автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Алгоритмы и программы рекуррентного оценивания статистических характеристик случайных сигналов в системах реального времени

0034643

На правах рукописи

Шумаков Егор Владимирович

АЛГОРИТМЫ И ПРОГРАММЫ РЕКУРРЕНТНОГО ОЦЕНИВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ В СИСТЕМАХ РЕАЛЬНОГОГО ВРЕМЕНИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

12 с:.?

Томск - 2009

003464312

Работа выполнена в Томском государственном университете систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Научный руководитель -

доктор технических наук, профессор Светлаков Анатолий Антонович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Мицель Артур Александрович (ТУСУР)

кандидат технических наук, доцент Якимов Евгений Валерьевич Томский государственный политехнический университет (ТПУ)

Ведущая организация -

Томский государственный университет

Защита состоится «19 марта» 2009 г. в час./5! 00 мин, на заседании диссертационного совета Д 212.268.02 при Томском государственном университете систем управления и радиоэлектроники по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники по адресу: г. Томск, ул. Вершинина, 74.

Автореферат разослан «17» февраля 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Мещеряков Р.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Математические методы обработки экспериментальных данных играют существенную роль при измерениях. С усложнением методов измерений и повышением требований к точности измерений их роль становится все более важной. Во многих современных измерительных задачах получить требуемую точность результатов удается лишь с применением более эффективных методов обработки данных, которые, как правило, используются в вычислительных машинах.

В настоящее время обработке данных с использованием вычислительных машин посвящен широкий спектр литературы, которая весьма разнородна и освещает отдельные стороны задачи обработки данных. К наиболее популярным, можно отнести следующих авторов: Г.С. Теслер, В.А. Грановский, Ю.В. Благовещенский, А.Н. Тихонов, J. С. Nash, Moineddin R.

Наиболее часто применяемым методом обработки данных является статистический метод. Как правило, при статистической обработке измерений основной задачей является получение оценок параметров а измеряемой случайной величины (довольно часто, этими параметрами являются математическое ожидание или дисперсия, реже моменты более высоких порядков). Однако в ряде случаев требуется не только найти для параметра а подходящее численное значение, но и оценить его надежность и точность. Требуется знать, к каким ошибкам может привести замена параметра а его точечной оценкой, и с какой уверенностью можно ожидать, что ошибки не выйдут за известные пределы. Чтобы дать представление о точности и надежности оценки а', в математической статистике пользуются так называемыми доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Задача построения доверительных интервалов для оценок математического ожидания и дисперсии в математической статистике достаточно полно решена для классического случая, т.е. когда закон случайной величины X имеет вид нормального распределения. Основными неизвестными, которые необходимо вычислить для построения доверительных интервалов являются оценки математического ожидания и дисперсии, а также квантили распределения Стьюден-

2

та /а и хи-квадрат распределения Ха •

Несмотря на то, что уже предложено значительное количество алгоритмов построения доверительных интервалов, базирующихся на самых разнообразных идеях и подходах, задача разработки новых и совершенствования уже имеющихся остается актуальна и сегодня. Как правило, предложенные ранее алгоритмы являются довольно трудоемкими, с точки зрения затрат машинных ресурсов, и входят в такие пакеты программ, как Mathcad, MatLab, LabView и др.. Данные пакеты программ требуют для своей работы большое количество машинных ресурсов, что не позволяет ими воспользоваться в некоторых измерительных системах.

В настоящее время становится все более актуальной задача разработки автоматических систем измерения, работающих в режиме реального времени. Системами реального времени (СРВ) принято считать такие системы, которые способны функционировать синхронно с процессами, протекающими в окружающей их среде. Как правило, одно из основных требований предъявляемых к таким устройствам - это малые габариты, в частности, к таким системам можно отнести портативные устройства выполненные на базе промышленных компьютеров, микроконтроллеров, программируемых логических интегральных схем (ПЛИС).

Так как вычислительные мощности небольшой системы не соизмеримы с вычислительными мощностями персональных компьютеров (процессорное время, память (оперативная и виртуальная), место на жестком диске), то при разработке программного обеспечения для подобных систем необходимо использовать такие алгоритмы, которые позволяли бы обрабатывать данные с минимальными затратами ресурсов вычислителя.

Как известно, алгоритмы, необходимые для вычисления квантилей условно можно разбить на два направления: рекуррентные и ретроспективные алгоритмы. Одним из основных факторов, обуславливающих предпочтительность использования рекуррентных алгоритмов в системах с небольшим количеством машинных ресурсов, является то, что они менее трудоемки по сравнению с ретроспективными алгоритмами подобного назначения; и, соответственно, их использование позволяет создавать более быстродействующие системы. Таким образом, при разработке рекуррентного алгоритма построения доверительных интервалов возникает возможность одновременно реализовать два требования, предъявляемых к алгоритму, для работы в системах с небольшим количеством машинных ресурсов, а именно: высокая скорость вычисления и малая трудоемкость.

Актуальность работы обусловлена отсутствием в широкой печати результатов исследования алгоритмов рекуррентного построения доверительных интервалов для оценок математического ожидания и дисперсии, необходимых при проектировании систем с дефицитом вычислительных ресурсов которые работают в реальном времени. К таким системам можно отнести как большие вычислительные системы, такие как системы управления подводных лодок, космических аппаратов, атомных реакторов и др., так и как системы, в которых основную вычислительную нагрузку несет не персональный компьютер, а микроконтроллер, ПЛИС, промышленный компьютер, и другие вычислители.

Цель и задачи исследования

Целью диссертационной работы является синтез и исследование рекуррентных алгоритмов, позволяющих строить доверительные интервалы оценок математического ожидания и дисперсии случайной величины, в системах реального времени с дефицитом вычислительных ресурсов.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) рассмотреть и проанализировать возможности построения доверительных интервалов следующими методами:

• методом прогнозирования квантилей с использованием разностных уравнений;

• методом, основанном на решении уравнений, в которые входят искомые квантили;

• методом, основанном на приближении соответствующих функций

2) проанализировать возможности использования этих методов для разработки программного обеспечения в системах реального времени с небольшим количеством вычислительных ресурсов;

3) синтезировать алгоритмы, позволяющие вычислять квантили с наименьшими затратами машинных ресурсов и максимальной скоростью;

4) опробовать предложенные алгоритмы в уже существующих системах реального времени.

Научная новизна

Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что впервые были получены следующие результаты:

1) предложен оригинальный метод последовательного припасовывания элементарных трапеций справа (МПП), предназначенный для решения трансцендентных уравнений относительно квантилей распределения Стьюдента и хи-квадрат распределения;

2) для систем с дефицитом вычислительных ресурсов, разработан алгоритм вычисления квантилей <а и Ха > основанный на синтезе методов МПП и дробно-рациональной аппроксимации (ДРА), что позволило соединить достоинства обоих этих методов, а именно - универсальность МПП и скорость вычисления ДРФ;

3) предложен оригинальный способ регуляризации решения системы линейных алгебраических уравнения, получаемой при прогнозировании квантилей с использованием разностных уравнений, который по сравнению с традиционными способами регуляризации подобных систем уравнений позволяет получать более точные и устойчивые решения;

4) для мобильного устройства контроля и диагностики состояния сердечнососудистой системы человека Биоток 5000 был предложен адаптивный алгоритм усреднения фрагментов электрокардиограмм (01*5 комплексов), что по сравнению с традиционным методом усреднения позволило, существенно сократить время усреднения (ЗЯБ комплексов и повысить точность диагностики.

Основные положения, выносимые на защиту.

1) метод рекуррентного вычисления квантилей хи-квадрат распределения -

л

Ха и распределения Стьюдента - ta, основанный на решении разностных уравнений.

2) алгоритмы решения трансцендентных уравнений, возникающих при вы-

- 2

числении квантилей Ха и 1а-

3) метод вычисления квантилей ta и Ха с использованием аппроксимации и интерполяции соответствующих функций.

4) результаты исследования предложенных численных методов вычисления квантилей ta и Ха ■

5) применение предложенных алгоритмов в в уже существующих системах реального времени.

Внедрение результатов работы

Разработанные алгоритмы были внедрены: 1) при обработке ЭКГ в мобильном устройстве контроля и диагностики состояния сердечно-сосудистой системы человека Биоток 5000; 2) при оценке результатов измерения значений хода пружин манометров, а также 3) в учебном процессе при исследовании возможности статистической обработки, используя среду графического программирования Lab VIEW 7.0.

Апробация работы

Основные результаты работы были доложены и обсуждены на XI, XII и XIV Международных научно-практических конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (г. Томск, соответственно 2005 г., 2006 г. и 2008 г.), Международной научно-практической конференции «Электронные средства и системы управления» (г. Томск, 2005 г.), Всероссийских научно-технических конференциях студентов и молодых ученых «Научная сессия ТУ СУР» (г. Томск, 2004-2006 г.), а также на научных семинарах кафедры информационно-измерительной техники Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 9 печатных работ, из них 2 - в журналах (ж-л " Приборы ", ж-л " Известия ТПУ "), рекомендуемых ВАК для опубликования результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора наук, 7 - в материалах и трудах международных и всероссийских конференций.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, изложенных на 175 страницах, включая 38 рисунков, 30 таблиц, список использованных источников из 81 наименований, а также 2 приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается необходимость разработки алгоритмов построения доверительных интервалов для систем, имеющих сравнительно небольшие вычислительные ресурсы и работающих в режиме реального времени. Определены цель и задачи работы; обсуждены ее актуальность, научная и практическая значимость; отражена новизна полученных результатов и сформулированы основные положения, выносимые автором на защиту.

В первой главе рассмотрена краткая теория построения доверительных интервалов математического ожидания и дисперсии, а также рассмотрены существующие на сегодня способы их вычисления.

В целом ряде отраслей таких, как экономика, химия, медицина, социология, радиолокация, теории автоматического управления, и т.п. существуют задачи, в которых необходимо не только вычислять оценки измеряемой величины, но и определять их достоверность и надежность. В математической статистике решение этих задач производится путем построения доверительного интервала /а, который с заданной вероятностью а накрывает оцениваемое значения. Доверительный интервал /а устанавливает точность определения оценок рассматриваемого параметра, а характеристикой надежности получаемой оценки является доверительная вероятность а.

Задача построения доверительных интервалов для оценки математического ожидания т и оценки дисперсии £> величины X при произвольном числе опытов п решена только для случая нормально распределенной случайной величины X. Основополагающими выражениями, определяющими ширину доверительного интервала, являются следующие уравнения:

а) /"

б )/£ =

2 ' 2 Ха, 1 Ха,2

. 0)

где /д , /д - доверительные интервалы оценки математического ожидания т и дисперсии О, п - число наблюдений, /п и 2'а,2_квантили распределения

Стыодента и хи-квадрат распределения.

На сегодняшний день в инженерной практике существует три способа нахождения доверительных интервалов.

Первый способ состоит в вычислении ширины доверительного интервала, основываясь на формулах (1), с использованием вычисленных по соответствующим формулам, оценок математического ожидания и дисперсии, и исполь-

2 2

зовании для вычисления квантилеи и Ха,\ > Ха,2 широко известных в математической статистике и опубликованных в многочисленных работах таблиц значений функций.

Второй способ состоит в использовании уже готовых модулей в специализированных пакетах программ для вычисления искомых квантилей. На сегодняшний день можно выделить несколько основных программных пакетов,

пригодных для построения доверительных интервалов: Excel, Statistica, Mathematica, MatLab, Maple, MathCad, Lab View и др.

Третий способ - это использование при разработке программного обеспечения различных численных методов вычисления квантилей распределения Стьюдента и хи-квадрат распределения.

Вычисление вышеупомянутых квантилей можно отнести к классическим задачам вычисления функций на электронно-вычислительных машинах (ЭВМ). На сегодняшний день эти задачи решены в достаточно полном объеме и широко опубликованы в различных журналах и книгах.

Как известно, в настоящее время существуют методы ретроспективного оценивания (лат. "retro" - назад и "specto" - смотрю), которые основаны на вычислении оценки на основании полученной выборки целиком. А также методы последовательной обработки результатов, т.е. когда при поступлении нового измерения происходит только коррекция текущей оптимальной оценки. Такие методы называются рекуррентными методами оценивания (лат. "recurro " -бежать назад, возвращаться).

Выбор того или иного метода оценивания зависит от предъявляемых требований к методике оценки начальных условий, а также количества системных ресурсов. Использование методов ретроспективного оценивания наиболее рационально используется в тех случаях, когда необходимо обработать уже заранее полученные измерения. Как правило, в таких случаях обработка происходит на персональном компьютере, и скорость вычисления не является первоочередным критерием при обработке, главным же критерием в данном случае, является точность вычисления.

В настоящее время становится все более актуальна задача разработки автоматических систем измерения, работающих в режиме реального времени, причем одно из основных требований, предъявляемых к ним - это малые габариты устройства. В частности, к таким системам можно отнести портативные устройства, работающие в режиме реального времени, выполненные на базе промышленных компьютеров, микроконтроллеров, программируемых логических интегральных схем (ПЛИС). Системами реального времени (СРВ) принято считать такие системы, которые способны функционировать синхронно с процессами, протекающими в окружающей их среде. Благодаря этому свойству, СРВ находят широкое практическое применение в составе систем управления, связи, сбора информации.

Так как вычислительные мощности небольшой микропроцессорной системы не соизмеримы с вычислительными мощностями персональных компьютеров, то при разработке программного обеспечения необходимо использовать такие алгоритмы, которые позволяли бы обрабатывать данные с минимальными затратами ресурсов вычислителя. Одним из основных факторов, обуславливающих предпочтительность использования рекуррентных алгоритмов в рамках СРВ с дефицитом вычислительных ресурсов, является то, что они менее трудоемки по сравнению с ретроспективными алгоритмами подобного назначения; и, соответственно, их использование позволяет создавать более быстро-

действующие системы, что в целом ряде случаев оказывается определяющим требованием.

При анализе рассмотренных трех методов построения доверительных интервалов, становится очевидным, что использование первых двух методов в системах реального времени с дефицитом вычислительных ресурсов, не является реальным. Также стоит отметить, что предложенные в работах алгоритмы вычисления квантилей (а, Ха,\ > Ха,2 недостаточно исследованы в возможности их использования для рекуррентного вычисления (так как, по видимому, перед авторами не стояла такая задача), либо эти алгоритмы в большей мере стоит отнести к ретроспективным.

Таким образом, возникает необходимость в исследовании и синтезе рекуррентных алгоритмов, позволяющих строить доверительные интервалы в системах, имеющих ограниченный запас машинных ресурсов.

Как видно из формул (1), задачу для рекуррентного построения доверительных интервалов необходимо разбить на две подзадачи: 1) рекуррентное вычисление оценок математического ожидания и дисперсии и 2) вычисление квантилей распределения Стьюдента - (а, и хи-квадрат распределения Ха ■

Задача рекуррентного вычисления оценок т и 5 достаточно глубоко исследована, и формулы рекуррентного вычисления оценок можно записать следующим образом:

т„+1 = -Ц(пт„ + х„+,)= ~тп + —Ц- = т„ + -Ц (х„+, -шл), (2) п+1 п +1 й + 1 п + 1

бя+1= —•бя+-Ц-(*я+| -т„)2. (3)

п п + 1

В последующих главах исследуются возможные алгоритмы вычисления квантилей /„ и Ха •

Во второй главе рассматривается возможность разработки такого алгоритма, который позволил бы прогнозировать значения функций и на итерации п, основываясь на значениях этих функций на предыдущих итерациях (и-1, п-2, л-3, л-4,...и т.д.). Реализовать данный алгоритм можно с использованием разностных уравнений.

Разностные уравнения вычисления квантилей 1а и Ха на п"°й итерации имеют следующий вид:

1а,п = (а,п-1 • У\ + 'а, л-2 -Г2+-- + 1а,п-(т-\)' 7 т-1 + » ' Ут ■ (4)

2 2 2 2 Ха,п ~ Ха,п-\ ' + Ха.п-2 " + •■•+ &а,п-{т-\)' + п' ^т • (5)

Как видно из уравнений (4) и (5), коэффициенты приближения являются основными неизвестными в данных уравнениях, и именно они устанавливают точность вычисления искомых квантилей. Вполне является очевидным, что для их вычисления необходимо составить и решить системы линейных уравнений, а также логично решать данные системы матричным способом. Ниже в матрич-

ной форме представлены системы уравнений, из которых можно вычислить коэффициенты приближения:

4 1 4 4 Tc = bиVz = g, (6)

4 4.

где векторы Ь и % и матрицы Т и V состоят из значений квантилей (а и %а> а

I i

векторы сиг из коэффициентов приближения У\,У2,Ут>Ут-\ и •

А I

Искомые вектора сиг можно вычислить, используя произведение векто-4 4

ров Ь^ и матриц обратных к Т матрица и V матрица соответственно, т.е

а)с = Т Ь и = (7)

4 4

Таким образом, вычислив вектора с и 2, мы можем, воспользовавшись разностными уравнениями (4) и (5), находить значения величины и Ха на каждой новой итерации выражения.

Исследование предложенного алгоритма производилось как на точность вычисления, так и на корректность поставленной математической задачи.

При исследовании на корректность поставленной задачи было установлено, что существенное влияние на нее оказывают: 1) порядок матриц Т и V и 2) значение доверительной вероятности а.

На рисунке 1 представлены в логарифмической шкале графики зависимости величины определителя с1 и числа обусловленности ф матрицы от значения доверительной вероятности а.

Рис. 1 Зависимость величины определителя сI и числа обусловленности 0 от значения доверительной вероятности а

В целом при анализе результатов исследования корректности поставленной задачи стоит отметить, что I) при порядке матриц Т и V , равном двум решения систем уравнений (6) являются корректными, так как значение определителей d достаточно отличаются от нуля, а значение чисел обусловленности ф не является сильно большим и 2) с увеличением порядка матриц Т и V ситуация с корректностью решения систем уравнений (6) меняется и величина определителя становятся довольно близко к нулю, а величина числа обусловленности становится большим.

Исходя из этого, можно сделать вывод, что для решения систем (6) с порядком матриц Т и V, равном двум, можно воспользоваться широко описанными в литературе традиционными численными методами решения систем алгебраических уравнений, тогда как в случае, когда порядок матриц больше двух, для решения данных систем уравнений необходимо воспользоваться методами регуляризации.

В данной работе для регуляризации СЛАУ рассматривались три метода: 1) метод регуляризации Лаврентьева; 2) метод регуляризации Тихонова; и 3) метод, основанный на использовании псевдообратных матриц и псевдорешений, предложенный Светлаковым A.A.

При исследовании методов регуляризации было установлено, что при больших значениях коэффициента регуляризации к точность решения систем (6) сильно ухудшается, но при этом решения систем является устойчивым, тогда как при малых к< 1 точность решений увеличивается, однако устойчивость их уменьшается.

Для выбора оптимальной величины коэффициента регуляризации в работе был использован метод, идея которого заключается в том, чтобы находить такие значения коэффициента регуляризации к, при которых разность между точ-

4- 4 4" 4

ками векторов Тс* и Ь, а также Xzk и g была бы минимальна и равна некоторому заданному значению ii.

При исследовании методов регуляризации указанным способом было выявлено, что: 1) наиболее устойчивые решения можно получить, используя метод регуляризации, основанный на вычислении псевдообратных матриц, а наименее устойчивое решение получается при использовании метода Лаврентьева; и 2) точность прогнозирования при использовании этих трех методов регуляризации, при заданном значении Q, имеет примерно одинаковый порядок значений. Так при вычислении квантилей ta при а=0,99, и=30 и а=1*Е-07 ошибка вычисления е(.), определяемая как разница между вычисленным значением и истинным, для метода МОВПМ равна 7,2Е-5, для метода Тихонова - 5,2Е-5, а для метода Лаврентьева - 1,37Е-4, тогда как значение числа обусловленности ф при тех же начальных значениях соответственно равно для МОВПМ - 4,2Е+4, для метода Тихонова - 3,18Е+6, а для метода Лаврентьева - 9,69Е+8.

Исследование точности вычисления предложенным алгоритмом производилось посредством относительной ошибки:

а, ист

6)0 , =

Ха

-Хп

Ха, ист.

•100%, (8)

2 7

где /а,ист. и Ха,ист.- истинное значение квантилей 1а и Ха ПРИ заданном числе

~ ~2

степеней свободы г и доверительной вероятности а, и Ха~ приближенное

(вычисленное) значение квантилей ¿0 и Ха •

При исследовании было установлено, что вне зависимости от порядка матрицы на точность влияют:

1) число степеней свободы г (так с ростом числа степеней свободы, точность вычисления монотонно уменьшается (рис. 2));

2) начальное значение числа степеней свободы г=г0, при котором начина-

2

ются вычисления (так при прогнозировании квантилей /а и Ха отличие между коэффициентами в,аи в 2, вычисленными при г0=Ю и г0=80, отличаются на

два- три порядка);

3) доверительная вероятности а (рис. 2) (так точность увеличивается при таких значениях доверительной вероятности, при которых функции (/а) и $г{%а) носят наиболее близкий к линейной зависимости характер, к примеру для функции Бг(1а) - это значения а=0,8, а для )- а= 0,1 и 0,9).

.•у.

30 40 50 60 Г 30 40 50 60 Г а) 1- а=0,999; 2- а=0,95; 3- б) 1 а=0,99; 2- а=0,01; 3- а=0, а=0,9; 4- а=0,8 9;4-а=0,1

Рис. 2 Зависимость 0, и в ~> от числа степеней свободы г а Ха

и доверительной вероятности а

На основании рассмотренных в данной главе результатов исследования можно сделать вывод, что данный алгоритм, в связи с невысокой точностью вычисления на наиболее часто используемом в инженерной практике отрезке числа степеней свободы [2-70], не является в полной мере приемлемым для разработки программного обеспечения в измерительных системах.

В третьей главе были рассмотрены вопросы вычисления квантилей (а и Ха различными численными методами.

Основываясь на функциях распределения Стьюдента и хи-квадрат распределения можно показать, что основополагающими для вычисления искомых квантилей являются следующие уравнения:

^^)

1+— л-1

ч

2Л-| = 0; (9)

Х„ 1 и_1

-Т'ит-'^м-^.о;

х2 [х) О

(10)

где л-число наблюдений, Г(дг) - известная гамма-функция, а - значение довери-

2 1

тельной вероятности, га и Ха,\ >Ха,2~ квантили распределения Стьюдента

и распределения с г=п-1 степенями свободы.

Как известно, в настоящее время существует целый ряд численных методов, пригодных для использования их в нашем случае. Предварительный анализ данных методов и условий их использования позволяет видеть, что для решения уравнений (9) и (10) можно воспользоваться следующими численными методами:

1) традиционные численные методы решения трансцендентных уравнений;

• метод Ньютона (метод касательных);

• метод хорд;

• метод дихотомического деления;

• комбинированный метод, который представляет из себя синтез метода хорд и метода Ньютона;

2) специализированные численные методы;

• методом последовательного припасовывания элементарных трапеций справа (МПП).

При исследовании традиционных численных методов вычисления трансцендентных уравнений было показано, что все четыре итерационных процесса

л

в асимптотике сходятся к одному и тому же значению га (и соответственно Ха )>

вычисленному с использованием таблиц. Однако скорость сходимости у этих методов различна. Так скорость сходимости последовательности приближений зависит для методов хорд и дихотомии от величины интервала, содержащего

корень, для метода Ньютона - от начального приближения га0(^0), а для

комбинированного метода она зависит и от величины интервала и от начального приближения. Среди исследуемых численных методов быстрее к корню уравнения сходятся последовательности решений, полученных, с использованием комбинированного метода и метода касательных, как в случае вычисления функции 5ХО> так и Зг{ха)- На рисунке 3 представлено поведение последовательных приближений искомых квантилей по комбинированному методу.

ближения: ближения:

1 -[ 1 ;4], 2-[0;6], 3-[1 ;7], 4-[0;9]. 1 -[0;30], 2-[0;20], 3-[ 10;30]. 4-

[10;20].

Рис. 3 Результаты вычислений функций 5X0 и

Основным недостатком традиционных численных методов является количество вычислений приближенных значений корня, а следовательно и общий объем вычислений, необходимых для отыскания корня уравнения. При сравнении "традиционных численных методов" и МПП можно отметить, что точность вычисления МПП соизмерима с точностью традиционных численных методов, однако МПП существенно выигрывает по скорости вычисления.

Для увеличения скорости вычисления в работе был рассмотрен второй способ, который основан на замене функций S£ta) и Sr) более простыми, приближающими функциями K,(ta) и Кг [х^ ), скорость вычисления которых выше, чем скорость вычисления исходных функций и ).

Для нахождения приближающих функций K^Q и Кг[^а) рассмотрены следующие три подхода:

1) подход, основанный на интерполяции функций SJ^ta) и

2) подход, основанный на экстраполяции функций S^Q и Sr |;

3) подход, основанный на аппроксимации функций Sj(ta) и

Исследование интерполяции функций ¿¡ХО и ).производилось на отрезке числа степеней [2,120], причем интерполяция производилась как единым полиномом на всем отрезке интерполяции (глобальная полиномиальная интерполяция (ГПИ)), так и с разбиением функций на несколько отрезков (кусочно-полиномиальная интерполяция (КПИ)). Расположение узлов интерполяции производилось как равномерно, так и с использованием уравнения Чебышева.

В результате исследований было выявлено, что кусочно-полиномиальная интерполяция позволяет существенно уменьшить количество узлов интерполяции, необходимых для приближения функций с заданной точностью, по сравнению с глобально-полиномиальной интерполяцией. Так для приближения функции 5Х?а) при значении доверительной вероятности а = 0,95 и точности приближения етах(.) =0,001, при использовании ГПИ, необходимо при равномерном распределении -25 узлов интерполяции и при распределении узлов, вычисленных с использованием уравнения Чебышева-39, тогда как при использовании КПИ необходимо для достижения такой же точности соответственно 15 23 узла интерполяции.

Также при исследовании было установлено, что наиболее рационально использовать КПИ для приближения функций Б^) и Бг[ха) при равномерном распределении узлов интерполяции, т.к. для достижения необходимой точности требуется меньшее количество узлов.

При исследовании экстраполяиии функций и [х^) было установлено, что точность прогнозирования квантилей /а и Ха в меньшей степени зависит от методов вычисления узлов экстраполяции, а в большей - от порядков полиномов и числа степеней свободы % при котором начинается прогнозирование. Ниже представлены графики зависимости относительной ошибки

в. (рис. 4а, 46 и 4в) и в 2 (рис. 4г, 4д и 4е) от числа степеней свободы г, вы-а Ха

численных при линейной, квадратичной и кубической экстраполяции при равномерном распределении узлов и числом степеней свободы г0 равном 1, 30, 50. Значение доверительной вероятности а при этом равно 0,99.

Рис. 4 экстраполяции функцийБМ и (I-кубическая; 2- квадратичная; 3-линейная)

При анализе результатов исследования возможности использования экстраполяции, для прогнозирования квантилей распределения Стьюдента и хи-квадрат распределения, можно сделать вывод, что для практического применения этот численный метод подходит, но с ограничениями. Такой вывод следует из того, что в связи с тем, что наиболее важным в практическом применении является отрезок числа степеней свободы г равный [2-70], то и точность вычисления квантилей на этом участке должна быть высокой.

В случае использования экстраполяции сравнительно высокую точность, как для вычисления квантилей так иудаётся получить только при больших значениях гй. Так, значение коэффициента в, при г=70 вычисленное линейной экстраполяцией при г0 =1, г0 =30 и г0 =50, равны 2853%, 2,7% и 0,23% соответственно.

Аппроксимация функций Б^а) и в работе, производилась 5 видами:

1 )аппроксимация полиномом; 2) экспоненциальная аппроксимация; 3) аппроксимация степенной функцией; 4) аппроксимация кривыми Гаусса; 5) дробно-рациональная аппроксимация (ДРА).

При исследовании возможности приближения функций 5X0 и ^(^д) было отмечено, что все пять предложенных функций позволяют аппроксимировать, однако точность приближения у них различна. Менее точные приближения получаются при аппроксимации полином и при аппроксимации экспоненциальной и степенной функциями.

Наиболее точное приближение получается при аппроксимации функциями Гаусса и аппроксимацией дробно-рациональной функцией, причем при аппроксимации дробно-рациональной функцией для достижения заданной точности

требуется меньшее количество коэффициентов аппроксимации, чем при аппроксимации функциями Гаусса. Таким образом, для приближения функций

■SXÚ и в системах, работающих в режиме реального времени, наиболее

рационально воспользоваться дробно-рациональной аппроксимацией.

Так одним из самых главных требований, которые предъявляются к алгоритмам, используемым в системах реального времени, является скорость вычисления, в работе производилось сравнение методов приближения по количеству коэффициентов (узлов интерполяции или коэффициентов аппроксимации) необходимых для достижения заданной точности. В результате было отмечено, что наименьшее количество коэффициентов требуется при аппроксимации дробно-рациональной функцией, таким образом, аппроксимация ДРФ с точки зрения скорости и точности вычисления является наилучшим способом построения приближающих функций K¿ta) и

В работе производился сравнительный анализ преимуществ и недостатков численных методов припасовывания элементарных трапеций справа и аппроксимации дробно - рациональной функцией. В результате чего был предложен метод, который является комбинацией этих двух численных методов. Ниже в таблицах приведены результаты исследования скорости вычисления искомых квантилей методами МПП, ДРА и комбинированным методом. Так в таблице представлено среднее время вычисления квантилей на интервале числа степеней свободы от 2 до 120, вычисленных при значении доверительной вероятности а=0,99 и ошибке вычисления е(.)=0,001. Исследование среднего времени вычисления квантилей производилось посредством микроконтроллера фирмы "ATMEL" AT90LS8535.

Таблица 1

Среднее время вычисления квантилей

Метод МПП ДРА Комб. метод

Среднее время вычисления Со, с. 4.1Е-5 7,8Е-7 4,036Е-6

Среднее время вычисления с- 3.5Е-5 5,95Е-7 3,508Е-6

Данный метод является наиболее приемлемым для использования, т.к. он позволяет соединить высокую скорость вычисления дробно-рациональной функции и универсальность вычисления МПП.

В четвертой главе представлены результаты трёх практических применений предложенных выше рекуррентных алгоритмов построения доверительных интервалов. В первом из них они использованы для обработки электрокардиограмм (ЭКГ) в мобильном устройстве контроля и диагностики состояния сердечно-сосудистой системы человека Биоток 5000. Во втором применении рассмотренные алгоритмы использовались для анализа результатов измерения значений хода пружин манометров на предприятии ОАО «Манотомь». Третьим

применением данных алгоритмов является их внедрение в учебный процесс в качестве лабораторных работ.

В лаборатории медицинской электроники (ЛМЭ) «Биоток» возникла необходимость в алгоритмах адаптивного усреднения фрагментов электрокардиограмм (ОЯБ комплексов) при организации программного обеспечения в мобильном регистраторе Биоток 5000 (холтер Биоток 5000).

При исследовании возможности организации адаптивного алгоритма усреднения были произведены исследования помехи, наводимой на сигнал ЭКГ, результаты которых показали возможность использования формул (1) для оценки математического ожидания т и дисперсии О в холтере Биоток 5000.

В данной работе предлагаются адаптивные алгоритмы, основная идея которых заключаются в том, чтобы производить усреднения до тех пор, пока оценки математического ожидания т и дисперсии О с заданной вероятностью 11 не будут находиться в границах доверительных интервалов, заранее заданной ширины:

~ Р{п-1)

п Ха

а)% =2(а\1— иб)е„2 =

х1,\

Ха,2

(П)

По средством пакета программ Ма^аЬ 6.0, на основании записанных в холтере данных, была смоделирована работа адаптивного алгоритма усреднения.

Рис. 5 Зависимость с выходного сигнала от с исходной выборки при различных алгоритмах обработки: а) формула 11(а); б) формула 11(6).

Из результатов моделирования, представленных на рисунке 5, видно, что после обработки алгоритмом значение дисперсии овьтх обработанного сигнала при увеличении ствх исходной выборки примерно остается одинаковым и колеблется в окрестности в случае использования формулы 11 (а) значения 0,4, а в случае использования формулы 11(6) - значения 0,6.

Таким образом, после анализа результатов моделирования рассмотренных алгоритмов в специализированном пакете программ Ма11аЬ 6.0 и рассмотрения их возможной реализации в микроконтроллере можно говорить о рациональности применения предложенных алгоритмов в программном обеспечении холте-ра Биток 5000.

Другим из практически важных приложений, разработанных и описанных в работе алгоритмов построения доверительных интервалов для оценки мате-

матического ожидания, является оценка результатов измерения значений хода пружин манометров.

Необходимость в привлечении специализированного математического аппарата возникла на ОАО «Манотомь» в связи с проведением научно-исследовательских работ (НИР) в направлении автоматизации регулировки манометров. Выбор оптимального размера тяги для целого класса приборов потребовал детального исследования ходовых свойств манометра и установления наиболее вероятного значения хода пружины.

В математической модели манометра параметром, участвующим в выборе координаты крепления тяги, является ее длина. Установление этого размера постоянным для всей массы приборов напрямую связано с диапазоном варьирования значений хода и его наиболее вероятным значением.

Для осуществления автоматизированной настройки манометров требуется информация о статистических характеристиках значений хода трубчатой пружины, которые представляют собой реализации случайной величины, подчиняющейся некоторому заранее неизвестному закону распределения.

Таким образом, при анализе процесса автоматизированной настройки манометров необходимо установить тип закона распределения, которому подчиняются измеренные значения хода пружины, а также получить наиболее точные и надежные оценки значений хода пружин манометров. Вполне является очевидным, что для получения надежных оценок измерений логично воспользоваться методикой интервального оценивания, т.к. она позволяет получать не только точные, но и с заданной вероятностью надежные оценки.

В данной работе, в связи с тем, что закон распределения измеренных значений отличен от нормального, для обоснования возможности использования методики построения доверительных интервалов, основанных на формуле (1а), производится сравнение этого метода оценки с непараметрическим интервальным методом оценки, который не зависит от закона распределения. /<

250024002300 22002100

2 20 40 60 80 к Рис. 6 Границы доверительных интервалов: 1-построенные с использованием непараметрического метода; 2- построенные с использованием квантилей

Стьюдента.

Как видно из рисунка, иллюстрирующего результаты сравнения двух методов оценки, границы доверительных интервалов, построенные двумя различными методами, в целом повторяют поведение друг друга, что говорит о том, что точность метода, основанного на формуле (1а), как минимум, не уступает по точности непараметрическому методу, и, следовательно, может использоваться при настройке манометров.

Таким образом, на основании полученных результатов предложенные алгоритмы построения доверительных интервалов для математического ожидания были реализованы в виде программного обеспечения и успешно применены в ходе выполнения НИР по автоматизации процесса регулировки манометров.

Кроме того, на основе предложенных алгоритмов было реализовано две лабораторные работы по дисциплине «Метрология, стандартизация и технические измерения». Рассмотренные в лабораторных работах задания позволяют студентам получить навыки программирования в среде Lab VIEW, а также укрепляют теоретические знания в области статистической обработки измерений и численных методов решения задач.

В заключении диссертации приведены выводы и сформулированы основные результаты исследований, которые состоят в следующем.

В связи с тем, что существующие методы решения рассматриваемой задачи не отвечают в полной мере предъявляемым к ним требованиям работы в таких системах реального времени, в которых вычислительные ресурсы меньше, чем у современных персональных компьютеров, то были синтезированы новые алгоритмы построения доверительных интервалов.

При выполнении диссертационной работы получены следующие основные результаты:

1) предложен новый способ построения доверительных интервалов, основанный на численном методе припасовывания элементарных трапеций справа. Данный метод обладает универсальностью, а именно высокой точностью и не зависимостью от начальных данных, таких как значения доверительной вероятности а и числа степеней свободы г;

2) произведен анализ численных методов приближения, которые наиболее подходят для функций Sr(ta) и iSr{¿l). Показано, что для вычисления

квантилей ta и Ха в системах с дефицитом вычислительных ресурсов, наиболее рационально с точки зрения точности приближения и скорости вычисления, использовать дробно-рациональную аппроксимацию (ДРА);

3) рассмотрен оригинальный способ регуляризации решения системы линейных алгебраических уравнения (СЛАУ), получаемой при прогнозировании квантилей с использованием разностных уравнений;

4) для систем с дефицитом вычислительных ресурсов, разработан алгоритм вычисления квантилей ta и ха> основанный на синтезе методов МПП и ДРА, что позволило соединить достоинства обоих этих методов, а именно - универсальность МПП и скорость вычисления ДРФ;

5) для мобильного устройства контроля и диагностики состояния сердечнососудистой системы человека Биоток 5000 был предложен адаптивный алгоритм усреднения фрагментов электрокардиограмм (QRS комплексов), что ho сравнению с традиционным методом усреднения позволило, повы-

сить точность диагностики и сократить время усреднения QRS комплексов, в некоторых случаях в 10-15 раз;

6) практическая ценность полученных результатов подтверждена применением их в ряде практических областей, от обработки измерений в холтере Биоток 5000 и технологических процессов до проведения лабораторных работ.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Шумаков Е.В. Синтез и некоторые результаты исследований алгоритмов решения уравнений, возникающих при использовании распределения Стью-дента. / А. А. Светлаков, Ю. Г. Свинолупов, Е. В. Шумаков // Известия ТПУ. -2006.- №8. -С. 11-15.

2. Шумаков Е.В. Рекуррентный способ построения доверительных интервалов оценивания неизвестных значений измеряемых величин / Е.В. Шумаков, A.A. Светлаков // Приборы. - 2006. - №6. - С. 54-59.

3. Шумаков Е. В. Алгоритм адаптивного усреднения ЭКГ в холтере Биоток 500. / Е.В. Шумаков, Д.Ю. Ларионов // Современные техника и технологии: материалы XIV Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. - Томск: Изд-во ТПУ, 2008. - Т. 1. -С. 518-520.

4. Шумаков Е. В. Исследование возможности построения доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии, используя аппроксимацию функций ^(О и Sr(¿l) / Е.В. Шумаков, Д.Ю. Ларионов // Современные техника и технологии: Материалы XIV Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. -Томск: Изд-во ТПУ, 2008. - Т. 3. - С. 146-148.

5. Шумаков Е. В. Исследование алгоритмов решения уравнений, возникающих при распределении Стьюдента. // Современные техника и технологии: Материалы XI Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. - Томск: Изд-во ТПУ, 2005. - Т. 2. -С. 248-251.

6. Шумаков Е. В. Построение доверительного интервала для математического ожидания. // Современные техника и технологии: Материалы XII Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. - Томск: Изд-во ТПУ, 2006. - Т. 2. - С. 224-226.

7. Шумаков Е. В. Исследование задач, возникающих при разработке рекуррентного алгоритма построения доверительного интервала для математического ожидания. // Научная сессия ТУСУР-2006: Материалы докладов Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, Томск, 4-7 мая 2006 - Томск: Изд-во "В-Спектр", 2006. -4.4.-С. 61-64.

8. Шумаков Е. В. Анализ возможностей среды программирования Labview при разработке лабораторных работ по курсу "Технические измерения" //

Научная сессия ТУСУР-2004: Материалы докладов Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых, Томск, 18-20 мая 2004 - Томск: Изд-во "В-Спектр", 2004. - Ч. 2. - С. 209-211 9. Шумаков Е. В. Исследование алгоритмов решения уравнений, возникающих при использовании распределения Стьюдента. // Электронные средства и системы управления:- Томск: Изд-во Института оптики атмосферы СО РАН, 2005.-Ч. 2.-С. 90-93.

Тираж 100. Заказ № 138. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ ОЦЕНОК ИЗМЕРЯЕМОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

1.1. Введение.

1.2 Актуальность проблемы построения доверительных интервалов.

1.3. Теоретические основы.

1.3.1. Вычисление точечных оценок случайной величины X.

1.3.2. Построение доверительных интервалов.

1.4. Существующие способы построения доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии.

1.5. Анализ рассмотренных методов.

1.6. Рекуррентные алгоритмы вычисления оценок математического ожидания и дисперсии.

1.7. Анализ возможностей синтеза рекуррентных алгоритмов вычисления доверительных интервалов и/f.

1.8. Выводы.

ГЛАВА 2. РЕКУРРЕНТНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ОЦЕНОК МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ И ДИСПЕРСИИ С

ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

2.1. Введение.

2.2. Теоретические основы предлагаемого алгоритма.

2.3 Исследование корректности постановки задачи.

2.4. Регуляризация систем уравнений.

2.4.1 Метод регуляризации Лаврентьева.

2.4.2 Метод регуляризации Тихонова.

2.4.3 Метод регуляризации, основанный на вычислении псевдообратной матрицы и псевдорешений (ПМП).

2.4.4 Результаты исследования предложенных методов регуляризации.

2.5 Результаты исследования предложенного алгоритма на точность вычисления.

2.6. Выводы.

ГЛАВА 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ КВАНТИЛЕЙ /а, и С

ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ.

3.1. Введение.

3.2 Вычисление квантилей распределения Стьюдента и хи-квадрат распределения с использованием численных методов решения соответствующих уравнений.

3.2.1 Постановка задачи.

3.2.2 Выбор и анализ численных методов.

3.2.3 Результаты исследования предложенных алгоритмов.

3.3 Вычисление квантилей распределения Стьюдента и хи-квадрат распределения с использованием численных методов интерполяции и аппроксимации.

3.3.1 Постановка задачи.

3.3.2 Интерполяция функций Sr(ta) и Sr [zt).

3.3.2 Экстраполяция функций Sr(ta) и Sr ).

3.3.3 Аппроксимация функций Sr(ta) и Sr ).

3.4 Исследование алгоритмов на скорость вычисления.

3.5 Прогнозирование функций Sr{ta) и Sr) с использованием синтеза численного метода припасовывания элементарных трапеций и метода основанного на построении приближающих функций. * Ю

3.6. Выводы.

ГЛАВА 4. ПРИМЕНЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ АЛГОРИТМОВ ПОСТРОЕНИЯ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ ДЛЯ ОЦЕНОК МАТЕМАТИЧЕСКОГО П

ОЖИДАНИЯ И ДИСПЕРСИИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

4.1. Введение.

4.2 Использование предложенных алгоритмов в программном обеспечении холтера Биоток 5000.

4.2.1 Описание холтера Биоток 5000.

4.2.2 Классификация помех и шумов, влияющих на качество электрокардиограммы и методы их устранения в холтере Биоток 5000.

4.2.3 Структура программного обеспечения холтера Биоток 5000.

4.2.4 Постановка задачи адаптивного усреднения QRS-комплексов.

4.2.5 Сущность предлагаемого алгоритма адаптивного усреднения.

4.2.6 Анализ помехи, влияющей на сигнал электрокардиограммы.

4.2.7 Результаты тестирования предложенных алгоритмов.

4.3 Оценка значений измерений хода пружин при автоматизированной настройке манометров.

4.3.1 Постановка задачи оценки значений измерений хода пружин при автоматизированной настройке манометров.

4.3.2 Результаты исследования закона распределения хода пружин манометров.

4.3.2 Анализ возможности построения доверительного интервала для математического ожидания выборки значений измерений хода пружин, используя квантили распределения Стьюдента.

4.3.3 Результаты сравнения методов сравнения построения ^доверительных интервалов.

4.4 Использование предложенных алгоритмов в учебном процессе.

4.5. Выводы.

Математические методы обработки экспериментальных данных играют существенную роль при измерениях. С усложнением методов измерений и повышением требований к точности измерений их роль становится все более важной. Во многих современных измерительных задачах получить требуемую точность результатов удается, лишь с применением более эффективных методов обработки данных, которые, как правило, используются в вычислительных машинах.

В настоящее время вопрос обработки данных с использованием вычислительных машин широко рассмотрен в различной литературе [1,13,24,37,42-48], которая весьма разнородна и освещает отдельные стороны задачи обработки данных. Наиболее полные исследования в этой области произвели следующие авторы: Г.С. Теслер[1], В.А. Грановский [4], Ю.В. Благовещенский [13], А.Н. Тихонов [55], J. С. Nash.

Наиболее часто используемым методом обработки данных является статистический метод. Как правило, при статистической обработке измерений основной задачей является получение оценок параметров а измеряемой величины (довольно часто этими параметрами являются математическое ожидание и дисперсия, реже — моменты более высоких порядков). Однако в ряде случаев требуется не только найти для параметра а подходящее численное значение, но и оценить его надежность и точность. Требуется знать, к каким ошибкам может привести замена параметра а его точечной оценкой, и с какой уверенностью можно ожидать, что ошибки не выйдут за известные пределы. Чтобы дать представление о точности и надежности оценки а , в математической статистике пользуются так называемыми доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Задача построения доверительных интервалов для оценок математического ожидания и дисперсии в математической статистике решена для классического случая, т.е. когда закон случайной величины X имеет вид нормального распределения. Основными неизвестными, которые необходимо вычислить для построения доверительных интервалов, являются оценки математического ожидания и дисперсии, а также квантили распределения Стьюдента ta и хи-квадрат распределения %2 .

Несмотря на то, что в настоящее время уже предложено значительное количество алгоритмов построения доверительных интервалов, базирующихся на самых разнообразных идеях и подходах [1,13,24], задача разработки новых и совершенствования уже имеющихся актуальна и сегодня. Как правило, предложенные ранее алгоритмы довольно трудоемки, с точки зрения затрат машинных ресурсов, и входят в такие пакеты программ, как Mathcad, MatLab, Lab View и др. Данные пакеты программ требуют для своей работы большого количества машинных ресурсов, что не позволяет ими воспользоваться в некоторых измерительных системах.

В настоящее время становится актуальна задача разработки автоматических систем измерения, работающих в режиме реального времени, причем основными требованиями, предъявляемых к ним — это высокая скорость вычисления и малые габариты устройства. В частности, к таким системам можно отнести портативные устройства, работающие в режиме реального времени, выполненные на базе промышленных компьютеров, микроконтроллеров, программируемых логических интегральных схем (ПЛИС).

Так как вычислительные мощности небольшой микропроцессорной системы не соизмеримы с вычислительными мощностями персональных компьютеров (процессорное время, память (оперативная и виртуальная), место на жестком диске), то при разработке программного обеспечения необходимо использовать такие алгоритмы, которые позволяли бы обрабатывать данные с минимальными затратами ресурсов вычислителя.

Как известно [24] , алгоритмы, необходимые для вычисления квантилей можно условно разбить на два класса: рекуррентные и ретроспективные алгоритмы. Одним из основных факторов, обуславливающих предпочтительность использования рекуррентных алгоритмов в системах с дефицитом вычислительных ресурсов, является то, что они менее трудоемки по сравнению с ретроспективными алгоритмами подобного назначения и, соответственно, их использование позволяет создавать более быстродействующие системы. Таким образом, при разработке рекуррентного алгоритма построения доверительных интервалов возникает возможность одновременно реализовать оба требования, предъявляемые к алгоритму для систем, работающих в режиме реального времени с ограниченными ресурсами, а именно — высокая скорость вычисления и малая трудоемкость.

Актуальность работы обусловлена отсутствием в широкой печати результатов исследования алгоритмов рекуррентного построения доверительных интервалов для оценок математического ожидания и дисперсии, необходимых при проектировании систем с дефицитом вычислительных ресурсов которые работают в реальном времени. К таким системам можно отнести как большие вычислительные системы, такие как системы управления подводных лодок, космических аппаратов, атомных реакторов и др., так и как системы, в которых основную вычислительную нагрузку несет не персональный компьютер, а микроконтроллер, ПЛИС, промышленный компьютер, и другие вычислители.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является синтез и исследование рекуррентных алгоритмов, позволяющих строить доверительные интервалы оценок математического ожидания и дисперсии случайной величины, в системах реального времени с дефицитом вычислительных ресурсов.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) рассмотреть и проанализировать возможности построения доверительных интервалов следующими методами:

• методом прогнозирования квантилей с использованием разностных уравнений;

• методом, основанном на решении уравнений, в которые входят искомые квантили;

• методом, основанном на приближении соответствующих функций

2) проанализировать возможности использования этих методов для разработки программного обеспечения в системах реального времени с небольшим количеством вычислительных ресурсов;

3) синтезировать алгоритмы, позволяющие вычислять квантили с наименьшими затратами машинных ресурсов и максимальной скоростью;

4) опробовать предложенные алгоритмы в уже существующих системах реального времени.

Методы выполнения исследований. При решении поставленных задач использовались численные методы решения трансцендентных уравнений, методы аппроксимации и интерполяции функций, а также методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Исследование свойств алгоритмов проводилось теоретически с использованием теории вероятностей и математической статистики и экспериментально с использованием пакета программ MATLAB.

Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что впервые были получены следующие результаты:

1) Предложен оригинальный метод последовательного припасовывания элементарных трапеций справа (Mi ill), предназначенный для решения трансцендентных уравнений относительно квантилей распределения Стьюдента и хи-квадрат распределения;

2) Для систем с дефицитом вычислительных ресурсов, разработан алгоритм вычисления квантилей ta и Ха-> основанный на синтезе методов Mi 111 и ДРА, что позволило соединить достоинства обоих этих методов, а именно — универсальность Ml 111 и скорость вычисления ДРФ.

3) Предложен оригинальный способ регуляризации решения системы линейных алгебраических уравнения, получаемой при прогнозировании квантилей с использованием разностных уравнений, который по сравнению с традиционными способами регуляризации подобных систем уравнений позволяет получать более точные и устойчивые решения;

4) Для мобильного устройства контроля и диагностики состояния сердечно-сосудистой системы человека Биоток 5000 был предложен адаптивный алгоритм усреднения фрагментов электрокардиограмм (QRS комплексов), что по сравнению с традиционным методом усреднения позволило, существенно сократить время усреднения QRS комплексов и повысить точность диагностики.

Практическая ценность работы заключается в следующем. Предложенные алгоритмы были использованы для обработки ЭКГ в мобильном устройстве контроля и диагностики состояния сердечнососудистой системы человека Биоток 5000. Использование алгоритмов позволило организовать адаптивный процесс усреднения фрагментов электрокардиограммы, что привело к сокращению времени анализа в некоторых случаях в 10-15 раз, по сравнению с традиционным (т.е. когда количество усреднений фиксировано, вне зависимости от уровня помехи) методом усреднения.

На основе предложенных алгоритмов рекуррентного построения доверительных интервалов была внедрена методика автоматической регулировки хода пружин манометров. Данный результат был применен при проведении на ОАО «Манотомь» НИР в направлении автоматизации процесса настройки манометров.

Кроме того, предложенные алгоритмы были внедрены в учебный процесс в качестве лабораторных работ.

Апробация работы. Основные результаты работы были доложены и обсуждены на XI, XII и XIV Международных научно-практических конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии» (г. Томск, соответственно 2005 г., 2006 г. и 2008 г.), Международной научно-практической конференции «Электронные средства и системы управления» (г. Томск, 2005 г.), Всероссийских научно-технических конференциях студентов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР» (г. Томск, 2004-2006 г.г.), а также на научных семинарах кафедры информационно-измерительной техники Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР).

Личный вклад автора в выполнение работы. Определение основных направлений деятельности, постановка задач и выбор методик исследований осуществлялись автором совместно с научным руководителем. Все результаты, описанные в данной работе, были получены автором лично.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано девять печатных работ, из них две работы опубликованы в журналах, рекомендуемых в ВАК для опубликования результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора наук.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Метод рекуррентного вычисления квантилей хи-квадрат 9 распределения - Ха и распределения Стьюдента - ta, основанный на решении разностных уравнений.

2. Алгоритмы решения трансцендентных уравнений, возникающих при 2 вычислении квантилеи Ха и ta \ 2

3. Метод вычисления квантилей ta и Ха с использованием аппроксимации и интерполяции соответствующих функций.

4. Результаты исследования предложенных численных методов 2 вычисления квантилеи и

5. Применение предложенных алгоритмов в уже существующих системах реального времени.

В первой главе рассмотрена краткая теория построения доверительных интервалов математического ожидания и дисперсии, а также существующие на сегодня способы их вычисления.

Во второй главе исследуются возможные алгоритмы рекуррентного построения доверительных интервалов с использованием разностных уравнений. Также в данной главе исследуются вопросы регуляризации СЛАУ.

В третьей главе представлены результаты исследования численных методов решения соответствующих трансцендентных уравнений, такие как метод Ньютона, метод дихотомического деления, метод хорд, а также метода последовательного припасовывания элементарных трапеций справа. Также в главе приведены результаты исследования алгоритма вычисления квантилей ta и Ха' используя интерполяцию алгебраическими многочленами и аппроксимацию различными функциями.

Описаны результаты использования каждого из этих численных методов, а также предложен новый метод вычисления квантилеи ta и Ха •

В четвертой главе представлены результаты применения разработанных алгоритмов: 1) при обработке ЭКГ в мобильном устройстве контроля и диагностики состояния сердечно-сосудистой системы человека Биоток 5000, 2) при оценке результатов измерения значений хода пружин манометров, а также 3) в учебном процессе, при исследовании возможности статистической обработки, используя среду графического программирования Lab VIEW 7.0.

В приложениях приведены документы, подтверждающие внедрение и использование результатов диссертационной работы.

Объем и структура. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 81 наименований. Содержание работы изложено на 175 страницах основного текста, иллюстрировано 38 рисунками и 30 таблицами. В приложении приведены документы, свидетельствующие о практической реализации результатов исследований и разработок автора.

4.5 Выводы

Рассмотренные и синтезированные в предыдущих главах алгоритмы построения доверительных интервалов были успешно применены для решения такой практической задачи, как обработка ЭКГ в мобильном регистраторе Биоток 5000. Применение рекуррентного алгоритма построения доверительного интервала в составе холтера Биоток 5000 позволило производить адаптивное к уровню наводимых на прибор помех усреднение электрокардиограмм, что даёт возможность экономить вычислительные ресурсы микроконтроллера.

Предложенные алгоритмы построения доверительных интервалов для математического ожидания были реализованы в виде программного обеспечения и успешно применены в ходе выполнения НИР по автоматизации процесса регулировки манометров.

Кроме того, на основе предложенных алгоритмов было реализовано две лабораторные работы по дисциплине «Метрология, стандартизация и технические измерения». Рассмотренные в лабораторных работах задания позволяют студентам получить навыки программирования в среде Lab VIEW, а также укрепляют теоретические знания в области статистической обработки измерений и численных методов решения задач.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

При выполнении диссертационной работы получены следующие основные результаты:

1. Предложен новый способ построения доверительных интервалов, основанный на численном методе припасовывания элементарных трапеций справа. Данный метод обладает универсальностью, а именно высокой точностью и не зависимостью от начальных данных, таких как значения доверительной вероятности а и числа степеней свободы г.

2. Произведен анализ численных методов приближения, которые наиболее подходят для функций Sr(ta) и Sr(%l). Показано, что для вычисления квантилей ta и %~а в системах с дефицитом машинных ресурсов, наиболее рационально с точки зрения точности приближения и скорости вычисления, использовать дробно-рациональную аппроксимацию (ДРА).

3. Рассмотрен оригинальный способ регуляризации решения системы линейных алгебраических уравнения (СЛАУ), получаемой при прогнозировании квантилей с использованием разностных уравнений.

4. Для систем с дефицитом машинных ресурсов, разработан алгоритм вычисления квантилей ta и xl > основанный на синтезе методов МПП и ДРА, что позволило соединить достоинства обоих этих методов, а именно — универсальность МПП и скорость вычисления ДРФ.

5. Для мобильного устройства контроля и диагностики состояния сердечно-сосудистой системы человека Биоток 5000 был предложен адаптивный алгоритм усреднения фрагментов электрокардиограмм (QRS комплексов), что по сравнению с традиционным методом усреднения позволило, повысить точность диагностики и сократить время усреднения QRS комплексов, в некоторых случаях в 10-15 раз. 6. Практическая ценность полученных результатов подтверждена применением их в ряде практических областей, от обработки измерений в холтере Биоток 5000 и технологических процессов до проведения лабораторных работ.

1. Теслер Г.С. Вычисление функций на ЭВМ Текст. / Г.С. Теслер, Б.В. Попов М.: Наукова думка, 1984. - 600 с.

2. Новицкий П.В. Оценка погрешностей результатов измерений — 2-е изд., перераб. и доп. Текст. / П.В. Новицкий, И.А. Зограф Л: Энергоатомиздат. Ленингр. Отд-ние, 1991. -304 с.

3. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ Текст. Пер. с англ.: В 3 т. — М.: Мир, 1977. — Т. 2. Получисленные алгоритмы. - 700 с.

4. Грановский В.А. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях Текст. / В.А. Грановский, Т.Н. Сирая Л: Энергоатомиздат. Ленингр. Отд-ние, 1990. - 388 с.

5. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для студ. вузов. Текст. — 10-е. изд. Стер. — М.: Издательский центр "Академия", 2005. 576 е.

6. Шумаков Е.В. Синтез и некоторые результаты исследований алгоритмов решения уравнений, возникающих при использовании распределения Стьюдента Текст. / А. А. Светлаков, Ю. Г. Свинолупов, Е. В. Шумаков. Известия ТПУ.-2006.-№8.-С. 11-15.

7. Ануфриев И. Е. MATLAB 7. Текст. / И. Е. Ануфриев, А. Б. Смирнов, Е. Н. Смирнова СПб.: БХВ-Петербург,2005. - 1104.

8. Пейч Л. И. Lab VIEW для новичков и специалистов Текст. / Л. И. Пейч, Д. А. Точилин, Б. П. Полчак М.: Горячая линия - Телеком ,2004. — 384.

9. Kwon Y.W. The Finite Element using MATLAB Текст. Boca Raton a. o.: CRC Press, 1997.-519p.

10. Демирчян K.C. Исследование виртуальных инструментов Текст. / К.С. Демирчян, Ф.П. Жарков/-М.:СОЛОН-Р, 1999.-269.

11. Н.ХоровицП. Искусство схемотехники Текст. / П. Хоровиц, У. Хилл. — Пер. с англ.: В 3 т. — 4-е изд. перераб. и доп. — М.: Мир, 1993. Т.З - 452 с.

12. Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике Текст. М.: «Советское радио», 1971. - 328 с.

13. Благовещенский Ю.А. Вычисление элементарных функций на ЭВМ. Текст. / Ю.А.Благовещенский, Г.С. Теслер Киев: Техника, 1977г. -208 с.

14. Максимов М.В. Защита от радиопомех. Текст. / М.В.Максимов, М.П. Бобнев М.: "Сов. радио", 1976. -496.

15. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника Текст. — М.: «Советское радио», 1966.-215.

16. Шумаков Е. В. Исследование алгоритмов решения уравнений, возникающих при использовании распределения Стьюдента: доклад, тезисы доклада. / Электронные средства и системы управления — Томск: Изд-во Института оптики атмосферы СО РАН, 2005. 4.2, с.90-93.

17. Савчук В.П. Обработка результатов измерений. Физическая лаборатория. 4.1: Учеб. пособие для студентов вузов. Текст. / Одесса: ОНПУ, 2002. — 54 с ил.

18. Рабинер JI. Теория и применение цифровой обработки сигналов Текст. / Л. Рабинер, Б. Гоулд. Пер с англ. - М.: Мир, 1978. - 848 с.

19. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов Текст./И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев/ М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. — 608.

20. Гольденберг Л.М. Цифровая обработка сигналов Текст.: Учебное пособие для ВУЗов. / Л.М. Гольденберг, Б.Д. Матюшкин, М.Н. Поляк. — М.: Радио и связь, 1990.-256 с.

21. Демидович Б.П. Численные методы анализа Текст. / Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова-М.: Физматгиз, 1963. -400 с.

22. Верждицкий В.М. Основы численных методов Текст. М.: Высш. шк., 2002 . - 840 с.

23. Боровиков В.П. STATISTICA- Статистический анализ и обработка данных в среде Windows. Текст./ В.П. Боровиков, И.П Боровиков/ М.: Информационно - издательский дом «Филинъ», 1997. - 218 с.

24. Тюрин Ю.Н. Анализ данных на компьютере / Под ред. В.Э. Фигурнова. Текст. / Ю.Н. Тюрин., А.А. Макаров/- М.: ИНФРА-М, Финансы и статистика, 1995.с. -260.

25. Попов Б.В. Приближение функций для технических приложений Текст. / Б.В. Попов, Г.С. Теслер — Киев: Техника, 1977. 208 с.

26. Терпугов А.Ф. Математическая статистика (конспект лекций). Текст. — Томск: Изд-во ТГУ, 1974-130.

27. Шумаков Е.В. Рекуррентный способ построения доверительных интервалов оценивания неизвестных значений измеряемых величин Текст. / Е.В. Шумаков, А.А. Светлаков // Приборы. 2006. - №6. — с. 5459.

28. Худсон Д. Статистика для физиков (лекции по теории вероятностей и элементарной статистике) Текст., 2-е изд. -М.: Мир,-380.

29. Смирнов В.Н. Курс высшей математики Текст. — В 4 т. — М.: Физматгиз, 1974. Т. 1. -480 с.

30. Бахвалов Н.С. Численные методы Текст. / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. М: Наука, 1973.-621 с.

31. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники Текст. -М.: «Советское радио», 1969. — 345 с.

32. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены Текст. — М.: Наука, 1976.-328 с.

33. Большее Л.Н. Таблицы математической статистики, 3-е изд. Текст. /Л.И. Болыпев, Н.В. Смирнов/- М.: Наука, 1983 259 с.

34. Новицкий П.В. Оценка погрешностей результатов измерений Текст. / П.В. Новицкий, И.А. Зограф — 2-е изд., перераб. и доп. — Л.: Энергоатомиздат, 1991. 304 с.

35. Рыжиков Ю.И. Управление запасами Текст. — М.: Наука, 1969. — 343 с.

36. Холлендер М. Непараметрические методы статистики. Текст./ М. Холлендер, Д. Вулф /М.: Финансы и статистика, 1983- 272.

37. Громов Ю.Ю. Тригонометрия: Учебное пособиеТекст. / Ю.Ю. Громов, Н.А. Земский, О.Г. Иванова/ — Тамбов: Изд-во Тамб. гос. тех. ун-та, 2003 -104.

38. Носач В.В. Решение задач аппроксимации с помощью персональных компьютеров Текст. М.: МИКАП, 1994. - 382 с.

39. Кацман Ю. Я. Прикладная математика. Численные методы. Учебное пособие. Текст. Томск: Изд. ТПУ, 2000. - 68 с.

40. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery В.P., Numerical Recipes in C. The Art of Scientific Computing. 2-nd ed. Copyright © Cambridge University Press, 1992, - 966p.

41. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики Текст./ Б.П. Демидович, И.А Марон /- М.: Наука, 1970. 664.

42. Копченова Н.В. Вычислительная математика в примерах и задачах. Текст./ Н.В. Копченова, И.А .Марон/ М.: Наука, 1972. - 308.

43. Самарский А.А. Численные методы: Учеб. пособие для вузов. Текст./

44. A.А. Самарский, А.В. Гулин/ М.: Наука, 1989. - 432.

45. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. Томск: МП "РАСКО", 1991. - 272.

46. Егорова Л.Я. Практикум по численным методам. / Л.Я. Егорова, Л. Л. Левин, Б .Г. Ослин и др./ Томск: Изд. ТГУ, 1979. - 212.

47. Крылов В.И. Вычислительные методы. Том I. Текст. / В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырный /- М.: Наука, 1976. 304.

48. Крылов В.И. Вычислительные методы. Том II. Текст. / В.И. Крылов,

49. B.В. Бобков, П.И. Монастырный /- М.: Наука, 1976. 400.

50. Светлаков А.А. Обобщенные обратные матрицы: некоторые вопросы теории и применения в задачах управления процессами Текст. Томск: Изд-во НТЛ, 2003. - 388 с.

51. Чернова Н.М. Математическая обработка экспериментальных данных (введение в математическую статистику): Метод, руководство Текст./ Международный педагогический университет. Магадан: Изд. МПУ, 1996.-30

52. Королюк B.C. Справочник по теории вероятностей и математической статистике Текст. / B.C. Королюк, Н.И. Портенко. А.В. Скороход, А.Ф. Турбин. М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1985. - 640 с.

53. Волковец А.И. Теория вероятностей и математическая статистика: конспект лекций для студентов всех специальностей и форм обуения БГУИР Текст. /А.И. Волковец, А.Б. Гуринович/ Мн.: БГУИР, 2003, -84.

54. Королюк B.C. Справочник по теории вероятностей и математической статистике Текст. / B.C. Королюк, Н.И. Портенко. А.В. Скороход, А.Ф. Турбин. — М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1985. 640.

55. Вентцель Е.С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения Текст./Е.С Вентцель, Овчаров Л.А./ М.: Наука, 1988. - 416.

56. Тихонов А.Н. Статистическая обработка результатов экспериментов Текст. / А.Н. Тихонов, Н.В. Уфимцев М.: Изд-во МГУ, 1988. - 174 с.

57. Воеводин В.В. Линейная алгебра Текст. — М.: Наука, 1974. 336 с.

58. Хемминг Р.В. Численные методы Текст. — Пер. с англ. — М.: Изд-во «Наука», 1972.-400 с.

59. Айвазян С.А. Статистическое исследование зависимостей Текст. — М.: Металлургия, 1968.-451 с.

60. Кузнецов А.А. Автоматизированный измерительно-технологический комплекс для автоматизированной настройки манометров Текст. Дисс. канд. техн. наук: 05.13.06. / Кузнецов Александр Александрович. — Томск: ТУ СУР, 2004.-147 с.

61. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач Текст. / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин М.: Наука, 1974. - 186 с.

62. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов. Текст. -М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. -416.

63. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль Текст. Томск: РАСКО, 1992. - 272 с.

64. Боревич З.И. Определители и матрицы. Текст. — М.: Наука, 1979. — 286 с

65. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Текст. М.: Наука, 1988. - 548.

66. Головина М.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения Текст. -М.: Наука, 1979.-392.

67. Магазинников Л.И. Линейная алгебра. Текст. / Л.И. Магазинников, Н.Н. Горбанев/- ТАСУР, 1993. 182.

68. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. Текст. М.: Физматгиз, 1963. - 432.

69. Свинолупов Ю.Г. Автоматизированная регулировка стрелочных манометров Текст. / Ю.Г. Свинолупов, А.А. Кузнецов. // Приборы. -2004.-№5.-с. 45-52.

70. Турчак Л.И. Основы численных методов: Учебное пособие Текст. -М.: Наука., 1987.-320

71. Светлаков А.А. Синтез рекуррентных алгоритмов вычисления доверительных интервалов среднего значения и дисперсии случайных величин Текст. / А.А. Светлаков, Ю.Г. Свинолупов // Приборы. — 2005. — №6.-с. 133-141.

72. Moineddin R., Beyene J., Boyle Е: On the location quotient confidence interval Publisher: Geographical Analysis 2003, 256p

73. John С. Nash, ?«Compact Numerical Methods for Computers Linear Algebra and Function Minimisation?» Publisher: Taylor & Francis 1990, 278p

74. Сизиков B.C. Устойчивые методы обработки результатов измерений. Учебное пособие. Текст. / А-СПб.: "СпецЛит", 1999,-240

75. Документы о внедрении результатов диссертации1. УТВЕРЖДАЮ»

76. УТВЕРЖДАЮ» Первый проректор ТУСУРак.м.н. Оферкин А.И.'»1. Шурыгин Ю.А. 2008 г.

77. АКТ ВНЕДРЕНИЯ научно-технической разработки

78. Исполнитель аспирант каф. ИИТ

79. Uks^pr Шумаков Е.В. «И® » о Г 2008 г.1. УТВЕРЖДАЮ»

80. УТВЕРЖДАЮ» торТГУСУРа по HP1. Харитонов А.В. профеесоп2008 г1. Ремпе Н.Г. 2008г.

81. АКТ ВНЕДРЕНИЯ научно-технической разработки

82. Зам. технического директора -начальник СКБ1. Научный руководитель1. Свинолупов Ю.Г.oj L 2003 г.1. Светлаков А.А.1. Исполнитель,о » о I 2008 г.1. УТВЕРЖДАЮ