автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.04, диссертация на тему:Алгоритмы цифровой фильтрации сигналов, построенные на базе теории нечетких множеств

На правах рукописи УДК 621.372.54:681.327.8

□03068320

ТИТОВ Дмитрий Анатольевич

АЛГОРИТМЫ ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ СИГНАЛОВ, ПОСТРОЕННЫЕ НА БАЗЕ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

Специальность: 05.12.04 - «Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

Омск-2007

003068320

Работа выполнена на кафедре «Радиотехнические устройства и системы диагностики» Омского государственного технического университета.

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор, академик МАН ВШ Вешкурцев Ю. М.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, про<} кандидат технических наук, до

Ведущая организация: ФГУП «

Защита состоится 11 мая совета Д 212.178.01 в Омско адресу: 644050, г. Омск, пр. Min

ессор Малинкин В. Б. цент Женатов Б. Д.

Омский НИИ приборостроения»

2007 г. в 16 часов на заседании диссертационного .л государственном техническом университете по pa.ll.

С диссертацией можно озв акомиться в библиотеке Омского государственного технического университета

Автореферат разослан« ^ » АРР^М 2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.178.01 кандидат технических наук, доц

М. Ю. Пляскин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В ряде областей техники форму сигналов связывают с объектом исследования, примером этого служат радиолокация, техническая и медицинская диагностика, телеметрия и др. Как правило, здесь имеют место нестационарные случайные сигналы малой продолжительности во времени. В результате обработки таких сигналов, например, с помощью линейного цифрового фильтра, их форма, а, следовательно, содержащиеся в ней диагностические признаки могут быть сильно искажены. В этой связи особую актуальность приобретает разработка алгоритмов цифровой фильтрации сигналов, направленных на сохранение их первоначальной (не искаженной шумами) формы. В современных литературных источниках, посвященных метрологическому обеспечению радиоизмерений (в частности в работах В. И. Нефедова), форма сигнала определяется как зависимость мгновенного значения сигнала от времени.

Рассмотрим, например, сигнал электрокардиограммы (ЭКГ). Как известно, кривая ЭКГ имеет характерную форму, содержащую в основе так называемые зубцы (экстремальные точки): Р, <2, Я, Б, Т. Каледому из этих зубцов соответствует определенный процесс возникновения и проведения электрического возбуждения в сердечной мышце. Установление диагноза в данном случае сводится к определению количественных признаков заболеваний с помощью формы зубцов. Под количественными признаками понимаются амплитуда зубцов, их продолжительность, временные интервалы между зубцами и т. д. Трудности, возникающие при фильтрации зашумленных ЭКГ сигналов заключаются в том, что характеристики сигналов при различных состояниях пациента значительно отличаются друг от друга. Так, например, линейный цифровой фильтр, рассчитанный для оптимального выделения нормальной кардиограммы из смеси с белым гауссовым шумом, искажает амплитуды зубцов кардиограмм с различными заболеваниями. При анализе сигнала ЭКГ, прошедшего обработку с помощью алгоритма линейной цифровой фильтрации, происходит пропуск заболевания (дефекта). Аналогичные трудности возникают при распознавании кривых в технической диагностике. Здесь информация о состоянии системы (машины) содержится в виде записи значений диагностического параметра или его отклонений от нормального в различные моменты времени. Примером является запись во времени значений уровня вибраций двигателей.

Если для цифровой фильтрации с сохранением формы сигналов используются адаптивные алгоритмы (адаптивные цифровые фильтры), то для них также возникает ряд сложностей, т. к. целью применения алгоритма адаптивной фильтрации сигналов является достижение локального или глобального экстремума функционала качества. В задаче сохранения исходной формы сигнала под функционалом качества понимается зависимость значений среднего квадрата ошибки от параметров адаптации цифрового фильтра. Если

1

I

.IX

статистические свойства сигн; можно считать «размытым» местоположение относительно процесс адаптации состоит не слежении за этой точкой, пространстве. В рассмотрении на основе принципов о неэффективным и нерационаи образом, для решения задач ци особую актуальность приобр' цифровой фильтрации сиг статистических характеристик Одним из вариантов сохраняющих первоначальную логики. Адаптивные фильтры повышенное быстродействие и за счет более адекватного оп нечеткой логике служат нейрон цифровой фильтрации сигнало процедуры обучения. Все это д также создание новых алгор нечеткой логики, которые обе« я формы случайных сигналов, в Цель диссертационной фильтрации на основе теории спектром.

Для достижения постав, задачи:

1. Исследованы существую] использованием нечеткой логи:

2. Разработаны алгоритмы нечетких множеств.

3. Проведены проектирована с нечеткой логикой.

4. Выполнена эксперимента^]

Методы исследований, положения общей теории ради^ численные методы, мето, программирования, методы данных.

оды

ов меняются во времени, то функционал качества мли нечетким, т. е. изменяющим свою форму и введенной системы координат. В этом случае только в движении к точке экстремума, но и в поскольку она меняет свое местоположение в условиях использование адаптивных алгоритмов тгимальной линейной фильтрации является ным с точки зрения вычислительных затрат. Таким провой фильтрации с сохранением формы сигналов стает разработка альтернативных алгоритмов налов, позволяющих восполнить отсутствие ; помощью обучающей выборки, построения алгоритмов цифровой фильтрации, форму сигналов является использование нечеткой на основе алгоритмов с нечеткой логикой имеют обеспечивают меньшую погрешность фильтрации ясания обрабатываемых сигналов. Альтернативой ные сети, однако реализация нейросетевых систем в затруднена чрезвычайно высокой трудоемкостью елает очень актуальным развитие существующих, а итмов цифровой фильтрации с использованием печивают более высокое качество восстановления том числе нестационарных.

работы - разработка алгоритмов цифровой нечетких множеств для сигналов с различным

ленной цели в диссертации решены следующие

>щие алгоритмы цифровой фильтрации сигналов с ] ;и и искусственных нейронных сетей, цифровой фильтрации сигналов на основе теории

е и компьютерная реализация цифровых фильтров

.ная проверка разработанных цифровых фильтров. При выполнении работы были использованы технических сигналов, теория нечетких множеств, .1 вычислительной математики и теории статистической обработки экспериментальных

Научная новизна. Решение поставленных задач определило новизну диссертации, которая заключается в следующем:

1. Разработан модифицированный алгоритм цифровой фильтрации сигналов на основе теории нечетких множеств, отличительной особенностью которого является адаптивное изменение функций принадлежности в зависимости от значений конечных разностей первого порядка сигнала.

2. Разработан алгоритм цифровой фильтрации сигналов, дающий возможность перестраивать центральную частоту фильтра в соответствии с характеристиками сигнала при сохранении всех других параметров фильтра.

На защиту выносятся:

1. Алгоритм цифровой фильтрации сигналов с адаптивно изменяемыми функциями принадлежности.

2. Алгоритм цифровой фильтрации сигналов с изменяемой центральной частотой фильтра при сохранении всех остальных его параметров.

Практическая значимость проведенных исследований.

Разработанное в диссертации программное обеспечение имеет практическую значимость, т. к. позволяет уменьшить временные затраты на проектирование радиотехнических устройств типа цифрового фильтра с нечеткой логикой почти в 10 раз.

Реализация и внедрение результатов работы. Разработанные алгоритмы и программное обеспечение внедрены в ООО НТК «Интеллектуальные комплексные системы», а также в НОУ «Институт радиоэлектроники, сервиса и диагностики», что подтверждено соответствующими актами.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы получили положительную оценку при обсуждении на 9 международных и всероссийских конференциях.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ, из них 2 - статьи в научных периодических изданиях, 10 - материалы и тезисы докладов в трудах международных и всероссийских конференций, 1 - свидетельство об отраслевой регистрации разработки.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложений. Общий объем диссертации - 159 страниц. Основной текст изложен на 138 страницах, включает 73 рисунка, список литературы из 86 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, излагается цель и основные задачи исследования, формулируется научная новизна, практическая значимость проведенных исследований.

з

В первой главе провод? современное состояние вопроси литературы положено рассм реализуемых ими алгоритмов, теории цифровой фильтрации

уделено системам с нечеткой системам.

Наиболее известными, хо являются алгоритмы линейной осуществляется проектирована фильтров частотной селекции, направлению, являются рабо' Последующие основополагаю: Левину, JI. М. Гольденбергу, з авторам. Условия полной аг (полезном сигнале и помехах) цифровых фильтров, обеспечи критерия оптимальности (наг ошибки, максимума отношен реальных ситуаций диапазон меняется сложным образом i цифровой фильтрации испол (адаптивные цифровые фильтр]»! частотные характеристики к сигналов. Основополагающим фильтров можно считать моно Шахгильдяна, М. С. Лохвиц о адаптивных алгоритмов пре обучающим статистикам, а та! они медленно меняются. Им; корректируется с поступлением чтобы свести к минимуму сред; шаге. Иными словами значе; фильтра должно максимально значению полезного сигнала.

Таким образом, наибол цифрового фильтра является коэффициентов. Одним из вар использование положений теор:

[тся обзор основополагающих работ, отражающих цифровой фильтрации сигналов. В основу обзора этрение цифровых фильтров с точки зрения 3 частности, рассмотрены принципы классической адаптивной обработки сигналов. Особое внимание логикой, нейронным сетям, а также гибридным

рошо изученными и апробированными на практике цифровой фильтрации сигналов. На их основе е линейных цифровых фильтров или цифровых Классическими трудами, посвященными данному >+ы А. Н. Колмогорова и В. А. Котельникова пис работы принадлежат В. И. Тихонову, Б. Р. 1 рубежом - Р. Е. Калману, Л. Рабинеру и другим риорной информации о входных воздействиях могут быть использованы для создания линейных вающих экстремальное значение того или иного ример, критерия минимума среднего квадрата -ш сигнал/шум и др.). Однако, в большинстве зходных воздействий известен приблизительно и о времени. Тогда вместо алгоритмов линейной .зуются фильтры с адаптивными алгоритмами ). Адаптивными называются цифровые фильтры, эторых зависят от спектров обрабатываемых л работами по синтезу адаптивных цифровых графии Я. 3. Цыпкина, Р. Л. Стратоновича, В. В. :ого, Б. Уидроу и С. Стирнза. Использование дполагает обучение цифровых фильтров по же слежение за обучающими статистиками, если пульсная характеристика адаптивного фильтра каждого нового отсчета сигнала таким образом, неквадратическую ошибку фильтрации на данном йие выходного сигнала адаптивного цифрового соответствовать (в смысле выбранного критерия)

ее сложным этапом проектирования адаптивного эазработка алгоритма перестроения его весовых 1антов построения алгоритма адаптации является ни нечетких (Шггу) множеств.

Подводя итоги проведенного обзора литературы, можно сформулировать общие выводы о состоянии цифровой фильтрации сигналов и в том числе фильтрации нестационарных случайных сигналов.

1. Основным направлением решения задач цифровой фильтрации сигналов является использование адаптивных цифровых фильтров. Для обработки нестационарных случайных сигналов используются обучающиеся системы, алгоритм функционирования которых изменяется в соответствии с характеристиками сигнала

2. Для задач цифровой фильтрации, требующих сохранение исходной формы сигналов, применяются алгоритмы на основе теории нечетких множеств.

3. Имеются нейросетевые реализации систем цифровой фильтрации нестационарных случайных сигналов, обладающие некоторыми преимуществами перед системами с нечеткой логикой. Однако значительным препятствием на пути внедрения нейронных сетей является чрезвычайно высокая трудоемкость процедуры обучения.

По результатам проведенного анализа состояния вопроса сформулированы задачи исследования, которые приведены нами выше.

Во второй главе производится разработка алгоритмов адаптивной цифровой фильтрации, предназначенных для сигналов с различным спектром.

Общий принцип действия устройств с использованием современных алгоритмов цифровой фильтрации на основе теории нечетких множеств заключается в нечетком группировании компонентов сигнала. Термин «компонент сигнала» (signal component) заимствован из работы К. Arakawa и Y. Arakawa (1991) и далее под ним будем подразумевать импульс какой-либо формы, отрезок гармонического колебания и т. д. В названной работе все компоненты сигналов классифицируются в группы по условно отобранным признакам, и в дальнейшем производится обработка каждой группы своим собственным оптимальным фильтром. Применительно к отсчетам, которые не могут быть определенно отнесены к тому или иному компоненту сигнала, строятся функции принадлежности.

Для классификации компонентов может быть использовано множество различных признаков. В частности, такие компоненты, как видеоимпульсы, могут быть классифицированы на основе выпуклости / вогнутости фронтов. От наклона фронтов видеоимпульса зависит ширина занимаемой им полосы частот. Например, при одинаковой длительности ширина полосы частот прямоугольного импульса превышает ширину полосы треугольного приблизительно в 8 раз. Показателем выпуклости / вогнутости функции является ее вторая производная, которая, в свою очередь, может быть оценена с использованием конечных разностей первого порядка.

Пусть наблюдаемый входной сигнал представлен следующей моделью:

где с\„ означает полезный сип х„=х(иТ), й„=й(пТ) и и„=и - период дискретизации сигнг принимать только целые зна погрешностью оценить полезны! -Л/, ... -1, 0, 1, 2, ...И. Таким 2М+1. Характеристикой оценки ошибки. Для оценки сигнала в функцию принадлежности ц(х„ НАПРЯЖЕНИЕ^ В общем слу разности (х„- х„_к) и иметь лк I. В данном случае испо.и

■Й1 Й2 ь

1 и ••• № Н—|

0 -1е 1хп" хп-

Ос

Рис. 1

продемонстрировано на рис. 2-

с!

В

•

0 1 0 20 30 40 50 п Рис.2 60 70

•

30 40 П

Рис.4

на рис. 3,5- формы сигналов с зависимости значений |х„ -принадлежности, вычисленные

нал и и„ - белый гауссов шум. В данном случае (пТ) — последовательности дискретных отсчетов, Т с лов, п - номер отсчета сигнала, который может ления 0, 1, 2, 3... Необходимо с наименьшей :й сигнал Ап по имеющимся отсчетам х„_к при к = с^бразом, количество используемых отсчетов равно служит критерий минимума среднего квадрата эанее известных работах предложено использовать к) е [0, 1] нечеткого множества «ПОСТОЯННОЕ чае ц(х„_,(.) может быть выражена как функция от бую форму, например, такую, как показано на рис. ьзуется ступенчатая аппроксимация функции принадлежности, в соответствие с которой диапазон Б0 возможных значений конечных разностей первого порядка сигнала делится на Я ступеней уровня ц, и ширины Ь, которым соответствуют значения е7 -1 N ~~ хл-* |<еу (см. рис. 1). При этом форма ц(х„_^) однозначно связана с формой сигнала, что . На рис. 2, 4 показаны исходные формы сигналов, х.

наложением белого гауссова шума, а на рис. 6, 7 -:п-к\ от п (при к= 1, 2, 3, 4) и функции с использованием численных методов. Функции

принадлежности на рис. 6 и 7 построены для сигналов на рис. 3 и 5 соответственно.

I

в

1*и - 1

В

I - I

В

1=£Ь=

МЛ-

■п-Л. п^Н,

О 10 20 30 40 50 60 70

Рис.6

лл-г^пЛ;

а.

л

О 10 20 30 40 50 ео 70

I п

Рис.7

В работе К. Агакалуа и фильтра производилась следую]

У. Агака\уа оценка отсчетов сигнала на выходе '¿цим образом:

Формула (1) не учитывае" реализовать адаптацию функци вогнутость фронтов импульсов Классификация сигналов на ос формирования двумерного ма< разности первого порядка, сс сигнала. Например, измерена Возь

х„-хи

и х„-х

п+2 1

п+1

аппроксимируем сигнал, пр гауссовой функцией, которая от

выпуклость / вогнутость сигналов и не позволяет й принадлежности к форме сигнала. Выпуклость / может быть оценена с использованием ступеней нове выпуклости / вогнутости выполняется путем осива, измерениями которого являются конечные ответствующие различным значениям задержки Ями массива могут служить конечные разности ■ нем последовательные отсчеты х„, х„+1, х„+2 и едставленный этими отсчетами, обобщенной ределяется формулой:

2Ь'

+ В, (2)

т(к) = Мпях-ехр

П1).

где Мтах - амплитудное значе: широты; Ь - параметр, определ число. Для простоты будем отсчетами, монотонно убывает потребуем, чтобы выполнялись выражение (2) в следующем вид(

т

Для выполнения обоза функцию

тЩ-пйС

тЩ-тК Примем Мтах = х„-хп+2, Б = аппроксимирующей кривой:

т(к) = Мтх-т\^к)+В

Влияние параметра Ь на форму Ь = 0,67, то сигнал изменяется существует. При Ь > 0,67 сигн;

N

. _

N к=-Ы

Ч-к

0)

пше функции, с - центр функции; с - коэффициент лющий форму кривой; В — некоторое произвольное шагать, что сигнал, представленный указанными с увеличением к. Зададим в (2) с = 0, о = 2 и условия т(0) = Мтю,+В и т(2) = В. Перепишем ,е:

1к) = Мтгх-т\(к) + В.

.ченных нами условий введем нормированную

| = [ехр[-(-Ь/2Г]-ехр(-1)]/[1-ехР(-1)}

хп+2 и запишем окончательное выражение для

+ х„

_/ ч ехр1-(^/2)2Ь1-ехр(-1)

-1хя-хл+2;- 1 _ ехр(-1)

кривой /я1ц(£) продемонстрировано на рис. 8. Если по линейному закону и выпуклость / вогнутость не :а)п считается выпуклым, а при Ь < 0,67 — вогнутым.

Выражение для вычисления параметра Ь при аппроксимации сигнала по методу наименьших квадратов будет иметь следующий вид:

2

1п

-1п

I хя ~ хл+2 I +1 хи '

-хп-и1-(ехр(-1)-1)

х„-х

л+2 I

1п2

(3)

м«*) I

Таким образом, формула (3) позволяет по имеющимся конечным разностям первого порядка сигнала находить параметр Ь, который, в свою очередь, характеризует выпуклость / вогнутость сигнала. Как видно из рис. 8, функция т\ц(к) является симметричной относительно оси ординат, что говорит о возможности классификации, как передних, так и задних фронтов импульсов.

Осуществляя предварительную классификацию компонентов сигнала на основе выпуклости / вогнутости, можно адаптивно изменять функции принадлежности нечетких множеств в зависимости от формы сигнала. С учетом всего сказанного выше, алгоритм цифровой фильтрации сигналов с адаптивно изменяемыми функциями принадлежности примет следующий вид:

N

Рис. 8

У п =

к=-Ы

(4)

к=-Ы

В отличие от известного (1) алгоритм содержит другие функции принадлежности, которые изменяются в зависимости от формы сигнала. Этот алгоритм построен для сигналов, спектральная плотность которых сосредоточена в области нижних частот.

Во многих практических случаях спектр сигнала сосредоточен в некоторой полосе, т. е. возникают задачи, требующие создания полосовых или режекторных фильтров с изменяемой центральной частотой.

С учетом проведенных исследований в диссертации также разработан алгоритм цифровой фильтрации сигналов с изменяемой центральной частотой фильтра при сохранении всех остальных его параметров:

Уя=-

ф/

В выражении (5) весовые к пропускания фильтра, a s(x„.

Реализация цифрового настройку параметров Традиционным для решения итерационных алгоритмов ад;

Как было рассмотрено аппроксимацию. Значения метода минимизации средне: Widrow и J. R. Glover (1975b

N

ээффициенты ц(х„_*) определяют ширину полосы ,к) - центральную частоту фильтра, фильтра на основе выражений (4) и (5) предполагает нкций принадлежности нечетких множеств, подобного класса задач является применение ;аптации.

ранее, функции принадлежности имеют ступенчатую могут быть найдены с помощью градиентного квадратической ошибки, приведенного в работе В. . Процесс адаптации значений Цу производится в

соответствии с выражением цу(и +

где Цу (и) - значение, получ определяющая скорость прибл

) = ]Xj(ri) + a-X(nJ)-(d„-y„), енное при обработке и-го отсчета; а

Х(/у>

2;

ке К

где - множество

|<£

£У-1 ~хп-к\

отсчет сигнала х

п-к ПРИ к принадлежности ц(х„_£), обозначить через \1}к . В этом ^к (« + !) = где \1]к (я)- значение, полу* принимает значение "1", ког,

входит. Значение Х'(п,],к) вы для всех х„_к (-Ат<к<Ы).

В данной главе также цифровой фильтрации с точк: логических операций. Так, сложения, 2-Аг операций умн

■=-АГ_ _

(5)

x*-i-N(/>y„

У)

константа,

ижения сигнала у„ к оптимальному значению;

/ £N(7")-и,.(и) , ^'=1 ) Значений к, которые удовлетворяют условию оличество элементов множества Если каждый ±1, ±2, ±3, ... имеет отдельную функцию го аппроксимирующие ступени целесообразно :лучае

■Ы(«) + «• 8,* • Х'(л,7,к)■ (с!„-у„), енное при обработке «-го отсчета. Параметр Бд ¿а |х„ - х„_^| входит в [е,.ь е,), и "О", когда - не гасляется как (хп_к -уп)/§(п), где 8(и) - сумма \1]к

производится анализ разработанных алгоритмов и зрения количества требуемых арифметических и например, алгоритм (4) требует А-Ы операций зжения, 2-Ы операций вычитания, одну операцию

деления и 32-jV+8 операций сравнения. Алгоритм (5) по количеству необходимых операций сопоставим с алгоритмом (4).

В третьей главе рассматриваются вопросы проектирования фильтров нижних частот (ФНЧ), а также полосовых и режекторных фильтров на основе теории нечетких множеств. В главе предложены и подробно описаны структурные схемы цифрового ФНЧ с использованием алгоритма (4), а также полосового и режекторного фильтров, в основе которых лежит алгоритм (5). Адаптивный цифровой фильтр с алгоритмом (4) обладает следующими характеристиками (при частоте дискретизации сигнала 250 Гц и N= 4):

' Тип фильтра:....................................................................................ФНЧ;

Ширина полосы пропускания, Гц:..'..................................................7,5...30,0;

Граница полосы задерживания, Гц:................................................17,5. ..35,0;

Неравномерность в полосе пропускания, дБ:...............................................0,5;

Затухание в полосе задерживания, дБ:.........................................не менее 12,0.

В четвертой главе описаны модели фильтра нижних частот и полосового (режекторного) фильтра, реализующие алгоритмы (4) и (5) соответственно. Для создания компьютерных моделей была выбрана система МАТЬАВ, имеющая значительные преимущества перед существующими ныне математическими системами и пакетами.

В пятой главе рассматривается применение компьютерных моделей цифровых фильтров для обработки различных сигналов.

Характеристики компьютерной модели ФНЧ, рассмотренного в работе, сравнивались с характеристиками моделей фильтров на основе ранее известных алгоритмов. Для сравнения использовались компьютерные модели цифрового фильтра на основе алгоритма К. Агакалуа и У. Агака\¥а (1) и линейного цифрового фильтра. Далее модель цифрового ФНЧ с адаптивно изменяемыми функциями принадлежности будем именовать как Ф1, модель линейного цифрового фильтра как ЛФНЧ, а для модели фильтра с алгоритмом (1) оставим название, предложенное его авторами - БЕЛТ.

Для исследования характеристик модели цифрового ФНЧ были задействованы фрагменты оцифрованных реальных электрокардиограмм, размещенные на сайте http://www.physionet.org.

На рис. 9 (а) - (в) показаны обучающие выборки, которые были использованы нами для нахождения значений функций принадлежности.1 На этих и последующих рисунках всем обучающим и тестирующим сигналам присвоен порядковый номер (число в прямоугольной рамке).

и

На рис. 10 (а) -предназначенных для тестеров

<1. 2

а)

б)

в)

Рис.9

(в) представлены осциллограммы сигналов, ания обученных цифровых фильтров.

а)

п

Рис. 10 Параметры сигналов бы наиболее распространенная н

б)

в)

Рис. 11

ни заданы в относительных единицах. В работе взята эрмировка, при которой период для всех частотных характеристик равен 2п и требования к ним следует задавать на интервале [0, я]. Таким образом, частота дискретизации сигнала ^=1, круговая частота дискретизации сол = 2-%.

На рис. 11 (а) - (в) показаны тестирующие сигналы с наложением белого гауссова шума с дисперсией 0,03, а на рис. 12 (а) - (е) - результаты обработки тестирующих выборок цифропыми фильтрами БР-ТР и Ф1.

В табл. 1 приведены

фильтрации тестирующих сигналов при наложении на них белого гауссова шума с

нулевым определяется ожидания.

математическим 2

как о

вых

ожиданием и дисперсией 0,01. СКП фильтрации = М[(с1„ + у„)2], где М- оператор математического

значения среднего квадрата погрешности (СКП)

Таблица 1

Порядковый Наименование модели фильтра

номер ЛФНЧ ЗРЛТ Ф1

тестирующей выборки Средний квадрат погрешности фильтрации

1 0,002970 0,001697 0,001663

2 0,002733 0,002091 0,001627

3 0,004370 0,003006 0,002291

Уровень шумов на выходе фильтров можно оценить визуально. У фильтра Ф1 уровень шума на выходе меньше, следовательно, его результат фильтрации сигнала лучше. Кроме того, о преимуществах фильтра Ф1 свидетельствуют данные табл. 1, а именно: СКП фильтрации устройства Ф1 меньше аналогичного значения устройства 8Р-ТР в 1,3 раза при анализе выборок 2, 3. При анализе выборки 1 значения СКП фильтрации устройств Ф1 и БР-ТР совпадают, однако они в 1,8 раза меньше чем аналогичное значение устройства ЛФНЧ. Таким образом, классическая линейная цифровая фильтрация уступает по погрешности цифровой фильтрации с нечеткой логикой.

На рис. 13 (а) - (в) представлены графики зависимости СКП фильтрации сигналов от соотношения сигнал/шум на входе фильтра ^^О-^а^/а^2), где а/ - мощность сигнала; - мощность шума на входе фильтра).

0 014 0012 0 01 0 008 0 006 0 004 0 002 0

\ ' ' ' 12 ' к ио"3 10 ■ \\ В УЧ 6 БЕЛТ 4

>Х 3 Ф1 4 5 6 7 8

а)

б)

в)

Рис. 13

В приложениях

приведены тексты

компьютерных моделей циф эовых фильтров. Программы разработаны автором диссертационной работы и натсаны на языке МАТЪАВ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Исходя из цели диссер автором получены следующие

1. Разработан модифицирон основе теории нечетких м является адаптивное измене значений конечных разностей

2. Разработан алгоритм нечетких множеств, дающий

На данных рисунках производится сравнение цифровых фильтров БЕЛТ и Ф1. Числа в прямоугольных рамках соответствуют

порядковым номерам

тестирующих сигналов. Наиболее отчетливо

выигрыш фильтра Ф1 по значению СКП фильтрации виден при соотношении сигнал/шум не

превышающем 10-12 дБ. Выигрыш по

помехоустойчивости фильтра Ф1 при одинаковом значении СКП фильтрации составляет в среднем 1,2 дБ. При постоянном

соотношении сигнал/шум снижение СКП фильтрации достигает 25%.

В заключении кратко формулируются основные результаты, полученные в диссертационной работе, программ, входящих в состав

тационной работы, сформулированной во введении, основные результаты:

анный алгоритм цифровой фильтрации сигналов на ножеств, отличительной особенностью которого ние функций принадлежности в зависимости от первого порядка сигнала.

ифровой фильтрации сигналов на основе теории возможность перестраивать центральную частоту

фильтра в соответствии с характеристиками сигнала при сохранении всех остальных его параметров.

3. Созданные алгоритмы проанализированы с точки зрения типов и количества математических операций, необходимых для их реализации. Результаты анализа показывают, что по количеству математических операций представленные в работе алгоритмы сопоставимы с ранее известными алгоритмами на основе теории нечетких множеств. Это позволяет рекомендовать их использование для решения различных задач цифровой фильтрации сигналов.

4. Проведено проектирование цифровых фильтров на основе разработанных алгоритмов. В частности, разработаны и подробно описаны структурные схемы ФНЧ, а также полосового и режекторного фильтров с нечеткой логикой.

5. На базе спроектированных цифровых фильтров построены компьютерные модели в программной среде МАТЬАВ.

6. Проведены экспериментальные исследования изложенных в работе теоретических положений.

Предложенные автором алгоритмы позволяют повысить качество фильтрации различных сигналов при отсутствии сведений об их статистических характеристиках. В частности, использование алгоритма фильтрации с адаптивно изменяемыми функциями принадлежности позволяет обеспечить снижение СКП фильтрации в 5 раз по отношению к алгоритму линейной цифровой фильтрации, а также достигнуть уменьшения этого параметра по сравнению с ранее известными алгоритмами фильтрации с нечеткой логикой до 25%.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Бычков Е. Д., Титов Д.А. Цифровая фильтрация нестационарных сигналов при нечетких условиях // Динамика систем, механизмов и машин: Мат. IV Международной науч.-техн. конф., посвящ. 60-летию ОмГТУ. -Омск: ОмГТУ. 2002. Кн. 2.-С. 156-158.

2. Титов Д. А. Моделирование цифрового фильтра на основе теории нечетких множеств // Наука. Технологии. Инновации: Мат. докладов всероссийской научной конф. молодых ученых в 6-ти частях. -Новосибирск: Изд-во НГТУ. 2003. Часть 1. - С. 78-79.

3. Бычков Е. Д., Титов Д. А. Цифровая фильтрация случайных сигналов на основе методов теории нечетких множеств // Информационные технологии в науке, проектировании и производстве: Мат. десятой всероссийской науч.-техн. конф. -Нижний Новгород. 2003. - С. 35-36.

4. Титов Д. А. Исследование модели цифрового фильтра на основе теории нечетких множеств // Современная техника и технологии: Труды десятой Юбилейной Международной науч.-практ. конф. студентов, аспирантов и молодых

цифровой фильтрации случаР проблемы электронного при

filtering under fuzzy приборостроения: Мат. VII Ц 1.-С. 107-111.

9. Вешкурцев Ю. М., Бычк множеств в цифровой фильтр Радиоэлектроника. 2004. Вып,

ученых, посвященной 400-ле|ию г. Томска. -Томск: Изд-во ГПУ. 2004. т. 2. - С. 202-204.

5. Титов Д. А. Исследование алгоритмов цифровой фильтрации случайных сигналов на основе методоз теории нечетких множеств // Информационные технологии в научных исследованиях и в образовании: Материалы девятой всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов. -Рязань: РГРТл. 2004. - С. 55-57.

6. Вешкурцев Ю. М., Бычков Е. Д., Титов Д. А. Нечеткое принятие решения при использовании нейронных сетей в задачах цифровой фильтрации случайных сигналов // Динамика систем, механизмов и машин: Мат. V Международной науч.-техн. конф. -Омск: ОмГ ТУ. 2004. Кн. 1 - С. 267-270.

7. Вешкурцев Ю. М., Бычков Е. Д., Титов Д. А. Исследование алгоритмов Е ных сигналов при нечетких условиях // Актуальные i Зоростроения: Мат. VII Международной конф. —

Новосибирск: НГТУ. 2004. т. 4. - С. 18-22.

8. Veshkurtsev Yu. M., Bychkov E. D., Titov D. A. Research on algorithme of digital conditions // Актуальные проблемы электронного

Международной конф. -Новосибирск: НГТУ. 2004. т.

ков Е. Д., Титов Д. А.. Приложение теории нечетких рации случайных сигналов // Известия вузов России. 3. — С. 3-9.

10. Вешкурцев Ю. М., Бычков Е. Д., Титов Д. А. Полосовой фильтр на основе теории нечетких множеств // Военная техника, вооружение и технологии двойного применения: Мат. III Между! ародного технологического конгресса. -Омск. 2005. Часть 2.-С. 34-36.

11. Вешкурцев Ю. М., Быч режекторный) фильтр. -М.: В!

12. Вешкурцев Ю. М., Бь фильтр на основе теории Радиоэлектроника. 2006. Вып

13. Титов Д. А. Алгоритм нечетких множеств // Инфорк

чков Е. Д., Титов Д. А. Адаптивный полосовой (или $:ШЩ. 2005. -№ 50200500735. >:чков Е. Д., Титов Д. А. Адаптивный полосовой нечетких множеств // Известия вузов России. 2.-С. 16-23.

адаптивной фильтрации сигналов на основе теории (ационно-телекоммуникационные системы: Сборник тезисов докладов международной конф. молодых ученых. -Новосибирск: Изд-во НГТУ. 2006. - С. 88-91.

Работы [2,4, 5,13] выполнены соискателем самостоятельно. В работах [1, 3, 6-12] соискателем подготовлю I основной материал за исключением окончательной редакции.

Автор выражает искреннюю благодарность к. т. н., доценту кафедры «Радиотехнические устройства и системы диагностики» Е. Д.' Бычкову за консультации и поддержку в работе.

ВВЕДЕНИЕ

1. АНАЛИЗ СОСТОЯНИЯ ВОПРОСА ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ СИГНАЛОВ, В ТОМ ЧИСЛЕ ФИЛЬТРАЦИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ

1.1 Алгоритмы линейной цифровой фильтрации

1.2 Алгоритмы оптимальной цифровой фильтрации

1.3 Алгоритмы адаптивной цифровой фильтрации

1.4 Алгоритмы цифровой фильтрации на основе теории нечетких множеств '

1.5 Нейросетевые алгоритмы цифровой фильтрации

1.6 Выводы

2. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМОВ ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ

НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

2.1 Разработка алгоритма фильтра нижних частот

2.2 Разработка алгоритма полосового (режекторного) фильтра

2.3 Оценка функций принадлежности нечетких множеств

2.4 Используемые критерии цифровой фильтрации

2.5 Анализ алгоритмов цифровой фильтрации

2.6 Выводы

3. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ НА ОСНОВЕ РАЗРАБОТАННЫХ АЛГОРИТМОВ

3.1 Проектирование цифрового фильтра нижних частот

3.2 Проектирование полосового (режекторного) фильтра

3.3 Выводы

4. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ

4.1 Компьютерная модель цифрового фильтра нижних частот

4.2 Компьютерная модель полосового (режекторного) фильтра

4.3 Выводы

5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

5.1 Исследование компьютерной модели цифрового фильтра нижних частот

5.2 Исследование компьютерной модели режекторного фильтра

Актуальность темы. В ряде областей техники форму сигналов связывают с объектом исследования, примером этого служат радиолокация, техническая и медицинская диагностика, телеметрия и др. Как правило, здесь имеют место нестационарные случайные сигналы малой продолжительности во времени. В результате обработки таких сигналов, например, с помощью линейного цифрового фильтра, их форма, а, следовательно, содержащиеся в ней диагностические признаки могут быть сильно искажены. В этой связи особую актуальность приобретает разработка алгоритмов цифровой фильтрации сигналов, направленных на сохранение их первоначальной (не искаженной шумами) формы. В современных литературных источниках, посвященных метрологическому обеспечению радиоизмерений (в частности в работах В. И. Нефедова), форма сигнала определяется как зависимость мгновенного значения сигнала от времени.

Рассмотрим, например, сигнал электрокардиограммы (ЭКГ). Как известно, кривая ЭКГ имеет характерную форму, содержащую в основе так называемые зубцы (экстремальные точки): Р, Q, R, S, Т. Каждому из этих зубцов соответствует определенный процесс возникновения и проведения электрического возбуждения в сердечной мышце. Установление диагноза в данном случае сводится к определению количественных признаков заболеваний с помощью формы зубцов. Под количественными признаками понимаются амплитуда зубцов, их продолжительность, временные интервалы между зубцами и т. д. Трудности, возникающие при фильтрации зашумленных ЭКГ сигналов заключаются в том, что характеристики сигналов при различных состояниях пациента значительно отличаются друг от друга. Так, например, линейный цифровой фильтр, рассчитанный для оптимального выделения нормальной кардиограммы из смеси с белым гауссовым шумом, искажает амплитуды зубцов кардиограмм с различными заболеваниями. При анализе сигнала ЭКГ, прошедшего обработку с помощью алгоритма линейной цифровой фильтрации, происходит пропуск заболевания (дефекта). Аналогичные трудности возникают при распознавании кривых в технической диагностике. Здесь информация о состоянии системы (машины) содержится в виде записи значений диагностического параметра или его отклонений от нормального в различные моменты времени. Примером является запись во времени значений уровня вибраций двигателей.

Если для цифровой фильтрации с сохранением формы сигналов используются адаптивные алгоритмы (адаптивные цифровые фильтры), то для них также возникает ряд сложностей, т. к. целью применения алгоритма адаптивной фильтрации сигналов является достижение локального или глобального экстремума функционала качества. В задаче сохранения исходной формы сигнала под функционалом качества понимается зависимость значений среднего квадрата ошибки (СКО) от параметров адаптации цифрового фильтра. Если статистические свойства сигналов меняются во времени, то функционал качества можно считать «размытым» или нечетким, т. е. изменяющим свою форму и местоположение относительно введенной системы координат. В этом случае процесс адаптации состоит не только в движении к точке экстремума, но и в слежении за этой точкой, поскольку она меняет свое местоположение в пространстве. В рассмотренных условиях использование адаптивных алгоритмов на основе принципов оптимальной линейной фильтрации является неэффективным и нерациональным с точки зрения вычислительных затрат. Таким образом, для решения задач цифровой фильтрации с сохранением формы сигналов особую актуальность приобретает разработка альтернативных алгоритмов цифровой фильтрации сигналов, позволяющих восполнить отсутствие статистических характеристик с помощью обучающей выборки.

Одним из вариантов построения алгоритмов цифровой фильтрации, сохраняющих первоначальную форму сигналов является использование нечеткой логики. Адаптивные фильтры на основе алгоритмов с нечеткой логикой имеют повышенное быстродействие и обеспечивают меньшую погрешность фильтрации за счет более адекватного описания обрабатываемых сигналов.'Альтернативой нечеткой логике служат нейронные сети, однако реализация нейросетевых систем цифровой фильтрации сигналов затруднена чрезвычайно высокой трудоемкостью процедуры обучения. Все это делает очень актуальным развитие существующих, а также создание новых алгоритмов цифровой фильтрации с использованием нечеткой логики, которые обеспечивают более высокое качество восстановления формы случайных сигналов, в том числе нестационарных.

Цель диссертационной работы - разработка алгоритмов цифровой фильтрации на основе теории нечетких множеств для сигналов с различным спектром.

Для достижения поставленной цели в диссертации решены следующие задачи:

1. Исследованы существующие алгоритмы цифровой фильтрации сигналов с использованием нечеткой логики и искусственных нейронных сетей.

2. Разработаны алгоритмы цифровой фильтрации сигналов на основе теории нечетких множеств.

3. Проведены проектирование и компьютерная реализация цифровых фильтров с нечеткой логикой.

4. Выполнена экспериментальная проверка разработанных цифровых фильтров.

Методы исследований. При выполнении работы были использованы положения общей теории радиотехнических сигналов, теория нечетких множеств, численные методы, методы вычислительной математики и теории программирования, методы статистической обработки экспериментальных данных.

Научная новизна. Решение поставленных задач определило новизну диссертации, которая заключается в следующем:

1. Разработан модифицированный алгоритм цифровой фильтрации сигналов на основе теории нечетких множеств, отличительной особенностью которого является адаптивное изменение функций принадлежности в зависимости от значений конечных разностей первого порядка сигнала.

2. Разработан алгоритм цифровой фильтрации сигналов, дающий возможность перестраивать центральную частоту фильтра в соответствии с характеристиками сигнала при сохранении всех других параметров фильтра.

На защиту выносятся:

1. Алгоритм цифровой фильтрации сигналов с адаптивно изменяемыми функциями принадлежности.

2. Алгоритм цифровой фильтрации сигналов с изменяемой центральной частотой фильтра при сохранении всех остальных его параметров.

Практическая значимость проведенных исследований.

Разработанное в диссертации программное обеспечение имеет практическую значимость, т. к. позволяет уменьшить временные затраты на проектирование радиотехнических устройств типа цифрового фильтра с нечеткой логикой почти в 10 раз.

Реализация и внедрение результатов работы. Разработанные алгоритмы и программное обеспечение внедрены в ООО НТК «Интеллектуальные комплексные системы», а также в НОУ «Институт радиоэлектроники, сервиса и диагностики», что подтверждено соответствующими актами.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы получили положительную оценку при обсуждении на 9 международных и всероссийских конференциях, в том числе:

- VII Международная конференция «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Новосибирск, 2004 г.);

- III Международный технологический конгресс «Военная техника, вооружение и технологии двойного применения» (Омск, 2005 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ, из них 2 - статьи в научных периодических изданиях, 10 - материалы и тезисы докладов в трудах международных и всероссийских конференций, 1 - свидетельство об отраслевой регистрации разработки.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложений. Общий объем диссертации - 159 страниц. Основной текст изложен на 138 страницах, включает 73 рисунка, список литературы из 86 наименований.

5.3 Выводы

В данной главе проведены экспериментальные исследования компьютерных моделей цифровых фильтров с использованием разработанных автором алгоритмов. В частности, выполнено сравнение компьютерных моделей цифровых фильтров на основе алгоритмов (2.1), (2.14) и (2.19). Для исследований применялись сигналы и помехи с различным спектральным составом.

Данные экспериментов выявили преимущества спроектированных в работе цифровых фильтров. В частности, выигрыш по помехоустойчивости цифрового фильтра на основе алгоритма (2.19) при одинаковом значении СКП фильтрации составляет в среднем 1,2 дБ. Снижение СКП фильтрации при постоянном соотношении сигнал/шум достигает 25%. Результаты моделирования позволяют рекомендовать к применению разработанные автором алгоритмы цифровой фильтрации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исходя из цели диссертационной работы, сформулированной во введении, автором получены следующие основные результаты:

1. Разработан модифицированный алгоритм цифровой фильтрации сигналов на основе теории нечетких множеств, отличительной особенностью которого является адаптивное изменение функций принадлежности в зависимости от значений конечных разностей первого порядка сигнала.

2. Разработан алгоритм цифровой фильтрации сигналов на. основе теории нечетких множеств, дающий возможность перестраивать центральную частоту фильтра в соответствии с характеристиками сигнала при сохранении всех остальных его параметров.

3. Созданные алгоритмы проанализированы с точки зрения типов и количества математических операций, необходимых для их реализации. Результаты анализа показывают, что по количеству математических операций представленные в работе алгоритмы сопоставимы с ранее известными алгоритмами на основе теории нечетких множеств. Это позволяет рекомендовать их использование для решения различных задач цифровой фильтрации сигналов.

4. Проведено проектирование цифровых фильтров на основе разработанных алгоритмов. В частности, разработаны и подробно описаны структурные схемы ФНЧ, а также полосового и режекторного фильтров с нечеткой логикой.

5. На базе спроектированных цифровых фильтров построены компьютерные модели в программной среде MATLAB.

6. Проведены экспериментальные исследования изложенных в работе теоретических положений.

Предложенные автором алгоритмы позволяют повысить качество фильтрации различных сигналов при отсутствии сведений об их статистических характеристиках. В частности, использование алгоритма фильтрации с адаптивно изменяемыми функциями принадлежности позволяет обеспечить снижение СКП фильтрации в 5 раз по отношению к алгоритму линейной цифровой фильтрации, а также достигнуть уменьшения этого параметра по сравнению с ранее известными алгоритмами фильтрации с нечеткой логикой до 25%.

1. Гольденберг Л. М., Матюшкин Б. Д., Поляк М. Н. Цифровая обработка сигналов - М.: Радио и связь, 1990. - 256 с.

2. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. -М.: Мир, 1978.-576 с.

3. Цифровые фильтры в электросвязи и радиотехнике / Под ред. Л. М. Гольденберга. -М.: Радио и связь, 1982.-224 с.

4. Цифровые фильтры и их применение / В. Капеллини и др. М.: Энергоатомиздат, 1983 - 360 с.

5. Хемминг Р. В. Цифровые фильтры. М.: Недра, 1987. - 221 с.

6. Антонью А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование. М.: Радио и связь, 1983.-320 с.

7. Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры: Расчет и реализация. Пер. с англ. -М.: Мир, 1982.-592 с.

8. Основы цифровой обработки сигналов: Курс лекций / А. И. Солонина, Д. А. Улахович, С. М. Арбузов, Е. Б. Соловьева, И. И. Гук. СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 608 с.

9. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Радио и связь, 1989. - 656 с.

10. Ю.Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн. 2. -М.: Сов. радио, 1975. 392 с.

11. П.Нелинейная обработка сигналов / А. К. Розов. Спб.: Политехника, 1994. -381 с.

12. Haykin S., Lee P., Derbez E. Optimum nonlinear filtering // IEEE Transactions on Signal Processing. 1997. Vol. 45. No. 11. P. 2774-2786.

13. Pitas I., Venetsanopoulos A. Nonlinear Digital filters: principles and applications. Kluwer Academic, Norwell Ma. 1990. 302 p.

14. Astola J., Kuosmanen P. Fundamentals of Nonlinear Digital Filtering, CRC Press, Boca Raton, New York, 1997. 128 p.

15. Кассам С. А., Пур Г. В. Робастные методы обработки сигналов: Обзор / ТИИЭР, т. 73, № 3, март 1985.

16. Адаптивные фильтры: Пер. с англ. / Под ред. К. Ф. Н. Коуэна и П. М. Гранта. М.: Мир, 1988.-392 с.

17. Монзинго Р. А. Миллер Т. У. Адаптивные антенные решетки: Введение в теорию. М.: Радио и связь, 1986.-448 с.

18. Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов. М. : Радио и связь, 1989.-440 с.

19. Алгоритмы и процессоры цифровой обработки сигналов / А. И. Солонина, Д. А. Улахович, С. М. Арбузов, Е. Б. Соловьева, И. И. Гук. СПб.: БХВ-Петербург, 2002, - 464 с.

20. Kailah Т. A view of three decades of linear filtering theory // IEEE Trans. Inf. Theory. 1974. Mar. vol. IT-20. P. 145-181.

21. Gabor D., Wilby W., Woodcock R. A universal nonlinear filter predictor and simulator which optimizes itself by a learning process // Proc. Inst. Electr. Eng. 1960. July. vol. 108B.

22. Khriji L., Gabbouj M. Vector Median-Rational Hybrid Filters for multichannel image processing // IEEE Signal Processing Letters. 1999. July. 6 (7). P. 186190.

23. Arakawa K. Median filter based on fuzzy rules and its application to image restoration // Fuzzy Sets and Systems. 1996. January. 77 (1). P. 3-13.

24. Chatzis V., Pitas I. Fuzzy .scalar and vector median filters based on fuzzy distances // IEEE Trans, on Image Processing. 1999. May. 8(5). P. 731-734.

25. Taguchi A., Azawa N. Fuzzy center weighted median filters // European Signal Processing Conference Eusipco-96, III, Trieste, Italy. 1996. 10-13 September. P. 1721-1724.

26. Ferreria P., Reis M. Impulsive noise, fuzzy uncertainty and the analog median filter // Systematic organization of information in fuzzy systems. 2002. P. 25-42.

27. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. / Под ред. Д. А. Поспелова. М.: Наука, 1986. - 312 с.

28. Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления / Под ред. Н. Д. Егупова. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. - 744 с.29.0совский С. Нейронные сети для обработки информации. М.: Высш. шк., 2002.-440 с.

29. Karakuzu С., Oztiirk S. A Comparison of Fuzzy, Neuro and Classical Control Techniques Based on an Experimental Application // Journal of Qafqaz University. 2000. No. 6. P. 189-198.

30. Вешкурцев Ю. M., Бычков E. Д., Титов Д. А. Исследование алгоритмов цифровой фильтрации случайных сигналов при нечетких условиях // Актуальные проблемы электронного приборостроения: Мат. VII Международной конф. Новосибирск: НГТУ. 2004. т. 4. - С. 18-22.

31. Veshkurtsev Yu. М., Bychkov Е. D., Titov D. A. Research on algorithms of digital filtering under fuzzy conditions // Актуальные проблемы электронного приборостроения: Мат. VII Международной конф. Новосибирск: НГТУ. 2004. т. 1.-С. 107-111.

32. Kim H., Kosko B. Fuzzy prediction and filtering in impulsive noise // Fuzzy Sets and Systems. 1996. January. 77 (1). P. 15-33.

33. Russo F. Fuzzy sets in instrumentation: Fuzzy signal processing // IEEE Trans. Instrum. Meas. 1996. April. 45. P. 683-689.

34. Simon D. Sum Normal Optimization of Fuzzy Membership Functions // International Journal of Uncertainty, Fuzziness, and Knowledge-Based Systems. 2002. August, vol. 10. P. 363-384.

35. Khriji L., Gabbouj M. Rational-based adaptive fuzzy filters // International Journal of Computational Cognition. 2004. Vol. 2, No. 1. P 113-132.

36. Вешкурцев Ю. M., Бычков E. Д., Титов Д. А. Приложение теории нечетких множеств в цифровой фильтрации случайных сигналов // Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2004. Вып. 3. С. 3-9.

37. Титов Д. А. Моделирование цифрового фильтра на основе теории нечетких множеств // Наука. Технологии. Инновации: Мат. докладов всероссийской научной конф. молодых ученых в 6-ти частях. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003 .Часть 1.-С. 78-79.

38. Ракитянская А. Б., Ротштейн А. П. Нечеткая модель прогнозирования с генетико-нейронной настройкой // Известия РАН. Теория и системы управления. 2005. №1.-С. 110-119.

39. В. Widrow, J. R. Glover, J. M. McCool, J. Kaunitz, C. S. Williams, R. H. Hearn, J. R. Zeidler, E. Dong, R.C.Goodlin, Adaptive Noise Cancelling: Principles and Applications //Proc. IEEE. 1975. Vol. 63. No. 12. P. 1692-1716

40. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения / Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. 3. -М.: Наука. 1967.-368 с.

41. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука. 1987.-600 с.

42. Романенко А. Ф., Сергеев Г. А. Вопросы прикладного анализа случайных процессов. М.: Советское Радио. 1968. - 256 с.

43. Мазмишвили А. И., Беляев Б. И. Способ наименьших квадратов. М.: Изд-во геодез. лит. 1959. - 371 с.

44. Амосов О. С. Адаптивная нелинейная фильтрация случайных последовательностей на основе нейронных сетей и нечеткой логики // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2004. № 5. С. 4853.

45. Амосов О. С. Системы нечеткой логики для фильтрации марковских последовательностей // Информационные технологии. 2004. №11. С. 31-38.

46. Han L. A Fuzzy-Kalman Filtering Strategy for State Estimation: A Thesis Submitted to the College of Graduate Studies. -Saskatoon: University of Saskatchewan. 2004. — 114 p.

47. Ramponi N. Nonlinear fuzzy operators for image processing // Signal Processing. 1994. April. 38.-P. 429-440.

48. Vertan C., Boujemaa N. Using fuzzy histograms and distances for color image retrieval // Challenge of image retrival. 2000. P. 1-6.

49. Нейрокомпьютеры и их применение / Под ред. А. И. Галушкина -М.: ИПРЖР, 2000. 256 с.

50. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя: Пер. с англ. -М.: Наука, 1991. -432 с.

51. Нейросетевые системы управления / Под ред. А. И. Галушкина. Кн. 8. М.: ИПРЖР, 2002.-480 с.

52. McCulloch W., Pitts W. A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity//Bulletin of mathematical biophysics. 1943. Vol. 5. -P 115-133.

53. Медведев B.C., Потемкин В.Г. Нейронные сети. MATLAB 6. М.: Диалог-МИФИ. 2002.-496 с.

54. Рычагов М. Н. Нейронные сети: многослойный перцептрон и сети Хопфилда // Exponenta Pro. 2003. № 1. С. 29-37.

55. Simon D. Training Radial Basis Neural Networks with the Extended Kalman Filter//Neurocomputing. 2002. October, vol. 48. P. 455-475.

56. Simon D. Training Fuzzy Systems with the Extended Kalman Filter // Fuzzy Sets and Systems. 2002. December, vol. 132. P. 189-199.

57. Simon D. Fuzzy Membership Optimization via the Extended Kalman Filter // North American Fuzzy Information Processing Society Conference, Atlanta, GA. 2000. July.-P. 311-315.

58. Титов Д. А. Алгоритм адаптивной фильтрации сигналов на основе теории нечетких множеств // Информационно-телекоммуникационные системы: Сборник тезисов докладов международной конф. молодых ученых.- Новосибирск: Изд-во НГТУ. 2006. С. 88-91.

59. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов СПб.: Питер, 2003. - 608 с.

60. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высш. шк., 2000. -462 с.

61. Гоноровский С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и связь, 1986.-462 с.

62. Гуревич М. С. Спектры радиосигналов. М.: Изд-во литературы по вопросам связи и радио, 1963. - 312 с.

63. Харкевич А. А. Спектры и анализ. М.: Изд-во физико-математической литературы, 1963.-236 с.

64. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967. - 376 с.

65. Вешкурцев Ю. М. Автокогерентные устройства измерения случайных процессов. Омск: Изд-во ОмГТУ, 1994. - 163 с.

66. Бычков Е. Д., Титов Д.А. Цифровая фильтрация нестационарных сигналов при нечетких условиях // Динамика систем, механизмов и машин: Мат. IV Международной науч.-техн. конф., посвящ. 60-летию ОмГТУ. Омск, 2002. Кн. 2.-С. 156-158.

67. Бакалов В. П. Электросвязь в биологии и медицине. М.: Радио и связь, 1998.-176 с.

68. Мурашко В. В., Струтынский А. В. Электрокардиография. М.: Медицина, 1987.-256 с.

69. Вешкурцев Ю. М., Бычков Е. Д., Титов Д. А. Полосовой фильтр на основе теории нечетких множеств // Военная техника, вооружение и технологии двойного применения: Мат. III Международного технологического конгресса. Омск. 2005. Часть 2. - С. 34-36.

70. Вешкурцев Ю. М., Бычков Е. Д., Титов Д. А. Адаптивный полосовой фильтр на основе теории нечетких множеств // Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2006. Вып. 2. С. 16-23.

71. Лазарев Ю. Ф. MatLAB 5.x. К.: Изд. группа BHV, 2000. - 384 с.

72. Дьяконов В. П. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. Спб.: Питер, 2002. - 608 с.

73. Дьяконов В. П., Круглов В. И. Математические пакеты расширения MATLAB. Специальный справочник. Спб.: Питер, 2001. - 480 с.

74. Сергиенко А. Б. Алгоритмы адаптивной фильтрации: особенности реализации в MATLAB // Exponenta Pro. 2003. N1. С. 11-20.

75. Дьяконов В. П. MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5. Основы применения. М.: СОЛОН-Пресс. 2004. - 768 с.

76. Вешкурцев Ю. М., Бычков Е. Д., Титов Д. А. Адаптивный полосовой (или режекторный) фильтр. М.: ВНТИЦ. 2005. - № 50200500735'.

77. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982. -624 с.

78. Горяинов В. Т., Журавлев А. Г., Тихонов В. И. Статистическая радиотехника: Примеры и задачи: Учеб пособие для вузов / Под ред. В. И. Тихонова. -М.: Сов. радио. 1980. 544 с.