автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Алгоритмы управления динамическими системами оптимальными по квадратичному критерию с учетом ограничения на управление

РГЗ Ол

^ Л САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

У Юнфэй

АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ, ОПТИМАЛЬНЫМИ ПО КВАДРАТИЧНОМУ КРИТЕРИЮ С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕНИЯ НА УПРАВЛЕНИЕ

Специальность: 05.13.01 - Управление в технических

системах.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук.

Санкт-Петербург - 1993

Работа выполнена в Санкт-Петербургском Государственном электротехническом университете.

Научный руководитель -кандидат технических наук, доцент Зотов Н.С.

Официальные оппоненты: Доктор технических наук, профессор Дидук Г.А. Кандидат технических наук, доцент Мядзель В.Н.

Ведущая организация -Санкт-Петербургский институт информатики Российской Академии наук.

Защита состоится " 6 " ^¿М&о'р'Х 1993 г. в часов на заседании специализированного совета К.063.36.03 Санкт-Петербургского Государственного электротехнического университета по адресу: 197376, Санкт-Петербург, ул. проф. Попова, 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета. Автореферат разослан ■ //" 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета Кутузов О.И

-1 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Оптимальное управление, как известно, является одной из наиболее активно разрабатываемых областей современной теории управления. Раздел теории управления, относящийся к линейно-квадратичной задаче (ЛКЗ) управления (линейный объект, квадратичный функционал качества), является достаточно важным и наиболее разработанным. В значительной мере достижения в этом направлении связаны с работами Р.Каллмана, А.М. Летова, H.H. Красовского, А.А.Красовского, А.И.Лурье ВА.Якубовича, А.Г. Александрова и других ученых.

Внимание к ЛКЗ обусловлено рядом причин, среди которых можно выделить следующие: для линейных систем оптимальный закон управления имеет простой вид в форме линейной функции от переменных состояний; расчет матрицы коэффициентов обратных связей легко автоматизируется на ЭВМ, с згой целью разработаны различные численные алгоритмы.

Следует отметил, идеализированность постановки ЛКЗ, где предполагается, что управление изменяется в открытой области. Как известно, это в определенной степени может выполняться только при небольших начальных отклонениях неременных состояния от их установившихся значений, а также при небольших возмутдающих воздействиях. Волее реальная постановка задачи требует введения ограничении на управление, так чтобы учесть его в процессе определения алгоритма.

В связи с этцм возникает задача более подробного исследования задачи расчета и синтеза оптимального регулятора с учетом ограничения на управление. Точное решение такой задачи практически невозможно, поэтому необходимо ориентироваться на приближенные, численные методы расчета. Разработка соответствующих численных алгоритмов управления связана с проведением дополнительных исследований, учитывающих, что оптимизация должна выполняться на бесконечно большом промежутке времени. Эта задача недостаточно изучена.

Другая проблема, которую необходимо решать, относится к синтезу и реализации оптимальных алгоритмов управления. Точная реализация их практически невозможна даже для систем второго порядка, поэтому целесообразна разработка приближен-

- 2 -

ных релейно-линейных алгоритмов.

Таким образом, актуальность диссертационной работ! обусловлена необходимостью разработки новых улучшенны модификаций численных методов для нахождения оптимальноп управления, а также разработки методик реализации боле эффективных приближенных р елейно-линейных алгоритме: управления, максимально близких к оптимальному управлению.

Пели диссертационной работы.

1. Анализ свойств замкнутой системы с линейны! регулятором, оптимальным по квадратичному критерию, пр] наличии ограничения на управление с разработкой необходимой алгоритмического и программного обеспечения.

2. Разработка алгоритмов численного расчета на ЭВГ* управления, оптимального по квадратичному функционалу < учетом насьпцения на бесконечно большом промежутке времени.

3. Разработка и исследование на ЭВМ приближенны] алгоритмов релейно-линейного управления; оценка близосп получаемых процессов к оптимальным относительно первона чальной постановки задачи.

В соответствии с поставленными целями в работе решень следующие задачи:

- определены свойства замюгутой системы с линейно-ограниченным ре1улятором и выделены объекты, дйя которьп целесообразна разработка оптимальных алгоритмов;

- разработаны модификации алгоритмов численной 'ййгимиза-ции по квадратичному критерию с учетом ограничеггнйей управления на бесконечно большом промежутке времени;

- разработано программное обеспечение и выполнено численное моделирование на ПЭВМ для разлитшых объектов второго * третьего порядков при изменении начальных условий, дань рекомендации по применению исследованных в работе численных алгоритмов;

- разработаны приближенные релейно-линейные алгоритмь управления.

Методы исследования. Теоретические исследования основань на применении методов теории оптимального управления; принципа максимума, метода динамического программирования, а также матричного анализа, теории дифференциальных уравнений, частотных методов, метода гармонической линеаризации.

При разработке численных алгоритмов дополнительно используются методы нелинейного программирования. Разработка и анализ алгоритмов реализации управления базируются на методе фазового пространства

Практическая ценность. В работе на основе нредложешшх алгоритмов численной оптимизации разработано соответствующее программное обеспечение. Все предлагаемые в работе алгоритмы прошли экспериментальную проверку на ЭВМ на примерах систем второго и третьего порядка с учетом ограничения на управление, и мо1ут бьггь полезны при выборе конкретных численных алгоритмов оптимизации.

Предлагаемые в работе алгоритмы реализации релейно-линейного управления для систем второго и третьего порядка позволили улучшить характеристики замкнутой системы по сравнению с линейно-офаниченным управлением, в связи с этим могут найти применение при построении технических систем управления различного назначения.

Научная новизна данной работы.

1. Показано, что характеристики замкнутой системы с линейным регулятором состояния, синтезированным по квадратичному критерию, при наличии 01раничения управляющей координаты могут бьггь неудовлетворительными и неустойчивыми при увеличении начального отклонения вектора состояния. Определены объекты, для которых линейный с насыщением регулятор при больших х0 не может быть рекомендован для применения и для которых необходима разработка алгоритмов, учитывающих ограничение на величину управления.

2. Предложены модификации алгоритмов (нелинейного программирования, поиска начального сопряженного вектора, последовательных приближений) для численного решения на ЭВМ задачи квадратичной оптимизации с учетом ограничения управления на бесконечно большом промежутке времени.

3. Для большого числа призеров, п которых учитываются различные объекты второго и третьего порядков и начальные условия, выполнены численные расчеты на ПЭВМ по предлагаемым алгоритмам, определены особенности таких расчетов, даны рекомендации но улучшению сходимости.

-44. Предложены алгоритмы реализации приближенного релейно-линейного управления для объемов второго и третьего порядков. Численное моделирование на ПЭВМ подтвердило эффективность предлагаемых алгоритмов по сравнению с линейным регулятором с насыщением и в то же время показало близость к процессам, оптимальным по квадратичному критерию с учетом ограничения.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных и технических конференциях СПГЭТУ в 1991, 1992 гг.

Публикация. По теме диссертации опубликована одна печатная работа.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав с выводами, заключения, приложения и списка литературы, включающего 89 наименований. Основная часть работы изложена на 134 страницах машинописного текста. Работа содержите 34 рисунка. Приложение включает 41 страницу текстов npoipaMM на языке Фортран и пояснений к ним.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели и основные задачи исследования.

В первой главе диссертационной работы выполнен анализ устойчивости системы с линейным регулятором с учетом насыщения и для нее проведено моделирование на ПЭВМ.

'Рассмотрим линейно-ограниченную квадратичную задачу (JIOK3) оптимизации. Пусть заданы полностью управляемый объект управления, описываемый уравнением

х = Ах+Ви, (1)

с ограниченным скалярным управлением

И<ц. (2)

и критерий оптимальности

J = j (xTQx + rJ )dt -» min. (3V

0

Линейной квадратичной задаче (J1K3), как известно, соответствует линейный оптимальный регулятор

- 5 -

и = -Кх, К - ВТР ! г, где матрица Р находится из уравнения Риюсати ATP + PA-PBBTP/r + Q = Q .

(5)

При этом замкнутая система х - (А - ВК)х устойчива, если пара (л, я)-полностью наблюдаема, где О = ЯТН. В виду простоты регулятора

и его широкого применения в главе выполнен анализ устойчивости и свойств замкнутой системы с таким регулятором.

Показано, что достаточные условия устойчивости, полученные в работах Цыпкина, Michaels, Fuller и др., не могут в ряде случаев определить устойчивость замкнутой системы с регулятором (б). Например, для объекта из грех интеграторов по теореме (Chen) нельзя определить, устойчива замкнутая система или нет. Другой подход, рассмотренный в этой главе, основан на применении метода гармонической линеаризации, с помощью которого установлено, что замкнутая система с регулятором (6) неустойчива в большом для объекта из п интеграторов, л £ 3, что подтверждено также моделированием на ЭВМ.

Кроме устойчивости важное значение имеет качество переходных процессов при изменении д(о) в большом диапазоне в замкггутой системе с регулятором (6), анализ которых выполнен в работе путем численного моделирования на ЭВМ. При этом решалась система разностных уравнений

где Рай вычисляются для объекта (1) но формулам матричных степенных рядов.

В результате расчетов на ЭВМ показано, что для систем с объектами второго порядка в виде двух интеграторов, колебательного звена, а также для систем с объектами третьего порядка при увеличении л(0) происходит значительное ухудшение переходных ггроцсссов с большим числом переключений управления, большой колебательностью выходной координата и сильным замедлением процессов. Таким образом, регулятор (6) для многих объектов второго и более высокого порядков не обеспечивает процессов, близких к оптимальным но

и - -sat(AI*)

(6)

x(i +1) = Fx(i) + Du(i), й(0 = - sat(fjc(i)),

(7)

квадрэтичному критерию и, следовательно, необходима разработка более совершенных алгоритмов.

Во второй главе представлены численные методы решения задачи оптимизации (1)-(3). Из принципа максимума получен алгоритм управления

u(t) = UM sat а(г), (8)

гае о(г) = 0.5В1 if{t) / г , i¡/(г) - решение сопряженной системы

цг=2 Qx-A^y/.

В JIK3 без учета (2) зависимость у(х) - линейная: у{х) = -2Рх, где Р - решение матричного уравнения Риккати (5).

В задаче (1)-(3) зависимость у{х) в общем случае аналитически найти невозможно, поэтому целесообразно использовать приближенные ми-оды расчета оптимальных алгоритмов.

Как отмечалось, на практике вместо алгоритма' (8) часто применяется линейно-ограничешплй риулятор (6)i. ПЬатому важно выявить объекты, весовые коэффициента критерия (3), для которых регулятор (6) является оптимальным.

В диссертационной работе в связи с эпгим выполнен анализ .достаточных условий оптимальности (Johnson) peiyn$rropa (6). Показано, что для объектов второго порядка (двойной интегратор, колебательное звено), а также для многих объектов третьего порядка эти достаточные условия не выполняются для любых элементов матрицы Q. Учитывая полученные в гл.1 неудовлетворительные результаты моделирования замкнутой екзтемы для таких объектов с регулятором (6), несмотря на возникающие трудности расчета, целесообразно находить алгоритм управления путем решения задачи квадратичной оптимизации, учитывающей ограничение на управление, ориентируясь при этом на численные методы расчета. В диссертационной работе рассмотрен ряд алгоритмов численной оптимизации, выполнена их экспериментальная проверка на ПЭВМ, предложены следующие модификации, улучшающие их сходимость при больших х(о).

2.1. Нелинейное программирование для определения непосредственно оптимального управления u(t¡).

При заданном начальном приближении u°(t) для задачи (1), (3) с учетом ограничения (2) переходим к разностному уравнению (7).

Функционал (3) преобразуется к дискретной форме

J = йZ[*T(»)ß*0) + "т (<)«"(<)] -> min . (9)

1=0

Для ускорения решения разработана модификация, состоящая в том, что кроме основною шага А, используемого при поиске «(О, вводится шаг h' = hlL, L> 1, позволяющий увеличить точность вычисления критерия.

Таким образом, если при поиске с шагам А определено управление uk(.i), i = l,...,N-l, то при расчете функционала между точками и'(0 и «'(i + l) используются дополнительные L-1 точек.

Этим способом на базе таких методов нелинейного про1раммирования, как метод скользящего допуска, Неддера-Мида с штрафными функциями получено оптимальное решение для объектов первого и второго порядка при относительно небольших х0. Недостаток этого способа обусловлен трудностью его применения при маленьком шаге дискретности и высоком порядке объекта из-за увеличения времени решения задачи.

2.2. Нелинейное программирование в сочетании с принципом максимума для определения оптимального начального сопряженного вектора ц>й.

Оптимальное управление «(О по принципу максимума зависит от сопряженного вектора (4). Так как начальный вектор состояния х0 задан, то x(t) и и(г) могут быть найдены, если известен начальный сопряженный вектор

Рассмотрим методику численного поиска уа на основе уравнений принципа максимума и нелинейного нрохраммирования с применением ряда модификаций.

Для ускорения вычислений, учитывая линейность уравнений объекта и сопряженной системы, используется решение на базе матрицы перехода, выполняя, таким образом, переход к линейным разностным уравнениям. У'птгывая характер управляющей

функции как линейного звена с насыщением, запишем две системы разностных уравнений: в линейной области, где \и\ < ит>

5*(' + 1)

-Г,

40 Ж)

(10]

и в области насыщения при |и| > иш

д:(«+1)'

1К/+1)

40' <40

■О^щ^вмоу (И]

В уравнениях (10), (И) % = еА,\ = с4**, 0 = |еЛ*'ВЛЛ,

где А, = А —ВВ1 ' А

2 г . А =

.22 -л* .

в/ = [вт с], к -интервал

дискретизации по времени.

Функционал (3) в дискретной форме принят в виде (9). Дл^ поиска оптимального у0 применен метод нелинейного программирования (МНП) Пауалла, не требующий вычисления производных функционала и показавший свое преимущество по сравнению с методом Неддера-Мида.

Важное значение имеет выбор начального приближения у0. При небольшом х(о) (небольшой степени насыщения управления) целесообразно выбрать на основе ЛКЗ

Уо = -2Р40). (12)

При увеличении х(о) такой выбо! не может бьпъ рекомендован, так как у/0 оказывается слишком далеким от оптимального, не позволяя в раде случаев найти оптимальное решение. Для приближения \у0 к оптимальному разработан алгоритм с переменным уровнем ограничения, состоящий в том, что задается

набор значений ип', / = 1,2,____так, что 1/и'+1<1/м', 1/м1 >1/я, т.е.

вводятся постепенно уменьшающиеся значения уровня ограничения.

Для того, чтобы начальное приближение у/0 было ближе к . оптимальному, предлагается, таким образом, увеличить начальный уровень ограничения. Сначала увеличиваем величину ограничения до uj > Um. При этом ограничении и начальном сопряженном векторе (12) найдем оптимальный Затем

уменьшим величину ограничения до Um2 <Um'. При Um2 и начальном сопряженном векторе у/0а = найдем оптимальный y/J1. Этот процесс продолжается до тех пор, пока величина ограничения Uj не достигнет исходного значетш Um.

Анализ показал, что при больших *(о) с уменьшением uj возрастает чувствительность алгоритма к выбору начального приближения у/™. При этом следует брать значения U„' с меньшим шагом, что ведет, однако, к росту объема вычислений. Для- получения более точного начального приближения i/00' предложено использовать полиномиальную аппроксимацию, учи-тнвающую знание предыдущих значений при разлитых t/J-

0(+1 , .. 1+1 , гт (+12 , тт i+lJ Vo =<h+a,Um +a1Um + aJJm ... ,

где а, рассчитываются с помощью метода наименьших квадратов.

Дополнительно следует возможно точнее определить моменты времени г„, соответствующие переходам с нелинейной области на линейную и обратно, для которых справедливы уравнения °(Ü + Um = 0 нли <*{',) - fm = 0. Для этого может быть применен, например, метод секущих. Кроме того, при разработке программ необходимо предусмотреть вычисления с двойной точностью.

На основе совокупности вышеприведенных алгоритмов были решены задачи для объектов второго и третьего порядка.

Например, для объекта из трех интеграторов

х = и, |«|£1, V =[10 0 0]

с критерием (3), где Q = diag[l 0 0], г = 1, К = [1 2 2], при шаге h = 0.1, N = 200 получено оптимальное реш;ние

у/0'Т =[-63.1802 -101.9549 -98.6565] и min/= 281.7887.

Процессы с оптимальным, управлением, ib отличие от и = -sat(fct), соответствуют устойчивой замкнутой системе и имеют достаточно хорошие качественные показатели: tk = 16 с, перерегулирование - 11%, с одним переключением управления.

2.3. Нелинейное щхнраммирование в сочетании с принципом максимума и принципом оптимальности для определения щ в системе второго порядка.

Применение принципа оптимальности >полезно в тех случаях, когда из предварительного анализа определена, например, начальная часть оптимальной траектории. В отом случае решение целесообразно проводить не из точки л(о), а из какой-либо точки начальной траектории, наиболее удобной для расчетов, например для л = 2 при х, = 0. Такой подход позволяет сократить интервал решения и уменьшить при этом погрешность интегрирования.

Кроме того, в сочетании с известной линией переключения в задаче оптимального быстродействия можно найти начальное приближение более близкое к его оптимальному значению. В соответствии с этим предложен следующий алгоритм определения у/а при больших х(о). Из точки х(о) решается уравнение объекта (1) при и = -l/,„ sign а(х), где о{х)-функция переключения при оптимальном быстродействии, до точки принадлежащей линии переключения. Для этой точки приближенно можно

принять if/2' = -2sigua{x). Тогда из функции Гамильтона для системы второго порядка в канонической управляемой форме

П = -x'V - rU2 + ¥ilXjl + vA^ - «А* + «>.) = 0

найдем Зная у/2\ инте1рируем в обратном времени уравнения

©

х = -Ах - Ви, и = -Um sign а{х), Ц1 = -2 Qx + ATv

из точки д:1, ((/до тех пор, пока не придем в точку оптимальной траектории л2, например, на оси х2 = 0. После получения х1, j/, применяем у? в качестве начального приближения для

сопряженного вектора и проводим отыскание оптимального у*(о) для точки х1 на основе приведенных в п.2.2 алгоритмов. Этот метод позволяет найти решение быстрее, чем алгоритмы п.2.2, но . при значительном увеличении д;(о) требует больших затрат времени.

2.4. Метод последовательных приближений. В диссертационной работе выполнено экспериментальное исследование на ЭВМ трех модификаций метода последовательных приближений (Крылов И.А., Черноусько Ф.А.), которые были использованы при разработке алгоритмов и программ для численного расчета оптимального управления применительно к задаче (1)-(3).

1) Каждое последующее управление ищется в виде линейной

комбинации управлений u^{t) и Ди(/)(г):

«0+l)(r) = aRtt0)(f) + (l-a)«W(f). а е [0 1], /е[0 г,],

1Де 7 = 1,2,... , Лм(») = sat o(f).

Параметр, а на каждой итерации подбирается из условия минимума функционала J по параметру а.

2) Применяется итерационный процесс

где интервал [г', Г] с [О, /,], j = 0,1.....

Ингервал [г', г"] выбирается так, чтобы обеспечить условие

ще -гзначения функционала, отвечающие уп-

равлениям «(>+,) и При реализации этого алгоритма полагаем t" = tk и изменяем один параметр i' е[0, it], пока функционал не достигнет минимума по t', затем изменяем значения г"и т.д..

3) Для данного управления «(г) найдем точку т, из условия

л„я(0 = шахл.я(г).

гд<? AkH(t) = (i/r, f(x, Ru)-f(x, и)), после чего найдем параметр Иш, как решение задачи на экстремум

- 12 -

J(u,.t)~> min, h e[0, шах(г„ tk - rj].

Обозначим Рйи = игЛ и построим последовательность допустимых управлений

u^l) = p°uu\ j = 0,1,...,

где ил{ t) =

г е[0, А£0 .

При помощи этих алгоритмов последовательных приближений на основе разработанного в диссертационного работе программного обеспечения решен ряд задач для системы второго порядка. Например, получено оптимальное управление для объекта из двух интеграторов, а также колебательного объекта при

большом начальном состоянии ^=[10 10].

Результаты вычислений на ЭВМ показывают эффективность оптимальных алгоритмов по сравнению с линейно-ограниченным. управлением и, следовательно, делают актуальной задачу их последующей реализации.

В третьей главе рассматривается синтез алгоритмов управления для системы (1)-(3). Аналитическое выражение для нелинейной зависимости и = F(x) получить невозможно. Поэтому в этой пиве рассматриваются приближенные квазиоптимальные алгоритмы управления, а именно релейно-линейные алгоритмы управления.

Для того, чтобы процессы по приближенному алгоритму были достаточно близки к оптимальным в задаче (1)-(3), предложена методика построения оптимальных фазовых траекторий для систем второго порядка на фазовой плоскости,

Точный анализ, выполненный путем расчетов на ЭВМ на основе принципа максимума и интегрирования его уравнений в обратном времени, показывает, что на фазовой плоскости могут быть выделены пять областей. Область С, с линейным управлением и =~Кх; С2 - с линейно-ограниченным и =-^(Кх); в,, - с релейным; в, - с нелинейным ограниченным

- PJ-

управлением. Границами областей Gs и G3, G, служат две линии переключения. При увеличении *(о) эти линии стягиваются к одной, близкой к линии переключения, оптимальной по быстродействию. Учитывая этот анализ, с целью упрощения реализации управления разработаны приближенные релейно-линейные алгоритмы.

Алгоритм 3.1. В области G, применяем линейное управление

и = -Кх,

а в остальной области фазовой плоскости и = -t/m sign o(jc),

ще <т= f{x)-оптимальная функция переключения по быстродействию.

В начальный момент времени t = 0 при большом *(о) на вход объекта подается релейный сигнал, при котором изображающая точка по траектории быстродействия попадает на границу области G,. На этой линии происходит изменение алгоритма управления с релейного на линейный, при котором система приходит к началу координат.

Алгоритм 3.2. В областях G,, G, применяем

и - -sat(fo), в остальной части фазовой плоскости и = -Um sign а(х). Алгоритм 3.3. Предварительно необходимо определить область G = {х: xJLx £ l/t^Zf'c}, гарантирующую устойчивость замкнутой системы при u = -s&t(Kx) (Каменецкий В.А.). Для системы (1) в области G полагаем L = Р, С = -к1, ще Р-решение уравнения Риккати (5), АГ-матрица коэффициентов оптимального регулятора (4). Таким образом, алгоритм состоит в следующем: при большом дг(о) применяют и = -Um sign о(х), в области G и = -sat(jCx).

Из сравнения трех предложенных алгоритмов следует, что алгоритм 3.2 легче реализовать, чем алгоритм 3.1 и он ближе к оптимальному, чем алгоритм 3.3. Для алгоритма 3.2 разработана

программа и выполнено моделирование на ПЭВМ для различных объектов второго порядка, в результате которого показана эффективность предлагаемого алгоритма по сравнению с линейно-ограниченным управлением и близость переходных процессов к оптимальным. Наибольшее преимущество наблюдается для колебательного объекта и объекта из двух интецэаторов.

В отличие от систем с переменным критерием оптимальности (Кузнецов Н.И.) предложенные алгоритмы не требуют применения метода динамического программирования для . определения области перехода от релейного управления к линейному (4).

Также в этой главе предложены несколько модификаций релейно-линейного алгоритма для систем третьего порядка. Отметим, что, в отличие от систем второго порядка, в данном случае практически невозможно синтезировать в фазовом пространстве оптимальный алгоритм управления.

Алгоритм 3.4. В области G применяем линейное управление

и = -Кх.

В остальной области применяем

и = —Um sign а .

Область G выорана следующим образом.

Согласно условиям конкретной системы с помощью функции Беллмана зададим несколько параллелипипедов или эллипсоидов для области G, центр которых находится в начале координат. Для каждого параллелипипеда или эллипсоида делаем моделиро-' вание процессов в системе с релейно-линейным алгоритмом управления. После сравнения полученных переходных процессов найдем наиболее подходящий параллелипипед или эллипсоид.

Алгоритм 3.5. Этот алгоритм совпадает с алгоритмом 3.4 кроме того, что выбор области С, также как в алгоритме 3.3 для системы второго порядка, происходит из условия

G = [x: хтРхй1/КР-'Кт} .

Алгоритм 3.6. С помощью функции Беллмана определим отрезок прямой АВ, который целиком лежит в зоне линейности. Находим сначала алгоритм управления, который переводит изображающую точку системы за минимальное время на прямую в пространстве фазовых координат системы и дзижется далее к началу координат при линейном алгоритме управления. Пусть..

отрезок АВ - G = = axJ,x2 = 5 Un,u = -Кх}. Из x(t)eG до x(tk) = 0 принимаем и = -J&; а из дг(о) = % до G:

(йЫ ПРИ ft(x) > О и g2(x) > О; и(х) = -Um sign g2(х) пря g,(х) < 0 и g2(x)< 0;

у(х) при g,(x) < 0 и g2(x) > О,

ще g,(х), g2(x), ф(х) -функции переключения для выхода в точки А, В и на прямую АВ соответственно.

Для объекта из трех интеграторов определены уравнение поверхности и функция переключения, обеспечивающие за минимальное время выход на отрезок прямой. Для других объектов третьего порядка предложена методика численного расчета функции переключения, основанная на интегрировании уравнений объекта в обратном времени из точек заданного отрезка прямой и последующей' аппроксимации полученного набора точек подходящей аналитической зависимостью.

Численное моделирование на ПЭВМ показало, что замкнутая система третьего порядка с релейно-линейными алгоритмами является устойчивой при любом х(о) и имеет существенно лучшие переходные процессы, чем система с линейно-ограниченным уйравЛенйей.

Анализ предложенных в toi.3 приближенных алгоритмов для систем второго и третьего порядков выявил их небольшую чувствительность к малым изменениям параметров объекта управления.

Приложение содержит описание и тексты основных программ для ПЭВМ, разработанных для предложенных в диссертационной работе алгоритмов управления: программа для численного расчета

начального сопряженного вектора у„*; для синтеза предложенных релейно-лииейных алгоритмов и моделирования замкнутой системы управления; вспомогательная программа для расчета экспоненциальной матрицы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ PAL-ЭТЫ

В диссертационной работе получены следующие основные

результаты.

1. Выявлены особенности поведения замкнутой системы с линейно-ограниченным управлением, определен класс объектов, для которых наиболее целесообразна разработка алгоритмов, оптимальных по квадратичному критерию с учетом ограничения на управление.

2. Предложена модификация численного алгоритма оптимизации на основе поиска начального сопряженного вехтора, использующая переменный уровень ограничения управляющей координаты, а также модификация с прогкйзирующим выбором начального сопряженного вектора по результатам предыдущих итераций.

3. Предложен алгоритм численной атимизации системы второго порядка, сочетающий принцип оптимальности Р. Беллмана, принцип максимума Л. С. Нотрягина и предельные фазовые траектории.

4. Предложены алгоритмы реализации приближенного релейно-линейного управления для сйсгем второго и третьего порядков, более эффективные, чем линейно-ограниченное управление, и близкие к оптимальным алгоритмам относительно квадратичного функционала с учетом ограничения управления.

5. Разработано иро1раммное обеспечение, на основе которого получены результаты численного моделирования на ПЭВМ предложенных в работе алгоритмов, даны рекомендации по их применению.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Зотов Н.С., У Юнфэй. Приближенная оптимизация квадратичного1 критерия с учетом ограничения на управление. // Изв. СПГЭТУ, Сб. Научных трудов, вып. 452. Системы обработки информации и управления. С.23-26, 1992.