автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Аналитически-численный метод анализа и синтеза кусочно-степенных моделей технических систем

Предисловие.

Часть первая

Аналитически-численный метод анализа динамики кусочно-степенных моделей физических систем.

Глава первая

Решение в обобщенных функциях и степенных рядах обыкновенных нелинейных неавтономных интегродифференциальных уравнений с нестационарными коэффициентами и детерминированными правыми частями.

1. Вводные замечания. Общая процедура аналитически- численного метода решения уравнений динамики кусочно-степенных моделей. Постановка задачи исследования.

2. Формулировка условий существования и единственности решений обыкновенных нелинейных неавтономных интегродифференциальных уравнений

3. Аналитическая часть процедуры формирования аналитически-численных решений уравнений динамики кусочно-степенных моделей.

4. Верхняя оценка абсолютной и относительной локальной погрешности расчета. Формирование верхней оценки абсолютной полной погрешности аналитически-численного расчета. Выделение областей существования точных решений уравнений динамики кусочно-степенных моделей.

Выводы.

Глава вторая

Построение областей существования точных решений уравнений динамики кусочно-степенных моделей при различных оценочно-временных показателях заданной предельной погрешности расчета. Управление положением границ областей существования точных решений.

1. Построение областей существования точных решений уравнений динамики кусочно-степенных моделей с заданным уровнем предельной абсолютной локальной погрешности расчета.

2. Особенности построения областей существования точных решений с заданным уровнем предельной относительной или абсолютной полной погрешности расчета.

3. Способы направленного изменения положения границ областей существования точных решений уравнений динамики кусочно-степенных моделей.

4. Особенности процедуры направленного изменения положения границ областей существования точных неустойчивых решений уравнений динамики.

Выводы.

Глава третья

Формализация процедуры построения областей существования точных решений. Новая форма ряда Тейлора. Декомпозиция решений уравнений динамики по полюсам их изображений. Собственные свойства кусочно-степенной модели и соответствующее им управление длиной шага расчета.

1. Формализация процедуры исследования сходимости степенных рядов для регулярных составляющих решений уравнений динамики нелинейных кусочно-степенных моделей. Новая форма ряда Тейлора. Декомпозиция решений по полюсам их изображений.

2. Шаг расчета как функция собственных свойств исследуемой нелинейной кусочно-степенной модели.

3. Формализация процедуры построения областей существования точных решений уравнений динамики кусочно-линейных моделей. Особенности изменения длины шага расчета при анализе жестких кусочно-линейных моделей.

Выводы.

Глава четвертая

Численная устойчивость аналитически-численного метода. Спектральный анализ выделенной линейной части уравнения динамики кусочно-степенной модели. Расширение границ применимости аналитической части метода.

1. Устойчивость вычислительной процедуры аналитически-численного метода к погрешностям вычислений и задания начальных условий.

2. Вычисление с заданной предельной абсолютной погрешностью полюсов изображения решения уравнения динамики кусочно-степенной модели.

3. Особенности анализа кусочно-степенных моделей при наличии особых точек в решениях их уравнений динамики. Процедура выделения в заданном интервале исследования областей существования точных значений абсцисс всех особых точек.

Выводы.

Часть вторая

Математическое моделирование. Построение обобщенных и кусочно-степенных моделей технических систем. Аналитически-численное решение прямой и обратной задачи динамики для кусочно-степенных моделей технических систем.

Глава пятая

Математическое моделирование в технических системах. Обобщенные и кусочно-степенные модели. Особенности анализа динамических моделей с нелинейностью нестепенного характера. Аналитически-численный расчет установившегося режима в неавтономных нестационарных кусочно-степенных моделях технических систем.

1. Построение обобщенных и кусочно-степенных моделей технических систем. Аналитически-численный расчет как этап формирования кусочно-степенной модели и основа ее направленного изменения и дополнения.

2. Аналитически-численный расчет переходных процессов в моделях с функциональной нелинейностью нестепенного характера. Влияние точности учета параметров модели на характер переходного процесса.

3. Анализ установившегося режима в неавтономных нестационарных кусочно-степенных моделях технических систем.

Выводы

Глава шестая

Синтез переходных процессов в кусочно-степенных моделях технических систем. Аналитически-численное решение обратной задачи динамики и выделение областей существования точных значений синтезируемых параметров модели регулятора.

1. Постановка обратной задачи динамики. Разработка процедуры аналитически-численного решения задачи параметрического син-теза. Выделение областей существования точных значений синтезируемых нестационарных параметров кусочно-степенной модели при воспроизведении желаемого процесса с заданной точностью.

2. Аналитически-численное решение обратной задачи динамики и выделение областей существования точных значений синтезируемых параметров модели при условии точного воспроизведения заданного желаемого процесса.

Выводы.

Часть третья

Формализация процедур аналитической части аналитически-численного метода. Использование отдельных математических построений вычислительной процедуры метода для решения некоторых математических задач.

Глава седьмая

Вспомогательные построения.

1. Формирование коэффициентов результирующего полинома Тейлора при перемножении полиномов Тейлора в дробно-рациональных степенях.

2. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора

Глава восьмая

Дополнительные результаты.

1. Разложение однозначной аналитической функции в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки. Определение об

ПРЕДИСЛОВИЕ

Диссертационная работа состоит из трёх частей. Первая часть посвящена разработке аналитически-численного метода анализа динамики кусочно-степенных моделей физических систем. Для иллюстрации возможностей и характерных особенностей метода используются детерминированные с сосредоточенными параметрами динамические модели электротехнических устройств, объектов биологии и химии, а также интегральные и дифференциальные уравнения, получившие широкую известность, благодаря последним достижениям качественной теории нелинейных явлений.

Во второй части рассматриваются вопросы, связанные с построением кусочно-степенных моделей технических систем, а также алгоритмы аналитически-численного решения прямой (анализ) и обратной (синтез) задач динамики таких моделей. В основе вычислительных алгоритмов решения задачи параметрического синтеза лежат те же принципы и подходы, которые использовались при решении задачи анализа динамики кусочно-степенных моделей. Вследствие этого достигается не только идеологическое и математическое единство процедур решения прямой и обратной задач динамики, но и существенное расширение функциональных возможностей разработанного аналитически-численного метода.

В процессе формирования вычислительной процедуры метода неоднократно возникала необходимость решения вспомогательных математических задач. Для того, чтобы не перегружать изложение описанием алгоритмов решения таких задач, полученные при этом результаты собраны в третьей части, в главе "Вспомогательные построения" и размещены в порядке обращения к ним в основном тексте. Вместе с тем, полученные в ходе разработки аналитически-численного метода результаты позволили решить целый ряд математических задач, представляющих самостоятельный научных интерес. Результаты решения этих задач собраны в третьей части, в главе "Дополнительные результаты" и размещены в порядке, определяемом их внутренней взаимосвязью.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ Аналитически-численный метод анализа динамики кусочно-степенных моделей физических систем

Глава первая

Решение в обобщённых функциях и степенных рядах обыкновенных нелинейных неавтономных интегро-дифференциальных уравнений с нестационарными коэффициентами и детерминированными правыми частями

1. Вводные замечания. Общая процедура аналитически-численного метода решения уравнений динамики кусочно-степенных моделей.

Постановка задачи исследования

Построение высоко адекватной динамической модели исследуемой физической системы связано с необходимостью учёта и корректного описания всех известных её характерных свойств и особенностей. В общем случае это требует принятия во внимание распределённости и нестационарности параметров моделируемой системы, случайного характера изменения этих параметров и приложенных к системе воздействий, а также точного описания нелинейных свойств её основных элементов. Получаемая в результате математическая модель, отражая в полной мере существо и характер моделируемой системы, тем не менее не имеет смысла, так как её последующий анализ (расчёт динамики) с помощью существующих вычислительных алгоритмов пока невозможен. Таким образом, формируя модель, исследователь должен всегда соотносить форму и сложность получаемого её математического описания с возможностями и спецификой метода, который затем будет использован для анализа динамики сформированной модели. Понятно, что потенциальные возможности и собственные характеристики метода должны быть такими, чтобы, по возможности, не ограничивать и не усложнять описания моделируемой системы, способствуя тем самым построению хорошей и полезной с информационной точки зрения её динамической модели, а также обеспечивать возможность проведения всестороннего и полного анализа этой модели.

Первая часть диссертационной работы посвящена разработке метода анализа детерминированных с сосредоточенными параметрами нелинейных неавтономных динамических моделей физических систем, названного аналитически-численным. Таким образом разрабатываемый метод накладывает всего два ограничения на полное описание моделируемой системы, требуя сосредоточенности её параметров и детерминированности воздействий.

Заметим, что для анализа детерминированных динамических моделей с сосредоточенными параметрами разработано большое количество методов, что объясняется как трудностью задачи, так и тем, что ни один из них не имеет решающих преимуществ перед другими. Все существующие методы можно разделить на три группы: точные, численные и аналитические.

Точные методы имеют узкую область применения, ограниченную классом по большей части специально подобранных задач. Численных методов много, они хорошо разработаны, подробно описаны, их непрерывно совершенствуют [1, 15, 57, 69, 70, 82, 88]. Эти методы оснащены большим количеством программ, входящих в библиотеки современных вычислительных комплексов. Вместе с тем численные методы имеют и недостатки, наиболее существенные из которых следующие. Во-первых, необходимость описания динамики модели посредством использования только лишь дифференциальных уравнений, причём обязательно в нормальной форме Коши. Отметим, что применительно к системам, с ярко выраженной зависимостью их текущих состояний от состояний имевших место в течение некоторого периода времени в прошлом, выполнение указанного выше условия принципиально невозможно. Во-вторых, отсутствие оценок полной погрешности производимых вычислений. Вследствие этого исследователь, получая приближённые решения уравнений динамики модели, не может оценить степень их удаления от неизвестных точных решений, а также провести направленное сближение этих решений. Заметим, что указанное обстоятельство делает невозможным проведение корректного исследования хаотических явлений в нелинейных динамических моделях, возникновение которых связано с «переходом к хаосу из-за погрешности в начальных условиях» [51]. В-третьих, низкая универсальность, что обуславливает необходимость использования сразу нескольких методов, каждый из которых ориентирован на исследование строго определённых свойств и особенностей нелинейной модели.

Аналитические методы основываются на анализе динамики модели с помощью аппарата функциональных рядов [11, 20-22, 26, 63-66, 91-93, 96-98, 100, 101]. В настоящее время интерес к использованию рядов сохраняется и даже растёт, что объясняется следующими особенностями и достоинствами этого математического аппарата. Во-первых, универсальность, позволяющая с успехом использовать функциональные ряды для описания систем и явлений в электронике, химии, биологии, механике и т.д. Во-вторых, аналитичность описания приближённых и неизвестных точных решений уравнений динамики, что обеспечивает возможность контроля погрешности производимых по ходу расчёта вычислений. Главным недостатком аналитических методов является сложность алгоритмизации. С учётом вышесказанного очевидна целесообразность разработки аналитически-численных методов, сочетающих в себе достоинства аналитических и численных методов, сочетающих в себе достоинства аналитических и численных методов, при взаимной компенсации их недостатков.

Динамику детерминированных моделей с сосредоточенными параметрами описывают обыкновенные нелинейные неавтономные интегро-дифференциальные уравнения с нестационарными коэффициентами и детерминированными правыми частями. Для большого числа моделей выделенного класса запись их уравнений динамики относительно выбранных координат, имеющих определённый физический смысл, можно упорядочить, приведя эти уравнения к следующему виду: где В — оператор обобщённого дифференцирования по И'1 — оператор интегрирования по т до нижний предел которого есть предначальный момент времени в каждом интервале интегрирования; Аф) — квадратная матрица порядка Ьх с полиномиальными от й и I)"1 элементами я/.^Ц); (т{П) — матрица размером Ьху<Ь/С полиномиальными от Э и И'1 элементами gl.k{Щ', х(/)и /(/) — матрицы -столбцы координат модели и приложенных к ним воздействий; Н(х/,?) — матрица-столбец, строки которой представляют собой суммы членов, образованных в общем случае произведениями времени t, переменных во времени коэффициентов, координат модели, воздействий и их обобщённых производных любого порядка в произвольных дробно-рациональных степенях, а также интегралов по г до взятых от подобных произведений.

Полиномы, описывающие коэффициенты ацЩ) и построены однотипно и имеют следующий вид: т=-М М

Si.kiP) = IgliWD", (1.2) где М eN.

Любые отдельные или, возможно, все коэффициенты каждого из этих полиномов могут быть равны нулю.

Строку и матрицы H(xJ,t), по определению, запишем следующим образом: strjHx,f,i)=i^-uon fft^M)*45 ■ (1 -3) v=l /= 1 n=-Nuv где и e[l;Lx]; L = Lx + ¿у; перебор координат и воздействий упорядочен, например, так, что xl = xfll e[l;Lx]n xl =/¡\/l g[Lx+ V,L]; kuv,kluvv eQ(P); Nuv ejZj; нижний предел операторов D'n, в отличие от так же обозначенных операторов в матрицах A(D), G(D), есть начальный момент времени в каждом интервале интегрирования.

Модели, описываемые уравнением (1) и формулами (2), (3), назовем кусочно-степенными. Под кусочно-степенной моделью будем понимать справедливое во временных интервалах (кусках) уравнение (1) с дополнением (2), при составлении которого нелинейности описаны формулой (3).

Если уравнение (1) составлено так, что H(x,f ,t) = Н0 = const, то оно описывает динамику кусочно-линейных моделей. Кусочно-степенные модели, динамику которых описывает уравнение (1) при H(x,f,t) Ф const, разрешенное относительно старших операторов D", пе [1; М] по всем координатам модели назовем нелинейными моделями с выделенной линейной частью. Кусочно-степенные модели, динамику которых описывает уравнение (1) при Н(х,/,^Ф const, не разрешенное относительно старших операторов D", хотя бы по одной из фазовых координат, назовем нелинейными моделями с невыделенной линейной частью. Заметим также, что если в формуле (3) хотя бы в одном случае ки v Ф 0, то модель неавтономна; если в формулах (2), (3) хотя бы в одном случае а\"¡} ф const, или ф const, или hu v ф const, то модель нестационарна. В рамках уравнения (1) и формул (2), (3) можно составить описания любых кусочно-степенных моделей, от наиболее простых линейных автономных стационарных до наиболее сложных нелинейных с невыделенной линейной частью неавтономных нестационарных.

Очевидно, что в общем случае уравнение (1) может иметь сложный характер и создание общего метода его решения представляет собой достаточно трудную задачу. Однако эта задача актуальна для практики, так как «мы вступили в пору изучения нелинейных явлений. В результате неизмеримо возрастают математические проблемы, ибо непонятно, как создать достаточно общую теорию, используя классические подходы. Но это не главная трудность. Зачастую внутренним свойством нелинейных систем оказывается не плавное, а скачкообразное (и иногда противоположное ожидавшемуся) изменение их поведения. При этом внешние условия могут изменяться непрерывно и, казалось бы, «в разумную сторону». В итоге же, как правило, невозможно прогнозировать поведение нелинейных объектов, опираясь только на предшествующий опыт. Тем самым необходима разработка методов исследования нелинейных задач» [68].

В отсутствие общих и формальных методов анализа динамики нелинейных моделей исследователю рекомендовалось руководствоваться интуицией, основанной на достаточно ясном представлении о физическом поведении моделируемой системы [3, 34, 38]. Это правило остаётся в силе и сегодня, поскольку эвристические соображения, по-видимому, должны предшествовать любым формальным построениям и служить для них основой. Вместе с тем сейчас такой рекомендацией ограничиться уже невозможно. Необходимы конкретные, реализуемые с помощью средств вычислительной техники вычислительные алгоритмы и процедуры. При этом физические представления о поведении системы используются только на этапе подготовки задачи — при построении динамической модели исследуемой системы. Сегодняшние запросы практики диктуют необходимость разработки основанного на современном математическом аппарате и достижениях в области теории нелинейных явлений универсального метода расчёта кусочно-степенных моделей систем различной физической природы.

Анализ динамики кусочно-степенной модели необходимо выполнить в заданном по t интервале времени [0;7] при условии наиболее точного учета нелинейных свойств и нестационарности её параметров, а также характерных особенностей приложенных к модели воздействий, включая их возможную разрывность, в том числе и дифференцируемую, Решения уравнения (1) в общем случае характеризуются существованием дифференцируемых разрывов первого рода; наличием разрывов второго рода, в том числе и для производных от решений; чередованием участков быстрого и медленного изменения; содержанием конечных или, быть может, полубесконечных участков неустойчивости с присущей им высокой чувствительностью к погрешностям в начальных условиях. С целью выявления негладкостей решения уравнения (1) и дифференцируемых скачков, поиск этого решения необходимо осуществлять в классе обобщенных функций, в виде суммы сингулярной и регулярной составляющих. При этом корректное формирование сингулярной составляющей решения и правильное вычисление начальных значений регулярной составляющей в точках её разрывов по известным предначальным условиям возможно только с помощью обобщенного преобразования Лапласа. Сингулярная составляющая решения по определению имеет замкнутую форму и описывается суммой импульсных функций различного порядка. Регулярная составляющая, имея произвольную форму описания, при построении универсального метода решения уравнения (1) нуждается в унификации своего представления. С учетом вышесказанного это представление должно отвечать следующим требованиям: приводить описание нелинейное части Н(х,/^) уравнения (1) к единому и пригодному для последующих преобразований Лапласа виду; обеспечивать выявление точек потери аналитичности регулярной составляющей решения, т.е. особых точек; определённым образом и в замкнутой форме устанавливать взаимосвязь между приближённым и неизвестным точным решением. Желательно также, чтобы единое представление регулярной составляющей решения было не только формальным, но и физически содержательным.

Перечисленным требованиям и пожеланиям отвечает представление регулярной составляющей решения в форме ряда Тейлора, и вот почему. Во-первых, подстановка в уравнение (1) искомых решений с регулярными составляющими в виде рядов Тейлора изменяет описание нелинейной части Н( этого уравнения на вполне определённое и единственное, а именно, на нелинейность по целым степеням независимой переменной Вследствие этого для решения уравнения (1) становится доступным использование аппарата Ь-преобразования Лапласа. Во-вторых, вычислением радиуса сходимости ряда Тейлора для регулярной составляющей решения сразу же решается задача выделения особой точки, ближайшей к заданным предначальным условиям. Втретьих, так как в пределах радиуса сходимости степенной ряд сходится абсолютно и равномерно, то аппроксимированная этим рядом Тейлора функция есть точное решение уравнения (1), а полином Тейлора описывает, следовательно, его приближенное решение. Вследствие этого, что очень важно, обеспечивается принципиальная возможность вычисления приближенного решения с контролируемым уровнем предельно возможного удаления его от неизвестного точного решения. Наконец, описание регулярной составляющей решения рядом Тейлора физически содержательно ввиду известного смысла коэффициентов этого ряда.

Итак, в некотором интервале времени точное решение / е[1;1х] уравнения (1) описывается следующим образом:

•^/(0=+=+ > (1-4) у'=0 ¿=0 1! где */"(/) " сингулярная, х^^) - регулярная составляющая решения х1(0; весовые коэффициенты импульсных функций от нулевого до Jl - го порядка включительно; Яи- коэффициенты ряда Тейлора для регулярной составляющей решения с центром разложения в точке с абсциссой ¿=0+.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итог, опишем существо разработанного в диссертационной работе аналитически-численного метода. Метод предназначен для анализа и синтеза кусочно-степенных моделей систем различной физической природы. Динамика моделей выделенного класса описывается в общем случае системой нелинейных неавтономных интегродифференциальных уравнений с нестационарными коэффициентами и детерминированными правыми частями. Аналитически-численный метод - это одношаговый (самостартующий) метод, с контролируемым уровнем абсолютной локальной и полной погрешности расчета и обладающий способностью непрерывной (плотной) выдачи результатов в виде областей существования неизвестных точных решений уравнений динамики исследуемых кусочно-степенных моделей или точных значений их синтезируемых параметров. В основе аналитической части метода лежит обобщенное интегральное преобразование Лапласа, аппарат обобщенных функций и функционально-степенных рядов. Численная часть метода связана с реализацией принципа "аналитического продолжения".

Пошаговое решение уравнения динамики кусочно-степенной модели (1.1) в каждом интервале расчета начинается с выполнения преобразований в соответствии с аналитической частью метода. В результате уравнение (1.1) переформировывают последовательно к виду (1.27), (1.28), после чего с помощью обобщенного преобразования Лапласа формируют изображения искомых решений этого уравнения. Разложив затем сформированные изображения в ряды Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки, используя формулы (1.34) - (1.36) или (1.157), (1.160), (1.171), (1.222), (1.223), (1.225), вычисляют коэффициенты сингулярных и регулярных составляющих этих решений. При этом использованию формул (1.157), (1.160), (1.171), (1.222), (1.223), (1.225), в случае необходимости, предшествует этап вычисления полюсов изображений искомых решений согласно алгоритма, описанного во втором параграфе четвертой главы. Выполнение аналитической части метода заключает расчет с учетом предельных абсолютных погрешностей в предначальных условиях областей существования точных значений коэффициентов сингулярных составляющих искомых решений уравнения (1.1).

Численная часть метода служит для вычисления в дискретные моменты времени из заданного интервала исследования [0;Т] численных значений регулярных составляющих искомых решений. Выполнение этой части метода начинается с выбора в соответствии с процедурой, описываемой последовательностью соотношений (1.204), (1.20), (1.21), величины шага расчета. Выбранный таким образом шаг расчета во-первых, гарантирует существование в рассматриваемом временном интервале точного решения уравнения (1.1) , а также возможность разложения его регулярных составляющих в сходящиеся степенные ряды (1.125); во-вторых, позволяет вычислить верхнюю оценку абсолютной локальной погрешности расчета, а также обеспечить численную устойчивость всей вычислительной процедуры в целом; в-третьих, устанавливает необходимое соответствие между шагом дискретизации заданного интервала исследования [0;Т] и скоростью изменения собственных свойств исследуемой кусочно-степенной модели. Кроме этого, поскольку в пределах выбранного шага степенные ряды (1.125) сходятся абсолютно и равномерно, то в пределах временного интервала расчета подтверждается правомочность и корректность всех преобразований, выполненных ранее в соответствии с аналитической частью метода. Таким образом, кроме всего прочего, предложенная процедура выбора шага расчета осуществляет необходимую взаимосвязь аналитической и численной части метода, а также обеспечивает их правильнное внутреннее взаимодействие.

Выбрав величину шага, в зависимости от заданного уровня предельной погрешности расчета определяют порядок метода, одновременно удовлетворяющий и условию согласованности аналитически-численного метода. Зная шаг и порядок, вычисляют приближенное аналитически-численное решение уравнения (1.1) и в соответствии с процедурой, описанной в четвертом параграфе первой главы, для очередного момента времени из заданного интервала исследования выделяют область, содержащую неизвестное точное решение этого уравнения. Далее ось ординат переносят в конец выполненного шага расчета и рассмотренная процедура аналитически-численного решения повторяется для следующего интервала расчета. Действуя таким образом, исследуется весь заданный интервал исследования [0;Т] . Если по каким-либо причинам количественные показатели построенной в итоге области существования точного решения уравнения (1.1) не устраивают исследователя , то, используя процедуры, изложенные в третьем и четвертом параграфах второй главы, возможно сближение границ данной области, причем степень этого сближения зависит только от собственных внутренних свойств исследуемой модели и технических возможностей используемых средств вычислительной техники.

В том случае, если построение в некотором временном подинтервале из интервала исследования [0;Т] области существования точного решения сопровождается выполнением предельных соотношений (1.318), что указывает на приближение к разрыву второго рода, то, начиная с очередного шага, процедура аналитически-численного решения уравнения (1.1) меняется в соответствии с вычислительным алгоритмом, описанным в третьем параграфе четвертой главы.

Для построения области существования точного решения уравнения динамики кусочно-степенной модели при условии точного учета ее нестационарных параметров и внешних (бесконечнодифференцируемых) воздействий стандартная процедура аналитически-численного решения уравнения (1.1) дополняется преобразованиями и построениями, характер которых определяется спецификой вычислительного алгоритма, описанного в третьем параграфе второй главы.

Аналитически-численное решение задачи параметрического синтеза кусочно-степенных моделей основывается на тех же принципах и подходах, что и описанная выше процедура аналитически-численного решения задачи анализа таких моделей. Вначале, выбрав структуру модели регулятора и место ее включения в обобщенную модель (2.1) исследуемой технической системы, формируют отвечающую специфике причинно-следственных связей решаемой обратной задачи динамики кусочно-степенную модель (2.63). Далее, описав формальным образом синтезируемые параметры степенными рядами (2.65), выполняют преобразования уравнения (2.63) в соответствии со стандартной процедурой аналитической части аналитически-численного метода, формируя изображения известных и части неизвестных решений этого уравнения. Затем, используя соотношения (2.70), (2.71), вычисляют коэффициенты степенных рядов для синтезируемых параметров и неизвестных решений уравнения динамики рассматриваемой кусочно-степенной модели (2.63). Все описанные выше операции и преобразования составляют существо аналитической части предлагаемой процедуры аналитически-численного решения задачи параметрического синтеза. Последующая реализация ее численной части, включая вычисление необходимых оценок, осуществляется по той же схеме, что и при решении прямой задачи динамики. В результате, в дискретные моменты времени из заданного (ограниченного) интервала исследования выделяют области, содержащие точные значения синтезируемых нестационарных параметров и внешних воздействий рассматриваемой кусочно-степенной модели (2.63) исследуемой технической системы.

Дополняя сказанное, следует отметить, что алгоритмы, предложенные во втором и третьем параграфах пятой главы, позволяют расширить класс исследуемых моделей, присоединив к кусочно-степенным моделям модели с функциональной нелинейностью нестепенного характера, а также сделать возможным использование аналитически-численного метода для анализа не только переходных, но и установившихся режимов в нелинейных неавтономных динамических моделях.

Результаты, полученные в третьей части диссертационной работы, отражая вычислительную автономность и высокую степень формализации основных процедур метода, указывают на его широкие дополнительные возможности, выражающиеся в эффективном использовании отдельных математических построений метода для решения задач, не связанных с анализом и синтезом кусочно-степенных моделей.

С учетом вышесказанного, основные результаты диссертационной работы сводятся к следующему:

1 .Разработана методика моделирования существенно нелинейных динамических цепей и систем с помощью их обобщённых и кусочно-степенных моделей различной степени сложности, процедура формирования, критерии выбора и очередность использования которых согласованы с вычислительными особенностями и возможностями предложенного аналитически-численного метода.

2.Разработан одношаговый, переменного порядка аналитически-численный метод анализа и синтеза кусочно-степенных моделей технических систем, обладающий адаптивной процедурой выбора шага, надёжной схемой верхней оценки погрешности производимых вычислений и обеспечивающий возможность выделения областей существования точных решений прямой и обратной задач динамики этих моделей.

3.Разработаны процедуры построения областей существования точных решений прямой и обратной задач динамики кусочно-степенных моделей при условии соответственно точного учёта нестационарных параметров модели и точного воспроизведения заданного желаемого процесса и предложены способы направленного изменения положения границ указанных областей.

4.Предложен способ формализации процедуры аналитически-численного решения прямой и обратной задач динамики кусочно-степенных моделей, основывающийся на новой форме ряда Тейлора для регулярных составляющих искомых решений и декомпозиции этих составляющих по полюсам изображений.

5.Сформированы проблемно-ориентированные алгоритмы исследования плохо обусловленных моделей и моделей с разрывными координатами, расчёта жёстких моделей и моделей с функциональной нелинейностью нестепенного характера, а также анализа предельных значений координат выделенного класса неавтономных нестационарных моделей и спектрального состава выделенной линейной части кусочно-степенных моделей.

С целью обеспечения возможности оперативного использования результатов, полученных в диссертационной работе, созданы комплексы программ, включающие программное обеспечение внутренних процедур и преобразований собственно аналитически-численного метода (4 программы), программные реализации расчётных схем и алгоритмов решения прикладных задач анализа и синтеза выделенного класса кусочно-степенных моделей (15 программ) и набор программ для решения некоторых задач функционального анализа и матричного исчисления, отражающих спектр дополнительных возможностей метода (6 программ). Список этих 25 программ, зарегистрированных в ГосФАП, включён в общий список опубликованных научных работ автора, приведённый в конце диссертационной работы.

Итак в результате проведённого комплекса исследований разработаны теоретические положения математического моделирования и аналитически-численный метод анализа и синтеза кусочно-степенных моделей существенно нелинейных технических систем, т.е. систем, при моделировании которых основными и доминирующими являются их нелинейные и нестационарные свойства. Все этапы моделирования технической системы, начиная с построения её обобщённой и кусочно-степенных моделей различной степени сложности, последующего аналитически-численного расчёта и перебора этих моделей, включая их направленное изменение и дополнение, корректным образом согласованы и в совокупности с созданным программным обеспечением образуют единый проблемно-адаптируемый комплекс моделирования.

Аналитически-численный метод, составляя алгоритмическую и вычислительную основу комплексного подхода к моделированию систем с ярко выраженными нелинейными и нестационарными свойствами, в диссертационной работе всесторонне исследован, математически обоснован и протестирован посредством вычислительного эксперимента с привлечением динамических моделей и систем, наиболее полно и точно отражающих его внутреннюю сущность, характерные особенности и функциональные возможности.

1. Амосов A.A., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высш.шк., 1994. - 544 с.

2. Арбузников В.А., Нудельман П.Я. К вопросу синтеза нелинейных систем // Электронное моделирование. 1982. - N 5. - С.80-83.

3. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высш. шк., 1989. - 447 с.

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М: Наука, 1987.-600 с.

5. Беланов A.A. Решение алгебраических уравнений методом Лобачевского. М.: Наука, 1989. - 96 с.

6. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Лейпциг: Тойбнер, 1979; М.: Наука, 1980. - 975 с.

7. Букашкин С.А. Математическое моделирование нелинейных динамических схем // Изв. вуз. Радиотехника. 1988. - N6. - С. 13-21.

8. Букашкин С.А. Моделирование и синтез нелинейных электронных схем на ЭВМ. Рига.: РКИИГА, 1988. - 280 с.

9. Бычков Ю.А. Численный расчет нелинейных регуляторов. Л.: Энер-гоатомиздат, 1984. - 96 с.

10. Ю.Бычков Ю.А. Расчет систем управления на основе кусочно-степенных моделей. Анализ, синтез, оптимизация. Л. : Энергоатомиздат, 1991.-131 с.

11. И.Бычков Ю.А. Аналитически-численный расчет динамики нелинейных систем. Детерминированные кусочно-степенные модели с сосредоточенными параметрами. Переходные и периодические режимы. Анализ, синтез, оптимизация / СПГЭТУ. СПб., 1997. - 368 с.

12. Вавилов A.A. Структурный и параметрический синтез сложных систем /ЛЭТИ. Л., 1979.- 94 с.

13. Вавилов A.A., Имаев Д.Х. Машинные методы расчета систем управления / ЛГУ. Л., 1981. - 232 с.

14. Вишневский А.И., Руденко B.C., Платонов А.П. Силовые ионные и полупроводниковые приборы. М.: Высш. шк., 1975. - 343 с.

15. Влах И., Сингхал К. Машинные методы анализа и проектированияэлектронных схем / Пер. с англ. А.Ф.Объедкова и др. под ред. А.А.Туркина. -М.: Радио и связь, 1988. 560 с.

16. Воднев В.Г., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Математический словарь высшей школы. М. : Изд-во МПИ , 1988. - 527 с.

17. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.-318 с.

18. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4-е изд. - М.: Наука, 1988. - 552 с.

19. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. 3-е изд. - М.: Наука, 1980. - 198 с.

20. Гофен A.M. Быстрое разложение в ряд Тейлора и решение задачи Коши // Журн. вычисл. мат. и физ. 1982. - Т. 22, N 5,- С.13-22.

21. Гофен А.Н. Численное исследование решений обыкновенных дифференциальных уравнений методом Тейлора : Препринт. М.: ИЛИ АН СССР, 1990. - 28 с.

22. Гофен A.M. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений методом Тейлора и проблема шага : Препринт. М.: ИЛИ АН СССР, 1991.-29 с.

23. Гуревич И.В. Синтез параметрических функциональных преобразователей. М.: Связь, 1977. - 104 с.

24. Данилов Л.В. О синтезе нелинейных электронных схем // Электронное моделирование. 1981. - N 3. - С.29-31.

25. Данилов Л.В., Бороненко Т.А. Моделирование нелинейных цепей // Международный симпозиум по теоретической электротехнике, Ильменау, ГДР. 1983. - Кн. 2. - С.127-129.

26. Данилов Л.В. Ряды Вольтерра-Пикара в теории нелинейных электрических цепей. М.: Радио и связь, 1987. - 224 с.

27. Данилов Л.В., Матханов П.Н., Филиппов Е.С. Теория нелинейных электрических цепей. Л. : Энергоатомиздат, 1990.- 256 с.

28. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. -М.: Наука, 1983. 176 с.

29. Де Борк К. Практическое руководство по сплайнам / Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1985. - 289 с.

30. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутта для жестких нелинейных дифференциальных уравнений / Пер. с англ. А.Ю.Захарова и др. -М.: Мир, 1988.-332 с.

31. Денисов A.M. Обратные задачи для нелинейных обыкновенныхдифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1989. - Т.307, N5. - С. 10401042.

32. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994.-208 с.

33. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. М.: Наука, 1971. - 288 с.

34. Изобов H.A. О продолжимых и непродолжимых решениях нелинейного дифференциального уравнения произвольного порядка // Мат. заметки. -1984.-T.35,N6.-С. 829-839.

35. Икрамов Х.Д. Несимметричная проблема собственных значений.Численные методы. М. : Наука, 1991. - 240 с.

36. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

37. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. - 576 с.

38. Квиникадзе Г.Г. О монотонных правильных и сингулярных решениях нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Докл. семинара Ин-та прикл. мат. им.И.Н.Векуа Тбилис. гос. ун-та. 1983. - Т.17. - С.36-49.

39. Кигурадзе И.Т., Чантурия Т.А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1990. - 432 с.

40. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. М. : Наука , 1984.- 352 с.

41. Краснощеков П.С., Петров A.A. Принципы построения моделей. -М.: Изд-во МГУ, 1983. 264 с.

42. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. М.: Наука, 1977. - Т.2. - 399 с.

43. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. 11-е стереотип, изд. М.: Наука, 1975.- 431 с.

44. Ланнэ A.A. Синтез нелинейных систем // Электронное моделирование. -1980.-N 1.-С.60-68.

45. Ланнэ A.A. Нелинейные динамические системы : синтез, оптимизация, идентификация. Л.: ВАС, 1985. - 286 с.

46. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. с.

47. Математическая энциклопедия / Гл. ред. И.П. Виноградов. М. : Сов. энцикл., 1982 . - Т. 3. - С. 192-194.

48. Математическое моделирование (программа "Университеты России") / Ред. кол.: А.Н.Тихонов, В.А.Садовничий и др. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1993.-332 с.

49. Мацумото Т. Хаос в электронных схемах // ТИИЭР. 1987,- Т.75, N 8.-С. 25-36.

50. Мелса Дж.Л., Джонс Ст.К. Программы в помощь изучающим теорию линейных систем управления / Пер. с англ. В. М. Герасимова . М.: Машиностроение, 1981. - 200 с.

51. Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965. - 383 с.

52. Моделирование и оптимизация на ЭВМ радиоэлектронных устройств / З.М.Бененсон, М.Р.Елистратов, Л.К.Ильин и др. М.: Радио и связь, 1981. -272 с.

53. Мустафа Г.М., Шаранов И.М. Математическое моделирование тири-сторных преобразователей // Электричество. 1978. - N 1. - С.40-45.

54. Нагорный Л.Я. Моделирование электронных цепей на ЭВМ. Киев.: Техника, 1974. - 360 с.57.0ртега Дж. , Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений / Пер. с англ. И.Б.Конюховой под ред. А.А.Абрамова. М.: Наука, 1986. - 288 с.

55. Паркер Т.С., Чуа Л.О. INSITE программный инструментарий для анализа нелинейных динамических систем // ТИИЭР. - 1987. - Т.75, N 8. -С.113-123.

56. Петренко А.И., Власов А.И., Тимченко А.П. Табличные методы моделирования электронных схем на ЭЦВМ. Киев.: Вища школа, 1977. - 189 с.

57. Петров Б.Н., Крутько П.Д., Попов Е.П. Построение алгоритмов управления как обратная задача динамики // Докл. АН СССР. 1979. - N5. -С.247.

58. Петров Б.Н., Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели // Изв. АН СССР Техн. кибернетика. 1980. - N5. -С. 149-155.

59. Попов Ю.П., Самарский A.A. Вычислительный эксперимент. М.: Знание, 1983. - .210 с.

60. Пупков К.А., Капалин В.И., Ющенко A.C. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. М.: Наука, 1976. - 448 с.

61. Пупков К.А., Шмыкова М.А. Анализ и расчет нелинейных систем с помощью функциональных степенных рядов. М.: Машиностроение, 1982. -150 с.

62. Пухов Г.Е. Дифференциальные преобразования функций и уравнений. Киев.: Наук, думка, 1980. - 419 с.

63. Пухов Г.Е. Дифференциальные спектры и модели. Киев.: Наук, думка, 1990. - 183 с.

64. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979. - 208 с.

65. Самарский A.A. Современная прикладная математика и вычислительный эксперимент// Коммунист. 1983. - N 18. - С. 31-42.

66. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989.430 с.

67. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения / Пер. с англ. Ю.А. Кузнецова, Д.Н. Фаге. М.: Мир, 1980. - 454 с.

68. Такеути Т. Теория и применение вентильных цепей для регулирования двигателей / Пер. с англ. Л.: Энергия, 1973. - 248 с.

69. Теоретические исследования систем активного магнитного подвеса с минимальным потреблением энергии. Заключительный отчет по теме N 418638.-Псков,1986. 76 с.

70. Тихонов А.Н. Математическая модель // Математическая энциклопедия, Т.З Сов. энцикл., 1982.- С. 210-212.

71. Тихонов А.Н., Костомеров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике. М.: Наука, 1984. - 227 с.

72. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1986. 287 с.

73. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений / Пер. с англ. В.В.Воеводина и В.Н.Фадеевой М.: Наука, 1970. - 564 с.

74. Управляемые полупроводниковые вентили / Джентри Ф., Гутц-виллер Ф., Голоньяк Н., Э. фон Застров. М.: Мир, 1967. - 182 с.

75. Фильчаков П.Ф. Численные и графические методы прикладной математики. Киев.: Наук, думка, 1970. - 791 с.

76. Форсайд Дж. и др. Машинные методы математических вычислений / Пер. с англ. Х.Д.Икрамова М.: Мир, 1980. - 279 с.

77. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи / Пер. с англ. И.А. Кульчицкой, С.С. Филиппова (ред.). М.: Мир, 1990. -512 с.

78. Хинчин А.Я. Восемь лекций по математическому анализу. М.: Наука, 1977. - 280 с.

79. Ходжаев К.III. Колебания нелинейных электромеханических систем //Вибрации в технике. -М., 1979. Т.2. - С. 100-128.

80. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ / Пер. с англ. Х.Д.Икрамова, А.В.Князева, Е.ЕТыртышникова. М.: Мир, 1989,- 655 с.

81. Численные методы решения некорректных задач / А.Н.Тихонов, А.В.Гончарский, В.В.Степанов, А.Г.Ягола. М.: Наука, 1990. - 286 с.

82. Чуа JI.O. Синтез новых нелинейных схемных элементов // ТИИЭР. -1968. Т.56, N8 - С.71-88.

83. Чуа JI.O., Пен Мен Лин. Машинный анализ электронных схем / Пер. с англ. Под ред. В.И.Ильина. М.: Энергия, 1980. - 512 с.

84. Чуа Л.О., Паркер Т.С. Введение в теорию хаотических систем для инженеров // ТИИЭР. 1987. - Т. 75, N 8. - С. 6-21.

85. Шетсен М. Моделирование нелинейных систем на основе теории Винера//ТИИЭР. -1981. -N 12. С.44-62.

86. Barton D., Wilier I.M., Zahar R.V.M. Taylor Series Methods for Ordinary Differential Equations an evaluation // Math. Software. New York: Acad. Press. -1971. - P.369-390.

87. Barton D., Wilier I.M., Zahar R.V.M. The Automatic Solution of System of Ordinary Differential Equations the Method of Taylor Series // Comput. J. 1971. -Vol.14, N3.-P.243-248.

88. Chang Y.F. Solving stiff systems by Taylor Series // Appl. Math, and Comput.- 1989. 31 Spec. Issue. - P.251-269.

89. Chua L.O. Nonlinear Circuit Theory // Proc. 1980. European Conf. on

90. Circuit Theory and Design. 1978. - Vol.11. Gust Lectures, N 4-8. - P.65-172.

91. Chua L.O. Nonlinear Circuits // IEEE Trans. 1984. - Vol. CAS-31, N1. -P.69-87.

92. Chua L.O., Tang J.S. Nonlinear Oscillation via Volterra Series // IEEE Trans. 1982. - Vol. CAS-29, N3. - P.150-168.

93. Corliss G., Chang Y.F. Solving Ordinary Differential Equations Using Taylor Series // ACM Trans. Math. Software. 1982. - Vol.8, N2. - P.l 14-144.

94. Fliess M. A Note on Volterra Series for Nonlinear Differential Systems // IEEE Trans. 1980. - Vol. CAS-25 , N 2. - P.l 16-117.

95. Lefever R., Nicoliz G. Chemical Instabilities and Systained oscillations // J. theor. Biol.-1971. Vol.30. - P.267-284.

96. Leon B.I., Shaefer D.I. Volterra Series and Picard Iterations for Nonlinear Circuit and System // IEEE Trans. 1978. - Vol. CAS-25 , N 9. - P.789-793.

97. Rugh W.J. Nonlinear Systems Theory: the Volterra / Wiener Approach. Baltimore.: Hopkins University Press, 1981. - 281 p.

98. Vityaz O., Porra V. Testing of time domain simulators for nonlinear electronic circuits // Helsinki University of Techonology Faculty of Electrial Engineering, 1988. Report 4. -112 p.

99. Список работ автора по теме диссертации

100. Кадочников А.А., Григорьев О.И., Щербаков С.В. Тиристорный коммутатор // Организация электроснабжения в условиях перерывов и значительных отклонений напряжения питающей сети: всесоюз. науч. техн. семинар. - Саранск, 1987. - С. 18 - 20.

101. Кадочников А.А., Щербаков С.В. Исследование токовой загрузки вентилей инвертора с АИГИМ // Вклад специалистов в ускорение научно-технического прогресса: науч. техн. конф. - Псков, 1987. - С. 151 - 152.

102. Бычков Ю.А., Щербаков С.В. Оценка точности аналитически численных решений уравнений динамики нелинейных систем // Изв. вузов. Приборостроение. - 1990. - №9. - С. 24 - 27.

103. Щербаков C.B. Выделение аналитически-численным методом особых точек в реакциях нелинейных цепей // Исследование электротехнологических и преобразовательных устройств. Л., 1991.-е. 12 - 17. - (Изв. ЛЭТИ; Вып. 439).

104. Щербаков C.B., Бычков Ю.А. Существование, единственность, устойчивость и оценка точности решения // Расчет систем управления на основе кусочно степенных моделей. Анализ, синтез, оптимизация / Ю.А. Бычков. -Л., 1991. - §3.-С. 39-52.

105. Бычков Ю.А., Щербаков C.B. Построение с заданной точностью и с оптимальным шагом расчета переходных процессов в жестких цепях аналитически-численным методом. Линейные цепи // Теорет. электротех. 1992.-№51. - С.З - 18.

106. Бычков Ю.А., Щербаков C.B. Непосредственное определение производных высших порядков // Математика. СПб., 1992. - С. 29 - 34,- (Изв. ЭТИ; Вып. 449).

107. Бычков Ю.А., Щербаков C.B., Королев A.B. Программа возведения полинома Тейлора в дробно-рациональную степень / Гос. фонд алгоритмов прогр.; №50920000151.-М., 1992.

108. Ю.Бычков Ю.А., Щербаков C.B., Королев A.B. Программа перемножения полиномов Тейлора в дробно-рациональных степенях / Гос. фонд алгоритмов прогр.; №50920000152. -М., 1992.

109. П.Бычков Ю.А., Щербаков C.B. Построение области существования точного решения нелинейного интегродифференциального уравнения при анализе динамики систем аналитически-численным методом // Изв. вузов. Приборостроение. 1993. - №4. - С. 13-17.

110. Бычков Ю.А., Щербаков C.B. Построение с заданной точностью и с оптимальным шагом расчеты переходных процессов в жестких цепях аналитически-численным методом. Нелинейные цепи // Теорет. электротех. --№52.-С. 3-17.

111. Бычков Ю.А., Щербаков C.B. Определение с заданной точностью на основе рядов Тейлора значения одномерного интеграла // Изв. Нац. АН Украины. Электрон, моделирование. 1994. - Т. 16, №5 - 6. - С. 11-17.

112. Бычков Ю.А., Щербаков C.B. Аналитически-численный метод анализа математических моделей физических систем и прогноза возникновения в них чрезвычайных ситуаций // Критерии экологической безопасности: науч.-практ. конф. СПб., 1994. - С. 138 - 140.

113. Бычков Ю.А., Щербаков C.B. О следах степени матрицы, вычетах и разложении функции в ряд Лорана// Математика. СПб., 1994. - С. 24 -29. - (Изв. ГЭТУ; Вып. 472).

114. Бычков Ю.А., Щербаков C.B., Королев A.B. Программа выделения областей существования корней алгебраического уравнения / Гос. фонд алгоритмов прогр.; №50940000060,- М., 1994.

115. Бычков Ю.А., Щербаков C.B., Королев A.B. Программа расчета уравнений динамики нелинейной цепи или системы аналитически-численным методом ci переменным порядком. / Гос. фонд алгоритмов прогр.; №50940000061. М., 1994.

116. Бычков Ю.А., Щербаков C.B., Королев A.B. Программа расчета уравнений динамики нелинейной цепи или системы с заданной погрешностью / Гос. фонд алгоритмов прогр.; №50940000062. М., 1994.

117. Бычков Ю.А., Щербаков C.B., Королев A.B. Программа расчета с оптимальным шагом уравнений динамики нелинейной цепи или системы / Гос. фонд алгоритмов прогр.; №50940000063. М., 1994.

118. Бычков Ю.А., Щербаков C.B., Королев A.B. Программа вычисления следа степени матрицы/Гос. фонд алгоритмов прогр.; №50940000065. М., 1994.

119. Бычков Ю.А., Щербаков C.B., Королев A.B. Программа выделения области существования точного значения одномерного интеграла / Гос. фонд алгоритмов прогр.; №50940000066. М., 1994.

120. Бычков Ю.А., Щербаков C.B., Королев A.B. Программа вычисления с заданной локальной погрешностью значения одномерного интеграла / Гос. фонд алгоритмов прогр.; №50940000067. М., 1994.

121. Бычков Ю.А., Щербаков C.B., Королев A.B. Программа непосредственного определения производных высших порядков / Гос. фонд алгоритмов прогр.; №50940000068.-М., 1994.

122. Бычков Ю.А., Щербаков C.B., Королев A.B. Программа разложенияфункции в ряд Тейлора в окрестности заданной точки / Гос. фонд алгоритмов прогр.; №50940000069.-М., 1994.

123. Бычков Ю.А., Щербаков C.B., Королев A.B. Программа разложения дробно-рациональной функции комплексной переменной в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки / Гос. фонд алгоритмов прогр.; №50940000070. -М., 1994.

124. Бычков Ю.А., Щербаков C.B. Аналитически-численный метод анализа динамики цепей и систем // Актуальные вопросы образования, науки и техники: науч. и науч.- метод, конф. Псков, 1995. - 4.2. - С. 181 -184.

125. Бычков Ю.А., Щербаков C.B., Королев A.B. Программа унификации описания нелинейных свойств нелинейной системы с помощью функционально-степенных рядов / Гос. фонд алгоритмов прогр.; №50950000062.-М., 1995.

126. Бычков Ю.А., Щербаков C.B. Вычислительные алгоритмы построения фазовых портретов нелинейных динамических систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1996. - №2. - С. 173 - 178.

127. Бычков Ю.А., Щербаков C.B. Об определении области сходимости ряда Лорана и вычетов в полюсах функции // Фундаментальные математические модели и их применение в электронике и автоматике. СПб., 1996. - С. 30 - 36. - (Изв. ТЭТУ; Вып. 501).

128. Бычков Ю.А., Щербаков C.B. Расчет нелинейных моделей с невыделенной линейной частью при нулевых предначальных условиях // Математическое моделирование и оптимизация электротехнических устройтв,-СПб., 1996. С. 60 -67. - (Изв. ТЭТУ; Вып. 497).

129. Бычков Ю.А., Щербаков C.B., Королев A.B. Программа приближенного решения с заданным уровнем предельной локальной погрешности уравнений динамики блока питания устройства воздушно-плазменной резки / Гос. фонд алгоритмов прогр.; №50960000007. М., 1996.

130. Бычков Ю.А., Щербаков C.B., Королев A.B. Программа определения области существования точного решения уравнений динамики блока питания устройства дуговой сварки / Гос. фонд алгоритмов прогр.; №50960000007. -М.,1996.

131. Щербаков C.B., Бычков Ю.А. Анализ переходных режимов в кусочно-степенных моделях с некоторыми особенностями // Там же. -Гл.З-С. 129- 150.

132. Бычков Ю.А., Щербаков C.B. Аналитически-численный расчет переходных режимов в нелинейных цепях с сосредоточенными параметрами // Математическое моделирование в электротехнике: 2-ая Междунар. на-уч.-техн. конф. Львов, 1997. - С. 129-131.

133. Щербаков C.B. О построении фазовых траекторий нелинейных динамических цепей // Тр. Псковского политехи, ин-та,- 1997.-№1.-С. 38- 42.

134. Бычков Ю.А., Щербаков C.B. Анализ с помощью функционально-степенных рядов динамики нелинейных систем с интегрирующими звеньями // Изв. вузов. Приборостроение. 1997. - №4. - С. 19 - 23.

135. Бычков Ю.А., Щербаков C.B. Повышение точности учета возмущений при анализе динамики нелинейных цепей аналитически-численным методом // Изв. Нац. АН Украины. Электрон, моделирование. 1998. - Т. 20,№2.-С. 62-68.

136. Бычков Ю.А., Щербаков C.B. Анализ цепей с нелинейностью нестепенного характера на основе сопряженных систем и функционально-степенных рядов // Изв. Нац. АН Украины. Электрон, моделирование. -1998. Т.20, №3. - С. 17-25.