автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Активная идентификация линейных динамических дискретных стационарных объектов во временной области

На правах рукописи

ТРОШИНА Галина Васильевна

АКТИВНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ДИСКРЕТНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ОБЪЕКТОВ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ

Специальность 05 13 01 - Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новосибирск -

1 003 174604

003174604

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет»

Научный руководитель доктор технических наук, профессор,

Воевода Александр Александрович Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор,

Малышенко Александр Максимович

Защита состоится « 23 » октября 2007 г в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212 173 05 при Новосибирском государственном техническом университете по адресу 630092, г Новосибирск, пр Карла Маркса,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского госу-дарст венного технического университета

доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ, Рубан Анатолии Иванович

Ведущая организация ФГУП «Сибирский государственный

ордена Трудового Красного Знамени научно-исследовательский институт метрологии» (ФГУП СНИИМ), г Новосибирск

20

Автореферат разослан сентября 2007 г

ю

Ученый секретарь диссертационного совета д т н , профессор

Воевода А А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследований. Повышение точности и надежности управления динамическими объектами во многих областях науки и техники требует развития и совершенствования методов их идентификации Необходимость выдвигать научно-обоснованные предположения о поведении того или иного объекта требует разработки адекватных методов создания математических моделей, алгоритмов, методов и технологий прогнозирования, что позволило бы эффективней проектировать наукоемкие управляющие системы В настоящее время наиболее востребованы такие методы оценки качества экспериментальных данных, которые обеспечивают высокие характеристики по быстродействию, надежности, экономии энергопотребления и объемам памяти, и т п Нерешенные проблемы разработки численных алгоритмов построения входных сигналов и оценивания параметров линейных стационарных дискретных динамических объектов при наличии возмущений динамики и измерителя не позволяют в полном объеме решать задачи, возникающие на практике

Решению вопросов активной идентификации динамических систем посвящены работы Р Мехры (R К Mehra), Т Кайлатца (Т Kailath), М Зейропа (М В Zarrop), Дж Гудвина (G С Goodwin), Р Пейна (R L Payne) и других Эти проблемы решаются и в трудах отечественных ученых, в частности В Г Горского, Г К Круга, Ю П Адлера, А М Талалая, В И Денисова, А А Попова, А Ж Абденова, Т В Авдеенко, В М Стасышина, В М Чубича и других Для этих целей эффективно используется математический аппарат с применением информационной матрицы Фишера, но алгоритмы и программное обеспечение для активной идентификации в виде, удобном для инженерных расчетов, еще находятся в стадии разработки

Предметом исследования выступают средства и методы построения алгоритмов вычисления информационной матрицы Фишера в установившемся режиме, являющейся основной частью планирования управляющих воздействий в задаче идентификации линейных дискретных динамических систем

Цель работы заключается в разработке алгоритмов и программного обеспечения оценивания качества экспериментальных данных на основе использования информационной матрицы Фишера по данным установившегося режима в задаче активной идентификации при оценивании параметров линейных динамических дискретных стационарных объектов Основные задачи исследования:

- разработка методики оценки «качества» экспериментального материала на основе вычисления информационной матрицы Фишера по данным установившегося режима, когда неизвестные параметры содержатся как в элементах матриц состояния и наблюдения, так и в элементах матриц состояния и управления,

- получение соотношений для вычисления информационной матрицы Фишера в случае, когда неизвестные параметры содержатся в элементах ковариационной матрицы шумов измерительной системы,

- получение соотношений для вычисления информационной матрицы Фишера, когда неизвестные параметры находятся в элементах матриц состояния, управления и наблюдения для стационарного случая с использованием нормированной обновленной последовательности,

- вывод рекуррентных соотношений для оценки предсказания вектора состояния в задаче идентификации при наличии управления для линейных динамических дискретных объектов,

- анализ влияния неточно заданных параметров объекта на погрешность оценки вектора состояния, который необходим в соотношениях для вычисления информационной матрицы Фишера, используемой при оценке качества экспериментального материала,

- разработка программного обеспечения, позволяющего автоматизировать вычисление определителя информационной матрицы Фишера и оценок динамических параметров и элементов ковариационных матриц помех динамики и измерителя,

- апробирование полученных результатов на тестовых и практических примерах

Методы исследования. Результаты исследования получены на базе использования аппарата теории вероятностей и математической статистики, случайных процессов, теории систем, теории идентификации, вычислительной математики и программирования на ЭВМ

Научной новизной обладают выносимые на защиту результаты

- соотношения, полученные для вычисления информационной матрицы Фишера по данным установившегося режима, когда неизвестные параметры содержатся как в элементах матриц состояния и наблюдения, так и в элементах матриц состояния и управления,

- соотношения для вычисления информационной матрицы Фишера в случае, когда неизвестные параметры содержатся в элементах ковариационной матрицы шумов измерительной системы,

- рекуррентные соотношения для оценки предсказания вектора состояния в задаче идентификации при наличии управления для линейных динамических дискретных объектов,

- результаты анализа влияния неточно заданных параметров объекта на погрешность оценки вектора состояния, который необходим в соотношениях для вычисления информационной матрицы Фишера, используемой при оценке качества экспериментального материала,

- соотношения для вычисления информационной матрицы Фишера, когда неизвестные параметры содержатся в элементах матриц состояния, управления и наблюдения для стационарного случая с использованием нормированной обновленной последовательности,

- разработанные и реализованные процедуры, позволяющие автоматизировать вычисление определителя информационной матрицы Фишера и оценивание динамических параметров и элементов ковариационных матриц помех динамики и измерителя

Практическая ценность и реализация результатов исследования.

1 Рассмотрена задача оптимального оценивания параметров модели процесса приготовления шихты для печей спекания Павлодарского алюминиевого завода, работающего по комбинированной схеме Байер-спекания Осуществлена апробация методики оптимального оценивания параметров для случая, когда неизвестные параметры содержатся в элементах матрицы состояния

2 Решены вопросы проектирования математической модели в форме пространства состояний на основе планирования структуры матрицы наблюдения применительно к процессу выращивания кристалла в условиях микрогравитации Разработана общая схема алгоритмического обеспечения методики диагностики процесса выращивания кристалла в условиях космоса

3 Решена задача моделирования износа поверхности детали с помощью модели пространства состояний распределенного типа Предложен алгоритм моделирования профилограмм износа поверхности детали Продемонстрировано, что модель достаточно хорошо отслеживает случайный характер координат точек поверхности детали

4 Разработан и проанализирован алгоритм построения кусочно-дифференциальной модели функционального состояния печени Методика апробирована на тестовых примерах и на данных, представляющих реальные наблюдения

5 Основные теоретические положения и математические модели, а также результаты практической реализации диссертационных исследований используются в учебном процессе при преподавании дисциплины «Синтез многоканальных систем управления», читаемой для студентов специальности 220201 — «Управление и информатика в технических системах» и при преподавании дисциплины «Многоканальные линейные системы», читаемой для магистрантов по направлению 220100 - «Автоматизация и управление» на факультете автоматики и вычислительной техники Новосибирского государственного технического университета

Апробация работы Основные научные результаты, полученные в диссертационной работе, были представлены на II Международной конференции «Составляющие научно-технического прогресса» (Тамбов, 2006 г), III Международной научно-практической конференции «Технологическое обеспечение качества машин и приборов» (Пенза, 2006 г), Международной школе-конференции молодых ученых «Информационно-телекоммуникационные системы» (Новосибирск, 2006 г), The Eighth International Conference on Actual Problems of Electronic Instrument Engineering APEIE - 2006 (Новосибирск, 2006 г), The Third Korea-Russia International Symposium on Science and Technology KORUS'99 (Новосибирск, 1999 г), The Second IEEE - Russia Conference 1999 High Power Microwave Electronics Measurements, Identification, Applications MIA-ME'99 (Новосибирск, 1999 г), Международном симпозиуме «Надежность и качество Инновационные технологии производству XXI века» (Пенза, 1999 г), Международной конференции «Наука и образование на рубеже тысячелетий» (Чита, 1999 г), Международной научно-технической кон-фереьции «Методы и средства измерения в системах контроля и управления»

(Пенза, 1999 г ), Международной научно-технической конференции «Научные основы высоких технологий» (Новосибирск, 1997 г), V Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике» (Пенза, 2000 г), Международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии» (Новосибирск, 2000 г ), Всероссийской научно-технической конференции «Наука Промышленность Оборона» (Новосибирск, 2006 г), V Всесоюзном симпозиуме «Методы теории идентификации в задачах измерительной техники и метрологии» (Новосибирск, 1989 г), 2-й Всесоюзной конференции «Моделирование систем информатики» (Новосибирск, 1989 г), Всесоюзной научно-технической конференции «Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов» (Новосибирск, 1989 г), Всесоюзном семинаре «Методы и средства обработки измерительной информации» (Челябинск, 1990 г), Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Достижения науки и техники - развитию сибирских регионов» (Красноярск, 1999 г), Всероссийской научно-технической конференции «Актуальные проблемы повышения качества машиностроительной продукции» (Владимир, 1999 г), Российской научно-технической конференции «Информатика и проблемы телекоммуникаций» (Новосибирск, 1999 г), LIV научной сессии, посвященной Дню радио (Москва, 1999 г), Четвертом сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти М А Лаврентьева (Новосибирск, 2000 г ), VII Региональной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука Техника Инновации» (НТИ) (Новосибирск, 2004 г), научных конференциях, посвященных «Дням Науки», проводимых в НГТУ (Новосибирск, 2005-2006 гг ), научных семинарах Новосибирского государственного технического университета (2004-2006 гг)

Публикации Основные положения и результаты диссертационной работы опубликованы в 33 работах, в том числе 3 статьи в изданиях, входящих в перечень, рекомендованный ВАК РФ, 15 статей в сборниках научных трудов, 15 публикаций - в сборниках трудов и материалов Международных и Российских конференций

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка использованной литературы, включающего 142 наименования и приложений, в том числе четырех актов об использовании результатов диссертационных исследований Общий объем работы составляет 171 с, в том числе основное содержание изложено на 141 с , включает 13 рисунков, 13 таблиц и приложения на 30 с

Личный вклад. Все разработки и научные результаты, выносимые на защиту и изложенные в тексте диссертации, получены либо самим автором лично, либо при его непосредственном участии Экспериментальные исследования и программная реализация выполнялись также при участии автора

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи исследования, определены научная новизна и практическая ценность работы, дана общая характеристика полученных результатов

В первом разделе приведены основные определения и понятия теории идентификации Ставится задача разработки методов активной параметрической идентификации для линейных дискретных стационарных динамических объектов при действии помех динамики и измерителя Основное внимание уделяется оценке качества экспериментального материала с использованием информационной матрицы Фишера Подчеркнута необходимость оценки вектора состояния Особое внимание уделено фильтру Калмана с использованием обновленной последовательности Дана справка из теории планирования эксперимента в применении к идентификации динамических объектов Приведена постановка задачи диссертационного исследования Рассматривается модель системы

x(t + 1) = Ф(1 +1, t)x(t) + G(t + l,t)u(t) + r(t + l,t)a>(t), ( 1 )

z(t) = H(t)x(t) + v(t), t = 0,1, ,N (2)

Здесь x(t) - n -вектор состояния, u(t) — q -вектор управления, w(t) — г -вектор возмущения, z(t) — p -вектор измерения, v(e) - p -вектор ошибки измерения, Ф - переходная матрица состояния размера п х п, Г — переходная матрица возмущения размера их г, G - переходная матрица управления размера rixq , H — матрица измерения размера p х п Процесс wft) является г -мерной гаус-совской белой последовательностью, для которой £[w(i)] = 0 и E[w(t)wT(т)] = Q(t)Sk(t - т), где Q(t) - неотрицательно-определенная матрица размера гхг Процесс v(t) представляет собой р - мерную гауссовкую белую последовательность, для которой £[v(f)] = 0 и £[vif)vr(r)] = R(t)Sk(t - г), где R(t) - неотрицательно-определенная матрица размера p х р Рассматривается случай, когда эти два случайных процесса взаимно независимы, так что E[v(t)wT(т)} = 0 Начальное состояние х(0) есть гауссовский случайный г -вектор с математическим ожиданием £[х(0)] = 0 и неотрицательно-определенной корреляционной матрицей £[х(0)хг(0)]= Р(0) размера пхп Предполагается, что х(0) не зависит от w(t) и v(f)

Проблема параметрической идентификации, рассматриваемая в данной работе, состоит в получении оценок параметров из наблюдений входного и выходною сигналов, которые могут быть непрерывными или дискретными Методы идентификации существенным образом зависят от наличия (отсутствия) случайных сигналов и, соответственно, от количества информации об этих воздействиях Это действительно сложная проблема даже в детерминированном случае В настоящее время разработка специальных входных сигналов признана полезной для повышения точности оценки параметров Это вопрос обсуждался в литературе для систем идентификации в различных аспектах и для раз-

ных классов моделей, включая вопросы осуществимости и реализуемости их на компьютерах Следует отметить, что для определения «качества» информации на входе и выходе объекта (системы), которую можно получить в каждой конкретной задаче оценивания, ряд исследователей предпочитают использовать информационную матрицу Фишера В данной работе используется фильтр Калмана с обновленной последовательностью Несмотря на широкое распространение фильтра Калмана в задачах оценки вектора состояния, возникают некоторые проблемы при использовании его в задаче идентификации Основная сложность - необходимость использования оценок параметров объекта в фильтре Калмана из-за незнания точных значений параметров При работе с уравнениями в пространстве состояний вместо матриц Ф, й, Н в дискретном случае используют эти же матрицы с погрешностями, что приводит к необходимости анализа погрешности оценки вектора состояния Если рассматривать установившийся режим для стационарных устойчивых систем, то задача существенно упрощается и, кроме того, не надо решать задачу оценки начального состояния Всего этого можно достичь отбрасыванием начального участка переходных процессов

Несмотря на высокий уровень теоретических исследований в области идентификации, опыт практического применения их результатов при построении математических моделей реальных динамических объектов подтверждает необходимость разработки специальных методов, обеспечивающих получение устойчивых, соответствующих реальным физическим объектам решений задачи идентификации Отметим, что задачи оценки качества экспериментального материала остаются по-прежнему актуальными и им уделяется большое внимание Тем не менее ряд связанных с этими задачами вопросов не нашел полного отражения в литературе и составил предмет исследований в настоящей диссертационной работе В данной работе ставится задача проверки «качества» экспериментального материала в рамках решения общей задачи идентификации для линейных стационарных динамических дискретных объектов, для которых известна структура модели, то есть решается задача активной параметрической идентификации Это позволит осуществить не просто идентификацию, а оптимальную идентификацию по некоторому критерию Необходимо выбрать такой план эксперимента, чтобы в результате вычислений по методу наименьших квадратов дисперсия погрешности оценки параметров была минимальной Известно, что эта постановка задачи приводит к понятию нормированной информационной матрицы Фишера, в которой используется нормированная обновленная последовательность, для чего необходима оценка вектора состояния Для отработки алгоритма, пригодного для использования на практике, необходимо провести дополнительные исследования

Во втором разделе анализируется алгоритм оценивания динамических параметров и элементов ковариационных матриц помех динамики и измерителя модели объекта (1), (2) для случая, когда Г - единичная матрица Ниже представлены основные этапы алгоритма

Шаг 1 Ковариационная матрица помех измерительной системы оценива-

1 'V, ЛГ _

ется из соотношения Д0=———-1,1,(2,(0 ~ 2(0)(г,(/) - г(!)У , где -

Ы(МХ -1),=],=1

оценка математического ожидания

Шаг 2 На основе метода наименьших квадратов (МНК) оцениваются параметры, входящие в переходные матрицы Ф и (7 Результатом данного этапа является предварительное восстановление оценок для вектора в

Шаг 3 Вычисляется предварительная оценка диагональных элементов для

1 /V-! —

ковариационной матрицы помех динамики £),, = — X w¡^ (1к ), г = 1 ,п

N 4=0

Шаг 4 Оценку ковариационной матрицы помех начального состояния можно получить как рекурсивное решение для устойчивого состояния процесса с помощью соотношения Р0А+1 = фр£фт + (У0, Р0° = 0

Шаг 5 Пересчет матрицы помех динамики с помощью установившихся значений ковариационных матриц оценок фильтрации и предсказания осуществляется с помощью соотношения Q0 = Я(/ + ]|о - ФР(^)ФТ Затем проводится

повторное оценивание Р0

Шаг 6 Строится автокорреляционная функция обновленной последова-1 ы

тельности (АКФ ОП) С* = — (¡)у Т(1 - к)

Шаг 7 Оценка Я выглядит следующим образом Л0 = С0 - Н(РНТ), где

С, + НФК0С0 ~н

В' С2 + НФК1С] + НФ2К0С0 , В = НФ

А + Я<Ж„_1С„_1 + +НФ"К0С0_ НФ"-\

а В* есть псевдообратная матрица по отношению к В, которая определяется как В* =(ВгВГ'Вг

Шаг 8 Можно получить уточненную оценку используя принцип рекуррентности для соотношений фильтра Калмана и получающееся в результате выражение Р(Г +1|/ +1) = <Р(/ - КН)Р(1 +1|/)(/ - КН)ТФт + ФКЖТФТ + <2

Шаг 9 Далее заново оцениваем Р0 Затем на основе МНК и полученных скорректированных оценок К0,<20,Р0 окончательно оцениваются динамические параметры, входящие в переходные матрицы Ф и О, но уже на основе исходных модельных данных наблюдений

В этом же разделе для линейных стационарных дискретных динамических систем в данной работе осуществлен вывод аналитических соотношений для вычисления информационной матрицы Фишера, используемой в активной идентификации при оценивании качества экспериментального материала, в

случае, когда неизвестные параметры содержатся в элементах ковариационной матрицы шумов измерителя Обозначим через в - т -вектор идентифицируемых параметров, входящие в диагональные элементы ковариационной матрицы шумов измерителей В качестве критерия оптимальности для оптимального планирования входных воздействий рассматривается определитель информационной матрицы Фишера Можно записать следующее выражение для г, у-го элемента информационной матрицы Фишера

N

Мц = -£

Яр

дЕ(р дв,

у дв,

+ Е-

7

[£*£>

дв, \ 1 /

НТЕ

-2 т£Ш\ двЛ

+ Бр

дв,

(0

дЕ{1) дв, ,

В случае, когда шум динамики отсутствует, информационная матрица Фишера вычисляется по более простому соотношению

ми=и

Бр

дв,

дв.

дв.

дв,

у ' ' " ])_

Если неизвестные параметры содержатся в компонентах ковариационных матриц шумов динамики, измерительной системы, то выражение для элементов информационной матрицы Фишера можно преобразовать к виду

М„ =

дЕ дв.

дв,

+ Х5И2: * = |

дв, ,-кут нт2

.,дЕ дв

} )

где

дв, 2 д Р{1 +1|/)

дв,

дв,

, р = (Ф-КЕ ~'Я),

дв.

дв, дв,

Р =

I У

дК дв,

-КЕ

\д Е (1)

дв, ,

Для рассматриваемого класса объектов представлены результаты исследования критериев, характеризующих эффективность оценивания динамических параметров без учета и с учетом помех динамики и измерителя Численно показано, что для оценки степени оптимальности входных сигналов можно использовать такие показатели, как натуральный логарифм определителя информационной матрицы Фишера и число обусловленности

Показано, что построение первоначальных планов следует начинать с прямоугольных импульсов Для получения удовлетворительных результатов в процессе идентификации желательно подавать импульсы по возможности большей амплитуды, разнополярные, с длительностями, равными примерно 1-2 эквивалентным постоянным канала При этом желательно по возможности как можно

меньше нарушать технологическим процесс, что накладывает дополнительные ограничения на вид тестовых сигналов Для исследования переходных составляющих можно использовать (подавать) периодически повторяющиеся последовательности

Разработан пакет программ, позволяющий автоматизировать вычисление оценок динамических параметров и элементов ковариационных матриц помех динамики и измерителя Приведены результаты иллюстративных численных исследований алгоритма восстановления оценок динамических параметров и оценок значений элементов ковариационных матриц помех динамики и измерителя

В третьем разделе дается методика вычисления информационной матрицы Фишера, что является наиболее важной и трудоемкой частью в задаче планирования экспериментов при идентификации динамических объектов, для различных комбинаций вхождения неизвестных параметров в матрицы объекта Существенным является то, что в данной работе предложено рассматривать установившийся режим, что значительно упрощает методику и является актуальным для практического использования Получены соотношения для вычисления информационной матрицы Фишера по данным установившегося режима, когда неизвестные параметры содержатся как в элементах матриц состояния и наблюдения, так и в элементах матриц состояния и управления Рассмотрим методику построения информационной матрицы Фишера на примере линейного стационарного объекта с одним неизвестным параметром в в матрице Ф хк+1 = Фхк +Уик + Гм!к, Ук+]=Нхк+]+гк+] Соответствующие формулы для неустановившегося режима ниже разбиты на три группы

+Л2 =(яр*+1,Яг+Я),/2,

Первая группа Вторая группа

дрк+\,к = 8ф „ ~ дв.

Рм,к =ФРк,кФ

дв.

к к

ФТ +Ф

к+\,к

дР1

к к Т

м Фт +Р>

дФ

т\

дв,

к,к

дв.

д£

дв.

др,

к+\,к цТ

дк\

к+1

зр.

дв.

дв.

к+1к „т г-1 р И Лк+1 + Ик+\,к

дв.

Н

Т 1

дв.

дР

дв.

дв,

хшп - щ^-н)рк+и + (/ - к1ш е&нр*1

дв.

Третья группа К2к=ФК\к,

дК2к _дф дв\ ~ двх

к11+ф-

дК1к 36»,

к+\,к ~

дв.

О

Ф

— Ф-К2к£1хН дв,

К2к

К-А,к + \,к ~ дК2к - К2кЕТх 3?к ' У Л 4+1,4 - дУ

двх К к двх дв,

1А 4 + 1 к

= Ф

А,к + \,клА к,к-1 + Ули> к+\,к

= Ф

А,к+\к^ А,к,к~\Ф А,к+1к

+ К А кК

А,к А,к з

3*4+14 3*4 + 1,4

двх двх

N

М„ = I

4 = О

Э2Г,

4 + 1

за

г,

дЕ,

к +1"

4+1

9(9,

НТЕ^ХНЕ<

°*4 + 1 к

3(9,

4 + 1,А

3(9,

+ 5р

I зг^ , аг^ 4+1 Э(9, *+1 э<?,

Предполагается, что все переходные процессы закончились, то есть рассматривается установившейся режим Поскольку все переменные стабилизируются, следовательно, Рк

4+1 к

4+2,4+1

Аналогичное утверждение справедливо и для других переменных Введем следующие обозначения к + 1, к заменим на 1 в нижнем индексе, а к, к — на 0 в нижнем индексе, например Рк+Хк заменяется на Рх, а Рк к - соответственно на Р0 Аналогично поступаем с остальными

переменными, содержащими двойной индекс Для одноиндексной переменной аналогично имеем Ек+Х = Ек и заменяем к на оо, например Ех

Представим методику оценки качества экспериментального материала на основе вычисления информационной матрицы Фишера Тогда процедуру вычислений в установившемся режиме разбиваем натри группы Первая группа РХ=ФР0ФТ + Г()ГТ, Е^ = (НРХНТ+П)и2,

К1т=Р,Нт£-1, Р0={1-К\СОЕ?Н)РХ

Вторая группа

дРх _ двх з<г> ЩР°Ф

ЗЕ?

3(9, 1 2 Г

( дК\„

3(9, { зв,

др, двх

ф' + р„

эф' дв.

= Я - — Я + РХН ^

80,

Е'1Н -К\,

Третья группа К2го = ФК\т,

ЗЕ? ' двх дК2„

-Н

дв.

двх дв,

ЗФ ^ ЛЗК\а

Фа, I =

Ф дФ

дв.

Г" I 1

> к А, 1 -

дК 2а двх

двх К2°°

У-1 32оо

-"■¿«¡¿со -— дв,

Гл,х =

дв,

*л, i =

,1 + = + КлА,

dx¡ дх,

дв, дв,_

Ми - Sp

дв,

i ^00 3/9,

+ 5/3

55»,

i _

htz-Jhe\

дх{ ~дв.

f dx¡

Щ

При этом первая группа уравнений решается как система нелинейных алгебраических уравнений, вторая — как система алгебраических уравнений, третья - как совокупность линейных уравнений, решаемых последовательно друг за другом

В диссертационном исследовании доказана справедливость теоремы для нестационарного вида системы (1), (2) и, как следствие, аналогичное утверждение для стационарного случая

Теорема Для системы (1), (2) оптимальная оценка предсказания x(t + 1 Ю описывается рекуррентным соотношением

x{t + \\t) = 0(t + l,t)x(t IГ -1) + G(r + l,i)u(0 + K(t)v(t) для t = 0,1, , где i(01 -1) = 0 K(t), v(t) определяются из соотношений v(t) = (H(t)P{t\t-\)HT(t) + Л(ОГ "2 (z(0 - H(t)x{t 10 -1), K(t) = 0(t +1 ,t)P{t\t - \)HT{t)[H{t)P(t 11 -1 )HT{t) + R(t)TV2,

t)

P{t + 110 = 0{t + \,t)P(t 11 - \)ФТ{1 + l,í) - K{t)KT(t) + r(t + \,t)Q{t)rT(t + для f = 0,1, , где P(ОI -1) = £[x(0)xr(0)]

Следствие В случае стационарной системы

x(t + 1) = 0x(t) + Gu(t) + Г-rtt), z(t) = Hx(t) + v(í) оптимальная оценка предсказания x(t + 111) описывается рекуррентным соотношением x{t + 111) = 0x(t 11 - 1) + Gu(t) + K(t)v(t) для t = 0,1, , где ¿(01 -1) = 0 K(t), v(t) определяются из следующих соотношений v(t) = I~\z{t) - Hx(t 11 -1)), K(t) = 0P(t I / -1 )HT{HP(t \t-\)HT + R)-U2, где E = (HP(t 11 - 1 )HT + R)U1. Корреляционная ма!рица имеет вид p(t + i\t) = 0P(t 11 - \)0T - K(t)KT(t) + rqr7

В предшествующих работах по оценке качества экспериментального материала, использующих фильтры для оценки вектора состояния, не учитывался тот факт, что дтя оценки вектора состояния точные значения параметров объекта не известны и это приводит к погрешности в оценке вектора состояния В работе анализируются и уточняются формулы, выведенные Сейдж Э П, ка-

сающиеся влияния погрешности задания параметров непрерывного объекта на погрешность оценки вектора состояния В виду формализма перехода от непрерывного случая к дискретному в диссертации не приводится вывод аналогичных формул для дискретных объектов Пусть линейная стационарная динамическая система описывается в виде уравнений

x(t) = Fx(t) + Gw(t), z(t) = Hx(t) + v(i), где x(t)~ вектор состояния с нулевым математическим ожиданием и неотрицательно определенной ковариационной матрицей Р в начальный момент времени, w(t) - белый гауссовский шум с нулевым средним и неотрицательно определенной ковариационной матрицей Q, F, G — матрицы состояния, возмущения соответственно, H - матрица наблюдения, z(i)— вектор наблюдения, v(t) -белый гауссовский шум с нулевым средним и положительно определенной ковариационной матрицей R Пусть параметры объекта известны с ошибками Обозначим соответствующие матрицы через F,G,H Ковариационная матрица общей ошибки удовлетворяет уравнению

AVf = (F-KH)AVf + AVf(F -КН)Г + (AF - KAH)AVC + + A Vj (AF - KAH)T + AKRAKT, где AVC = FAVC + AVC(F — KH)T + KRAKT + AVX(AF- KAH)T,

AVX = FAVX + AVXFT + KRKT Для V~, Vc и Vx можно выписать следующие уравнения

V~ (F - Ш)УХ + VX(F -KÏÏf + К/(AF-KAH)r + (AF- KAH)VC + + GQGT + KRKT,

Vc = FVC + VC(F- KH)T + VX(AF- KAH)T + GQGT, Vx = FVX + VXFT + GQGT

В четвертом разделе полученные результаты применены для оценивания параметров модели процесса приготовления шихты, который можно описать в виде

x(t) = Ax(t) + Bu(t) + Dw(t), y(t) = Cx(t) + v(t), где щ - дозировка содового порошка, и2 - дозировка боксито - известковой смеси, у, - значение щелочного модуля, у2 - значение известкового модуля, размерности матриц А,В,С,D определены как 2x2 При переходе к дискретному варианту имеем систему вида (1), (2) Пусть параметры системы (1), (2) будут следующими

Ф =

'в, (О

О в2)

0,2 0,02 > 0,37 -0,06,

0,45 0 1 0 0,41

где необходимо определить вх ,в2 Характеристики случайных воздействий

'0,3 ( '

_ Г 0,05 0

0 0,05'' R~

0 0,3

Вычислим де1(М) для управления типа «меандр» с периодом Т= 8 при значениях и,= 2 для /= 1, 2,7,8 и И|= -2 для /= 3, 4, 5, 6, для управления типа «меандр» с периодом Т= 4 для и2~ 2 в точках 1= 3, 4, 7, 8 и и2= -2 для ¡= 1,2,5,6. При наблюдениях в точках /=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 получаем максимальное значение определителя информационной матрицы Фишера с!е1:(М) = 0,58.

Кроме того, разработанные алгоритмы были использованы для повышения информативности измерений процессов теплопереноса в бортовых технологических установках. В качестве математической модели, описывающий процесс роста кристаллов, возьмем стохастическую модель в форме пространства состояний, где за компоненты состояния приняты переменные: г ^ - координата фронта кристаллизации; с/— прогиб фронта кристаллизации; щ = ¿Ат!Л - величина, пропорциональная скорости изменения внутренней энергии Ат за счет осевого теплоотвода; м2 = с1ил!Л - величина, пропорциональная ускорению изменения внутренней энергии за счет осевого теплоотвода; и3 = кщ - величина, пропорциональная скорости изменения внутренней энергии за счет радиального теплоотвода; к- доля радиального потока по отношению к осевому. Пусть система координат (Г, 5), где $ - положение капсулы, связана с нагревателем и является неподвижной (рис. 1). По мере выдвижения капсулы вправо происходит охлаждение образца, следовательно, уменьшение внутренней энергии и смещение фронта кристаллизации пропорционально уменьшению внутренней энергии. В следующий момент 4+1 происходит снижение внутренней энергии, образец больше выдвинут вправо, изменился профиль температур Рис. 1. Положение капсулы и температур- на поверхности образца в сто-ный профиль в момент ¡к. Р0НУ Уменьшения.

Будем считать, что величина Ат пропорциональна изменению внутренней энергии, а, следовательно, величине смещения фронта кристаллизации. Таким образом, изменяется из-за роста кристалла и из-за перемещения капсулы. С учетом принятых обозначений запишем модель процесса в форме пространства состояний:

4"> (/') = ап г/ (/' ) + ап2^') + аай{1>) + Ь,и, (*') + ", (О |

(3)

yj(t,) = hj,zf(t') + hj2zf(tl) + hj3d(tl) + v, (/'), (4)

где (3) - модель динамики процесса, (4) - модель измерительной системы, Zf - скорость движения фронта кристаллизации, г =1, 2,j=l,2 Соотношения (3), (4) в векторно-матричном виде с соответствующими обозначениями для моделей динамики и измерителей запишем в виде

х(Г') = Ax(t') + Bu(t') + w(t'),

M)=mti)+4tk), /i £[//_,.'/] с [о, л, x(t/0)=x<0

Обозначим через в' р -мерный вектор постоянных идентифицируемых параметров, входящих в матрицы Л(в'), В(в' ) и #(#') Тогда задача идентификации состоит в оценивании параметров матриц А, В, Н Будем решать данную задачу итерационно посредством выполнения трех процедур, а именно полагая Н известным, оцениваем А,В, используя метод наименьших квадратов, по найденным А, В оцениваем вектор состояния и, наконец, определяем матрицу Н Эта процедура повторяется циклически Затем, используя калма-новскую фильтрацию, определяем оценку переменных состояния x(tl) на фоне помех динамики, помех начального состояния и шумов измерителей, на основе данных наблюдений в режиме реального времени Здесь потребность фильтрации по Калману (оценивания состояния) может возникнуть для корректировки оценки предсказания состояния из-за неточно определенных коэффициентов в модели динамики и воздействия всякого рода помех динамики, помех начального состояния и шумов измерительной системы После этого повторно оцениваются параметры матриц А,В, но уже с более информативными данными относительно входного и выходного сигналов

Также данная методика была использована при исследовании линейного износа детали с помощью модели в форме пространства состояния распределенного типа Построение динамической модели с распределенными параметрами основано на восстановлении картины поверхности детали в линейном разрезе и в фиксированные моменты времени, то есть построение N профи-лограмм в статике для моментов времени /0,, ,tN При этом статическая модель распределенного типа описывает структуру поверхности по всей длине детали и генерирует исходные данные для восстановления динамической модели Динамика процесса износа во времени для фиксированных точек по длине детали представлена с помощью стохастической модели распределенного типа в пространстве состояний Расчеты показали, что модель достаточно хорошо отслеживает случайный характер координат точек поверхности детали Программное обеспечение позволяет получить кривые изнашивания рабочей поверхности детали по модели

В заключении сформулированы основные результаты исследования В приложении приведен подробный вывод основных утверждений диссертационного исследования, представлены сведения о разработанном программном обеспечении и акты о внедрении результатов работы

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

В задаче планирования эксперимента, в предположении использования итерационных процедур поиска наилучшего плана, наиболее сложная и трудоемкая часть — это вычисление информационной матрицы Фишера Для класса линейных динамических систем в соответствии с поставленными целями исследования в диссертационной работе получены следующие результаты

- разработана методика оценки «качества» экспериментального материала и получены соотношения для вычисления информационной матрицы Фишера по данным установившегося режима для дискретного стационарного случая, когда неизвестные параметры содержатся как в элементах матриц состояния и управления, так и в элементах матриц состояния и наблюдения,

- дан подробный вывод и представлены соотношения для вычисления информационной матрицы Фишера, когда неизвестные параметры содержатся в элементах ковариационной матрицы шумов измерительной системы,

- получены соотношения для вычисления информационной матрицы Фишера, когда неизвестные параметры содержатся в элементах матриц состояния, управления и наблюдения для стационарного случая с использованием нормированной обновленной последовательности,

- выведены формулы для оценки погрешности вектора состояния, вызванные неточным заданием параметров объекта в уравнениях наблюдателя, а также приведены все промежуточные результаты, в которых устранены опечатки и ошибки, присутствующие в известных работах других авторов,

- для линейных дискретных динамических систем, описанных в форме пространства состояний, при наличии управления в правой части доказана теорема для получения оценки вектора предсказания и его ковариационной матрицы,

- разработан комплекс программ, осуществляющий все необходимые вычисления, в том числе определение управляемости и наблюдаемости системы, оценку вектора состояния из уравнений фильтра Калмана, оценку ковариационных матриц помех динамики, измерителя и начального состояния, оценку элементов матриц состояния и управления, вычисление информационной матрицы Фишера и ее определителя для систем без шума динамики и при наличии помех динамики

Полученные результаты апробированы на практических примерах, что подтверждено соответствующими актами о внедрении В рамках работ по гранту РФФИ и НЦНИ (Л), код проекта 05-05-02804, выполнены вычисления с использованием информационной матрицы Фишера для оценивания неизвестных параметров модели процесса приготовления шихты для печей спекания Павлодарского алюминиевого завода Проведены исследования по разработке методами активной идентификации математической модели процессов тегоюпере-носа в экспериментах по выращиванию кристаллов в условиях микрогравитации в рамках работ на предприятии НИЦ космической системотехники Предложен алгоритм идентификации износа поверхности детали с помощью модели пространства состояния распределенного типа в рамках работ на предприятии

ОАО «Искитимцемент» Алгоритмы идентификации были апробированы в учебном процессе при подготовке инженеров по специальности 220201 -«Управление и информатика в технических системах» и магистров по направлению 220100 - «Автоматизация и управление» на факультете автоматики и вычислительной техники НГТУ

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:

1 Абденов А Ж ,Иванов Л H , Снисаренко А В , Трошина Г В , Хазиева О Л Прогнозирование доходов бюджета с помощью моделей регрессионного и динамического типов 1 Методика построения моделей/ А Ж Абденов, Л H Иванов, А В Снисаренко, Г В Трошина, О Л Хазиева// Научный вестник НГТУ/ Новосиб гос техн ун-т, 2004 -№3(18) - С 3-12

2 Абденов А Ж .Иванов Л H, Снисаренко А В , Трошина Г В , Хазиева О Л Прогнозирование доходов бюджета с помощью моделей регрессионного и динамического типов 2 Практические аспекты/ А Ж Абденов, Л H Иванов, А В Снисаренко, Г В Трошина, О Л Хазиева// Научный вестник НГТУ/ Новосиб гос техн ун-т, 2004 -№ 1(19) -С 135-142

3 Воевода А А , Трошина Г В Оценивание параметров моделей динамики и наблюдения для линейных стационарных дискретных систем с использованием информационной матрицы Фишера// Научный вестник НГТУ/ Новосиб гос

* техн ун-т, 2006 -№3(24) -С 199-200

4 Трошина Г В Адаптивное оптимальное оценивание параметров и состояния для моделей динамических систем в пространстве состояний/ Г В Трошина// Научные основы высоких технологий Труды Международной научно-технической конференции -Новосибирск Новосиб гос техн ун-т, 1997 -Т2 -С 123-125

5 The Dynamical Spread Talyrond Trase Model of the Surface for investigation of Endurance of the Component/ A Zh Abdenov, G V Troshina// Proc of the 2nd IEEE - Russia Conference 1999 High Power Microwave Electronics Measurements, Identification, Applications MIA-ME'99 21-23 September 1999, Russia, - Novosibirsk NSTU, - 1999, - V 40-44 (Динамическая распределенная модель профи-лограмм поверхности детали для исследования износоустойчивости)

6 Трошина Г В D-квазиоптимальное планирование ковариационных матриц помех измерительной системы и динамики объекта/ Г В Трошина// Методы и средства измерения в системах контроля и управления Материалы международной научно-технической конференции - Пенза Изд-во Пенз гос унта, 1999 - С 129-131

7 Трошина Г В Один подход использования модели в пространстве состояний при исследовании интенсивности изнашивания образца/ Г В Трошина// Информационные системы и технологии Материалы Международной научно-технической конференции. Т 2 - Новосибирск Изд-во НГТУ, 2000 - С 252-257

8 Трошина Г В Поиск D-оптимального плана для дискретных объектов с неизвестными параметрами/ Г В Трошина// Составляющие научно-технического прогресса Материалы 2-ой Международной конференции — Тамбов Изд-во ТГТУ, 2006 - С 145-150

9 Трошина Г В О двухточечном D-оптимальном плане эксперимента для дискретных объектов в установившемся режиме/ Г В Трошина// Технологическое обеспечение качества машин и приборов Сборник статей III Международной научно-практической конференции - Пенза НОУ «Приволжский Дом Знаний», 2000 - С 42-44

10 Трошина Г В D-оптимальный план эксперимента в задачах активной идентификации по данным установившегося режима для линейных стационарных дискретных систем/ Г В Трошина// Наука Промышленность Оборона Труды VII Всероссийской научно-технической конференции - Новосибирск НГТУ, 2006 - С 445-449

11 Денисов В И , Трошина Г В Планирование оптимальных входных сигналов для оценивания параметров динамических систем/ В И Денисов, Г В Трошина// Оптимальное проектирование, планирование экспериментов и моделирование многофакторных объектов Межвуз сб науч трудов / Новосиб элек-тротехн ин-т - Новосибирск, 1989 - С 47-55

12 Денисов В И , Трошина Г В Вычислительные аспекты одного алгоритма оценивания параметров/ В И Денисов, Г В Трошина// Планирование эксперимента, идентификация, анализ и оптимизация многофакторных систем Межвуз сб науч трудов / Новосиб электротехн ин-т — Новосибирск, 1990 — С 9197

13 Абденов А Ж Трошина Г В Один алгоритм идентификации линейных динамических объектов описываемых с помощью моделей в пространстве состояний/ А Ж Абденов, Г В Трошина// Сб науч трудов НГТУ/ Новосиб гос техн ун-т, 1998 -№4(13) -С 46-57

14 Абденов А Ж, Трошина Г В Некоторые критерии, характеризующие эффективность оценок параметров стохастических динамических систем/ А Ж Абденов, Г В Трошина//Сб науч трудов НГТУ/ Новосиб гос техн ун-т, 1999 -№3(16) - С 3-10

15 Абденов А Ж , А В Снисаренко, Трошина Г В К вопросу о степени воздействия некоторых факторов на информативность выхода измерительного комплекса в динамической системе/ А Ж Абденов, А В Снисаренко, Г В Трошина//Сб науч трудов НГТУ/Новосиб гос техн ун-т, 1999 -№1(14) - С 312

16 Трошина Г В Об одной математической модели для прогнозирования кредитных вложений/ Г В Трошина// Математические методы и информационные технологии в экономике Сборник материалов VI Международной научно-технической конференции Ч 1 - Пенза Изд-во «Приволжский Дом Знаний», 2000 -С 127-129

17 Абденов АЖ, Трошина Г В Планирование D-оптимальных входных сигналов при идентификации ковариационной матрицы шумов измерителя для

динамических систем/ А Ж Абденов, Г В Трошина// Сб науч трудов НГТУ/ Новосиб гос техн ун-т, 2000 -№ 5(22) -С 3-13

18 Абденов А Ж, Озерных И JI, Трошина Г В К проблеме повышения информативности измерений для процессов теплопереноса в бортовых технологических установках/ А Ж Абденов, И JI Озерных, Г В Трошина// Сб науч трудов НГТУ/Новосиб гос техн ун-т, 2002 -№4(30) - С 17-30

19 Абденов А Ж , Трошина Г В Исследование линейного износа детали с помощью модели в форме пространства состояния распределенного типа/ А Ж Абденов, Г В Трошина// Сб науч трудов НГТУ/ Новосиб гос техн ун-т, 2002 -№2(28) - С 55-64

20 Воевода А А , Трошина Г В Оценка погрешности восстановления вектора состояния при неточно заданных параметрах объекта/ А А Воевода, Г В Трошина// Сб науч трудов НГТУ/ Новосиб гос техн ун-т, 2005 — № 4(42) -С 165-168

21 Воевода А А , Трошина Г В Вычисление информационной матрицы Фишера для линейных стационарных дискретных систем в установившемся режиме/ А А Воевода, Г В Трошина// Сб науч трудов НГТУ/ Новосиб гос техн ун-т,2006 -№ 1(43) -С 3-8

22 Воевода А А , Трошина Г В Использование информационной матрицы Фишера при выборе сигнала управления для оценки параметров моделей динамики и наблюдения объектов невысокого порядка/ А А Воевода, Г В Трошина//Сб науч трудов НГТУ/Новосиб гос техн ун-т, 2006 -№3(45) - С 1924

23 Воевода А А , Трошина Г В , Ишимцев Р Ю О применении информационной матрицы Фишера для оптимального оценивания параметров технологического процесса приготовления шихты/ А А Воевода, Г В Трошина, Р Ю Ишимцев// Сб науч трудов НГТУ/ Новосиб гос техн ун-т, 2006 -№4(46) - С 149-154

Подписано в печать /% 09 07 г Формат 84x60x1/16 Бумага офсетная Тираж 150 экз Печ л Заказ № /5 Л Л.

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г Новосибирск, пр К Маркса, 20

ВВЕДЕНИЕ

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ АКТИВНОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

1.1. О задаче идентификации

1.2. Оценка вектора состояния

1.2.1 .Наблюдатель состояния полного порядка.

1.2.2.Наблюдатель состояния пониженного порядка.

1.2.3.Оценка вектора состояния при случайных возмущениях и наличии помех.

1.2.4.Оптимальная фильтрация в линейных дискретных системах

1.3. Планирование оптимальных входных сигналов

1.3.1. Исходные понятия теории планирования экспериментов

1.3.2. Метод наименьших квадратов.

1.3.3. Нормированная информационная матрица Фишера.

1.3.4. Алгоритм вычисления информационной матрицы

Фишера.

Выводы

2. ЗАДАЧА ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ И ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ЭКСПЕРИМЕНТА

2.1. Алгоритм оценивания динамических параметров и матриц ковариаций в моделях динамики и измерителя.

2.2. Вывод соотношений для вычисления информационной матрицы Фишера при идентификации ковариационной матрицы шумов измерительной системы

2.3. О матрице наблюдения

2.4. Критерии эффективности оценок параметров стохастических динамических систем

2.5. Выбор тестовых импульсов

Выводы

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИОННОЙ МАТРИЦЫ

ФИШЕРА

3.1. Оценка погрешности восстановления вектора состояния при неточно заданных параметрах объекта.

3.2. Оценка вектора предсказания в задаче идентификации при наличии управления

3.3. Исследование неустановившегося и установившегося режимов.

3.4. Случай вхождения неизвестных параметров в модели динамики и наблюдения

3.5. Случай вхождения неизвестных параметров в матрицы состояния и наблюдения

3.6. Вычисление матрицы Фишера при вхождении неизвестных параметров в матрицу состояния

Выводы

4. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМА АКТИВНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ.

4.1. Об использовании информационной матрицы Фишера при идентификации параметров модели процесса приготовления шихты.

4.2. К проблеме повышения информативности измерений для процессов теплопереноса в бортовых технологических установках.

4.3. Исследование линейного износа детали с помощью модели в форме пространства состояний распределенного типа.

4.4. Кусочно-дифференциальная модель для оценивания функционального состояния печени

4.5. Описание комплекса программ

Выводы

Актуальность темы исследований. Повышение точности и надежности управления динамическими объектами во многих областях науки и техники требует развития и совершенствования методов их идентификации. Необходимость выдвигать научно-обоснованные предположения о поведении того или иного объекта требует разработки адекватных методов создания математических моделей, алгоритмов, методов и технологий прогнозирования, что позволило бы эффективней проектировать наукоемкие управляющие системы. В настоящее время наиболее востребованы такие методы оценки качества экспериментальных данных, которые обеспечивают высокие характеристики по быстродействию, надежности, экономии энергопотребления и объемам памяти, и т. п. В этих условиях от исследователей и инженеров, работающих в области создания систем обработки экспериментальных данных различного назначения и использования их в разных областях науки и техники, требуется глубокое понимание и знание основных закономерностей, присущих процессам обработки информации.

Вопросам разработки методов и алгоритмов активной параметрической идентификации динамических моделей и планирования экспериментов посвящена обширная литература, например, [1-47, 50, 51, 55, 58-63, 66-72, 76-140]. Нерешенные проблемы разработки численных алгоритмов построения входных сигналов и оценивания параметров линейных стационарных дискретных динамических объектов при наличии возмущений динамики и измерителя не позволяют в полном объеме решать задачи, возникающие на практике. Решению вопросов активной идентификации динамических систем посвящены работы Р. Мехры (R.K. Mehra), Т. Кайлатца (Т. Kailath), М. Зейропа (М.В. Zarrop), Дж. Гудвина (G.C. Goodwin), Р. Пейна (R.L. Payne) и других [12-23, 37-41]. Эти проблемы решаются и в трудах отечественных ученых, в частности В.Г. Горского, Г.К. Круга, Ю.П. Адлера, A.M. Талалая, В.И. Денисова, А.А. Попова, А.Ж. Абденова, Т.В. Авдеенко, В.М. Стасышина, В.М. Чубича и других [2, 9,

26, 33, 34, 55, 60, 61, 63, 69 - 71, 76 - 77, 79 - 81, 83 - 139]. Для этих целей эффективно используется математический аппарат с применением информационной матрицы Фишера, но алгоритмы и программное обеспечение для активной идентификации в виде, удобном для инженерных расчетов, еще находятся в стадии разработки.

Предметом исследования выступают средства и методы построения алгоритмов вычисления информационной матрицы Фишера в установившемся режиме, являющейся основной частью планирования управляющих воздействий в задаче идентификации линейных дискретных динамических систем.

Цель работы заключается в разработке алгоритмов и программного обеспечения оценивания качества экспериментальных данных на основе использования информационной матрицы Фишера по данным установившегося режима в задаче активной идентификации при оценивании параметров линейных динамических дискретных стационарных объектов.

Основные задачи исследования:

- разработка методики оценки «качества» экспериментального материала на основе вычисления информационной матрицы Фишера по данным установившегося режима, когда неизвестные параметры содержатся как в элементах матриц состояния и наблюдения, так и в элементах матриц состояния и управления;

- получение соотношений для вычисления информационной матрицы Фишера в случае, когда неизвестные параметры содержатся в элементах ковариационной матрицы шумов измерительной системы;

- получение соотношений для вычисления информационной матрицы Фишера, когда неизвестные параметры находятся в элементах матриц состояния, управления и наблюдения для стационарного случая с использованием нормированной обновленной последовательности;

- вывод рекуррентных соотношений для оценки предсказания вектора состояния в задаче идентификации при наличии управления для линейных динамических дискретных объектов;

- анализ влияния неточно заданных параметров объекта на погрешность оценки вектора состояния, который необходим в соотношениях для вычисления информационной матрицы Фишера, используемой при оценке качества экспериментального материала;

- разработка программного обеспечения, позволяющего автоматизировать вычисление определителя информационной матрицы Фишера и оценок динамических параметров и элементов ковариационных матриц помех динамики и измерителя;

- апробирование полученных результатов на тестовых и практических примерах.

Методы исследования. Результаты исследования получены на базе использования аппарата теории вероятностей и математической статистики, случайных процессов, теории систем, теории идентификации, вычислительной математики и программирования на ЭВМ.

Научной новизной обладают выносимые на защиту результаты:

- соотношения, полученные для вычисления информационной матрицы Фишера по данным установившегося режима, когда неизвестные параметры содержатся как в элементах матриц состояния и наблюдения, так и в элементах матриц состояния и управления;

- соотношения для вычисления информационной матрицы Фишера в случае, когда неизвестные параметры содержатся в элементах ковариационной матрицы шумов измерительной системы;

- рекуррентные соотношения для оценки предсказания вектора состояния в задаче идентификации при наличии управления для линейных динамических дискретных объектов;

- результаты анализа влияния неточно заданных параметров объекта на погрешность оценки вектора состояния, который необходим в соотношениях для вычисления информационной матрицы Фишера, используемой при оценке качества экспериментального материала;

- соотношения для вычисления информационной матрицы Фишера, когда неизвестные параметры содержатся в элементах матриц состояния, управления и наблюдения для стационарного случая с использованием нормированной обновленной последовательности;

- разработанные и реализованные процедуры, позволяющие автоматизировать вычисление определителя информационной матрицы Фишера и оценивание динамических параметров и элементов ковариационных матриц помех динамики и измерителя.

Практическая ценность и реализация результатов исследования.

1. Рассмотрена задача оптимального оценивания параметров модели процесса приготовления шихты для печей спекания Павлодарского алюминиевого завода, работающего по комбинированной схеме Байер-спекания. Осуществлена апробация методики оптимального оценивания параметров для случая, когда неизвестные параметры содержатся в элементах матрицы состояния.

2. Решены вопросы проектирования математической модели в форме пространства состояний на основе планирования структуры матрицы наблюдения применительно к процессу выращивания кристалла в условиях микрогравитации. Разработана общая схема алгоритмического обеспечения методики диагностики процесса выращивания кристалла в условиях космоса.

3. Решена задача моделирования износа поверхности детали с помощью модели пространства состояний распределенного типа. Предложен алгоритм моделирования профилограмм износа поверхности детали. Продемонстрировано, что модель достаточно хорошо отслеживает случайный характер координат точек поверхности детали.

4. Разработан и проанализирован алгоритм построения кусочно-дифференциальной модели функционального состояния печени. Методика апробирована на тестовых примерах и на данных, представляющих реальные наблюдения.

5. Основные теоретические положения и математические модели, а также результаты практической реализации диссертационных исследований используются в учебном процессе при преподавании дисциплины «Синтез многоканальных систем управления», читаемой для студентов специальности 220201 -«Управление и информатика в технических системах» и при преподавании дисциплины «Многоканальные линейные системы», читаемой для магистрантов по направлению 220100 - «Автоматизация и управление» на факультете автоматики и вычислительной техники Новосибирского государственного технического университета.

Апробация работы. Основные научные результаты, полученные в диссертационной работе, были представлены на: II Международной конференции «Составляющие научно-технического прогресса» (Тамбов, 2006 г.); III Международной научно-практической конференции «Технологическое обеспечение качества машин и приборов» (Пенза, 2006 г.); Международной школе-конференции молодых ученых «Информационно-телекоммуникационные системы» (Новосибирск, 2006 г.); The Eighth International Conference on Actual Problems of Electronic Instrument Engineering APEIE - 2006 (Новосибирск, 2006 г.); The Third Korea-Russia International Symposium on Science and Technology: KORUS'99 (Новосибирск, 1999 г.); The Second IEEE - Russia Conference 1999 High Power Microwave Electronics: Measurements, Identification, Applications: MIA-ME'99 (Новосибирск, 1999 г.); Международном симпозиуме «Надежность и качество. Инновационные технологии производству XXI века» (Пенза, 1999 г.); Международной конференции «Наука и образование на рубеже тысячелетий» (Чита, 1999 г.); Международной научно-технической конференции «Методы и средства измерения в системах контроля и управления» (Пенза, 1999 г.); Международной научно-технической конференции «Научные основы высоких технологий» (Новосибирск, 1997 г.); V Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике» (Пенза, 2000 г.); Международной научно-технической конференции «Информационные системы и технологии» (Новосибирск, 2000 г.); Всероссийской научно-технической конференции «Наука. Промышленность. Оборона» (Новосибирск, 2006 г.); V Всесоюзном симпозиуме «Методы теории идентификации в задачах измерительной техники и метрологии» (Новосибирск, 1989 г.); 2-й Всесоюзной конференции «Моделирование систем информатики» (Новосибирск, 1989 г.); Всесоюзной научно-технической конференции «Идентификация, измерение характеристик и имитация случайных сигналов» (Новосибирск, 1989 г.); Всесоюзном семинаре «Методы и средства обработки измерительной информации» (Челябинск, 1990 г.); Всероссийской научно-практической конференции с международным участием «Достижения науки и техники - развитию сибирских регионов» (Красноярск, 1999 г.); Всероссийской научно-технической конференции «Актуальные проблемы повышения качества машиностроительной продукции» (Владимир, 1999 г.); Российской научно-технической конференции «Информатика и проблемы телекоммуникаций» (Новосибирск, 1999 г.); LIV научной сессии, посвященной Дню радио (Москва, 1999 г.); Четвертом сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти М.А. Лаврентьева (Новосибирск, 2000 г.); VII Региональной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука. Техника. Инновации» (НТИ) (Новосибирск, 2004 г.); научных конференциях, посвященных «Дням Науки», проводимых в НГТУ (Новосибирск, 2005-2006 гг.); научных семинарах Новосибирского государственного технического университета (2004-2006 гг.).

Публикации. Основные положения и результаты диссертационной работы опубликованы в 33 работах, в том числе: 3 статьи в изданиях, входящих в перечень, рекомендованный ВАК РФ; 15 статей в сборниках научных трудов; 15 публикаций - в сборниках трудов и материалов Международных и Российских конференций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка использованной литературы, включающего 142 наименования и приложений, в том числе четырех актов об использовании результатов диссертационных исследований. Общий объем работы составляет 171с., в том числе основное содержание изложено на 141 е., включает 13 рисунков, 13 таблиц и приложения на 30 с.

ВЫВОДЫ

В рамках работ по гранту РФФИ и НЦНИ (JI), код проекта 05-05-02804, выполнены вычисления с использованием информационной матрицы Фишера для оценивания неизвестных параметров модели процесса приготовления шихты для печей спекания Павлодарского алюминиевого завода.

Дано описание постановки задачи для активной идентификации процессов теплопереноса в экспериментах по выращиванию кристаллов в условиях микрогравитации. Для определения качества экспериментальных данных и повышения точности определения параметров в модели динамики использовался определитель информационной матрицы Фишера. При решении данной задачи использовался разработанный пакет программ, описанный в третьем приложении. Все необходимые расчеты были проведены в рамках работ на предприятии НИЦ космической системотехники (акт о внедрении).

Рассмотрена задача моделирования износа поверхности детали с помощью модели пространства состояния распределенного типа. Предложен алгоритм моделирования профилограмм. Программное обеспечение позволяет получить кривые изнашивания рабочей поверхности детали по модели. Все необходимые расчеты были проведены в рамках работ на предприятии ОАО «Искитимцемент» (акт о внедрении).

Исследования показали работоспособность предложенного подхода не только для идентификации моделей технологических объектов (процессов), но и на объекты другой природы, в частности для оценивания функционального состояния печени. Особенностью данного исследования является сильная зашумленность процесса. Все необходимые расчеты были проведены в рамках работ в Семипалатинской государственной медицинской академии (акт о внедрении).

Алгоритмы идентификации, исследованные в предыдущих главах, были апробированы в учебном процессе при подготовке инженеров по специальности 220201 - «Управление и информатика в технических системах» и магистров по направлению 220100 - «Автоматизация и управление» на факультете автоматики и вычислительной техники НГТУ (акт о внедрении).

В третьем приложении описан пакет программ, использованный в вычислениях, и предназначенный для вычисления определителя информационной матрицы Фишера, оценивания параметров и состояния дискретных динамических систем на основе алгоритма фильтрации по схеме Калмана, динамических параметров на основе метода наименьших квадратов, а также для оценивания элементов ковариационных матриц шумов динамики, измерителя, начального состояния.

122

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В задаче планирования эксперимента, в предположении использования итерационных процедур поиска наилучшего плана, наиболее сложная и трудоемкая часть - это вычисление информационной матрицы Фишера. Для класса линейных динамических систем в соответствии с поставленными целями исследования в диссертационной работе получены следующие результаты:

- разработана методика оценки «качества» экспериментального материала и впервые получены соотношения для вычисления информационной матрицы Фишера по данным установившегося режима для дискретного стационарного случая, когда неизвестные параметры содержатся как в элементах матриц состояния и управления, так и в элементах матриц состояния и наблюдения, которые существенно облегчают ее использование на практике;

- дан подробный вывод и представлены соотношения для вычисления информационной матрицы Фишера, когда неизвестные параметры содержатся в элементах ковариационной матрицы шумов измерительной системы;

- получены соотношения для вычисления информационной матрицы Фишера, когда неизвестные параметры содержатся в элементах матриц состояния, управления и наблюдения для стационарного случая с использованием нормированной обновленной последовательности;

- выведены формулы для оценки погрешности вектора состояния, вызванные неточным заданием параметров объекта в уравнениях наблюдателя, а также приведены все промежуточные результаты, в которых устранены опечатки и ошибки, присутствующие в известных работах других авторов;

- для линейных дискретных динамических систем, описанных в форме пространства состояний, при наличии управления в правой части доказана теорема для получения оценки вектора предсказания и его ковариационной матрицы;

- разработан комплекс программ, осуществляющий все необходимые вычисления, в том числе определение управляемости и наблюдаемости системы, оценку вектора состояния из уравнений фильтра Калмана, оценку ковариационных матриц помех динамики, измерителя и начального состояния, оценку элементов матриц состояния и управления, вычисление информационной матрицы Фишера и ее определителя для систем без шума динамики и при наличии помех динамики.

Полученные результаты апробированы на практических примерах, что подтверждено соответствующими актами о внедрении. В рамках работ по гранту РФФИ и НЦНИ (JI), код проекта 05-05-02804, выполнены вычисления с использованием информационной матрицы Фишера для оценивания неизвестных параметров модели процесса приготовления шихты для печей спекания Павлодарского алюминиевого завода. Проведены исследования по разработке методами активной идентификации математической модели процессов теплопереноса в экспериментах по выращиванию кристаллов в условиях микрогравитации в рамках работ на предприятии НИЦ космической системотехники. Предложен алгоритм идентификации износа поверхности детали с помощью модели пространства состояний распределенного типа в рамках работ на предприятии ОАО «Искитимцемент». Алгоритмы идентификации были апробированы в учебном процессе при подготовке инженеров по специальности 220201 -«Управление и информатика в технических системах» и магистров по направлению 220100 - «Автоматизация и управление» на факультете автоматики и вычислительной техники НГТУ.

1. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971. -358 с.

2. Горский В.Г., Адлер Ю.П., Талалай A.M. Планирование промышленных экспериментов (модели динамики). М.: Металлургия, 1978. - 112 с.

3. Круг Г.К., Сосулин Ю.А., Фатуев В.А. Планирование эксперимента в задачах идентификации и экстраполяции. М.: Наука, 1977. - 542 с.

4. Сейдж Э., Мелса Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. М.: Связь, 1976. - 495 с.

5. Медич Дж. Статистически оптимальные линейные оценки и управление. -М.: Энергия, 1973.-440 с.

6. Острем К. Введение в стохастическую теорию управления. М.: Мир,1973.-320 с.

7. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975. -683 с.

8. Сейдж Э., Мелса Дж. Идентификация систем управления. М.: Наука,1974.-248 с.

9. Денисов В.И. Математическое обеспечение ЭВМ экспериментатор: регрессионный и дисперсионный анализы. - М.: Наука, 1977. - 250 с.

10. Гроп Д. Методы идентификации систем. М.: Мир, 1979. - 302 с.

11. Гинсберг К.С. Системные закономерности и теория идентификации // Автоматика и телемеханика. 2002. - № 5. - С. 156-170.

12. Kailath Т. An innovations approach to least-squares estimations, pt. 1: linear filtering in additive white noise. // IEEE Trans. Autom. Control. v. AC-13. -1968.- P. 646-655.

13. Sangsuk-Iam S., Bullock Т.Е. Analysis of Discrete-Time Kalman Filtering Under Incorrect Noise Covariances. // IEEE Trans. Autom. Control. v. AC-35.- 1990.- No. 12.- P. 1304-1308.

14. Mehra R.K. On the Identification of Variences and Adaptive Kalman Filtering. // IEEE Trans. Autom. Control, v. AC-15. -1970, No. 2. P. 175-184.

15. Mehra R. K. Optimal input signal for parameter estimation in dynamic system- survey and new results// IEEE Trans. Aut. Contr., 1974 Vol. AC - 19. № 6.- P. 753-768.

16. Gupta H.K., Mehra R.K. Computational aspects of maximum likelihood estimation and reduction in sensitivity function calculation. IEEE Trans. Autom. Control, 1974. - V. 19. - No. 7. - P. 774-785.

17. Mehra R.K. Optimal Input for Linear System Identification// IEEE Trans. Autom. Control, 1974. V. -19, No. 3. - P. 192-200.

18. Goodwin G.C., Zarrop M.B., Payne R.L. Coupled Design of Test Signal, Sampling Intervals and Filters for System Identification. // IEEE Trans. Autom. Control, v. 19, № 6, p. 748-752.

19. Zarrop M.B. Optimal Experiment Design for Dynamic System Identification. -New York: Springer Verlag, 1979.

20. Goodwin G.C., Payne R.L. Dynamic System Identification: Experiment Design and Data Analysis. New York: Academic Press, 1977. - 291 p.

21. Astrom K. J. Maxsimum Likelihood and Prediction Error Methods. -Automatica, 1980, v. 16, No.5, p.551-574.

22. Zee Т. T. A direct approach to identify the noise covariances of Kalman filtering// IEEE Trans. Aut. Contr, 1980 Vol. AC - 25. № 4.

23. Myers K. A., Tapley B. D. Adaptive sequential estimation with unknown noise statistics// IEEE Trans. Aut. Contr, 1976 Vol. AC - 21 - P. 520 - 523.

24. Современные методы идентификации систем: Пер. с англ./Под ред. П.Эйкхоффа. М.: Мир, 1983. - 400 с.

25. Сейдж Э.П., Уайт Ч.С. Оптимальное управление системами. М.: Радио и связь, 1982.-392 с.

26. Денисов В. И., Попов А. А. Пакет программ оптимального планирования эксперимента. -М.: Финансы и статистика, 1986. 159 с.

27. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах / Под ред. Леондеса К. Т. М.: Мир, 1980. - 408 с.

28. Ермаков С.М., Жиглявский А.А. Математическая теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1987. - 320 с.

29. Спиди К., Браун Р., Гудвин Дж. Теория управления: идентификация и оптимальное управление. М.: Наука, 1973. - 248 с.

30. Эйкхофф П. Оценка параметров и структурная идентификация (обзор). -Автоматика. 1987. - № 6. - С. 21-38.

31. Александров А.Г., Орлов Ю.Ф. Сравнение двух методов идентификации при неизвестных ограниченных возмущениях // Автоматика и телемеханика. 2005. - № 10. - С. 128-147.

32. Авдеенко Т.В. Разработка методов исследования структурной идентифицируемости моделей в пространстве состояний: Дис. . д-ра техн. наук: Спец. 05.13.18 / Т.В. Авдеенко; Новосиб. гос. техн. ун-т. -Новосибирск, 2003. 334 с.

33. Огарков М.А. Методы статистического оценивания параметров случайных процессов. М.: Энергоатомиздат, 1990. - 208 с.

34. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя / Под ред. Я.З. Цыпкина. М.: Наука, 1991. - 432 с.

35. Mehra R.K. Synthesis of optimal inputs for multiinput-multioutput (MIMO) Systems with process noise. Part I: frequency-domain synthesis. Part II: time-domain synthesis. // Syst. Identif. Adv. and Case Stud. New York e.a., 1976, p.211-249.

36. Brown R.J., Sage A.P. Error Analysis of Modeling and Bias Errorsin Continuous Time State Estimation. Automatica. V. 7. -1971. - P. 577-590.

37. Mehra R.K., Peschon J. An Innovations Approach to Fault Detection and Diagnosis in Dynamic Systems. Automatica. V. 7. -1971. - P. 637-640.

38. Goodwin G.C. Optimal Input Signals for Nonlinear-system Identification. -Proc. Inst. Elec. Engrs. 1971. - 118. - № 7. - P. 922-926.

39. Goodwin G.C., Sin K.S. Adaptive Filtering, Prediction and Control. Prentice - Hall, Englewood Cliffs, 1984. - 540 p.

40. Пащенко Ф.Ф., Чернышев K.P. Методы и системы управления и идентификации на основе знаний // Автоматика и телемеханика. 2000. -№2.-С. 3-28.

41. Бессонов А.А., Загашвили Ю.В., Маркелов А.С. Методы и средства идентификации динамических объектов. Л.: Энергоатомиздат, 1989. -280 с.

42. Попов А.А. Вычисление информационной матрицы Фишера в задаче планирования входного сигнала для динамических систем/ А.А. Попов// Сб. науч. трудов НГТУ/ Новосиб. гос. техн. ун-т, 1998. № 2(11). - С. 816.

43. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. М.: Мир, 1973.-960 с.

44. Бунич А.Л. Пассивная и активная идентификация линейного дискретного объекта с ограниченной помехой// Автоматика и телемеханика, 2003. № 11.-С. 60-73.

45. Гетманов В.Г., Жиров М.В., Шаховский А.В. Алгоритм идентификации для линейной дискретной динамической системы управления // Автоматика и телемеханика. 2001. - № 4. - С. 27-34.

46. Джонстон Дж. Эконометрические методы. М.: Статистика, 1980. - 444 с.

47. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко B.JI. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. - 352 с.

48. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление. -М.: Наука, 1966.-176 с.

49. Адлер Ю.П. Введение в планирование эксперимента. М.: Металлургия, 1969.- 155 с.

50. Тененбаум М.М. Износостойкость конструкционных материалов и деталей машин при абразивном изнашивании. М.: Машиностроение. -1966.-331 с.

51. Костецкий Б.И., Колесниченко Н.Ф. Качество поверхности и трение в машинах. Киев: Техника, 1969.-215 с.

52. Якушев А.И., Дунин-Барковский И.В., Чекмарев А.А. Взаимозаменяемость и качество машин и приборов. М.: Изд-во Стандартов, 1967. - 234 с.

53. Абденов А.Ж., Денисов В.И., Чубич В.М. Введение в оценивание и планирование экспериментов для стохастических динамических систем: Учеб. пособие / Новосиб. гос. техн. ун-т, 1993. 45 с.

54. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. Красовского А. А. М.: Наука, 1987. - 712 с.

55. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975. - 648 с.

56. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1973.-223 с.

57. Денисов В.И., Чубич В.М. Планирование D-оптимальных управляющих сигналов для стохастических линейных дискретных систем/ В.И. Денисов, В.М. Чубич// Научный вестник НГТУ/ Новосиб. гос. техн. ун-т, 1995.-№ 1.-С. 17-31.

58. Абденов А.Ж., Авдеенко Т.В., Денисов В.И. Математические методы анализа и планирования экспериментов. Ч. 1. Методическая разработка. -Новосибирск. 1995. - 53 с.

59. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.-534 с.

60. Абденов А. Ж., Денисов В. И, Чубич В. М. Оптимальная идентификация параметров стохастических систем // Электронная техника. Сер. 7. ТОПО. Вып. 3 (172). - 1992. - с. 44-48.

61. Дмитриевский А. А. и др. Внешняя баллистика. М.: Машиностроение, 1991.-639 с.

62. Жданюк Б. Ф. Основы статической обработки траекторных измерений. -М.: Сов. Радио, 1978.-384 с.

63. Смышляева JI. Г., Малинина Т. Б., Должиков В. В. Нестандартные задачи фильтрации. Л.: ЛГУ, 1991. - 303 с.

64. В.И. Тихонов, Б.И. Шахтарин, В.В.Сизых Случайные процессы. Примеры и задачи. В 3-х т. Т. 3. Оптимальная фильтрация, экстраполяция и моделирование. М.: Радио и связь, 2004. - 408 с.

65. Нелинейная теория управления и ее приложения: динамика, управление, оптимизация / Под ред. В.М. Матросова, С.Н. Васильева, А.И. Москаленко. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 352 с.

66. Денисов В.И., Еланцева И.Л., Чубич В.М. Активная идентификация стохастических линейных дискретных систем, описываемых моделями в пространстве состояний и ARMAX моделями/ В.И. Денисов, И.Л.

67. Еланцева, В.М. Чубич// Сиб. журн. индустр. матем. 2000. - №1(5). - С. 87-100.

68. Абденов А.Ж. Планирование входных сигналов с помощью методов оптимального управления. // Сб. науч. тр. НГТУ. Новосибирск: Изд. НГТУ, 1998. -№4(13).-С. 31-47.

69. Степаненко С.В. Методика синтеза многоканальных ПИД-регуляторов для объектов с монотонными переходными характеристиками: Дис. .канд. техн. наук: Спец. 05.13.01 / С.В. Степаненко; Новосиб. гос. техн. ун-т. Новосибирск, 2003. - 149 с.

70. Проников А.С. Основы надежности и долговечности машин. М.: Изд-во Стандартов, 1969. - 160 с.

71. Пружанский Л.Ю. Исследование методов испытаний на изнашивание. -М.: Наука, 1978.-112 с.

72. Хусу А.П., Витенберг Ю.Р., Пальмов В.А. Шероховатость поверхностей (теоретико-вероятностный подход). М.: Наука, 1975.-343 с.

73. Абденов А.Ж., Сазонов М.В. Планирование D-оптимальных входных сигналов для динамических систем на основе процедуры параметризации автокорреляционной функции (АКФ) // Сб. науч. тр. НГТУ. -Новосибирск: Изд. НГТУ, 1997. № 2(7). - С. 15-31.

74. Ломов А.А. Сравнение методов оценивания параметров линейных динамических систем по измерениям коротких участков переходных процессов // Автоматика и телемеханика. 2005. - № 3. - С. 39-47.

75. Дроздов А.Л. Алгоритм идентификации характеристик динамической системы по данным наблюдений // Автоматика и телемеханика. 2000. -№5.-С. 58-66.

76. Абденов А.Ж. Активная идентификация для стохастических динамических систем, описываемых моделями в пространстве состояний: Дис. . д-ра техн. наук: Спец. 05.13.01 / А.Ж.Абденов; Новосиб. гос. техн. ун-т. Новосибирск, 1999. - 377 с.

77. Денисов В.И., Чубич В.М., Черникова О.С. Активная параметрическая идентификация стохастических линейных дискретных систем во временной области/ В.И. Денисов, В.М. Чубич, О.С. Черникова// Сиб. журн. индустр. матем. 2003. - №3(15). - С. 70-87.

78. Петров В.Ю. Новые главы теории управления и компьютерных вычислений. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 192 с.

79. Авдеенко Т.В. Анализ априорной идентифицируемости динамических моделей с использованием условий ранга и порядка // Тр. II Межд. Конф. «Идентификация систем и задачи управления» (SICPRO'03). М., - 2003. -С. 195-214.

80. Исследование методов статистического анализа и планирования экспериментов: Промежут. отчет / НЭТИ, Рук. темы В.И.Денисов. № ГР 01860073911. - Новосибирск, 1988. - На тит. л. исп.: Денисов В.И., Фатеева Г.В.

81. Исследование и сравнение некоторых алгоритмов оценивания параметров для моделей динамических систем: Промежут. отчет / НЭТИ, Рук. темы В.И.Денисов. № ГР 01850015866. - Новосибирск, 1989. - На тит. л. исп.: Денисов В.И., Фатеева Г.В., Цой Е.Б.

82. Развитие программных средств при анализе данных летных исследований ГТД: Промежут. отчет / НЭТИ, Рук. темы В.И.Денисов. № ГР 01850015866. - Новосибирск, 1989. - На тит. л. исп.: Денисов В.И., Фатеева Г.В., Цой Е.Б.

83. Фатеева Г.В. Алгоритмы оценивания параметров при исследовании математических моделей динамических систем/ Г.В. Фатеева// Методы и средства обработки измерительной информации: Тезисы докладов Всесоюзного семинара. Челябинск, 1990.- С.46.

84. Разработка алгоритмического и программного обеспечения для компьютерного моделирования износоустойчивости поверхностей узлов трения: Промежут. отчет / НГТУ, Рук. темы Абденов А.Ж. № ГР 01.9.70 000137. - Новосибирск, 1999. - На тит. л. исп.: Трошина Г.В.

85. Абденов А.Ж., Трошина Г.В. Некоторые критерии, характеризующие эффективность оценок параметров стохастических динамических систем/ А.Ж. Абденов, Г.В. Трошина// Сб. науч. трудов НГТУ/ Новосиб. гос. техн. ун-т, 1999. № 3(16). - С. 3-10.

86. Investigation of active identification algorithm for linear dynamic systems onbase of observation matrix structure design/ A.Zh. Abdenov, G.V. Troshina//th

87. Абденов А.Ж., Трошина Г.В. Прогнозирование кредитных вложений с использованием аппарата фильтра Калмана/ А.Ж. Абденов, Г.В.

88. Трошина// Математические методы и информационные технологии в экономике: Сборник материалов V Международной научно-технической конференции. Ч. 1. Пенза: ПДЗ, 2000. - С. 39-42.

89. Абденов А.Ж., Снисаренко А.В., Трошина Г.В. Описание динамических процессов с помощью кусочно-дифференциальной модели/ А.Ж. Абденов, А.В.Снисаренко, Г.В. Трошина// Сб. науч. трудов НГТУ/ Новосиб. гос. техн. ун-т, 2002. № 1(27). - С. 3-12.

90. Абденов А.Ж., Озерных И.JL, Трошина Г.В. К проблеме повышения информативности измерений для процессов теплопереноса в бортовых технологических установках/ А.Ж. Абденов, И.Л. Озерных, Г.В.

91. Трошина// Сб. науч. трудов НГТУ/ Новосиб. гос. техн. ун-т, 2002. № 4(30).-С. 17-30.

92. Абденов А.Ж., Трошина Г.В. Исследование линейного износа детали с помощью модели в форме пространства состояния распределенного типа/ А.Ж. Абденов, Г.В. Трошина// Сб. науч. трудов НГТУ/ Новосиб. гос. техн. ун-т, 2002. № 2(28). - С. 55-64.

93. Трошина Г.В. Поиск D-оптимального плана для дискретных объектов с неизвестными параметрами/ Г.В. Трошина// Составляющие научно-технического прогресса: Материалы 2-ой Международной конференции. Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2006.- С. 145-150.

94. Воевода А.А., Трошина Г.В. Оценка погрешности восстановления вектора состояния при неточно заданных параметрах объекта/ А.А. Воевода, Г.В. Трошина// Сб. науч. трудов НГТУ/ Новосиб. гос. техн. ун-т, 2005.-№4(42).-С. 165-168.

95. Воевода А.А., Трошина Г.В. Оценивание параметров моделей динамики и наблюдения для линейных стационарных дискретных систем с использованием информационной матрицы Фишера// Научный вестник НГТУ/ Новосиб. гос. техн. ун-т, 2006. № 3(24). - С. 199-200.

96. Воевода А.А., Трошина 'Г.В. Вычисление информационной матрицы Фишера для линейных стационарных дискретных систем в установившемся режиме/ А.А. Воевода, Г.В. Трошина// Сб. науч. трудов НГТУ/ Новосиб. гос. техн. ун-т, 2006. № 1(43). - С. 3-8.

97. Блюмин C.JL, Погодаев А.К. Рекуррентно-итерационные алгоритмы адаптивной идентификации нелинейных динамических сосредоточенных систем// Автоматика и телемеханика, 2003. № 10. - С. 80-86.

98. Корсун О.Н. Алгоритм идентификации динамических систем с функционалом в частотной области // Автоматика и телемеханика. 2003. -№5.-С. 111-121.

99. Бунич A.JI. Идентификация дискретных линейных объектов с большим отклонением сигнал/шум // Автоматика и телемеханика. 2001. - № 3. -С. 53-64.

100. Гаджиев Ч.М. Проверка адекватности математической модели многомерной динамической системы на основе спектральной нормы матрицы невязок // Автоматика и телемеханика. 2005. - № 9. - С. 54-67.

101. Параев Ю.И., Перепелкин Е.А. Линейные матричные уравнения в задачах анализа и синтеза многосвязных динамических систем. Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2000.- 117 с.

102. Мильвидский М.Г., Верезуб Н.А., Картавых А.В. и др. Выращивание монокристаллов полупроводников в космосе: результаты, проблемы, перспективы // Кристаллография. 1997. - Т. 42. - № 5. - С. 913-923.