автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Адаптивный нодальный метод решения уравнения переноса излучения в двумерных задачах радиационной защиты

* МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

)

На правах рукописи

ШВЕЦОВ Алексей Владимирович

АДАПТИВНЫЙ НОДАЛЬ! ЫИ МЕТОД РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ В ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧАХ РАДИАЦИОННОЙ ЗАЩИТЫ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Автор:

Ми^е^Л

Москва 1991 г.

Робота выполнена в Московском Ордена Трудового Красного Знамени инженерно-физическом институте и Ордена Ленина Институте прикладной математики им. М.В.Келдыша Академии Наук СССР

Научные руководители

-доктор физико-математических наук, профессор Т.А.Гсрмогенова

-кандидат технических наук, доцент В.К.Сахаров Официальные оппоненты -

-доктор Физико-математических наук, профессор Р.П.^оДоренко

-ка!Ш1Дат технических наук, с.н.с. В.В.ШаховскиП Ведущая организацил - Физико-энергетический институт, г.Обнинск

Зощито состоится "^Г" ¿^¿а^рУ 1992 г. в /,£Гчас£)<£>.»ш. на заседании специализированного совета Д-053.03.08 в Московском инженерно-физическом институте по адресу: 115409, Москва, Каширское шоссе, дом 31, тел.324-86-67/ ;

Просим принять участие в роботе совета или прислать отзыв в одном .экземпляре, заверенный лечатью организации.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке №И,

Автореферат разослан "/2" ^ЧбСУЦр-Р 1991

г.

Ученый секретарь

специализированного совета А.С.Леонов

- г -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Развитие ядерной энергетики, применение и '• использование з различных областях народного хозяйства источников ионизирующих излучений, о также все большее внимание к проблемам безопасности и охраны окружающей среда требуют дальнейшего совершенствования и развития методов решения уравнений переноса излучений. . .

Масштабы развития ядерной энергетики можно охарактеризовать следующими примерами: в СССР вклад ядерной энергетики в общий топливно-энергетический баланс составляет 12К, во Франции ядерная энергетика дает 70" энергии по отношению ко всем другим источником энергии, в США - 20%.

Авария на Чернобыльской АЭС в какой-то мере подорвала доверие к ядерной энергетике и временно снизила темпы ввода в строй новых мощностей АЗС. Возникла необходимость в принятии дополнительных мер по повышению безопасности АЭС, что в свою .очередь вызывает необходимость совершенствования.методов расчета противорадиационной защиты. Большую практическую значимость имеет также знагае радиационной обстановки в отдельных узлах ЯЭУ в процессе эксплуатации и при проведении ремонтных и аварийных работ.

Один из центральных и сложных вопросов создания радиационной защиты - ее расчет. Сложность расчетов радиационной защиты обусловлена, в первую очередь сложной структурой пространственно-угловой и энергетической зависимости коэффициентов уравнения переноса, и, соответственно сложной структурой решетя. Определенные трудности вызывают также большие оптические размеры расчетной области, что приводит к проблеме глубокого про'шкневения излучения (в полномасштабной защите реактора потоки должны быть ослаблены в 10|2-10м раз).

Среди методов решения уравнения переноса излучений в задачах радиационной защиты в настоящее время наибольшее распространение и признание получили метод дискретных ординат (МДО) и метод Монте-Карло с его многочисленными модификациями.

В методах дискретных ординат, которые являются сеточными методами решения уравнения переноса," угловой интеграл заменяется

квадратурной суммой. В основу второго шаго аппроксимации -дискретизации по пространственным переменным полагается либо интегральная форма уравнения переноса и на этом пути были предложены различные формы метода характеристик, либо соотношения баланса в ячейках разностной сети, что привело к развитию б -методов.

п

В дальнейшем большее распространение получили зп-схемы, в которых искомыми величинами являются средние значения потока по ячейкам и граням ячеек. Исходной в них является дивергентная форма уравнения переноса. Численное решение уравнений зп-метода -трудоемкая задача, особенно в задачах со сложной геометрией.

Другой путь - это прямое моделирование - метод Монте-Карло. В применении к решению задач переноса нейтронов или фотонов . сущность метода Монте-Карло состоит в том, что сложный стохастический процесс прохождения частиц в веществе рассматривается как последовательность коночного числи элементарных случайных событий.

Для радиационной защиты обычно характерны задачи с глубоким проникновением излучения, задачи определения дифференциальных характеристик поля излучения. В этих случаях метод дискретных ординат оказывается более эффективным, чем метод Монте-Карло, особенно в одно-, двумерных геометриях.

Однако, уже в двумерных случаях Бп-схемы требуют задания большого числа точек разностной сетки (-104), и поэтому двумерные программы метода дискретных ординат предусматривают поэтапный расчет (по частям) больших массивов защитных композиций (протяженностью несколько метров) с постановкой соответствующих граничных условий. Такие расчеты трудоемки и не всегда обеспечивают достаточную точность решения.

Существенный прогресс в численных методах решения уравнения переноса для многомерных геометрий начался с разработкой нодальных схем. Исходными положениями при построении нодальных схем являются:использование некоторой системы Функций, по которой разлагается решение в разностной ячейке, вовлечение в расчет наряду с нулевыми моментов более высокого порядка, использование точных интегральных соотношений для ячейки. Нодальные схемы, как правило являясь схемами более высокого порядка точности, чем б -схемы, позволяют получать решение с заданной точностью на более редких разностных сетках. Зто позволяет существенно

уменьшить объем вычислительной работы и размеры необходимой памяти ЭВМ. Использование нодальных схем существенно уменьшает время расчета в двумерных геометриях (по имеющимся в литературе данным в 10 и более раз) и делает реальным создание эффективных трехмерных программ.

Существенным недостатком при расчетах по модальным схемам является появление отрицательных потоков и грубых ощибок в аппроксимации решения на редких' разностных сетках при сильных изменениях решения, особенно в гетерогенных средах. Это затрудняет практическое использование нодальных схем для решения уравнения переноса в реальных защитных композициях.

Поэтому в Настоящее время актуальной является разработка положительных^ 'устойчивых и арифметически простых нодальных алгоритмов, допускающих эффективное обобщение на практически важные случаи многомерных криволинейных геометрий. .

Отмеченное выше определяет актуальность и практическу»значимость выбранной темы диссертационного исследования.

Цель диссертационной работа заключается в

1) разработке и исследовании нелинейных алгоритмов коррекции для вз»£шенных нодальных схем, позволяющих получать положительное решение, устраняющих грубые ошибки аппроксимации на редких разностных сетках и допускающих простое и эффективное обобщение на случаи многомерных криволинейных геометрий;

2) построении алгоритма коррекции для нодальных схем в случае практически важной криволинейной (г,г)-геометрии и Фурье-анализ развитых алгоритмов в (х,у)-геометрии.

3) обосновании эффективности нодальных схем в двумерных геометриях по сравнению с г^-схемами.

4) реализации развитых алгоритмов в виде программы, допускающей решение многогруппового уравнения переноса нейтронов и фотонов от различных источников в двумерных (х,у) и (г,г)- геометриях для широкого класса ЭВМ.

5) аппробации развитого аппарата на примере расчетов переноса нейтронов и фотонов в реальных физических установках и сравнение результатов расчетов с Эп-методом и методом Мойте-Карло.

Научная новизна работы определяется тем, что в ней впервые: I) построен адаптивный алгоритм коррекции для нодальной ш-схемы 4-ого порядка точности (лшл-киэ-схема), которая позволяет

- 5 -

получать положительное решение, устраняет грубые ошибки аппроксимации и допускает простое обобщение но случаи многомерных криволинейных геометрий;

2) с помощью Фурье-анализа получены условия устойчивости нодальных схем в (х,у)-геометрии. Показано, что wui-WLD-схека явлется устойчивой в (х,у)-геометрии в практически используемом диапазоне разностных сеток и в меньшой степени подвержено осцилляциям, чем Бп-схема;

3) построен адаптивный алгоритм коррекции для ш-схемы в криволинейной (г,г)-геометрии;

4) разработана программа КАСКАД-I, которая позволяет решать основное и сопряженное многогрупповое уравнение переноса нейтронов и фотонов в (х,у>- и (г,z)-геометриях с использованиям нодальных схем на грубых разностных сетках;

5) проведаны многогрупповые расчеты переноса нейтронов и Фотонов ь реальных физических установках с использованием нодальных схем. Показана эффективность разработанной методики по сравнению с s -методом.

п

Достоверность и обоснованность развитых методов, алгоритмов и программ, а также основных научных, положений и выводов настоящей диссертационной работы установлены при их практической реализации, а также обоснованы сравнением с опубликованными данными базовых экспериментов и результатами расчетов по другим хорошо тестированным и известным программам.

Практическая значимость. Разработанный и реализованный в программе КАСКАД-I для двумерных геометрий адаптивный нодельный метод (AWLM-WLD-cxeMO) может быть эффективно использован для решения широкого круга практических задач радиационной защиты, а также других задач, связанных с прохождением нейтронов и фотонов через вещество. Использование адаптивной нодальной схемы позволяет решать задачи с глубоким проникновением излучения, которые не могут быть эффективно решены с использованием s^-схем. Программа КАСКАД-I написана на алгоритмическом языке f'ORTRAN-77. и поэтому может широко использоваться в научных исследованиях на различных ЭВМ (ЕС, IBM PC, VAX).

На зощиту выносятся следующие основные положения; I. Адаптивный положительный нодальный метод, решения уравнения

- б -

переноса в одномерных и двумерных геометриях с глубоким проникновением излучения, допускающий простое и эффективное обобщение но криволинейные геометрии.

2. Фурьо-анализ ¡гадальных схем с нулевыми и первыми пространственными моментами в (х,у)-геометрии.

3. Программа КЛСКАД-1 для решения основного и сопряженного уравнения переноса нейтронов и фотонов в двумерных геометриях с использованием иодальных схем для различных типов источников.

4. Результаты расчетов полей нейтронов и фотонов в двумерных моделях физических установок с высокоэнергетическими источниками нейтронов и их анализ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, включающего 80 наименований. Общий объем диссертации, включая 19 рисунков и 15 таблиц, составляет 151 страницу.

Содержание работы

Во введении рассмотрены основные методы расчета радиационной защиты - метод дискретных ординат и метод Монте-Карло, обоснована актулыгасть выбранной темы исследования.

В главе I, на основе анализа имеющейся в литературе информации по нодальным схемам сформулированы основные направления исследований настоящей - работы. Рассмотрено

классификация нодальных схем, более подробно рассмотрены подальше схемы для уравнения переноса в приближении дискретных ординат. Среди нодальных схем особо рассмотрена предложенная А.м.волсщенко ьм-схема (Linear Moments) 4-ого порядка точности и связанное С ней семейство WLM-WLD-CXOM (Weighted Linear Moments-Weighted Linear Discontinuous) 2-4-ОГО ПОряДКО ТОЧНОСТИ. Простота, универсальность (в смысле обобщения на многомерные криволинейные геометрии), высокий порядок аппроксимации семейства WLM-wLD-cxeM объясняют тот факт, что именно оно явилось предметом исследования настоящей работы.

Поскольку по каждой из переменных в многомерных геметриях в случае использования WLM-WLD-схен, используется то же дополнительное уравнение, что и в плоскопараллельной геометрии,

рассмотрим этот кшочевоа случай.

Уравнение переноса в плоскопараллельной геометрии в приближении дискретных ординат имеет вид:

ФМх)

Ц-—- + <г(х) 1» (х) - Э (х) , т-1,2,... ,М . (I)

йх

Здесь Фт(х) - искомые функции; <т(х) - полное сечение; правая часть уравнения б^х) включает интеграл рассеяния и другие слагаемые в зависимости от задачи; ив=созев=(ЙвЙх) - узлы квадратурной формулы на [-1,1]; м - порядок угловой квадратуры, используемой для аппроксимации интеграла рассеяния. К уравнению (I) следует добавить краевые условия на границах области х=хо, х»хн. Целые индексы далее, по возможности, будут опускаться.

Введем разностную сеть по х, устроенную следующим образом:

' 1и1»а.....I . х1/г= V х,.1/2- х„ .

х. _ (Х|.»/а~ х,-1/а>'2 » Ах /а-'х.-1/а •

ьм-схема для уравнения переноса в приближении дискретных ординат и связанное с ней семейство взвешенных схем (шл-иглэ-схем) получается при использовании совместно с уравнениями баланса нулевого и первого порядка для разностной ячейки [х ^^.х ]:

1 г) + v»*0' - , (2)

£ <*ч г - V0') ♦ .

I »я/а. »1<0

" I ♦ 1 /а "ю/г

р(х) р1к(х)ах. в'1'- |&{х} р1Ь(х)ах . к.о,1,

*1-»/г ж|->/г

Р,о<х> " 1 » ° Тх(х"х11 • следующего дополнительного уравнения:

(а-^^40* + (0+Р)е1>и,+ рф~, (3)

где весовые параметры р и о меняются в пределах:

. о 3 p s 1 , q-l или р-0 , о s.q s 1 . (4)

Случай p=q=1 соответствует LM-СХене (Linear Moments), при 0*Р<1, q=i получаем WLH-схеыу (Weighted Linear Moments), имеющую 3-ий порядок точности. При р=о , q=i wLM-cxeMa переходит в LD-схему (Linear Discontinuous). WLD-СХемо (Weighted Linear Discontinuous) получается при p=o, osq<i. При o<q<i она имеет 2-ой порядок точности. При р-о, osQsi/з WLD-схбмо положительна и монотонна (хотя и в несколько более слабом смысле, чем это понимается для s -схем). Случай р=о, <2=1/з соответствует эм-схеме (step Moments). При p=q=o получается шаговая схема.

Как показывает теоретический анализ , ьм-схема не является положительной и монотонной. В гетерогенных задачах на редких разностных сетках при сильно меняющихся решениях это может приводить к появлению отрицательных потоков и грубых ошибок а аппроксимации решения, которые, в силу балансности схемы, распространяются дальше в виде осцилляций. Таким образом, в практических расчетах LM-схема, вообще говоря, нуждается во введении нелинейного элемента - коррекции (хотя и при более сильных изменениях решения, • чем это делается для dd—схемы}. Обычно для коррекции используется пересчет ячейки по более грубым по точности, но положительным взвешенным схемам, .

Глава ti посвящена исследованию условий положительности семейства WLM-WLD-схеы для случая плоскопараллельной геометрии. Здесь предлагается адаптивный алгоритм коррекции для ш-схемы (AwtJi-WLD-схема), допускающий простое и эффективное обобщение на случаи многомерных криволинейных геометрий.:

Положительность схем с, нулевым и первым пространственным моментами понимается в следующем смысле. При неотрицательном входящем в ячейку потоке Ф'гО и "неотрицательном" источнике*: s,0>eO, I s"11 s зз'01 должна обеспечиваться "неотрицательность" решения :

*/ если £(х)гО и моменты £<01. £'" существуют, ТО о, ■ |£'11|з з£Обратное, вообще говоря, неверно.

#*«= О , tf10'* О , I^* * *|а з^10' . (5)

Путем уменьшения весов р и q (и, соответственно, понижения порядка аппроксимации) можно обеспечить выполнение условий

(5), за исключением, быть может, условия sV/n)=3010', которое соблюдется при h-x». Заметим, что при неотрицательных исходных данных, h*0 и всех допустимых р и q выполняется условие (/»<0>*o¡ условие si&u>* выполняется при р=о, osqü; условие

при р=о, osqíi/з, Веса р и q можно было бы выбирать в зависимости от оптической толщины ячейки h. Однако, такой путь может привести к неоправдонному умейьшегаш точности расчета, особенно для рассеивающих сред, или ухудшить сходимость итерационного процесса по интегралу столкновений.

В Адаптивной WLM-WLD-схемо (awlmrwld-cxeMe) веса р и q предлагается выбирать в зависимости от эффективных параметров, определяющих степень изменешш решения в ячейке. awm-wld-схема является обобщением но случай разностных схем з-4-ого порядка ТОЧНОСТИ АДОПТИВНОЙ WDD-Схемы (AWDD-Схемы).

Запишем дополнительное уравнение (3) . для WLM-WLD-схеш в

виде:

• ílj -.1- cu,- риг . (б)

гдо:

"« ^TSÍ ex/* ' "г. ^<0. . вхг/ф '

При положительных начальных данных и всех допустимых значениях р и q величина <!>>0)*о, (в адаптивном алгоритме рассматривается только случай <р <0)>о). Следовательно, используя

(6), (7), условия положительности для WLM-WLD-схеш можно записать в виде:

QUi+ РОг а 1 ' IUjIS 3 -Рассчитав параметры Uj и иг по LM-схеме, можно определить, положительно ли схема в ячейке. Если схема не положительна, то зноя зависимости ujíp.q) и ua(p,q), можно определить веса р и Q, при которых схема будет положительной.

Для параметра и(p.Q) при <2=1 можно получить оценку:

|U2(P.1)| * ilpi^l s 2I°2H1 • (9)

где и^н=иг(х,1). Для величины и to,Q) имеем:

3UL0

о (0,Q) s -í——- s3, (10)

' (l-Q)U^+ 3Q

где u^^Uj (0,1)го. Справедливо следующая

Теорема i. Если (Г*о и s'0,e о. |s'"| * 3s'°', то для р=о, q=i при и для' р=0, 0 í q i и^У(-ш^-з) при i/D>i

выполнены условия ф'^о, -sifi'1'* зф'°'.

Доказательство этой теоремы следует, из выражения (б) и оценки (10).

Результаты приведенной выше теоремы и оценка (9) позволяют построить адаптивный алгоритм выбора весов Р и Q, который обеспечивает выполнение- условий положительности схемы (за исключением, кок отмечалось выше, условия г^"'^'0') и устрсняот грубые ошибки аппроксимации на редких разностных сотках при сильных изменениях решения. Важным достоинством адаптивного алгоритма коррекции является то, что такой подход практически не ухудшает сходимости итерационного процесса по интегралу столкновешШ и допускает простое и эффективное обобщение на случаи многомерных криволинейных геометрий.

В главе их рассматривается семейство wlh-wld-схем в двумерных (х,у) и (г,z)-геометриях. Структура задач с (х,у)-геометрией проще, чем для задач с криволинейшми геометриями, для них удается провести теоретический анализ устойчивости, на них же опробнруются новые методы решения неодномерных задач о переносе излучения. На примере задач с (г,z)-геометрией рассмотрены условия положительности, постоенио адаптивного алгоритма коррекции.

Уравнение переноса в приближении дискретных ординат в (х,у)-геоме'трии записывается в виде:

вф вф

аТ + Ч. af- + «Мх.У) - s.(x,y) , (II)

га=1,2,...,М ,

У

« S/2

,•111

ч> ,ч>

у у

Рис.1. Разностная ячейка в (х,у)-геометрии.

Интегрируя уравнение переноса в приближении дискретных ординат (II) по {к,1>-той ячейке (îsksK, îslaL) [рис.1], с весами 1, (x-xk), (у-у() ' и добавляя к трем уравнениям баланса нулевого и первого порядка для ячейки (рассматривается случай ç^O, чв*0)-четыре дополнительных уравнения:

(12)

..>♦„ 1»+ (..О,

ж 1

получим семейство WLH-WLD-схем.

Здесь 0

(1.0)

,10.11

нулевой и

первые

пространственные моменты по переменным х и V, ,» -

нулевой и первый пространственные моменты по х(у) - граням ячейки. Важно, что система уравнений, построенная таким образом, может быть использована в других геоцетриях.

Весе р ,0 ,1^,1-1,2 изменяются в следующих пределах:

оар^г, в »1 шв р(-о, 0*0^1, |к( |аз(<г1+Р1), (13)

Случай р =р =о =ог«1 соответствует ьм-схеме при р1=р.=о, 01=дг=1 получаем Ы)-схему. При расчетах по ьм- и ьо-схемам полагается ^=0, к=ТГа т.е. используются шаговые дополнительные уравнения для первых пространственных моментов. Области изменения весов к=Т72 получены из требований положительности разностной схемы.

Для исследования устойчивости схемы (12) воспользуемся дискретным преобразованием Фурье решения по к при 5(х,у)=о:

I -1 /г

I 2П )к

гУ к,111/2

£Аь.±./ав 1

(16)

к

г

I ггр>

у У

'».'т/г " ]ГВы + >/ге ^ ' и рассмотрим матрицу V:

I "г*'

связывающую амплитуды 1-тых гармоник нулевого и первого момента на слоях 1-1/2 и 1+1/2 (далее индекс } опускаем):

(15)

( „ у ( А'"'г1

(16)

Справедлива следующая

Теорема 2. Схема (12) будет устойчивой, если собственна числа матрицы V (15) удовлетворяют условию пах(|х1|,|л а при

|х |-г матрица V должна быть самосопряженной.

Доказательство. Необходимым и достаточным условием устойчивости схемы (12) является условие:

• иш I IV"! | я С , (12)

где константа с не зависит от шагов сетки. Матрица V в общем случае не является самосопряженной и поэтому может быть приведена к треугольному виду:

(1' '}

(18)

где л1( \2, а - вообще говоря, комплексные числа. Рассмотрим элементы матрицы:

[19)

V =

/ » п•1 , .и•2. . .

а(Л1 +>ч Аг + ...+А)А2 +Л2 )

{V V 1

11 ,г I - И

Видно, что в условиях теоремы 2:

= а.

5 1 ,

3 1 ,

(20)

Для оценки элемента « рассмотрим следующие случаи (положим, для определенности

а) 1*21<1\131 - Ч'*-г/\ ' 1д1<:1 '

«л^(х + ч + чг + ... + ча) = «л?"1-^ ' (21>

<5) 1\М*гИ . \=*2 ' «а1- ! (22)

в) . . (23)

^г1=а1х1|Г",<е(П"П"'+е'П"г"'>0"1?>+---+ е'?>е"">'г,1''+с"(П"1,">) '

Из '(21)-(23) следует ограниченность элемента в условиях

теоремы 2.

Таким образом, при выполнении условий тооремы все элементы матрицы Vя будут ограничены. Из ограниченности элементов матрицы

V" следует ограниченность нормы при любых п=1,2,з----- а,

следовательно, и ограниченность нормы 11V" 11 при п-к». Теорема доказана.

Для семейства юл-шл-схем показано, что. собственные числа х, и Аг удовлетворяют условиям теоремы 2 в практически используемом диапазоне разностных сеток.

В криволинейных геомериях уравнение переноса содержит производные по угловым переменным, что существенно усложняет его решение. Не все методы, развитые для плоскопараллельной и (х,у)-геометрий допускают простое и эффективное обобщение на криволинейные геометрии. Одно из основных достоинств семейства яш-иьо-схем вместе с адаптивным алгоритмом коррекций - это возможность простого и эффективного обобщения на практически важные случаи многомерных криволинейных геометриий.

Центральным звеном, определяющим возможность построения универсального алгоритма на базе ииышэ-схемы (так же, как и на базе Б^-схемы), является предположение о допустимости использования дополнительного уравнения одного типа по разным переменным и в различных геометриях. Такое предположение соответствует пренебрежению локальными изменениями кривизны в пределах ячейки по сравнению с глобальными изменениями этой величины в пределых всей области. • Как показывает численный эксперимент, это предположение является приемлемым для большинства ячеек и в случае ыш-ныэ-схем.

-и -

Семейство нш-иглэ-схем в (г, г)-геометрии получается при использовании с тремя балансными уравнениями семи дополнительных уравнений:

0> (1-Р,) 01О,О'+ (О, +Р1) '' ,0)+ Р,0; .

(24)

0*° (1-рг) 0,о,о)+ (ог+ра)в^,в,"+ р20; ,

0,О'П+ И 8 в 0«,'°\ 0,,'°> + КззГ'",

г 1 х г г 2 г г '

0 = (1 + Р )0(О,О>- Р 0

«.1/2 з,у э • -1 /г'

,11,01 ,11,0). _ ..<0,01 . .

0 » 0 + Л В (0 ' -0 ),

«ч/г з г * »-1/г' '

.{0.1) 1.10. п. ^ ,.(0.0) , .

0 = 0 + Я Э (0 -0 ).

»•1/2 * «у»-1/г'

Первые четыре уравнения совпадают с уравнениями для (х,у)-геометрии, по угловой переменной используется уравнение .•^-метода н два специальных уравнения для моментов на угловых гранях ячейки. Здесь: озр з1, |лк|азР3.

Для схем с нулевыми и первыми пространственными моментами в двумерной геометрии положительность понимается в следующем смысле. Если входящие в ячейку потоки "положительны":

0 • 30; . 30; , (25)

0 ь О. |0"'О)|« 30 . |0<о,,'|з 30 ,

и источники в ячейке "положительны":

з,0-0,Ео,.1з,,-0)|5 33<00',(5<01,Н 33(0-0>. (26)

то решение должно удовлетворять условиям:

0» о, |0;т1а 30;. |0;(,)|* 30;, (27)

0 ь 0 . ¡0П,О)|а 30 . |0<О,,,|3 30 ■ ♦ 1 /2 * I / 2 ' « ♦ 1/2 ' •'■♦«/а1 • ♦ 1 / 2 ,

0,О-О,*о . |0(1>О)Н З0,о'°\ 10<о>,,|* 30(0-01. ш- и ьгмгхемы не являются положительными в смысле (25)-(27) и поэтому для практических расчетов нуждаются в коррекции. Предлагаемый алгоритм коррекции - обобщение диш-кыз-схемы, развитой для плоскспароллельноЯ геометрии, на случай двумерной (г,г)-геометрии.

Используя дополнительные уравнения (24), условия положительности (27) ысжно переписать в виде:

ГДв:

1-0,0,," Р,игг- О ,

0 /0

(0,0)

1 " Рэи* » 0

(28)

•<"1 /V0-0' ■

(О.О)

к

к

к»и„1 3 з0;/0,о'о,(

* кл1 5 **

( О , О )

л"-0'

-__II , и

,(0,01 0г г ' г

.(0,0)

,(1.0)

а ^

(0,1)

■ - Я* . О (о.о) 8г * ' а

(О.О)

- 24 ,

аг

„г

- ^4/0 .

Ог

0 - 0

- 2*

(0,0) др г

(29)

В лиш-шл-схеме для (г,г)-геометрии веса р,1=1,2,3,." О ,3-1,2, Кк,к=1,4 определяются в зависимости от значений эффективных параметров и,г»игг»ии.иг1«иу» определяющих степень изменения решения в ячейке.

Приведем данные численного эксперимента по сравнению точности ьо-, ьм- и Аыьм-кьо-схем с лыоо-схемой (одгаш из наиболее эффективных вариантов Бп-метода). Рассматривалась следующая одногрупповая модельная задача в (х,у)-геометрии.

На рис.2 г, Р2 - внутренние изотропные источники, рассеяние

и

11

2 . О « . S

вакуум I.о

О . S

о.

отсутствует. I (Дх=2|_псм,

гг=0

' X, см вакуум

• V • • *. ' *

. • ; вакуум

:: :: • :

I . 2 .

вакуум

4. у, см

Рис.2. Геометрия модельной задачи.

Задача решалась Ду=2"псм), n=T7i

с квадратурой

при

=2см

S

2 - 1

на

<т =4см 2

сетке -1

f( = 1cm

В качестве "точного" принято решение, полученное на сетке I по ьм-схеме. На рис.3 приведена относительная ошибка в расчете полного числа частиц в системе £ *1(0^0)Дх1Дук для

данной задачи:

Е ' ДХ( " (X, У) ахау

5 »

«и»

J* (x,y)dxdy

в зависимости от шага пространственой сетки Дх. Видно, что awlm-wld-схема не ухудшает порядок сходимости величины полного числа частиц в системе на мелких сетках и повышает точность расчетов на грубых сетках по сравнению с ш-схемой.

В •главе iv описаны алгоритмы решения многогруппового уравнения переноса с использованием нодальных схем, которые реализованы в программе КАСКАД-I. Возможности, предусмотренные з программе КАСКАД-I (расчет угловых квадратур, свертка ядерных констант, возможность решения сопряженной задачи, привязка к различным библиотекам ядерных сечений, различные источники и краевые условия), а также доступность на различных ЭВМ (ЕС, ibm рсит.д.), делвют возможным использование программы для решения широкого круга задач о переносе нейтронов и фотонов в двумерных композициях.

Основной разностной схемой, реализованной в программе

Рис.3. Относительная ошибка при решении одногрупповой

модельной задачи в (х,у)-геометрии в зависимости от шага разностной сетки Дх.

КАСКАД-I, является нодальная Аиьм-шлэ-схема, при использовании которой при одинаковой точности расчетов требуется в 5-10 раз меньше времени работы процессора и памяти ЭВМ по сравнению с Бп-схемами. Особенно эффективным будет использование программы в задачах с глубоким проникновением излучения.

Для уменьшения лучевых эффектов в программе КАСКАД-1 разработан эффективный алгоритм выделения нерассеянного излучения для точечного источника но оси г в (г,г¡-геометрии. Описанный алгоритм достаточно прост, легко реализуется в программе и может быть эффективно использован при решении практических задач.

Глава у посвящена обоснованию работоспособности программы КЛСКАД-1 но примерах расчета полей нейтронов и вторичных фотонов в двумерных моделях реальных физических установок с высокоэнергетическими источниками нейтронов. •

Первая установке представляет собой модель защиты термоядерного реактора с генератором п-т-нейтронов с энергией »14МэВ (рис.4). Рассчитанные энергетические спектры нейтронов и вторичного фотонного излучения сравнивались с экспериментальным данными, полученными в Окридаской национальной лаборатории (США).

Рис. 4. Схема эксперименальной установки, используемая в двумерном расчете: I- о-т-источник, г=57; 2- кожух источника (Ге); 3- бетон; 4- защита от тепловых нейтронов (ге); 5- детекторы; б- борированный полиэтилен; 7- нержавеющая сталь

сХ

е 1

>7 а

СО т

51 . <*Е Ю-5 о

10

,-ю

& 12 Ен,МэВ

»6

20

Рис.5. Энергетические спектры нейтронов при расположении детектора на оси г на расстоянии 154.5 от источника в зависимости от композиции из нержавеющей стали и борированного полиэтилена:! - <1=0; 2 - <1=40.64 см; 3 -

<1=55.88 см. /—- эксперимент —I_ - расчет

по Аиьм-ньо-схеме; х х * - расчет по Алоэ-схеме. Раздвоение спектров характеризует коридор статистических неопределенностей.

Для расчета полей нейтронов и фотонов по программе КАСКАД-1 использовались 46-групповые нейтронные и 20-групповые фотонные сечения с учетом анизотропии рассеяния в гз-приближении, полученные сверткой 100-групповой по энергии нейтронов и 20-групповой по энергии фотонов библиотеки Еикив-4 из предварительных расчетов в одномерной геометрии.

В расчете использовалось 16 радиальных и 23 аксиальных пространственшх интервалов. Сравнение экспериментальных и расчетных даншх (рис.5) показывает, что результаты расчета по нодальной лшл-кьо-схеме удовлетворительно согласуются с экспериментом, а расчет .ч^-методом (лыоо-схема) отличается от экспериментальных данных, если между источником и детектором помещаются исследуемые пластины (например, отличие для нейтронов достигает 2 раз).

Следует отметить, что на сетке 42-02 лиоо-схема дает тот же результат, что и лиьм-ьнлэ-схема на сетке 16x23, но требует примерно в 4 раза больше арифметических операции и памяти ЭВМ.

Вторая исследуемая установка представляет собой исследовательскую установку типа ТОКАМАК. Результаты расчета полей нейтронов и фотонов здесь были использованы для оценки радиационной обстановки в экпериментальном зале и возможностей диагностики плазмы. Спектры, рассчитанные по программе КАСКАД-1, согласуются с данными, полученными методом Монте-Карло, но требуют существенно меньшего объема вычислительной работы.

Основные результаты выполненного исследования могут быть кратко сформулированы следующим образом:

1. Построен адаптивный алгоритм коррекции для нодальной ш-схэмы, который в качестве параметров коррекции использует дифференциальные характеристики решения. Адаптивный алгоритм коррекции позволяет получать положительное решение, устраняет грубые ошибки аппроксимации на редких разностных сетках при сильных изменениях решения и допускает простое и эффективное обобщение на случаи многомерных криволинейных геометрий.

2. С помощью Фурье-анализа получены условия устойчивости нодальных схем в (х,у)-геометрии и показано, что иьм-ииэ-схема удовлетворяет условиям устойчивости в практически используемом

диапазоне разностных сеток. Из результатов Фурье-анализа также следует, что WLM-WLD-cxeMa в меньшей степени подвержена осцилляциям, чем Бп-схема.

3. Проведено обобщение адаптивного алгоритма коррекции на практически важный случай криволинейной (г, ¡о-геометрии. Но примерах решения одногрупповых задач покована эффективность разработанной методики по сравнению с s^-су.еыамн.

4. Создано программа КЛСКАД-1 для решения стационарного уравнения переноса нейтронов и фотонов в двумерных (х,у) и (г,z)-геометриях с использованием нодальных схем. Программа КАСКЛД-1 позволяет проводить расчеты переноса излучения от различных источников, включая точечный анизотропный источник на оси z в (г,z)-геометрии. При использовании нодальных схем в задачах глубокого проникновения излучения может быть получен вычислительный выигрыш в 5-10 раз кок в объеме вычислительной работы, ток и в объеме используемой памяти ЭВМ, по сравнению с широко применяешь! в настоящее время s -методом.

5. Работоспособность созданной программы КЛСКЛД-I для расчета полей нейтронов и фотонов в двумерных геометриях подтверждено сравнениями расчетных данных с

- данными базового эксперимента по прохождению нейтронов с энергией sI4 МэВ через слои из нержавеющей стали и борировонного полиэтилена;

- расчетами методом Монте-Карло полей нейтронов и вторичных фотонов для исследовательской термоядерной установки типа ТОКАМАК.

6. Результаты исследований настоящей работы могут быть использованы для решения широкого круга задач радиационной защиты. В частности, созданная в работе нод диссертацией программа КАСКАД-1 может быть использована для расчета переноса нейтронов и фотонов в двумерных (х,у)- и (г,z)-геометриях, в особенности в задачах глубокого проникновения излучения, где ее использование приводит к' значительному повышению точности и экономии ресурсов ЭВМ.

Аппробация работы и публикации. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Международных коферзнциях по Физике и расчетам ядерных реакторов (Франция, Марсель, 23-26

апреля ISSO г; США, Питсбург., 20 апреля - 2 мая 1991 года), на 5-сй Всесоюзной научной конференции по защите от ионизирующих излучений ядерно-технических установок (г.Протвино, ИФВЭ, 19-21 сентября 1989 года); на Всесоюзных семинарах "Численные метода решения уравнения переноса" (г.Тарту, ИАФА АН ЭССР, 17-21 мая 1988 года, 15-18 мая 1990 года), на научных семинарах Московского инженерно-физического института, Института прикладной математики им.. М.В. Колдаша АН СССР.

Материалы диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Волощенко A.M., Швецов A.B., Адаптивная wlk-wld-cxcmq для уравнения переноса в одномерной и двумерной геометрии. В кн.: Тезисы докладов всесоюзного семинара Численные методы решения уравнения переноса, ИАФА АН ЗССР, Тарту, 17-20мая 1988 г., с.56-59.

2. Волощенко л;м., Швецов A.B., Опит использования нодальных схем для решения стационарного уравнения переноса нейтронов и фотонов в двумерных защитных композициях. В кн.: Тезисы докладов 5-ой Всесюзной научной конференции по защите от ионизирующих излучений ядерно-технических установок, ИФВЭ, Протвино, 19-21 сентября 1989 г., с.26.

3. Волощенко A.M., Шзецов A.B.'КАСКАД-I - программа для решения стационарного уравнения переноса нейтронов и фотонов в двумерных геометриях с использованием нодальных схем. Там зке, с.25.

4. Gerraogenova Т., Voloschenko A., Shwetsov A., Adaptive Positive Nodal Mehtod for the Two-dir.entional Curvilinear Geometries. Procs. Int. Conf. on the Physics of Reactors: Operation, Design and Computation, Marseille,France,April 23-26,1990,vol,2,p.xii-48.

5. Гермогенова Т.А., Волощенко A.M., Швецов A.B., Исследование устойчивости схем 3-4-ого порядка точности для уравнения переноса в (X,У)-геометрии. В кн.: Тезисы докладов Всесоюзного семинара Численные методы решения, уравнения переноса, ИАФА АН ЭССР, Тарту, 15-18 мая 1990, с.33-36. ,.

6. Гусев С.В..Сахаров В.К.,Швецов А.В. Чувствительность функционалов полей нейтронов и вторичных фотонов в одномерной модели защиты ТЯР к сечениям взаимодействия. Вопросы атомной науки и техники, сер. Ядерные константы, 1990, вып.2, с.82-88.

7. Гусев С.В.,Хиркин А.В..Ковальчук В.Д..Рымаренко А.И., Сахаров В.К.,Швецов А.В. Характеристики нейтронных и фотонных полей установки ТСП. Препринт ИАЭ-5047/7,М.,1990.

8. Voloschenko A., Shwetsov A. The KASKAD-1 Two-Dimensional Discrete Ordinates Nodal Transport Code. Procs. Int. Topical Meeting Advances in Mathematics. Computations and Reactor Physics, April 28 - May 2, 1991, Pittsburgh, USA, vol.5, p.30.3 4-1

9. Bass L., Germogenova Т., Petrulevitch A., Dubinin A., Voloschenko A., Shwetsov A. The Mathematical Simulation in Large-scale Problems of Huclear Power Plant Radiation Shielding. Procs. Int. Topical Meeting Advances in Mathematics, Computations and Reactor Physics, April 28 -May 2, 1991, Pittsburgh, USA, vol.2, p.7.4 4-1

10. Волощенко A.M., Швецов А.В. Решение уравнения переноса излучения в защитах реакторов с помощью awlm-wld-cxcmu . В t кн.: Радкад{ионная безопасность и защита АЭС, выпуск 13, М.ЭнергогбАиздат, 1991, с.263-268.

Водписано к печете ¿'А //• 9/ Заказ 2 У/6 Тире* экз.

Типография МИФИ, Москва, Каширское шоссе, 31.