, 6 —функции дисперсии для начального (равномерного) и оптимального планов е0(Ю) и Єго(Ю) соответственно.

В разделе 2.2.2 рассматривается алгоритм построения точных Л-оптималь-ных планов. Он опирается на использование Л-функции Федорова

&А(х,у) = [1-<і(х)}<£{у) + 2(і(х,у)ф,у)-[1 + сІ{у)]ф), х,у Є X, (6)

где ір(х, у) := /г(г)£)2(є(лг))/(т/). На основе функций (6) по тому же принципу, что и для 73-критерия, реализуется Л-алгоритм. В основу алгоритма положена теорема, аналогичная теореме 1 с очевидной заменой Ао(х, у) на Дл(х,у).

Раздел 2.2.3 посвящен построению непрерывных и точных планов экстраполяции в точку хо■ Аналитическое решение для непрерывных гго-оптимальных

Рисунок 3. £>-функция Ав(х'2,х) < 0. Рисунок 4. ¿»-функция Аа(х1,х) < О-

-1 -О В -0.6 4.2 0 0.2 0 4 0 6

\

/ V

/ \

\

У

Рисунок 5. Функция дисперсии ¿(г,е1(10)) Рисунок 6. Функция дисперсии Л(х, £20 О")) после 1-ой итераций. после 20 итераций.

планов в литературе известно, но для произвольных систем базисных функций {/11/21 •••! /т} обычно в явном виде не выписывается. Для полиномиальной системы {я*}]^1 это можно сделать для любого т. В этом случае спектр хй~ оптимальных планов состоит из точек экстремума полиномов Чебышева первого рода Тт-= соз[(т — 1)агссоз х], т> 1:

, (т - г)п . XI = сое-г = 1,...,т,

(7)

а весовые коэффициенты р^ выписываются в явном виде. В работе эта за,Лача решена для тп — 2,3,4. Именно, имеет место

Теорема 2. (Непрерывные Го-экстраполяционные планы). Пусть выполнены условия:

(1) 7](х,Р) = Д-1Х1-1 — полиномиальная регрессия степени в = 1,2,3.

(2) х0ег = (1,оо). Тогда

(1) весовые коэффициенты р; непрерывных хо-оптималъных планов определяются вы~ ражениями, представленными в табл. 2;

(2) дисперсия прогноза ¿,(хо,с*) описывается выражениями

(¡1{х0,ет) = х%, ё2{х0,е*) = 4*£-4*£ + 1, ¿3(1о,е*) = х^(41^-3)2. (8)

Таблица 2

Планы экстраполяции в точку хо для регрессии Т](х, /3) = 532=1 Рг-\х% ^ х € [—1,1], € = (1, оо), в = тп — 1 = 1,2,3 — степень полинома.

в Р1 Р2 Рз Р4

1 10-1 2*„ *0 + 1 1хп

2 *о(*о - 1) Х&-1 *о(*о + 1)

2(2*2 - 1) 2*^-1 2(2хЪ - 1)

3 1(4*3-1)(х0-1) 2(^-1) (2*о-1) 2(^-1) (2*о + 1) 1(4*3-1)(*0 + 1)

6 ю(4х1 - 3) 3 ю(4*§ - 3) 3 *о(4*о — 3)) 6 *о(4*о - 3)

Полученные непрерывные гсо-оптимальные планы используются для анализа закономерностей распределения затрат в зависимости от положения точки Хо и для сравнения с точными то-оптимальными планами, алгоритм построения которых с помощью Хо-функций Федорова в работе также реализован. Соответствующие ГЕо-фуНКЦИИ имеют вид:

До (я, у) = [1 - <1(х)]<р(у,х о) + 2й{х,у)(1{х,х0)(1{у,ха) - [1 + ¿{у)]£{х,хй). (9)

В третье главе (разделы 3.1, 3.2) рассматриваются алгоритмы размещения, предназначенные для решения задач размещения в сейсмологии. Соответствующие алгоритмы являются версиями алгоритмов главы 2, адаптированными к шкале наименований.

Раздел 3.1.1 посвящен краткому изложению вопросов планирования систем сейсмических наблюдений (СН). Приводятся основные параметры СН, их виды, типичные постановки задач планирования СН. Отмечается, что планирование сетей станций для многих задач сейсмологии укладывается в рамки одной из следующих постановок:

1. В регионе имеется к > тп (тп — число неизвестных параметров эпицентра) сейсмических станций; необходимо выбрать из нее оптимальное размещение е*{к\) станций (т < к\ < к — \) для регистрации землетрясений из заданных очаговых зон.

2. В регионе имеется к > т, сейсмических станций; необходимо оптимально дополнить их станциями исходя из заданного перечня предполагаемых I > ¿2 пунктов их размещения.

3. В регионе отсутствует сейсмическая СН; необходимо спланировать оптимальное размещение £*(кз) требуемого числа кз > тп сейсмических станций для регистрации землетрясений из заданных- очаговых зон.

Каждая из перечисленных задач, в свою очередь, распадается на ряд подзадач в зависимости от того, для определения какого набора параметров очага землетрясения планируется сеть. В диссертационной работе внимание сконцентрировано на задачах второго и третьего типа при условии, что необходимо определить координаты эпицентра землетрясения и время в очаге или эффективность сети станций. Однако принципиальных ограничений на использование представленных в работе алгоритмов для решения задач 1-го типа нет. После соответствующей модификации их можно использовать и в этом случае.

Б разделе 3.1.2 рассматриваются конкретные модели сейсмических наблюдений. Согласно принятой в сейсмологии классификации, модели для определения координат очагов событий делятся на две группы -- с использованием годографа сейсмических волн и без его использования. К первой группе относится модель Саваренского, ко второй — модели Бурмина. Одним из основных недостатков обеих групп методов является их сильная зависимость от неудачного расположения системы регистрирующих станций.

Пусть координаты близкого землетрясения с заданной точностью удовлетворяют соотношению

(X - х()2 + {¥- У1)2 + Я2 = - к)2, (10)

где г = 1,..., ТУ —номера сейсмических станций, (а;,-, у{) — координаты станций, (X, У, Н) — координаты гипоцентра землетрясения, и, — эффективные скорости распространения сейсмических волн от г-ой станции до гипоцентра, ^ — время вступления волны на г-ую станцию, ¿о ~ время в очаге. По-разному параметризуя (10), получаем совокупность линейных по параметрам /3 6 Я7" моделей Бурмина (см. табл. 3), описываемых системой уравнений = и, где и —соответствующий вектор, получаемый из (10).

Таблица 3

Параметризации моделей Бурмина согласно уравнению (10).

Модель Оцениваемые параметры, /3 Є Ят Правая часть, и Є Я™

01 02 03 0І 0ъ щ

А X У -І(ЛГ2 + У2 + Я2) - -

В X У + У2 + я2) v2 -

С X У ~{х2 + у2 + я2 - уН20 ¿0 -

Р X У -І(Х2 + У2 + Я2-Л§ v2 Ло

Для модели А имеем Г = (х{, уг, 1)^, и, следовательно, £>-оптимальное размещение N станций — вершины правильного ТУ-угольника на окружности любого радиуса г:

£.(Л0 = ^ = гсозМІ^1)іг/і = геш2-^!));Л = ЛГ-1}^. (П)

В диссертационной работе утверждение (11) доказано с помощью теоремы эквивалентности.

Для моделей В — D элементы матрицы F зависят от времен вступлений t¡, поэтому методы линейного ПЭ здесь неприменимы. В случае параметризации ß — (X, Y, Н) приходим к нелинейной по параметрам модели

т,(х, у; ß) = (ßxx - l/?f) + (ß2y - Ißl)-ißl (12)

с матрицей Якоби

F = a^) e (x4 _ yi _ Ai _Д) ^ ^ (i3)

Для исследования моделей подобного типа методами ПЭ используются специальные подходы, например, локально оптимальный, байесовский и т. д.

От недостатков, присущих рассмотренным моделям (зависимость матрицы F от U, нелинейность r](x,y;ß) по ß), свободна модель Саваренского

у = ч(Д) + е, yeRN, (14)

где у — вектор времен вступлений сейсмических волн на станции сети, а

П(А) = Т(Д) + То (15)

— функция отклика, равная сумме времени пробега Т(Д) и времени в очаге То. Здесь Т(Д) — сейсмический годограф, Д — эпицентралыюе расстояние. Линеаризация ?7(Д) приводит к матрице Якоби

F:=^ = (HlcosO„ //„• sin б,-, , (16)

где 0t — угол выхода волны для i-ой станции, Я, = (d/dA)Tt, (ßltß2) := (<рэ, Лэ) — координаты (широта и долгота) эпицентра, ß3 := Т0 — время в очаге. Типичный вид годографа Т(А) показан на рис. 7.

В разделах 3.2.1 и 3.2.2 соответственно описаны D- и Л-алгоритмы, предназначенные для оптимизации функционалов |irTF| -> max, tr(FTF)~1¡ —> min, где матрица F определена в (16). Реализация D- и Л-алгоритмов опирается на следующий доказанный в работе результат.

Теорема 3. Пусть выполнены условия:

(1) матрица F имеет вид (16);

(2) (Яcosa,Hsiaa, 1) —первая строка матрицы F, N = n + 1. Тогда

\М\ = Я»±4 + 2H±aijbij + (±Ь% + ¿ 4,) , (17)

•<j «j \ ■<! i<i<k 1

= m M"+£°?)+2я ¿>+(n¿>.2+1»} • (18>

'l ¡=x ¿=1 i=l ' i<j J

Рисунок 7. Осреднецный эмпирический годограф Р-волн (Тараканов, Омельченко, Бобков, 2003).

! А !

ш!-1-;_;_I_!_|

Г' N МЗ Г Р] М и!

Рисунок 8. Сеть сейсических станций Кемеровской области (Еманов, Омельченко, 2010).

где, полагая = @х —

ац = Н, вт(а — — Я,- ат(а — в^), а^ = ¡п(а-в<),

сцк = Ьц-Ьь + Ь^ь сц = (Н^Н,)2нт2- 2НЛ} соз8ц.

В силу того, сейсмический годограф Т(А) имеет характер монотонно возрастающей вогнутой функции, его первая производная Я = (д/дА)Т монотонно убывает. Отсюда и из (17) следует (анализируем знак коэффициента при Я2), что добавляемой в размещение станции соответствует одно из крайних значений Д — минимальное или максимальное. Таким образом, оптимизация \М\ сводится к определению оптимального угла выхода а.

В случае ^-критерия функционал (18) может быть записан виде —

(агН^+ЬгН+с^/(а2Н2+Ь2Н+с2)- Поэтому условие (д/дН^тМ'1 = 0 приводит к квадратному уравнению

(0162 - а2Ь1)Я2 + (¿ЦС2 — а2С\)Н + (&1С2 - &2С1) = 0,

которое можно использовать для поиска оптимального значения Я. Однако экспериментальные исследования показывают, что и в этом случае экстремум по Я обычно достигается на краях области изменения Д.

Численная реализация О- и А-алгоритмов размещения допускает различные способы включения новых узлов в уже имеющееся размещение е(7У). В работе рассмотрены и исследованы два эвристических варианта, названные алгоритмами Федорова и Саваренского. Согласно эвристике Федорова, на каждой итерации узлы размещения перебираются поочередно. Узел, исключение которого дает максимальное улучшение функционала, заменяется на новый. Для /^-критерия эта эвристика описывается выражением (5). Согласно эвристике

Саваренского, анализируемый узел, исключение которого с заменой на новый приводит к улучшению функционала, сразу включается в размещение. При такой стратегии на одной итерации может произойти замена более одного узка..

На конкретных примерах показано, что оба варианта!)- и Л-алгоритмов дают практически один и тот же результат. Незначительные отличия обычно возникают только при малых значениях N. Типичная схема работы £>-алгоритма Федорова представлена в табл. 4, 5.

Таблица 4

.О-алгоритм Федорова, в — номер итерации, г — номер шага, N — количество узлов в размещении, е*(Лг) — искомое размещение.

5 г Варьируемый узел, х Оптимальный узел |М(е,(х;))|

1 0 1-2-х х0 = 10 9.4292

1 і-2-ІО XI = 20 22.6508

2 1-х-10 Х2 = 2 9.42929

Л = 3 еЛЗ) (2 - 10 - 20) 11 = 20 22.6508

2 0 2—10 — 20 — 1 х0 = 15 43.0643

1 х - 10 - 20 - 15 X! = 2 43.0643

2 2 — 1 — 20 — 15 х2 = 10 43.0643

3 2 — 10 — 1 — 15 хз = 20 43.0643

Л = 4 3(4) (2 - 10 - 15 - 20) х0 = 15 43.0643

3 0 2-10-15-20-1 Хо = 25 59.8961

1 1-10-15-20-25 XI = 2 59.8961

2 2-1-15-20-25 х2 = 10 59.8961

3 2 - 10 - х - 20 - 25 х3 = 15 59.8961

4 2-10-15-1-25 х4 = 20 59.8961

N = 5 3(6) (2 - 10 - 15 - 20 - 25) хо = 25 59.8961

Таблица 5

Таблица 5. О-алгоритм Федорова. Оптимальные размещения £*(ЛГ).

Номер Название Количество станций, N

3 4 5 6

2 Ашхабад + + + +

10 Иультин + + + +

15 Петропавловск—Камчатский — + + +

20 Ужгород + + + +

24 Южно—Сахалинск — — +

25 Ялта - - - +

В разделе 3.2.3 рассмотрена задача оптимизации размещения станций согласно локальному критерию ^-эффективности. Пусть

г = т{х0,р)+$ (19)

— зашумленное ошибками измерений время пробега волны ¿0, т. е. сейсмический годограф, х0 = (950, Ао) -выбранная точка внутри очаговой зоны. Линеаризация Т(х, /3) приводит к матрице Якоби

/ 1 1 А,-А0\^

\дх)м р{х1,х0уу1{х0) р[хих о)Л=1' ^ '

где Уг (хо) — средняя скорость распространения сейсмосигнала из точки х0 к г-му приемнику, р(х{, хо) — эпицентральное расстояние между соответствующими точками.

В сейсмолологии функция С(х0) = у'Атщ(І;YГF) называется функцией чувствительности сети, которую требуется максимизировать по е(Дг). Максимизация С(хо) —¥ тах£(дг) соответствует критерию ¿^-оптимальности размещения станций. В случае Ц(х) = 1 получаем = 1, где д{ = (аиЬ{) е Л2 —строки матрицы Р. При этом условии в работе получена

Теорема 4. Пусть выполнены условия:

(х у/1 — х2 \

0 5 ) ~~ магприЧа Якоби, определенная в (20);

(2) М = РТР — информационная матрица;

(3) а2 = (а,а), Ь2 = (6, Ь), с = (а, Ь) — скалярные произведения.

Тогда

Ашш(М) = 14 (21)

где

О = 2(а2 - Ь2)(2х2 - 1) + Ъсху/1^ + (а2 - Ь2)2 + 4с2 + 1.

С использованием теоремы 4 в работе реализован ¿^-алгоритм построения эффективных размещений £*(ДГ) для N > 3. В качестве исходных данных использована виртуальная сеть из К = 44 станций Кемеровской области. Последовательность вычислений для N = 3, ...6 отражена в табл. 6. В самой работе вычисления доведены до N = 10. Результаты представлены в табл. 7.

В четвертой главе (разделы 4.1, 4.2) описана программная реализация алгоритмов ПЭ в шкале отношений и алгоритомв размещения сейсмостанций в шкале наименований. Реализованные алгоритмы входят в состав комплекса программ АРПЭ (алгоритмы размещения и планирования эксперимента), который создан в среде научных и инженерных расчетов МАТЬАВ. В табл. 8 представлен перечень алгоритмов, на рис. 9, 10 —примеры экранных форм.

В разделах 4-1.1 и 4-1.2 дается общее описание программного комплекса: инструментальная среда, функциональные характеристики (сведения об особенностях пользовательского интерфейса, о минимальных требованиях, предъявляемых к аппаратно-программной платформе, особенности реализации). Ъразделе 4.1.3 даются функциональная и структурная классификация алгоритмов и их перечень. В разделе 4-2.1 описываются типовые сценарии работы алгоритмов. В разделе представлены примеры тестирования алгоритмов АРПЭ.

Таблица 6

^-алгоритм построения локально эффективных сетей, г — номер шага, N — количество узлов в размещении, £*(Л0 — искомое размещение.

ЛГ = 3 г Варьируемый узел, х Оптимальный узел, X} Атш[М(£<(Л0)]

0 1-1-2 х0 = 26 1.0031

1 26-г XI = 27 1.0343

2 26 -27-х х2 = 10 1.2132

е-(3) | (10-26-27) 1.2132

II 0 | х - 10 - 26 - 27 то = 2 1.7826

1 2 - х - 26 - 27) X! = 22 1.9486

2 2 - 22 - х - 27 х2 = 44 1.9601

3 | 2-22-44-х Хз = 18 1.9797

| (2 - 18 - 22 - 44) 1.9797

N = 5 0 1 х - 2 - 18 - 22 - 44 х0 = 30 2.0202

1 30 - х - 18 - 22 - 44 XI = 2 2.0202

2 30- 2- х-22- 44 х2 = 4 2.4790

3 30- 2- 4- х-44 Хз = 29 2.4851

4 30- 2- 4-29-х х4 = 44 2.4851

£'(5) | (2 - 4 - 29 - 30 - 44) 2.4851

Таблица 7

^-чувствительность Атш[М(е-(Л0)] размещения е*(ЛГ)) .

Количество узлов, N ^-оптимальное размещение, е*(./У) А^МИЛГ))]

3 10 - 26 - 27 1.2132

4 2-18-22-44 1.9797

5 2-4-29-30 -44 2.4851

6 1-2- 10-24-30-37 2.8794

7 1 -2- 7- 13 - 23- 24-37 3.4739

8 1 -3-4- 17- 29-33-35-37 3.8592

9 1-2-3- 14 - 16-22-35-39-42 4.5434

10 3-6- 7- 16-20-22-34-35-40-42 4.9914

В приложения 1—3 вынесены доказательства теорем, опущенные в основном тексте диссертации, краткие сведения из сейсмологии, необходимые для понимания используемых сейсмологических моделей наблюдений, и таблицы исходных данных, используемых при численном построении размещений сейсмических станций.

Рисунок 9. £>-алгоритм планирования экс- Рисунок 10. £>-алгоритм построения разме-перимента. щений.

Таблица 8

Состав программного комплекса АРПЭ: Е\ — ¿?з — алгоритмы построения точных планов; — £5 — алгоритмы построения оптимальных размещений.

Планирование эксперимента Размещение сейсмических станций

Ех — Е3_51! — _

Е\. ^-алгоритм 5'ь £)-алгоритм (эвристика Федорова)

Е2. Л-алгоритм 5г. Д-алгоритм (эвристика Саваренского)

Е3. Жд-алгоритм Л-алгоритм (эвристика Федорова)

54. Л-алгоритм (эвристика Саваренского)

55. ¿^-алгоритм (эвристика Саваренского)

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Дана характеризация основных критериев оптимальности планов эксперимента и размещений, используемых в приложениях (6 критериев). Проведено сравнение критериев на примере точных планов с минимальным числом опорных точек для кубической регрессии.

2. Разработана единая структура алгоритмов построения точных!)-, Л- и хц-оптимальных планов эксперимента. Выписаны в явном виде выражения функций Федорова, на основе которых осуществлена реализация соответствующих алгоритмов.

3. Найдены аналитические выражения для непрерывных ^-оптимальных планов для полиномиальных регрессий 1-го, 2-го и 3-го порядков.

4. Получены аналитические выражения для критериев £>- и Л-оптимально-сти в сейсмологической модели Саваренского. На их основе разработаны алгоритмы построения И и Л-оптимальных размещений станций.

5. На основе полученного в работе аналитического представления критерия ^-эффективности разработан численный алгоритм построения £-эффек-тивных размещений станций.

6. Создан комплекс программ АРПЭ (алгоритмы размещения и планирования эксперимента), включающий 8 алгоритмов. Описана инструментальная среда, в которой реализованы алгоритмы.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Григорьев Ю. Д. Кривая-Бокса-Лукаса и критерий емкости ¿»-оптимальных планов для нелинейной регрессии ¡Текст] / Григорьев Ю. Д., Нгуен Хай Винь // Заводская лаборатория. — 2011. — Том 77. — Вып. 1. - С. 68-74.

2. Григорьев Ю. Д. О дифференцировании неявной функции при построении оптимального плана эксперимента [Текст] / Григорьев Ю. Д., Митягин С. А., Нгуен Хай Винь // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ». - 2011. - Вып. 6. - С. 46-50.'

3. Григорьев Ю. Д. Планирование эксперимента как задача размещения объектов [Текст] / Григорьев Ю. Д., Нгуен Хай Винь // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ». — 2012. — Вып. 2,-С. 50-57.

4. Митягин С. А. Влияние грубых ошибок наблюдений на качество плана эксперимента при наличии корреляции измерений [Текст] / Митягин С. А. Нгуен Хай Винь // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ». - 2011. - Вып. 8. С. 35-40.'

Публикации в других изданиях

5. Григорьев Ю. Д. Преобразование Стилтьеса в задачах нелинейного планирования эксперимента [Текст] / Григорьев Ю. Д., Нгуен Хай Винь // Сб. научных трудов НГТУ. - 2009. - Вып. 2(56). - С. 61-70.

6. Григорьев Ю. Д. О некоторых свойствах отношения порядка стоп лосс в задачах дележа риска [Текст] / Григорьев Ю. Д., Нгуен Хай Винь.-В кн.: Теория вероятностей, математическая статистика и их приложения: Сб. науч. статей (Материалы Международной конференции, посвященной 75-летию профессора, д. ф.-м. н. Г. И. Медведева, Минск, 22-25 февраля 2010) — Вып 3 -С. 74-79.

7. Григорьев Ю. Д. Метод неявной функции в задаче построения двухточечных планов эксперимента [Текст] / Григорьев Ю. Д., Нгуен Хай Винь. - В кн.: Труды IX Международной конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. Часть 1. — Красноярск: СФУ, 2010, —С. 108-113.

8. Григорьев Ю.Д. Об одной регрессионной задаче дальномерной навигации [Текст] / Григорьев Ю. Д., Нгуен Хай Винь. В кн.: Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах: Труды Международной научной школы МА БР—2010 (Санкт-Петербург, 6-10 июля, 2010 г.). - СПб - ГУАП С. 475-480.

9. Митягин С. А. Оптимальное планирование наблюдений в случае коррелированных ошибок как средство повышения надежности навигации [Текст] / Митягин С. А., Нгуен Хай Винь.-В кн.: Труды'X международной ФАМЭБ-2011 конференции. - Красноярск: КГТЭИ, СФУ, 2011. - С. 251-256.

Подписано в печать 17.05.12. Формат 60*84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 50.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательства СПбГЭТУ "ЛЭТИ"

Издательство СПбГЭТУ "ЛЭТИ" 197376, С.-Петербург, ул. Проф. Попова, 5

Введение

Глава 1. Размещение объектов как задача планирования эксперимента.

1.1. Задачи размещения: аналитический обзор

1.1.1. Шкалы измерений в задачах размещения.

1.1.2. Детерминированные задачи размещения.

1.1.3. Статистические задачи размещения.

1.2. Статистические задачи размещения как задачи ПЭ

1.2.1. Характеризация задач ПЭ

1.2.2. Характеризация задач размещения как задач ПЭ . 21 Выводы по главе 1.

Глава 2. Алгоритмы построения точных планов эксперимента

2.1. Планирование эксперимента.

2.1.1. Модель регрессии: основные предположения.

2.1.2. Критерии оптимальности планов эксперимента.

2.2. Алгоритмы построения оптимальных планов

2.2.1. 1)-оптимальные планы.

2.2.2. Л-оптимальные планы.

2.2.3. Планы экстраполяции в точку.

Выводы по главе 2.

Глава 3. Алгоритмы размещения в сейсмологии

3.1. Планирование систем сейсмологических наблюдений.

3.1.1. Системы наблюдений.

3.1.2. Необходимость оптимального планирования СН

3.1.3. Типичные постановки задач планирования СН

3.1.4. Математические модели сейсмических наблюдений.

3.2. Размещение сейсмических станций методами ПЭ.

3.2.1. D-алгоритмы размещения сейсмических станций

3.2.2. А-алгоритмы размещения сейсмических станций

3.2.3. ^-алгоритм размещения сейсмостанций.

Выводы по главе 3.

Глава 4. Программная реализация алгоритмов размещения и ПЭ.

4.1. Общее описание программного комплекса АРПЭ.

4.2. Состав алгоритмов АРПЭ.

4.3. Пользовательский интерфейс программного комплекса АРПЭ

4.4. Порядок работы с программным комплексом АРПЭ.

4.5. Тестирование АРПЭ: контрольные примеры.

4.5.1. Алгоритмы ПЭ

4.5.2. Алгоритмы размещения сейсмических станций.

Выводы по главе 4.

Актуальность. Решение многих прикладных задач связано с проведением измерений. Их подготовка и проведение является сложной и ресурсоемкой задачей, что делает актуальной проблему рационализации затрат на проведение измерений и повышение их точности. Если измерения имеют статистическую природу и допускают описание в виде моделей регрессии, то задачи такого типа могут решаться в рамках теории оптимального планирования эксперимента (ПЭ), при этом сами модели измерений могут иметь специфический характер, обусловленный конкретной областью их применения.

В связи с этим существует потребность в разработке специальных методов и алгоритмов планирования измерений, с одной стороны, учитывающих достигнутые результаты в рамках самой теории ПЭ, а с другой — максимально приближенных к реальным моделям измерений, разрабатываемым в рамках конкретных теорий.

Широкий класс задач ПЭ возникает в связи с задачами планирования оптимальных сетей сеймических станций, выбора репрезентативных пунктов метеорологических наблюдений, выбора оптимальных конфигураций опорных ориентиров в задачах геодезии, навигации, траекторных измерений и т. д. Актуальность этих задач вызывается различными причинами, в том числе, ограниченным финансированием на организацию соответствующих сетей наблюдений, а также необходимостью снижения рисков, возникающих при принятии решений на основе проводимых измерений. Классической, например, является ситуация, возникающая при определении места судна (морского или воздушного) на основе навигационных измерений.

Задачи подобного типа классифицируются как статистические задачи размещения, характеризуемые планом размещения объектов, в роли которых могут выступать точки числовой оси, узлы сетей, навигационные ориентиры и т. п., и целевым функционалом, имеющим статистическую природу. Для их решения разрабатываются специальные методы.

Несмотря на очевидную актуальность задач размещения и большое количество существующих исследований задач подобного типа, многие вопросы, связанные с планированием измерений, остаются неизученными. Это объясняется разнообразием и спецификой постановок задач, неразработанностью моделей измерений и, наконец, просто необъятностью способов решения перечисленных задач.

Актуальность применения методов ПЭ в задачах статистического моделирования, к числу которых относятся и статистические задачи размещения, отмечалась академиками АН СССР Г. И. Марчуком и Ю. В. Линником. В области геофизики (задачи сейсмологии и предупреждения цунами) вопрос оптимального расположения сейсмических станций с использованием различных подходов, в том числе с применением методов ПЭ, рассматривали 3. И. Ара-нович, В. Ю. Бурмин, В. А. Гаврилов, В. К. Гусяков, А. Ф. Еманов, А. Кий-ко, Н. В. Кондорская, Т. В. Курдюкова, А. В. Николаев, О. К. Омельченко, Е. Ф. Саваренский. Среди вьетнамских ученых отметим работы Нго Тхи Лы, Нгуен Куй Хи, Фам Ван Тхук, Фам Лои Ву и др. Среди работ, связанных с проблемой оптимального размещения станций системы предупреждения цунами, особо отметим работы чл.-кор.-та РАН А. А. Поплавского с соавторами.

Применением методов ПЭ к задачам размещения в метеорологии посвящены работы У. Н. Бримкулова, С. Г. Денисова, С. И. Кароля, Г. К. Круга, О. М. Покровского, В. Л. Саванова. Вопросы повышения точности определения места в задачах навигации за счет выбора оптимальных конфигураций навигационных ориентиров по критериям ПЭ затрагиваются в работах О. О. и Л. П. Барабановых, Н. М. Груздева, В. Т. Кондрашихина, Г. Ф. Молокано-ва. Более подробный аналитический обзор соответствующих работ дается в первой главе диссертации.

Перечисленные задачи характеризуются большой размерностью, много-экстремальностью, наличием сложных ограничений, налагаемых на решение, что препятствует применению аналитических и классических численных методов оптимизации. Для решения подобных задач в смежных областях с успехом применяются точные и приближенные эвристические методы оптимизации различного рода, что позволяет считать целесообразным применение таких методов для решения задач оптимального размещения различных объектов.

Таким образом, актуальность исследования статистических задач размещения обусловлена, с одной стороны, необходимостью автоматизации этого процесса, а с другой — возможностью их эффективного решения с помощью эвристических методов.

Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка алгоритмов оптимального размещения объектов на основе методов ПЭ с последующим их применением в задачах сейсмологии.

Предметом исследования являются алгоритмы построения размещений объектов на основе регрессионных моделей наблюдений с последующим их применением в задачах сейсмологии.

Методы исследований. В работе использованы методы математической статистики, линейной алгебры, математического моделирования, теории методов оптимизации и планирования эксперимента.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Методология использования алгоритмов ПЭ в задачах размещения объектов.

2. Результаты аналитического исследования непрерывных планов экстраполяции в точку для полиномиальной регрессии.

3. Аналитические выражения критериев оптимальности в задаче размещения сейсмических станций.

4. Алгоритмы численного решения задач размещения сейсмических станций методами ПЭ.

Научную новизну представляют следующие результаты:

1. Результаты сравнительного анализа точных оптимальных планов эксперимента для кубической регрессии с минимальным числом опорных точек по шести критериям оптимальности.

2. Аналитические выражения весовых коэффициентов непрерывных планов экстраполяции в точку для полиномиальной регрессии 1-го, 2-го и 3-го порядков;

3. Аналитические выражения критериев В- , А- и Е-оптимальности для сейсмологических моделей регрессии.

4. Алгоритмы численного построения оптимальных размещений объектов по различным критериям оптимальности.

Практическая значимость работы заключается в возможности применения полученных аналитических результатов и разработанных алгоритмов для решения статистических задач размещения в сейсмологии и смежных областях, а также в разработке комплекса программ планирования эксперимента и размещения объектов АРПЭ.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на :

Международной конференции, посвященной 75-летию профессора, д. ф.-м. н. Г. А. Медведева (Беларусь, Минск, Минский гос. ун-т, 22-25 февраля 2010);

IX Международной конференции ФАМЭТ-2010 по финансово-актуарной математике и эвентоконвергенции технологий (Красноярск, ИВМ РАН,23-25 апреля 2010 г.);

Международной научной школе МАБР 2010 (Санкт-Петербург, ИПМ РАН, 6-10 июля 2010 г.);

XII Международном Симпозиуме по непараметрическим методам в кибернетике и системном анализе (Красноярск, СибГАУ, 18-26 сентября 2010 г.);

X Международной конференции ФАМЭТ-2011 по финансово-актуарной математике и эвентоконвергенции технологий (Красноярск, ИВМ РАН, 23-24 апреля 2011 г.). расширенных научных семинарах лаборатории экономико-математических методов в контроллинге МГТУ им. Н. Э. Баумана, лаборатории теории и технологии программирования СПИИ РАН, кафедры метеорологических прогнозов РГГМУ, кафедры судовождения СПбВК; ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава СПбГЭТУ («ЛЭТИ»), 2010-2012 гг.

По результатам диссертационных исследований опубликовано 9 научных работ, из них —5 статей (4 статьи —из перечня изданий, рекомендованных ВАК) и 4 работы — в научных трудах международных конференций.

Выводы по главе 4

Согласно результатам, полученным в главе 4, можно сделать следующие выводы:

1. В данной главе описана программная реализация разработанных алгоритмов, входящих в состав программного комплекса алгоритмов размещения и планирования эксперимента АРПЭ. Описание инструментальной среды оптимального размещения объектов и планирования эксперимента дает общее представление о проделанной работе и дает возможность пользователю в первом приближении получить представление о ее возможностях.

2. По каждому программному средству дана исчерпывающая информация относительно его назначения и выполняемых функций, что позволяет получить представление о возможностях разработанного программного обеспечения. Отсюда виден путь, на котором они могут быть улучшены, модифицированы или как-то переработаны в зависимости от конкретных пожеланий пользователя.

3. Разработанное программное обеспечение оптимального размещения опорных ориентиров (пунктов наблюдений, станций, маяков и т. п.) не является окончательным и предполагает свое дальнейшее развитие в направлении совершенствования как самих алгоритмов, так и дизайна пользовательского интерфейса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена разработке алгоритмов решения статистических задач размещения на основе методов планирования эксперимента. Итогом проведенных исследований явились следующие научные и практические результаты:

1. Охарактеризованы и на конкретных примерах проиллюстрированы основные критерии оптимальности планов эксперимента, используемые в теории ПЭ. На примере кубической полиномиальной регрессии показано, что планы эксперимента, оптимальные по разным критериям, в общем случае, не совпадают.

2. Представлено единообразное описание алгоритмов построения точных И-, А-оптимальных планов и планов экстраполяции в точку хо. Введено понятие функций Федорова, для которых согласно В- , А и жо-критериям в явном виде выписаны их выражения.

3. Найдены аналитические выражения для непрерывных жег оптимальных планов для полиномиальных регрессий 1-го, 2-го и 3-го порядков.

4. Получены аналитические выражения критериев V- и А-оптимально-сти в скоростной сейсмологической модели Саваренского. На основе этих выражений разработаны адаптированные к шкале наименований интерактивные версии Б и ^-алгоритмов Федорова. Показана эффективность работы данных алгоритмов на модельных и реальных данных. Проведено сравнение алгоритмов Федорова и Саваренского, показавшее их примерно одинаковую эффективность.

5. Разработан комплекс программ АРПЭ алгоритмов размещения и планирования эксперимента, включающий 8 алгоритмов. Описана инструментальная среда, в которой реализованы алгоритмы, дающая пользователю общее представление о возможностях программного комплекса.

6. По каждому программному средству дана исчерпывающая информация относительно его назначения и выполняемых функций, включая типовые сценарии работы пользователя, что позволяет получить представление о возможностях разработанного программного обеспечения.

Дальнейшие исследования могут быть направлены на совершенствование системы представленных алгоритмов путем создания более совершенной системы их организации, упорядочения ее отдельных частей по тем или иным принципам. Дальнейшее развитие теории статистических задач размещения позволит разработать еще более эффективную и продвинутую в сторону практики систему алгоритмов размещения.

1. Абдикадыров, Б. А. Модели рационального размещения скважин на газовых залежах сложного геологического строения. Текст.: дисс. . канд. техн. наук. / Б. А. Абдикадыров. — Москва: 2009. - 129 с.

2. Алберт, А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. Текст. / А. Алберт. — М.: Наука, 1977. 224 с.

3. Андреев, С. С. К систематизации способов определения положения эпицентров землетрясений. Текст. / С. С. Андреев. // В кн.: Труды Ин-та сейсмостойкого строительства и сейсмологии АН Тадж. ССР.— 1962.-Том 10.-С. 3-16.

4. Аоки, М. Введение в методы оптимизации. Текст. / М. Аоки,— М.: Наука, 1977.-344 с.

5. Аранович, 3. И. Зависимость точности локализации эпицентров от некоторых параметров локальной сети наблюдений. Текст. / 3. И. Аранович, А. И. Ахалбедашвили, О. Д. Гоцадзе, Т. В. Пилишвили. //

6. В кн.: Вопросы оптимизации и автоматизации сейсмических наблюдений.—Тбилиси: Мецниереба, 1977. —С. 158—169.

7. Барабанов, О. О. Математические задачи дальномерной навигации. Текст. / О. О. Барабанов, JI. П. Барабанова. — М.: Физматлит, 2007. 272 с.

8. Батасова, В. С. Оптимальное расширение локальных сейсмотеле-метрических сетей Камчатки. Текст. / В. С. Батасова, В. А. Гаврилов // Вулканология и сейсмология. -1990. —Вып. 1. —С. 91-103.

9. Беллман, Р. Введение в теорию матриц. Текст. / Р. Беллман. — М.: Наука, 1969. 368 с.

10. Бримкулов, У. Н. Рационализация измерительной сети по критерию точности математического описания поля норм. Текст. / У. Н. Бримкулов, Г. К. Круг, В. JI. Саванов // Метеорология и гидрология.— 1978.-Вып. 7.-С. 25-34.

11. Бримкулов, У. Н. Планирование экспериментов при исследовании случайных процессов и полей. Текст. / У. Н. Бримкулов, Г. К. Круг, В. JI. Саванов, —М.: Наука, 1986.— 153 с.

12. Бурмин, В. Ю. Задача планирования эксперимента и обусловленность системы линейных алгебраических уравнений. Текст. / В. Ю. Бурмин // Техническая кибернетика. — 1976. — Вып. 2. — С. 195—200.

13. Бурмин, В. Ю. Алгоритм определения координат гипоцентров близких землетрясений и скорости распространения сейсмических волнв слое. Текст. / В. Ю. Бурмин // Вулканология и сейсмология. — 1983.— Вып. 5.-С. 81-90.

14. Бурмин, В. Ю. Оптимальное расположение сейсмических станций при регистрации близких землетрясений. Текст. / В. Ю. Бурмин // Физика Земли, 1986.-Вып. 5.-С. 34-42.

15. Бурмин, В. Ю. Оптимизация сейсмических сетей и определение координат землетрясений. Текст. / В. Ю. Бурмин. —М.: ОИФЗРАН, 1995.- 180 с.

16. Бурмин, В. Ю. Погрешности в определении параметров гипоцентров близких землетрясений и эффективность системы сейсмологических наблюдений. Текст. / В. Ю. Бурмин, В. М. Ахметьев // Вулканология и сейсмология. 1994. —Вып. 2, —С. 109-128.

17. Бурмин, В. Ю. Оценка эффективности современной и планирования оптимальной сети сейсмических станций на территории Вьетнама. Текст. / В. Ю. Бурмин, Нго Тхи Лы, Чан Вьет Фыонг // Сейсмические приборы. 2009. - Том 45. - Вып. 1. - С. 44-61.

18. Викулин, А. В. Курило-Камчатские землетрясения. Данные наблюдений 1953—1961 гг. Материалы Мирового центра данных Б. М. Текст. / А. В. Викулин, Ч. У. Ким. —М.: Межведомственный геофизический комитет при Президиуме АН СССР, 1983. —83 с.

19. Гандин, Л. С. Объективный анализ метеорологических полей. Текст. / Л. С. Гандин. —Л.: Гидрометеоиздат, 1963. —287 с.

20. Гандин, JI. С. Статистические методы интерпретации метеороло-гиеских данных. Текст. / Л. С. Гандин, Р. Л. Каган.— Л.: Гидрометеоиз-дат, 1976.-359 с.

21. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц. Текст. / Ф. Р. Гантмахер. — М.: Наука, 1967.-576 с.

22. Годунов, С. К. Решение систем линейных уравнений. Текст. / С. К. Годунов —Новосибирск: Наука, 1980. — 177 с.

23. Горицкий, Ю. А. К оценке способности сетей сейсмоприемников различать протяженные и точечные источники. Текст. / Ю. А. Горицкий, В. Д. Феофилактов, В. С. Батасова. // Вулканология и сейсмология.— 1987.-Вып. 4.-С. 59-69.

24. Горский, В. Г. Планирование кинетических экспериментов, с В. Г. Горский-М.: Наука, 1984.-240 с.

25. Григорьев, Ю. Д. О дифференцировании неявной функции при построении оптимального плана эксперимента. Текст. / Ю. Д. Григорьев, С. А. Митягин, Нгуен Хай Винь. // Известия СПбГЭТУ "ЛЭТИ".-2011.-Вып. 6.-С. 46-50.

26. Григорьев, Ю. Д. Преобразование Стилтьеса в задачах нелинейного планирования эксперимента. Текст. / Ю. Д. Григорьев, Нгуен Хай Винь. // Сб. научных трудов НГТУ.-2009.-Вып. 2(56).-С. 61-70.

27. Григорьев, Ю. Д. Метод неявной функции в задаче построения двухточечных планов эксперимента. Текст. / Ю. Д. Григорьев, Нгуен

28. Хай Винь. // В кн.: Труды IX Международной ФАМЭТ'2010 конференции.-Красноярск: КГТЭИ, СФУ, 2010. —С. 108-113.

29. Григорьев, Ю.Д. Кривая-Бокса—Лукаса и критерий емкости D-оптимальных планов для нелинейной регрессии. Текст. / Ю. Д. Григорьев, Нгуен Хай Винь. // Заводская лаборатория. —2011. —Том 77, Вып. 1.-С. 68-74.

30. Григорьев, Ю. Д. Планирование эксперимента как задача размещения объектов. Текст. / Ю. Д. Григорьев, Нгуен Хай Винь. // Известия СПбГЭТУ "ЛЭТИ".-2012.-Вып. 2.-С. 50-57.

31. Груздев, Н. М. Математическая обработка и анализ навигационной информации. Текст. / Н. М. Груздев. —М.: Воениздат, 1979. —224 с.

32. Денисов, С. Г. Анализ информативности систем дистанционной индикации поля геопотенциала. Текст. / С. Г. Денисов, О. М. Покровский // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана. — 1980, —Том 16.-С. 582-590.

33. Дмитриев В. И. Навигация и лоция. Текст. / В. И. Дмитриев, В. И. Григорян В. Л., В. А. Катенин —М.: Моркнига, 2009. —458 с.

34. Дроздов, О. А. О принципах рационализации сети метеорологических станций. Текст. / О. А. Дроздов // Труды ГГО. — 1961. — Вып. 123.-С. 33-46.

35. Ермаков, С. М. Математическая теория планирования эксперимента. Текст. / под ред. С. М. Ермакова. — М.: Наука, 1983. —392 с.

36. Жуков, Ю.Н. Способ определения координат места объекта по трем расстоянииям до точек, не лежащих на одной линии. Текст. / Ю.

37. Н. Жуков // Навигация и гидрография.— 2010. —Вып. 30.— С. 17-25.

38. Зетель, С. И. Новая геометрия треугольника. Текст. / С. И. Зе-тель — М.: Учпедгиз, 1962, — 152 с.

39. Качала, В. В. Основы теории систем и системного анализа. Текст. / В. В. Качала —М.: Горячая линия-Телеком, 2007. —216 с.

40. Каллианпур, Г. Стохастическая теория фильтрации. Текст. / Г. Каллианпур —М.: Наука, 1987. —320 с.

41. Козлов, В. П. Избранные труды по теории планирования эксперимента и обратным задачам оптического зондирования. Текст. / В. П. Козлов — СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2000. — 500 с.

42. Кондорская, Н. В. Исследование основных параметров очагов землетрясений. Докт. дисс. Текст. / Н. В. Кондорская. — М., 1970.

43. Кондорская, Н. В. Методические основы оптимизации сейсмических наблюдений. Текст. / Н. В. Кондорская, 3. И. Аранович // Известия АН СССР. Физика Земли.- 1971.-Вып. 7.-С. 14-30.

44. Крапивина, Г. С. Разработка методов оптимизации размещения эксплуатационных скважин на подземных хранилищах газа. Текст.: ав-тореф. дисс. . канд. техн. наук. / Г. С. Крапивина — Москва, 2002.

45. Круг, Г. К. Планирование эксперимента в задачах идентификации и экстраполяции. Текст. / Г. К. Круг, Ю. А. Сосулин, В. А. Фатуев —М.: Наука, 1977.-208 с.

46. Линник, Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы матема-тико-статистической обработки наблюдений. Текст. / Ю. В. Линник — М.: Физматгиз, 1962. —350 с.

47. Лукк, А. А. О точности определения координат очагов местных землетрясений. Текст. / А. А. Лукк, Н. Б. Пивоварова, Т. П. Пухначева // В кн.: Математические проблемы геофизики.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1974.-Вып. 5.-Ч. 1.-С. 159-167.

48. Марчук, Г. И. Методы вычислительной математики. Текст. / Г. И. Марчук —М.: Наука, 1977. —456 с.

49. Митягин, С. А. Влияние грубых ошибок наблюдений на качество плана эксперимента при наличии корреляции измерений. Текст. / С. А. Митягин, X. В. Нгуен // Известия СПбГЭТУ "ЛЭТИ".-2011.-№8-С. 35-40.

50. Молоканов, Г.Ф. Точность и надежность навигации летательных аппаратов. Текст. / Г. Ф. Молоканов. — М.: Машиностроение, 1967.— 216 с.

51. Николаев, А. В. Сейсмика неоднородных и мутных сред. Текст. / А. В. Николаев. —М.: Наука, 1975. — 174 с.

52. Николаев, А. В. О планировании системы сейсмических наблюдений. Текст. / А. В. Николаев. // В кн.: Вопросы оптимизации и автоматизации сейсмических наблюдений.— Тбилиси: Мецниереба, 1977. — С. 81-89.

53. Омельченко, О. К. Планирование сети сейсмических станций для ЕАС ЦУНАМИ. Отчет по заданию 01.11.Н1 научно-технической проблемы 0.74.03. Текст. / О. К. Омельченко. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1989.- 190 с.

54. Омельченко, О. К. Два примера планирования сетей сейсмических станций России. Текст. / О. К. Омельченко. // В кн.: Труды Всероссийской конф. по вычислительной математике КВМ-2011. — Новосибирск, Академгородок, 29 июня—1 июля 2011 г.

55. Омельченко, О. К. Об оптимальном планировании региональной сети сейсмических станций: Препринт №668. Текст. / О. К. Омельченко,

56. B. Н. Белобородов. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1986.-39 с.

57. Омельченко, О. К. Планирование сети сейсмических станций для службы предупреждения цунами. Текст. / О. К. Омельченко, В. К. Гусяков. // Вулканология и сейсмология. — 1996. — Том 18. —Вып. 2,—1. C. 68-85.

58. Пепелышев, А. Н. Исследование оптимальных планов эксперимента на основе функционального подхода. Текст. : автореф. дисс. . канд. ф.-м.-наук. / А. Н. Пепелышев.— СПб.: С.-Петербург, ун-т, 2002,— 16 с.

59. Покровский, О. М. Об оптимальном отборе станций для климатического мониторинга приземной температуры в Северном полушарии. Текст. / О. М. Покровский, С. И. Кароль. // Метеорология и гидрология. 1988.-Вып. 9.-С. 60-71.

60. Покровский, О. М. Анализ эффективности методов оптимизацииназемных наблюдательных сетей. Текст. / О. М. Покровский. // Труды ГГО.- 1989.-Вып. 528. — С. 82-89.

61. Покровский, О. М. О методе выбора репрезентативных пунктов метеорологических наблюдений. Текст. / О. М. Покровский. // Метеорология и гидрология. — 1999. —Вып. 2, —С. 55-67.

62. Покровский, О. М. О рационализации региональных наблюдательных сетей. Текст. / О. М. Покровский. // Метеорология и гидрология.-2000.-Вып. 8.-С. 5-21.

63. Поплавский, А. А. Эффективность системы предупреждения о цунами (СПЦ) и рациональное размещение подсистемы гидрофизических станций. Текст. / А. А. Поплавский. // Вычислительные технологии.-Новосибирск, 1992.-Том 1. — Вып. З.-С. 90-106.

64. Поплавский, А. А. Рациональное размещение сейсмических станций системы оперативного предупреждения о цунами на тихоокеанском побережье Камчатки. Текст. / А. А. Поплавский. — [Интернет-ресурс] (дата обращения 21 марта 2012).

65. Пфанцагль, И. Теория измерений. Текст. / И. Пфанцагль —М.: Мир, 1976.-248 с.

66. Раутиан, Т. Г. Инструментальные сейсмические наблюдения и сейсмичность района Съенфуэгос. Текст. / Т. Г. Раутиан, М. Серрано, В. М. Фремд, Т. Чуй // В кн.: Исследование сейсмически малоактивных зон Центральной Кубы. —М.: Наука, 1983. —С. 36-48.

67. Седунов, Е. В. Оптимальное маскирование в мультиплексных измерениях: Монография. Текст. / Е. В. Седунов —СПб: Изд-во «Петербургский институт печати», 2005. — 148 с.

68. Силкин, А. В. Оптимизация размещения оптических измерительных средств в моделях траекторных измерений. Текст.: автореф. дисс. . канд. техн. наук. / А. В. Силкин С.-Петербург, СПбГЭТУ, 2008.-16 с.

69. Старосельский, Ю. М. Исследование оптимальных планов эксперимента для нелинейных по параметрам регрессионных моделей. Текст.: автореф. дисс. . канд. ф.-м.-наук. / Ю. М. Старосельский.— СПб.: С.-Петербург, ун-т, 2008. 15 с.

70. Суетин, П. К. Классические ортогональные многочлены. Текст. / П. К. Суетин.-М.: Наука, 1976.-328 с.

71. Супруненко, М. Я. Эвристический подход при разработке алгоритмов распознавания образов и оптимизации. Текст. / М. Я. Супруненко—Новосибирск: Сова, 2004. —72 с.

72. Федоров, В. В. Теория оптимального эксперимента. Текст. / В. В. Федоров. М.: Наука, 1971. - 312 с.

73. Федоров, В. В. Активные регрессионные эксперименты. Текст. / В. В. Федоров. //В кн.: Математические методы планирования эксперимента. Ред. В. В. Пененко.— Новосибирск: Наука, 1981. —С. 19-73.

74. Хаттон, Л. Обработка сейсмических данных. Теория и практика. Текст. / Л. Хаттон, М. Уэрдингтон, Дж. Мейкин. —М.: Мир, 1989. — 216 с.

75. Цехан, О. Б. Матричный анализ: учебное пособие. Текст. / О. Б. Цехан.-М: ФОРУМ, 2011.-360 с.

76. Шпилев, П. В. Аналитические методы построения оптимальных оптимальных планов эксперимента. Текст.: автореф. дисс. . канд. ф.-м.-наук. / П. В. Шпилев.— СПб.: С.-Петербург, ун-т, 2007. — 15 с.

77. Cezar-Ioan Trifu. Optimal development of a regional seismic network. Exemplication for Romania. Текст. / Trifu Cezar-Ioan. // Rev. Roum. Phys.- 1983.-Vol. 28.-No. 1,-P. 81-90.

78. Emanov, A. F. Planning seismic networks in the Kemerovo region. Текст. / A. F. Emanov, О. K. Omelchenko // Bull. Nov. Сотр. Center, Math. Model, in Geoph. — 2010. — 13. —P. 31-40.

79. Jarvis, J. K. NETSOLVE: Interactive software for network optimization. Текст. / J. K. Jarvis. // Oper. Res. Lett. — 1990.— Vol. 9.— No. 4.-P. 275-282.

80. Kiefer, I. The equivalence to two extremum problems. Текст. / I. Kiefer, T. Wolfowitz. // Can. J. Math. 1960.-12.-P. 363-366.

81. Kijko, A. An analysis of the optimum extension of the regional seismic network in Upper Silesia. Текст. / A. Kijko. // Acta Geophys. Pol. — 1976.-XXIV.-No. 3,

82. Kijko, A. Methods of the optimal planning of regional seismic networks. Текст. / A. Kijko. // Polish Academy of Sciences. Publication of the Institute of Geophysics. A-7 (119). — Warszawa: Lodz: Panstwowe wydawnictwo naukowe, 1978. — 63 p.

83. Kijko, A. Optimum seismic network in the Ostravacoal basin. Текст. / A. Kijko. Chechoslovakia. Acta Montana UGG CSAV Praha. - 1980. - B. 55.-S. 73-95.

84. Kurn, H. W. A note on Fermat's problem. Текст. / H. W. Kurn. // Mathematical Programming. — 4.-North-Holland Company. — 1973. —1. P. 98-107.

85. Melas, V. В. Functional approach to optimal experimental design. Текст. / V. В. Melas. — Springer Science + Business Media, Inc., 2006.

86. Nguyen Dinh Xuyen. Seismic Velocity Structure in North Vietnam. Текст. / Nguyen Dinh Xuyen. // Some seismotectonic feature of the Red river fault and the velocity structure in North Vietnam. Chung-li. — November, 1990.-P. 18-33.

87. Omelchenko, О. K. Planning seismic networks. Текст. / О. К. Omelchenko. // In: Applied Methods of Statistical Analysis. Simulations and Statistical Inference. Proceed. Intern. Workshop, Novosibirsk, 20-22 Sept. — 2011.-P. 261-268.

88. Peters, О. C. Application of prediction analysis to hypocenter determination using a local array. Текст. / О. С. Peters, R. S. Crosson. // Bull. Seismol. Soc. Amer.- 1972.-Vol. 62.-No. 3.-P. 775-788.

89. Rasch, D. Optimum experimental design in nonlinear regression. Текст. / D. Rasch. // Commun. Statist.-Theory Meth.- 1990.-Vol. 19.— No. 12.-P. 4789-4806.

90. Sato, Y. Optimum distribution of seismic observation points. Текст. / Y. Sato. // Zisin. [ii].- 1965.-Vol. 18.-No. 9. (Japan).

91. Sato, Y. Optimum of distribution of seismic observation points. Текст. / Y. Sato, D. Skoko. // Bill. Earthq. Res. Inst.- 1965.-Vol. 43.-P. 451-457.

92. Silvey, S.D. Optimal design: An introduction to the Theory for Parameter Estimation. Текст. / S. D. Silvey. — London, New York: Chapman and Hall, 1980.

93. Skoko, D. Optimum distribution of seismic observation points. IV. Desirable location of a new station in Yugoslavia. Текст. / D. Skoko, Y. Sato, I. Ochi. // Bull. Earthq. Res. Inst. 1967.-Vol. 45.-P. 289-298.