автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Алгоритмы вычисления цен опционов в дискретных моделях со скачками

На правах рукописи

005057196

Никоненко Наталья Дмитриевна

АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЦЕН ОПЦИОНОВ В ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЯХ СО СКАЧКАМИ

Специальность: 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону - 2012

005057196

Работа выполнена на кафедре высшей математики и исследования операций Южного федерального университета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Белявский Григорий Исаакович

Угольницкий Геннадий Анатольевич

доктор физико-математических наук, профессор, ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет», заведующий кафедрой прикладной математики и программирования

Русаков Олег Витальевич

кандидат физико-математических наук, доцент, ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный университет», кафедра теории вероятностей и математической статистики

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО «Самарский государственный университет», г. Самара

Защита диссертации состоится «8» ноября 2012 г. В 14 часов 20 минут на заседании диссертационного совета Д212.208.22 при Южном федеральном университете по адресу:

347928, ГСП-17 А, Ростовская область, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д- 406.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке Южного федерального университета по адресу: 344000, Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «_

Ученый секретарь

диссертационного совргаа^?!

ЬУ1

а

% -ой

\ 5- Ь

Д 212.208.22, доктор ^яЩс^Ш'Ш наук, профессор V

2012 г.

А.Н. Целых

1!У

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическое моделирование, численные методы и алгоритмы решения, основанные на нем, в области принятия оптимальных решений на финансовых рынках испытывают сейчас интенсивный период развития, особенно в той части, которая связана с современным стохастическим анализом. Отметим, что именно методы общей теории случайных процессов и теории мартингалов оказались наиболее подходящими для адекватного описания эволюции основных и производных ценных бумаг. Интенсивные исследования в данной области в России начались в начале 90-х годов XX века на семинаре академика А.Н. Ширяева в Математическом институте им. В.А.Стеклова Российской Академии наук. Активно в данном направлении работают следующие ученые: A.A. Гущин, Ю.М. Кабанов, Д.О. Крамков, A.B. Мельников, A.A. Новиков, В.Н. Тутубалин, В.М. Хаме-тов, A.C. Черный, О.В. Русаков и др., на юге России - Г.И. Белявский, И.В. Павлов, Д.Б. Рохлин, O.E. Кудрявцев и др. Среди иностранных ученных выделим Ф. Далбаена, Ж. Жакода, Д. Зондермана, М. Иора, И. Каратзаса, М. Мадана, Ю. Мишуру, К. Стрикера, X. Фельмера, В. Шахермайера, М. Швейцера, А. Шида, С. Шрива.

Последние двадцать лет модели, в которых применяются процессы Ле-ви, активно используются при описании рыночных ситуаций как в риск менеджменте, так и при определении цен опционов. Преимуществом данных моделей является с одной стороны, более реальная оценка рисков, с другой стороны возможность моделирования скачков цен активов. В диссертации используются модели, в основе которых лежат экспоненциальные процессы Леви и их обобщения. Вычислительные методы получены за счет дискретизации по времени и состоянию, для их реализации используются древовидные алгоритмы. Поскольку такие алгоритмы легко распараллеливаются, то исследования диссертации приводят к построению быстрых алгоритмов расчета. Поэтому выбранная тема диссертации является актуальной.

Объектами исследования настоящей диссертации являются математические модели с рандомизированной остановкой, экспоненциальные процессы Леви и их обобщения, вычислительные алгоритмы и программные комплексы.

Цель работы. Целью диссертации является разработка вычислительных алгоритмов решения задач, связанных с вычислением условных математических ожиданий и оптимальной остановкой при среднеквадратичном хеджировании.

Для достижения цели необходимо было:

1) предложить модель и решение задачи о рандомизированной остановке; разработать алгоритм ее решения, основанный на динамическом программировании Р. Беллмана;

2) предложить дискретизацию по времени и состоянию экспоненциальных процессов Леви с целью получения эффективных алгоритмов расчета математических ожиданий по мартингальным мерам для вычисления справедливых цен широкого класса финансовых обязательств; для расчета цен

з

финансовых обязательств использовать их аппроксимацию многочленами в результате получить аналитические реккурентные формулы, которые позволяют проводить вычисления с высокой скоростью и точностью; проанализировать модели, которые обобщают экспоненциальные процессы Леви;

3) разработать быстрые алгоритмы расчета справедливых цен и реализовать их в виде программного комплекса.

Методика исследований. При решении данных задач применялись методы теории вероятностей, стохастического анализа, теории мартингалов, выпуклого анализа, функционального анализа, топологии (компактификация по Александрову), теория алгоритмов и структур данных. В качестве основного алгоритмического языка использовался объектно-ориентированный язык С++.

Научная новизна (указаны страницы в диссертации).

- В области математического моделирования:

1) математическая модель задачи о рандомизированной остановке, введено новое понятие о рандомизированной остановке, которая не является марковским моментом или моментом остановки (стр. 31—33);

2) новые математические модели случайных процессов, построенных на базе процессов Леви, в этих моделях приращения остаются стационарными, но становятся зависимыми; таким образом, расширяются возможности моделирования реальных данных по сравнению с процессами Леви, в которых приращения являются стационарными и независимыми (стр. 73, 92);

3) для этих моделей получены условия существования преобразования Эше-ра и мартингальной меры, вычислено преобразование Эшера при условии его существования и предложена новая методика определения эквивалентной мартингальной меры, которая позволяет при решении задачи о среднеквадратичном хеджировании минимизировать наименьшую оценку сверху средне-квадратического критерия (стр. 73-85).

- В области численных методов:

1) рандомизированная остановка позволила задачу об остановке случайного процесса рассматривать как задачу о минимаксе и применить фундаментальную теорему фон Неймана; в результате предложен эффективный вычислительный метод на базе динамического программирования и обобщенного градиентного спуска (стр. 33-51);

2) численный метод для вычисления условных математических ожиданий на траекториях процессов Леви, использующий стохастическую интерпретацию метода сеток с равномерным шагом, причем шаг выбирается таким образом, чтобы в зависимости от свойств конкретных процессов Леви, на каждом элементе разбиения либо есть скачок, либо его нет (два и более скачка невозможны) (стр. 60-65);

3) численный метод, основанный на дискретизации процессов Леви по состоянию; этот метод существенно отличается от сеточных методов, поскольку приводит к случайному разбиению временной шкалы (стр. 66-73).

- В области программных комплексов: разработаны быстрые алгоритмы расчета справедливых цен, использующие древовидные технологии, позволяющие производить расчеты для сложных моделей, исследованных в диссертации в реальном времени. Данные алгоритмы реализованы в программном обеспечении для кластера (при использовании технологии MPI и ОрепМР) и для ПК (с использованием технологии ОрепМР и без нее) (стр. 93-135).

Основные положения, выноси»! ые на защиту (указаны страницы в диссертации):

— математическая модель задачи о рандомизированной остановке; вычислительный метод ее решения, основанный на сочетании динамического программирования Р. Беллмана и обобщенного градиентного спуска (стр.31—51);

— модели, построенные на базе экспоненциальных процессов Леви, условия существования мартингальной меры и преобразования Эшера для данных моделей, новая методология определения эквивалентной мартингальной меры (стр. 73-85, 92, 93);

— вычислительные алгоритмы, использующие дискретизацию по времени и состоянию экспоненциальных процессов Леви и аппроксимацию многочленами финансовых обязательств (стр. 60-73);

— быстрые алгоритмы расчета справедливых цен и программный комплекс на их основе (стр. 114-135).

Теоретическая и практическая ценность. Доказанные в работе теоремы представляют ценность для развития аппарата стохастического анализа в области вычисления безарбитражных цен опционов. Результаты диссертации могут быть применены на рынке ценных бумаг при построении хеджей для опционов Европейского и Американского типа. Полученные алгоритмы могут быть применены в ситуациях оценки глобального риска и при решении ряда других задач, связанных с процессами Леви.

Достоверность результатов работы подтверждается:

1) строгими доказательствами, результатами моделирования и обработки данных;

2) апробацией результатов на всероссийских и региональных научных конференциях и семинарах.

Реализация результатов работы. Полученный в работе программный комплекс «Программная реализация параллельных алгоритмов вычисления цен опционов в моделях со скачками в дискретном времени» присутствует в фонде компьютерных изданий ЮФУ (per. № 613).

Апробация диссертации. Результаты, относящиеся к диссертации, были изложены автором на следующих всероссийских и региональных научных конференциях и семинарах:

1. Научно-практическая конференция «Неделя науки». Конференция проводилась с 20 по 27 апреля 2008 года в ЮФУ (г. Ростов-на-Дону). Название доклада: «Различные виды хеджирования для класса моделей неполных рынков».

2. Одиннадцатый Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия). Конференция проводилась с 1 по 8 мая 2010 года в г. Кисловодск. Название доклада: «Хеджирование для пу-ассоновской модели (B,S) - рынка».

3. Одиннадцатый Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия). Конференция проводилась с 16 по 23 октября 2010 года в г. Сочи-Дагомыс. Название доклада: «Вычисление оптимального среднеквадратичного хеджа для минимальной меры при дискретной аппроксимации экспоненциального процесса Леви».

4. Двенадцатый Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (осенняя открытая сессия). Конференция проводилась с 1 по 8 октября 2011 года в г. Сочи-Адлер. Название доклада: «Достаточные условия существования решения задачи аппроксимации заданной последовательности случайных величин стохастическими интегралами».

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, в том числе 4 без соавторов. Из них 6 публикаций в российских реферируемых журналах, входящих в список ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 149 страницах, включает в себя 21 рисунок, 6 таблиц; состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы из 122 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении содержится обоснование актуальности темы, определена цель, а также основные научные положения, составляющие предмет исследования.

В первой главе решается задача о рандомизированной остановке при среднеквадратичном хеджировании.

Рассмотрим фильтрованное вероятностное пространство на котором задан базовый адаптированный процесс S = (■■>', ),20, причем S¡eL2(n,P). Последовательность стохастических интегралов G(y) = {G¡(y),...,GN(y)} для предсказуемой последовательности у определяется

равенствами Gn(y) = '^y.ASi, и = 1,2,Будем считать, что е L2(Q,P).

í=I

Введем определение рандомизированной остановки.

Определение 1. Будем называть рандомизированной остановкой век-

я

тор 1= .....9/Л, такой что:^?! = '<9/

Определение 2. Рандомизированной остановкой, отделенной от нуля,

n

назовем вектор 9 = {?i>—»?*},где Хд = l,?f ^£>0

1-1

Рассмотрим аппроксимацию конечной последовательности / = {/„...,fN}, /еL'v = 1.ХП,Р)кL,(0,P)y --yL2(Q,P) случайных величин последовательностью стохастических интегралов при фиксированной рандомизированной остановке q. Скалярное произведение в Ls определим равенством

(i,6)iV| ; = согласованная норма определяется равенством

aILv( [Kill • Далее пространство L" с этой нормой будем обозначать

Lh(q). Последовательность G(y) е. L'"' (q) и образует в этом пространстве линейное подпространство Н.

Далее будем предполагать, что базовый процесс S удовлетворяет условию невырожденности:

(E^ASjF^f <SEF(ASl/FtJ,S 6(0,1). (1)

Теорема 1 (в диссертации теорема 1.1). Процесс S, который изменяется по закону St где ht = cr£t, £,t - независимые и одинаково распределенные случайные величины по закону Пуассона с интенсивностью-*, яв~ ляется невырожденным, если выполняется условие 3<5е(0,1):

5 >-^--Ц-. (2)

В диссертации показано, что пространство L*(q) является гильбертовым пространством.

Аппроксимация рассматривается в смысле нормы Ls (q), то есть необходимо найти

min||/-G(x)||^V(?i повеем G(x)etf. (3)

В диссертации показано, что подпространство Н замкнуто, поэтому задача (3) имеет решение и притом единственное. Рассмотрим задачу:

min max\f-x-G(y)\~ /4-1

leS.GlrlüHjeglä)11 " 'Hi"(,) >

где f-x = {fx-x,...,/л.-x}, Q{S) = j|>, = 1 ,q, > 5 > 0

Задачу (4) будем рассматривать как задачу об оптимальной рандомизированной остановке, отделенной от нуля, при среднеквадратичном хеджировании динамического финансового обязательства (последовательность /), последовательность у — оптимальная стратегия воспроизведения финансового обязательства. Базовый процесс S представляет собой дисконтированную цену рискового актива, х = Х0 — начальный капитал портфеля. Вектор q = {ql,.~,q!i} представляет собой смешанную стратегию покупателя финансового обязательства, то есть покупатель предъявляет к исполнению финансовое обязательство в момент времени /с вероятностью q,.

Для решения задачи (4) целесообразно перейти от задачи на минимакс к задаче на максимин. Для этого воспользуемся теоремой о минимаксе фон Неймана.

Введем обозначение целевой функции задачи об оптимальной рандо-

n

мизированной остановке: IV(x,G,q) = ~Y_,q,Er{f, ~(x+Gt(y)))2. Множество О -

выпуклый компакт. Множество RxH является выпуклым множеством, но не является компактом. Чтобы преодолеть эту трудность, применим компакти-фикацию Александрова. Пространство R является хаусдорфовым пространством, пространство LN(q) также является хаусдорфовым. RxL*(q) - хаус-дорфово как декартово произведение хаусдорфовых пространств. Н является хаусдорфовым как подпространство хаусдорфого пространства. Ком-пактификация осуществляется присоединением к RxH «бесконечно удаленной точки»: Äx# = Äx#[J{oo,oo}.

Доопределим функцию W(x,G,q) по непрерывности в точке («>,<») IV(co,G,q) = J¥(x,co,q)=JV(colcc,q) = co. Таким образом, функция Щх,G,q) непрерывная и выпуклая на выпуклом компакте RxH . Следовательно, теорема фон Неймана применима, то есть:

min_ _ max |/"-дг —GMl!"» = max min \f-x-G(v)f,w, , f<;\

При фиксированной стратегии Ч рассмотрим задачу:

где У - предсказуемая последовательность.

Вместо задачи (6) будем рассматривать последовательность более простых задач. Определим последовательность функций от случайных величин:

NN2 /

fjl.(x) = min YtV.Ef

f-\Z rAsj

i-t+i

.V e F.,

(7)

Если определение (6) корректно, то функционалы (7) удовлетворяют рекуррентным стохастическим уравнениям Беллмана

!р4 (*) =ш.£р(91(/,-ху- + . (8)

Утверждение 1 (в диссертации утверждение 1.1). Для любых фиксиро-

ванных q е Q(S) задача min Я,

имеет решение

для всех к, следовательно определение (7) корректно и

(х) = акх2 + Ькх + ск, причем оптимальное значение у'кн (х) = вкх + 9к, где ак,Ьк,ск,вк,9кеЕк.

П.

EP(ciM(ASM)2/Ft) 2Ep(aM(ASMy-/Fk)'

aN = <?,v А- =-2qKfN,c„ = qK(fNf , ak=Ep(aM{ekASM+\flFt) + qk,

h = EP(hk^9kASkil +l)/Fk)-2qJk + 29kEP(at^ekASM+l)ASkjFl), ct=EMFt) + ^Ep{ak^A%^lFk) + 9kEp{bktiASkjFk) + qk(fk)\

в _ E,{aMAStJFt) =_ Ep{bMASM!Fk) где " "

(9) (10)

(И)

Утверждение 2 (в диссертации утверждение 1.2). Если Рассмотрим задачу:

тахтшУ^о £„ « ('■') Г?

2>,=1,?,><5>0

Г Г ' ^

V К I-1 ))

(12)

Целевая функция задачи (12) = * +

- во-

гнутая недифференцируемая функция, поскольку является максимумом ли-

нейных функций. Введем обозначение хХя) - ¿V

, где

(*Ч?). Г'Й» - решение внутренней задачи.

Для решения (12) применим метод проекции обобщенного градиента:

(13)

В (13) ГТе(Л)(") проекция на множество , ё(.Я)-обобщенный градиент:

ХМ

УхАя),

Шаговые множители удовлетворяют соотношению: К

к= О

Как показано в диссертации

(/,?'+А,

(14)

В (14) вектор I -

п

; (•,•) — скалярное произведение в К".

Пусть мера ^такова, что Справедливо

Утверждение 3 (в диссертации утверждение 1.3). Коэффициенты а1 являются константами, коэффициенты равны нулю.

Из утверждения следует, что формулы (10) и (11) приобретают более простой вид:

Гч (15)

"к = "м + »

ьк=ЕАьк«/рк)-2<1к/к, (16)

^ = ) + %аыЕгЦА5м ) + ) + ь (Л )2,

ГД£ ' 2 чМ^пУ/Ь)-

Отсюда для мартингальной меры условие отделимости от нуля смешанной остановки может быть снято. Таким образом, для мартингальной меры вычисления существенно упрощаются.

Алгоритм 1 (решения задачи (5) ^н^'^й!/-^-6^)!!^,,) (в диссертации алгоритм 1.1).

1. По заданному вектору ц' := д) проводим вычисления. Определим коэффициенты в финальный момент времени ая,Ьк,ск по формулам :

ах = А- = ~1ЧяЪ>сы = чА/хУ~ -

2. Вычисление коэффициентов а^б^.с,,^,^ по формулам:

2.1. Если исходная мера не является мартингальной: (10), (11).

2.2.Если исходная мера является мартингальной: (15), (16).

3. Вычисляем оптимальное значение:*" = ——.

2 а0

4. Вычисляем оптимальное у'ы(х) = вкх + 9к,к = 0,..,ЛГ-1.

5. Вычисляем(ч)-ЕР

/; ¡1 •«'=.

6. Определяем шаг А,.

7. Вычисляем д1*' по формуле (14).

8. Если Ц^'*1 -9'|| , ^ е (г—заданная точность), то алгоритм завершен, иначе переход к пункту 1 алгоритма </ := д"1.

Далее в диссертации рассматривается иное достаточное условие решения задачи (3), отличное от условия невырожденности.

Пусть (Х")„6|Ч— последовательность Коши в Я. Пространство II"'(д) является полным, следовательно, существует элемент X е ¿Л(д)— предел последовательности.

Утверждение 4 (в диссертации утверждение 1.4). Хе £*(?) является мартингалом относительно всех мартингальных мер.

Утверждение 5 (в диссертации утверждение 1.5). Если множество мартингальных мер не пусто <Р'(Р) * 0 (рынок является безарбитражным), то

всякий мартингал допускает представление Х„ =Х0 +^ук(.а>)Л5к, (процесс

1-1

5— дисконтированный).

Если известна смешанная стратегия и ее исполнение происходит в момент времени N, то есть ух = 0,; = 1,..,//-1, то задачу можно рассматривать как задачу определения глобального риска в случае хеджирования Европейского опциона.

В заключении главы рассматриваются примеры сравнения рандомизированной остановки и марковской остановки. Как и следовало ожидать, цена

ю

полученная посредством решения задачи о рандомизированной остановке меньше, чем при марковской остановке. Это можно объяснить тем, что задача об оптимальной марковской остановке имеет более «жесткий» вид, чем задача об оптимальной рандомизированной остановке.

Во второй главе рассматривается задача вычисления условного математического ожидания:

К(/,5) = £(/(Яг)/=5), (17)

где /— ограниченная функция,'^— экспоненциальный процесс Леви =5ое '. Заметим, что задача (17) решается при условии, что мера мартин-гальная, если исходная мера не является мартингальной, тогда возникает задача о переходе к эквивалентной мартингальной мере. В силу свойств процесса Леви задачу (17) можно рассматривать как задачу вычисления: У (г, 5) = £/(&*'-). (18)

Задачу вычисления условного математического ожидания можно рассматривать как задачу определения безарбитражной цены хеджирования дисконтированного финансового обязательства /№) в момент времени ' при условии, что в этот момент времени ^ = ^. При этом процесс - дисконтированная цена рискового актива на финансовом рынке.

В диссертации применяется два подхода к получению дискретизации процесса Леви:

1) дискретизация по времени;

2) дискретизация по состоянию.

Показано, что дискретизация по времени более эффективна в случае конечной меры Леви, а дискретизация по состоянию больше подходит для бесконечной меры Леви.

Дискретизация процессов Леви по времени.

При дискретизации по времени рассмотрим регулярные промежутки времени 0,А,2А,.... Получаем случайное блуждание: .

К являются одинаково распределенными случайными величина-

ми, распределение которых такое же, как распределение Хл и относятся к классу безгранично делимых распределений. Рассмотрим экспоненциальный процесс Леви на интервале [О,Г-г]. Разобьем данный интервал на Ит~' частей

с шагом дискретизации Л - ^ г ' . Тогда Ьк примет вид :

=тА + 8„+о5^ (19)

где независимы и представимы в виде:

(20)

7=1

где — независимые и одинаково распределенные случайные величины по закону Пуассона с интенсивностью ХА; »7.— независимые и одинаково распределенные случайные величины с законом распределения Р(с1х); 5 к —

п

стандартные нормальные величины; и <5^ - независимые случайные величины. В результате получим дискретный процесс:

Л', =.$',._,<->'*, = (21)

В данном случае фильтрация имеет вид:

К =аЦВ1,8,).~,(.ъА)).Ро . (22)

Если величина интервала дискретизации Л достаточно мала, то скачков либо нет, либо один, то есть для в (20) выполняется соотношение:

(23)

12 - ЗЛА ' 4 '

где У — малое число. Таким образом:

1,к=тЛ + рк4к+сгЗк, (24)

где Р{рк = 1) = р\Р(рк = 0) = <7 = 1 - р; ^ — независимая случайная величина с законом распределения ; <5,.— стандартные нормальные величины; рк,!;к,5к — независимые случайные величины. Базовый процесс 5' является мартингалом при условии:

}е<с1Г{х) = е ' " -1. (25)

I Р

Если условие (25) не выполняется, то возникает необходимость замены меры на эквивалентную мартингапьную меру.

В литературе для перехода к эквивалентной мартингальной мере используют преобразования Гирсанова или Эшера.

Утверждение б (в диссертации утверждение 2.1). Для моделей вида = преобразования Гирсанова и Эшера совпадают. В диссертации показано, что (18) переходит в задачу:

(26)

Пусть представима в виде (21) и Ик изменяется по закону (24), тогда

н "

= Ь'0е = /;,. = т(Г-() + ]Т + сг<5; 77—распределены по биномиаль-

ному закону Рп(1) = С'К,_,р'д"т~'~'; 5 <еИ(0,Ыт").

(27)

,т-, С г. / -л \ 2

Е„(^./(^)) = |Д /

где Г'" - /-кратная свертка распределения Р с собой.

Данную формулу назовем обобщенной формулой Кокса-Росса-Рубинштейна.

Дискретизация процессов Леви по состоянию.

Рассмотрим случайную величину Нпосле дискретизации (подроб-

( в2 (а)2 ^

нее см. диссертацию) с кумулянтой Чуи(в) = ехр! ¡в/л---Щ 1>

где fi = т-т;ст = л/сг- +ст2 , и характеристической функцией Ф„(б) = еа"'1Г»(91.

.V'" Л''-' л*-'

= Xгде ; I» - независимые

и одинаково распределенные случайные величины по закону Пуассона с интенсивностью (Г-/) А ; 5,6^(0,1)- независимые случайные величины, не зависимые также от ^. В частности, если положить //,. = тТ_1\ук = а1ч, то

т, Ni-,

- Т-1

Введем обозначение:

(28)

В результате получим дискретный процесс вида (21). Рассмотрим естественную фильтрацию:

F0 = *{a},Fk=a{h„...,hk}. (29)

Относительно фильтрации процесс Sk является адаптированным. Условие мартингальности имеет вид:

(30)

Из (30) непосредственно следует

-A^^T+A&e^-I). (31)

^ 1=1

Нетрудно установить, что равенство (31) является необходимым и достаточным условием мартингальности дискретного процесса Sk. Если условие (31) не выполняется, то возникает необходимость замены меры на эквивалентную мартингальную меру .

Определим характеристическую функцию случайной величины ht:

Фк (0) = exp \j9Mk - + Х(Т - /)(е"""- -1) j.

Уравнение для параметра Рк преобразования Эшера имеет вид: е°>>"- =Ppt +Q, (32)

где Р---d-.Q =___.

X(T-t)(e°"-\) 2Я(Г — ()(e°'"' — 1)

Поскольку ak_xP < 0, то решение (32) существует и при этом единственное. Рассмотрим решение задачи (26) в данном случае.

Решить задачу можно при помощи следующего алгоритма. Предлагаемый вычислительный алгоритм основан на динамическом программировании или телескопическом свойстве математического ожидания. Рассмотрим последовательность

К №-)= Er i^lM-l ¡Fk1 =—i^-.EP(e^-4VM(Ste^)/Fk)<

Z„ / J EPe" (33)

В результате безарбитражная текущая цена финансового обязательства К (/,5) = И^(Л') (34)

может быть вычислена с использованием рекуррентных формул (33).

Пусть /м непрерывна на отрезке [0,4 и согласно теореме Вейштрас-са её можно приблизить многочленом с любой степенью точности:

Дх) = ±а1Х\ м

Утверждение 7 (в диссертации утверждение 2.2). Пусть ^ =хи (*) = '№) , тогда

= (35)

и решение задачи (26) имеет вид:

= (36)

где коэффициенты находятся из соотношений:

(37)

■-а, ,О =

Пусть /М = (*--КУ 0) -заданная величина. Данная функция

/(Л") определена и непрерывна на и ее можно интерпретировать как опцион call Европейского типа, где ^-контрактная цена, x~Sa'- \ процесс ^ — рисковый актив. Выберем отрезок [0.6] такой, что ^и' - £[0,6])«l

Некоторые обобщения дискретизированных по состоянию моделей под управлением процессов Леви.

Адаптированный базовый процесс $ эволюционирует по закону: = =л+(тЛ, (38)

где 4t — независимые и одинаково распределенные случайные величины по закону Пуассона с интенсивностью ^. Рассматривается естественная фильтрация:

(39)

Относительно фильтрации параметры модели предсказуемы.

Процесс $ - мартингал, если справедливо равенство:

Теорема 2 (в диссертации теорема 2.1). Для существования преобразования Эшера и Гирсанова необходимо и достаточно, чтобы для всех ^ выполнялось неравенство

/Vt<°. (41)

Теорема 3 (в диссертации теорема 2.2). Является справедливой импликация: ft^t существует мартингальная мера.

14

Условно-пуассоновскне модели. Хеджирование в среднем. Оптимальная мера.

Сделаем упрощающее допущение: пусть в формуле (38) величины Vt'^k являются константами.

Рассмотрим задачу хеджирования в среднем. Пусть /л,г„ = /v,_, (<а) _ некоторое

F

-измеримое платежное обязательство, принадлежащее классу L2(Q,Р). Качество воспроизведения финансового обязательства определяется средне-квадратическим отклонением {к,Х0) = EP[X"N,_, -fNT_, ]2, что помогает в ряде

случаев найти те «оптимальные» Х0' (начальный капитал) и 71 (портфель), на которых достигается минимум ЕР[Х*,_, то есть

ЛЛ.г-1(л-*,Лг0*)=1тап£,р[^,г., -fKT-,f- Рассмотрим несколько другое условие качества воспроизведения финансового обязательства -Отметим, что в рассматриваемой модели Z^^o, тогда получим:

Е?\Х"«- - /к'-' | * ^pZ\., -fs,-,f .

Данная оценка позволяет рассматривать следующую оптимизационную задачу:

min JesZ* , JtEAX'r., -fr,)2 ПРИ Условии, что Р-мартингальная мера Ц2\

.Vb.JT€SF.P V > Л V г -V .V ' V

Для выбора мартингальной меры естественно рассмотреть задачу:

min PpZl.r-, при условии, что Р-мартингальная мера. (43)

Согласно формуле перехода от одной меры к другой, имеем:

min E,Z\.,_, = min EBZ^,T_,Z,.r_, = min EPZ„r„,. л zv,„ ' л * ¿v,_ r *

Таким образом, задача (43) преобразовывается в задачу:

min£,Zvr_, при условии, что = !> и Р — мартингальная мера.

Будем искать методом математической индукции. Рассмотрим од-ношаговую задачу - сделаем один шаг назад от финального момента времени '. Воспользуемся тем, что ^s' • = ^.v'-'-i^V- .

Будем искать Yf,'--, считая ZsT"-i — временно зафиксированным и используя телескопическое свойство математического ожидания, получим задачу на условный экстремум и решение полученной задачи будем находить при помощи численного решения следующей системы:

J-о jyrje"' + х

jj (45)

z ,

J'«ß ylne'" + х

Теорема 4 (о виде плотности) (в диссертации теорема 2.3).

к'-' .

Пусть ¿.\ =Y[fj- Тогда ,./ = l,...,iVr"'независимы, одинаково распределены

7=1

и имеют вид

+ = 1.....NT~'. (46)

Теорема 5 (о совпадении всех мер) (в диссертации теорема 2.4). Плотность, полученная с помощью преобразования Эшера совпадает с плотностью, полученной при минимизации верхней оценки при среднеквадратичном хеджировании тогда, и только тогда, когда выполнено условие:

¡л = X

Рассмотрим другой способ выбора оптимальной мартингальной меры, а именно минимальной мартингальной меры Фельмера-Швейцера.

Теорема 6 (в диссертации теорема 2.5). Введем обозначения

Если выполняется одно из следующих четырех условий:

1. А = 0;

2. А>0,сг<0,А<В;

3. А<0,ст>0,А<В; (47) 4 А<0,ст<0,В>0

Тогда существует единственная минимальная мартинагльная мера. Допустим одно из условий (47) выполнено. Процесс плотности:

Z, = П (Се*- + D), п = 1,2, ,.NT- > (48)

с = Ь£- D = _ # = = е" в«*"-" -.

ГДе М М \ >

В третьей главе диссертации приводятся методы расчета справедливых цен, подробно рассматривается метод деревьев, определяются виды моделей, для которых реализованы алгоритмы. Описана структура данных дерево, которое реализует информационные потоки, рассмотрены технологии параллельного программирования ОрепМР и MPI. Рассмотрены результаты реализации алгоритмов с использованием технологии ОрепМР и без нее, а также результаты работы на кластерах INFINI и IBMX ЮГИНФО ЮФУ. Проводится анализ алгоритмов из которого следует, что предложенный параллельный алгоритм близок оптимальному.

В заключении диссертации проводится анализ полученных результатов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Публикации в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Белявский, Г.И. Алгоритм вычисления оптимальной мартингальной меры для условно-пуассоновского распределения логарифмического возврата [Текст]/ Г.И. Белявский, Н.Д. Никоненко// Известия вузов. Северо- Кавказский регион. Технические науки. - 2009. -№ 4, С.11-14

2. Белявский, Г.И. Алгоритм расчета безарбитражной цены финансового обязательства на основе дискретизации процессов Леви по состоянию [Текст]/ Г.И. Белявский, Н.Д. Никоненко// Научно-технические ведомости Санкт - Петербургского государственного политехнического университета. Информатика. Телекоммуникации. Управление. - 2012. - в.№3, С.56-59.

3. Белявский, Г.И. Вычисление оптимального среднеквадратичного хеджа для минимальной меры при дискретной аппроксимации экспоненциального процесса Леви [Текст]/ Г.И. Белявский, Н.Д. Никоненко// Обозрение прикладной и промышленной математики,- 2010- т. 17, в.4, С. 532-534.

4. Белявский, Г.И. Задача о рандомизированной остановке при среднеквадратичном хеджировании [Текст]/ Г.И. Белявский, Н.Д. Никоненко// Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Информатика. Телекоммуникации. Управление. — 2011. - в.№4, С.91-95.

5. Никоненко Н.Д. Хеджирование динамических финансовых обязательств для класса моделей неполного рынка [Текст]/ Н.Д. Никоненко// Обозрение прикладной и промышленной математики.-2008.- т. 15, в. 5, С. 913-914 (издание, рекомендованное ВАК РФ).

6. Никоненко Н.Д. Хеджирование для пуассоновской модели (В,Б)-рынка [Текст]/ Н.Д. Никоненко// Обозрение прикладной и промышленной математики- 2010- т. 17, в.2, С. 288-289.

Публикации в других изданиях:

7. Белявский, Г.И. Достаточные условия существования решения задачи аппроксимации заданной последовательности случайных величин стохастическими интегралами [Текст]/ Г.И. Белявский, Н.Д. Никоненко// Обозрение прикладной и промышленной математики.- 2011. -т.18, в. 3, С. 412-413.

8. Белявский, Г.И. Об алгоритме вычисления минимальной мартингальной меры и глобального риска [Текст]/ Г.И. Белявский, Н.Д. Никоненко// Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2011. -т.18, в. 3, С. 479-480.

9. Данилова, Н.В. Различные виды хеджирования для класса моделей неполных рынков [Текст]/ Н.В.Данилова, Н.Д. Никоненко// Труды научно-практической конференции «Неделя науки»,- 2008. -С.51—54.

Ю.Данилова, Н.В. Различные виды хеджирования для одной модели неполного рынка [Текст]/ Н.В.Данилова, Н.Д. Никоненко// Труды международной НПК "Инфоком-2008".- 2008. -С. 107-110.

17

П.Никоненко, Н.Д. Преобразование Гирсанова и Эшера для пуассо-новского (В,8)-рынка [Текст]/ Н.Д. Никоненко// Труды аспирантов и соискателей Южного федерального университета.-2010- т.XV, С.49-52.

12.Никоненко, Н.Д. Хеджирование динамических финансовых обязательств [Текст]/Н.Д. Никоненко// Государственное и муниципальное управление. Ученые записки СКАГС. -2009. -№2, С.119-131.

В работах, опубликованных в соавторстве, вклад Никоненко Н.Д. следующий:

[1] - разработан алгоритм определения мартингальной меры, минимизирующей наименьшую оценку сверху среднеквадратического критерия, построения хеджа, применив метод Ньютона решения систем уравнения и метод деревьев; [2] - проведена дискретизацию по состоянию экспоненциального процесса Леви и разработан алгоритм расчета безарбитражной цены финансового обязательства на основе дискретизации процессов Леви по состоянию; [3] - разработан алгоритм вычисления оптимального среднеквадратичного хеджа для минимальной меры при дискретной аппроксимации экспоненциального процесса Леви и условия существования минимальной мартингальной меры; [4] — разработан алгоритм решения задачи о рандомизированной остановке; [7] - доказаны достаточные условия существования решения задачи аппроксимации заданной последовательности случайных величин стохастическими интегралами; [8] — определен алгоритм вычисления минимальной меры и глобального риска; [9] - решена задача об оптимальной остановке для динамических финансовых обязательств для класса моделей неполного рынка; [10] - разработан алгоритм определения хеджа при решении задачи об оптимальной остановке для одной модели неполного рынка.

Печать цифровая. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Формат 60x84/1(5. Объем 1.0 уч.-изд.-л. Заказ № 2784. Тираж 110 экз. Отпечатано в КМЦ «КОПИЦЕНТР» 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Суворова, 19, тел. 247-34-88

Введение.

Глава 1. Исследование задачи о рандомизированной остановке при среднеквадратичном хеджировании и численный метод ее решения.

1.1. Аппроксимация конечной последовательности случайных величин последовательностью стохастических интегралов.

1.2. Задача о рандомизированной остановке.

1.3. Решение внутренней задачи.

1.4. Решение внешней задачи.

1.5. Случай мартингальной меры.

1.6. Достаточное условие существования решения.

1.7. Случай, когда известна смешанная стратегия и ее исполнение происходит в финальный момент времени.

1.8. Сравнение задачи о рандомизированной остановки и задачи о марковской остановке.

Выводы к первой главе.

Глава 2. Процессы Леви, их обобщения в задачах моделирования случайных процессов, эквивалентые мартингальные меры и исследования оптимальных портфелей.

2.1.Общие сведения о процессах Леви , характеристическая функция процесса Леви, мера Леви.

2.2. Дискретизация процессов Леви по времени. Мера Леви конечная.

2.3. Дискретизация процесса Леви по состоянию. Бесконечная мера Леви.

2.4. Некоторые обобщения дискретизированных по состоянию моделей под управлением процессов Леви.

2.5. Условно-пуассоновские модели. Хеджирование в среднем.

Выводы ко второй главе.

Глава 3. Анализ быстрых алгоритмов расчета справедливых цен и их реализация на кластере.

3.1. Методы расчета справедливых цен. Метод деревьев для определения опционов в дискретизированных процессах Леви.

3.2. Реализация информационного дерева при решении задачи вычисления условных математических ожиданий и рандомизированной остановке.

3.3. Выбор схемы реализации алгоритмов.

3.4. Параллельные алгоритмы и их реализация.

3.5. Оценка и сравнение алгоритмов.

Выводы к третьей главе.

Актуальность темы. Математическое моделирование, численные методы и алгоритмы решения, основанные на нем, в области принятия оптимальных решений на финансовых рынках испытывают сейчас интенсивный период развития, особенно в той части, которая связана с современным стохастическим анализом. Отметим, что именно методы общей теории случайных процессов и теории мартингалов оказались наиболее подходящими для адекватного описания эволюции основных и производных ценных бумаг. Интенсивные исследования в данной области в России начались в начале 90-х годов XX века на семинаре академика А.Н. Ширяева в Математическом институте им. В.А.Стеклова Российской Академии наук. Активно в данном направлении работают следующие ученые: A.A. Гущин, Ю.М. Кабанов, Д.О. Крамков, A.B. Мельников, A.A. Новиков, В.Н. Тутубалин, В.М. Хаметов, A.C. Черный, О.В. Русаков и др., на юге России - Г.И. Белявский, И.В. Павлов, Д.Б. Рохлин, O.E. Кудрявцев и др. Среди иностранных ученных выделим Ф. Далбаена, Ж. Жакода, Д. Зондермана, М. Йора, И. Каратзаса, М. Мадана, Ю. Мишуру, К. Стрикера, X. Фельмера, В. Шахермайера, М. Швейцера, А. Шида, С. Шрива.

Последние двадцать лет модели, в которых применяются процессы Леви, активно используются при описании рыночных ситуаций как в риск менеджменте, так и при определении цен опционов. Преимуществом данных моделей является с одной стороны, более реальная оценка рисков, с другой стороны возможность моделирования скачков цен активов. В диссертации используются модели, в основе которых лежат экспоненциальные процессы Леви и их обобщения. Вычислительные методы получены за счет дискретизации по времени и состоянию, для их реализации используются древовидные алгоритмы. Поскольку такие алгоритмы легко распараллеливаются, то исследования диссертации приводят к построению быстрых алгоритмов расчета. Поэтому выбранная тема диссертации является актуальной.

Объектами исследования настоящей диссертации являются математические модели с рандомизированной остановкой, экспоненциальные процессы Леви и их обобщения, вычислительные алгоритмы и программные комплексы.

Цель работы. Целью диссертации является разработка вычислительных алгоритмов решения задач, связанных с вычислением условных математических ожиданий и оптимальной остановкой при среднеквадратичном хеджировании. Для достижения цели необходимо:

1) предложить модель и решение задачи о рандомизированной остановке; разработать алгоритм ее решения, основанный на динамическом программировании Р. Беллмана;

2) предложить дискретизацию по времени и состоянию экспоненциальных процессов Леви с целью получения эффективных алгоритмов расчета математических ожиданий по мартингальным мерам для вычисления справедливых цен широкого класса финансовых обязательств; для расчета цен финансовых обязательств использовать аппроксимацию финансовых обязательств многочленами и получить аналитические реккурентные формулы, позволяющие проводить вычисления с высокой скоростью и точностью; проанализировать модели, которые обобщают экспоненциальные процессы Леви;

3) разработать быстрые алгоритмы расчета справедливых цен и реализовать их в виде программного комплекса.

Методика исследований. При решении данных задач применялись методы теории вероятностей, стохастического анализа, теории мартингалов, выпуклого анализа, функционального анализа, топологии (компактификация по Александрову), теория алгоритмов и структур данных. В качестве основного алгоритмического языка использовался объектно-ориентированный язык С++.

Научная новизна (указаны страницы в диссертации).

- В области математического моделирования: 1) математическая модель задачи о рандомизированной остановке, введено новое понятие о рандомизированной остановке, которая не является марковским моментом или моментом остановки (стр. 31-33);

2) новые математические модели случайных процессов, построенных на базе процессов Леви, в этих моделях приращения остаются стационарными, но становятся зависимыми; таким образом, расширяются возможности моделирования реальных данных по сравнению с процессами Леви, в которых приращения являются стационарными и независимыми (стр. 73, 92);

3) для этих моделей получены условия существования преобразования Эшера и мартингальной меры, вычислено преобразование Эшера при условии его существования и предложена новая методика определения эквивалентной мартингальной меры, которая позволяет при решении задачи о среднеквадратичном хеджировании минимизировать наименьшую оценку сверху среднеквадра-тического критерия (стр. 73-85).

- В области численных методов:

1) рандомизированная остановка позволила задачу об остановке случайного процесса рассматривать как задачу о минимаксе и применить фундаментальную теорему фон Неймана; в результате предложен эффективный вычислительный метод на базе динамического программирования и обобщенного градиентного спуска (стр. 33-51);

2) численный метод для вычисления условных математических ожиданий на траекториях процессов Леви, использующий стохастическую интерпретацию метода сеток с равномерным шагом, причем шаг выбирается таким образом, чтобы в зависимости от свойств конкретных процессов Леви, на каждом элементе разбиения либо есть скачок, либо его нет (два и более скачка невозможны) (стр. 60-65);

3) численный метод, основанный на дискретизации процессов Леви по состоянию; этот метод существенно отличается от сеточных методов, поскольку приводит к случайному разбиению временной шкалы (стр. 66-73).

- В области программных комплексов: разработаны быстрые алгоритмы расчета справедливых цен, использующие древовидные технологии, позволяющие производить расчеты для сложных моделей, исследованных в диссертации в реальном времени. Данные алгоритмы реализованы в программном обеспечении для кластера (при использовании технологии MPI и ОрепМР) и для ПК (с использованием технологии ОрепМР и без нее) (стр. 93-135).

Основные положения, выносимые на защиту (указаны страницы в диссертации):

- математическая модель задачи о рандомизированной остановке; вычислительный метод ее решения, основанный на сочетании динамического программирования Р. Беллмана и обобщенного градиентного спуска (стр.31-51);

- модели, построенные на базе экспоненциальных процессов Леви, условия существования мартингальной меры и преобразования Эшера для данных моделей, новая методология определения эквивалентной мартингальной меры (стр. 73-85, 92, 93);

- вычислительные алгоритмы, использующие дискретизацию по времени и состоянию экспоненциальных процессов Леви и аппроксимацию многочленами финансовых обязательств (стр. 60-73);

- быстрые алгоритмы расчета справедливых цен и программный комплекс на их основе (стр. 114-135).

Теоретическая и практическая ценность. Доказанные в работе теоремы представляют ценность для развития аппарата стохастического анализа в области вычисления безарбитражных цен опционов. Результаты диссертации могут быть применены на рынке ценных бумаг при построении хеджей для опционов Европейского и Американского типа. Полученные алгоритмы могут быть применены в ситуациях оценки глобального риска и при решении ряда других задач, связанных с процессами Леви.

Достоверность результатов работы подтверждается:

1) строгими доказательствами, результатами моделирования и обработки данных;

2) апробацией результатов на всероссийских и региональных научных конференциях и семинарах.

Реализация результатов работы. Полученный в работе программный комплекс «Программная реализация параллельных алгоритмов вычисления цен опционов в моделях со скачками в дискретном времени» присутствует в фонде компьютерных изданий ЮФУ (per. № 613).

Апробация диссертации. Задача хеджирования динамических финансовых обязательств была рассмотрена на научно-практической конференции «Неделя науки». Конференция проводилась с 20 по 27 апреля 2008 года в ЮФУ (г. Ростов-на-Дону). Название доклада: «Различные виды хеджирования для класса моделей неполных рынков».

Результаты диссертации, посвященные построению мартингальной меры, минимизирующей верхнюю оценку риска при среднеквадратичном хеджировании докладывались на XI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) (г. Кисловодск, с 1 по 8 мая 2010 года). Название доклада: «Хеджирование для пуассоновской модели (B,S)-рынка».

Результаты третьей главы о минимальной мартингальной мере были рассмотрены в докладе «Вычисление оптимального среднеквадратичного хеджа для минимальной меры при дискретной аппроксимации экспоненциального процесса Леви» (в соавторстве с Г.И. Белявским) на XI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Сочи-Дагомыс, с 16 по 23 октября 2010 года).

Решение задачи о рандомизированной остановке были изложены в докладе «Достаточные условия существования решения задачи аппроксимации заданной последовательности случайных величин стохастическими интегралами» (в соавторстве с Г.И. Белявским) на XII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Осенняя открытая сессия) (г. Сочи-Адлер, с 1 по 8 октября 2011 года).

Публикации. К теме диссертации относятся следующие статьи авторами 1 - 122]. То есть по теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, в том числе 4 без соавторов. Из них 6 публикаций в российских реферируемых журналах, входящих в список ВАК. Вклад автора в совместных публикациях таков.

В [111] разработан алгоритм определения мартингальной меры, минимизирующей наименьшую оценку сверху среднеквадратического критерия, построения хеджа, применив метод Ньютона решения систем уравнения и метод деревьев. В [112] проведена дискретизация по состоянию экспоненциального процесса Леви и разработан алгоритм расчета безарбитражной цены финансового обязательства на основе дискретизации процессов Леви по состоянию. В [113] разработан алгоритм вычисления оптимального среднеквадратичного хеджа для минимальной меры при дискретной аппроксимации экспоненциального процесса Леви и условия существования минимальной мартингальной меры. В [114] представлено доказательство достаточных условий существования решения задачи аппроксимации заданной последовательности случайных величин стохастическими интегралами. В [115] разработан алгоритм решения задачи о рандомизированной остановке. В [116] определен алгоритм вычисления минимальной меры и глобального риска. В [117] решена задача об оптимальной остановке для динамических финансовых обязательств для класса моделей неполного рынка. В [118] разработан алгоритм определения хеджа при решении задачи об оптимальной остановке для одной модели неполного рынка.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы (122 наименований). Каждая глава состоит из параграфов. Каждый параграф, если есть необходимость, начинает

Выводы к третьей главе

В третьей главе разработаны быстрые алгоритмы расчета справедливых цен, использующие древовидные информационные технологии, позволяющие производить расчеты для сложных моделей, исследованных в диссертации в реальном времени. Данные алгоритмы реализованы в программном обеспечении для кластера (при использовании технологии MPI и ОрепМР) и для ПК (с использованием технологии ОрепМР и без нее). Так, например, при запуске программы на ПК со следующими характеристиками: Intel Core(TM)2 Duo CPU, 1,8GHz, RAM 1024Mb, ОС Windows Professional, ускорение при использовании технологии ОрепМР в первом проекте 1,93 (глубина дерева равна 11, число дочерних вершин - 7, размер вершины дерева 56 байт), в третьем -1,78 (глубина дерева равна 9, число дочерних вершин - 6, размер вершины дерева 88 байт) (подробнее см. таблица 3.3). Отметим, что при запуске программы из под оболочки (разработанной в среде С++ Builder) при глубине дерева больше 11 расчеты проводить не представляется возможным, но при использовании технологии ОрепМР расчеты проводятся. Значения ускорения стремятся к значению ускорения, полученного по закону Амдала (а < 2), что свидетельствует об оптимальном применении данной технологии параллельного программирования.

При запуске программы на кластере с использованием технологий MPI и ОрепМР, расчеты проводятся достаточно быстро при большой глубине дерева. Так, при запуске первого проекта (глубина дерева равна 13, число дочерних вершин - 6, размер вершины дерева 48 байт) на четырех узлах кластера IBMX ЮГИНФО ЮФУ, время работы составляет 88,38 сек.

137

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении приведем и проанализируем основные результаты исследования.

- Математическая модель задачи о рандомизированной остановке; вычислительный метод ее решения, основанный на сочетании динамического программирования Р. Беллмана и обобщенного градиентного спуска. Введено новое понятие о рандомизированной остановке, которая не является марковским моментом или моментом остановки. Рандомизированная остановка позволила задачу об остановке случайного процесса рассматривать как задачу о минимаксе и применить фундаментальную теорему фон Неймана.

- Модели, построенные на базе экспоненциальных процессов Леви, в которых приращения остаются стационарными, но становятся зависимыми, условия существования мартингальной меры и преобразования Эшера для данных моделей, новая методика определения эквивалентной мартингальной меры.

- Вычислительные алгоритмы, использующие аппроксимацию многочленами финансовых обязательств, дискретизацию по времени и состоянию экспоненциальных процессов Леви. Дискретизация по времени- это численный метод для вычисления условных математических ожиданий на траекториях процессов Леви, использующий стохастическую интерпретацию метода сеток с равномерным шагом, причем шаг выбирается таким образом, чтобы в зависимости от свойств конкретных процессов Леви, на каждом элементе разбиения либо есть скачок, либо его нет.

Дискретизация по состоянию существенно отличается от сеточных методов, поскольку приводит к случайному разбиению временной шкалы. Вероятностная интерпретация данного метода заключается в том, что процесс Леви представляется как сумма винеровского процесса и смеси процессов Пуассона. Этот подход позволяет адекватно описывать ситуации, связанные с тяжелыми хвостами распределений.

- Быстрые алгоритмы расчета справедливых цен и программный комплекс на их основе. Алгоритмы реализованы в программном обеспечении для кластера (при использовании технологии MPI и ОрепМР) и для ПК (с использованием технологии ОрепМР и без нее).

139

1. Антонов, A.C. Параллельное программирование с использованием технологии ОрепМР/ A.C. Антонов. - М.: Изд-во МГУ, 2009. -77 с.

2. Бейко, И. В. Методы и алгоритмы решения задач оптимизации/ И. В. Бейко, Б. Н. Бублик, П. Н. Зинько.- К.: Вища школа. Головное изд-во, 1983.-512 с.

3. Беллман, Р. Динамическое программирование и уравнения в частных производных/ Р. Беллман, Э. Энджел. Пер. с англ. - М.: Мир, 1974 . - 208 с.

4. Букатов, A.A. Программирование многопроцессорных вычислительных систем/ A.A. Букатов, В.Н. Дацюк, А.И. Жегуло. -Ростов -на-Дону: ООО «ЦВВР», 2003.-208 с.

5. Булинский, A.B. Теория случайных процессов / A.B. Булинский, А.Н. Ширяев. М.: ФИЗМАЛИТ; Лаборатория Базовых Знаний, 2003. - 400 с.

6. Галиц, Л. Финансовая инженерия: инструменты и способы управления финансовым риском / Л. Галиц . М.:ТВП,1998. - 600 с.

7. Гирсанов, И.В. О преобразовании одного класса случайных процессов с помощью абсолютно непрерывной замены меры / И.В. Гирсанов // ТВП. 1960. - Т.5. №3. - С. 314-330.

8. Гнеденко, Б. В. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин/Б. В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров. М.: Гостехиздат, 1949. - 264 с.

9. Гнеденко, Б.В. Курс теории вероятностей / Б.В Гнеденко. М.: Гостехиздат, 1954.-411 с.

10. Грин, Д. Математические методы анализа алгоритмов/ Д.Грин, Д.Кнут. -Пер. с англ. М.: Мир, 1987 . - 120 с.

11. Дуб , Дж. Л. Вероятностные процессы / Дж. Л. Дуб. Пер. с англ. - М.: Иностранная литература, 1956. - 606 с.

12. Золотарев, В.М. Одномерные устойчивые распределения/ В.М. Золотарев. -М.: Наука, 1983.-304 с.

13. Кингман, Дж. Пуассоновские процессы/ Дж. Кингман. Пер. с англ. - М.: МЦНМО, 2007.- 136 с.

14. Крамков, Д.О. О замыкании семейства мартингальных мер и опциональном разложении супермартингалов / Д.О. Крамков // ТВП. -1996. Т.41. Вып.4. - С. 892-896.

15. Красий, Н.П. Стохастическая финансовая математика: Односеместро-вый курс лекций (методическое пособие) / Н.П. Красий , И.В. Павлов. Ростов-на-Дону: РГСУ, 2005. - 60 с.

16. Кудрявцев, O.E. Вычисление цен барьерных и американских опционов в моделях Леви / O.E. Кудрявцев // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2010. -Т. 17. Вып.2. - С. 210-220.

17. П.Кудрявцев, O.E. Эффективный численный метод вычисления цен барьерных опционов в моделях Леви / O.E. Кудрявцев // Обозрение прикладной и промышленной математики . 2011. - Т. 18. Вып.З. - С. 353-372.

18. Липпман, С.Б. Основы программирования на С++/ С.Б. Липпман. Пер. с англ. - М. .-Вильяме,2002. - 256 с.

19. Лужецкая, П.А. Преобразование Гирсанова для пуассоновской модели поведения финансовых индексов / П.А. Лужецкая // Обозрение прикладной и промышленной математики . 2008. - Т. 15. Вып.5. - С.900-901.

20. Майстров, Л. Е. Развитие понятия вероятности/ Л. Е. Майстров.-М.: Наука, 1980.-269с.

21. Мельников, A.B. Финансовые рынки. Стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг / A.B. Мельников. М.:ТВП,1997. - 130 с.

22. Мельников, A.B. Математика финансовых обязательств / A.B. Мельников, С.Н. Волков, М.Л. Нечаев. М.:ГУ ВШЭ,2001. - 254 с.

23. Партасарати, К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры / К. Партасарати. М.: Мир, 1983.- 336 с.

24. Пшеничный, Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи / Б.Н. Пшеничный. М.: Наука, 1980 . - 320 с.

25. Рохлин, Д.Б. О критериях безарбитражности болыиихфинансовых рынков / Д.Б. Рохлин // Обозрение прикладной и промышленной математики . 2007. -Т. 14. Вып.1. - С. 143-144.

26. Севастьянов, Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики / Б.А. Севастьянов. М.: Наука, 1982. - 256 с.

27. Скороход, A.B. Случайные процессы с независимыми приращениями /

28. A.B. Скороход. М.: Наука, 1964. - 278 с.

29. Треногин, В. А. Функциональный анализ/ В. А. Треногин. М.: Наука, 1980. -495 с.

30. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения/

31. B. Феллер. -В 2 т. Т. 1; пер. с англ. М.: Мир, 1967. - 498 с.

32. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения/

33. B. Феллер. -В 2 т. Т. 2; пер. с англ. М.: Мир, 1967. - 752 с.

34. Фельмер, Г. Введение в стохастические финансы. Дискретное время/ Г. Фельмер , А. Шид. -М.: МЦНМО, 2008. 496 с.

35. Фон Нейман, Дж. К теории стратегических игр/ Дж. Фон Нейман // Матричные игры / под ред. H.H. Воробьёва. М.: Физматгиз, 1961. - С. 173-204.

36. Хинчин, А.Я. Предельные законы для сумм независимых случайных величин/ А.Я. Хинчин. М. - Л. : ОНТИ НКТП СССР, 1938. - 116 с.

37. Ширяев, А.Н. Вероятность/ А.Н. Ширяев. М.: Наука, 1989. - 581 с.

38. Ширяев, А.Н. Векторный стохастический интеграл и фундаментальные теоремы теории арбитража/ А. Н. Ширяев, A.C. Черный // Российская академия наук. Труды математического института им. А.В.Стеклова. -2002. -т.237,1. C.14-19.

39. Ширяев, А.Н. Основы стохастической финансовой математики/ А.Н. Ширяев. -В 2т. Т. 1. Факты, Модели. М.:ФАЗИС,1998 - 512 с.

40. Ширяев, А.Н. Основы стохастической финансовой математики/ А.Н. Ширяев. В 2т. Т. 2. Теория. - М.:ФАЗИС,1998 - 544 с.

41. Энгелькинг, Р. Общая топология/ Р. Энгелькинг; пер. с англ. М.: Мир, 1986 - 752 с.

42. Юдович, В.И. Математические модели естествознания. Курс лекций / В.И. Юдович. М.: Вузовская книга, 2009. - 288 с.

43. Amin, К. Jump-diffusion option valuation in discrete time / K. Amin // J. Finance. 1993. -Vol. 48, P. 1833 - 1863.

44. Andersen, L. Jump-diffusion models: Volatility smile fitting and numerical methods for pricing / L. Andersen, J. Andreasen // Rev. Derivatives Research, -2000. -Vol. 4, P. 231 -262.

45. Applebaum, D. Levy Processes and Stochastic Calculus / D. Applebaum. -Cambridge University Press, 2004. 384 p.

46. Bachelier, L. Theorie de la speculation / L. Bachelier //Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1900. - Vol. 17, P. 21-86.

47. Barndorff-Nielsen, O. Processes of normal inverse Gaussian type/ O. BarndorffNielsen // Finance and Stochastics 1997.- Vol. 2(1), P. 41-68

48. Bertoin, J. Levy Processes/ J. Bertoin. Cambridge: Cambridge University Press, 1996.-266 p.

49. Bertsimas, D. Hedging Derivative Securities and Incomplete Markets An Epsilon-Arbitrage Approach / D. Bertsimas, L. Kogan, A. W. Lo// Operations Research. 2001. - Vol. 49, P. 372-397.

50. Billingsley, P. Probability and measure / P. Billingsley . Wiley, 1986. - 622 p.

51. Black, F. The pricing of options and corporate liabilities / F. Black, M. Scholes // J. Plit. Econ. 1973. -Vol. 81. - No. 3.

52. Boyarchenko, S. Non-Gaussian Merton-Black-Scholes Theory / S. Boyarchen-ko, Levendorskii. 2002. -World Scientific: River Edge, NJ - 421 p.

53. Boyarchenko, S. Perpetual American options under Levy processes / S. Boyarchenko, S. Levendorskii // SLAM J. Control Optim. 2002. - Vol. 40, P. 1663-1696.

54. Breiman, L. Probability/ L. Breiman. Addison- Wesley,Reaing,Mass. - 1968, 421 p.

55. Carr, P. Option valuation using the fast Fourier transform / P. Carr, D. Madan // J. Comput. Finance. 1998.- Vol. 2 , P. 61-73.

56. Carriere, J. Valuation of the early-exercise price for derivative securities using simulations and splines/ J. Carriere// Insurance: Mathematics and Economics. -1996.- 19, P. 19-30.

57. Cont, R. Financial Modelling with Jump Processes/ R. Cont, P. Tankov. -Chapman and Hall/CRC. 2004, 552 p.

58. Cont, R. Finite difference methods for option pricing in jump-diffusion and exponential Levy models/ R. Cont, E. Voltchkova. -Rapport Interne 513. CMAP, Ecole Polytechnique.- 2003.

59. Dalang, R.C. Equivalent martingale measures and no-arbitrage in stochastic securities market models// R.C. Dalang, A. Morton, W. Willinger. Stoch. And Stoch. Repts. -1990.- V.29, N 2, P. 185-201.

60. Delbaen, F. The fundamental theorem of asset pricing for unbounded stochastic processes/ F. Delbaen, W. Schachermayer// Math. Ann. 1998.-312 , P. 215- 250.

61. Eberlein, E. New insights into smile, mispricing and value at risk: The hyperbolic model/ E. Eberlein, U. Keller, K. Prause // J. Business 1998. -Vol. 71, P. 371 -405.

62. Esscher, F. On the probability function in the collective theory of risk/ F. Es-scher// Skandinavisk Aktuarietidskrifl.- 1932.-V.15, P. 175-195.

63. Gerber , H.U. Martingale approach to pricing American options/ H.U. Gerber, E.S.W. Shiu// ASTINBulletin.-1994.-V.24, P. 195-200.

64. Gerber, H. U. Pricing perpetual options for jump processes/ H.U. Gerber, E.S.W. Shiu//North American actuarial journal. -1998. Vol.2, P. 101-112.

65. Gerber, H.U. Option pricing by Esscher transforms/ H.U. Gerber, E.S.W. Shiu// Transactions of the Society of Actuaries. 1994. -Vol.46, P.99-191.

66. Grandits, P. On martingale measure for stochastic processes with independent increments/ P. Grandits// Theory of Probability and its Applications. 1999. - Vol. 44, P. 87-100.

67. Haight, F.A. Handbook of the Poisson distribution/ F.A. Haight. New York: Wiley, 1967. - 168 p.

68. Harrison, J. M. A stochastic calculus model of continuous trading: Complete markets/ J. M. Harrison, S. R. Pliska// Stochastic Process. Appl. -1983. Vol.15, P. 313-316.

69. Harrison, J. M. Martingales and arbitrage in multiperiod security markets/ J. M. Harrison, D. Kreps// J. Economic Theory 1979. - Vol.2, P. 38- 408.

70. Harrison, J. M. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading/ J. M. Harrison, S. R. Pliska// Stochastic Process. Appl. 1981.- Vol.11, P. 215-260.

71. Hull, J.C. Options, futures and other derivatives/ J.C. Hull. 5th edition. - Prentice hall, 2002. - 744 p.

72. Jacob, N. Pseudo-Differential Operators and Markov Processes Volume I: Fourier Analysis and Semi-Groups /N. Jacob. Singapore:World Scientific, 2001.516 p.

73. Jacod, J. Limit Theorems for Stochastic Processes/ J. Jacod, A. N. Shiryaev.-2nd ed.- Berlin: Springer, 2002 660p.

74. Kabanov, Y. No-arbitrage criteria for financial markets with efficient friction/ Y. Kabanov, M. Rasonyi, C. Strieker// Finance Stoch. 2002 - Vol. 6, no. 3-P. 371-382.

75. Karlin, S. A First Course in Stochastic Processes/ S. Karlin, H.M. Taylor -2nd edition New York: Academic Press, 1975. - 557 p.

76. Karlin, S. A Second Course in Stochastic Processes/ S. Karlin, H.M. Taylor -New York:Academic Press, 1981.- 542 p.

77. Kaval, K. Link-save trading/ K. Kaval, I. Molchanov/ J. Math. Econ.-2OO6.-V0I. 42, no. 6, P. 710-728.

78. Knight, F. B. Essentials of Brownian motion and diffusion/ F. B. Knight// Mathematical Surveys. American Mathematical Society . -1981. - Vol. 18. - 201 p.

79. Kou, S. A jump-diffusion model for option pricing/ S. Kou// Management Science. 2002.- Vol. 48, P. 1086-1101.

80. Kushner, H. J. Numerical Methods for Stochastic Control Problems in Continuous Time/ H. J. Kushner, P. Dupuis// Applications of Mathematics. 2nd edition- New York: Springer, 2001. -Vol. 24- 475 p.

81. Kyprianou, A. A martingale review of some fluctuation theory for spectrally negative Levy processes/ A. Kyprianou, Z. Palmowski // Seminaire de Probabilités XXXVIII, Berlin: Springer. 1975. -P. 226-236.

82. Levy, P. Prosessus Stochastiques et Mouvement Brownien/ P. Levy.- 2 ed. -Paris: Gauthier-Villars, 1965. 224 p.

83. Levy, P. Theorie de l'addition des variables aléatoires/ P. Levy Paris: Gauthier-Villars, 1937.-328 p.

84. Lewis, A. Option Valuation under Stochastic Volatility/ A. Lewis. Finance Press, 2000. - 350 p.

85. Longstaff, F. Valuing American options by simulation: A simple least-squares approach/ F. Longstaff, E. Schwartz // Review of Financial Studies. -2001.-Vol. 14, No. 1,P. 113-147.

86. Lukacs, E. Characteristic Functions/ E. Lukacs. London, Griffin, 1960 - 215 P

87. Madan, D. Option pricing with variance gamma martin- gale components/

88. D. Madan, F. Milne // Mathematical Finance .- 1991.- Vol. 1, No. 4, P. 39-55

89. Madan, D. The variance gamma process and option pricing/ D. Madan, P. Carr,

90. E. Chang// European Finance Review. 1998. - Vol. 2, P. 79-105.

91. Merton, R.C. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous/ R.C. Merton// Journal of Financial Economics. 1976 - Vol. 3, P. 125-144.

92. Merton, R.C. Theory of rational option pricing/ R.C. Merton// Bell Journal of Economics and Management Science.- 1973. -Vol. 4,no. 1, P. 141-183.

93. Meyer, G. The evaluation of American options with the method of lines/ G. Meyer, J. Van Der Hoek// Advances in Futures and Options Research. -1997-Vol.9, P. 265-285.

94. Meyer, G. The numerical valuation of options with underlying jumps/ G. Meyer// Acta Mathematical 1998. Vol.67, P. 69- 82.

95. Nualart, D. Backward stochastic differential equations and Feynman-Kac formula for Levy processes, with applications in finance/ D. Nualart, W. Schoutens// Bernoulli. -2001. Vol. 7, No. 5, P. 761-776.

96. Pham, H. Optimal stopping of controlled jump-diffusion processes: a viscosity solution approach/ H. Pham //Journal of Mathematical Systems. 1998. - Vol. 8, P. 1-27.

97. Pham, H. Optimal stopping, free boundary, and American option in a jumpdiffusion model/ H. Pham//Applied Mathematics and Optimization. -1997. Vol. 35, P. 145-164.

98. Prigent, J. Weak Convergence of Financial Markets/ J. Prigent.- New York: Springer, 2003. 422 p.

99. Resnick, S. Adventures in Stochastic Processes/ S. Resnick. Birkhauser, 1992. -638 p.

100. Rokhlin, D.B. Asymptotic arbitrage and numéraire portfolios in large financial markets/ D.B. Rokhlin// Finance and Stochastics. 2008-Vol. 12, no. 2, P. 173— 194.

101. Rokhlin, D.B. Martingale selection problem and asset pricing in finite discrete time/ D.B. Rokhlin// Electronic Communications in Probability.-2007.-Vol. 12, P. 1-8.

102. Ross, S.A. The arbitrage theory of asset pricing/ S.A. Ross// Journal of Economic Theory.- 1976. -Vol. 13, no. 3, P.341-360.

103. Rydberg, T. H. The normal inverse Gaussian Levy process: simula- tion and approximation/ T. H. Rydberg// Communications in Statistics: Stochastic Mod-els.-1997. Vol. 13, P. 887-910.

104. Samorodnitsky, G. Stable Non-Gaussian Random Processes/ G. Samorod-nitsky, M. Taqqu— New York: Chapman & Hall, 1994 656 p.

105. Sato, K. Levy Processes and Infinitely Divisible Distributions/ K. Sato.--Cambridge: Cambridge University Press, 1999. 500 p.

106. Schoutens, W. Levy Processes in Finance: Pricing Financial Derivatives/ W. Schoutens- New York: Wiley, 2003.-196 p.

107. Schweizer, M. Hedging of Options in a General Semimartingale Model / M. Schweizer// Diss. ETHZ.-1988.-No. 8615 .

108. Schweizer, M. Variance-Optimal Hedging in Discrete Time. / M. Schweizer // Mathematics of Operations Research.-1995.-Vol.20 , P. 1-32.

109. Stroock, D. W. Markov processes from K. Ito's perspective/ D. W. Stroock.-Princeton: Princeton University Press, 2003.-280 p.

110. Tavella, D. Pricing Financial Instruments: the Finite Difference Method/ D. Tavella, C. Randall.- New York: Wiley, 2000. -237 p.

111. Thomee ,V. Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems/ V. Thomee. -Vol. 25 of Series in Computational Mathematics.- Berlin: Springer, 1991.- 302 p.

112. Wiener, N. Differential-space/ N. Wiener//Journal of Mathematics and Physics. -1923.-Vol. 2, P.131-174.

113. Zhu, J. Modular Pricing of Options: An Application of Fourier Analysis/ J. Zhu Berlin: Springer, 2000 - 170 p.

114. Белявский, Г.И. Об алгоритме'вычисления минимальной мартингальной меры и глобального риска./ Г.И. Белявский, Н.Д. Никоненко// Обозрение прикладной и промышленной математики. 2011. -Т. 18, Вып. 3, С. 479-480.

115. Данилова, Н.В. Различные виды хеджирования для класса моделей неполных рынков. / Н.В.Данилова, Н.Д. Никоненко// Труды научно-практической конференции «Неделя науки».- 2008. -С.51-54.

116. Данилова, Н.В. Различные виды хеджирования для одной модели неполного рынка./ Н.В.Данилова, Н.Д. Никоненко// Труды международной НПК "Инфоком-2008".- 2008. -С.107-110.

117. Никоненко Н.Д. Хеджирование динамических финансовых обязательств для класса моделей неполного рынка / Н.Д. Никоненко// Обозрение прикладной и промышленной математики-2008 т.15, в. 5, С. 913-914 (издание, рекомендованное ВАК РФ).

118. Никоненко Н.Д. Хеджирование для пуассоновской модели (B,S) -рынка. / Н.Д. Никоненко// Обозрение прикладной и промышленной математики.- 2010.- Т. 17, Вып.2 , С. 288-289 (издание, рекомендованное ВАК РФ).

119. Никоненко, Н.Д. Преобразование Гирсанова и Эшера для пуассоновско-го (В,8)-рынка. / Н.Д. Никоненко// Труды аспирантов и соискателей Южного федерального университета.-2010- t.XV, С.49-52.

120. Никоненко, Н.Д. Хеджирование динамических финансовых обязательств/ Н.Д. Никоненко// Государственное и муниципальное управление. Ученые записки СКАГС. -2009. -№2, С.119-131.