автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы параметрической оптимизации управления в больших динамических системах

введение.

1. проблема параметрической оптимизации управления в больших динамических системах как задача последовательного квадратичного программирования.

1.1.Проблема параметрической оптимизации управления и типовые подходы к ее решению.

1.2.Формализация проблемы параметрической оптимизации управления как задачи последовательного квадратичного программирования.

2. методы нелинейного программирования для решения задачи параметрической оптимизации управления в больших динамических системах.

2.1. Анализ методов квадратичного программирования с линейными ограничениями-неравенствами.

2.2.Выбор алгоритма решения задачи квадратичного программирования с линейными ограничениями-неравенствами.

2.3.Методы последовательного квадратичного программирования с линейными ограничениями-неравенствами.

3. алгоритм параметрической оптимизации управления в динамических: системах и его применение для решения прикладных задач.

3.1.Алгоритм параметрической оптимизации управления в динамических системах на базе последовательного квадратичного программирования

3.2.Проблема выбора оптимальных значений настроек регуляторов больших энергообъединений.

3.3.Проблема параметрической оптимизации управления для систем с упругими элементами. выводы.

Большие технические системы по мере развития их структуры и роста числа элементов часто приобретают новые динамические свойства, порождающие проблемы, связанные как с построением новых законов управления такими объектами, так и с выбором параметров управления в уже известных законах. Синтез высокоэффективных законов, не требующих серьезных усилий по последующему выбору их параметров, часто затруднен. Это связано как с большими материальными и организационными трудностями при внедрении новых систем управления большими техническими объектами, так и с тем, что для систем с распределенными на большом расстоянии в пространстве элементами сбор полной информации о векторе состояния невозможен или требует создания дорогостоящей и громоздкой системы телеметрии, что не всегда реализуемо на практике.

В связи с указанными выше проблемами решение задачи параметрической оптимизации управления на современном этапе приобретает особую значимость и актуальность. Вместе с тем, эта задача существенно усложняется, с одной стороны, из-за противоречивости управления, выражающейся во встречном движении на комплексной плоскости корней характеристического уравнения матрицы состояния системы при вариации параметров, а, с другой стороны, в связи с крайне трудоемким вычислением целевой функции в моделях высокой размерности. Последнее объясняется тем, что одно вычисление целевой функции на практике часто включает в себя решение полной проблемы собственных значений для матрицы состояния системы, размерность которой в современных задачах управления может составлять сотни и тысячи. Именно поэтому в последние десятилетия наблюдается большой интерес к разработке нового класса методов параметрической оптимизации управления у нас в стране и за рубежом. Эти методы должны быть ориентированы как на уменьшение количества вычислений целевой функции, так и на увеличение степени надежности получаемого решения. Одним из путей снижения объема вычислений в процессе оптимизации является использование различных аппроксимаций целевой функции, в частности, применение аппарата квадратичного и последовательного квадратичного программирования. Здесь, в первую очередь, следует отметить работы Гилла, Мюррея, Денниса, Море, Шиттковски, Конна, Колемана [8-10,12,14-18], чьи методы были успешно доведены до формализованных алгоритмов и реализованы как в специализированных вычислительных пакетах (SNOPT, L-BFGS-B, LANCELOT, NLPQL, QPOPT, SQOPT и др. [6-7,11-13,19]), так и в больших программных комплексах (MatLab, библиотеки NAG, IMSL и др.). Дальнейшим исследованиям в этом направлении посвящена и настоящая работа.

Актуальность решения отмеченных задач нашла отражение в рамках программы гранта РФФИ 99-02-18088 "Теоретические основы и исследования динамических свойств больших электроэнергетических объединений и решение проблем управления устойчивостью их режимов" и гранта "Синтез законов квазимодального управления устойчивостью больших распределенных динамических систем при ограниченной измеряемой информации" Министерства Образования РФ в области технических наук по направлению "Автоматика и вычислительная техника".

Важность указанных задач подтверждается также многочисленными исследованиями, проводимыми во многих странах мира. В связи с этим, целью настоящей работы является создание методов, алгоритмов и программного обеспечения для решения научно-технической проблемы, связанной с параметрической оптимизацией управления в больших динамических системах. Для достижения поставленной цели в работе ставились и решались следующие задачи:

• формализовать проблему параметрической оптимизации управления в больших динамических системах как задачу последовательного квадратичного программирования с линейными ограничениями-неравенствами на параметры управления. Обобщить ее на случай получения единой настройки коэффициентов управления, являющейся робастной на всем множестве значений неопределенных параметров объекта управления;

• разработать эффективные методы решения задачи последовательного квадратичного программирования, успешно работающие в условиях некорректной постановки задачи;

• создать алгоритмы и программное обеспечение, реализующие разработанные методы, и оценить их эффективность на примерах решения реальных прикладных задач в областях электроэнергетики и механики.

Диссертационная работа содержит три главы.

В первой главе рассматривается развернутая постановка проблемы параметрической оптимизации управления в больших динамических системах. Представлены два основных подхода к решению данной проблемы: программное управление и метод управления с обратной связью. Формулируется математическая модель исходной системы, учитывающая как вектор параметров, доступных управлению, так и вектор неопределенных параметров объекта управления, на всем диапазоне изменения которых необходимо обеспечить устойчивость замкнутой системы. При построении модели считается, что либо исходная система является линейной, либо рассматривается ее линеаризация. Анализируются различные критерии, на которые часто ориентируются при решении задачи параметрической оптимизации управления с целью обеспечения устойчивости динамических систем. К данным критериям относятся:

• степень устойчивости, которая характеризуется самым правым на комплексной плоскости корнем характеристического уравнения;

• функция качества, учитывающая взаимное расположение собственных значений матрицы состояния замкнутой системы в левой полуплоскости [20].

Проводится анализ критериев, ориентированных только на степень устойчивости, который демонстрирует их негладкость, а, следовательно, невозможность применения к ним широкого класса методов оптимизации. Отмечается, что функция качества, ориентированная на совокупность доминирующих корней характеристического уравнения и обеспечивающая приемлемое демпфирование во всем диапазоне возможного изменения неопределенных параметров системы, свободна от данного недостатка. Вместе с тем, проводится анализ, показывающий, что применение стандартных методов оптимизации [1,4,21-24] к функции качества приводит к ее частому вычислению, что оборачивается решением дорогостоящей проблемы вычисления всех собственных значений для матриц, порядок которых составляет сотни и тысячи.

Формулируется идея последовательного квадратичного программирования [5,12-13], которая позволяет существенно минимизировать количество вычислений целевой функции в ходе процесса оптимизации. Предлагается двухэтапная процедура, которую следует использовать на каждом шаге работы метода последовательного квадратичного программирования. Рассматривается применение данной двухэтапной процедуры для задач, имеющих как корректную, так и некорректную постановку. Вводится механизм "уступки", позволяющий существенно повысить надежность решения, получаемого на каждом шаге метода последовательного квадратичного программирования, а, следовательно, существенно сократить число шагов метода, необходимых для получения решения исходной задачи параметрической оптимизации управления.

Вторая глава посвящена описанию предложенного метода последовательного квадратичного программирования для решения задач параметрической оптимизации управления в больших динамических системах. Показано, что любой метод последовательного квадратичного программирования может быть разбит на три стадии:

• формирование квадратичной модели исходной нелинейной функции и задание области ее адекватности по отношению к исходной нелинейной целевой функции;

• решение задачи квадратичного программирования;

• расчет значения исходной нелинейной функции в точке, полученной в результате решения задачи второй стадии, возвращение к первой стадии.

Представлен обзор стандартных методов решения задач квадратичного программирования [6-10,17-18,25-30] и алгоритмов пересчета области адекватности квадратичной модели исходной нелинейной целевой функции [31-33,113].

В результате обзора методов квадратичного программирования с линейными ограничениями-неравенствами показано, что их ключевым различием является механизм исключения ограничений из активного множества. Показано также, что одновременное исключение уже двух ограничений на основании информации о знаках множителей Лагранжа не всегда является возможным и требует дополнительного математического обоснования.

Для выбора алгоритма решения задачи квадратичного программирования с линейными ограничениями-неравенствами с целью его использования в предлагаемом методе параметрической оптимизации управления после всестороннего предварительного анализа для дальнейшего детального тестирования были взяты четыре наиболее популярных алгоритма [4,17,21], которые покрывают все многообразие реализаций методов этого класса. Для проведения сравнения с согласия авторов были получены оригинальные программные реализации соответствующих алгоритмов. Осуществлен выбор алгоритмов квадратичного программирования для использования в рамках двухэтапной процедуры разработанного метода параметрической оптимизации управления.

Показано, что стандартные алгоритмы пересчета размера доверительной области обладают одним общим недостатком, а именно, эвристическим способом выбора используемых констант и переходом с одной ветви алгоритма на другую. В связи с невозможностью при решении широкого комплекса практических задач остановится ни на одном из стандартных алгоритмов, предложен алгоритм пересчета размера доверительной области собственной разработки.

В третьей главе приводится разработанный алгоритм, построенный на базе предложенного метода параметрической оптимизации управления. Подробно рассмотрено применение данного алгоритма для решения задач из различных предметных областей: электроэнергетики и механики. Приведен дизайн программного обеспечения, построенного на базе предложенного алгоритма. Отмечено, что разработанное программное обеспечение наряду с автономным использованием встроено в вычислительный комплекс "Поиск" [20,34,35], успешно применяемый как у нас в стране, так и за рубежом для анализа статической устойчивости режимов больших энергообъединений.

В качестве первой электроэнергетической модели рассмотрена тестовая схема Энергосетьпроекта (ЭСП) [35], которая близка по характеристикам к фрагменту объединенной энергосистемы стран бывшего СССР. Она включает, в основном, сети 220, 500 и 1150 кВ, имеет 12 эквивалентных генераторов, 8 из которых оснащены автоматическими регуляторами сильного действия. Линия электропередачи 1150 кВ протяженностью 2400 км связывает три объединенные энергосистемы: Урал, Казахстан и Сибирь. Общий дифференциальный порядок модели, построенной на основании данной схемы, составляет более 600 уравнений. В качестве второй электроэнергетической модели рассмотрена стандартная тестовая схема IEEE, которая называется New England [36], и является популярной в кругах электроэнергетической общественности мира для демонстрации новых методов в области устойчивости и управления. Для обеих моделей получены настройки, обеспечивающие статическую устойчивость как для отдельно взятых режимов работы, так и для их совокупностей.

Приведены результаты, свидетельствующие о том, что хотя разработанный алгоритм изначально был ориентирован на решение задач высокой размерности, он успешно зарекомендовал себя и на проблемах, в которых размерность исходной системы невелика, однако которые характеризуется большими трудностями, связанными с обеспечением устойчивости на всем диапазоне изменения неопределенных параметров объекта управления. Ярким примером является задача из области механики, связанная с параметрической оптимизацией управления для систем с упругими и инерционными элементами (общий дифференциальный порядок системы составляет от 6 до 11 уравнений) [37-39].

Показано, что для задач из обеих предметных областей разработанный метод зарекомендовал себя существенно лучше, чем ранее использовавшиеся методы (такие как градиентный метод, симплекс-метод, различные ньютоновские и квази-ньютоновские методы и т.д. [5,21,40-46]), как с точки зрения надежности получаемого решения, так и с точки зрения вычислительной эффективности процедуры оптимизации. В подтверждение этого факта приведены подробные сравнительные характеристики разработанного алгоритма со стандартно используемыми алгоритмами решения задачи параметрической оптимизации для данных предметных областей.

На защиту выносятся следующие основные результаты: 1. Процедура сведения проблемы параметрической оптимизации управления к задаче последовательного квадратичного программирования с линейными ограничениями-неравенствами на параметры управления, обобщенная на случай получения единой эффективной настройки коэффициентов управления, которая является робастной на всем множестве значений неопределенных параметров объекта управления.

2. Двухэтапная процедура решения задачи квадратичного программирования с линейными ограничениями-неравенствами, которая на основе механизма "уступки" заметно повышает надежность получаемого результата ценой незначительного уменьшения качества достигнутого управления, а также позволяет получить оптимальные значения параметров в условиях некорректной постановки задачи.

3. Положение о том, что при решении задачи квадратичного программирования с линейными ограничениями-неравенствами процедура выведения из "активного" множества одновременно двух или более параметров на основе анализа множителей Лагранжа не всегда допустима и требует дополнительного математического обоснования.

4. Метод последовательного квадратичного программирования для решения задачи параметрической оптимизации управления в больших динамических системах. Алгоритм и программная реализация данного метода как для автономного использования, так и в виде подсистемы оптимизации вычислительного комплекса "Поиск", предназначенного для анализа и управления статической устойчивостью режимов больших энергообъединений.

Практическая значимость результатов работы.

1. Разработанный метод параметрической оптимизации управления доведен до формализованного алгоритма и программного обеспечения, которые могут быть легко адаптированы к любой предметной области, где решается задача параметрической оптимизации в указанной постановке.

2. Предложенный метод параметрической оптимизации управления реализован в рамках отдельной подсистемы вычислительного комплекса

12

Поиск", предназначенного для анализа статической устойчивости режимов больших энергообъединений. Данная версия комплекса успешно используется в НИИ "Энергосетьпроект" и ЦДУ ЕЭС России. Проведены доработки предыдущей версии "Поиска", использовавшейся, в частности, при выполнении ряда международных проектов.

3. Выполненные в диссертации разработки явились составной частью исследований в рамках программы гранта РФФИ 99-02-18088 "Теоретические основы и исследования динамических свойств больших электроэнергетических объединений и решение проблем управления устойчивостью их режимов" и гранта "Синтез законов квазимодального управления устойчивостью больших распределенных динамических систем при ограниченной измеряемой информации" Министерства Образования РФ в области технических наук по направлению "Автоматика и вычислительная техника".

4. Разработки диссертации включены в курс "Математические модели технических объектов" для специальности 220400.

ВЫВОДЫ

1. Проблема параметрической оптимизации управления в больших линейных динамических системах сведена к решению задачи последовательного квадратичного программирования с линейными ограничениями-неравенствами на параметры управления. Предложенная процедура сведения обобщена на случай получения единой эффективной настройки коэффициентов управления, являющейся робастной на всем множестве значений неопределенных параметров объекта управления.

2. Предложено применять двухэтапную процедуру для решения задачи квадратичного программирования с линейными ограничениями-неравенствами на каждом шаге работы метода последовательного квадратичного программирования. Данная двухэтапная процедура использует разработанный механизм "уступки", что позволяет существенно повысить надежность получаемого решения ценой незначительного уменьшения качества достигнутого управления. В случае некорректной постановки задачи предложенная двухэтапная процедура также позволяет существенно повысить надежность получаемого решения.

3. Показано, что главным отличием различных методов квадратичного программирования с линейными ограничениями-неравенствами является то, какому числу параметров, вышедших на ограничения на предыдущих шагах метода ("активное" множество параметров), разрешается изменение на последующих шагах метода. Доказано, что выведение из "активного" множества одновременно двух или более параметров не всегда допустимо и требует дополнительного математического обоснования. На основе выполненного сравнительного анализа характеристик различных методов квадратичного программирования с линейными ограничениями-неравенствами сделаны рекомендации по использованию наиболее эффективных из них на каждом шаге предложенной двухэтапной процедуры.

4. Проведен сравнительный анализ методов последовательного квадратичного программирования с линейными ограничениями-неравенствами и предложен новый метод этого класса, эффективный для решаемой задачи параметрической оптимизации управления в больших динамических системах. Предложен алгоритм пересчета размера доверительной области (области адекватности аппроксимирующей квадратичной функции исходной целевой функции) в разработанном методе последовательного квадратичного программирования.

5. Разработан алгоритм, реализующий предложенный метод последовательного квадратичного программирования. Данный алгоритм имеет программные реализации как для автономного использования, так и в виде подсистемы оптимизации вычислительного комплекса "Поиск", предназначенного для анализа и управления статической устойчивостью режимов больших энергообъединений.

6. Оценена эффективность предложенного метода выбора оптимальных значений параметров систем управления на примере моделей реальных энергосистем при решении задач анализа и управления статической устойчивостью больших энергообъединений. Установлен ряд случаев, когда предложенный метод позволил обеспечить высокое качество управления, недостижимое с помощью ранее использовавшихся методов. Сделаны рекомендации по выбору настроек автоматических регуляторов возбуждения в моделях российской и зарубежной энергосистем как для отдельно рассматриваемых режимов работы, так и для их совокупности.

143

7. Предложенный метод успешно применен при решении задач параметрической оптимизации управления для систем с упругими элементами. Для задачи с двумя инерционными и одним упругим элементом получена настройка, робастная на всем множестве значений неопределенных параметров объекта управления; при этом достигнута более высокая вычислительная эффективность по сравнению с методами, применявшимися ранее для решения этой задачи. Для задачи с тремя инерционными и двумя упругими элементами получено высокое качество управления на определенных подмножествах всего диапазона изменения неопределенных параметров объекта управления. Показана невозможность получения единой робастной настройки на всем множестве значений неопределенных параметров объекта управления при использовании регулятора как третьего, так и более высоких (четвертого и пятого) порядков. Вместе с тем, получена единая робастная настройка для данной модели при условии учета естественного демпфирования.

1. Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы./ Пер. с франц. - М.: Мир, 1973.-244с.

2. Фаддев Д.К., Фаддева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры.-М.: Физматгиз, 1960.-656 с.

3. Уилкинсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений.-М.: Наука, 1970. 564с.

4. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов / Пер. с англ. М.: Наука, 1986.-232 с.

5. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация/ Пер. с англ. М. : Мир, 1985.-509 с.

6. Gill Р.Е., Murray W., Saunders М.А. Users guide for QPOPT 1.0 : A Fortran Package for quadratic programming, August 1995, TR, University of California, San Diego , Stanford University ,USA.

7. Gill P.E., Murray W., Saunders M.A. Users guide for SQOPT 5.3 : A Fortran package for large-scale linear and quadratic programming, October 1997, TR, University of California, Stanford University, System Optimization Laboratory, USA.

8. Gill P.E., Murray W., Saunders M.A. and M.H.Wright Interia-controlling methods for general quadratic programming, S1AM Review, 33(1991), pp. 1-36.

9. Gill P.E., Murray W., Saunders M.A. SNOPT : an SQP algorithm for large -scale constrained optimization, Report NA 97-2 , Dept. of Mathematics, University of California , San Diego , Report SOL 97-3 , Dept. of EESOR , Stanford University, USA.

10. P.E.Gill, W.Murray and M.Wright Numerial linear algebra and optimization, Addison- Wesley, Redwood City, САД991, 426pp.

11. Dennis J.E Nonlinear least squares // The State of the Art in Numerical Analysis (D. Jacobs, ed.), Academic Press, London and New York, 1977, pp.269-312.

12. Dennis J.E, More J.J. Quasi-Newton methods, motivation and theory// SIAM Review 19, 1977, pp.46-89.

13. J.J. More, G.Toraldo Algorithm for bound constrained quadratic programming problems/ Numer.Math.-l 989.-43 ,N3,p.3 77-400.

14. T.Coleman, L. Hulbert .1993. A Globally and superlinearly convergent algorithm for quadratic programming with simple bounds. SIAM J. on Optimization N3, pp.298 -321.

15. Zhu C., Byrd R.H., Nocedal J. and Lu P. L-BFGS-B Fortran subroutine for large scale bound constrained Optimization, December 1994, TR, Northwestern University, USA.

16. Устинов C.M. Методы анализа и управления статической устойчивостью и демпферными свойствами сложных регулируемых энергосистем: Дисс. . докт. техн. наук.-Л,1989.-308 с.

17. Optimization Toolbox User's Guide (October 1994), The Math. Works, Inc.

18. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию М.: Наука, 1983. - 384с.

19. Черноруцкий И.Г. Методы оптимизации. Изд. СПбГТУ, 1998.

20. Черноруцкий И.Г. Оптимальный параметрический синтез: Электротехнические устройства и системы // Л.: Энергоатомиздат 1987.-128с.

21. Lotstedt P. Solving the minimal least squares problen subject to bounds on the variables.-BIT, 1984,24,N2, p.206-224.

22. H.B. Nielsen Bound constrained quadratic programming solved via piecewise quadratic functions, Implementation. TR96-21 Institute for numerical analysys .Techical university of Denmark. DK-2800 Lyngby Denmark.

23. K. Madsen, H.B. Nielsen and M.C. Pinar Bound constrained quadratic programming solved via piecewise quadratic functions. Forthcoming report from Institute for numerical analysys, 1996. Technical university of Denmark. DK-2800 Lyngby Denmark.

24. Calamai P.H., More J.J. Projected gradient methods for linearly constrained problems. Math. Programming 39,1987,p. 93 116.

25. Vanderbei R.J. LOQO: an interior point code for quadratic programming, 1997, TR, Princeton University, Princeton, NJ 08544.

26. T.Coleman, Liu J. An exterior newton method for convex quadratic programming. Cornell computer science TR: 97-1649, Cornell University, Ithaca, NY 14583, USA.

27. Branch M.A., Coleman T.F., Li Y. A subspace, interior and conjugate gradient method for large-scale bound constrained minimization problems, Cornell theory center, CTC95-TR217, Cornell University, Ithaca, NY14583, USA.

28. Byrd R.H., Hribar M.E., Nocedal J. An interior-point algorithms for large-scale nonlinear programming, July 1997, TR, Rice University, Northwestern University, USA.

29. J.J. More, B.S. Garbow, K.E. Hilstrom User's Guide for MINPACK-1 // Argonne National Laboratory, Report ANL 80-74, Argonne, Illinois, 1981.

30. Byerly, D.E. Sherman, and R.J. Bennon, "Frequency Domain Analysis of Low-Frequency Oscillations in Large Electric Power Systems", EPRI EL-726, RP744-1 Interim Report, Palo Alto, California, April 1978.

31. Wie В., Bernstein D. Benchmark Problems for robust control design // J. Of Guid., Contr., Dyn., V.15, №5, 1992.

32. Бурдаков С.Ф., Перовский B.E. Управление движением колебательной системы в условиях неопределенности ее математического описания // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1996. №3. С.41-46.

33. Burdakov S.F., Toupitsyn M.I. Robust Stability and Optimization of Controlled Oscillatory System // Proc. Intern. Conf. On Control of Oscillations and Chaos. Vol.3. St.Petersburg. Russia. 1997. p. 445-448.

34. J.A. Nelder, R. Mead "A Simplex method for function minimization", Computer Journal Vol.7, pp.308-313

35. R. Fletcher "A new approach to variable metric algorithms", Computer Journal, Vol.13, pp.317-322, 1970

36. D.F. Shanno "Conditioning for quasi-Newton methods for function minimization", Mathematics of computing, Vol.24, pp.647-656, 1970

37. R. Fletcher "Practical methods of optimization", Vol.1, Unconstrained optimization, John Willey and Sons, 1980

38. S.P. Han "A globally convergent method for nonlinear programming", Journal of optimization theory and applications, Vol.22,1977, p.297

39. M.J.D. Powell "The convergence of variable metric methods for nonlinearly constrained optimization calculations", Nonlinear programming 3, (O.L. Mangasarian, R.R. Meyer, and S.M. Robinson, eds.) Academic Press, 1978

40. M.J.D. Powell "A fast algorithm for nonlineary constrained optimization calculations", Numerical Analysis, ed. G.A. Watson, Lecture Notes in Mathematics, Springer Varleg, Vol.630, 1978

41. Д.Е.Лившиц, С.М.Устинов Метод параметрической оптимизации управления в больших динамических системах// Труды II международной научн.-практич. конф. "Информационные технологии в моделировании и управлении", 20-21 июня 2000г., СПб, СПбГТУ, стр. 234-236

42. Д.Е.Лившиц, С.М.Устинов Методика выбора оптимальных значений параметров систем управления устойчивостью режимов больших энергообъединений // Труды СПбГТУ №482 "Вычислительные измерительные и управляющие системы", 2001, стр. 17-22

43. Троицкий В.А. Вариационные задачи оптимизации процессов управления в механике, Автореферат дисс. на соиск. уч. ст. докт. физ-мат. наук, Л., 1963.

44. Троицкий В.А. Оптимальные процессы колебаний механических систем. Л.: Машиностроение, 1976, 248с.

45. Троицкий В.А. Оптимизация энергетических затрат при движении двухзвенных манипуляторов// Труды СПбГТУ № 452 "Анализ и синтез систем управления", 1995, с.3-12.

46. Троицкий В.А., Хагеши X. Использование оптимизационных методов при решении одномерных задач интерпретации данных наблюдений // Труды СПбГТУ № 476 "Вычислительные, измерительные и управляющие системы", 1998, с.3-7.

47. Gropp W., J.J. More Optimization environment and the NEOS server. Preprint MCS-P654-0397, Argonne National Laboratory, Argonne, Illinois, March 1997.

48. Czyzyk J., Mesnier M.P., J.J. More The network-enabled optimization system (NEOS) server. Preprint MCS-P615-1096, Argonne National Laboratory, Argonne, Illinois, October 1996.

49. Lotstedt P. Perturbation bounds for the linear least least squares problen subject to linear inequlity constraints.-BIT,1983,23,N4, p.500-519.

50. Clark D.I. ,Osborne M.R. On linear restricted and interval least squares problems. IMA J. Numer.Anal 8, pp.3-36 (1988).

51. Bjorck A. A direct method for sparse least squares problems with lower and upper bounds Numer. Math. 54, pp. 19-32 (1988).

52. J.T.Betts and P.D. Frank A sparse nonlinear optimization algorithm, J. Optim. Theory and Applies., 82 (1994), pp. 519-541.

53. Powell M.J.D. TOLMIN : A Fortran package for linearly constrained optimization calculations, DAMTP Repotrt NA2, 1989, University of Cambridge, England.

54. J.V.Burke, S.-P. Han A robust sequential quadratic programming method/ Math. Programming.-1989.-43 ,N3, pp.277-303.

55. J.V.Burke, J.J.More , G. Toraldo Convergence properties of trust region methods for linear and convex constraints,/ Math. Programming.-1990.-47, pp.305-336.

56. Dennis J.E., Heinkenschloss V., Vicente L.N. Trust region interior-point SQP algorithms for a class of nonlinear programming problems, TR94-95, Rice University, Houston, Texas 77005-1892, USA.

57. Herzel S., Todd M.J. Two interior-point algorithms for a class of convex programming problems, June 1994, TR, Cornell University, Ithaca, NY14583, USA.

58. M.L. Psiaki, K.Park Augmented lagrangian nonlinear programming algorithms that uses SQP and trust region techniques/ J.of Optimiz. Theory and Appl.-1995,-86 N2 , pp.311-325.

59. M. Fu, Z. Luo, Y. Ye Approximation algorithm for quadratic programming, August 1996, TR, University of Iowa, Iowa City, Iowa 52242,US A.

60. Y. Ye Approximating quadratic programming with quadratic constraints, April 1997, TR, University of Iowa, Iowa City, Iowa 52242,USA.

61. J.J. More , S.J.Wright Optimization software Guide,SIAM, Philadelphia, PA, 1994,154pp.

62. Goldfarb, D. and A. Idnani A numerically stable dual method for solving strictly convex quadratic programs/ Math. Programming, 27, 1983, pp. 1-33.

63. Васкевич Д. Стратегии клиент-сервер / Пер. с англ. К. : Диалектика, 1996.-384 с.

64. B.A. Murtagh and M.A. Saunders Large-scale linearly constrained optimization, Math. Programming ,14 (1978) ,pp.41-72.

65. A. Drud CONOPT : A GRG code for large sparse dynamic nonlinear optimization problems, Math. Programming ,31 (1985), pp.153-191.

66. S.K.Eldersveld Large-scale sequential-quadratic programming algorithms, PhD Thesis, Department of Operation Research , Stanford University, Stanford CA, USA, 1991.

67. L.-B. Tjoa and L.T. Biegler Simultaneous solution and optimization strategies for parameter estimation of differential algebraic equation systems, Ind. Eng. Chem. Res., 30 (1991), pp.376-385.

68. Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач. -М.:МГУ,1974.

69. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1975.

70. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

71. Bertsekas D.P. On the Goldstein Levitin - Polyak gradient projection method. -IEEE Trans. Autom. Contr., 1976, v 21, №2, p. 174-184.

72. Голынтейн Е.Г., Третьяков H.B. Модифицированные функции Лагранжа. Эконом, и матем. Методы, 1974, т. 10, №3, с.568-591.

73. Гольштейн E.F. Теория двойственности в математическом программировании. М.: Наука, 1971.

74. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. -М.: Наука, 1979.

75. Kuhn H.W. Nonlinear programming: a historical view. //Nonlinear programming. SIAM-AMS Proc. Vol. 9. Providence: Amer. Math. Soc., 1976, p. 1-26.

76. Иоффе А.Д., Тихомиров B.M. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

77. Еремин И.И. О методе штрафов в выпуклом программировании. -Кибернетика, 1967, №4, с. 63-67.

78. Первозванский А.А., Гайцгори В.Г. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация. -М.: Наука, 1979.

79. Нит И.В. Линейное программирование (с обсуждением некоторых нелинейных задач). М.: МГУ, 1978.

80. Murray W. Constrained optimization // Optimization in action (L.C.W. Dixon, ed.), Academic Press, London and New York, 1976, pp.217-251.

81. Powell M.J.D. Convergences properties of a class of minimization algorithms // Nonlinear Programming 2 (O.L. Mangasarian, R.R. Meyer and S.M. Robinson, eds.), Academic Press, London and New York, 1975, pp. 1-27.

82. Fletcher R. Methods related to Lagrangian functions // Numerical Methods for constrained optimization (P.E. Gill and W. Murray, eds.), Academic Press, London and New York, 1974, pp.219-240.

83. Shittkowski K., Stoer J. A factorization method for the solution of constrained linear least-squares problems allowing data changes // Num. Math. 31, 1979, pp.431-463.

84. Козлов B.H., Колесников Д.Н., Сиднев А.Г. Решение задач математического программирования: Учеб. пособие, СПбГТУ, СПб, 1992, 112с.

85. Планирование развития и эксплуатации энергосистем: Переводы докладов Международной конференции по большим электрическим системам (СИГРЭ)-82/ Под ред. В.А. Веникова и Ю.А. Архипцева. М.

86. Энергоатомиздат, 1984,-112 с.

87. Inter-Area Oscillations In Power Systems, Prepared by the System Oscillations Working Group// IEEE Power Engineering Society, 95 TP 101, 1994, p. 192.

88. А.А.Юрганов, В.А.Кожевников. Регулирование возбуждения синхронных генераторов. СПб.: Наука, 1996, 138с.

89. Бушуев В.В. Частотный метод определения доминирующих корней системы // Изв. СО АН СССР. Серия техн. наук, 1973.-N3.-Bbin.l.- с. 122126.

90. Совалов С.А., Баринов В.А. Использование линеаризованных математических моделей для анализа и управления режимами электроэнергетических систем // Электричество, 1985.- N4,- с. 1-10.

91. Баринов В.А., Совалов С.А. Модальное управление режимами энергетических систем // Электричество, 1986.- N8,- с. 1-7.

92. Горюнов Ю.П., Левинштейн M.JL, Щербачев О.В. Методика определения оптимальных параметров регулирования в сложных линеаризованных системах с несколькими регулируемыми объектами // Труды JI1TH.-N293.-JI.: Энергия, 1968.-С.67-70.

93. Филинская Н.Г. Разработка методики определения настроек АРВ генераторов в объединенных энергосистемах: Авторефер. дисс.канд.техн.наук.-М., 1986.-20 с.

94. Груздев И.А. ,Екимова М.М. Основные задачи исследования сильного регулирования возбуждения генераторов сложных электроэнергетических систем : Сб. Научн. Трудов ЛПИ .-Л.,1982-№85.- сЗ-12.

95. Боровик В.К., Бушуев В.В. Обобщенная оценка демпферных свойств автоматических, регулируемых электроэнергетических систем // Изв. АН СССР . Энергетика и транспорт, 1984.-N 1.- с.3-8.

96. Мартине, Баилли Анализ слабозатухающих электромеханических колебаний в больших энергосистемах// Планирование развития и эксплуатации энергосистем (СИГРЭ-82).- М.-Энергоатомиздат,1984.-с.73-80.

97. V.A.Maslennikov and S.M.Ustinov, "Method and Software for Coordinated Tuning of Power System Regulators", IEEE Trans, on Power Systems, vol.12, no.4, November 1997, pp. 1419-1424.

98. Бушуев B.B., Лизалек H.H, Новиков H.JI. Динамические свойства энергообъединений. М.: Энергоатомиздат, 1995. 200с.

99. Устинов С.М., Масленников В.А. Анализ общесистемных низкочастотных колебаний в больших энергообъединениях. Изв.РАН. Энергетика,N2, 1998, с.91-107.

100. Ш.Масленников В. А. Управление собственными динамическими свойствами крупных энергообъединений и дальних электропередач, Автореферат дисс. на соиск. уч. ст. докт. техн. наук, СПб, 1998.

101. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Матем. Сб. 31(73).-N3.-1952.-с.575-586.

102. J.J. More Generalization of trust region problem. Preprint MCS-P349-0193, Argonne National Laboratory, Argonne, Illinois, January 1993.