автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Адаптивные методы статистического моделирования для решения задач теории упругости и теплопроводности

смет--петербургский гс-ïтдаpctfенннй технический .тниргрскггт

Р Г Б ОД

На npasSvx рдапгглси

Heenes (?лйвииир МпхзАю-г.ич

Аалптиь'пж иг юзы спшсшссксго моделирования № ршшия задач mm упругости и тшоп&мяности

Спсцкшность 05.13.16. Применение рычис/кггелыюО техник« ттоюпцесксго моделпроепны и штематически* мктздоа в научш'х исследованных

Лвтореферзт аиссертйции из соискание /чекой стегегли сактора Физнмг-мэтематичссгмх паук

Саикт-'Петербург, 199«)

Л

Работа выполнена в Санкт - Петербургском гизуда1л:|ч.е1Ш;.м техническом университете.

Официальные ошюнентщ доктор ми. пат. наук, ■ профессор Л.Б.Клебанов, Санкт Петербургский Г'осудары ь<.-ниыи университет архитектуры и стрсиааьсгьа

доктор фио. иат. наук

Ь.Б.Мелас, Санкт -Петербургский государственный университет

доктор Фи1. • маа. наук, профессор П.И.Гк¡.лип, Московский фиаико-ч ачсскии ни т

Ведущая организация - Институт проблем машиноведения РАН,

"Санкт-Петербург

Защита состоится "]9у4 г. в часов на заседании специализированного совета Д 063.38.16 СПОГТУ Но адресу: 195261, Санкт-Петербург, Политехнически! ¡¿У, корпус_./_, ауд^/.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке университета.

Автореферат равослан 1994 г.

Ученый секретарь специализированного ¡совета, канд.техн.наук / С-И-Решш

У '

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Прг -_г гирование современных машин требует проведения большого обг работ по оценке прочности и теплового состояния конструкций. Эти расчеты, как правило, оказываются сложными и трудоемкими и требуют больших еатрат как интеллектуального труда, так и машинного времени. В ряде случаев при расчете пространственных конструкций сложной конфигурации возникают значительные вычислительные проблемы, одной из которых является так называемое "проклятие размерности": получение численных решений подобных задач механика! требует решения систем уравнений огромной размерности (103 -10е), что в срою очередь, является источником погрешностей вычислений.

Существует несколько путей преодоления этих трудностей.

Первый из них - совершенствование средств вычислительной техники: увеличение быстродействия, памяти, скорости обмена между устройствами. Однако этот путь постепенно выходит на свои предельные возможности и, кроме того, это весьма дорогое-, тоящий путь.

Второй путь - распараллеливание вычислительных процессов и создание новых вычислительных систем и технологии программирования. Этот путь требует пересмотра алгоритмов вычислительных методов. Численныэ методы, рассмотренные в настоящей работе,- в значительной степени адекватны идеям параллельноге программирования, что делает их весьма привлекательными дл? дальнейшего развития и сонериенствоваяил.

Тр.этий путь - разработка численных методов, способны;? адаптироваться в процессе вычислений. В первую очередь гто относится к процессу дискретизации' области (или формирований сетки). По этой причин? ч настоящей работе особое внимание уделоно построению ргзлишых адаптивных алгоритмов, что чезво-ляет существенно автоматизировать вычислительный процесс и добиться угкере-шя сходимости,

Тагам г;о¡г-с'си, разработка к совершенствование вычисли-тель-у метегля, ^'-.етжчмх в себе гибкие адаптивные процедур».' . и яо.-уч»'«-'"'-:' иле шв.ъиия алгортнов. с иелья чк даль-

3

нэйшего использования в системах автоматизированного проектирования (САПР) представляется ьесьыа актуальным направление) ¡моле даваний.

. Цель работы. Целью настоящего исследования является создание новых статистических алгоритмов для Задач, ранее не решавшихся подобными методами, и совершенствование известны; статистических процедур для повышения скорости сходимости i обеспечения высокой автоматизации вычислительного процесса npi решении задач теории упругости и теплопроводности.

. Научная новизна. Разработаны hoeus подходы к фундаментальным проблемам вычислительной математики и вычислительно] механики, основанные на применении механизмов адаптации в процесс? вычислений. Наиболее значимыми новыми результатам;! являются следующие:

- Создана методология адаптации вычислительных процесса в статистических алгоритмах вычислительной математики и механики;

- Разработан адаптивный алгоритм вычисления многомерны: интегралов методом Монте-Карло, обладающий повышенной скоростью сходимости. Скорость убывания среднего - квэдратичноп отклонения сценки интеграла от его истинного значения в предлагаемом подходе составляет 1/А/ , в то время нйк в традиционном - 1/{ы , где /V - число узлов интегрирования. Численны! экспертен^ом подтверждена- практическая эффективность алгоритма.

- Предложен полустатисгнческий метел' численного репэни1 интегральных уравнений, обладающий рядом алгоритмических грей муществ по сравнению с существующими методами.« Доказана эг сходимость. Получены формулы для оптжн-апки структуры случай чоп с>?гки интегрирования. • *""

- Предложены новые разновидности метода случайных блуяда-нии (алгоритм МСБ со смещенными центрам:!, алгоритм МСЕ с чэс тиччым интегрированием, метод модуляцпч), обл?дэк':;иэ нсвыген ной с, орсстью сходимости и позволяющие расширить гласс решае мых краевых ¡?адач. Доказана их сходимость.

- Разп;Вотаны алгоритмы МСБ для репеяия таких задач, гл задаче об изгибе опертых пластин о контуром произвольного ви дй, задача об изгибе защемленных пластин, плоская задача тес

ш упругости, задача Неймана в плоской и пространственной теши теплопроводности. Ранее эти задачи не решались методами гучайных блутданий.

Ряд результатов относит~я к фундаментальным проблемам тети упругости:

- В инвариантной форме построены регулярные интегральные ¡авнения первой и второй гадач теории упругости (уравнения эурпчеллы п Еейля).

- Для ряда классических пространственных областей едино->разно методом потенцизла построены аналитические решения не-зсредственно интегрального уравнения Лауричеллы. Для полого 1ра решение получено впервые.

Достоверность результатов, полученных в работе, подтверж-

;на:

- доказательством теорем об асимптотической сходи,»ости зедложенных методов;

- численным моделированием, результаты которого, в свою 1ередь, подтверждены сравнением о аналитическим решением (при зшении тестовых задач) и сравнением с аналогичными величинз-!, найденными экспериментально, а также методом конечных эле-энтсв (при расчете деталей трансмиссий).

Практическая ценность. Предложенные адаптивно-статисти-эские алгоритмы облздают высокими потенциальными воэмсжностя-I самонастройки вычислительного процесса к особенностям реаа-<ых задач, они слабо зависят от размерности решаемой задачи и эоыетрик рассчитываемой области. Данные алгоритмы есгеотвен-сРраасм могут быть р;спарзллелены и вследствие этого \ они эгут являться базой для создания специального математического Эеспечения, предназначенного для транспьютеров - многопроцес-эрных ЭЕМ. производящих параллельные вычисления.

Один из метсдоЕ, предложенных в настоящей работе, сочета-т в себе пта^истйческие и детерминированные операции (й пото-у назван лол-/статисти,:еским) предназначен для численного ре-ечия читет-пальных уравнений. Метод позволяет рекурреНтно уве-пчирать гм1г:?ство у г.ют- случайной сетки иятегр"рсван;т на с5от ггпкяг* числ-), а также олтгой'эировать се структуру и онтр гяпр-ядт? тэтносп получаемых гцеток в нсоце :<■■•? г.ьгпюле-

Другая группа методов, рассмотренных в данной работе. ... сит название метода случайных блужданий ;МСБ). Этст метод тое-воляет определить напряжения или температуры лишь в одной или нескольких точка;'. без определения всего поля решений. Метод удобен для использования в задачах, в которых требуется определение лксь экстремальных значений неизвестных, прич~" ?она их действия предполагается известной. К этой категории относится достаточно широкий шфсс мэлшнострпительных гадг-ч по определен® максимальных наряжений или температур, т.... при этом положение опасных зон конструкции, как правило, хооошо кавестно.

■ Кроме юге, удалось создать класс адаптивных статистических алгоритмов для вычисления многомерны/ интегралов, облздаю-щих тэкими же скоростями сходимости, (эк и их детерминированные аналоги-.

Проведенные расчеты машиностроительных конструкций предложенными методами погволили выработать рекомендации по '..одер-ниаации изделий.

Публикации и аппробация работы. Основное содержание работы отражено в 3?. печатном труде.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедр "Механика и процессы управления^ и "Колесные и гусеничные машины" Санкт-Петербургского государственного технического университета, семинаре кчфедры статистического моделирования Санкт-Петербургского государственного университета (Санкт-Петербург, 1984), оеминэр-э кафедры "Теория упру-гбети" Московского государственного университета (Моаза, Драя, на Совещаниях по применению интегральны* уравнений 'Пущине, 1984, 1985, 1988), I Всесоюзном симпозиуме по математическим методам механики деформируемого твердого тецга (Мсс-леэ, 1984), на УП и УП1 Всесоюзных совешэ>:шх "Методы Монте-Карло в зычислителыюй математике и математической Физике" (Новосибирск, 1935, 1991).

Объем работы. .Диссертация состоит иг одиннадцати глав, заключения и. списка литературы и насчитывает 357 страниц, в том числе 295 страниц основного текста. 37 рисунков и 11 таблиц. Список литературы состоит Иг 179 наименований. 6

Содержаний диссертации

Диссертация структурно состоит из введения (глава 1) и двух частей. Первая часть (.главы 2-6) посвящена разработке адаптивно-статистических методов вычислении интегралов и решения интегральных уравнений, а вторая часть (главы 7-11) - разработке метода случайных блужданий для ревгения краевых задач теории упругости и теплопроводности.

Первая глава является введением, в котором обосновывается актуальность проблемы, формулируется цель и задачи работы, а также кратко излагается ее содержание.

Возможности традиционных Детерминированных численных методов, к которым в первую очередь следует отнести метод конечных элементов (МКЭ) и метод граничных интегральных уравнений (МГИУ), впоследствии нааваяйый метод граничных элементов (МГЭ), изучены достаточно глубоко. Значительный вклад й разработку МКЗ и внедрение его в вадачах механики и теплопроводности внесли: А.Аргирис, Дж.Оден, О.Зенкевич, Е.Галла^ер, Л.Сегер-линд, А.И.Боровков, С.О.Лазарев, Ю.К.Михайлов, в.А.Пальмов, Л.А.Розин, Н.Н.ШабрЪв и другие ученые. Среди основных разработчиков МГИУ следует назвать следующих исследователей: Л.А.Алексеева, М.А.Алексидзе, Ю.В.Берюжский, Т.Г.Гегелиа, Л.В.Канторович, Ю.Д.Копейкин, В.Д.Купрадзе, В. Н. Кутрупов, В.Г.Мазья, Л.Е.Мальцев, С.Г.Михлин, П.И.Перлин, А.Г.Угодчиков, Н.М.Хуторянский, Р.Баттерфилд, П.Венерджи, К.Бреббиа, Г.Жиро, Т.Уоккер, Т.Круз, Ф.Риццо и другие.

В настоящее время эти методы всесторонне изучены и широко применяются в вычислительной практике. Данная работа посвящена другому направлению •• созданию новых и совершенствованию иэ-вестных статистических методов расчета.

Статистические методы потенциально обладают возможностью полной автоматизации процесса вычислений, они слабо зависят от размерности решаемой задачи и геометрии рассчитываемой области. В последнее время интерес к этим методам усилился в связи с появлением транспьютеров - многопроцессорных ЗРМ, производящих параллельные вычисления. Статистические алгоритмы расчетов р^т^с грлчтп^м образом могут быть распараллелены и вследствие

этого они могут .являться базой для создания специального математического обеспечения, предназначенного для транспьютеров. ■

Большей Еклад з развитие методов'статистического моделирования (метода Монте-Карло) внесли Ю.^.Ьулавсклй, £.С.Еле::ов, С.М.Ермаков, А. А. Шиглявский, А. А.Кронберг, О.Ю. Г.ульчицчий, А.Г.Михайлов, В.В.Некрутюш, Б.Е.Победря, А. С. Расулса, ;. К Са-бельфельд, А.С.Сипин. h.M.Соболь и другие учение.

0дн1щ из новых 'пероП-'ктпвнцх направлением, воз' -шгм е последние гедьг, является „лмод ртохастг.ческих конечных элементов, представляющего собой сочетание статистически:; и дете{минированных подходов.

До настоящего времени использование статистических методов расчета Сыла сграчиченс двумя обстоятельствами: сравнительно слабой (по отношению к детерминированным метода.:) скоростью сходимости, а также недостаточной проработанностью (а иногда и огсутстви'ем) статистических алгоритмов для решения наиболее часто встречающихся в инженерной практике задач теории упругости и теплопроводности.

Целью настоящего исследования является восполнение этих пробелов путем создания новых статистичейшх алгоритмов для задач, ранее не решавшихся подобными методами, и совершенствования известных статистических процедур для повышения скорости сходимости и обеспечения высокой автоматизации вычислительного процесса при решении задач теории'упруг ссти и теплопроводности. Реализация поставленной цели осуществлялась как за счет ис -\аьзовання в статистически;': алгоритмах достоинств детерминированных методов, так и за счет разраСотки и применения c ie-i;mjxKb:x адаптивных процедур.

Го вюриЛ 1'лаве палеяен разработан. :ь!й адаптивно-сташсги-ческт метод вычисления интегралов, • оСлэдающш достсинствзми статпстяческгх методов ( е о зыс.* ность рек,ррент!. .то • «рацилагоя дя^огг числа' узлов сетки с оптимизацией ее .трктуры) и зри зтем обеспэчпЕвлщш столь же высокую скгрость сходимости что и у детерминированных аналогов. Численньм экспериментом прогл-ляотгпг.-ована эффективность данного метода при вычислении ряда шггетрэлог.

Чгним из серьезных недсстатксв классических процедур гы-Н ■

числения интегралов методами статистического моделирования Является сравнительно нй'зкая скорость сходимости этих методов -порядка , где Д/ - количество точек, в которых вы-

числяются интегрируемые Зузюти. Поэтому в теории метода Монте-Карло большое внимание удчя/тся вопросам ускоренна их сходимости на основе учета априорной информации. Основными приемами такого рода ускорения являются: частичное аналитическое, интегрирование с выделением главной части; метод существенной выборки; методы выборки по группам; ишметризация подынтегральной функции; использование взйешенных оценок и т.д.

В данной работе установлено, что если' априорных данных с классе интегрируемых функций не имеется, то возможна их ''реконструкция" в процессе моделирования и учет этой реконструкции в алгоритме.

Идею метода изложим на примере вычисления одномерного интеграла. Рассмотрим задачу . оценивания значения интегрс1а на множестве 1} от положительной функции . предположим,

что "стоимость" получения одного значения этой функции, соответствующего входной величине X £ /Э , достаточно большая. В связи с этстл сценку с заданной точностью искомого интеграла

I- 1/бО с/зс (2.1)

э

необходимо получить по возможно меньпему числу значений.

В овяеи о проблемой оценивания интеграла (2.1) в списаниях • предположениях рассмотрим процедуру метода »¿с-нте-КАргр

¿-¿^ ~г\ . <*о, = Г

* ¿" ¿4 ' (Е.Я)

Гдо - независимы;} случайные величины, гэспредэленныг ч.

"Ъ с плотностью герсэтностй Р (х) 5 ЦЫ

я

Отметим, что в литературе процедуру метода Монте Карло оэссмэтривайс обычно при одинаковы* плотностях (-'СхХ В

этом слте величин? дисперсии .доказывается фунга-юначьяо гев'Л сам» от плат«з-сти Р(х.) . Кзвеотен полый ряд спеши«них яри-гмив ЗАгянич платнотти /Тс.) пс известным эпрш^шм сйОистНм

/('Х;]1 таким образом, что(5и умгкгапа величину яисягрмти

Г1

оценки X) • Гесрбтнчески при У (х) ъ 0 , как показано е литературе, величина JD может быть уменьшена до нуля при

р(х.) = (а:3)

Однако для этого нужно заать искомое- значение интеграла J , поэтому практически учет только априорной информации с5 /(х)не мижет обеспечить сходимость по дпснероги оценки (2.2) сс скоростью, большей,чем f/t/

Предлагаемый ниже псгйсд п?5всля5-г с/швсгзеино и..*ыеить скорость схсдимости сценок вида (2.2) з& счет использования полученной в ходе оценивэдия информации сб ь разыгран-

ных ранее течках ЯГ; и ее преойразовлшш в "лучшие", чем ранее Рс (х).

Рассмотрим одномерный иатеграг (2.-!), т.е. 0 = Са, ^ J С О.^ , на котором подробно спишем и исследуем процедуру адаптивного алгоритма его статистического вычислении .

Поскольку оптимальная плотность f(^) с учетом (2.3) пропорциональна интегрируемой функции, то межно-предположить, что дисперсия оценки 1.2.2) будет тем меньше чем бл!ие значе- , ния используемых плотностей вероятности /? (х.) к нексторой функции, пропорциональной /(x.J . при разыгрывании рабочих точек по класотеской процедуре информация о значениях подынтегральной .функции используется только для построения опенки. Однако можно использовать эту же информацию для "улучшения" еидз плотности вероятности, с которой яыбиржея рабочие точки. При этом параллельно процедуре оценивания будут происходить видоизменение плотности вероятности, адаптация ее к еиду подынтегральной функции. В качестве конкретной лроцедугы адаптивного? видоизменения плотности веролтяг-стн предлагается i ри-менкть процедуру 1сусочно-постоянног интерполяции функции ) а последующей нор;дфот:ой.

Пуст ь имеется выборка 0СГ/ 3 „ случай --¿к величин,

pscm -.деленных' соответственно с плотностями Р< ,

s л/ г; 'удовлетворяющими условиям J - /,

/?• O'J >0: при всех 7.

. Построим плотность, вероятности f//t.1 (х.У следующим об-

разом: ; "

л "" , (2.4)

ГДв К"* порядковые статистики,

полученные из выборки Л,/*,,Ягм . Разыграв С*/< 4) -ю точку ' ■ в соответствии с условной плотностью С*) получаем базу для следующбго шага аппроксимации плотности в соответствии с (2.4). Первые три пагз построения плотности изображены на рис. 2.1, где обозначено

Теорема 2.1. Пусть дифференцируемая функция такова, что для всех х-^Сь, (1 существуют постоянные М, £ такие,

что ¿-'о*.

Тогда величины , определяемые алгоритмом оценивания

(2.2), (2.4), сходится при М-* о** з среднеквадратичном смысле к значению I ьнтегралз (2.1), причем их дисперсия

¿'I-'»J ~ (2.5)

Таким егсдгоу. скорость убывания дисперсии оцгнкп имеет порядок

Идея адаптивного вычисления интегралов методом Мойте-Кнг-то 5;;яа ч^обцЕча пля ДЕумерних и мнегомеркыч гатегрггрй.

тси разработанным алгоритмам были проведены числияый ^сперинентм па вычисления интегралов вида

различим* значениях кзржет^св Л, Я/, и рзаяячнем

«<сле трч?к икгегрирагэния Дал численных экспериментов вый->ан пкмвд аэннче интегралы з сеязи а тем. что эффект адепта-дци при вычислении интеграмв зашей! здесь от ¡формы экстгаму-

Н

ма (пологий, ярко вырзкенвнй) подынгя-рюыдап фуугкцяч различной v.pv различных ¡значения;: параметров.

Анализ, полученнкк в .топе эксперимента дзннь-у гьжзгигэет. что эЦ$кт адзпгагпт нзчпнзгт ста5илбнс проявляться с числа рагнгранчых точек N»400. Скорость сводимости по дисперсии в случай адаптивной плптнпстн сказывается на порядок выше, чем при pasHOUPpnofi. что соответствует тррретичесиш ni-геокгм с сксрсгсти сходиуости адаптивного алгоритма.

В трптьг.я главе предложен спссгЕ ржния интегразмшх урявкегай стсэяяогэ твяа, содержащий детермпнирсваявые и стз-снстнчаспп? опэрацпп п потому иагываеккй пслусгзткствчэскик• Г?к в дотврг/икговзшаж четсдах, еааача сводится г. решении ел-геРргпмсской егстгмн уравнен™, однако приблгженпгя га-:<?яа ая-тегрэлз Кзречноп су;г:си производится з ссотвеготвш с методом Монтг-Кнрм. Шкяггкз Схсгшзсть предлс ценные злгаришзг. Исс-деран?н вопрос ой оптптгацки структуры случайной сетки интегрирования. попучекы Формулы рекуррентного представления алгоритма.

Пусть задано ограниченнее га.'-снутоэ мшгество £-парного ерклидсва прост;аястга - Рассмотрим интегральное урэвй^кие фргдгольиз второго рола

> - уYrj

с «¿ром iLfo'^- 1г. (Ъ) , У- некодарое

дейстЕятгЯьвд'? числу, зэгае, что уравнена? С3.1]> гмгег в I гЛЪ) единственное рес?н:;э Y'i-XJ

Пр>;дг.олижкм сначлла, что реяенке уравнения

(3.1) известно и гадач а совокупность стетпстгаевд нгэгвисимик- случайных востогоз >••, ^^ ^

НЮВ/заямы* в дальнейшем случайной сетиой интегрирования и ичекяцк* плотность расгпеоелгнич Рбг) ' Р^Х) ^ О rw

tf \ f

4 ■" С3.2?

Тогда в результате примгтени- п^астетагг» вэрюитэ метет* Шят^рло для ятиелтм ттгръпор уравнегкиг (5.1) запишете?! 0 виаг.

^-£Д ^Х№ , (Э.з,

■ 5 "р1' у = х. , г; ^ ..'у^ " Е Е!!Д?'

(*=*. - К*)7 -/+ и.4)

где ' /'(■Ю - случайная гюгрепнозть вычисления ише-^рала по И'' реализациям; - единичная матрица рэзмага

Жд Л/ ; >

у ( О I.=„.' ;

.-.^ЩГ; Т--1И*1..... /¿уг;

При достаточно общих предположения!', о фикциях К к У5^) погрешность , по своему построении является

несмещенной о дисперсией, стремящейся к нулю при Л/-;> ^. в связи с ётим следует ожидать, что величин« У? , приученные из системы 'уравнений

где

будут в некотором смысле близки к причем решение /ранения (3.1) при яюЗом ,..мо:«9т быте

оценено с помощью ' по формуле

Выражение для точного решения:.. получается гри

подстановке в (3.3) значений фСх,) , найденных из системч

(я,4)■

<4

'Я, р

М) -£ №*) - К,)- V -а у

Списанный спсссб приближенного обращения интегральна:', операторов имеет хорошо известные детерминированные прототип», стрсншиеся на базе квадратурных 1 формул. Однако при использовании мощных вычислительных малин предлагаемый метол имеет существенные алгоритмические преимущества, заключающиеся в вттжности:

1) эвтсмэтизировать процесс расстановки узлов тег-сп интетировачия;

2) сочтать постепенное наращивание объема сетки рр'-угрентным пбрашениен матрицы Е^ — ¿С/ ;

3) контролировать точность приближенного решения в процессе рекуррентного обращения и вырабатывать правила остановки вычислительного процесса;

-1) оптимизировать структуру сетки путем рационального еыбора функции р Ос) по предварительным оценкам решения.

Б качеств? критерия точности получаемого реш°ния возьмем фулпшснал

' я

гв<? - весовая функция, учитывающзл возможность рас-

лячтю, в вгчк'Ямссти от X требований к точности зцет«»

реоеннч; М Г 5 - сгмвол математического сжицачгя.

Для обоснования схсдимэсти метода введем' обозначен»-.

... . К1Г£Л~д*д*...*2,. где X. 6® ■■ неэзштси-

мне случайные величины, распределенные с плотностью Р С?) . которые фигурируют в полустзтиетическсм методе (3 3)._Рл«:кот-Р1Г.1 полное линейное нормированное пространство ЯР тор-функции ,,,) с нормой, заданной чо 1сГ!-'.улг ____1_________

Чет И . £ обозначим операторы, яейстешдое. соответствен»«»

из 9 е себя и определенные по формулам

где матрица К^С^) определена по формуле (3.5). введем также для всех ядра

кь, mow ,3. ш

0г9 b)iKit, . 3 ig)

Для упрощения индексации будут испольэсеегьоя т&ч*.е сбсгн'.че-

при *}()() = 1 для все:; Хс^ .

Сход.'шссть полустзтнстическсго метода следует и? справедливости следуют::.: тгсреы.

Теорема 3.1. Пусть д.-я решения юлегрзльнсге уравнения выполнено условие, ^М; у . < ^

и, кроме того, справедливо неравенство

то t

<во (Г> 1П

.-- - ,

t; iM ^m^ .

Углсвия, при когооьг: справедлива ов?яка (S.J5), сфариг/ея-рое.аны в. гесреке 3.2.

Теорем? 3.2. Пусть выполнены углэнпя:

1. Интегральный оператор в уравнении (3 1) не вырзтпен! г. Лля .тг.бьг-- кчэтесгв G.C*^) таких, что ic/x^O < = i ЯЯР°

g. ' '

^^/У) интегрального уравнения (г 1', непредставимо в виде произведения WXty Xf&(j ■,

•3. С>Т£СТ8У)7Г такие постоянные А, Аг рс . что для всех X 6'й справедливы неравенства

(3.15).

Тогда пр; достаточно больэдк . таких. что

0= <<( 1 {ЫЧ

где С+ - ограниченная величина, зависящая от Аг_ /о и интегральных характеристик решения, система уравнений (3.?) разрешима, и справедлива оценка

Оле)

Г 1-у

Рассмотрев структуру функционала (Л^ {6 (3.14), характеризующего псгрешность получаемого решения, видим, что оптимальной плотностью (х) будет та, которая доставляет минимум выражению, стоящему под знаком радикала в (3.14). Решая эту вариационную задачу при условии (3.2), получаем, что

где С - нормирующий множитель.

Соотношение (3.17) открывает возможность последовательного улучшения Еыбора плотности распределения , если в качестве точнего решения в (3.1?) подставлять его текущее

приближение у (х) ■

Глава заканчивается описанием специфических способов применения метода для интегральных уравнений со слабой особенностью. Установлено, что для применимости полустатистического метода необходимо, чтобы ядро соответствующего интегрального уравнения должно шзть слабую особенность (порядка ^ £ ).

Чехиертап глэпа посвящена применению пег'отзтпепмеерго метод?, к задаче виброправсдности. Построены интегральные ур^Е-веягл зля рассматриваемой гздача. Часлзним епепер'тментои на ряде тестовых задач про;ия'.зстрирсвзны возможности ь'ззэт и эффективность оптимизации структуры случггасн егтки.

С учетом аналогии медоу т®плсбк.:и и вцОрациончгло язлгни-ями з работах В.А.Яальылва была яолучен.ч слегутеазя краем« -'Задача для ЗгШатдапнои с

П

В обгеие V , занимаемой обгекгам, должно выполняться уравнение

- 14.п

п на гр.=нивд объекта О - условие

п- К- ъБ = /

г ~ * • (4.2)1

Здесь Ь - спектральная плотность ускорений точек среды. - тензср вибропрозрднасти, характеризующий анизотропные- свойства среды. Он симметричен и положительно определен. Кроме тего, б данной случае он считаете? постоянным.

Б ссстЕ£1ствк1: о метода,:)! теории потгнциалз реяевис -вой задачи (АЛ), (4.,?) юг°тся в виде потенциала

где

^•л/цл/ - расстояние от точки наблюдения 6 \/ + О до текущей точки

Для иачеедения неизвестной плотности поче^циапз получается интегральное уравнение второго рола

(«) = ,4.Б)

где А/ п М - точка наблюдения а текущая точка на па-веряности 0 •

Для дальнейшего эффективного применения пшустатистетес-кого метода была произведена регуляриеашл -построенных уравнений.

При численном моделировании были рассмофены задачи об зллипссиде под постоянной нагрузкой и о.сфере под имлульанси. Исслевовзлось влияние вытянутос-ти эллипсоида на результаты расчетов, а тэгае эффективность нримен.нил неравномерной случайней сетки.

Расчеты, проведенные на равномерном случайной сетке, сое-1 ой лей яз 1Ю узлов, показали, что в точках, распйгшеняьк

здаля от купцов эллипсоида, статистическая погрешность является чрезвычайно малой дада для втянутых тел, когда отношение полуосей составляет 1:6:1. Однако при приближении к концам относительная погрешность заметно возрастает и составляет 3,93 для эллипсоида с отношением полуосей 1:2:1, 18,7% для соотга-uemiR 1:4:2 и 16,6? для отношенвл 1:6:1. Таким образам, подобной случайной сеткой из 160 узлюв иажно пользоваться для не слишком растяну шх эллипсоидов (с отношением гюлуссей порядка 1:2'-. 1). Для Солее вытянутых тел следует либо увеличить количество генерируемых тачек, либо последовательно улучшать плот-насть распределения генерируемых случайных точек, гдз а Качестве первого приближения можно. испольастап нзидекнег рвение интегрального уравнения.

При решении задачи о сфере-, ннйодвиеис.ч под действием единичной нагрузки, приложенной к малому участку Лжами поверхности, представляет интерес исследование влияния размера площадки нагру&ения на величину статистической погрежесхи. При этом разумно, отказаться от равномерной платности ркспреде-ления f(x) , так как па физических сосбралений «сно, что, случайную сетку следует сгупрть в области наиболее- Duftplrс изменения решения, т.е. в пространстве под нагрузкой.

Результаты моделирования показали, что Брали от пгоа.кдк.»« нзгруаенил относительная погрешность сравнительно мала и составляет пр««{-рнс 5Z как для случая, когда аловддь зона натяжения составляет 0.125 полной поверхности сфер«, та? и д.*« случая, когда зте; отнешешге составляет 0.(245. Однаюс в зоне нагру^еьмя и при приближении к ней статистическая пигрс-'л .чость возрастает и суа.«ственнь;м образом зависит от степени км пупьсноста нагрузги.

В пятоИ главе рассмотрены особенности применения пслустг тистичеокого метода для решения интегральных уравнений первой основной 'ядачи теории упругости. Б инвариантной ферме приведены соответствующие интегральны^ уравнения. Для ряда классических областей (шар, шаровая полость, полый шзр) построена аналитические решения непосредственно к'ятегралыюга урчьн^ипя. Приведены результаты численного моделирования на тгетшых за-

дочз'д.

t'J

рассмотрим класс интегральных уравнений, соответствующих 1-й основной задаче теории упруюсти. Известно, что проблема решения 1-й основной задачи сводится к решению регулярного' интегрального уравнения Лаурячеллы

-(l t(?0 + ¡Ufa, Q)- +(Q)ctOQ tfJ ,

и вычислению потенциала

r" ffftm -ifebfc'* ' 'i - '

- псевдосиловой тензор; 0 - замкнутая поверхность Ляпунова, ограничивающая объем V . J £.

Благодаря тому, что производная rj) нормали^ ß, в исевдосшгавом тензоре выделяется в "чистом" виде, соответствующие еку интегральные уравнения являются регулярными со слабой особенностью и к ним применим полустатистический метод.

При численном решении в качестве тестовых рассматривались задачи для шара, пространства с шаровой полостью, полого шара, для которых были построены аналитические решения для плотности потенциала, то есть непосредственно для решения соответствующего интегрального уравнения. Для примера приведем аналитическое решение задачи для полого шара, ограниченного сферами О-/ я ¿L » ГЭДИусз Qf и соответственно, Q, 7" .

Будем считать, что на поверхностях Of и заданы равномерные радиальные перемещения :

«I =

"/,.,.= , ¿.е.*™«.

Определим пола перемекешш Ц(р) в нолем каре. Решет:? Оудем искать в гид? второго потенциала упругости П рода, учитывая, что поверхность О в рассматриваемой задаче складывается кз двух сферических поверхностей Of и ¿г.

U(f>-J¿Yr:c)-f/0c/(7t!] * ¡^Q)-%(Q)cW1A (S.S)

прячем в интеграле по 0, й вьтражениг з/т? А' ркодчт f. О

внешняя нормаль к сфере 01 в точке Qf О, , а в

инт-грале по - Енешнл:' нормаль (]га к C!t в

точке Q € .

Тогда мслно полагать, что плот поста потенциалов Ч^ 4f определяются следующими формула;!:: : ~

о. /iч ,

' J (5-^-qD -t(ñ)' * * •

Палучэнаи-. фср.'улы врззетэьягп: самостоятельный интерес как аналитическое решение уравнений Лэуричеллы. Кроме того, сяи могут Сыть использованы при тестировании прикладки;: программ численного решения подобны;: уравнений. Отметим тяпке, что если подставить найденные плотности % и р потенциал

(5.2), то в результате получим известно« поле пер^мвцегай (J (р) н полом шаре:

uá) Ш- (?).

При численном моделировании в качестве тестсвсй Счла рассмотрена 1-я основная задача для сера под дейстакеч ра=яоч=рного лая лети. Ирэдпслагаяось, чт-." уярупй аяр радиуса Q, r;cs5ep>eF р=диалъс1о-скх'«етр1гчной и va. г г о по-

верхности задано этстояиязе радпэдьаоо ттер?чгц-<'-!П*е

t t= Cent.

Сра?ненкг численно получениях оцекек с аналитическим решением псказато. что когда число узлов равномерной c?tvch интегрирования А/ ' 54? , относительная погрешность решения га-т?гр5Л<.нсгс урз?нт«ая, паприке?. ио Vi. я* тлэеьчявст 4.. 12. ¡Три зтсм относительная статистическая пзгр<=пнест&, оцениваемая по дисперсии, составляет не более 5,В?.. Отметим, что для Л'дп.ъ-иейзЕго уменьшения погрепкости вычисления клжггноегп Т ис*чо дабе увеличивать число генгрируемн*. точек , либч

псслблоэательио оптимизировать их раотрезелгние путем рзидо-

Í1

к эль пег о выборз функции \>(Q) .

Для исследования эффектквчссти определения оптимальной плотности расположения случайны', углов сетки была рассмсренз гадзча о шаре с перемещениями, заданными по излому участку боковой поверхности. В качестзз первого приближения выбиралась равномерная плотность распределения. В результате решения задачи была получена новая плотность, которая аппроксимировалась кусочно-линейной функцией. Вторичное решение гядачи с найденной плотностью привело к. уменьшению функционала, характеризующего погрешность, на 35%. Повторение описанного процесса позволило снизить функционал еще на 2, IX, что говорит с достаточно быстром процессе сходимости формирования г оптималь -ной сетки пртегрирпвания.

Шестая глава посвящена применению полустатистического метода- к решению интегральных уравнений второй основной еадзчи теории упругости. Используемые при этом интегральные уравнения Еейля представлены в инвариантной форме. Проведен расчет картеров бортовых редукторов п сопоставление полученных оценок напряжений с аналогичными разутьтатами, вычисленными ШЗ.

фундаментальное решение III . рода (по терминологии В.Д.Ь'уирэдзр) представляется суперпозицией двух- декартовых матриц, пропогщ'ональиых соответственно матрице Г.ельвина-Со-чгл!?на ¡1 I II и некоторой матрице JZII , элементы котсрой выра-удапсч 4ер?з различные прсчгрт.лдные потенциала &(R+ «Ü • "десь ?тс решение называется тензором Вейля и записывается в

" ' /л Р-

(6.1)

Эта {¡ерз9е«рнутал фирма записи теигора Вейля предпочптяьна при инвариант1* операциях над ними.

Соответствующий тензору ®ейл? силовой тензор Q строится

Q /¿»Г* ™ <?>Я] /С *

' ~ ' ' , Ч / Г6.2)

- гf4 .

Тензор 0 (к/, М) определяет Е£ктор напряжения на площадке с н. рмалью п^ в лолупрострзнстве и формально так же, как и Ч/См, М) сущеотвуб'.- всюду в пространстве, кроме си^о1: оси ¿¿О • В общем случае при использовании высоте % обобщенного потенциала где - внешняя

-даль к замкнутой псвер/нссти 0 , можно ввести обобщенный ошюеоп тензор С? м), вычислигмый по формуле (6.2) с заменой ^ на Щ}^

Дл? следования особенности С? ^ М) для поверхности О с г'елрерывксп нормалью можно воспользоваться

разделение чоридли в ряд Тмаюрз с оогаточнш членом р

ферм? Лапр?н".;з

' * > (6.3)

где - тензор кривизны Л/, М, М О . В результате приходим к представлению в следующей ферме:

где 4 и В - ограниченные тензоры.

Из (6.4) следует, что обобщенный силовой тенвер О-^м) при /1/ АУ содержит- не только нормальнуп пронгведнуг, ^ , но и слагаете меньшего порядка, в отличие от тзн-

зерз псевдс напряжений ¥, в котором указанная производная - единственная. Таким образом, для второй основной задач!! теерн:! упругости построены интегральные уравнения пригодные для применен!'.?, полустзти-ткческого метода, т.к. пх ядра облкяо? стэ^си сго'ерно'Лью.

Для геленчего моделирования была вьйрана зада'!?, о капря-«енко-дефермированиом состоянии. картеров бортовых редуктогов гусешинк;: мзвкте.

Отличия результатов оценки переметений, вычисленных полустатисттеским^методом, от »кспервмеятаюьнък данных не превышает 12?. з от результатов, полученных МКЭ -Р%, что говорит с достаточной точности предлагаемого метода. Плотность распределения узлов оегкп задавалась неравномерной со сгу-црн;г-ем в рпче горловины кергера.

Г цел'ю уменьшения величины деформаций . картер?, псследо-

палея аппрос о влиянии тол-дим/ скнас картера ка его податливость. При этом учитывались, что результат сд&швзло пелучита с незначительным приростом масс». В итоге были «щеленьг участки картера, увеличение толщины которых приводит К наибольаем.у снотенко подзтдавйсти картера.

Последующие главы 7-11 (часть Н) посвящены разработке метода- случггных Олукданпй (MCF) для оценки реленцч краевых задач лишь в отдельных (например, экстремальных) точке,-vi. Основные идеи и результаты, описанные в этик глазах', состоят в едг-дущем:

- Разработан МСБ о чатлтмныи интегрирование., 05>еспечивай-шш Солее высокую эффективность по сравнен™ с традиционным алгоритмам эз счет уменьшения неабхещугаго числа блуадзний и длины каздой траектории.

- Разработана идея синтеза МСБ со смешенными неиграми, на-основе которой получены новые алгоритмы для решения задач теплопроводности и теории упругости.

- Предложена идея к разработаны алгоритмы метода модуля• ции для построения устойчивых алгоритмов оценки решения и его Ш'фференциальннх характеристик.

- Получены новые интегральны? представления решения внутри круга для задач теории изгиба пластин и теории упругости.

- Предлолэннне методы принешшы не только к задача«, ра-н-е p?maa::ii::c't статисппескп'.'и метгде.мн, но и к новому классу вгдяч.

Р автореферате для краткости при описании состеэтсгэуесмх тлав части 2 мелолены ляиь идеи прадлтсеавых шдккгад.

В седьмой главе приведено построение различных алгоритмов IKB для решения плтоккх задач теплопроводности. Предложен процесс 'случаГ»1сс Служдйний по окружностям ос смещенными центрами и с частичным интегрированием и исследованы их свойства. Доказана схотю'сть предлагаемых алгоритмов МСБ. По результатам численного моделирования проявлено сопостйЕлевиз дрезлагае^ых пой^ВДов с традиционные.

¡уэзги поскроевия алгоритме® являемся формула датегральяр-га лргдстФо/клчнг гашения TY\'J внутри круге равиуеа JZ с V

цгшром & точке у Ь 'х/ через гго значения на «сданастк (рис. 7.1) :

77*; - / '¡<(е в) , ^ г ,

о

- произвольна;, точка на окрудности рьдкусг й. с центрам в точке ^ ; - ядро преобразования.

Идею МСН иакно описать сл&рушим образом. Предположим, что трвЬуЗюя найти значение температуры зелз з тачке Хо Дпя построения алгоритма НОВ прглаз зееге проведем £ -гану грэиищ: /' мко*ества % , считал Г ? О нагаого ¡1знья:.!и Характерного размера инмгетва ^д . Далее сл*дугетм обрэгс/и сфсрмируе:.! процесс бду.ушния по окружностям (рис. 7.1).

Ив аазанкой точки Аа £ '2) , как из центра, г.роьадптся Окружность радиуса Х0 , целккрн лежащая в СЗ и яэеазщз" яся г^аниш Г в точке ХГ> 6 Г . Затем на прямой, прОхс-дяштй через Уг . и Ка , определяется точка , иг.

ксторай, как иг центра, проводится вторая скрудвость радиуса > велика! лежащая в 9) в касающаяся кон'Лра Г ■ в ток же точке ХГв , что и предыдущая окружность с иенг-ром в Л0 . Радиус колет бить ьгят, например, иаксгаэйьнз возисяаын, как на рис. 7.1, или разный , как на рис, 7.2. Б перЕйы случае алгоритм будем называть алгоритм »„"Б с« см?-¡пеяйыня Петра)/:!, а во ззором - традиционный алгоритм !.ГЬ\

Далее ч«тодон Монте-Карло си?н;геается пятэграл ь щзве.й части '7. Г . Для этого на промежутке _С Ятг 3 рарнгрнрается реаясаэния случайной еэли-пшк В , распределенной на этом

премгйуткз с плогкостьи Ра . к полагается

Ж) щ • ■

1Ле я- к ; ■

Если точка Х< не попала £ -зону гр^ниня Г , тг> повторяется процедура построения :падей окружности радиуса ^г о центре!,* в X, и ботвой - радиуса Й, с ц=2»грй» в гоч-

кр у, ■ На большую • окруичость с плотностй» ргепрела/тания

Рис.г.1

Рис.. 7.Z

/1 (Ф бросается случайная точка и величина I в

(7./^) сноез приближенно оценивается методом Менте-Карло.

Этот процесс Ч ^ .., блуждания пс скружн:стя!..

продолжается до тек пор, пока очередная течка Лх окажется в £--зсне границы Г" , т.е. на Г -ом шаге блуждания выполнится неравенство .В этом случае значение Т(^х') принимается приближенно равным ТГХ^) . - блшзйшач к Хх точка гран]щы. В качестве столасттге-:ксй оценки решенна ТСХа) 'ерется следующая величина

Показано, что

М { тЬ.Е, вь 9г)] ТУхп) /■

и, следовательно, если многократно (Д/ ] эг .) лэвтепш прсце^рс блужданий и в результате каждого из них ( Л- -его) получить стохастическую оценку

- е/?..., е(;>)

величины ТСК„) то усредниЕ эти оценки, можно получил сл-пгл угодна точное при достаточно большом А/ и малом приближение величины Т •

Нарядс традиционным, алгоритмом МСВ и алгоритчеи '«.Г'Ч «х смегенными центра.«! в пиве представлен алгоритм 1ГВ с чагпп ним интегрированием, Идея его состоит в следующем. При' вышеприведенных алгоритмов можно заметить, что вьпцо.че.чи; интегралов э правой ччятл представления (7.1) колет прЛаг'*и«о производиться в £. -зоне гранипя Г~ не только не пд"оиу углу и не только на'-лоследнем шаге блуждетм, но и о чиг^^" к-л-ких либо квадратурных формул по всей £. -зона на галлом тге блуждания.- Эта идея и положена в основу алгооттма МСЕ с тичным интегрированием. , Она позволяет повысить с'И^'гг.т'чость МСБ, уменьшив необходимее количество блуждрчпй и ддиьм'яо-.т каждого блуждания. ' ' '

'.. •. ■ п

Глаза заканчивается резульгатами ч'и:.лснкого моделирования и сравнением их с аналогичным!;. танНым'и,' полученными традиционным м»т0деи. Пойааано в чзстноти,' что количество траекторий в алгоритм?' с частичным интегрированием в среднем в 2.5 раза меньше, 'чем в традиционном. Получе'н также существенный выигрыш во времени счета.

Еосьм'ая глава пЬсвнщена разработке МСБ для решения задач сб изгибе пластин. Получены, нэоЗхидимьге Интегралы«:^ паедстав-лейня. Установлены npir-шны расходимости т'р'адйционньк статистических процедур. Предложенные , алгоритмы МСЁ ^ со смещенными центрами и с частичным интегрированием позволили решить новые задачи, ранее не решавшиеся методами блужданий ño окружностям: задзч'а сб изгибе оперты/, пластин с контурбм произвольного вида и задача об изгибе защемленных пластин? Доказана сходимость алгоритмов.

При построении алгоритма для решений задачи .об изгибе опертых пластин о произвольным контуром был предложен метод модуляции, т.е.- идея "нанизывания" неустойчивого алгоритма блужданий о ядрами задачи для пластин с-произвольном контуром, на устойчивый "скелет" алгоритма.о ядрами задачи для пластин с кусочно-линейным контуром. ' Е соответствии с этим методом на первом шаге от исходной задачи с граничными условиями на прогиб ЬУ и момент Мх. ос>тцествляется перехсд к "устойчивой" задаче с граничными условиями на ЬУ и 4 (этап модуляции) . Затем весь процесс блужданий осуществляется с ядрами "устойчивей" задачи. На последнем шаге вновь веэврзшаемел к исходной задаче с заданными граничными условия»!*! на tí" и М\, (этап демодуляции).

Ппедло:«ены приемы, повдааяаре эффективность с- -тпстичес-::их процедур: кусочно-аналитическое вычисление г -г градов го дугам -гоны, распространение,граничных, условии ыутрь рзс-счигк'ваемог области; выбор оптимальной плотности г процессе блужданий. .Установлено, что ошреоть сходимости судес-твенно увмичкв'/Зтгя пси ЕЫбсре оптимальной плотности на п-рвом саг? траектории блуждании. Ил пасдодущк* гага:: Н'-ггпг рогачи? н?-певксмерН'Ои плотности ма.таэффчктивне.

, Численный моделхрог зяием граишлостривована г^Фест из моста

П

построенных процедур (отличия o-¿ здалиттескогэ реимикл еост'а-вил. Е среднем с,\).

В девятой главе .«СБ кримеяег .к ращению плоски;, гзд.чч г;-о,-рии упругости ранее не ревавшихск ».-втодама случайных £>лу.*да-"v*. Приведено гтпдок aírcpimsa г: оценке напряжении и цере-кгщеыъ':. в экстремальных течках ко,-отрукцт;, а тзюхе рёгульт&гн его кеполъгеванпя при решении тео:о=и:-: аа;;ач.

Дося-ai г лапа, .ггляющзяоя а|дмын продолАендем девятой, ¡.•лудит ил. ю< трацпей иепольесЕанил „f. В для гал-.'ене'рных гздач те срии yiipyi "i гл. Решены гцдачи ot определении нзлрлт-ний • в опасных TC'iKfj* вубчагыч колес ; ж-итккы и гибким сводом и дача о внб-зре наилучшего эубогеенсгс инструмента. ИроЕьде'ьнсе г равнение ншфял-.ений, найденных h.iiuf.ou случайных слуаданпй, о .результатами, пс-луч-ыньти МК5, показало примернс сдиинюву». точность, даваемую обоими методами (отличия опоганили 4-9*).

В одиннадцатой главе МОТ испсльвсван для решения 'пространственной гадами теплопроводности. Ввиду тоге, что гакзачи-ком была предлож-на специфическая задача о нагреве атгвш*., геометрически представляющего собой сонскупнсоть параллелепипедов, было признано целесообразным разработать для ее репени:-: метод блужданий но параллелепипеда!-:, а не но сфера,!, для уско рения сходимости. Получены необходимые- интегральные пред:т?Е леиия для i .г;:алл".!ншп<?дя. Пост; г -н сос-гретпвущвй алгоритм м:в, прове ,ен aiu-unp ею- сходлтсти и исследовано-, випянне :лати':т1:ч; :к,:й и сиот-маипеокой i кг.Сок на сценку решения.

В элключшми сформулированы основные результаты, получен - • нне в раб уге.

1. Создана ме-тодаюгиа адапгщии вычислительных процессов в статистически:: алгоритмах ьыч глител-..ной математики и мехп-ники;

Г', разработан адшнивный а-торитм вычищения инсгссерш..-:

пнтегра'хл методом Монте-Карло, сч$л.здяоциЛ posta.sbix-Д скоростью ехдимооти. скорость у ызакял среднего квадг-мичного откаоиенвг оценки, инт-гряла от его истинного эна-.ешш р. нред-

¿3

лагаемоы подходе составляет , в то время как в традици-

онном - 1/ ^л/. Численным экспериментом подтверждена практическая эффективность алгоритма.

3. Предложен полустатистический метод численного решения интегральных уравнений, обладающий рядом алгоритмических преимуществ пс сравнению с существующими методами. Доказана его сходимость. Получены формулы для оптимизации структуры случайной сетки интегрирования. ■

4. Построены интегральные уравнения для задачй вибропро-водности и'проведена их регуляризация. Численным экспериментом подтверждена эффективность пр!шенения полустатистического метода для численного решения задач вйбропроводности.

5. В инвариантной форме построены регулярные интегральные уравнения первой и второй задач теории упругости (уравнения Лэуричеллы и Вейля).

6. Для ряда классических пространственных областей единообразно методом потенциала построены аналитические решения непосредственно интегрального уравнения Лауричеллы. Для полого шара решение получено впервые.

У. Численным экспериментом подтверждена возможность использования полустатистического метода в.. задачах теории упругости. Процесс оптимизации сетки при этом является быстро сходящимся (2-3 итерации). Установлено, что расхождения в регуль-, тэтах расчетов напряжений и перемещений, найденных пслустагис-тичесгаш методом, и аналогичных результатах, полученных методом конечных элементов, в среднем составляют 6Х, а наибольшие отклонения не превышают 8-11?».

3, Предложены новые разновидности метода'случайных .блуждании (алгоритм МОЕ со смещенными центрами, алгоритм МСВ с частичным интегрированием, метод модуляции), обладающие повыгнанной скоростью сходимости и позволяющие расширите '-масс решаемых краевых, задач.'-Доказана их сходимость.

9. Разработаны алгоритмы МСБ для решения таких задач, как задача об изгибе опертых пластин с контуром произвольного вида, задач;? об изгибе защемленных Пластин, плоская задача теории угругости, задача НэГмача в плсюкой и пространственной теории теплогрсвсдн'; тти. Ранее гтп - задачи не решались методами слу-

ч."л'11ч" бт^гдаий.

Ю.ИССЛеДиВаНЫ вопросы ¡.овкшэния скорости сходимости пре . laraPM^ro метода. Показано, что сксрссть сходимости су-шептленно увеличивается при ь йоре оптимальней плотности на ••■рвем шаге траектории блужданий На последующих шагах использование неравномерной плотности t атсэффективно.

И.Чиг ленный эксперимент на задачах теплопроводности, окон теории упругости и теории изгиба пластин подтвердил эффективность предложенных алгоритмов. Р:казано,что, обладая рядом .алгоритмических преимуществ, метод случайных блужданий сбеспечш зег примерно ту же точность, что и метод конечных .элементов (« тлкчиа составляют 4-8';.

12.Пгс роены интегральные представления для пространственной зэта;и теплопроводности (задача Неймана) для параллелепипеда.

13.Разработан алгоритм блужданий по кубам для решения пространственных задач теплопроводности и исследовано влияние статистической и систематической ошибок на оценку решения.

Основные результаты диссертации изложены в следующих публикациях.

1. Иванов P.M. Задача вибропроводности для анизотропных цилиндра и полупространства //Тр. ШТИ. ' Сер. Дэрофизика и прикладная математика.- 1979.- С. 100-101.

2. Пальмой Е.А., Кульчицкий О.Ю., Иванов В.М. Интегральные уравнения теории Еибропроводности и полустатистический метод их ч гленнсго решения / Ленингр. политехи, ин-т.- Л., 1979.- 64 с. Деп. в ВИНИТИ 2S.06.79, N 2369-79.

3. Кульчицкий О.Ю., Иванов В.М. Обоснование сходимости полус-татистпческсто метода численного решения интегральных уравнений Фредгольма второт i рода / Ленингр. политехи. ин-т. • Л., 1930.- "4 е.- Деп, в ВИНИТИ 14.09.30 !1 3960-80.

4. Иванов В.М., Кульчицкий О.Ю., Мозговой А.Э. Метод случайных б~/жд.зний\;о окружностям при решении задач изгиба пластин / Ленингр. политехн. ия-т Л., 1981.- 29 с. Деп. в ВИНИТИ 17.11.81, N Б283-81.

5. Кульчицкий О.Ю., • Иванов В.М. Полустати'<5тическт>. метод и его применение' к задачам вибропроводности /.' Механика твердого тела.- 1991.- N 5.- 158.'

6. Иванов в.М., Кульчицкий О.Ю. Обоснование и применение полустатистического метода ' для численного решения некоторых классов интегральных уравнений // Тр. лпи / Ленингр. политехи, ин-т.- 1982.- 11 388.- С. 110-115.

7. Иванов В.М., Кульчицкий О.Ю. Разработка и исследование эффективности методов блужданий по окружностям для решения еадач изгиба пластин и плоской теории упругости / Ленингр. политехи, ин-т,- Л.,1983.- 23 с.-Деп. в ВИНИТИ 14.06.83, N 3270-83.

Я. Иванов В.М., Кульчицкий О.Ю. Определение напряженного состояния в отдельных точках упругих тел методами статистического моделирования // I Всесоюэ. симпозиум по математическим методам механики деформируемого твердого тела : Тез. докл.- 1984.- С. 56-58< ..

5. Ефимов Ю.Т., Иванов В.М., Осипов В.Н. Определение напряжений в деталях трансмиссии методом случайных блужданий // Отраслевой журнал.- 1984.- N 6.- С. 29-31.

10. Иванов В.М. Разработка метода случайных блужданий для определения напряжений в опасных точках зубчатых колес трансмиссий : Дис. канд. техн. наук / Ленингр. политехи, ин-т.- Л., 1984.- 174 с.

11. Ефимов Ю.Т., Иезнов В.М., Коровай М.В., Осипов В.Н. К расчету напряженного состояния зубчатых колес методом случайных блужданий ,'/' Тр. ЛПИ / Ленингр. политехи, ин-т,-1935.- 411.- С. 85-89.

)?. Иванов В.М., Кульчицкий О.Ю. Модификация метода случайных блужданий для решения бигармонического уравнения с граничными условиями на функцию и ее нормальную производную // Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической фигик? (Новосибирск, 9-11 ост. 1985г.) : Теэ.дскл. VII Всесгга. совещ.- Новосибирск, 1985 .- С. УГМбЗ.

i? 4ро?иь»в Д.Г., Иванов В.М. Решение интегральны/, уравнений первой основной задачи теории упругости тлустзтистичесгада методом / Ленингр. яолнтелн. ин-т.- Л., 1934.- 49 е.- Дел. г НШ'ИПГ 'IP.О<.86, 'I 6644-E3S.

14. Гетров А.Н., Ефимов О.Т., Иванов B.W., Соловьев В.М. }'ни-Еер'лальнги методика ряста составных частей трачсмиссий , • отр^л^рсй ¡кур нал. Гер.«.- Ж'".- Еып.О ир?).- С.4Э-4".

Ь

15, Иванов В.М., Кульчицкий О.Л. Модифицированный вариант уетода случайных блужданий для решения вэдачи Дирихле / Ленингр. политехи, ин-т,- Л., 1936.- 18 е.- Еиблиогр.: Б. назв.- Деп. в ВИНИТИ 17.03.8Ь, М 1789-Е86.

16. Иванов В.М., Кульчицкий О.Ю. Несмещенность статистической сценки метода случайных блужданий при решении задачи об изгибе опертых пластин / Ленингр. политехи, ин-т,- Л.,1986 . - 0 С. Деп. а ВИНИТИ 16.07.86, ¡1 5190-ВЗб.

1?. Иванов В.М., Кульчицкий О.Ю. О сходимости метода случайных блужд-ннй при решении задачи об изгибе опертых пластин / Ленингр. политехи, ин-т.- Л., 1986,- 11 с. Деп. в ВИНИТИ 17.03.46, t! 1?98-E9ö.

18. Иванов Е.М., Кульчицкий О.Ю.' ГеГуляризированний вариант метода случайных блужданий и его применение для вычисления напряжений в опасных течках д?тзлей -7

■ Статическая и динамическая прочность машиностроительных конструкций / Под ред. д. ф-м н., проф. Наместниксва D.O.; Межвуз. сборник научных трудов.- М., 1986.'- С. 7-13.

19. Арсеньев Д.Г., Иванов В.М., Яугонен В.И. Об однем численном методе определения локальных температур в задачах теплопроводности / Ленингр. политехи, ин-т.- Л., 19?;*,- ?0 с Деп. "в ВИНИТИ 30.07., М 54Q1-B87.

"0. .Иванов В.М.. Маришкин С.Ф., Осипов В.Н., Питухин A.B., Соловьев Ю.М. К расчету напряженно-деформироЕэянотс состояния водил планетариях передач транспортных маиин '/ Рабочие прс;ifо-^ы компрессоров и устэнтЕоч с ДЕС: M?*ev?. сб.-Л.: ЛШ'.- I^V.-C. 85-87.

'-М, Иванов 1?.М.. Кл'льчтпгагй О.Ю. Численный мэтод опредечеяга внутренних силовнх фзкторсв в отдельных тсчгах-опертых пластин '/ Исследования по механике деформируемых сред .- Иркутск, 1987, - 'J. "0-82.

2?. Иванов В.М.. Пу.нчсг.в P.A. О Тензоре Вейля /, Тр. ЛШ1. Сер. Механик.? и путпессн уппэвления/' Л?яингр. политехи, ич-т .- 1?88. - N 4.25. - С, 1R5-129.

23. Иване в В.М., Кульчицкий n.M. Стэткстические мртоды численного решения ямач. теплолровч. юности / Ленингр. пслкт'»хн. -ин-т. - Jl..l<??9.- pv с. Дпг. в ВИНИТИ 14.1 ¡2 8Я, (I

24. Иванов B.W., Кульчицкий О.О., Меллер к.Э. Метод случайных блужданий по кубам для peif-шя задачи Неймана / ; Лениьгр. политехи, ин-т.- Л., 199С. - 26 о. Деп. в ВИНИТИ 18.01;.90, N 34S9-B30.

25. Иванов В.М., Кульчицкий О.Ю. Метод численного решения интегральных уравнений на случайной сетке // Диф^еренц. уравнения.- 1990.- Т. 24, N 2.- С. 333-341.

26. Арсеньев Д.Г., Иванов В.М., Кульчицкий О.Ю. Полустатистический метод численного решения интегральных уравнений // Метода Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике (Новосибирск, 1991г.) : Тез, докл. VIII Все-ссюз. совещ .- Новосибирск, 1991.- С. 109-112.

27. Иванов В.Ь., Кульчицкий О.Ю. О различных 'алгоритмах численного решения задачи Дирихле ме^дэш статистического моделирования // Тр. ЛГТУ. Сер. Механика и процессы управления / Ленингр. гос. технич. ун-т .- 1991.- N 438 '.- С. 111-117,

28. Иванов В.М., Кульчицкий О.Ю. Об одном способе повышения точности решения задачи Дирихле методом блужданий по окружностям // Тр. СПбГТУ. Сер. Механика и процессы управления / СПб. гос. технич. ун-т .- 1993.- N 446 .- С. 100-105.

29. Иванов В.М., Иванова Е.Г. Определение напряженно-деформированного состояния деталей сложной формы полустатистическим методом // Динамика внбрсактивных систем. - Иркутск, 1994. - С. ее-72.

30. Иванов P.M., Кульчццгаг"! О.Ю. Статистические методы численного анализа с адаптацией : Учеб, пособие.- СПб.: СПбГТУ,- 1994.- 120 с.

31. Иванов Е.М., Кульчицкий О.ю, Статистичесг ~ методы численного решения краевых задач тешгапроводч г л и теории упругости: Учеб. •.пособие. - СПб. :СПбГТУ.- 1994,- 112 с.

Тип.зж ■I90 F»f?';n ил г чо

^ 5PQ.

ЬЧ