автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Адаптивные положительные аппроксимации и согласованная KP1 схема ускорения итераций для уравнения переноса в задачах радиационной защиты

На правах рукописи УДК 621.039.51.12

Волощенко Андрей Михайлович

АДАПТИВНЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ И СОГЛАСОВАННАЯ КР1 СХЕМА УСКОРЕНИЯ ИТЕРАЦИЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ЗАДАЧАХ РАДИАЦИОННОЙ ЗАЩИТЫ

05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

- 2СЕН2015

005561870

Москва —2015 год

005561870

Работа выполнена в Институте прикладной математики имени М.В. Келдыша Российской академии наук

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, начальник

отделения НИЦ «Курчатовский институт» Ковалишин Алексей Анатольевич доктор технических наук, главный научный сотрудник ОАО «НИКИЭТ» Никитин Анатолий Васильевич доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник ВНИИТФ Гаджиев Ахмед Далгатович

Ведущая организация: ФГУП ГНЦ РФ «Физико-энергетический ин-

ститут»

Защита состоится "8" октября 2015 г. в 11 часов

на заседании диссертационного совета Д 002.024.03 при Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке института и на сайте: http://keIdysh.rU/council/3/D00202403/defence.htm

Автореферат разослан "_"_2015 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук --Корнилина М. А.

Общая характеристика работы

Актуальность работы

В связи ускоренным развитием ядерной энергетики возрастают требования к ее безопасности, и, следовательно, к точности, надежности и оперативности предсказания поведения ядерных энергетических объектов в различных ситуациях.

Методы решения уравнения переноса излучения можно разделить на следующие группы:

• Метод Монте-Карло.

• Прямые детерминистические методы: метод характеристик, S„ метод, метод поверхностных гармоник и др.

• Инженерные методы: как правило, в той или иной форме использующие диффузионный или нодальный диффузионный метод.

Данная диссертация делает крупный шаг в развитии Sn метода. Основные цели диссертационной работы кратко формулируются в следующем виде.

Повышение точности и надежности предсказания характеристик ядерных реакторов путем разработки эффективных разностных схем 2-4-ого порядка точности, согласованных схем ускорения внутренних и внешних итераций, эффективных методов аппроксимации геометрии и источника на сетке задачи. Для достижения поставленной цели автор решил следующие задачи:

1. Разработал положительную адаптивную схему 2-ого порядка точности: AWDD схему (Adaptive Weighted Diamond Differencing) для ID криволинейных, 2D и 3D геометрий, основанную на использовании семейства взвешенных WDD (Weighted Diamond Differencing) схем; положительную адаптивную схему 2-4-ого порядка точности, основанную на использовании семейства взвешенных WLD-WLB/QC (Weighted Linear Discontinuous - Weighted Linear Best/Quadratic Continuous) схем.

2. Разработал согласованную с WDD и WLD-WLB/QC схемами КРХ схему ускорения внутренних и внешних итераций по области термализации нейтронов и по источнику деления при решении подкритической задачи.

3. Разработал алгоритм расчета электронно-фотонного и адронного каскадов в различных приближениях.

4. Разработал оригинальную методику распараллеливания вычислений, основанную на использовании ОрепМР интерфейса и КВА (К. Koch, R. Baker, R. Alcouff) алгоритма.

5. Разработал методику аппроксимации геометрии и источника задачи, основанную на использовании интерфейса между программой, реализующей метод Монте-Карло, и Sn кодами, а также volume fraction

(УБ) метода, поддерживающего локальный баланс масс/источников излучения в системе.

6. Реализовал (совместно с соавторами) разработанные алгоритмы в

комплексе из Ш, 2Б и ЗО 5„ кодов РОЗ-6.6, КАСКАД-С и КАТРИН для решения уравнения переноса нейтрального и заряженного излучения в задачах радиационной защиты. Научная новизна результатов, представленных в диссертации, состоит в следующем.

• Разработаны положительные А\\ТЮ схема для Ш криволинейных, 2Б и ЗО геометрий и адаптивная схема 3-4-ого порядка точности, основанная на использовании семейства взвешенных \VLD-WLBZQC схем.

• Разработана согласованная с и \У1Л}-\УЬВ/<ЗС схемами КЦ схема ускорения внутренних и внешних итераций по области термализации нейтронов и по источнику деления при решении подкритической задачи.

• Разработан алгоритм расчета электронно-фотонного и адронного каскадов в различных приближениях.

• Разработана оригинальная методика распараллеливания вычислений, основанная на использовании ОрепМР интерфейса и КВА алгоритма.

• Разработана методика аппроксимации геометрии и источника задачи, основанная на использовании интерфейса между программой, реализующей метод Монте-Карло, и кодами, а также \Т метода, поддерживающего локальный баланс масс/источников излучения в системе.

• Реализованы (совместно с соавторами) разработанные алгоритмы в комплексе из Ю, 2Б и ЗО Бп кодов РОЗ-6.6, КАСКАД-С и КАТРИН для решения уравнения переноса нейтрального и заряженного излучения в задачах радиационной защиты.

Достоверность полученных результатов, а именно, разностных схем, алгоритмов ускорения итерационного процесса подтверждена большим количеством сопоставлений с опубликованными экспериментальными данными, а также расчетными данными других авторов. Разработанный ЗТ) код КАТРИН аттестован Ростехнадзором для расчета реакторов ВВЭР-440 и ВВЭР-1000.

Практическая ценность полученных результатов состоит в том, что разработанные коды снабжены пре- и пост- процессорами и достаточно полной документацией, позволяющих их использование без участия авторов. Они внедрены в ряде основных научных центров и опытно-конструкторских бюро Росатома: НИЦ «Курчатовский институт», ГНЦ РФ «ФЭИ», ОАО ОКБ «ГИДРОПРЕСС», ГНЦ РФ «ИФВЭ», ОАО ОКБ «НИКИЭТ», а также переданы в отечественные и зарубежные библиотеки программ: ОФАП ЯР (Акт №734, от

20.12.2011 г.), RSICC (RSICC code package CCC-726) и NEA Data Bank. 3D Sa код КАТРИН аттестован Ростехнадзором для расчета реакторов ВВЭР-440 и ВВЭР-1000 (Аттестационные паспорта №356 и № 357).

Личный вклад автора. Все основные результаты, за исключением методика аппроксимации геометрии и источника задачи, основанной на использовании интерфейса между программой, реализующей метод Монте-Карло, и Sn кодами, получены лично автором. Автору диссертации принадлежат:

• Разработка положительной AWDD схемы для 1D криволинейных, 2D и 3D геометрий и положительной адаптивной WLD-WLB/QC схемы 3-4-ого порядка точности.

• Разработка согласованных с WDD и WLD-WLB/QC схемами КРХ схемы ускорения внутренних и внешних итераций по области термализации нейтронов и по источнику деления при решении подкритической задачи.

• Разработка алгоритма расчета электронно-фотонного и адронного каскадов в различных приближениях.

• Разработка оригинальной методики распараллеливания вычислений, основанной на использовании ОрепМР интерфейса и КВА алгоритма.

• Разработка (совместно с соавторами) методики аппроксимации геометрии и источника задачи, основанная на использовании интерфейса между программой, реализующей метод Монте-Карло, и Sn кодами, а также VF метода, поддерживающего локальный баланс масс/источников излучения в системе.

• Реализация (совместно с соавторами) разработанных алгоритмов в комплексе из ID, 2D и 3D S„ кодов РОЗ-6.6, КАСКАД-С и КАТРИН для решения уравнения переноса нейтрального и заряженного излучения в задачах радиационной защиты.

Апробация работы. Основные положения диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

• Семинары по нейтронно-физическим проблемам атомной энергетики «НЕЙТРОНИКА» (г. Обнинск, 1998-2014 гг.).

• Конференции по Радиационной защите (г. Обнинск, 2002, 2006).

• Конференции Росэнергоатома (г. Москва, 2004, 2006).

• Конференция ОКБ «ГИДРОПРЕСС» (г. Подольск, 2009).

• Международные конференции по математическим методам и расчетам ядерных реакторов М&С (1991, Pittsburgh, USA; 1995, Portland, USA; 1997, Saratoga Springs, USA; 1999, Madrid, Spain; Avignon, France, 2005; Saratoga Springs, USA, 2009; Rio de Janeiro, Brazil, 2011.

• Международные конференции по физике реакторов PHYSOR (Marseille, France, 1990; Seoul, Korea, 2002; Vancouver, Canada, 2006.

• Международная конференция по радиационной защите ICRS (Arlington, USA, 1994).

• Международный симпозиум IRDS (Brussels, Belgium, 2002; Avignon, France, 2014.

Публикации. По теме работы опубликовано более 120 научных работ в виде научных статей в отечественных и зарубежных журналах, в сборниках докладов российских и международных конференций, препринтов и научно-технических отчетов ИГТМ РАН, в том числе 17 [1-17] в журналах из списка ВАК и ведущих зарубежных рецензируемых научных журналах.

Автор выносит на защиту:

• Разработку положительной AWDD схемы для 1D криволинейных, 2D и 3D геометрий; положительной адаптивной WLD-WLB/QC схемы 3-4-ого порядка точности.

• Разработку согласованной с WDD и WLD-WLB/QC схемами КЦ схемы ускорения внутренних и внешних итераций по области термализации нейтронов и по источнику деления при решении подкритической задачи.

• Разработку алгоритма расчета электронно-фотонного и адронного каскадов в различных приближениях.

• Разработку оригинальной методики распараллеливания вычислений, основанной на использовании ОрепМР интерфейса и КВА алгоритма.

• Разработку (совместно с соавторами) методики аппроксимации геометрии и источника задачи, основанной на использовании интерфейса между программой, реализующей метод Монте-Карло, и Sn кодами, а также VF метода, поддерживающего локальный баланс масс/источников излучения в системе.

• Реализацию (совместно с соавторами) разработанных алгоритмов в комплексе из ID, 2D и 3D S„ кодов РОЗ-6.6, КАСКАД-С и КАТРИН для решения уравнения переноса нейтрального и заряженного излучения в задачах радиационной защиты.

Основное содержание работы

Во Введении рассмотрены вопросы актуальности и практической ценности данной работы, сформулированы основные цели и результаты, научная новизна личный вклад автора, результаты, выносимые на защиту.

Представленные в диссертации материалы сгруппированы в восемь глав, каждой из которых предшествует краткий обзор литературы по теме главы.

В главе 1 рассмотрены построение и свойства AWDD схемы, которая в значительной степени удовлетворяет требованиям, предъявляемым к разностным схемам для решения уравнения переноса: консервативности, 2-ого порядка аппроксимации, возможности использования в многомерной

криволинейной геометрии, арифметической простоты алгоритма, положительности, приемлемого уровня монотонности, хорошего сочетания с алгоритмами ускорения итераций по интегралу рассеяния. Рассмотрено также семейство взвешенных нодальных \VLBZQC-WLD схем 2-4-ого порядка точности, как средства для построения адаптивной положительной нодальной схемы высокого порядка точности, обладающей требуемыми свойствами.

Используя стандартные обозначения, краевую задачу для уравнения переноса нейтрального излучения (нейтроны и фотоны) в ЗЭ г,9,: геометрии можно записать в виде:

9,2, О) + а«(г, 9,2)у/\г, 9, =, П) = Я" (г, 9, г, О), Ъ<г1ГЛ<г<гех„0<90<9<9ет,<27г,а<2Ьо1=20<2< 2,ор =Н,д = (1)

^(г = ГМЛ=) П) + ^ / х1 = /-„,,,9, - П')с/П',

/л" (плг)<о

?(г-га1 л=)\(^г). = .а(¿и п)+^ { Пг,9,2 = -^,) /¿(г,+ ^ | ^(0,9,2 = ,

г (Л г = -V) и, >.0=ПР (г, + \ Х1Р (Й, Я», ,9,= П')</П',

(П-Й.ОО

^«С. 5 = г) |(ЙЯ>1>0= Я {г, 2, + | ^(О, о», 5 = - о')сЮ',

(Ш,)<0 (т,)>о

(2)

Здесь

г=гЙг + 2/7г, / у/{г,9,=,С1,Е)с1Е

Е-Ч* 1/2

- поток нейтронов (фотонов) в </-ой группе. Общее число групп Q, вообще говоря, состоит из расположенных в порядке убывания энергии Qn групп нейтронов и Qr групп фотонов:£> = £)„ + В (1) ая{г,9,:) - полное сечение в q-ov^

группе, Б4 {г,9,правая часть уравнения переноса, состоящая из источника межгрупповых переходов, источника деления и заданного внутреннего источника /г? (г, 9,2, Й):

''«аЦ?' - _

р-РшАя)

Уих' (г, г)Ф р0(г, 9,2) +Р«(г» 9, г, Я), Ф>{г,Э,г)=\уР{г,9,г,Я)с1П, \<Ртт(д)<д, ? <(?) < 0. (3)

4.т

Здесь - сечение рассеяния для перехода изр-ой группы в <у-ую;

= ГЮ'- угол рассеяния; спектр деления; произведение числа вторичных нейтронов, возникающих в одном акте деления, на сечение деления. Источник межгрупповых переходов включает в себя переходы с Ртт (<у) < р < д, соответствующее процессам замедления нейтронов (фотонов), внутригруппо-вое рассеяние (р=д), а также, возможно, и переходы ср>д (при Рша(д) >д), соответствующие процессам термализации, каскадным процессам и т. д.

В дальнейшем мы будем предполагать, что сечение рассеяния <з['~"' задано в Р1 приближении:

стГЧгЛ=,Ю = (4)

Наряду с неоднородной краевой задачей (1)-(2), мы будем рассматривать также однородную задачу на собственное значение В этом случае граничные и внутренние заданные источники отсутствуют, а правая часть решаемой многогрупповой системы имеет вид:

I»)

(г, 9,2,П)= ]Г °~Г*(г, г, ПП')ц/р(г, 9, г, П>ЯГ +

. (5)

Р

Линейные консервативные схемы 1-4-ого порядка точности для уравнения переноса в плоской геометрии.

В одномерной плоской геометрии (азимутально-независимая задача) уравнение переноса имеет вид:

/1^- + ау/{х,р) = Б(х,р.), (6)

где ц = Созв = (Йй,), ^ - направляющий вектор скорости частицы, -1 <//< 1; пространственная переменная х изменяются в пределах: х0<х<хн. Правая часть уравнения (6) имеет вид:

$(*,/*) = МФ,(х) + Ях,м). (7)

4 п

Здесь /(*,//) - постоянная компонента источника, Ф;(х) - /-ый угловой момент потока:

Для аппроксимации уравнения переноса (6) в плоской геометрии введем квадратуру {мт,/лт} по углу ¡л на интервале -1 </г < 1, а также разностную сетку по переменной х, покрывающую расчетную область х0 < х < хЛ, и устроенную таким образом, чтобы границы геометрических зон с различными сечениями совпадали с какими-либо границами пространственных интервалов (х,_1/2,х,+1/2), /' = 1,2,...,/; через х1 обозначим центры интервалов. В целях единообразия записи алгоритмов для углов //„ > О и ¡лт < 0, введем следующие величины:

, . + \хи\п'Нт >0 . , V , аАх,

1......* ={ _ з = к =

0'

<0

Ы '

Л1 И/2 Л/-1/2 • (9)

Интегрируя уравнение (6) вдоль характеристики в пределах разностной ячейки, получим:

К=Ке~к+— К(*)ехр

и 1

Г-т V-

(х+ — х)сг

ск.

(10)

При построении консервативных схем для уравнения переноса фундаментальную роль играет выполнение балансных соотношений для разностной ячейки, которые получаются путем интегрирования уравнение (6) по х на интервале (хм/2,х,+1/2) свесом полиномов Лежандра р1к(х), ортогональных на этом интервале:

Ах

(х-х,.)

, £ = 0,1,..., ]'р.к(х)ри.(х)с1х = Зк]^-, (11)

что приводит к следующей цепочке балансных уравнений (ниже целые индек сы опускаются в тех случаях, когда это не вызывает недоразумений):

I , ч <«(0)

щ1 -1 т

(2*+0 и,

/и

Р -. к-2у-1>0 г.(*)

и -I у=0 I ГГ

сг

(12)

(13)

Для получения разностной схемы производится обрыв этой цепочки уравнений с использованием дополнительных предположений о поведении решения/источника в ячейке. В частности, можно предположить, что источник в уравнениях (14) и (15) в пределах разностной ячейки аппроксимируется своим разложением по полиномам Лежандра (11):

ад=ад=Pi.k(х), ск==s<*>. (16)

к=0

Данное приближение, сохраняющее п пространственных моментов источника в ячейке, соответствует Мп схеме Вадьянатана, имеющей 2п -ый порядок точности. При п-1 уравнение (10) приобретает вид:

1-е"4). (17)

а у '

Совместно с уравнением баланса нулевого порядка (12) данное дополнительное уравнение образует step continuous (SC) или М, схему 2-ого порядка точности. При п = 2 уравнение (10) приобретает вид:

Совместно с уравнениями баланса нулевого и первого порядка (12) и (13) данное дополнительное уравнение образует М2 схему четвертого порядка точности.

Семейство WDD схем в плоской геометрии

Взвешенная алмазная (weighted diamond differencing (WDD)) схема получается путем добавления к уравнению баланса нулевого порядка (12) следующего дополнительного уравнения:

у/*={\ + Р)ч/-Рц/~, 0<.Р<1, (19)

Значение веса Р = 1 отвечает алмазной схеме 2-ого порядка точности, значения 0</><1 и Р = 0 - взвешенной и шаговой схеме 1-ого порядка точности. WDD схема эквивалентна Мх схеме с дополнительной дробно-рациональной аппроксимацией экспоненты:

1+ Р-ИР _ l + P + h

(20)

Теорема (А. Волощенко, 1981). Необходимым и достаточным условием монотонности разностной схемы, удовлетворяющей условиям 1)-3) является выполнение в каждой ячейке неравенства:

Семейство WLB/QC-WLD схем в плоской геометрии.

Аналогом WDD схемы среди разностных схем для уравнения переноса (6), удовлетворяющим балансным уравнениям нулевого и первого порядка (12) и (13) является weighted linear best/quadratic continuous - weighted linear discontinuous (WLB/QC-WLD) схема, которая получается добавлением к указанным балансным уравнениям следующего дополнительного уравнения (А. Волощен-ко, 1984):

<//+ = (1-P)i// + (Q + P)si//x + Pi//~, 0<Р<1, 0 = 1 или Р= 0, 1 /3<Q<со,

s = signCu). (22)

Здесь Р и Q - весовые коэффициенты схемы. Для LB/QC схемы 4-ого порядка точности Р = Q = 1. Эта схема для случая плоской геометрии была независимо предложена Ларсеном (неопубликовано) и А. Волощенко, 1984.

Для LD схемы Р = 0, Q = \\ для WLB схемы 3-ого порядка точности 0 </><1, Q = 1; для WLD схемы 2-ого порядка точности Р = 0, 1/3 <Q<oo.

Соотношение (22) — соответствует рациональной аппроксимацией ехр(-Л) 2-4-ого порядка точности:

v ' 6(Q + P) + (3Q + 2P + \)h + h2 Как показывает теоретический анализ и геометрическая интерпретация WLB/QC-WLD схемы, путем соответствующего выбора весовых коэффициентов в дополнительном уравнении (22) можно обеспечить положительность схемы, когда при неотрицательных входящем угловом потоке и источнике:

^">0, S>0, |S*|<3S, (24)

полученное решение в ячейке также неотрицательно:

у/+>0, у/>0, |^|<3у/. (25)

LB/QC, WLB и LD схемы могут быть получены путем аппроксимации потока в ячейке у(х) линейным элементом с разрывами на границах ячейки (см. Рис. 1), который для случая ¡л > 0 имеет вид:

(Ф) = = (v™ -+ (^,/2 -*• (26)

где

V/-1/2 = <1/2 + А," , С,+1/2 = <1/2 + Д,+ , <1/2 = "К*,-1/2 + 0) , <1/2 = V(*/+l/2 ~ 0) ,

IP 1 1

л;=-А, д:=-А, Д=-(у/мр+ш.,п)-у/(0). (27)

' (1+Р) ' (1+Р) 2 r у >

Рис. 1. Геометрическая интерпретация Step, DD, LD и LB схем. Для LB схемы А* =А~ =А, для LD схемы А,+ = О, Д~ = 2Д. LB схема соответствует наилучшей (в Ь2 норме) аппроксимации потока i//(x) в ячейке посредством линейного полинома. Исходя из этой интерпретации, подходящим названием для этой схемы является linear best (LB) схема.

д-

\ \ \\

\n V(X) \ Ч WLD. \

(1-5)Дх ; 5Дд:

д-

8At

V(x)

WLD+ (1-8)Дх

(а)

(b)

Рис. 2.Геометрическая интерпретация: (а)\VLD_ (1/3<£?<1) и (Ь)\\ТЛЭ+

(()>]) схем.

Адаптивная и 1УЯ)8р, схемы для уравнения переноса в плоской

геометрии

Уравнение баланса (12) может быть переписано в виде:

ц/+ —ц/~ + Иу/{0) = 0, (28)

где

И = h

г<о)

1--

ац/

(0)

Ч т го У

(29)

это величина, которой можно придать смысл эффективной оптической толщины ячейки (В. Carlson, 1976).

Следующее дробно-рациональное выражение является приемлемым выбором для Р{и)~-

1

, , - . . - 2м„, В = —-—, а = — +и1 и" Л-уи + а Р0(1 + ^о) 1 +

0<г/0<-

1

Два частных случая этой формулы имеют практический интерес: 1 , а = 0, /? = -Р0г/02, / = /?(1 + />0), /»(и) 1

^оО + ^о) 1

от

= н02, Р = у = 0, />(и) =

И(1+ Р0) 1

(30)

о- 01) и

(\ + Рй)\и + иЦи_

(32)

Адаптивная \VLBZQC-WLD (А\УЬВ/дС-\УЬБ) схема для уравнения переноса в плоской геометрии

Перепишем дополнительное уравнение \yLB7QC-WLD схемы (22) в виде, аналогичном (28) (А. Волощенко, 1994):

у/+=у/(0)(1 -Ои,-Ри2), (33)

где

5Ц/

(и

у/(щ ц/ ' ц/

В А\УЬВ/(}С-\УЬВ схеме веса Р и Q вычисляются в результате оценки параметров г/, и и,, пропорциональных первой и второй производным решения.

Численные результаты использования АХУБО и А\УЬ,В/(ЗС-\УЬО схем в плоской геометрии

В качестве тестовой задачи рассмотрим одногрупповую 4-х зонную задачу с изотропным рассеянием, изображенную на Рис. 3.

ду/дх _^(0)-у/--у> а>/аг

' "г" ..ДО)

(34)

1 II III IV

Граница ст=1.0 ст=1.0 ст=1.0 а=1.0 Граница

с а5=0.5 ст5=0.0 ст3=0.05 с5=0.95 с

вакуумом Р=0.0 Р=1.0 Р=0.0 Р=1.0 вакуумом

(32) (32) (320) (128)

0.0

3.0

6.0

36.0

48.0 х

Рис. 3. Модельная задача в плоской геометрии (Я. АкоиЩ 1979). Указаны полное сечение сг, сечение рассеяния сг5, внутренний изотропный источник Г и число шагов мелкой пространственной сетки по зонам.

Вторая и третья зоны модельной задачи являются поглощающими, а 4-ая зона -диффузионной. Число интервалов равномерной пространственной сетки (с шагом Ах = 3/32 ) по зонам, на которой получено "точное" решение с использованием ЬВ/(}С схемы 4-ого порядка точности, указано в скобках. Точностью сходимости итераций составляла 1СГ10.

. = тах -

' ¡еЛТ,

10 -щ

0.1 -|

0.01 -|

0.001 1

0.0001 -Щ

1Е-005 -1 1Е-006 -1 1Е-007 -г 1Е-008 -в 1Е-009 —

ф(0) _ ф(0)а-

ф

тех

8„.„ =

£Л Фех{х)ск

Относительная ошибка в расчете суммарного числа частиц в расчетной области, *)

- РР

О-О-О А\ЛГОО(1)

AWDD(2) Ш

О—е—О ив/ос

Д-г?!-Л А\Л/1_В

V—V-V 1-В/С!С,

AWLD

(35)

Рис. 4. Относительная ошибка аппроксимации 8шт при решении модельной задачи (Рис. 3) в плоской геометрии, %.

Е ¥ то ~

ы ш о. п.

Ш о ОТ °

I

ст=1.0 о,=1.0 УСТ,=0.01 (Ю)

0.0

а=1.0 ст8=1.0 уст,=0.0

(3)

6.5006

х, см 8.5006

Рис. 5. Критическая пластина с отражателем (Агошоп, 1984). Указаны полное сечение а, сечение рассеяния сг$, усг/ и число шагов пространственной сетки по зонам (в скобках).

W-j 10"3 -| 10" -щ 10 s -! 10"* 10"7 т

10-* -I 10"' -! 10" п

10" --

Пространственная компонента ошибки в расчете к^ для критической пластины с отражателем для квадратуры Sw

-i-1-h DD

О - О- -О LD В- □-□ LB

ni

cC

-0-

0.01

.....I r

0.1

Шаг сетки дх, см

Рис. 6. Пространственная компонента ошибки в расчете ке// при расчете критической пластины с отражателем (см. Рис. 5) с фиксированной квадратурой В качестве точного решения использовалось решение,

полученное по ЬВ схеме на сетке 320+96 с точностью сходимости I О42.

Линейные консервативные схемы 1-4-ого порядка точности для уравнения переноса в одномерных криволинейных геометриях

В одномерной сферической геометрии уравнение переноса имеет вид:

д

(36)

где

fu=Cos6 = (Qnr}, hr = г/г, Q - направляющий вектор скорости частицы,

-1 < /л < 1; пространственная переменная г изменяются в пределах: 0 < к < г < г

iflt — Olli ■

Уравнение баланса нулевого порядка получается путем интегрирования уравнения (36) по разностной ячейке (rt_U2,rl+U2) х(/V1/2,/W)» ' = т = \,..,М (г1/2 = rmt, rI+y2 = геа, /лт = -1, /лм+1/2 = 1; ниже мы опускаем целые индексы, в том числе, номер группы, в тех случаях, когда это не вызывает недоразумений):

Ни>+ - ) + - («„,+l/2Wl/2 - «„-,/2^-1/2 ) + = KS , (37)

w

где коэффициенты am±V2 находятся из рекуррентного соотношения:

«...

ai/2 aM+U2 ~ ® '

т = 1 ,..,М ,

(38)

а остальные величины равны:

Д±1/2 = 1±1/2 ' К = ^ (1+1/2 _ 1-1/2 )' = 1+1/2 ~~ 1-1/2 ' ~ Мт+1/2 ~ 1/2 >

+ = (У/ИО^М, >0 = |4±1/2>/«т >0

1 2 1

^ г,-т

1 1+1/2 ///и +1/2 1 1+1/2 А^+1/2

Г Г уу^У^, Г Г (39)

Клу У\\>

' ™ 1-1/2 «.-1/2 ' " 1-1/2 Д.-1/2

у/+=(1 + />>-/>", + (40)

Уравнение баланса в Ш сферической геометрии может быть записано в "квазиодномерном" виде (А. Волошенко, 1984) по каждой из переменных:

Н[(Л>; - А-ц/-г) + (А- - + агУу/ = УБГ, аУ = аУ + + ),

У8, = + -(<*„_,,2 + /Х+1/2Ут-,/2,

У:=$+рг)ч'-РгЧ';- (41)

Аналогично, величины а и могут быть интерпретированы как "сечение и источник" для экстраполяции по переменной ц, так как уравнение баланса (37) с помощью этих величин может быть переписано в "квазиодномерном" виде:

^,/2=0 + ^-^-1/2- (42)

Линейные консервативные схемы 1-4-ого порядка точности для уравнения переноса в двумерной геометрии

Рассмотрение начнем со случая х,г геометрии. В этой геометрии отсутствует зависимость решения от переменной у и уравнение переноса (1) приобретает вид:

+ + = хт1<х<хаиП 2Ш< = <: (43)

сс ах

Здесь и ц - направляющие косинусы единичного вектора О направления скорости частицы, который с учетом имеющейся в данной геометрии симметрии: <//(х, г, //, (р) = (//(х, г, 2л- - ср) изменяется в пределах полусфе-

ры:—1 <£,//< 1, 0<(p<7t. Правую часть уравнения (43), учитывая имеющуюся симметрию, можно представить в виде:

S(x, z, //, <р) = jj^-^j Z Y" (/л g>yt>: (х, z) + Дх, z, //, qj). (44)

Уравнения баланса нулевого и первого порядка получаются путем интегрирования уравнения (43) по разностной ячейке [л-_1/2,дг;+1/2]х] свесами 1, 2{х — х1)1 Дх и 2(z-zt)/Az:

-y/L) +НЛх(Уг-¥е) + стУу/ = KS-, (45)

<fAxAz[(^ +y,L) 12-ц/] + \И\у[{ц/'т-ц/хв) +crF V = KrSr, (46)

I^K« "О + + (/e)/2-+ = . (47)

Здесь ц/, S - среднее значение потока и источника в ячейке; у/' и S',t = x,z -первые пространственные моменты по переменным х и z:

X»-l/2 ^4-1/2 xi-l.'2 zk-1/2

^ = = _L |! J (z _ zk)y/(x,z)dx±, S = S(0'0), Sx = S(>,0), Sz = Sm), (48)

Z */-1/2 zi-l/2

y/L, y/zL, ц>к, ц/\, у/в, ц/хв, ц/т и у/?, - нулевые и первые пространственные моменты по левой, правой, нижней и верхней граням пространственной ячейки:

,„ _Wi±M 2,*><f>° ш _k-.4±,;2^>0

k«±i/2^>o

^4 + 1/2

<1/21 <±1/2 =— | (*"*/М*.**±1/2)Л>

ус=ДХ, Уг=Дг, У = ДгДг, V1 =Аху\. (49)

6 6

схема получается добавлением к уравнению баланса нулевого порядка (45) следующих дополнительных уравнений:

+ + 0<РХ,Р:<1. (50)

\VLB-WLD схема получается добавлением к уравнениям баланса нулевого и первого порядка (45), (46) и (47) следующих 4-х дополнительных уравнений (А. Волощенко):

Ч'я = О - + (Рх + аХ< + , ¥т=(1 - Р.Уи + (.Р, + £К< + Р,Ув.

4/ZR ='//Z ¥t =4/X+T2sxsy, sx= signif), sz=sign({t). (51)

Таким образом, для величин \¡fR и у/т используются такие же дополнительные уравнения WLB-WLD схемы, как и в плоской геометрии с весовыми коэффициентами Pt и Qt, t = x,z, меняющимися в пределах:

0</;<1, Q=1 или /|=0, 1/3£0<а>, \T\<3Qn t=x,z. (52)

Рис. 8. Геометрическая интерпретация \УЬО схемы в геометрии (всего должно быть рассмотрено 12 случаев (А. Волощенко, 2011).

Численные результаты использования А\\ТШ и А\УЬВ/(2С-\¥1Л5 схем в двумерных геометриях

Приведем результаты (см. Рис. 10), показывающие скорость сходимости ке(г в зависимости от выбора пространственной сетки и разностной схемы при

фиксированной квадратуре ЕБ% для 2-х зонной задачи (А1соий",2003) в г, г геометрии, изображенной на Рис. 9. и ее аналога вх,2 геометрии. В случае х,г геометрии на левой границе расчетной области использовалось условие зеркального отражения. Данная задача решалась с квадратурой и использованием равномерной пространственной сетки из 10, 20, 40, 80 и 160 интервалов по каждой из переменных. В качестве точного использовалось значение , рассчитанное по ЬВ схеме на сетке из 320х320 интервалов с точностью сходимости итераций 10~10.

г 1.0

Вакуум

ста=76.0 ст,=80.0 а3=4.0 уст,=0.0

аа=4.0 ст,=80.0 а=76.0 У(Т(=13.0

0.0 0.5 1.0 К.см

Зеркальное отражение

Рис. 9. Модельная задача в г,: геометрии (Ако^, 2003). Указаны сечение поглощения аа, полное сечение сг,, сечение рассеяния сг5, уа, по зонам.

Пространственная компонента ошибки в расчете к^ для задачи Алысуффа в 2Э (х,г) геометрии^ для квадратуры Ев,

Н-1-Н ОО

■о - о- -о ш " о- □-□ ьв

о'

р

Шаг сетки в длинах свободного пробега ст^дх

а)

Пространственная компонента ошибки в расчете к^ для задачи Алькуффа в 20 (гл) геометрии

для квадратуры ЕЭ, Н-1-1- □□

О-

Шаг сетки в длинах свободного пробега ст^г

Ь)

л ю

Рис. 10. Пространственная компонента ошибки в расчете ке,Г при расчете модельной задачи (см. Рис. 9) в х,2 и г,г геометриях с фиксированной квадратурой .

В главах 2,3 и 4 рассмотрены, соответственно согласованная КР1 схема ускорения внутренних итераций в Ш, 2Б и ЗБ геометриях.

КР1 схема ускорения внутренних итерация, согласованная с \¥00 схемой, для уравнения переноса в Ш геометриях

Для ускорения сходимости внутренних итераций в КРХ схеме используются линейные поправки к нулевому и первому угловым моментам решения:

Результаты использования согласованной КР1 схема ускорения внутренних итерация для уравнения переноса в Ш геометриях

0)

а. ш

ГО m

^ Си cl cl 0)

СО

с=0.98 F=1.0

с=0.98 F=0.0

го m

0.0

4.0

8.0

х, см

Рис. 11. Параметры тестовой задачи Мак-Коя и Ларсена, 1982 Таблица 1. Число итераций в тестовой задаче Мак-Коя и Ларсена в плоской геометрии в зависимости от значения сг для квадратуры Гаусса и £т =10"

Без DSA КЦ

ускоре-

ния

а DD D DD+S AWDD AWDD L L AWL AWL LB/QC

D t 1 1 В D В D +

1.0 198 4 4 5 5 4 4 4 4 4

2.0 273 4 4 6 6 5 4 5 5 5

4.0 366 5 5 9 14 4 4 7 6 4

6.0 567 7 10 16 19 6 4 16 18 6

8.0 541 - 40 (а) 18 18 6 6 15 30 б

9.0 501 - а, б 18 18 7 7 12 13 б

10.0 430 5 а, б 18 18 7 8 9 10 б

20.0 297 4 а, б 17 15 8 6 10 11 б

аВ отсутствие коррекции появляются отрицательные значения в интегральных потоках;

°Отсутствие сходимости итераций.

КР1 схема ускорения внутренних итерация, согласованная с схемой, для уравнения переноса в 20 геометриях

Для ускорения сходимости внутренних итераций в КРХ схеме в г, г геометрии используются линейные поправки к нулевому и первым угловым моментам решения:

^¡±\П.к,1.т =У/ШП,к.1,т + +

_ л+1/2 _!__!_/ I \

Т1,к±У2,1,т ~ Г1.к±\/2,1.т + , \Ji.ki\l2 + > '

47Г

АО! метод для решения системы для ускоряющих поправок

Р^ система для КР{ схемы в г,г геометрии решается нами итерационно (А. Волощенко, 2011), с использованием, АЭ1 метода.

Представим результаты использования КР{ схемы для расчета двух тестовых задач в г,г геометрии.

Номер зоны а (см"1) (см"1) (см"3с')

1 0.60 0.53 1.0

2 0.48 0.20 0.0

3 0.70 0.66 1.0

4 0.65 0.50 0.0

5 0.90 0.89 0.0

18 48 78

ГРАНИЦА С ВАКУУМОМ

96 X. см

У, см 30

I21

о. н

О 15 ш

Рис. 12. Тестовая задача Е1Я-2 (ЫтаШ, 1985) в х,у геометрии.

ГРАНИЦА С ВАКУУМОМ

НОМЕР КОМПОЗИЦИИ - 2

0 12 15 21 30 X см

ЗЕРКАЛЬНОЕ ОТРАЖЕНИЕ

Номер Композиции сг (см-1) (см"1) (см"1) (см" V)

1 3.3333 3.3136 0.9256 1.0

2 3.3333 3.3136 0.9256 0.0

3 1.3333 1.1077 0.0367 0.0

Рис. 13. Железо-водная композиция (КИаШ, 1985) в х,у геометрии.

Таблица 3. Число внутренних итераций и расчетные времена при решении

Задач 1-2 в г, 2 геометрии.

Задача Метод

Без ускорения 3 Щ

АО! 8АШ

А\УОО 81ер ОО AWDD AWDD

Задача 1, 154 139 1 0.2 5[4.8] 10[ 16.8] 10[10.1] 10[10.9]

ЕШ-2 (55.2) (78) (3.2) (9.8) (9.8) (9.8)

(Рис. 12), {173} {160} 3 0.5 6[3.7] И[4.2] 11 [7.5] 11 [6.9]

сетка 0.883 0.878 ь 2 (3.6) (6.5) (9.8) (9.5)

54x46,

Задача 2, 1333 856 1 0.2 6[4.6] 22[8.1] 19[18.1] 18[20.5]

Ре-Н20 (50.9) (50.4) (0.44) (1.7) (2.7) (2.8)

компози- {2015} {1489} 3 0.5 6[3.5] 17[4.1] 18[4.8] 19[4.4]

ция, 0.9927 ь 0.9924 ь 2 (0.44) {6} (1.1){19} (1.6){19} (1.6){21}

(Рис. 13), 1 .02 5[14.6] 9[37.4] 18[36.1] 18[38.5]

сетка (0.6) (1.8) (3.7) (3.8)

20x20, 3 .05 5[12.6] 9[ 19.4] 17[14] 17[14]

ЗД 2 (0.55) (1.1) (2.1) (2.1)

ОО Разностная схема

10 Среднее по группам число итераций при выполнении критерия сходимости 10^

[16.81 Среднее по группам число А01 итераций

(9.8) Процессорное время в сек.

{} Среднее по группам число итераций при выполнении критерия сходимости

ь Значение спектрального радиуса сходимости итераций р

КР1 схема ускорения внутренних итераций, согласованная со взвешенной алмазной схемой, для уравнения переноса в ЗБ геометриях.

Р{ система для ускоряющих поправок для схемы в ЗО геометриях решается методом расщепления (МР) (Марчук, 1988).

Таблица 4. Число внутренних итераций, требуемое для решения задач 1-2 без ускорения и при использовании КЦ схемы в сочетании с циклическим МР для решения Рх системы.

Задача Без ускорения KPX схема

Step DD AWDDi Step DD AWDD, AWDD,

Задача 1. Компо- 133 201 147 5 14 10 9

зиция Е111-2 в (1.58) (2.63) (4.93) [8.2] [12.7] [20.1] [21.8]

х,у,2 геометрии, (0.15) (0.49) (0.66) (0.68)

сетка 56x50x56, J=16 J=16 J=32 J=32

Задача 2. Железо- 782 2101 1094 5 15 20 15

водная композиция в х,у,г гео- (0.3) (0.91) (1.17) [11.2] (0.005) [10.5] (0.016) [10.1] (0.033) [9.7] (0.029)

метрии, сетка 20x20x20,

В главе 5 рассмотрена КР1 схема ускорения внешних итераций по области термализации нейтронов и по источнику деления при решении подкритической задачи.

Ускорение внешних итераций, которые возникают, при наличии в матрице межгрупповых переходов переходов вверх по группам, является существенным элементом численной методики решения уравнения переноса. Существуют достаточно важные и представительные классы задач, при решении которых для уменьшения вычислительных затрат необходимо уменьшить число внешних итераций по области термализации нейтронов (thermal up-scattering) и (или) по источнику деления (fission up-scattering).

В КРХ схеме ускорения внешних итераций ищутся поправки к нулевому и первому угловым моментам решения в виде:

^¿IC ^,,/и,

VliVl.j.kj.m = V/i±42,j.k,l.m + ~^(fi±V2.j.k + ^I.mfi±\l2.j.k ) ' 4/lj±M2.kJ.m =4/Lj±\l2.k.l.m + 12.k + ^h.mfiJ±l/2.* ) '

= + +3 MAW)- (55)

Такая форма ускоряющих поправок с факторизованной энергетической зависимостью позволяет построить арифметически простую схему ускорения внешних итераций, согласованную с используемой разностной аппроксимаци-

ей уравнения переноса (Аверин, Волощенко, 1994). Эффективность и устойчивость этой схемы существенно зависит от выбора спектральной функции ед. Общий алгоритм определения формы спектра для ускоряющих поправок еч основан на оценке энергетической зависимости собственной функции, отвечающей наиболее медленно убывающей Фурье-гармонике ошибки итерационного метода Гаусса-Зейделя (т. е., чистых, неускоренных внешних итераций) для рассматриваемой задачи.

Таблица 6. Число внешних итераций и расчетные времена (в круглых скобках) при расчете радиационной защиты РУ ВВЭР-440 и ВВЭР-1000 в 2Т> геометрии по программе КАСКАД-С в Р5Б% приближении с точностью сходимости внутренних и внешних (по области термализации) итераций £„ = 5x10^ и = кг3. В таблице I - длина АБ1 цикла.

Тип реакторной установки Геометрия Сетка 1 Спектральная функция £■' Число внешних итераций и расчетное время (мин)

Без ускорения Щ

ВВЭР-440 Г, 2 139x189 16 Максвелл, Т = 600° АГ 58(25.91) 12(13.8)

е9 из Фурье анализа 12(14.1)

г, 9 134x60 32 Максвелл, Т = 500° К 42(4.22) 9 (2.99)

Максвелл, г=боо°л: 8 (2.96)

£я из Фурье анализа 9 (2.98)

ВВЭР-1000 г,: 173x155 16 Максвелл, Т = 600°К 72 (43.94) 9(19.18)

еч из Фурье анализа 9 (19.48)

г,9 204x120 32 Максвелл, Т = 600° К 69(16.28) 7 (9.09)

Максвелл, Г = 500°Л: 6 (9.08)

еч из Фурье анализа 7(9.13)

Таблица 7. Число внешних итераций и расчетные времена (для ПК Pentium 4 3.2 Ghz, в круглых скобках) при расчете радиационной защиты РУ ВВЭР-440 в 3D геометрии по программе КАТРИН в P}Ss приближении с точность сходимости внутренних и внешних (по области термализации) итераций ет =10"3 и £Ир*с = 5 х 10"^. В таблице J - длина цикла метода расщепления.

Тип Геомет- Сетка J Спектраль- Число внешних итера-

реактор- рия ная функция ций и расчетное время

ной £Ч (часы)

установки Без ускорения Щ

ВВЭР-440 г, 9,z 139x60x189 1 Максвелл. 60 Неустой-

= 1576260 6 Т=600°К чив

eq из Фурье анализа 8 (38 часов)

300-

250-

200-

s о

N 150-

100-

50

Область "spallation" источника

4 - Свинец

5 - Отражатель

-

50

100

Зоны 1-3 - бланкет на основе U233-Th232

150 200 R, см

Условие зеркального отражения

250

Рис. 14. ADS бенчмарк в r,z геометрии.

Таблица 8. Число внешних итераций при решении подкритического ADS бенчмарка в r,z геометрии по программе КАСКАД-С. Использовались полученная на основе Фурье анализа спектральная функция е4, P5S6 приближение, длина ADI цикла J=16, по-точечные критерии сходимости внутренних и внешних итераций ет = КГ* и = 1СГ3, соответственно.

keff задачи Геометрия r,z сетка Число внешних итераций и расчетное время (мин))

Без ускорения внешних итераций КЦ

0.945 51x46 68 (5 мин 44 сек) 9 (1 мин 29 сек)

0.965 r,z 51x46 93 (7 мин 45 сек) 9 (1 мин 31 сек)

0.985 r,z 51x46 159 (12 мин 3 сек) 14 (2 мин 31 сек)

10° 1

10-' -

10"2

Ю'3 —

к

=Т 10*

в- Щ-5

го

л 10""

-

h -

ш 10'

О =

ю^1 "1

10"8 -1

10-'° -1

10"

Спектральна функция еч (доли спектра по группам) для ADS бенчмарка

- к.„=0.9455

-1-)- к.„=0.9656

О—0—О кея=0.9857

10"

ШПТ|— I llllllj—I I llllllj

10"° Ю-6 10"

----------

10л 10г Е, МэВ

llllllj llllllllj I I N !ll!| I I I lllllj 10'1 10° 10' 102

Рис. 15. Зависимость формы спектра ускоряющих поправок КРХ схемы ускорения внешних итераций по источнику деления от значения keff задачи при решении ADS бенчмарка.

В главе 6 рассмотрены разностные аппроксимации и итерационные алгоритмы в задачах переноса заряженного излучения.

Перенос заряженных компонент каскада может быть хорошо описан в рамках уравнения Больцмана-Фоккера-Планка (БФП (или ВБР) уравнения) (К. РггуЬуЬкь 11^ои, 1982):

(1

2 Ol//

-и )—

О/и

д~цг

-(QV)if/ +

or,(г, £>//(r,//,ф,Е) = \dE'| d/j'as (r, E' -> E,^>//(/%//',£") + /у,£ £).

0 0-1

(56)

Ms + -H1)^2 Cos(<j>'-<j>), n = Cos9=( Q«z), // = 0м6>' = (0'йг).

Первые два оператора в этом уравнении - это ФП операторы. Оператор, содержащий производную по энергии - это оператор непрерывного замедления (continuous slowing-down (CSD) operator), оператор, содержащий вторые угловые производные - это оператор непрерывного отклонения (continuous-scattering operator). В уравнении (56) Р(Е) - ограниченное сечение непрерывного замедления или ограниченная тормозная способность (restricted stopping power); T(E) = a(E)/2, где a(E) - ограниченный момент передачи (restricted momentum transfer))

E 1

/?(£) = f 2*{<rsin? (E -> E',Ms)(E - E')dMsdE',

о -1

E 1

a(E) = \2nJ<7sin?(£-> E^-^dH.de,

0 -1

(57)

где G'smgiE-* Р'Ю - сингулярная компонента рассеяния. В уравнении (56) ег((£) и aS(E' Е) - полное сечение и регулярная часть сечения рассеяния, - косинус угла рассеяния, F - заданный источник. К уравнению (56) следует также добавить граничные условия.

Для протонов и пионов, обычно, Т = 0 и р определяется неупругими рассеяниями. Для нейтральных частиц Р = Т = 0.

Отметим также, что БФП уравнение соответствует декомпозиции сечения рассеяния на регулярную и сингулярную компоненты (А. Волощенко, С. Гуков 1984):

/=0 4Л-

= (58)

о ¿л

где

П= (59)

Здесь К - порядок представления сингулярной компоненты рассеяния (для случая БФП уравнения К = 1), /j0 - косинус угла расположения сингулярности

Аппроксимация 2-ого порядка точности для БФП уравнения строится стандартным образом. Основная проблема возникает здесь при ускорении

внутренних итераций. С повышением порядка PL приближения (порядка квадратуры при использовании ФП матрицы рассеяния) КР{ схема ускорения в 1D

геометриях деградирует:

В 2D и 3D геометриях согласованная КР{ схема становится неустойчивой

при о",, > 0.5сг 0 и нуждается в регуляризации.

Тем не менее, с ее использованием удается решить ряд практических задач переноса электронно-фотонного каскада.

Организация внешних итерационных циклов при расчете электронно-фотонного и адронного каскадов

При наличии в файле констант сечений переходов а^4 с p>q (такая ситуация реализуется, в частности, при расчете электрон-фотонного и адронного каскадов), возникает необходимость в организации внешнего итерационного цикла по анизотропным переходам вверх по группам.

При использовании одинаковой энергетической сетки для всех частиц в области каскада имеется возможность (А. Волощенко) существенно уменьшить расчетное время, если в объединенном файле сечений перейти от упорядоченности групп по типам частиц (излучения), к их упорядочению «по энергии» участвующих в каскаде частиц.

Так при расчете электронно-фотонного каскада при переходе от стандартной, "по типам частиц", последовательности групп в объединенном файле сечений:

le, le,..., Qe,ly, 2у,..., Qy, (60)

где Q - число групп электронов (фотонов), к их упорядочиванию "по энергии частиц":

\e,\y,2e,2y,...,Qe,Qy, (61)

приводит к тому, что многогрупповая матрица переходов приобретает нижнюю блочно-треугольную (lower block triangular (LBT)) форму, которая позволяет существенно снизить вычислительные затраты:

le—>1е 1/ -»le 0 0 0 0

1е->1у 1у->1у 0 0 0 0

le—>2е 1у->-2е 2е-»2е 2у—>2е 0 0

1е-»2/ 1у^2у 2е-»2 у 2у^>2у 0 0

1е-»3е 1у—>3е 2е—>3е 2у^3е Зе—>3е Зу ->3е

le—>3/ \у —у Зу 2е->3 у 2у->3у 3е->3 у 3 у^Зу

Численные примеры расчета переноса электронно-фотонного каскада

X, см

Рис. 17. Профиль энерговыделения в алюминиевой пластине толщиной 0.2107 см, на которую перпендикулярно падает поток электронов с энергией 1.0 МэВ. Расчеты выполнены в CSD приближении с использованием неявной аппроксимации члена непрерывного замедления и LD схемы по пространственной переменной по программам ONELD и РОЗ-6.6, а также с использованием BFP приближения и AWDD схемы по программе РОЗ-6.6.

4.0

2

и

х 2.0

0 о.

1 0) е;

го et

I 0.0

о с 0) CT

-2.0

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

X, сги

Рис. ] 8. Профиль депозиции заряда в алюминиевой пластине толщиной 0.2107 см, на которую перпендикулярно падает поток электронов с энергией 1.0 МэВ. Расчеты выполнены в CSD приближении с использованием неявной аппроксимации члена непрерывного замедления и LD схемы по пространственной переменной по программам ONELD и РОЗ-6.6, а также с использованием BFP приближения и AWDD схемы по программе РОЗ-6.6.

Депозиция заряда, 816

4 Неявная с:

з. 40 групп. ОЫЕЮ . Неявная схема. 1.0. г 50 шагов, 40 групп. РОЗ-6.6 ^ й Неявная схема. Ю,

100 шагов. 40 групп, РОЗ-6.6 ■у у у Неявная схема, ЬО, Л Л Л 200 шагов, 40 групп. РОЗ-6.6 ^ ^ ^ Неявная схема. Ш.

100 шагов. 80 групп. РОЗ-6.6 Неявная схема. 1.0, - - — 200 шагов, 80 групп. РОЗ-6.6

- ВРР, А\Л/00, 200 шагов, 40 групп, РОЗ-6.6

^-<3 < ВРР, А\Л/00, 200 шагов. 80 групп, РОЗ-6.6

Е.МэВ

Рис. 19. Дифференциальный спектр тормозного излучения, вылетающего в интервал углов 0-1° из пластин из Си, толщиной ¿/ = 1.3г/см2 и с/ = 6.5г/см2, облучаемых падающим перпендикулярно пучком электронов с энергией 300 МэВ.

Численные примеры расчета переноса адронного каскада

Таблица 10. Выход нейтронов из вольфрамовой мишени диаметром 10.2 см и длиной 40 см, и свинцовой мишени диаметром 10.2 см и длиной 61 см, облучаемую пучком протонов в сопоставлении с результатами экспериментов ВТ\(Ь.

Энергия пучка протонов. МэВ Мишень из XV, с1 = 10.2 см, /=40 см Мишень из РЬ. с1 = 10.2 см, / = 61 см

Эксперимент ЕШЬ КАСКАД-СУ БНАБ-93/САДК 0-2.4 1.АНЕТ (preequ 1- НЬпит тос1е1) ехрептеги а1 6а1а (1998) КАСКАД-С/БНАБ-93/САДК 0-2.4 ЬАНЕТ (preequilibriu т тоёе1)

800 15.11 15.84 17.47 13.60 13.94 14.96

1000 20.40 21.31 23.22 17.38 18.31 19.82

1200 - 26.74 28.81 22.31 22.17 24.25

1400 28.46 33.70 33.67 26.21 27.14 28.26

Рис. 20. Поперечное сесение мишени, составленной из стержней из вольфрама диаметром 0.6 см и длиной 40 см. Стержни помещены в узлах гексагональной решетки с шагом 0.7 сш, помещенной в жидкосолевой раствор Нл№К (46.5 % иБ - 11.5 % - 42 % И7). Оболочка мишени сделана из сплава хастеллой с внешним диаметром 9.5 см и толщиной 0.5 см. Задание геометрии осуществлено посредством геометрического модуля программы МСи.

ГЧ, ст

Ь)

Рис. 21. Пространственное распределение энерговыделения в мишени из вольфрама: в аксиальных сечениях: (а) при 9 = 0.25° и (Ь) 5 = 29.75°, МэВ/(см3-сек).

В главе 7 рассмотрены используемые алгоритмы распараллеливания вычислений для уравнения переноса в 2Б и ЗБ геометриях.

Для распараллеливания вычислений в 2D и 3D S„ программах КАСКАД-С и КАТРИН используется КВА (К. Koch, R. Baker, R. Alcouff) алгоритм и OpenMP интерфейс.

а) б)

Рис. 24. а) Последовательность расчета подобластей для 111 и VII октантов (77<0, £<0; б) для IV и VIII октантов (77 <0, ^>0 при 2D декомпозиции поперечного сечения расчетной области;

Для определения оптимального разбиения на подобласти по умолчанию используются следующие эмпирические формулы:

1яЛ =max(min(/,Arrtr),//4), Jmb =шах(тш(Л#йг),У/4), (63)

где Nthr - число используемых трэдов, / и J - число подобластей по переменным г и 3, соответственно. Использование более мелких подобластей приводит к возрастанию накладных расходов.

Таблица 12. Время расчета 1-ой группы РУ ВВЭР-1200 для сектора поворотной симметрии 60°, покассетного источника, пространственной r,3,z сетки из 218x120x175 =4 578 ООО ячеек в P,Ss приближении с точностью сходимости внутренних итераций 10~3, мин.

Процессор Количество ядер Скалярная версия программы КАТРИН Параллельная версия программы КАТРИН

Intel Core 2 Duo Е6600 2 59.1 35.6

Intel Core i7 920 4 +4 виртуальных 41.1 12.7

Intel Core i7 970 6 +6 виртуальных 34.6 9.5

Intel Haswell Core i7 4770K 4 +4 виртуальных 7.3

Intel Sandy Bridge-E Core i7 3930K 6 +6 виртуальных 7.2

Intel Ivy Bridge-E Core i7 4930K 6 +6 виртуальных 6.83

Intel Ivy Bridge-E Core i7 4960X 6 +6 виртуальных 6.08

Таблица 13. Астрономическое время расчета радиационной защиты РУ ВВЭР-1200 для сектора поворотной симметрии 60° с источником, заданным потвэль-но, в г,9,: геометрии с пространственной сеткой из 218x120x175 = 4 578 ООО ячеек, с 47 нейтронными и 20 фотонными группами константной системы ВСЫ000_В7 в Р} приближении, при использовании по-точечного критерия

сходимости внутренних и внешних (по области термализации) итераций 10"3 и 5хЮ"3, соответственно. Для области энергий Е>3.0 МэВ использовалась квадратура £516, а для области энергий Е<3.0 МэВ - квадратура .К>8.

Процессор, оперативная и внешняя память Количество ядер Параллельная версия программы КАТРИН

Intel Core i7 970, 24 Gb RAM, RAID 0 массив из 3-х OCZ "Apex Series" 60 Gb SSD SATA-2 6+6 виртуальных 17 часов 08 мин

Intel Core i7 3930K, 64 Gb RAM, Intel SSD DC S3700, 200 Gb, SATA-3 6+6 виртуальных 12 часов 38 мин

В главе 8 рассмотрены используемые алгоритмы аппроксимации геометрии и источника на разностной сетке задачи.

Задание 3D геометрии ЯЭУ и источника деления для их использования в расчете радиационных полей Sn методом представляет собой информационно-вычислительную задачу, решение которой возможно лишь при наличии специально разработанных средств.

Для задания модели геометрии активной зоны, радиационной защиты и источника деления ВВЭР-1000 нами был выбран следующий набор таких средств:

(1) геометрический модуль программы MCU задания 3D геометрии и источника средствами комбинаторной геометрии;

(2) визуализатор MCU Viewer комбинаторной геометрии, содержащий средства диагностики правильности задания геометрии;

(3) утилита BurnDat для подготовки комбинаторного представления (потвэль-ного и (или) покассетного) плотности нейтронов деления на основе данных о выгорании (плотности распределения осколков деления), содержащихся в выходных файлах программ ПЕРМАК-А и БИГТР-7А, выполняющих, соответственно, потвэльный и покассетный расчет кампании реакторных установок (РУ) с ВВЭР;

(4) разработанные на базе геометрического модуля программы MCU конвертеры геометрии и источника ConDat и ConSource, поддерживающие локальный

баланс масс материалов и источника в каждой пространственной ячейке в рамках volume fraction (VF) метода.

Рис. 25 - Аксиальное сечение 3D r,9,z модели радиационной защиты РУ В-320 для угла 9 = 1°\а) комбинаторное представление геометрии задачи (для визуализации геометрии использована программа MCU Viewer); б) представление геометрии на r,z сетке (190x192) задачи (для визуализации геометрии использован скрипт Maplook и программа SURFER, дополнительные смеси обозначены как 49-ый материал)

Рис. 26. - а) Поперечное сечение РУ В-320 при z=22.6 см от низа A3 (желоб насечки); б) то же на г, <9 сетке (120х 190) задачи. Для визуализации геометрии использован скрипт Maplook и программа SURFER. Дополнительные смеси обозначены как 49-ый материал

а, радианы

а)

Плотность потока быстрых нейтронов с энергией Е>0.1 МэВ, в выгородке (г=167.75 см) ппп VF метод, 240 интервалов по угловой

переменной 0 I ! , № метод, 120 интервалов по угловой переменной 0

0.2 0.4

8, радианы

б)

Плотность потока быстрых нейтронов с энергией Е>0.1 МэВ, в выгородке (г=167.75 см)

_._, VP метод, 120 интервалов по угловой

переменной В ^ ^ Без дополнительных смесей,

120 интервалов по угловой переменной 9

В Приложении приведены титульные страницы Аттестационных паспортов для программы КАТРИН:

1. Аттестационный паспорт №356 программного средства «Программа КА-ТРИН-2.5 вместе с пре- и пост процессорами и библиотеками констант ВСЬ440 и У7-200Ж70», заявитель ПС: ОАО ОКБ «ГИДРОПРЕСС»; область

применения ПС по типу объекта использования атомной энергии: реакторы ВВЭР-440, Ростехнадзор, 2014.

2. Аттестационный паспорт №357 программного средства «Программа КА-ТРИН-2.5 вместе с пре- и пост процессорами и библиотеками констант BGL1000, BGL1000_B7 и V7-200N47G», заявитель ПС: ОАО ОКБ «ГИДРОПРЕСС»; область применения ПС по типу объекта использования атомной энергии: реакторы ВВЭР-1000, ВВЭР-1200 и ВВЭР-ТОИ, Ростехнадзор, 2014.

Публикации в журналах из списка ВАК и иностранных журналах

1. А. М. Волощенко, А. А. Дубинин, "Р03-6.3 - программа для решения уравнения переноса нейтронов и гамма-квантов в одномерных геометриях методом дискретных ординат," ВАНТ, Сер. Физ. и техн. яд. реакт., 1984, вып. 6(43), с. 30.

2. Т. А. Гермогенова, А. М. Волощенко, "К развитию метода дискретных ординат," ВАНТ, Сер. Физ. и техн. ядерных реакторов, №5, 57 (1985).

3. Волощенко А. М. Численное решение нестационарного уравнения переноса с импульсными источниками // ВАНТ, Сер. Физ. и техн. яд. реакт., 1986, вып. 4, стр. 17-21.

4. А. М. Волощенко, А. В. Швецов, "Опыт использования нодальных схем для решения стационарного уравнения переноса нейтронов и фотонов в двумерных защитных композициях," ВАНТ, Сер. Физ. и техн. ядерных реакторов, №1,31 (1992).

5. Yu. I. Balashov, V. V. Bolyatko and A. M. Voloschenko, "Sensitivity and Uncertainty Analysis on the Base of One and Two-Dimensional Transport Calculations," Transp. Theory and Stat. Physics., 22, No. 2&3, 331-345 (1993).

6. Averin A. V., Voloschenko A. M. Consistent PI synthetic acceleration method for outer iterations // Transp. Theory and Stat. Phys., 1994, vol. 23, №5, pp. 701 -730.

7. A. M. Voloschenko, T. A. Germogenova, "Numerical Solution of the Time-Dependent Transport Equation with Pulsed Sources," Transp. Theory and Stat. Phys., 23, No. 6, 845,1994.

8. T. A. Germogenova, A. V. Shwetsov and A. M. Voloschenko, "The Adaptive Positive Nodal Method for the Transport Equation", Transp. Theory and Stat. Physics., 23, No. 7, 923 (1994).

9. A. M. Волощенко, " KP1 схема ускорения внутренних итераций для уравнения переноса в двумерной геометрии, согласованная со взвешенной алмазной схемой,"Ж вычисл. матем. иматем. физ., 41, №9, 1379, 2001.

10.V. A. Pechenkin, Yu. V. Konobeev, I. V. Pyshin, E. E. Petrov, V. A. Khoromskij, V. P. Kryuchkov, A. M. Voloshchenko, V. I. Tsofin, K. G. Rozanov, "Method for calculating the characteristics of the damaging dose for VVER vessel steel," Atomic Energy, 100, №5, 332-339 (2006).

1 l.A. M. Волощенко, А. А. Руссков, M. И. Гуревич, Д. С. Олейник, "Расчет нейтронных полей в активной зоне реактора с помощью аппроксимаций,

поддерживающих балансы масс в разностной ячейке сетки," Атомная энергия, т. 104, вып. 5, стр. 264-269, 2008.

12. А. М. Волощенко, А. А. Русское, М. И. Гуревич, Д. С. Олейник, Д. А. Шка-ровский, В. И. Цофин, А. Д. Джаландинов, "Расчет радиационных полей в защите ВВЭР с помощью аппроксимаций, поддерживающих локальный баланс массы материалов и нейтронов источника деления," Атомная энергия, т. 104, вып. 6, стр. 328-333, 2008.

13.Волощенко A.M. "КР1 схема ускорения внутренних итераций для уравнения переноса в трехмерной геометрии, согласованная со взвешенной алмазной схемой". Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 49, №2, 1-30, 2009.

14.М. И. Гуревич, С. М. Зарицкий, В. В. Синица, В. И. Цофин, А. Д. Джаландинов, А. М. Волощенко, А. А. Руссков, Г. Н. Мантуров, "Русский инженер", специальный выпуск, «Обеспечение безопасности АЭС с ВВЭР», стр. 20-28, 2009.

15.А. А. Руссков, А. М. Волощенко, М. И. Гуревич, «Уменьшение дисперсии в расчетах радиационной защиты ВВЭР посредством гибридного метода CADIS», Атомная энергия, т. 110, №1, стр. 6-12, 2011 г.

16.V. A. Nevinitsa, A. A. Dudnikov, A. A. Frolov, A. S. Lubina, A. A. Sedov, V. Yu. Blandinskii, A. L. Balanin, I. A. Belov, P. A. Fomichenko, A. S. Subbotin, S. A. Subbotin, P. N. Alekseev, A. M. Voloshchenko, Yu. E. Titarenko, V. F. Batyaev, V. I. Rogov, К. V. Pavlov, A. Yu. Titarenko, Т. V. Kulevoy, K. A. Gerasimov, A. N. Didenko, S. M. Polozov, "Analysis of the Possibilities of Developing a Molten-Salt Blanket for a Subcritical Demonstration Reactor," Atomic Energy, vol. 117, Issue 1, pp. 14-18, 2014.

17.Yu. E. Titarenko, V. F. Batyaev, К. V. Pavlov, A. Yu. Titarenko, V. I. Rogov, V. M. Zhivun, Т. V. Kulevoy, N. M. Sobolevsky, A. M. Voloshchenko, A. N. Didenko, S. M. Polozov, A. B. Koldobsky, P. N. Alekseev, P. A. Fomichenko, A. A. Dudnikov, V. A. Nevinitsa, A. A. Sedov, A. A. Frolov, A. S. Lubina, A. L. Balanin, S. A. Subbotin, A. S. Subbotin, A. Yu. Stankovskiy, G. Van den Eynde, S. G. Mashnik, "Analysis of the Parameters of the Target Unit of a Molten-Salt Subcritical Electronuclear Facility," Atomic Energy, vol. 117, Issue 1, pp. 19-28, 2014.

Подписано в печать 24.02.2015. Формат 60x84/16. Усл. пен. л. 1,1. Тираж 80 экз. Заказ А-2. ИПМ им.М.В.Келдыша РАН. 125047, Москва, Миусская пл., 4