автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Алгоритмы метода опорного конуса и их использование при решении прикладных задач энергетики

3 5 О

ГОСУДАРСТВЕННЫ!! комитет СССР ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВПОШ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

СЕМЕНЕИ Петр Тимофеевич

АЛГОРИТМ)! МЕТОДА ОПОРНОГО КОНУСА И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ ЭНЕРГЕТИКИ

05.13.16. - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск, 1990

Работа выполнена в лаборатории "Исследование операция " Сибирского энергетического института СО АН ОХР.

Научная руководитель

доктор физико-математических наук, профессор Булатов В. П.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, доцент Тятшкин А.И.

кандидат физико-математических наук, доцант Веников А.И.

Ведущая организация :

Вычислительный цэнтр АН СССР

Защита состоится "19" декабря 1990 года в Ю_ часов на заседании специализированного' совета К 063.32.06 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Иркутском государственном университете ( 664003, Иркутск, бул. Юрия Гагарина, 20, 1-й корпус ИЛУ).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Иркутского государственного университета (бул. Юрия Гагарина,24).

Автореферат разослан

-Ж- // . 1990 года.

Ученый секретарь специализированного совета, к.ф.-м.н., доцент

Н.Б.Бельтоков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При решении различных научно-исследовательских и инженерно-технических задач часто возникает необходимость в решении задач математического программирования. Например, это задачи линейного программирования, выпуклого программирования, дискретного (целочисленного линейного) программирования, теоретический и алгоритмический аппарат решения которых разработан достаточно давно и глубоко. В настоящее время можно говорить, что построение и формализация математических моделей, постановка содержательных проблем как задач математического программирования вошли в повседневную практику научных исследований, и основное внимание при этом уделяется качественному содержание задач, а не их обьему. Поэтому не ослабевает потребность в разработке эффективных алгоритмов и соответствующих программ для ЭВМ, которые были бы просты в использовании и решали достаточно широкий класс задач математического программирования.

К таким работам относятся алгоритмы метода опорного конуса из класса методов погружения-отсечения в выпуклом программировании. Этот метод разработан в Сибирском энергетическом институте в 1963-64 гг. для решения общей задачи выпуклого программирования. В силу общности метода оказывается возможным на основании одного алгоритма решать задачи линейного и выпуклого программирования, а при соответствующей модификации таюнэ и задачи.частично-далочис-ленного линейного программирования.

Работа выполнена в соответсвии с планом научных исследований СЭИ СО АН СССР в 1985-90 гг. по теме 1.9.3.11и Разработка численных методов выпуклого программирования, основанных на общих схемах погружения, и их приложения".

Цели работы заключаются в следующем.

1). Выполнить исследования по выяснении вычислительных возможностей базовой и разработанной автором модифицированной схем алгоритма метода опорного конуса путем составления соответствующих программ и проведения тестовых расчетов,

2). Провести работы по математическому моделированию и постановке трех актуальных задач, упомянутых в и. 3).-6).

3). Используя программу, составленную на основе базовой схемы

метода, решить задачу стохастического программирования по планированию регионального размещения сельскохозяйственного производства и распределения водных ресурсов в условиях их неопределенности.

4). Разработанные в процессе тестирования программы на основе различных вычислительных схем метода использовать для решения научно-исследовательских задач линейного и выпуклого программирования при разработке методики решения задачи термодинамического анализа по исследованию экологической эффективности энергетических технологий.

5). Завершить постановку и решить исследовательскую задачу выравнивания суммарного графика нагрузки электроэнергетической системы с помощью регулируемых элекгроштребителей (на примере нефтепровода) как задачу выпуклого программирования.

6). Разработать математические модели и соответствующее программное обеспечение для задачи минимизации электроэнергетических затрат магистрального нефтепровода при его работе в режиме потребителя-регулятора.

Научная новизна результатов, полученных автором, состоит в следующем:

1. Разработана эффективная модификация базового алгоритма метода опорного конуса в выпуклом программировании. Данная модификация адатирована автором также и для решения задач частично-целочисленного линейного программирования.

2. При участии автора в институте была начата разработка методики оценки экологической эффективности энергетических технологий.

3. Выполнены предварительные исследования и впервые сформулирована и решена задача минимизации электроэнергетических затрат магистрального нефтепровода при его работе в режиме потребителя-регулятора как задача математического программирования.

4. Математическое программное обеспечение, разработанное автором, позволило решить ряд новых научных и прикладных задач.

Практическая ценность.

(). Разработанные программы могут быть использованы как инструментальные средства для решения задач линейного, выпуклого и дискретного программирования.

-з-

2). Самостоятельное значение имеют решения научно-исследовательских и прикладных задач. Методика решения задач термодинамического анализа (оценки экологической эффективности энергетических технология) имеет широкие перспективы дальнейшего развития.

3). Программы для решения задачи минимизации электроэнергети-часких затрат магистрального нефтепровода при его работе в режима потребителя-регулятора используются в Сибирском Ш1 энергетики (СибШШЭ, г.Новосибирск) при практических расчетах.

Апробация работы. По теме диссертации опубликовано семь печатных работ. Основньз результаты докладывались на конференциях "Методы математического программирования и их программное обеспечение" (Свердловск, 1984,1987), IX Всесоюзном симпозиуме "Системы программного обеспечения решения задач оптимального планирования" (Минск, 1986), Сибирской школе по оптимизации (Иркутск, 1986 ), на Международном совещании стран СЗВ по применению математических методов в энергетике (Иркутск, 1937), на Международной конференции "Математическая оптимизация" (Лейпциг, 1989), на конференциях молодых ученых СЭИ, на научных семинарах в Институте математики АН МИР, в СЭИ, ИГУ.

Структура и обьем работа. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, списка'литературы из 58 наименований. Работа изложена на 80 страницах машинописного текста, содержит 3 рисунка, 8 таблиц. Всего 94 страниц ..

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, сформулированы цели работы, приводится краткое содержание диссертации и полученные результаты.

В первом разделе описывается общая схема методов погружения-отсечения в выпуклом программировании, и на ее основе излагается идея метода опорного конуса и схема базового алгоритма метода. Затем рассматривается модифицированная схема алгоритма и показывается связь между схемами. Завершается раздел рассмотрением и анализом результатов тесщювания программ, составленных на основе разработанных схем метода.

В подразделе 1.1. изломана общая схема методов погружения-отсечения для задачи выпуклого программирования: минимизировать

<С,Х) . X е У «= Bn, (1 )

при условиях

е1<х> < о > (2)

Здесь Y - выпуклое множество , g^U), i«1,...,m - выпуклые функции, и gj{y°)<0 для всех 1=1,... ,и в некоторой точке у°еГ.

Основная идея методов погружения-отсечения состоит в следующем. Вначале допустимое множество задачи (1)-(2) погружается в множество простой структуры: параллелепипед, шар, эллипсоид, симплекс или конус в Е° (или в Е"и). Затем начинается итерационный процесс. С помощью какого-либо метода математического программирования находится оптимум целевой функции на множестве простоя структуры. В точке оптимума проверяются условия исходной задачи. Если все они выполняются с требуемой точностью, то процесс останавливается. В противном случае происходит однопарамэтрическая минимизация целевой функдаи вдоль некоторого допустимого направления. Затем в точке однопараметрического оптимума проверяются ограничения исходной задачи и фиксируется номер ограничения, удовлетворяющего некоторому заданному правилу, например , правилу наибольшей невязки. С помощью выбранного ограничения строится так называемое правильное отсечение, которое отсекает точку однопараметрического оптимума и часть множества простоя структуры. Условие отсечения добавляется к условиям исходной задачи, и вновь формулируется задача на поиск оптимума целевой Функции на получившейся расширенной системе условий, и т .д. . Итерационный процесс повторяется до тех пор, пока все условия исходной задачи и дополнительные условия-отсечения не будут выполнены с требуемой точностью .

В подразделе 1.2. даотся необходимые определения и излагается идея метода опорного конуса.

Допустимое множество задачи (1)-(2) обозначим через G и дадим определение. Опорным конусом к множеству G в точке £ и с вершиной в точке будем называть выпуклое многогранное множество

Sk • ( I е Е11! (¿^.(Х-Л ) 4 О , i=1,...,n }, (3)

lr — V.

такое, что G с R , где точка г является граничной точкой как R ,

так и в, а е Е11 , ;}=1,...,п - линейно-независимые векторы. Столбцы матрицы, обратной матрице системы неравенств (3), являются направляющими векторами ребер конуса (с обратным знаком).

Суть метода состоит в построении последовательности опорных в точках а'к множеству й конусов э С, К* => С, ..., ¡Л>С ,..., с вершинами в точках х°, я',..., хк ,..., причем хк = аг^п { (с,х) ) для всех к » 0,1,2.....к хк~У 11к для

ЗСЕН

всех к г> 1.

Пусть множество значения переменных У задачи (1)-(2) определяется условиями

У = { < х^ < х^ , .....п }. (4)

Тогда построение первоначального конуса й0 з С тривиально -его вершина х° определяется Формулами: х^ ■ Хд, если с^ > 0, и х^ ху если с^ ^ О, Л =1. ...,п: а система неравенств образу-зуется из условия (4):

< х^ > х^, если х^ < х^, если с^<0, .....п). (5)

Но построению, в точке х° достигается минимум (с,х) на

В подраздела 1,3. описаны первый (базовый) и второй (модифицированный) алгоритмы метода.

Первый алгоритм.

Начальный иаг. Строется начальный конус й° с вершиной х°. Вычислим ?0 я (с,х°). Зададим точность выполнения условий задачи - малое е > 0.

к~й шаг (к > 0).

1.Точка х проверяется на допустимость. Если условия (2),(4) выполнены с точностью е, то процесс заканчивается» Иначе строится допустимое направление е1г « (у0 - х11) и находится точка пересечения отрезка х о х11 * хе* с границей множества С.

2. В граничной точке а1: вычисляется вектор первых частных производных (градиент) активного в точке ограничения из (2). (4), и строится отсекающее полупространство

( А (х-а*)) < О ; (6)

3. Вычисляется В^ » (а.15, л - Требуется оценить

прирадания целевой функции в точках пересечения ребер конуса с г(шицей полуи[юстранства (б). Для этого используется вектор

двойствонных переменных с- (Dl:)~1, и ввкггор jfi <* ( так как в точке х1с целевая функция достигает своего минимума, то множители Лагранжа Uj < О, 3=1,п ). Одновременно определяется индекс X исключаемого неравенства из системы неравенств конуса Rk :

/ = max { ^ / ^ , Js{1.....n) ) .

1 -1

4. Индекс 1 определяет так m номер столбца (&) матрицы (D1*)-1 как направляющего вектора 1-го ребра конуса R^, на котором находится следующее приближение

J**1 < В*/*!»-«1)-1 .

5.Вычисляется = Ffc+ В^- (и^ / и 1-я строка матрицы-мультипликатора :

И1 = { .....1 ..... > .

6. Подсчитывается матрица )~1 » (D^)-1*Mk для конуса

, поскольку матрица отличается от матрицы D*1 лишь одной

1-ой строкой eft .

7. Условие (6) добавляем к условиям исходной задачи, полагаем ■ к:=И+1 и переходим на пункт 1 .

Второй алгоритм.

Начальный шаг повторяет первую схему. Зададим малое с > О, направляющие векторы ребер опорного конуса R0 как столбцы матрицы D0 и вычислим Р0 » <с,х°).

К-И шаг (к»0) .

Пункты t. и г. совпадаюгг с соответствующими цункггаш первого алгоритма, В результате их выполнения имеем вектор как нормаль отсекающего точку Xй полупространства

( ак, (X-Zk)) 4 О .

3, Определяется величина В^ « (<*k,xk) - (*k,zk) и вычисляется вектор jJ1* cfafi. Для компононт находятся точки пересечения у* ■ х^-х^-йЦ , j*n.....n> ребер конуса R11 с плоскостью (х-Ек)) - О. Здесь dj[ - J-Я столбец матрицы D*.

и v*5 > 0 • 1 k

4. Среди точек yJ для 3 таких, что УрО , находится сле-дущев приближение хк+1« argmln ( (с.у^) . je{1,..,,n> ) .

Вычисляется принадлежит точка х'

5. Вычисляется следующий набор

пк+1

■гк+1

точка

обозначим через 1

Индекс ребра конуса , которому

п линейно-независимых векторов как направляющих векторов ребер конуса Н1и1э С по правилам :

если

<3^ , если хК+1 -уЗ , уЗ_хк+1 §

если

4

¿¡>0

з ■■

к условиям

1 ....,п

задачи.

полагаем

тестовых приведены

если

6. Условие отсечения добавляем к:=к+1 и переходим на пункт 1.

В подразделе 1.4. описаны способы формирования задач линейного и выпуклого программирования и результаты проведенных вычислительных экспериментов.

Проведение вычислительных экспериментов преследовало следующие цели;

1) .отладка программных реализаций вычислительных схем метода (четыре программы - на основе первого и второго алгоритмов с использованием внутренней точки допустимой области и без нее соответственно)!

2).сравнение программ между собой при счете тестовых задач по времени счета и числу итерация ;

3).выявление узких мест в вычислительных схемах - где сказываются ошибки округления, для оценки точности проводимых вычислении;

4).подбор разумных малых величин для решающихся на каждой итерации подзадач (выбор вводимого в базис столбца; выбор вводимого в матрицу конуса ограничения; вычисление множителей Лагранжа, и т.д.)

5).выявление предела порядка плохой обусловленности матриц опорных конусов, при котором метод перестает работать;

6).выявление возможностей сочетаний различных вычислительных схем метода на предмет более быстрого решения задач;

7).как результаты экспериментов создание надежных рабочих программ .

Тестовые задачи.

При <1ю{мироваш1и тестовых задач выпуклого программирования за основу была взята схема, приведенная в монографии Б.Т.Поляка

"Введение в оптимизацию".- М: Наука, 1983, с. 354. Согласно схеме, если известно точное решение х* и число активных в точке х* выпуклых функция, то вектор коэффициентов целевой функции задачи задается так

С s - Е^ vgjíz*) .

В качестве функция gi(x) были использованы выпуклые функции по-линомиэльного вида

Pj(x) = (aJ-Zj)^ (а1+,-х1+1)г+ ... +(а1+ь-х1+ь)г» .....ш-

и функции вида

XjU) ■ 3 «Ш,...,а ,

а такие комбинации этих функция

- Jp1U)+í1(x)+ /pj(x)+fj(x)- 2-c< px(x) f1(x)

СС в (0,13, 1 «» 1,,,.,NF ,

где коэффициенты а^ генерировались датчиком случайных чисел, и задавались величины: t « m; число 1 ненулевых коэффициентов в каждом ограничений ; NF - число комбинированных функций Fj(«,x).

На языке AXG0I-GDR были составлены четыре программы на основе первого и второго алгоритмов метода с использованием внутренней точки допустимой области и баз нее соответственно. Расчеты выполнялись на ЭВМ БЗСМ-6. В задачах линейного программирования число ненулевых коэффициентов в каждом неравенстве равнялось 15, в задачах нелинейного выпуклого программирования 10. Точность вычислений задавалось равной 0.00001.

Результаты решения всех тестовых задач линейного и выпуклого програжирования показали, что программы, использующие внутреннюю точку, приводят процесс решения задачи к завышению быстрее, чем пролрамш, ее не использующие. Программа, составленная по модифицированному алгоритму, дает несколько лучшие результаты в задачах линейного программирования при п « 100, а в задачах выпуклого программирования при п « 70.

Для получения достоверных решения задач линейного i[porpai-wttpoван ия алгоритмами метода, порядок обусловленности матриц опорных конусов не должен превышать 105 + Ю6.

В заключение необходимо отметить, что атщыгш в прошссе» тестирования показали себя устойчивыми при п < 100, а при больших

размерах задач начинали сказываться ошибки округления.

Во втором разделе описана задача планирования оптимального размещения сельскохозяйственного производства с учетом распределения водных ресурсов в условиях неопределенности в следующем виде.

min с'х

при условиях

Р< Ах 4 Ь ) & р, (7)

х о П.

Здесь А - матрица размеров mxn, b - m-мерный Beicrop. Некоторые элементы a^j матрицы и компоненты bj вектора b являются случайными величинами, подчиняющимися законам нормального или гамма-распределения, р - заданная вероятность выполнения ограничения (7), R - выпуклый замкнугый ограниченный многогранник.

Известно, что эта задача эквивалентна некоторой задаче выпуклого программирования. Для фор-tuрования задачи и ее решения под руководством с.н.с. Александрова И.А. на БЭСМ-б был разработан комплекс программ, в который входит и прог-рамма "КОНУС" решения задачи выпуклого программирования, реализующая алгоритм метода опорного конуса с двухсторонней оценкой погрешности приближенного решения.

Искомыми переменными Xj в этой задаче является площади под сельскохозяйствееными культурами на орошаемых и неорошаемых землях и об'емы продукции животноводства в восьми климатических районах, стоки двух рек и два об'ема переброски стока между бассейнами. Допустимая область решения задачи определяется ограничениями на заданные об'емы производстэа продукции, на земельные, водные и трудовые ресурсы, ограничениями на севообороты и условиями перевода растениеводческой продукции в корма. Стоки рассматриваются как случайные величины, подчиняющиеся закону гамма-распределения, численность трудовых ресурсов принимается распределено« по нормальному закону. В качестве целевой функции берутся расчетные затраты на производство продукции, мелиорации земель и переброску стока при заданном валовом уровне сельскохозяйственного производства или уровень валового производства при заданной величине расчетных затрат.

В подразделе 2.7. описаны исходные данные, которив были получены в ВЦ АН СССР 81"регированием 48-районной схемы в 8-районную

для региона, располошнного в бассейнах Волги и Дона.

В подразделе 2.8. описана организация расчетов и проводится сравнительный анализ полученных результатов. Расчеты выполнялись на ЭВМ БЗСМ-б. Размеры задач составляли: число переменных N«330* 342; число линейных ограничений М ■ 210 + 226: и одно-два нелинейных ограничения. Время счета менялось от 15 до 20 мин. Основные серии расчетов проводились при различных значениях среднемно-голетнего стока, при этом менялась величина вероятности выполнения ограничений на стоки. При расчетах на вероятностной модели был получен результат с меньшими расчетными затратами и меньшим дефицитом по потребностям в воде.

В третьем разделе описано применение разработанных автором алгоритмов метода опорного конуса для нахождении различных экстремальных состояний термодинамических систем: состояния равновесия, идеального состояния, определяемого заданной линейной функцией полезности, и оптимального промежуточного состояния ( последнее понятие впервые введено в работе [1] и применяется, в частности, для оценки эффективности и экологической безопасности технологий переработки тошшв).

В подразделе 3.1 формулируются задачи термодинамического анализа применительно к замкнутой термодинамической системе.

Система характеризуется списком веществ Sj (3 <= .....п>),

которые состоят из атомов а^ (1е 1« {1,...,т)). Химические формулы веществ определяют матрицу А размеров пот, таким образом, что элемент а^ матрицы А равен количеству атомов в в единице вещества

Состояние системы определяется п-мерным неотрицательным вектором хт»(г1,х2,...,хп)т, компонента х^ которого есть количество молей З-го вещества. Вещества находятся в газообразном или в конденсированном состоянии, что соответствует разбиению ^ на непересекающиеся подмножества: J » ^и Зс, ^»(1,2.....Г), ¿с*{Г+1,...,п},

где Г и С - число веществ в каждом состоянии соответственно. Каждому состоянию х системы соответствует энергия ГИббса

С(Х) - 2 < + К-НИР- Й)»;«, ♦ I Х3 . (8)

Здесь в(х) - сумма газообразных веществ, И - универсальная газовая постоянная, Р- постоянное давление и Т- постоянная

темнература, Gj- свободная энергия одного ¡юля вещества Sj. Как показал Б.П.Зельдович, выпуклая функция G(x) является строго

ВЫПУКЛОЙ ПО СОВОКУПНОСТИ КОМПОНеНТ JCj! JáJr.

Зададим начальное состояние системы у с Е". Тогда вектор Ь(у)=АусЕт определяет обшие количества атомов а^ (leí) в начальный момент. В силу замкнутости системы любое состояние х удовлетворяет уравнению баланса масс:

Ах = Ау « Ъ(у). (9)

Для нахождения точки равновесия системы необходимо решить задачу выпуклого программирования: минимизировать G(x), при условиях

х е D(y) «{leí": Ax=b(y), ISO), (10)

Знание точек равновесия замкнутой термодинамической системы дает представление о коночном состоянии системы после завершения процесса эволхщии. Однако желательно знать максимально возможные выходы целевых продуктов, т.е. получать информацию о промежуточных состояниях.

С этой далью определим на отрезке 10,11 множество непрерывных функций ( термодинамически допустимых траекторий или t- путей) ит= { u(r) | Au(t')= Ау, Au(r")= Ау, G(u(r')> G(U(r") для всех r's [0,1 ], r"s (0,1}) и для всех х'е D(y). х2е D(y) введем бинарное отношение ( >- ) достижимости состояния х2 из состояния х1:

х1 >- х2 •» { существует и(т)е UTi u(0)=« х*, u(1)>» x2). Отношение >- определяет множество достижимости из начального состояния

Dt(y)» t xa D(y)l y>- Я),

которое совпадает с множеством состояний, достижимых из начального состояния у. Нетрудно полазать, что Dt(y) выпуклое множество.

Тогда задача поиска экстремальных промв)куточных состояний Формулируется следующим образом: максимизировать 1(х)= У с. х1 jSJ* 3 3

при условии (11)

X 43 Dt(y).

Здвсь J*c J - заданное подмношство индексов веществ, с^ > О -весовые коэффициенты.

Задача (11) решается в два этапа. Сначала определяется идеальное оптимальное состояние х" системы из решения задачи нзвти max 1(х)

при условии (12)

х с D(y).

Лалее определяется состояние х, принадлежащее отрезку iy,x*J, в котором достигается минимальное значение энергии G(x)-G(x)- min G(y+ t(x'-y)),

и решается задача выпуклого программирования налти шах 1(х)

при условии ' (13)

X е B(y.g)= ( X « D(y): G(x) < G(x) }. л

Очевидно, х е Dt(y). Можно показать также, что решение х задачи (13) принадлежит множеству достижимости D^(y). Если х « х", то решение задачи (11) совпадает с х". Если х « у, то задача (11) эквивалентна задаче (12). Наконец, если G(x)< G(y) ( минимальное значение энерши на отрезке 1у,х*3 достигается в его внутренней точке), то решение х задачи (13) дает оценку для оптимального значения в задаче (11):

1(х)< value max( l(x)t хе Dt(y))< 1(х"). В подразделе 3.2. рассматриваются особенности решения сформулированных задач, и приводятся результаты решения нескольких задач термодинамического анализа .

Функция Гиббса имеет следующую особенность - при значениях Xj, близких к нулю, частные производные функции Гиббса

ßG(X)/exj « Gj + R-T*ln( ?•{ Xj/e(x) ), 3»1,...,Г,

стремяться к -оо. Поэтому частные производные вычисляются только для Xj > е, где малое с > О, JeJ* .

Разработанная методика первоначально была использована для анализа процессов пиролиза (термического разложения) канско-ачин-скопз угля и синтеза метанола (СНдО) из смеси оксида углерода и водорода. Анализ процессов пиролиза способствовал уяснению его физики. В ходе расчетов обнаружилось, что максимальные выходы углеводородов совпали с максимумами соответствующих линейных форм нз мнспэграннике Ах = Ь(у), то есть точки, полученные в резуль-

-гз-

тате решения задач линейного программирования, оказались расположенными на термодинамически допустимых траекториях. Значит, при определенных значениях параметров термодинамические ограничения на влит/г на предельную энергетическую эффективность процессов пиролиза. Этот вывод подтвердил надевды на дальнейшее значительное совершенствование технологий термического разложения угля.

Изломанный методический подход значительно расширил круг технологий, совершенство которых оказывается возможным выявлять на основе термодинамического анализа. Этот анализ можно pacnpqcrrpa-нять на такта процессы переработки топлив, как гидрирование,' синтез из CO-HgCMecni пиролиз. Задача поиска цромежугочных состояний мо*к»т возникать и решаться в прикладных исследованиях конкретных технологических установок, и при теоретическом изучении термоди-динашк*: различных физико-химических процессов. Сформулированные задачи математического.программирования и используемые при их решении алгоритмы позволяют находить и конечные равновесные состояния, и промежуточные состояния термодинамических систем, включающих конденсированную и идеальногазовую фазы, идеальные растворы, электрически заряженные частицы. Зго дает возможность проводить разносторонний термодинамический анализ технологий.

В четвертом разделе рассмотрены математические модели задач, разработанные в рамках задачи минимизации электроэнергетических затрат магистрального нефтепровода при его работе в режиме потребителя-регулятора .

Задача 'минимизации энергетических затрат при обеспечении транспорта заданного обьема продукта по трубопроводу всегда имеет место как при проектировании отдельно взятого трубопровода, так и при его эксплуатации. Данная задача рассмотрена в работе на примере магистрального нефтепровода (МШ. Бе решение потребовалось в связи с постановкой и решением проблемы равномерного распрвдела-ления суточной нагрузки на электроэнергетическую систему (ЗЭС) на основе использования электропотребителей в качестве регуляторов. В данном случав было предложено использовать насосные станции (НС) на МН. Отсюда возникла задача рэасчэта суточного графика работы МП. Так эти проблемы оказались взаимосвязаны.

Задача выравнивания графика нагрузки ЗЭС (с помощью МН) была сформулирована в Сибирском НИИ энергетики (г. Новосибирск), зав.

лабораторнеи Б.З. Гаммом. Математическая модель была доработана автором диссертации и задача была им решена как задача выпуклого программирования (без учета дискретности оборудования на НС). Результаты решения продемонстрировали возможность большой экономии для ЗЗС. Для оценки затрат на МП была сформулирована задача минимизации электроэнергетических затрат при работе МП в режиме потребителя-регулятора. В рамках этой проблемы решаются задачи частично-целочисленного линейного программирования по выбору оптимального состава рабочего оборудования. На основе результатов их решений решается задача выравнивания суммарного суточного графика нагрузки ЗЭС как задача линейного программирования, а затем вычисляются результирующие оценки.

Весь комплекс задач обеспечен разработанными автором диссертации соответствующими математическими моделями и программа;« и решается в диалоговом режиме на персональной ЭВМ.

В 'заключении приведены основные выводы и выносимые на защиту результаты ;

1).Разработана модификация базового алгоритма метода опорного конуса в выпуклом программировании, которая расширила область применения метода и позволяет решать задачи дискретного программирования.

2).Предложена методика тестирования программ, предназначенных Для решения задач выпуклого и линейного программирования.

3).На основе выполненного тестирования алгоритмов выяснены их узкие места и оценены вычислительные возможности, а именно ; подобраны значения малых величин для решающихся на каждой итерации подзадач (выбор вводимого в базис столбца; вычисление множителей Лагранжа), и выявлен порядок плохой обусловленности матриц опорных конусов ( to6 ), при котором алгоритмы начинают давать большие погрешности.

4).Разработана комбинированная вычислительная схема метода для решения задач выпуклого программированияна на основе сочетания алгоритма, использующего внугреннюю точку допустимой области, и алгоритма, не использующего эту точку.

5).Разработано программное обеспечение для решения задач выпуклого программирования на ЭВМ БЭСМ-б и для персональных ЭВМ в виде программ, реализующих различные вычислительные

схемы метода oiiopnoit> конуса. Для ЭВМ ЕС-1037 алгоритм реализован на матричных процессорах.

6).Решена задача стохастического программирования по планированию размещения сельскохозяйственного производства в условиях неопределенности водных ресурсов.

7).Решен ряд научно-исследовательасих задач как задач выпуклого программирования в процессе участия в разработка методики экологической оценки эффективности энергетических технология.

8).Разработан комплекс программ для персональной ЭВМ, позволяющий в режиме диалога решать эксплуатационные и проектные задачи минимизации энергозатрат на магистральных нефтепроводах.

Публикации по теме диссертации: EU Анциферов К.Г., Каганович Ь.М.,Семеней П.Т., Такайшвили М.К. Поиск промежуточных термодинамических состояний физико-химических систем // Численные методы анализа и их приложения Иркутск; СЭИ СО АН СССР, с.150-170.- 1987. С2] Александров H.A., Семеной П.Т. Решение одной задачи выпуклого программирования.//Тезисы докладов на конференции "Методы математического программирования и их программное обеспечениеСвердловск: ИМиМ УНЦ АН СССР.- 1984.-с. 10-11.

[33 Семенеп П.Т. Решение задачи выпуклого программирования методом опорного конуса.// Методы опгимизаши и исследовавние операций.- Иркутск: СЗИ СО АН СССР,- 1984.- с. 104-113. 141 Александров И.А., Наумов В.А., Наумова Т.С., Семеней П.Т. Пакет программ для решения задач выпуклого программирования //Тез. докладов IX Всесоюзного симпозиума "Системы программного обеспечения решения задач опгимального планирования".-М: ЦЭМИ АП СССР.- 1986.- с. 9-10. 15] Семеней П.Т. Выравнивание графика нагрузки электроэнергетической системы с помощью регулируемых энергоштребителел (на примере нефтепровода).// Материалы XVIII конференции молодых ученых. Ч 2.- Деп. ВИНИТИ №86S5-B87.- 9.10.87.-с. 152-163.

(61 Семеней П.Т., Хамисов О.В. Об одной модификации метода

~/ст-

опорного конуса // Методы математического программирования и программное обеспечение (тезисы докладов).- Свердловск : УЩ АН СССР.- с.101-102.- 1987.

[7] Semenel Р.Т. Some versions of the support cone algorithm In the mathematical programming and their applications. // 21.Jalirestagung "Mathematische Optimierung".- Berlin : Humboldt-Universität Zu Berlin.- 1989.- p.62-65.